Issuu on Google+

147-168)

1-11-08

18:57

™ÂÏ›‰·147

µ·ÛÈΤ˜ °ÂˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

ª∂ƒ√™ µ 

1.1. ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· – ∂˘ı›· – ∏ÌÈ¢ı›· – E›Â‰Ô – ∏ÌÈÂ›Â‰Ô ñ ñ ñ ñ

™¯Â‰È¿˙ˆ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ˆ Â›‰·, ÛËÌ›·, ¢ı›˜, ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ËÌÈ¢ı›˜ Î·È ËÌÈÂ›‰· ¢È·ÎÚ›Óˆ ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ·Ó¿ÌÂÛ· Û ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Î·È Û ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ‹ ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ· Â›‰·

1.2. °ˆÓ›· – °Ú·ÌÌ‹ – ∂›‰· Û¯‹Ì·Ù· – ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· – ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· ñ ñ ñ ñ

∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ˆ Î·È ‰È·‚¿˙ˆ ÁˆÓ›Â˜ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌÒÓ Î·È ‰È·ÎÚ›Óˆ ÙȘ ΢ÚÙ¤˜ ·fi ÙȘ ÌË Î˘ÚÙ¤˜ ÔÏ˘ÁˆÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ‰È·ÎÚ›Óˆ ÙÔ Î˘ÚÙfi ·fi ÙÔ ÌË Î˘ÚÙfi ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ·Ó Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÙÔ ¤Ó· ¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ

1.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ – ª¤ÛÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÛÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·, ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û¯¤ÛÂȘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ›Û· Ì‹ÎË Î·È Û˘ÁÎÚ›Óˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· Î·È Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ñ ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÌ‹Ì· ‰Ôı¤ÓÙÔ˜ Ì‹ÎÔ˘˜ Ì ·Ú¯‹ ÁÓˆÛÙfi ÛËÌÂ›Ô ¿Óˆ Û ÁÓˆÛÙ‹ ¢ı›· Î·È Ó· ‚Ú›ÛΈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ Ì ¯¿Ú·Î· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÛÔ Î·È ÙÔ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›Ûˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ñ µÚ›ÛΈ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË Û ̋ÎÔ˜ ÁÚ·ÌÌ‹ ·fi fiϘ ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ

1.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ñ ªÔÚÒ Ó· ÚÔÛı¤Ùˆ Î·È Ó· ·Ê·ÈÚÒ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·

1.5. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ – ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÙÚÔ, ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·˘Ùfi ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ «¿ÓÔÈÁÌ·» ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙË ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÁˆÓÈÒÓ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘˜ ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ ÁˆÓ›Â˜ Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ‹ Ì ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Î·È ÁÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ ·Ó Î·È ÌfiÓÔ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ ñ ™¯Â‰È¿˙ˆ ÁˆÓ›Â˜ fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ˘˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙÈ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, fiÙÈ Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ ‰È¯ÔÙfiÌÔ Î·È ÙË Û¯Â‰È¿˙ˆ

1.6. ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ – ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ (ÔÍ›·, ÔÚı‹, ·Ì‚Ï›·) ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ·Ó ÌÈ· ÁˆÓ›· Â›Ó·È ÔÍ›·, ÔÚı‹ ‹ ·Ì‚Ï›· Î·È fiÙ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¿ÁÂÙ·È Ì›· Î·È ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË Û ̛· ¢ı›· Î·È ÙËÓ ¯·Ú¿ÛÛˆ Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ‹ ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·

1.7. ∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ – ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ‹ Î·È ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ÁˆÓÈÒÓ

1.8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ – ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È fiÙÂ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ, fiÙ·Ó ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ, fiÙ·Ó ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÙË ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Î·È ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, fiÙÈ ÔÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

1.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È fiÙÈ ·Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ̛· ÙÚ›ÙË, ÙfiÙ ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È Ì›· Î·È ÌfiÓÔ Ì›· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Î·È ÙË ¯·Ú¿ÛÛˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌÔÓ›Ô˘ ‹ ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·

1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· – ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· Î·È ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· Î·È ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Î·È ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· Î·È ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î·

1.11. ∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È ÙÔÓ Û¯Â‰È¿˙ˆ ñ ¢È·ÎÚ›Óˆ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ·fi ÙÔÓ Î˘ÎÏÈÎfi ‰›ÛÎÔ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘

1.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· – ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ – ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ˆ˜ ̤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È fiÙÈ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ Î‡ÎÏÔ (‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜), ›Û˜ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚·›ÓÔ˘Ó Û ›Û· ÙfiÍ· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ñ ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ, Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË, ÁˆÓ›· ›ÛË Ì ‰Â‰Ô̤ÓË Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ Ì ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È: (·) ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ Î·È Ë ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· Î·È (‚) Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜

1.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘

∂À∫§∂π¢∏™

( ·ÎÌ·ÛÂ ÂÚÈÔ˘ ÙÔ 3 0 0 ¶ . Ã . )

ñ ¢È·ÎÚ›Óˆ ·Ó Ì›· ¢ı›· Â›Ó·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ‹ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È Û¯Â‰È¿˙ˆ ÙËÓ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘

1o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


147-168)

16-09-08

16:35

™ÂÏ›‰·148

- 148 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.1. ™ Ë Ì Â › Ô - ∂ ˘ ı ‡ Á Ú · Ì Ì Ô Ù Ì ‹ Ì · - ∂ ˘ ı  › · - ∏ Ì È Â ˘ ı  › · ∂›Â‰Ô - ∏ÌÈÂ›Â‰Ô ™ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Ì¿ı·Ì ÙȘ ‚·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ fiˆ˜ ÛËÌ›Ô, ¢ı›·, Â›Â‰Ô Î·È ÁÓˆÚ›Û·Ì ٷ ·Ï¿ ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· fiˆ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È Î‡ÎÏÔ˜. ∆ÒÚ·, ·ÊÔ‡ Í·Ó·ı˘ÌËıԇ̠·˘Ù¤˜ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ Î·È Ù· Û¯‹Ì·Ù·, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙÔ˘˜ ÛÙÔȯ›·, Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì Û ÈÔ Û‡ÓıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù·. ŒÙÛÈ ı· ·Û΋ÛÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÙËÓ ·Ú·ÙËÚËÙÈÎfiÙËÙ¿ Ì·˜, ı· ‚ÂÏÙÈÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÏË„Ë Î·È ı· ÔÚÁ·ÓÒÛÔ˘Ì ηχÙÂÚ· ÙȘ ÛΤ„ÂȘ. ∞˜ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 1Ë ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ÙÂÓو̤Ó˘ ÎψÛÙ‹˜; ∆Ô Û¯‹Ì· Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÈÔ Î¿Ùˆ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÌÂÚÈο ÛËÌ›· ÙÔ ¤Ó· ‰›Ï· ÛÙÔ ¿ÏÏÔ.

µ

➣ ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔ ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂȘ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ; ∫È ·Ó fi¯È, ÁÈ·Ù›;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 2Ë ¢›ÓÔÓÙ·È ÙÚ›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ŒÓˆÛ¤ Ù· Ì ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ·Ó¿ ‰‡Ô, Î·È ‰ÒÛ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È.

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ∞ 1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË:

2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: µ

µ

°

°

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞

 H ¿ÎÚË ÙÔ˘ ÌÔÏ˘‚ÈÔ‡ Ì·˜, ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÂÓfi˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ë Ì‡ÙË ÌÈ·˜ ‚ÂÏfiÓ·˜, Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ.

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ª›· ÙÂÓو̤ÓË ÎψÛÙ‹ Ì ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÌÈ· ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.



∆· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.



§¤Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ



∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ¯¿Ú·Î· (“ηÓfiÓ·”).

µ



µ


147-168)

16-09-08

16:35

™ÂÏ›‰·149

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 149 -

∏ ¢ı›·

µ Â



∂¿Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ÙfiÙ ÙÔ Ó¤Ô Û¯‹Ì·, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ô‡Ù ·Ú¯‹ Ô‡Ù ٤ÏÔ˜, ϤÁÂÙ·È Â˘ı›·.



™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ÁÚ¿ÌÌ· ·fi Ù· ·Ú¯Èο ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, .¯. (Â), ‹ Ì ‰‡Ô ÌÈÎÚ¿ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ·fi Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ .¯. xxx, yyy. ∞

µ x

x

 

Afi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜.

Afi ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ Â˘ı›·.

µ

° ¢

∏ ËÌÈ¢ı›· 



∂¿Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi ÙÔ ¤Ó· ÌfiÓÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘, .¯. ÙÔ µ, ÙfiÙ ÙÔ Ó¤Ô Û¯‹Ì·, Ô˘ ¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙÔ ∞ ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ù¤ÏÔ˜, ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¢ı›· . ∏ ËÌÈ¢ı›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÂÊ·Ï·›Ô ÁÚ¿ÌÌ· Ô˘ ‰ËÏÒÓÂÈ ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ Î·È ¤Ó· ÌÈÎÚfi ·fi Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù·, .¯. ∞x, By Î.Ï..



∂¿Ó √ Â›Ó·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ xxx, ÙfiÙ Ì ·Ú¯‹ ÙÔ √ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √x, ÔÈ Ôԛ˜ ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

µ

x

x

y

µ

x

O

x


147-168)

16-09-08

16:35

™ÂÏ›‰·150

- 150 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A 3Ë Œ¯ÂȘ ·ÎÔ‡ÛÂÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜: “™ÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ· Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ¯¿ÓÂÙ·È Ô ‰ÚfiÌÔ˜”. “√È ¯ÒÚ˜ Ù˘ ¢‡Û˘ ¤¯Ô˘Ó ˘„ËÏfi Â›Â‰Ô ·Ó¿Ù˘Í˘”. “∏ Â›Â‰Ë ÔıfiÓË Â›Ó·È Î·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ Î˘ÚÙ‹”. “√È Û¯¤ÛÂȘ ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ηÏfi Â›‰Ԕ. “∏ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ‰¿ÊÔ˘˜ ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ·˘Ù‹ Â›Ó·È Â›‰˔.

∞ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔÓ ˘ÏÈÎfi ÎfiÛÌÔ, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Á‡Úˆ Ì·˜, ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÂȘ Î·È Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÂȘ ÔÏϤ˜ Â›‰˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ. ∆Ô˘˜ ÙÔ›¯Ô˘˜ Ù˘ Ù¿Í˘, ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘, ¤Ó· ο‰ÚÔ, ÙËÓ ›ÛÙ· ÚÔÛÁ›ˆÛ˘, ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ‹ÚÂÌÔ˘ ÓÂÚÔ‡, ÙÔÓ ÈÛËÌÂÚÈÓfi Ù˘ °Ë˜.

¶ÔÈÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÒÛÂȘ Û ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì To Â›Â‰Ô 

Â

∂›Â‰Ô Â›Ó·È ÌÈ· ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÈ ·ÓÙÔ‡ Ë Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹. ¶

 ŒÓ· Â›Â‰Ô ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. µ

 ∞fi ÙÚ›· ÌË Û˘Ó¢ıÂȷο ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi Â›‰Ô, ÂÓÒ ·fi ¤Ó· ‹ ‰‡Ô ÛËÌ›· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ· Â›‰·.

°

¶ Â

 ∫¿ı Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ¯ÒÚÔ Û ‰‡Ô ̤ÚË, ÒÛÙÂ, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÚ¿ÛÔ˘Ì ·fi ÙÔ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ, Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÂÚ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ Â›‰Ô. 

∏ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÎÂÊ·Ï·›Ô ÁÚ¿ÌÌ· ÙÔ˘ ·ÏÊ¿‚ËÙÔ˘ .¯. ¶, ƒ, ™ Î.Ï.

¶2

To ËÌÈÂ›Â‰Ô 

∫¿ı ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂÈ¤‰Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ËÌÈÂ›‰·.

Â

¶1


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·151

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 151 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

A˜ ¿ÚÔ˘Ì ·fi Ù· ÁÓˆÛÙ¿ Ì·˜ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ, Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ·˜ ‰Ô‡ÌÂ, ÔÈ· ÔÓÔÌ·Û›· ¤¯Ô˘Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙ· Û¯‹Ì·Ù· ·˘Ù¿.

§‡ÛË ∞

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ° Î·È °∞ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜, ϤÁÔÓÙ·È Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. µ

∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ì ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ°, °¢, ¢∞ Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜. ∆· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢, Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÌË ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜, ϤÁÔÓÙ·È ‰È·ÁÒÓȘ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘.

2.

°

µ

¢ °

ŒÛÙˆ ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· Û ÌÈ· ¢ı›·. ¶fiÛ˜ ¢ı›˜ ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ ∞; ¶fiÛ˜ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ·˘Ù¤˜ ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ µ; ∆Ô ° Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ ∞µ; °

§‡ÛË ∞fi ÙÔ ∞ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜. ª›· ·fi ·˘Ù¤˜ ÂÚÓ¿ÂÈ Î·È ·fi ÙÔ µ.

‚ ∞

Â

µ

∂Âȉ‹ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ ∞µ.

3.

·

Á

™ÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÔÓÙ·È ¤ÓÙ ÛËÌ›·, Ù· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ÎÚ· Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿. ¶fiÛ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›ӷÈ;

§‡ÛË

∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÂÓfi˜ ·fi Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ÙÔ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ì ٷ ˘fiÏÔÈ· Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›·. ∂ ∂Ô̤ӈ˜: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ∞µ, ∞°, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô µ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: µ∞,

°∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ¢ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ¢∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∂ Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: ∂∞, ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ° Â›Ó·È ¿ÎÚÔ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ:

∞¢, ∞∂ µ°, µ¢, µ∂ °µ, °¢, °∂ ¢µ, ¢°, ¢∂ ∂µ, ∂°, ∂¢

µ

¢

°

™Ù· ·Ú·¿Óˆ, οı ÙÌ‹Ì· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ .¯. ÙÔ ∞B Î·È µ∞, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÎÚ·. ŒÙÛÈ, ÛÙÔ Û¯‹Ì·, ‰ÂÓ Â›Ó·È Â›ÎÔÛÈ (20) ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÙÌ‹Ì·Ù·, ·ÏÏ¿ ‰¤Î· (10) Ù·: ∞µ, ∞°, ∞¢, ∞∂, µ°, µ¢, µ∂, °¢, °∂ Î·È ¢∂.


147-168)

1-11-08

18:58

™ÂÏ›‰·152

- 152 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ª›· ÙÂÓو̤ÓË ÎψÛÙ‹ Ì ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ .................................................................................................... . (‚) ∞Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi Ù· ‰‡Ô ¿ÎÚ· ÙÔ˘, ∞ Î·È µ, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ϤÁÂÙ·È .................................................. . (Á) ∞Ó ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ· ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤Ú· ·fi ÙÔ ¤Ó· ÌfiÓÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘, .¯. ÙÔ µ, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ϤÁÂÙ·È ..................................... . (‰) .............................................. ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ Î·È Ô˘ ÔÈ ‰‡Ô Ì·˙› ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì›· ¢ı›·. (Â) ∏ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·, ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë ·ÂÚÈfiÚÈÛÙË Â˘ı›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÈ ·ÓÙÔ‡ ÔÏfiÎÏËÚË Â›Ó·È ÙÔ ............................................... .

2.

¡· ‰ÒÛÂȘ ‰È΋ ÛÔ˘ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· (·) Ù· ÛËÌ›· Î·È (‚) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ·)

3.

4. 5.

Á)

‚)

¶¿Ú ٷ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫ Ô˘ ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ x ·Ú·¿Óˆ ¢ı›·. ŒÓˆÛ ÙÔ ∫ Ì ٷ ∞, µ, °, ¢ Î·È ÔÓfiÌ·Û fiÏ· Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¶¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· xx ·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. √ÓfiÌ·Û ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¯‹ ÙÔ ∞ Î·È ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¯‹ ÙÔ µ.

x ∞

°

µ

¢

x

x ∞

µ z

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ¯¿Ú·Í ÙȘ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÙˆÓ ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ ∞µx, µ°y Î·È °∞z.

µ x

° y

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1. 2.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ: (·) §ÈÁfiÙÂÚ˜ ‰È·ÁÒÓȘ ·fi Ï¢ڤ˜, (‚) ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Î·È Ï¢ÚÒÓ, (Á) ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ‰È·ÁÒÓȘ ·fi Ï¢ڤ˜. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ¯¿ÚÙË Ê·›ÓÔÓÙ·È ¤ÍÈ (6) fiÏÂȘ Ù˘ ∂ÏÏ¿‰·˜, Ô˘ ‰Â ‚ÚÈÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ ÙÚÂȘ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·: ∞ (∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË), ƒ (ƒfi‰Ô˜), ∏ (∏Ú¿ÎÏÂÈÔ), à (÷ÓÈ¿), ∫ (∫¤Ú΢ڷ) Î·È £ (£ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË). ªÔÚ›˜ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙȘ ·’ ¢ı›·˜ ·ÂÚÔÔÚÈΤ˜ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ ·˘ÙÒÓ; √ÓfiÌ·Û ÙȘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙˆÓ fiψÓ. ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ Ù¤ÙÔȘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó, ‰ÈηÈÔÏÔÁÒÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;

A £

ƒ

Ã

H


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·153

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 153 -

µ.1.2. ° ˆ Ó › · - ° Ú · Ì Ì ‹ - ∂  ›   ‰ · Û ¯ ‹ Ì · Ù · - ∂ ˘ ı ‡ Á Ú · Ì Ì · Û ¯ ‹ Ì · Ù · ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë °‡Úˆ Ì·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰È·ÊfiÚˆÓ ÂȉÒÓ ÁˆÓ›Â˜, ÌÂÚÈΤ˜ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÈÎfiÓ˜. ∆È ÎÔÈÓfi ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ¤¯Ô˘Ó;

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙȘ ÂÚÈÁÚ¿„ÂȘ, ¯ˆÚ›˜ Ó· Û ÂËÚ¿˙ÂÈ Ë ˘ÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ˘fiÛÙ·ÛË.

√Ú›˙ÔÓÙ·˜ ÙË ÁˆÓ›· ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ے ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, Ì ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. √È ËÌÈ¢ı›˜ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔ Â›Â‰Ô Û ‰‡Ô ÂÚÈÔ¯¤˜ ¶1 Î·È ¶2. ∫¿ı ̛· ·fi ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·˘Ù¤˜ Ì·˙› Ì ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÓ›·.



∏ “ÌÈÎÚfiÙÂÚË” (¶1) ϤÁÂÙ·È Î˘ÚÙ‹ Î·È Ë ¿ÏÏË (¶2) Ì‹ ΢ÚÙ‹.



∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y ϤÁÔÓÙ·È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.

x

ÏÂ˘Ú¿

∆Ș ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÙȘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ∧ ∧ xO y ‹ yO x (ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ √ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿ÓÙ· ÛÙË Ì¤ÛË) ‹ Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ∧ ˆ ”. ÁÚ¿ÌÌ·, .¯. “ˆ

y

ÎÔÚ˘Ê‹ √



¶1





y ¶2

ˆ

ÏÂ˘Ú¿ x


147-168)

16-07-09

21:15

™ÂÏ›‰·154

- 154 -



ª¤ÚÔ˜ μ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ∧

ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜, ÙȘ ∞ , ÙË μ Î·È ÙË ° .



ŸÙ·Ó ϤÌÂ, .¯. Ë ÁˆÓ›· ∞ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, ÂÓÓÔԇ̠ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ ∞μ, ∞° Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ.



∏ ÁˆÓ›· ∞ ϤÌ fiÙÈ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ Î·È ∞° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.



∞ÎfiÌ· ϤÌ fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ μ° Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÁˆÓ›· ∞ , ∧ ∧ ÂÓÒ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ μ Î·È ° Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ°.



°ˆÓ›Â˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

μ

°

°ˆÓ›Â˜ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ¢

°

ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ ¤¯ÂÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ηıÂÌÈ¿ ÙÔ˘˜ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ. √È ÁˆÓ›Â˜ ·˘Ù¤˜ ∧

Â›Ó·È ÔÈ ¢ ∞μ, ∞μ °, μ °¢ Î·È °¢ ∞, Ô˘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ∧ ∧ ∧ ∧ ·Ï¿ ∞ , μ , ° Î·È ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

∞ μ

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏ΔA 2Ë ∑

¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Î·È ÙÈ Â›‰Ô˘˜ Û¯‹Ì·Ù· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜;

¢ °

μ

∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù·   

ΔÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ Â›Ó·È ÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È fiÏ· ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ù· ¿ÎÚ· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ªÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î˘ÚÙ‹, fiÙ·Ó Ë ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Î¿ı ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ·Ê‹ÓÂÈ fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ Ï¢ڤ˜ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ËÌÈÂ›‰Ô. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÁÂÙ·È ÌË Î˘ÚÙ‹.

TÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ B

∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ Û¯‹Ì· B

°

A

°

A

¢

¢

∫˘ÚÙ‹

∫˘ÚÙfi ∂

£

£ μ

B

∑ °

¢ A

ÌË Î˘ÚÙ‹ ° A

¢ ∏

£

∑ ∂

ÌË Î˘ÚÙfi


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·155

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 155 -

ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· 

¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È ›Û· , ·Ó Û˘Ì›ÙÔ˘Ó , fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÙÔ ¤Ó· Â¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ηٿÏÏËÏÔ ÙÚfiÔ. ™Ù· ›Û· Û¯‹Ì·Ù·, Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜, ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ.



¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, ÁÈ· Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:

¶ÂÚ›ÙˆÛË 1Ë

A

E

B

°

¢

A

A

B

£

∑ B

B

A

c

c

°

¢

Z

°

¢

¶ÂÚ›ÙˆÛË 2Ë

£ ¢

°

¢

µ

°

∞ ¢

∞ ¢

c

c µ

°

µ

°

µ

°

c ∂

™ÙÚ¤ÊÔ˘Ì ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›Û˜. 

° B

[


147-168)

16-07-09

21:17

™ÂÏ›‰·156

- 156 -

ª¤ÚÔ˜ μ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ Ì ÙÚ›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·: ∑ °

∞ μ

°

μ

¢

μ

μ ∞ (·)

¢

∏ (‚)

° (‰)

(Á)

2.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°. (·) ¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ∧ ∞μ Î·È μ°; (‚) ¶ÔÈ· ÏÂ˘Ú¿ Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙË ÁˆÓ›· ° ; (Á) ¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È y ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞°;

3.

¡· ÁÚ·ÌÌÔÛÎÈ¿ÛÂȘ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ÙË ÁˆÓ›· ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó‹ÎÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞.

4.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÚ›ÁˆÓÔ Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ∞ ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ∧ ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿, μ ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ∧ ·¤Ó·ÓÙÈ ÛÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ° ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·. (·) ¶ÔȘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ μ°; (‚) ¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞μ;

5.

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “X” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) (‚)

∂À£À°ƒ∞ªª∞ ∫√ƒÀº∂™ ¶§∂Àƒ∂™ ™Ã∏ª∞Δ∞ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

∞ƒπ£ª√™ ™∏ª∂πø¡ 1

°ø¡π∞

2

Tƒπ°ø¡√

3

Δ∂Δƒ∞¶§∂Àƒ√

4

¶∂¡Δ∞¶§∂Àƒ√

5

x

∞ƒπ£ª√™ √ƒπ∑√ª∂¡ø¡ ∂À£∂πø¡ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ Œ¯ÂȘ ·›ÍÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ TANGRAM; ™¯Â‰›·Û ے ¤Ó· ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Û¯‹Ì· Ì ÏÂ˘Ú¿ 10 cm Î·È ÌÂÙ¿ Îfi„ ٷ ÔÎÙÒ ÎÔÌÌ¿ÙÈ·. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÊÙÈ¿ÍÂȘ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ηٿÏÏËÏ· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·’ ·˘Ù¿.


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·157

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 157 -

µ.1.3. ª ¤ Ù Ú Ë Û Ë , Û ‡ Á Î Ú È Û Ë Î · È È Û fi Ù Ë Ù ·  ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì ˆ Ó Ù Ì Ë Ì ¿ Ù ˆ Ó - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ - ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ›‰·Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ‰‡Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. To ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ Û¯‹Ì·, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚËı›, Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Î·È ·ÔÙÂÏ› ‚·ÛÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ∆È Â›Ó·È fï˜ ̤ÙÚËÛË Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜ Ì‹ÎÔ˘˜ ;

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ ∞fi Ù· Ôχ ·ÏÈ¿ ¯ÚfiÓÈ·, ÔÈ ·Ó¿ÁΘ Ù˘ ˙ˆ‹˜, ˘Ô¯Ú¤ˆÛ·Ó ÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ó ‰È¿ÊÔÚ· ÌÂÁ¤ıË. °È· Ó· Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó ÔÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¤ÚÂ ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÛÙ·ıÂÚ¿ ˘ԉ›ÁÌ·Ù·, Ù· ÔÔ›· Ó· ‰È·ı¤ÙÂÈ Ô Î·ı¤Ó·˜ ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛÙÈÁÌ‹ Ù· ¯ÚÂÈ·˙fiÙ·Ó. ∞Ú¯Èο ÛÙË Ì¤ÙÚËÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó Ù· ̤ÏË ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ô ‚ËÌ·ÙÈÛÌfi˜, ÙÔ ‰¿ÎÙ˘ÏÔÈ”, ÔÈ ¿ÓÔÈÁÌ· ÙˆÓ ¯ÂÚÈÒÓ Î·È ÙÔ ‡„Ô˜. ŒÙÛÈ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜, fiˆ˜: ÔÈ “‰ fi‰Â˜”, ÔÈ “ ·Ï¿Ì˜” Î.·. ∞˘Ù‹ ÙËÓ ·ÏÈ¿ Û˘Ó‹ıÂÈ· ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ Î·È “ Û‹ÌÂÚ· ÛÙȘ Úfi¯ÂÈÚ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì·˜: “∆Ô ·ÓÙ·ÏfiÓÈ ı¤ÏÂÈ ‰˘Ô ‰¿ÎÙ˘Ï· Ì¿ÎÚÂÌ·”, “∆Ô ¯ÔÚÙ¿ÚÈ „‹ÏˆÛ ÌÈ· Èı·Ì‹”, “∆Ô ÛοÊÔ˜ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 40 fi‰È·”, “∆· ‰›ÎÙ˘· ¤ÊÙ·Û·Ó ÛÙȘ 50 ÔÚÁȤ˜”, “µ¿Ï ÛÙÔ ÔÙ‹ÚÈ ¤Ó· ‰¿ÎÙ˘ÏÔ ÎÚ·Û›”, “∆Ô ¤Ó·ÏÙÈ ¯Ù˘È¤Ù·È ÛÙ· 11 ‚‹Ì·Ù·”, Î.Ï. √È ÌÔÓ¿‰Â˜ ·˘Ù¤˜, ·Ó Î·È Ôχ ¯Ú‹ÛÈ̘, ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¯¿ÓÔ˘Ó ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘˜ ‰ÈfiÙÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÎÚȂ›˜, ·ÊÔ‡ fiÏÔÈ ÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜, ÙËÓ ›‰È· ·Ï¿ÌË, ÙÔ ›‰ÈÔ ¿¯Ô˜ ‰·ÎÙ‡ÏˆÓ Î·È ÙÔ ›‰ÈÔ ¿ÓÔÈÁÌ· ÛÙÔ ‚‹Ì· ÙÔ˘˜. ŸÛÔ fï˜ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·Ó ÔÈ ·ÓıÚÒÈÓ˜ ÎÔÈӈӛ˜ ÙfiÛÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ÎÚ›‚ÂÈ· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ .¯. ÁÈ· ÙÔ ÎÙ›ÛÈÌÔ ÙˆÓ ÛÈÙÈÒÓ, ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ·Ú‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¤ÚÁˆÓ, ÙËÓ Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ Á˘, Î.Ï. ™ÙËÓ ·Ú¯·›· ∞›Á˘ÙÔ, ÌÂÙ¿ ·fi οı ÏËÌ̇ڷ ÙÔ˘ ¡Â›ÏÔ˘, Ë Ï¿ÛË Î¿Ï˘Ù ٷ Û‡ÓÔÚ· ÙˆÓ ÎÙËÌ¿ÙˆÓ. À‹Ú¯·Ó ÙfiÙ ÂȉÈÎÔ› ˘¿ÏÏËÏÔÈ, ÔÈ “·Ú‰ÔÓ¿Ù˜”, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÂfiÙ¢·Ó ÙËÓ Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÂÎÙ¿ÛˆÓ. ·Ú‰fiÓË”. ™ÙȘ ηٷÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È fiÙÈ ¤Î·Ó·Ó Ì’ ¤Ó· ÂȉÈÎfi Û¯ÔÈÓ› Ì ÎfiÌÔ˘˜, ÙËÓ “· √È ·Ú¯·›ÔÈ ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ, ·fi ÙËÓ ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ‚·ÛÈϤ· ™¤ÛˆÛÙÚË (ηٿ ÙÔÓ ∏Úfi‰ÔÙÔ), ÙËÚÔ‡Û·Ó ÛÙÔȯ›· ̤ÙÚËÛ˘ ÙˆÓ ÂÎÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ηÏÏÈÂÚÁÔ‡Û·Ó ÁÈ· Ó· Ù· Í·Ó·‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÌÂÙ¿ ÙȘ ÂԯȷΤ˜ ÏËÌ̇Ú˜ ÙÔ˘ ¡Â›ÏÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡. ÕÏψÛÙ °Âˆ - ÌÂÙÚ›· ÛËÌ·›ÓÂÈ Ì¤ÙÚËÛË Ù˘ °Ë˜. ∞ÏÏ¿ Î·È ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ˘ԉ›ÁÌ·Ù· ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ Û ÔÏÏ¿ Ú¿ÁÌ·Ù· ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ¯Ú‹Û˘. ŸÙ·Ó ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë ÂÈÎÔÈÓˆÓ›· Ï·ÒÓ Î·È ÎÚ·ÙÒÓ, Ì ٷ Ù·Í›‰È· Î·È ÙÔ ÂÌfiÚÈÔ, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎÂ Ë ·Ó¿ÁÎË Ó· ηıÈÂÚˆıÔ‡Ó ÎÔÈÓ¤˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ÁÈ· ηχÙÂÚË Û˘ÓÓÂÓfiËÛË Î·È ·ÔÊ˘Á‹ Ù˘ Ù·Ï·ÈˆÚ›·˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·ÙÚÔÒÓ ·’ ÙË Ì›· ÌÔÓ¿‰· ÛÙËÓ ¿ÏÏË, fiˆ˜ .¯. ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ∞ı‹Ó· ·fi ÙÔÓ ™fiψӷ.


147-168)

16-09-08

16:36

- 158 -

™ÂÏ›‰·158

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∆Ô 1791, ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ∂·Ó¿ÛÙ·ÛË, Ë °·ÏÏÈ΋ ∞η‰ËÌ›· ·Ó¤ıÂÛ Û ÌÈ· ÔÌ¿‰· ÂÈÛÙËÌfiÓˆÓ, ·’ fiϘ ÙȘ ¯ÒÚ˜ Ù˘ ∂˘ÚÒ˘, Ó· ‚ÚÔ˘Ó ¤Ó· ·Ïfi Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÓ¿‰ˆÓ ̤ÙÚËÛ˘. √È ÌÔÓ¿‰Â˜ Ô˘ ˘ÈÔıÂÙ‹ıËÎ·Ó ÙÂÏÈο ¿ÚıËÎ·Ó ·fi ÙË Ê‡ÛË Î·È ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ηıÈÂÚÒıËΠӷ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰· ÙÔ “̤ÙÚÔ”, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ 1 ·fi Ù· 40.000.000 ›Û· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ô˘ ¯ˆÚ›ÛÙËÎÂ Ô Á‹ÈÓÔ˜ ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓfi˜ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ¶·Ú›ÛÈ. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·. ªÂÙ¿ ·fi ¤Ó· ·ÚÁfi ÍÂΛÓËÌ·, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ηıÈÂÚÒıËÎÂ Î·È ÙÔ 1875 ȉڇıËΠÛÙË ™Â‚Ú (ÛÙÔ ¶·Ú›ÛÈ) ÙÔ ¢ÈÂıÓ¤˜ °Ú·ÊÂ›Ô ª¤ÙÚˆÓ Î·È ™Ù·ıÌÒÓ, fiÔ˘ Ê˘Ï¿¯ÙËÎ·Ó Ù· ηٷÛ΢·Ṳ̂ӷ ·fi Ï·Ù›Ó· ÚfiÙ˘· “̤ÙÚÔ” Î·È “¯ÈÏÈfiÁÚ·ÌÌÔ”. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ‰ÂÓ ˘ÈÔıÂÙ‹ıËΠ·Ì¤Ûˆ˜ ·’ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ï·Ô‡˜, Ô˘ ÚÔÙ›ÌËÛ·Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ‰Èο ÙÔ˘˜ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, fiˆ˜ Ù· ›¯·Ó Û˘ÓËı›ÛÂÈ, ·Ú’ fiÏÔ Ô˘ ‹Ù·Ó ÈÔ ÔχÏÔη. ™ÙË ÓÂÒÙÂÚË ∂ÏÏ¿‰·, ηıÈÂÚÒıËΠ̠ÓfiÌÔ, ÙÔ 1959, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ Ì¤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·. ™ÙËÓ ∞ÁÁÏ›·, ÙËÓ ∞ÌÂÚÈ΋ Î·È Û ÌÂÚÈΤ˜ ·ÎfiÌË ¯ÒÚ˜, ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ̤ÙÚËÛ˘ Â›Ó·È ‰ˆ‰Âη‰ÈÎfi Î·È Ë ‚·ÛÈ΋ ÌÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ Â›Ó·È Ë ˘¿Ú‰· ‹ ÁÈ¿Ú‰· (yd). H 1 ÁÈ¿Ú‰· (yd) ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û 3 fi‰È· (ft), Î·È ÙÔ 1 fi‰È (ft) Û 12 ›ÓÙÛ˜ (in). √È Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È: 1 yd = 3 ft = 36 in 1 yd = 0,9144 m = 91,44 cm 1 ft = 12 in 1 ft = 0,3048 m = 30,48 cm 1 in = 0,0254 m = 2,54 cm ™ÙȘ ›‰È˜ ¯ÒÚ˜ ÁÈ· ̤ÙÚËÛË ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ Ì›ÏÈ, Ô˘ ›ӷÈ: 1 Ì›ÏÈ = 1609 m = 1,609 km ™ÙË Ó·˘ÙÈÏ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÁÈ· ÌÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ, Ô˘ ›ӷÈ: 1 Ó·˘ÙÈÎfi Ì›ÏÈ = 1852 m.

ª¤ÙÚËÛË Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ 

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô‰ËÁËı‹Î·Ì ÛÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÌÔÓ¿‰· Û‡ÁÎÚÈÛ˘. ŒÙÛÈ, οı ۇÁÎÚÈÛË ÂÓfi˜ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÌÔÓ¿‰· ϤÁÂÙ·È Ì¤ÙÚËÛË. ŒÙÛÈ, ÁÈ· ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ:



ªÔÓ¿‰· Ì‹ÎÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ “̤ÙÚÔ” (m)

 °È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠¤Ó· ·ÓÙ›ÁÚ·ÊÔ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË Ì’ ·˘Ùfi, fiˆ˜ ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ.

 ∂¿Ó fï˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘, ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ, ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ¤Ó· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ‹ ÌÈ· ˘ԉȷ›ÚÂÛË ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi. 

°È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ۯÂÙÈο ÌÈÎÚ¿ Ì‹ÎË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, Û˘Ó‹ıˆ˜, ÙÔ 1 ) ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ . ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ¤Ó· ‰¤Î·ÙÔ ( 10


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·159

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 159 -

 °È· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· Ì‹ÎË, fiˆ˜ .¯. ¤Ó·Ó ÙÔ›¯Ô ‹ ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË ÌÂÙÚÔÙ·ÈÓ›·.

 °È· Ôχ ÌÈÎÚ¿ Ì‹ÎË .¯. ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÌÈ·˜ ‚›‰·˜ ‹ ÙÔ ¿¯Ô˜ ÌÈ·˜ Ï·Ì·Ú›Ó·˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ·¯‡ÌÂÙÚÔ ‹ ÙÔ ÌÈÎÚfiÌÂÙÚÔ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. O N O M ∞ ™ π ∞ ª √ ¡ ∞ ¢ ∞ ™ ª ∏ ∫ √ À ™ ™Àªµ√§√ ¶√§§∞¶§∞™π√ ª∂∆ƒ√À

À¶√¢π∞πƒ∂™∂π™ ∆√À ª∂∆ƒ√À

ÃÈÏÈfiÌÂÙÚÔ

∫m

ª∂∆ƒ√

m

¢ÂηÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ·Ï¿ÌË

dm

EηÙÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ fiÓÙÔ˜

cm

ÃÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚÔ ‹ ¯ÈÏÈÔÛÙfi

mm

™Ã∂™∏ ª∂ ∆√ ª∂∆ƒ√

1 ∫m = 1000 m

1 dm = 1 cm = 1 mm =

1 m = 0,1 m 10

1 m = 0,01 m 100

1 1000

m = 0,001 m

H Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: 1m

=

10 dm =

100 cm =

1000 mm

1 dm =

10 cm =

100 mm

1 cm =

10 mm

H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛËÌ›ˆÓ Â›Ó·È ·fi ÙȘ ÈÔ Û˘ÓËıÈṲ̂Ó˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, Ô˘ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÛÙË ˙ˆ‹ .¯. ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Î.Ï. ¶Ò˜ fï˜, ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ Î·È Ò˜ ÙË ÌÂÙÚ¿ÌÂ; ∞

B

3,8



Œ¯Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. ÷ڿ˙Ô˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÙÔ ÌÂÙÚ¿Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ. µÚ›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 3,8 cm.



§¤Ì fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ Â›Ó·È 3,8 cm Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞µ = 3,8 cm.

™˘ÓÂÒ˜:  AfiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ ϤÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ô˘ Ù· ÂÓÒÓÂÈ. ¶Ú¤ÂÈ, fï˜, Ó· ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ì οÙÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi: 

ªÂ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ∞µ ÂÓÓÔԇ̠ٷ˘Ùfi¯ÚÔÓ· ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Ú¿ÁÌ·Ù·: ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ·ÏÏ¿ Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.



°È· Ó· ͯˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, Û˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi (∞µ). ∞ÏÏ¿ ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi, ÁÈ· ·ÏÔ‡ÛÙ¢ÛË, ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·Ï¿: Ì‹ÎÔ˜ ∞µ.


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·160

- 160 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

™˘¯Ó¿ ·Îԇ̠ÙË ÊÚ¿ÛË: “µÚÈÛÎfiÌ·ÛÙ ÛÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜...” Î·È Î·Ù·Ï·‚·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ·¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ·fi Ù· ‰‡Ô ¿ÎÚ·. ∆È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ̤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜; 

ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. ∞

M

B

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ ¡· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢, ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ: (·) Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È (‚) Ì ‰È·‚‹ÙË.

1.

§‡ÛË ∞

B

(·)

ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ∞µ = 3,2 cm. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·  ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Ì ̋ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì 3,2 cm, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì·.

(‚)

∞ÓÔ›ÁÔ˘Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ÒÛÙÂ Ë Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ó· ·ÎÔ˘Ì¿ÂÈ ÛÙÔ ∞ Î·È Ë ¿ÏÏË ÛÙÔ µ. ªÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔ˘Ì ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ¿ ÙÔ˘.

3,2 °

¢

3,2

÷ڿ˙Ô˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Â. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙË Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ Â Î·È Ì ÙÔ ¿ÏÏÔ ¿ÎÚÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÁÚ·Ê›‰·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ Â. ∆fiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ.

 B

°

¢

2.

N· ‚ÚÂıÔ‡Ó Î·Ù¿ÏÏËÏÔÈ ÙÚfiÔÈ Û‡ÁÎÚÈÛ˘ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ó· ‰È·Ù˘ˆıÔ‡Ó Ù· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·. √ 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜ Â›Ó·È Ó· οÓÔ˘Ì ÙË Ì¤ÙÚËÛË Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË ∞

B

AB = 1,7 cm °

1,7

°

2,4

1,7

AB < °¢

B

1,7

AB = °¢

1,7

AB = 1,7 cm °

¢

°¢ = 1,7 cm

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË ∞

B

AB = 1,7 cm ¢

°¢ = 2,4 cm

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

¢

°¢ = 1,4 cm

1,4

AB > °¢


147-168)

16-09-08

16:36

™ÂÏ›‰·161

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 161 -

√ 2Ô˜ ÙÚfiÔ�� Â›Ó·È Ó· Ù· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ∞ÎÔ˘Ì¿Ì ÙË Ì›· ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË ÛÙÔ ∞ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ÛÙÔ µ. ªÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ¿ ÙÔ˘ Î·È ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ¤Ó· ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ Â› Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ °¢. √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¢ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË. ∆fiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË

µ

°

¢

¢

∆Ô ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ÛËÌ›· ° Î·È ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∞ µ < ° ¢

3.

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË

µ

°

¢ ¢

°

∆Ô ¢ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ Ù· ∞µ Î·È °¢ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞ µ = ° ¢

µ

¢ ¢

∆Ô ¢ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ ¢.

∆fiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ∞µ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∞ µ > ° ¢

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ Ì¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.

§‡ÛË ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ∞µ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È: ∞ª = 3,8 : 2 = 1,9 cm . ∞ÏÏ¿ ÙfiÙÂ Î·È ªµ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. ¢ËÏ·‰‹: ∞ª = ªµ.



ª

3, 8 :2=1,9

B

3, 8

√ÔÈÔ‰‹ÔÙ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ¤¯ÂÈ ¿ÓÙ· ¤Ó· ̤ÛÔ ª, Ô˘ Â›Ó·È Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎfi.


147-168)

16-09-08

- 162 -

16:36

™ÂÏ›‰·162

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ϤÁÂÙ·È ............................................... ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ. (‚)

ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ª Ô˘ ............. .............. ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.

2.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ❑ ÕÂÈÚ˜ ¢ı›˜, ❑ ª›· ÌfiÓÔ Â˘ı›·, ❑ ¢‡Ô ÌfiÓÔ Â˘ı›˜.

3.

ŒÓ· ÙfiÈ ‡Ê·ÛÌ· Â›Ó·È 65 m. ¶Ô˘Ï‹ıËÎ·Ó ÎÔÌÌ¿ÙÈ· Ì ̋ÎË: 3,5 m, 25 cm, 7,95 m Î·È 3,74 m. ¶fiÛ· ̤ÙÚ· ‡Ê·ÛÌ· ¤ÌÂÈÓ ÛÙÔ ÙfiÈ;

4.

∆Ô ÂÌÔÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ fiÏ˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙȘ Ô‰Ô‡˜ πÔÎÚ¿ÙÔ˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 319m, ∫ÏÂÈÛı¤ÓÔ˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 271m Î·È ¶ÂÚÈÎÏ¤Ô˘˜, Ì‹ÎÔ˘˜ 205m. ¶fiÛ· ‚‹Ì·Ù· ı· οÓÂÈ ¤Ó·˜ Â˙fi˜ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È ÂÚÈÌÂÙÚÈο ÛÙÔ ÂÌÔÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÙÔ Î¿ı ÙÔ˘ ‚‹Ì· Â›Ó·È 75cm.

5.

ŒÓ·˜ ·ÁÚfiÙ˘ ı¤ÏÂÈ Ó· ÂÚÈÊÚ¿ÍÂÈ ¤Ó·Ó ·ÁÚfi Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÏÂ˘Ú¿˜ 15,3 m. ¢È·ı¤ÙÂÈ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ·, Ì‹ÎÔ˘˜ 60 m 3 dm 18 cm. ¡· ‚ÚÂı›, ·Ó ı· ÙÔ˘ ÊÙ¿ÛÂÈ ÙÔ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· ‹ ·Ó Ú¤ÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Î·È ¿ÏÏÔ.

6.

√ ‰ÈÏ·Ófi˜ ›Ó·Î·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Û m Î·È Û km ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Ï·ÓËÙÒÓ. ¡· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó Ù· ÎÂÓ¿:

7.

8. 9.

∞ÎÙ›Ó· Aºƒ√¢π∆∏ °∏ ∞ƒ∏™ ¢π∞™

ÛÂ m 6.085.000

ÛÂ km 6.378 3.750

71.400.000

√È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ∞µ µ° °¢ ¢∂ ∂∞ ¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ cm 517 1250 ¤ÓÙ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ dm 7,6 ∞µ°¢∂, ÂÎÊÚ·Ṳ̂ӷ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈm 4,2 0,84 Τ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜. ¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜ Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Û cm, dm Î·È m. ¶¿Ú ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÚ›· ÛËÌ›· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· ·¤¯ÂÈ 2,7 cm ·fi ÙÔ ∞. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ∞x Î·È ∞x. ¡· ‚ÚÂȘ ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x ‰‡Ô ÛËÌ›· µ Î·È °, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞µ = 3 cm Î·È ∞° = 3,8 cm. ∂›Û˘ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Ó· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ∞¢ = 3 cm. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ (·) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢ Î·È (‚) Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ Î·È ∞¢.

10.

™Â Ì›· ¢ı›· Â, ¿Ú ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞µ=2,5 cm, µ°=3 cm Î·È °¢=2,5 cm. EͤٷÛ ·Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢ Â›Ó·È ›Û·.

11.

∆Ô Ì¤ÛÔ √ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ·¤¯ÂÈ 4,2 cm ·fi ÙÔ ¿ÎÚÔ ∞. ¶fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ;

12.

™¯Â‰›·Û ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ. ¡· ‚ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª, ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ·¤¯ÂÈ 3,3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È Ó· ÌË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ Â˘ı›· ∞µ. ¡· ʤÚÂȘ ÙËÓ Â˘ı›·, Ë ÔÔ›· ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ª Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.


147-168)

05-03-10

15:17

™ÂÏ›‰·163

ª¤ÚÔ˜ μ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 163 -

μ.1.4. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë Î · È · Ê · › Ú Â Û Ë Â ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì ˆ Ó Ù Ì Ë Ì ¿ Ù ˆ Ó

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏ΔA ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ∞μ°¢ Î·È ∞∂¢, Ó· ‚ÚÂı› ÔÈ¿ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·fi ÙȘ ‰‡Ô Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚÔ˜ ‰ÚfiÌÔ˜, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ Î·Ó›˜ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ ÛÙËÓ fiÏË ¢ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚ÚÂı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ·˘ÙÒÓ;

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ (·)

(‚)

μ

¢ £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2. ™ÙËÓ Â˘ı›· ∞ Â1 ·›ÚÓÔ˘ÌÂ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË, ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ›Û· Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞μ°¢, ‰ËÏ·‰‹ Ù· ∞μ, μ° Î·È °¢. ™ÙËÓ Â˘ı›· Â2 ° ·›ÚÓÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂ Î·È ∂¢ ›Û· Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞∂¢. ∂ ΔÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË Û˘Ó¤ÓˆÛË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ∞μ°¢ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ·˘Ù‹˜. ŸÌÔÈ· Î·È ÁÈ· ÙËÓ ∞∂¢ . ™˘ÓÂÒ˜, Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ Ù· ·Ú·¿Óˆ Ì‹ÎË, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ∞μ°¢ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞∂¢. °È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂ μ ¢ ° ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ∞ Â1 ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠∞ ∂ ¢Â 2 Û ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â3 ª  ∫ § ÙÌ‹Ì· ∫§, ›ÛÔ Ì ÙÔ 3 ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞¢, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â1 Î·È ÙÌ‹Ì· ∫ª, ›ÛÔ Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞¢, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â2. ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· §ª Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ∞μ°¢ Î·È ∞∂¢.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ™Â Ì›· ¢ı›·  ¤¯Ô˘Ì Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, μ, °, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·: ∞

μ

°



ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞° ϤÁÂÙ·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞μ Î·È μ°, Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∞° = ∞μ + μ°.  ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· μ° Ï¤ÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞° Î·È ∞μ, Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: μ° = ∞° – ∞μ . ∂  H ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ° ·ÔÙÂÏ›ٷÈ.  ΔÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ, Â›Ó·È ¢ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Ì 

Ù· ›‰È· ¿ÎÚ· ∞ Î·È μ. ΔÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ı· ÙÔ Ï¤Ì ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

μ


147-168)

10-09-09

15:20

™ÂÏ›‰·164

- 164 -

ª¤ÚÔ˜ μ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞μ°¢∂ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∑∏, fiˆ˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·.

μ ¢ ∞ ∑

°

∂ ∏

2.

¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜, Ì 2,5 cm. μÚ˜ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· μ°, Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô μ, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ μ∂ Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

3.

ªÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤ÓÙ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·. Δ· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞μ, μ°, °¢, ¢∂ Î·È ∂∑ Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 16 mm, 9 mm, 12 mm, 14 mm Î·È 2 cm. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ∞μ°¢∂∑.

4.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÌÈ·˜ ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ∞μ°¢∂ Ì Ï¢ڤ˜ ∞μ = 0,4 m, μ° = 3 dm, °¢ = 50 cm Î·È ¢∂ = 380 mm.

5.

N· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∫, §, ª Î·È ¡ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ: ∫§ = 6 cm, KM = 16 cm Î·È KN = 20 cm. ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ §ª, §¡ Î·È ª¡.

6.

™Â Ì›· ËÌÈ¢ı›· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ·›ÚÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ∞, μ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞μ = 3 cm, μ¢ = 5,5 cm Î·È ∞° = 4,6 cm. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ: (·) ∞¢, (‚) μ° ,(Á) ∞° + °¢ Î·È (‰) ∞¢–¢μ.

7.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, μ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ: ∞¢ = 6 cm, AB = 1 cm Î·È μ° = 2 cm. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢.

8.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, μ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ μ° Ó· Â›Ó·È Î·Ù¿ 4 cm ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ∞μ Î·È Î·Ù¿ 3 cm ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = 14 cm, Ó· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ μ° Î·È °¢.

9.

¡· ¿ÚÂȘ Û ÌÈ· ¢ı›· Ì ÛÂÈÚ¿ Ù· ÛËÌ›· ∞, μ, ° Î·È ¢ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞μ=2 cm, B°=1 cm Î·È ∞¢=5 cm. ¡· ‚ÚÂȘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ μ¢ Î·È ∞°.

10.

¶¿Ú Û ÌÈ· ¢ı›· Ù· ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, μ, °, ¢ Î·È ∂ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ∞μ=2 cm, A° = 3 cm, °¢ = 1,5 cm Î·È ∞∂ = 6,2 cm. N· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ∞¢ Î·È °∂.

11.

¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ = 4,5 cm. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ∞μ ¿Ú ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ∞∫=3 cm Î·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô §, Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È μ§=3,5 cm. (·) ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∫§, (‚) ™Â ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ó· Â›Ó·È ∫§ = 11 cm; (Á) N· ‰È¢Ú¢ӋÛÂȘ, Û ÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙÔ ∫§ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi 11 cm.

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ °È·Ù› ÙÔ ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ó‡ÛÂÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ ÏÔ›Ô, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ ·fi ÙËÓ ∞ı‹Ó· ÛÙË ™¿ÌÔ;


147-168)

16-09-08

16:37

™ÂÏ›‰·165

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 165 -

µ.1.5. ª ¤ Ù Ú Ë Û Ë , Û ‡ Á Î Ú È Û Ë Î · È È Û fi Ù Ë Ù · Á ˆ Ó È Ò Ó - ¢ È ¯ Ô Ù fi Ì Ô ˜ Á ˆ Ó › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ŒÓ·˜ ·Ù¤Ú·˜ Î·È Ô ÁÈÔ˜ ÙÔ˘ Á˘ÌÓ¿˙ÔÓÙ·È Î·È Î¿ÓÔ˘Ó ÙȘ ›‰È˜ ·Û΋ÛÂȘ. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ Â¿Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù· fi‰È· ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙ¿ÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ›Û˜;

➣ ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘ Û¯ÂÙÈο Ì ÙË Û‡ÁÎÚÈÛË ÙÔ˘ ·ÓÔ›ÁÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ Ô‰ÈÒÓ ÙÔ˘˜.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

H ̤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ.



√ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.



ªÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È Ë ÌÔ›Ú·, Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 1Æ.



= 60  ( ‰  ‡ Ù Â Ú · Ï Â  Ù ¿ ) . ∂›Ó·È: 1Æ = 60 (ÚÒÙ· ÏÂÙ¿) Î·È 1= y

∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: 

∫¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ̤ÙÚÔ Ô˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ “¿ÓÔÈÁÌ·” ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ .



∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›Û˜ .

70Æ x √



™ÙÔ ÂÍ‹˜ Ì xO y ‹ ˆ ı· Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘.

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ H ÌÔ›Ú· ·Ó‹ÎÂÈ Û ÂÍËÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ (Ì ‚¿ÛË ÙÔ 60). ∞˘Ùfi ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·fi ÙÔ˘˜ µ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜, ‰ËÏ·‰‹ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ÚÈÓ ·fi ÙÔ 2100 .Ã. √ ÏfiÁÔ˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÂÈο˙ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Ë ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÂÓÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ·Ú›ıÌËÛ˘, Ô˘ ˘‹Ú¯·Ó ÂΛÓË ÙËÓ ÂÔ¯‹ (Ì ‚¿ÛË ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 12). ÕÏÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ¿Ô„Ë fiÙÈ Ë ‚¿ÛË 60 ηıÈÂÚÒıËΠ·fi ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›· Î·È ¿ÏÏÔÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÂÈÏÂÁ› ÁÈ· ‚¿ÛË Ô ·ÚÈıÌfi˜ 60 ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ÔÏÏÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜. ™ËÌ·Û›· ¤¯ÂÈ fiÙÈ Ì¤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ· ¤¯ÂÈ ÂÈÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ÙÔ ÂÍËÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÁÈ· ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Î.Ï.


147-168)

16-09-08

16:37

™ÂÏ›‰·166

- 166 -

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Á›ÓÂÈ Û‡ÁÎÚÈÛË ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Ì ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›.

§‡ÛË 

∞ÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ∞OB ÛÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›.

µ

µ

c √



c

∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ·ÔÙ‡ˆÌ· ¿Óˆ ÛÙË ÁˆÓ›· §∫ ¡ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ÙÔ √ Ó· Ù·˘ÙÈÛÙ› Ì ÙÔ ∫ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ √∞ Ì ÙË ∫§. ∆fiÙ ̛· ÌfiÓÔ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÌÔÚ› Ó· ÂÌÊ·ÓÈÛÙ›.

1Ë ÂÚ›ÙˆÛË

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË

3Ë ÂÚ›ÙˆÛË

¡

¡

¡

§

§

¡µ

§

¡

µ

µ

¡ ∫ √

§ ∞

∞OB = §KN

2.

∫ √

§ ∞

∞OB < §KN

§ ∞

∫ √

∞OB > §KN

N· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó ÔÈ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞

§‡ÛË To ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ ∞µ = ∞°. ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ∧ ∧ ÛÙË ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ B Î·È ° . µ

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ:



√È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.

‚¿ÛË

°


147-168)

16-09-08

16:37

™ÂÏ›‰·167

ª¤ÚÔ˜ µ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 167 -

y

Ÿˆ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÛËÌ›Ô, ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘, Ô˘ ÙÔ ‰È·ÈÚ› Û ‰‡Ô ›Û· ̤ÚË, ¤ÙÛÈ Î·È Î¿ı ÁˆÓ›· ¤¯ÂÈ Ì›· ËÌÈ¢ı›· ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘, Ô˘ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÂ



ˆ ˆ

‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜

z

¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ËÌÈ¢ı›· Ô˘

x

¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

3.

¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁˆÓ›· xOy. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘.

§‡ÛË 1o˜ ÙÚfiÔ˜: ª Â Ù Ô Ì Ô È Ú Ô Á Ó ˆ Ì fi Ó È Ô ∧

ªÂÙÚ¿Ì ÙË ÁˆÓ›· xOy Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ∧ ˆ. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· √z, ̤۷ ÛÙË ÁˆÓ›·, ∧ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„ÂÈ Ë ÁˆÓ›· xOz, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ›‰È· ∧ ˆ ÎÔÚ˘Ê‹ √, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ √x Î·È Ì¤ÙÚÔ . 2 ∧

ˆ y ∧

ˆ 2

∧ ∧ ˆ ˆ TfiÙÂ Î·È Ë ÁˆÓ›· zOy ı· ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ: ˆ – = 2 2 .



z

x O

ÕÚ· Ë ËÌÈ¢ı›· √z Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜, ‰ÈfiÙÈ ÙË ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

2o˜ ÙÚfiÔ˜: ª  d ›  Ï ˆ Û Ë ¯ · Ú Ù È Ô ‡ ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙË ÁˆÓ›· Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙÈÔ‡ ۯ‰›·Û˘. ∆Ô ‰ÈÏÒÓÔ˘Ì Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÒÛÙÂ Ë Â˘ı›· Ù˘ ÙÛ¿ÎÈÛ˘ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ Ù˘. ∆fiÙÂ Ë Â˘ı›· Ù˘ ÙÛ¿ÎÈÛ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜, ·ÊÔ‡ Ì ÙË ‰›ψÛË Û˘Ó¤ÂÛ·Ó. ÕÚ· Ë Â˘ı›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.

y z

x O


147-168)

16-07-09

21:19

™ÂÏ›‰·168

- 168 -

ª¤ÚÔ˜ μ - KÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

∞fi ÙÈ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜; (ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË). ❑ ∞fi ÙÔ “¿ÓÔÈÁÌ·” ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ ❑ ∞fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ❑ ∫·È ·fi Ù· ‰‡Ô ·Ú·¿Óˆ.

2.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ÁˆÓ›· xO y=76Æ. ¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· √z Ô˘ Ó· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· ∧ xO y Û ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Ë Ì›· Ó· Â›Ó·È 56Æ.

3.

™¯Â‰›·Û ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Ì = 48Æ, Ï =72Æ, Î =17Æ, „ =6Æ, Ú = 90Æ Î·È Ê = 170Æ.

4.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁˆÓÈÒÓ:

·

5.

Â

Ì

Ï

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Ó· ÙȘ ÁÚ¿„ÂȘ ηٿ ÛÂÈÚ¿ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÚÔ˜ ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË. ‚ ‰

Á

6.

ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ (·) ˆ Î·È Ê , (‚) Ê Î·È Ú , (Á) ˆ Î·È Ú , (‰) „ Î·È Î , (Â) „ Î·È Ï , (ÛÙ) „ Î·È Ì , ∧ ∧ (˙) Ú Î·È ı .

Ê

Ú

ı

ˆ

7.

Ï

Ì Î

™¯ËÌ¿ÙÈÛ ÁˆÓ›Â˜ (·) 48Æ, (‚) 72Æ Î·È (Á) 144Æ Î·È Û¯Â‰›·Û ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ·˘ÙÒÓ.

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∂™ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ

1.

™¯Â‰›·Û ÙËÓ ÔÚ›· ÌÈ·˜ ·ÎÙ›Ó·˜ ʈÙfi˜, Ë ÔÔ›· ÚÔÛ›ÙÂÈ Û ηıÚ¤ÙË Î·È ·ÓÙ·Ó·ÎÏ¿Ù·È.

2.

™¯Â‰›·Û ÙË Î›ÓËÛË ÌÈ·˜ Ì¿Ï·˜ ÌÈÏÈ¿Ú‰Ô˘ Ô˘ οÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ Î·È Ù¤ÛÛÂÚȘ ·Ó·ÎÏ¿ÛÂȘ ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÌÈÏÈ¿Ú‰Ô˘.


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·169

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 169 -

µ.1.6. ∂ › ‰ Ë Á ˆ Ó È Ò Ó - ∫ ¿ ı Â Ù Â ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™Â fiÏ· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰È¿ÊÔÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË, οı ÊÔÚ¿, ‰‡Ô ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, fiˆ˜ .¯. Â›Ó·È ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡, Ù· fi‰È· ÙˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ, Ù· ÊÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ·ÂÙÔ‡ Î.Ï. ∏ ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÙÔÔıÂÙ‹ıËÎ·Ó Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ÛΛÙÛ· Â›Ó·È Ù˘¯·›·.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›·;

ªË‰ÂÓÈ΋

OÍ›·

∞Ì‚Ï›·

√Úı‹

∂˘ı›·

ªË ΢ÚÙ‹

¶Ï‹Ú˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ∆Ô Û›ÙÈ Ù˘ ‰ÈÏ·Ó‹˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ηÌÈÓ¿‰Â˜.

¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ‰È·ÊÔÚ¿;

¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙË ÛÙ¤ÁË Î·È ÁÈ·Ù›;

°ÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ¤¯Ô˘Ì οıÂÙ˜ ¢ı›˜, ¯ˆÚ›˜ ··Ú·›ÙËÙ· Ó· Â›Ó·È ·˘Ù¤˜ ÔÚÈ˙fiÓÙȘ Î·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê˜;

•¤ÚÂȘ ÁÈ·Ù› ‰Â ¤ÊÙÂÈ Ô ‡ÚÁÔ˜ Ù˘ ¶›˙·˜;

¶Ò˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ Û ¤Ó· ÙfiÔ;

∫·È Ò˜ ÂϤÁ¯Ô˘Ì fiÙÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô ¤¯ÂÈ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ı¤ÛË;


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·170

- 170

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ  √Úı‹ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 90Æ  √È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜

y

x

O y

 √Í›· ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 90Æ x

O y

 ∞Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 90Æ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 180Æ x

O

 ∂ ˘ ı  › · Á ˆ Ó › · ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 180Æ  √È Ï¢ڤ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜. x

 MË Î˘ÚÙ‹ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÁˆÓ›· Ì ̤ÙÚÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙˆÓ 180Æ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 360Æ

y

O

x

O y

 ªË‰ÂÓÈ΋ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 0Æ y x

 ¶Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 360Æ

O

x y

 ∏ ËÌÈ¢ı›· Ù˘ ÙÂÏÈ΋˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÌÈ·˜ ÌˉÂÓÈ΋˜ Î·È ÌÈ·˜ Ï‹ÚÔ˘˜ ÁˆÓ›·˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ·˘Ù‹ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÏÂ˘Ú¿˜.

O


16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·171

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¢‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ fiÙ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·˘Ù¤˜ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜, Â›Ó·È ÔÚı¤˜.

¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ; 



Â1

°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, ⊥”, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1⊥ÂÂ2 Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “⊥ ‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ: “Ë Â1 Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â2”. ¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜) Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜, ϤÁÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ οıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜).

Â2 Â1 B





- 171 -



169-184)

°

¢ Â2

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜;

§‡ÛË ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙ›. ¢ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ ¯·ÚÙ› ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â2 Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (·) ¢

°

° (Â2)

(Â1)

∞ ∞

c (Â )

(Â1)

2

B

B

(‚) ¢

°

(Â2)

°

c (Â )

2

B

(Â1)

B

(Â1)

√È ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ (ÂÂ1⊥ÂÂ2).

∞ ¢

2.

¢

OÈ ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂ ‰ÂÓ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜.

¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜;

§‡ÛË ∞Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ê‡ÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ ·ÓÔ›ÍÔ˘ÌÂ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· Ù۷ΛÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ¿Óˆ ÛÙÔ ¯·ÚÙ›, ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2.

µ

µ

(Â1) ∞

c

µ

c

(Â1) ∞

° (Â2)

(Â1) ∞

° (Â2)

°


16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·172

- 172

3.

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Â, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ¢ı›· Â.

1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  Â

Â



∞ ∞

Â

Â

Â

Â

Â

Â

2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ∞ Â



Â

Â

Â

Â

Â

Â

¢›ÓÂÙ·È Ë Â˘ı›· Â Î·È Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢. ¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Â˘ı›˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â.

§‡ÛË



∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë Ì›· ·fi ÙȘ ‰‡Ô οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â. ™‡ÚÔ˘Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Ë ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ó· ¤ÚıÂÈ Û Â·Ê‹ Ì ¤Ó· ·fi Ù· ‰ÔṲ̂ӷ ÛËÌ›·. ∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ∂·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹, ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ∞, µ, ° Î·È ¢ Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.

Â1 Â2

Â3

µ 

Â4



4.

Â



169-184)

°

¢

° Â

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ∞Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ËÌÈ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ❑ ∞Ì‚Ï›·. ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ √Í›· ❑ √Úı‹ ∞Ó Û ÌÈ· ÁˆÓ›· Ë ÙÂÏÈ΋ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋, ·ÊÔ‡ οÓÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË (‚) ÛÙÚÔÊ‹, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ ªË‰ÂÓÈÎË ÁˆÓ›· ❑ ∂˘ı›· ÁˆÓ›· ❑ ¶Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›·.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

™¯Â‰›·Û ËÌÈ¢ı›· √x Î·È ¯¿Ú·Í ¢ı›· Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ √ οıÂÙË ÛÙ��Ó √x. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ËÌ›ˆÛ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞,µ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ ۯ‰›·Û ¢ı›· οıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ √y. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Ó· ʤÚÂȘ ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ox Î·È √y. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ê¤Ú ·fi οı ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. º¤Ú ·fi Ù· ∞ Î·È µ ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ÂͤٷÛ Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ οıÂÙ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ToÔı¤ÙËÛ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁˆÓÈÒÓ, Ì ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘˜: √Úı‹ - ∂˘ı›· - ¶Ï‹Ú˘ - ∞Ì‚Ï›· - ªË‰ÂÓÈ΋ - ªË ΢ÚÙ‹ - √Í›·.


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·173

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 173 -

µ.1.7. E Ê Â Í ‹ ˜ Î · È ‰ È · ‰ Ô ¯ È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ - Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧

™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ê Î·È ˆ.

➣ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. ¢

µ ∞

° °

ˆ

µ

Ê

µ

Ê

ˆ

ˆ

°

¢

Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ .............. Î·È ÙËÓ ....................... Î·È Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô

Œ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ÎÔÈÓ‹ .................... Î·È Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô

Ê

Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ................ Ì›· ................................... Î·È ...................................

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì °



∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, Ì›· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô .

µ ∞

°



√È ÁˆÓ›Â˜ ¢√ ∞ Î·È ∞√ µ ηıÒ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∧ ∞√ µ Î·È µ√ ° Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. ∆fiÙ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ¢√ ∞, ∧ ∧ ∞√ µ Î·È µ√ ° ϤÁÔÓÙ·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜.

µ ∞

√ ¢


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·174

- 174

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

À¿Ú¯ÂÈ ÙÚfiÔ˜ ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÂÊÂÍ‹˜; µ

§‡ÛË

¢

AÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ÙË Ì›· ÁˆÓ›· Û ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È ÙË ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÂÈ ÂÊÂÍ‹˜ Ì ÙËÓ ¿ÏÏË.

° ∫ √

µ

µ

c

c

¢ ° µ

∫ √

∞ ∞

™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, dËÏ·‰‹ Ó· ‚Úԇ̠ÌÈ· ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ∞˜ ‰Ô‡Ì Ò˜ Á›ÓÂÙ·È ·˘Ùfi.

2.

¡· ‚ÚÂı› Ë ÁˆÓ›·, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ.

§‡ÛË ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, fiˆ˜ οӷÌÂ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ʤÚÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∞√ µ Î·È °∫ ¢ Û ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÔ˘Ó ÂÊÂÍ‹˜. ∆fiÙ ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ √∞ ∧ Î·È √¢ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· Ó¤· ÁˆÓ›· ÙËÓ∧∞√ ¢, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, Ì ÙÔ ∧ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ · + ‚ , ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ∧ ∧ · Î·È ‚ ) ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ. (·

µ ¢ √

c

° µ

·

∫ ‚

¢

c

· ‚

·+‚

¢ ° K


169-184)

16-07-09

21:22

™ÂÏ›‰·175

ª∂ƒ√™ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

3.

- 175 -

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Ì ̤ÙÚ· 50Æ Î·È 82Æ.

§‡ÛË

x ∧

y

y

ŒÛÙˆ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO x Î·È yO y Ì ̤ÙÚ· ∧ · =50Æ Î·È ‚ =82Æ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

‚ =82Æ

∏ ÁˆÓ›· xO y Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÔÈÁÌ·: ∧

· =50Æ

x

xOy = · + ‚ = 50Æ + 82Æ = 132Æ,

O

Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ.

4.

¢›ÓÂÙ·È Â˘ı›· xx. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ Ù˘ ¢ı›·˜ ʤÚÓÔ˘Ì ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘, ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √y Î·È √z. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

§‡ÛË

Ÿˆ˜ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, Ë ÁˆÓ›· xO x Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ∧ ∧ ∧ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ yO x, yO z Î·È zO x. ÕÚ· ÙÔ ∧ ̤ÙÚÔ Ù˘ ‰ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ∧ ∧ ∧ ̤ÙÚˆÓ · , ‚ Î·È Á ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ, ∧

z y ∧

‰ËÏ·‰‹ ‰ = · + ‚ + Á . ∂Âȉ‹ fï˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘

ÁˆÓ›·˜ xO x Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, Ë ÁˆÓ›·

Á

·

x

·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‰ = 180Æ.

x

O

ÕÚ·, · + ‚ + Á = 180Æ.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿, ÔÈ Ôԛ˜ (·) Ó· Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ Î·È (‚) Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜.

2.

¡· ‚ÚÂȘ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ fiϘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È fiϘ ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜.

∞ B ∂ ° ¢ °

3.

¡· ‚ÚÂȘ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

¢

∂ x

4.

μ

¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. ➊

μ

y

¢

°

O

x

¢

°

¢ ∫

v

x

°

x

μ

x y

z

μ


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·176

- 176

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.8. ¶ · Ú ·  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Î · È ™ ˘ Ì  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó ›  ˜ K·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧

¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;

¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì y



¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.

Ê

ˆ

x

z

O

x y



™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ. ∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.

‚ ·

x

x



∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ .

y

O y

x


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·177

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 177 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =72Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

§‡ÛË ∧

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ ∧ ∧ ∧ ̤ÙÚÔ ‚ . £· Â›Ó·È ÙfiÙÂ: ‚ = 180Æ– · , ‰ËÏ·‰‹ ∧ ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ– 72Æ = 108Æ.

y

°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ ∧ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ xO y, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹˜ √x ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ √, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x, ·ÓÙÈΛÌÂÓË Ù˘ √x. ŒÙÛÈ ∧ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· yO x, Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏË∧ ∧ ڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ÒÛÙ ӷ ∧ ∧ ›ӷÈ: · + ‚ = 180Æ.

2.

‚ =108Æ · =72Æ

x

x

O

¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =33Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘. x

§‡ÛË

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‚ . ∧ ∧ £· Â›Ó·È ÙfiÙ ‚ =∧90Æ– ·, ‰ËÏ·‰‹ ı· ›ӷÈ: ‚ = 90Æ– 33Æ = 57Æ. °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜ ∧ ÁˆÓ›·˜ xO y ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x ⊥ Ox ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÌÈÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë √y. ∧ ŒÙÛÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· y O x, Ô˘ Â›Ó·È ∧ ∧ Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ∧ ∧ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: · + ‚ = 90Æ.

3.

y

‚ =57Æ ∧

· =33Æ

O

x

™Â ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Î·È ÁÈ·Ù›;

∂›Ó·È ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó

¢ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó

¢ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜

¢ÈfiÙÈ ‹ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ‹ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.


1-11-08

18:59

™ÂÏ›‰·178

- 178

¡· ÂÍÂÙ·ÛÙ› Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ë Û¯¤ÛË ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ.

x x

√ x

y

x

x

y

y

x

y

y

x

y

4.

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

169-184)

y

∞Ó·Ô‰ÔÁ˘Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: 

5.

¢‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜..

¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁËı› ÁÈ·Ù› ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜. y

§‡ÛË

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· xO y (Ì ̤ÙÚÔ · = 90Æ) Î·È ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Ù˘, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ‚ ·=90Æ x xxx Î·È yyy. Á √ ‰ ∧ ∧ O y Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO y ∧ Î·È xO ∧ ı· Â›Ó·È ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 90Æ. ∧ ∧ y O y Î·È xO y Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷√È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, xO ∧ ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ – 90Æ = 90Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ O y Î·È xO y Â›Ó·È ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 90Æ . ∧ ∧ ∧ ∧ ∂Ô̤ӈ˜ ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ: · = ‚ = Á = ‰ = 90Æ .

6.

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Â¿Ó Â›Ó·È · =40Æ.

§‡ÛË

∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· Á Î·È · Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜, ∧ ∧ ∧ ∧ ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 40Æ. √È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È · Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ∧ ‚ ·=40Æ ‚ = 180Æ – 40Æ = 140Æ. Á ∧ ∧ ‰ ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ∧ ∧ ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 140Æ

x


169-184)

16-09-08

16:46

™ÂÏ›‰·179

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 179 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, ÙfiÙ ϤÁÔÓÙ·È: ❑ ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜.

2. 3.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ Ì›· ÁˆÓ›· 125Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

4. 5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ÁˆÓ›· 35Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÁˆÓ›· Â›Ó·È Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ (·) ÌÈ·˜ ·Ì‚Ï›·˜, (‚) ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜ Î·È (Á) ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜.

°

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È °√ ∞ = ¢√ ∞ = Ê . ¡· Û˘ÁÎÚ›∧ ∧ ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ °√ µ, ¢√ µ Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Û‡ÁÎÚÈÛ˘.

µ

Ê Ê

∞ ¢

6.

√È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ∏ · Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰›ÓÂÙ·È ∧ ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. (·) ¡· ۯ‰È��ÛÂȘ ÙËÓ · , (‚) Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ∧ ∧ ÙË ‚ Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, (Á) Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙËÓ ‚ . ªÂÙ¿ Ó· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰Èfi ÛÔ˘ ÙÔÓ ›Ó·Î· Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ. ∧

15Æ

·

18Æ

43Æ

77Æ

90Æ

116Æ 169Æ 10

‚ ·fi ̤ÙÚËÛË

‚ ·fi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ∧

7.

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

8.

™¯Â‰›·Û ÌÈ· ÁˆÓ›· 37Æ Î·È ÌÂÙ¿ ۯ‰›·Û ÙËÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Ù˘.

147Æ · ‚ 110Æ

Â

9.

¡· ‚ÚÂȘ fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

Â1

‚ · Á ‰ Ï Î Ì Ó

Â2

10.

∂¿Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ Ë Ì›· ÁˆÓ›· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È 57Æ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.

11.

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (¯ˆÚ›˜ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ).

90Æ

‰ 25Æ

· ‚ Á


169-184)

16-07-09

21:23

™ÂÏ›‰·180

- 180

ª∂ƒ√™ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

μ.1.9. £ ¤ Û Â È ˜ Â ˘ ı Â È Ò Ó Û Ù Ô Â  ›  Â ‰ Ô

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1Ë √È ‰È·ÁÚ·ÌÌ›ÛÂȘ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓËÙfi‰ÚÔÌÔ˘ ÛÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È (Ù¤ÌÓÔÓÙ·È) οÔ˘;

ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;

£

I

μ

∏ ∂ ¢

°

§

§∞ƒπ™∞

μ√§√™

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂øΔπ∫∏

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂øΔπ∫∏

¶√ƒ∂π∞ À¶√Ã∂øΔπ∫∏

∂•√¢√™ 500 m

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2Ë A

º∞ƒ™∞§∞

M

™ÙËÓ ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙË Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ: (·) ∞μ Î·È ∏∂, (‚) ∞μ Î·È μ°, (Á) ∏∂ Î·È ∫§, (‰) ∏∑ Î·È ∑∂, (Â) ∞£ Î·È μ°. (¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘).

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô fiÛÔ ÎÈ ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó.



¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.

∂Ô̤ӈ˜:



¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È .

¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ; 

Â1

°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “///” Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1// 2.

Â2

°È· Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ: 

¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ı· ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞μ//°¢.

A

°

μ Â1 ¢

Â2


16-09-08

16:47

™ÂÏ›‰·181

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 181 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔȘ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ÔȘ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜.

Â2

Â1

§‡ÛË

‰1//‰ 2). ¶·Ú¿ÏÏËϘ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜ ‰1 Î·È ‰2 (‰ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜: (·) Â1 Î·È Â2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, (‚) Â1 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, (Á) Â1 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂, (‰) Â2 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Î·È (Â) Â2 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.

2.

¢

µ

‰1 ∂ ‰2

°

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Â1, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.

1 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ™Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ‚ϤÔ˘Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ۯ‰ȿÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÙËÓ Â˘ı›· Â1, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â.

➋ ∞

↔↔

169-184)

Â1 Â

Â

Â

Â1

Â

Â

2 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÁÈ· Ó· ʤÚÔ˘Ì οıÂÙÔ ∞µ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â1 οıÂÙË ·fi ÙÔ ∞ ÛÙËÓ ∞µ Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÏÏËÏË Ù˘ Â.

➊ ∞

Â



Â

µ

Â

µ

Â1

Â

Â

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.

ªÔÚÔ‡ÌÂ, ¿Ú·ÁÂ, Ó· ʤÚÔ˘Ì ÎÈ ¿ÏÏË (‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋) ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ı›· ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â; ¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚfiÙ·ÛË:



Â1 ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·  1 ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â .

Â


169-184)

1-11-08

- 182

19:00

™ÂÏ›‰·182

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô Ù˘ ∞η‰ËÌ›·˜ ÙÔ ÚËÙfi: “ªË‰Â›˜ ·Áˆ̤ÙÚËÙÔ˜ ÂÈÛ›Ùˆ”, ‰›ÓÔÓÙ·˜ ȉȷ›ÙÂÚÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Î·È ÙË ÁÓÒÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆Ô ™ÙÔȯ›·” (13 ‚È‚Ï›·) ÙÔ˘ ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚÔ ¤ÚÁÔ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ‹Ù·Ó Ù· “™ ∂˘ÎÏ›‰Ë (¿ÎÌ·Û ÂÚ›Ô˘ ÙÔ 300 .Ã.), Ô˘ ·ÂÙ¤ÏÂÛ ÛÙ·ıÌfi ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ·Ó·‰Â›¯ÙËΠ۠ÚfiÙ˘Ô Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘. ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ Ó‡̷ÙÔ˜. ¢ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì·˙› Ì ÙË µ›‚ÏÔ Â›Ó·È ·fi Ù· Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ô˘ ›¯·Ó ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂΉfiÛÂȘ. √ ‰È¿ÛËÌÔ˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Jean Dieudonné, ¤ÁÚ·„ ÁÈ· Ù· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, fiÙÈ: “∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ Â›Ó·È ›Ûˆ˜ ÙÔ ÈÔ ÂÎÏËÎÙÈÎfi ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. ÿÚË ÛÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ ÌÔÚ¤Û·Ì ӷ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÂÈÛÙ‹ÌË”. ™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ: “ Ù È ˜  ˘ ı  ›  ˜  Π › Ó Â ˜  Ô ˘ √ ∂˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ ¢ڛÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ ÎÈ ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÚË ‰ Â Û ˘ Ó · Ó Ù Ò Ó Ù · È Û Â Î · Ó ¤ Ó · ·  ’ · ˘ Ù ¿ ” (√ÚÈÛÌfi˜ 23) Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ ‰È¿ÛËÌÔ “5Ô ∞›ÙËÌ·”, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “  ¿ Ó Ì È ·  ˘ ı  › ·  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Â È ‰ ‡ Ô Â˘ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜  Ô ˘ Ô È Û ¯ Ë Ì · Ù È ˙ fi Ì Â Ó Â ˜ Á ˆ Ó ›  ˜  › Ó · È Ì È Î Ú fi Ù Â Ú Â ˜ ·  fi ‰ ‡ Ô Ô Ú ı ¤ ˜ ”. ™‹ÌÂÚ· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Ì›· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË”. ÌÔÚÊ‹: “∞ ™ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘Ù‹ Û˘Ó¤‚·Ï ÛËÌ·ÓÙÈο ÙÔ 1899 Ô °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ David Hilbert . ∏ ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ·˘Ù‹˜ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ·‚›·ÛÙ· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ Ì·˜ ÂÌÂÈÚ›·. ŸÌˆ˜, ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ·ÈÒÓ·, ¤ÁÈÓ·Ó ÔÏϤ˜ ·ÔÙ˘¯Ë̤Ó˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì ‚¿ÛË ÙȘ ¿ÏϘ ÈÛ¯‡Ô˘Û˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∏ Ï‹Ú˘ ·ÔÙ˘¯›· ÙˆÓ ÚÔÛ·ıÂÈÒÓ, fï˜, ‰ÂÓ ‹Á ¯·Ì¤ÓË. ∞ԉ›¯ıËΠfiÙÈ ÂΛÓÔ Ô˘ ¤ÊÙ·ÈÁ ‹Ù·Ó ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÁÈÓfiÓÙÔ˘Û·Ó ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ·‰‹ Ë Û˘ÁÁÂÎÚÈ̤ÓË “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·” °ÂˆÌÂÙÚ›·. ŒÙÛÈ ·Ó·Ù‹¯ıËÎ·Ó Î·È ¿ÏϘ ÁˆÌÂÙڛ˜ ÛÙȘ Ôԛ˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·›ÙËÌ· ·˘Ùfi. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ô ƒÒÛÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) ÚÔÙ›ÓÂÈ Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ “ÀÂÚ‚ÔÏÈ΋”, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ·ÓÙÈηı›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙËÓ ·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó”. ∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ·˘Ù‹ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¿ÍÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, fiˆ˜ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜ Î.·. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È .¯. ÙÔ “ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔÓ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ›Ó·Î· ÙÔ˘ √ÏÏ·Ó‰Ô˘ ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˘ Escher.

∂›Û˘, Ô Bernhard Riemann (1826-1866) ıÂÌÂÏ›ˆÛ ÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓË “∂ÏÏÂÈÙÈ΋” ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ °ÂˆÌÂÙ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: “· η̛· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó” Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· ÛÙËÚ›¯ıËÎÂ Ô Albert Einstein ÁÈ· Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ıˆڛ· ÙÔ˘, Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜.


169-184)

16-07-09

21:25

™ÂÏ›‰·183

ª∂ƒ√™ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 183 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “Ô ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È: ❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ❑ ΔÂÌÓfiÌÂÓ˜ ❑ ∫¿ıÂÙ˜ (‚) ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È: ❑ ª›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â. ❑ ¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙËÓ Â. ❑ ∫·Ì›· οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â. (Á) ∞Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜: ❑ ∫¿ıÂÙ˜ ❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ❑ ΔÂÌÓfiÌÂÓ˜

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ................................................................. ¢ı›˜.

(‚)

¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ ......................... .

(Á)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ....................... .

(‰)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È .......................... .

(Â)

¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È ........ . Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ......................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.

3.

¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â1, Â2 Î·È Â3, ÒÛÙÂ: (·) ÔÈ Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Ó· ÌËÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, (‚) Ë Ì›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô, (Á) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È (‰) Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô.

4.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi.

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ¡· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞, μ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ √y.

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È μ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. ¡· ʤÚÂȘ ·fi Ù· ∞ Î·È μ ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.


169-184)

16-09-08

16:47

™ÂÏ›‰·184

- 184

ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.10. ∞  fi Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › Ô ˘ ·  fi  ˘ ı  › · - ∞  fi Û Ù · Û Ë  · Ú · Ï Ï ‹ Ï ˆ Ó ™ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ÛËÌ›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÂÓÒÓÂÈ. – ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›·. – ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. ∞˜ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë N· ‚ÚÂȘ Û ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰ËÌfiÛÈÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡ ÓÂÚÔ‡, ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·, Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ë Û‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡, ÒÛÙÂ Ô ÛˆÏ‹Ó·˜ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùfi Ì‹ÎÔ˜.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÛȉËÚÔÙÚԯȤ˜ (· Î·È ‚) ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› ÙÔ ÙÚ·›ÓÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÎÙÚԯȷÛÙ›; ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘; ·→

‚→

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



∞fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ οıÂÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜, .¯. ÙÔ ∞µ.

∞0 ∞

Â1

µ

Â2


185-198)

16-09-08

20:05

™ÂÏ›‰·185

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 185 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ‚ÚÂı› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â. ∞

§‡ÛË ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÙÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì .¯. 2,6 cm. ÕÚ·, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ›ӷÈ, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, 2,6 cm.

2.

µ Â

2,6

Â

∞8

∞6

∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0 ÛÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ì ‰È¿ÊÔÚ· ÛËÌ›· ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8 Î·È ∞9 Ù˘ Â. ªÂÙÚ¿Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ∞ ·fi ·˘Ù¿ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂÁ·ÏÒÓÔ˘Ó Û˘Ó¯Ҙ fiÛÔ ·ÔÌ·ÎÚ˘ÓfiÌ·ÛÙ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ∞0, ¿Ú· Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ∞0, Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ›¯ÓÔ˜ Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ ∞.

∞4 ∞2 ∞0 ∞1 ∞3 ∞5 ∞7 ∞9 Â

N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Î·È Ó· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2.

§‡ÛË º¤ÚÓÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ∞¢, ∂µ∑ Î·È ∏° ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2. ªÂÙÚ¿Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¢, ∂∑ Î·È ∏° Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÏ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û·. ÕÚ· Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ›ÛË Ì 2,5 cm.

4.

µ

N· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Â, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜ Ó· Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË.

§‡ÛË

3.

Â1

{ } } ¢

2,5cm

°

2,5cm

2,5cm

µ

Â2

N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â, Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ·fi ·˘Ù‹ 3 cm.

‰ ∞

Â1

§‡ÛË ™Â Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ª Ù˘  ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›· ‰ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ‰ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ª∞ = ªµ = 3 cm. Afi Ù· ∞ Î·È µ, Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ·, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â. √È Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜, ÁÈ·Ù› Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È 3 cm.

3 cm ª

 3 cm

µ

Â2


185-198)

16-09-08

- 186

20:06

™ÂÏ›‰·186

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ηı¤ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................... ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·. (‚) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ...................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.

2.

™ËÌ›ˆÛÂ, ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Â, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿, Ù· ÛËÌ›· °, µ Î·È ¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È °µ=µ¢=3 cm. ÿڷÍ ÌÈ· ¢ı›·, Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ µ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Î¿ıÂÙË ·˘Ù‹ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ µ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ=4 cm. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢.

3. 4.

¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË, Â¿Ó Â›Ó·È: °µ=6 cm, µ¢=15 cm, ∞µ=8 cm. N· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ÌË ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y. ¡· ¿ÚÂȘ ÛÙËÓ Ox, Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: √∞ = ∞µ = µ° = 2 cm. N· ÔÚ›ÛÂȘ ÛÙËÓ Oy ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È √∞ = 1,6 cm Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙËÓ Â˘ı›· ∞∞. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ʤÚÂȘ ·fi Ù· µ Î·È ° ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞∞ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ µ Î·È ° Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙËÓ √y. ¡· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞µ Î·È µ° . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢, Ù· ÔÔ›· Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ËÌÈÂ›‰· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ë Â ÙÔ Â›‰Ô, Î·È ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó’ ·¤¯ÂÈ ·’ ·˘Ù‹ 3,2 cm. N· ʤÚÂȘ ·fi ηı¤Ó· ·’ ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ¶fiÛ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘;

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ·fiÛÙ·ÛË Ó· Â›Ó·È 35 mm. ¡· ‚ÚÂȘ ¤ÓÙ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙȘ Â1 Î·È Â2. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›·  ·fi ÙÔ ∞ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ Â1 Î·È Â2. ∆· ÛËÌ›· µ, °, ¢ Î·È ∂ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‹ fi¯È ÛÙËÓ Â;

7.

¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x, Ô˘ Ó’ ·¤¯ÂÈ 3 cm ·fi ÙËÓ Â˘ıÂÈ· Â.

B Â

2 cm

∞ x

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ŒÓ· ÏÔ›Ô ·ÎÔÏÔ˘ı› ¢ı›· ÔÚ›· ∞µ, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈο 21 Km. ŸÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ·¤¯ÂÈ 10 Km ·fi ¤Ó· Ê¿ÚÔ º Î·È fiÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË µ ·¤¯ÂÈ 17 Km ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê¿ÚÔ. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· º∞µ ·›ÚÓÔÓÙ·˜ 1 cm ÁÈ· ·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì 1 Km Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiÛÔ ÎÔÓÙ¿ ·fi ÙÔ Ê¿ÚÔ ¤Ú·Û ÙÔ ÏÔ›Ô.


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·187

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 187 -

µ.1.11. K ‡ Î Ï Ô ˜ Î · È Û Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ô ˘ Î ‡ Î Ï Ô ˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™ÙËÓ ∆Ú›ÔÏË Ù˘ ∞Ú牛·˜ Á›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁÈÔÚÙ‹, ÛÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È Î·ÏÂṲ̂ÓÔÈ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ, Ô˘ ηÙÔÈÎÔ‡Ó Û ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙˆÓ 6 km. ¶ÔÈˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ ı· ·Ú¢ÚÂıÔ‡Ó ÛÙË ÁÈÔÚÙ‹;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë O ÚˆÙfiÁÔÓÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÁÈ· Ó· ÌË ¯¿ÛÂÈ ÙËÓ Î·Ùۛη ÙÔ˘ ÙËÓ ¤‰ÂÛ Ì ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›, Û’ ¤Ó· ͇ÏÈÓÔ ¿ÛÛ·ÏÔ, ̤۷ ÛÙÔ ÏÈ‚¿‰È.

ŸÙ·Ó Á‡ÚÈÛ ӷ ÙËÓ ¿ÚÂÈ Â›‰Â fiÙÈ Ë Î·Ùۛη ›¯Â ‚ÔÛ΋ÛÂÈ ÂΛÓÔ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÏÈ‚·‰ÈÔ‡ Ô˘ Ù˘ Â¤ÙÚÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ Ó· Êı¿ÛÂÈ. ŒÙÛÈ, fiÏ· Ù· ¯fiÚÙ· Ô˘ ·›¯·Ó ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, Ô˘ ‹Ù·Ó ‰Â̤ÓË, ›¯·Ó Ê·Áˆı›. ¶ÔÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ ¯ÔÚÙ¿ÚÈ Ê·ÁÒıËÎÂ;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Ô˘ Ó’ ·¤¯Ô˘Ó fiÏ· 2 cm ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞. M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ 2 cm Û ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›. ªÂÙ¿, ÎÚ·ÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ¤Ó· ¯¤ÚÈ ÙË Ì›· ¿ÎÚË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ¤¯ÔÓÙ·˜ ¿ÓÙ· ÙÂÓو̤ÓÔ ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, ÎÈÓԇ̠̠ÙÔ ¿ÏÏÔ ¯¤ÚÈ ÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡, ÙˆÓ 2 cm, Û ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8, ∞9 Î·È ∞10, Ô˘ ÂÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë, ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰¤Î· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·. µÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›·, Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô, Â›Ó·È ¿Ú· ÔÏÏ¿.

∞4

∞5

∞3

∞6

∞2 ∞1

∞7 ∞8

∞9

∞10

∆È Û¯‹Ì· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó, ÏÔÈfiÓ, fiÏ· ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ·˘Ù‹ ȉÈfiÙËÙ·;


185-198)

16-09-08

- 188

20:06

™ÂÏ›‰·188

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

M¤Û· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠·ÚÎÂÙ¿ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ηÌ‡ÏˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. Ÿˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ô ‹ÏÈÔ˜ ÛÙË ‰‡ÛË ÙÔ˘, Ô ÙÚÔ¯fi˜ ÂÓfi˜ Ô‰ËÏ¿ÙÔ˘, Ë ÛÙÂÊ¿ÓË Ù˘ Ì·ÛΤٷ˜, ¤Ó· ÌÂÙ·ÏÏÈÎfi ÓfiÌÈÛÌ·, ÙÔ ÚÔÏfiÈ Ì·˜, ÌÈ· ÙÔ‡ÚÙ· ÁÂÓÂıÏ›ˆÓ, ¤Ó·˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Î.Ï.

∆Ô ÚÒÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÂÈÓÔ‹ÛÂÈ ‹ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ¿Óˆ ÛÙË ÁË Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ›ӷÈ, Ê˘ÛÈο, Ô Î‡ÎÏÔ˜. √ ‹ÏÈÔ˜ Î·È ÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ÛÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Î·È ÛÙËÓ „˘¯‹ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Ù˘ ÙÂÏÂÈfiÙËÙ·˜. ∫·È fiÙ·Ó Êı¿ÛÂÈ Ë ÒÚ· Ù˘ ÛΤ„˘, ÙfiÙÂ Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÔÎÙ¿ ÙÔ ÈÔ ÔχÙÈÌÔ Û¯‹Ì· Ù˘.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



∫‡ÎÏÔ˜ ϤÁÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ·fi ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô √. ∏ ·fiÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Ú Î·È Ï¤ÁÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . ŒÓ·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Û˘ÓÙÔÌ›· (√, Ú). °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎÏÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË.



¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ ›Û˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ .

 

O A↔

∂›Û˘: 

∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, ϤÁÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘..



∂ȉÈο Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ϤÁÂÙ·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘..  ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û ‰‡Ô ›Û· ̤ÚË (ËÌÈ·ÎÏÈ·).



¯ÔÚ‰‹ ∞

µ

√ ∞

ÙfiÍÔ √

¢‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ‰‡Ô ̤ÚË Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ϤÁÂÙ·È ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ¿ÎÚ· Ù· ∞ Î·È µ.

µ

ÙfiÍÔ 

∫˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ (√, Ú) Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (√, Ú) Ì·˙› Ì ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÈ.  ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú.

µ

‰È¿ÌÂÙÚÔ˜

Ú √


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·189

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 189 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ۯ‰ȷÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘. §‡ÛË Á = 1,5 cm ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·=3 cm, ‚ = 2 cm ‚=2 cm Î·È Á=1,5 cm Â›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ · = 3 cm Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘ÌÂ. ∞ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ÂÍ‹˜ ‰È·‰Èηۛ·: ¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Î·È ÙÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÏÂ˘Ú¿ µ° = ·. ªÂÙ¿ ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (µ , Á = 1 , 5 c m ) Á ‚ Î·È ( ° , ‚ = 2 c m ). √È ‰‡Ô ·˘ÙÔ› ·ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È µ ° · ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜: µ°=3 cm, AB=1,5 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (µ , 1 , 5 c m ) Î·È ∞°=2 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (° , 2 c m ), ·ÊÔ‡ ÙÔ ∞ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1. 2. 3.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=3,8 cm.

4.

N· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,4 cm. N· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È Ó· ¯·Ú¿ÍÂȘ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘: ª∞ = 2,4 cm Î·È MB = 4,1 cm.

5.

ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 4 cm. (·) ¡· ‚ÚÂȘ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó: 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ. (‚) ¶ÔÈ· ÛËÌ›· ·¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ;

6.

ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,2 cm. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, ∞µ) Î·È (µ, ∞µ) Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ª ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ¡ ·fi Ù· ∞ Î·È µ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜.

M ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ·ÎÙ›Ó˜ 2,4 cm, 2 cm Î·È 15 mm.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ 4 cm, 5 cm Î·È 48 mm. (¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜)

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

2.

ŒÓ·˜ Û·ÏÔ˜ Â›Ó·È ‰Â̤ÓÔ˜ Ì ÌÈ· ·Ï˘Û›‰· Ì‹ÎÔ˘˜ 12 m, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ¡· ÌÂٷʤÚÂȘ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰ÈÔ ÛÔ˘ Î·È Ó· ‚ÚÂȘ, ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› Ô Û·ÏÔ˜. ∂›Û˘, Ó· ‚ÚÂȘ Û ÔȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ ·˘Ï‹˜ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÛÙ·ıÔ‡Ó ÔÈ Á¿Ù˜, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÎÈÓ‰˘ÓÂ‡Ô˘Ó ·fi ÙÔ Û·ÏÔ;

ºÚ¿ÎÙ˘ 6m

12m 6m 6m 6m

O

6m 6m

™›ÙÈ

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ Ô˘ ›ӷÈ: ·) ·=10 cm, ‚=6 cm Î·È Á=3 cm, ‚) ·=12 cm, ‚=5 cm Î·È Á=7 cm. T› ·Ú·ÙËÚ›˜;


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·190

- 190

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

µ.1.12. E  › Î Â Ó Ù Ú Ë Á ˆ Ó › · - ™ ¯ ¤ Û Ë Â  › Î Â Ó Ù Ú Ë ˜ Á ˆ Ó › · ˜ Î · È Ù Ô ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÔÓÙ·È Ù· ÔÛÔÛÙ¿ Ô˘ ‹Ú·Ó Ù¤ÛÛÂÚ· ÎfiÌÌ·Ù· ÛÙȘ ÂÎÏÔÁ¤˜. ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ Û fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› οı ʤٷ Ù˘ ›Ù·˜;

40%

45%

10%

5%

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

∫·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ∧ xOy, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∏ ÁˆÓ›· ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›·. O ∧

∞Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ √x Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xOy Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ √y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, ÙfiÙÂ: 

B



y

A

∆Ô ÙfiÍÔ ∞° µ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ∧ ΢ÚÙ‹˜ ÁˆÓ›·˜ xO y ϤÁÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ∧ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ xOy.

° x ¢





O

∆Ô ÙfiÍÔ ∞ ¢ µ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ ÌË ∧ ΢ÚÙ‹˜ ÁˆÓ›·˜ xOy Â›Ó·È ÎÈ ·˘Ùfi ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÙfiÍÔ Ù˘ ∧ ÌË Î˘ÚÙ‹˜ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ xO y.

B A

y

x



ø˜ ̤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ÙÔ ÌÂÙÚ¿Ì Û ÌÔ›Ú˜ .


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·191

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ



- 191 -

™Â ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, ‰‡Ô ›Û˜ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ›Û· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙfiÍ·.

∫·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·:  ™Â ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ ‹ Û ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜, ‰‡Ô ›Û· ÙfiÍ· ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ÙȘ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜. y

y B

B °

° O

x A

O

x

B

B y

A

y

A °

° x

x

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÁˆÓ›· ›ÛË Ì 30Æ.

➎ ∧

ˆ =30Æ ∞

x

x

ˆ

x

x

O

x O

O

O

O

§‡ÛË °È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ̛· ÁˆÓ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ. ∆Ô ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ Â›Ó·È ¤Ó· fiÚÁ·ÓÔ Ì ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÂÓfi˜ ÙfiÍÔ˘ ‹ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜. ∫¿ı ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ËÌÈ·ÎÏÈÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌÔÏÔÁËı› ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ‰Â›¯ÓÂÈ Ù· ̤ÙÚ· ÙˆÓ ÙfiÍˆÓ ·fi 0Æ ¤ˆ˜ 180Æ. √ ÙÚfiÔ˜ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙË ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÁˆÓ›· 30Æ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ‰È·‰Ô¯Èο ·Ú·¿Óˆ Û¯‹Ì·Ù·.

2.

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ 3 cm Î·È 4 cm Î·È ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· Â›Ó·È 55Æ.

➋ 55Æ

Æ 180

°

4c m

4c m

m 3c

µ

55Æ

µ

∞ µ

m 3c

µ


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·192

- 192

3.

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì›· ÏÂ˘Ú¿ 3 cm Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ 40Æ Î·È 100Æ.

100Æ 3 cm

µ

0

µ 180Æ

0

°

140Æ 40Æ 100Æ 180Æ ∞ µ

40Æ

°

100Æ

µ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ ¤¯ÂÈ: ·) ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜, ‚) ¤Ó· ËÌÈ·ÎÏÈÔ Î·È Á) ηı¤Ó· ·fi Ù· ÙfiÍ· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·fi ‰‡Ô οıÂÙ˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜.

2.

¢‡Ô ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÁˆÓ›· 60Æ. ¡· ‚ÚÂȘ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ Â›Ó·È Î¿ı ¤Ó· ·fi Ù· ÙfiÍ· ÛÙ· ÔÔ›· ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙÔ˘.

3.

™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜ (√, 3cm) Î·È (√,4cm). ¡· ÔÚ›ÛÂȘ ÛÙÔÓ Î¿ı ·ÎÏÔ ·fi ¤Ó· ÙfiÍÔ 45Æ Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ Â¿Ó Ù· ÙfiÍ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

4.

∆ÚÂȘ ‰È¿ÌÂÙÚÔÈ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Û ¤ÍÈ ›Û· ÙfiÍ·. ¶fiÛˆÓ ÌÔÈÚÒÓ Â›Ó·È Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ¤ÍÈ Â›ÎÂÓÙÚ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÙfiÍ· ·˘Ù¿;

5.

™’ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Ó· ¯·Ú¿ÍÂȘ Ì›· ¯ÔÚ‰‹ ∞µ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Û ÌÔ›Ú˜ ÙËÓ Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· ∞√ µ Î·È Ó· ‚ÚÂȘ Û ÔÈÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘  ·ÎÏÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÙÔ ÙfiÍÔ ∞µ.

6.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÙÌ‹Ì· ∞µ = 2,8 cm Î·È ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, 4cm) Î·È (µ, 4cm). ¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ° ÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π ∆Ô ‰›Ï·ÓÔ ËÌÈ΢ÎÏÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ¤¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜! °È·Ù›; ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔ ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ;

40% 15%

15%

30%


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·193

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 193 -

µ.1.13. £ ¤ Û Â È ˜  ˘ ı  › · ˜ Î · È Î ‡ Î Ï Ô ˘ ∞˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó Û’ ¤Ó· Â›Â‰Ô ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ Î·È ÌÈ· ¢ı›·:

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤Ì fiÙÈ Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª>Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ª, Ë Â˘ı›· ϤÁÂÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª.  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª=Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ª.  ŸÙ·Ó ¢ı›· Î·È Î‡ÎÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, Ë Â˘ı›· ϤÁÂÙ·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â˘ı›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙ· ∞ Î·È µ  ŸÙ·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË √ª ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú (√ª<Ú), Ë Â˘ı›· Â›Ó·È Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.

 √

ª

Ú

 √

ª

Ú

 ∞

Ú

ª

µ

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ·ÎÏÔ˜ Ô˘ Ó· ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ÌÈ·˜ ¢ı›·˜.

§‡ÛË

¶·›ÚÓÔ˘Ì ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ∞. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ªÂ ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ∫ Ù˘ οıÂÙ˘ ·˘Ù‹˜ Î·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∫∞ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ. √ ·ÎÏÔ˜ Ô˘ ʤڷÌ ı· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ‰ÈfiÙÈ ·˘Ù‹ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ∫∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ Ù˘ ∞.

2.

∞ Â

¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Ô˘ Ó· ÂÊ¿ÙÂÙ·È Û ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘.

§‡ÛË

¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· √∞ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∏ ¢ı›·   ı· ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÛÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ‰ÈfiÙÈ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· √∞ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ Ù˘ ∞.

3.

¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ÛÙ· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÌÈ·˜ ¯ÔÚ‰‹˜ ÙÔ˘ ∞µ. Â1

§‡ÛË

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ √∞ Î·È √µ. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ OA ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â1 οıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ·˘Ù‹. ∏ ¢ı›· Â1 Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ √µ ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â2 οıÂÙË ÛÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ·˘Ù‹. ∏ ¢ı›· Â2 Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ. 

√ ª µ Â2

∞Ó Â›Ó·È ª ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜, Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ª Î·È µª ϤÁÔÓÙ·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.


16-09-08

- 194

20:06

™ÂÏ›‰·194

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ 2,5 cm. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ù˘ Â1 Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÛËÌ›· Ù˘ Â2 Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó 3,6 cm ·fi ÙÔ ª.

2.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,6 cm Î·È ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙËÓ ∞µ. ¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙȘ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ∞ Î·È µ. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÁÈ·Ù› ÔÈ ÂÊ·ÙfiÌÂÓ˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È Â˘ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.

3.

¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ (√, Ú) Î·È ÌÈ· ¢ı›· Â. √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ‰ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È Ù˘ ¢ı›·˜, ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: (·) ∞Ó Ú = 5 cm Î·È ‰ = 4 cm, (‚) ·Ó Ú = 2,5 cm Î·È ‰ = 2,5 cm Î·È (Á) ·Ó Ú = 3 cm Î·È ‰ = 6 cm.

4.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ∞ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∫ Ù˘ Â1, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∫∞ = 3,1 cm. ¡· ʤÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∫, 2,1cm), (K, 3,1cm) Î·È (K, 36mm). ¡· ‚ÚÂȘ ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË Ù˘ Â2 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜.

5.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=40 mm. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ∞µ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∞ª=18 mm. ¡· ʤÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, 18 mm) Î·È (B, 22 mm). ¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ¢ı›·  Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ª Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ ∞µ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ı¤ÛË Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ Î·ı¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜; ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π

1.

2.

ªÈ· Âȯ›ÚËÛË ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ¤Ó· ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ Û ÌÈ· ·ÁÚÔÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ÂÈϤÁÂÈ ÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ·˘Ùfi. ∏ ÏÂ˘Ú¿ οı ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·ÓÙÈÚÔÛˆ‡ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 100 m. ∆Ô ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Û ·ÎÙ›Ó· 600 m Ì·ÎÚÈ¿ ·fi Ù· Û›ÙÈ· (™). ∂›Û˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·¤¯ÂÈ ÙÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ 300 m ·fi ÙËÓ ¿ÎÚË ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘. ¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ¯ÚˆÌ·Ù›ÛÂȘ ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ fiÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ. ∏ Û˘Ìʈӛ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ∞, µ Î·È ° ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÁÂÒÙÚËÛ˘ Û ÌÈ· ı¤ÛË ª ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÙÚÂȘ fiÚÔ˘˜: ·) ∞ª>2 km, ‚) BM=3 km Î·È Á) °ª=4 km. ¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª, ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ı¤Û˘ ·˘Ù‹˜ ·fi ÙÔ ‰ÚfiÌÔ Â.

™›ÙÈ

™›ÙÈ

‰ÚfiÌÔ˜ ™›ÙÈ ™›ÙÈ

™›ÙÈ

™›ÙÈ

™›ÙÈ Â

°

µ

6km

4, 7k m

3, 7k m

185-198)

1km A


185-198)

16-09-08

20:06

™ÂÏ›‰·195

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 195 -

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË ÛËÌÂ›Ô ∞



™∏ª∂π√

 ∂À£À°ƒ∞ªª√ ∆ª∏ª∞

B

¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ

¢

°

¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ ·fi ∞

·Ú¿ÏÏËÏ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·

 x

∏ªπ∂À£∂π∞

Â

x

ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ¢ı›· Û ‰‡Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È Ox

Â1

οıÂÙ˜ ¢ı›˜

Â

ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ ∞

x

ËÌÈ¢ı›· ∞x



Â



∂¶π¶∂¢√

µ

 °

ÙÚ›· ÛËÌ›· ÔÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· Â›‰Ô

Ë Â˘ı›·  ·Ó‹ÎÂÈ ÔÏfiÎÏËÚË ÛÙÔ Â›Â‰Ô ¶

 ∞

¶1

¶ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙÔ Â›Â‰Ô ¶

∞ ∞¶√™∆∞™∏

¶2

Â

 ∏ªπ∂¶π¶∂¢√



Â1 Â

·fi ÙÔ ∞ Ì›· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â

·fi ÙÔ ∞ Ì›· ÌfiÓÔ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â

Â1 Â2

·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜

Â2 A

∞0

x

¢ı›· ∞µ

∞ ∂À£∂π∞

B

x ∞

¢ı›· Â



B

B

Ë Â˘ı›· ¯ˆÚ›˙ÂÈ ¤Ó· Â›Â‰Ô Û ‰‡Ô ËÌÈÂ›‰·

·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ

B ·fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ¢ı›· Â

Â

Â

µ

Â

1

2

·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ


185-198)

16-09-08

20:07

™ÂÏ›‰·196

- 196

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

y

ÏÂ˘Ú¿

y O



O

x

y

ÎÔÚ˘Ê‹

ˆ

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜

O

z y

ÏÂ˘Ú¿

x

x

x

ÁˆÓ›·

ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜

‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ °

y

° B B



°ø¡π∞

Ê ˆ z O 180Æ

x 0Æ

O

·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜

A A

O

ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜

x 90Æ

¢

y

‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚ O

·

x 0Æ

Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ y

y

y x

O

O

O

ÔÚı‹ ÁˆÓ›·

ÔÍ›· ÁˆÓ›·

y

x

x

x O

·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›·

¢ı›· ÁˆÓ›·

Ú

√ ∞

¯ÔÚ‰‹



¯ÔÚ‰‹ ∞µ

Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ∞µ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û 2 ËÌÈ·ÎÏÈ·

ÙfiÍÔ

KYK§√™

ª2 Ú

ª3 ª1

µ

µ

ÙfiÍÔ ª1 ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ (√,Ú) ª2 ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ (√,Ú) ª3 Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ (√, Ú)

 √

Ú

ª

Ú

ª

x Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· Â1

Â

Â

Ú √

ª

ª

µ

Â͈ÙÂÚÈ΋

ÂÊ·ÙfiÌÂÓË

y

°

‰ ‡ Ô Û Ë Ì Â › · ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙfiÍ· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘

 ™Ã∂∆π∫∂™ £∂™∂π™ ∂À£∂π∞™ ∫∞π ∫À∫§√À

µ

‰È¿ÌÂÙÚÔ˜

µ

∞ ·ÎÏÔ˜ (√, Ú) Î·È Î˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜

Ù¤ÌÓÔ˘Û·

µ Â2

ÂÊ·ÙfiÌÂÓ· ÙÌ‹Ì·Ù·


185-198)

16-09-08

20:07

™ÂÏ›‰·197

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

- 197 -

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ ¶Ôχ Û˘¯Ó¿, Û’ ·˘Ù¿ Ô˘ ‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ, Û fi,ÙÈ ·ÎÔ‡ÌÂ, ·ÏÏ¿ Î·È Û ÂΛӷ Ô˘ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‹ ϤÌÂ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ϤÍÂȘ Ô˘ ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÔ˘˜ ÚԤϢÛË ‹ ÙË ‚·ÛÈ΋ ÙÔ˘˜ ÛËÌ·Û›· ÙËÓ ·ÓÙÏÔ‡Ó ·fi ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ‹ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· ·fi Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο. ∂›Ó·È ϤÍÂȘ Ô˘ ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠̠ÙËÓ ›‰È· ÂÚ›Ô˘ ¤ÓÓÔÈ· fiˆ˜ Î·È ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο, .¯. “ÛÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜” ‹ “ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÚÔ¸ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡” Î.Ï. ™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ fï˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, Ì ·˘Ù¤˜ ÙȘ ϤÍÂȘ ÂÎÊÚ·˙fiÌ·ÛÙ ÌÂÙ·ÊÔÚÈο, ·Ô‰›‰ÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘˜ ¤Ó· ¢ڇÙÂÚÔ ÓfiËÌ·. §¤Ì .¯. “ŸÏ˜ ÔÈ ¯ÒÚ˜ Ù˘ ∂˘ÚÒ˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi Â›‰Ԕ ‹ “ÙÔ ÊÂÛÙÈ‚¿Ï Û˘Ó¯›ÛÙËΠ̠·Ú¿ÏÏËϘ ÂΉËÏÒÛÂȘ”. ™ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ. ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÙȘ ÂÓÙÔ›ÛÂȘ Î·È Ó· ÙȘ ˘ÔÁÚ·ÌÌ›ÛÂȘ Ì ÙËÓ ÚÒÙË ·Ó¿ÁÓˆÛË.

“∆Ô ÎÚ›ÛÈÌÔ ÛËÌ›Ԕ ... ∏ Ì¿Ï· ¤¯ÂÈ ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ “¤Ó·ÏÙÈ”. √È Ê›Ï·ıÏÔÈ ÛÙȘ ÎÂÚΛ‰Â˜ ¤¯Ô˘Ó ·ÁÒÛÂÈ. √È ·›ÎÙ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÌ¿‰ˆÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È, ‹‰Ë, ¤Íˆ ·fi ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ÂÚÈÔ¯‹˜. √ ÙÂÚÌ·ÙÔʇϷη˜, ÛÙÔ Ì¤ÛÔÓ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù˘ ÂÛÙ›·˜ ÙÔ˘, ÎÔÈÙ¿˙ÂÈ Î·Ù¢ı›·Ó ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÙÔÓ ·ÓÙ›·Ïfi ÙÔ˘, Ô˘ ÂÙÔÈÌ¿˙ÂÙ·È Ó· ÂÎÙÂϤÛÂÈ ÙËÓ ÂÛ¯¿ÙËÓ ÙˆÓ ÔÈÓÒÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. °È· ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ‰Â˘ÙÂÚÔϤÙÔ˘ ÔÈ ‰‡Ô ·›ÎÙ˜ Î·È Ë Ì¿Ï· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ Ë ÛÊ·ÈÚÈ΋ Ì¿ÁÈÛÛ· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÙÚԯȿ Î·È Î·ÚÊÒÓÂÙ·È ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÁˆÓ›· Ù˘ ÂÛÙ›·˜, ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô ÙÂÚÌ·ÙÔʇϷη˜ ¤ÊÙÂÈ ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿. “°ÎÔÔÔÔÔÔfiÏ”, ʈӿ˙ÂÈ Ì fiÏË ÙË ‰‡Ó·Ì‹ ÙÔ˘ Ô ªÈ¯¿Ï˘, ÙÚ¤¯ÔÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ηٿʈÙÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÔÏ›˜ ÁË¤‰Ô˘, ÂÓÒ ÔÈ Ô·‰Ô› Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙÔ˘ ÙÔÓ ·ÔıÂÒÓÔ˘Ó, ·ÊÔ‡ ¤‰ˆÛ χÛË ÛÙÔ ÈÔ ÎÚ›ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. ∆·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ·ÓÔ›ÁÂÈ Ë fiÚÙ· ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Î·È Ë ÌËÙ¤Ú· ÙÔ˘ ªÈ¯¿ÏË, ÌÈÛÔ͢ÓË̤ÓË, ÙÚ¤¯ÂÈ ·Ó‹Û˘¯Ë Ó· ‰ÂÈ ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ‡ÓÔ ÙÔ˘ ÁÈÔ‡ Ù˘.

– ∞˘Ùfi ÙÔ ·È‰›, ÌÔ˘ÚÌÔ˘Ú›˙ÂÈ, ‰Â ı· Ì¿ıÂÈ ÔÙ¤ Ó· Û‚‹ÓÂÈ ÙÔ Êˆ˜ ÚÈÓ ÎÔÈÌËı›... 

ªÔÚ›˜ ÛÙ· ÓÂÔÂÏÏËÓÈο ΛÌÂÓ·, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙ· ¿ÏÏ· Ì·ı‹Ì·Ù· .¯. ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›·, ÙË °ÂˆÁÚ·Ê›·, ÙË µÈÔÏÔÁ›· Î.Ï., Ó· ÂÓÙÔ›ÛÂȘ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ;



¡· ÂϤÁÍÂȘ Û ÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÛËÌ·Û›· ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ Î·È Û ÔȘ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ Û˘ÏϤÍÂȘ ÊÚ¿ÛÂȘ, ·fi ÏÔÁÔÙ¯ÓÈο ΛÌÂÓ·, fiÔ˘ ÔÈ Ï¤ÍÂȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ Ì ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ÛËÌ·Û›·, fiˆ˜ .¯. “‚›ÔÈ ·Ú¿ÏÏËÏÔÈ”, “ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ù· Á˘Ú›ÛÌ·Ù·” Î.Ï.



∆¤ÏÔ˜, ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÁÚ¿„ÂȘ ÎÈ ÂÛ‡ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ ‹ ÌÈ· ÈÛÙÔÚ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂȘ Ù¤ÙÔȘ ϤÍÂȘ ‹ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ, Ì ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ‹ Î·È ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ÛËÌ·Û›·.


185-198)

16-09-08

- 198

20:07

™ÂÏ›‰·198

ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™ 1. ∞ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹. 2. ¶·Ú¿ÏÏËϘ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô. 3. ∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜. 4. ∞ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ›ÛˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ï¤Ì ·˘Ù¿ Ô˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ ¤Ó· ¿Óˆ ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì ηٿÏÏËÏÔ ÙÚfiÔ. 5. ª¤ÛÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. 6. ∆fiÍÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 7. ¢È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ϤÁÂÙ·È Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ. 9. ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. 10. ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹. 11. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ Â˘ı›·. 12. ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜. 13. ªÈ· ¢ı›· ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. 14. ŒÓ· Â›Â‰Ô ÂÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. 15. ∫¿ı ¢ı›· ÂÓfi˜ ÂÈ¤‰Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Û ¿ÂÈÚ· ËÌÈÂ›‰·. 16. ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È ¿ÓÙ· ·Ú¿ÏÏËϘ. 17. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ¿ÂÈÚ˜ ¢ı›˜ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›·. 18. ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ÙÚ›ÙË Â˘ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ οıÂÙ˜. 19. √È ÙÂıÏ·Ṳ̂Ó˜ ÁÚ·Ì̤˜ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ÎÏÂÈÛÙ¤˜ ‹ ÌË Î˘ÚÙ¤˜. 20. ∏ ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ›ٷÈ. 21. ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi οı ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ٷ ›‰È· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ. 22. ∫¿ı ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· √∞ Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ √ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 23. ¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ ¿ÓÈÛ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. 24. ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È ÙÚÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. 25. ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú. 26. √È ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. 27. ¢‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜. 28. ∏ÌÈ·ÎÏÈÔ Ï¤ÁÂÙ·È ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ÙfiÍ·, ÛÙ· ÔÔ›· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ ·fi ÌÈ· ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘.


σελ. 147 198