Page 1

∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·33

ª∂ƒ√™ ∞ 

∫Ï¿ÛÌ·Ù· 2.1

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ̤۷ ·fi ‰È·‰Èηۛ˜ ¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ “fiÏÔ˘” Û ̤ÚË ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ̤۷ ·fi ‰È·‰Èηۛ· ·Ó·˙‹ÙËÛ˘ Û¯¤Û˘ ÌÂٷ͇ ÔÌÔÂȉÒÓ ÔÛÔًوÓ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ·Ó·ÁˆÁ‹˜ ÛÙË ÌÔÓ¿‰· ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ̤ÚÔ˘˜ ·fi ÙÔ fiÏÔ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘.

2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ñ ñ ñ ñ

∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ∞ÏÔÔÈÒ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ªÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙË “¯È·ÛÙ› ȉÈfiÙËÙ·” ÁÈ· ÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô Ù˘ ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›·˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ: « ∞Ó · = Á ÙfiÙ · ‰ = ‚ Á». ‚ ‰

2.3. ™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ §‡Óˆ Û¯ÂÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

2.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ñ ¶ÚÔÛı¤Ùˆ Î·È ·Ê·ÈÚÒ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ §‡Óˆ Û¯ÂÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

2.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ñ µÚ›ÛΈ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ڿ͈Ó, ÙȘ ‰È·Ù˘ÒÓˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ñ ∫¿Óˆ ‰È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

∞ƒÃπª∏¢∏™ √ ™Àƒ∞∫√À™π√™ (287 - 212 .Ã.)

2o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


∫ ∂ º . 2 - A § ° .(33-54)

05-03-10

15:01

™ÂÏ›‰·34

- 34 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.1. ∏ ¤ Ó Ó Ô È · Ù Ô ˘ Î Ï ¿ Û Ì · Ù Ô ˜ ∏ ϤÍË “ÎÏ¿ÛÌ·” ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯·›· ÂÏÏËÓÈ΋ ϤÍË “ÎÏ¿ˆ” ‹ “Îψ” Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ Îfi‚ˆ, ÙÂÌ·¯›˙ˆ οÙÈ. ΔÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÏÔÈfiÓ ‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ οÔÈÔ˘ Ú¿ÁÌ·ÙÔ˜. ™Ù· ª·ıËÌ·ÙÈο ıˆÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi Ô˘ ÌÔÈÚ¿˙ÂÙ·È, ÌÔÚ› Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û ›Û· ̤ÚË. ŒÙÛÈ, ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ “ÎÏ¿ÛÌ·” Ú¤ÂÈ Ó· ‰ËÏÒÓÂÈ Û fiÛ· ›Û· ̤ÚË ¯ˆÚ›Û·Ì ÙÔ ÔÏfiÎÏËÚÔ (ÙÔÓ “fiÏÔÓ”) Î·È fiÛ· ·fi ·˘Ù¿ ‹Ú·ÌÂ. fiÛ· ̤ÚË ‹Ú·Ì ·ÚÈıÌËÙ‹˜ : ∫Ï¿ÛÌ·: Û fiÛ· (·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ fi¯È Ìˉ¤Ó) ›Û· ̤ÚË ¯ˆÚ›Û·Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ı˘ÌËıԇ̠fiÛ· ‹‰Ë ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ı· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Ì·˜ ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1 Ë ΔÚÂȘ Ê›ÏÔÈ ·ÁÔÚ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ›ÙÛ· Î·È ÙË ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ÔÎÙÒ ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. √ ¤Ó·˜ ¤Ê·Á ÙÔ ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ, Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Ù· ÙÚ›· Î·È Ô ÙÚ›ÙÔ˜ ‰‡Ô ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ›ÙÛ·˜ Ô˘ ¤Ê·ÁÂ Ô Î·ı¤Ó·˜; ➣ ΔÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ›ÙÛ·˜ ÂÚ›ÛÛ„Â;

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2 Ë ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· ÚÔÛ¿ıËÛÂ: N· ‚ÚÂȘ ÔÈfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∫. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞∫, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ∞μ Â›Ó·È 32 cm;

➣ ➣ ➣

N· ‚ÚÂȘ ˙‡ÁË ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Ó· ›ӷÈ: ∞

1 1 2 3 4 3 , , , , , ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. 3 2 3 2 3 4 μ

∫ °

¢

£

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 3 Ë ➣

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÌÔÈÚ¿ÛÂȘ ÙÚÂȘ ÛÔÎÔÏ¿Ù˜ (fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜) Û ÔÎÙÒ ·È‰È¿.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÁÈ· Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÂȘ ÛÔÎÔÏ¿Ù˜ Û ÔÎÙÒ ·È‰È¿, Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ‰È·›ÚÂÛË 3:8. ¶Ú·ÎÙÈο, ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ ÙÔ ÌÔ›Ú·ÛÌ· ·˘Ùfi, ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÚÒÙ· Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› ÌÈ· ÛÔÎÔÏ¿Ù· Û ÔÎÙÒ (8) ›Û· ̤ÚË, ÒÛÙ οıÂ

1 8 Ù˘ ÛÔÎÔÏ¿Ù·˜. ∂Âȉ‹ ¤¯Ô˘Ì ÙÚÂȘ (3) ÛÔÎÔÏ¿Ù˜, ÙÂÏÈο, ÙÔ Î¿ı ·È‰› ı· 3 3 ¿ÚÂÈ Ù· 8 ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ÛÔÎÔÏ¿Ù˜. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 8 Î·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ 3:8 ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· 3 ÔÛfiÙËÙ·. ÕÚ· ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 8 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ 3 ‰È¿ ÙÔ˘ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ‰ËÏ·‰‹: 8 = 3:8 ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ó· Â›Ó·È ÙÔ


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·35

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 35 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 4 Ë ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ¯ˆÚÈÛÙ›, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ¯ÚÒÌ·, Û ÙÚÈÒÓ ÂȉÒÓ Ì¤ÚË. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÈ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ Î·ı¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 





∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ 1 (Ó Ê˘ÛÈÎfi˜, 0) Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¤Ó· Ó ·fi Ù· Ó ›Û· ̤ÚË, ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Ì›· ÔÛfiÙËÙ·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰·. ∫Ï¿ÛÌ· ‹ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Î fiÔ˘ Î, Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ó ≠ 0. Ó

·ÚÈıÌËÙ‹˜ ➞ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ➞ ÁÚ·ÌÌ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ➞

To ÎÏ¿ÛÌ· Î ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ Ù· Π̤ÚË ·fi Ù· Ó ›Û· ̤ÚË Ó ÛÙ· ÔÔ›· ¤¯ÂÈ ¯ˆÚÈÛÙ› Ì›· ÔÛfiÙËÙ·. °ÂÓÈο: Î Î  1 , fiÔ˘ Î, Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ó ≠ 0. Ó = Ó ∫¿ı ÎÏ¿ÛÌ· ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Î·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ ‰È¿ ÙÔ˘ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ Î = Î : Ó fiÔ˘ Ó Î, Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ó ≠ 0.

2 ➚ fiÚÔÈ ÙÔ˘ 3 ➘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜

‰È·‚¿˙ÂÙ·È “ ‰ ‡ Ô Ù Ú › Ù · ”

1 5 7 = 5 7 3 8 =3 : 8



∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 15 6 21 6= 1 , 15= 1 , 21= 1 Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ 1, ÁÈ·Ù› Î = Î : 1 = Î 1



∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË 8 Ô˘ Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. E›Ó·È 3 > 1 ‰ÈfiÙÈ 8 > 3 ∆fiÙ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ 1.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

∆Ô Î·Ì·Ó·ÚÈfi ÌÈ·˜ ÂÎÎÏËÛ›·˜ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 20 m, ÂÓÒ Ë ÂÎÎÏËÛ›· ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ Ù· 3 ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ηÌ·Ó·ÚÈÔ‡. 5 ¶ÔÈÔ Â›Ó·È Ùo ‡„Ô˜ Ù˘ ÂÎÎÏËÛ›·˜;

20 m

§‡ÛË ŸÏÔ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ηÌ·Ó·ÚÈÔ‡, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ ∆fiÙ ٷ

5 5 , Â›Ó·È 20m,

;m

1 1 20 5 ·˘ÙÔ‡ ı· Â›Ó·È 5  20 cm = 5 m = 4m.

3 5 ı· Â›Ó·È 3  4 m = 12 m. ÕÚ· ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÂÎÎÏËÛ›·˜ ı· Â›Ó·È 12 m.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·36

- 36 -

2.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

ªÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÂÙÚÂÏ·›Ô˘ Û ÌÈ· ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·, ¯ˆÚ¿ÂÈ 2000 lt. √ ‰È·¯ÂÈÚÈÛÙ‹˜ Û ÌÈ· ̤ÙÚËÛË ‚ڋΠfiÙÈ ‹Ù·Ó ÁÂÌ¿ÙË Î·Ù¿ Ù· 3 . ¶fiÛ· Ï›ÙÚ· ÂÙڤϷÈÔ Â›¯Â Ë ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹; 4

§‡ÛË ∏ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÔÏfiÎÏËÚË Â›Ó·È Ù· ∆Ô

4 4 Î·È ¯ˆÚ¿ÂÈ 2000 lt.

1 4 Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ ı· ¯ˆÚ¿ÂÈ

1 2000 4 2.000 lt = 4 lt = 500 lt. ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ù· 

3.

3

:4 4 4

3 4

1 4

3 4 ı· ÂÚȤ¯Ô˘Ó 3  500 lt = 1.500 lt.

O ·Ú·¿Óˆ ÙÚfiÔ˜ χÛ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÁˆÁ‹ ÛÙË ÌÔÓ¿‰· Î·È ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ Î·È ˙ËÙÂ›Ù·È ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜. ÕÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ χÛ˘ Â›Ó·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Â› ÙÔÓ 3 ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ fiÏÔÓ (.¯.  2.000 lt = 1.500 lt). 4 T·

3 8 ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡; ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡ ÂÓfi˜ Ì·¯·ÚÈÎÔ‡ ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 27 Q. ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó Ù· 5 9

§‡ÛË 3 1 5 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 27 Q. ÕÚ· ÙÔ 5 ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 27 Q : 3 = 9 Q. 5 ∆· 5 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 5  9 Q = 45 Q.



5

:3

∆·

3 5

5 =1 5

1 5

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ fiÏÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ (·Ó·ÁˆÁ‹ ÛÙË ÌÔÓ¿‰·). ∆·

9 1 45 9 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 45C. ÕÚ· ÙÔ 9 ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 9 C = 5 C.

ŒÙÛÈ Ù·

8 5 9 9 ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 85 Q =40 Q. ¢ÈfiÙÈ Â›Ó·È: 1 = 5 = 9 =…

8

:9 9 9

1 9

8 9

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: Î (·) ™ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Î Î·È Ï ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È .............................................. Ï · · 0 = ........ (‚) = ........ (Á) = ........ 1 · · Î (Á) ∏ ÊÚ¿ÛË “ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ∞” ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔÓ ¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ï ∞ Û ........................................................................................................................ 3 2 7 10 18 ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· , , , , Â›Ó·È fiÏ· ÌÈÎÚfiÙÂÚ· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜; 4 3 9 9 20 ∆È ÎÏ¿ÛÌ· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ Ù¿Í˘ 28 Ì·ıËÙÒÓ Â›Ó·È ÔÈ 4 ·fiÓÙ˜; (‚)

2. 3. 4.

∞Ó ÙÔ

πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: (·)

1 5

ÂÓfi˜ ÎÈÏÔ‡ ηڇ‰È· Â›Ó·È 14 ηڇ‰È·, ÙÔ ÎÈÏfi ÂÚȤ¯ÂÈ 70 ηڇ‰È·;


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·37

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 37 -

5.

∆· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ¯ˆÚÈÛÙ› Û ›Û· ̤ÚË. °Ú¿„ ÁÈ· ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘.

6.

∞fi Ì›· ÙÔ‡ÚÙ· ÂÚ›ÛÛ„·Ó Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ô˘ ‚ϤÂȘ 2 ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· Ù˘ ÙÔ‡ÚÙ·˜. 7 ¶fiÛ· ‹Ù·Ó ·Ú¯Èο fiÏ· Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ù˘ ÙÔ‡ÚÙ·˜;

7.

µÚ˜ ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÎÈÏÔ‡ Â›Ó·È Ù·: (·) 100, (‚) 250, (Á) 500, (‰) 600 ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ·.

8.

¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜: (·) ÙÔ˘ Ì‹Ó·, (‚) ÙÔ˘ ÂÍ·Ì‹ÓÔ˘, (Á) ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÔÈ 15 Ë̤Ú˜;

9.

ŒÓ· ηٿÛÙËÌ· οÓÂÈ ¤ÎÙˆÛË ÛÙ· ›‰Ë ÙÔ˘ ›ÛË Ì ٷ

10.

™Â ÌÈ· Ù¿ÍË Ù·

11.

™Â ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ Ë ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È 33 ÂηÙÔÛÙ¿ Î·È Ë ¿ÏÏË 3 Ù· Ù˘ ÚÒÙ˘. ¡· ‚ÚÂȘ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘. 11

12.

ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 5 ÂηÙÔÛÙ¿. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ: (·) ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ 8 6 ÙÌ‹Ì· °¢ Ì ̋ÎÔ˜ Ù· ÙÔ˘ ∞µ Î·È (‚) ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∂∑ Ì ̋ÎÔ˜ Ù· ÙÔ˘ ∞µ. 10 5

2 Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘˜. ŒÓ· 5 ÊfiÚÂÌ· ÎfiÛÙÈ˙ 90 Q ÚÈÓ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË. ÀÔÏfiÁÈÛ fiÛ· ¢ÚÒ ¤ÎÙˆÛË ¤ÁÈÓ ÛÙÔ ÊfiÚÂÌ· Î·È fiÛÔ ı· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ÙÔ ·ÁÔÚ¿ÛÔ˘ÌÂ. 3 ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì·ı·›ÓÔ˘Ó ·ÁÁÏÈο. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ¤¯ÂÈ 8 Ë Ù¿ÍË, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ ·˘ÙÔ› Ô˘ Ì·ı·›ÓÔ˘Ó ·ÁÁÏÈο Â›Ó·È 12 Ì·ıËÙ¤˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

Ãڈ̿ÙÈÛ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Ù· ̤ÚË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤ӷ οو ·fi οı ۯ‹Ì·. 2 6

2.

1 4

10 16

N· ‚ÚÂȘ ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È Î¿ı ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

3 5


∫ ∂ º . 2 - A § ° .(33-54)

05-03-10

15:02

™ÂÏ›‰·38

- 38 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

A.2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ K·ı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ¤ÓÙ ›Û· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ÓÔ, Û ›Û· ̤ÚË Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÁÈ· ηıÂÌ›· ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘; ➣ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û‡ÁÎÚÈÓ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ı· ‚ÚÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ➣ ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ‚ڋΘ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

· Á Î·È Ï¤ÁÔÓÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ‹ ›Û· fiÙ·Ó ‚ ‰ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ‹ ›ÛˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ. ∂Âȉ‹ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Â›Ó·È Î·È ›Û· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: Á · = ‚ ‰ ¢‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

2 3

10 15

ηÈ

ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·

2 10 3 = 15

‰ËÏ·‰‹:

3

6

=  ∞Ó ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·‚ Î·È ‰Á Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÙfiÙ ٷ “¯È·ÛÙ› 7 14 ÙfiÙÂ: 3  14 = 6  7 ÁÈÓfiÌÂÓ·” ·  ‰ Î·È ‚  Á  › Ó · È › Û · Î · È · Ó Ù È Û Ù Ú fi Ê ˆ ˜ . ¢ËÏ·‰‹:

2 10 = 3 15

Á · ·Ó ‚ = ‰ ÙfiÙÂ: ·  ‰ = ‚  Á Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ÁÈ·Ù›:

2  15 = 3  10

°È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ‹ ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ηÓfiÓ˜:

 ŸÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙÔ‡Ó ÔÈ fiÚÔÈ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔÓ

2 2 4 8 = = 3 3  4 12

 ŸÙ·Ó ÔÈ fiÚÔÈ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ ‰È·ÈÚÂıÔ‡Ó Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê˘ÛÈÎfi

10 1 0 : 5 2 15 = 1 5 : 5 = 3

›‰ÈÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi (  0) ÚÔ·ÙÂÈ ÎÏ¿ÛÌ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ. ·ÚÈıÌfi (  0 )  Ú Ô Î ‡  Ù Â È Î Ï ¿ Û Ì · È Û Ô ‰ ‡ Ó · Ì Ô .



∏ ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ·ÏÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ì ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜.



ΔÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÂΛÓÔ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·ÏÔÔÈËı› (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÏÏÔ˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÂÎÙfi˜ ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰·) ϤÁÂÙ·È ·Ó¿ÁˆÁÔ.



ŸÙ·Ó ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓfiÌ·ÛÙ‹ ϤÁÔÓÙ·È ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÂÙÂÚÒÓ˘Ì·.

7 12

·Ó¿ÁˆÁÔ

·ÊÔ‡ ª∫¢(7, 12)=1

2 7

,

5 7

ÔÌÒÓ˘Ì·

2 7

,

5 3

ÂÙÂÚÒÓ˘Ì·


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-07-09

20:52

™ÂÏ›‰·39

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 39 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙÂ ·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

3 10 3 18 Î·È , (‚) Î·È Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·. 5 14 8 48

§‡ÛË (·)

ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ٷ “¯È·ÛÙ› ÁÈÓfiÌÂÓ·”, ‰ËÏ·‰‹: 3  14 = 42 Î·È 5  10 = 50 Δ· ÁÈÓfiÌÂÓ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· Î·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·.

(‚)

ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ٷ “¯È·ÛÙ› ÁÈÓfiÌÂÓ·”: 3  48 = 144 Î·È 8  18 = 144 18 3 Δ· ÁÈÓfiÌÂÓ· Â›Ó·È ›Û·, ¿Ú· Î·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, ‰ËÏ·‰‹: ηÈ

8

2.

¡· ·ÏÔÔÈËı› ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

48

30 . 66

§‡ÛË √ ª∫¢ ÙˆÓ fiÚˆÓ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 30 Î·È 66 ›ӷÈ: ª∫¢(30, 66) = 6

30 30 : 6 5 66 = 66 : 6 = 11

¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ 6 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ:

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ·Ô‡Ó Û ÔÌÒÓ˘Ì· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

3 2 5 , Î·È 5 3 20

§‡ÛË 

ª∫¢(5, 20) = 5

¶ÚÈÓ ·fi οı ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÂÙÂÚÒÓ˘ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û ÔÌÒÓ˘Ì· ÂϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È.

¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ 5 ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔ 5 Î·È 20 ¤¯Ô˘ÌÂ:

5 = 20

5:5 20:5

=

1 4



μÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂∫¶ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ ÙˆÓ ·Ó¿ÁˆÁˆÓ ÂÙÂÚˆÓ‡ÌˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

3 2 1 , , ∂∫¶(5, 3, 4) = 60 5 3 4



¢È·ÈÚԇ̠ÙÔ ∂∫¶ Ì ηı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

60 : 5 = 12 60 : 3 = 20 60 : 4 = 15 12 ¬ 3 1 2 36 3 = = , 5 1 2 60 5



¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ οı ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Â› ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‚ڋηÌÂ.

∂Ô̤ӈ˜ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¿ËÎ·Ó ÛÙ· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÔÌÒÓ˘Ì·:

20 ¬ 220 40 2 = 320 = , 60 3 15 ¬ 115 15 1 = 415 = 60 4

36 40 15 60 , 60 Î·È 60


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·40

- 40 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ϤÁÔÓÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·, fiÙ·Ó .......................................................................... Á · (‚) ∞Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = , ÙfiÙ ÔÈ fiÚÔÈ ·, ‚, Á Î·È ‰ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ............................ ‰ ‚ (Á) ∞Ó¿ÁˆÁÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ............................................................................... (‰) OÌÒÓ˘Ì· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ..................................................................... (Â)

∂ÙÂÚÒÓ˘Ì· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ...................................................................

(ÛÙ)

∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔÓ ª∫¢ ÙÔ˘˜, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Á›ÓÂÙ·È .............................................................................................................................

2.

¡· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÔÈ· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: 13 26 3 1 2 18 7 30 (·) , , (‚) , , (Á) , , (‰) , . 14 28 4 2 3 27 8 40

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ 3 8 4 5 60 ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 100: (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 2 75 4 5 20 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3: 10 50 18 (·) , (‚) , (Á) . 6 30 27

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2 Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹:(·) 6, Î·È (‚) 15. 3 ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ Ù· ÎÂÓ¿, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 22 ... 9 14 ... 48 ... 2 (·) = , (‚) = , (Á) = , (‰) = . ... 5 15 4 20 36 24 3 ¡· ÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

25 12 32 , (‚) , (Á) . 30 9 56

¡· ‚ÚÂȘ ÔÈ· ·fi Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁ·:(·) N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÌÒÓ˘Ì· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. 10 (·) ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È Ì ÙÔ 5. 25 3 5

(‚)

∆Ô ÎÏ¿ÛÌ·

(Á)

∞Ó ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

32 15 51 26 , (‚) , (Á) ,(‰) . 30 14 16 50

3 7 7 3 11 7 Î·È , (‚) Î·È , (Á) Î·È . 5 9 8 10 3 12 ™ø™∆√ §∞£√™

Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ. x 8

ÙÚ·› Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Ì ·ÚoÓÔÌ·ÛÙ‹ 24,

o ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ˜ ÙÔ˘ x. (‰) (Â) (ÛÙ) (˙)

∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙ‹ Î·È ÙÔÓ ·ÚoÓÔÌ·ÛÙ‹ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Â› 4, ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ı· Á›ÓÂÈ 4 ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. 18 ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ· ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È Ì ÙÔ 6. 522 ŒÓ· ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1. 0 0 = . 4 10

(Ë)

23 20 + 3 3 = = . 30 20 + 10 10

(ı)

3 60 = . 11 220

(È)

5 41 = . 5 41

(È·)

∆Ô ÎÏ¿ÛÌ·

·+‚ 1

Â›Ó·È ¿ÓÙ· ›ÛÔ Ì · + ‚.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:18

™ÂÏ›‰·41

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 41 -

∞.2.3. ™ ‡ Á Î Ú È Û Ë Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ Î¿ı ¯ÚÒÌ·, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·; ∏ ª·Ú›· › ˆ˜ ÙÔ ÚÔ˙ ¯ÚÒÌ· 9 10 7 ηٷϷ̂¿ÓÂÈ Ù· , ÙÔ Á·Ï¿˙ÈÔ Ù· Î·È ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ù· . 48 48 48 3 5 ∂ÓÒ Ô °È¿ÓÓ˘ › fiÙÈ ÙÔ ÚÔ˙ Â›Ó·È Ù· , ÙÔ Á·Ï¿˙ÈÔ Ù· Î·È 16 24 1 ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ ÙÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 8 ➣ ¶ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ Î·È ÔÈÔ˜ fi¯È; ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÁÚ¿„ÂȘ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ̤ÚË ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë

™¯ÔÏ›Ô

™ÙÔ Î˘ÎÏÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ê·›ÓÂÙ·È Ò˜ ηٷӤÌÔÓÙ·È ÔÈ ÒÚ˜ ÂÓfi˜ ⁄ÓÔ˜ ¢È¿‚·ÛÌ· 24ÒÚÔ˘ ·fi ¤Ó· Ì·ıËÙ‹, Ù˘ ∞’ °˘ÌÓ·Û›Ô˘. ∞ı ÏË ➣ ∆È Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¿ı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·; ÙÈÛ Ìfi ˜ ➣ ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ‰È·ÚΛ οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·; ¶·È¯Ó›‰È ➣ ™Â ÔÈ· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ‰··Ó¿ ÙÔÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ¯ÚfiÓÔ; ➣ °Ú¿„ Û ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û οı ̛· ·fi ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ¯ÚfiÓÔ.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ 24ˆÚÔ Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ÓÔ Û 12 ÎÔÌÌ¿ÙÈ·, ·fi Ù· ÔÔ›· Ù· 4 ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔÓ ‡ÓÔ, Ù· 3 ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ˆÚ¿ÚÈÔ, Ù· 2 ÛÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ·, ÙÔ 1 ÛÙÔÓ ·ıÏËÙÈÛÌfi Î·È Ù· 2 ÛÙÔ

4 12 ÙÔ˘ Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ ¯ÚfiÓÔ˘, ÁÈ· 3 2 1 2 ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô Ù· 12 , ÁÈ· ÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ· Ù· 12 , ÁÈ· ÙÔÓ ·ıÏËÙÈÛÌfi ÙÔ 12 Î·È ÁÈ· ÙÔ ·È¯Ó›‰È Ù· 12 ·È¯Ó›‰È. ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ô˘ ·ÊÈÂÚÒÓÂÙ·È ÁÈ· ‡ÓÔ Â›Ó·È Ù·

∂Âȉ‹ οı ÎÔÌÌ¿ÙÈ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ‰‡Ô ÒÚ˜, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ fi ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ·ÊÈÂÚÒÓÂÙ·È ÁÈ· οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ›ӷÈ: 8 ÒÚ˜ ÁÈ· ‡ÓÔ, 6 ÒÚ˜ ÁÈ· ÙÔ Û¯ÔÏ›Ô, 4 ÒÚ˜ ÁÈ· ‰È¿‚·ÛÌ·, 2 ÒÚ˜ ÁÈ· ·ıÏËÙÈÛÌfi Î·È 4 ÒÚ˜ ÁÈ· ·È¯Ó›‰È. ÕÚ·, Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÙ‹ÙˆÓ Â›Ó·È: 8 ÒÚ˜(⁄ÓÔ˜) > 6 ÒÚ˜(™¯ÔÏ›Ô) > 4 ÒÚ˜ (¢È¿‚·ÛÌ·) = 4 ÒÚ˜ (¶·È¯Ó›‰È) > 2 ÒÚ˜ (∞ıÏËÙÈÛÌfi˜).

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °ÂÓÈο, ÁÈ· ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂÍ‹˜:

 



∞fi ‰‡Ô ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÂΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì Û ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜.

5 9 > 13 13 7 °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›Óˆ Ù· 12

ηÈ

5 16

Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤ˆ Û ÔÌÒÓ˘Ì·:

7 28 12 = 48

ηÈ

5 15 16 = 48

∞fi ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÂΛÓÔ Ì ÙÔÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

ÕÚ·:

7 5 12 > 16

13 13 9 < 5


∫∂º.2-A§°.(33-54)

1-11-08

18:38

™ÂÏ›‰·42

- 42 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

§‡ÛË

7 7 Î·È . 10 15

7 10

∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ “Û fiÛ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ̤ÚË ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ì¤ÁÂıÔ˜, ÙfiÛÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚ· Â›Ó·È Ù· ̤ÚË ·˘Ù¿”.

2.

1 1 7 < < ¢ËÏ·‰‹: Î·È 15 10 15

7 . 10

N· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:

5 4 Î·È . 8 9

7 15

§‡ÛË ªÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ∂∫¶(8, 9)=72, ÂÔ̤ӈ˜

72 : 8 = 9 Î·È 72 : 9 = 8

3.

9 ¬ 5 ÔfiÙÂ 8

8

¬ 4 45 32 5 4 > = Î·È 9 = . ÕÚ· . 72 72 8 9

¡· ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

8 . 5

§‡ÛË °È· ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

8 ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ: 5

0

4

}

O

5 8 10 < 1 = < = 2. 5 5 5

ÙÔ˘ √∞

8 5

5 1= 5

2=

A

°

B

10 5

∫·ı¤Ó·, ·fi Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· √∞ Î·È ∞µ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË ÌÔÓ¿‰·. ∆· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ì Û 5 ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÒÛÙ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· √° ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 8 ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· Ì ÙÔ Î·ı¤Ó·. ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ √° ›ӷÈ

4.

∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

1 Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ÙÔ 5

8 8 ÙÔ˘ √∞. ÕÚ· ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. 5 5

¡· ‚ÚÂı› ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ

§‡ÛË

1 Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. 5

2 3 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· . 5 5

2 3 Î·È Â›Ó·È ÔÌÒÓ˘Ì· Î·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘ 2 Î·È 3 ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ 5 5

¿ÏÏÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ªÔÚÔ‡ÌÂ, fï˜, Ó· ‚Úԇ̠ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·˘Ù¿

4 6 Î·È , ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÒÓ ÙÔ˘˜ 4 Î·È 6 ˘¿Ú¯ÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5. 10 10 5 4 6 2 5 3 < < ∂Ô̤ӈ˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Î·È , ı· Â›Ó·È Î·È 10 10 10 5 10 5

.¯. Ù·


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:19

™ÂÏ›‰·43

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 43 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

ŒÓ· ÎÏ¿ÛÌ· ›ӷÈ: (i) ›ÛÔ Ì 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ..........................................ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. (ii) ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ......................... ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. (iii) ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ 1, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ..................... ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

(‚)

∞Ó

· ‚ > ÙfiÙ ......................................... Á Á 3 5 3 3 4 8 Î·È , (‚) Î·È , (Á) Î·È . 7 7 5 9 5 12

2.

™‡ÁÎÚÈÓ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:(·)

3.

°Ú¿„Â Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

4.

™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ 1 Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·)

5.

µ¿Ï Û ÛÂÈÚ¿ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·:

6.

µÚ˜ ÌÂٷ͇ ÔÈˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ 5 7 8 63 125 ÎÏ¿ÛÌ·Ù· (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 3 2 9 5 10

7.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ÛÙËÓ Â˘ı›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 1 3 5 1 3 4 9 (·) , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) , (ÛÙ) , (˙) . 2 2 2 4 4 5 10

8.

¶ÔÈÔÈ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜: (·)

9.

B

5 9 12 16 109 , (‚) , (Á) , (‰) , (Â) . 8 10 11 16 120

3 8 5 20 7 , , , , . 5 15 10 15 5

1

0 O ↑ A

31 31 31 31 31 , , , , ÛÂ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. 10 14 11 13 12

2 ↑

°

(‚) ↑

¢

1

0 ↑

O

A

2 ↑

B

°

¢

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙȘ ÎÂÓ¤˜ ı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ›Ó·Î· Ì ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÁÚ¿ÌÌ· Î·È ÌÂÙ¿ ‚¿Ï ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ‚ڋΘ Û Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿. A

B

°

¢

B

°

™∆

¢

∂ ™∆ ∑


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-07-09

20:53

™ÂÏ›‰·44

- 44 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.4. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë Î · È ∞ Ê · › Ú Â Û Ë Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1 Ë 4 ÌÈ·˜ Ï·Ù›·˜ 12 Ï·Ù›·˜ Ì ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·. ΔËÓ ÂfiÌÂÓË Ë̤ڷ Ô˘ Ô Î·ÈÚfi˜ ‰ÂÓ 3 ‹Ù·Ó ηÏfi˜ ʇÙ„ ÌfiÓÔ Ù· Ù˘ Ï·Ù›·˜. 12 ➣ ¶ÔÈÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ Ï·Ù›·˜ ›¯Â Ê˘Ù¤„ÂÈ, Û˘ÓÔÏÈο, ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜; ΔÔ Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô ÙÔ˘ ¢‹ÌÔ˘ ʇÙ„ Û ÌÈ· ̤ڷ Ù·

1Ë Ë̤ڷ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ ∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜ ¤¯Ô˘Ó Ê˘Ù¢Ù›, Û˘ÓÔÏÈο, Ù· ¶Ú¿ÁÌ· Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·

7 12 Ù˘ Ï·Ù›·˜.

4 7 3 12 + 12 οÓÂÈ 12

4 12 3 12

2Ë Ë̤ڷ

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2 Ë 2 Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ¶¿ÙÚ· - ΔÚ›ÔÏË. 5 ¶∞Δƒ∞ ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ̤ÓÂÈ Ó· ηχ„ÂÈ ·ÎfiÌË;

ŒÓ· ÊÔÚÙËÁfi Î¿Ï˘„ Û ̛· ÒÚ· Ù·

2 5

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ Ÿˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Î·Ï˘Êı› Ù·

3 5 Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜.

5 5

5 2 3 ∂Ô̤ӈ˜, Ë ‰È·ÊÔÚ¿ 5 – 5 οÓÂÈ Ù· 5 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜.

3 5

Δƒπ¶√§∏

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 3 Ë ªÈ· ‚Ú‡ÛË ÁÂÌ›˙ÂÈ, Û 1 ÒÚ·, Ù·

2 Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜. ªÈ· ¿ÏÏË 5

1 Ù˘ ›‰È·˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜, Â›Û˘ Û 1 ÒÚ·. 3 ∞Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ‚Ú‡Û˜ ÙÚ¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ̤۷ ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹, ÙÈ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Û 1 ÒÚ·; ‚Ú‡ÛË ÁÂÌ›˙ÂÈ ÙÔ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ AÓ ÔÈ ‚Ú‡Û˜ “ÙÚ¤¯Ô˘Ó” Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÁÈ· 1 ÒÚ· ı· ¤¯Ô˘Ó ÁÂÌ›ÛÂÈ ¤Ó· ÙÌ‹Ì· Ù˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ·˘Ù‹˜ Ô˘ Ë Î¿ı ̛· ÁÂÌ›˙ÂÈ Í¯ˆÚÈÛÙ¿. ¢ËÏ·‰‹ ÙÔ ...

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °ÂÓÈο, ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ù· ÂÍ‹˜:  ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· 7 + 2 7+2 9 ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ · + ‚ = ·+‚ 5= 5 =5 5 Á Á ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜, ·Ê‹ÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ Á ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-07-09

20:55

™ÂÏ›‰·45

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 45 -



¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÊÔ‡ ÚÒÙ· Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì Û ÔÌÒÓ˘Ì·.



∞Ê·ÈÚԇ̠‰‡Ô ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·Ê·ÈÚÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ ÙÔ˘˜, ·Ê‹ÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.



∞Ê·ÈÚԇ̠‰‡Ô ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÊÔ‡ Ù· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ÚÒÙ· Û ÔÌÒÓ˘Ì·.



πÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ÛÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·.



ªÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙ› Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì 1 + 5 , ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÈÔ ·Ï¿ 1 5 . √ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜, Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÂÓfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘ Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌÂÈÎÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

7 + 2 21 + 8 29 3 = 12 12 = 12 4 4 – 2 = 4–2 = 2 5 5 5 5

· ‚ ·–‚ – = Á Á Á

7 – 2 = 21 – 8 = 13 4 3 12 12 12

4



4

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

1 2 + + 3. 4 4

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·

§‡ÛË ªÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Û ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ 4. ∂›Ó·È:

2.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: (·)

§‡ÛË (·)

3.

1 2 1 2 3  4 = 1 + 2 + 12 = 15 . 4 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4 4 4 4 4 ·+‚ · ·–‚ · = + 1 Î·È (‚) = – 1. ‚ ‚ ‚ ‚

·+‚ · ‚ · = + = ‚ ‚ ‚ ‚

+ 1

(‚)

·–‚ · ‚ · = – = – 1 ‚ ‚ ‚ ‚

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Î·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

§‡ÛË

5 7 Î·È . 12 20

Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· Î·È Ú¤ÂÈ ÚÒÙ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚÚ·Ô‡Ó Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÔÌÒÓ˘Ì·. Œ¯Ô˘ÌÂ: ∂∫¶(12, 20) = 60 ÔfiÙÂ: 60 : 12 = 5 Î·È 60 : 20 = 3

5 5 ÕÚ·: 12

¬

3

7  3 21 7 5  5 25 25 15 = = Î·È 20 = 20  3 = . ∂Âȉ‹ > ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› 60 60 60 12  5 60

¬

5

7

25

21

4

4:4 1 60 : 4 = 15 5 7 25 21 46 46 : 2 23 12 + 20 = 60 + 60 = 60 = 60 : 2 = 30

Ë ‰È·ÊÔÚ¿: 12 – 20 = 60 – 60 = 60 = ηÈ

4.

¡· ‚ÚÂı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿:

15 – 1 Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Á›ÓÂÈ ÌÂÈÎÙfi˜. 4

§‡ÛË 15 15 4 15 – 4 11 = 4 . °È· Ó· ÙÚ¤„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û ÌÂÈÎÙfi 4 – 1 = 4 – 4 = 4 ·ÚÈıÌfi ÂÎÙÂÏԇ̠ÙËÓ Â˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË: 11 = 4  2 + 3 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: 24+3 24 11 3 4 3 3 3 3 = = + = 2  + = 2  1 + = 2 + = 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

17-09-08

19:51

™ÂÏ›‰·46

- 46 -

5.

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·: 2 + 12.

§‡ÛË 9+1 1 1 1 3 3 1 9 1 10 2+1 3 =2+1+ 3 =3+ 3 = 3 + 3 = 3 + 3 = 3 = 3 .

6.

TËÓ ÚÒÙË Ë̤ڷ ¤Ó·˜ ÎËÔ˘Úfi˜ ÎÔ‡Ú„ ÙÔ Áη˙fiÓ ÛÙÔ 1 ÌÈ·˜ ÛÙÚÔÁÁ˘Ï‹˜ Ï·Ù›·˜. ∆ËÓ ‰Â‡ÙÂÚË Ë̤ڷ, ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÌÈ·˜ ‰˘Ó·Ù‹˜ ‚ÚÔ¯‹˜, ηٿÊÂÚ ӷ 2Ë Ë̤ڷ 2 1 ÎÔ˘Ú¤„ÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ 2 ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ Áη˙fiÓ. ¶ÔÈfi ̤ÚÔ˜ ·fi ÙÔ Áη˙fiÓ 3=6 Ù˘ Ï·Ù›·˜ ÎÔ˘Ú‡ÙËΠ̤¯ÚÈ Î·È ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜; 1Ë Ë̤ڷ 1 3 2=6

§‡ÛË

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÔÈfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ Ï·Ù›·˜ Ô˘ ÎÔ˘Ú‡ÙËÎÂ, ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ë̤ڷ˜, ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ·Ú¿ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ AÏÏ¿, ÁÈ· Ó· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ú¤ÂÈ Ó· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·. ÕÚ·, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

1 1 2 Î·È ÙÔ 3 .

ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ٷ ‰‡Ô

1 1 3 2 5 2 + 3 = 6 + 6 = 6 . °È· Ó· ‚Úԇ̠ÔÈÔ

ÎÏ¿ÛÌ· Ù˘ Ï·Ù›·˜ ¤¯ÂÈ ·ÔÌ›ÓÂÈ ÁÈ· ÎÔ‡ÚÂÌ·, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ·fi ÙÔ fiÏÔ Ì¤ÚÔ˜,‰ËÏ·‰‹:

6 5 1 6 – 6 = 6

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) (Â)

2.

5 2 + , (‚) 3 3

11 2 + , (Á) 13 13

4 2 8 2 + (‰) + , 9 3 12 3

17 3 15 5 + , (ÛÙ) + , Î·È ·ÏÔÔ›ËÛ ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ·. 20 15 12 4

¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜ Î·È Ó· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·, fiÔ˘ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁˆÁÔ ÎÏ¿ÛÌ·: (·)

3 1 8 3 10 3 4 2 7 5 3 3 – , (‚) – , (Á) – ,(‰) – , (Â) – , (ÛÙ) – . 2 2 9 9 8 4 9 27 3 8 7 11 5 , (‚) 4 1 , (Á) 2 1 8 10 9

3.

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ˘˜ ÌÂÈÎÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) 3

4. 5.

∫¿Ó ٷ ·ÎfiÏÔ˘ı· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÂÈÎÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·)

6.

¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜: (·) 3 – 2 1 , (‚) 4 1 – 2 1 , (Á) 1 2 – 4 . 5 3 2 3 5

7.

5 ¶ÔÈÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 3 ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠¿ıÚÔÈÛÌ· ; 9 8

8.

2 1 ŒÓ·˜ ·ÁÚfiÙ˘ Ô‡ÏËÛ Û ٤ÛÛÂÚȘ ÂÌfiÚÔ˘˜ Ù· 2 , , Î·È 1 Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ 5 15 3 10 ÙÔ˘. ¶ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ¤ÌÂÈÓ ·Ô‡ÏËÙÔ;

15 5 38 , (‚) , (Á) . 4 2 12

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·: (·) 3 +2, (‚) 12 +1, (Á) 16 + 3 +5. 8 15 20 10


∫ ∂ º . 2 - A § ° .(33-54)

05-03-10

15:03

™ÂÏ›‰·47

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

9.

- 47 -

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™Δ√ §∞£√™ 4 5

(·)

+

(‚)

1 3

+ 4 = 20

(ÛÙ)

(Á)

1 5

+ 1 = 13 6

(˙)

(‰)

8 5

=1+3

3

=

7 5

=1

2 5

™ø™Δ√ §∞£√™

3 5

1 5

(Â)

12

+

3+5 5 8–3 8

2 3

=

3 8

= 3 +1 5

=1 – 3 8

5

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∂™ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ

1.

AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ Û οı ÚfiÛıÂÛË ÙÔ ÛˆÛÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·:

8+4 10 10 5+4 9 9 45 + 15 90 90 16 + 8 12 12

2 3

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

2 6 5 5 5

+

5 7

3 2 1

3 5

5 7 3 2 1 3 5

¡√Δ∂™ ∫∞π ∫§∞™ª∞Δ∞ ∞Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÓıÚˆ›ÓˆÓ ÔÏÈÙÈÛÌÒÓ Â›Ó·È Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Î·È ÌÔ˘ÛÈ΋˜ ¤ÎÊÚ·Û˘. ñ √ ¿ÓıÚˆÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÔ˘ÛÈ΋, ‹‰Ë, ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔ˚ÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Û¯ÂÙÈÎfi ‡ÚËÌ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ ËÏÈΛ· 35.000 ¯ÚfiÓˆÓ, Â›Ó·È ÔÛÙ¿ ·fi Ì·ÌÔ‡ı Ù· ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·ÁˆÁ‹ Ú˘ıÌÈÎÒÓ ‹¯ˆÓ. ñ √È ÌÂϤÙ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰Â›ÍÂÈ, fiÙÈ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ ·fi Ù· ÚÒÙ· ÙÔ˘ ‚‹Ì·Ù·. ¢È·ÈÛÙÒıËΠfiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ÚÒÈÌË ÈηÓfiÙËÙ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· Ù˘ ηٿÙÌËÛ˘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› Ë ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ Î·È ¯ÚÔÓÈÎÒÓ ÛÙÈÁÌÒÓ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ¯ˆÚ›˜, ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡. ∂Í¿ÏÏÔ˘ Ë ·Ú›ıÌËÛË Â›Ó·È ÌÈ· ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ·, ¤Ó· ηıÔÏÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡. ∏ Û˘Ó¿ÓÙËÛË Ù˘ ªÔ˘ÛÈ΋˜ Ì ٷ ª·ıËÌ·ÙÈο Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Ì¤Û· ·fi ÙËÓ ·›ÛıËÛË, Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ Î·È ÂÓÙÔ›˙ÂÙ·È Û ‰‡Ô ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ¿ÍÔÓ˜ οı ÌÔ˘ÛÈ΋˜ ¤ÎÊÚ·Û˘, ÙÔ ƒ˘ıÌfi Î·È ÙËÓ ∞ÚÌÔÓ›·. √ ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· Ó· ÂÓÙÔ›˙ÂÈ Î·È Ó· ·ÔÌÔÓÒÓÂÈ ÙȘ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜. ΔÔ ‰È¿ÛÙËÌ· Ô˘ ÌÂÛÔÏ·‚› ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÛÙÈÁÌÒÓ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙËÓ ·›ÛıËÛË Ù˘ ‰È¿ÚÎÂÈ·˜. √ ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ·fi Ù· ÁÂÁÔÓfiÙ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ¤Ó· ˘ÎÓfi Û‡ÓÔÏÔ ·fi ÛÙÈÁ̤˜. ŒÙÛÈ, Ô Ú˘ıÌfi˜ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ηٷÁˆÁ‹, ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Û ÛÙÈÁ̤˜ Î·È ÙËÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛË ÙˆÓ ¯ÚÔÓÈÎÒÓ ÛÙÈÁÌÒÓ Ì ÁÂÁÔÓfiÙ·. √ Ú˘ıÌfi˜ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÚÒÙ˜ ÌÔ˘ÛÈΤ˜ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ηٷÎÙ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÚÒÙ˜ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ÂÈÓÔ‹ÛÂȘ. √ Ú˘ıÌfi˜, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È ÙÔ ÚÒÙÔ Â›‰Ô˜ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛÂ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜. ΔÔ ÌÔ˘ÛÈÎfi ̤ÙÚÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÂÓfi˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡ ı¤Ì·ÙÔ˜, ‰ËÏÒÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi. ™‹ÌÂÚ· ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ¤ÓÓÔȘ, ÙÔ˘ Ú˘ıÌÔ‡ Î·È ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ - ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Û˘Ó˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ¢˘ÙÈ΋ ªÔ˘ÛÈ΋. ∞˜ ‰Ô‡Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ™ÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡ ÎÔÌÌ·ÙÈÔ‡. ∏ ¯ÚÔÓÈ΋ ·Í›· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Î·È ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ Â›Ó·È 14 Î·È 12 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÓÒ Î¿ı ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· (ÓfiÙ˜), Ô˘ Â›Ó·È Âӈ̤ӷ ¤¯Ô˘Ó ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ·Í›· 18 . ΔÔ ÎÏ¿ÛÌ· 44 ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ηıÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ οı ̤ÙÚÔ, οı ‰È¿ÛÙËÌ· ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÈ· ÌÔ˘ÛÈ΋ ÊÚ¿ÛË, Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ Û‡Ì‚ÔÏ· (ÓfiÙ˜) Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ·Í›·˜ 44 . ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ 14 + 12 + 18 + 18 = 44 . ªÂ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ - ÎÏ¿ÛÌ· ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ú˘ıÌfi Î·È ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÂÎÙÂÏÂ›Ù·È ¤Ó· ÌÔ˘ÛÈÎfi ÎÔÌÌ¿ÙÈ Û˘Á¯ÚÔÓÈṲ̂ӷ ·fi ÙÔ˘˜ ÌÔ˘ÛÈÎÔ‡˜.

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ 

μÚ˜ ·ÚÙÈÙÔ‡Ú˜ ·fi ÙÚ·ÁÔ‡‰È· Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ Î·È ÁÚ¿„ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·,Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÙÚ·ÁÔ˘‰ÈÒÓ ·˘ÙÒÓ.



∞Ó·˙‹ÙËÛÂ Î·È ‚Ú˜ ÔÚÈṲ̂ӷ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙÚ·ÁÔ‡‰È· Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ Û˘Û¯ÂÙ›ÛÂȘ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔ˘˜ Ú˘ıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜, Ì ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ÂοÛÙÔÙÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ Ú˘ıÌÔ‡.


∫ ∂ º . 2 - A § ° .(33-54)

05-03-10

15:05

™ÂÏ›‰·48

- 48 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

A.2.5. ¶ Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì fi ˜ Î Ï · Û Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ ŒÓ·˜ Â˙fi‰ÚÔÌÔ˜ ÛÙÚÒıËΠ̠ϿΘ. Δ· 5 ·fi ÙȘ ϿΘ 7

Â›Ó·È ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¤˜. ∞fi ÙȘ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¤˜ Ù· 2 Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓ˜.

5 7

3

5 7

¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ fiÏÔ˘ ÙÔ˘ Â˙fi‰ÚÔÌÔ˘ Ô˘ ηٷϷ̂¿ÓÔ˘Ó ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ ϿΘ; 2 3

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Î·ÓfiÓ·:

 To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÙÔ

·Á Á · Á = ÎÏ¿ÛÌ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‚‰ ‰ ‚ ‰ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÒÓ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.  To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â› Ï · · Ï ·Ï = ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ Ï = Ï ‚ ‚ ‚ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙ‹ Â› ÙÔÓ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Î·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. 

¢‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ 1. Á ‰ ∂Âȉ‹  =1 Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Á Î·È ‰ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ‰ Á ‰ Á

15 3 5 35  7 4 = 74 = 28

7

73 21 3 = 5 = 5 5

75 35 7 5  = 1 57 = 35 = 5 7

 IÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÛÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ:

3  70  8 7 6 5

§‡ÛË 3560 3708 3 70 8 1680   = = = = 8 730 210 765 7 6 5 ªÔÚ› Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ì ÈÔ ·Ïfi ÙÚfiÔ;

2.

™Â ¤Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô Ì 252 Ì·ıËÙ¤˜, Ù· 5 Â›Ó·È ·ÁfiÚÈ·. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛ· ·ÁfiÚÈ· Î·È fiÛ· 9 ÎÔÚ›ÙÛÈ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯ÔÏ›Ô.

§‡ÛË 5 1260 ∞ÊÔ‡ Ù· ·ÁfiÚÈ· Â›Ó·È Ù· 5 ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, ı· ›ӷÈ:  252 = 5  252 = =140. 9 9 9 9 ∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÎÔÚ›ÙÛÈ· ı· ›ӷÈ: 252 – 140 = 112.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:19

™ÂÏ›‰·49

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 49 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

°È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ............................................................ ...............................................................................................................................

(‚) (Á) (‰)

¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ, fiÙ·Ó .............................................................. 1 Î √ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Î Â›Ó·È Ô ....., ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ..... Î·È ÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ..... Î Ï ªfiÓÔ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ..... ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi ÙÔ˘.

2.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 3  3 , (‚) 7  10 , (Á) 4  2, (‰) 5  10. 4 14 2 100

3.

µÚ˜ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 2  7 , (‚) 8  100 , (Á) 4  5 , (‰) 3  2 . 5 8 10 5 9 9 2 15

4.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·:

5 7

ñ

3 2

1

3 4

7 5 2 3

1 4 3

5.

YÔÏfiÁÈÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 2 1  3 , (‚) 4 1  2 1 , (Á) 3 1  10, (‰) 1 2  3 . 3 21 5 2 8 3 2

6.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: (·) 4 , (‚) 72, (Á) 5 , (‰) 1 , (Â) 739 , (ÛÙ) 1. 7 8 3 8

7.

√ ∫ÒÛÙ·˜ ‹È ٷ 2 ·fi ¤Ó· ÌÔ˘Î¿ÏÈ, Ô˘ ÂÚÈ›¯Â ·Ó·„˘ÎÙÈÎfi fiÁÎÔ˘ 1 1 ÙÔ˘ 3 2 Ï›ÙÚÔ˘. ¶fiÛ· Ï›ÙÚ· ·Ó·„˘ÎÙÈÎÔ‡ ‹ÈÂ;

8.

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ÂÍ·ÁfiÌÂÓ· ÙˆÓ ڿ͈Ó: (·) 6 + 3  1 , (‚) 6 + 3  1 , (Á) 6 – 3  1 5 5 4 5 5 4 5 5 4

9.

ŸÌÔÈ·: (·) 7 + 2  3 , (‚) 7 – 2  3 , 3 15 8 3 15 8











(Á) 7 – 2  3 . 3 15 8








∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:19

™ÂÏ›‰·50

- 50 -

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

∞.2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË.

·:‚=· 

1 5 5 : 4 =5  4 = 4

1 · = ‚ ‚

 °È·

Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÚΛ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË.

7 5 7  4 74 28 : = = = 3 4 3 5 35 15

· Á · ‰ : =  ‚ ‰ ‚ Á

MÂÙ·ÙÚÔ‹ Û‡ÓıÂÙÔ˘ ÛÂ ·Ïfi 

ŒÓ· ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤Ó·˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·.

· ‚ ·‰ = Á ‚Á ⎯ ‰

7 ⎯

3 5 ⎯ 4

‰ÈfiÙÈ

=

7  4 28 = 3  5 15

=

7 5 7 4 28 : =  = 3 4 3 5 15

7 ⎯ 3 5 ⎯ 4

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

2 7 ⎯ 4 3 10 ¡· Á›ÓÔ˘Ó ·Ï¿ Ù· Û‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: (·) , (‚) , (Á) . 9 10 5 ⎯ ⎯ 8 9 ⎯

§‡ÛË

2 ⎯

29 3 (·) = = 10 310 ⎯ 9

2.

4

8

8

3 1 ⎯ +⎯ 10 2 ¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: 4 4 ⎯–⎯ 3 6

§‡ÛË 3 10 4 – ⎯ 3

3 5 1 8 ⎯+⎯ ⎯ 2 10 10 10 = 8 = 4 = 4 4 ⎯ ⎯– ⎯ ⎯ 6 6 6 6

⎯+⎯

7

7

⎯ ⎯ 4 ⎯ 48 32 233 3 71 5 7 1 10 10 = 5 , (‚) 9 = = 19 = =3 , (Á) = 5 = = 9 5 9 50 325 105 9 ⎯ ⎯ ⎯

86 48 6 1 = = = 1 410 40 5 5

1


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:20

™ÂÏ›‰·51

ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 51 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ......................................................................... ............................................................................................................................... (‚) ™‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ϤÁÂÙ·È ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ .................................................. ...............................................................................................................................

2. 3.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 3 : 1 , (‚) 1 : 1 , (Á) 10 : 1 , (‰) 7 : 21 . 4 2 3 3 100 5 3 27 ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ëϛη: (·) 2 : 1 , (‚) 5 : 1, (Á) 2 1 : 4, (‰) 4 1 : 3 1 . 3 8 2 10 3

4.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 1 : 1 2 3 ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

5. 6.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: (·) 1 :  1 : 1  Î·È (‚)  1 : 1  : 1 . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; 8 3 2 8 3 2 4 1 5 ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·: 1

(‚) 1 : 1 , 3 2

:

7

(Á) 20 : 10 6

(‰) 10 : 20 . 6

3

2

5 7 1 2

1 4 3

7.

8. 9.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ Û οı ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ ÛˆÛÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·:

3 8 ¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂȘ Ù· Û‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ·Ï¿: (·) 4 , ⎯ 5 ⎯

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ·ÏÔÔ›ËÛ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 3 5 (·) 2 ⎯+ 3

3 : 4 10 10

5 4

5 : 4 9 9

6

45 : 15 90 9

3 4

16 : 8 3 9

3 10

15 ⎯ 3 (‚) , 4

(Á) 20 . 5 4

4 2 2 4 1 ⎯⎯ ⎯:⎯ 5 7 8 3 3 , (‚) , (Á) 4 2 3 1 ⎯ ⎯⎯ ⎯ : 2 8 6 5 11

⎯+⎯

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ™ÙÔÓ ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ ƒÈÓÙ, ‚ڋηÌ ˆ˜ ÔÈ ∞Ú¯·›ÔÈ ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ ˘ÔÏfiÁÈ˙·Ó Ù· 23 ÂÓfi˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ 1 Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ¤Ó·Ó ÂÚÈÙÙfi ·ÚÈıÌfi. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· 23 ÙÔ˘ 17

1 1 1 1 ı· ›ӷÈ: 23  17 = + = 14 + 42 2 7 6 7

1 ∂Ê¿ÚÌÔÛ ÙÔÓ ·Ú·¿Óˆ ηÓfiÓ· ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 15 , 19 , 13 Î·È Â·Ï‹ı¢Û ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:20

™ÂÏ›‰·52

- 52 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

π™∆√ƒπ∫√ ™∏ª∂πøª∞ ™Â ·Ú¯·›· ‚·‚˘ÏˆÓȷο Ì·ıËÌ·ÙÈο ΛÌÂÓ· Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔ 2100 .Ã. ÂÚ›Ô˘, Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÂÍËÎÔÓÙ·‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ 60, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ˘‹Ú¯·Ó ÂȉÈο ÛÊËÓÔÂȉ‹ ۇ̂ÔÏ·. √È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ Â›¯·Ó Â›Û˘ ÂȉÈο ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

√È ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ, Â›Û˘, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ‹ ·ÈÁ˘Ùȷο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙË ÌÔÓ¿‰· (ÎÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÛÙË ‰È΋ Ì·˜ ÔÚÔÏÔÁ›·). ŒÓ· ıÂÌÂÏÈ҉˜ ÎÏ¿ÛÌ· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔÓ ·Ú·ÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ˘, ¿Óˆ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ‰È·ÎÚÈÙÈÎfi ÛËÌ›Ô, .¯. ÙÔ 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ 5 5

ŸÌˆ˜ ›¯·Ó ÂȉÈÎfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

∞˘Ù‹ Ë È‰ÈÔÌÔÚÊ›· ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÚԤϢÛË ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ. ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·˘Ù¿ ¤ÏÎÔ˘Ó ÙËÓ Î·Ù·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘˜ ·fi ¿ÌÂÛ· Ú·ÎÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·, ÂÓÒ Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ú¤ÂÈ Ó· ‹Ù·Ó ÚÔ˚fiÓ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÂÂÍÂÚÁ·Û›·˜. ŸÏ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ·Ó¿ÁÔÓÙ·È Û ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ıÂÌÂÏȈ‰ÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ∏ ·Ó·ÁˆÁ‹ ·˘Ù‹ ÁÈÓfiÙ·Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂȉÈÎÒÓ ÈӿΈÓ. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ›Ó·Î·˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔÓ ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ ƒÈÓÙ (Rhind), Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÙÔ 1650 .Ã.

O ›Ó·Î·˜ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË fiÏˆÓ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2 Ì “Ó” ÂÚÈÙÙfi ·ÚÈıÌfi ·fi Ó 5 ¤ˆ˜ 101. Ó=5

2 = 1 + 1 =3  + 15  5 3 15

Ó=7

2 = 1 + 1 = 4 + 28  7 4 28

Ó=9

2 = 1 + 1 = 6 + 18  9 6 18

Ó=59

2 = 1 + 1 + 1 = 36  + 236  + 531  59 36 236 531

Ó=97

2 = 1 + 1 + 1 = 5 6 + 679  + 776  97 56 679 776


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:20

™ÂÏ›‰·53

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

- 53 -

∞ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔÓ ¿˘ÚÔ Ù˘ ªfiÛ¯·˜, Ô˘ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙ· 1850 .Ã., ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È Ú¿ÍÂȘ Ì ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· “ÙÔ 1 ÙÔ˘ 6 Â›Ó·È 2”, Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ‰Â‰Ô̤Ó˘ ÎfiÏÔ˘Ú˘ ˘Ú·Ì›‰·˜. 3

√È ŒÏÏËÓ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ‰ÂÓ ·Ó¤Ù˘Í·Ó Î¿ÔÈÔ Ó¤Ô Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ Î·È Ù· ÂÍËÎÔÓÙ·‰Èο ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ, Û ˘ÔÏÔÁÈÛÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›·. ™ÙÔ˘˜ “¿‚·Î˜” ÙˆÓ ƒˆÌ·›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ (Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ·ÚÈıÌËÙ¿ÚÈ· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ ÙÔ˘ ‰ËÌÔÙÈÎÔ‡), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÂȉÈ΋ ÛÙ‹ÏË ÁÈ· Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· 1 , 1 Î·È 1 . 2

3

4

OÈ πÓ‰Ô› Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›, Â›Û˘, ÁÓÒÚÈ˙·Ó Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘˜ ·fi Ôχ ·ÏÈ¿. ™Ù· ¤ÚÁ· “™Ô˘Ï‚·ÛÔ‡ÙÚ·”, ÌÂÚÈο ·fi Ù· ÔÔ›· ·Ó¿ÁÔÓÙ·È ÛÙÔ 500 .Ã. ‹ Î·È ·Ï·ÈfiÙÂÚ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÛÙÔÓ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi fiÁÎˆÓ ‹ ÂÌ‚·‰ÒÓ. ∞ÏÏ¿ , fiÙ·Ó ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ·Ó ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi πÓ‰Ô-∞Ú·‚ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Î·È ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÌÔÚÊ‹ Ôχ ÎÔÓÙÈÓ‹ ÛÙË ‰È΋ Ì·˜. ŒÁÚ·Ê·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌËÙ‹ ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ·ÏÏ¿, ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 ·ÓÙ› 5 . ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ͯÒÚÈ˙·Ó ÙÔ ¤Ó· ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙȘ Î·È Î¿ıÂÙ˜ ÁÚ·Ì̤˜. 6

6

ŒÙÛÈ, .¯. ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 3 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó 5

 35 .

H ÚfiÛıÂÛË Û˘Ì‚ÔÏÈ˙fiÙ·Ó Ì ÙËÓ ·Ú¿ıÂÛË ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ ¤Ó· ‰›Ï· ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. °È· ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ì›· ÙÂÏ›· ‹ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “+” ÛÙ· ‰ÂÍÈ¿, 2  9 .¯. Ë ¤ÎÊÚ·ÛË 9 – 2 – 1 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó: 12 15 1+5 . 12 15 5

   

3 1 ™Ù· ÌÂÈÎÙ¿ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· .¯. 3 , ÙÔ ·Î¤Ú·ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÁÚ·ÊfiÙ·Ó ¿Óˆ ·fi ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·: 14 . 4

  

T· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÛÙÔ˘˜ ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜ ÂÌÊ·Ó›ÛÙËÎ·Ó Û¯Â‰fiÓ Ì·˙› Ì ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆· ÚÒÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó, ‹Ù·Ó ÙÔ 1 , 1 Î·È 2 . 2

3

3

™ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÛÙÔ˘˜ ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜, Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ Ï·Ô‡˜, ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â Ù›ÔÙ· ÙÔ ·Û˘Ó‹ıÈÛÙÔ. ◊‰Ë ÙÔÓ 2Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ÔÈ ∫ÈÓ¤˙ÔÈ Â›¯·Ó ÂÂÍÂÚÁ·ÛÙ›, Â·ÚÎÒ˜, fiϘ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ì ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ∆ÔÓ 3Ô ·ÈÒÓ· Ì.Ã. ÔÈ ∫ÈÓ¤˙ÔÈ, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó, ‹‰Ë, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·, ¿Ú¯ÈÛ·Ó ÛÙËÓ Ô˘Û›·, Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÌÂÙÚÔÏÔÁÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ∆· ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ¶¤ÚÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ∞Ï-∫·Û›, Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÚÁ·˙fiÙ·Ó ÛÙÔ ∞ÛÙÂÚÔÛÎÔÂ›Ô Ù˘ ™·Ì·ÚοӉ˘. ∞Ó Î·È ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ, ˘‹ÚÍ·Ó ÚÔÛ¿ıÂȘ ÛÙÔÓ ∞Ú·‚ÈÎfi ÎfiÛÌÔ Ó· ÂÈÛ·¯ıÔ‡Ó Ù· ‰Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÚÒÙÔ˜ Ô ∞Ï-∫·Û› ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ηÓfiÓ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÌÂÙ·ÙÚÔ‹˜ ÙˆÓ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û ‰Âη‰Èο Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ∏ ›ÛÔ‰Ô˜ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ∂˘Úˆ·˚ο Ì·ıËÌ·ÙÈο ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔÓ §ÂÔÓ¿Ú‰Ô Ù˘ ¶›˙·˜ (1202), ÂÓÒ ÔÈ fiÚÔÈ “·ÚÈıÌËÙ‹˜” Î·È “·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜” ··ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔÓ ¶Ï·ÓÔ‡‰Ë (Ù¤ÏË 13Ô˘ ·ÈÒÓ·).


∫∂º.2-A§°.(33-54)

16-09-08

15:20

™ÂÏ›‰·54

- 54 -

MEƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË Î ∫§∞™ª∞∆∞ Ó , fiÔ˘ Î Î·È Ó Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, Ó≠0 ·

2 10 = 3 15 ÙfiÙÂ: 2  15 = 3  10

Á

ÿÛ· ‹ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: ·Ó ‚ = ‰ ÙfiÙ ·‰=‚Á IÛ¯‡ÂÈ:

·:‰ · · ·Á ‚ = ‚Á Î·È ‚ = ‚:‰

10 : 5 2 10 10 2 25 = 15 : 5 = = = Î·È 3 15 15 3 35 7 12 ·Ó¿ÁˆÁÔ ·ÊÔ‡ ª∫¢(7, 12) = 1

· ‚ ·Ó¿ÁˆÁÔ fiÙ·Ó ª∫¢(·,‚)=1 · Á · Á ÔÌÒÓ˘Ì· ‚ , ‚ ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· ‚ , ‰

2 5

ÂÙÂÚÒÓ˘Ì· 3 , 8

9 5 13 > 13 ·ÊÔ‡ 9 > 5

· Á ‚ > ‚ fiÙ·Ó · > Á

ηÈ

2 5

ÔÌÒÓ˘Ì· 7 , 7

7 28 5 15 7 5 28 15 = = . ∂Âȉ‹ > , ¿Ú· > Î·È 12 48 16 48 12 16 48 48 13 13 < ·ÊÔ‡ 9 > 5 9 5

‚ ‚ · < Á fiÙ·Ó · > Á

4 4 5 4 9 1 5 = 1+ 5 = 5 + 5 = 5

√ ªÂÈÎÙfi˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ Î·È ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜.

· Á · Á ‚ , ‰ Â›Ó·È · Ó Ù › Û Ù Ú Ô Ê · fiÙ·Ó ‚  ‰ =1 ¶Ú¿ÍÂȘ

ÌÂٷ͇

7 10 5  14 =

710 514

70 = 70 =1

ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ

¶ƒ√™£∂™∏

· ‚ ·+‚ Á+Á= Á

7 2 7+2 9 5 + 5 = 5 = 5

ηÈ

7 2 21 8 29 4 + 3 = 12 + 12 = 12

6 2 6–2 4 5 – 5 = 5 = 5

ηÈ

7 2 21 8 13 4 – 3 = 12 – 12 = 12

∞º∞πƒ∂™∏

· ‚ ·–‚ Á–Á= Á ¶√§§∞¶§∞™π∞™ª√™

·Á · Á =  ‚ ‰ ‚‰

ηÈ

Ï· · Ï ‚ = ‚

35 21 73 3 5 15 3 7  4 = 74 = 28 Î·È 7 5 = 5 = 5

¢π∞πƒ∂™∏

· : ‚=·

· 1 = ‚ Î·È ‚

· Á · ‰ ·‰ ‚:‰= ‚ Á = ‚ Á

1 5 5 : 4 = 5 4 = 4 ηÈ

74 28 7 5 7 4 3 : 4 = 3  5 = 35 = 15

ª∂∆∞∆ƒ√¶∏ ™À¡£∂∆√À ™∂ ∞¶§√

· ‚ ·‰ Á = ‚Á ‰

7 3 74 28 5 = 35 = 15 4

σελ. 33 54  

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you