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第8章

功與能

8-1

功與能 鑑往知來,掌握趨勢

機械類 92~101 年度歷屆試題統計圖

同學們!由上圖可清楚知道本章擁有超強的實力,幾乎每年都考 2 題,絕不可輕忽。本 章的重點有功、功率的定義及單位 動能與位能 傳動軸所傳送之馬力數。每一單元 均相當重要,不可偏廢。

8-1

功與功率

一、功 所謂「功」係指施一力於物體上,能使物體沿著力的方向產生 位移 者,謂之作功 (Work)。常以 W 為符號,其大小為 力  位移 ,數學式為 W = FS ,此時 F、S 必須同一直線,若 F 與 S 不成一直線而成 角時,則須將力分解成沿 位移 方向的 S,一般寫成 W =FS ,如圖 8-1 所示。 力再將其與位移相乘,即 W =F

F x= F W=F S W = FS 圖 8-1

功的示意圖


8-2

第8章

功與能

功的單位在 MKS 制中,分為絕對單位與重力單位二種,在絕對單位中為 N ‧ m , 俗稱 焦耳(J) ,亦即用 1N 之力使物體沿力線方向產生 1m 的位移所作的功稱為 1J (Joule);而重力單位為 kgw ‧ m ,係指用 1kgw 之力使物體沿力線方向產生 1m 的位 移所作的功。二者的換算為 1kgw ‧ m = 9.8 J。在 SI 單位中,功的單位採用焦耳(J)。 功的其他單位詳如表 8-1 所示。 表 8-1

功的單位及換算

MKS 制

CGS 制

FPS 制

重力單位

kgw ‧ m

gw ‧ cm

bw ‧ ft

絕對單位

N ‧ m(焦耳 J)

dyne ‧ cm(爾格 erg)

poundal ‧ ft

  

1N ‧ m 俗稱 1 焦耳,以大寫的 J 為符號,為功與能量最常用之單 位。 1dyne ‧ cm 俗稱 1erg。 1J =10 7 erg(∵ 1N =10 5 dyne,1m =10 2 cm) 1kgw ‧ m = 9.8J

 

1gw ‧ cm = 980erg 1 bw ‧ ft = 32.2poundal ‧ ft

單 位 之 定 義 及 換 算

提言 留 醒板 您  ∵ W =FS ,亦即功的大小會隨著 F 與 S 的夾角 之大小而變化,較特殊的有下 列 3 種: 當 =0 , 0 = 1,故 W =FS,也就是說當力與位移同方向時,可產生最大的功, 即 W =FS。 當 =90 , 90 = 0,故 W = 0,也就是說當力與位移成 垂直 時,該力不作功, 即 W = 0。 180 =- 1,故 W =- FS,也就是說當力與位移方向相反時,該力作 當 = 180 , 負功 ,即 W =- FS。 

功雖有正負,但無方向,故功為

純量

而非向量,請牢記在心!

【註】「功」係為「力」與「位移」的內積,在數學上,二向量的內積為一純量。 功在 CGS 制的絕對單位中,其單位為爾格(erg),且 1J =10 7 erg。

 二、功率 前面所講的功是不考慮時間的因素,也就是說,不論您花多少時間做完同一工作,所 作的功便相等,但在現代化的社會一切講求效率,因此作功的效率,稱之為 功率 。功率 的定義——單位 Fv = T

時間

內所作的功。數學式為 P =

超級重要,一定要背。

W FS W ,此公式可延伸為 P = t = t = t


第8章

功與能

8-3

上式中 Fv 用於直線運動;T 用於圓周運動。當 F 以牛頓(N)為單位,v 以 m/sec 為單位,則 P 的單位為瓦特(W);當 T 以 N-m 為單位, 以 rad/sec 為單位,P 的單位一 樣為瓦特(W)。所謂 1 瓦特(Watt)係指每秒作(消耗)一焦耳的功,以大寫的 W 為符 號。在 SI 單位中,功率的單位採用瓦特(W),以前在機械上功率常用 馬力(HP) 為 單位,現在逐漸改以仟瓦(kW)為單位,其主要的換算詳如表 8-2,請弄清楚。 表 8-2

功率的單位及換算

MKS 制

CGS 制

FPS 制

重力單位

kgw ‧ m/sec

gw ‧ cm/sec

bw ‧ ft/sec

絕對單位

N ‧ m/sec(W)

dyne ‧ cm/sec

poundal ‧ ft/sec

單 位 之 定 義 及 換 算

  

1N ‧ m/sec = 1J/sec = 1Watt(瓦特,簡寫為 W) 1kW = 1000W 1kgw ‧ m/sec = 9.8Watt = 7.3 bw ‧ ft/sec

1HP = 75kgw ‧ m/sec = 550 bw ‧ ft/sec = 750W =

1kW =

3 kW 4

4 HP 3

特別說明 馬力是機械上常用的功率單位,可分為公制馬力(PS)及英制馬力(HP)二者,就定 義來說,二者略有不同,1HP =550 bw‧ft/sec,而 1PS = 75kgw ‧ m/sec,經過換算 1 英 制馬力(HP)應該等於 76.2kgw ‧ m/sec,故較公制馬力(PS)稍大。但二者的差距實在太 小了,詳如表 8-3。在表 8-3 中,1HP = 745W,1PS = 735W,但為了計算的方便,習慣上 我們均將 1 馬力視為 750W,且常以 HP 為符號,故 1HP = 75kgw ‧ m/sec =550 bw‧ft/sec 3 = 750Watt = kW,您就不用太計較了。 4 表 8-3

公、英制馬力之比較

符號

kgw ‧ m/sec

bw ‧ ft/sec

Watt

公制馬力

PS

75

542

735

英制馬力

HP

76.2

550

745

備註 1HP = 1.02PS

提言 留 醒板 您  

在 P =T 中,T 為扭矩,常用 N-m 或 kgw-m 為單位, 為角速度,常以 rad/sec 為單 位。 在日常生活中,我們的用電量是以所消耗的電能來計費的,一般以「度」為單位。1 度 電係指電功率為 1000W 的電器用品連續使用 1 個小時所消耗的能量。 故 1 度= 1kW-hr =3.610 6 J。


8-4

第8章

功與能

師講解 1

生練習 1

阿如是個可憐的小學生,背著重達 5 公斤的 書包走路去上學,若她家距離學校 1km, 且沒有坡度。到了學校還要爬上高 8m 的 3

國軍運動會中有負重賽跑之比賽,每人均 需扛 20 公斤之砂包跑 50m,莒光連隊的 「超人」以 8 秒鐘跑完全程,則超人的馬力

樓教室,試問阿如上學一趟對書包作功多 少焦耳? 解 :在走路到學校的過程中,因施力與位

為多少? 解 :∵ 負重賽跑之重量向下,而位移向 前,二者成 90

移成垂直,故不作功。阿如對書包所 作的功僅為從 1 樓爬上 3 樓,故

∴ W=0

W =FS

即 P = 0(HP)

=(59.8)8= 392(J)

師講解 2

生練習 2

以 20N 之水平力持續作用位於水平面上重 49N 物體,若不計摩擦,則 5 秒後該力對物

同老師講解 2,若將物體的重量改為原來的 2 倍,則該力對物體所作之功為原來的多少

體作功多少焦耳?功率為何? 解 :F = ma

倍? 解 :W 1= 249= 98(N)

20 =

49 a 9.8

a = 4(m/sec 2) S =v 0 t +

1 2 at 2

1 S =05 + 45 2 2 S = 50(m) W =FS=2050= 1000(J) P=

W 1000 = = 200(W) t 5

F = ma 20 =

98 a 1 9.8

a 1= 2(m/sec 2) S 1=

1 25 2= 25(m) 2

W 1= FS 1=2025= 500(J) 500 1 W1 = = W 1000 2


第8章

師講解 3

功與能

8-5

生練習 3

物體重 160N 置於水平地板上,若物體與地 板的 = 0.25,今施一與水平面成 53 角的 拉力 F,如下圖所示,如欲等速拖行 20m, 則 F 力需作功多少焦耳?

同老師講解 3,如將拉力改為推力,如下圖 所示,則 F 力需作功多少焦耳?

解 :∵ 物體作等速運動

解 :∵ 物體作等速運動

F x= 0

F x= 0

3 4 F - 0.25(160 - F)= 0 5 5

3 4 F - 0.25(160 + F)= 0 5 5

4 F = 40 5

F = 100(N)

F = 50(N) W =(50

3 )20 5

W =(100

3 )20 5

W = 1200(J)

W = 600(J)

師講解 4

生練習 4

欲將一重 100N 之物體等速拉上傾角為 30 1 , 之斜面,若斜面長為 10m,且 k = 3

如下圖所示,物體重 200N,置於動摩擦係 數為 0.25 的平面上,今施一平行於平面之 F 力,使該物體等速滑行 10m,試問 F 力對物

如下圖所示,問約需作功多少焦耳?

體作功多少焦耳?


第8章

8-6

功與能

解 :取物體的自由體圖,如下圖。

解 :∵ 等速滑行 ∴

F x= 0

F - 0.25200= 0 F = 50(N) W =FS=5010= 500(J)

f k=

k

N=

1 (50 3)= 50(N) 3

∵ 等速拉升 F x= 0

F - 50 - 50= 0 F = 100(N) W =FS W =10010 W = 1000(J)

師講解 5

生練習 5

有一起重機在 20 秒內等速吊升 750N 之重 物 20m,若不計所有損失,試求: 該起 重機的馬力為多少 HP? 合若干 kW?

解:

P=

W 75020 = t 20

P = 750(N ‧ m/sec)= 1(HP) P = 1(HP)=

類題 1

3 (kW) 4

有一 20 噸的吊車在建築工地上,將重 1200 公斤的鋼筋在 10 秒內等速吊高 25m,試 求: 該吊車的功率為多少 PS? 合多少 kW? 解:

P =Fv=1200

25 1  10 75

P = 40(PS) P =40

3 = 30(kW) 4

老陳體重 75 公斤,於 20 分鐘內攀登一高 120m 之山峰,試求老陳攀登此山的 平均馬力為 0.1 HP。

師講解 6 當汽車以 100 馬力作 72km/hr 之等速行駛 時,試求引擎施於汽車之向前推力為若干 kgw?

生練習 6 設有一跑車的最大馬力為 200HP,若引擎 施於汽車之向前推力為 2000N,則該跑車 的極速為若干 km/hr?


第8章

解 :v = 72km/hr = 20m/sec

8-7

解 :∵ P =Fv

P =Fv 100 =F20

功與能

∴ 200 = 2000v

1 75

1 750

v = 75(m/sec)= 270(km/hr)

F = 375(kgw)

類題 2

在設計汽車時,若汽車的速率能提高為 2 倍,且推力能提高為 2.5 倍,則其馬 力能提高為 5 倍。

8-2

動能與位能

什麼是能(Energy)呢?簡單的說:凡是有 作功 的本領者謂之能。比如說,水庫的 水在洩洪時可帶動發電機來發電,因此高水位的水便具有能。或者,滾動的保齡球可以把球 瓶擊倒,這也具有能。在機械力學中我們常見的能有動能及位能二種,因此我們將這二者合 稱為機械能。所謂動能係指運動中的物體所具有的能量;常以 E k(kinetic energy)為符號, 而位能係指物體因位置高低變化或彈性變形所具有的能量,因位置高低變化所具有的能量稱 為重力位能,常以 E p(potential energy)為符號;而因物體彈性變形所具有的能量稱為彈性 位能,常以 U 為符號。表 8-4 為機械能的分類及公式,如果大家都用 MKS 制去算,則所得 之能的單位均為焦耳(J)。 表 8-4

機 動

機械能的分類

重力位能 E k=

1 mv 2 2

E p= mgh = Wh (W 須以 N 為單位)

彈性位能 U=

1 kx 2(k 須以 N/m 為單位) 2

表 8-4 中的 E k 及 E p 的單位較沒問題,但彈性位能因彈簧常數 k 有 kgw/m、kgw/cm、 N/m 及 N/mm……等各種不同的單位而稍顯複雜,如果遇到 kgw/m 或 kgw/cm 您當然可以將 其化為 N/m,但這同時,變形量 x 亦需以 m 為單位,因此在計算時可能較麻煩些,故建議 您,根據題目所給 k 的單位,配合變形量的單位先以 kgw ‧ m 或 kgw ‧ cm 為 U 的單位, 再轉換成焦耳會比較容易些,詳如老師講解 3。表 8-5 係常見 k 的單位與彈性位能的關係。


8-8

第8章

功與能 表 8-5 k 的單位與彈性位能的關係

k

x

U

換算

N/m

m

N‧m

1N ‧ m = 1J

kgw/m

m

kgw ‧ m

1kgw ‧ m = 9.8J

kgw/cm

cm

kgw ‧ cm

1kgw ‧ cm =

1 kgw ‧ m 100

再換成焦耳 

功能互換: 當能量釋放出來便可作功,作功亦可轉換成能量儲存起來,因此功與能是可互相轉換 的。故功與能具有相同的單位,可用焦耳或 kgw ‧ m。

能量不滅定律:

運動中的物體,當沒有其他的能量介入,由 A 點移至 B 點時,在 A 點的總能量必等於 在 B 點的總能量,此謂之能量不滅定律,又稱為能量守恆原理。 機械能不滅定律: 在沒有其他能量介入的系統中,物體在 A 點所具有的機械能(含動能及位能)和在 B 點所具有的機械能相等,謂之機械能不滅定律,也稱為機械能守恆原理。此處並不考 慮摩擦等因素。

動量不滅定律: 動量為物體的質量與其運動速度的乘積,以 P 為符號,故 P = mv。當二物體有碰撞現 象發生時,其碰撞前的動量和=碰撞後的動量和,此稱為動量不滅定律。 能的損失: 在機械的運轉中難免會有摩擦的因素存在,因此輸出的功(能)與輸入的功(能)並 不相等,二者的差稱為能的損失。E 損失= E 入- E 出。 機械效率: 輸出的功(功率)與輸入的功(功率)的百分比,稱為機械效率,以 e 為符號,且 e 恆 < 1。如下式: e=

W出 P 100 %= 出 100 % W入 P入

提言 留 醒板 您   

能量的單位一般使用焦耳(J),但亦可用 kgw ‧ m 或 kgw ‧ cm,視題目去慎選合適 的單位,記得 1kgw ‧ m = 9.8J。 在 E p= Wh 式中,若 h 以 m 為單位,當 W 以 kgw 為單位時,則 E p 的單位為 kgw ‧ m。 用機械能不滅定律解題時,先將 A、B 二點的動能及位能(含彈性位能)均列出,再列 出 A 點的總能量= B 點的總能量之等式即可解題。真的非常好用。

機械效率 e 恆 1,然而機械利益 A 則不然,可 1。(複習一下,A =

動能與動量的關係為 E k=

P2 。 2m

W ) F


第8章

師講解 1

功與能

8-9

生練習 1

阿飛每天騎著單車上學,速度為 15km/hr, 今天早上因睡過頭而以 30km/hr 的速度飆車

職棒比賽所用的球其質量為 145g,今有一 主力投手,投出的球速達 144km/hr,試求

到 校,試 問 他 所 具 有 的 動 能 為 平 常 的 幾 倍?

此球具有之動能?

解 :∵ E k= 1 mv 2 2

解 :v = 144km/hr = 40m/sec

∴ 動能與速度平方成正比 設原動能為 E k,新動能為 E k1 E k1 v 30 4 = 12 = 2 = Ek v 15 1 2

2

E k=

1 mv 2 2

E k=

1 0.14540 2 2

= 116(J)

E k1= 4E k

師講解 2 石門水庫的洩洪口高出發電機組 50m,就 發電機組的高度而言,水庫洩洪口處 1m 3 的水量,蓄積多少位能? 解 :密度 d = 1g/cm 3= 1000kg/m 3 d=

機械二忠教室位於 4 樓,若每層樓高 4m, 在教室的講桌上放著一本 2cm 厚、重 10N 的「機 械 力 學 複 習 講 義」,若 講 桌 高 99cm,試求該講義 相對於教室地板 相 對於地面所具有之重力位能各為何? 解 : E p= Wh=10(0.99 + 0.01)

m v

1000 =

生練習 2

m 1

m = 1000(kg) E p= mgh = 10009.850

E p= 10(J) E p= Wh = 10(43 + 1) E p= 130(J)

E p= 4.910 5(J)

師講解 3

生練習 3

有一壓縮彈簧,施力 100N 可使彈簧縮短 0.5mm,則當彈簧被壓縮 20mm 時,此彈簧

有一拉伸彈簧,其彈簧常數為 40N/cm,今 施力使其伸長 10cm,求此時彈簧所具有之

蓄積了多少焦耳的能量? 解 :F =kx 100 =k0.5

彈性位能為若干焦耳?

k = 200(N/mm) U=

1 1 kx 2= 200(20)2 2 2

= 40000(N ‧ mm) = 40(N ‧ m)= 40(J)

解 :U = 1 kx 2= 1 4010 2 2 2 = 2000(N ‧ cm) = 20(N ‧ m) = 20(J)


第8章

8-10

功與能

師講解 4

生練習 4

A、B 二彈簧,B 彈簧的彈簧常數是 A 彈簧 的 2 倍,今施相同的 F 力作用,則 A 彈簧 的彈性位能是 B 彈簧的多少倍? 解 :設 A 彈簧的彈簧常數為 k 則 B 彈簧的彈簧常數為 2k ∵ F =k A x A= k Bx B ∴ kx A= 2kx B

焦耳? 解 :U = 1 kx 2 2

1 k(2x B)2 2 1 2k(x B)2 2

20 =

1 k(0.1)2 2

k = 4000(N/m) U 1=

x A= 2x B 1 k x 2 UA 2 A A = = UB 1 2 k x 2 B B

有一壓縮彈簧,當壓縮 10cm 時,需作功 20 焦耳,若欲再壓縮 10cm,則需再作功若干

1 4000(0.2)2= 80(J) 2

W =U 1- U= 80 - 20 = 60(J)

=2

師講解 5 質量 4kg 的物體以 10m/sec 的速度在一粗糙 的 地 面 運 動,滑 行 15m 後 速 度 變 為 5m/sec,試 求: 摩 擦 力 所 作 的 功? 物 體與地面之摩擦係數?(設 g = 10m/sec 2) 解:

Wf= Ek Wf=

1 1 45 2- 410 2 2 2

=- 150(J) 又 W f= fS - 150 = f15

生練習 5 一物體的重量為 20N,在動摩���係數為 0.5 的粗糙面上以 10m/sec 的速度滑動,試求滑 行 7.5m 後該物體的速度? (設 g = 10m/sec) 解 :【方法一】: 先求出因摩擦力所產生的加速度,再 求末速度。 f k=

k

N=0.520= 10(N)

- 10 =

20 a 10

f =- 10(N)(與運動方向相反)

a =- 5(m/sec 2)

10 = (410)

v 2= v 0 2+ 2aS

= 0.25

v 2= 10 2+ 2(- 5)7.5 v 2= 25 v = 5(m/sec) 【方法二】: 以能量不滅的觀念解題。 E k= W f 1 20 20 1  v 2-  10 2 2 10 2 10 =-(0.520)7.5 v 2= 25 v = 5(m/sec)


第8章

師講解 6

功與能

8-11

生練習 6 如下圖所示,有一球自離地面 10m 之光滑

育瑄重 50 公斤,去玩長 5m 之溜滑梯,若溜 滑梯之仰角為 37 ,人與溜滑梯之動摩擦係 數為 0.3,如下圖所示,求育瑄滑至地面時 之速率約為何?(設 g = 10m/sec 2, 37 3 = ) 5

曲 面,由 靜 止 開 始 下 滑,若 不 計 空 氣 阻 力,試求該球到達 B 點時之速度為何? (設 g = 10m/sec 2)

解 :f k= 0.3(50 4 )= 12(kgw) 5

解 :設球的質量為 m,根據機械能不滅定律

根據能量不滅定律

E pA+ E kA= E pB+ E kB

E p- W f = E k mg h -f k‧S =

1 mv 2 2

50103-(1210)5 =

1 50v 2 2

18 =

A 點的機械能= B 點的機械能 ∴ m1010+ 0 =m105+

1 mv 2 2

v = 10(m/sec)

1 v 2 2

v = 36= 6(m/sec)

師講解 7 老陳從合歡山要到清境農場遊玩,行駛在 中橫支線上,在下坡路段沿路每隔一段距 離 便 設 有 緊 急 煞 車 坡,坡 長 30m,坡 度 45 ,老 陳 以 72km/hr 行 駛,突 然 煞 車 失 靈,試問他能否死裡逃生?

生練習 7 同老師講解 6,當開車行駛在中橫支線上的 下坡路段時,最高車速約為多少 km/hr?


第8章

8-12

功與能

解 :若不考慮地面摩擦的因素,只要動能

解 :設車子的質量為 m

全部轉換為位能即可。

E k= E p

v = 72km/hr = 20m/sec

1 mv 2=m9.821.2 2

E k= E p 1 m20 2=m9.8h 2

v = 20.4(m/sec) v =20.43.6= 73.4(km/hr)

h = 20.4(m) 煞車坡的高度為 30

2 = 21.2(m) 2

∵ 20.4 < 21.2 故老陳可死裡逃生

師講解 8

生練習 8

如下圖所示,重 130N 之物體置於一斜面 上,以平行斜面 100N 之 P 力推之,使其沿 斜 面 上 升 13m,設 物 體 與 斜 面 之 P 力所作的功? 克 k= 0.25,試求: 服摩擦所需的功?

解:

如下圖所示,欲利用斜面將 100N 之重物等 速推上 12m 之高處,設物體與斜面之 k= 0.25,試求: P 力所作的功? 物體增加 的位能?

克服摩擦所需的功?

物體增加之動能?

W p= 10013= 1300(J) f k= 0.25(130

12 ) 13

= 30(N) W f= f kS=3013 = 390(J) 根據能量不滅定律 W p= E k+ E p+ W f

解:

∵ 等速推升 ∴

F x= 0(x 表沿斜面方向)

P - 100

3 4 - 0.25(100 )= 0 5 5

P = 80(N) 5 W p= 80(12 )= 1600(J) 3 E p= Wh = 10012= 1200(J)

5 1300 =E k+ 130(13 )+ 390 13

根據能量不滅定律

E k= 260(J)

1600 =1200 + W f

W p= E p+ W f W f= 400(J)


第8章

師講解 9

功與能

8-13

生練習 9

如下圖所示,物體的質量為 100kg,沿光滑 斜面下滑,當彈簧被壓縮 2cm 時,該物體的 速率為多少?(彈簧常數為 20kgw/cm,g = 10m/sec 2)

如下圖所示,質量 20kg 之物體,由靜止釋 放,順著 30 光滑斜面滑下 S 的距離,造成 彈簧最大變形量為 3cm。若彈簧常數 k = 40kgw/cm,則 S 應為多少 m?

解 :先以 kgw ‧ cm 為能量的單位 解 :均先以 kgw ‧ cm 為能量的單位 根據機械能不滅定律 E p= U + E k 100(2 + 8.8) =

30

1 202 2+ E k 2

U = Ep 1 403 2=20(S + 3) 2

30

18 = S + 3 S = 15(cm)= 0.15(m)

E k= 500(kgw‧cm)=5(kgw‧m)=50(J) 1 mv 2 2 1 50 = 100v 2 2 v = 1(m/sec) E k=

師講解 10

生練習 10

使用起重機將重 500N 的物體等速吊升 6m 需作功 4000 焦耳,試求: 能量的損失為

若 一 吊 車 之 輸 入 功 率 為 5kW,但 僅 能 將 800N 的物體以 5m/sec 的速度等速吊升,則

何? 此起重機之機械效率? 解 : W 出= 5006= 3000(J)

該吊車的機械效率為何? 解 :P 出= Fv=8005= 4000(W)

E 損失= W 入- W 出= 4000 - 3000 = 1000(J) 能量損失 1000 焦耳 e= =

W出 100 % W入 3000 100 %= 75 % 4000

該起重機的機械效率為 75 %

e= =

P出 100 % P入 4000 100 %= 80 % 5000

該吊車的機械效率為 80 %


第8章

8-14

功與能

類題 1

一球重 4N,自高 10m 之高樓自由落下,反彈後的高度只有 5m,則在此過程 中,因碰撞及空氣阻力所損失的能量為 20 焦耳。

類題 2

一起重機在 10 秒內可將 6kN 之物體吊升 4m,若該起重機的機械效率為 80 %, 則起重機的馬力數為 4 HP,合 3 kW。

8-3

轉動物體的功及能

物體會產生移動是因為有 力 的作用,若欲使物體產生轉動則必須施予 力矩 但對轉動中心固定的轉動軸而言,此種力矩一般稱為 扭矩 (或轉動力矩),以 T

, 為

符號。在牛頓運動定律中,物體受力的作用所產生的加速度與力成正比,與質量成反比,即 F = ma,此即為著名的牛頓第二運動定律。在此我們將它類化一下,物體受扭矩的作用所 產生的角加速度與扭矩成正比,與轉動慣量成反比,此為轉動定律,數學式為 T =I 。I 稱 為轉動慣量或質量慣性矩,為質量與迴轉半徑(k)平方的乘積,即 I =mk 2。不同形狀的物 體其迴轉半徑均不相同,在此並無意去討論,較常見的有 質點繞轉軸迴轉,其 k = r。 半徑為 r 的均質圓盤繞中心軸轉動,其 k =

1 r。T、I、 的單位如表 8-6 所示,請仔細選 2

擇。 表 8-6

   

T、I、 之單位

T

I

絕對單位

N-m

kg-m 2

rad/sec 2

重力單位

kgw-m

kgw-m-sec 2

rad/sec 2

另外有關轉動的其他公式均與移動相類似,類化如下列各式,請詳加對照。 F = ma T =I 1 1 E k= mv 2 E k= I 2 2 2 W =FS W = T P =Fv P =T

提言 留 醒板 您  

若 I 的單位用 kg-m 2,則 T 的單位必須為 N-m;反之,若 T 的單位為 N-m,則所求出之 I 的單位為 kg-m 2。 若 I 的單位用 kgw-m-sec 2,則 T 的單位必須為 kgw-m;反之,若 T 的單位為 kgw-m, 則所求出之 I 的單位為 kgw-m-sec 2。

轉動軸馬力的計算常用 P =T ,而 =

2 N ,且 60

1HP = 75kgw ‧ m/sec = 550 bw ‧ ft/sec = 750W =

3 kW。 4


第8章

師講解 1

解:

該扭矩所作的功?

T =I

用 10kgw-m 的扭矩持續施於一原為靜止的轉 動軸上,若轉動軸的角加速度為 5rad/sec 2, 試求: 該轉動軸的轉動慣量? 10 秒末 轉動軸的角速度? 該扭矩所作的功?(設 g = 10m/sec 2) 解 : T = 10kgw-m = 100N-m

40 =I4

T =I

I = 10(kg-m 2)

I = 20(kg-m 2)

0

+ t

= 0 + 45= 20(rad/sec) =

0

t+

=0+

1 2 t 2

1 45 2= 50(rad) 2

100 = I5

0

+ t

= 0 + 510= 50(rad/sec) =

0

t+

=0+

1 2 t 2

1 510 2= 250(rad) 2

W =T =4050

W =T =100250

W = 2000(J)

W = 25000(J)

師講解 2

生練習 2

奧運女子鏈球的質量為 4kg,球鏈長度為 1m,大胖仔以 120rpm 的轉速迴轉該鏈球, 則鏈球所具有的動能約為多少焦耳? 解 :【方法一】: I =mk 2=mr 2 I =41 2= 4(kg-m 2) E k= E k=

1 I 2

2

1 2 120 2 ) 4( 2 60

E k= 32

2

316(J)

【方法二】: E k=

1 1 mv 2= m(r )2 2 2

E k=

2 120 2 1 ) 4(1 2 60

E k= 32

2

8-15

生練習 1

施 40N-m 的扭矩持續作用於一原為靜止的 飛輪上,若飛輪的角加速度為 4rad/sec 2, 試求: 該飛輪的轉動慣量? 5 秒末飛輪 的角速度?

功與能

316(J)

車床主軸從 600rpm 減速至 300rpm 時,共釋 放出 6000 焦耳的能量,試求車床主軸的轉 動慣量為何?(設 2= 10) 解 :∵ 釋放之能量=動能的變化量 ∴ 6000 =

1 2 600 2 2 300 2 I〔( )-( )〕 2 60 60

6000 =

1 I300 2

I = 4(kg-m 2)

2


第8章

8-16

功與能

師講解 3

生練習 3

一皮帶輪的緊邊張力為 550N,鬆邊張力為 250N,皮帶輪的直徑為 50cm,若不考慮滑 動 損 失 及 皮 帶 厚 度,當 皮 帶 輪 的 轉 速 為 600rpm 時,試求: 其傳送之馬力為若干 kW? 合多少 PS? 解:

某汽車傳動軸轉速為 1800rpm 時,可產生 100PS 的馬力,則該汽車在此時傳動軸所傳 達的扭矩約為若干 N-m?

解 :P =T

T =Fr T =(550 - 250)0.25

100 =T

T = 75(N-m) T=

P =T P =75

2 1800 1  60 750

1250

400(N-m)

2 600 60

P =1500 (W)=1.5 (kW) ∵ 1kW =

4 PS 3

∴ P =1.5 

4 =2 (PS) 3

師講解 4

生練習 4

一圓柱形摩擦輪的直徑為 18",接觸面的摩 擦 係 數 = 0.2,接 觸 面 的 正 壓 力 為 200 bw,今摩擦輪以 600rpm 迴轉,求其 所帶動的馬力數約為多少 HP?

有一圓柱形摩擦輪的半徑為 20cm,接觸面 的摩擦係數 = 0.4,欲以 600rpm 的轉速, 傳送 6.28kW 的動力,則施於摩擦輪之正壓 力應為多少 N?

解 :T =fr

解 :P =T

T =0.2200

9 12

6.28 =T

2 600 1  60 1000

T = 30( bw-ft)

T = 100(N-m)

P =T

T =fr = Nr

P =30

2 600 60

P =600 ( bw ‧ ft/sec) ∵ 1HP = 550 bw ‧ ft/sec ∴ P=

600 550

3.4(HP)

100 =0.4N0.2 N = 1250(N)


第8章

師講解 5

功與能

生練習 5

有一圓盤離合器,外徑為 240mm,內徑為 160mm,若圓盤接觸面的摩擦係數為 0.5, 軸向壓力為 500N,當轉速為 1200rpm 時, 則此離合器所傳遞的功率為多少 kW?

1 仟瓦的動力,若 2 離合器的外徑為 120mm,內徑為 80mm, 摩擦係數為 0.5,當傳動軸的轉速為 600rpm

欲以圓盤離合器傳遞

時,所需的軸向壓力為何? 解 :圓盤的平均半徑 r m=

120 + 80 = 100(mm) 2

f = N = 0.5500= 250(N) T =fr m=250

100 1000

= 25(N-m) P =T = 25 = (kW)

8-17

2 1200 1  60 1000

解 :P =T 1 2 600 1 =T  2 60 1000 T = 25(N-m) r m=

60 + 40 = 50(mm) 2 25 =f

T = fr m

50 1000

f = 500(N) f= N

500 =0.5N

N = 1000(N)


第8章

8-18

功與能

本章彙總 定義

能使物體沿力的方向產生位移者,謂之作功,以 W 為符號,且 W = FS(若力與位移成 角,則 W =FS )。

單位

 絕對單位(MKS 制):焦耳(J)。【註】1J = 1N ‧ m。  重力單位(MKS 制):公斤重‧米(kgw ‧ m)。【註】1kgw‧m = 9.8J。  SI 單位:焦耳(J)。

定義

單位時間內所作的功,稱為功率,以 P 為符號,且 P =

W = Fv= t

T 。

功 率 單位

動能

絕對單位(MKS 制):瓦特(Watt)。 【註】1W = 1J/sec,即每秒作 1J 的功。

  

重力單位:(MKS 制):公斤重‧米/秒(kgw ‧ m/sec)。 SI 單位:瓦特(Watt)。 常用單位:馬力(HP)、仟瓦(kW),且 3 1HP = 75kgw ‧ m/sec = 550 bw ‧ ft/sec = 750Watt = kW。 4

以 E k 為符號,且 E k=

1 mv 2,若 m 以 kg,v 以 m/sec 為單位,則其單 2

位為焦耳(J)。

動 能 與 位 能

以 E p 為符號,且 E p= mgh 或 E p= Wh,若用 mgh,在 重力位能 MKS 制中,其單位為焦耳(J);若用 Wh,則其單位 可為 kgw ‧ m 或 N ‧ m(J)視 W 的單位而定。 位能

1 kx 2,k:彈簧常數,x:伸長量。 2 彈性位能 U 的單位隨 k 及 x 的不同而不同,若希望 U 的單位為焦耳 (J),則 k 用 N/m;x 用 m 為單位。 以 U 為符號,且 U =

能 量 不 滅 定 律

若不計摩擦及其他的損失,且沒有其他能量加入,則物體在 A 點的總能量必等 於在 B 點的總能量,此謂「能量不滅定律」,常用此觀念去解題。

能 量 的 損 失

在機械的運轉中,輸出的功(能)和輸入的功(能)並不會完全相等,二者的 差稱為能量的損失,即 E 損失= E 入- E 出。


第8章

功與能

8-19

機 輸出的功(功率)與輸入的功(功率)的百分比,稱為機械效率,以 e 為符 械 號,且 e 恆< 1。 效 W P 率 e = W 出入 100 %= P 出入 100 %

轉 動 定 律

物體受到一扭(轉)矩作用時,會產生一角加速度( ),且角加速度的大小 與扭矩(T)成正比,與轉動慣量(I)成反比,數學式為 T =I (可用 F = ma 去類化),而 I =mk 2,k 為迴轉半徑。 【註】若 I 用 kg-m 2 為單位,則 T 的單位必須用 N-m。 若 T 用 kgw-m 為單位,則 I 的單位必為 kgw-m-sec 2。

  

記  

公制馬力與英制馬力的區別 公制馬力:以 PS 為符號,且 1PS = 75kgw ‧ m/sec。 英制馬力:以 HP 為符號,且 1HP = 550 bw ‧ ft/sec 76.2kgw‧m/sec。 【註】由此可知,英制馬力稍大於公制馬力,但實用上常以 3 1HP = 75kgw ‧ m/sec = 550 bw ‧ ft/sec = 750W = kW 來使用。 4 度為電能的單位,且 1 = 1kW-hr =3.610 6(J)。 功 雖 有 正、負 之 分,但 並 無 方 向 性,因 此「功」為 純 量,而「功」與 「能」可互相轉換,故「能」也是純量。 轉動物體所具有的功與能可用直線運動去類推,即 1 1 W = FS=T ;E k= mv 2= I 2 2 2 皮帶輪之扭矩 T =(T 1- T 2)r;摩擦輪之扭矩 T =fr = Nr。 機械能只包含動能、重力位能及彈性位能三種。


8-20

第8章

功與能

綜合

得 分

評量

自我研習(每題 4 分,共計 100 分)

動手去做,才有收穫

A ) 長 4m,重 100N 之均質鋁梯,將其由平放位置豎起而直立,則需作功  400J  1960J  3920J。 * ( B ) 如圖 所示,重量為 80N 之物體置於一光 滑平面上,受一 100N 之力作用平移 10m, 則該力所作之功為  500kgw‧m  500J  800kgw‧m  800J。 * ( C ) 98N 重之物體靜置於一光滑水平面上,若 * (

 200J

施以 50N 之水平力,使其作水平直線運 圖 動,則該力在 4 秒內對物體所作之功為  200 焦耳  1440 焦耳  2000 焦耳  3920 焦耳。 ( A ) 下列何者不是功的單位? 馬力(HP) 仟瓦 小時(kW-hr) 焦耳 (J) 爾格(erg)。 ( B ) 在建築工地常見的打地樁工程,今有一重 800N 之重錘自高出鋼樁頂端 2m 處自 由落下,可將鋼樁擊入土中 0.2m,則此鋼樁於土中所受之平均阻力為  8000N  8800N  800N  880N。 ( D ) 下列對功的敘述,何者錯誤? 當施力與位移同方向時,所作之功最大  當施力與位移成垂直時,並不作功

當施力與位移方向相反時,所作之功為

負功 功有正、負之分故功為向量。 ( C ) 下列何者不作功:等速率圓周運動;等角加速度圓周運動;背著書包跑 操場一圈;背著書包上樓;人造衛星繞地球轉動,以上正確的有 甲乙 丙丁戊 甲乙丙戊 甲丙戊 甲丙。 * ( D ) 質量分別為 1kg 及 4kg 的 A、B 二物體,自同一高度自由落下,則當其到達地面 時,A、B 二物體的動能比為  1:1  1:2  2:1  1:4。 * ( C ) 一銑床心軸所受的扭矩為 500N-m,���以 1200rpm 迴轉時,其所傳送之功率為 ( * (

( (

 31.4kW  47.1kW  62.8kW  78.5kW。 B ) 某汽船之引擎發出的功率為 4HP,能使汽船以 9km/hr 等速行駛,則汽船所遇到 的阻力為  1600N  1200N  1000N  800N。 D ) 一質量 10kg 之物體,受一力作用由靜止開始在光滑水平面上運動,10 秒後該物 體具有動能 180 焦耳,試求物體 10 秒末之速度及位移大小?  v = 3m/sec, S = 15m  v = 3m/sec,S = 30m  v = 6m/sec,S = 15m  v = 6m/sec, S = 30m。 D ) A、B 二物體其質量比為 m A:m B= 1:2,速度比為 v A:v B= 3:2,則其動能比 為  3:4  4:3  8:9  9:8。 A ) 鉛直上拋一乒乓球,當達最高點後又掉回手中,則整個過程中,乒乓球動能的 變化情況為

先減後增

先增後減

持續增加

保持不變。


第8章

* (

B

功與能

8-21

) 質量為 m 之物體,自距地面高度 h 處自由落下,設重力加速度為 g,且不計空氣 3 1 1 阻力,則在其落下至距地面 h 處之總動能為  mgh  mgh  mgh 4 4 2 1  mgh。 4

C

) 兩質量不同而動能相同之物體沿同方向運動,若此兩物體受相同之阻力作用而 停止,則在停止前二者所行的距離為 質量大者較遠 質量小者較遠  兩者一樣遠 無法確定。 * ( A ) 夜市常見的彈珠台,彈珠重 100g,將其置於彈簧前端,若彈簧的彈簧常數 k = 10N/cm,現在拉把手將彈簧壓縮 2cm 後發射,則剛發射時彈珠的速度為何? * (

C

 2m/sec  2 2m/sec  4m/sec  4 2m/sec。 ) 下列敘述何者為真? 彈性位能=彈簧常數其變形量的平方 動能為純 量,功為向量 當物體的速度提升為 2 倍,其動能增為 4 倍 外力對物體所

* (

D )

* (

D )

* (

A )

* (

C

)

作之功必等於該物體所增加之能量。 一水平力持續作用於一質量為 9.8kg 之物體(不計摩擦),使其沿力的方向產生 40cm/sec 2 的加速度,當位移為 4m 時,則 此物體作功 0.16kgw‧m 此物 體作功 1.6kgw‧m 此物體之能量消耗 1.6kgw‧m 此物體的能量增加 1.6kgw‧m。 用 40N 之力能使一拉伸彈簧伸長 1mm,如果將此彈簧拉伸 1cm,則該彈簧蓄積 的能量為  4000J  2000J  4J  2J。 一物體質量 20kg,自高 10m 處自由落下,當落至中點時速度為 9m/sec,則空氣 阻力所作的功為何? - 170J - 340J - 640J - 980J。 一金屬轉盤之轉動慣量為 4kg-m 2,受到 20N-m 的扭矩持續作用 4 秒,若不計所

有的摩擦損失,則該扭矩對轉盤作功  800kgw ‧ m  400kgw ‧ m  800J  400J。 * ( D ) 一質點受扭矩作用而作半徑為 r 的水平圓周運動,現若將扭矩變大為 2 倍,迴轉 1 半徑減為一半,而質量保持不變,則其角加速度變為原來之  倍  1 倍 8  2 倍  8 倍。 * ( C ) 某圓盤形鼓輪,其轉動慣量(質量慣性矩)為 10kg-m 2,原以 600rpm 迴轉,若 因制動器的作用使轉速降為 300rpm,則該制動器所吸收的能量最接近  1500J  2000J  15000J  20000J。 ( D ) 有一滑輪系,舉高 40N 之物體需施力 30N,如果所施之力下拉 5m 使物體升高 3m,則該滑輪系之機械效率為  50 %  60 %  75 %  80 %。 ( B ) 某系統是由三個機械串聯使用,若其機械效率分別為 e 1、e 2 及 e 3,則該系統的 2(e 1 e 2+ e 2 e 3+ e 1 e 3) 總 機 械 效 率 為  e 1+ e 2+ e 3  e 1e 2e 3  e 1+ e 2+ e 3 e 1+ e 2+ e 3 。  2(e 1 e 2+ e 2 e 3+ e 1 e 3)


8-22

第8章

功與能

自我挑戰

肯定自己,不要畏懼

D ) 如圖 所示之簡易升降機,以等加速度吊升重量為 1kN 之物體, 而在 5 秒內使物體自靜止加速到 10m/sec 的速度。假設繩索以及 滑輪皆無重量,所有摩擦可忽略,試問這 5 秒內升降機所作的功 為何?  15000J  20000J  25000J  30000J。 * ( A ) 一物體重 2 磅以每秒 64.4 呎之速度鉛直向上拋出,若不計任何阻 圖 力,則 2 秒後其動能為多少?  0  2  4  6 bw‧ft。 * ( C ) 一子彈以 200m/sec 的速度,射向固定的木塊,深度達 20cm 才停止,今該子彈以 * (

相同的速度,射穿厚 15cm 的固定木塊,試問射穿後子彈的速度為何?  50 m/sec  75m/sec  100m/sec  150m/sec。 * ( D ) A、B 二物體,若其質量比為 3:2,動量比為 2:1,則其動能比為  3:1  4:3  3:4  8:3。 * ( B ) 一直徑為 400mm 之圓柱形摩擦輪,接觸面的摩擦係數為 0.5,當轉速為 1200rpm

* (

B

時,傳達的動力為 6.28kW,則加於接觸面之正壓力為何?  500kgw  500N  1000kgw  1000N。 ) 重 5N 的銅鈴以長 1m 的軟繩繫緊,懸吊於空中,將其由垂直位置拉高至圖 所 示的位置,讓其自由擺盪,若不計繩重及空氣阻力,則當銅鈴盪到最低點時, 繩子的受力為多少?(設 g = 10m/sec 2)  5N  7N  10N  15N。

) 轉動慣量為 20kg-m 2 之飛輪受到 4kgw-m 的扭矩持續作用,則 10 秒後其角速度 為  2  4  20  40 rad/sec。(設 g = 10m/sec 2) * ( B ) 一飛盤質量為 200g,其飛行速度為 10m/sec,且飛盤本身以 2rad/sec 迴轉,其轉動 慣量 I = 5kg-m 2,試問飛盤的總能量為何?  20kgw‧m  20J  10kgw‧m  10J。 * ( D ) 一質量為 200g 之球自高處落下,下降 20m 後速度變為 15m/sec,則此球在下降 過程中,因受空氣摩擦而損耗之能量為  1.710 5 爾格  1.710 2 爾格  1.7 焦耳  16.7 焦耳。 * ( B ) 如圖 所示為對稱於鉛直線之固定滑軌,一球重 200N,由右側滑軌高 20cm 處 * (

C

沿滑軌滾下,如因摩擦等原因,能量共損失 10 焦耳,則該球體能滾上左側滑軌 之高度 h 為  18cm  15cm  12cm  10cm。


第8章

歷屆試題

功與能

8-23

掌握脈動,一定高中

《經典回顧》 * (

B

) 輪帶緊邊之張力為 800kg,鬆邊之張力為 350kg,轉輪直徑 2m,若轉輪之速率為 240rpm,試求其傳送之馬力約為若干?  302  151  96  48 HP。

* (

C

) 彈簧 A 和彈簧 B 的彈簧常數相同,當彈簧 A 拉長 1cm,彈簧 B 拉長 2cm,則彈 簧 B 所儲存的彈性位能是彈簧 A 的幾倍?  1 倍  2 倍  4 倍  8 倍。

《熱門嚴選》 ) 一直徑為 100mm 之實心圓軸,以 240rpm 之轉速進行外圓車削,經測得其切削 力為 500N,則此車削加工所消耗之功率為多少 W?  314  628  942 91 統測  1256。 * ( D ) 一螺旋壓縮彈簧受到 120N 之壓縮負荷作用時,其總長度縮短為 100mm,而當負 荷變成 200N 時,其總長度變為 80mm,此彈簧之彈簧常數 k 為多少 N/mm? 91 統測  0.4  1.2  2.5  4.0。 * ( C ) 一起重機在 5 秒內將重量 50000N 的物體吊高 5m,若起重機的效率為 80 %,則 起重機所需要的功率為多少馬力?(註:1000 瓦= 1.36 馬力)  34  68 92 統測  85  54.4。 * ( B ) 某一彈簧其彈性常數為 K = 40000N/m,若受到一 F 力的作用,產生 10cm 的位 * (

* (

B

B

移量,則彈簧儲存的彈性位能為多少焦耳?  20000  200  400  40000。 92 統測 ) 如圖 所示,一重量 100N 的物體,沿著 30 斜面以一初速度 V 往上運動,在斜 面上前進 4m 後運動停止。已知物體與斜面之間的動摩擦係數為 0.25,求該物體 在此運動過程中,摩擦力所作之功為多少焦耳?

 50

 50 3

100 3 J。

 100

93 統測

D ) 如圖 所示,一電動鼓輪以等轉速 2rad/sec 升起一質量為 1000kg 的物體。已知 鼓輪的半徑為 0.5m,繞轉軸 A 的質量慣性矩為 100kg ‧m 2,求該鼓輪的轉動動 93 統測 能為多少焦耳?  500  400  300  200 J。 ( B ) 仟瓦(kW)是下列何者所用之單位? 能量 功率 力矩 功。 94 統測 * ( D ) 以 100N-m 之扭矩作用於原為靜止之飛輪,若其角加速度為 4rad/sec 2,試求經 10 * (

秒後所作之功為多少 N-m?  2000  5000  10000  20000。 94 統測 * ( A ) 一起重機將重量為 2000N 之物體以 1m/sec 之速度由地面舉起,已知此起重機之 機械效率為 80 %,則其消耗之功率為多少仟瓦(kW)?  2.5  3.2  5.0  6.4。 95 統測


8-24

第8章

功與能

D ) 如圖 所示,一質量為 10kg 之物體 A,從壓縮彈簧上端 290mm 處自由落下,以 致此彈簧被壓縮,其最大縮短量 x = 10mm,試求此壓縮彈簧之彈簧常數為多少 N/mm?  528  548  568  588。 95 統測 * ( B ) 一質量為 60kg,直徑為 1000mm 的均質圓柱,以 120rpm 轉動,為了克服摩擦力 與維持等速旋轉,需要施加 30N-m 的扭矩,則該圓柱所需的輸入功率為多少瓦 96 統測 特(Watt)?  60  120  1800  3600。 * ( D ) 質量為 0.5kg 的物體,在高出地面 10m 的平台上,以 10m/sec 的初速度水平射 出,已知重力加速度為 9.8m/sec 2,則該物體落至地面時的動能為多少焦耳? 96 統測  19.6  25  49  74。 * ( A ) 重量為 19.6N 的物體,以 12m/sec 的速度在光滑水平面上運動。若施一水平力使 * (

* (

C

此物體在 4sec 內停止運動,則此水平力對該物體所作的功約為多少焦耳?  144  216  288  432。 97 統測 ) 一線性彈簧自未拉伸或壓縮的狀態下,被壓縮 x 的位移量,需要作功 W,若繼 續再壓縮 x 的位移量,則需要再作多少功?  W  2W  3W  4W。 98 統測

) 利用一個機械效率為 0.8 的起重機系統,將 200kg 的重物以 5m/s 的速度由地面 垂直舉起,試問此起重機因能量損失而消耗的功率為多少仟瓦(kW)?  1.96  2.45  9.80  12.25。 98 統測 * ( D ) 某一年輕人扛著 500N 重的木箱,以等速沿著一與水平成 30 的斜坡向上走,於 60 秒內走完全長為 120m 的斜坡,則此年輕人對此木箱所作的功率為多少瓦特 99 統測 (Watt)?  1000  865  600  500。 * ( B ) 如圖 所示,一質量 1kg 的圓球,繫於長 6m 之不會 伸長的軟繩末端,軟繩另一端則繫於固定點 O。將 此圓球從水平位置 A 由靜止釋放,經過垂直位置 B 時,軟繩碰到固定的圓桿 S,而使圓球繞著圓桿 S 轉 * (

B

動,將此圓球視為一質點並忽略摩擦力,若圓球到 達 C 位置的速度大小是在 B 位置速度大小的一半, 則圓桿 S 與固定點 O 之間的距離(h)為多少 m?

(註: 120 10.95,重力加速度為 10m/sec 2) 99 統測  0.5  1.5  2.5  3。 * ( C ) 彈簧 A 和彈簧 B 的彈簧常數相同,若彈簧 A 之變形量為彈簧 B 之 2 倍,則彈簧 A 所儲存的彈性位能是彈簧 B 的多少倍?  1  2  4  8。 100 統測 * ( A ) 長 1m 的繩子一端綁著一個重量 1kN 的鐵球,若球在水平面上以繩子的另一端為 旋轉中心,作等速率圓周運動旋轉一圈,則繩之拉力對球所作的功為多少 100 統測 kN-m?  0  2 3 。 ( D ) 有關功與能之敘述,下列何者錯誤? 功與能為具有相同單位之物理量  手提重物往上升至一定位,手所作的功轉換為重物的位能  1kW 之功率大於 1HP(馬力)之功率 在有摩擦之斜面推一重物到另一位置後停下,則推力所 101 統測 作之功全部轉換為重物的位能。


第9章

張力與壓力

9-1

張力與壓力 鑑往知來,掌握趨勢

機械類 92~101 年度歷屆試題統計圖

同學們!從上圖可知,本章可說是天王巨星,除 94 年外,每年最少都考 2 題,與第二 章同平面力系有相同的份量。重點有:應力與應變的定義及求法 軟鋼的應力 應變圖 蒲松氏比 體積彈性係數。同學們應特別、特別的用心。

9-1

應力及應變

首先恭喜您已經學會了靜力學、運動學及動力學,只剩下材料力學,學成之後便可 「出師」了。從本章開始我們正式進入材料力學的領域。在此之前我們均將物體視為剛體。 但從此以後這可行不通,因為材料力學係要探討物體所受的 內力 及 變形 情況。因此 我們必須將物體視為彈性體——物體受力會產生變形,當外力消失後有恢復原狀之傾向者。 在設計機構時,除了要符合預期的運動外,尚需考慮機件是否能安全承受負荷而不致損壞, 而機件所承受的負荷不外乎:張力 壓力 剪力 彎矩 扭矩這五種。本章先介 紹張力及壓力,其餘的往後會一一介紹。 物體受到外力作用時,如果沒有產生運動,則從任一截面的自由體圖可知,物體的內 部必產生一個與外力大小相等、方向相反的抵抗力(內力),如圖 9-1 所示。


9-2

第9章

張力與壓力

圖 9-1

物體內部的受力情況

如果內力是離開截面者,稱為 張力 或 拉力 ;反之,內力是指向截面者,稱為 壓力 。但是我們在分析機件的受力情況時,不能只看力量的大小,尚需考慮受力面積的 大小才行,比如說,同樣 1N 的力分別作用在 1mm 2 與 1m 2 的面積上,二者對機件所造成的 破壞便相差十萬八千里,因此單位面積所受力的大小才是我們在乎的,我們將單位面積所受 的力,稱為

應力

強度

。如果物體承受張(拉)力,則稱為張(拉)應力,以 t P 表示;承受壓力則稱為壓應力,以 c 表示,不管是 t 或 c,公式均用 = ,P:截面積上 A 的總內力,A:截面積。應力之單位,在絕對單位 MKS 制及國際公制(SI)中均為 N/m 2, 又稱為巴斯卡(Pa),但因其單位太小,故不常用,常用的有 kPa、MPa 及 GPa,其中又以 MPa 最常見;在重力單位中常用 kgw/cm 2;英制則以 bw/in 2(psi)較常用。 當物體受軸向拉(壓)力作用時,該物體必沿軸線方向伸長(縮短),其變形量以 表 示,而單位長度的變形量稱為應變,以 表示,且 =

, :物體的原長。應變的單位雖

可為 cm/cm、cm/m……,但也可將其視為無單位或以百分比來表示,詳如老師講解 6。

提言 留 醒板 您 

在機械設計上有二個重要名詞,一是強度,二是剛度。強度係指機件能安全承受力 而不至斷裂的程度。而剛度係指機件受力後變形的難易程度。二者有何不同?一般 以 應力 來表示機件的強度,而以 AE 來表示機件的軸向剛度。E 為彈性係數, 在 9-2 節中會詳加說明。

 一般所指的張應力或壓應力均為垂直應力,因其受力面積與力成 垂直 ,且假定作用 力通過中心軸。  拉應力一般取正值,而壓應力取負值。  的讀音「爹兒打」(delta), 的讀音為「一婆戲龍」(epsilon)。  Pa 為 N/m 2 因太小而不實用,較常用的為 kPa、MPa 及 GPa,而 1kPa =10 3 Pa= 1kN/m 2 1MPa =10 6 Pa= 1N/mm 2 1GPa =10 9 Pa= 1kN/mm 2  在計算應力時,若作用力 P 以 N 為單位,受力面積 A 以 mm 2 為單位,則所求得之應力 的單位即為 MPa。


第9章

師講解 1

中,不幸被困在沙洲上,救難直升機放下 一直徑 2cm 的繩索欲將他等速垂直吊起, 若此繩的容許張應力為 25kgw/cm 2,則泰山 是否能安全被救出? 解 : t= P A =

9-3

生練習 1

森林王子泰山體重 94.2 公斤,在八七水災

t

張力與壓力

同老師講解 1,若想安全救出泰山,則繩索 之直徑至少為多少 cm?(取至小數第 1 位)

解 : t= P A 94.2

1 2 2 4

= 30(kgw/cm 2)

25 =

94.2

1 d 2 4

∵ 30 > 25

d 2= 4.8

∴ 繩索會被拉斷,無法安全救出。

d = 2.2(cm)

師講解 2

生練習 2

教室內之大型吊扇重 15 公斤,以斷面積為 1cm 2 的空心銅管固定在天花板上,試求銅 管所受的拉應力為若干 MPa?(設 g = 10m/sec 2)

有一吊車以直徑 1cm 的鋼索等速吊升 3140N 之 物 體,試 求 鋼 索 所 受 之 拉 應 力 為 若 干 MPa?

解 :欲以 MPa 為應力的單位,則 P 應以 N

解 :d = 1cm = 10mm

為單位,A 應以 mm 2 為單位 P =1510 = 150(N) A =1100= 100(mm 2) t

類題 1

P 150 = = 1.5(MPa) A 100

A= t

1 1 d 2= 10 2=25 (mm 2) 4 4 P 3140 = 40(MPa) = A 25

一斷面為正方形的拉桿,承受 9600N 的拉力作用,若該拉桿的容許拉應力為 24MPa,則拉桿的邊長至少為 20 mm。


第9章

9-4

張力與壓力

師講解 3

生練習 3

教室內之講桌重 16 公斤,由 4 根桌腳支 撐,桌腳的斷面為 4cm2cm 的長方形, 則桌腳所受的應力為多少 kPa?(設 g = 10m/sec 2)

一條圓形的鋼索,長為 2m,兩端各承受 31.4kN 之 拉 力,而 鋼 索 之 容 許 拉 應 力 為 400MPa,若不計鋼索的重量,則鋼索之直 徑至少應為多少 mm?

解 :講桌的重量由 4 根桌腳平均承受

解 :31.4kN = 31400N

故P=

16 = 4(kgw)= 40(N) 4

A =4020 = 800(mm 2) c

=-

P 40 1 =- =- (MPa) A 800 20

∵ 1MPa = 1000kPa ∴

c

=-

1 1000=- 50(kPa) 20

師講解 4

t

P A

400 =

31400 4

d 2

d 2= 100 d = 10(mm)

生練習 4

以直立之中空金屬圓柱來承受 4710N 的載 重,圓柱的外徑為 15mm,厚度為 5mm, 則其所受的壓應力為多少 MPa?

以外徑為 15mm 之中空金屬圓柱,用來支持 700 N 之 機 器,若 材 料 許 可 之 壓 應 力 為 50MPa,則該圓柱之內徑至多為多少 mm?

解 :圓柱的內徑為 15 - 25 = 5(mm)

解 :設內徑為 d i(mm)

4710

c

=-

c

=- 30(MPa)

1 (15 2- 5 2) 4

A=

1 (15 2- d i 2) 4

50 =

700 1 (15 2- d i 2) 4

1 (15 2- d i 2)= 14 4 15 2- d i 2= 56 d i 2= 169 d i= 13(mm)

類題 2

有一斷面為正方形的中空柱子,其外緣的邊長為 50mm,若欲承受 160kN 之負 荷,而柱子的容許應力為 100MPa,則柱子的壁厚最少為 10 mm。


第9章

師講解 5

張力與壓力

9-5

生練習 5

如下圖所示,AB 截面與 CD 截面之面積分 別為 100mm 2 及 25mm 2,試求: AB 截面 之應力? CD 截面之應力?

有一個三層的大蛋糕,直徑分別為 14 吋、 10 吋、6 吋,其重量分別為 15 磅、7.5 磅、 2.5 磅,如下圖所示,當蛋糕置於桌面上 時,試求第二層蛋糕底部所承受的平均壓 應力為多少 psi?(以 的型式作答)

解:

取 AB 截面右方之自由體圖,如下圖。 解 :取第二層底部以上之自由體圖,如下圖。 F y= 0 P = 7.5 + 2.5 = 10( bw) F x= 0

c

=-

P 10 =- A 1 10 2 4

c

=-

2 (psi) 5

P = 400N(指向截面,故 P 為壓力) c

=-

400 P =- =- 4(MPa) A 100

取 CD 截面右方之自由體圖,如下圖。

F x= 0 P = 300N(離開截面,故 P 為張力) t

300 P = = 12(MPa) A 25

師講解 6

生練習 6

一圓桿長 1m,受到軸向壓力作用後,長度 變為 99.8cm,則其應變為若干?

一長 3m 之拉桿受一軸向拉力後,總長度變 為 3.003m,則此桿之應變為何?

解 : = 99.8 - 100 =- 0.2(cm)

解 : = 3.003 - 3= 0.003(m)

= 0.3(cm)

- 0.2 100

=- 0.002

=- 0.002(cm/cm) =- 0.2 %

= 或

0.3 = 0.001 300

= 0.1(%)


第9章

9-6

9-2

張力與壓力

彈性係數、安全係數及蒲松氏比

在材料力學中我們將物體視為彈性體,而當物體所受的外力消失後可完全恢復原狀 者,稱為 完全 彈性體。反之,若無法完全恢復者,稱為 非完全 彈性體。但是彈性體 所能承受的外力也有一定的限度,超出此一限度則該物體便無法恢復原狀了,此一限度稱為 彈性限度 。物體的彈性限度因材質的不同而有所不同,可由應力 應變圖中求得。英人 虎克在 1678 年發表著名的虎克定律——「物體在彈性限度內,應力與應變成正比」(註: 虎克當年發表的為彈性限度內,目前可修正為比例限度內,以符合真實情況),但當時虎克 並沒有求出比例常數,事隔 100 多年,遲至 1802 年,英人湯姆斯‧楊(Thomas Young)才 將此一比例常數 E 求出,因此 E 可稱為彈性係數或楊氏係數。當然 E 亦會隨材質不同而有所 不同,且 E 僅與材質的種類有關,物體之形狀改變,E 並不會改變,每一種材料僅有一個彈 性係數。寫成數學式則為 = E 。E 常用的單位有 GPa 及 kgw/cm 2,在材料力學中我們經 P 常 要 算 伸 長 量( ) , 因 此 我 們 將 = E 改 寫 A = E

P AE ,(很 重 要

喔!)上式中的分母 AE 稱為軸向剛度,軸向剛度愈大,則伸長量就愈小。 所謂「應力 應變圖」係以 應力( ) 為縱座標, 應變( ) 為橫座標,將拉伸 試驗所得的數據描繪而成的圖形。如圖 9-2 所示為軟鋼的應力 應變圖及各轉折點的意義 (請確實了解)。而圖中之虛線係為試桿受拉時之拉力「實際面積」所得的應力。因實際 面積會縮小,故實際之應力較大。在應力 應變圖中除了各強度的意義外,較重要的還有 =

= E(即彈性係數 E 為圖中直線部分的正切值或斜率)。至於脆性材料,其降伏

點並不像延性材料那麼明顯,故降伏強度的取法一般採用 0.2 %的偏置法,如圖 9-3 所示。

圖 9-2

軟鋼之應力 應變圖

圖 9-3

0.2 %偏置法

在圖 9-2 軟鋼之應力 應變圖中,可知當物體超過降伏強度( y)之後,雖應力沒有增 加,但仍持續產生塑性變形,而導致機件的永久變形,因此在機件設計時,所採用的容許應 力( w)會遠<降伏強度( y),而降伏強度( y)與容許(工作)應力( w)之比值, 我們稱為安全係(因)數(n),即 n =

y w

。除了有關人身安全之裝置,一般延性材料的 n


第9章

> 2 就可以了。脆性材料之

y

u

差不多,故 n 採用

u w

張力與壓力

,但脆性材料之

y

9-7

並不明顯,故

n 一般取 7 以上,總之,不論延性、脆性,n 必恆> 1。 接下來,我們談一下很常考很常考的蒲松氏比。當物體受一軸向的拉力(或壓力)作 用,沿力的方向會伸長(或縮短),故二側會產生收縮(或膨脹)的現象,如圖 9-4 所示。 物 體 受 力 的 方 向 我 們 稱 為 軸 向 或 縱 向,故 縱 向 應 變 ( )= =

d d

,而二側之應變,稱為橫向應變( t) 。我們將

t

比值的絕對值稱為蒲松氏

比,以 (或 )表示,故 =|

t

|,且 0 < <

1 。 2

1 1 ~ 之間。另外蒲松氏 4 3 1 比的倒數稱為蒲松氏數,以 m 表示。故 m = = , 一般而言, 大部分介於

圖 9-4

縱向應變與橫向應變

t

且 m > 2。 此處之 與摩擦係數之 不同,摩擦係數 的範圍為 0 < < ,而蒲松氏比 的範圍為 1 0< < 。 2

提言 留 醒板 您     

在延性材料的應力 應變圖中,一般而言,比例限度( p)<彈性限度( e)<降伏強 度( y)<極限強度( u),但 p 約等於 e。 當材料受到週期性的反覆應力,則其破壞強度會遠<極限強度,此現象稱為 疲勞 現 象。 作拉力試驗時,當應力超過 u 時,拉桿的直徑會迅速縮小,此現象稱為 頸縮 。 當材料發生塑性變形後,因結晶格子產生畸變而有硬化的現象,稱為 應變硬化 。 若以相同的拉力作用於同尺寸不同材質的兩桿件,則其伸長量與彈性係數成 反 比。

師講解 1 老陳在山洞中撿到不知材質的 A、B、C 三 圓棒,其斷面積均為 100mm 2,且長度均為 1000mm,可由拉伸試驗來判別其材質,若 拉力設定為 210kN,則 A、B、C 三圓棒的 伸長量分別為 10.5mm、30mm、15mm,試 問三圓棒各為何種材質?(已知 E 鋼= 200GPa;E 銅= 140GPa; E 鋁= 70GPa)

生練習 1 同老師講解 1,若要使 A、B、C 三圓棒之 伸長量均相同,則其施力的比為多少?


9-8

第9章

張力與壓力

解 :∵ = P AE

解 :∵ = P AE 而 A、 均相同

A 圓棒 2101000 100E A

E A= 200(GPa)……鋼

B 圓棒

PA P P = B= C 200 70 140

10.5 =

30 =

2101000 100E B

A

= B=

C

PA P P = B= C EA EB EC

∴ P A:P B:P C= 20:7:14

E B= 70(GPa)……鋁 C 圓棒 15 =

2101000 100E C

E C= 140(GPa)……銅 A、B、C 三圓棒之材質分別為鋼、 鋁、銅

師講解 2

生練習 2

有一圓桿直徑為 10mm,長度為 1m,今承 受 3140N 之 拉 力,試 求: 應 力? 應 變? 伸長量?(設 E = 200GPa) 3140 P 解: = t= A 10 2 4 = 40(MPa)

時,試求: 解:

t

應力?

40 =2001000 = 210 - 4 = =

1000

= 0.2(mm)

伸長量?

5000 P = = 20(MPa) A 250

= E = 110 - 4 = 110 - 4=

-4

應變?

20 =2001000

= E

210

一鋼棒長 50cm,截面積為 250mm 2,楊氏 係數為 200GPa,當鋼棒承受 5000N 之拉力

500

= 0.05(mm)


第9章

師講解 3

由鋼的容許應力 50 =

S

= 50MPa 得

P ,P = 10000(N) 200

由鋁的容許應力 20 =

A

= 20MPa 得

P + 3000 500

P = 7000(N)

有一結構如下圖所示,假設材料之容許拉 應力為 20MPa,而該結構之容許總變形量 為 0.65,又 E = 100GPa,若不考慮結構自 身重量的影響,則該結構所能承受的拉力 P 為何?

解:

由斷面積 200mm 2 處拉力破壞之 P 20 =

P 200

P = 4000(N)

由斷面積 400mm 2 處拉力破壞之 P 20 =

(P + 1000) 400

P = 7000(N)

由總變形量得

由變形量破壞之 P

0.42 = S+

0.65 =

0.42 =

A

P1000 2002001000

9-9

生練習 3

有一結構如下圖所示,假設鋼的容許壓應力 為 50MPa,鋁的容許壓應力為 20MPa,而結 構之容許總變形量為 0.42mm,又 E S= 200GPa;E A = 70GPa,試求作用於該結構 的最大壓力 P 為多少 N?

解:

張力與壓力

(P + 3000)700 500701000

84000 = 5P +4(P + 3000) 84000 = 5P + 4P + 12000 72000 = 9P P = 8000(N) ∵ 7000 < 8000 < 10000 ∴ 當 P 超過 7000N 時鋁將先被破 壞,故所能承受的最大壓力 P 取 7000N。

P21000 2001001000

(P + 1000)11000 4001001000

6500 = P +

(P + 1000) 4

26000 = 4P + P + 1000 5P = 25000 P = 5000(N) ∵ 4000 < 5000 < 7000 ∴ 當 P 超 過 4000N 時,斷 面 積 200mm 2 處會被拉壞,故所能承 受之最大拉力 P = 4000N


9-10

第9章

張力與壓力

師講解 4

生練習 4

如下圖所示為三階階級鋼桿的受力情況, 各階的截面面積標示在圖上,而鋼的彈性 B 點的位移 係數 E = 200GPa,試求: 量? C 點的位移量? D 點的位移量?

如 下 圖 所 示 結 構,鋁 桿 的 截 面 面 積 為 100mm 2,而鋼桿的截面面積為 50mm 2,試 求: 鋁桿所受的應力為多少 MPa? 該 結構的總變形量為何?(設 E A = 70GPa; E S= 200GPa)

解 :設 A 點的反作用力為 R A

解 :先求 A 點的反作用力 R A F x= 0

F x= 0 R A+ 400- 200 + 100 = 0

R A- 50 + 30= 0

R A=- 300(kN,

R A= 20(kN,

取各階之自由體圖,如下圖。

B

AB

取鋁桿、鋼桿之自由體圖,如下圖。

300200 400200

= 0.75(mm) C

= B+

BC

(-100)200 C= 0.75 + 200200 = 0.25(mm) D

D

= C+

CD

= 0.25 +

100200 100200

= 1.25(mm)

設鋁桿所受的壓應力為 C

=-

C

20 =- 0.2(GPa) 100

=- 200(MPa) = =

AB

BC

- 20700 301000 + 10070 50200

=- 2 + 3 = 1(mm)


第9章

類題 1

張力與壓力

9-11

如右圖所示為鋼桿的受力情形, AC 段的截面面積為 400mm 2, CD 段的截面面積為 200mm 2,若 彈性係數 E = 200GPa,則 AB 段 之應變為 0.005 。 【註】1GPa = 1kN/mm 2。

師講解 5

生練習 5

欲以一鋼索等速吊升重 720 N 之物體,若 鋼索的降伏強度為 100MPa,當安全係數取 5 時,則鋼索的直徑至少應為若干 mm? 解:

y

w

n

w

P A

100 = 20(MPa) 5 20 =

一混凝土圓柱欲承受 31.4kN 之負荷,若混 凝土之極限抗壓強度為 800MPa,安全係數 用 8,則圓柱之直徑至少應為若干 mm? 解:

720

1 d 2 4

u

w

n

w

P A

800 = 100(MPa) 8 100 =

d 2= 144

d 2= 400

d = 12(mm)

d = 20(mm)

師講解 6

生練習 6

我們日常搭乘的電梯可由鋼索來拉升,若 鋼索之降伏強度為 8000kgw/cm 2,電梯本身 重 1200 公斤,標示限載 10 人(假設平均體 重為 80 公斤),安全係數取 10;若此電梯 尚可做等加速度上升,最大加速度為 2.45 m/sec 2,若不考慮鋼索的重量,則鋼索的 最小直徑為多少? 解 :設鋼索所能承受之最大拉力為 T

同老師講解 6,若該電梯僅能等速升降,則 鋼索的最小直徑為多少?(求至小數第一 位)

解 :∵ 電梯等速升降

(T - 1200 - 800 9.8=20002.45

T = 2500(kgw)

T - 1200 - 800 = 0

w

y

n

800 =

8000 = 800(kgw/cm 2) 10

2500

1 d 2 4

d 2= 4 d = 2(cm)

31400 1 d 2 4

F y= 0

T = 2000(kgw) 8000 = 800(kgw/cm 2) 10 2000 800 = 1 d 2 4 10 d 2= 3.2 d = 1.8(cm) w


9-12

第9章

張力與壓力

師講解 7

生練習 7

直徑為 20mm,長 50mm 之圓棒,受軸向拉 力而伸長 0.5mm,若蒲松氏比為 0.3,則圓 棒直徑的收縮量為何?

一圓柱長 300mm,直徑 15mm,受壓力作 用後其長度縮短 0.26mm,直徑增加 0.0039mm,則 其蒲松氏比為何? 又蒲 松氏數為何?

解 :設圓棒直徑的收縮量為 d =|

t

|=-

=|

解:

d d =

0.0039 15 - 0.26 300

| |

|=

3 = 0.3 10

m=

d 50 d 20 0.3 =- =- 0.5 10 50

t

1

1 10 = 0.3 3

d =- 0.06(mm)

類題 2

9-3

直徑 2cm,長 20cm 的金屬圓棒,因受拉力作用而伸長 0.17mm,同時直徑收縮 0.0051mm,則該金屬圓棒的蒲松氏比為 0.3 。

直交應力與體積彈性係數

物體若僅受一個軸向應力的作用時,其應變甚為單純,但若同時受到二個或三個直交 應力的作用時,各軸向應力所產生的應變會彼此牽動,其在某一軸向的應變=各軸向應力對 該 軸 作 用 所 生 應 變 之 代 數 和,此 稱 為 重 疊 法。以 下 分 別 為 受 到 二 個( x, y)及 三 個 ( x, y, z)軸向應力作用後,在 x、y、z 軸方向所生之應變的求法。 一、二直交應力所生之應變

受 x 軸之應變

x

作用 受 x

y

作用 y

E

y 軸之應變

E

z 軸之應變

E

x

x

E y

E -

y

E

z

計 x

E

y

E

x

E

y

E

=-

x

E

y

x

y

E


第9章

張力與壓力

9-13

二、三直交應力所生之應變 受

x

x 軸之應變

作用 受 x

y

作用 受 y

E

y 軸之應變

E

z 軸之應變

E

x

E y

E

x

z

作用 z

E

E

y

z

z

E

E

合 x

E

y

E

z

E

x

E

y

E

E

z

計 y

E

z

x

E

x

E

z

y

上面所述之應變公式看來相當複雜,但您只要知道主、客的關係,便輕而易舉了。比 如說在 x 軸方向的應變,

x

是主,而

y

z

均為客,所以

x

x

E

y

E

z

。餘請自

E

行類推。 【特殊情況】 當物體三軸向所受的應力均相等時(如物體置於水中),因 = z=

x

= y= z= ,故

x

y

(1 - 2 )。

E

物體在受到拉力或壓力作用後,因長度有所伸縮,故體積大多會產生變化,我們將 「體積的變化量」與「原體積」之比值稱為「體積應變( V)」,即 應變=互相垂直的三個方向之長度應變的 和 。即 況中,

V

= 3 x=

V

= x+ y +

z

V

V V

,且體積

,若在前述的特殊情

3 (1 - 2 )。再則,應力( )與體積應變之比值,稱為體積彈性係數 E

(E V),故 E V=

V

。將

V

3 E (1 - 2 )代入前式,可得 E V= E 3(1 - 2 )

,此公式

相當重要,請特別留意!

提言 留 醒板 您 

x

x

E

負值 

z

E

E

z

E

中, x、 y、

z

均假設為張應力,若為壓應力,則須使用

體積應變

z

y

V

= x+ y+ z,將 x

E

y

E

x

x

E

y

E

z

E

,代入並提出公因式,可得

若三軸向應力均相等,即

x

= y= z= ,則

V

、 y=

V

y

E

x

E

z

E

(1 - 2 ) ( x + y + z) 。 E

3 (1 - 2 ) E 。 ,且 E V= E 3(1 - 2 )


第9章

9-14

張力與壓力

師講解 1

生練習 1

一 鋼 塊 受 二 直 交 應 力 的 作 用,若 x = 8000psi, y=- 4000psi,如下圖所示,且 鋼的彈性係數為 3010 6 psi,蒲松氏比為 0.25,試求 x、 y、 z 各為何?

解:

x

x

E

= 310 y

E

x

x

E

y

1 =- 10 - 4 3

y

E

1000 - 0.3600 2001000

y

E

x

E

600 - 0.31000 2001000

= 1.510 - 3

-4

y

x

E

= 4.110 - 3

E

z

=-

E

- 0.258000 - 0.25(- 4000) z= 3010 6

類題 1

y

x

=- 210 =-

x

-4

(- 4000 - 0.258000) y= 3010 6

z

、 y、 z 各為何?

x

E

〔8000 - 0.25(- 4000)〕 x= 3010 6

y

解:

y

一 鋼 塊 受 到 雙 軸 向 應 力 作 用,如 下 圖 所 示, x= 1000MPa, y= 600MPa,蒲松氏 比 = 0.3,而鋼的彈性係數為 200GPa,試

z

x

E

y

E

- 0.31000 - 0.3600 2001000

=- 2.410 - 3

某材料之長、寬、高分別為 x= 200mm、 y= 100mm、 z= 40mm,當此長 方體同時受到 x= 400MPa, y= 200MPa 作用,測得長度伸長 0.35mm,寬度 伸長 0.05mm,則此材料之彈性係數為 200 GPa,蒲松氏比為 0.25 。


第9章

師講解 2

張力與壓力

9-15

生練習 2

一 長 方 體 之 銅 塊,其 長、寬、高 分 別 為 x= 200mm, y = 200mm, z= 100mm, 若各軸向所受的應力分別為 x= 50MPa, y =- 20MPa, z= 40MPa,若 銅 的 彈 性 係 數 為 100GPa,蒲 松 氏 比 = 0.35,試 求: x 軸方向之伸長量? 體積應變?

一正方體之鋁塊,邊長為 100mm,各軸向 所 受 的 應 力 分 別 為 x= 70MPa, y =30MPa, z= 40MPa,若 鋁 的 彈 性 係 數 E =70GPa,蒲 松 氏 比 = 0.4,試 求:

解:

解:

x

x

x

E

y

E

z

E

50 - 0.35(- 20)- 0.3540 1001000

= 4.310 - 4 x

x

鋁塊之體積應變?

1-2 ( x + y + z) E

1 - 20.4 (70 + 30 + 40) 701000

V

V

= 410 - 4 V

x

V V

V = VV

x

x

= 2004.310 - 4

=410 - 4100100100

= 8.610 - 2(mm)

= 400(mm 3)

x

1-2 ( x + y + z) E

1 - 20.35 (50 - 20 + 40) 10010 3

V

V

x

體積變化量?

= 2.110 - 4

類題 2

某材料受雙軸向應力作用,如右圖所示,其中 y=- x,且該材料的彈性係數為 E,蒲松氏 比為 ,則其體積應變為 0 。

師講解 3 一 長 方 體 之 鋁 塊,長、寬、高 分 別 為 100mm、80mm、50mm,置 於 一 加 壓 的 液 壓槽內,設液體的壓力為 14MPa,試求: 鋁塊之體積應變? 體積變化量?(設 蒲松氏比為 0.4,E 為 70GPa)

生練習 3 將直徑為 200mm 的實心鋼球丟入液壓槽 內,若液體的壓力為 10MPa,試求體積的 10 ,E = 縮減量?(已知蒲松氏數 m = 3 200GPa)


第9章

9-16

解:

3 (1 - 2 ) E

3(-14)(1 - 20.4) 7010 3

V

V

張力與壓力

=- 1.210 - 4 V

V V

解 : = 1 = 0.3 m V

3 (1 - 2 ) E

V

3(- 10)(1 - 20.3) 2001000

=- 610 - 5

- 1.210 - 4=

V 1008050

V =- 48(mm )

∴ - 610 - 5=

3

故體積縮小 48mm 3

師講解 4

V

4 (100)3 3

V =- 80 (mm 3) 故體積縮小 80 mm 3

生練習 4

一未知材質之桿子長 2m,橫截面為邊長 40mm 的正方形,將一端固定,另一端則受 到 480kN 的拉力作用而伸長 3mm,寬度方 向則均勻縮小 0.01mm,試求該材質之體積

有一合金鋁塊所受的三軸向應力均相等, 而鋁塊之體積彈性係數為 50GPa,蒲松氏 數 m 為 4,則該合金鋁塊的彈性係數為何?

彈性係數為何? 解: = P AE

解 : = 1 = 1 = 0.25 m 4

4802000 4040E

3=

E = 200(GPa) =|

t

0.01 40 3 2000

| |

|=

E V=

E 3(1 - 2 )

50 =

E 3(1 - 20.25)

E = 75(GPa)

1 20 = 120 6

E V= E V=

E 3(1 - 2 ) 200 3(1 - 2

1 ) 6

= 100(GPa)

類題 3

某銅合金之彈性係數 E = 120GPa,蒲松氏比為 0.3,則該合金之體積彈性係數 為 100 GPa。


第9章

張力與壓力

9-17

本章彙總 應力 應力係指單位面積所受之力,即 =

應 力 與 應 變

蒲 松 氏 比

P ,常用單位為 MPa 或 kgw/cm 2。 A

應變 應變係指單位長度的伸長量,即 =

物體在比例限度內之應力與應變成正比,其比例常數為 E,稱為彈性係 彈性 數。數學式為 = E 。 係數 P 可甚快求解。 【註】如果題目僅需求伸長量,代 = AE 橫向應變與縱向應變比值之絕對值稱為蒲松氏比,以 (或 )表示, 定義

=|

t

|。

範圍 0 < < 

1 2

延性材料之降伏強度( y)與容許(工作)應力(

)之比值,稱為安全

w

安 係(因)數,即 n = y ,且 n 必恆> 1,一般皆為 2 以上。 w 全 係  脆性材料則為極限強度( u)與容許(工作)應力( w)之比值,即 n = 數 ,脆性材料的 n 一般取 7 以上。

u w

直 交 應 力 之 應 變

物體若受三軸向拉應力( x、 y、 z)作用時,各軸向之應變如下:

z

x

E

z

E

E

E

x

y

E

z

x

E

y

y

E

x

E

z

E

y

體 體積應變為長度應變的和,即 = + + = (1 - 2 ) ( + + ) V x y z x y z E 積 應 3 (1 - 2 ) 。 變 【註】當 x= y= z= 時, V= E 體 積 彈 性 係 數

應力與體積應變之比值,稱為體積彈性係數,以 E V 為符號,即 E V= E V=

V

,且

E , 為蒲松氏比。 3(1 - 2 )

1 雜  蒲松氏比( )的倒數,稱為蒲松氏數,以 m 為符號,即 m = ,因 0 <

< 

1 ,故 m 恆> 2。 2

應力 應變圖是非常重要的,務必要會!


9-18

第9章

張力與壓力

綜合

得 分

評量

自我研習(每題 4 分,共計 100 分)

動手去做,才有收穫

( A ) 下列有關應力單位之敘述何者錯誤?  1Pa = 1N/cm 2  1kPa = 1kN/m 2  1MPa = 1N/mm 2  1GPa = 1kN/mm 2。 * ( B ) 如圖 所示為厚度 5mm 的薄鐵板,在鐵板鑽了 2 個直徑 10mm 的圓孔,兩端承

B

受拉力 P = 600N,該鐵板的最大張應力為何?  4MPa  6MPa  20MPa  30MPa。 ) 某材料之破壞拉應力為 60MPa,若此材料之截面為邊長 20mm 之正方形,則須 若干拉力始可破壞之?  15kN  24kN  150kN  240kN。

D ) 一鑄鐵短圓柱受壓縮負荷 8000 N作用,若極限應力為 80MPa,安全係數為 4, 欲安全承受此負荷時,此圓柱之直徑至少為  10mm  20mm  30mm  40mm。 * ( B ) 承第題,若欲將圓柱改為外徑 50mm 的空心圓柱,則其內徑 至少 30mm 至多 30mm 至少 40mm 至多 40mm。 * ( D ) 如圖 所示,3000N 的垂直外力施於 C 點,BC 為一繩索,AC 為一桿件,AC 桿 的截面面積為 100mm 2,則 AC 桿件所承受之應力為  40MPa,拉應力  40MPa,壓應力  50MPa,拉應力  50MPa,壓應力。 * (

A ) 材質相同的 A、B 二圓桿,直徑比為 2:1,所受的負荷比為 3:2,則 A、B 二 桿之應力比為  3:8  8:3  3:1  3:2。 * ( B ) 如圖 所示之鏈條裝置,若拉力 F =2500 N,鏈條直徑為 5mm,則 A-A 截面之鏈 條所受之拉應力為何?  400MPa  200MPa  400 MPa  200 MPa。 ( C ) 長 75cm 之金屬拉桿受一軸向拉力後,長度變為 76.5cm,則此桿所生之應變為  0.02 %  0.2 %  2 %  0.2。 * (

( A ) 下列有關彈性係數(E)的敘述何者錯誤? 材料形狀愈複雜,E 愈大  E 的單位與應力的單位一樣  E 的大小與應力無關  E 又可稱為楊氏係數。 ( B ) 一均質等截面之直桿,承受一通過桿之橫截面形心,且與桿軸線一致之拉力 P 作 用,將產生變形量 ,該桿件在線性彈性範圍內時,下列各項敘述何者正確? 桿之橫截面愈大,變形量 愈大 桿之長度愈大,變形量 愈大 桿之彈 性係數愈大,變形量 愈大

變形量 與桿橫截面大小無關。


第9章

* (

張力與壓力

9-19

A ) 一根鋁材試件如圖 ,若其試桿直徑 d 0= 25mm,標記長度 L 0= 250mm,則在 P =175 kN 的軸向拉力作用下,標記長度 L 0 伸長了 4mm,試求其彈性係數 E 為 何?  70GPa  80GPa  100GPa  200GPa。

) 一高 100mm,截面面積 500mm 2 之鑄鐵基座,受壓力作用後縮短 0.4mm,若鑄 鐵之楊氏係數為 100GPa,則該基座所受壓力為  200N  400N  200kN  400kN。 * ( A ) 以一滑輪裝置來等速拉升重 1200N 的物體如圖 所示,若不計滑輪重量及摩 擦,而繩索之降伏強度為 400MPa,安全因數取 4,則 A 繩之截面積至少為何?  4mm 2  8mm 2  16mm 2  32mm 2。 * ( A ) 圖 所示為一桿子的受力情況,若桿子的截面面積為 500mm 2,彈性係數為 * (

C

200GPa,試求 mn 截面所受的應力為何?  10MPa,拉應力 應力  8MPa,拉應力  8MPa,壓應力。

 10MPa,壓

D ) 承第題,C 點的位置為 向左移 0.04mm 向右移 0.04mm 向左移 0.16mm 向右移 0.16mm。 * ( B ) 承第題,該桿件的總變形量為 伸長 0.16mm 伸長 0.4mm 伸長 0.64mm 伸長 0.8mm。 * ( C ) 一圓柱長 100mm,直徑 40mm,受壓力作用後,其長度縮短 0.36mm,直徑增加 * (

2 1 1 2    。 15 5 3 5 * ( D ) 某鑄鐵短圓柱高 200mm,直徑 40mm,今受軸向壓力 62.8kN 作用,則其直徑的 變化量為何?(設鑄鐵的彈性係數為 125GPa,蒲松氏比為 0.25)  0.02mm  0.04mm  0.002mm  0.004mm。 * ( D ) 某材料受雙軸向應力如圖 所示,其中 y=- x,則 z 軸的應變為 (1 + ) x (1 + ) y -2 x     0。 E E E 0.048mm,則其蒲松氏比為


9-20

第9章

張力與壓力

) 如圖 所示,物體受 x= 200MPa, y=- 100MPa 之應力作用,若該物體的彈性 係數為 200GPa,蒲松氏比為 0.3,試求物體在 y 軸的應變為何? -210 - 4 -410 - 4 -810 - 4 -8.510 - 4。 * ( A ) 如圖 所示,桿件在彈性限度以內,受軸向拉力 P 作用產生之軸向應變為 1 ,若蒲松氏比 = 0.30,該桿件之體積應變為  410 - 3  710 - 3 100  410 - 4  710 - 4。 * (

C

( A ) 某材料之蒲松氏比 = 0.25,彈性係數為 120GPa,則該材料的體積彈性係數為  80GPa  120GPa  150GPa  180GPa。 * ( C ) 某材料之彈性係數為 E,蒲松氏比為 ,體積彈性係數為 E V,若該材料的 E V 恰 = E,則 為 * (

C

1 5

1 4

1 3

2 。 5

) 承第題,若該材料的體積彈性係數 E V >彈性係數 E,則其蒲松氏比 的範圍 1 1 1 1 1  >  > > 0 < < 。 為  > 3 4 2 3 4

自我挑戰 (

肯定自己,不要畏懼

B

) 下列有關材料性質之敘述,何者錯誤? 強度較低之金屬材料一般具有較佳 的延展性 金屬因具有彈性,所以加工非常方便 脆性材料斷裂時其變形 量較延性材料小 剛度與強度所代表的意義並不同。 * ( A ) 拔 河 用 的 繩 子,係 由 多 根 的 細 麻 繩 絞 成,若 細 麻 繩 的 w= 12MPa,直 徑 為 10mm,今有一拔河比賽,每隊有 20 人,若平均每人可沿繩子方向出力 60 N, 則此拔河繩至少需由幾根細麻繩絞成?  4 根  5 根  6 根  7 根。 * ( B ) 如圖 所示一均質鋼棒 AB 長 4m 重 200N,由銅索及鋁索懸吊,銅索與鋁索的 截 面 面 積 分 別 為 80mm 2 及 40mm 2,而 銅 索 與 鋁 索 所 能 承 受 之 容 許 拉 應 力 為 20MPa 及 10MPa,試求該裝置所能承受的最大壓力 P 為多少 N?  1000N  1200N  1500N  2000N。 * ( A ) 三條金屬線 a、b、c 之材料及截面積皆相同,桿子一端以樞軸固定,另一端則受 到 P 力的作用如圖 所示,設此桿為剛體,則此三條金屬線的應變比為  1:1:1  1:2:3  1:4:6  1:4:9。 * ( D ) 有一混凝土柱及鋼柱之混合體,其受力如圖 所示,作用在混凝土的 P 係對稱 於中心軸,混凝土之彈性係數為 140GPa,鋼之彈性係數為 200GPa,欲使該混合 體總變形量= 0,則 P 力之大小為  20kN  25kN  30kN  35kN。


第9章

張力與壓力

9-21

A ) 某鑄鐵其尺寸 x= 300mm、 y= 200mm、 z= 100mm,當其 x、y 軸分別受到 壓應力 80MPa 及壓應力 40MPa 的作用時,x、y 軸分別縮短 0.21mm 及 0.04mm, 則此鑄鐵之彈性係數為  100GPa  120GPa  150GPa  200GPa。 * ( C ) 一鋁棒之截面尺寸為 10mm20mm,長度為 1.5m,若鋁棒之允許張應力為 105MPa,允許伸長量為 3mm,試求此棒所能承受的最大軸向拉力為若干?(鋁 之彈性係數為 70GPa)  35kN  28kN  21kN  15kN。 * ( B ) 一質量 10kg 之物體,以一軟繩繫緊,手持細繩之另一端,而作半徑 50cm 每秒 一圈之水平等速圓周運動,若繩子的截面積為 20mm 2,則軟繩所受之拉應力約 為  5  10  15  20 MPa。 * ( B ) 有一鋁桿長 100mm,橫斷面為邊長 10mm 之正方形,受軸向拉力後,其縱向應 * (

B

變為 0.001,若蒲松氏比為 0.3,則其體積之改變量為  2  4  6  8 mm 3。 ) 某一材料之蒲松氏比(Poisson's ratio)為 0.3,若在彈性限度內,則其體積彈性 5 5 係數( E V )與彈性係數(E)之關係式為  E = E V  E V= E 6 6 5 5 E E = E 。  E V= 13 13 V

歷屆試題

掌握脈動,一定高中

《經典回顧》 ( A ) 下列有關材料比例限度(proportional limit)的敘述,何者錯誤? 之比例限度皆相等 在比例限度以下,應力與應變成正比關係

C

B

* (

各種材料 材料之比

例限度小於其降伏強度 在比例限度以下,當受力物體之外力去除後,該物 體可以完全恢復原狀。 ) 長度與截面積皆相同的鋼桿和銅桿,受到同樣大小的軸向拉力作用,則兩桿具 有相同的 伸長量 張應變 拉應力 剪應變。 ) 理論上,蒲松氏比(Poisson's ratio) 之最大值為  0.25  0.5  1  2。

A ) 某實心圓軸受到拉伸負荷作用,若將其軸徑加倍,則其伸長量會變為原來之 1 1  倍  倍  2 倍  4 倍。 4 2


9-22

* (

C

第9章

張力與壓力

) 圖 所示之均質水平桿,長度為 5m,兩端分別以長 3m 之黃銅索及 2m 之鋁索繫之,水平桿本身重量不 計,且 承 受 一 400kg 之 負 荷,黃 銅 之 彈 性 係 數 E Br= 1.0510 6 kg/cm 2,鋁之彈性係數 E A = 0.7 10 6 kg/cm 2,且已知鋁之截面積為 2cm 2,如欲使此桿 於承受負荷後仍保持水平,則黃銅索之斷面積應為  1.33  2.67  3.00  4.00 cm 2。

《熱門嚴選》 * (

B

C

) 某機械零件在互相垂直之三軸向均承受相等的軸向應力,若應力不變而材質改 變,使其彈性係數由 E 變成 1.2E,蒲松氏比由 0.3 變成 0.2,則各軸向所產生之 91 統測 應變會變成原來的多少倍?  0.75  1.25  1.5  1.8。 ) 一均質桿件受到 5600N 之軸向拉力,若桿件本身之重量不計,且其容許拉應力 為 400MPa,則桿件之斷面積最少需為多少 mm 2?  6.25  9.5  14 91 統測  19。

D )一材質均勻之實心圓軸,在彈性範圍內,受到軸向之拉伸負荷作用,在不改變材 質、工件長度及負荷大小之情況下,僅將軸徑由 15mm 改變為 45mm 時,其伸 1 1 91 統測 長量會變為原來之多少倍?  3  9   。 3 9 ( C ) 對於機械設計上所使用的係數或因數而言,下列敘述何者錯誤? 蒲松氏比 的範圍為 0 < < 0.5 楊氏係數 E 為應力與應變之比 剪割彈性係數 G 與 92 統測 楊氏係數 E 無關 安全因數必須大於 1。 * ( A ) 如圖 所示,同材料圓柱 A、B,其長度 L 相等,又於彈性限度內,A 圓柱直徑 為 d 1,承受一 P 的壓力產生 1 的變形量,而 B 圓柱直徑為 d 2= 2d 1,承受 2 倍 P 的壓力產生 2 的變形量,則變形量 1 與 2 的比為  2:1  1:1  1:2  1:4。 92 統測 * (

* (

* (

B

) 如圖 所示,一長方形鐵板中,其中央圓孔直徑 d = 10mm,兩端承受拉力 P = 2000N,其長度為 100mm,寬度為 50mm,厚度為 10mm,該鐵板承受最大拉應 92 統測 力為  0.5MPa  5MPa  4MPa  40MPa。

D ) 材料進行張力(或拉力)試驗時,在彈性限度內可得應力與應變的線性變化區

B

域,在該區域內應力與應變的比值稱為 比例限度 剪割彈性係數 體 93 統測 積彈性係數 彈性係數。 ) 下列有關應力與應變的敘述,何者不正確? 張應變與壓應變均為無單位量 (或無因次量) 剪應力的方向與其作用面互相垂直 剪應變的單位用弧 度(或弳度)表示 依照虎克定律,材料在彈性限度內,應力與應變成正比 93 統測 關係。


第9章

C

) 一延性材料的降伏應力為 列何者正確?

* (

* (

* (

* (

y

,容許應力為

 n 須小於 1

y

w

= n

w

張力與壓力

9-23

,安全係數為 n,則進行設計時下 

w

y

= n

w

須大於

y

94 統測 C ) 一等截面圓桿,其截面積為 100mm ,彈性係數 E 為 200GPa,其受力情形如圖 所示,則點 C 會向左偏移多少 mm?  0.25  0.375  0.525  0.60。 95 統測 C ) 有一鑄鐵製圓管,其外徑為 100mm,內徑為 80mm;鑄鐵材料之抗壓極限強度 為 250N/mm 2,此圓管受到壓縮負荷作用,若安全因數取 2.5,則此圓管之最大 95 統測 容許負荷為多少 kN?  9  25  90  360 。 2 C )一斷面積為 50mm 的圓桿,受到 2000N 的拉伸負荷作用,若其彈性係數為 200GPa,則其軸向應變為多大?  110 - 4  1.510 - 4  210 - 4 96 統測  2.510 - 4。 D ) 如圖 所示的鋼棒 ABCD,斷面積為 500mm 2,承受 4 個軸向負荷,已知鋼的彈 性係數為 200GPa,則該鋼棒的總伸長量為多少 mm?  0.575  0.925 96 統測  1.025  1.275。 2

D ) 一長度為 L、斷面積為 A 的鋼桿,其彈性係數為 E,降伏強度為 S,受到拉伸負 nL nS SL   荷作用,若安全因數為 n,則容許的伸長量為  AE AE nAE SL 96 統測 。  nE * ( A ) 已知某鋼索的極限強度為 700N/mm 2、斷面積為 100mm 2,若該鋼索可承受的最 大荷重為 7000N,則該鋼索以極限強度為依據的設計安全因素為多少?  10 97 統測  12  15  16。 * ( C ) 如圖 所示的簡單構架,在 B 點承受垂直負荷 F,已知桿件 AB 與 BC 的材料相同,且斷面積比為 1:2,欲使兩桿件內所承受 的正向應力值相等,則 cos 的值應為多少?  0.25  0.33 97 統測  0.50  0.67。 * ( C ) 一圓桿的長度為 100mm,直徑為 10mm,已知圓桿材料的蒲松 * (

氏比為 0.25,若此圓桿受拉力而伸長 0.1mm,則其直徑將收縮 多少 mm?  0.025  0.01  0.0025  0.001。 98 統測


9-24

第9章

張力與壓力

* (

C

) 欲以一長 1m、等橫截面積為 300mm 2、彈性係數為 100GPa 的金屬圓桿,懸吊一 重物 W,如圖 所示;若圓桿材料的降伏強度為 400MPa,容許的伸長量為 1mm,試求此金屬圓桿的安全因數?  2  3  4  5。 98 統測

* (

C

) 如圖 所示,一鋼桿受到單一軸向拉力 P 作用,此鋼桿由兩段長度相等但斷面 不同的圓柱鋼桿組成。已知 AB 段的斷面積是 BC 段斷面積的兩倍,若將此兩段 圓柱鋼桿長度各減半,在受到相同的單一軸向拉力作用下,則其軸向的總變形 量與原先總變形量的比值是多少?  1  0.75  0.5  0.25。 99 統測

D ) 一 實 心 圓 形 斷 面 之 鑄 鐵 材 料,承 受 125kN 的 壓 力 負 載,若 其 極 限 應 力 為 900MPa,安全因數為 9,則其直徑應為多少 mm?  16  25  32  40。 99 統測 * ( C ) 如圖 所示,一物體 W 之重量 2000N,以 AB 吊索及 BC 鋼桿之結構支撐其重 量,若鋼桿之降伏應力為 500MPa,安全因數為 5,則 BC 桿之截面積至少應為 100 統測 多少 mm 2?  2  6  10  25。 * ( B ) 有一長度為 L 之銅合金圓棒,其直徑為 D、彈性係數為 E、蒲松氏比為 。若此 * (

圓棒承受一軸向拉力 F 作用後,圓棒之直徑縮小多少? 2FL D2E

2 F DE

4 F DE

4 F 100 統測 。 D2E * ( C ) 一均勻且截面積為 50mm 2 之拉伸試驗試棒,當負載從 0N 增加到 3000N,試棒在 受拉力的 100mm 長度範圍內伸長了 0.03mm,且材料變形仍在比例限內,則此 試 棒 材 料 之 彈 性 係 數 E 為 多 少?  110 5 N/mm  110 5 N/mm 2  200GPa  200MPa。 101 統測 * ( D ) 一薄鋼板,其鋼材彈性係數為 200GPa,蒲松氏比(Poisson's ratio)為 0.3,在 x、y 及 z 軸三個方向的尺寸分別為 125mm、250mm 及 1mm,當 x 及 y 方向同時 分別承受張力 50kN,則此薄鋼板在 z 軸方向縮短的尺寸為多少 mm?  0.0006 

 0.0007

 0.0008

 0.0009。

101 統測


突破機械力學複習講義