Issuu on Google+


Προσέχω !

• Όταν μου δίνουν μια συνάρτηση το πρώτο που βρίσκω είναι το πεδίο ορισμού της. • Παράδειγμα • Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) 2x 1 lnx 1 .

• [Απάντηση: Df = (0 , e)(e , +) ]


Προσέχω !

• Στα όρια της μορφής 0/0 δεν κάνω De l’ Hospital! Παραγοντοποιείς ή πολ/ζεις με τη συζυγή παράσταση αριθμητή και παρονομαστή. • Παράδειγμα • Να υπολογίσετε το όριο: lim 2x lnx  4lnx  x  2 x2 x 2     

• [ Απάντηση: 2ln2 – 1 ]

  .  


Προσέχω !

• Όταν σου ζητούν να βρεις παράμετρο ώστε μια δίκλαδη συνάρτηση να είναι συνεχής. • Θα πρέπει να απαιτήσεις: xlim f(x) f(x ). x 0

0

• Παράδειγμα • Να βρείτε το κ ώστε η συνάρτηση: f(x) 

 3 2  3x  4x  x  2      x  1     κ  

 2 , χ 1 , χ=1

• να είναι συνεχής στο 1. Κατόπιν να βρείτε αν υπάρχει την f΄(1). • [ Απάντηση: κ = 5 , f΄(1) = 3. ]


Προσέχω !

• Προσοχή στην παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων • Παράδειγμα • Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: 

 

 

f(x) ln2  x2  x 1 .

• [ Απάντηση: f(x)

    

    .

2 2x 1 ln x2  x 1   

  

x2  x 1

]


Προσέχω !

• Στην εύρεση μονοτονίας και ακροτάτων προσέχω να αιτιολογώ το πρόσημο της πρώτης παραγώγου

• Παράδειγμα • Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f(x) lnxx 2


Προσέχω !

• Μέγιστος (ελάχιστος) ρυθμός μεταβολής (ή συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης) • Παράδειγμα • Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της f(x) = x3+3x2-2x-1 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; • [Απάντηση: (-1 , 3) ]


Θυμάμαι !

νi • ν1 + ν2 + ν3 +….+ νκ = ν και fi  ν • 0 ≤ fi ≤ 1 • f 1 + f2 + … + fκ = 1 • fi % =100 fi • f1%+ f2%+…+fk %=100% • Fi % =100 Fi • Ni = v1 + v2 +…+ vi • Fi = f1 + f2 +…+ fi • v1 = N1 , v2 = N2 – N1 , … , vk = Nk – Nk-1 • f1 = F1 , f2 = F2 – F1 , … , fk = Fk – Fk-1 • Στο κυκλικό διάγραμμα: αi =

3600 vi v

= 3600 ⋅ fi


Θυμάμαι !

• 𝜋𝜆𝑎𝜏𝜊𝜍 𝜅𝜆𝑎𝜎𝜂𝜍 =

𝜀ύ𝜌𝜊𝜍𝛿𝜀𝑖𝛾𝜇𝛼𝜏𝜊𝜍 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍𝜅𝜆𝑎𝜎𝜀𝜔𝜈

𝑐=

𝑅 𝜅

• Στο πολύγωνο νi , fi ενώνω τα μέσα των πάνω βάσεων των ορθογωνίων • Στο πολύγωνο Νi , Fi ενώνω τις πάνω δεξιά κορυφές των ορθογωνίων


Θυμάμαι !

• ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ • Μέση τιμή , σταθμικός μέσος , διάμεσος


Θυμάμαι ! • Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως: • 1. η μεσαία παρατήρηση , όταν το ν είναι περιττός αριθμός • 2. ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. •

● Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτή και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτή.

• Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα


Θυμάμαι ! • • • • •

ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση Εύρος : R = Μεγαλύτερη παρατήρηση – Μικρότερη παρατήρηση Σε ομαδοποιημένα δεδομένα : R = Ανώτερο όριο τελευταίας κλάσης – Κατώτερο όριο πρώτης κλάσης Διακύμανση ( s2 ) (ή διασπορά)

Τυπική απόκλιση ( s )


Θυμάμαι !


Θυμάμαι !


Θυμάμαι !

• Να θυμάσαι τη βασική εφαρμογή: • Αν προσθέσουμε σε καθεμιά από τις x1,x2,…xν μια σταθερά c , τότε: y  x  c και s y  s x

• Αν πολλαπλασιάσουμε καθεμιά από τις x1,x2,…xν επί μια σταθερά c , τότε: y  cx

και s y  c  s x

• Σε κανονική κατανομή: x  δ • Σε κατανομή με θετική ασυμμετρία: x  δ • Σε κατανομή με αρνητική ασυμμετρία: x  δ


Παράδειγμα 1 • Έστω x μια ποσοτική μεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν και x1 , x2 , … , xν , οι παρατηρήσεις με μέση τιμή 𝑥 > 0 και τυπική απόκλιση s. Θεωρούμε και τη συνάρτηση: 𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 − 𝑥 3 ⋅ 𝑥 + 128 ⋅ 𝑠 με x ∈ R

Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο Α(s3 , 0): α. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. γ. Αν η κατανομή είναι περίπου κανονική και επιλέξουμε τυχαία μια παρατήρηση από τις ν παρατηρήσεις, ποια είναι η πιθανότητα αυτή η παρατήρηση να βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 2 και 10; δ. Αν αυξήσουμε κάθε παρατήρηση κατά τον ίδιο αριθμό λ > 0, να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ, ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές.


Παράδειγμα 2 • Έστω x1 , x2 , … , x2013 ένα δείγμα θετικών παρατηρήσεων και η συνάρτηση f με παράγωγο: f΄(x) = (x – s)(x – CV) , όπου s , CV η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής αντίστοιχα του παραπάνω δείγματος με s ≠ 5. Η μικρότερη παρατήρηση του παραπάνω δείγματος είναι μεγαλύτερη του 1 και η θέση τοπικού μεγίστου είναι ίση με το μισό της θέσης τοπικού ελαχίστου. Α. Να δείξετε ότι: 𝑥 =2. Β. Εάν η ευθεία (ε): y = - x + 1 είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 3. i) Να δείξετε ότι s = 4. ii) Να βρείτε τη μέση τιμή των τεταγμένων των σημείων (x1 , y1) , (x2 , y2) , … , (x2013 , y2013) της εφαπτομένης (ε). iii) Να βρείτε τη μέση τιμή των τετραγώνων των τετμημένων των παραπάνω σημείων.


Παράδειγμα 3

Το κόστος σε ευρώ ν ηλεκτρικών συσκευών δίνεται από τον πίνακα:

Α. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα, αν γνωρίζετε ότι η μέση τιμή είναι 5 και η

διάμεσος είναι

𝟏𝟔 . 𝟑

Β. Αν F1% = 10 και το εύρος είναι 8: 1. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο fi%. 2. Να βρείτε ποιο είναι το ποσοστό των ηλεκτρικών συσκευών που κοστίζει από 2 έως 6 ευρώ. 3. Να βρείτε ποιο είναι το ποσοστό των ηλεκτρικών συσκευών που κοστίζει από 2 έως 5 ευρώ. 4. Να βρείτε ποιο είναι το ποσοστό των ηλεκτρικών συσκευών που κοστίζει από 1 έως 5 ευρώ. 5. Να βρείτε ποιο είναι το ποσοστό των ηλεκτρικών συσκευών που κοστίζει το πολύ 5 ευρώ. 6. Να βρείτε ποιο είναι το ποσοστό των ηλεκτρικών συσκευών που κοστίζει τουλάχιστον 5 ευρώ. 7. Να βρείτε τα μέτρα απόλυτης διασποράς του κόστους. 8. Να βρείτε τα μέτρα σχετικής διασποράς του κόστους. 9. Αν αυξηθεί το κόστος κατά 10% να βρεθούν τα νέα μέτρα θέσης και απόλυτης διασποράς. 10. Να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθούν τα κόστη (για όλα το ίδιο) ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές. 11. Αν καταργηθεί ο ΦΠΑ που είναι 23%, θα γίνει το δείγμα ομοιογενές;


Παράδειγμα 4

• Το πολύγωνο συχνοτήτων μιας κατανομής που δείχνει το μηνιαίο τζίρο των βιοτεχνιών μιας κωμόπολης , ( σε εκατοντάδες ευρώ) ομαδοποιημένη σε κλάσεις ίσου πλάτους , έχει κορυφές τα σημεία: Α(20 , 0) , Β(40 , 5) , Γ(60 , 10) , Δ(80 , 20) , Ε(100 , 30) , Ζ(120 , ν5) , Η(140 , 10) , Θ(160 , 0). Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση x = 100 χωρίζει το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία. • • • •

α. Να αποδείξετε ότι ν5 = 25. β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής. γ. Να υπολογίσετε τις τιμές των μέτρων θέσης της κατανομής. δ. Αν ως όριο βιωσιμότητας της βιοτεχνίας είναι τα 7200 ευρώ , να εκτιμήσετε το ποσοστό(%) των βιοτεχνιών που δεν μπορούν να επιβιώσουν. • ε. Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς τη συμμετρία της.


Προσέχω!


Προσέχω!

• Κλασικός ορισμός της Πιθανότητας N(A) πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων • P(A)= = N(Ω) πλήθος δυνατών περιπτώσεων • Χρησιμοποιείται μόνο για δειγματικό χώρο Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. • Ρ(Ω) = 1 • Ρ() = 0 • 0  Ρ(Α)  1


Προσέχω! • Αξιωματικός ορισμός της Πιθανότητας • Έστω Ω = {ω1 , ω2 , … , ων} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi} αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό , που τον συμβολίζουμε με Ρ(ωi) , ώστε να ισχύουν:  0  Ρ(ωi)  1  Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + … + Ρ(ων) = 1 Τον αριθμό Ρ(ωi) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωi}. • Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α = {α1 , α2 , … , ακ} ορίζουμε το άθροισμα : Ρ(Α) = Ρ(α1) + Ρ(α2) + … + Ρ(αν). • Ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου  ορίζουμε τον αριθμό: Ρ( )=0.


Προσέχω! • Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων • Απλός προσθετικός νόμος • Αν Α ∩ Β =  , 𝜏ό𝜏𝜀: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) • 𝑃(𝐴΄) = 1 − 𝑃(𝐴)

• Προσθετικός νόμος • 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) • 𝐴𝜈 𝐴 ⊆ 𝐵 , 𝜏ό𝜏𝜀 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

• 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)


Προσέχω!

• Αν ΑΒ τότε: • • • •

1. Α∩Β=Α 2. ΑΒ=Β 3. Ρ(Α)Ρ(Β) 4. Α-Β=

Β

Α


Προσέχω!

• Για να δείξω ότι: κ  Ρ(Α∩Β)  λ • Α∩ΒΑ, άρα Ρ(Α∩Β)Ρ(Α) • Α∩ΒΒ, άρα Ρ(Α∩Β)Ρ(Β) • Κάποιο από τα Ρ(Α) ή Ρ(Β) θα είναι ίσο με λ • • • •

Ρ(ΑΒ)  1 Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)1 Ρ(Α∩Β)Ρ(Α)+Ρ(Β)-1 (το Ρ(Α)+Ρ(Β)-1 θα είναι ίσο με κ)


Παράδειγμα 1 • Δίνεται Ω = {1 ,2 , 3 , 4 , 5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. • α. Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων: Ρ(1) , Ρ(2) , Ρ(3) , Ρ(4) , Ρ(5) , όπου Ρ(i) , i =1 , 2 , … ,5 είναι η πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχομένου του Ω. • β. Δίνεται και η συνάρτηση: f(x) = [ Ρ(1) – x]3 + … + [Ρ(5) – x]3 , xR. Να δείξετε ότι: f ΄ (1/5) = -15 s2 , όπου s είναι η τυπική απόκλιση των παραπάνω παρατηρήσεων. • γ. Αν επιπλέον Ρ(1) = Ρ(2) = 1/10 , Ρ(3) = Ρ(4) = 3/10 και g(x) = x2 + λx + 4 , να βρείτε την πιθανότητα του 𝑔 2+ℎ −𝑔 2 ενδεχομένου: Β = {λΩ / lim ≤ 8}. ℎ→0


Παράδειγμα 2

• Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = g(x) =

𝑥 3 −2𝑥+1 . 𝑥−1

𝑥2 𝑥 2 +1−1

και

• α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. • β.

Να υπολογίσετε τα όρια: lim f x και lim g(𝑥 . 𝑥→0

𝑥→1

• γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cg στο σημείο της Α(2 , g(2)). • δ. Έστω Α , Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης , με Ρ(Α) = lim g(𝑥 . 𝑥→1 Να δείξετε ότι το Β είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.


Παράδειγμα 3 • Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + λx2 + λx και το σημείο Α(1 , f(1)). • α. Να βρείτε το λR ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α να είναι παράλληλη στον x΄x. • β. Να βρείτε το λR ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 5. • γ. Να βρείτε το λR ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α να είναι κάθετη στην ευθεία y = x + 1. • δ. Να βρείτε το λR ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α να σχηματίζει γωνία 3𝜋 ω = με τον άξονα x΄x. 4

• ε. Αν Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα στοιχεία, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Β = {λ��/ η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα στο R}.


Παράδειγμα 4

• Για τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει : 4 1 Ρ(Α) = και Ρ(Β) = . 5

2

• α) Να εξετάσετε αν τα Α , Β είναι ασυμβίβαστα. • β) Να αποδείξετε ότι: Ρ(Α Β)  • γ) Να αποδείξετε ότι:

3 10

4 . 5 1 2

 Ρ(Α∩Β)  .


Παράδειγμα 5

• Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω που δεν είναι αδύνατα. • α. Για τις τιμές Ρ(Α) , Ρ(Β) , Ρ(ΑΒ) , Ρ(Α∩Β) να δείξετε ότι: 𝑥 = 𝛿. • β. Αν Α  Β να δείξετε ότι: 2s = P B − A .


Παράδειγμα 6 • Μια ομάδα ποδοσφαίρου αποτελείται από μαθητές της Α , Β και Γ τάξης. Η συμμετοχή τους στην ομάδα σε σχέση με την ηλικία τους ακολουθεί την κανονική κατανομή. Οι σημερινές ηλικίες των μαθητών έχουν συντελεστή μεταβολής CV1 = 6,25%. Πριν από 11 χρόνια ο συντελεστής μεταβολής ήταν CV2 = 20%. • α. Να βρεθεί η μέση σημερινή ηλικία τους. • β. Να δείξετε ότι: ν 1 2 2 2 s   xi   x  ν i 1

• γ. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των σημερινών ηλικιών των μαθητών είναι 5140 να βρείτε πόσοι μαθητές απαρτίζουν την ομάδα ποδοσφαίρου. • δ. Αν οι μαθητές της Α΄ τάξης είναι μέχρι και 15 χρονών , της Β΄ τάξης μέχρι 17 χρονών και πάρουμε τυχαία ένα μαθητή από την ομάδα, να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων: Ε: να είναι μαθητής της Α ή της Β τάξης Ζ: να είναι μαθητής της Β και όχι της Α τάξης


Παράδειγμα 7 • Έστω Ω = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και οι πιθανότητες Ρ(λ) = αλ + β , λΩ. Δίνεται και η συνάρτηση: 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝜆𝑥 2 + 4𝑥 + 2011 και το ενδεχόμενο 3

Α = {λΩ/η εφαπτομένη της Cf σε οποιοδήποτε σημείο της δεν 1 είναι παράλληλη στον x΄x} με Ρ(Α)= . 4

• α. Να βρείτε τα α , β. • β. Έστω το ενδεχόμενο Β={ λΩ/η διάμεσος των παρατηρήσεων: 0 , 1 , λ , 2λ , λ+1 είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή τους}. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ(Β) , Ρ(ΑΒ΄) , Ρ(Α-Β).


• ΕΥΧΟΜΑΙ ΣΕ ΟΛΕΣ ΚΑΙ ΟΛΟΥΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! • ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΞΑΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΝΑ «ΦΡΕΣΚΑΡΕΤΕ» ΤΡΟΠΟΥΣ ΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. • ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΚΑΛΑ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. • ΚΑΘΑΡΟ ΜΥΑΛΟ ΠΑΝΩ ΑΠ΄ ΟΛΑ! ΑΠΟΦΕΥΓΩ ΕΠΙΠΟΛΑΙΑ ΛΑΘΗ ΒΙΑΣΥΝΗΣ! • ΝΑ ΦΥΓΕΤΕ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ!

• ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ ΝΑ ΒΓΕΙΤΕ «ΝΙΚΗΤΕΣ» ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΗΝ ΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ! • Μιχάλης


mathgp