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ECUACIĂ“N DE LA PROPAGACIĂ“N DE UNA ONDA EN UNA VARILLA

Si se le aplica una fuerza o golpe a uno de los extremos de la barra, la perturbaciĂłn se propaga a lo largo de ĂŠsta, es decir, una onda se propaga a travĂŠs de una secciĂłn transversal de barra A y asĂ­ se percibe al otro extremo. Para cada secciĂłn de barra existe una fuerza F y una fuerza de reacciĂłn -F creando asĂ­ una tensiĂłn por ĂĄrea o un esfuerzo normal, esto es: đ??š

đ?›ż = đ??´ (1)

Llamaremos đ?œ€ , deformaciĂłn unitaria normal, como la variaciĂłn de đ?œ‰ (unidades de longitud) a lo largo del eje de la barra (x), como es el cociente de longitudes, entonces es adimencional, esto es: đ?œ€=

đ?›żđ?œ‰ (2) đ?›żđ?‘Ľ

La ley de Hooke establece que existe una relaciĂłn entre la deformaciĂłn unitaria normal đ?œ€ y el esfuerzo normal đ?›ż a travĂŠs de una constante llamada “modulo de elasticidad de Youngâ€?. đ?›ż = đ?‘Œđ?œ€(3) Reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos: đ??š = đ??´đ?‘Œ

đ?›żđ?œ‰ (4) đ?›żđ?‘Ľ

La fuerza tambiĂŠn varia a lo largo de la barra luego: đ?›żđ??š

đ?‘‘đ??š = đ??š ′′ − đ??š = đ?›żđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ (5)


También sabemos que podemos expresar la masa en función de la densidad, el área y la longitud dx: 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝐴𝑑𝑥 (6) 𝑎=

𝛿2𝜉 𝛿𝑡 2

Aplicando Segunda Ley de Newton a (5) y remplazando (6) tenemos que: 𝛿𝐹 𝛿2𝜉 = 𝜌𝐴 2 (7) 𝛿𝑥 𝛿𝑡 Remplazando la derivada de (4) en (7) tenemos que: 𝛿2𝜉 𝑌 𝛿2𝜉 = 𝛿𝑡 2 𝜌 𝛿𝑥 2 Ahora bien,

𝑌 𝜌

está en términos de 𝑣 2 entonces:

𝑣=

𝑌 𝜌

ECUACIÓN DE LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA EN UNA COLUMNA DE GAS

En una columna de gas, una onda puede propagarse debido a la variación de presión, y como el gas es compresible, existe también una variación en su densidad.


Al cambiar la presiĂłn đ?œŒ0 el volumen đ?‘‘đ?‘Ł = đ??´đ?‘‘đ?‘Ľ se coloca en movimiento, entonces el nuevo volumen vendrĂ­a a ser đ?‘‘đ?‘Ł = đ??´(đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?œ‰) . Como la masa es igual a la densidad por el volumen, entonces tenemos que para el sistema en estado de reposo: đ?‘‘đ?‘š = đ?œŒ0 đ??´đ?‘‘đ?‘Ľ (1) Y en movimiento: đ?‘‘đ?‘š = đ?œŒđ??´ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?œ‰ (2) Como la masa no varia entonces, igualando (1) y (2). Y despejando đ?œŒ0 tenemos: đ?œŒ 1+

đ?›żđ?œ‰ = đ?œŒ0 (3) đ?›żđ?‘Ľ

Despejando đ?œŒ: đ?œŒ=

đ?œŒ0 (4) đ?›żđ?œ‰ 1+ đ?›żđ?‘Ľ

Aplicando la formula (1 + đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x203A; = (1 + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ), para todo x<<1 en (4) tenemos que: đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x2030;

đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x2030;

đ?&#x153;&#x152; = đ?&#x153;&#x152;0 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ľ ) Ă&#x201C; đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;0 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x152;0 đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ľ (5) a presiĂłn mantiene una relaciĂłn con la densidad por la ecuaciĂłn de estado (ecuaciĂłn constitutiva que describe el estado de agregaciĂłn de la materia como una relaciĂłn funcional entre la temperatura, la presiĂłn, el volumen, la densidad, la energĂ­a interna y posiblemente otras funciones de estado asociadas con la materia) y aplicando el desarrollo de Taylor tenemos que: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? 1 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x192;0 + đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;0 ( )0 + đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;0 2 ( 2 )0 + â&#x2039;Ż đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; Pero las variaciones de la densidad son relativamente pequeĂąas, entonces tomamos del desarrollo sĂłlo:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x192;0 + đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;0 ( )0 (6) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; Al cambio de la presiĂłn con respecto a la densidad lo llamaremos mĂłdulo de elasticidad del volumen (k): đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x153;&#x152;0 ( )0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; Luego nuestra ecuaciĂłn quedarĂĄ:


đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x192;0 + đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x153;&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x152;0 (7) đ?&#x153;&#x152;0

Sustituyendo (5) en (7) tenemos que đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x192;0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x203A;żđ?&#x153;&#x2030; (8) đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ľ

Ahora bien, aplicamos segunda ley de Newton, donde dm se define como la masa en la variaciĂłn de dx y la aceleraciĂłn es la segunda derivada del cambio de longitud en funciĂłn del tiempo, esto es:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x153;&#x152;0 đ??´đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;ż2đ?&#x153;&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;= 2 đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą Como la fuerzas en las secciones A y Aâ&#x20AC;&#x2122; no se anulan, entonces la resultante de las presiones la llamaremos dP, asĂ­:

đ?&#x2018;&#x2018;đ??š = đ??´đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; Aplicando dF = dm*a y pasando el diferencial dx al opuesto de la ecuaciĂłn tenemos que:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x153;&#x152;0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x203A;ż2đ?&#x153;&#x2030; đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x192; đ?&#x203A;ż2đ?&#x153;&#x2030; = đ?&#x153;&#x152;0 2 (9) đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą Derivando (8) en funciĂłn dx e igualando đ?&#x203A;ż2đ?&#x153;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x203A;ż2đ?&#x153;&#x2030; = đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ą 2 đ?&#x153;&#x152;0 đ?&#x203A;żđ?&#x2018;Ľ 2 Como

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x152;0

estĂĄ en tĂŠrmino de đ?&#x2018;Ł 2 entonces:

đ?&#x2018;Ł=

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x152;0

Ondas  

propagacion de las ondas en una varilla

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