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Orientaciones Metodológicas Actividad 4: “¿Pérdidas o ganacias?” Conceptos claves: Probabilidad, Casos favorables y casos posibles (Espacio muestral), Modelo de Laplace, Diagrama de árbol, Principio multiplicativo, Permutaciones sin repetición. Recurso: Material del estudiante, Laboratorio Básico de Azar, Probabilidades y Combinatoria. Descripción del recurso Material del estudiante: El estudiante contará con una guía de trabajo, la cual incitará, por medio de diversas preguntas, introducir el concepto de combinatoria. La actividad cuenta con tres momentos: 1. Momento de Inicio: se presenta una situación problemática al estudiante y un par de preguntas que introducirán el desarrollo central de la actividad. 2. Momento de desarrollo: el estudiante tiene cabida para explorar y conjeturar conclusiones a partir de mediaciones otorgadas por el material y el docente. El estudiante da los primeros pasos y los más importantes para la adaptación e identificación del concepto a aprender. 3. Momento de cierre: se formaliza el concepto abordado a partir de las conclusiones y mediaciones resultantes del momento anterior. El docente es el encargado de la formalización del concepto y de dar la relevancia pertinente de éste. Los estudiantes, dan indicios de la comprensión de éste a través de la resolución de problemas similares al planteado en la actividad, o la adaptación de éste bajo ciertas condiciones. Laboratorio Básico de Azar, Probabilidades y Combinatoria: Recurso multimedia, en forma de página web, formado por más de 50 aplicaciones o instrumentos interactivos, íntimamente interrelacionadas entre sí (por su contenido, sus procedimientos, su interfaz). Las aplicaciones están concebidas para abordar la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad a través de una metodología basada en la experimentación y simulación aleatorias desde un enfoque frecuentista. Predomina, por tanto, la simulación y análisis de experimentos aleatorios propuestos como situaciones-problema, apoyados en nociones estadísticas básicas y en conocimientos esenciales de combinatoria. El mencionado recurso se estructura en cuatro bloques:


1. Azar y probabilidad: diversas situaciones-juego, experimentos y problemas que se recrean mediante variadas aplicaciones en las que se puede experimentar e investigar. 2. Análisis de problemas: aplicaciones que permiten la simulación, previo análisis teórico, de situaciones problemáticas relevantes (loterías, quinielas...). 3. Combinatoria: aplicaciones que simulan retos que nos llevan a utilizar las técnicas de recuento. 4. Equipamiento experimental: simulación de diversos aparatos utilizados frecuentemente en los experimentos aleatorios (urnas, barajas, lanzamientos, etc). La actividad presente se enfoca en la utilización del bloque Combinatoria, específicamente en la sub-sección Calculadora y editora de Permutaciones, donde los estudiantes podrán obtener el valor de una permutación específica para un máximo de 8 elementos. El propósito de dicha utilización radica en el reconocimiento de la cantidad de elementos totales, y de aquellos que se repiten. Fundamento de la Actividad La actividad pretende introducir el concepto de permutaciones con repetición. Para esto se sustenta en la Estrategia de Enseñanza “Solución de problemas”, la cual permite, por medio de una situación problemática, adquirir un conocimiento, aprender a pensar y desarrollar habilidades cognitivas. Por lo tanto, la finalidad radica en que los alumnos generen su propio conocimiento a partir de la modelación de una situación conocida y atractiva para ellos. La actividad responde al contenido mínimo establecido por el Currículum de Matemática (2009) correspondiente a 1° medio, eje Datos y Azar y al OF “Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones”; de forma que los estudiantes estarán en condiciones de comprender y aplicar permutaciones con repetición para obtener la cardinalidad de espacios muestrales en experimentos aleatorios finitos. Para esto, la actividad supone que los estudiantes manejan y comprenden los siguientes conceptos:  Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Tradicionalmente se denota por Ω.  Suceso: Cualquier subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento.  y condiciones para la correcta aplicación del


 Probabilidad: Número al que tiende la frecuencia relativa asociada a un suceso, a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.  Modelo de Laplace (1): Sea Ω conjunto no vacío, Ω= , , …, tal que #Ω = n y A subconjunto de Ω tal que #A = m. Se define la probabilidad de A, se anota P(A), como:

=

=

=

Al par (Ω, P) se le conoce como Modelo de Probabilidades de Laplace, también llamado Modelo de Probabilidades Equiprobables. Este modelo representa la siguiente situación experimental:  Se tiene un experimento aleatorio, cuyo conjunto de resultados posibles es Ω, el cual es finito.  Cada resultado de Ω es igualmente probable (equiprobable).

 Diagrama de árbol (2): corresponde a una representación gráfica de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Para la construcción de un diagrama de árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, y cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación. En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).  Permutaciones: Llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles maneras posibles en que se pueden ordenar los elementos de dicho conjunto. Dado un conjunto finito de n elementos, el número total de permutaciones está dado por:

_____________________________________________________________________________________ (1) Definición (2) Definición

Modelo de Laplace, Saavedra (2005) Diagrama de árbol, Wikipedia (2012)


La importancia de la actividad se sustenta en otorgar una alternativa para superar las dificultades cognitivas de comprensión y aplicación del concepto abordado, presentes comúnmente en los estudiantes. Se pretende que, a partir de una secuencia lógica de preguntas que involucra la utilización de conceptos previos, los estudiantes logren la adaptación del nuevo concepto por medio del descubrimiento de regularidades y diferencias.

Momento de Inicio: “No importa quién salga…” Bajo la presentación de una situación problemática que requiere de una solución matemática, se pretende que los estudiantes logren identificar la información necesaria para avanzar al momento de desarrollo. Para el óptimo desarrollo de la actividad se entregan algunas recomendaciones: 

Para la completación de la oración se sugiere que el docente guíe a reconocer el modelo de Laplace como medio para resolver la problemática de la pregunta.

Es importante que los estudiantes logren reconocer que la diferencia con el experimento anterior es que hay dos bolitas que se repiten. Esto permite dar los primeros pasos a las condiciones que responden al concepto tratado en la actividad. Para esto, se recomienda poner atención a las respuestas dadas en la pregunta 1 de la presente sección.

Se recomienda que el docente permita trabajar solos en las preguntas 3 y 4. Los estudiantes saben determinar, a partir de diagramas, el espacio muestral y casos favorables correspondientes al experimento. Es importante que luego valide de forma colectiva las respuestas dadas.

Se recomienda dar los momentos requeridos para contestar las preguntas 6 y 7. Se sugiere, que el docente recuerde a los estudiantes que sus respuestas deben estar guiadas por el diagrama de árbol correspondiente.

En la sección “¿Qué dice la profesora?”, está orientada a que el docente valide las respuestas dadas por el estudiante. Se recomienda, entonces, que revise los casos en que las respuestas no coincidieron.


Momento de Desarrollo: “¿Qué haremos?” El problema planteado permite soluciones ligadas al concepto de permutaciones con repetición. Bajo estas características se pretende que los estudiantes logren determinar la forma de obtener la cardinalidad del espacio muestral, a través de la exploración e indicaciones realizadas por el docente. A continuación, se presentan algunas recomendaciones para el desarrollo de esta sección:

Es recomendable que esta actividad se realice a viva voz, por parte del profesor y concordancia con el proceso de asimilación de los alumnos. Realizando siempre retroalimentaciones de las conclusiones de los alumnos.

La pregunta 1, 2, 3 y 4 están destinadas a que los estudiantes utilicen conceptos que ya han aprendido para obtener la cardinalidad del correspondiente espacio muestral, y que luego comparen y ellos refuten la utilidad de ellos. Para esto, se recomienda guiar dichas preguntas de forma pasiva, y que los estudiantes logren los objetivos activamente.

Para la completación de la oración, se recomienda realizar de forma colectiva, de manera que no surjan dudas en los estudiantes, y si las hay el docente dedique el tiempo para resolverlas en el momento.

Para la pregunta 6 se sugiere incentivar a los estudiantes a relacionar las características del experimento con el espacio muestral. Es importante que el hecho de que hayan elementos repetidos en el experimentos condicionan la forma de obtener el espacio muestral.

Para las siguientes preguntas se recomienda que poner énfasis y atención en las respuestas dadas por lo estudiantes. Es importante que éstas sean validadas, y que en el caso en que surjan dudas y confusiones, se de algunos momentos para analizar y revisar lo realizado anteriormente de la presente sección.

Momento de Cierre: “Cuando no importa el orden…” El correcto desarrollo de las interrogantes en el momento de desarrollo, permite establecer las conclusiones necesarias para formalizar y significar el


concepto abordado. Durante este momento, el docente juega un papel protagónico, donde entregar la parte teórica del concepto. A continuación se presentan algunas recomendaciones para el desarrollo de esta sección: 

Se recomienda realizar el desarrollo de esta sección en forma colectiva, y estar atento a las interrogantes de los estudiantes y dudas que surja.

En la secciones “Haz lo que profesora te indique”, se recomienda realizar los primeros indicios de los procedimientos del concepto tratado. Se sugiere que para la pregunta 13, el docente dé el espacio para que los estudiantes realicen un razonamiento similar al realizado por él.

Se recomienda que el docente, mientras realiza la formalización correspondiente, se asegure que los estudiantes comprenden sus explicaciones y pasos.

En la “Sección II: Apliquemos un poquito”, se presenta el momento de utilizar el recurso digital mencionado. Para el correcto uso de éste, se recomienda que el docente dedique algunos momentos para que los estudiantes familiaricen con él, y comprendan su comportamiento y las maneras en que debe ser utilizado. Para esto, el docente debe dar los primeros pasos en su utilización a través de un ejemplo, y luego otorgar el espacio para que los estudiantes lo conozcan.

En el inicio de esta sección, se presentan una serie de instrucciones, las cuales deben mencionarse con bastante énfasis y claridad a los estudiantes. Se debe instar a cumplir con cada de una de las pautas que indican las instrucciones.

Los ejercicios propuestos tienen como propósito aplicar el nuevo concepto aprendido. Para esto, se recomienda que el docente intervenga de forma prudente durante el desarrollo de estos. Se sugiere que los estudiantes trabajen solos o en grupos de no más de dos personas. Además, se sugiere que el docente atienda dudas pertinentes y valide los resultados y procedimientos realizados por los estudiantes.

El profesor debe apoyar el razonamiento de los estudiantes, orientándolos por los caminos más adecuados a seguir para la resolución de los ejercicios presentados. Es posible que todos los alumnos no tengan el mismo de ritmo, entonces el profesor debe estar atento al razonamiento de sus alumnos.


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Para los esquemas que deben plantear los alumnos es recomendable utilizar en una primera instancia el diagrama de ĂĄrbol, utilizando el recurso Diagrama de Ă rbol, para luego pasar al principio multiplicativo, visualizando todas las permutaciones posibles en el recurso digital.

Orientaciones Metodológicas: Actividad 4  

Orientaciones metodológicas para actividad 4