Page 1

Διαγώνισμα

Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα

Γ΄ Λυκείου

Προτεινόμενες Λύσεις

Τάξη

Παρασκε υ ή 1 9 /0 7 /2 0 1 3

Ζ α χ α ριά δη ς Γ ιώ ρ γ ο ς Μ ά γ κο ς Μ ιχ ά λη ς Μ πο ύρ α ς Θά ν ο ς καθηγητές

Ημερομηνία

ΘΕΜΑ Α Α.1 Απόδειξη σχολικό βιβλίο σελ.91 Α.2 Ορισμός σχολικό βιβλίο σελ.97 Α . 3 Σ χ ο λ ι κό β ι β λ ί ο σ ε λ . 8 9 Α.4

α. β. γ. δ. ε.

Λ ά θο ς Σ ω σ τό Λάθος Λάθος Σωστό

ΘΕΜΑ Β Β . 1 Έ σ τ ω z = x +y i , x , y  R . Τό τ ε ( 3 – 4 i ) z + ( 3 + 4 i ) z = 2 0  (3 – 4i)(x + yi) + (3 + 4i)(x – yi) = 20  3 x + 3 y i - 4x i + 4 y + 3 x - 3 yi + 4 x i + 4y = 2 0  6x + 8y – 20 = 0  3x + 4y – 10 = 0 Ά ρ α ο γ εω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ων ε ικό ν ων τ ου z ε ίν α ι η ε υ θ ε ί α ε1: 3x + 4y – 10 = 0 Β.2 Έστω u 

1 w με w≠1. 1 w

u : φ α ν τ α σ τ ι κό ς  u  u Π ρ ά γ μ ατ ι : u  u  u  u  0  2Re(u)  0  Re(u)  0  u: φανταστικός

u  u 

1 w 1 w 1 w 1 w     1  w  w  1  1  w 1  w   1 w 1 w 1  w w 1

w  1  ww  w  1  w  w  ww  2ww  2  w  1  w  1 2

Ά ρ α ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τω ν ε ι κό ν ων τω ν w ε ί ν α ι ο κύ κ λ ο ς μ ε κ έν τ ρ ο τ ο Ο ( 0 ,0 ) κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 1 χ ω ρ ί ς τ ο σ η μ ε ί ο Λ ( 1 , 0 ) .

Σελίδα 1 από 5


Β . 3 Θ έ το υ μ ε

x = λ-3 και y = 2λ+1 Άρα: λ = χ+3 y = 2x + 7 Ά ρ α ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κό ν ων τ ο υ v ε ί ν α ι η ε υ θ ε ί α ε2: 2x - y + 7= 0

Β . 4 Το | w – 3 + 4 i | = | w – ( 3 – 4i ) | κ α ι π α ρ ι σ τ ά ν ε ι τ η ν α π ό σ τ α σ η τ η ς εικόνας του w από το σημείο Α(3 , -4). Ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ w κ ι ν ο ύ ν τ α ι σ τ ο μ ο ν αδ ι α ί ο κ ύ κ λ ο , ά ρ α : m i n w  3  4i = | ( O A ) – ρ | = 5 – 1 = 4 . Ά ρ α : m i n w  3  4i = 4

m a x w  3  4i = ( O A ) + ρ = 5 + 1 = 6 . Ά ρ α :

m ax w  3  4i = 6

3 O

-4

A

Β . 5 To v  w π α ρ ι σ τ ά ν ε ι τ η ν α π ό σ τ α σ η τω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν v κ α ι w . Άρα min

 v  w =|d(O,ε

Ό μ ω ς d(O, ε 2 ) 

20  0  7

2)-ρ|.

7 7 5  5 5

4 1 7 5 Άρα: min  v  w  = - 1 5

O ε2

Σελίδα 2 από 5


ΘΕΜΑ Γ Γ.1 w R  w  w Π ρ ά γ μ ατ ι : w  w  w  w  0  2Im(w)  i  0  Im(w)  0  w  R .

z z  2  z +1 z +1 z  z 2 +1  z  z 2 +1  wR  w  w 

2

zz 2  z  zz 2  z  zz 2  z  zz 2  z = 0 

zz  z - z    z - z   0   z - z  z  1  0  2

z  z ή z 1 zR ή z 1 Γ.2

Η εξίσωση γίνεται:

z 3 =  3z  3z 2 + 3  3z 2 - 3z + 3  0 z +1 3 . Δ = 9 - 12 = -3 2

z1,2 

3i 3  2 3

3

3i



3i 3 1   i 2 2 2

2 3 3 1 3 1 z1   i , z2   i 2 2 2 2

Άρα:

Γ.3 Από τους τύπους Vieta έχουμε:

3 3  1.  3 κ α ι z1z 2  3 3

z1  z 2 

 z1z 2  - i 2 4 -  z1 + z 2  3

Άρα: v =

1 i  1 i . 43

Άρα v = 1- i Γ.4 Έχουμε: 1006

v   2

1006

i   v 1006

2  1  i    

Γ.5

 v2012  21006  i1006  1  i 

 21006   2i 

1006

2012

 21006 , ( δ ι ό τ ι i 1 0 0 6 = i 2 = - 1 )

 21006  21006 i1006  21006 ισχύει

Από τριγωνική ανισότητα έχουμε:

Σελίδα 3 από 5


1 1 + 5i  + 5i w w

z    w 2   z +1 

z2  1 1 + 5i  5 w z

1 + 5i  z 2  1  5 w

1 2 + 5i  z  1  5 w

z 1

.

z 1

1 + 5i  7 w ΘΕΜΑ Δ z2  z2  i Δ . 1 i . α  z  iz 2

  z  iz

,

και

  z  iz

2

=  z  iz  z  iz  = zz  iz 2  iz 2  zz = 2 z  i  z2  z 2  2

= 2 z  i z2   z2  2

= 2 z  i2 Im(z 2 )i 2

= 2 z  2 Im(z 2 ) 2

ii.

α+β  z  iz  z  iz  z  iz  z  iz  α+β  z  z  z  z  α+β  4 z

i i i . α - β  z  iz  z  iz 

α - β  z  z  i z  z  

α - β  z  z  1 i  α -β  2 zz 

Σελίδα 4 από 5


α - β  2  z   z   2   z  z  

α-β 2 2 z

Δ.2

i.

v

α + β - zi και a  3 , 1 z  β

v

α + β - z  i z  iz  z  iz  z  i z  i   1 z  β 1  z  z  iz 1  iz

Αν ήταν v = -i, τότε:

zi  i  z  i  i  z  2i  0 Άτοπο. 1  iz

ii.

iii.

zi zi i  z  i  1  iz 1  iz z i i  z ziiz  z  1  iz 1  iz 2z 2i 2z 2  z   z Ισχύει. 1  iz 1  iz 1  iz 1  iz vi  z  v i 

z2  z2  i 

z 2  z 2  i  z 2 z 2   z 2  i  z 2  i   2

2

z 2 z 2  z 2 z 2  iz 2  iz 2  1  iz 2  iz 2  1  i  z 2  z 2   1  i2 Im(z 2 )i  1  Im(z 2 )  

1 2

Ά ρ α α π ό τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς : a  3 , α =2 z  2 Im(z 2 ) κ α ι 2

2

1 Im(z 2 )   έ χ ο υ μ ε : 2 3 = 2 z 1  2 z  4  z  2  z  2 . 2

2

2

Άρα οι εικόνες του z κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=

2.

Σελίδα 5 από 5

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Λύσεις Διαγωνίσματος 190713  

Εξεταζόμενη Ύλη: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ