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Universidad Nacional Autónoma De México Facultad De Estudios Superiores Acatlán

Calculo III:

Integrales Múltiples.

Proyecto final: Análisis y descripción de la solución de un problema. Lic. Matemáticas Aplicadas y Computación Profesor. Jiménez Zamudio Jorge Realizado por:  Aquino del Angel Malú  Mireles Espinosa Luis Alejandro

Grupo:

A 1ro diciembre de 2010.


Análisis y descripción de la solución de un problema. El problema seleccionado fue el 9 obtenido del libro Leithold. 9. Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por el cilindro plano .

y el

Para darle solución realizamos el siguiente análisis de las diferenciales para que a partir de ellas podamos plantear las integrales con sus respectivos límites. Como primer paso realizamos la graficación de las funciones

y

.

Primero graficamos las dos [ecuaciones o funciones] que nos proporcionaron


Intersección de las dos graficas

y

.

Fue obtenida con las instrucciones de mathematica:

Graphics3D[{Blue,Opacity[.3],{Cylinder[{{0,0,0},{0,0,1}}]}},B oxedTrue,AxesTrue] Plot3D[{x},{x,0,1},{y,0,1},PlotStyle{Red,Opacity[0.3]}] Show[%,%%]


Diferencial de

.

Código en Mathematica: Animate[ParametricPlot[{Cos[],Sin[]},{,0,/2},PlotRange{0,1},E pilog{Line[{{0,0},{Cos[t+/24],Sin[t+/24]}}],Line[{{0,0},{Cos[t] ,Sin[t]}}]}],{t,0,11 /24},AnimationDirectionForwardBackward]

La representación en esta imagen es de la diferencial con respecto a modo al ver el movimiento de la diferencial esta nos indica que

(teta), de este iría de a .

. El video de esta animación puede ser visualizado en la siguiente dirección: http://www.youtube.com/watch?v=us1weOILNJ8


Diferencial de Código en Mathematica: Animate[ParametricPlot[{Cos[],Sin[]},{,0,/2},PlotRange{0,1},E pilog{Line[{{0,0},{Cos[t+/24],Sin[t+/24]}}],Line[{{0,0},{Cos[t] ,Sin[t]}}]}],{t,0,11 /24},AnimationDirectionForwardBackward]

El video de esta animación puede ser visualizado en la siguiente dirección: http://www.youtube.com/watch?v=AsGgvBR80zU


Diferencial de . Código en Mathematica: ParametricPlot[{{Cos[],Sin[]}},{,0,/2},PlotRangeAll]; Plot3D[{x},{x,0,1},{y,0,1},PlotStyle{Red,Opacity[0.4]}]; Graphics3D[{Blue,Opacity[.1],{Cylinder[{{0,0,0},{0,0,1}}]}},Boxed True,AxesTrue]; Show[%%,%]; Graphics3D[Line[{{0,0,0},{Cos[/6],Sin[/6],0}}]]; Graphics3D[Line[{{0,0,0},{Cos[/4],Sin[/4],0}}]]; Graphics3D[Polygon[{{0,0,0},{Cos[/6],Sin[/6],0},{Cos[(5)/24], Sin[(5)/24],0},{Cos[/4],Sin[/4],0}},VertexColors{Red,Green, Blue}]]; Graphics3D[Polygon[{{0,0,0},{Cos[/6],Sin[/6],0}, {Cos[(5)/24],Sin[(5)/24],0},{Cos[/4],Sin[/4],0}}, VertexColors{Red, Green,Blue}]]; Show[%%%%%,%%%%,%%%,%%,%] Animate[Graphics3D[Polygon[{{0,0,0},{Cos[/6],Sin[/6],s}, {Cos[(5)/24],Sin[(5)/24],s},{Cos[/4],Sin[/4],s}},VertexColors {Red, Green,Blue}],PlotRange{0,1}],{s,0,1}]

En la imagen de lado derecho observamos las graficas intersecadas junto con el elemento diferencial, con un ángulo diferente al que se mostro en la primera parte de este análisis. La imagen que se muestra de lado izquierdo es el de la animación del elemento diferencial. El movimiento de las imágenes pueden observarse en el video que se encuentra en la siguiente dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=bIbGDHXVDGw Se obtiene los límites de integración para z, teniendo como resultado esto: . Es decir si y tenemos que , o sea que si el cilindro es cortado por el plano y la diferencial sale de 0 entonces termina en donde es cortado por el plano.


Solución del problema Usando la información obtenida en la parte de análisis planteamos la integral:

En seguida procedemos a dale solución ala integral planteada.

Así finalmente tenemos que el volumen del solido acotado por el cilindro y el plano es .

Referencia bibliográfica. LEITHOLD, LOUIS "El cálculo ",Oxford University Press, 1998 (7ª ed.)


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