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M´etodo de sustituci´on

28 de agosto del 2010


2 El m´etodo de sustituci´on o tambi´en llamado cambio de variable, consiste en un reemplazo de variables para que el c´alculo de la integraci´on resulte m´as sencilla. Ejemplo : Z tan (x/2) sec2 (x/2)dx

(1)

a simple vista se ve complicada calcularla, pero con la sustituci´on adecuada tenemos que u = tan (x/2) y ahora sabiendo que d [tan (x)] = sec2 (x) dx sec2 (x/2)dx y luego reemplazamos en (1) quedaria calculamos y quedaria du = 2 la constante multiplicando la integral as´ı Z Z tan (x/2) sec2 (x/2)dx = 2 udu 2u1+1 , pero u = tan (x/2) entonces 2 Z tan (x/2) sec2 (x/2)dx = tan2 (x/2) + C ejemplo 2: Z

x2 dx 2 + x3

lo m´ as adecuado es u = 2 + x3 y derivando a ambos lados du = x2 dx du = 3x2 dx luego 3 Z Z x2 dx du = 1/3 2 + x3 u sabemos que u = 2 + x3 , resolviendo la integral y reemplazando Z x2 dx = 1/3 ln (2 + x3 ) + C 2 + x3

Importante: recuerde colocar siempre una constante al final de su resultado para que su soluci´ on est´e completa.


3 Ejercicios resueltos: Z 1)

sin (x) cos (x)dx Z

u = sin (x)

u2 2 u2 sin2 (x) = +C 2 2

udu =

du = cos (x)dx

Z 2 2) 2xex dx u = x2 du = 2xdx

eu du = eu 2 e u = ex + C Z x2 dx 3) x3 − 2 R

du = x2 dx 3 R 1/3 du u = 1/3 ln (u)

u = x3 − 2 du = 3x2 dx 1/3 ln (u) = 1/3 ln (x3 − 2) + C Z 4) u = tan (x) du = sec2 (x)dx Z tan2 (x) u2 = +C udu = 2 2

tan (x)dx cos2 (x) 1

= sec2 (x) (x) R R sec2 (x) tan (x)dx = udu cos2


4 Ejercicios: Z  1)

sec (x) 1 + tan (x)

2 dx Z

u = 1 + tan (x) sec2 (x)dx = du Z dx 2) 2 + 3x u = 2 + 3x du = 3dx du 3 Z=

1 3

Z

Z du sec2 (x)dx = (1 + tan (x))2 u2 3 3 u (1 + tan (x)) = +C 3 3 du 1 = ln u u 3

1 ln (2 + 3x) + C 3

dx sin (x)dx 1 − cos (x)

3)

Z

u = 1 − cos (x) duZ= sin (x)dx (x + 4)dx 4) 2x + 3

du = ln (u) u ln (1 − cos (x)) + C

Z

u = 2x + 3 du 2

= dx

u−3 2

=x

Z xdx dx +4 2x + 3 2x Z+ 3 Z du (u − 3)du +2 1/4 u  uZ Z Z du 1 du + 2 1/4 du − 3 u u

1/4 [u − 3 ln (u)] + 2 ln (u) (2x + 3) 5 + ln (2x + 3) + C Z 4 2s 4 e ds 5) e2s + 1 u = e2s + 1 du = 2e2s ds du 2s 2 Z= e ds 6)

Z

du = 1/2 ln u u 1/2 ln (e2s + 1) + C 1/2

(sin (2x) + cos2 (2x))dx Z

u = sin (x) du = cos (x)dx u2 + 1/2x + 1/8 sin (4x) sin2 (x) + 1/2x + 1/8 sin (4x) + C

Z (1 + cos (4x))dx 2 sin (x) cos (x)dx + Z Z Z 2 2 udu + 1/2 dx + 1/2 cos (4x)dx


5 Z 7)

(sin (ax) cos (ax))dx Z

u = sin (ax)

1/a

= cos (ax)dx Z 8) (sin (x))2 cos (x)dx Z

u2 du = 1/3u3 1/3 sin3 (x) + C

duZ= cos (x)dx (y + 2)dy 9) y 2 + 4y 2

u = y + 4y

Z

du = 1/2 ln (u) u 1/2 ln (y 2 + 4y) + C

1/2

du = (2y + 4)dy du = 2(y + 2)dy du = (y + 2)dy 2 Z (2x + 3)dx 10) x+2

Z dx xdx +3 2 xZ+ 2 Z x+2 (u − 2)du du 2 +3 u Z uZ Z  du du 2 du − 2 +3 u u Z

u=x+2 u−2=x du = dx

u2 2a

sin (ax) +C 2a

du a

u = sin (x)

udu =

2 (u − 2 ln (u)) + 3 ln (u) 2 (x + 2 − 2 ln (x + 2)) + 3 ln (x + 2) + C 2x + 4 − 4 ln (x + 2) + 3 ln (x + 2) + C 2x + 4 − ln  (x + 2)  +C 1 +C 2x + 4 + ln x+2


Integracion por Sustitución