Issuu on Google+

Universidad de Carabobo Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Coordinación Académica Coordinación de Apoyo Docente

CONOCIMIENTOS BÁSICOS PARA INGRESARA LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Hilda Saer de Asunción Marzo 2005

Carlos Alvarado B.

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo ISBN 980-223-214-3 Depósito Legal Lf55319993781130 Primera Edición, abril 1999 Segunda Edición, julio 2000 Tercera Edición ampliada, enero 2001 Cuarta Edición ampliada, noviembre 2001 Quinta Edición ampliada, diciembre 2002

2

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

La Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es una de las siete facultades de la Universidad de Carabobo, cuya trayectoria y prestigio en la comunidad están cimentados en altos niveles de calidad y excelencia académica, aunado a la mística de trabajo y sentido de pertenencia de su gente. Desde hace algunos años atrás, debido a este prestigio académico reconocido en el ámbito de la región y fuera de nuestras fronteras, la demanda de estudiantes que quiere engrosar nuestras aulas se ha incrementado de tal manera que la Facultad se ha visto obligada a someter a los aspirantes a un riguroso Proceso Interno de Admisión. La Facultad debido a sus limitaciones de espacio físico, recursos humanos y materiales que impiden satisfacer tal demanda, sólo admite a aquellos estudiantes cuyas características aptitudinales sean congruentes con la excelencia académica que caracteriza a FACES y además a aquellos, que exhiban las mayores probabilidades de éxito, seleccionados rigurosamente a través del proceso de admisión, el cual se administra con transparencia, ética y seriedad. Este libro preparado por los autores, presenta los criterios que han pronosticado el rendimiento académico en las distintas carreras; las habilidades cuantitativas, las destrezas verbales; el razonamiento abstracto y los antecedentes académicos del estudiante. A través de este material, se explica qué es el Proceso Interno de 3

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Admisión, cómo participar en él; en qué consisten las pruebas y se incluye un repaso orientador de contenidos básicos sobre los que versa la Prueba de Admisión Interna. En esta oportunidad se ha actualizado el texto con los conceptos correspondientes a logaritmos y a radicación, así como también algunos conceptos elementales sobre ángulos, cálculo de áreas de regiones en el plano cartesiano y algunos aspectos básicos relacionados con los conceptos de razón y proporción. El proceso de enseñanza aprendizaje se ejecuta fundamentalmente a través de procesos lingüísticos, razón por la cual la evaluación de destrezas verbales es fundamental y se incluye en la prueba. Además de este elemento, el razonamiento básico cuantitativo es columna vertebral de nuestras carreras, constituyéndose en predictor de un rendimiento académico excelente, aún en aquellas carreras en las cuales no se considera esencial, el denominado razonamiento cuantitativo. El razonamiento abstracto, por su parte, se ha convertido en un excelente indicador de desempeño académico, ligado a estudiantes que comienzan y terminan sus estudios satisfactoriamente. Otro de los factores que se consideran está representado por los antecedentes del estudiante, siendo el principal indicador, hasta el momento, el promedio global de calificaciones obtenido en Bachillerato.

4

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

INTRODUCCION

El objeto primordial de la Prueba de Admisión Interna de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es detectar dentro del universo de aspirantes al ingreso, el grupo de bachilleres que están adecuadamente capacitados para enfrentar con éxito los contenidos curriculares de las diferentes carreras que se dictan en esta Facultad. Por ello, todos los bachilleres que deseen estudiar en esta institución, y que no hayan sido asignados por otra modalidad, deben presentar la prueba. La Prueba Interna de Admisión de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo consta de las siguientes partes: a) b) c)

Conocimientos Básicos en Matemática. Habilidad Verbal y Comprensión Lectora. Razonamiento Abstracto.

Conocimientos Básicos en Matemática Los conocimientos básicos del área de Matemática, son aquellos considerados como habilidades instrumentales mínimas que debe manejar el bachiller aspirante a estudiar alguna de las carreras que se imparten en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, los cuales deben haber sido adquiridos en sus estudios previos de Educación Básica y Media Diversificada ya que son

5

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

indispensables principalmente en los dos primeros semestres de la carrera universitaria

Los tópicos corresponden a Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Los temas específicos de estas áreas son los siguientes:  

               

6

Porcentaje. Interés: simple y compuesto Operaciones con Números Naturales, Enteros, Racionales y Reales: suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación. Logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Divisibilidad. Razones y Proporciones. Operaciones fundamentales del Algebra: suma, diferencia, multiplicación y división de polinomios. Signos de agrupación y reducción de términos semejantes, Productos notables y cocientes notables. Factorización de expresiones algebraicas Racionalización. Potenciación. Radicales Funciones reales: dominio y rango. Función lineal y cuadrática. Resolución de ecuaciones de primero y segundo grado, con o sin fracciones. Sistemas de ecuaciones con dos y con tres variables. Intervalos en la recta real. Inecuaciones de primero y segundo grado. Cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas: triángulo, cuadrado, rectángulo, etc.

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

   

Tipos de ángulos. Medida de ángulos. Identidades trigonométricas. Teoría de Conjuntos. Progresiones.

Habilidad Verbal y Comprensión Lectora Esta prueba mide el manejo que el aspirante tiene del idioma, en lo referente a la amplitud, precisión y comprensión del vocabulario; y el razonamiento verbal. Asimismo, mide la capacidad del aspirante de comprender material escrito y relacionar u ordenar ideas y conceptos. Consta de tres partes: a) Relaciones analógicas entre palabras. b) Significación de palabras en un contexto c) Comprensión lectora

Razonamiento Abstracto Esta prueba de Razonamiento Abstracto tiene como objetivo medir la habilidad de describir la ley de formación, regla o principio que rige una secuencia y la capacidad de inducción o de abstracción de relaciones.

CONOCIMIENTOS BASICOS DE MATEMATICA La Matemática indudablemente es una herramienta fundamental en las áreas de las 7

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ciencias exactas; sin embargo, aún, en las Ciencias Sociales, el uso de razonamientos asociados con las Matemáticas, es primordial para tomar decisiones, obtener conclusiones y predecir situaciones con razonable exactitud. La prueba de Admisión interna relacionada con la evaluación de los conocimientos y habilidades en esta área, contendrá planteamientos para medir razonamiento, habilidad y algunos conocimientos básicos. A continuación se plantea un repaso de algunos de los conocimientos básicos que debe manejar quien aspire ingresar a FACES.

1. OPERACIONES ELEMENTALES NUMEROS RACIONALES

CON

Se entiende por números racionales al conjunto de todos los números que se simbolizan de la forma conocida como fracción a / b donde a y b son números enteros; es decir,

{(a, b) : a ∈ Ζ, b ∈ Ζ ∧ b ≠ 0} Ejemplo: Solución

8

Resolver

8 2 1 + − 5 3 2

8 2 1 48 + 20 − 15 53 + − = = 5 3 2 30 30

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo:

Resolver

7 15 x 3 2

Solución 7 15 105 35 x = = 3 2 6 2

2. ELIMINACION DE SIGNOS Y REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES Esta operación consiste en eliminar y reducir términos semejantes, hasta llegar a una mínima expresión algebraica, respetando signos y operaciones con signos. Ejemplo: Eliminar los signos y reducir los términos semejantes de la siguiente expresión:

 2  2    2b − − + 9b 2 + 7b −  − 19b 2 +   3      5 Solución 2  2 2b − − + 9b 2 + 7b + 19b 2 −  3  5 2 2  2b − 28b 2 + 7b − −  5 3  2b − 28b 2 − 7b +

3(2) − 2(5) 15

9

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

− 28b 2 − 5b +

16 15

3. POTENCIACION La potenciación es una de las operaciones más importantes en Matemática, es por ello necesario incluirla en el repaso de los aspectos que se consideran de imprescindible manejo en el campo de las Ciencias Sociales y Económicas. Una potencia se expresa de la forma a m , donde "a" se llama base y "m" se denomina exponente. Entre las propiedades de la potenciación se cuentan: 3.1. Propiedades de las potencias: 3.1.1. Producto de potencias de igual base: a m a n = a m+n

Es decir, el producto de potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. 3.1.2. Cociente de potencias de igual base: am = a m−n n a

10

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Es decir, el cociente de potencias de igual base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes: al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador. 3.1.3. Potencia de una potencia: (a m ) n = a mn Es decir, la potencia de potencia en base a, es igual a la base elevada al producto de los exponentes. 3.1.4. Distributiva de la potencia respecto del producto: (a b c) n = a n b n c n Es decir, el producto de factores elevado a la potencia n, es igual al producto de potencias de cada base elevada a la potencia n. 3.1.5. Todo n煤mero elevado a la cero es igual a la unidad. a0 =1

Los siguientes son ejercicios de aplicaci贸n de las propiedades de la potenciaci贸n: Ejemplo: Resolver lo planteado en cada caso a) 25.2 4.2 2 = 25 + 4 + 2 = 211

11

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

b)

37 = 37 −5 = 32 = 9 35

c) (53 ) 4 = 53.4 = 512 d) (2.3.5) 2 = 22.32.52 = 4 .9. 25 = 900 e) (23 .45.37 )0 = 1 3.2. Potencias fraccionario.

de

exponente

negativo

y

Además de las potencias con exponente entero y positivo, existen potencias con exponentes negativos y con exponentes que son números racionales. 3.2.1. La potencia negativa se expresa de la siguiente forma: a −n =

1 an

Las siguientes expresiones son ejemplos de exponentes negativos:

1 2 1 5− 3 = 3 5 2−1 =

3.2.2. La potencia fraccionaria se expresa de la siguiente forma:

12

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

a

m n

= n am

Algunos ejemplos de exponentes fraccionarios, con su expresión equivalente en forma de radical. 1 22 = 2 2 3

3 = 3 32 5

3 4

=

1 5

3 4

1

=

4

53

Ejemplo: Aplicando propiedades 1de 3 potenciación, 3 −

2 2 .2 2 .2 4

simplificar la siguiente expresión 2

5 4

Solución 1 2

3 2

2 2 2 2

5 − 4

3 4

=

2

1 3 3 − + 2 2 4

2

5 − 4

=

2 2

1 4

5 − 4

=2

1 5 − + 4 4

= 21 = 2

4. LOGARITMO a n = m , se Dada la expresión exponencial define el logaritmo como el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

En este caso, el logaritmo en base a del número m es el exponente n al cual hay que elevar la base a , para que nos resulte el mismo número m . 13

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Dada la potencia 2 3 = 8 , entonces log 2 8 = 3 . Otros ejemplos: 35 = 81 , 5 4 = 625 ,

entonces

log 3 81 = 5

entonces

log 5 625 = 4

4.1. Propiedades de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos son las siguientes: 4.1.1. El logaritmo de la unidad es cero, en cualquier base. log b 1 = 0 4.1.2. Logaritmo de un producto. log b (m.n) = log b m + log b n Es decir, el logaritmo en cualquier base de un producto es igual a la suma de los logaritmos 4.1.3. Logaritmo de un cociente. m log b   = log b m − log b n n

Es decir, el logaritmo en cualquier base de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos 14

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

4.1.4. Logaritmo de una potencia.

log b (a ) = n. log b a n

Es decir, el logaritmo en cualquier base de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 4.1.5. Logaritmo de una raíz enésima. log b n m =

log b m n

Ejemplo: En la siguiente expresión logarítmica, determinar el valor de M : Solución M = log( m + n ) + log( m − n ) − 2. log( m − n )

M = log

( m + n ).( m − n ) (m − n)2

M = log

m+n m−n

4.2. Ecuaciones Exponenciales. Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Son ejemplos de ecuaciones exponenciales: 2 x = 16 5 x − 3 = 3x −1 15

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

A continuación el método de igualación de las bases para resolver ecuaciones exponenciales. Mediante este método se persigue expresar ambos lados de la ecuación en términos de la misma base con la finalidad de igualar los exponentes; ya que si, las bases son iguales, los exponentes también lo son. Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la 1 ecuación 2 x − 3 = 2 Solución 2x −3 =

1 2

2 x − 3 = 2−1 x − 3 = −1 x=2

Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación 53 x −1 = 25 x Solución 53 x −1 = 25 x 53 x −1 = 52 x 3x − 1 = 2 x

16

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

x =1

Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación 2 x = 5 x −1 Solución 2 x = 5 x −1

log 2 x = log 5 x −1 x log 2 = ( x − 1) log 5 x log 2 = x log 5 − log 5 x log 2 − x log 5 = − log 5 x(log 2 − log 5) = − log 5 x=

− 0.6989 0.3010 − 0.6989

x=

− 0.6989 = 1.75 − 0.3979

4.3. Ecuaciones logarítmicas Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmo. Las ecuaciones logarítmicas se resuelven aplicando antilogaritmo en ambos miembros de la igualdad. Los siguientes son algunos ejemplos:

17

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo: Resolver la ecuación log( x + 1) − log x = 1 Solución

log( x + 1) − log x = 1 log

x +1 =1 x

x +1 = 10 x

10 x − x = 1 x=

1 9

Ejemplo: Resolver la ecuación logarítmica dada Solución  x  log x + log   =1  x + 1

 x2   = 1 log   x + 1 x2 = 10 x +1

x 2 = 10 ( x + 1) x 2 − 10 x − 10 = 0 18

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Resolviendo la ecuación de segundo grado, la solución es: x1 = 10,90 y x2 = −0,90 5. CONCEPTO DE RAÍZ Se llama raíz enésima de un número, a otro número que elevado a la potencia n reproduce el primero.

n

Si b es la raíz enésima de a , se expresa a = b , se cumple que b n = a.

La operación que nos permite obtener una raíz cualquiera de un número se llama radicación, y se expresa con el símbolo , que se conoce como signo radical. La cantidad a la cual se le va a determinar la raíz, y que va ubicada dentro del signo radical se denomina cantidad subradical. El índice de la raíz se coloca en la parte superior del signo radical, como se indica a 3

5

continuación: , , ; en el caso de índice dos, este se omite, y se conoce como raíz cuadrada. A continuación proceso de radicación.

algunas

propiedades

del

5.1 Raíz de un producto La raíz enésima de un producto de factores es igual al producto de las raíces enésimas de dichos factores:

19

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

n

abc = n a ⋅ n b ⋅ n c

Ejemplos: Resolver a)

3

a ⋅ b2 = 3 a ⋅ 3 b2

b)

5

3a 2 ⋅ b3 = 5 3 ⋅ 5 a 2 ⋅ 5 b3

c)

12

5a 12 12 12 1 = 5⋅ a⋅ b3 b3

5.2 Multiplicación de radicales La multiplicación de radicales de igual índice es otro radical, cuyo índice es el mismo de los factores, y la cantidad radical es igual al producto de las cantidades subradicales de los factores. Así: n

a ⋅ n b ⋅ n c = n a ⋅b ⋅c

Ejemplos: Resolver a)

3

2a 3 ⋅ 3 3a 5 = 3 (2a 3 )(3a 5 ) = 3 6a 8 = a 2 3 6a 2

b)

5

3 x 2 y ⋅ 5 5 xy 2 = 5 (3 x 2 y (5 xy 2 ) = 5 15 x 3 y 3

c)

6

 b 5  2a 3  6 2a 3b5 b5 2a 3 2ab 2 6. 6 6     ⋅ = = =  3a 2  5b 3  3a 2 5b3 15a 2b3 15   

d) 5a 3 2a 2 b ⋅ 3b3 5abc 3 = 15ab3 10a 3 b 2 c 3 = 15a 2 bc3 b 2 5.3 Potencia de una raíz La potencia de un radical es otro radical, de igual índice cuya cantidad subradical está elevada a la potencia dada 20

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

( a)

m

n

= n am

Ejemplos: a) b) c)

( 2a ) = 3

( 2 a ) 3 = 23 a 3

( 5a b ) = 3

5

2 3

 3ab 2   b

2

4

3

(5a 2b3 )2 = 3 52 a 4b 6 = b 2 a 3 52 a

  3a 2  = 5    b

4

 34 a 8 34 a 3 5  = 5 a = b4 b4 

5.4 Raíz de un cociente La raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre las raíces enésimas del dividendo y el divisor. Así: n

a = b

n

a

n

b

Ejemplos: 3a 3a = 2b 2b

a) b)

3

2 x 3 y 2 3 2 x3 y 2 x 3 2 y 2 = 3 = 3 3z 3z 3z

c)

5

4a 5b 2 5 4a 5b 2 a 5 4b 2 = = 3x 2 y 2 5 3x 2 y 2 5 3 x 2 y 2

5.5 División de radicales de igual índice 21

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

El cociente de dos radicales de igual índice, es otro radical del mismo índice, cuya cantidad subradical es el cociente entre las cantidades subradicales del dividendo y el divisor. n

a

n

b

=n

a b

Ejemplos: 10a 3 10a 3 = = 2a 2 = a 2 5a 5a

a) 3

b)

3

5

c) 5

3a 2b

3a 2b 3 3a = = 2ab 2 2b 2ab 2 3

5 x3 y 2 15 x 5 y 3

=5

5 x3 y 2 1 =5 2 5 3 15 x y 3x y

5.6 Raíz de una potencia La raíz enésima de una potencia es otra potencia de igual base, cuyo exponente es el coeficiente entre el exponente de la potencia y el índice de la raíz. m n

Ejemplos: 5

a) 22

3

a5 = a 3

am = a n

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

3

b)

4

x3 = x 4 1 2

a =a Las potencias de exponente fraccionario se originan cuando en la extracción de la raíz de una potencia el exponente de ésta no es divisible entre el índice de la raíz. c)

5.7 Multiplicación de radicales de diferente índice En este caso se procede de la siguiente forma: se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales. Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división. Finalmente, se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice. Así: 3

2a 4 3b 2

Se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales. mcm (3.4) = 12 Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división. 12

( 2a ) 4

12

24 a 4

12

(3b 2 )3

12

33 b6 23

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice, resultando: 12

(2 4 a 4 )(33 b 6 ) = 12 2 4 33 a 4 b 6

2ab 2

Ejemplo: Efectuar

3

5a 2b 2

5

3ab

El mínimo común índice entre 2, 3 y 5 es 30 , por tanto las raíces quedan todas con ese índice:

2ab 2 ⋅ 3 5a 2b 2 ⋅ 5 3ab = = 30 (2ab 2 )15 ⋅ 30 (5a 2 b 2 )10 ⋅ 30 (3ab) 6

= 30 215 a15 b 30 ⋅ 30 510 a 20 b 20 ⋅ 30 36 a 6 b 6 = 30 (215 a 15 b 30 ) ⋅ (510 a 20 b 20 ) ⋅ (3 6 a 6 b 6 ) = 30 215 510 3 6 a 41b 56 = ab30 215 510 3 6 a 11b 26

5.8 División de radicales de diferente índice Para dividir radicales de diferentes índices, se reducen al mínimo común índice y luego se dividen los radicales de igual índice que resultan. Ejemplo: Efectuar

24

6

3a 2b3

4

2a 3b5

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Solución: El mínimo común índice entre 4 y 6 es 12

=

12 12

(3a 2b3 ) 2

6

3a 2b3

4

2a 3b5

=

(2a 3b5 )3

12 12

=

32 a 4b 6 23 a 9b15

=

12

32 23 a 5b 9

5.9 Raíz de una raíz La raíz de otra raíz es un radical cuyo índice es igual al producto de los índices de los radicales n m

a = n ⋅m a

Ejemplo: a)

5 3

5ab = 15 5ab

b)

3

2 x3 y 2 = 6 2 x3 y 2

c)

3

5

6ab3 = 30 6ab3

5.10 Racionalización de denominadores a) Cuando el denominador es un monomio (formado por un solo radical. Ejemplo: Racionalizar

a , b

25

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Se multiplican ambos factores (numerador y denominador) por b y se obtiene:

a b a b a b ⋅ = = 2 b b b b Ejemplo: Racionalizar

2 3

ab 2

,

Se multiplican ambos miembros por obtiene:

2 3

ab 2

3

⋅3

a 2b a 2b

=

23 a 2b 3

a 3b3

=

3

a 2 b y se

23 a 2b ab

b) Cuando el denominador es un binomio (está formado por dos radicales, se multiplican ambos miembros por la conjugada del denominador. Ejemplo: Racionalizar

3 , x+ y

Solución: Se multiplican ambos miembros por la expresión conjugada del denominador, es decir, x − y , obteniendo:

x− y 3( x − y ) 3 ⋅ = x+ y x − y ( x + y )( x − y )

26

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

=

3( x − y ) x2 − y2

Ejemplo: Racionalizar:

=

3( x − y ) x− y

3+ 2 3− 2

Solución: 3+ 2 3+ 2 ( 3 + 2)2 ⋅ = 3 − 2 3 + 2 ( 3 − 2 )( 3 + 2 )

=

( 3 ) 2 + 2( 3 ) 2 + ( 2 ) 2 ( 3) − ( 2 ) 2

2

=

3+ 2 6 + 2 5+ 2 6 = 3−2 1

= 5+ 2 6 5.11 Radicales semejantes Son aquellos que tienen igual índice e igual cantidad subradical. Así: Son semejantes:

23 b 2 , − 1 3 b 2 , 53 b 2 2 25 2 x 3 , − 35 2 x 3 , 75 2 x 3 No son semejantes: a,

2a ,

5a 27

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

3

b2 ,

3

3b ,

3

2b 3

Para reducir radicales es necesario que estos sean semejantes. La operación de reducción de radicales se efectúa mediante la suma algebraica de los coeficientes de las cantidades radical acompañada del mismo radical. Ejemplos: a)

3a − 5b + 4 3a + 2 5b Se agrupan los radicales semejantes 3a + 4 3a = 5 3a − 5b + 2 5b = 5b El resultado es: 5 3a + 5b

b) 5 x − 3 y 2 + 4 z − 8 x + 4 y 2 + 10 z Agrupando los términos semejantes, el resultado es: − 3 x + y 2 + 14 z

6.

PROPORCIONALIDAD

Pueden plantearse proporcionalidad: 28

dos

tipos

de

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

a) Directa: es aquella que se establece entre dos cantidades, de tal forma que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación idénticamente proporcional y en el mismo sentido. b) Inversa: es aquella que se establece entre dos cantidades de tal manera que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación en sentido inverso. Ejemplo: Diez obreros tardan en hacer un trabajo cuatro días ¿Cuántos obreros serán necesarios para realizar el mismo trabajo en dos días? Como las magnitudes son proporcionales, se cumplirá que:

inversamente

Siendo Y : el número de obreros X : el número de días Con los datos del problema 10 obrero

7.

x

4días = 20obreros 2días

RAZÓN Y PROPORCIÓN

Razón es el cociente indicado entre dos cantidades. Si se consideran dos magnitudes a y b, y establecemos una proporcionalidad entre ellos, seria:

29

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

a = K = razón b

Proporción es la igualdad de dos razones, se expresa: a c = b d los términos a y d se denominan extremos, b y c medios; asimismo, a y c antecedentes y b y d consecuentes.

Propiedades de las proporciones: a) El producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir, ad = bc

b) La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es su consecuente; es decir, a+c a c = = b+d b d

Reparto Proporcional: Muchos problemas se presentan en la práctica con el objetivo de repartir una determinada cantidad entre varias personas, proporcionalmente a una variable como la edad, años en una empresa, entre otros. Cuando este reparto proporcional se aplica al cálculo de beneficios o pérdidas producidas por un negocio, se le llama Regla de Compañía. Los repartos 30

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

proporcionales pueden ser proporcionalidad es directa; proporcionalidad es inversa.

directos, inversos,

si si

la la

Ejemplo: Un padre desea repartir Bs 1.000.000 , en forma directamente proporcional a sus edades. Si las edades de los hijos son 28, 35 y 37 años respectivamente, calcular cuanto le corresponde a cada uno? Sean X , Y , Z corresponde

la parte proporcional que le

 x → 28    y → 35 x + y + z = 100  z → 37    X 1.000.000 = = 10.000 28 100

∴ x = 280.000

Y 1.000.000 = = 10.000 35 100

∴ y = 350.000

Z 1.000.000 = = 10.000 ∴ z = 370.000 37 100

A los hijos x, y , z les corresponden Bs. 280.000, Bs. 350.000 y Bs. 370.000 respectivamente.

31

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

8.

PRODUCTOS NOTABLES

NOTABLES

Y

COCIENTES

PRODUCTOS NOTABLES Se denominan productos notables aquellos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito, siguiendo patrones de formación, sin necesidad de recurrir a la multiplicación. Productos notables de 2do. grado a) Cuadrado de la suma de dos términos:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 Es decir, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, mas el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término. Este es el llamado trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo:

Desarrollar  2 a + 5 b  

2

2

Solución 2

5   5  5  2  2a + b  = (2 a ) + 2(2a ) b  +  b  2   2  2 

= 4a 2 + 10ab +

2

25 2 b 4

b) Cuadrado de la diferencia de dos términos: 32

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 Es decir, el cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término. Ejemplo:

2  Desarrollar  a − 3b  5 

2

Solución 2

2

2  2  2  2  a − 3b  =  a  − 2 a (3b ) + (3b ) 5  5  5 

=

4 2 12 a − ab + 9b 2 25 5

c) Producto de la suma de dos términos por su diferencia:

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 Es decir, el producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia del cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplo:

Desarrollar (2a + 3b )(2a − 3b )

Solución

33

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

(2 a + 3b )(2 a − 3b ) = (2 a )2 − (3b )2 = 4a 2 − 9b 2

d) Producto de dos binomios que tienen un término común:

( x ± a )( x ± b ) El término común es una letra cualquiera con coeficiente unitario; el término no común es un número cualquiera. El desarrollo de este producto notable es un trinomio, que se obtiene aplicando las siguientes reglas: 1) El primer término del trinomio, es el producto de los términos comunes de los binomios. 2) El segundo término es la suma algebraica de los términos no comunes multiplicado por la letra del término común. 3) El tercer término del trinomio es igual al producto de los términos no comunes. Ejemplo:

Desarrollar ( x + 3)( x − 8)

Solución

(x + 3)(x − 8) = x 2 − 8 x + 3x − 24 = x 2 − 5 x − 24 e) Producto de dos binomios de la forma:

(mx + a )(nx + b )

34

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

El procedimiento para obtener el producto de dos binomios, en los cuales los términos en x presentan coeficientes diferentes, consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación y reducir los términos semejantes. Ejemplo: Resolver (2 x + 6)(4 x + 5) Solución

(2 x + 6)(4 x + 5) = 8 x 2 + 10 x + 24 x + 30 = 8 x 2 + 34 x + 30

f) Cubo de la suma de dos términos:

(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual a la suma del cubo del primer término, mas el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Ejemplo:

Desarrollar (2a + 5b )

3

Solución

(2a + 5b )3 = (2a )3 + 3(2a )2 (5b ) + 3(2a )(5b )2 + (5b )3 = 8a 3 + 60a 2 b + 150ab 2 + 125b 3

g) Cubo de la diferencia de dos términos:

35

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. Ejemplo:

Desarrollar (2a − 5b )

3

Solución

(2a − 5b )3 = (2a )3 − 3(2a )2 (5b ) + 3(2a )(5b )2 − (5b )3 = 8a 3 − 60a 2 b + 150ab 2 − 125b 3

COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables son aquellos que se pueden obtener aplicando regla fijas sin necesidad de realizar las divisiones. a) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la suma de las bases: El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual a la diferencia de las bases: a2 −b2 = a−b a+b

36

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo:

Resolver

a 2 − 49 a+7

Solución a 2 − 49 = a−7 a+7 b) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases: El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases es igual a la suma de las bases: a 2 − b2 = a+b a −b Ejemplo:

a 2 − 36 Resolver a−6

Solución a 2 − 36 = a+6 a−6 c) Cociente de la suma de cubos de dos términos entre la suma de las bases: a 3 + b3 a+b El cociente de la suma de cubos de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual: al 37

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

cuadrado del primer término, menos el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. a 3 + b3 = a 2 − ab + b2 a+b Ejemplo: Resolver

a 3 + 64b 3 a + 4b

Solución a 3 + 64b 3 = a 2 − 4ab + 16b 2 a + 4b d) Cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividida entre la diferencia de las bases: a 3 − b3 a−b El cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividido entre la diferencia de las bases es igual al cuadrado del primer término, más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. a3 − b3 = a 2 + ab + b 2 a−b Ejemplo:

38

Resolver

27 − a 3 3− a

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Solución 27 − a 3 = 9 + 3a + a 2 3− a 9.

FACTORIZACION ALGEBRAICAS

DE

EXPRESIONES

Factorizar una expresión algebraica consiste en transformarla en otra equivalente que sea el producto de dos o más factores. a) Factor común monomio Un polinomio admite un factor común si todos sus términos son divisibles por dicho factor. Ejemplo: Solución

Factorizar 18a 3 − 3a 2 18a 3 − 3a 2 = 3a 2 (6a − 1)

b) Factor común polinomio En este caso, el factor común es a su vez un polinomio. Ejemplo: Solución

Factorizar (a + b )x + y (a + b )

(a + b )x + y(a + b ) = (a + b)( x + y ) 39

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo: Solución

Factorizar

( p + n )x − p − n

( p + n )x − p − n = ( p + n )x − ( p + n ) ( p + n )x − p − n = ( p + n )( x − 1)

c) Factor común por agrupación de términos En este caso, los términos agrupados deben tener un factor común para aplicar los procedimientos anteriores. Ejemplo:

Factorizar el siguiente polinomio: 3a 2 − 12ab + 2a − 8b

Solución 3a 2 − 12ab + 2a − 8b = (3a 2 + 2a ) − (12ab + 8b) = a(3a + 2) − 4b(3a + 2)

= (3a + 2)(a − 4b ) d) Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio es cuadrado perfecto si el primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y además el segundo término es el doble de las raíces cuadradas del primero por el segundo; es decir,

40

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primero y del tercer término y se colocan dentro de un paréntesis separados entre sí por el signo del segundo término, elevando el paréntesis al cuadrado. Ejemplo:

Factorizar el trinomio x 2 + 3x +

9 2

Solución x 2 + 3x +

Ejemplo:

9  = x + 4 

3  2

2

Factorizar el trinomio 4 x 2 − 6 xy +

9 2 y 4

Solución 9 3   4 x − 6 xy + y 2 =  2 x − y  4 2  

2

2

e) Diferencia de cuadrados perfectos La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto de la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces. a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y se extrae la raíz cuadrada del sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la raíz del sustraendo. Ejemplo:

Factorizar

4 x 2 − 81y 4 41

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Solución

(

)(

4 x 2 − 81y 4 = 2 x + 9 y 2 2 x − 9 y 2

)

f) Diferencia de cubos La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores: a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2

(

)

Nótese que: 1) El primer factor es un binomio compuesto por la diferencia de las raíces cúbicas de cada cubo de la suma. 2) El segundo factor es un trinomio compuesto por: el cuadrado de la raíz cúbica del minuendo; más el producto de las dos raíces cúbicas; más el cuadrado de la raíz cúbica del sustraendo Ejemplo: Factorizar y 3 − 1 Solución

(

)

y 3 − 1 = ( y − 1) y 2 + y + 1

g) Suma de cubos a 3 + b3 Se factoriza en forma similar a la diferencia de cubos, observándose el cambio en los signos: a3 + b3 = a 2 − ab + b 2 a+b

42

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Por lo tanto:

(

a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2

)

Ejemplo: Factorizar la siguiente suma de cubos: x 9 + y 12 Solución

)(( )

(

x 9 + y 12 = x 3 + y 4 x 3

(

2

( ))

− x3 y 4 + y 4

)(

= x3 + y 4 x6 − x3 y 4 + y8

2

)

h) Trinomio de la forma x 2 + bx + c Es un trinomio con las siguientes condiciones: 1) El coeficiente del primer término es 1. 2) El primer término está elevado al cuadrado. 3) El segundo término es el producto de la raíz del primer término del trinomio por una cantidad cualquiera positiva o negativa. 4) El tercer término es independiente de los dos términos anteriores; es decir, es un escalar cualquiera positivo o negativo. Para factorizar un trinomio de esta forma se descompone en el producto de dos binomios tales que: 1) El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del término del trinomio que se eleva al cuadrado.

43

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

2) Los segundos términos deben ser dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término independiente del trinomio con su propio signo. Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio p 2 + 7 p + 12 Solución p 2 + 7 p + 12 = ( p + 4 )( p + 3) 2 i) Trinomio de la forma ax + bx + c

Este trinomio se diferencia del caso anterior, en que el término que se eleva al cuadrado se multiplica por una constante no unitaria. Para factorizar trinomios de esta forma se aplica el siguiente procedimiento: 1) Se multiplican todos los términos por el coeficiente del término cuadrático. aax 2 + abx + ac

2) Se aplica la conmutatividad al producto de factores siguiente: a(bx ) = b(ax ) a 2 x 2 + b(ax ) + (ac ) 3) Se aplica el criterio de factorización del trinomio 44

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

x 2 + bx + c

4) Se dividen los factores binomiales por a o por su producto equivalente. Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio 8x 2 − 2x − 6

Solución

(8)8 x 2 − (8)2 x − 6(8) (8)8 x 2 − (2)8 x − 6(8) 64 x 2 − 2(8 x ) − 48

(8 x − 8)(8 x + 6) 8x − 8 8x + 6 4 2

(2 x − 2)(4 x + 3) 2( x − 1)(4 x + 3) El resultado es: 8 x 2 − 2 x − 6 = 2( x − 1)(4 x + 3)

j) Factorización de un polinomio de grado n, si n∈ Ζ 45

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Para descomponer en factores a un polinomio entero de grado n < 2 se aplica el criterio de divisibilidad. Para ello, se aplica el hecho de que todo polinomio entero y racional en x que se anula en x = a , es divisible por x − a El proceso se realiza mediante la aplicación de la regla de Ruffini. Ejemplo: Descomponer en factores: x 4 + 4 x 3 + 3x 2 − 4 x − 4

Solución Divisores del término independiente − 4 : ± 1, ± 2, ± 4, Por lo tanto el resultado es: x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 4 = ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x + 2) Ejemplo:

Descomponer en factores:

(x

3

+ 2x 2 − x − 2

)

Solución

(x

3

10. SIMPLIFICACION ALGEBRAICAS

46

)

(

+ 2 x 2 − x − 2 = ( x − 1) x 2 + 3x + 2

DE

)

FRACCIONES

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Simplificar una fracción algebraica significa obtener otra fracción equivalente que tenga un menor número de factores comunes que la fracción dada. Ejemplo:

Simplificar:

48a 3b 2 27 a 2 b 5

Solución 48a 3 b 2 2 4 3a 2 a.b 2 16a = = 27 a 2 b 5 3 3 a 2 b 3 .b 2 9b 3

Ejemplo:

81a 2 b Simplificar: 9a 2 + 12a 2 bc

Solución 81a 2 b 81a 2 b 27b = = 2 2 2 9a + 12a bc 3a (3 + 4bc ) 3 + 4bc Ejemplo: Efectuar y simplificar: Solución

a+3 a−5 − 3ab a2

a + 3 a − 5 3b(a + 3) − a (a − 5) − = a2 3ab 3a 2b

3ab + 9b − a 2 + 5a = 3a 2b Ejemplo:

Simplificar: 47

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

2 3 5a − + 2 a+3 a−2 a +a−6

Solución − 3(a + 3) + 2(a − 2) + 5a 2 3 5a − + 2 = a+3 a−2 a +a−6 (a − 2)(a + 3) =

− 3a − 9 + 2a − 4 + 5a (a − 2)(a + 3) =

Ejemplo:

(4a − 13) (a − 2)(a + 3)

Simplificar: a 2 − 10a + 24 a 2 + 6a + 8 ⋅ 2 a2 − 4 a − 3a − 18

Solución a 2 − 10a + 24 a 2 + 6a + 8 ⋅ 2 = a2 − 4 a − 3a − 18 (a − 4)(a − 6) (a + 4)(a + 2) ⋅ = (a + 2)(a − 2) (a − 6)(a + 3)

(a − 4 )(a + 4 ) (a − 2 )(a + 3)

48

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo:

Efectuar y simplificar: 2a   3   −1+  ÷ 1 +  a +b  b−a 

Solución 2a   3   − a − b + 2a   b − a + 3   −1+  ÷ 1 + = ÷  a +b  b−a  a+b    b−a   a −b b − a  = .   a + b  b − a + 3

ab a−b ab a− a+b a+

Ejemplo:

Reducir:

Solución

(a − b)a + ab ab a−b = a −b (a + b)a − ab ab a− a+b a+b a+

a 2 − ab + ab ( a + b) a 2 a + b = 2 a−b = = a + ab − ab (a − b)a 2 a − b a+b

11. RESOLUCION DE ECUACIONES 49

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ejemplo: Resolver la ecuación: 12 x + 6 = 7 x − 4 Solución 12 x + 6 = 7 x − 24 12 x − 7 x = −6 − 24 5 x = −30 x = −6

Ejemplo: Resolver la ecuación:

x + (6 x + 1) = 8 − (4 x − 3) Solución x + (6 x + 1) = 8 − (4 x − 3)

x + 6x + 1 = 8 − 4x + 3 7 x + 1 = 11 − 4 x 7 x + 4 x = 11 − 1 11 x = 10

x=

50

10 11

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO La ecuación de segundo grado es de la forma ax 2 + bx + c = 0 , con a diferente de cero La fórmula para resolverla en su forma completa es:

x=

−b ± b2 − 4ac 2a

Ejemplo: Resolver la ecuación: 4 x 2 − 5 x + 1 = 0 Solución Fórmula

sustituyendo

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− (−5) ± (−5) 2 − 4(4)(1) x= 2(4) 5 ± 25 − 16 8 5± 9 x= 8 5±3 x= 8

x=

51

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

x1 =

5+3 8

x2 =

5−3 8

x1 =

8 =1 8

x2 =

2 1 = 8 4

Ejemplo: Resolver la ecuación 1+

Solución 1+

2x − 3 x −1 =2 x+3 5

2x − 3 2x − 2 − =0 x+3 5

5( x + 3) + 5(2 x − 3) − ( x + 3)(2 x − 2) = 0 5 x + 15 + 10 x − 15 − 2 x 2 + 2 x − 6 x + 6 = 0 − 2 x 2 + 11x + 6 = 0 2 x 2 − 11x − 6 = 0

x=

11 ± 121 − 4(2)(−6) 2(2)

x=

11 ± 121 + 48 4

x=

52

11 ± 169 4

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

x=

11 ± 13 4

x1 =

11 + 13 4

x2 =

11 − 13 4

x1 =

24 =6 4

x2 =

−2 1 =− 4 2

RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICION EN FACTORES Ejemplo: Resolver la ecuación

x 2 + 5 x − 15 = 0

Solución x 2 + 2 x − 15 = 0

( x + 5)( x − 3) = 0 Al Igualar cada factor a cero y resolver, resulta: x + 5 = 0 ∴ x = −5 x − 3 = 0∴ x = 3

RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA ax 2 + bx = 0

Ejemplo: Resolver la ecuación 4 x 2 − 32 x = 0 Solución 53

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

4 x 2 − 32 x = 0

4 x ( x − 8) = 0 4x = 0∴ x = 0

x − 8 = 0∴ x = 8

RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA ax 2 + x = 0 En este tipo de ecuación cuadrática, se obtienen dos raíces reales o dos imaginarias.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 3 x 2 − 147 = 0

Solución 3 x 2 − 147 = 0 3 x 2 = 147 x2 = ±

147 3

x1 = 7

x 2 = ± 49 x2 = − 7

12. SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Un sistema que incluye varias ecuaciones a resolver, es simultáneo si las ecuaciones se satisfacen con los mismos valores. A continuación se presentan sistemas de dos ecuaciones con dos 54

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

incógnitas. Resolverlo implica conseguir el par de valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. A continuación algunos métodos para resolver un sistema de ecuaciones. a) Método de Igualación Para resolver un sistema usando el método de igualación se utiliza el siguiente procedimiento: 1) Se despeja una cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones. 2) Se igualan entre sí los dos valores de la incógnita despejada. 3) Se despeja la incógnita que aparece en la ecuación resultante: 4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales. 5) Se obtiene el valor de la otra variable Ejemplo: Resolver el sistema usando el método de igualación 8 x + 16 y = 40    42 y − 32 x = 52 Solución x=

40 − 16 y 8

x=

42 y − 52 32

55

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

40 − 16 y 42 y − 52 = 8 32

16(5 − 2 y ) = (21 y − 26) 80 − 32 y = 21 y − 26 53 y = 106 y=

106 53

40 − 16 y 8 x = 5 − 2y x=

x = 5−2

106 53

x =1

b) Método de Reducción Para resolver un sistema usando el método de reducción se utiliza el siguiente procedimiento: 1) Se efectúan operaciones hasta lograr que los coeficientes de algunas de las incógnitas sean iguales. Esto se logra multiplicando las ecuaciones por constantes adecuadas, diferentes de cero. 2) Se suman algebraicamente miembro a miembro, las ecuaciones con el objeto de eliminar los términos que contienen a las variables con el mismo coeficiente. 56

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

3) Se despeja el valor de la variable resultante. 4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de reducción 3x − 2 y = 6   5 x + y = 28 3x − 2 y = 6 2(5 x + y = 28) Solución:

3x − 2 y = 6 10 x + 2 y = 46 3x − 2 y = 6 10 x + 2 y = 46 13 x = 52 x=

52 =4 13

5 x + y = 23 5(4) + y = 23 y =3

c) Método de Sustitución

57

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Para resolver un sistema usando el método de sustitución se utiliza el siguiente procedimiento: 1) Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones del sistema. 2) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema. 3) Se despeja la variable de la ecuación obtenida. 4) Se sustituye el valor de la variable en la ecuación que resulta al despejar la variable según el primer paso. Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de sustitución 3x − 2 y = 11   5 x + y = 27  Solución

y = 27 − 5 x

3x = 11 + 2(27 − 5 x ) 3 x = 11 + 54 − 10 x 13 x = 65 x=

65 =5 13

y = 27 − 5(5) = 2

13. INTERVALO

58

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Si a y b son dos números reales (con a menor que b), entonces el intervalo de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Dependiendo de si se incluyen o no se incluyen los extremos, se definen los siguientes tipos: a) Intervalo cerrado: si a y b son dos números reales (con a menor que b), el intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Se denota [a, b] b) Intervalo abierto: si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b. Se denota (a, b) c) Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b. Se denota [a, b) d) Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor b), intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, es el conjunto de números reales mayores que a y menores o iguales que b. Se denota (a, b]. Ejemplo: siguiente:

Representar como intervalo el conjunto

59

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

{( x, y) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −3 ≤ x ≤ 8} Solución

{( x, y ) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −3 ≤ x ≤ 8} = [− 3,8] Este es un intervalo cerrado por los dos extremos; incluye el -3 y el 8. Este intervalo contiene los infinitos números reales desde -3 hasta 8. Ejemplo: intervalo:

Representar en la recta real el siguiente

[− 3, 5)

Solución [ / / / / / -3 0

/ / / / /

) 5

Este intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha; incluye el -3 pero no el 5. Este intervalo contiene todos los números reales desde -3 inclusive hasta el 5, sin incluirlo. Ejemplo: Representar el intervalo:  − 1, 1  2   usando conjuntos ( / / -1

60

/ ] 0

1 2

real

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

En este caso, el intervalo es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha contiene todos los números reales desde el -1, sin incluirlo, hasta el 1 inclusive. 2 Ejemplo: siguiente:

Representar como intervalo el conjunto

{( x, y) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −7 ≤ x < ∞} Solución

{( x, y) : ( x, y ) ∈ ℜ ∧ −3 ≤ x < ∞} = [− 3, ∞ ) Este es un intervalo cerrado por la izquierda e ilimitado por la derecha. Este intervalo contiene los infinitos números reales mayores o iguales a -3, sin cota superior. Ejemplo: siguiente:

Representar como intervalo el conjunto

{( x, y) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −∞ < x ≤ 6} Solución

{( x, y) : ( x, y ) ∈ ℜ ∧ −∞ < x ≤ 6} = (− ∞,6] Este es un intervalo cerrado por la derecha e ilimitado por la izquierda. Este intervalo contiene los infinitos números reales menores o iguales a 6, sin cota inferior.

61

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto

{( x, y) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −2 ≤ x ≤ π } Solución

{( x, y) : ( x, y) ∈ ℜ ∧ −2 ≤ x ≤ π } = [− 2,π ] [       -2 0

]

π

Ejemplo: Graficar y expresar en forma de intervalo la siguiente operación de conjuntos:

(− 2,5] ∪ (1,7] Solución (     ( -2 0 1

  ]  ] 5 7

El intervalo obtenido serán los puntos de la recta real que pertenecen al uno o al otro intervalo; es decir, (− 2,7] Ejemplo: solución de:

Graficar y representar

el intervalo

[− 4,6] I [2,8] Solución [       //////////////////  -4 0 2 6 62

] 8

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

El intervalo solución estará formado por los puntos de la recta real que pertenecen a ambos intervalos, simultáneamente: es decir, [2,6] 14. VALOR ABSOLUTO x≤ a x≥ a

equivale a

−a ≤ x ≤ a

x≥a

equivale a

ó x ≤ −a

Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto:

{

}

A = x x∈R ∧ x≤ 6

Por definición de Valor Absoluto

x ≤6

equivale a x ≥ −6 y x ≤ 6 es decir − 6 ≤ x ≤ 6 Gráficamente: [   -6

  

 0

 

   ] 6

El intervalo resultante es [− 6;6] que resulta de interceptar los intervalos [− 6;+∞ ) y (− ∞;6] Ejemplo: Representar en forma de intervalo el siguiente conjunto:

{

}

A = x x∈R ∧ x≥ 7

63

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Por definición de Valor Absoluto

x≥ 7

equivale a x ≥ 7 ó x ≤ −7 . El intervalo resultante es la unión de los intervalos (− ∞,−7] y [7,+∞]. Es decir, (− ∞,−7] U [7,+∞ )

15. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Se llama inecuación de primer grado con una variable a una desigualdad entre dos expresiones reales tales que por lo menos una contiene una variable. Por ejemplo:

x+5≥3 x + 5 − 13 x ≤ 0 x + 4 ≥ −3 + 5 x

Resolver la inecuación significa encontrar el conjunto de números reales que al ser sustituidos en la inecuación satisfacen la desigualdad; es decir, aquellos valores que hacen que la inecuación, sea proposición verdadera. Ejemplo:

Resolver: x − 8 ≤ 0

Solución Se despeja x, x≤8 64

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

La solución es el conjunto formado por todos los números reales menores que 8 , es decir, si se toma cualquier número menor que 8 y se sustituye en x − 8 < 0 , esta desigualdad es verdadera. Ejemplo: Resolver la inecuación expresando en forma de intervalo la solución obtenida: x+3 ≥3 2

Solución ( x + 3) −3≥ 0 2 x +3−6 ≥ 0 x −3 ≥ 0

16. TRIGONOMETRÍA A continuación, se representa el Círculo trigonométrico y sus relaciones trigonométricas. 900

sen α =

abscisa distancia sen α 00 tg α = cos α 3600

cos α =

r=1 1800

ordenada distancia

α distancia

65

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

c tg α = 2700

sec α =

cos α sen α

distancia abscisa

distancia ordenada En el siguiente cuadro se presentan los signos de cada una de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes del círculo trigonométrico csc α =

Funciones

Cuadrantes I II III IV

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

A menudo es necesario conocer los ángulos de 30, 60, 45 grados. A continuación se explica cómo se deducen. Comenzando por los ángulos de 30 y 60 grados, los mismos se pueden deducir usando como base un triángulo equilátero cuyo lado mide una unidad, con una de las bisectrices dibujadas. A 30º

66

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

60º

60º

C

M 1

B

2

A continuación se traza la altura (h), que por ser el triángulo equilátero, es también: mediana, mediatriz y bisectriz del ángulo del vértice. Si se considera el triángulo ACM, el cual es rectángulo (porque la altura es perpendicular a la base), entonces: 2

1 h = (1) −   por el Teorema de Pitágoras, 2 que plantea que c 2 = a 2 + b 2 , siendo c la hipotenusa y a,b los catetos de una triángulo rectángulo. 2

h = 1−

1 = 4

4 −1 = 4

3 = 4

3 2

Si α = 30º , entonces, 1

1 sen30° = 2 = 1 2

cos 30° =

3

2 = 3 1 2

csc 30° = 2

sec 30° =

2 3 3 67

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

tg 30° =

1 3 3 = 2 2 3

c tg 30° = 3

Si α = 60º , entonces

3

sen60° =

2 = 3 1 2

1 1 cos 60° = 2 = 1 2 3 2 = 3 tg 60° = 1 2

csc 60° =

2 3 3

sec 60 = 2 ctg 60° =

3 3

Para determinar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º, se traza un triángulo rectángulo isósceles, a cuyos catetos se les asigna el valor de 1. 2 2 2 En consecuencia: c = a + b

(Pitágoras)

c = (1) 2 + (1) 2 = 2

Luego, si α = 45º sen 45° =

68

1 2

=

2 2

csc 45° = 2

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

cos 45° =

1 2 = 2 2

sec 45° = 2 c tg 45° = 1

1 tg 45° = = 1 1

Ejemplo: Determinar el valor numérico de x en las siguientes expresiones: x = sen 30o + tg 2 60o − cos 45o Solución x=

1 + 2

x=

x=

( 3)

2 2

1 2 +3− 2 2

1 + 2(3) − 2 2

x=

Ejemplo: Resolver

2

7− 2 2

sen30º + sen 2 45º x=4 tg 30º

Solución

69

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

1  2  + 2  2  x=4 3 3

2

1 2 1 1 + + 2 4 2 2 x=4 =4 3 3 3 3

x=4

1 3 3

=4

3 3

=4

3 3 =4 3 3

De seguido se presentan trigonométricas fundamentales.

las

sen α =

1 1 ∴ csc α = ∴ sen α . csc α = 1 csc α sen α

cos α =

1 1 ∴ csc α = ∴ cos α . sen α = 1 sen α cos α

tg α =

1 1 ∴ c tg α = ∴ tg α .c tg α = 1 c tg α tg α

sen α = cosα tgα  sen α sen α ∴ cosα = tg α = tgα  cos α

70

razones

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

cos α = sen αc tg α cos α  c tg α = ∴ cos α sen α sen α = c tg α  sen 2 α = 1 − cos 2 α sen α + cos α = 1 ∴  2 2 cos α = 1 − sen α 2

2

sec 2 α = 1 + tg 2 α ∴ tg 2 α = sec 2 α − 1 csc 2 α = 1 + c tg α ∴ c tg 2 α = csc 2 α − 1 Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica: tg α .cosα = sen α

Solución sen α .cosα = sen α cosα

senα = sen α Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica: sen α . c tg α + cosα =2 cosα

Solución

71

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

sen α .

cos α + cos α sen α =2 cos α

cos α . + cos α =2 cos α 2 cos α . =2 cos α 2=2

17. ANGULOS Se denomina ángulo a la región angular comprendida entre dos semirectas, cuyo origen se llama vértice. Entre los ángulos se cuentan: Angulo recto: Región angular comprendida entre dos semirrectas perpendiculares. En el sistema sexagesimal un ángulo recto mide 90 grados

90°

Angulo agudo: cuando la región angular, comprendida entre las dos semirrectas tiene una magnitud inferior a la de un ángulo recto

72

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Angulo obtuso: cuando la región angular comprendida entre las dos semirrectas, tiene una magnitud mayor a la de un ángulo recto.

Angulos adyacentes: son aquellos que tienen un lado común y los otros dos lados en una misma línea recta. β

α

α y β son adyacentes Angulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen el vértice común y los lados que lo forman según las mismas rectas.

β

α

73

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

α y β son opuestos por el vértice Angulos complementarios: son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto.

β

α

α y β son complementarios Angulos suplementarios: son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos.

α

β

α y β son suplementarios Angulos formados por una recta que corta a dos rectas paralelas.

β χ

74

α δ

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

µ φ

ε

ϕ

los ángulos que se determinan en este gráfico son los siguientes: Angulos alternos internos, son los que están situados a uno y otro lado de la secante, entre las rectas y con diferente vértice. [ χ y ε ; δ y µ ] Angulos correspondientes: son aquellos que están situados a un mismo lado de la secante, uno dentro y el otro fuera de las rectas y además, con diferente vértice. Un ejemplo de ellos son: [ β y µ ; α yε ] Angulos alternos externos son los que están situados a uno y otro lado de la secante, fuera de las rectas y con diferente vértice. [ β yφ ; α yϕ ] Ejemplo: α = 35o 23'

Hallar el ángulo complementario de

Solución: El complemento de un ángulo de 35° 23’ es igual a:

β = 90o − 35o 23' β = 89o 60' − 35o 23' β = 54o 37 75

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

El complemento es 54o 37' Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 112o 16' Solución: El suplemento de un ángulo de 112o 16' es:

β = 180o − 112o 16' β = 179o 60' − 112o 16' β = 67o 44' El suplementario es 67o 44' Ejemplo: En la gráfica, las rectas L1 y L2 son paralelas. Si L es una recta secante. ¿Cuáles son los valores de los ángulos α , β , y γ indicados en la figura?

α

L L

ϕ

L1

β L2

γ

110°

ρ

Solución: a) En la figura α = 110o , por ser ángulos correspondientes 76

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Luego α + ϕ = 180o suplementarios

ϕ = 180o − 110o α = 70o b) El ángulo ρ = a = 110 ª por ser alternos externos c) Por ultimo, el ángulo β = l = 70 ª , por ser opuestos por el vértice.

18. CALCULO DE AREAS Ejemplo: Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que la circunferencia tiene radio de 4 cm .

El área de la zona sombreada es: A = π . R2 A = π . 42 A = 16 π

77

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

El área de la zona rayada representa la mitad de toda la superficie del circulo, por lo tanto, el área buscada es  16π  A=  = 8π  2  Ejemplo: Dado un circulo inscrito en un cuadrado de lado 1 cm. Determinar el área sombreada de la figura; si el radio del círculo es 1 2

El área sombreada es igual al área del cuadrado menos el área del círculo.

Área del cuadrado: A = l 2 = (1 cm.) 2 = 1cm 2 Área del círculo: 2

1 1 A = πr 2 = π   = π 4 2

Área de zona sombreada:

78

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

1 3π A = 1− π = 4 4

Ejemplo: Un cuadro ABCD se divide en 4 partes iguales. Calcular el área sombreada del cuadrado ABCD, cuya diagonal es igual a 8 cm. A

B

A

C

D

El área del cuadrado es:

A1 = α 2

α α

El lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras: ℘2 = α 2 + α 2 ℘2 = 2 α 2 64 α2 = 2

79

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Luego: A1 = (4 2 ) 2 = 32 cm 2 El área de la región sombreada será: A=

3 96 x 32 = = 24 4 4

cm 2

MODELO DE PREGUNTAS En esta sección, se presenta un grupo de preguntas relacionadas con las diferentes partes que componen la Prueba de Admisión Interna de FACES, esto con el objeto de que el aspirante se vaya familiarizando con el estilo de las preguntas, y de esta forma pueda prepararse adecuadamente para su presentación. Es muy importante que una vez inscrito para presentar la prueba, comience a repasar los conocimientos relacionados con los temas indicados en este folleto como contenidos básicos a ser evaluados, en las áreas de Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Para el día de la presentación de la prueba, debe tener en cuanta algunos puntos importantes: 1. Debe leer bien el enunciado de la pregunta. Verifique que entiende qué es exactamente lo que le están preguntando.

80

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

2. No debe insistir mucho tiempo en responder preguntas que le resulten complicadas. Debe seguir, y contestar aquellas que le sean más sencillas. Es mucho mejor responder cinco (5) preguntas fáciles que una (1) difícil. Luego si el tiempo se lo permite, regrese a las preguntas que haya dejado de responder. 3. Siempre que sea necesario, debe ayudarse con dibujos o gráficos en el mismo examen (en el folleto de preguntas, no en la hoja de respuestas): Ello será muy útil en preguntas que involucren relaciones espaciales, Geometría o Trigonometría. 4. Finalmente, debe tener en cuenta algo muy importante: No conteste al azar, ya que ello disminuye su puntuación. Si tiene duda en la respuesta, debe dejarla en blanco. EJEMPLOS EN EL AREA DE MATEMATICA A continuación se le presentan una serie de preguntas. Seleccione la respuesta correcta, entre las cinco alternativas. 1. El resultado de la siguiente operación

2 1 1 − − 3  2 4 

es: 2 5 2 b) − 5 7 c) − 12

a)

81

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

5 12 5 e) − 12 La alternativa correcta es la (d)

d)

2. Al efectuar la siguiente multiplicación de factores ( y − 8)( y + 8) el resultado es: a) y 2 b) y 2 c) y 2 d) y 2 e)

+ 64 − 64 − 8 x − 16 − 8 x + 16

y 2 − 8 x − 64

La alternativa correcta es la (b) 3. La expresión

a) b) c) d) e)

5 4 − es igual a: 4 5

5 10 1 5 4 3 1 10

La alternativa correcta es la (a)

82

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

4. Si f ( x) = 3x , el valor de f (2) es igual a: a) b) c) d) e)

2 3 8 9 6

La alternativa correcta es la (d) 1 ¿Para qué valores racionales de x +1 x , f ( x) no es un número racional?:

5. Si f ( x) =

a) 1 b) 2 c) − 1 d) − 2 e) 0 La alternativa correcta es la (c) 6. Al simplificar la fracción

1 1 1− x

resulta:

x −1 2 1− x b) x 1− x c) 2− x

a)

83

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

x 1− x x e) x −1 La alternativa correcta es la (e)

d)

7. Si

x− y = 1 y x = 4 entonces el valor de y es: x+5

a) − 5 b) 1 0 c) d) 2 e) 4 La alternativa correcta es la (a) ( x − 3)( x − 2) (2 x − 6)( x − 4) + = 0 , entonces x es ( x − 2) ( x − 4) igual a:

8. Si

a) b) c) d) e)

0 2 1 4 3

La alternativa correcta es la (e) 9. El resultado de la suma − (20 − 18) + (16 − 14) + (12 − 10) + (8 − 6) − (4 − 2) es: a) − 2 84

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

b) − 10 c) 0 d) 10 e) 2 La alternativa correcta es la (e)

10. Al racionalizar el denominador de la fracción 3− 2 2 + 3 el resultado es: a) − 5 + 2 6 b) 5 − 6 2 c) − 5 − 2 6 d) 5 − 2 6 e) 5 + 2 6 La alternativa correcta es la (d) EJEMPLOS SOBRE HABILIDAD VERBAL PRIMERA PARTE: AMPLITUD DE VOCABULARIO La utilización de preguntas como las que se presentan en las partes I y II, pretenden apreciar la amplitud de vocabulario del aspirante. Para ello, debe evidenciar precisión en el uso del vocabulario mediante la selección de expresiones análogas u opuestas.

85

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Similitud entre Palabras A continuación, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella cuyo significado sea similar al de la palabra base. 1. Obvio es similar a: a) fácil b) viable c) evidente d) subjetivo e) preciso La alternativa correcta es la (c) 2. Carnada es similar a: a) ardid b) pretexto c) señuelo d) artificio e) estrategia La alternativa correcta es la (c) 3. Extenso es similar a: a) largo b) ancho c) despejado d) vasto e) infinito La alternativa correcta es la (d) 4. Polémica es similar a: a) contraposición 86

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

b) c) d) e)

controversia contraataque contradicci贸n contrase帽a

La alternativa correcta es la (b) 5. Sosiego es similar a: a) paz b) paciencia c) tolerancia d) descanso e) tranquilidad La alternativa correcta es la (e) Antagonismo entre Palabras A continuaci贸n, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella palabra cuyo significado sea opuesto al de la palabra base. 6. Incapaz es opuesto a: a) dispuesto b) inteligente c) competente d) estudioso e) diligente La alternativa correcta es la (c) 7. Inerme es opuesto a: a) armado b) diestro c) abastecido 87

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

d) experto e) equipado La alternativa correcta es la (a) 8. Arcaico es opuesto a: a) est茅tico b) precursor c) primitivo d) novedoso e) moderno La alternativa correcta es la (e) 9. Discordia es opuesto a: a) pacto b) arreglo c) unidad d) consenso e) acuerdo La alternativa correcta es la (e) 10. Exilio es opuesto a: a) refugio b) albergue c) asilo d) destierro e) embajada La alternativa correcta es la (c) Relaci贸n entre Pares de Palabras

88

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

En esta parte se evalúa la habilidad para identificar la relación que une un par de palabras. Normalmente el tipo de relación que se establece puede ser: •

Similitud, cuando los pares de palabras están relacionados por el significado entre las parejas de palabras. Por ejemplo:

11. Amar es a querer como: a) Comunicar es a manifestar b) Creer a dudar c) Nominar es a votar d) Difundir es a divulgar e) Ganar es a perder La respuesta correcta es la (d) •

Oposición, cuando los pares de palabras se encuentran relacionados por lo opuesto que son ambas parejas. Por ejemplo:

12. Guerra es a paz, como: a) lado es a cuadrado b) luna es anoche c) noche es a día d) cuerda es a arco e) hoy es a presente La respuesta es la alternativa (c). • Parte a Todo, cuando en la relación, la primera palabra es un aspecto, una parte de lo que se menciona en la segunda palabra. Por ejemplo: 89

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

13. País es a continente, como a) tierra a mar b) mano es a cuerpo c) madre es a hija d) brillar es a relucir e) mentira es a verdad La alternativa (b) es la correcta • Todo a Parte, es lo inverso a la relación anterior, la primera palabra es la que engloba a la segunda. Por ejemplo: 14. Continente es a país, como: a) escalera es a elevador b) actualidad es a contemporaneidad c) género es a número d) relativo es a absoluto e) cuerpo es a mano La respuesta es la alternativa (e) • Causa-Efecto, cuando la relación que se tiene entre los pares de palabras, establece una implicación de una con otra, sea que la primera es causa de la segunda o viceversa. Ejemplo: 15. Infección es a fiebre, como: a) campeonato es a atleta b) guerra es a destrucción c) locura es a cordura d) reloj es a orden e) rutina es a caos 90

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

La alternativa correcta es la (b) A continuación se presenta un par de palabras relacionadas, seguidas de cinco pares de palabras. Seleccione la alternativa que expresa mejor una relación semejante a la que se da en el par de palabras que sirve de base. 15. Matrimonio es a unión como: a) Viudez es a soledad b) Soltería es a libertad c) Divorcio es a separación d) Casamiento es a enlace e) Noviazgo es a ilusión La alternativa correcta es la (d) 16. Perro es a fidelidad como: a) Mariposa es a esplendor b) Zorro es a astucia c) Tigre es ferocidad d) Gallo es a colorido e) Ave es a candor La alternativa correcta es la (b) 17. Vestido es a abrigo como: a) Dinero es a ostentación b) Visita es a emoción c) Mueble es a reposo d) Camino es a comunicación e) Casa es a protección La alternativa correcta es la (e) 91

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

18. Subalterno es a Jefe como: a) b) c) d) e)

Esclavo Comerciante Obrero Dirigente Empleado

es a siervo es a empresario es a patrón es a oficinista es a principal

La alternativa correcta es la (c) 19. Fuego es a Ceniza como: a) Terremoto es a escombro b) Erosión es a lluvia c) Inundación es a lluvia d) Huracán es a viento e) Tornado es a nube La alternativa correcta es la (a) Uso de Palabras en Contexto Esta parte mide la habilidad de seleccionar palabras que sustituyan otras, que están subrayadas, sin que se cambie el sentido del texto. Tácticas para responder este tipo de preguntas: a) No debe elegir ninguna alternativa que cambie el sentido original del texto. b) Verifique que el par de palabras concuerde perfectamente con las dos que se sustituyen. c) Si desconoce el significado de la palabra subrayada trate de descubrir si por el contexto en que se encuentra puede deducirlo. 92

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

d) Recuerde que no debe contestar por tanteo, porque las respuestas incorrectas disminuyen la puntuación. Si no está seguro o no conoce la respuesta, lo mejor es dejarla en blanco. Cada una de las siguientes oraciones tiene una o más palabras subrayadas. Seleccione de las cinco alternativas, aquella cuya sustitución no altere el sentido de la oración. 20. En las economías de mercado, la propaganda tiene como finalidad introducir los productos que se anuncian: a) destino b) objetivo c) sentido d) centro e) hito La alternativa correcta es la (b) 21. Los recursos naturales deben ser administrados con prudencia. a) manejados-cautela b) tutelados-cordura c) repartidos-mesura d) organizados-discernimiento e) otorgados-circunspección La alternativa correcta es la (a) 22. La práctica de un gobierno está fundada en los principios y éstos en teorías: a) acción b) costumbre 93

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

c) rutina d) facilidad e) consciencia La alternativa correcta es la (a) 23. En el ámbito universitario los estudios de arqueología son muy recientes. a) espacio-modernos b) contorno-frescos c) ambiente-nuevos d) círculo-originales e) recinto-desconocidos La alternativa correcta es la (c) 24. El Deporte se ha convertido en un elemento esencial de la cultura humana. a) mudado-importante b) trocado-notable c) mutado-destacado d) cambiado-trascendente e) transformado-indispensable La alternativa correcta es la (e) SEGUNDA PARTE: COMPRENSION LECTORA Esta parte mide la habilidad para captar tanto el sentido explícitamente anotado en el texto, como el sentido implícito. En el primer caso, se trata de identificar las ideas principales y secundarias que aparecen en el texto. En el segundo caso, se debe ser capaz de “ver” a través de la lectura, qué idea nos está tratando de trasmitir el autor, por ejemplo: sus sentimientos (amor, odio, disgusto), opinión 94

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

(favorable, desfavorable), estilo (romántico, prosaico), posición ante la vida o de los hechos (optimista, pesimista). En este tipo de prueba, se pueden hacer varios tipos de preguntas: a) Idea Principal, en este caso se preguntará....¿Cuál es el tema del texto? o también, de las siguientes alternativas, ¿cuál refleja mejor el contenido del párrafo en general (idea principal), no, a los detalles que se brindan? Generalmente, aunque no siempre, la idea principal está al comienzo, explícitamente anotada, pero igualmente puede estar a la mitad o al final del texto. b) Detalles del texto, en este caso, la pregunta se refiere explícitamente a aspectos que están en el párrafo, por ejemplo, preguntas como: “El autor considera que.........”; “Según la lectura, el número de casos............”, son ejemplos de esta categoría. • Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como “después de la lectura, se puede concluir que .......”; “La frase..............implica que el autor está de acuerdo con la teoría e la relatividad”. c) Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como: “después de la lectura, se puede 95

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

concluir que.........”; “la frase................implica que el autor está de acuerdo con la teoría de la relatividad”. Tácticas para responder este tipo de preguntas: Deben tomarse en consideración las siguientes recomendaciones: 1. Lea primero la pregunta y luego el texto, comenzando por el título del párrafo que puede estar al comienzo o al final en pequeñas letras. Esto normalmente le indica cuál es la materia que se trata en el mismo. El leer primero la pregunta le guiará en su lectura hacia la identificación de la idea principal. 2. Subraye aquello que considere importante para la comprensión de la idea principal. 3. Lea todas las alternativas de respuestas que se presentan. Aquí es importante que tome en cuenta que cuando la pregunta refiera aspectos del texto, no responda por lo que sabe, piense o sienta. ¡Cuidado! Siempre las preguntas se refieren al texto, al autor, a lo que está implícito, pero no a lo que usted sabe o piensa. 4. Como siempre, no asuma que encontró la respuesta antes de haber considerado las restantes. 5. Si tiene duda entre dos (2) respuestas, es mejor que la deje en blanco. 6. Traten de leer lo más rápidamente que pueda, sin que ello implique que pierda la capacidad de comprensión. Si ello sucediese, disminuya la velocidad de la lectura. 96

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

A continuación se presentan algunos ejercicios para que practique lo antes mencionado. Para ello el interesado debe leer con mucha atención y detenimiento el trozo de lectura y posteriormente seleccionar la alternativa correcta entre las cinco (5) que se le presentan en las diferentes preguntas alusivas al contenido de la lectura. EJEMPLO UNO Aunque la ciencia moderna sólo existe desde hace unos pocos cientos de años, casi no hay un solo aspecto de la vida cotidiana, en el mundo occidental, que no haya sido transformado por ella. La aplicación del conocimiento científico ha dado como resultado la introducción de adelantos en la agricultura, en las comunicaciones y en los transportes, en la salud y la higiene y en nuestro nivel de vida en general. La domesticación de la potencia del vapor y el agua para poner en funcionamiento nuestras maquinarias, y la desviación de cursos de aguas para convertir desiertos en viñedos son solamente dos ejemplos de los usos benéficos de la ciencia como instrumento para el mejoramiento de un medio hostil. Claro que algunos resultados prácticos de la ciencia no son tan alegres. El enorme aumento del poder destructivo de las armas ha hecho que la amenaza de la guerra se convierta en una amenaza para la civilización misma. Sin embargo, a pesar de estos aspectos infortunados de las conquistas científicas, en conjunto, el desarrollo de la ciencia y sus aplicaciones han sido beneficiosos para la humanidad. 97

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Por terribles que sean los estragos de las explosiones atómicas, el sacrificio de vidas humanas que implican, parece ser mucho menor que el de las grandes plagas que antiguamente se esparcía en Europa y diezmaba su población. Estas plagas han sido completamente extirpadas por la moderna ciencia médica. El valor práctico de la ciencia reside en la ida más fácil y más pletórica que han posibilitado los avances tecnológicos basados en el conocimiento científico. Pero su aspecto práctico no es el único valor de la ciencia. La ciencia es conocimiento y como tal un fin en sí mismo. Las leyes y los principios descubiertos por la investigación científica tienen un valor intrínseco, independiente de toda estrecha utilidad que puedan poseer. Este valor intrínseco reside en la satisfacción de la curiosidad, en la realización del deseo de conocer. Se ha reconocido desde hace mucho tiempo que Aristóteles escribió: “...aprender algo es el más grande de los placeres, no solamente para el filósofo, sino también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para ello..”. Si consultamos a uno de los más distinguidos científicos contemporáneos, Albert Einstein, éste nos dice: “Existe una pasión por la comprensión como existe una pasión por la música. Esta pasión es común en los niños, pero la mayoría de la gente la pierde posteriormente. Sin esta pasión no hubiera habido matemática, no ciencia natural”. El conocimiento científico no solamente da al que lo posee el poder de satisfacer sus diversas 98

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

necesidades prácticas, sino que es también, en sí mismo la satisfacción directa de un deseo particular, el deseo de saber. (Copi, Inrving M. Introducción a la Lógica. Editorial EUDEBA, 171, PP. 368369)

1. Según el contenido del fragmento, el tema central lo constituye: a) El confort como consecuencia del auge tecnológico b) El poder de la tecnología c) La ciencia y su valor en sí misma d) Los avances tecnológicos e) La satisfacción de dominar la naturaleza La alternativa correcta es la (c) 2. Para el autor, el valor intrínseco de las leyes y principios descubiertos por la investigación científica radica en: a) Su aspecto teórico b) La formulación de nuevas teorías científicas c) El exterminio de epidemias en el mundo d) El aumento del poder del hombre e) La satisfacción de dominar la naturaleza La alternativa correcta es la (b) 3. Según ese expresa en el texto, el valor utilitario de la ciencia reside en su: a) Naturaleza b) Sabiduría c) Aplicación d) Experimentación e) Desarrollo

99

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

La alternativa correcta es la (c) 4. El autor considera que el conocimiento científica satisface al hombre como: a) Realización colectiva b) Placer de descubrir c) Deseo de transcendencia d) Manifestación de su ego e) Expresión de la tradición La alternativa correcta es la (b) 5. Según el autor, el confort que ha logrado el hombre moderno se debe al: a) Conocimiento científico b) Conocimiento práctico c) Desarrollo de la medicina d) Pragmatismo del individuo e) Conocimiento de sí mismo La alternativa correcta es la (a) EJEMPLO DOS La burocracia está todavía en los negocios, a pesar de más de una década de esfuerzos de privatización y un consenso creciente de que los gobiernos manejan la economía no tan bien como en el sector privado en una multitud de actividades. El reporte de un grupo de investigadores del Banco Mundial concluye que aunque se hable mucho de privatización, aún en la mayoría de los países de bajos ingresos y en vías de desarrollo, las 100

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

empresas estatales son tan importantes como hace 20 años. El estudio, además de mostrar los efectos sociales negativos de las empresas estatales en casi todo el mundo, analiza las estrategias eficientes para privatizar y señala errores en las privatizaciones. La mayor reducción de las empresas estatales , según el estudio, se ha dado en los países industrializados, en los ex-socialistas y en algunos de mediano ingresos. Los países con menores ingresos, los más pobres siguen con un enorme sector empresarial manejado por la burocracia, lo que se convierte en un obstáculo para salir de la miseria. Es estudio muestra una relación entre mayor pobreza y una mayor carga de paraestatales. A pesar de una multitud de datos objetivos sobre la ineficiencia y daños socioeconómicos causados por las empresas propiedad de los gobiernos, por diversas circunstancias en muchos países todavía tienen gran importancia. Parece que importantes grupos de presión política, escudándose en manipulados conceptos de nacionalismo y soberanía, sabotean los procesos de privatización que, como demuestra el Banco Mundial, son hasta ahora más ruido que realidad en la mayoría de los países pobres y subdesarrollados. (PAZOS, Luis, Revista Visión. Diciembre de 1996. Vol. 87. Nº 11, p.25)

6. El tema central del artículo es: a) Las empresas del gobierno b) La privatización 101

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

c) El Banco Mundial d) Los países más pobres e) Los países subdesarrollados La alternativa correcta es la (b) 7. La privatización se ha dado en mayor grado: a) En los países más pobres b) Países con grupos con presión política c) Países industrializados y exsocialistas d) Grupos con altos conceptos de nacionalismo e) Los países con bajos ingresos La alternativa correcta es la (c) 8. La burocracia, según el artículo, está presente en: a) Los países desarrollados b) Las empresas de negocios c) Las empresas estatales d) Los países con altos ingresos e) Los países totalitarios La alternativa correcta es la (b) EJEMPLOS DE HABILIDAD NUMERICA 1. La suma de dos números impares distintos, mayores que 7 y menores que 12 es: a) b) c) d) e) 102

15 21 14 20 22

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

La alternativa correcta es la (d). 2. Una empresa vendió 800 artículos durante 1996. En 1997 duplicó la venta, y en 1998 vendió la mitad del total vendido en los años 1996 y 1997 . Entonces el promedio de venta durante los tres años fue: a) b) c) d) e)

1600 1200 800 3600 2400

La respuesta es la alternativa (b) 3. Juan dispone de 4 horas para recreación, utiliza 1 5 del tiempo para juegos y el resto lo dedica a oír música ¿Cuánto tiempo, en minutos, dedica a oír música?. a) 20 b) 102 c) 48 d) 27 e) 192 La alternativa correcta es la (e) 4. Si el cuadrado de un número positivo menos su doble es igual a 0 , entonces el número es igual a:

103

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4

La respuesta es la alternativa (b) 5. Una persona lleva al Banco tres cheques para depositarlos en su cuenta, si se sabe que: el 1ro y el 2do suman Bs. 35.000 ; el 2do y el 3ro suman Bs. 30.000 y el 1ro y el 3ro suman Bs. 15.000 ¿Cúal era el monto del primer cheque? a) b) c) d) e)

10.000 12.000 15.000 20.000 13.000

La alternativa correcta es la (a) 6. En una lámina de metal se corta un trozo que representa el 40 % de toda la lámina. Si el pedazo no cortado pesa 36,3 Kg entonces el peso del trozo cortado es: a) 24,2 Kg . b) 36.3 Kg . c) 60,5 Kg . d) 40,6 Kg . e) 16,10 Kg La alternativa correcta es la (a) 104

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

7. En una tienda se ofrece un descuento del 25% . Si al comprar un artículo se ahorra Bs. 21 , entonces el costo original del artículo es de bolívares: a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 84 La alternativa correcta es la (e) 8. Una docena de naranjas cuesta 192 bolívares y una docena de mandarinas cuesta 96 bolívares. Si Carlos compra 4 naranjas y 3 mandarinas y paga con un billete de cien bolívares ¿Cuánto es el vuelto que recibe? a) b) c) d) e)

16 12 8 18 22

La alternativa correcta es la (b) 9. Si X es promedio de cuatro números enteros y cada uno de éstos aumenta en una unidad, entonces el nuevo promedio es: a) x b) x +1 c) x −1 x+4 d) 105

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

e)

x+2

La alternativa correcta es la (b) 10. Si el cuadrado de un número positivo menos su doble más uno es igual a cero, entonces el número es igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 La alternativa correcta es la (b) 11. Un comerciante compró cierto número de artículos y el precio de cada artículo era la cuarta parte del número de artículos comprados. Si pagó un total de Bs. 40.000 el número de artículos comprados fue: a) 20 b) 10 c) 400 d) 200 e) 100 La alternativa correcta es la (c)

106

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

BIBLIOGRAFIA Curso Propedéutico FACES. Matemática Básica. Tríptico informativo de la Escuela de Economía. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo Alvarado Carlos; Asunción Hilda Saer; Font Ivonne; Mostafá Mirella. Folleto Informativo de la Prueba de Admisión Interna. Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo.Valencia. 1997 Navarro E. Problemario de Análisis y Geometría Analítica. Caracas, 1992 Revista de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Oficina de Planificación, 1999

107

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

ANEXOS

108

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

109

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

Ediciones de la Facultad de Ciencias Econ贸micas y Sociales de la Universidad de Carabobo Marzo 2005 8.000 ejemplares

110


Conocimientos Basicos Para Ingresar a FACES