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  Corso  secondo  semestre  2011      

U n i S A                 m a r c e l l o m i c c i o @ l i b e r o . i t   1 6 / 0 7 / 2 0 1 0  


       

Descrizione  Macroscopica  di  un  fluido.   -­�

-­�

Da  un  punto  di  vista  macroscopico  la  descrizione  di  un  fluido  consta  nella   rappresentazione  delle  proprietà  del  fluido  attraverso  funzioni  del  punto  nello   spazio  e  nel  tempo.   Alla  base  di  questo  tipo  di  descrizione  c’è  la  definizione  delle  proprietà   meccaniche  delle  singole  particelle  che  compongono  il  fluido,  ossia  la   descrizione  microscopica.  

Descrizione  Microscopica  di  un  fluido.   -­�

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Proprio  perchÊ  questo  tipo  di  descrizione  tende    a  definire  le  proprietà  di  ogni   singola  particella  è  estremamente  difficile  da  ricavare  ed  impossibile  da   specificare  come  condizione  iniziale.   Per  ovviare  a  questo  problema  si  considera  un  comportamento  medio,  ossia   da  un  gran  numero  di  molecole  deve  emergere  il  comportamento  collettivo.   La  descrizione  macroscopica  ha  appunto  il  compito  di  estrarre  tale   comportamento.  

Relazione  tra  mondo  Microscopico  e  Macroscopico.   -­�

I  due  livelli  Microscopico  e  Macroscopico  sono  uniti  da  un  legame  di  tipo   statistico,  in  base  al  quale  si  giunge  alla  definizione  delle  proprietà   Macroscopiche  attraverso  distribuzioni  di  probabilità  delle  proprietà   Microscopiche.    

Le  equazioni  di  Bilancio.   -­�

Per  un  sistema  isolato  valgono  le  leggi  di  conservazione  delle  grandezze  

-­�

meccaniche  microscopiche:  M,  đ?‘„  , Ć?  .   Tenendo  conto  del  carattere  vettoriale  della  QuantitĂ   di  moto  esistono  cinque   integrali  primi  che  definiscono  queste  quantitĂ :  

đ?‘€= đ?‘„= Ć?=

Marcello Miccio

đ?‘š!     đ?‘š!   đ?‘„!   đ??¸!" + đ??¸!"  

1  


        -­�

  Tuttavia  in  un  sistema  non  isolato  tali  grandezze  non  si  conservano,  ma   variano  lentamente.  Su  questa  osservazione  si  configura  un  concetto  di  flusso.  

Volume  di  controllo.   -­�

-­�

Per  rendere  quantitativa  questa  analisi  occorre  identificare  parti  diverse  del   fluido.  Infatti  poichĂŠ  un  fluido  le  molecole  sono  continuamente  in  moto   l’unico  modo  possibile  per  descrivere  il  fenomeno  è  quello  di  identificare  a   priori  un  volume  di  controllo  e  far  riferimento  a  M,  đ?‘„  , Ć?    che  in  un  preciso   istante  si  trovano  nel  volume  considerato.   Occorre  inoltre  ragionare  in  modo  statistico  per  svincolarsi  dal  problema   relativo  alla  posizione  e  velocitĂ   di  ogni  singola  particella.  Si  deve  lavorare   dunque  con  grandezze  mediate  che  hanno  la  proprietĂ   di  essere  additive   rispetto  al  volume.  Quindi  M,  đ?‘„  , Ć?    possono  essere  rappresentate  come   integrali:  

đ?‘‘đ?‘€ = đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰   dđ?‘„ = đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘‰   đ?‘‘Ć?     =  đ??¸đ?‘‘đ?‘‰   I  flussi.   -­â€?

Le  grandezze  M,  đ?‘„  , Ć?    costituiscono  gli  invarianti  meccanici  additivi,  in  quanto   sono  grandezze  additive  rispetto  al  volume  e  se  si  considera  un  volume  di   controllo  isolato  tali  grandezze  sono  grandezze  costanti.  

-­�

Quindi  se  M,  đ?‘„ , Ć?    contenute  in  un  volume  di  controllo  variano  tale  variazione   è  attribuita  ad  una  interazione  con  l’esterno  che  può  avvenire  attraverso  la   superfice  del  volume  di  controllo  oppure  a  causa  di  campi  di  forza.   Ăˆ  possibile  rendere  tale  concetto  quantitativo  introducendo  delle  equazioni  di  

-­�

bilancio  che  collegano  le  variazioni  temporali  di  M,  đ?‘„  , Ć?    all’interno  di  volume   di  controllo  con  il  flusso  attraverso  la  superfice  di  tale  volume      

Marcello Miccio

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Definizione  concetto  di  flusso.   -­�

Consideriamo  un  volume  isolato,  diviso  da  una  superfice  (  linea  retta  ).  

     

    -­�

-­�

Dato  che  ciascuna  delle  due  parti  non  è  isolata,  perchĂŠ  è  in  contatto  con   l’altra,  la  sua  M,  đ?‘„  , Ć?      è  libera  di  variare,  ma  poichĂŠ  le  grandezze  totali  sono   costanti  l’aumento  da  una  parte  deve  essere  compensato  da  una  uguale   diminuzione  dall’altra.  Si  configura  cosĂŹ  un  concetto  di  flusso  associabile  alla   superfice  di  separazione  (  linea  retta  oppure  linea  zigrinata)  .   Il  carattere  scalare  o  vettoriale  del  flusso  può  essere  fatto  discendere  dalla   necessaria  indipendenza  dell’orientazione  locale  della  superfice  di   separazione.  Infatti  se  si  sostituisce  il  contorno  retto  con  quello  zigrinato  è   lapalissiano  che  questa  sostituzione  può  modificare  l’orientazione  locale   dell’area  del  tratto  di  contorno  considerato  con  una  alterazione  piccola  a   piacere  della  forma  e  dell’estensione  del  volume.  

Flusso  di  una  grandezza  scalare.   -­�

AffinchĂŠ  il  bilancio  non  venga  influenzato  da  una  sostituzione  di  questo  tipo,   linea  retta  con  linea  zigrinata,  il  flusso  totale  di  una  grandezza  scalare  “fâ€?   attraverso  una  superfice  di  controllo,  non  deve  dipendere  dall’effettiva  area   della  superfice,  ma  deve  dipendere  esclusivamente  dalle  proiezioni  di  tale   superfice  sui  piani  coordinati.   Esempio  in  đ?‘… ! :    

                      Marcello Miccio

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        -­�

-­�

Qui  infatti  le  proiezioni  dei  due  tratti,  linea  retta  e  linea  zigrinata,  presentano   stesse  proiezioni  sui  due  assi  X,Y.  Analogo  ragionamento  vale  anche  nel  caso   tridimensionale  che  è  quanto  ci  occorre  per  definire  il  concetto  di  flusso.   Sotto  queste  ipotesi  allora  si  può  scrivere  il  flusso  totale  in  questa  forma:  

đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!! + đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!! + đ??˝!! đ?‘‘!! đ?‘‘!!   -­â€?

-­� -­� -­�

Considerando  i  tre  elementini  di  superfice  (đ?‘‘!! đ?‘‘!! ,      đ?‘‘!! đ?‘‘!! ,    đ?‘‘!! đ?‘‘!! )     abbiamo  che  essi  costituiscono  le  componenti  di  un  vettore  che  ha:     Per  modulo      →                              La  superfice  infinitesima  “đ?‘‘đ?‘ â€?   Per  direzione  →                              Quella  normale  “  đ?‘›â€?  alla  superfice  stessa.   Ne  consegue  che  per  le  proprietĂ   del  prodotto  scalare  (    đ??˝!! ,      đ??˝!! ,    đ??˝!!  )  si   trasformano  da  un  sistema  di  riferimento  ad  un  altro  come  le  componenti  di   un  vettore  che  chiameremo:    đ??˝!        

-­�

Possiamo  dunque  riscrivere  il  flusso  totale  in  questa  forma:  

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘      -­â€?

Definito  il  flusso  totale  si  può  finalmente  scrivere  l’equazione  di  bilancio:   ! !"

-­�

đ?‘“đ?‘‘đ?‘‰ = −  

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘     

Il  segno  meno  viene  introdotto  perchĂŠ  per  convenzione  si  considera  che  se  vi   è  un  aumento  della  quantitĂ   “fâ€?  nel  volume  di  controllo  allora  il  flusso  deve   decrescere.  

Flusso  di  una  grandezza  vettoriale.   -­�

-­�

Per  trovare  il  flusso  di  una  grandezza  vettoriale,  come  la  quantità  di  moto,   basta  ricordare  che,  cosÏ  come  la  trasformazione  lineare  del  vettore  �  � ���  in   uno  scalare  avviene  attraverso  il  prodotto  scalare  per  un  vettore,  la   trasformazione  lineare  del  vettore  �  � ���  in  un  vettore  avviene  attraverso  il   prodotto  scalare  con  un  tensore  doppio.   Allora  con  la  nozione  di  tensore  è  possibile  scrivere  l’equazione  di  bilancio  per   una  grandezza  vettoriale:     ! !"

Marcello Miccio

đ?‘“đ?‘‘đ?‘‰ =   −  

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘     

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Equazioni  di  bilancio  in  forma  integrale.   -­�

Avendo  studiato  il  modello  matematico  che  descrive  il  nostro  problema   possiamo  ora  applicare  questi  concetti  a  M,  đ?‘„  , Ć?    :   ! !" ! !"

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = −   ! !"

-­�

-­�

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł =   −  

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘     

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘   +   đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł  

đ?œŒđ?‘’đ?‘‘đ?‘Ł = −  

đ?šĽ! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘   +   đ??żđ?‘‘đ?‘Ł  

L’equazione  della  quantitĂ   di  moto  è  corretta  con  l’aggiunta  della  forza  “fâ€?  che   rappresenta  l’aumento  della  quantitĂ   di  moto  prodotto  da  eventuali  campi  di   forza.  Tipicamente  nelle  applicazioni  è  proprio  la  forza  peso,  pari  a  (đ?œŒđ?‘”).   L’equazione  invece  dell’energia  è  corretta  con  l’aggiunta Â��del  corrispondete   lavoro  compiuto  da  “fâ€?.  Tipicamente  nel  caso  della  forza  peso  è  pari  a   đ?‘žđ?‘” .    

Equazioni  di  bilancio  in  forma  differenziale.   -­�

Le  equazioni  di  bilancio,  sotto  l’ipotesi  che  la  grandezza  fisica  “f�  sia  una   grandezza  continua,  possono  essere  scritte  anche  in  forma  differenziale   sfruttando  il  Teorema  della  Divergenza:    

đ??˝! .     đ?‘› đ?‘‘đ?‘  =   -­â€?

Allora  si  possono  riscrivere  le  equazioni  di  bilancio  in  forma  integrale  in   questo  modo:  

� �� ! !"

đ?œŒđ?‘‘đ?‘Ł = −

∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł    

đ?œŒđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = − ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł    +   đ?‘“đ?‘‘đ?‘Ł   ! !"

-­�

∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł    

đ?œŒđ?‘’đ?‘‘đ?‘Ł = − ∇ ∙ đ??˝!  đ?‘‘đ?‘Ł    +   đ??żđ?‘‘đ?‘Ł  

Inoltre  poichÊ  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  ogni  volume  di   integrazione  si  possono  scrivere  anche  in  questa  forma:  

đ?›żđ?œŒ + ∇ ∙ đ??˝! = 0   đ?›żđ?‘Ą Marcello Miccio

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đ?›żđ?‘„ + ∇ ∙ đ??˝! = đ??š   đ?›żđ?‘Ą đ?›żđ??¸ + ∇ ∙ đ??˝! = đ??ż   đ?›żđ?‘Ą

  Equilibrio  termodinamico.  

Consideriamo  un  fluido  che  si  trovi  in  queste  due  condizioni:     1) Fluido  di  composizione  molecolare  ben  definita  racchiuso  in  un  sistema   isolato.   2) Fluido  in  stato  di  quiete  abbastanza  lungo  per  trovarsi  in  equilibrio   termodinamico.   -­â€? Sotto  queste  due  ipotesi  un  fluido  può  essere  descritto,  dal  punto  di  vista   macroscopico    da  solo  due  variabili,  dette  variabili  termodinamiche.   -­â€? In  questa  condizione  la  massa  e  l’energia  totali  sono  costanti  mentre  la   quantitĂ   di  moto  è  nulla  poichĂŠ  il  fluido  si  trova  in  condizioni  di  quiete,  quindi   le  uniche  due  variabili  necessarie  a  descrivere  il  sistema  sono  đ?‘€, đ?œ€  .   -­â€? Da  queste  due  variabili  dipendono  tutte  le  altre  grandezze  termodinamiche   (p,  s  ,  T,  h  ecc.)   -­â€? Attraverso  opportune  trasformazioni  si  possono  esprimere  le  relazioni   termodinamiche  in  termini  di  un’altra  coppia  di  variabili  (  T,  p  ),  ma  le  variabili   indipendenti  restano  sempre  due.   -­â€? Possiamo  formalizzare  la  dipendenza  dai  flussi  in  questo  modo:   -­â€?

đ??˝! =   đ??˝! (đ?œŒ, đ?‘’  )   đ??˝! =   đ??˝! 0   = 0   đ??˝! =   đ??˝! đ?œŒ, đ?‘’      

Marcello Miccio

 

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Equilibrio  termodinamico  Locale.   Se  il  fluido  è  in  moto  e  non  è  in  equilibrio  termodinamico,  si  può  suppore  che   esista  almeno  un  equilibrio  termodinamico  locale.   -­â€? Il  concetto  di  equilibrio  termodinamico  locale  comporta  l’introduzione  di  due   scale:   -­â€? đ?‘™ →    Una  scala  caratteristica  delle  interazioni  molecolari,  è  detto  “cammino   libero  medioâ€?  ed  indica  quanto  spazio  percorre  mediamente  una  particella   prima  di  urtane  un’altra.   -­â€? đ??ż →  Una  scala  caratteristica  del  moto  del  fluido.     -­â€? Si  può  dunque  considerare  la  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale  se   e  solo  se  vale  una  delle  seguenti  condizioni:   1) đ?‘™ ≪ đ??ż   -­â€?

!

2) đ??ž! = !   < 0,01   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Dove  il  rapporto  tra  le  due  scale  è  detto  â&#x20AC;&#x153;Numero  di  Knudsenâ&#x20AC;?.   In  queste  condizioni  di  equilibrio  termodinamico  locale  i  flussi  devono   dipendere  da:    

đ??˝! =   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )   đ??˝! =   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )   đ??˝! =   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )     La  pressione.   -­â&#x20AC;?  PoichĂŠ  i  fluidi  a  differenza  dei  solidi  sono  mezzi  isotropi,  essi  non  ammettono   direzioni  privilegiate  quindi  la  funzione    đ??˝! =   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;  )  deve  restare  inalterata   anche  dopo  una  rotazione  del  sistema  di  riferimento.     -­â&#x20AC;?  Esiste  un  unico  tensore  le  cui  componenti  sono  invarianti  per  una  rotazione   del  sistema  di  rifermento  ed  è  il  tensore  unitĂ .   -­â&#x20AC;?  Quindi  il  flusso  di  quantitĂ   di  moto  deve  essere  necessariamente  espresso   dal  prodotto  di  una  funziona  scalare  delle  variabili   đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;    per  il  tensore  unitĂ .   -­â&#x20AC;?  Se  indichiamo  con  â&#x20AC;&#x153;pâ&#x20AC;?  (  pressione  )  tale  funzione  scalare  allora  si  può   scrivere:  

Marcello Miccio

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đ??˝! = đ?&#x2018;?   đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;   đ??ź =  đ?&#x2018;?   đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

1 â&#x2039;Ž 0

â&#x2039;Ż â&#x2039;ą â&#x2039;Ż

0 â&#x2039;Ž   1

Inoltre  se  il  fluido  è  in  condizioni  di  quiete  il  tensore  đ??˝!  si  riduce  al  solo   termine   đ?&#x2018;?đ??ź   ,  ossia  la  pressione  coincide  con  la  componente  fuori  diagonale   del  tensore  degli  sforzi.   Sotto  queste  osservazioni  possiamo  andare  a  riscrivere  lâ&#x20AC;&#x2122;  equazione  di  bilancio   della  quantitĂ   di  moto:   ! !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ??˝!  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł    +   đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł   đ??˝! = đ?&#x2018;?đ??ź   â&#x2020;&#x2019;  

đ?&#x203A;ż đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0  

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ??˝!  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł    +   đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0   â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?đ??ź  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł    +   đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0   -­â&#x20AC;?

Ricordando  che  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  qualsiasi   volume  di  integrazione  si  deve  avere:  

 đ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?     Idrostatica.   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  che  abbiamo  ottenuto  descrive  il  moto  di  un  fluido  in   condizioni  di  quiete  rispetto  a  un  sistema  di  riferimento  inerziale.   Solitamente  nelle  applicazioni  la  generica  forza  â&#x20AC;&#x153;fâ&#x20AC;?  è  proprio  la  forza  peso,   quindi  possiamo  riscrivere  la  relazione  e  ottenere  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  dellâ&#x20AC;&#x2122;idrostatica:  

â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? =  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   -­â&#x20AC;?

Questa  relazione  può  essere  ulteriormente  semplificata  se  si  scompone  il   gradiente  di  pressione  e  ne  valutiamo  le  componenti:  

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; =0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = 0   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

La  pressione  dunque  è  funzione  della  sola  quota  đ?&#x2018;§   Inoltre  se  ora  consideriamo  un  fluido  incomprimibile  đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;,  si   può  integrare  la  componente  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  del  gradiente  di  pressione:       !" !"

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;       â&#x2020;&#x2019;              đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§         â&#x2020;&#x2019;    

! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; !!

=â&#x2C6;&#x2019;

! (đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§   !!

đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;! = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§!       â&#x2020;&#x2019;        đ?&#x2018;&#x192; =   đ?&#x2018;&#x192;! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§!   -­â&#x20AC;?

  Se  pongo,    (đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x203A;ž)                  (đ?&#x2018;§! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§ = â&#x201E;&#x17D;)  ,    possiamo  dunque  riscrivere  in  questo   modo:  

đ?&#x2018;&#x192; =   đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;   Pressione  relativa   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

La  pressione  che  abbiamo  considerato  fin  ora  è  detta  â&#x20AC;&#x153;  pressione  assolutaâ&#x20AC;?.   Tuttavia  nei  problemi  applicativi,  con  condotti  o  recipienti  la  cui  parete  è   esposta  a  due  pressioni,  si  utilizza  la  â&#x20AC;&#x153;pressione  relativaâ&#x20AC;?  definita  in  questo   modo:    

đ?&#x2018;&#x192;!"# = đ?&#x2018;&#x192;!"" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;!      

  đ?&#x2018;&#x192; !  

 

âŹ&#x161;

đ?&#x2018;&#x192;!!!   âŹ&#x161;

  -­â&#x20AC;?

Introduciamo  ora  la  pressione  ricavata  poco  anzi  nella  definizione  della   pressione  relativa:   đ?&#x2018;&#x192; =   đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;   â&#x2020;&#x2019;   đ?&#x2018;&#x192;!"# = đ?&#x2018;&#x192;!"" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;!   â&#x2020;&#x2019;     đ?&#x2018;&#x192;!"# = đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;!   â&#x2020;&#x2019;     đ?&#x2018;&#x192;!"# = đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x201D;    

Spinte  su  superfici  immerse.   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;unico  sforzo  presente  in  un  fluido  stazionario  è  quello  normale,  ossia  la   pressione.   Considerando  come  unica  forza  agente  su  un  fulido  stazionario  la  forza  peso  si   ha  che  la  spinta  su  una  superfice  a  contatto  con  il  fluido  deve  soddisfare  

Marcello Miccio

9  


        -­â&#x20AC;?

lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  pressione.   Allora  la  spinta  su  una  superfice  infinitesima  â&#x20AC;&#x153;dsâ&#x20AC;?  è  data  dalla  relazione:  

đ?&#x2018;&#x2018;đ??š = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    -­â&#x20AC;?

Integrando  questa  relazione  lungo  la  superfice  S,  area  su  cui  vogliamo   conoscere  la  spinta,  otteniamo  la  spinta  totale:    

đ??š= -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  =  

 (đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

Questa  equazione  è  di  tipo  vettoriale  e  può  essere  scissa  nelle  sue  tre   componenti:  

đ??š! =   (đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; !   đ??š! =   (đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; !   đ??š! =   -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; !  

Solitamente  la  spinta  su  una  superfice  immersa  si  calcola  per  esigenze  di   progetto  come  il  dimensionamento  di  una  diga  oppure  per  valutare  lâ&#x20AC;&#x2122;effettiva   resistenza  alle  onde  del  mare  di  una  chiglia  navale.    

Spinta  su  una  superfice  piana.   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Una  superfice  piana  può  essere  rappresentata  dalle  pareti  di  un  recipiente   oppure  dalle  fondamenta  di  una  piscina.   In  questi  casi  si  ha  che:   1) Un  lato  della  superfice  è  totalmente  a  contatto  con  il  fluido.   2) Lâ&#x20AC;&#x2122;altro  lato  è  parzialmente  immerso  nel  fluido,  quindi  è  a  contatto  con   lâ&#x20AC;&#x2122;atmosfera.        

 

đ??š!  

  Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

Scegliamo  ora  come  sistema  di  riferimento  un  sistema  di  coordinate  in  modo   che  la    superfice  orizzontale  del  pelo  libero  coincida  con  il  piano  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  e  lâ&#x20AC;&#x2122;origine   sia  a  pressione  đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x192;!  ,  allora  posso  stimare  la  spinta  su  una  superfice   orizzontale  in  questo  modo:    đ??š =  

đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

  Spinta  su  superfice  inclinata.   -­â&#x20AC;?

Se  invece  ora  ci  proponiamo  di  valutare  la  spinta  su  una  superfice  piana   inclinata  valgono  analoghi  ragionamenti,  tuttavia  si  deve  correggere  il   dislivello  â&#x20AC;&#x153;hâ&#x20AC;?  tenendo  conto  dellâ&#x20AC;&#x2122;inclinazione  della  parete  su  cui  vogliamo   conoscere  la  spinta.       đ??š!  

   

đ??š =   -­â&#x20AC;?

đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  =

đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;Ś sin đ?&#x203A;ź  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  =  đ?&#x203A;ž  đ?&#x2018;Ś! sin đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;&#x2020;  

Dove  con    "đ?&#x2018;Ś! â&#x20AC;?    indichiamo  la  coordinata  y  del  baricentro  della  figura  di   superfice  S.    

 

Marcello Miccio

 

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Corpo  completamente  immerso.   La  spinta  totale  applicata  su  un  corpo  completamente  immerso  è  data  dalla  solita   equazione  vettoriale:      

đ??š =  

 (đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

        -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Procediamo  a  calcolare  le  componenti,  iniziando  con  la  componente  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?.   Ă&#x2C6;  opportuno  eseguire  lâ&#x20AC;&#x2122;integrazione  in  due  passaggi:   1) Prima  a  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  costante  su  fasce  orizzontali  di  altezza  â&#x20AC;&#x153;dzâ&#x20AC;?.   2) Poi  tutte  le  fasce  verticali  con  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  variabile.  

đ??š! =   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

!"##$  !"  !"#$%

(đ?&#x2018;&#x192;! + đ?&#x203A;žâ&#x201E;&#x17D;)

!"#$%&'  !"#$%"

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020;!  

  Dallâ&#x20AC;&#x2122;integrale  esteso  su  una  singola  fascia  si  ottiene  due  volte  la  proiezione   della  fascia  sul  piano  x,  una  volta  con  il  segno  (+)  ed  una  volta  con  il  segno(  -­â&#x20AC;?)  ,   dunque  il  risultato  dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale  è  zero.     Da  questo  segue  che  la  componente  đ??š! = 0  .   Analogo  ragionamento  segue  per  la  componente  đ??š! = 0  .   Quindi  si  può  affermare  che  i  corpi  totalmente  immersi  non  sono  soggetti  a   nessuna  spinta  orizzontale.   Per  la  componente  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  invece  non  valgono  le  stesse  considerazioni  in  quanto   la  pressione  dipende  dalla  coordinata  â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?  e  quindi  non  può  essere  portata   fuori  dal  segno  di  integrale.   Tale  componente  si  ricava  applicando  il  teorema  della  divergenza   allâ&#x20AC;&#x2122;equazione:  

đ??š! =

Marcello Miccio

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;        â&#x2020;&#x2019;       đ??š! =   â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =  đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2030;!"#$"      

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        -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Qui  â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?  indica  il  volume  del  fluido  spostato,  o  per  rendere  ancora  meglio   lâ&#x20AC;&#x2122;idea  possiamo  dire  che  â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?  è  pari  al  volume  del  corpo  immerso.   La  forza  verticale  espressa  dalla  compente  đ??š!  è  diretta  verso  lâ&#x20AC;&#x2122;alto  ed  è  detta   spinta  di  Galleggiamento  oppure  spinta  di  Archimede.    

Centro  di  spinta  di  un  corpo  totalmente  immerso.   -­â&#x20AC;?

Ă&#x2C6;  definito  come  il  punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede.  In   particolare  scegliendo  arbitrariamente  lâ&#x20AC;&#x2122;origine  di  un  sistema  di  riferimento  la   coordinata  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?  del  centro  di  spinta  "đ?&#x2018;&#x2039;! "  si  ricava  dalla  relazione:  

đ?&#x2018;&#x2039;! đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2030; = -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;           â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x2018;&#x2039;! =   đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;  

Analogamente  si  possono  ricavare  le  altre  coordinate  del  centro  di  spinta:  

đ?&#x2018;&#x152;! =

1 đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;  

đ?&#x2018;?! =

1 đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;  

Allora  il  punto  cosÏ  ottenuto  è  il  baricentro  del  fluido  spostato  ed  è  pari  al   punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede.    

 

Marcello Miccio

 

13  


       

Corpo  galleggiante.   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Questi  corpi  differiscono  da  quelli  totalmente  immersi  perchÊ  non  sono   delimitati  totalmente  da  superfici  a  contatto  con  un  fluido.  Si  definiscono   dunque  in  base  al  pelo  libero  del  fluido.   Definiamo  ora  la  parte  immersa  di  un  corpo  galleggiante  come  quella   delimitata  dalle  superfici  bagnate  dal  fluido  e  quella  del  prolungamento  del   pelo  libero  attraverso  il  corpo  stesso.    

          -­â&#x20AC;?

Per  questo  tipo  di  problema  la  spinta  di  Archimede  è  data  dalla  solita   relazione:  

 đ??š! = -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;        â&#x2020;&#x2019;       đ??š! =  

â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =  đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2030;!""#$%&      

  Tuttavia  qui  il  volume  â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?  indica  il  volume  della  sola  parte  immersa  del  corpo.   Anche  qui  il  punto  di  applicazione  della  spinta  di  Archimede  è  pari  al   baricentro  del  fluido  spostato.      

 

Marcello Miccio

 

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Stabilità  idrostatica.   -­‐

-­‐

-­‐

Un  corpo  totalmente  immerso,  come  pure  un  corpo  galleggiante  è  soggetto  a   due  forze:   1) Una  spinta  di  Archimede  applicata  nel  suo  centro  di  spinta  (B)  diretta  nella   direzione  delle  “Z”  positive.   2) Una  Forza  dovuta  alla  forza  Peso  applicata  nel  suo  baricentro  (G)  diretta   nella  direzione  delle  “Z”  negative.   Sotto  queste  considerazioni  un  corpo  può  rimanere  statico  nella  direzione   verticale  se  e  solo  se  queste  due  forze  sono  uguali  in  modulo.  Inoltre  per   avere  stabilità  si  deve  avere  che  il  baricentro  (G)  e  il  centro  di  spinta  (B)  siano   allineati  sulla  stessa  retta  verticale,  altrimenti  il  corpo  ruoterebbe  a  causa   della  coppia  di  forze.   Si  possono  dunque  presentare  tre  differenti  configurazioni:   A) Equilibrio  Statico  →  Si  ha  quando  il  momento  della  coppia  di  forze  è  nullo,   questo  poiché  agiscono  sulla  stessa  retta  verticale.   B) Equilibrio  Instabile  →  Si  ha  quando  il  momento  della  coppia  di  forze  è   diverso  da  zero,  tale  momento  produce  una  rotazione  del  corpo  immerso  o   galleggiante.   C) Equilibrio  Indifferente  →  Si  ha  quando  sul  corpo  non  nasce  nessun   momento.  

Definizione  di  Sistema.   -­‐

Il  sistema  è  una  quantità  di  fluido  avente  una  ben  determinata  identità,  che   deve  considerarsi  come  composta  sempre  dalle  stesse  particelle  fluide  e  che   può  muoversi,  deformarsi  e  interagire  con  il  mondo  esterno.      

Definizione  Volume  di  Controllo.   -­‐

Il  volume  di  controllo  è  un  volume  individuato  nello  spazio  in  maniera   completamente  arbitraria.  È  un’entità  geometrica  totalmente  indipendente   dalla  massa  e  con  un  volume  che  può  essere  mobile,  fisso,  deformabile  e   indeformabile.  

Marcello Miccio

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Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds.     -­â&#x20AC;?

Premessa:  tale  teorema  restituisce  una  relazione  tra  la  variazione  nel  tempo   di  una  generica  proprietà  termo  fluidodinamica  che  costituisce  il  sistema  e  la   variazione  nel  tempo  della  stessa  proprietà  contenuta  nel  volume  di  controllo.  

  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  per  Volume  di  Controllo  FISSO  ed   INDEFORMABILE.   đ??ťđ?&#x2018;?:          A)  Consideriamo  un  Volume  di  controllo  Fisso  e  Indeformabile.   B) Consideriamo  un  Flusso  Monodimensionale,  ossia  un  flusso  in  cui  le   proprietĂ   del  sistema  sono  costanti  sezione  per  sezione,  ma  variano  da   sezione  a  sezione.   đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;:   1) Consideriamo  lo  schema  rappresentato:  

  2) Data  la  configurazione,  possiamo  scrivere:     -­â&#x20AC;? Al  tempo  â&#x20AC;&#x153;tâ&#x20AC;?                                              â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x2030;đ??ś â&#x2030;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;   -­â&#x20AC;? Al  tempo  â&#x20AC;&#x153;  đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą  â&#x20AC;?                      â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x2030;đ??ś  đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;.   3) Allora  basandosi  sullo  schema  si  possono  formalizzare  tali  relazioni:   -­â&#x20AC;? Al  tempo  â&#x20AC;&#x153;tâ&#x20AC;?                        â&#x2020;&#x2019; đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą = đ??ľ!" (đ?&#x2018;Ą)               -­â&#x20AC;? Al  tempo  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ąâ&#x20AC;?    â&#x2020;&#x2019;   đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą = đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą +   đ??ľ!! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; Marcello Miccio

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đ??ľ! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą     4) Sottraggo  ora  la  prima  equazione  ad  ambo  i  membri:   đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą = đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!" (đ?&#x2018;Ą)   +   đ??ľ!! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą     Se  ora  consideriamo  le  generiche  sezioni  đ??´! ,  đ??´!  possiamo  andare  a  riscrivere  gli   ultimi  due  termini:   đ??ľ! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą =   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą   -­â&#x20AC;? đ??ľ!! đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą =   đ?&#x2018;?!! đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;?!! đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;?!! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą     5) Sostituisco  ora  gli  ultimi  due  addendi  per  come  li  ho  trasformati:   -­â&#x20AC;?

đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą = đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;?!! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą   6) Divido  ora  ogni  termine  per  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ąâ&#x20AC;?:   đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!"#$ đ?&#x2018;Ą đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ!" đ?&#x2018;Ą = + đ?&#x2018;?!! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x152;đ??´! đ?&#x2018;Ł   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 7) Ricordando  la  definizione  di  derivata  e  di  flusso  possiamo  riscrivere  il  tutto:    !!!"#$   !"

=

!!!"   !"

+ đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

Tale  relazione  può  essere  generalizzata  per  qualsiasi  proprietĂ   esprimendola  in   questa  forma:   đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ!"#$   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

    Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  per  Volume  di  Controllo  MOBILE  e  

Marcello Miccio

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DEFORMABILE.   1) Per  estendere  tale  risultato  a  un  volume  di  controllo  mobile  e  deformabile  si   deve  sostituire  la  velocitĂ   assoluta  con  quella  relativa:   đ?&#x2018;&#x2030;!"# = đ?&#x2018;&#x2030;!"" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;!   -­â&#x20AC;? Dove  đ?&#x2018;&#x2030;! indica  la  velocitĂ   con  cui  si  muove  il  volume  di  controllo.   2) Allora  vado  a  riscrivere  il  Teorema  del  Trasporto  introducendo  la  velocitĂ    relativa:   đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ!"#$   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ł!"" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł! ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą Applicazione  del  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  al  Bilancio  di  Massa.   1) Consideriamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  massa  in  forma  integrale:   ! !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł =   â&#x2C6;&#x2019;  

đ??˝! .     đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;     

2) Per  estendere  tale  relazione  a  un  volume  di  controllo  Mobile  e  Deformabile   applichiamo  il  Teorema  del  Trasporto:     đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ!"#$   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

3) Ora  poniamo:        (đ??ľ!"#$ = đ?&#x2018;&#x20AC;)                        (đ?&#x2018;? = 1)    e  otteniamo:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x20AC;   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +

đ?&#x153;&#x152;(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

4) Ricordando  la  formulazione  integrale  del  Bilancio  della  massa  riscrivo  il  primo   membro  e  introduciamo  il  vettore  đ??˝! :   đ?&#x2018;&#x2018;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019;

đ??˝! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  +

đ?&#x153;&#x152;(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

5) Porto  tutto  al  primo  membro  e  scrivo  i  due  integrali  di  superfice  in  un  unico  

Marcello Miccio

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integrale:   đ?&#x2018;&#x2018;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł +

(  đ??˝! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł! ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0  

6) Se  ora  consideriamo  la  velocitĂ   del  volume  di  controllo  costante  (đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą)  è   possibile  effettuare  un  cambiamento  di  sistema  inerziale  secondo  la  relazione:   đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2014; + đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ą     7) In  base  dunque  al  riferimento,  mobile  oppure  fisso,  avrò  differenti  relazioni:   !  

â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0                        Fisso:                    !" đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł +  đ??˝! !  

Mobile:                          !" đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł + (  đ??˝! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł! ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0   8) Ponendo  uguali  queste  due  ultime  relazioni  otteniamo  la  legge  di  variazione  del   â&#x2C6;&#x2014; +  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł   flusso  di  massa  tra  sistemi  di  riferimento  differenti:      đ??˝! =  đ??˝! !

9) Se  consideriamo  ora  una  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale,  tale   legge  di  variazione  deve  valere  anche  per  la  dipendenza  dai  flussi  e  quindi  si  ha:       â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014;  ) +  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )=  đ??˝! !

10)

Sotto  lâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore  ipotesi  di  fluido  in  quiete  (  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; = 0)    si  può  scrivere:   đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; + đ?&#x2018;Ł!                    đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; = 0         â&#x2020;&#x2019;         đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł!     â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, 0   +  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł         â&#x2020;&#x2019;         đ??˝ (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )  =  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł              đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )=  đ??˝! ! ! !

đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  )  =  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł                                                         â&#x2020;&#x2019;               đ??˝!  =  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł                     Ho  ottenuto  cosĂŹ  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  del  flusso  di  massa  per  qualsiasi  sistema  di  

Marcello Miccio

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riferimento  inerziale.     Applicazione  del  Teorema  del  Trasporto  di  Reynolds  al  Bilancio  di  QuantitĂ   di   Moto.   1) Consideriamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  quantitĂ   di  moto  in  forma  integrale:   ! !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019;  

đ??˝! .     đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   +   đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  

2) Per  estendere  tale  relazione  a  un  volume  di  controllo  Mobile  e  Deformabile   applichiamo  il  Teorema  del  Trasporto:   đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ!"#$   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą   3) Ora  poniamo:    (đ??ľ!"#$ = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł  )                      (đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ł)    ed  otteniamo:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E;   đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 4) Ricordando  la  formulazione  integrale  del  Bilancio  della  quantitĂ   di  moto  riscrivo  il   primo  membro  e  introduciamo  il  tensore  đ??˝!  :   đ?&#x2018;&#x2018;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019;

đ??˝! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  +

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

5) Porto  tutto  al  primo  membro  e  scrivo  i  due  integrali  di  superfice  in  un  unico   integrale:     đ?&#x2018;&#x2018;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +

(đ??˝! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0  

6) Se  ora  consideriamo  la  velocitĂ   del  volume  di  controllo  costante  (đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą)  è  

Marcello Miccio

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possibile  effettuare  un  cambiamento  di  sistema  inerziale  secondo  la  relazione:   đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł!   7) In  base  dunque  al  riferimento,  mobile  oppure  fisso,  avrò  differenti  relazioni:   Fisso:                    Mobile:              

!   !"

!   !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =   â&#x2C6;&#x2019;   đ??˝!â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

(đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł! )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019; (đ??˝! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;                 

8) Vado  ora  a  riscrivere  la  relazione  per  il  caso  mobile  ricordando  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di   bilancio  della  massa  e  moltiplicandola  per  đ?&#x2018;Ł!  :   đ?&#x2018;Ł!

! !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł =   â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ł!  

â&#x2C6;&#x2014; .     đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;      đ??˝!

â&#x2C6;&#x2014;  nella  relazione  del  caso  mobile:   9) Quindi  possiamo  introdurre  đ??˝! !  

â&#x2C6;&#x2014;  ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0                          !" đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + (đ??˝! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł! đ??˝!

  10) Ponendo  uguali  queste  due  ultime  relazioni  otteniamo  la  legge  di  variazione   del  flusso  di  quantità  di  moto  tra  sistemi  di  riferimento  differenti:         11)

â&#x2C6;&#x2014;   đ??˝! = đ??˝!â&#x2C6;&#x2014; + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Ł! đ??˝! Se  consideriamo  ora  una  condizione  di  equilibrio  termodinamico  locale,  tale  

legge  di  variazione  deve  valere  anche  per  la  dipendenza  dai  flussi  e  quindi  si  ha:  

12)

â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014;  )   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  ) = đ??˝!â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014;  ) + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Ł! đ??˝! Considerando  il  fluido  in  condizioni  stazionarie  si  può  scrivere:   đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; + đ?&#x2018;Ł!                    đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2014; = 0         â&#x2020;&#x2019;         đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł!   â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, 0  )   đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł  ) = đ??˝!â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, 0  ) + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Ł! đ??˝!

đ??˝! đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł   = đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;   đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł!   13)

đ??˝! = đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł   Ho  ottenuto  cosĂŹ  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  del  flusso  di  quantitĂ   di  moto  per  qualsiasi  

Marcello Miccio

21  


       

sistema  di  riferimento  inerziale.    

Teorema  del  Momento  Angolare.   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

La  meccanica  dei  fluidi  trova  molte  applicazioni  nellâ&#x20AC;&#x2122;uso  di  macchine  rotanti,   come  turbine.  Per  tali  macchine  è  spesso  conveniente  scegliere  un  volume  di   controllo  pari  al  volume  della  macchina  stessa.   Consideriamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  quantitĂ   di  moto  in  forma   integrale:     ! !"

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +   (đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł) â&#x2C6;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   =   đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  

    Per  ottenere  il  momento  angolare  si  deve  moltiplicare  vettorialmente  ogni   termine  per  il  raggio  vettore  (  đ?&#x2018;&#x;  )  ,  definito  rispetto  ad  un  polo:   !

   !" đ?&#x2018;&#x;  Ă&#x2014;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +   -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;&#x;  Ă&#x2014;(đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł) â&#x2C6;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   =   đ?&#x2018;&#x;  Ă&#x2014;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  

  Il  vettore  đ?&#x2018;&#x;  può  essere  portato  sotto  il  segno  di  integrale  perchĂŠ  il  momento   totale  del  sistema  è  dato  dalla  somma  dei  momenti  angolari  degli  elementini   di  massa  del  sistema  (  Ipotesi  vera  ma  non  dimostrata  al  corso).    

Profili  di  velocità.  

  1) Profilo  Parabolico.   -­â&#x20AC;? Ă&#x2C6;  tipico  di  un  flusso  laminare,  ossia  un  flusso  in  cui  il  moto  del  fluido  avviene   con  scorrimento  di  strati  infinitesimi  gli  uni  sugli  altri,  senza  alcun   rimescolamento.   -­â&#x20AC;? Qui  il  moto  consta  in  un  moto  delle  molecole  molto  ordinate.   -­â&#x20AC;? La  velocitĂ   massima  si  raggiunge  al  centro  della  parabola  ed  è  legata  alla   Marcello Miccio

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generica  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?  dalla  relazione:   đ?&#x2018;Ś! 1 â&#x2C6;&#x2019; !   â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘!"#  

2) Profilo  Appiattito.   -­â&#x20AC;? Ă&#x2C6;  tipico  di  un  flusso  turbolento,  ossia  un  flusso  in  cui  il  moto  del  fluido  avviene   in  modo  caotico  senza  seguire  traiettorie  ordinate  e  stabilite.   -­â&#x20AC;? Qui  il  moto  è  la  manifestazione  di  un  moto  estremamente  disordinato,   caotico,  instazionario  ed  imprevedibile.   -­â&#x20AC;? La  velocitĂ   massima  si  raggiunge  al  centro  del  profilo  ed  è  legata  alla  generica   velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?  dalla  relazione:   !

đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘!"#

đ?&#x2018;Ś ! 1â&#x2C6;&#x2019;   â&#x201E;&#x17D;

  Coefficiente  di  correzione  dei  profili.   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;introduzione  di  questo  coefficiente  serve  a  correggere  i  risultati  che  si   ottengono  sfruttando  il  flusso  di  quantitĂ   di  moto,  poichĂŠ  tali  risultati  si   basano  sempre  su  velocitĂ   medie  e  non  su  velocitĂ   istantanee.   Allora  il  coefficiente  đ?&#x203A;˝  tiene  conto  dellâ&#x20AC;&#x2122;errore  che  si  commette  con  questo   tipo  di  approssimazione  e  permette  di  trasformare  una  disuguaglianza  in   uguaglianza:   đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

! đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  â&#x2030;  đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;&#x2020;                         â&#x2020;&#x2019;                        đ?&#x153;&#x152;

! đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = đ?&#x203A;˝đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;&#x2020;  

Interessante  è  calcolare  il  valore  del  coefficiente  đ?&#x203A;˝  nei  vari  casi  che  si   presentano:   1) Profilo    laminare  piano   2) Profilo    turbolento  piano   3) Profilo    laminare  cilindrico   4) Profilo    turbolento  cilindrico   Per  far  questo  si  deve  calcolare  per  ogni  caso:  

A) La  velocita  media:                          đ?&#x2018;Ł! =

! !

đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

B) Il  valore  dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale:        đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    Marcello Miccio

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C) Sfruttando  poi  la  definizione  del  coefficiente  đ?&#x203A;˝  si  ricava  il  suo  valore.      

Equazioni  di  Bilancio  in  forma  Differenziale  Conservativa.   1) Consideriamo  le  equazioni  di  bilancio  di  massa  e  quantitĂ   di  moto  per  un   fluido  in  moto:   đ?&#x203A;ż đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0 đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą   đ?&#x203A;ż đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą     2) Per  riscriverle  in  forma  differenziale  sfrutto  sempre  il  teorema  della   divergenza:     ! !" ! !"

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł +   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0  

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  =   đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  

3) Ora  poichĂŠ  queste  relazioni  devono  essere  soddisfatte  per  ogni  volume  di   integrazione  si  può  scrivere:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł) = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą Derivata  sostanziale.     -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Ă&#x2C6;  un  operatore  utilizzato  in  fluidodinamica  per  trattare  la  variazione  nel   tempo  di  una  grandezza  (  scalare  o  vettoriale  )  di  una  particella  mentre  si   muove  con  un  campo  di  velocitĂ   dipendente  da  posizione  spaziale  e   temporale.   Tale  operatore  è  definito  in  questo  modo  per  una  grandezza  scalare:   !" !"

-­â&#x20AC;?

=

!" !"

+ đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;&#x201C;    

Mentre  per  una  grandezza  vettoriale  è  definito  in  questo  modo:  

Marcello Miccio

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!! !" -­â&#x20AC;?

=

!! !"

+ đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;&#x201C;    

In  generale  si  può  dire  che:   !"

A)      â&#x2020;&#x2019;        Termine  instazionario,  infatti  tiene  conto  della  non  stazionarietĂ    !"

del  campo  di  moto.   B) đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;&#x201C;   â&#x2020;&#x2019;  Termine  Convettivo,  tiene  conto  della  variazione  di  una   grandezza  di  una  particella  che  è  trasportata  con  velocitĂ   đ?&#x2018;Ł  attraverso  un   gradiente  della  grandezza  stessa.   Forma  Differenziale  convettiva  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  massa.   1) Consideriamo  la  formulazione  conservativa  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della   massa:     đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 2) Sviluppiamo  ora  il  secondo  addendo  svolgendo  la  derivata  del  prodotto:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; + đ?&#x153;&#x152;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x153;&#x152; = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 3) Ricordando  ora  la  definizione  di  derivata  sostanziale  possiamo  scrivere  il  primo  e   il  terzo  addendo  in  un  unico  membro:    

đ??ˇđ?&#x153;&#x152; + đ?&#x153;&#x152;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0   đ??ˇđ?&#x2018;Ą Equazione  di  bilancio  della  massa  per  Fluidi  Incomprimibili.   1) Consideriamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  massa  in  forma  conservativa:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 2) Supponiamo  ora  di  studiare  un  fluido  incomprimibile,  ossia  un  fluido  per   cui    đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą  :   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; = 0               â&#x2020;&#x2019;                 â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0                   â&#x2020;&#x2019;                   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą Forma  Differenziale  convettiva  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  quantitĂ   di  moto.   1) Consideriamo  la  formulazione  conservativa  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della   Marcello Miccio

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quantitĂ   di  moto:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł) = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 2) Trasformo  ora  il  primo  termine  con  derivata  del  prodotto:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 3) Possiamo  riscrivere  lâ&#x20AC;&#x2122;ultimo  termine  considerando  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  massa   in  forma  differenziale  conservativa  e  moltiplicandola  per  đ?&#x2018;Ł  :     đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł)đ?&#x2018;Ł   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 4) Trasformiamo  ora  il  termine  â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł)  con  derivata  del  prodotto:   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x152;(đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;)đ?&#x2018;Ł   5) Vado  a  riscrivere  la  relazione  iniziale  includendo  questi  passaggi  effettuati:   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;p + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 6) Il  secondo  e  il  quarto  addendo  sono  uguali  e  opposti  quindi  si  ha:   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x152; + â&#x2C6;&#x2021;p + đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 7) Dividendo  ora  per  đ?&#x153;&#x152;  e  ricordando  la  definizione  di  derivata  sostanziale  si   può  scrivere:   đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + = đ?&#x2018;&#x201D;     đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;

Espressione  flusso  quantitĂ   di  moto  in  condizioni  di  Quasi  Equilibrio   Termodinamico.   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Spesso  lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi  dellâ&#x20AC;&#x2122;equilibrio  termodinamico  locale  non  è  sufficiente  allora   consideriamo  una  condizione  di  â&#x20AC;&#x153;Quasi  equilibrio  termodinamicoâ&#x20AC;?,  ossia  una   situazione  in  cui  i  flussi  hanno,  non  solo  una  dipendenza  puntuale  dalle   variabili  di  stato,  ma  anche  una  dipendenza  dagli  intorni  di  tali  punti  espressa   dai  gradienti  delle  variabili  di  stato.   Analiticamente  questo  si  traduce  in:   đ??˝! = đ??˝! (đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł, â&#x2C6;&#x2021;Ď , â&#x2C6;&#x2021;e, â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł)   Per  introdurre  una  dipendenza  lineare  dai  gradienti  degli  invarianti  meccanici   additivi  si  può  scrivere  il  tensore  đ??˝!  in  questa  forma:   !" đ??˝! = đ??˝! đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x2018;&#x2019;, đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2021;Ď + đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2021;e + câ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł   Studiamo  ora  gli  ultimi  tre  termini  che  sono  appunto  termini  dissipativi  e  li  

Marcello Miccio

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-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

indichiamo  in  questo  modo:   đ??˝!! = đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2021;Ď + đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2021;e + câ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł   Qui  i  tre  coefficienti  a,  b,  c  sono  tre  tensori  di  ordine  superiore.   I  tensori  â&#x20AC;&#x153;a,  bâ&#x20AC;?  sono  di  ordine  3,  mentre  il  tensore  â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;?  è  di  ordine  4.   Imponiamo  ora  lâ&#x20AC;&#x2122;invarianza  per  rotazione  legata  allâ&#x20AC;&#x2122;isotropia  dei  fluidi,  questo   comporta  immediatamente  che  i  tensori  â&#x20AC;&#x153;a,  bâ&#x20AC;?  sono  nulli  poichĂŠ  non  esiste  un   tensore  di  ordine  dispari  le  cui  componenti  siano  indipendenti  da  una   rotazione  del  sistema  di  riferimento.   Allora  si  ha,    đ??˝!! = câ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł    ossia  il  tensore  đ??˝!!  dipende  linearmente  dal  gradiente   di  velocitĂ   (  principio  di  Curie).   Tuttavia  non  tutte  le  componenti  di  tale  tensore  sono  indipendenti  anche  qui   per  la  necessaria  invarianza  rispetto  ad  una  rotazione.   Esistono  infatti  solo  tre  tensori  le  cui  componenti  sono  indipendenti  dal   sistema  di  riferimento  che  chiamiamo  đ?&#x203A;ź , đ?&#x203A;˝, đ?&#x203A;ž.   Esplicitando  lâ&#x20AC;&#x2122;azione  di  ciascun  termine  sul  tensore  "câ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł"  si  può  scrivere:   đ??˝!! = đ?&#x203A;źâ&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź + đ?&#x203A;˝â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł + Îł(â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł)!   Si  può  ricavare  unâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore  relazione  tra  i  tre  coefficienti  scalari  rimasti  liberi   imponendo  che  il  fluido  raggiunga  una  condizione  di  quiete  se  messo  in  moto   con  una  rotazione  rigida  ad  đ?&#x153;&#x201D; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;.   Per  far  questo  occorre  però  determinare  quale  forma  del  tensore  â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!!   corrisponde  ad  una  rotazione  rigida.   Come  è  noto  dalla  fisica  una  rotazione  rigida  è  definita  dalla  relazione:   đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x2026;   Cioè  è  descritta  da  un  campo  di  velocitĂ   che  varia  linearmente  con  le   coordinate  della  matrice  dei  coefficienti:  

           

0 đ?&#x153;&#x201D;! â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x201D;!

  -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x201D;! 0 đ?&#x153;&#x201D;!

đ?&#x153;&#x201D;! â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x201D;!   0

 Il  tensore  gradiente  di  velocitĂ   le  cui  componenti  sono  espresse  da  questa   matrice  è  sempre  antisimmetrico  quindi:   â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!!   ! = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!!   Con  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  possiamo  andare  a  riscrivere  il  tensore  đ??˝!! :   ! đ??˝!! = đ?&#x203A;źâ&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł!! đ??ź + đ?&#x203A;˝â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!! â&#x2C6;&#x2019; Îłâ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!!   Il  primo  termine  è  nullo  poichĂŠ  la  divergenza  di  un  tensore  che  ha  sulla   diagonale  principale  tutti  zero  è  ovviamente  nullo,  quindi  si  ha:  

Marcello Miccio

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        ! đ??˝!! = đ?&#x203A;˝â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!! â&#x2C6;&#x2019; Îłâ&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł!!  

 

! Da  cui  segue  che:                  đ??˝!! = 0     â&#x2020;&#x201D;    đ?&#x203A;˝ = đ?&#x203A;ž   -­â&#x20AC;? Abbiamo  cosĂŹ  trovato  lâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore  relazione  tra  i  tre  coefficienti  e  vado  a   riscrivere  đ??˝!! :   đ??˝!! = đ?&#x203A;źâ&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź + đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł + (â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł)!   -­â&#x20AC;? Restano  cosĂŹ  solamente  i  due  coefficienti  alfa  e  beta,  questi  due  coefficienti   possono  essere  riscritti  introducendo  il  primo  ed  il  secondo  coefficiente  di   viscositĂ :   đ?&#x153;&#x2021; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;˝ 2   đ?&#x153;&#x2020; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝ 3 -­â&#x20AC;? Avendo  introdotto  questi  due  nuovi  coefficienti  possiamo  scrivere  đ??˝!!  in  altra   forma:   2 đ??˝!! = đ?&#x153;&#x2021; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł ! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź   3   -­â&#x20AC;? Possiamo  allora  finalmente  scrivere  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  del  flusso  di  quantitĂ   di   moto  in  condizioni  di  quasi  equilibrio  termodinamico:     2 đ??˝!! = đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x2021; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł ! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź   3   Equazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes.   -­â&#x20AC;? Le  equazioni  di  bilancio  di  massa  e  quantitĂ   di  moto  ricavate  sotto  lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi  di   quasi  equilibrio  termodinamico,  sono  dette  equazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes  e   valgono  per  ogni  tipo  di  fluido  data  la  generalitĂ   con  cui  le  abbiamo  ricavate.   -­â&#x20AC;? Riportiamo  qui  le  equazioni:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;   + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą

-­â&#x20AC;?

 

đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł 2 + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x2021; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 3

!

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ??ź = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;  

  Equazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes  nel  caso  incomprimibile.   -­â&#x20AC;? Nel  caso  di  fluido  incomprimibile,  đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;,  le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S   assumono  una  forma  piĂš  semplice:   -­â&#x20AC;? Come  abbiamo  giĂ   visto  per  la  massa  si  ha:   Marcello Miccio

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đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą

đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152; = 0               â&#x2020;&#x2019;                 â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł = 0                   â&#x2020;&#x2019;                   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Mentre   per   la   quantitĂ    di   moto   otteniamo   una   relazione   piĂš   semplice   imponendo  che  â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0  nel  equazione  di  bilancio  della  quantitĂ   di  moto  di   N-­â&#x20AC;?S:   đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0     â&#x2020;&#x2019;   + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ??ź + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł + đ?&#x153;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł ! = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą Considerando  ora  anche  đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  si  può  scrivere:  

â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x2021;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x2021;â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = đ?&#x153;&#x2021;â&#x2C6;&#x2021; 0 = 0   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Introducendo  la  derivata  sostanziale  e  dividendo  tutto  per  la  densitĂ   si  ottiene   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  quantitĂ   di  moto  di  N-­â&#x20AC;?S  nel  caso  incomprimibile:   đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2021; + = đ?&#x2018;&#x201D; + â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł   đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152; Tale  equazione  può  essere  ulteriormente  riscritta  ricordando  la  definizione  di   laplaciano  â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;&#x201C;:   đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2021; + = đ?&#x2018;&#x201D; + đ?&#x203A;ť2 đ?&#x2018;Ł   đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152;

   

Marcello Miccio

 

29  


       

Fluido  newtoniano.   -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Un   fluido   è   detto   newtoniano   se   la   sua   viscositĂ    non   varia   al   variare   della   velocitĂ .   Consideriamo   una   corrente   uniforme   che   fluisce   tra   due   lastre   piane,   quella   inferiore  fissa  e  quella  superiore  mobile  che  muove  a  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?.    

  Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  in  questa  configurazione  la  forza  per  unitĂ    di   superfice   necessaria   a   spostare   la   lastra   superiore   è   proporzionale   alla   velocitĂ   della  lastra  e  inversamente  proporzionale  alla  distanza  tra  le  lastre:   đ??š đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x17E;   đ??´ â&#x201E;&#x17D; La  forza  per  unitĂ   di  superfice  applicata  alla  lastra  mobile  è  pari  allo  sforzo  di   taglio  (đ?&#x153;?)  applicato  dalla  lastra  stessa  al  fluido.   Introducendo   dunque   la   costante   đ?&#x153;&#x2021;   ,   detta   viscositĂ    dinamica,   si   può   enunciare  la  legge  di  viscositĂ   di  newton:   đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;? = đ?&#x153;&#x2021;   â&#x201E;&#x17D; Che   può   essere   generalizzata   a   strati   infinitesimi   di   fluido   introducendo   un   gradiente  di  velocitĂ :   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;? = đ?&#x153;&#x2021;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś Un  fluido  soggetto  a  tale  legge  è  un  fluido  newtoniano.  

 

ViscositĂ   Dinamica.   -­â&#x20AC;? La  viscositĂ   dinamica  è  il  coefficiente  di  proporzionalitĂ   che  compare   nella  legge  di  viscositĂ   di  newton.   -­â&#x20AC;? Lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ   di  misura  è  il  poise  e  nel  sistema  c.g.s.  è  cosi  definito:   1  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; = 1  

 

Marcello Miccio

 

đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;  đ?&#x2018; 

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ViscositĂ   cinematica.   -­â&#x20AC;?

La  viscositĂ   cinematica  è  definita  dal  rapporto  tra  la  viscositĂ   dinamica  di  un   ! fluido  e  la  sua  densitĂ :    đ?&#x153;&#x2C6; =   !

-­â&#x20AC;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ   di  misura  è  lo  stokes  e  nel  sistema  c.g.s    cosĂŹ  definito:   đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;! 1  đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;  = 1     đ?&#x2018; 

 

Definizione  di  pressione  statica,  dinamica,  totale.   -­â&#x20AC;? Per   un   fluido   in   movimento   si   possono   distinguere   tre   tipi   di   pressione   differenti:   1) Pressione   Statica:   è   definita   come   la   pressione   esercita   da   un   fluido   sulle   pareti  di  un  recipiente  in  cui  è  contenuto.  Agisce  in  tutte  le  direzioni  ed  è   indipendente   dalla   velocitĂ    del   fluido.   Come   abbiamo   giĂ    visto   per   lâ&#x20AC;&#x2122;idrostatica  tale  pressione  è  definita  come:  â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?!" = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x201D;   2) Pressione  Dinamica:  è  definita  come  la  pressione  corrispondente  alla  parte   di   energia   contenuta   nellâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ    di   massa   di   fluido   a   causa   della   sua   velocitĂ    (   energia   cinetica).   Agisce   nella   stessa   direzione   del   moto   del   fluido   ed   è   ! definita  in  questo  modo:  đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł !   ! 3) Pressione   totale:   è   definita   come   la   somma   dei   due   contributi   statici   e   dinamici:  đ?&#x2018;?!"! = đ?&#x2018;?!" + đ?&#x2018;?!       Soluzione  esatta  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes  nel  caso  piano.   -­â&#x20AC;? Nel   caso   di   fluido   incomprimibile   si   può   fare   unâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore   semplificazione,   infatti   se   consideriamo   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   della   quantitĂ    di   moto   ed   al   posto   della   pressione   totale   andiamo   a   considerare   i   due   contributi   che   la   formano,   pressione  statica  e  dinamica,  si  ha:   â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?!" = đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x152; đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x2021; 2 + = đ?&#x203A;ť đ?&#x2018;Ł   đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? La  prima  si  ottiene  imponendo  stazionarietĂ ,  la  seconda  invece  trascurando  il   termine  della  gravitĂ .   -­â&#x20AC;? CosĂŹ   facendo   si   può   scrivere   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   della   quantitĂ    di   moto   di   N-­â&#x20AC;?S   includendo   la   gravitĂ    nella   pressione,   che   può   essere   calcolata   indipendentemente.     -­â&#x20AC;? Allora  le  nuove  equazioni  con  questâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore  semplificazione  sono:  

Marcello Miccio

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   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0

đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2021; 2   + = đ?&#x203A;ť đ?&#x2018;Ł đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

 

  Consideriamo  ora  il  caso  particolare  in  cui  sia  la  velocitĂ   che  la  pressione  siano   funzioni  di  una  sola  direzione  spaziale,  la  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?.   Supponendo   inoltre   che   il   vettore   đ?&#x2018;Ł   abbia   solo   due   componenti,   đ?&#x2018;Ł = (đ?&#x2018;˘, đ?&#x2018;Ł),   esplicitiamo  le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S  per  componenti.     đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + = đ?&#x153;&#x2C6;(đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! ) đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + = đ?&#x153;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! ) đ?&#x153;&#x152;     Ora   poichĂŠ   la   velocitĂ    e   la   pressione   sono   funzione   della   sola   â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?   tutte   le   derivate  rispetto  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?  sono  nulle,  inoltre  se  mi  metto  nel  caso  stazionario,  si  ha:     đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?! = 0 Studiamo   la   terza   equazione.   PoichĂŠ   la   pressione   è   indipendente   dalla   â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?   allora  possiamo  manipolarla  in  questo  modo:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? = 0           â&#x2020;&#x2019;           = 0         â&#x2020;&#x2019;           = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ Allora  integrando  questa  ultima  relazione  si  ha:        đ?&#x2018;? = đ??ś! đ?&#x2018;Ľ + đ??ś!   Studiamo   ora   la   seconda   equazione.     Essa   è   unâ&#x20AC;&#x2122;equazione   differenziale   del   secondo  ordine,  e  andando  a  integrarla  due  volte  rispetto  a  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?  si  ottiene:   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ś + đ??ś! = đ?&#x2018;˘!         â&#x2020;&#x2019;         đ?&#x2018;Ś ! + đ??ś! đ?&#x2018;Ś + đ??ś! = đ?&#x2018;˘   đ?&#x153;&#x2021; 2đ?&#x153;&#x2021; Riassumendo  le  equazioni  ricavate  sotto  queste  ipotesi  abbiamo  un  sistema  di   tre  equazioni  che  ci  descrive  le  proprietĂ   di  un  fluido  che  muove  in  un  moto   piano.   đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;?! ! đ?&#x2018;Ś + đ??ś! đ?&#x2018;Ś + đ??ś! = đ?&#x2018;˘   2đ?&#x153;&#x2021;  đ?&#x2018;? = đ??ś! đ?&#x2018;Ľ + đ??ś!

Marcello Miccio

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Calcolo  coefficienti  đ?&#x2018;Şđ?&#x;? , đ?&#x2018;Şđ?&#x;?  nel  caso  piano.   -­â&#x20AC;? Consideriamo   la   configurazione   in   figura.   Qui   la   lastra   inferiore   è   fissa   e   la   lastra  superiore,  posta  ad  una  distanza  â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;?  da  quella  inferiore,  muove  ad  una   velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;Uâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

  Per  la  condizione  di  aderenza  esplicito  le  condizioni  al  contorno:   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x153; =0   đ?&#x2018;˘ đ??ż =0 Con   queste   due   condizioni   ricavo   i   valori   dei   coefficienti   đ??ś! , đ??ś!  ed  otteniamo   un   relazione   che   ci   descrive   il   profilo   di   velocitĂ    in   questa   configurazione   piana:   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;˘= đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ??ż) + đ?&#x2018;&#x2C6;   2đ?&#x153;&#x2021; đ??ż Nel  caso  particolare  in  cui  đ?&#x2018;&#x2C6; = 0,  ho  un  flusso  detto  di  Poiseuille.   Nel  caso  particolare  in  cui  đ?&#x2018;?! = 0,  ho  un  flusso  detto  di  Couette.  

  Parametri  flusso  di  Poiseuille.   !! -­â&#x20AC;? Il  flusso  di  Poiseuille  è  descritto  dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione:      đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ??ż)   !!  

-­â&#x20AC;?

  PoichĂŠ   il   profilo   è   di   tipo   parabolico   la   velocitĂ    massima   si   raggiungerĂ    nel   ! centro  di  tale  profilo,  quindi  per  ottenerla  si  deve  imporre:    đ?&#x2018;Ś = !  

-­â&#x20AC;?

Per  ricavare  invece  la  portata  si  deve  valutare  lâ&#x20AC;&#x2122;integrale:  đ?&#x2018;&#x201E; =

-­â&#x20AC;?

Nota  la  portata  possiamo  ricavare  la  velocitĂ   media:    đ?&#x2018;Ł! = !  

 

!

! đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś   !

  Marcello Miccio

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Parametri  flusso  di  Couette.   ! -­â&#x20AC;? Il  flusso  di  Couette  è  descritto  dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione:          đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2C6;   !

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

  PoichĂŠ  il  profilo  è  di  tipo  lineare  la  velocitĂ   massima  si  raggiungerĂ   proprio  in   corrispondenza   della   altezza   massima,   quindi   per   ottenerla   si   deve   imporre:   đ?&#x2018;Ś = đ??ż   ! Per  ricavare  invece  la  portata  si  deve  valutare  lâ&#x20AC;&#x2122;integrale:  đ?&#x2018;&#x201E; = ! đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś   !

Nota  la  portata  possiamo  ricavare  la  velocitĂ   media:    đ?&#x2018;Ł! =   !   Correnti  dipendenti  dal  tempo  (  problema  di  Rayleigh)     -­â&#x20AC;? Consideriamo   una   lastra   piana   infinita   sul   cui   lato   superiore   è   presente   un   dominio  infinito  di  fluido.   -­â&#x20AC;? Il  fluido  e  la  lastra  sono  a  riposo,  tuttavia  a  partire  da  un  tempo  đ?&#x2018;Ą = 0  la  lastra   è  messa  in  movimento  con  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?.   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

In  questa  configurazione  le  condizioni  al  contorno  sono:   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;��, 0 = 0                        đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x153;, đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2030;          đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;Ą > 0 Per   descrivere   ora   questo   problema   sfruttiamo   le   equazioni   di   N-­â&#x20AC;?S   scritte   in   componenti:   đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + = đ?&#x153;&#x2C6;(đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! ) đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + = đ?&#x153;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! ) đ?&#x153;&#x152;

Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

  Ora  ci  mettiamo  nelle  ipotesi  di:      1)Flusso  instazionario    2)  Gradiente  di  pressione  nullo  (đ?&#x2018;?! = 0)      3)  VelocitĂ   funzione  della  sola  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?.   đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;˘! = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! + = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;Ł!! đ?&#x153;&#x152; Studiamo   la   seconda   equazione,   essa   è   una   equazione   differenziale   del   secondo   ordine.   Per   cercare   una   soluzione   di   questa   equazione     introduciamo   una   nuova   variabile  "  đ?&#x153;&#x201A;"   e   tentiamo   di   esprimere   tutto   in   funzione   di   questa   nuova  variabile,  (questo  metodo  di  soluzione  è  detto  metodo  di  similitudine):   đ?&#x153;&#x201A; = đ??ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą ! .   Dunque  se  đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘(đ?&#x153;&#x201A;)  si  deve  avere:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = = đ?&#x153;&#x201A;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x153;&#x201A;                    đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x153;&#x2022;!đ?&#x2018;˘ 1 ! đ?&#x2018;&#x2018;! đ?&#x2018;˘ = đ?&#x153;&#x201A;          đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś ! đ?&#x2018;Ś ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; ! Con  queste  trasformazioni  possiamo  andare  a  riscrivere  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;˘! = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!! "  :   đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2C6; ! đ?&#x2018;&#x2018;! đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018; ! đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘! = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!!   â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x153;&#x201A; =   ! đ?&#x153;&#x201A;         â&#x2020;&#x2019;     ! â&#x2C6;&#x2019; = 0   đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; In   questa   ultima   relazione   devono   rimanere   solamente   i   termini   in   "đ?&#x153;&#x201A;, đ?&#x2018;˘"   quindi  scegliamo  il  valore  di  tre  variabili  in  questo  modo:   đ?&#x2018;Ś 1 1 đ?&#x153;&#x201A;=                    đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;                    đ??ľ =               2 2 đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;Ą 2 đ?&#x153;&#x2C6; Sostituendo  ora  queste  posizioni  si  ottiene  una  equazione  differenziale  in  cui   compaiono  solo  "đ?&#x153;&#x201A;, đ?&#x2018;˘"  :   đ?&#x2018;&#x2018;! đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘!! + 2đ?&#x153;&#x201A; = 0         â&#x2020;&#x2019;           ! = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x153;&#x201A;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x2018;˘ Per   ottenere   lâ&#x20AC;&#x2122;espressione   del   profilo   di   velocitĂ    integriamo   due   volte   questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ ! Prima  integrazione:                ln đ?&#x2018;˘! = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x201A; ! + ln đ??ś!         â&#x2020;&#x2019;         = đ??ś! đ?&#x2018;&#x2019; !!         đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; !                            Seconda  integrazione:      đ?&#x2018;˘ = đ??ś! đ?&#x2018;&#x2019; !! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A; + đ??ś!     Per   trovare   i   valori   dei   coefficienti   esplicito   ora   le   condizioni   al   contorno   nella   variabile  eta:  

Marcello Miccio

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đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x153;&#x201A; = 0                                    đ?&#x2018;˘ = 0     đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x153;&#x201A; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;                                  đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ł     -­â&#x20AC;? Si  trova  cosĂŹ  una  relazione  del  tipo:   2 ! !!! đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;&#x2030; 1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x201A;   đ?&#x153;&#x2039; ! -­â&#x20AC;? Questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  può  essere  scritta  in  modo  piĂš  semplice  introducendo   la  â&#x20AC;&#x153;funzione  degli  erroriâ&#x20AC;?:     đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2030; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x153;&#x201A; = đ?&#x2018;&#x2030; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201C;   2 đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;Ą   Soluzione  esatta  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes  nel  caso  cilindrico.   -­â&#x20AC;? Per   ricavare   la   soluzione   esatta   dellâ&#x20AC;&#x2122;equazioni   di   N-­â&#x20AC;?S   nel   caso   cilindrico   si   procede   analogamente   al   caso   piano.   Ragionando   infatti   sotto   le   stesse   ipotesi  si  giunge  a:       đ?&#x2018;?!     = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!!     đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Per   risolvere   in   modo   piĂš   semplice   questa   equazione   differenziale   scriviamo   il   laplaciano  al  secondo  membro  in  coordinate  cilindriche:   đ?&#x2018;?! 1 đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘!! = đ?&#x2018;&#x;   đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; -­â&#x20AC;? Per   ottenere   lâ&#x20AC;&#x2122;espressione   del   profilo   di   velocitĂ    integriamo   due   volte   rispetto   ad  â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;?:   đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x;   đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:                                     đ?&#x2018;&#x; ! + đ??ś! = đ?&#x2018;&#x;   2đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; -­â&#x20AC;? Divido  ora  per  â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;?  entrambi  i  membri:     đ?&#x2018;?! đ??ś! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘   đ?&#x2018;&#x; + =   2đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?! ! đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:          đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x; + đ??ś! log đ?&#x2018;&#x; + đ??ś!   4đ?&#x153;&#x2021;      

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Parametri  per  un  condotto  cilindrico.   -­â&#x20AC;? Per   valutare   i   parametri   di   una   corrente   che   fluisce   attraverso   un   condotto   cilindrico  di  raggio  â&#x20AC;&#x153;Râ&#x20AC;?  ,  si  devono  trovare  i  valori  delle  due  costanti  đ??ś! , đ??ś! .  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

  Tali   valori   si   trovano   esplicitando   le   condizioni   al   contorno   e   sfruttando   la   relazione  del  generico  profilo  di  velocitĂ :   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2026; = 0                                    đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;ĄĂ   đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘   = 0    đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;ĄĂ     đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; !!! Sotto  queste  due  condizioni  si  trova  un  profilo  del  tipo:   đ?&#x2018;?! ! đ?&#x2018;˘= (đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; ! )   4đ?&#x153;&#x2021; La  velocitĂ   massima  si  ottiene  imponendo:  đ?&#x2018;&#x; = 0   ! La  portata  si  trova  risolvendo  lâ&#x20AC;&#x2122;integrale:  đ?&#x2018;&#x201E; = ! đ?&#x2018;˘  2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;   !

!

La  velocitĂ   media  invece  è  data  da:        đ?&#x2018;Ł! = = !   ! !" Parametri  per  corrente  in  un  anello.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  in  un  anello  formato  da  due  cilindri:   1) Quello  interno  di  raggio  đ?&#x2018;&#x2026;!  che  muove  in  direzione  assiale  con  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;Uâ&#x20AC;?   2) Quello  esterno  di  raggio  đ?&#x2018;&#x2026;!  che  è  fisso   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

  Il   profilo   di   velocitĂ    anche   in   questa   configurazione   è   descritta   dalla   solita   ! relazione:    đ?&#x2018;˘ = !!! đ?&#x2018;&#x; ! + đ??ś! log đ?&#x2018;&#x; + đ??ś!  

Qui   i   valori   dei   due   coefficienti    đ??ś! , đ??ś! si   trovano   esplicitando   le   opportune   condizioni  al  contorno:   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2026;! = 0   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2026;! = đ?&#x2018;&#x2C6; !" Note  le  due  costanti  si  può  stimare  la  velocitĂ   massima  impendo:   !" = 0   La  portata  si  trova  risolvendo  lâ&#x20AC;&#x2122;integrale:  đ?&#x2018;&#x201E; =

Marcello Miccio

!! đ?&#x2018;˘  2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;   !!

!!!!

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        -­â&#x20AC;?

La  velocitĂ   media  invece  è  data  da:        đ?&#x2018;Ł! =

! !

=

! !

!(!! !!! ! )

 

  Corrente  tra  due  cilindri  rotanti.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  tra  due  cilindri  rotanti:   1) Quello  interno  di  raggio  đ?&#x2018;&#x2026;!  che  ruota  con  velocitĂ   angolare  đ?&#x153;&#x201D;!   2) Quello  esterno  di  raggio  đ?&#x2018;&#x2026;!  che  ruota  con  velocitĂ   angolare  đ?&#x153;&#x201D;!   !! -­â&#x20AC;? Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  differenziale  che  descrive  il  problema  è  sempre:       = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x2018;˘!!   !

Tuttavia   per   semplificare   lâ&#x20AC;&#x2122;analisi   di   questo   problema   consideriamo   una   corrente   a   gradiente   di   pressione   nullo   (đ?&#x2018;?! = 0) ��  e   scriviamo   il   laplaciano   in   coordinate  cilindriche:   đ?&#x153;&#x2022; 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘!! = = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; -­â&#x20AC;? Per  ottenere  il  profilo  di  velocitĂ   integriamo  due  volte  rispetto  in  â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;?:   1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:   =  đ??ś!     â&#x2020;&#x2019;     =  đ??ś! đ?&#x2018;&#x;       đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;! đ?&#x2018;&#x;  đ??ś! đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:        đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x; =  đ??ś! +  đ??ś!     â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x2018;˘ =  đ??ś! +   2 2 đ?&#x2018;&#x; -­â&#x20AC;? Per   ricavare   i   valori   delle   due   costanti   devo   sfruttare   le   condizioni   al   contorno   espresse  dalle  velocitĂ   angolari  dei  due  cilindri:   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2026;! = đ?&#x153;&#x201D;! đ?&#x2018;&#x2026;!   đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2026;! = đ?&#x153;&#x201D;! đ?&#x2018;&#x2026;! Le  equazioni  di  Eulero.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S  per  fluidi  incomprimibili   -­â&#x20AC;?

â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 !! â&#x2C6;&#x2021;! ! + = đ?&#x203A;ť ! đ?&#x2018;Ł:   !"

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

!

!

Supponiamo   di   studiare   un   fluido   senza   lâ&#x20AC;&#x2122;influenza   delle   viscositĂ ,   ossia   una   condizione   in   cui      đ?&#x153;&#x2021; = 0 ,     con   questa   approssimazione   si   ottengono   le   equazioni  di  Eulero.     â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?   + =0 đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; Queste   equazioni   a   differenza   di   quelle   di   partenza   sono   equazioni   differenziali   del   primo   ordine,   infatti   con   la   semplificazione   effettuate   si   perdono   le   derivare   di   ordine   maggiore.   CosĂŹ   si   perdono   informazioni   importanti   che   non   ci   permettono   di   descrivere   il   fenomeno   nel   suo   complesso.   Tuttavia   le   leggi   di   Eulero,   anche   se   non   costituiscono   una   buona  

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approssimazione   del   fenomeno   nelle   vicinanze   del   contorno   di   un   corpo   rigido,   lontano   dal   corpo   dove   la   viscositĂ    đ?&#x153;&#x2021; â&#x2030;&#x2026; 0   queste   equazioni   costituiscono   una   buona   approssimazione   del   fenomeno   e   sono   dunque   valide.     Forma  Debole  delle  legge  di  Bernulli.   -­â&#x20AC;? Consideriamo   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   di   Eulero   della   quantitĂ    di   moto   esplicitando   il   termine  relativo  alla  gravitĂ ,  prima  inglobato  nella  pressione:     đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + = đ?&#x2018;&#x201D;   đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Esplicitiamo  ora  la  derivata  sostanziale  e  moltiplichiamo  ogni  membro  per  "đ?&#x2018;Ł"   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Consideriamo  il  caso  stazionario  e  quindi  la  derivata  temporale  è  nulla:   đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Cerchiamo   ora   di   esprimere   ogni   termine   come   il   gradiente   di   un   oggetto,   allora  introduciamo  e  scriviamo  đ?&#x2018;&#x201D;  come  il  gradiente  di  un  potenziale:   đ?&#x2018;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x153;&#x2018;!"#$%#&$'(#)*              đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;    đ?&#x153;&#x2018;!"#$%#&$'(#)* = đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;§   -­â&#x20AC;? Inoltre  si  può  riscrivere  il  primo  termine  in  questo  modo:   đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2021;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł   = â&#x2C6;&#x2021;   2 -­â&#x20AC;? Allora  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  di  partenza  diventa:     đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Łâ&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2021; + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Ł    â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = 0   2 đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Raccogliamo  il  termine  comune  ai  tre  addendi:   đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Łâ&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2021; + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = 0   2 đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Da  cui  segue  che:   đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;? + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   2 đ?&#x153;&#x152; Abbiamo   cosĂŹ   ottenuto   il   trinomio   di   Bernulli,   tale   relazione   ci   dice   che   qualcosa  è  costante  lungo  una  linea  di  corrente,  tangente  punto  per  punto  a   al  campo  di  velocitĂ .         Marcello Miccio

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Forma  Forte  delle  legge  di  Bernulli.     -­â&#x20AC;? Consideriamo   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   di   Eulero   della   quantitĂ    di   moto   esplicitando   il   termine  relativo  alla  gravitĂ ,  prima  inglobato  nella  pressione:     đ??ˇđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + = đ?&#x2018;&#x201D;   đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Esplicitiamo  ora  la  derivata  sostanziale:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł 1 + đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Ricordiamo  ora  la  proprietĂ   del  doppio  prodotto  vettoriale:   đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł   -­â&#x20AC;? Da  questa  relazione  ricavo  lâ&#x20AC;&#x2122;ultimo  membro  e  poi  sostituisco  nella  relazione  di   partenza:   đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł 1 + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;   -­â&#x20AC;? Introducendo   la   VorticitĂ ,  definita   in   questo   modo   đ?&#x153;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł    ,   e   considerando   il  caso  stazionario  si  può  riscrivere  il  tutto:   1 â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; đ?&#x153;&#x201D; + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Cerchiamo  ora  di  esprimere  ogni  termine  come  il  gradiente  di  oggetto,  allora   introduciamo  e  scriviamo  đ?&#x2018;&#x201D;  come  il  gradiente  di  un  potenziale:   đ?&#x2018;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x153;&#x2018;!"#$%#&$'(#)*              đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;    đ?&#x153;&#x2018;!"#$%#&$'(#)* = đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;§   -­â&#x20AC;? Inoltre  si  può  riscrivere  il  primo  termine  in  questo  modo:   đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2021;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł   = â&#x2C6;&#x2021;   2 -­â&#x20AC;?  Se  imponiamo  vorticitĂ   nulla  allora  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  di  partenza  diventa:   đ?&#x2018;Ł! 1 â&#x2C6;&#x2021; + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = 0   2 đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Raccogliamo  il  termine  comune  ai  tre  addendi:   đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2021; + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = 0   2 đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;? Da  cui  segue  che:   đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;? + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   2 đ?&#x153;&#x152; In   questa   relazione   sono   nulle   le   derivate   di   ogni   termine   del   trinomio   di   Bernulli  lungo  tutte  le  direzioni,  quindi  il  trinomio  è  costante,  non  solo  lungo   Marcello Miccio

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una  linea  di  corrente,  ma  anche  in  qualsiasi  direzione.     Tubo  di  Venturi.   -­â&#x20AC;? Il  venturimetro  o  tubo   di   Venturi  è   uno   strumento   che   serve   a   misurare   la  portata  di   una   condotta.   Esso,   infatti,   calcola   la  velocitĂ   media   del   fluido   partendo  dalla  relazione  esistente  tra  questa  grandezza  e  la  pressione  .   -­â&#x20AC;? Ă&#x2C6;  un  dispositivo  che  consta  in  un  tubo  di  sezione  convergente  seguito  da  una   sezione  divergente.  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

  Per  studiarne  il  funzionamento  scriviamo  la  legge  di  Bernulli  per  le  sezioni  1,   2,  3.   đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§! = + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§! = + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§!   2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152;   Supponendo   che   il   condotto   sia   orizzontale   possiamo   trascurare   il   termine   relativo  alla  quota:       đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! + = + = +   2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152; Inoltre  dalla  legge  di  conservazione  della  Massa  si  ha  che:        đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;Ł!   <   đ?&#x2018;Ł!   Quindi  dal  bilancio  di  Bernulli  si  deve  avere  che:                                              đ?&#x2018;?! = đ?&#x2018;?!   >   đ?&#x2018;?!   Quindi   se   con   un   manometro   si   conosce   la   differenza   di   pressione   prima   e   dopo  la  sezione  2  si  può  facilmente  calcolare  la  velocitĂ   del  fluido  e  quindi  la   portata.   Tuttavia   per   il   corretto   funzionamento   di   questo   strumento   di   misura   i   restringimenti   della   sezione   del   condotto   devono   avvenire   in   modo   dolce   e   graduale,  altrimenti  insorgono  i  fenomeni  della  separazione  e  dei  vortici.   Tali   fenomeni   rappresentano   una   dissipazione   energetica,   ossia   un   costo   in   termini  di  energia.  Allora  poichĂŠ  il  bilancio  di  Bernulli  è  un  bilancio  di  energie   â&#x2C6;&#x2020;! meccaniche  deve  essere  corretto  con  lâ&#x20AC;&#x2122;aggiunta  di  un  termine  ( !! )  che  tenga   conto  di  tale  dissipazione.  

Marcello Miccio

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đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?! + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§! = + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;§! +   2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Tubo  di  Pitot.   Il  tubo   di   Pitot  è   uno   strumento   utilizzato   per   misurare   la  velocità  di   un  fluido  (tipicamente   un  gas)   relativa   al   fluido   stesso.   Fu   inventato   nel  1732  dallo  scienziato  francese  Henri  Pitot.  

  Un   tubo   di   Pitot   è   infatti   fornito   di   due   prese   di  pressione,   una   all'estremitĂ    anteriore   disposta   perpendicolarmente   alla   corrente   (presa   totale)   e   una   sul   corpo   del   tubo   disposta   tangenzialmente   al   flusso   (presa   statica).   Inoltre   il   tubo  interno  è  collegato  ad  un  manometro.   Supponendo   di   lavorare   con   un   fluido   incomprimibile   si   può   scrivere   il   binomio  di  Bernulli:   đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! + = +   2 đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x153;&#x152; Se  consideriamo  una  linea  di  flusso  proveniente  dallâ&#x20AC;&#x2122;infinito  si  ha  che  essa  si   arresta  quando  giunge  allâ&#x20AC;&#x2122;intercapedine  2,  quindi    đ?&#x2018;Ł! = 0  (velocitĂ   di  ristagno)    Quindi   possiamo   riscrivere   il   bilancio   di   Bernulli   con   la   sola   incognita   della   velocitĂ   "đ?&#x2018;Ł! "  :     đ?&#x2018;Ł! ! đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;?! + =           â&#x2020;&#x2019;   đ?&#x2018;Ł! = 2 đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

2 đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?!   đ?&#x153;&#x152;

Il   tubo   di   Pitot   è   utilizzato   su   tutti   gli  aeroplani  e   in   automobilismo   (tipicamente  Formula  Uno,  durante  i  test  pre-­â&#x20AC;?stagionali)  come  sensore  per  la   determinazione  della  velocitĂ   rispetto  all'aria  e  nelle  gallerie  del  vento  per  la   misurazione  della  velocitĂ   della  corrente  d'aria.  

Marcello Miccio

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          Forma  Adimensionale  delle  euqazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes.     -­â&#x20AC;? Le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S  possono  essere  scritte  in  forma  adimensionale  allo  scopo   di  diminuire  il  numero  di  parametri  da  cui  dipende  un   problema  e  permettere   di  descrivere  un  fenomeno  in  modo  universale,  non  tenendo  conto  degli  ordni   di  grandezza.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  dunque  le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S  ottenute  nel  caso  incomprimibile:  

â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł -­â&#x20AC;?

+

đ?&#x2018;Łâ&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł +

1

â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x201D; + đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť ! đ?&#x2018;Ł

 

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; Introduciamo  delle  grandezze  adimensionali:   1) đ?&#x2018;Ľ! = đ??ż!  đ?&#x2018;Ľ!   2) đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;Ł!  đ?&#x2018;Ł!   3) đ?&#x153;&#x152;! = đ?&#x153;&#x152;!  đ?&#x153;&#x152;!   4) đ?&#x2018;&#x201D;! = đ?&#x2018;&#x201D;!   đ?&#x2018;&#x201D;!   5) đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x152;! đ?&#x2018;Ł!!  đ?&#x2018;?!   ! 6) đ?&#x2018;Ą! = đ?&#x2018;Ą!    đ?&#x2018;Ą! = !!  đ?&#x2018;Ą!   !

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Definite  queste  grandezze  adimensionali  scriviamo  ora  le  equazioni  di  N-­â&#x20AC;?S:   đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ľ+ đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ś = 0     â&#x2020;&#x2019;     + =       + = 0   đ??żđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; đ??żđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x17D; đ??żđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł! + = 0     â&#x2020;&#x2019;   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś! Procediamo  ora  ad  adimensionalizare    lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  quantitĂ   di  moto:   đ?&#x2018;Ł ! ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ł ! ! đ?&#x153;&#x152;! đ?&#x2018;Ł ! ! đ?&#x2018;Ł!! ! + đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;? =  đ?&#x153;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;&#x201D;! đ?&#x2018;&#x201D;!     đ??ż! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą! đ??ż! ! ! ! đ?&#x153;&#x152;! đ??ż! ! ! đ??ż! ! ! Dividiamo  ora  tutto  per  đ?&#x2018;Ł ! !    ,  moltiplichiamo  tutto  per  đ??ż!  e  si  ottiene:  

Marcello Miccio

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đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł! đ?&#x153;&#x2C6; ! đ?&#x2018;&#x201D;! đ??ż! + đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;Ł! + â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;?! =   â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x201D;!     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą! đ??ż! đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ł!!

-­â&#x20AC;?

  Restano  cosĂŹ  solo  due  gruppi  adimensionali  ed  è  convenzione  dare  un  nome  ai   loro  inversi:   đ??ż! đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;              đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

đ?&#x153;&#x2C6;!

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ł ! = đ??šđ?&#x2018;&#x; !        đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ??šđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;     đ?&#x2018;&#x201D;! đ??ż! Andiamo   quindi   a   riscrivere   le   equazioni   adimensionali   introducendo   questi   due  gruppi  adimensionali:   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł! 1 ! 1   + đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;Ł! + â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;?! = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;Ł! + !   đ?&#x2018;&#x201D;! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą! đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ??šđ?&#x2018;&#x;   Naturalmente   se   tutte   le   grandezze   prese   in   considerazione   sono   adimensionali  è  superfluo  specificarlo  con  il  pedice  â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?,  se  invece  si  ha  a  che   fare  con  grandezze  miste,  dimensionali  ed  adimensionali,  si  deve  specificare  la   natura  di  ciascuna  grandezza.  

    Equazioni  adimensionali  di  Stokes.   -­â&#x20AC;? Le  equazioni  che  abbiamo  appena  trovato  possono  essere  scritte  in  una  forma   piĂš  compatta  attraverso  delle  opportune  manipolazioni,  iniziamo  a  riscriverle   in  componenti:     đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0 1 đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !! 1 đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;Ł!! ) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !! -­â&#x20AC;? Ovviamente   sono   tutte   grandezze   adimensionali   allora   ometto   i   pedici   per   non  appesantire  troppo  la  notazione.   -­â&#x20AC;? Per   studiare   e   risolvere   queste   equazioni   differenziali   si   può   procedere   in   due   direzioni  differenti:   1) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ş 1   2) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;   -­â&#x20AC;? Studiamo   ora   il   caso   in   cui   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ş 1.   Consideriamo   quindi   le   due   componenti   dellâ&#x20AC;&#x2122;equazioni  delle  quantitĂ   di  moto  e  moltiplichiamo  ogni  termine  per  "đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;":     Marcello Miccio

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đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! )

  -­â&#x20AC;? Introduciamo  ora  una  nuova  pressione  (đ?&#x2018;? ! )  ed  un  nuovo  tempo  (đ?&#x2018;Ą ! ):   đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;?=                 â&#x2020;&#x2019;                     đ?&#x2018;?! = đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Ą !       â&#x2020;&#x2019;                           đ?&#x2018;Ą ! =             đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;     -­â&#x20AC;? Andiamo  dunque  a  riscrivere  le  due  componenti  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazioni  delle  quantitĂ    di  moto  introducendo  queste  due  nuove  variabili:     1 1 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘! ! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! ) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;   1 1 ! đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x2018;Ł! ! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;? ! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! ) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; -­â&#x20AC;? Se  ora  imponiamo  il  limite  di  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ş 1  si  ha  che  i  termini  non  lineari   scompaiono  ed  otteniamo  un  sistema  di  tre  equazioni  dette  equazioni  di   Stokes:   đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0  đ?&#x2018;˘! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;Ł! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! ) -­â&#x20AC;? Con  la  semplificazioni  effettuata  sono  scomparsi  i  prodotti  di  velocitĂ ,  quindi   da  un  problema  non  lineare  siamo  passati  ad  un  problema  lineare  per  cui  vale   il  principio  di  sovrapposizione  degli  effetti.   -­â&#x20AC;? Mentre  non  si  perdono  i  termini  con  le  derivate  di  ordine  maggiore,  quindi  il   numero  di  condizioni  al  contorno  è  lo  stesso  del  problema  di  partenza.     Teoria  della  Lubrificazione  di  Reynolds.   -­â&#x20AC;? Esistono  condizioni  in  cui  le  equazioni  adimensionali  di  Stokes  valgono  anche   quando  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  è  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  1.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  una  corrente  che  fluisce  tra  due  lastre:   1) La  lastra  superiore  è  orizzontale  e  muove  con  una  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;Uâ&#x20AC;?.   2) La  lastra  inferiore  è  fisse  ma  è  inclinata  di  un  certo  angolo  "Îą"  rispetto   allâ&#x20AC;&#x2122;orizzontale.         Marcello Miccio

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  -­â&#x20AC;?    PoichĂŠ  a  lastra  inferiore  è  inclinata  rispetto  alla  superiore  la  distanza  tra  le  lastre           varia  e  tale  variazione  è  espressa  dalla  funzione  :   â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ = â&#x201E;&#x17D;! + -­â&#x20AC;?

Per  descrivere  questo  problema  sfruttiamo  le  equazioni  adimensionali  di   Stokes:  

  -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

â&#x201E;&#x17D;! â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;! đ?&#x2018;Ľ        đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ??ż = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;   đ??ż

đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0  đ?&#x2018;˘! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;Ł! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! )

Consideriamo  il  caso  stazionario  e  studiamo  in  particolare  la  seconda   equazione:   đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0 đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! )     đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )     Questa  equazione  differenziale  può  essere  scritta  in  modo  piĂš  semplice  se   trascuriamo  il  termine  "đ?&#x2018;˘!! ",  tale  approssimazione  è  valida  in  quanto  la   funzione  â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ  varia  lentamente.  Quindi  si  ha:   đ?&#x2018;?! ! = đ?&#x2018;˘!!  

Marcello Miccio

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  -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Per   trovare   ora   il   profilo   di   velocitĂ    espresso   da   questa   equazione   differenziale  integriamo  due  volte  in  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?:     đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:    đ?&#x2018;?! ! đ?&#x2018;Ś + đ??ś! = đ?&#x2018;˘!    đ?&#x2018;?! ! đ?&#x2018;Ś ! đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:   + đ??ś! đ?&#x2018;Ś +   đ??ś! = đ?&#x2018;˘   2 Questo  profilo  di  velocitĂ   può  essere  espresso  come  un  polinomio  di  secondo   grado  se  poniamo:   đ?&#x2018;?! ! đ??ś! =         â&#x2020;&#x2019;          đ?&#x2018;˘ = đ??ś! đ?&#x2018;Ś ! + đ??ś! đ?&#x2018;Ś +   đ??ś!         2 Per  trovare  i  valori  delle  tre  costanti  esplicitiamo  le  condizioni  al  contorno:   đ?&#x2018;˘ 0 = 0                đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;ĄĂ   đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;˘ â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x2C6;      đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;ĄĂ   đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;   ! đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201E;        đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; !

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Svolgendo  i  calcoli  si  trovano  delle  relazioni  in  cui  i  tre  coefficienti  sono   espressi  anche  in  funzione  della  portata,  tuttavia  la  portata  non  è  ancora   determinata.   Tuttavia  poichĂŠ  sappiamo  che  la  portata  che  fluisce  tra  le  due  lastre  è   costante  i  profili  di  velocitĂ   devono  avere  uguale  area  del  trinagoloide  che  li   rappresenta.  Quindi  il  profilo  avanzando  si  incurva,  ciò  significa  che  esiste  un   gradiente  di  pressione  che  varia  allâ&#x20AC;&#x2122;interno  del  condotto.   Se  supponiamo  che  la  pressione  parta  da  quella  atmosferica  e  ritorni  a  quella   atmosferica  possiamo  dunque  scrivere:   đ?&#x2018;?! ! đ??ś! =     â&#x2020;&#x2019;     đ?&#x2018;?! ! = 2đ??ś!   2 Integriamo  ora  entrambi  i  membri:   !

!

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

!

đ?&#x2018;? ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ =

!

!

2đ??ś! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ  

  Il  primo  integrale  per  la  supposizione  fatta  porta  contributo  nullo,  quindi  ci   resta  un  singolo  integrale  dove  lâ&#x20AC;&#x2122;unica  incognita  è  proprio  la  portata  Q.   Tale  integrale  si  risolve  facilmente  introducendo  la  funzione  â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ  e  passando   alla  variabile  di  integrazione  â&#x20AC;&#x153;hâ&#x20AC;?.   Interessante  è  anche  andare  a  studiare  le  forze  che  agiscono  sulla  lastra   superiore:   1) đ??š! =

Marcello Miccio

! ! đ?&#x2018;?! !

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ      đ??šđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;                    

47  


       

2) đ??š! = 3) -­â&#x20AC;?

!! !!

!

! !" đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ        đ??šđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;   ! !"

â&#x2C6;&#x17E; !  

Si  nota  inoltre  che  il  rapporto  tra  queste  due  forze  definisce  appunto  lâ&#x20AC;&#x2122;attrito   e  si  osserva  che  quanto  piĂš  le  lastre  sono  vicine  minore  è  lâ&#x20AC;&#x2122;attrito  tuttavia  non   devono  venire  mai  a  contatto  altrimenti  a  causa  della  rugositĂ   lâ&#x20AC;&#x2122;attrito   aumenta  vertiginosamente.  

   Funzione  di  Corrente.  

-­â&#x20AC;?

La  funzione  di  corrente  è  uno  strumento  che  ci  permette  di  avere  notevoli   vantaggi  nel  manipolare  e  equazioni  adimensionali  di  Stokes  in  quanto  si   opera  con  una  unica  variabile.   Consideriamo  le  equazioni  adimensionali  di  Stokes:  

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0  đ?&#x2018;˘! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;Ł! ! + đ?&#x2018;?! ! = (đ?&#x2018;Ł!! + đ?&#x2018;Ł!! ) Introduciamo  ora  la  funzione  di  corrente  "Ψ"  definita  in  questo  modo:  

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x153;&#x2022;Ψ                                                            đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;š! = â&#x2C6;&#x2019;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ  Iniziamo  a  sostituire  questa  posizione  nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  massa:   đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;Ł! = 0         â&#x2020;&#x2019;         đ?&#x203A;š!" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;š!" = 0         â&#x2020;&#x2019;       â&#x2C6;&#x2019; = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x203A;š!" = đ?&#x203A;š!"       â&#x2020;&#x2019;       =   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ Tale   relazione   risulta   identicamente   soddisfatta    â&#x2C6;&#x20AC;  đ?&#x203A;š đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś  poichĂŠ   lâ&#x20AC;&#x2122;ordine   di   derivazione  è  indifferente.   Sostituiamo  ora  le  due  posizioni  fatte  nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  equazioni  della  quantitĂ    di  moto:   đ?&#x203A;š!! ! + đ?&#x2018;?! ! = đ?&#x203A;š!"" + đ?&#x203A;š!!! = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!   â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;š!! ! + đ?&#x2018;?! ! = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;š!!! + đ?&#x203A;š!"" = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š! .     đ?&#x2018;˘ = đ?&#x203A;š! =

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

  -­â&#x20AC;?

Cerchiamo   ora   di   ottenere   una   unica   equazione   da   queste   due,   quindi   deriviamo  la  prima  rispetto  ad  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?  e  la  seconda  rispetto  ad  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?.  

Marcello Miccio

48  


        -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

 

đ?&#x203A;š!!! ! + đ?&#x2018;?! !" = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!!

  â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;š!!! ! + đ?&#x2018;?! !" = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!! Sottraiamo  membro  a  membro  ed  otteniamo:   đ?&#x203A;š!!! ! + đ?&#x2018;?! !" + đ?&#x203A;š!!! ! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! !" = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!! +â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!!   đ?&#x203A;š!!! ! + đ?&#x203A;š!!! ! = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!! +â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š!!   Ricordando  la  definizione  di  laplaciano  e  raccogliendo  al  secondo  membro  si   ha:   â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š! ! = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š  

  ProprietĂ   della  Funzione  di  Corrente.   -­â&#x20AC;? La   funzione   di   corrente   ha   un   significato   fisico   ben   preciso.   Infatti   cure   a   đ?&#x203A;š = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  sono  linee  di  flusso  del  moto.   đ??ťđ?&#x2018;?:   â&#x2020;&#x2019; đ?&#x203A;š = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x2018;&#x2021;â&#x201E;&#x17D;:   â&#x2020;&#x2019; đ??żđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x203A;š = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;     đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;:       -­â&#x20AC;? PoichĂŠ  per  ipotesi  abbiamo  che  đ?&#x203A;š = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  si  deve  avere:   đ?&#x203A;š = đ?&#x203A;š! + đ?&#x203A;š!       â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x203A;š! + đ?&#x203A;š! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   -­â&#x20AC;? Passiamo  al  differenziale  entrambi  i  membri:   đ?&#x203A;š! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś + đ?&#x203A;š! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0   -­â&#x20AC;? Ricordando   ora   come   si   è   definita   la   funzione   di   corrente   si   può   riscrivere   questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione:   uđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0         â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ   -­â&#x20AC;? Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  differenziale  che  descrive  le  curve  di  flusso   del  moto  nel  caso  bidimensionale,  che  è  quanto  volevamo  dimostrare.              

Marcello Miccio

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Corrente  di  Stokes  attorno  ad  un  cilindro.   -­â&#x20AC;? Consideriamo   il   caso   di   una   corrente   che   investe   un   cilindro,   quindi   un   problema  bidimensionale.  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

  Esprimiamo  le  condizioni  al  contorno  per  questo  tipo  di  configurazione:   1)đ??´đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;:              đ?&#x203A;š! = 0                đ?&#x203A;š! = 0   1)đ??´  đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;:              đ?&#x203A;š! = đ?&#x2018;Ł!                đ?&#x203A;š! = 0   Per  descrivere  questo  problema  sfruttiamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Stokes  ricavate  con   la  funzione  di  corrente:   â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š! ! = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š   Se  consideriamo  un  sistema  di  riferimento  solidale  al  cilindro  si  può  supporre   che  il  flusso  sia  stazionario:     â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š = 0   Consideriamo   ora   la   condizione   al   contorno   đ?&#x203A;š! = đ?&#x2018;Ł! .   Integrando   questa   relazione  si  ha:     đ?&#x203A;š = đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;&#x; sin đ?&#x153;&#x192;   Si   può   dare   una   espressione   piĂš   generale   alla"  đ?&#x203A;š"     introducendo   una   funzione   đ??š đ?&#x2018;&#x;  che  varia  solo  al  variare  del  raggio  "đ?&#x2018;&#x;":  đ?&#x203A;š = đ??š đ?&#x2018;&#x; sin đ?&#x153;&#x192;     Sostituendo  questa  espressione  di  "đ?&#x203A;š"    in  â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;š = 0    si  ha:   1 đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; 1 ! đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; ! đ??š = 0   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; Risolvendo  questa  equazione  differenziale  si  trova  una  relazione  del  tipo:     1 đ??š đ?&#x2018;&#x; = đ??´đ?&#x2018;&#x; ! + đ??ľđ?&#x2018;&#x; ln đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; + đ??śđ?&#x2018;&#x; + đ??ˇđ?&#x2018;&#x;   2 Da  cui  ricaviamo  anche  lâ&#x20AC;&#x2122;espressione  della  đ?&#x203A;š  :   1 đ?&#x203A;š =   đ??´đ?&#x2018;&#x; ! + đ??ľđ?&#x2018;&#x; ln đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; + đ??śđ?&#x2018;&#x; + đ??ˇđ?&#x2018;&#x; sin đ?&#x153;&#x192;   2 Ora   però   è   matematicamente   impossibile   determinare   i   valori   delle   quattro   costanti  A,  B,  C,  D  in  modo  da  dare  senso  alla  risoluzione.  Proprio  per  questa   impossibilitĂ    il   problema   è   detto   â&#x20AC;&#x153;Paradosso   di   Stokesâ&#x20AC;?.   Il   problema  

Marcello Miccio

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dellâ&#x20AC;&#x2122;insolvenza   è   dovuto   alle   condizioni   allâ&#x20AC;&#x2122;infinito,   infatti   gli   effetti   a   grande   distanza   dal   cilindro   decadono   lentamente,   quindi   si   deve   tener   conto   dei   termini  non  lineari  anche  quando  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ş 1.     -­â&#x20AC;? Tuttavia   se   si   considera   una   condizione   per   cui    (  đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;? < â&#x2C6;&#x17E;  )   il   problema   ammette  soluzione.       Corrente  di  Stokes  attorno  ad  una  sfera.   -­â&#x20AC;? Per  analogia  possiamo  studiare  il  caso  di  una  corrente  che  investe  una  sfera   tuttavia   ora   si   deve   tenere   conto   che   stiamo   affrontando   un   problema   tridimensionale.  

  Ragionando   in   modo   simile   al   problema   precedente   si   giunge   ad   una   espressione  della  funzione"  đ?&#x203A;š"    del  tipo:   đ??´ 1 đ?&#x203A;š =   + đ??ľđ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;&#x; ! sin! đ?&#x153;&#x192;   đ?&#x2018;&#x; 2 -­â&#x20AC;? Qui   delle   opportune   condizioni   al   contorno   è   possibile   determinare   i   valori   delle  costanti  A,  B.   -­â&#x20AC;? Tuttavia   questa   soluzione   è   valida   esclusivamente   per   un   flusso   stazionario   che  fluisce  attorno  ad  una  sfera  fissa.     Soluzioni  approssimate  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes.   -­â&#x20AC;? Consideriamo   le   equazioni   adimensionali   scritte   in   forma   vettoriale   trascurando  il  termine  gravitazionale:   â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 đ??ˇđ?&#x2018;Ł 1 !   + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; -­â&#x20AC;? Ora   ci   proponiamo   di   studiare   queste   equazioni   ponendoci   nel   limite   di   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   molto  grande:   â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 đ??ˇđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;                             + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0 đ??ˇđ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Sotto   questa   condizione   abbiamo   ritrovato   le   equazioni   di   Eulero   atte   a   descrivere  un  moto  non  viscoso  (  đ?&#x153;&#x2021; â&#x2030;&#x2026; 0  ).   -­â&#x20AC;?

Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Tuttavia  per  la  â&#x20AC;&#x153;condizione  di  aderenzaâ&#x20AC;?  le  forze  viscose  non  possono  essere   trascurata  in  prossimitĂ   di  una  parete  solida.  Tale  zona  è  detta  â&#x20AC;&#x153;Strato  Limiteâ&#x20AC;?,   qui   i   gradienti   di   velocitĂ    sono   abbastanza   grandi   da   compensare   il   basso   ! valore  di  ( ).   !" In  definitiva  si  può  dire  che  lâ&#x20AC;&#x2122;approssimazione  di  moto  non  viscoso,  quindi  le   equazioni   di   Eulero,   sono   valide   nelle   regioni   del   campo   di   moto   in   cui   il   numero   di   Reynolds   è   elevato,   ossia   dove   le   forze   viscose   sono   trascurabili,   oppure  a  grande  distanza  dalle  pareti  solide  di  un  corpo.   Il  termine  che  nelle  equazioni  di  Eulero  viene  trascurato  (  â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x2018;Ł  )  che  contiene   le  derivate  di  ordine  maggiore.  Matematicamente  trascurare  questo  termine   significa   abbassare   il   numero   di   condizioni   al   contorno   che   possono   essere   imposte  al  problema.   In  particolare  non  è  possibile  imporre  la  condizione  di  aderenza  in  prossimitĂ    della   parete   solida.   Pertanto   le   equazioni   di   Eulero   non   sono   in   grado   di   fornire   soluzioni   fisicamente   valide   in   prossimitĂ    di   pareti   solide,   questo   perchĂŠ  al  fluido  è  permesso  di  non  aderire  alla  parete.  

    Equazione  della  vorticitĂ .   -­â&#x20AC;? Consideriamo  le  equazioni  di  Eulero  ricavate  sotto  lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi  di  Reynolds  molto   grande:     â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 đ??ˇđ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł                       + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0 + đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0 đ??ˇđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Ricordiamo  ora  la  proprietĂ   del  doppio  prodotto  vettoriale:   đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł   -­â&#x20AC;? Da  questa  relazione  ricavo  lâ&#x20AC;&#x2122;ultimo  membro  e  poi  sostituisco  nella  relazione  di   partenza:   đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021; đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Introducendo  la  VorticitĂ ,  definita  in  questo  modo  đ?&#x153;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł    ,  si  può  scrivere:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014;đ?&#x153;&#x201D; + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Ora  possiamo  fare  due  osservazioni:   1)đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;ĄĂ   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;:   â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014;đ?&#x153;&#x201D; = đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł   !!

-­â&#x20AC;?

2)  â&#x2C6;&#x2021;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;Ł   = â&#x2C6;&#x2021; !   Riscriviamo  ora  il  tutto  includendo  queste  due  ultime  considerazioni:  

Marcello Miccio

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đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł! + â&#x2C6;&#x2021; + đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2 -­â&#x20AC;? Consideriamo  ora  il  rotore  di  ogni  termine:     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł! â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014; + â&#x2C6;&#x2021; + đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2 -­â&#x20AC;? Ricordando   ora   la   proprietĂ    del   rotore   per   cui   il   rotore   di   un   gradiente   è   sempre  nullo  si  ha  che  rimangono  solo  due  termini:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x201D; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014; + â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = 0           â&#x2020;&#x2019;         + â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Abbiamo   cosĂŹ   ottenuto   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   della   vorticitĂ .   Si   ha   inoltre   che   zero   è   soluzione   di   questa   equazione   dunque   tutte   le   correnti   irrotazionali   soddisfano  le  equazioni  di  Eulero.         Teorema  di  Kelvin.   -­â&#x20AC;? Introduciamo  questo  teorema  per  dimostrare  che  la  circolazione  della  velocitĂ    non   varia   quando   la   si   calcola   su   un   cammino   chiuso   che   si   muove   con   la   stessa   velocitĂ    del   fluido.   Questo   equivale   a   dire   che   se   una   corrente   è   irrotazionale  in  un  punto  tale  corrente  sarĂ   irrotazionale  in  qualsiasi  punto  del   campo  di  moto,  indipendentemente  dal  tempo.   -­â&#x20AC;? Per   formalizzare   questo   concetto   introduciamo   la   circolazione   del   vettore   velocitĂ   attorno  ad  un  cammino  chiuso  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x203A;¤â&#x20AC;?:   đ?&#x203A;¤= -­â&#x20AC;?

Sfruttando  il  teorema  del  rotore  si  può  scrivere:   đ?&#x203A;¤=

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ    

đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122; =

â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  =

đ?&#x153;&#x201D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;   

Abbiamo ��  ottenuto   cosĂŹ   una   relazione   che   lega   la   circolazione   delle   velocitĂ    con  un  integrale  della  voritcitĂ .   Consideriamo  ora  un  configurazione  per  cui  sia  il  contorno  "đ?&#x203A;¤"  sia  la  velocitĂ   đ?&#x2018;Ł   dipendano,  oltre  che  dallo  spazio,  anche  dal  tempo.       đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;¤= đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;     đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  Valutiamo  ora  come  varia  la  circolazione  nel  tempo,  quindi  deriviamo  rispetto   al   tempo.   Sotto   il   segno   di   integrale   si   deve   sviluppare   la   derivata   del   prodotto:  

Marcello Miccio

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đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

 

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;!đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą !!

Per   come   lâ&#x20AC;&#x2122;abbiamo   definito   il   primo   termine   ( !" )   è   proprio   la   derivata   sostanziale  della  velocitĂ   e  ricordando  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Eulero  si  ha:   đ??ˇđ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;?   đ??ˇđ?&#x2018;Ą Inoltre   manipolando   il   secondo   differenziale   sotto   il   segno   di   integrale   possiamo  scrivere:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;Ł! 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł =đ?&#x153;&#x2022; =            đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;   = đ?&#x2018;Ł   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą Sotto  queste  considerazioni  possiamo  riscrivere  lâ&#x20AC;&#x2122;integrale  di  partenza:     đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł ! = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;     đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  Se   ora   supponiamo   che   il   gradiente   di   pressione   abbia   unica   componente,   cioè:     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? =   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ Possiamo  riscrivere  il  tutto:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł ! = + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122; = + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;    Ora  sotto  il  segno  di  integrale  abbiamo  tutto  in  funzione  di  una  sola  variabile   quindi  possiamo  tornare  al  differenziale  esatto:     đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł ! = + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  In  questo  modo  stiamo  integrando  due  differenziali  esatti  lungo  un  percorso   chiuso  quindi  entrambi  avranno  valore  nullo  e  si  ha:     đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ = 0   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą  

Marcello Miccio

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Corollario.   -­â&#x20AC;? Quindi   se   consideriamo   una   regione   di   fluido   con   vorticitĂ    nulla   (  đ?&#x153;&#x201D; = 0  ),   sfruttando   questo   risultato   possiamo   dire   che   per   un   contorno   chiuso   che   si   muove  con  la  stessa  velocitĂ   del  fluido  si  deve  avere:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;¤ đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = đ?&#x153;&#x201D;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą -­â&#x20AC;? Questo   equabile   a   dire   che   se   una   regione   di   fluido   che   si   muove   con   la   stessa   velocitĂ   del  contorno  "đ?&#x203A;¤"  è  una  corrente  irrotazionale  (  đ?&#x153;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = 0  ),  tale   corrente  sarĂ   irrotazionale  in  ogni  punto  del  campo  di  moto.   Flussi  a  Potenziale.   -­â&#x20AC;? Consideriamo  una  corrente  irrotazionale:   đ?&#x153;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ł = 0   -­â&#x20AC;? Ricordando   la   proprietĂ    del   rotore   per   cui   se   il   rotore   di   un   campo   è   nullo   allora   si   può   esprimere   tale   campo   come   il   gradiente   di   un   potenziale   scalare,   si  può  scrivere:   đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x203A;ˇ   -­â&#x20AC;? Sotto  questa  considerazione  si  può  riscrivere  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  continuitĂ :     â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x203A;ˇ = â&#x2C6;&#x2021;! đ?&#x203A;ˇ = 0   -­â&#x20AC;? Otteniamo   cosĂŹ   la   classica   equazione   di   Laplace   che   a   differenza   delle   equazioni  di  Eulero  è  una  equazione  lineare.   -­â&#x20AC;? Scriviamo  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Laplace  in  coordinate  cartesiane  e  polari:   1) đ?&#x203A;ˇ!! + đ?&#x203A;ˇ!! = 0   !

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

!"!

!!!

2) đ?&#x2018;&#x; !" !" + !!!     Cerchiamo   ora   di   risolvere   lâ&#x20AC;&#x2122;equazione   di   Laplace   in   forma   polare   cercando   una  soluzione  particolare  sfruttando  il  metodo  di  separazione  delle  variabili:   La  soluzione  sarĂ   della  forma:  đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192; = đ??š đ?&#x2018;&#x; đ??ş đ?&#x153;&#x192;   Tentiamo  di  scrivere  una  funzione  di  due  variabili  đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192;  come  il  prodotto  di   due   funzioni   di   una   singola   variabile.   Introduciamo   questa   posizione   nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  Laplace.     đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;!đ??ş đ?&#x2018;&#x; đ??ş + đ??š ! = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; In   questo   modo   si   può   scrivere   la   relazione   anche   con   le   derivate   ordinarie   perchĂŠ  ogni  funzione  è  di  una  sola  variabile:     đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š ! ! đ??ş + đ??šđ??ş !! = 0   Portiamo  il  secondo  addendo  al  secondo  membro  e  dividiamo  tutto  per  (đ??šđ??ş):   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š ! ! đ??ş !! ! ! !! đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š đ??ş = â&#x2C6;&#x2019;đ??šđ??ş       â&#x2020;&#x2019;         = â&#x2C6;&#x2019;   đ??š đ??ş CosĂŹ  si  ha  che  il  primo  membro  dipende  solo  da  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;&#x;",  mentre  il  secondo  solo  da  

Marcello Miccio

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-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

 

"đ?&#x153;&#x192;"   .   Lâ&#x20AC;&#x2122;unica   possibilitĂ    affinchĂŠ   questa   equazione   differenziale   sia   soddisfatta   â&#x2C6;&#x20AC;  (đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192;)è  che:   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š ! ! đ??ş !! =â&#x2C6;&#x2019; =   đ??ž !          đ??ˇđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;  đ??ž !  è  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;     đ??š đ??ş Quindi  si  deve  avere:     đ??ş !! â&#x2C6;&#x2019; =   đ??ž !  đ??¸đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;  , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;:  đ??ş đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;&#x2019; Âą!"#   đ??ş đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š ! ! =   đ??ž !        đ??¸đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ??¸đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;   đ??š Si   deve   dunque   trasformare   la   seconda   equazione   in   una   equazione   differenziale  a  coefficienti  costanti:   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š ! ! â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ??ž ! = 0   Introduciamo  una  nuova  variabile  â&#x20AC;&#x153;tâ&#x20AC;?:   1 1 đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ą = log đ?&#x2018;&#x;     â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;       â&#x2020;&#x2019;       = đ?&#x2018;&#x;   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ??š 1 1 đ?&#x2018;&#x2018;! đ??š ! ! ! ! ! đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ??š â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ??ž = đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ??ž = đ??š â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ??ž = ! â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ??ž ! = 0   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą Per  questa  equazione  differenziale  abbiamo  una  soluzione  del  tipo:   đ??š đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2019; Âą!"   Riportando  la  soluzione  nel  dominio  della  â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;?  la  soluzione  diventa:   đ??š đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x; Âą!   Quindi  possiamo  riassumere  le  soluzioni  al  variare  della  costante  â&#x20AC;&#x153;kâ&#x20AC;?  in  questo   modo:   đ??ş đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;&#x2019; Âą!"# đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ??ž â&#x2030;  0       đ??š đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x; Âą! đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192; = đ??š đ?&#x2018;&#x; đ??ş đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;&#x2019; Âą!"# đ?&#x2018;&#x; Âą!     đ??ş đ?&#x153;&#x192; = đ??ś! đ?&#x153;&#x192; + đ??ś! đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ??ž = 0           đ??š đ?&#x2018;&#x; = đ??´ log đ?&#x2018;&#x; + đ??ľ đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192; = đ??š đ?&#x2018;&#x; đ??ş đ?&#x153;&#x192; = đ??ś! đ?&#x153;&#x192; + đ??ś! đ??´ log đ?&#x2018;&#x; + đ??ľ    

Marcello Miccio

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Pozzo  o  sorgente   -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

Una  sorgente  o  un  pozzo  è  una  soluzione  dove  la  velocità  dipende  unicamente   dalla  distanza  da  un  punto,  per  esempio  l'origine  degli  assi,  ed  è  diretta   radialmente  (cioè  verso  questo  punto  oppure  in  direzione  opposta).  Per   trovare  la  soluzione  è  conveniente  riferirsi  ad  un  sistema  di  coordinate   polari  (o  cilindriche).    

  Una  configurazione  di  questo  tipo  ha  un  potenziale  pari  a:  đ?&#x203A;ˇ! = đ?&#x2018;&#x17D; ln đ?&#x2018;&#x;   Dato  che  la  velocitĂ   dovrĂ   possedere  unicamente  direzione  radiale,  la  sua   componente  tangenziale  sarĂ   nulla:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;&#x17D; =   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; Data  una  superfice  circolare  di  riferimento  è  interessante  valutare  la  portata   per  unitĂ   di  lunghezza:   !! !! đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ł! 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;   đ?&#x2018;&#x; ! ! Dalla  portata  possiamo  valutare  il  valore  della  costante  â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?:   đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x17D;=         â&#x2020;&#x2019;   đ?&#x203A;ˇ! =  ln đ?&#x2018;&#x;         2đ?&#x153;&#x2039; 2đ?&#x153;&#x2039; Se   invece   consideriamo   una   corrente   di   tipo   pozzo   valgono   analoghe   considerazioni   tuttavia   le   linee   di   flusso   hanno   direzione   opposta   quindi   il   flusso  deve  essere  corretto  con  un  meno:   đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x203A;ˇ! = â&#x2C6;&#x2019;  ln đ?&#x2018;&#x;   2đ?&#x153;&#x2039;   đ?&#x2018;Ł! =

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

 

Marcello Miccio

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Vortice.   -­â&#x20AC;? Consideriamo   una   corrente   a   rotazione   potenziale   per   cui   la   componente   radiale  della  velocitĂ   è  ovunque  nulla.  

-­â&#x20AC;? -­â&#x20AC;?

  Una  configurazione  di  questo  tipo  ha  un  potenziale  pari  a:  đ?&#x203A;ˇ! = đ??śđ?&#x153;&#x192;   Dato  che  la  velocitĂ   dovrĂ   possedere  unicamente  direzione  tangenziale,  la  sua   componente  radiale  sarĂ   nulla:   1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;? =   đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x; La  costante  â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;?  è  legata  alla  circuitazione  attorno  un  cammino  chiuso  che   comprende  le  linee  di  flusso  del  vortice  secondo  la  relazione:     đ?&#x2018;Ł! =

-­â&#x20AC;?

!!

đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;?   đ?&#x2018;&#x; ! Dalla  circuitazione  possiamo  valutare  il  valore  della  costante  â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;?:   đ?&#x203A;¤=

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x203A;¤ =

đ?&#x2018;?=

đ?&#x2018;Ł!  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;

đ?&#x203A;¤ đ?&#x203A;¤         â&#x2020;&#x2019;   đ?&#x203A;ˇ! = đ?&#x153;&#x192;   2đ?&#x153;&#x2039; 2đ?&#x153;&#x2039;

         

Marcello Miccio

 

58  


Corrente  irrotazionale  che  investe  un  cilindro.   -­‐

Consideriamo  una  corrente  uniforme  che  investe  un  cilindro  stazionario.  

  -­‐

Le  linde  di  flusso  provenendo  dall’infinito  si  imbatto  sulla  parete  laterale  del   cilindro  con  un  andamento  regolare  e  formano  un  campo  simmetrico.  

-­‐

Consideriamo  ora  una  corrente  uniforme  che  investe  un  cilindro  che  ruota  con   una  certa  velocità  angolare  rispetto  al  suo  asse.  

  -­‐

In   questo   caso   la   rotazione   del   cilindro   attorno   al   proprio   asse   costringe   le   particelle  fluide  a  contatto  con  la  superfice  del  cilindro  a  ruotare  con  il  cilindro   stesso  a  causa  della  “Condizione  di  Aderenza”.  

-­‐

Si  crea  dunque  un  campo  asimmetrico.  Infatti  nella  zona  superiore  del  cilindro   le   particelle   fluide   sono   più   veloci,   mentre   nella   parte   inferiore   sono   rallentate.  

-­‐

Considerando   un   bilancio   di   Bernulli   si   deve   avere   che   la   pressione   sulla   parte   superiore   del   cilindro   è   minore   rispetto   a   quella   sulla   parte   inferiore,   si   crea   dunque  una  forza  diretta  verso  l’alto  detta  Portanza.  

Marcello Miccio

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Equazioni  dello  Strato  Limite.   Lo   Strato   Limite   è   una   regione   molto   sottile   adiacente   ad   una   parete   solida   di   un   corpo,   nella   quale   le   forze   viscose   e   le   rotazionalità   non   possono   essere   ignorate,  per  questo  motivo  le  equazioni  di  Eulero  non  hanno  significato  fisico   in  questa  particolare  regione.  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Consideriamo  dunque  una  lastra  piana  immersa  in  una  corrente  parallela.  

  -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Per   descrivere   questo   fenomeno   consideriamo   le   equazioni   di   N-­â&#x20AC;?S   adimensionali  sotto  lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi  di  flusso  stazionario.   đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Ł! = 0 1 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;˘!! )   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !! 1 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł! + đ?&#x2018;?! = (đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;Ł!! ) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !! Definiamo  ora  due  nuove  variabili:   đ?&#x2018;Ś 1 1)      đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x153;&#x20AC;         â&#x2020;&#x2019;        đ?&#x2018;&#x152; =                  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;    đ?&#x153;&#x20AC; =   đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ł 2)    đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x153;&#x20AC;         â&#x2020;&#x2019;        đ?&#x2018;&#x2030; =   đ?&#x153;&#x20AC; Andiamo  ora  a  riscrivere  le  equazioni  adimensionali  introducendo  queste  due   nuove  variabili,  iniziamo  con  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  massa:     1 đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;˘! + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030;! = đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0       â&#x2020;&#x2019;     đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0             đ?&#x153;&#x20AC;

-­â&#x20AC;?

Procediamo   ora   introducendo   le   variabili   nelle   due   equazioni   della   quantitĂ    di   moto:   1 1 1 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! = đ?&#x2018;˘!! + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;  đ?&#x2018;˘!! đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;     1 1 đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2030;! + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;! + đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030;!! đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !!

-­â&#x20AC;?

Moltiplichiamo  ora  la  seconda  equazione  per  (đ?&#x153;&#x20AC;):  

Marcello Miccio

60  


       

1 đ?&#x2018;˘ +  đ?&#x2018;˘!! đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !!     1 1 đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2030;! + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;! + đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2030;!! đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; !! đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! =

-­â&#x20AC;?

Considerando  ora  il  limite  di  Reynolds  molto  grande  (  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;  )  si  ha:   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! =  đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x2018;?! = 0

Otteniamo   cosĂŹ   un   sistema   di   tre   equazioni,   dette   equazioni   dello   strato   limite,    atte  a  descrivere  il  moto  di  un  fluido  in  prossimitĂ   di  una  parete  solida:   đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0   đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! = đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x2018;?! = 0

  Equazioni  di  Prandtl.     -­â&#x20AC;? Consideriamo  le  equazioni  dello  strato  limite:   đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0   đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;?! = đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x2018;?! = 0 -­â&#x20AC;? Data   la   configurazione   di   una   lastra   piana   ferma   investita   da   un   fluido   esplicitiamo  le  condizioni  al  contorno:   1) Alla  superfice:    đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;Ś = 0      đ?&#x2018;˘, đ?&#x2018;Ł = 0   2) A  grande  distanza:   đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;˘ !"#$%& đ?&#x2018;Ś â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;   !   đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x192; !"#$%&

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

  Dalla  terza  equazioni  del  sistema  abbiamo  che  se  consideriamo  la  pressione,   come  esclusivamente  quella  esterna  di  Eulero,  essa  deve  soddisfare  la  legge  di   Bernulli:   !!"#$%& đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;?! = 0               â&#x2020;&#x2019;              đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ !"#$%&         â&#x2020;&#x2019;          đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ !"#$%& + = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;     2 Possiamo   derivare   questâ&#x20AC;&#x2122;ultima   relazione   rispetto   ad   â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?   in   quanto   sia   la   pressione  che  la  velocitĂ   sono  funzioni  della  sola  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?  e  si  ha:   đ?&#x2018;?!!"#$%& + đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& = 0         â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x2018;?!!"#$%& = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%&   .    

Marcello Miccio

61  


        -­â&#x20AC;?

Sostituiamo   ora   "đ?&#x2018;?! "   nella   seconda   equazione   del   sistema   con   lâ&#x20AC;&#x2122;ultima   relazione  che  abbiamo  trovato:     đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& = đ?&#x2018;˘!!         â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& +đ?&#x2018;˘!!  

-­â&#x20AC;?

Con   questa   manipolazione   abbiamo   ottenuto   un   sistema   di   due   equazioni,   dato   dalla   combinazione   delle   tre   di   partenza.   Tali   equazioni   sono   dette   equazioni  di  Prandtl.     đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0     đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& +đ?&#x2018;˘!!    

Soluzione  di  Blasius  per  le  equazioni  di  Prandtl.   -­â&#x20AC;?

Riprendiamo     il     sistema     delle     equazioni     di     Prandtl     per     lo     strato     limite     sottile  bidimensionale    e    stazionario.        

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0     đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& +đ?&#x2018;˘!!

Consideriamo   una   lastra   piana   di   spessore   infinitesimo   e   lunghezza   infinta   immersa  in  una  corrente  uniforme  di  velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;Uâ&#x20AC;?    parallela  alla  lastra.  

  -­â&#x20AC;?

 Esprimiamo  dunque  le  condizioni  al  contorno:  

Marcello Miccio

62  


       

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;Ś = 0          đ?&#x2018;˘, đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;  đ?&#x2018;&#x152; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;      đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2C6;   -­â&#x20AC;?

PoichĂŠ   la   corrente   è   uniforme   ed   ha   espressione   solo   nella   dimensione   â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?   dalla  prima  equazione  del  sistema  si  ha:   đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;! = 0       â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x2018;˘! = 0       â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  

-­â&#x20AC;?

Ricordando   come   abbiamo   trasformato   prima   il   gradiente   di   pressione   per   arrivare  alle  equazioni  di  Prandtl  si  ha:   đ?&#x2018;?!!"#$%& = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘!!"#$%& = 0         â&#x2020;&#x2019;        đ?&#x2018;?!!"#$%& = 0  

-­â&#x20AC;?

Quindi  nello  strato  limite  su  una  lastra  piana  si  ha  gradiente  di  pressione  nullo   per  questo  è  detto  â&#x20AC;&#x153;  strato  limite  a  gradiente  di  pressione  nulloâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

Con  questa  considerazione  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  del  moto  diviene:   đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;˘! = +đ?&#x2018;˘!!    

-­â&#x20AC;?

Proviamo   ora   a   risolvere   questa   equazione   differenziale   introducendo   la   funzione  di  corrente:   đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x153;&#x2022; ! Ψ đ?&#x153;&#x2022;Ψ đ?&#x153;&#x2022; ! Ψ đ?&#x153;&#x2022;!Ψ + â&#x2C6;&#x2019; =   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x152; ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x152; ! đ?&#x203A;š! đ?&#x203A;š!" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;š! đ?&#x203A;š!! = đ?&#x203A;š!!!  

  -­â&#x20AC;?

Per   risolvere   questa   equazione   differenziale   del   terzo   ordine   è   necessario   introdurre  una  nuova  variabile:   đ?&#x153;&#x201A;=

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;&#x152;   đ?&#x2018;Ľ!

Supponiamo  inoltre  che  la  funzione  "Ψ"  abbia  una  forma  del  tipo:   Ψ=đ?&#x2018;Ľ ! đ??š đ?&#x153;&#x201A;  

-­â&#x20AC;?

Per  come  abbiamo  introdotto  "đ?&#x153;&#x201A;"  si  deve  avere  che:  

Marcello Miccio

63  


       

đ?&#x2018;˘ = đ?&#x203A;š! = -­â&#x20AC;?

CosĂŹ  si  può  riscrivere  â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?:   đ?&#x2018;˘=

-­â&#x20AC;?

1 đ?&#x203A;š!        đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;      đ?&#x203A;š! =   đ?&#x2018;Ľ ! đ??š ! đ?&#x153;&#x201A;     ! đ?&#x2018;Ľ

1 ! ! đ?&#x2018;Ľ đ??š đ?&#x153;&#x201A; = đ??š ! đ?&#x153;&#x201A;     ! đ?&#x2018;Ľ

Ricaviamo   ora   le   altre   derivate   che   compaiono   nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione   differenziale   che  vogliamo  risolvere:   đ?&#x203A;š! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ !!! đ??š + đ?&#x2018;Ľ ! â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x203A;š!"

đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;Ľ !!!

đ??š !  

đ??š! đ?&#x153;&#x201A; đ?&#x2018;&#x152; = = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? !!! đ??š !!   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;š! = đ??š !   đ?&#x203A;š!! = đ?&#x203A;š!!! =

-­â&#x20AC;?

1 !!! đ??š   đ?&#x2018;Ľ !!

Sostituiamo  queste  derivate  in  â&#x20AC;&#x153;đ?&#x203A;š! đ?&#x203A;š!" â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;š! đ?&#x203A;š!! = đ?&#x203A;š!!! "  e  si  ha:   đ??š ! â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

-­â&#x20AC;?

1 !! đ??š   đ?&#x2018;Ľ!

đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;Ľ !!!

đ??š !! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ !!! đ??š + đ?&#x2018;Ľ ! â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;Ľ !!!

1 !! 1 đ??š = !! đ??š !!!   ! đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ

đ??š!

Svolgendo  i  prodotti  e  moltiplicando  per    "đ?&#x2018;Ľ !! "  si  ottiene:   â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;Ľ !!!! đ??šđ??š !! = đ??š !!!  

-­â&#x20AC;?

!

Se  supponiamo  che  il  coefficiente  abbia  valore  (  đ?&#x2018;? = !  )  possiamo  scrivere:   1 ! 1 1 â&#x2C6;&#x2019;   đ?&#x2018;Ľ !!!! đ??šđ??š !! = đ??š !!!       â&#x2020;&#x2019;       â&#x2C6;&#x2019;   đ?&#x2018;Ľ !!! đ??šđ??š !! = đ??š !!!         â&#x2020;&#x2019;     â&#x2C6;&#x2019;   đ??šđ??š !! = đ??š !!!   2 2 2

-­â&#x20AC;?

Questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  equazione  differenziale  con  le  seguenti  condizioni  al  contorno  è   detta  â&#x20AC;&#x153;Soluzione  di  Blasiusâ&#x20AC;?:  

Marcello Miccio

64  


       

 đ??šđ??š !! + 2đ??š !!! = 0 đ??š 0 =0   đ??š! 0 = 0 đ??š! â&#x2C6;&#x17E; = 1 -­â&#x20AC;?

Abbiamo  quindi  unâ&#x20AC;&#x2122;equazione  differenziale  ordinaria  del  terzo  ordine  con  tre   condizioni   al   contorno   di   cui   due   corrispondono   alla   superďŹ cie   della   lastra   e   una  a  grande  distanza  da  essa.  

-­â&#x20AC;?

Una  volta  trovata  la  soluzione  per  ritornare  alle  variabili  fisiche  iniziali  si  deve   tenere  conto  delle  posizioni  fatte:   đ?&#x153;&#x201A;=

đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;Ś =                          đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;      đ?&#x2018;&#x152; =     ! đ?&#x2018;Ľ! đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ!

      Calcolo  Sforzo  Tangenziale  alla  parete  nello  strato  limite.   -­â&#x20AC;?

Nel  caso  di  una  corrente  parallela  che  fluisce  su  una  lastra  piana  se  si  vogliono   considerare  le  forze  agenti  sulla  parete  si  deve  tener  conto  anche  delle  forze   di  resistenza  viscose,  qui  non  trascurabili.  

-­â&#x20AC;?

Come  abbiamo  già  visto  lo  sforzo  di  taglio  è  dato  dalla  relazione:  

đ?&#x153;?=đ?&#x153;&#x2021;   -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x153;&#x2021;  đ?&#x2018;˘!!   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Tuttavia  questa  è  una  espressione  dimensionale,  quindi  per  avere  una   formulazione  che  abbia  valenza  generale  procediamo  ad  adimensionalizzare   questa  relazione:  

đ?&#x2018;˘!! = -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; ! đ?&#x2018;˘!   đ??żđ?&#x2018;&#x;

Introduciamo  ora  anche  le  due  variabili:  

Marcello Miccio

65  


       

 đ?&#x2018;&#x152; =

đ?&#x2018;˘!! =

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x152;                          đ?&#x153;&#x201A; = !       đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ!!

đ?&#x2018;Ł! 1 ! đ?&#x2018;Ł! 1 1 !   đ?&#x2018;˘ =   đ?&#x2018;˘   đ??ż! đ?&#x153;&#x20AC; ! đ??ż! đ?&#x153;&#x20AC; !! ! đ?&#x2018;Ľ!

Dalla  soluzione  di  Blasius  si  ha  che    đ?&#x2018;˘!! = 0,332  ,  quindi  possiamo  scrivere  lo   sforzo  di  taglio  in  questo  modo:  

đ?&#x153;? = 0,332  đ?&#x153;&#x2021;

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; 1 1 đ??żđ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x20AC;

1   đ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;&#x17D;

! !

!

Esplicitiamo  ora  la  forma  adimensionali  di  (đ?&#x2018;Ľ! )  e  ricordiamo  che  đ?&#x153;&#x20AC; =

đ?&#x153;? = 0,332  đ?&#x153;&#x2021;

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ??żđ?&#x2018;&#x; đ??żđ?&#x2018;&#x;

1 2

đ?&#x153;&#x2C6;

đ??żđ?&#x2018;&#x;

1 2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;

= 0,332  đ?&#x153;&#x2021; 3

1

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; đ??żđ?&#x2018;&#x;

đ?&#x153;&#x2C6;

1 2

1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;

!" 1 2

 :  

 

1

đ?&#x153;? = 0,332  đ?&#x153;&#x2021;      đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; 2        đ?&#x153;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;2      đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;2   -­â&#x20AC;?

Con   le   semplificazioni   effettuate   è   scomparsa   "đ??ż! ",   infatti   la   soluzione   di   questo  problema  parabolico  non  deve  dipendere  dalla  lunghezza  della  lastra,   la  soluzione  non  può  dipendere  da  ciò  che  viene  dopo  il  tratto  considerato.  

-­â&#x20AC;?

Noto   lo   sforzo   di   taglio   si   può   facilmente   calcolare   la   forza   di   resistenza   viscosa  che  agisce  sulla  parete,  infatti:   !

đ??š=đ?&#x2018;&#x160;

đ?&#x153;?  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ  

!

-­â&#x20AC;?

Dove   abbiamo   indicato   con   â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;?   la   lunghezza   della   lastra,   mentre   con   â&#x20AC;&#x153;Wâ&#x20AC;?   lâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza  della  lastra.  

-­â&#x20AC;?

Risolviamo  questo  integrale:  

đ??š = 0,332  đ?&#x153;&#x2021;      đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x;

đ??ż

3 1 â&#x2C6;&#x2019; 2        đ?&#x153;&#x2C6; 2    đ?&#x2018;&#x160;

     đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2019;

1 2

 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ  

0

Marcello Miccio

66  


       

đ??š = 0,332    đ?&#x153;&#x2021;      đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x;

3 1 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2        đ?&#x153;&#x2C6; 2    đ?&#x2018;&#x160;    2đ??ż 2   3

1

1

đ??š = 0,664    đ?&#x153;&#x2021;      đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x; 2        đ?&#x153;&#x2C6;â&#x2C6;&#x2019;2    đ?&#x2018;&#x160;    đ??żâ&#x2C6;&#x2019;2     Spessore  đ?&#x153;šđ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; .   -­â&#x20AC;?

Approfondiamo   il   concetto   di   spessore   dello   strato   limite,   supponiamo   di   definire  lo  spessore  "đ?&#x203A;ż"  come  quella  "đ?&#x2018;Ś"  tale  che:   đ?&#x2018;˘ = 0,99đ?&#x2018;&#x2C6;     â&#x2020;&#x2019;     đ??š ! đ?&#x153;&#x201A; = 0,99      

-­â&#x20AC;?

Dalla   tabella   dei   valori   della   soluzione   di   Blasius   questo   valore   di   đ??š !   corrisponde  ad  un  đ?&#x153;&#x201A; â&#x2030;&#x2026; 5  .  

-­â&#x20AC;?

Per  quantificare  lâ&#x20AC;&#x2122;altezza  di  questo  spessore  ricordiamo  queste  tre  definizioni:      đ?&#x153;&#x201A; =

đ?&#x2018;&#x152;

!                      đ?&#x2018;&#x152; =

đ?&#x2018;Ľ!! -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż!!            đ?&#x2018;Ś =   đ?&#x153;&#x20AC; đ??ż!

Ora  le  combiniamo  mettendole  insieme:   1 1 đ?&#x203A;ż!! 1 1 đ?&#x203A;ż!! 1 đ?&#x2018;Ł! đ??ż!    đ?&#x153;&#x201A; = !               â&#x2020;&#x2019;    5 = !       = !     đ?&#x153;&#x20AC; đ??ż! đ?&#x153;&#x20AC; đ??ż! đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;Ľ!! đ?&#x2018;Ľ!! đ?&#x2018;Ľ!! 5=

! đ?&#x2018;Ł! !

đ?&#x153;&#x2C6;

đ?&#x203A;ż!! 1   1 đ?&#x2018;Ľ!

! !

! !

đ?&#x203A;ż!! đ??ż!   = đ??ż! đ?&#x2018;Ľ!

! !

đ?&#x2018;Ł! đ??ż! đ?&#x153;&#x2C6;

! !

 

đ?&#x203A;ż!!   đ??ż!

!

    â&#x2020;&#x2019;       đ?&#x203A;ż!!

đ?&#x2018;Ľ! đ?&#x153;&#x2C6; ! = 5     đ?&#x2018;Ł!

       

Marcello Miccio

 

67  


       

Spessore  di  Spostamento.   -­â&#x20AC;?

Lo     spessore   di   spostamento,   đ?&#x203A;ż*,   rappresenta   la   quantitĂ    di   cui   si   dovrebbe   aumentare  lo  spessore  della  lastra  affinchĂŠ  il  flusso  ideale  uniforme  abbia  la   stessa  portata  dellâ&#x20AC;&#x2122;effettivo  flusso  viscoso.  

  -­â&#x20AC;?

Numericamente  è  definito  in  questo  modo:   !

đ?&#x2018;Ľ! đ?&#x153;&#x2C6; ! đ?&#x203A;ż â&#x2C6;&#x2014; = 1,72     đ?&#x2018;Ł! Spessore  di  quantitĂ   di  moto.   -­â&#x20AC;?

A  seguito  del  fatto  che  lo  strato  limite  causa  un  difetto  di  velocitĂ   rispetto  alla   corrente  uniforme,  ha  senso  chiedersi  di  quanto  dovrebbe  essere  â&#x20AC;&#x153;spostataâ&#x20AC;?   verso   lâ&#x20AC;&#x2122;esterno   la   parete   in   modo   tale   che   la   quantitĂ    di   moto   effettiva   rimanga   uguale   a   quella   della   corrente   uniforme.   Chiamiamo   spessore   di   quantitĂ   di  moto  e  lo  indichiamo  con  θ  proprio  questa  distanza.  

-­â&#x20AC;?

Numericamente  è  definito  in  questo  modo:   !

 

Marcello Miccio

 

đ?&#x2018;Ľ! đ?&#x153;&#x2C6; ! đ?&#x153;&#x192; = 1,328     đ?&#x2018;Ł!

68  


Esperimento  di  Reynolds.   -­‐

Il   tubo   di   Reynolds   permette   la   visualizzazione   dei   possibili   regimi   di   movimento  di  un  fluido.  A  monte  di  tale  tubo  è  situata,  nel  banco  didattico,   una  vaschetta  di  raccolta  contenente  acqua  in  quiete  con  superficie  libera  a   quota  pressoché  costante.    

-­‐

L'imbocco   del   tubo   è   ben   raccordato.   All'interno   di   esso   viene   iniettato   tramite  un  ago,  del  liquido  colorato  (nel  nostro  caso  inchiostro  rosso)  che   abbia   all'incirca   lo   stesso   peso   specifico   dell'acqua.   Se   la   velocità   dell'acqua   nel   tubo   è   piccola,   l'inchiostro   iniettato   forma   un   filetto   che   mantiene   la   sua   traiettoria   rimanendo   distinto   dal   liquido   circostante:   tale   regime   di   moto,   detto   laminare,   avviene   per   filetti   fluidi   paralleli   fra   i   quali   non   vi   sono  scambi  di  massa.  

   

  -­‐

 Aumentando   la   portata   fluente   nel   tubo   e   quindi   la   velocità   dell'acqua,   il   filetto   colorato   acquista   un   andamento   fluttuante:   si   tratta   di   una   fase   di   transizione   dal   regime   laminare   ad   un   regime   instabile   che   si   realizza   aumentando  ulteriormente  la  velocità  dell'acqua.  In  questo  caso  si  nota  la   diffusione  dell'inchiostro  nel  tubo.    

  Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

Tale   regime   di   moto   è   detto   turbolento   ed   è   caratterizzato   da   irregolari   fluttuazioni  delle  velocità  delle  particelle  e  continui  scambi  di  massa  fra  le   diverse  regioni  del  campo  di  moto.    

Media  e  Media  di  insieme.   -­â&#x20AC;?

Per   studiare   e   descrivere   il   moto   turbolento   abbiamo   bisogno   di   introdurre   due  concetti:  

1)  Media   -­â&#x20AC;?

Permette  di  descrivere  le  proprietĂ   medie  di  un  sistema  in  regime  stazionario.                         Per  esprimere  per  esempio  la  pressione  sfruttiamo  la  relazione:   đ?&#x2018;?!"#$%

1 = đ?&#x2018;&#x2021;

!

đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą   !

2)  Media  di  insieme   -­â&#x20AC;?

Permette   di   descrivere   le   proprietà   medie   di   un   sistema   in   regime                 instazionario,   qui   infatti   la   medie   sono   in   funzione   del   tempo   e   vengono   ricavate  ripetendo  un  gran  numero  di  volte  esperimenti  simili.  

-­â&#x20AC;?

 La  media  di  insieme  è  cosĂŹ  definita:   < đ?&#x2018;? >  =

-­â&#x20AC;?

1 đ?&#x2018;

đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;Ą  

La  media  di  insieme  gode  di  due  proprietà  importanti:   A) La  linearità   B) La  combinazione  lineare  

-­â&#x20AC;?

Costituisce  tuttavia  un  problema  il  prodotto  in  quanto:   < đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ >â&#x2030; < đ?&#x2018;˘ >  < đ?&#x2018;˘ >    

-­â&#x20AC;?

Definiamo   ora   la   distanza   istantanea   dalla   media,   detta   anche   fluttuazione   come:   đ?&#x2018;˘! = đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2019;< đ?&#x2018;˘ >  

Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

La  fluttuazione  è  comoda  perchĂŠ  ci  permette  di    scrivere  il  prodotto,  infatti:   < đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ >  =  < đ?&#x2018;˘! +< đ?&#x2018;˘ > đ?&#x2018;˘! +< đ?&#x2018;˘ >  

-­â&#x20AC;?

Svolgo  i  prodotti  ed  ottengo:   < đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ >  =  < đ?&#x2018;˘! đ?&#x2018;˘! + đ?&#x2018;˘! < đ?&#x2018;˘ > +đ?&#x2018;˘! < đ?&#x2018;˘ > +< đ?&#x2018;˘ >< đ?&#x2018;˘ >>  

-­â&#x20AC;?

PoichĂŠ   le   fluttuazioni   rappresentano   lo   scostamento   dal   valor   medio,   la   loro   media  temporale  è  nulla,  quindi  si  ha:   < đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ >  =  < đ?&#x2018;˘! đ?&#x2018;˘! >  < đ?&#x2018;˘ >< đ?&#x2018;˘ >  

Equazioni  del  moto  turbolento.   -­â&#x20AC;?

Con   il   concetto   di   media   di   insieme   possiamo   scrivere   le   equazioni   di   N-­â&#x20AC;?S   in   modo  da  poter  studiare  il  moto  turbolento:     â&#x2C6;&#x2021;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;Ł =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł 1   + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť ! đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

Per  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  massa  si  ha:   < â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł >  =   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122;< đ?&#x2018;Ł >  = 0  

-­â&#x20AC;?

Nel  riscrivere  invece  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  della  quantitĂ   di  moto  si  devono  trasformare   i  termini  non  lineari  con  la  proprietĂ   del  prodotto  della  media  di  insieme:   <

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł 1 + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł + â&#x2C6;&#x2021;đ?&#x2018;? >=< đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť ! đ?&#x2018;Ł >   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;

đ?&#x153;&#x2022;<đ?&#x2018;Ł> 1 2 + â&#x2C6;&#x2021;  < đ?&#x2018;Ł   >  < đ?&#x2018;Ł   > + â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! > + â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;? >= đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;?

< đ?&#x2018;Ł >    

CosĂŹ   facendo   si   ottiene   una   relazione   simile   a   quella   ottenuta   per   il   moto   laminare  tuttavia  compare  un  termine  in  piĂš,  tale  termine  è  detto:   â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! >    â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    < đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! >    â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;     

Marcello Miccio

71  


        -­â&#x20AC;?

Tuttavia  da  queste  due  equazioni  che  descrivono  il  moto  turbolento  non  si  è   in  grado  di  ricavare  le  proprietà  medie  del  fluido  perchÊ  la  presenza  di  questo   termine  aggiuntivo  non  ci  permette  di  avere  un  sistema  chiuso  che  ammetta   soluzione.  

-­â&#x20AC;?

Un   tentativo   di   risoluzione   è   quello   di   considerare   il   tensore   degli   sforzi   di   Reynolds   proporzionale   ad   un   gradiente   di   velocitĂ    influenzato   da   una   viscositĂ   turbolenta  (  Eddy  viscosity).   â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! >      â&#x2C6;?     â&#x2C6;&#x2019;  đ?&#x153;&#x2C6;! â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;Ł >  

Soluzione  dellâ&#x20AC;&#x2122;equazioni  del  moto  turbolento.   -­â&#x20AC;?

Consideriamo   una   corrente   turbolenta   che   fluisce   in   un   condotto   infinitamente  lungo.  

  -­â&#x20AC;?

Le  equazioni  del  moto  turbolento  sono:   â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2122;< đ?&#x2018;Ł >  = 0

đ?&#x153;&#x2022;<đ?&#x2018;Ł> 1 2 + â&#x2C6;&#x2021;  < đ?&#x2018;Ł   >  < đ?&#x2018;Ł   > + â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! > + â&#x2C6;&#x2021;< đ?&#x2018;? >= đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; -­â&#x20AC;?

< đ?&#x2018;Ł >  

Supponiamo   che   le   proprietĂ    medie   di   questa   corrente   turbolenta   siano   funzioni  solo  di  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?  e  supponiamo  anche  che  le  derivata  temporale  sia  nulla,   quindi  si  ha:   < đ?&#x2018;Ł >!  = 0 đ?&#x153;&#x2022;<đ?&#x2018;Ł> 1   +< đ?&#x2018;˘ >< đ?&#x2018;˘! > +< đ?&#x2018;Ł >< đ?&#x2018;Ł! > +< đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! >! + < đ?&#x2018;? >! = đ?&#x153;&#x2C6;đ?&#x203A;ť ! < đ?&#x2018;Ł > đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152; < đ?&#x2018;Ł >!  = 0 1   < đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;Ł ! >! + < đ?&#x2018;? >! = đ?&#x153;&#x2C6; < đ?&#x2018;˘ >!! đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

Il   primo   termine   lâ&#x20AC;&#x2122;abbiamo   giĂ    incontrato   prima   ed   è   proprio   lo   sforzo   di  

Marcello Miccio

72  


       

Reynolds.  Inoltre  integrando  la  seconda  equazione  in  â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?  si  ha:   Ď&#x201E;!" +

1 < đ?&#x2018;? >! đ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x2C6; < đ?&#x2018;˘ >! + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x152;

â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x201E;!" +

1 < đ?&#x2018;? >! đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2C6; < đ?&#x2018;˘ >! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

Nello   scrivere   lo   sforzo   di   Reynolds   si   deve   introdurre   un   meno   perchĂŠ   gli   sforzi  sono  definiti  come  â&#x20AC;&#x153;meno  il  flusso  di  quantitĂ   di  motoâ&#x20AC;?.    

-­â&#x20AC;?

Questi  tre  termini  che  rimangono  sono  definiti  come:     Ď&#x201E;!"     â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;    1 < đ?&#x2018;? >! đ?&#x2018;Ś = Ď&#x201E; !   â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2C6; < đ?&#x2018;˘ >! = Ď&#x201E;!   â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;  

-­â&#x20AC;?

Interessante   è   andare   a   graficare   questi   tre   sforzi,   infatti   poichĂŠ   lo   sforzo   totale  è  costante  la  somma  degli  sforzi  di  Reynolds  e  degli  sforzi  Viscosi  deve   restituire  una  retta.   Ď&#x201E; ! = Ď&#x201E;!" + Ď&#x201E;! + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  

-­â&#x20AC;?

Inoltre  da  evidenze  sperimentali  si  è  notato  che:   1) In  prossimità  della  parete  solida  lo  sforzo  è  quasi  totalmente  sforzo  Viscoso   2) Lontano  dalla  parete  lo  sforzo  è  quasi  totalmente  sforzo  di  Reynolds  

-­â&#x20AC;?

Il   differente   comportamento   evidenziato   permette   di   definire   due   differenti   zone:   A) Wall  Layer            â&#x2020;&#x2019;  Zona  dove  lo  sforzo  è  quasi  tutto  sforzo  Viscoso   B) Defect  Layer    â&#x2020;&#x2019;  Zona  dove  lo  sforzo  è  quasi  tutto  sforzo  di  Reynolds  

 

 

Marcello Miccio

 

73  


       

Caratteristiche  del  moto  Turbolento.   -­â&#x20AC;?

CI  proponiamo  ora  di  studiare  e  capire  come  è  fatto  il  profilo  di  velocità  di   un   fluido   in   regime   turbolento   che   attraversa   un   condotto   di   forma   cilindrica.                                                               W.  L.  

D.  L.  

W.  L.  

h  

 

-­â&#x20AC;?

Nella  schema  sono  evidenziate  le  due  diverse  zone,  Wall  Layer  e  Defect  Layer.  

-­â&#x20AC;?

Per  comprendere  come  è  fatto  questo  tipo  di  profilo  esplicitiamo  tutti  i   parametri  da  cui  può  dipendere:   đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;Ś  , Ď&#x201E;! , đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x2C6;, â&#x201E;&#x17D;        Dove  con  "Ď&#x201E;! "  si  indica  lo  sforzo  alla  parete.  

-­â&#x20AC;?

Il  diverso  comportamento  fisico  che  si  ha  nelle  due  zone,  Wall  Layer  e  Defect   Layer,  si  traduce  nel  fatto  che  in  ognuna  delle  due  zone  può  essere  trascurata   una  della  variabili  da  cui  dipende  â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?.   1) Nel  Wall  Leyer  si  trascura  â&#x20AC;&#x153;hâ&#x20AC;?,  poichĂŠ  si  suppone  che  lâ&#x20AC;&#x2122;altezza  del  Wall   Layer  sia  molto  minore  del �� diametro  del  condotto  â&#x20AC;&#x153;hâ&#x20AC;?,  quindi  si  ha:   đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;Ś  , Ď&#x201E;! , đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x2C6;     2) Nel  Defect  Layer  si  trascura  "đ?&#x153;&#x2C6;",  poichĂŠ  nel  mezzo  del  condotto,  in   lontananza  dalle  parete  lâ&#x20AC;&#x2122;effetto  della  viscositĂ   è  quasi  nullo,  quindi  si  ha:   đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;Ś  , Ď&#x201E;! , đ?&#x153;&#x152;, â&#x201E;&#x17D;    

-­â&#x20AC;?

Per  semplificare  ora  il  problema  introduciamo  una  grandezza  adimensionale,   detta  â&#x20AC;&#x153;VelocitĂ   di  Pareteâ&#x20AC;?:   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; =

-­â&#x20AC;?

Ď&#x201E;!   đ?&#x153;&#x152;

Questo  parametro  ci  permette  di  adimensionalizzare  le  due  funzioni  che   esprimono  il  profilo  di  velocità  e  ci  permette  anche  di  esprimerle  in  funzione  

Marcello Miccio

74  


       

di  una  singola  variabile:   đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;  đ??żđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;     â&#x2020;&#x2019;      

đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; =đ?&#x2018;&#x201C;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2C6;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą  đ??żđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;     â&#x2020;&#x2019;       -­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ś =đ??š   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;

Scegliamo  ora  come  sistema  di  riferimento  un  sistema  la  cui  origine  coincide   con  lâ&#x20AC;&#x2122;asse  di  simmetria  del  condotto  cilindrico,  proprio  in  questo  punto  la   velocitĂ   â&#x20AC;&#x153;uâ&#x20AC;?  avrĂ   espressione  massima  allora  va  corretta  la  relazione  che   definisce  il  profilo  di  velocitĂ   nel  Defect  Layer:   đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘!"# đ?&#x2018;Ś =đ??š   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;

-­â&#x20AC;?

CosÏ  facendo  abbiamo  ottenuto  due  funzioni  universali  che  si  possono   ricavare  anche  sperimentalmente.  Inoltre  poichÊ  il  profilo  di  velocità  è  sempre   una  curva  continua  deve  esiste  un  punto  in  cui  queste  due  funzioni   restituiscono  lo  stesso  valore,  questo  accade  quando  ci  si  trova  nella  zona   intermedia:  

-­â&#x20AC;?

In  questa  zona  intermedia  si  ha:   1) Quando      

!!â&#x2C6;&#x2014; !

>> 1         â&#x2020;&#x2019;        đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2030;&#x2026; đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? log

!

!!â&#x2C6;&#x2014; !

       

!

2) Quando      ! << 1               â&#x2020;&#x2019;        đ??š â&#x2030;&#x2026; đ??´ + đ??ľ log !         -­â&#x20AC;?

Mettendo  insieme  queste  due  condizioni,  ossia  imponendo  che  esista  un   punto  in  cui  le  due  funzioni  restituiscano  lo  stesso  valore  otteniamo:   â&#x201E;&#x17D;â&#x2030;Şđ?&#x2018;Śâ&#x2030;Ş

đ?&#x153;&#x2C6;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;

đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘!"# (đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;  đ??żđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;) = (đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;  đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą  đ??żđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;)   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;˘!"# = đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? log đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;? log = + đ??´ + đ??ľ log đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ log â&#x201E;&#x17D;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; -­â&#x20AC;?

Per  avere  senso  questa  uguaglianza  i  due  coefficienti  â&#x20AC;&#x153;b,Bâ&#x20AC;?  devono  essere   uguali  quindi  si  ha:  

Marcello Miccio

75  


       

đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;? = đ??ľ       â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; +  đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; -­â&#x20AC;?

Riscriviamo  tutto  in  funzione  di  "

!!"# !â&#x2C6;&#x2014;

đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;˘!"# = + đ??´ â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ log â&#x201E;&#x17D;   đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;

"  :  

đ?&#x2018;˘!"# đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D; +  đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ??´ + đ?&#x2018;? log â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;đ??´ +  đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x153;&#x2C6; -­â&#x20AC;?

Questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  può  essere  ulteriormente  riscritta  introducendo  la   costante  di  Von  Karman:   1 đ?&#x2018;˘!"# 1 â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ?&#x2018;? = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ??žđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;       â&#x2020;&#x2019;       = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;đ??´ +  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;   đ??ž đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ž đ?&#x153;&#x2C6;

-­â&#x20AC;?

Qui  la  costante  â&#x20AC;&#x153;Aâ&#x20AC;?  varia  al  variare  della  geometria  del  condotto.  

-­â&#x20AC;?

Mentre  la  costante  â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?  varia  al  variare  della  rugositĂ   della  parete.  

Considerazioni  sul  Moto  Turbolento.   -­â&#x20AC;?

Consideriamo  un  condotto  in  cui  fluisce  una  corrente  turbolenta  ed   applichiamo  un  bilancio  di  quantità  di  moto,  trascurando  il  termine   gravitazionale  e  ponendoci  nel  caso  stazionario:   3  

1  

 

2  

  đ??˝! â&#x2C6;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0     -­â&#x20AC;?

Scrivo  i  tre  contributi  per  le  sezioni  1,  2,  3  del  volume  di  controllo  includendo   anche  gli  sforzi  tangenziali:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł!! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś ! ! Supponiamo  ora  che:   1) Il  condotto  sia  di  sezione  costante,  quindi  đ?&#x2018;Ł! = đ?&#x2018;Ł!   2) La  pressione  media  sia  costante  per  ogni  sezione   Allora  possiamo  semplificare  il  bilancio  e  resta:   đ?&#x2018;?! + đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł!! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Marcello Miccio

!

đ?&#x153;?! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0    

76  


       

!,!

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?! + đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = đ??ż

!"#$%"&#'

đ?&#x153;?! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;  

đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ??ˇ   4  đ??ż  

Per  dare  una  formulazione  generale  a  questo  tipo  di  problema   adimensionalizziamo  "  đ?&#x153;?! "  ponedo:    đ?&#x153;?!

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;?! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  = 0  

Se  introduciamo  ora  dei  valori  medi  possiamo  scrivere:   đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x2020; = đ??ż  đ?&#x2018;&#x192;  đ?&#x153;?!                    đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;    đ?&#x153;?! = đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;   đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x2020;  đ?&#x153;?! =     đ??ż  đ?&#x2018;&#x192; PoichĂŠ  abbiamo  un  condotto  cilindrico  possiamo  specificare  il  rapporto  tra  la   sezione  ed  il  perimetro:   đ?&#x153;&#x2039;đ??ˇ ! đ?&#x2018;&#x2020; đ??ˇ  đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x153;&#x2039;đ??ˇ          đ?&#x2018;&#x2020; =           â&#x2020;&#x2019; =   4 đ?&#x2018;&#x192; 4 Ricordando  il  diametro  da  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  definiamo  un  diametro   idraulico,  che  ci  permette  di  far  valere  queste  considerazioni  anche  in  caso  di   condotti  non  cilindrici:   4đ?&#x2018;&#x2020; đ??ˇ! =   đ?&#x2018;&#x192; Sostituendo  il  rapporto  tra  la  sezione  ed  il  perimetro  nellâ&#x20AC;&#x2122;espressione  dello   sforzo  medio  si  ha:    đ?&#x153;?! =

-­â&#x20AC;?

!

Il  secondo  integrale  si  può  scomporre  supponendo  la  lunghezza  del  condotto   costante  e  pari  a  â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;?.   !,!

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  +

đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ??ˇ = đ??ś!   đ?&#x153;&#x152;     â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x153;&#x152; =   2 2 đ??ż  

Dove    "đ??ś!   , đ?&#x2018;&#x201C;"    sono  due  coefficienti  legati  dalla  relazione:   đ??ś!   = 4đ?&#x2018;&#x201C;  

-­â&#x20AC;?

Ricordiamo  ora  come  abbiamo  definito  la  â&#x20AC;&#x153;velocitĂ   di  pareteâ&#x20AC;?:  

Marcello Miccio

77  


       

đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = -­â&#x20AC;?

Ponendo  uguale  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  alla  forma  adimensionale  di  "  đ?&#x153;?! "  si   ha:   Ď&#x201E;! = đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;

-­â&#x20AC;?

Ď&#x201E;!       â&#x2020;&#x2019;   Ď&#x201E;! = đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; !     đ?&#x153;&#x152;

!

đ?&#x2018;Ł!  đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; ! đ??ś!   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ??ś!   đ?&#x153;&#x152;     â&#x2020;&#x2019;     ! =   â&#x2020;&#x2019;     = 2 đ?&#x2018;Ł 2 đ?&#x2018;Ł

đ??ś!     2

In  queste  ultime  considerazioni  fatte  abbiamo  ragionato  sempre  con  la   velocitĂ   media  "đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; ",  tuttavia  nellâ&#x20AC;&#x2122;espressione  del  profilo  di  velocitĂ   nel  caso   turbolento  compare  la  velocitĂ   massima  "đ?&#x2018;˘!"# ".  Cerchiamo  allora  la  relazione   che  lega  queste  due  grandezze:   đ?&#x2018;Ł=

1 đ?&#x2018; 

đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;           

đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘!"# đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś =đ??š         â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘!"# + đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??š   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ł= -­â&#x20AC;?

1 đ?&#x2018; 

đ?&#x2018;˘!"# + đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??š

đ?&#x2018;Ś â&#x201E;&#x17D;

 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;  =

1 đ?&#x2018;˘  đ?&#x2018;  + đ?&#x2018;  !"#

đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??š

đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;      â&#x201E;&#x17D;

PoichĂŠ  la  funzione  â&#x20AC;&#x153;Fâ&#x20AC;?  è  una  funzione  universale  non  dipende  da  nessuna   variabile  e  quindi  il  suo  integrale  è  una  costante:   đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;˘!"# + đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;  đ??ś!          đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ??ś! = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  

-­â&#x20AC;?

Ricordiamo  ora  il  profilo  di  velocitĂ   ottenuto  per  un  moto  turbolento:   đ?&#x2018;˘!"# 1 â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;đ??´ +  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ž đ?&#x153;&#x2C6;

-­â&#x20AC;?

Alla  luce  delle  considerazioni  fatte  possiamo  riscrivere  questa  relazione  in   questo  modo:   đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;  đ??ś! 1 â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ??´ + + �� đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ž đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;Ł 1 â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ??´ + đ??ś! +  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;   đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ž đ?&#x153;&#x2C6;

Marcello Miccio

78  


        -­â&#x20AC;?

Moltiplico  e  divido  per  â&#x20AC;&#x153;vâ&#x20AC;?  nellâ&#x20AC;&#x2122;argomento  del  logaritmo  ed  introduco   lâ&#x20AC;&#x2122;uguaglianza  

!â&#x2C6;&#x2014; !

=

!!   !

:  

2 1 â&#x201E;&#x17D;  đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019;đ??´ + đ??ś! +  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;     đ??ś!   đ??ž đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;Ł đ??ś!   2 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ??´ + đ??ś! +  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;     đ??ś!   đ??ž 2 -­â&#x20AC;?

Abbiamo  cosĂŹ  ottenuto  unâ&#x20AC;&#x2122;equazione    non  in  forma  chiusa  che  è  detta   â&#x20AC;&#x153;Equazione  di  Colebrook  -­â&#x20AC;?  Whiteâ&#x20AC;?.  

    Caratteristiche  profilo  di  velocitĂ .   -­â&#x20AC;?

Nel  regime  turbolento  le  espressioni  dei  profili  di  velocitĂ   sono  basate  su   considerazioni  semi-­â&#x20AC;?empiriche,  dove  le  costanti  vengono  determinate   sperimentalmente.  

-­â&#x20AC;?

Consideriamo  un  generico  profilo  di  velocità  di  una  corrente  turbolenta:  

  -­â&#x20AC;?

A  seconda  dalla  distanza  dalla  parete  si  possono  distinguere  tre  regioni:   1) Strato  laminare.  

-­â&#x20AC;?

In  questa  regione  gli  effetti  viscosi  sono  predominanti.  Il  moto  avviene  per   scorrimento  di  filetti  regolari  ed  il  profilo  di  velocità  si  può  approssimare  ad  un   profilo  di  tipo  lineare  (  flusso  Couette).  

-­â&#x20AC;?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchÊ:  

Marcello Miccio

79  


       

0 â&#x2030;¤  đ?&#x2018;Ś ! < 5   -­â&#x20AC;?

Numericamente  si  può  dare  una  definizione  di  questo  spessore  introducendo   la  relazione:    đ?&#x2018;Ś ! =

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2C6; 2     â&#x2020;&#x2019;      5 =         â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;Ś = 5 = 5   đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ś!  

2) Strato  separatore.   -­â&#x20AC;?

In  questa  regione  iniziano  a  manifestarsi  gli  effetti  turbolenti,  tuttavia  quelli   viscosi  sono  ancora  predominanti.  

-­â&#x20AC;?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchĂŠ:   5 â&#x2030;¤  đ?&#x2018;Ś ! < 30  

-­â&#x20AC;?

Numericamente  si  può  dare  una  definizione  di  questo  spessore  introducendo   la  relazione:    đ?&#x2018;Ś ! =

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2C6; 2     â&#x2020;&#x2019;      30 =         â&#x2020;&#x2019;    đ?&#x2018;Ś = 30 = 30   đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014; đ??ś!  

3) Strato  turbolento.   -­â&#x20AC;?

In  questa  regione,  a  differenza  delle  altre  due,  gli  effetti  turbolenti  sono   predominanti  rispetto  agli  effetti  viscosi.  

-­â&#x20AC;?

Da  evidenze  sperimentali  si  ha  che  ci  si  trova  in  questa  regione  finchĂŠ:    đ?&#x2018;Ś ! â&#x2030;Ľ 30  

Lâ&#x20AC;&#x2122;abaco  di  Moody.   -­â&#x20AC;?

Il  diagramma  di  Moody  (noto  anche  come  "abaco  di  Moody")  è  un  diagramma   che  permette  di  calcolare  direttamente  il  valore  del  coefficiente  di   attrito  â&#x20AC;&#x153;fâ&#x20AC;?  senza  ricorrere  all'equazione  di  Colebrook-­â&#x20AC;?White  che  è  di  difficile   risoluzione  in  quanto  è  una  equazione  non  in  forma  chiusa.  

-­â&#x20AC;?

Si  tratta  di  un  diagramma  tracciato  su  una  scala  logaritmica,  poichÊ  è   necessario  che  ricopra  una  vastissima  gamma  di  valori,  sia  del  numero  di   Reynolds  (i  cui  valori  sono  posti  lungo  l'asse  delle  ascisse),  sia  del  

Marcello Miccio

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coefficiente  f  (sull'asse  delle  ordinate).

-­â&#x20AC;?

Il  diagramma  di  Moody  lega  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  â&#x20AC;&#x153;fâ&#x20AC;?  al  numero  di   Reynolds  descrivendo  la  curva  dei  â&#x20AC;&#x153;tubi  lisciâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

Tuttavia  la  possibilità  che  le  pareti  di  un  condotto  siano  non  lisce  ci  deve  far   introdurre  il  concetto  di  rugosità.  

-­â&#x20AC;?

La  rugositĂ   è  definita  come  lâ&#x20AC;&#x2122;altezza  media  delle  asperitĂ   "đ?&#x153;&#x20AC;"    sulla  superfice  di   parete.  

-­â&#x20AC;?

Per  avere  una  analisi  generale  della  rugositĂ   si  divide  questâ&#x20AC;&#x2122;ultimo  paramento   per  il  diametro  idraulico  in  modo  da  avere  un  parametro  adimensionale.   đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;ĄĂ   đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;:      

-­â&#x20AC;?

Avendo  definito  anche  la  rugositĂ   ci  si  aspetta  che  il  coefficiente  di  perdita  di   carico  sia  influenza  anche  dalla  rugositĂ   stessa  ossia:   đ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;,

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x20AC;   đ??ˇ!

đ?&#x153;&#x20AC;     đ??ˇ!

Questa  doppia  dipendenza  si  traduce  graficamente  nellâ&#x20AC;&#x2122;introduzione  di  piĂš   ! curve  sul  diagramma  di  Moody  che  variano  al  variare  di  " ! ".   !

-­â&#x20AC;?

Ă&#x2C6;  interessante  notare  che:  

Marcello Miccio

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1) Per  numeri  di  Reynolds  bassi  le  curve  sono  molto  prossime  alla  curva  per   tubi  lisci,  questo  perchĂŠ  per  numeri  di  Reynolds  bassi  il  coefficiente  di   perdita  di  carico  dipende  principalmente  dal  numero  di  Reynolds  e  non   dalla  rugositĂ   relativa.   2) Per  numeri  di  Reynolds  alti  le  curve  si  dispongono  in  modo  quasi  parallelo   allâ&#x20AC;&#x2122;asse  orizzontale,  questo  perchĂŠ  per  numeri  di  Reynolds  alti  il   coefficiente  di  perdita  di  carico  dipendete  principalmente  dalla  rugositĂ    relativa  e  non  dal  numero  di  Reynolds.     Caduta  di  pressione.   -­â&#x20AC;?

Ricordando  come  si  è  introdotto  il  coefficiente  di  perdita  di  carico  si  può   ricavare  una  espressione  valida  per  il  calcolo  della  caduta  di  pressione  dovuta   allâ&#x20AC;&#x2122;attrito  presente  nelle  condotte.  Tali  perdite  sono  dette  â&#x20AC;&#x153;perdite   distribuiteâ&#x20AC;?.   đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ??ˇ! đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?! đ??ż  đ?&#x2018;Ł ! â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;? đ??ż  đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x153;&#x152; =       â&#x2020;&#x2019;             = đ?&#x2018;&#x201C;                 â&#x2020;&#x2019;           = đ?&#x2018;&#x201C;       2 đ??ż   đ?&#x153;&#x152; đ??ˇ! 2 đ?&#x153;&#x152; đ??ˇ! 2

Correnti  attraverso  sistemi  di  tubazioni.   -­â&#x20AC;?

PoichÊ  abbiamo  analizzato  le  perdite  di  carico  relative  ad  una  singolo   condotto  analizziamo  ora  il  contributo  dissipativo  dei  vari  raccordi  o  giunzioni   che  spesso  si  presentano  in  un  rete  di  tubazioni.  

-­â&#x20AC;?

Considerando  le  seguenti  geometrie  si  osserva  che  in  entrambi  i  casi  vi  è  il   formarsi  del  fenomeno  della  separazione:    

  -­â&#x20AC;?

Il  fenomeno  della  separazione  è  un  fenomeno  dissipativo,  rappresenta  un   costo  in  termini  energetici  che  nel  nostro  caso  si  traduce  in  una  perdita  di  

Marcello Miccio

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carico.   -­â&#x20AC;?

Allora  in  un  sistema  di  condotte  per  calcolare  le  perdite  di  carico  complessive   si  deve    non  solo  tener  presente  il  contributo  dissipativo  dovuto  alle  perdite   distribuite  ma  anche  quello  dovuto  alle  giunzioni  o  raccordi,  dette  â&#x20AC;&#x153;perdite  di   carico  localizzateâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

Numericamente  questa  caduta  di  pressione  è  data  dalla  relazione:   â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;Ł ! = đ??ž       đ?&#x153;&#x152; 2

-­â&#x20AC;?

Qui  â&#x20AC;&#x153;Kâ&#x20AC;?  è  un  coefficiente  tabellato  che  assume  valori  differenti  al  variare  delle   geometrie  e  tipologie  di  raccordi.  Questo  coefficiente  ha  una  espressione   analitica  solo  in  due  casi  particolari:   !

!

!!

!

1) đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;     â&#x2020;&#x2019;    đ??ž = ! 1 â&#x2C6;&#x2019; !! = ! 1 â&#x2C6;&#x2019; !!   !

!! !

2)  đ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;     â&#x2020;&#x2019;    đ??ž = 1 â&#x2C6;&#x2019; !

!

!!

!

= 1 â&#x2C6;&#x2019; !!  

  Misuratori  di  portata.   -­â&#x20AC;?

Abbiamo  giĂ   studiato  due  misuratori  di  portata  come  il  tubo  di  Venturi  ed  il   tubo  di  Pitot  ora  però  ci  proponiamo  di  analizzare  unâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore  sistema  piĂš   semplice  ma  ugualmente  efficace,  il  diaframma.  

  -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Ă&#x2C6;  caratterizzato  dallâ&#x20AC;&#x2122;avere  due  piccole  sporgenze  piane  allâ&#x20AC;&#x2122;interno  del   condotto  che  creano  una  irregolaritĂ   del  flusso,  ossia  una  separazione  che   produce  una  caduta  di  pressione.   Anche  in  questo  caso  come  per  il  tubo  di  venturi  si  va  a  misurare  tramite  un   manometro,  la  variazione  di  pressione  "â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?"  presente  tra  due  punti.  Nota   questa  differenza  di  pressione  è  facile  calcolare  dal  bilancio  energetico  di  

Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

Bernulli  la  velocitĂ   del  fluido  e  quindi  la  portata.   Il  diaframma  è  quindi  un  misuratore  di  portata  che  si  basa  sullâ&#x20AC;&#x2122;introduzione   volontaria  in  un  condotto  di  una  perdita  di  carico  concentrata  quindi  è  un   dispositivo  che  conviene  utilizzare  solo  nel  caso  in  cui  una  caduta  di  pressione   allâ&#x20AC;&#x2122;interno  del  condotto  non  comprometta  il  normale  funzionamento  del   sistema  nel  suo  complesso.    

Portanza  e  Resistenza.   -­â&#x20AC;?

Consideriamo  una  corrente  turbolenta  che  investe  un  corpo  â&#x20AC;&#x153;tozzoâ&#x20AC;?,  per   esempio  un  profilo  alare.  

  -­â&#x20AC;?

Tale  corrente  investendo  il  profilo  alare  genera  una  forza  â&#x20AC;&#x153;Fâ&#x20AC;?  composta  da   due  componenti:   1) La  componente  perpendicolare  al  campo  di  velocitĂ   è  detta  â&#x20AC;&#x153;Portanzaâ&#x20AC;?.    

-­â&#x20AC;?

La  portanza  è  dovuta  alla  particolare  forma  del  profilo  alare  che  sfrutta  le   leggi  dell'aerodinamica,  quali  ad  esempio  il  principio  di  Bernulli,  che  stabilisce   che  all'aumentare  della  velocità  del  fluido  la  pressione  statica  diminuisce.    

-­â&#x20AC;?

Essendo  la  velocità  dell'aria  maggiore  sull'estradosso  (parte  superiore   dell'ala),  e  minore  sull'intradosso  (parte  inferiore  dell'ala),  la  conseguente   differenza  di  pressione  genera  la  portanza.  

-­â&#x20AC;?

Numericamente  è  data  da:    đ?&#x2018;Ł ! đ??š! = đ??ś!  đ?&#x153;&#x152;    đ??´   2

-­â&#x20AC;?

Dove  "Ď "  è  la  densitĂ   dell'aria,  "V"  è  la  velocitĂ   di  volo;  "A"  è  la  superficie  di   riferimento  (nel  caso  di  velivoli  si  tratta  di  superficie  alare).    

Marcello Miccio

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        -­â&#x20AC;?

CL  è  un  coefficiente  adimensionale  detto  coefficiente  di  portanza.  Esso  varia  in   funzione  della  forma  geometrica  dell'ala,  dell'angolo  d'attacco,  del  Numero  di   Reynolds  e  del  Numero  di  Mach     2) La  componente  parallela  al  campo  di  velocitĂ   è  detta  â&#x20AC;&#x153;Resistenzaâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

Essa  è  composta  fondamentalmente  da  tre  termini:  

-­â&#x20AC;?

La  resistenza  di  attrito  è  dovuta  alla  viscosità  del  fluido    

-­â&#x20AC;?

La  resistenza  di  pressione  è  dovuta  alla  differenza  di  pressione  agente  sulla   parte  anteriore  e  posteriore  del  corpo  in  moto.  Anch'essa  è   fondamentalmente  dovuta  alla  viscosità  del  fluido  

-­â&#x20AC;?

La  resistenza  indotta  è  dovuta  al  meccanismo  di  generazione  della  portanza.   Sul  estradosso  del  profilo  alare  la  pressione  è  inferiore  rispetto  all'intradosso.   Le  equazioni  di  Navier-­â&#x20AC;?Stokes  stabiliscono  che  in  tali  condizioni  il  flusso  d'aria   tenderĂ   a  passare  dall'intradosso  all'estradosso  laddove  questo  è  possibile.   Nel  caso  di  un'ala  di  lunghezza  finita  questo  si  verifica  in  corrispondenza  delle   estremitĂ   alari.  In  questi  punti  l'aria  acquista  una  componente  di  velocitĂ    perpendicolare  alla  direzione  del  volo  che,  sommandosi  alla  componente   parallela  (velocitĂ   di  volo)  genera  un  movimento  vorticoso  che  dissipa   l'energia  creando  resistenza.  

-­â&#x20AC;?

Numericamente  è  data  da:  

-­â&#x20AC;?

 đ?&#x2018;Ł ! đ??š! = đ??ś!  đ?&#x153;&#x152;    đ??´   2 dove  â&#x20AC;&#x153;Ď â&#x20AC;?  è  la  densitĂ   dell'aria,  â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?  è  la  velocitĂ   di  volo,  â&#x20AC;&#x153;Aâ&#x20AC;?  è  la  superficie  di   riferimento  (nel  caso  di  velivoli  si  tratta  di  superficie  alare,  nel  caso  di   autovetture  si  usa  la  superficie  frontale  del  mezzo).  

-­â&#x20AC;?

â&#x20AC;&#x153;CD  â&#x20AC;&#x153;  è  un  coefficiente  adimensionale  detto  coefficiente  di  resistenza.  Esso   varia  in  funzione  della  forma  geometrica  dell'ala,  dell'angolo  d'attacco,   del  numero  di  Reynolds  e  del  numero  di  Mach.    

 

Marcello Miccio

 

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Correnti  Comprimibili.   -­â&#x20AC;?

Per  la  trattazione  di  correnti  comprimibili  si  ha  bisogno  di  una  terza   equazione,  oltre  a  quella  della  massa  e  della  quantitĂ   di  moto,  che  è  quella   dellâ&#x20AC;&#x2122;energia.  Ă&#x2C6;  possibile  ottenere  questa  equazione  in  modo  molto  semplice   se  viene  ricavata  dalla  grandezza  entropia  ritenuta  costante.  

-­â&#x20AC;?

Esprimiamo  dunque  la  densitĂ   in  funzione  dellâ&#x20AC;&#x2122;entropia  e  della  pressione:   đ?&#x153;&#x152; = đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;   

-­â&#x20AC;?

Consideriamo  una  condizione  in  cui  ci  si  sposta  poca  da  uno  stato  di  quiete   introducendo  una  piccola  perturbazione:   đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;?! + đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;?! đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x2018;  = đ?&#x2018; !             â&#x2020;&#x2019;            đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;            đ?&#x2018;  = đ?&#x2018; !        (Per  ipotesi)   đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł! đ?&#x2018;Ł=0

-­â&#x20AC;?

Per  valutare  cosa  varia  scriviamo  le  equazioni  di  bilancio  della  massa  e   quantitĂ   di  moto  nel  caso  unidimensionale  considerando  la  densitĂ   variabile:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022; + đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;˘ = 0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;˘ + =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

-­â&#x20AC;?

Sviluppiamo  ora  la  densitĂ   in  serie  di  Taylor:   đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;  = đ?&#x153;&#x152;! +

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?! + đ?&#x2018;    đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;  !

PoichĂŠ  lâ&#x20AC;&#x2122;entropia  è  ritenuta  costante  lâ&#x20AC;&#x2122;ultimo  termine  è  nullo:     đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;  = đ?&#x153;&#x152;! +

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;?     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? !

Introducendo  le  pertubazioni  e  tenendo  conto  di  come  si  è  espressa  la  densitĂ    con  lo  sviluppo  in  serie  di  Taylor  le  due  equazioni  di  bilancio  diventano:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘! + đ?&#x153;&#x152;! =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘! 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?! +0+ =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

-­â&#x20AC;?

Cerchiamo  ora  di  ottenere  una  sola  equazione  data  dalla  combinazione  delle   due,  quindi  deriviamo  la  prima  rispetto  a  â&#x20AC;&#x153;tâ&#x20AC;?  ,la  seconda  rispetto  ad  â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?  e  

Marcello Miccio

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moltiplichiamo  la  seconda  per"đ?&#x153;&#x152;! "  :   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;˘! + đ?&#x153;&#x152;! =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ąđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;˘! đ?&#x153;&#x152;! đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;?! đ?&#x153;&#x152;! + =0 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x152;! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ !

-­â&#x20AC;?

 

Sottraendo  membro  a  membro  si  ha:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;˘! đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;˘! đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;?! + đ?&#x153;&#x152;! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;! â&#x2C6;&#x2019; = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ąđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;?! â&#x2C6;&#x2019; = 0   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ !

-­â&#x20AC;?

Questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  equazione  è  detta  â&#x20AC;&#x153;equazione  delle  corde  vibrantiâ&#x20AC;?.  

-­â&#x20AC;?

Si  può  dare  una  espressione  piĂš  generale  a  questa  equazione  se  si  pone:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?

= !

1         đ?&#x2018;&#x17D;!

-­â&#x20AC;?

Sostituendo  questa  posizione  si  ottiene  â&#x20AC;&#x153;lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  delle  ondeâ&#x20AC;?:  

-­â&#x20AC;?

1 đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022; ! đ?&#x2018;?!   â&#x2C6;&#x2019; = 0       đ?&#x2018;&#x17D;! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ ! Questa  equazione  differenziale  ha  una  facile  soluzione  del  tipo:   đ?&#x2018;?! = đ??š đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą  

-­â&#x20AC;?

Tale  soluzione  linearizzata  è  unâ&#x20AC;&#x2122;onda  di  pressione  detta  â&#x20AC;&#x153;suonoâ&#x20AC;?.   !"

La  velocitĂ   con  cui  propagano  le  onde  di  pressione  è  proprio    !" si  può  ricavare  la  velocitĂ   del  suono:   đ?&#x2018;&#x17D;= -­â&#x20AC;?

!

!

= !!      da  cui  

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?         đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152;

Questa  è  la  velocità  con  cui  si  propagano  le  perturbazioni  in  qualsiasi  mezzo   liquido,  solido  o  gassoso.    

 

Marcello Miccio

 

87  


       

VelocitĂ   del  suono  per  gas  perfetti.   -­â&#x20AC;?

Spostiamo  la  nostra  analisi  esclusivamente  su  gas  ideali  ossia  quei  gas  che   soddisfano  la  legge:   đ?&#x2018;? = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;  

-­â&#x20AC;?

PoichĂŠ  prima  per  ricavare  lâ&#x20AC;&#x2122;equazione  delle  onde  abbiamo  supposto  di   lavorare  con  entropia  costate,  ricordiamo  ora  una  relazione  valida  per  un   processo  isoentropico:   !

đ?&#x153;&#x152; = đ?&#x153;&#x2020;    đ?&#x2018;?!            đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;   -­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x2020; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;    đ??ž â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

Deriviamo  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  rispetto  alla  pressione:   ! ! 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022; 1 ! = đ?&#x153;&#x2020;    đ?&#x2018;?! = đ?&#x153;&#x2020;    đ?&#x2018;?! !! = đ?&#x153;&#x2020;    đ?&#x2018;?!   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ??ž   đ??ž  đ?&#x2018;? !

-­â&#x20AC;?

Al  numeratore  compare  proprio  "đ?&#x153;&#x152; = đ?&#x153;&#x2020;    đ?&#x2018;?! "  quindi  si  può  riscrivere  il  tutto:     đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152; =   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ??ž  đ?&#x2018;?

-­â&#x20AC;?

Ricordando  ora  come  si  è  definita  la  velocitĂ   del  suono  si  ha:   đ?&#x2018;&#x17D;=

-­â&#x20AC;?

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?   = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152;

đ??ž  đ?&#x2018;? = đ??ž  đ?&#x2018;&#x2026;  đ?&#x2018;&#x2021;   đ?&#x153;&#x152;

Da  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  relazione  si  evince  che  la  velocitĂ   del  suono  è  funzione  della   sola  temperatura.      

 

Marcello Miccio

 

88  


       

Numero  di  Mach.   -­â&#x20AC;?

ll  numero  di  Mach  (M)  è  un  gruppo  adimensionale  definito  come  il  rapporto   tra  una  velocitĂ   e  la  velocitĂ   del  suono  nel  fluido  considerato.     đ?&#x2018;&#x20AC;=

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ł!

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152;   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?

Permette  di  stabilire  quanto  siano  importanti  gli  effetti  di  comprimibilità  del   fluido  in  esame.  Quando  infatti  il  valore  del  numero  di  Mach  è  ridotto  al  di   sotto  del  valore  0,2  si  commette  un  errore  trascurabile  considerando  il  valore   della  densità  costante.    

Studio  del  diverso  comportamento  di  un  fluido  in  regime  Subsonico  e  Supersonico.   -­â&#x20AC;?

Consideriamo  un  condotto  di  diametro  lentamente  variabile  attraversato  da   una  corrente  comprimibile:  

  -­â&#x20AC;?

Dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione  di  bilancio  della  massa  si  ha:   đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;&#x2030;  đ?&#x2018;&#x2020; = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;  

-­â&#x20AC;?

Dal  bilancio  energetico  di  Bernulli  si  ha:    đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;Ł ! + = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x152; 2

-­â&#x20AC;?

Il  bilancio  di  Bernulli  può  essere  riscritto  introducendo  lâ&#x20AC;&#x2122;entalpia:    đ?&#x2018;?  đ?&#x2018;Ł !         = â&#x201E;&#x17D;       â&#x2020;&#x2019;      â&#x201E;&#x17D; + = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;   đ?&#x153;&#x152; 2

Marcello Miccio

89  


       

đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2020; = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;      đ?&#x2018;Ł ! â&#x201E;&#x17D;+ = đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; 2 -­â&#x20AC;?

Scriviamo  ora  il  differenziale  di  entrambe  le  equazioni:   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2020; + đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2020; + đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020; = đ?&#x2018;&#x153;    đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x2018;â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2018; =0 2  

-­â&#x20AC;?

Dividiamo  ora  la  prima  equazione  per  "đ?&#x153;&#x152;  đ?&#x2018;Ł  đ?&#x2018;&#x2020;"  e  nella  seconda  sostituiamo   ! â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x201E;&#x17D; = ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?"  :   đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020;   +   + =0 đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2020;     1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0 đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

Manipoliamo  ancora  la  prima  equazione  moltiplicandola  per  "đ?&#x2018;Ł ! "  e   ricordando  che:   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; 1 1 = !       â&#x2020;&#x2019;      đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; = ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;?   đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D; 1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;Ł !   ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Ł !   + đ?&#x2018;Ł ! =0 đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2020;   1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0 đ?&#x153;&#x152;

-­â&#x20AC;?

Cerchiamo  ora  di  ottenere  una  singola  relazione  allora  sottraiamo  membro  a   membro  le  due  equazioni:   1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020; 1 đ?&#x2018;Ł !   ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł   + đ?&#x2018;Ł ! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x153;&#x152; 1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020; 1 đ?&#x2018;Ł !   ! đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Ł ! â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? = 0   đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ł ! đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2020; ! â&#x2C6;&#x2019; 1   + đ?&#x2018;Ł = 0   đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D;! đ?&#x2018;&#x2020; !" !

Marcello Miccio

đ?&#x2018;&#x20AC;! â&#x2C6;&#x2019; 1   + đ?&#x2018;Ł !

!" !

= 0  

90  


        -­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

Da  questâ&#x20AC;&#x2122;ultima  risulta  evidente  il  differente  comportamento  che  assumono  i   fluidi  nel  regime  subsonico  e  nel  regime  supersonico,  infatti:   đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x20AC; < 1        đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2020;&#x201C;â&#x2020;&#x2018;            đ?&#x2018;Ł â&#x2020;&#x2018;â&#x2020;&#x201C;   đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x20AC; > 1      đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2020;&#x201C;â&#x2020;&#x2018;            đ?&#x2018;Ł â&#x2020;&#x201C;â&#x2020;&#x2018; Cioè  finchĂŠ  si  è  in  regime  subsonico  al  diminuire  della  sezione  (S)  la  velocitĂ    (v)  aumenta,  mentre  nel  regime  supersonico  al  diminuire  della  sezione  (S)  la   velocitĂ   (v)  diminuisce  e  viceversa.   Su  questo  tipo  di  considerazioni  si  basa  la  progettazione  dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello   convergente-­â&#x20AC;?divergente  (  detto  anche  ugello  di  De  Laval)  che  permette  ad  un   fluido  di  raggiungere  una  velocitĂ   supersonica  in  modo  continuo.  

                            Marcello Miccio

91  


       

Studio  dellâ&#x20AC;&#x2122;andamento  delle  pressioni  allâ&#x20AC;&#x2122;interno  dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello  di  De  Laval.   -­â&#x20AC;?

Interessante  è  studiare  come  varia  la  pressione  al  variare  della  sezione   dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello,  in  particolare  a  seconda  del  valore  della  pressione  allâ&#x20AC;&#x2122;uscita   dallâ&#x20AC;&#x2122;ugello  il  fluido  sarĂ   soggetto  a  fenomeni  differenti.

  -­â&#x20AC;?

Consideriamo  i  casi  che  possono  presentarsi:   !"#$%

1) đ?&#x2018;?! <   đ?&#x2018;?!   â&#x2020;&#x2019;    Questa  condizione  si  esprime  sottoforma  di  unâ&#x20AC;&#x2122;onda  di   espansione  appena  il  fluido  fuoriesce  dallâ&#x20AC;&#x2122;ugello.  Questâ&#x20AC;&#x2122;onda  si  propaga   alla  velocitĂ   del  suono  e  poichĂŠ  questa  espansione  avviene  allâ&#x20AC;&#x2122;esterno   dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello  non  condiziona  il  sistema  di  forza  allâ&#x20AC;&#x2122;interno  dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello  stesso.   2) đ?&#x2018;?! >   đ?&#x2018;?!!"#   â&#x2020;&#x2019;    Questa  condizione  indica  la  presenza  di  unâ&#x20AC;&#x2122;onda  di   compressione,  piĂš  precisamente  unâ&#x20AC;&#x2122;onda  dâ&#x20AC;&#x2122;urto  che  trasfoma  di  colpo  un   regime  supersonico  in  un  regime  subsonico  con  un  brusco  aumento  di   pressione.   -­â&#x20AC;?

Una  situazione  limite  si  ha  quando  lâ&#x20AC;&#x2122;urto  normale  si  localizza  in   corrispondenza  della  sezione  di  uscita  dellâ&#x20AC;&#x2122;ugello.  

Marcello Miccio

92  


        -­â&#x20AC;?

Infatti  se  indichiamo  con    đ?&#x2018;?!.!.!. =   (đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;  đ?&#x2018;&#x2020;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą  đ??¸đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ą)  la   pressione  a  valle  dellâ&#x20AC;&#x2122;urto  si  possono  distingure  due  casi:   !"#$%

A) đ?&#x2018;?!

< đ?&#x2018;?! < đ?&#x2018;?!.!.!.   â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;  â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x20AC;˛đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;   !"#$%

B) đ?&#x2018;?!.!.!. < đ?&#x2018;?! < đ?&#x2018;?! -­â&#x20AC;?

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;  â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;  đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x20AC;˛đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;  

Quantitatiamente  questi  problemi  si  risolvono  con  lâ&#x20AC;&#x2122;ausili  di  alcune  tabbelle   dove  i  sono  riportate  varie  proprietĂ ,  dette  proprietĂ   di  ristangno,  in  funzione   del  numero  di  Mach.      

Correnti  nei  tubi  con  attrito.   -­â&#x20AC;?

La  sola  famiglia  di  correnti  non  isoentropiche  che  si  è  trattata  al  corso  è  quella   delle  correnti  adiabatiche  con  attrito.  

-­â&#x20AC;?

Non  ci  soffermiamo  ad  analizzare  i  meccaniscmi  dellâ&#x20AC;&#x2122;attrito  ma  ne   ammettiamo  gli  effetti  che  sono  espressi  da  queste  condizioni:  

-­â&#x20AC;?

-­â&#x20AC;?

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x20AC; < 1        đ?&#x2018;Ł â&#x2020;&#x201C;            đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2020;&#x2018;   đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;  đ?&#x2018;&#x20AC; > 1      đ?&#x2018;Ł â&#x2020;&#x2018;            đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2020;&#x201C; Per  calcolare  la  perdita  di  carico  dovuta  alla  dissipazione  energetica  causata   dallâ&#x20AC;&#x2122;attrito  si  ricorre  ad  una  tabella,  detta  tabella  di  Fanno,  dove  in  funzione   del  numero  di  mach,  oltre  alle  proprietĂ   di  ristagno,  è  riportato  il  numero   adimensionale:   đ??żâ&#x2C6;&#x2014; đ??š! = đ?&#x2018;&#x201C;   đ??ˇ â&#x2C6;&#x2014; Qui    "đ??ż "  indica  la  lunghezza  massima  del  condotto  per  cui  đ?&#x2018;&#x20AC; = 1.          

Prego  tutti  voi  lettori  di  segnalare  eventuali  errori  allâ&#x20AC;&#x2122;indirizzo:   marcellomiccio@libero.it    

Marcello Miccio

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Meccanica dei fluidi