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La matriz

Julius Donado Luisa Tovar Rudy Hernรกndez


¿Qué es una matriz? Es un arreglo rectangular con renglones (filas) y columnas que contienen números (entradas).

¿Para qué sirven? Las matrices sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o representar una aplicación lineal.

¿Cómo escribir una matriz? Se escribe con una letra mayúscula igualado al número de renglones y filas que contiene.

Donde:


Tamaño de una matriz Se escribe como el número de renglones por el número de filas. A contiene 2 renglones y 3 columnas.

Entradas de la matriz Son los números que se encuentran en una posición de la matriz donde intersecta un renglón y una columna.

Tipos de Matriz: Matriz Cuadrada Es una matriz que tiene el mismo número de renglones y columnas.


Matriz Diagonal Es una matriz cuadrada en la que todos sus nĂşmeros son ceros, excepto los que se encuentran en la diagonal.

Matriz Diagonal

Identidad

Es una matriz que tiene nĂşmeros iguales en su diagonal, y ceros en el resto.

Es una matriz escalar en donde el nĂşmero que se repite en la diagonal es 1.


Matriz Cero Es una matriz en donde todos sus n煤meros son ceros.

Igualdad de Matrices (I) Es cuando dos matrices tienen todos los n煤meros iguales en la misma posici贸n.

Operaciones con matrices Suma de matrices Para sumar dos matrices se suma cada entrada por la misma que se encuentra en la misma posici贸n en la otra matriz.


Multiplicaci贸n de un escalar por una matriz Para multiplicar un escalar por una matriz, se multiplica el escalar por cada n煤mero de la matriz.

Diferencia de Matrices Para restar dos matrices se resta cada entrada de la matriz por la misma entrada que se encuentra en la misma posici贸n de la otra matriz.


Diferencia de Matrices Para restar dos matrices se resta cada entrada de la matriz por la misma entrada que se encuentra en la misma posición de la otra matriz.

Producto de Matrices Para multiplicar dos matrices primero se debe verificar que la primera matriz tenga el mismo número de columnas que la segunda matriz tiene como renglones. Luego se haya el producto escalar del primer renglón de la primera matriz con la primera columna de la segunda matriz, luego el producto escalar del primer renglón de la primera matriz con la segunda columna de la segunda matriz, luego el segundo renglón de la primera matriz con la primera columna de la segunda matriz, y así sucesivamente. El producto escalar se haya multiplicando el primer número del renglón por el primero número de la columna más el segundo número del renglón por el segundo numero de la columna, y así sucesivamente.


Potencias de Matrices Cuando una matriz está elevada a la cero, es igual a la identidad de una matriz. Cuando una matriz esta elevada al cuadrado se realiza el producto de una matriz por sí mismo. Cuando una matriz está elevada al cubo se realiza el producto de la matriz al cuadrado por la misma matriz, y así sucesivamente mientras aumente la potencia.

Propiedades de la matriz Transpuesta de una matriz Es cuando se cambian los renglones por las columnas y viceversa.


Matriz SimĂŠtrica Es cuando la transpuesta de una matriz cuadrada es igual a la original.

Matriz Anti simĂŠtrica Es cuando la transpuesta de una matriz cuadrada tiene las entradas con los signos opuestos a la original.

Traza de una Matriz Es la suma de las entradas que se encuentran en la diagonal de una matriz.


Matriz Triangular Superior Es cuando todos los nĂşmeros debajo de la diagonal de una matriz son ceros.

Matriz Triangular Inferior Es cuando todos los nĂşmeros que se encuentran arriba de la diagonal de una matriz son ceros.

Matriz Inversa Es una matriz que al multiplicarla por otra matriz da como resultado una matriz identidad.


determinantes de una matriz para obtener las determinantes de una matriz se pueden usar diferentes mĂŠtodos. 1. MĂŠtodo de las diagonales Este mĂŠtodo consiste en copiar las primeras dos columnas de la matriz, a un lado de ella (o los primeros tres renglones debajo de ella), y luego realizar el producto escalar de las primeras tres diagonales (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha) menos el producto escalar de las tres diagonales que se encuentran de abajo hacia arriba (de izquierda a derecha).


2. Expansión de Laplace Este método consiste es escoger cualquier renglón o columna de una matriz para luego eliminarla. Luego se utiliza el método de las diagonales tapando una fila y luego la siguiente y así sucesivamente. El resultado de cada uno se multiplica por (1) o (-1) dependiendo si la suma de la fila que se eliminó es par o impar. Si es par es 1 positivo y si es impar es 1 negativo. Luego se suman el resultado de cada uno.


3. De forma Escalonada Este método consiste en llevar una matriz a su forma escalonada y luego realizar una multiplicación de los números que se encuentran en su diagonal. Este resultado se divide dentro de las propiedades que conlleva llevar una matriz a su forma escalonada.

Regla de Cramer Con este método se resuelven ecuaciones lineales utilizando determinantes. No se puede aplicar si el determinante de una matriz es cero. Para ello se escoge la variable que se quiere obtener y se copia la matriz original, pero en la columna donde iría esta variable, se colocan los número a los que esta igualado. Luego se saca la determinante de esa matriz y se divide dentro la determinante de la matriz original, sin los números a los que está igualado.


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Otros tipos de Matriz: Matriz Asociada

Matriz Adjunta Es la transpuesta de la matriz de cofactores. Para sacar la matriz de cofactores primero se tapa el renglón 1 y la columna 1 y el resultado se multiplica por (1) ya que 1 +1 es par por lo que es positivo. Luego se tapa el renglón 1 y la columna 2 y el resultado se multiplica por (-1) ya que 1 +2 es impar y así sucesivamente hasta obtener todos los cofactores. Cada resultado se coloca en una nueva matriz es la posición que ocupa dependiendo de que renglón y columna se tapó. Por ejemplo si se tapó el renglón 2 y la columna 1, el resultado ira en la posición del renglón 2 y columna 1.


Para reir:

m谩s informaci贸n en: http://www.youtube.com/watch?v=XfFB4afQgGU


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