Page 1


Yes,You can 滿分推薦

3

打穩基礎,進階戰勝統測

基礎題針對單元觀念 與公式,成果驗收

進階題提供綜合性問題, 融會貫通拿高分


第 章 直線方程式

影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看

QRcode (

Chapter

1

)

1

1

直線方程式

1

趨勢分析

歷年統測試題數: 年度 年 94

題數

3

95

96

3

97

6

98

5

99

2

100

2

2

101

3

實數、直角坐標、二次函數的圖形與極值、直線方程式。 最常考題型 分點公式、函數的極值問題、各類直線方程式的求法。 次重要題型 距離公式、函數的圖形、平行線與垂直線的求法。 本單元是直角坐標幾何的基礎知識,各種圖形、觀念與公式必須要理解與熟記,其 綜合分析 中「二次函數的極值」常在其他單元出現,一定要熟悉。 對於 的實數與絕對值不等式,老師可依實際情況來決定講授時機。 主題簡介

1-1

實數與直角坐標

1-1

實數 重點整理 實數系: 自然數( » ):又稱「正整數」,如: 、 、 、 。 整數( » ):正整數、零與負整數合稱「整數」,如: −1、 、 、 。 有理數( » ):可表示成 qp 的數稱為「有理數」,其中 p 、 q 為整數,且 p ≠ 0 。 因為整數、有限小數、循環小數皆可表示為 qp ,所以也是有理數。 無理數:無法表示成 qp 的數(不循環的無限小數)稱為「無理數」,如: π 、 2 。 實數( » ):有理數與無理數合稱「實數」,而實數點填滿數線。 若 x 為實數,可以記作 x ∈ » ,其中「∈ 」唸作屬於,其餘依此類推。 1.

(1)

1

2

3

4

(2)

0

(3)

(4)

(5)

自然數( )→ 整數()零 → 負整數 → − − − 有理數( ) 實數() ⎧ 分數 ⎪⎨有限小數 →  ⎪循環小數 →  ⎩ 無理數(不循環的無限小數)→ π  ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1, 2, 3,

0

1,

1

,

2

3

2,

,

4

0.2, 0.34, ,

2,

3,





1

2


2

2.

第 1 章 直線方程式

實數的性質: 設 a 、 b 、 c 均為實數( a 、 b 、 c ∈ » ), (1) 加法與乘法的交換律: a + b = b + a , ab = ba 。 (2) 加法與乘法的結合律: a + b + c = a + b + c , ab c = a bc 。 (3) 乘法的分配律: a b + c = ab + ac 。 (4) 三一律:對於 a < b , a = b , a > b ,恰有一式成立。 (5) 若 a > b ,則 a − b > 0 ;若 a < b ,則 a − b < 0 。 (6) 若 a > b 且 c > 0 ,則 ac > bc ;若 a > b 且 c < 0 ,則 ac < bc 。 (

(

)

3

(

)

(

)

有理數與無理數 ☆

下列何者為有理數?

(C)0 (D)5 (E) 3 4 。

9

)

)

1

(A) 7 (B) −

(

由定義可知:(A)(B)(C)(D)

下列何者為無理數? (A)3.14 (B)

(C) 5π (D)

0.3

由定義可知:(C)(D)

絕對值 重點整理 1. 絕對值: 實數 x 的絕對值,記作 x ,幾何意義為數線上點 x 到原點 0 的距離。 x ,當x ≥ 0 (1) 若 x 為實數,則 x = ⎧⎨ ,另外 x = x 。 ⎩− x ,當x < 0 ( )

( )

2

⇔ 點 x 到原點 0 的距離等於 k ⇔ x = ±k ( k > 0 )。 (3) 若兩點 A x 與 B y 在數線上,則 AB = x − y = y − x 。 (4) 當 x ≥ a 時, x − a = x − a ;當 x ≤ a 時, x − a = − x − a 。 絕對值方程式: = ,則 (1) 若 = ± ,其中 k > 0 。 (2) 若 x − a + x − b = f x ,則對 a 、 b 分段討論求解。 (2)

x

=k

( )

( )

2.

( )

(

)

(

f ( x)

k

f ( x)

)

k

( )

絕對值方程式 ☆

2

若 4x + 1 = 3 ,試求 x 的值。 4 x + 1 = −3 或 ⇒ 4 x = −4 或 ⇒ x = −1 或 12

3

2

若 2x − 3 = 4 ,試求 x 的值。 2 x − 3 = −4 或 ⇒ 2 x = −1 或 ⇒ x = − 12 或 72

4

7

2 3

(E)

4


第 章 直線方程式 1

絕對值的化簡 ☆☆

3

若 −3 ≤ x ≤ 2 ,化簡 x + 3 + x − 2 。

若 −4 ≤ x ≤ 3 ,化簡 x − 3 + x + 4 。

∵ −3 ≤ x ⇒ x + 3 ≥ 0 x≤2⇒ x−2≤0 ∴原式 = x + 3 − x − 2 = 5 (

∵ −4 ≤ x ⇒ x + 4 ≥ 0 x ≤3⇒ x −3≤ 0 ∴原式 = − x − 3 + x + 4 = 7

)

(

)

絕對值方程式 ☆☆☆

4

試解方程式 x + 2 = 3x + 4 。

試解方程式 x − 1 = 2 x + 5 。

當 x > −2 : x + 2 = 3x + 4 ⇒ x = −1  當 x ≤ −2 : − x + 2 = 3x + 4 ⇒ x = − 32 (不合) 由 知: x = −1 (

當 x > 1 : x − 1 = 2x + 5 ⇒ x = −6 (不合)  當 x ≤ 1 : − x − 1 = 2x + 5 ⇒ x = − 34 由 知: x = − 43

)

(

)

絕對值不等式 重點整理 1. 絕對值的性質: 設 x 、 y 均為實數且 k > 0 ,則 (1) x ≤ k ⇔ 點 x 到原點 0 的距離 ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k 。 (2) ≥ ⇔ 點 x 到原點 0 的距離 ≥ k ⇔ x ≤ −k 或 x ≥ k 。 x

k

( )

( )

( )

( )

≤k

x

2.

(3)

x

x 2

2

≥k 2

≥ y ⇔ x − y ≥ 0 ⇔ ( x + y )( x − y ) ≥ 0 ⇔ x − y ≥ 0 ⇔ x ≥ y

2

絕對值的應用: ≤ ,則 − ≤ (1) 若 ≤ ,其中 k > 0 。 ≥ ,則 ≥ 或 f x ≤ −k ,其中 k > 0 。 (2) 若 (3) 若 ≥ ,則 ⎡⎣ ⎤⎦ ≥ ⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦ ≥ 0 。(平方差) (4) 若 x − a + x − b ≥ f x ,則對 a 、 b 分段討論,合起來為不等式的解。 f ( x)

k

f ( x)

k

f ( x)

k

f ( x)

g ( x)

f

( x)

( )

k

f ( x)

( )

k

2

g ( x)

2

f ( x)

2

g ( x)

2

3

1


4

第 1 章 直線方程式

絕對值不等式 ☆☆

5

試解不等式:(1) (1)

(2)

x +1

(2)

>4

x + 1 < −4 或 x + 1 > 4 ⇒ x < −5 或 x > 3

2x −1 ≤ 3

試解不等式:(1) (1)

−3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ 2 x ≤ 4

(2)

⇒ −1 ≤ x ≤ 2

x −3

(2)

≤2

3x + 2 > 1

−2 ≤ x − 3 ≤ 2

⇒1≤ x ≤ 5 3 x + 2 < −1 或 3 x + 2 > 1 ⇒ 3x < −3 或 3x > −1 ⇒ x < −1 或 x > − 13

絕對值不等式 ☆☆☆

6

試解不等式: x − 2 + x − 3 ≤ 3 。

試解不等式: x − 1 + x − 4 ≥ 5 。 當 x < 1 : − x −1 − x − 4 ≥ 5 ⇒ x ≤ 0  當 1 ≤ x ≤ 4 : x − 1 − x − 4 ≥ 5 ⇒ 3 ≥ 5 (不合)  當 x > 4 : x −1 + x − 4 ≥ 5 ⇒ x ≥ 5 由 知: x ≤ 0 或 x ≥ 5

當 x < 2 :− x−2 − x−3 ≤3 ⇒ x ≥ 1∵⇒ 1 ≤ x < 2  當2 ≤ x ≤3: x−2− x −3 ≤3 ⇒1≤ 3 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3  當 x >3: x −2+ x −3≤3 ⇒ x ≤ 4∵⇒ 3 < x ≤ 4 由 知: 1 ≤ x ≤ 4 (

)

(

)

(

x<2

(

)

)

(

)

(

)

x >3

點與坐標 重點整理 直角坐標平面(坐標平面): 平面上取兩條互相垂直的水平與鉛垂數線,使原點 O 重合,其中水平數線稱為「 x 軸」,鉛垂 數線稱為「 y 軸」,而原點的右方為 x 軸的正向,左方為 x 軸的負向,上方為 y 軸的正向,下 方為 y 軸的負向,如圖 一 ,此平面稱為「直角坐標平面」。 點坐標: 設 P 點在坐標平面上,從 P 點對 x 軸、 y 軸作垂線,分別交 x 軸、 y 軸於 A 、 B 兩點。若 A 、 B 兩點在 x 軸、 y 軸上所對應的數,分別為 a 與 b ,則以 a b 表示 P 點的坐標,記作 P a b , 其中 a 為 P 點的 x 坐標, b 為 P 點的 y 坐標,如圖 二 。 象限: 坐標平面的兩軸將平面分成四個區域,每一個區域稱為「象限」,其名稱與坐標的正負,如圖 一。 1.

(

)

2.

(

(

3.

(

)

)

,

)

(

,

)


第 章 直線方程式 1

4.

點與象限: 當 P 點在第一象限時,記作 P ∈ ,其他依此類推。

5

I

1

圖一 (

圖二

)

(

)

象限的判斷 ☆

7

若點 A a + b a 在第二象限,則點 P ab b 在 第幾象限? 統測 (

)

,

(

,

[93

∵ A∈ ∴ a + b < 0 且 a > 0 ⇒ b < 0 ⇒ ab < 0 故 P ab b 在第三象限

設 a > 0 > b ,則點 a −

)

(

]

∵a > 0 ,b < 0 ∴ a − 2b > 0 , 3a b < 0 故點 a − b a b 在第四象限

II

(

,

b a 2b )

2 ,3

在第幾象限? 統測 [99

D]

2

)

(

2 ,3

2

)

距離與面積公式 重點整理 坐標平面上的距離公式: 若兩點 A x y 與 B x y 在坐標平面上, 則 AB = x − x + y − y 。 利用直角三角形的畢氏定理可以證明。 三角形的面積公式: 若三點 A x y , B x y , C x y 在坐標平面上,則 △ ABC 面積 = 12 | xy xy xy xy | ( :加; :減) 1 = x y +x y +x y −yx −y x −y x 。 2 x x 凸 n 邊形的面積 = 12 | xy xy |。 (頂點為順時針或逆時針排列) y y 1.

( 1, 1 ) ( 1

( 2,

2)

2

2)

( 1

2)

2

2.

( 1, 1 )

( 2,

2)

( 3, 3 )

1

2

3

1

1

2

3

1

1 2

2 3

3 1

1 2

2 3

3 1

1

2

n

1

1

2

n

1

兩點間的距離 ☆

8

設 P 、Q 兩點的坐標分別為 線段 PQ 的長度為何? PQ =

2

( 6,

−3 )

⎡⎣ 6 − ( −2 ) ⎤⎦ + ⎡⎣( −3) − ( −9 ) ⎤ ⎦

= 82 + 62 = 10

、− (

2,

[97 2

, 統測

−9 )

]

坐標平面上兩點 P 為何?

(1, 3 )

PQ = (1 − 2 ) + ( 3 − 5 ) (

2

( 2, 5 )

的直線距離 統測 [91

2

=

和Q

2

2

−1) + ( −2 ) = 5

]


6

第 1 章 直線方程式

面積公式 ☆

9

設 A 、B 面積。 (1,1)

( 2, 3 )

面積 = 12 | 11 =

、C

,試求△ ABC 的

( 4, 5 )

設 A 、B 面積。 ( 4, 4 )

(1, 2 )

面積 = 12 | 44

2 4 1 | 3 5 1

1 3 + 10 + 4 − 2 − 12 − 5 = 1 2

=

、C

( 3,

−2 )

,試求△ ABC 的

1 3 4 | 2 −2 4

1 8 + ( −2 ) + 12 − 4 − 6 − ( −8 ) = 8 2

分點公式 重點整理 設 A x y 與 B x y 為坐標平面上的相異兩點, 分點公式: 若 P 點在 AB 上 A − P − B ,且 AP PB = m n , 則 P mxm nnx mym nny ,即 P = mBm ++ nnA 。 若 P 點在 AB 的延長線上,則 P = mBm −− nnA 。 ( 1, 1 )

( 2,

2)

1.

(

⎛ ⎜ ⎝

2.

2

+

+

1

,

)

2

+

1

+

:

:

⎞ ⎟ ⎠

中點公式: 若 AB 的中點為 M ,則 M x x y y ,即 M = A +2 B 。 ⎛ ⎜ ⎝

1

+

2

,

2

1

+

2

2

⎞ ⎟ ⎠

分點公式 ☆

10

點 A、B 之坐標分別為 − 、 ,若 C 點 在 AB 上且 BC = 4 AC ,試求 C 點的坐標。 統測 (1,

2)

( 6,13 )

∵ BC = 4 AC ⇒ AC : BC = 1: 4 ∴ C = 1B1 ++ 44 A = + − ( 6,13)

4 (1,

5

2)

[96

= ( 2,1)

]

設 A − 、 B 為坐標平面上兩點,且 C 為線段 AB 上一點,使得 2 AC = 3BC ,試求 C 點的坐標。 (

1, 2 )

( 4, 7 )

∵ 2 AC = 3BC ⇒ AC : BC = 3 : 2 + − ∴ C = 3B3 ++ 22 A = 3 ( 4, 7 )

2(

5

1, 2 )

= ( 2, 5 )


第 章 直線方程式 1

中點公式 ☆

11

設 P a b 、 Q 兩點之中點坐標為 − ,則 a + b = ? 統測 (

(

7

)

,

( 2, 3 )

2, 3 )

[92

P+Q

]

= ( −2, 3) ( 2, 3)

(

4, 6 )

(

( 4, 4 )

( 4,

1)

( 2, 3 )

設 BC 的中點 M

⇒P+ = − ⇒P= − ⇒ a = −6 , b = 3 故 a + b = −3 2

已知平面上有三點 A 、 B − 、 ,則線段 BC 之中點與 A 點的距離為 C 何? 統測

6, 3)

M=

B+C 2

所求 MA =

=

( 4,

(3

[99

−1) + ( 2, 3) 2

D]

= ( 3,1)

2

2

− 4 ) + (1 − 4 ) = 10

分點公式的應用 重點整理 平行四邊形的頂點關係: 在平行四邊形 ABCD 中,頂點關係為 A + C = B + D 。 平行四邊形的對角線互相平分,故 AC 與 BD 的中點重合 ⇒ A +2 C = B +2 D ⇒ A + C = B + D 。 三角形的重心公式(三條中線的交點為重心): 若△ ABC 的重心為 G ,則 G = A + B3 + C 。 如圖, AG : GM = 2 :1 ,再利用分點公式可證明。 1.

2.

平行四邊形的頂點關係 ☆

12

平行四邊形 ABCD 中,若 A 、 B 、C 三點的坐 標分別為 − 、 0 − 、 − ,則 D 點應 落在下列哪一個象限? 統測 (

5, 4 )

(

,

5)

( 4,

8)

[97

平行四邊形 ABCD 中,點 A 、 B 、 C 的坐標分 別為 、 、 − − ,試求 D 點坐標。 ( 3, 4 )

( 2, 5 )

(

1,

2)

A+C = B+ D

⇒ D = A+C − B

]

A+C = B+ D

⇒ D = A+C − B

= ( 3, 4 ) + ( −1, −2 ) − ( 2, 5)

= ( −5, 4 ) + ( 4, −8) − ( 0, −5)

= ( 0, −3)

= ( −1,1)

故 D 點在第二象限

三角形的重心 ☆

13

三角形三頂點的坐標分別為 A − 、 B − 、C ,試求三角形的重心坐標。 統測 ( 3,

(

1, 8 )

5)

( 7, 6 )

重心: A + B3 + C = − + − + ( 3,

5)

(

1,8 )

3

[97

( 7, 6 )

=

]

( 3, 3)

設 A 0 、B 重心坐標。 (

, 0)

( 2, 7 )

、C

重心: A + B3 + C =

( 7,

( 0, 0 )

−1)

+

,試求△ ABC 的

( 2, 7 ) 3

+ − = ( 7,

1)

( 3, 2 )

1


8

第 1 章 直線方程式

實力測驗1 1.

試回答下列的問題: 若 x −1 = 4 ,則 x = 5或 − 3 。 若 2x + 3 = 5 ,則 x = 1或 − 4 。 。 已知 −2 ≤ x ≤ 3 ,若 x − 3 + x + 2 = ax + b ,則數對 a b = 若方程式 x − 4 = 3x + 2 ,則 x = 12 。 試回答下列的問題: 不等式 x − > 的解為 x < −1或x > 5 。 不等式 2x + 1 ≤ 5 的整數解有 6 個。 若不等式 x − a < b 的解為1 < x < 5 ,則數對 a b = 。 不等式 x −1 + x − 3 ≤ 4 的解為 0 ≤ x ≤ 4 。 試回答下列的問題: 若 A x y 在第四象限,則 B y − x xy 在第 三 象限。 若 A x + y − 在第二象限,則 B y + x + 在第 四 象限。 已知 A 、 B 、 C 、 D − ,則四邊形 ABCD 的面積為 13 。 已知 A 、 B ,若 P 點在 AB 上,且 AP = 3BP ,則 P 點坐標為 。 已知點 M 為 A 、 B 兩點的中點,若 M 及 B 的坐標分別為 及 − ,則點 A 到點 C 的距離為 5 。 設 A − , B − ,若 P 點在 y 軸上,且 PA = PB ,則 P 點的坐標為 。 。 平行四邊形 ABCD 中, A 、 B − 、 C − − ,則 D 點的坐標為 − 已知 、 − 、 − − 為平行四邊形的三頂點,則第四個頂點坐標可能為 − 、 或 − 。 設 A − 、 B 、 C − ,則△ ABC 的重心 G 到點 D − 的距離為 5 。 已知 A 、 B − ,若△ ABC 的重心為 G ,且 M 為 BC 的中點,則 GM 的長為 2 。 (1)

(2)

2.

3.

4.

(

(1)

2

,

)

( 0, 5 )

3

(2)

* *

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

(

(1)

(

(2)

(

15.

)

(

(

( 0, 4 )

( 2, 0 )

( 5, 3 )

( 3,

)

( 3, 2 )

)

,

3)

5,

(1,1)

1)

1,

1)

( 6, 4 )

( 5, 3)

( 2,1)

( 2,

3)

(

(1, 6 )

3, 5 )

(

( 3,

2)

( 5, 7 )

4, 5 )

( 3,1)

(

1, 3 )

( 3, 0 )

5, 4 )

( 0, 2 )

(1, 6 )

(

14.

,

,

(1,

(

2)

(

1,

3)

(

3)

11)

( 2,1) ( 7,

1,

( 3,

( 5,

4)

9)

(

( 7,1)

2, 3 )

3, 5 )


第 章 直線方程式

函 數

1-2

1

9

函數的意義 重點整理 函數的定義: 設 x 、 y 是兩個變數,當 x 的值確定後,而 y 值依照某種規則而唯一確定,則稱「 y 是 x 的函 數」,記作 y = f x ,其中 x 稱為「自變數」, y 稱為「應變數」。 函數值: 設函數 y = f x ,當 x = a 時,則 y = f a ,稱「 f x 在 x = a 的函數值為 f a 」。 函數的定義域與值域: 設函數 y = f x ,則 x 的範圍稱為「定義域」,函數值 y 的範圍稱為「值域」。 1.

( )

2.

( )

(

)

(

)

(

)

3.

( )

分段函數 ☆

1

若 = ⎧⎪⎨⎪3 − 5,, ⎩ 的值。 x

f ( x)

f ( f (

x

,試求

≥0 x <0

x

f

( 3)

+

f

(

若 值。

−3 )

, ,

x

<2

x

≥2

,試求

f (

4) +

1

f ( )

4 ) = −4

3) = 3 × 3 − 5 = 4

f (

−3) = −3 = 3 = 4+3=7

f ( )

1 = 7 − 2 ×1 = 5

所求 =

所求

(

−4 ) + 5 = 1

函數值 ☆☆

2

⎧7 − 2 x =⎨ ⎩−4

f ( x)

f (x

+3 x+4 x

+ 2) =

,則

f

令 x + 2 = 12 ⇒ x = − 32 f

⎛1⎞ ⎜ ⎟= ⎝2⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟= ⎝2⎠

3

f

− +3 ⎛ 3 ⎞ 2 = ⎜ − + 2⎟ = 3 ⎝ 2 ⎠ − +4

2

[90

統測

]

f (

2 x − 1) =

2x 3x + 1

,則

令 2x −1 = 3 ⇒ x = 2 f (

3) =

f (

2 × 2 − 1) =

f

( 3)

=

[94

統測

]

2× 2 4 = 3× 2 +1 7

3 5

合成函數 ☆

3

若 = 的值。 f ( x)

x

2

g ( 0) = 0 + 1 = 1 f (g(

,試求

+ 5x g ( x ) = x + 1

0)) =

1 = 12 + 5 × 1 = 6

f ( )

f (g (

0))

若 值。

f ( x)

= −2

f (

,g

( x)

= 3x − 4

,試求

5) = −2

g( f (

5 ) ) = g ( −2 ) = 3 × ( −2 ) − 4 = −10

g( f (

5) )

1


10

第 1 章 直線方程式

線型函數 重點整理 函數圖形: 設函數 y = f x ,若將自變數 x 與應變數 y 組成數對 x y ,再將所有的 x y 在坐標平面上一一描繪,就是函數 f x 的圖形。 若函數 的圖形通過點 a b ,則表示 f a = b 。 由於 y 值唯一確定,故鉛垂線與函數圖形最多只有一個交點。 線型函數: 形如 y = f x = ax + b 的函數,稱為「線型函數」,圖形為一直線。 當 a = 0 時: f x = b 稱為「常數函數」,圖形為水平線。 1.

( )

(

(

)

,

(

f ( x)

(1)

(

,

)

,

)

(

)

)

(2)

2.

( )

( )

(1)

當 a ≠ 0 時: f

稱為「一次函數」,圖形為斜直線。 f x = ax + b 可看作直線的斜截式,其中 a 為斜率, b 為 y 截距。 當 a > 0 ,圖形往右上;當 a < 0 ,圖形往右下。

(2)

( x)

= ax + b

( )

3.

線型函數的極值: 設線型函數 在區間 α β ,其中 α β 表α ≤ x ≤ β , 則在 α 與 β 之中,較大者為最大值,較小者為最小值。 f ( x)

f (

)

[

f (

,

[

]

,

]

)

由線型函數的圖形可知,極值會出現在端點。 一次函數 ☆

4

若 y = f x 的函數圖形是一通過 兩點的直線,則 −1 = ? ( )

設f

f (

( x)

)

= ax + b

= ⇒ a + b =1… f 2 = 3 ⇒ 2a + b = 3 … 由 得 a = 2 , b = −1 故 f x = 2x − 1 所求 −1 = 2 × −1 − 1 = −3 f (1) 1 ( )

( ) f (

)

(

)

(1,1)

[90

( 2, 3 )

統測

]

若f f (

( x)

3) =

= ax + b

f (

0 ) = −2

= −2 ⇒ b = −2 2 = 4 ⇒ 2a + b = 4 ⇒ a = 3

f ( 0) f(

)

故 所求

f ( x) f (

= 3x − 2

3) = 3 × 3 − 2 = 7

f (

2) = 4

,則


第 章 直線方程式 1

一次函數的極值 ☆

5

試求 = 2 最小值 m 。 f

( x)

x

−3

在區間

[1, 4 ]

的最大值 M 與

試求 = −3 + 1 在區間 與最小值 m 。 f

1 = 2 × 1 − 3 = −1

f ( ) f (

( x)

4) = 2 × 4 − 3 = 5

∴ M = 5 , m = −1

x

f (

0) = 0 + 1 = 1

f (

2 ) = −3 × 2 + 1 = −5

M =1

[ 0, 2 ]

的最大值 M

m = −5

二次函數 重點整理 二次函數: 形如 y = f x = ax + bx + c ( a ≠ 0 )的函數,稱為「二次函數」,圖形為拋物線。 當 a > 0 時,開口向上;當 a < 0 時,開口向下。 a 愈大,開口愈小。 頂點坐標為 ba ac a b ,對稱軸為 x = − 2ba 。 1.

( )

2

(1)

⎛ ⎜− ⎝ 2

(2)

(3)

(4)

,

4

2

4

⎞ ⎟ ⎠

若 a > 0 ,則在 x = − 2ba 時, 若 a < 0 ,則在 x = − 2ba 時, ⎛

y = ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + ⎝

f ( x)

f ( x)

有最小值 f 有最大值 f

代數意義

幾何圖形

4ac − b 2 4a

⎛ b ⎞ ⎜− ⎟= ⎝ 2a ⎠

4ac − b 2 4a

⎡ b ⎞ b ⎛ b ⎞ x ⎟ + c = a ⎢ x2 + x + ⎜ ⎟ a ⎠ a ⎝ 2a ⎠ ⎢ ⎣ 2

二次函數 頂點

⎛ b ⎞ ⎜− ⎟= ⎝ 2a ⎠

⎡ ⎛ b ⎞⎤ = a ⎢x − ⎜ − ⎟⎥ + ⎝ 2a ⎠ ⎦ ⎣

4ac − b 2 4a

2

⎤ ⎥+c− ⎥ ⎦

。 。

b2 4a

。 2

y = ax 2 + bx + c

y = a ( x − h) + k

2

⎛ b 4ac − b ⎞ , ⎜− ⎟ 4a ⎝ 2a ⎠

( h, k )

在 x = − 2ba 時,有極值 4ac4a b −

2

11

在 x = h 時,有極值 k

1


12 2.

第 1 章 直線方程式

二次函數的求法: 已知過三點坐標:設函數 f x = ax + bx + c ,代點反求係數。 已知頂點 h k :設函數 f x = a x − h + k ,代另一點求 a 。 二次函數在 x = h 時,有極值 k ,表示頂點為 h k 。 2

( )

(1)

(

(2)

)

,

( )

(

)

2

(

過三點求二次函數 ☆☆

6

設函數 y = f x 為通過 − 、 三點的拋物線,試求 。 ( )

設f

(1,

1)

( 2, 4 )

、− (

1,1)

f ( x)

( x)

若二次函數 = −1 = −2 , y

f

(

= ax 2 + bx + c

= −1 ⇒ a + b + c = −1 … f 2 = 4 ⇒ 4a + 2b + c = 4 … f −1 = 1 ⇒ a − b + c = 1 … − : 3a + b = 5 … − : 3a + 3b = 3 ⇒ a + b = 1 … − : 2a = 4 ⇒ a = 2 a = 2 代入: 6 + b = 5 ⇒ b = −1 a = 2 , b = −1 代入 : 2 − 1 + c = −1 ⇒ c = −2 所求 = 2 − − 2 f ( x)

x

( x)

(

)

2

設f

( 2)

f

滿足 1 = 2 , 。 = 7 ,試求

( x)

f

( )

f ( x)

= ax 2 + bx + c

f (1) 2

( ) (

)

f

= ⇒a+b+c = 2 … f −1 = −2 ⇒ a − b + c = −2 … f 2 = 7 ⇒ 4a + 2b + c = 7 … − : 2b = 4 ⇒ b = 2 − : 3a + 3b = 9 ⇒ a + b = 3 … b = 2 代入: a + 2 = 3 ⇒ a = 1 a = 1 , b = 2 代入 : 1 + 2 + c = 2 ⇒ c = −1 所求 = + 2 − 1

f (1)

)

( )

f ( x)

x

2

x

x

二次函數的頂點 ☆

7

)

,

f ( x)

a −b =

= 5x2 + 6 x + 1

頂點

在 x = a 時有最小值 b,則 統測 [96

]

2

⎛ 6 4 × 5 ×1 − 6 ⎞ 4⎞ ⎛ 3 , ⎜− ⎟ = ⎜ − ,− ⎟ 2 × 5 4 × 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ a = − 53 , b = − 54 所求 a b 53 −

⎞ ⎛ 4⎞ ⎟ −⎜− ⎟ = ⎠ ⎝ 5⎠

⎛ = ⎜− ⎝

試求函數

頂點

f ( x)

= 2 x2 + 4 x + 5

的頂點坐標。

2

⎛ 4 4× 2×5 − 4 ⎞ , ⎜− ⎟ = ( −1, 3) 4× 2 ⎝ 2× 2 ⎠

1 5

已知頂點求二次函數 ☆☆

8

設 函 數 f x = 2 x + bx + c 的 頂 點 坐 標 為 ,試求 b 與 c 的值。 2

( )

(1, 3 )

2

= 2 ( x − 1) + 3 = 2 x 2 − 4 x + 5 b = −4 c = 5

f ( x)

若圖形 y = − x + px + q 的最高點為 求 p 與 q 的值。 2

y = − ( x − 2)

故 p =4,

2

+ 6 = − x2 + 4x + 2 q=2

( 2, 6 )

,試


第 章 直線方程式 1

已知頂點求二次函數 ☆☆

9

若二次函數 0 = 5 ,試求 f (

)

設f

( x)

f (

(

−1, 2 )

,且

若二次函數 的最低點為 − ,試求 3 的值。 f ( x)

)

( 2,

2

= a ( x + 1) + 2

= ⇒ a 0 +1 + 2 = 5 ⇒ a = 3

f ( 0) 5

故 所求

的頂點為 −3 的值。

( x)

f

f ( x) f (

(

)

2

2)

設f

f (

( x)

f ( 2)

(1,

−4 )

13

,且過點

)

2

= a ( x − 1) − 4

= −2 ⇒ a 2 − 1 − 4 = −2 ⇒ a = 2 (

)

2

故 f x = 2 x −1 − 4 所求 3 = 2 3 − 1 − 4 = 4

2

= 3 ( x + 1) + 2

( )

2

−3) = 3( −3 + 1) + 2 = 14

f (

(

)

)

(

2

)

2

二次函數的係數判斷 重點整理 設二次函數 y = f x = ax + bx + c ,令 D = b − 4ac ,對於圖形 開口:向上 ⇔ a > 0 ;向下 ⇔ a < 0 。 頂點: y 軸右側 ⇔ a 、 b 異號; y 軸左側 ⇔ a 、 b 同號; y 軸上 ⇔ b = 0 。 a 、 b 異號 a 、 b 同號 ( )

2

2

(1) (2)

(3) (4)

由頂點 x 坐標 − 2ba 的位置可以說明,頂點在 y 軸右側 ⇔ − 2ba > 0 ⇔ 2ba < 0 ⇔ a 、 b 異號。 圖形與 y 軸的交點為 c :藉此可判斷 c 值。 圖形與 x 軸的交點數: 個 ⇔ D > 0 ; 個 ⇔ D = 0 ; 個 ⇔ D < 0 。 ( 0, )

D>0

2

1

D=0

D<0

由頂點 y 坐標 4ac4a− b = −4Da 的位置可以說明, 當開口向上( a > 0 )且與 x 軸有 個交點:頂點 y 坐標 < 0 ⇔ −4Da < 0 ⇔ −D < 0 ⇔ D > 0 。 a + b + c 代表 1 的值; a − b + c 代表 −1 的值。 2

2

(5)

0

f ( )

f (

)

1


14

第 1 章 直線方程式

二次函數係數的判斷 ☆☆

10

若 f x = ax + bx + c 的圖形 如右,判斷下列各數的正 b c 負: a b − 4ac 。 (1)

(4)

右圖為 y = ax + bx + c 的圖 形,判斷下列各數的正負: a b c b − 4ac 。 2

2

( )

(2)

(1)

(3)

2

(1) (2) (3) (4)

開口向上: a > 0 頂點在 y 軸右側: a 、 b 異號 ⇒ b < 0 與 y 軸的交點 c ⇒ c > 與 x 軸有 個交點 ⇒ b − 4ac > 0 ( 0, )

(1) (2) (3)

0

2

2

(2)

(3)

(4)

2

(4)

開口向下: a < 0 頂點在 y 軸左側: a 、 b 同號 ⇒ b < 0 與 y 軸的交點 c ⇒ c < 與 x 軸有 個交點 ⇒ b − 4ac < 0 ( 0, )

0

2

0

二次函數與 x 軸的關係 ☆

11

若二次函數 x = kx 點,試求 k 的範圍。 f (

)

2

+ 2x −1

與 x 軸沒有交

若 y = 3x 值。

2

− kx + 1

的圖形與 x 軸相切,試求 k 的

D = 0 ⇒ ( −k )2 − 4 × 3 ×1 = 0 ⇒ k = ±2

D < 0 ⇒ 22 − 4 × k × ( −1) < 0 ⇒ k < −1

3

二次函數與坐標軸的交點 ☆☆

12

若二次函數 y = x − 5x + 6 的圖形與 y 軸交於 A 點,與 x 軸交於 B 、C 兩點,試求 △ ABC 的 面積。 2

令 x = 0 代入二次函數得 y = 6 ,即 A 令 y = 0 代入二次函數得 x − 5x + 6 = 0 ⇒ x −2 x−3 = 0 ⇒ x = 2 或3 取 B ,C △ ABC 的面積為 12 ×1× 6 = 3

( 0, 6 )

2

(

)(

( 2, 0 )

)

( 3, 0 )

若二次函數 y = − x + 3x + 4 的圖形與 y 軸交於 A 點,與 x 軸交於 B 、C 兩點,試求 △ ABC 的 面積。 2

令 x = 0 代入二次函數得 y = 4 ,即 A 令 y = 0 代入二次函數得 − x + 3x + 4 = 0 ⇒ x − 3x − 4 = 0 ⇒ x +1 x − 4 = 0 ⇒ x = −1 或 4 取 B −1 , C △ ABC 的面積為 12 × 5 × 4 = 10

( 0, 4 )

2

2

(

)(

(

, 0)

)

( 4, 0 )


第 章 直線方程式 1

二次函數的恆正與恆負 重點整理 設二次函數 x = ax + bx + c , 若 x 恆為正數,則 a > 0 且 b − 4ac < 0 。 若 恆為負數,則 a < 0 且 b − 4ac < 0 。 由拋物線圖形與 x 軸的位置關係可以說明。 「 x 恆正、 x > 0 恆成立、 的圖形在 x 軸的上方」都是相同敘述。 f (

(1)

f (

(2)

f

2

)

2

)

2

( x)

f (

)

( )

f

f

( x)

二次函數的恆正 ☆☆☆

13

若 ax

2

恆為正數,試求 a 的範圍。

− 4x + 3 a>0且D<0

若x

2

⇒ a > 0 且 −4 − 4 × a × 3 < 0 ⇒ a > 0 且 a > 43 ⇒ a > 34 (

)

2

恆成立,試求 的範圍。

− 2x − k > 0 k 2 D < 0 ⇒ ( −2 ) − 4 ×1× ( −k ) < 0 ⇒ 4k < −4 ⇒ k < −1

二次函數在區間的極值 重點整理 設二次函數 x = ax + bx + c 在區間 α β ,其中 α β 表α ≤ x ≤ β , 當 − ba ∈ α β 時: 在 f 2ba 、 α 、 β 之中,較大者為最大值,較小者為最小值。 由拋物線的圖形知,極值會出現在端點或頂點處。 f

2

⎛ ⎜− ⎝

2.

2

( )

[

1.

[

,

]

[

,

]

]

,

⎞ ⎟ ⎠

f (

)

f (

)

當 − ba ∉ α β 時: 在 α 、 β 之中,較大者為最大值,較小者為最小值。 [

2

f

(

)

]

,

f

15

(

)

1


16

第 1 章 直線方程式

二次函數的極值 ☆☆☆

14

試求 x = −2 x + 8x − 5 在區間 值 M 與最小值 m 。 2

( )

f

f ( x)

[1, 4 ]

的最大

2

= −2 ( x − 2 ) + 3 ≤ 3

試求 x = x + 6 x − 5 在 0 ≤ x ≤ 2 的最大值 M 與最小值 m 。 f

f ( x)

∵ 2∈ ∴ 的最大值 M = 3 另外, 1 = 1 , 4 = −5 故 的最小值 m = −5

3

f ( x)

f (

2

= ( x + 3) − 14

∵− ∉ 而 0 = −5 , 2 = 11 故 的最大值 M = 11 ,最小值 m = −5

[1, 4 ]

f ( )

2

( )

f (

)

[ 0, 2]

)

f (

)

f ( x)

f ( x)

絕對值函數

重點整理 1.

2.

函數 f x = x − a = ⎧⎪⎨⎪−x −xa− a ,, xx ≥< aa ,其圖形如圖 一 。 ⎩ 函數 x = A x − a + B x − b ,其中 A 、 B > 0 ,圖形為開口向上的折線。 在 x = a 與 x = b 處,對應的點為圖形的折點,如圖 二 。 在 a 與 f b 之中,較小者為函數的最小值。 ( )

f (

(

(

)

)

)

(

(1)

f (

(2)

)

)

( )

圖一 (

圖二

)

(

絕對值函數的極值 ☆☆

15

若 x = 2 x −1 + 3 2 x + 1 ,則 f x 的最小值 為何? f (

)

)

( )

1 = 2 × 0 + 3× 2 +1 = 9

f ( )

f

1 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = 2 × − −1 + 3× 0 = 3 2 ⎝ 2⎠

f ( x)

的最小值為

3

試求函數

f ( x)

= x + 4 + x −3

的最小值。 統測 [97

f (

−4 ) = 0 + −4 − 3 = 7

f (

3) = 3 + 4 + 0 = 7

f (

x)

的最小值為

7

]


第 章 直線方程式 1

17

實力測驗2 1.

設函數

f

⎧3 x − 5 ⎪ ( x ) = ⎨0 ⎪ 3 ⎩x +1

2

,x > 2 , = 2 ,則 , <2 x

( 3)

f

+

f

( 2)

+

f

(

1

−3

−2 ) =

f ( f

( 0))

=

x

設函數 2 x − 5 = − x + 5x − 3 ,則 3 = 1 。 。 若 x = ax + b 的圖形為通過 A −3 、 B 1 兩點的直線,則數對 a b = − 若 x = 3x −1 在區間 − 的最大值為 M ,最小值為 m ,則數對 M m = − 。 已知 f x = ax + bx + c ,若 0 = 1, 1 = 3 , 2 = 7 ,則 a − b + c = 1 。 試回答下列的問題: 函數 f x = − x + x − 的頂點坐標為 − 。 若 x = 2 x + 8x + 3 在 x = a 時有最小值 b ,則 a − b = 3 。 * 已知 A 、 B ,若點 P 為 x 軸上的點,當 PA + PB 有最小值時,則 P 點的坐標為 。 若函數 x = 3x + ax + b 的頂點坐標為 ,則數對 a b = − 。 若二次函數 x 的頂點為 − ,且 −1 = 1,則 0 = −8 。 已知 f x = ax + bx + c 的圖形如右,則點 a b 在第 二 象限, 點 c b − ac 在第 二 象限。 f

2.

3.

f (

)

4.

f (

)

(

f

(

[

( )

, 6)

(

, 2)

(

(

1, 2 ]

2

( )

5.

2

)

f (

)

f ( )

f (

,

,

)

(

)

( 5,

1, 3 )

4)

)

6.

2

( )

(1)

f (

(2)

(1,

4

3)

2

)

( 2, 3)

7.

2

2

( 6, 5 )

2

( 4, 0 )

f (

8.

2

)

f (

9.

(

,

2

)

(

2, 4 )

f (

2

( )

10.

(1, 2 )

4

(

)

(

f (

,

,

)

(

6, 5 )

)

)

)

若二次函數 x = x − 6 x + k 與 x 軸有交點,則 k 的範圍為 k ≤ 9 。 * 已知 ax − 2 x + 1 恆為正數,則 a 的最小整數值為 2 。 若 y = x − 2 x − 3 的圖形與 x 軸交於 A 、 B 兩點,其頂點為 C ,則△ ABC 的面積為 。 8 * 若 x = x − x+ 在 區 間 − 的 最 大 值 為 M , 最 小 值 為 m , 則 數 對 M m = − 。 若 x = 3 x − 2 + 2 3x + 1 ,則 x 的最小值為 7 。 f (

11.

2

12.

2

13.

f (

14.

(

15.

2

)

,

f

)

)

( )

2

2

( 7,

4

[

1

1, 2 ]

1)

f

( )


18

第 1 章 直線方程式

直線的斜率與方程式

1-3

直線的斜率 重點整理 設 A x y 、 B x y 為直線 L 上的相異兩點,則 y −y y −y m= = 稱為直線 L 的「斜率」,代表直線的傾斜程度。 x −x x −x 當 x = x 時,直線 L 為鉛垂線,斜率 m 不存在。 當 y = y 時,直線 L 為水平線,斜率 m = 0 。 當直線 L 為右上斜直線,斜率 m > 0 。( m = 1為右上斜 ) 當直線 L 為右下斜直線,斜率 m < 0 。( m = −1 為右下斜 ) 直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大。 ( 1, 1 )

( 2,

1

2

2

1

1

2

2

1

(1)

1

2

(2)

1

2

2)

45°

(3)

45°

(4)

斜率的定義 ☆

1

設 A 、B 、C − ,試求直線 AB 的 斜率 m 與直線 AC 的斜率 m 。 (1, 2 )

( 3, 5 )

(1,

1)

AB

AC

2−5 3 mAB = = 1− 3 2 2 − ( −1) 3 mAC = = = 1 −1 0

( 4,

1)

(

1, 2 )

( 2,

1)

AB

不存在

AC

−1) − 2 3 =− 4 − ( −1) 5

mAB =

(

mAC =

(

−1) − ( −1) =0 4−2

斜率的大小關係 ☆☆

2

如圖,已知 ABCDE 為正五 邊形,若 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EA 的斜率分別為 m 、m 、m 、m 、m , 試比較斜率的大小關係。 1

設 A − 、B − 、C − ,試求直線 AB 的斜率 m 與直線 AC 的斜率 m 。

2

3

4

如圖,直線 L 、 L 、 L 的斜 率分別為 m 、 m 、 m ,試 比較斜率的大小關係。 1

1

1

4

3

2

5

3

3

2

3

5

∵ AB 、 DE 往右上 ∴ 0 < m < m ∵ CD 為水平線 ∴ m = 0 ∵ BC 、 EA 往右下 ∴ m < m < 0 故m <m <m <m <m 2

2

1

4

5

∵ L 、 L 往右上 ∴ 0 < m < m ∵ L 往右下 ∴ m < 0 故m <m <m 2

3

3

1

1

1

3

2

2


第 章 直線方程式 1

斜率的應用 重點整理 設兩直線 L 與 L 的斜率均存在(即非鉛垂線), 兩直線 L 與 L 平行,則斜率相等。(傾斜程度相同) 兩直線 L 與 L 垂直,則斜率乘積為 −1。(斜率互為倒數且異號) A 、 B 、 C 三點共線(無法圍成三角形) ⇔ AB 與 BC 的斜率相等。 1

19

2

(1)

1

2

(2)

1

2

1

(3)

三點共線的斜率關係 ☆

3

若 A 、B k =? ( 2, 3 )

( 4,

−5 )

、 C k − 三點共線,則 統測 (

,

[97

3 − ( −5 ) = −4 2−4 3 − ( −3) 6 = = 2−k 2−k

若 A 、 B 、 C k 三點無法構成一 個三角形,則 k = ? 統測

3)

( 2,1)

]

( 6, 3 )

mAB

mAC

mBC =

AB

, 5)

[91

= 21 −− 36 = 12

mAB =

∵ A 、 B 、 C 共線 ∴ m ⇒ −4 = 2 −6 k ⇒ k = 72

(

3−5 −2 = 6−k 6−k

∵ A 、 B 、 C 無法構成三角形 ∴ m ⇒ 12 = 6−−2k ⇒ k = 10

= mAC

AB

]

= mBC

垂直線段的斜率關係 ☆☆

4

設 A 、 B 及C AC 垂直,則 k = ? ( 2,1)

(1, 3)

( 4,

設 A − 、B − 、C 若 AB ⊥ CD ,則 k = ?

k ) ,若線段 AB 及 [99

統測

(

B]

3, 4 )

( 2,

1)

mAB =

mAB =

4 − ( −1) = −1 ( −3) − 2

mAC

mCD =

2k − 5 2k − 5 = 0 − ( k + 1) −k − 1

1− 3 = −2 2 −1 1− k 1− k = = 2−4 −2

∵ AB ⊥ AC ∴ m ⇒ 1−−2k = 12 ⇒ k = 2

AC

=

∵ AB ⊥ CD ∴ m = 1 ⇒ 2−kk −−51 = 1 ⇒ k = 34

1 2

CD

直線方程式的求法(點斜式與兩點式) 重點整理 點斜式:(已知「一點」與「斜率」求直線) 通過點 x y 且斜率 m 的直線方程式為 y − y = m x − x 。 取直線上的相異點 x y ,則 yx −− xy = m ⇒ y − y = m x − x 。 兩點式:(已知「相異兩點」求直線) 通過相異兩點 x y 、 x y 的直線方程式為 y − y = yx −− xy x − x 。 1.

( 0, 0 )

0

(

,

)

(

0)

0

(

0

0)

0

2.

( 1, 1 )

( 2,

2)

1

1

2

1

2

(

1)

k

( 0, 2 )

、D k + , (

1, 5 )


20

第 1 章 直線方程式

將斜率 m = yx −− xy 與點 x y 代入點斜式可得兩點式。 若 x = x ,則直線方程式為鉛垂線 x = x 。 若 y = y ,則直線方程式為水平線 y = y 。 1

2

1

2

(1)

1

2

(2)

1

2

( 1, 1 )

1

1

點斜式 ☆

5

試求通過點 − ,且斜率為 − 12 的直線方程 式。 (

4, 3 )

點斜式: ⇒2y − 6 = − x + 4 ⇒ x + 2y − 2 = 0

試求通過點

(1,

,且斜率為 的直線方程式。

−2 )

3

y − ( −2 ) = 3 ( x − 1)

⇒ 3x − y − 5 = 0

1 y − 3 = − ⎡⎣ x − ( −4 ) ⎤⎦ 2

×2

(

)

兩點式 ☆

6

設 A 、B − 、C BC 的方程式。 ( 2, 3)

(

mAB =

由A

4,1)

( 2,1)

,試求直線 AB 與

若 A 、 B − 、 C ,且 D 為 BC 之 統測 中點,試求 AD 的直線方程式。 ( 2, 5 )

與m

= AB

1, 2 )

( 3, 4 )

[97

3 −1 1 = 2 − ( −4 ) 3

( 2, 3)

(

D=

B+C 2

mAD =

1 3

由A

=

(

−1, 2 ) + ( 3, 4 ) 2

]

= (1, 3)

5−3 =2 2 −1

與m =2 AD : y − 5 = 2 x − 2 ⇒ 2 x − y + 1 = 0

1 ( x − 2) 3 x 3y 7 0

AB : y − 3 =

⇒ − + = ∵ B 、 C 的 y 坐標均為 ∴ BC : y = 1

( 2, 5 )

AD

(

)

1

垂直平分線的求法 ☆☆

7

設 P 、Q 分線方程式。 ( 2, 4 )

( 4, 2 )

,試求線段 PQ 的垂直平 統測

設垂直平分線 L 的斜率為 m + P+Q = PQ 的中點 M = 4−2 PQ 的斜率 m = = −1 2−4 ∵ PQ ⊥ L ∴ m = 1 由 M 與 m =1 L y− = × x− ⇒ x− y =0 ( 2, 4 )

2

PQ

( 3, 3)

:

3

1

(

3)

2

[95

( 4, 2 )

= ( 3, 3)

]

設A − 、B 分線方程式。 (

1, 3 )

(1, 7 )

,試求線段 AB 的垂直平

設垂直平分線 L 的斜率為 m A+ B − AB 的中點 M = = 3−7 AB 的斜率 m = =2 −1 − 1 ∵ AB ⊥ L ∴ m = − 12 由 M 與 m = − 12 (

2

AB

( 0, 5 )

1 ( x − 0) 2 x 2 y 10 0

L: y −5= −

⇒ + − =

1, 3 )

+ (1, 7 )

2

= ( 0, 5 )


第 章 直線方程式 1

直線方程式的求法(斜截式) 重點整理 截距: 若直線 L 交 x 軸於 a ,則稱 L 的「 x 截距」為 a 。 若直線 L 交 y 軸於 b ,則稱 L 的「 y 截距」為 b 。 x 截距為 a ⇔ 過點 a ; y 截距為 b ⇔ 過點 b 。 斜截式:(已知「斜率」與「 y 截距」求直線) 斜率 m 且 y 截距為 b 的直線方程式為 y = mx + b 。 y 截距為 b 表過點 b ,與斜率 m 代入點斜式可得到。

21

1.

(1)

(

(2)

( 0,

1

, 0)

)

(

( 0,

, 0)

)

2.

( 0,

)

斜截式的討論: 由斜截式可知斜率與 y 截距,如: y = 2x + 3 的斜率 、 y 截距 。 斜率 m 且 x 截距為 a 的直線方程式為 y = m x − a ,不可用斜截式。 x 截距為 a 表過點 a ,與斜率 m 代入點斜式可得到。

3.

(1)

2

(

(2)

(

)

, 0)

截距 ☆

8

試求直線 2x + 3 y + 1 = 0 的 x 、 y 截距。 −

x

x

1 2

0

y

試求直線 x − 4 y − 2 = 0 的 x 、 y 截距。

0 1 y 0 − 2

1 3

截距為 , y 截距為 1 − 2

2

x

0

x

1 − 3

截距為 , y 截距為 − 12 2

斜截式 ☆☆

9

設直線 L 與 L 的斜率均為 −2 ,若 L 的 x 截距 為 ,L 的 y 截距為 ,試求 L 與 L 的方程式。 1

1

3

2

L1

2

1

3

的 x 截距為 1 表示過點

L1 : y − 0 = −2 ( x − 1)

1

(1, 0 )

2

設直線 L 與 L 的斜率均為 ,若 L 的 x 截距為 −4, L 的 y 截距為 ,試求 L 與 L 的方程式。 1

2

L1

3

2

1

(

L1 : y − 0 = 3 ⎡⎣ x − ( −4 ) ⎤⎦

⇒ 3x − y + 12 = 0 利用斜截式求 L

⇒ 2x + y − 3 = 0

⇒ 3x − y + 1 = 0

L2 : y = −2 x + 3

1

的 x 截距為 −4 表示過點 −

⇒ 2x + y − 2 = 0 利用斜截式求 L

2

1

2

L2 : y = 3x + 1

4, 0 )

2


22

第 1 章 直線方程式

斜截式的應用 ☆☆

10

若兩直線 L : my = 2x + 1 與 L : 2 y = 3x + 1 互相 垂直,則 m = ? 統測 1

2

[98

B]

⇒ y = m2 x + m1 3 1 L ⇒ y= x+ 2 2 2 3 L 、 L 的斜率分別為 、 m 2 ∵ L ⊥ L ∴ m2 × 32 = −1 ⇒ m = −3

若兩直線 L : y = 3x + 2 與 L : y = ax + 3 互相垂 直,則 a = ? 統測 1

[92

、 L 的斜率分別為 3 、 a ∵ L ⊥ L ∴ a = − 13 L1

L1

]

2

1

2

1

2

2

2

1

2

直線方程式的求法(截距式) 重點整理 截距式:(已知「 x 截距」與「 y 截距」求直線) x y x 截距為 a 且 y 截距為 b 的直線方程式為 + = 1 ,其中 ab ≠ 0 。 a b x 、 y 截距分別為 a、b 表過點 a 與 b ,代入兩點式可得到。 截距式的應用: 由截距式可知 x 、 y 截距,如: 2x + 3y = 1 的 x 、 y 截距分別為 、 。 直線 ax + by = 1 與兩軸所圍成的三角形面積為 12 ab ,其中 ab ≠ 0 。 1.

(

, 0)

( 0,

)

2.

(1)

2

3

(2)

截距式 ☆☆

11

設直線 L 的 x 、 y 截距分別為 −4、 ,試求 L 的 方程式及 L 與兩軸所圍成的三角形面積。 1

−4 + 1 = 1 ⇒ x − 4 y + 4 = 0 1 L 與兩軸所圍三角形面積 = 2

L:

x

y

設直線 L 的 x 截距為 , y 截距為 ,試求 L 的 方程式。 統測 2

[96

x y L : + =1 2

(

−4 ) × 1 = 2

3

3

⇒ 3x + 2 y − 6 = 0

]


第 章 直線方程式 1

23

實力測驗3 1.

1

設 A − 、 B 、 C ,則直線 AB 的斜率 m = 3 ,直線 BC 的斜率 m = 不存在 。 如圖,直線 L 、 L 、 L 、 L 的斜率分別為 m 、 m 、 m 、 m ,則斜率的 大小關係為 m < m < m < m 。 (

1, 0 )

(1, 6 )

(1, 3)

AB

BC

2.

1

2

4

3.

4.

5.

若A 設A

−3 )

8.

9.

10.

11.

2

(1,

(1, 2 )

(

(

1

1)

1

2

3

4

3

( 2, 3 )

(

)

,

(

,

)

( 2,

1)

3, 2 )

( 2,

4, 3 )

(

1, 3 )

( 2, 3 )

(2)

7.

4

、 B − 、 C k 7 三點共線,則 k = 5 。 、 B − 、 C k −2 、 D k − ,若直線 AB 與直線 CD 互相垂直,則 k= 1 。 試求下列的直線方程式:(以 ax + by + c = 0 表示) 通過點 − ,且斜率為 −1的直線方程式為 x + y + 1 = 0 。 通過兩點 與 − − 的直線方程式為 2 x − y −1 = 0 。 若 A 、 B − 、 C − ,則直線 AB 的方程式為 x = 2 ,直線 BC 的方程式為 y = −5 。 設 A − 、 B ,則 AB 的垂直平分線方程式為 3x + 2 y − 7 = 0 。 △ ABC 中, A 、 B − 、 C ,則 AB 邊上的中線方程式為 4x − 5 y + 14 = 0 。 △ ABC 中,A 、B − − 、C − ,則 BC 邊上的高所在的直線方程式為 3x + y − 7 = 0 。 若直線 L : x − 2 y − 6 = 0 的 x 截距為 a , y 截距為 b ,則數對 a b = − 。 ( 0,

(1)

6.

3

(

1,

5)

3)

( 3,

5)

( 2, 7 )

( 2,1)

( 2,1)

(

(

1,

4, 3 )

3)

( 4, 6 )

( 5,

1)

(

若直線 L 斜率為 − 23 , x 截距為 −1,則 L 的方程式為

,

)

2x + 3y + 2 = 0

( 6,

3)

若直線 L 斜率為 − 23 , y 截距為 −1,則 L 的方程式為 2 x + 3 y + 3 = 0 。 若兩直線 L : my = 3x + 4 與 L : 3 y = 2 x + 4 互相垂直,則 m = −2 。 已知直線 L 的 x 截距為 , y 截距為 −4 ,則 L 的方程式為 4x − 3 y −12 = 0 。 * 若直線 L 通過點 − 且在兩軸的截距相等,則 L 的方程式為 x + y + 1 = 0 或 3x + 4 y = 0 。 12.

13.

1

2

14.

15.

3

(

4, 3 )


24

第 1 章 直線方程式

1-4

二元一次方程式

直線的一般式 重點整理 設直線 L : ax + by + c = 0 ,其中 a 、 b 不全為 , 若 b ≠ 0 ,則 L 的斜率 m = − ba 。 若 b = 0 ,則 L 的斜率不存在。(鉛垂線) 若 b ≠ 0 ,則 ax + by + c = 0 ⇒ y = − ba x − bc ,由斜截式可知: L 的斜率 m = − ba 。 0

(1)

(2)

直線的一般式 ☆☆

1

若兩直線 L : 2 x + 3 y + 1 = 0 與 L : 4 x − by = 2 互 相垂直,則 b = ? 1

2

設 L 與 L 的斜率分別為 m 、 m 2 4 4 m =− ,m =− = 3 −b b ∵L ⊥L ∴ m = b4 = 32 ⇒ b = 83 1

2

1

1

若兩直線 L : x − 3 y = 1 與 L : ax + 2 y = 0 互相 垂直,則 a = ? 1

設 L 與 L 的斜率分別為 m 、 m a 1 1 m =− = ,m =− 2 −3 3 ∵L ⊥L ∴ m = − a2 = −3 ⇒ a = 6

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

2

直線的一般式 ☆☆☆

2

若直線 L : ax + by + c = 0 的圖 形如右,則點 P ac ab 在第 幾象限? 統測 (

,

[93

若直線 L : ax + by + c = 0 的圖 形如右,則點 P ab bc 在第 幾象限?

)

(

]

的斜率: − ba c L 的 x 截距: − a 由圖可知: − ba > 0 , − ac < 0 ⇒ ab < 0 , ac > 0 因此點 P ac ab 在第四象限 ,

)

的斜率: − ba c L 的 y 截距: − b 由圖可知: − ba < 0 , − bc < 0 ⇒ ab > 0 , bc > 0 因此點 P ab bc 在第一象限

L

(

,

L

)

(

,

)

平行線與垂直線的假設 重點整理 設直線 L : ax + by + c = 0 ,其中 a 、 b 不全為 ,則 平行於 L 的直線可設為 ax + by + k = 0 。( x 、 y 係數相同) 垂直於 L 的直線可設為 bx − ay + k = 0 。( x 、 y 係數對調,中間變號) 0

(1)

(2)

2


第 章 直線方程式 1

平行線的求法 ☆

3

求通過原點,且與直線 L : 2 x + y + 1 = 0 平行的 直線。 統測 設平行線 2 x + y + k = 0 原點 代入: 0 + 0 + k = 0 ⇒ k = 0 故平行線為 2 x + y = 0

[93

]

25

設過點 P 且平行於 L : 2x + 3 y = 1 的直線 為 ax + by = 1,則 a − b = ? 統測 (1, 2 )

設平行線 2 x + 3 y + k = 0 P 代入: 2 + 6 + k = 0 ⇒ k = −8 平行線: 2 x + 3 y − 8 = 0 ⇒ 14 x + 83 y = 1 故 a = 14 , b = 83 所求 a − b = 14 − 83 = − 81

( 0, 0 )

[92

]

(1, 2 )

垂直線的求法 ☆

4

求通過點 P 直的直線。

(1, 6 )

,且與直線 2 x + 4 y + 5 = 0 垂 統測 [93

設垂直線 4 x − 2 y + k = 0 P 代入: 4 − 12 + k = 0 ⇒ k = 8 故垂直線為 4 x − 2 y + 8 = 0 ⇒ 2x − y + 4 = 0 (1, 6 )

]

過點 A − 且與直線 2 x − y + 5 = 0 垂直的直 線方程式為何? 統測 ( 4,

1)

設垂直線 x + 2 y + k = 0 A − 代入: 4 − 2 + k = 0 ⇒ k = −2 故垂直線為 x + 2 y − 2 = 0 ( 4,

1)

對稱點 重點整理 對稱點: 設兩相異點 A 、 B 不在直線 L 上,若點 A 與 B 「對稱」於直線 L , 則 AB ⊥ L 且 AB 的中點在 L 上。(直線 L 為 AB 的垂直平分線) 對稱點的求法: 若點 A 對於直線 L 的對稱點為 B ,其求法如下: 先求與直線 L 垂直的直線 AB 方程式。 再求直線 L 與直線 AB 的交點坐標。( AB 的中點) 最後由 AB 的中點與 A 點求得 B 點坐標。(對稱點) 1.

2.

(1) (2)

(3)

[91

]

1


26

第 1 章 直線方程式

對稱點的求法 ☆☆☆

5

試求點 P 點坐標。

( 3,

−2 )

對直線 L : x − y + 4 = 0 的對稱

若兩點 A

、 B a b 對稱於直線 L : x − 3 y + 5 = 0 ,試求 a b 。 ( 3,

−4 )

(

)

,

(

設對稱點 Q

∵M = P+Q

( 3,

⎛ 3 5⎞ ⎜− , ⎟ ⎝ 2 2⎠

2

(

3, 5 )

( 3,

2)

(

4)

(1, 2 )

⇒Q= M −P = − − − = − 2

)

設 AB : 3x + y + k = 0 A − 代入: 9 − 4 + k = 0 ⇒ k = −5 得 AB : 3x + y − 5 = 0 解 ⎧⎨3xx−+3 yy +− 55 == 00 的交點 M ⎩ ⇒M ∵ M = A +2 B ⇒B= M − A= − − = − 故 ab = −

PQ : x + y + k = 0 P ( 3, −2 )

代入: 3 − 2 + k = 0 ⇒ k = −1 得 PQ : x + y − 1 = 0 解 ⎧⎨ xx −+ yy +− 14==00 的交點 M M

,

6, 7 )

( 2, 4 )

2

(

)

,

(

( 3,

4)

(

1,8 )

1,8 )

二元一次方程組的幾何意義

重點整理

方程組 ⎧⎨aa xx ++bb yy++cc ==00 的解就是兩直線的交點, 1

(1)

(2)

(3)

若 若 若

1

⎩ 2 2 a1 b1 ≠ a2 b2 a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = a2 b2 c2

1

2

,則方程組恰有一解,兩直線交於一點。(相容方程組) ,則方程組無解,兩直線平行。(矛盾方程組) ,則方程組有無限多組解,兩直線重合。(相依方程組) 兩直線的關係 ☆☆

6

設兩直線 L : x + ay − 5 = 0 與 L : ax + 9 y + 15 = 0 ,依下列條件求 a 值: L 與 L 平行 L 與 L 重合。 1

2

(1)

1

(1)

(2)

2

1

2

L1 // L2

設兩直線 L : 4 x − ay − 2 = 0 與 L : ax − 9 y − 3 = 0 ,依下列條件求 a 值: L 與 L 平行 L 與 L 重合。 1

2

(1)

1

(1)

1 a −5 = ≠ ⇒ a2 = 9 a 9 15 a 3

(2)

⇒ = ± (負不合),故 a = 3 L 與 L 重合 1

1

2

L1 // L2 4 − a −2 = ≠ ⇒ a 2 = 36 a −9 −3

⇒ a = ±6 (正不合),故 a = − L 與 L 重合

6

(2)

2

1 a −5 = = ⇒ a2 = 9 a 9 15 a 3

(2)

2

⇒ = ± (正不合),故 a = −

3

1

2

4 − a −2 = = ⇒ a 2 = 36 a −9 −3 a 6

⇒ = ± (負不合),故 a = 6


第 章 直線方程式 1

方程式的對稱與平移 重點整理 1. 方程式的對稱: 對於方程式 = 的圖形, (1) 若 = − ,則圖形對稱於 y 軸。 (2) 若 = − ,則圖形對稱於 x 軸。 (3) 若 = − − ,則圖形對稱於原點。 2. 方程式的平移: = 的圖形向右平移 h ,向上平移 k 之後的方程式為 f ( x, y )

f (

f ( x, y )

f ( x,

f

( x, y )

( x, y )

f

(

1

0

f ( x, y )

f

27

x, y ) y)

x,

y)

0

f

(x

− h, y − k ) = 0

方程式的對稱 ☆☆☆

7

坐標平面上,試求 x + y = 4 所圍的區域面積。 所圍區域會對稱 y 軸、 x 軸、原點 故作第一象限的圖,再利用對 稱求其他象限的圖 區域面積

坐標平面上,試求 2 x + y = 6 所圍的區域面 積。 所圍區域會對稱 y 軸、 x 軸、原點 故作第一象限的圖,再利用對 稱求其他象限的圖 區域面積

⎛1 ⎞ = 4 × ⎜ × 4 × 4 ⎟ = 32 2 ⎝ ⎠

⎛1 ⎞ = 4 × ⎜ × 3 × 6 ⎟ = 36 2 ⎝ ⎠

方程式的平移 ☆☆

8

若將曲線 x −1 = 4 y 向 x 軸正方向平移 1,再 向 y 軸正方向平移 2,則平移後的方程式為 何? (

)

2

在原方程式之中 x 改成 x − 1 , y 改成 y − 2 平移後的方程式: 2

⎡⎣( x − 1) − 1⎤⎦ = 4 ( y − 2 )

⇒ x−2 =4 y−2 (

)

2

(

)

若將 x + 2 y = 8 的圖形向 x 軸正方向平移 2, 再向 y 軸正方向平移 3,則平移後的方程式為 何? 在原方程式之中 x 改成 x − 2 , y 改成 y − 3 平移後的方程式: x−2

+2 y −3 =8


28

第 1 章 直線方程式

實力測驗4 直線 L : 6x + 2 y − 3 = 0 的斜率為 −3 , L : 4 x − y = 0 的斜率為 4 0 。 2. 直線 L : x + 2 = 0 的斜率為 不存在 , L : y = 5 的斜率為 3. 若兩直線 L : 3x + 2 y + 1 = 0 與 L : 4 x − by = 3 互相垂直,則 b = 6 。 *4. 若直線 L : ax + by + c = 0 的圖形如右,則點 P ab ac 在第 三 象 限。 1.

1

2

1

2

1

2

(

5.

通過點 P

6.

通過點 P

(1, 2 )

( 2,1)

,

)

且平行於 L : 3x − y + 4 = 0 的直線方程式為 3x − y −1 = 0 。 且平行於 L : x + 2 y + 3 = 0 的直線為 ax + by = 2 ,則數對 a b (

,

)

=

⎛1 ⎞ ⎜ ,1⎟ ⎝2 ⎠

通過點 P 且與直線 L : 2x + 3y = 1垂直的直線方程式為 2x − 3 y − 8 = 0 。 。 *8. 若兩點 A 、 B a b 對稱於直線 L : 2x + y = 5 ,則數對 a b = 9. 已知兩直線 L : 2 x + by + 3 = 0 與 L : ax − 3 y + 9 = 0 重合,則數對 a b = − 。 10. 已知兩直線 L ax + y = a 與 L : x + ay = 1 互相平行,則 a = −1 。 11. 已知兩直線 L ax + y = a 與 L : x + ay = 1 重合,則 a = 1 。 *12. 已 知 三 直 線 2 x − y + 3 = 0 、 x + y − 6 = 0 、 ax + 2 y + 2 + a = 0 恰 好 交 於 一 點 , 則 a= −6 。 13. 坐標平面上,方程式 x + y = 1 所圍的區域面積為 2 。 14. 若將曲線 x + 2 = 3 y 向 x 軸正方向平移 2,再向 y 軸正方向平移 1,則平移後的方程式為 x = 3 y −1 。 *15. 坐標平面上,方程式 2 x −1 + y − 2 = 3 所圍的區域面積為 9 。 7.

( 4, 0 )

( 0, 0 )

(

,

)

(

1

2

2

1:

2

(

)

)

2

( 4, 2 )

2

2

(

(

)

(

2

1:

,

)

,

)

( 6,

1)


第 章 直線方程式 1

29

綜合實力評量

一、基礎題

( C )1. 若 A

、 C ,則△ ABC 的三邊長和為 (A) 3 + 5 + 10 (B) 83 (C) 8 + 10 (D)14。 ( C )2. 設 A 與 B 為坐標平面上之兩點。若點 C 在線段 AB 上,且 4 AC = 3BC , 則 BC = (A) 2 (B) 3 2 (C) 4 2 (D) 5 2 。 ( D )3. 右圖為函數 的圖形,則下列何者錯誤? (A) f a f b (B) f b > f c (C) f a f c 0 (D) f a f b 。 (1, 2 )

、B

1

(1, 5 )

( −1, −3 )

( 4, 6 )

( 6, 4 )

( )

f ( x)

( )

( )

(

)⋅

( )

( )⋅

<

( )<

>

( )

0

( D )4. 設 a 、b 為實數,若坐標平面上的拋物線 y = x + ax + b 的圖形與 x 軸的交點為 − 、 ,如圖所示,則 a + b = (A)2 (B)3 (C) −2 (D) −3 。 2

(

1, 0 )

( 2, 0 )

( D )5. 關於 y = 3x −12 x + 15 的圖形,下列敘述何者錯誤? (A)圖形開口向上 (B)圖形與 (C)圖形的對稱軸為 x = 2 (D)圖形頂點為 − − 。 y 軸交於點 ( B )6. 若 A 、B 、C x − 、D − y 四點共線,則 x + y = (A) −2 (B) −3 (C) −4 (D) −5 。 ( C )7. 已知坐標平面上三點 A − 、 B − − 與 C x y 。若線段 AB 、 BC 與 CA 所形成 的△ ABC 中, ∠A 為直角,則點 C 之坐標 x y 可以是下列何者? (A) − (B) (C) (D) 。 ( A )8. 若直線 L 過點 ,且斜率為 2,則直線 L 的 x 截距為何? (A) − 12 (B) 12 (C) −1 (D)1。 ( B )9. 設 A 、 B − ,若直線 L : 2x + ay + b = 0 為 AB 的垂直平分線,則 a + b = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。 ( A )10. 若兩直線 L : 6x + a − 2 y = 3 與 L : a + 5 x − 2 y = 2 互相平行,則 a = (A) −2 (B) −1 (C) 2 (D) −2 或 1。 2

( 0,15 )

( 3, 5 )

(

(

( 2, 3 )

1)

,

( 2,

1)

(

1,

(

( 2, 3 )

2,

1)

(

( 0, 4 )

(1, 3 )

( 3, 3 )

(

1

1, 5 )

(

)

2

3)

)

(

( 4, 0 )

2,

(

)

,

,

)

)

(1,

1)


30

第 1 章 直線方程式

二、進階題

( B )11. △ ABC 中, A − 、 B − 、 C − − ,若 ∠B 之內角平分線交 AC 於 D ,試 求 D 點的坐標為 (A) − − (B) − (C) − − (D) 2 − 。 ( B )12. △ ABC 中, AB 的中點坐標為 M ,重心 G 的坐標為 4 ,試求 C 點的坐標為 (A) (B) (C) (D) 。 ( C )13. 設函數 = + 1 ,則下列何者恆為正確? (A) = − (B) = − 1 1 (C) 。 (D) = ( 6,

5)

( 2,

(

2,

8)

(

4)

( 2,

6,

2)

4)

(

3)

2,

( 3, 2 )

(1, 9 )

( 6, 2 )

f ( x)

f ( x)

=

f

( 5, 9 )

(

f

x

⎞ ⎟ x⎠

f ( x)

,

3)

, 2)

(10, 5 )

x

⎛ ⎜ ⎝

(

( x)

f

(

x)

f

( x)

f

( x)

f ( x)

( C )14. 設函數 f x = ax + b 之圖形通過第一、二、四象限,則點 P ab a − b 在第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 ( B )15. 坐標平面上一矩形的四個頂點分別在原點、x 軸正向、 y 軸正向及直線 x + 2 y = 6 上, 當此矩形有最大面積時,其周長為何? (A)8 (B)9 (C)10 (D)11。 ( D )16. 已知△ ABC 三頂點為 A −1 、B 2 、C − − ,若直線 AD 平分△ ABC 的面積, 則直線 AD 之方程式為何? (A) 3x + y = 0 (B) 3x − y + 6 = 0 (C) 6 x − y + 9 = 0 (D) 6 x + y + 3 = 0 。 ( D )17. 如 圖 , 兩 直 線 L 、 L 之 方 程 式 分 別 為 L x + ay + b = 0 , L x + cy + d = 0 ,則下列何者正確? (A) a > 0 (B) b > 0 (C) c > 0 (D) d > 0 。 ( )

(

(

1

, 3)

(

,1)

(

)

,

1)

3,

1:

2

2 :

( A )18. 若兩直線 L

1:

ax + by − 3 = 0

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1。

與L

2 :

y = 3x + 1

的交點在 y 軸上,且 L ⊥ L ,則 a + b = 1

2

( A )19. 設 a 、 b 均為正數,若直線 L ax + by = 1通過點 −2 ,且與兩坐標軸所圍的三角形 的面積為 1,則 a − b = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 ( A )20. 設 m > 0,若 y = mx + 2 與 x + y = 的圖形恰交於一點,則 m = (A) 2 (B) 32 (C)1 (D) 1 。 2 (

:

1

, 2)


第 章 直線方程式 1

31

精選考題觀摩 ( B )1. 設直線 L 的斜率為 2 且在 x 軸之截距為 3,請問下列哪一點在直線 L 上? (A) (C) (D) 。 【95 統測】 (B) ( D )2. 試問在坐標平面上,過點 − 且與直線 3x + 4y = 1 垂直的直線方程式為何? (A) 4 x − 3 y = 9 (B) 4 x − 3 y = 10 (C) 3x − 4 y = 9 (D) 3x − 4 y = 10 。 【95 統測】 ( C )3. 在坐標平面上,若 a > 0 且 b < 0 ,則點 ab b − a 在第幾象限內? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 【96 統測】 ( B )4. 若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,點 A 、 B 、 C 的坐標分別為 、 、 − ,則 D 點之坐標為何? (A) (B) (C) (D) 。 【96 統測】 ( C )5. 若 = 4 + 1 + 3 2 − 1 ,則 的最小值為何? (A)3 (B)4 (C)6 (D)9。 【96 統測】 ( B )6. 設 a 為實數,且直線 3a − 1 x − 2 y = a + 1 沒有通過第一象限,則 a 的可能範圍為何? (A) a < −1 (B) −1 ≤ a ≤ 1 (C) 1 < a < 1 (D) a ≥ 1 。 【96 統測】 3 3 ( A )7. 設 a 為實數,若函數 f x = a x + 3 − 9a + 2 在 x = −3 時有最大值 20,則 a = (A) −2 (B) −1 (C)1 (D) 2 。 【97 統測】 ( C )8. 在坐標平面上,設 a 、b 為實數,若直線 y = ax + b 通過點 與 ,則 3a + 2b = (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 【97 統測】 ( A )9. 在坐標平面上,設 a、b 為實數,若 A、B 兩點的坐標分別為 a 、 b ,且線段 AB 的垂直平分線為 2 x + y = 4 ,則 2a + b = (A)1 (B)2 (C) −1 (D) −2 。 【97 統測】 ( B )10. 已知有一個拋物線形狀的拱橋,拱頂( A 點)離水面 2 公尺時, 水面寬度( BC 長)為 4 公尺,如圖所示,若水面再下降 1 公尺 後,則水面的寬度( DE 長)為多少公尺? (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 4 2 (D) 4 3 。 【97 統測】 ( A )11. 平面上兩點 A − 、 B 。若 C 點在 y 軸上,且滿足 AC = BC ,則 C 點坐標為 (B) (C) (D) 。 【98 統測 C】 何? (A) ( 5, 5 )

( 6, 6 )

( 8, 8 )

( 7, 7 )

( 2,

1)

(

,

)

( 5, 2 )

(

4, 3 )

f

( x)

(1, 8 )

x

( 0, 2 )

( 2, 7 )

f ( x)

x

(

)

( )

(

)

2

( 0, 6 )

(

( 5,

1)

1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, − ⎟ 10 ⎠ ⎝

( 3, 9 )

( 3, 4 )

1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, − ⎟ 15 ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 15 ⎠

1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 10 ⎠

,1)

( 3, 0 )

(

, 3)

(1, 3 )

1


32

第 1 章 直線方程式

( C )12. 下列敘述何者錯誤? (A)直線 L : x + 2 y = 4 的斜率為 − 12 (B)方程式 x = 4 的圖形是 一條通過點 ,且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A 、 B − 的直線方程式為 、 B x 、 C 為共線的三點時,則 x = 172 。 3 x − y − 1 = 0 (D)當點 A − 【98 統測 C】 ( D )13. 已知直線 L : y = m x + b 及直線 L y = m x + b ,如圖所示,則下 列敘述何者正確? (A) m < 0 且 b > 0 (B) m > 0 且 b < 0 【99 統測 A】 (C) m < 0 且 b > 0 (D) m > 0 且 b < 0 。 ( 4, 5 )

(

1

1

1,1)

( 2,

2 :

1

2

1

2

2

)

(

1

1

2, 3 )

( 3,11)

2

1

2

(1, 2 )

2

( B )14. 關於直線 L : x + 4 y = 28 ,下列敘述何者正確? (A)斜率為 7 (B) y 截距為 7 (D) x 截距為 7。 【99 統測 C】 (C)通過點 ( D )15. 設三直線 L : x + 3 y − 2 = 0 , L : 3x + y + 2 = 0 , L : x − y − 2 = 0 ,且 L 與 L 相交於 A 點,則過 A 點且與 L 平行的直線,不通過哪一個象限? (A)第一象限 (B)第二象 限 (C)第三象限 (D)第四象限。 【99 統測 C】 ( A )16. 設 a 、 b 、 c 為實數,且二次函數 y = ax + bx + c 的圖形如圖所 示,則點 P b − ac abc 在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二 象限 (C)第三象限 (D)第四象限。 【100 統測 C】 ( 7, 7 )

1

2

3

1

2

3

2

(

2

4

)

,

( C )17. 若直線 24 x − 7 y = 53 與兩直線 x = 0 、 x = 7 分別交於 A 、 B 兩點,則線段 AB 的長度 【100 統測 C】 為何? (A) 247 (B) 537 (C) 25 (D) 53 。 ( B )18. 設 P − 與 Q − ,若直線 L : ax + 3 y + b = 0 為 PQ 的垂直平分線,求 a + b 之值 為何? (A) − 152 (B) −5 (C) −1 (D) 32 。 【101 統測 C】 ( D )19. 在 xy 平面上, P 和 Q 為拋物線 y = x 上的兩點,若 P 和 Q 的 x 坐標分別是 −1 和 2 , 則 P 和 Q 的距離為何? (A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 2 。 【101 統測 C】 ( D )20. 平面上四點 A 、 B a 、 C b − 、 D − ,其中 b 為正數,若 AB 與 CD 互 相平行,且 BD 與 AC 互相垂直,求 a + 2b 之值為何? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)10 。 【101 統測 C】 (

2, 4 )

( 2,

2)

2

(1,1)

(

, 2)

(

,

1)

( 0,

2)

掌握數學C複習講義  

高職數學參考書 搶先試閱

Advertisement