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Vectores Rectas Planos De todo para tu primer examen parcial

De los creadores de tu examen parcial 1 de algebra lineal

Fotos Inéditas de la película Mi villano Favorito en la otra edición

Términos y fórmulas FACILES de recordar

Presentando a Vector. El único con magnitud y dirección


q

Febrero, 2014 No. 1

Autores Ediris Piril 13034 Javier Gurdian 13108 Gabriela Díaz 13159 Valerie Macario 13294 De los autores: Esperamos esta revista sea una más de tu colección de libros de matemáticas que tienes en tu repisa. Esperamos que tengas un buen encuentro con todos los temas que se tratan en esta revista. Cualquier duda puedes escribirnos a: mac13294@uvg.edu.gt


Índice Contenido Vectores Vector (Definición) Notación De Un Vector Vector En Posición Estándar Componentes De Un Vector Vector Renglón Vector Columna Vector Cero O Vector Nulo Igualdad De Vectores Suma De Vectores Diferencia De Vectores Vectores Paralelos Vectores En Rn Producto De Un Escalar Por Un Vector Propiedades Algebraicas De Vectores En R n Combinación Lineal De Vectores Producto Punto O Producto Escalar Propiedades Del Producto Punto Magnitud O Norma De Un Vector Vectores Unitarios Estándar Normalización De Un Vector Desigualdad De Cauchy-Schwarz Desigualdad Del Triángulo Distancia Entre Dos Vectores Ángulo Entre Dos Vectores Vectores Ortogonales Teorema De Pitágoras Proyección De Un Vector Sobre Otro Producto Cruz O Producto Vectorial Propiedades Del Producto Vectorial Rectas Y Planos Ecuaciones De Una Recta En R2 : Forma Vectorial Forma Normal Forma General Ecuaciones Paramétricas Ecuaciones De Una Recta En R3: Forma Normal Forma Vectorial

Página 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 4 6 6 7 7 7 7 8 9 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 12 12 12 13


Forma General Ecuaciones Simétricas Ecuaciones Paramétricas Ecuaciones De Un Plano En R3: Forma Vectorial Forma Normal Forma General Forma Paramétrica Distancia Desde Un Punto A Una Recta Distancia Desde Un Punto A Un Plano Distancia Entre Rectas Paralelas Distancia Entre Planos Paralelos Ángulo De Intersección Entre Rectas Ángulo De Intersección Entre Planos Ángulo De Intersección Entre Una Recta Y Un Plano

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 16 16


Antes de hablar de los vectores se debe hablar del Plano cartesiano que es un sistema de referencia, conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical. Éstas se cortan en el origen (0,0). La función principal es describir la posición de puntos, representados por sus coordenadas.

Entonces un vector es un segmento de recta dirigida que representa desplazamiento desde un punto A al punto B. Sus características principales es que poseen magnitud y dirección. Su notación es cualquier letra minúscula con una pequeña flecha encima o minúscula y negrita:

O

Las componentes de los vectores siempre irán entre Las componentes vectores siempre irána entre corchetes [ ]. Sedelelosllama componente las corchetes [ ]. Se le llama componente a coordenadas que tiene en un plano cartesiano. Sulas coordenadas que tiene plano que cartesiano. representación gráfica es en unaunflecha indica laSu representación gráfica es una flecha que indica la orientación (Imagen 1). orientación. Notas importante acerca de los vectores.

Magnitud: distancia entre el punto inicial y el punto final del vector

‖⃗⃗ ‖

Dirección: la medida del ángulo que el vector hace con respecto al eje x positivo. expresada en radianes

Vector Posición Estándar Empieza desde el origen.

1


La presentaciĂłn de los vectores se puede dar de dos formas diferentes.

Vectores columna

Vectores columna [

[ ]

 

Vector cero o nulo Empieza y termina en el origen. [ ] Vectores iguales ⃗ = ⃗ ⃗ y son iguales unicamente si sus componentes son iguales, y cuando tienen misma longitud/magnitud/norma y direcciĂłn; es decir: [1,3] [3,1]. y ⃗ si lo son:

Pero

 Suma de vectores Es la operaciĂłn vectorial mĂĄs bĂĄsica. Se denota ⃗ . Ăšnicamente cuando los vectores estĂĄn en se aplica la regla del paralelogramo. Ésta dice que los vectores se deben colocar cerca del origen para que al trazar una recta en posiciĂłn estĂĄndar una diagonal se forme un paralelogramo.

đ?‘˘ ⃗

đ?‘˘ ⃗ 

]

Resta de vectores Para restar dos vectores libres

y

se suma

con el

opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

2


Vectores paralelos ⃗ ‖ ⃗ ⃗ y son pararelelos si es un múltiplo escalar uno del otro ⃗ = ⃗ =4 ó = ⃗ Vectores en Es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Por ende, un vector en es de la forma:

, es decir:

[

]

[

]

Los casos que nos interesan son aquellos donde n = 1, 2, 3. Es decir, R 1 = R, R2 y R3. R1 es la recta 2 3 numérica, R es el plano cartesiano y R es el espacio usual de tres dimensiones. Gráficamente:

2

3

En R, R y R podemos identificar al punto x, a (x1, x2) y a (x1, x2, x3) con una flecha que comienza en el origen y termina en el punto. Es decir, lo podemos ver de la siguiente manera:

3


De manera que, en lugar de hablar de elementos de R, R 2 y R3 como puntos, podemos referirnos a ellos como flechas dirigidas o como se llaman teóricamente, vectores. Así que la palabra vector se refiere a los elementos de cualquier Rn. Como las flechas tienen magnitud (longitud) y una dirección, decimos usualmente que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud.

Producto de un escalar por un vector Es la segunda operación básica con vectores, porque al multiplicar un escalar con un vector lo que se obtiene es el vector por C veces. ⃗ =[

] y C = escalar ]

C ⃗ = C[ 

[

Propiedades algebraicas de vectores en

⃗ + ( + ⃗⃗ ) = ( ⃗ + ) + ⃗⃗ ⃗ + = +⃗ ⃗ + = ⃗ el inverso aditivo es 0 ⃗ + ⃗ c( ⃗ + ) = c + c ⃗ (c + d) ⃗ = c + d ⃗ c(d ⃗ ) = (cd) ⃗ 1⃗ = ⃗ 

]

Asociativa Conmutativa Neutro aditivo es el vector cero Inverso aditivo Distributividad Distributividad Escalar por escalar dejando vector El 1 deja igual el vector

Combinación lineal Se dice que es una combinación lienal de los vectores ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ,… ⃗⃗⃗⃗ . Es el hecho de despejar para lo que se pide, por ejemplo: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

4

⃗ ⃗⃗


Comprobaciones de Intelecto

Encuentra la palabra oculta dentro del plano +y

Instrucciones: Grafica los vectores indicados dentro del plano para poder encontrar la palabra oculta

n

6

l 5

o

j m

4

3

k

g h

e

c

i

b 2

a

f

V 1

d

Y

-x

W

Ă‘ -6

-5

-4

-3

L

-2

Z

-1

N

1

Q

-1

3

2

P

5

T

K

M

R

O

-2

F J

I

-3

C

E H

-4

D

B

-5

A -6

-y

5

6

S

X

G

+x

U 4

1) 4)

2) 5)

3) 6)

7) 10) 13) 16) 19) 22 25 28) 31)

8) 11) 14) 17) 20) 23 26 29) 32)

9) 12) 15) 18) 21) 24 27 30)


Producto punto o producto escalar Sean ⃗ = [ , ] y = [ , ] ⃗ [ + , ] # Real + # Real = Escalar

Propiedades del producto punto o producto escalar 1. Conmutativa 2. Asociativa

3. Distributiva 4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

5. El producto escalar de un vector con un vector nulo siempre será un vector nulo 6. Otra propiedad

Para más información de cuáles son las propiedades del producto punto visita:  http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Jvql5slmcZo  http://www.youtube.com/watch?v=bAxlqrEhHeY

6


Magnitud o norma de un vector Sea ⃗ un vector en Rn

‖⃗ ‖ √ Pero para un vector en R3 que está representado en ecuación sus componentes, son el mismo vector normal: ⃗ 

[

]

Vector unitario Vector con magnitud 1, por ejemplo: ⃗ =[

] entonces ‖ ⃗ ‖=√

=1

Pero si no se tuviera una componente como: ⃗ = [ ,y] entones ‖ ⃗ ‖=√

= 1 se debe despejar para y

Normalizar un vector Es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección de . ⃗

‖ ‖

Desigualdades del producto escalar: 

Desigualdad de cauchy-schwarz

Lo que nos dice esta desigualdad es: Si

entonces

Demostración. Consideramos la función definida por para todo

es decir, que

Está claro que Observemos que

es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:

Esta última desigualdad implica

7


Quedando como resultado

como se quería demostrar.

Para poder comprender mejor la demostración de esta desigualdad junto con un ejemplo visita:  http://www.youtube.com/watch?v=ors9mJxPv1s

Extraído de http://cafematematico.com/2012/10/06/la-desigualdad-de-cauchy-schwarz/

Desigualdad del triángulo

La desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Este resultado ha sido generalizado a otros contextos como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

8


El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular: “En todo espacio vectorial normado ”. Es decir, que la norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores. Demostración con la desigualdad de cauchy-schwarz:

Para más información sobre las desigualdades visita:  http://www.youtube.com/watch?v=FVY-nDaY4xQ

Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular y del libro de algebre lineal de David Poole, tercera edición.

Distancia entre 2 vectores

Primero se debe hacer la resta entre los vectores, luego se debe calcular la magnitud. || u - v || || u - v || ||u|| - ||v||

Angulo entre vectores Debe darse siempre en radianes o grados. ⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖

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Vectores octagonales o perpendiculares ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ y son octagonales cuando el ángulo entre ellos es de 90° y su producto escalar es 0.

Teorema de Pitágoras Dice que en los triángulos rectángulos el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado, ya sea el opuesto o el adyacente. Supóngase que los triángulos están compuestos por la siguiente forma: En donde la ecuación es:

= + Sin embargo al utilizar vectores el teorema de Pitágoras es muy útil para obtener la magnitud del vector resultante, ya que trata de encontrar la distancia desde un punto hacia una recta al trazar una perpendicular:

Ejemplo Calcule la altura de un triángulo rectángulo, cuyas dimensiones son 16 y 12 cm. Se utiliza la expresión antes calculada. Se debe calcular la altura que es el cateto opuesto, entonces: 1) Se debe despejar a: √ = . 2) Se introducen los valores y se calcula √ = . √

Proyección de un vector sobre vector Busca encontrar la longitud del segmento de recta perpendicular (PB), que se formó por unir un punto (A) que está sobre una recta (l) a un punto lejano de la recta (B). Se debe considerar que los vectores sean distintos de cero. Al realizar este cálculo el resultado es otro vector. Se llega a utilizar la fórmula:

a)

10


b)

Producto vectorial o producto cruz Solo puede calcularse entre vectores de 3 componentes ( . El resultado es otro vector perpendicular a los dos vectores que se multiplicaron. ⃗

[

] [ ]

[

]

Propiedades del producto vectorial Se conoce también como producto cruz y únicamente puede calcularse entre vectores de tres componentes (R^3). El resultado es otro vector perpendicular a los dos vectores que se multiplicaron. Las propiedades que se manejan son:

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Instrucciones: Encuentra las palabras que las pistas te dicen. Pueden estar en cualquier posición. ¡Diviértete!

C Q W E R T Y U p

O A S D F P H J

M V B N M R P O

B E T O V I P R

I D B G H N J K

N X I T G C B M

A E N A H I R E

C T A Y U P I O

I H R F R A N K

O A I S D L F G

N R O M A T R I

L T G B U I O B

I C R U Z E S M

N Q W P E R H K

E I L C J M H L

A

R

A

L

E

L

O

S

H

Z

Q W E R T V

1. Para hallar un vector perpendicular a y a ⃗ , se debe realizar entre estos el producto… 2. La entrada…. Es el primer número distinto de cero que aparece en un renglón. 3. Se utiliza como referencia para convertir en ceros todas las entradas debajo de ella. 4. Si ⃗ se dice que es una... de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ... ⃗⃗⃗⃗ 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Forma que surge de las ecuaciones paramétricas. Es la cantidad de renglones distintos de 0 que tiene una matriz en su forma escalonada. Si ⃗ || entonces se puede decir que estos vectores son…. El código… se traba únicamente en Z2 [ ] Se trabaja únicamente en Z10 y se utiliza el vector de verificación Es un arreglo rectangular de números llamados “entradas”.

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A O Y T G H N P

L A I R O T C E


Rectas en Ecuaciones de una recta en Una recta que pasa por el origen tiene intercepto con el eje y igual a 0. Es decir, que en la unión de forma general, C debe ser 0.

= 2da dimensión (x, y) = 3era dimensión (x y, z)

 Forma vectorial

[ ]

[

[

]

]

 Forma normal ⃗

⃗ = vector normal = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre la recta. = vector correspondiente a cualquier punto sobre la recta.  Forma general C tiene que ser 0 para que el intercepto sea 0.  Forma paramétricos ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 

Rectas en Ecuaciones de una recta en Sucede cuando dos planos se intersectan.  Forma normal

En donde: P = punto fijo sobre la recta n = vector normal a la recta x = cualquier punto sobre la recta

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ďƒ˜ Forma General La forma general proviene de la forma normal porque al simplificar se obtiene:

En donde d es el vector direcciĂłn. ďƒ˜ Forma vectorial

En donde: P = punto fijo sobre la recta t = parĂĄmetro (escalar) d = vector direcciĂłn ďƒ˜ Forma paramĂŠtrica

Si despejamos de cada una de las ecuaciones anteriores, obtenemos las ecuaciones simĂŠtricas.

ďƒ˜ Ecuaciones simĂŠtricas

En el caso de las ecuaciones simĂŠtricas, si un punto es 0, en el caso de ejemplo, entonces se dice que



por

Plano en Ecuaciones de un plano en ďƒ˜ Forma vectorial đ?‘›âƒ—

= punto cualquier en el plano pđ?‘ƒ = punto fijo conocido sobre el plano ⃗ = vectores de direcciĂłn = escalares (llamados tambiĂŠn parĂĄmetros)

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đ?‘˘ ⃗

x

đ?‘Ł


 Forma normal ⃗ [

] [ ]

⃗ [

] [ ]

⃗ = vector normal al plano ( ⃗ ⃗ ) = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre plano. = vector correspondiente a cualquier punto sobre plano.  Forma general

 Forma paramétrica

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Distancia desde un punto F hasta una recta

‖ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

Distancia desde un punto F hasta un plano

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⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗


Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre planos paralelos

Ángulo de intersección entre rectas

El ángulo entre las rectas, es el ángulo agudo entre ellas.

Ángulo de intersección entre planos

Se utiliza el ángulo agudo entre los planos.

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Ángulo de intersección entre una recta y un plano

Crucigrama que prueba tu conocimiento 17


2)

8)

1) 5) 3)

7) 4)

10) 9)

1) Segmento de recta. 2) Está compuesta por infinitos segmentos. 3) Se incluye en la oración: Encuentra el _____ en el plano 4) Sinónimo a perpendicular 5) Se utiliza para obtener el ángulo entre los vectores. 6) Es lo que se obtiene a la hora de restar un vector terminal con el inicial. 7) Se observa en 3D. 8) Ecuaciones que se obtiene de las paramétricas al despejar t. 9) Vector que tiene magnitud 1. 10) Antónimo de los vectores perpendiculares.

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Espera 19


Revista de Álgebra Lineal