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GAF-209-V1 20-01-2012 1 de 26

PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

ESTUDIANTE

GRUPO

MEDIADOR PERIODO

IV

JULIO ORTEGA DÍAZ Sept.- Nov. DURACIÓN de 2012

ASIGNATURA

Matemáticas y Geometría

No

AREA:

Matemáticas

PROPÓSITO DEL ÁREA

Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales

META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO

Resolver problemas donde utilice las operaciones con expresiones algebraicas, ecuaciones lineales y Concepto de la geometría plana en el conjunto de los números reales.

META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO

Utilizar las operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias de primer grado, áreas y Volumen de sólidos geométricos en la solución de problemas.

¿Cómo utilizar las operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias de primer grado, áreas y volumen de sólidos geométricos en la solución de problemas?

TÓPICO GENERADOR

1. Mínimo

CONTENIDOS

común

múltiplo

de

fracciones

algebraicas. 2. Operaciones con fracciones algebraicas. 3. Solución de

ecuaciones fraccionarias

de

primer grado. 4. Áreas y volumen de sólidos

METAS DE PERIODO

COMPRENSIÓN

DEL

1. Comprender el procedimiento para hallar el M.C.M de expresiones algebraicas 2. Comprender como operar con

fracciones

algebraicas. 3. Comprender la solución de

ecuaciones

fraccionarias de primer grado. 4. Comprender el cálculo de área y volumen de sólidos.


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES COMPETENCIA ESTÁNDAR . Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Modela situaciones de variación con funciones polinómicas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán talleres predeterminado relacionado con las operaciones con fracciones algebraicas, y solución de ecuaciones fraccionarias. Verificación: Con base en los contenidos de proporcionalidad directa e inversa se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.

FECHA

VALORACIÓN CONTINUA

Semanas 1-3

Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio

Semanas 4-7

Semana 8

Revisión del docente

taller por parte del

Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo

Semana 9 Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico del estudiante durante el período.

NIVELES DE META

SUPERIOR

ALTO

BÁSICO

Utiliza las operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias, áreas y volumen en la solución de problemas más complejos.

Utiliza las operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias de primer grado, áreas y Volumen de sólidos geométricos en la solución de problemas.

Describe el procedimiento para resolver problemas utilizando las operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias, áreas y volumen de sólidos geométricos.

BAJO

Se le dificulta comprender el procedimiento para resolver operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones fraccionarias, áreas y volumen de sólidos geométricos.


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RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO) 

Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.

Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar las actividades sugeridas en el módulo de estudio.

Utilización del video bean para la proyección de videos y animaciones.

INTRODUCCIÓN Un fabricante de baldosas quiere saber si puede usar baldosas que tengan la forma de cualquier polígono regular para cubrir un piso, de tal manera que queden espacios entre una y otra y que no sea necesario cortarlas para que encajen. Él recuerda que para hallar la medida de cada ángulo interno de un polígono

180(n  2) , donde n es el número de lados del polígono. Al unir las n

regular debe usar la formula

baldosas, las medidas de los ángulos en el punto central deben sumar 360 grados. ¿Por qué? ¿Cuales polígonos pueden usarse? Al unir K baldosas, la suma de las medidas de los ángulos debe ser 360 grados, es decir:

k 180n  2  360 n Despejando K obtenemos:

k

2n n2

Aquellos valores de n, para los que k es un entero diferente de cero, corresponden al número de lados del polígono regular que cumplirá con el propósito. La fracción

2n n  2 es una fracción algebraica o expresión racional. Expresiones como ésta resultan en

distintos problemas, como veremos más adelante. El manejo de este tipo de expresión es similar al de las fracciones numéricas. Se deben simplificar, de tal forma que el numerador

y el denominador no tengan factores comunes

diferentes de 1 o -1. Eso significa que debemos factorizar el numerador y el denominador para cancelar los factores comunes.

CONCEPTOS CLAVES 

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Fracciones algebraicas

Simplificación

Operaciones con fracciones algebraicas

Ecuaciones fraccionarias lineales de primer grado


PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

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MARCO TEÓRICO CONTENIDO Antes de entrar en detalle con cualquier definición o enseñanza, debemos tener claro que es una fracción algebraica. Esta definición se expreso en el primer modulo de este año y en el modulo anterior, aquí encontramos otra definición.

Una fracción algebraica no es más que el cociente entre dos expresiones algebraicas. Ejemplos de estas pueden ser: 

En estos ya se deben encontrar en capacidad de factorizar cualquier polinomio, siempre y cuando se pueda y además, simplificar cualquier fracción algebraica y calcular el mínimo común múltiplo de monomios y polinomios.

1. EL MINIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas. El mínimo común múltiplo lo simbolizaremos de la siguiente manera: M

1.1

INSTRUCCIONES PARA HALLAR EL M.C.M DE DOS O MAS MONOMIOS

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más monomios se halla el mínimo común múltiplo de los coeficientes y se multiplica por las variables que son comunes y no comunes en todos los monomios con su mayor exponente.

EJEMPLOS


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º 

Si queremos encontrar el M.C.M de:

Luego el M.C.M es

1.2

.

INSTRUCCIONES PARA HALLAR EL M.C.M DE DOS O MAS POLINOMIOS

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios, primero se descomponen los polinomios en sus factores primos. El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia con que aparecen en cada factorización

Calculemos el

de:

Ya sabemos que lo primero que se hace es factorizar las expresiones del numerador y denominador para simplificarlas si es posible. Las expresiones ya factorizada quedarían de la siguiente manera:

( El

es (

)(

)(

)( )

)

(

)(

)

(

)(

)


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EJERCICIO Calcular el mínimo común denominador de las siguientes fracciones algebraicas:

1

2

3

4

5

6

2. LAS OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS SON: SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION.

2.1 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Procedimiento para sumar fracciones algebraicas. Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos:    

Se simplifican las fracciones Se halla el mínimo común denominador ( .) Se divide el por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo Se expresa la suma de los productos obtenidos en el paso anterior en un sólo numerador


PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º   

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El denominador de la fracción resultante es el Se reducen los términos semejantes en el numerador Se simplifica

EJEMPLOS Simplificar las siguientes expresiones: 1. Solución: El

es

.

Dividimos el

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. y

(

y

(

) )

Por lo tanto,

2.

El

es

Dividimos el

Por lo tanto,

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. y

( )

y

( )


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EJERCICIO

Simplifica las siguientes expresiones, teniendo en cuenta el procedimiento anterior:

2.

1.

5.

6.

8.

9.

11.

3.

4.

7.

10

12.

Procedimiento para sumar fracciones algebraicas con denominadores compuestos. Para sumar fracciones algebraicas con denominadores compuestos se siguen los siguientes pasos:  Se factorizan los denominadores  Se halla el (mínimo común múltiplo de los denominadores)  Se divide el por cada denominador, y el resultado se multiplica por el numerador respectivo  La suma será una fracción cuyo numerador estará compuesto por la suma de los productos obtenidos en el paso anterior, y cuyo denominador es el  Se efectúan los productos indicados  Se reducen términos semejantes

EJEMPLOS Simplificar las siguientes expresiones: 1. Solución: (

) (

(

(

)

)( )(

) )

(

)(

)


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

2. Solución: (

) )(

( (

)(

( (

) ( )(

(

) ) )

(

)(

)

3. Solución:

(

)(

) ) )

(

)(

)

EJERCICIO Simplificar las siguientes expresiones:

1.

4.

7.

2.

5.

8.

3.

6.

(

)


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2.2 RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Procedimiento para restar fracciones algebraicas. Para restar fracciones se procede de la siguiente manera:       

Se simplifican las fracciones Se halla el mínimo común denominador ( .) Se divide el . por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo Se cambia de signo a los productos obtenidos en el paso anterior para la segunda y tercera fracciones y se suman al producto obtenido para la primera fracción El . es el denominador de la fracción resultante. Se reducen los términos semejantes en el numerador Se simplifica

EJEMPLOS Simplificar las siguientes expresiones:

1.

Solución: El

es

Dividimos el

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo.

y

(

)

y

(

)

Por lo tanto, (

2. El

es

)


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PDC MATEMรTICA Y GEOMETRIA 8ยบ Dividimos el

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo. ( )

y (

y y

)

(

)

Por lo tanto,

(

(

)

(

)

EJERCICIO

Simplificar las siguientes expresiones: 1.

2.

4

5.

3. 6.

)


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Procedimiento para restar fracciones algebraicas con denominadores compuestos Para restar fracciones se procede de la siguiente manera:       

Se simplifican las fracciones Se halla el mínimo común denominador ( ) Se divide el por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo Se cambia de signo a los productos obtenidos en el paso anterior para la segunda y tercera fracciones y se suman al producto obtenido para la primera fracción El . es el denominador de la fracción resultante. Se reducen los términos semejantes en el numerador Se simplifica

EJEMPLOS

Simplificar las siguientes expresiones: 1. De

restar

Solución:

El

es (

)(

Dividimos el

)

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo.

De tal manera que, (

) (

(

2.

(

)

(

)

)( )(

) )

(

)(

)


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Solución: Primero factorizamos las expresiones que sean posibles y simplificamos.

(

)

(

)(

)

(

)

Ahora calculamos el es (

El

)(

Dividimos el

)

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo.

(

)(

)

(

)(

(

)(

)

(

)

)

y ( y (

)(

)( ) )

De tal manera que, (

)

( (

( )( )(

) ) )

(

)( (

) )(

)

EJERCICIO Simplificar las siguientes expresiones: 1. 2. 3. 4. 5.


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2.3 SUMA Y RESTA COMBINADA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Procedimiento para realizar fracciones algebraicas   

 

sumas

y

restas

combinadas

de

Se halla el . (Antes recuerda factorizar los polinomios del denominador) Se divide el mínimo común denominador por cada denominador, y el resultado se multiplica por el numerador respectivo Los productos obtenidos en el paso anterior se dejan con el mismo signo si la fracción está precedida por el signo más y se cambia el signo de cada uno de los términos del producto si la fracción está precedida por el signo menos Se reducen los términos semejantes Se simplifica

EJEMPLOS Simplificar las siguientes expresiones:

1. Solución: Factorizamos las expresiones del denominador y simplificamos si es posible.

(

)

(

)

(

)(

)

Ahora calculamos el es (

El

)(

Dividimos el

)

por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo.

(

)(

)

(

)

y (

)( )

(

)(

)

(

)

y (

)( )

(

)(

)

(

)(

)

y ( )(

)


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Por lo tanto, (

)(

(

)(

(

)

)

)

2. Solución: El

(

es

Dividimos el

) por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador respectivo.

(

)

(

)

y (

)( )

(

)

(

) y

(

)( )

(

)

(

) y

(

)( )

(

)

De manera que,

( (

) )

(

)


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EJERCICIO

Simplifica las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.4

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Procedimiento para multiplicar fracciones algebraicas. 

Se factorizan las expresiones en los numeradores y denominadores

Se simplifica, cancelando los factores comunes en numeradores y denominadores

Se multiplican entre sí las expresiones ubicadas en los numeradores, el resultado será el numerador de la fracción producto; asimismo, se multiplican entre sí las expresiones escritas en los denominadores, este producto será el denominador de la fracción resultado


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PDC MATEMรTICA Y GEOMETRIA 8ยบ EJEMPLOS Simplificar las siguientes expresiones:

1.

Soluciรณn: (

)

(

)

2.

Soluciรณn:

(

)

(

)

3.

Soluciรณn:

(

)

( (

) )

( ( (

) ) )


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º 4.

Solución: ( (

) ) (

( ( )

) )

( (

) )

(

)

EJERCICIO Simplifica las siguientes expresiones: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

(

)

(

)

(

)


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2.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Procedimiento para dividir fracciones algebraicas. Para efectuar la división de fracciones se procede de la siguiente forma: 1. Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y, viceversa, el denominador se ubica en el numerador) y, se procede a multiplicar el dividendo por este divisor invertido 2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes: a) Se factorizan las expresiones b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores 3. Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; luego, para el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.

EJEMPLOS

Simplificar las siguientes expresiones:

1.

Solución: ( )

( (

) )


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º 2.

( ) (

)

(

)

EJERCICIO

Simplifica las siguientes expresiones: 5.

1.

2.

6.

3.

7.

4.

8.

3. ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO Procedimiento para solucionar denominadores monomios   

ecuaciones

fraccionarias

con

Se eliminan los denominadores multiplicando cada término de la ecuación por el (mínimo común denominador) Se efectúa una transposición de términos; los que contienen la se escriben en el miembro izquierdo, y los otros términos se escriben en el miembro derecho Se despeja la : reduciendo y dividiendo cada miembro por el coeficiente de .

Veamos los siguientes ejemplos donde empleemos el procedimiento descrito anteriormente.


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones: 1. Solución: El mínimo común denominador,

es

Multiplicamos todos los términos de la ecuación por el ( )

( )

( )

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

2. Solución: El mínimo común denominador,

es

Multiplicamos todos los términos de la ecuación por el

(

)

( )

(

)

( ) ( ( (

) ) )


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EJERCICIO Despeja la incógnita en cada una de las siguientes ecuaciones: 1.

(

2.

3.

4.

(

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

5.

(

)

6.

(

)(

7.

)

(

)

) (

)

(

)

(

)

)

Procedimiento para solucionar denominadores compuestos

ecuaciones

fraccionarias

con

Lo primero que debemos lograr es convertir las ecuaciones fraccionarias en sus equivalentes enteras, luego resolver la ecuación entera. Para lo cual procedemos de la siguiente manera: 

Hallamos el denominadores.

Multiplicamos cada miembro de la igualdad por el

Se simplifican cada uno de los términos, obteniendo de esta manera una ecuación entera, y equivalente a la primitiva

 

Los términos que tienen la incógnita x se escriben en el miembro izquierdo de la ecuación y, los términos independientes, en el derecho y, teniendo presente que cuando pasamos un término de un miembro a otro lo hacemos con signo cambiado

Se reducen los términos semejantes

Se simplifica

(mínimo común múltiplo de los denominadores). Si es preciso, se factorizan los


GAF-209-V1 20-01-2012 23 de 26

PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º Veamos los siguientes ejemplos donde empleemos el procedimiento descrito anteriormente. Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones:

1. Solución: Los denominadores son es (

El

y

)(

)

Multiplicamos cada término de la ecuación por el (

)(

)(

(

)( )

(

)

(

)( )

)(

)(

(

) )

(

)

(

)

(

)

(

)

2. Solución: Los denominadores son es (

El

(

y

)(

)(

)

)

Multiplicamos cada término de la ecuación por el (

)(

)(

(

)( )

)

(

)(

)( (

(

)(

)

)

)

(

)

(

)

(

)

3. Los denominadores, factorizados, son El

. es (

)(

,

)

Multiplicamos cada término de la ecuación por el

y(

)(

)


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

(

)(

)(

(

)( )

(

) )( )

(

)( ( )( )

)(

)

(

)(

(

)( (

)(

)

)

)

(

)

(

)

(

)

EJERCICIO Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones: 2.

1.

3

4.

4

6.

7.

8.

(

)

4. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES FRACCIONARIAS DE

PRIMER GRADO El procedimiento para plantear y solucionar una ecuación lineal, se describe en la última enseñanza del modulo 2, por lo tanto, pasaremos directamente, a la solución de problemas con ecuaciones fraccionarias.

1. Hallar el numero que disminuido en sus Solución: Digamos que:

equivale a su duplo disminuido en

.


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

Por lo tanto,

(

)

(

)

( (

) )

Respuesta: el número buscado es

2. Hallar el numero que aumentado en sus

equivale a su triplo disminuido en 14.

Solución: Digamos que:

Por lo tanto,

(

)

(

)

( ( Respuesta: el número buscado es 12

) )


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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º

EJERCICIO Plantea y soluciona los siguientes problemas: 1. ¿Que numero hay que restar de los

para que la diferencia equivalga a la mitad de

aumentada en

del numero que se resta?

2. ¿Cuál es el numero que tiene

de diferencia entre sus

3. El exceso de un numero sobre

y ?

equivale a la diferencia entre los

y

del numero. Hallar el

número. 4. La edad de B es los

de la de A, y si ambas edades se suman, la suma excede en 4 años al doble de

la edad de B. Hallar ambas edades. 5. A tiene $1 más que B. Si B gastara $8, tendría $4 menos que los

de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene

cada uno? 6. En tres días un hombre gano $175. Si cada día gano la mitad de lo que gano el día anterior, ¿Cuánto gano cada día? 7. Los

de las aves de una granja son palomas; los

del resto gallinas y las 4 aves restantes gallos.

¿Cuántas aves hay en la granja?

BIBLIOGRAFIA

BBBBBBBIBLIOGRAFÍA RFBLIOGRAFIA BIB BIBLIOGRAFÍA LIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA 8.

Baldor. Algebra. México, Ediciones y Publicaciones Preludio, 1996. Salgado Ramírez, Diana. Nuevas matemáticas 8º. Bogotá, Editorial Santillana, 2007. Díaz, Faberth. Nuevo Pensamiento Matemático 8º. Bogotá, Editorial Libros y Libros. Lozano Alvares, Jorge. Sigma 8º Matemáticas. Barcelona, Editorial Vicens Vives, 2004. Mesa Aldana, Martha. Símbolos 8º.Bogota, Editorial Voluntad, 2006. Fonseca Núñez, Luis. Matemáticas con Énfasis en Competencias 8º. Horizontes Editorial, 2001. Bautista Ballén, Mauricio. Algebra y Geometría 1. Bogotá Editorial Santillana, 2004


Modulo octavo cuarto periodo