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"Puente sobre la quebrada LA Colorada" LA TRONCAL DEL MAGDALENA MEDIO

(Foto cortesía INVIAS)


TABLA DE CONTENIDO Pág.

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LISTA DE FIGURAS INTRODUCCION

IX

CAPITULO 1

CURVAS DE TRANSICION Diagrama de curvaturas Diseño sin curvas de transición N ecesidad de las curvas de transición Caracteristicas de las curvas de transición Diseño con curvas de transición Nomenclatura en curvas con transición Reseña histórica Tipos de curvas de transición

11

La parábola cúbica 12

12

La espiral Cúbica La parábola de cuarto grado o curva de transición de Schram 12

Ecuación de quinto grado o curva de transición de Lange 13

Curva de transición senoide de Bloss 13

urva de transición de Klein 13

La curva elástica o radioide a las abscisas o curva de

13

transición de óvalos de Cassini La lemniscata de Bemoulli o radioide a las cuerdas 14

La espiral de Euler o espiral de Comu o radioide a los arcos 1S

Las curvas compuestas

10

1

1

3

4

S

6

8

8

11

m


Otras curvas de transición Curvas más adecuadas para transiciones Trayectoria de los vehículos en curvas CAPITULO II LA ESPIRAL DE EULER O CLOTOIDE Ecuación o ley de curvatura de la clotoide Homotecia o semejanza de las espirales Obtención del parámetro k y del ángulo de la espiral central Ecuaciones paramétricas de la clotoide Las plantillas para el diseño geométrico de vías y su confección Longitud mínima de la espiral De acuerdo a la variación de la aceleración centrifuga - Condición de comodidad o de confort De acuerdo a la transición del peralte - Condición de alabeo Por razones de estética - En curvas de gran radio De acuerdo a la recomendación de la AASHTO En curvas de radio muy pequeño - De acuerdo a la transición del sobreancho En "curvas de violin" o "curvas bombillo" de carreteras en terreno montañoso y en terreno escarpado En intersecciones En vías urbanas de baja velocidad En carreteras de más de dos carriles sin y con separador central Cálculo de los elementos °de la espiral Datos iniciales Deflexiones de las espirales y de la curva circular Coordenadas cartesianas del EC y del CE Coordenadas cartesianas del PC y del PT desplazados - Justificación de la espiral

ee

IV

16 17 17

21 21 25

Desplazamiento máximo de la parte de la curva circular conservada Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada Tangente y externa de la curva espiral-circular-e.sni- I Tangente larga y tangente corta de ~-- Tangentes de la Cuerda

27 28

32 3S 36 40 41 43

43 45 46 48

50 S3 53 54 56 57

Tercer Dibujo Ejemplo Longitud

Longitudes

Parámetros de

Angulos

Grado y Inn01T1,-,.l

Coordenadas

Coordenadas

Coordmadas del

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Tangentes cortas y

Cuerdas largas y

Abscisas del TE,

Coord~,cuerda

Coordenadas, cuerda Resumen de datos y Programa en BASIC deflexiones de espirales

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Otras curvas de transición Curvas más adecuadas para transiciones Trayectoria de los vehículos en curvas

17

CAPITULO IJ

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Despla.zamiento máximo de la parte de la curva circular conservada Coordenadas cartesimas del centro de la curva circular desplazada Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simét:ría Tangente larga y tangente corta de la espiral

Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimétrica

Cuerda larga y def1exión al EC

Coordenadas, cuerda y deflaión a cualquier

punto de la espiral

Localización en el terreno

Primer método: por ángulos y distancias

Segundo método: por euttdas y deflexiones

Tercer método: por abscisas y ordenadas

Dibujo Ejemplo Longitud mínima de espiral Longitudes de las espirales de entada y de salida Parámetros de las espirales Angulas totales de deflexión Grado y longitud de la curva circular Coordenadas cartesW1a.s del EC y del CE Coordenadas cartesianas del PC Y del PT Coordenadas del centro de la curva circular desplazada Tangentes de la curva espiral-circular-espiral Tangentes cortas y largas de las espirales Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE Abscisas del TE, EC, CE y ET Coordenadas, cuerda y deflexión para la abscisa Kl +040 Coordenadas, cuerda y def1exión para la abscisa K1 + 110 Resumen de datos y resultados Programa en BASIC para el cálculo de parámetros y de deflexiones de espirales simétricas (CASIO FX- 702p)

57 v

S9

60 61 62 63 64

64

65 67 69 70 71 ...,') 1­

72 72 73 73 73 ""'4

74 75 75 76 76 77 77 78 78 81


El error debido a la igualdad entre la cuerda y el

arco en las espirales de Euler Descripción del problema Análisis del error Magnitud e importancia del error Corrección del error Espiral aplicada a curva circular sin disloque Espirales paralelas, en los bordes del pavimento Espirales en lugar de alineaciones rectas Ventajas de la espiralización en carreteras Confort de los ocupantes Transición del peralte Maniobrabilidad Deslumbramiento Annonía paisajística Reducción de accidentes Transición del sobreancho Confort óptico Monotonía Movimiento de tierras En curvas en "S" En intersecciones Facilidad en el cálculo y en el replanteo Compendio de fórmulas

82

82

84

84

85

86

90

92

93

93

94

95

95

95

95

96

96

96

96

97

97

97

98

105

BIBLIOGRAFIA

ANEXO 1. COORDENADAS CARTESIANAS

EN MILIMETROS PARA LAS

ESPIRALES CON PARAMETROS K=l ,

K=4S y K=60 A ESCALA 1:1000 109

V1

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El error debido a la igualdad entre la cuerda y el arco en las espirales de Euler Descripción del problema Análisis del error Magnitud e importancia del ea:or Corrpr..... ~- ' .

82 82 84 84 85 86 90

LISTA DE FIGURAS

Pág.

92 93 93 94 95 95 95

Fig. 1.1 Fig.l.2

Fig. 1.3

9S

96 96 96 96 97 97 97

98

05

Fig. 1.4 Fig. 1.5 Fig. 1.6 Fig.1.7 Fig.2.1 Fig.2.2 Fig.2.3 Fig.2.4 Fig.2.5

)

Fig.2.6 Fig.2.7 Fig.2.8

Diagrama de curvaturas en la unión recta-círculo sin curva de transición. Trayectoria adoptada por una gran mayoría de vehículos, cuando tienen la oportunidad, en una curva sin translClOnes. Diagrama de curvaturas entre la recta y el círculo con curva de transición. Curva de transición de óvalos de Cassini. Lemniscata de Bernouilli. Espiral de Euler. Trayectoria, en las curvas, de los vehículos que circulan a velocidad constante. Curva de transición entre la tangente y la curva circular. Espiral de Euler o clotoide de parámetro K=12. Semejanza u homotecia de las clotoides. Sistema de coordenadas cartesianas para la clotoide. Plantillas de espirales de Euler K=45 y K=60 a escala 1:1000. Fuerza centrífuga residual o no compensada. Longitud mínima de la espiral de acuerdo a la transición del peralte. Deflexiones en un enlace con curvas de transición. VII

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3 -;

I

14 lS 16 18

23 25 26

29 34 36 40 54


Fig. 2.9

Fig. 2.10

Fig.2.11

Fig. 2.12

Fig.2.13 Fig.2.14 Fig.2.15 Fig.2.16 Fig.2.17 Fig. 2.18 Fig.2.19 Fig.2.20 Fig.2.21 Fig.2.22 Fig. 2.23

Coordenadas cartesianas del EC y del CE. Coordenadas cartesianas del PC desplazado. Desplazamiento máximo de la curva circular. Coordenadas cartesianas del centro de la

curva circular desplazada. Tangente y externa de la curva

espiral-circular-espiral simétrica. Tangente larga y tangente corta de la espiral. Tangentes de la espiral asimétrica. Cuerda larga de la espiral y deflexión al EC. Coordenadas, cuerda y de flexión a un pun to

cualquiera de la espiral. Puntos necesarios para la localización de

la espiral. Localización por medio de ángulos y distancias

desde un punto estratégico. Diferencia entre las cuerdas y los arcos

de la espiral Espirales aplicadas a una curva circular sin

disloque. Espiral de entrada en una curva circular sin

disloque, valor de Y EC Espirales en los bordes' del pavimento,

paralelas a las del eje.

56

57

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INTRODUCCION .

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65

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87

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curvatura sea la variación posible de o por el

Si la recta y

peralte debeóa que exis ta en calzada.

VIII


Fig.2.9 Fig.2.10 Fig.2.11 Fig.2.12 Fig. 2.13 Fig.2.14 Fig.2.15 Fig.2.16 Fi9 " .. -

Coordenadas cartesianas del EC y del CE. Coordenadas cartesianas del PC desplazado. Desplazamiento máximo de la curva circular. Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada. Tangente y externa de la curva espiral-circular-espiral simétrica. Tangente larga y tangente corta de la espiral. , Tangentes de la eso;.... 1 ....;ca. Cuerd~ 1~· tión al EC. a un punto

56 57 59 60 61 62 63 64 65

ión de

66 Y distancias

INTRODUCCION Durante mucho tiempo, el trazado rectilíneo de carreteras fue considerado como el mejor por ser el más corto; actualmente, un trazado con ligeras inflexiones es generalmente preferido por razones tales como la de evitar, en alineaciones rectas muy largas, el deslumbramiento producido por las luces de los vehículos que viajan en sentido opuesto y para obtener una relación armónica geométrica entre el paisaje y la carretera.

68 \)s

82 tsm

87 ·sm

88 91

El diseño geométrico de una carretera utilizando únicamente líneas rectas y arcos de círculo es sólo admisible como una primera aproximación. La discontinuidad de curvatura que existe en la unión de una recta con una curva no puede aceptarse en un trazado racional. La unión de la recta con el círculo deberá efectuarse de tal fonna que el cambio de curvatura sea progresivo, por razones tales como la de permitir la variación unifonne del peralte y evitar accidentes por posible deslizamiento de los vehículos a la salida de las curvas o por el impulso intuitivo de los conductores a seguir una trayectoria más cómoda con la consecuente invasión del carril opuesto. Si la recta y la curva circular se suceden sin transición, el peralte debería continuarse en la parte recta, y no es racional que exista en una recta una inclinación transversal de la calzada.

IX


Numerosas y diversas curvas de transición se han utilizado en carreteras, siendo la espiral de Euler, la curva que mejor se ajusta a la trayectoria recorrida por un vehículo que viaja a velocidad constante y cuyo volante es accionado en fonna uniforme. En síntesis, se recomienda el uso de estas curvas en reemplazo de tangentes demasiado largas con el fm de romper la monotonía en la conducción, disminuir el efecto de las luces de los vehículos que marchan en sentido contrario y acomodar la línea del proyecto a los contornos topográficos del terreno.

/

Se presentan en estas notas la geometría, las ecuaciones, las condiciones y las ventajas para la utilización de la espiral de Euler en calles y carreteras.

estudiar, se curvaturas. De mayor radio considerarse

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Numerosas y diversas curvas de transición se han utilizado en carretera!: ~; ·..al de E uler, la curva que mejor se nida por W1 vehículo que viaja a ~ volante es accionado en forma mienda el uso de estas curvas en lsiado largas con el fin de romper n , disminuir el efecto de las luces en sentido contrario y acomodar mos topográficos del terreno. geometría, las ecuaciones, las la utilización de la espiral de

CAPITULO I CURVAS DE TRANSICION

Diagrama de curvaturas Con el objeto de tener una representación gráfica manejable e ilustrativa de las características de las curvas que se desean 'estudiar, se emplea el método de establecer los diagramas de curvaturas. Definida la curvatura como el inverso del radio, a . mayor radio menor curvatura. Un tramo en tangente puede considerarse como un tramo de radio infinito, o sea de curvatura cero. Estos diagramas se obtienen representando en unos ejes coordenados la línea cuyas ordenadas sean los valores de la curvatura del eje de la vía, en el punto de su


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desarrollo correspondiente a la abscisa. La curvatura es función d 1 radio, a mayor radio menor curvatura. ~-

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En la Figura 1.1 se aprecia una de las posibilidades que se puede presentar en el caso de curvas. En efecto, el tramo que va desde el origen del diagrama hasta el PC representa una recta que, por tener radio inftnito, tiene curvatura cero (p=O); el tramo entre el PC y el PT representa una curva circular de radio Re (p=l/Rc), unida sin transición tanto a la recta antes descrita como a la que representa la curvatura después del PT. o 11

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Diseño sin curvas de transición y el arco de cambio brusco en de cero y en la valor del radio recorre una vía inftnito en una que ocurre de ya que pasa de no quedar sometido a

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Figura 1.1 Diagrama de curvaturas en la unión recta-círculo sin curvas de transición.

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Figura 1.2


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desarrollo correspondiente a la abscisa. La curvatura es función radio, a ayor radio menor curvatura. ~-En la Figura 1.1 se aprecia una de las posibilidades que se puede presentar en el caso de curvas. En efecto, el tramo que va desde el origen del diagrama hasta el PC representa una recta que, por tener radio inftnito, tiene curvatura cero (p=O); el tramo entre el pe ......1 - - 'IDa curva circular 'a nto a la recta vatura después

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Diseño sin curvas de transición En el trazado de una carretera donde se utiliza la línea recta y el arco de círculo unidos en forma directa se presenta un cambio brusco en la curvatura p; en la recta, p tiene un valor de cero y en la curva circular tiene un valor de l/Re (Rc es el valor del radio de la curva circular). Esta situación corresponde a la indicada en la Figura 1.1. A un vehículo que recorre una vía con estas características, al pasar de un radio infInito en una tangente a un radio dado en una curva, paso que ocurre de golpe al llegar al PC, e le p-resentan dificultades ya que pasa ~e no sufrir ninguna fuerza centrífuga en la recta a quedar sometido a una de valor detenninado en la curva.

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FiguIa 1.2

Trayectoria adoptada por una gran mayoría de vehícul08, cuando tienen la oportunidad, en una curva circular sin transiciones. 3


Debido a que la adquisición o pérdida de fuerza centrifuga no puede efectuarse de una manera instantánea, todos los vehículos, de una fonna u otra, deben adoptar algún tipo de trayectoria de transición, trayectoria que deja de ser paralela al eje de la vía y que lleva, en algunos casos, a que el vehículo ocupe el carril contrario, Figura 1.2, con la consiguiente falta de seguridad, de eficiencia y de comodidad en la operación de la vía.

vehículo, que crece gradualmente durante el trayecto en recta con peralte. El efecto de esta fuerza puede ser peligroso (si el peralte es con . ""'"" ___ l-.~ __ ---- . _­

Necesidad de las curvas de transición

En el tercer problemas rela

Cuando una curva circular se une a una recta, en el pun to de tangencia perteneciente a la recta no se necesita ningún peralte, y en el mismo punto considerado como perteneciente a la curva circular sí es necesario, en toda su magnitud. Si se desea tener continuidad en el peralte se podría pensar, inicialmente, en una de las siguientes alternativas: ' J

~J

Iniciar y aumentar el peralte gradualmente en la recta de tal fonna .que en el punto de tangencia sea el necesano . Iniciar y aumentar el peralte gradualmente en la curva, a partir del punto de tangencia.

.( Iniciar el peralte en la recta y aumentarlo parcialmente en la curva, alcanzando el valor necesario en el interior de ésta. Pero todas estas alternativas son indeseables, tanto desde el punto de vista teórico como práctico; en efecto, en el primer caso aparece una fuerza transversal, componente del peso del 1( 1 4

grado de dificultad _. En la segunda compensar al situación de .

entre la recta y disminuya valor corre De fonna análo preciso aumentar también tiene el cero en la recta vez de producirse denomina curva

Característi transición ~levar

convenien sin disminuir la consecuencia, al exterior de la


Debido a que la adquisición o pérdida de fuerza centrifuga no puede efectuarse de una manera instantánea, todos los vehículos, de una fonna u otra, deben adoptar algún tipo de trayectoria de transición, trayectoria que deja de ser paralela al eje de la vía y que lleva, en algunos casos, a que el vebJculo ocupe el carril contrario, Figura 1.2, con la consiguiente falta de seguridad, de eficiencia y de comodidad en la operación de la vía.

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,. En la segunda alternativa la fuerza centrifuga pennanece sin , compensar al entrar en la curva y el vehículo sufrirá una situación de incomodidad hasta que se alcance el valor necesario para el peralte. En el tercer caso se produce una combinación de los problemas relativos a las dos primera alternativas.

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vehículo, que crece gradualmente durante el trayecto en recta con peralte. El efecto de esta fuerza puede ser peligroso (si el peralte es considerable), y conlleva, en cualquier caso, un grado de dificultad para mantener el vehículo sobre la recta.

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La fonna de evitar estas dificultades consiste en introducir, entre la recta y la curva circular, otra curva en la que el radio disminuya gradualmente desde infinito en la recta hasta el valor correspondiente de la curva circular al principio de ésta. De fonna análoga, a partir de la salida de la curva circular es preciso awnentar el radio hasta que se haga intlnito . Esto también tiene el efecto de variar la fuerza centríf~. desde cero en la recta hasta un valor máximo en la curva circular, en vez de producirse. s~Rarició!!...5nstantánea. A esta curva se 1e denomina curva de transición.

e a ra cterísticas

de

las

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de

transición Una de las fonnas de materializar el peralte consiste en \-elevar convenientemente la cota del borde exterior de la curva sin disminuir la que existe en el borde interior..;) En consecuencia, al pasar de una recta a una curva el borde exterior de la vía deberá elevarse progresivamente hasta alcanzar la cota correspondiente al peralte de la curva circular. 5


Por otra parte, una curva circular de radio Re tiene una curvatura p=l/Re, que da lugar a una aceleración centrifuga, de la cual el peralte compensa una parte quedando otra y su correspondiente fuerza centrífuga sin compensar.

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En la recta la curvatura es O, luego no hay aceleración ni fuerza centrífuga sin compensar. Se ha indicado la necesidad de que esta aceleración y esta fuerza aparezcan gradualmente, ya que si lo hicieran de modo súbito se tendría una sobreaceleración (cambio o derivada de la aceleración con respecto al tiempo) infmita, altamente molesta para el viajero, y el impacto producido por la aplicación brusca de una fuerza. Por tanto, entre la recta y la curva circular se debe intercalar una curva de curvatura p creciente desde O hasta l/Re, a la que se ha denominado curva de transición.

Diseño con curvas de transición La recta y la curva circular, con el fIn de dar cabida a la curva de transición, no pueden quedar, en generaL tangentes; es preciso separar la curva circular de la tangente para que tenga espacio el enlace. El diagrama de la Figura 1.3 corresponde al de una curva circular con transiciones. La curvatura en las tangentes es O, en la curva circular corresponde a la recta en la que p=l/Re y en las curvas de transición la variación de la curvatura entre los valores anteriores corresponde a líneas rectas inclinadas respecto al eje de las abscisas.

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Por otra parte, una curva circular de radio Re tiene una curvatura p=l/Re, que da lugar a una aceleración centrífuga, de la cual el peralte compensa una parte quedando otra y su correspondiente fuerza centrífuga sin compensar.

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ABSCISAS

Figura L3 Diagrama de curvaturas entre la recta Y el círculo' con curva de transición.

El diseño de las curvas de transición, entre las tangentes y las curvas circulares, proporciona una longitud apropiada para !'producir un cambio gradual, conveniente y necesario, en: el radio, la curvatura, el grado de curvatura, el peralte, el sobreancho, la fuerza y aceleración centrífugas. Los valores de las variables anteriores están asociados de una u otra fonna con la curvatura, razón por la cual al eliminarse el cambio repentino que se presenta en ella utilizando una longitud adecuada, se reducen o se eliminan las inconveniencias y se

7


propicia la presencia de los beneficios asociadas con las demás

variables.

Las trayectorias con curvas de tranSloon diseñadas adecuadamente son cómodas, naturales y fáciles de seguir por los conductores, debido a que la fuerza centrifuga crece y decrece gradualmente a medida que se entra o se sale de una curva circular, lo que disminuye el riesgo de accidentes por la invasión del carril contrario; con las curvas de transición se evita el diseño de parte del peralte en la tangente y se elimina la dificultad de mantener el vehículo sobre dicha trayectoria.

curvatura; en ferrocarriles es más notable el efecto de la fuerza centrífuga pues se incrementa el desgaste de las ruedas metálicas y de los rieles.

Nomenclatura en curvas con transiciones Cuando se diseñan espirales, se utiliza la siguiente nomenclatura (Figura 1.3):

TE: EC: CE: ET:

Punto de unión Punto de unión Punto de unión Punto de unión

de la tangente con la espiral de la espiral con la curva circular. de la curva circular con la espiral de la espiral con la tangente.

Las curvas están compuestas, en general, por un arco de círculo y dos curvas de transición y, hasta donde sea posible, simétricas.

Reseña histórica Las curvas de transición, aplicadas a ferrocarriles, fueron analizadas en 1860 por Max V on Leber. Se han utilizado en ferrocarriles, desde finales del siglo pasado, con el fin de reducir los inconvenientes debidos al cambio repentino de

Joseph

en 1940,

Euler.


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propicia la presencia de los beneficios asociadas con las demás variables. Las trayectorias con curvas de transición diseñadas adecuadamente son cómodas, naturales y fáciles de seguir por los conductores, debido a que I~ .c.--~a centrifuga crece y 'ta o se sale de una decrece gradualmentt> .. . ~ accidentes por la curva cirr.,1. , de transición se en te y se elimina 'ha trayectoria.

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curvatura; en ferrocarriles es más notable el efecto de la fuerza centrífuga pues se incrementa el desgaste de las rue~as metálicas y de los rieles. En 1929 aparecieron en España las primeras notas, elaboradas por Oliver y Roman, sobre análisis de la circulación de vehículos en carreteras; en éste estudio se destaca el problema que representa para los conductores que no conocen la carretera el encontrarse una curva, problema que deben resolver en segundos y si lo hacen bien, se debe principalmente a su pericia y experiencia. Al desconocer las .s.aracterísticas de las curvas, para resolver el problema,! los , conductores procuran recorrerlas a través de una curva de \ radio variable, infmito a la entrada y a la salida, fmito y mínimo en el centro procurando que dicha curva esté en la \mitad de la calzada y parte de ella en el espacio ~rrespondiente al carril contrario. En 1932 F. G. Royal Dawson publicó el libro Elementos de las cllrvas en carreteras, femJcaniles y alltódromos dedicado a la transición entre alineamientos rectos y curvos. En él se emplea la lemniscata de Bemoulli debido, primero, a la relativa facilidad de su empleo en el diseño geométrico: cálculo, dibujo y replanteo y, segundo, al conocimiento que de esta curva se tenía desde fmales del siglo XIX en el diseño de vías férreas. La utilización de curvas de transición fue introducida en la práctica de la ingeniería de carreteras por L. Oerley en 1937, esto hace que su uso se extienda, principalmente, en los países desarrollados. Joseph Bamett publicó su obra Transition curves for highw~s en 1940, con criterios y tablas para el cálculo de espirales de Euler. 9


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En Colombia, desde principios de la década del cincuenta, el libro Levantamiento y trazado de caminos, de Thomas F. Hickerson, ha sido la base del estudio y de las aplicaciones de la espiral de Euler. Jacobo Carciente de la universidad Central de Venezuela en el Estudio y proyecto de camteras, texto publicado por primer vez en 1965, propone el uso de las Tablas de Ba17lett para el cálculo de las espirales de Euler defmidas por su longitud (contiene dos de dichas tablas), y las Tablas de Kasper y Lnrenz o el Manual de Krenz y Osterloh para las definidas por su parámetro. El Ingeniero José María Bravo en su libro Diseño Geométnco de VÚ1s - 1969, correspondiente a las notas para el curso dictado en la Facultad de Minas, destaca la conveniencia de 1m diseños de carreteras con curvas de transición, para lo cual propone la utilización de la espiral cúbica, de la lemniscata de Bemoulli y de la espiral de Euler. La curva analizada por él es la espiral de Euler para la cual presenta sus ecuaciones y recomienda, para el cálculo, la utilización de las Tablas de la Union Suisse des Proftssinels de la Route. Actualmente, el Mjnisterio de Obras Públicas y Transpones de Colombia ha venido promoviendo la utilización de las transiciones en las carreteras y calles del país, aunque desde 1970 en el manual Criterio geométrico para diseño de camteras establece la necesidad de su uso, considera que la espiral de puler la lemniscata de oulli y la curva elástica cumplen a ecuadamente la función de transición, I sm em argo, recotruenda el ~o esp· a e teniendo e GUenta que Su aplicación es, comparaa on as a~más, relativamente sencilla. El MOPT recomienda las transiciones especialmente en el diseño de vías rápidas, posiblemente influenciado por el

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10

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criterio norteamericano, criterio que difiere considerablemente dd utilizado en otras partes; en Alemania, por ejemplo, el uso de espirales está generalizado y es nonna para cualquier tipo de carretera, sea rápida o lenta, esto se debe a las ventajas representadas en comodidad y seguridad para los usuarios y a la gran economía r de tierra.

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En Colombia, desde principios de la década del cincuenta, el libro Levantamiento y trazado de caminos, de Thomas F. Hickerson, ha sido la base del estudio y de las aplicaciones de la espiral de Euler.

criterio norteamericano, criterio que difiere coosidenblemente del utilizado en otras partes; en Alemania, por ejemplo, el uso de espirales está generalizado y es nonna para cualquier tipo de carretera, sea rápida o lenta, esto se debe a las ventajas representadas en comodidad y seguridad para los usuarios y a la gran economía en el movimiento de tierra.

Jacobo Carcien te de la universidad Cen tral de Venezuela en el Estudio y proyecto de carreteras, texto publicado por primer vez en 1965, propone el uso de las Tablas de Barnett para el cálculo de las espirales de Eul.,... .J . '- ' ~or su longitud '4sper y Lorenz (conti,.o.,. ..l:údas por su

Tipos de curvas de transición Diversas curvas de rranS1C1on, curvas de paso o curvas de acuerdo se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre alineamientos rectos y circulares. Algunas de ellas se describen en los párrafos siguientes .

io Geométrico

.ra el curso '!ncia de 1m ¡lra lo cual tllliscata de a por él es l.aciones v 'lblas de la

Iflspones 1 de las le desde ..arreteras

¡

Las curvas compuestas Como una primera aproximación a la translClon de curvatura, sin abandonar el diseño circular, se han usado las cunras com uestas or una sucesión_~ arcos circulares que posean el mismo sentido de curvatura v en las que exisra-entre ~ .r-' ' s radias, una de enninada re Clan. El tipo más usado es el ~ la curv,3 de tres.. , c<;!!tros siméj:rica, can una relación entre sus radios de tal fonna que, si - es el radio de la parte central, los radios de las curvas laterales no sean superiores a 1.5R (2R en vías u.r~1:. El empleo de curvas compuestas de más de dos radios está sujeto al cumplimiento de la relación anterior entre curvas contiguas.

r--

~uando e~ ángulo de deflexión es pequeño, el círculo de

radio R urudo a la recta por círculos de radio 1.5R o 2R difiere poco de las curvas de transición.

mente )or d

11


" La parábola cúbica Desde el punto de vista práctico, en muchos países se ha

empleado la parábola cúbica, en la cual - como es sabido - ~ Q!...denadas aum !;oo-porcion~te al cubo ~e la abscisa

medida es e el o· n, y el radio d~c~atura., en cualquier

punt~ la c~a, es _ casi proporcional al inverso de la

distancia del P-\ill!º- ªl origen. La ecuación de .esta _curva es

y = ~,donde L es la Qngitud de la curva de transición y R

6RL

- ­

es el radio de la curva circular.

') La espiral cúbica Dado que, hasta detenninada magnitud, es despreciable el error que se comete al considerar

X ~

1, la

parábola cúbica puede expresarse como

ecuación de la

y = ~, 6RL

ecuación

correspondiente a la curva denominada espiral cúbica, en la cual las cuerdas se toman iguales a los arcos. Es ésta curva una parábola cúbica modificada en la cual su punto inicial o de tangencia tiene un radio infmito y decrece hasta el radio de la curva circular con la cual empalma. Es una aproximación de la espiral de Euler, difiere poco de ella para ángulos menores de 15°, de allí en adelante las diferencias son apreciables lo que hace que no se puedan utilizar para ángulos de deflexión mayores a 24°. Las espirales cúbicas han sido muy utilizadas en ferrocarriles de alta velocidad, bajo el punto de vista de una operación más confortable y segura, y naturalmente, en carreteras dan un cierto factor de seguridad, pero no son recomendables desde el punto de vista mecánico.

La parábola de cuarto grado o curva transición de Schram

de

Es una curva que se ha utilizado en trazados existentes, en los que se desea dotar de transiciones a las curvas circulares 12

\


La parábola cúbica Desde el punto de vista práctico, en muchos países se ha empleado la parábola cúbica, en la cual - como es sabido - las ~e?adas aume p!oporcíon~te al cubo de la abscrs;­ m~d~ es el o . en, v el radío de curvatura, en cualquier ~roporcional al inverso de la pun!? de la .' ~~- , r...a ecuación de esta ~urva es ':le la curva de transición y R

=

establecidas con el fin de que los desplazamientos sean mínimos, La curva de transición de Schram está compuesta por dos arcos de parábola de segundo grado, tangentes en el cen tro de simetría de la curva y cuya ecuación aproximada es x4 y= 6RI} .

., Ecuación de quinto grado o curva de transición de Lange Otra de las curvas propuestas para la rampa del peralte es la de Lange, en la que la variación del peralte se realiza según una ley de ecuación algebraica de quinto grado.

~tud, I

es despreciable el X ~ 1, la ecuación de la

.omo

y

=-

/3

6RL '

.,

ecuaaon

ada espiral cúbica, en ,la ~ arcos. Es ésta curva al su punto inicial o de ~ce hasta el radío de la una aproximación de ')ara ángulos menores n apreciables lo que gulos de deflexÍón sido muy utilizadas ~to de vista de una naturalmente, en ad! pero no son uco.

o curva

de

existentes, en JIVas circulares

'5 \

Curva de transición senoide de Bloss En esta curva la transición del peralte se realiza de acuerdo con una ley de cosenos.

Curva de transición de Klein Utilizada en trazados existentes,

para obtener desplazamientos nurumos en curvas establecidas con anterioridad, esta curva proporciona una rampa de peralte no lineal y se obtiene restando a las ordenadas de la recta !!.. x las 1

de la curva

h

21í

21í

/

-Sen - x . La ecuación aproximada de esta

curva de transición es: 3

x L L 2" Y = 6RL - 4J? R (x - 2" SenT x)

La curva elástica o radioide a las abscisas o curva de transición de óvalos de Cassini Esta curva, mostrada en la Figura 1.4, se define como el lugar geométrico del vértice- de un triángulo cuando el 13


producto de las longitudes de los lados adyacentes al vértice es constante y la longitud del lado opuesto es fija. La curvatura de la elástica aumenta proporcionalmente a su abscisa ~ tomando como eje x la tangente de la curva en un punto de curvatura O su ecuación general tiene la siguiente forma: p=~x

(1-1)

\

\ La p=a

Figura L4 Cwva de transición de óvalos de Ca.ejnj

La lemniscata de Bemoulli o cuerdas

La ecuaci tiene la siguie

adioide a las

Figura 1.5. Se define, esta curva de transición, como el lugar geométrico de los puntos que verifican: el producto de las distancias de ellos a otros dos puntos fijos A, B, es igual a la cuarta parte de la distancia entre A y B. Es una curva de simetría axial que posee dos ejes perpendiculares entre sí; tomando estos como ejes de coordenadas cartesianas, la ecuación de la curva es:

Esta curva difi ángulo de defle

siendo 2a la distancia entre A y B.

ecuaclon en la q proporcional a su lo

14

La espiral d o radioide a I La clotoide, d de sus diferentes


--

- -

producto de las longitudes de los lados adyacentes al vértice es constante y la longitud del lado opuesto es fija. La curvatura de la elástica aumenta proporcionalmente a su abscisa x, tomando como eje x la tangente de la curva en un punto de curvatura O su ecuación general tiene la siguiente fonna:

y

(1-1)

- - - --.>

x

Figura 1.5 Lemniscata de Bemoulli.

La ecuación, en coordenadas polares, está dada por p = a.J Sena, donde p es la distancia polar, a el ángulo polar y a es el parámetro que identifica la curva.

adiolde a las b nsición, como el ;an: el producto de s A, B, es igual a . Es una curva de diculares entre sí; s cartesianas, la

La ecuación que relaciona el radio vector con la curvatura tiene la siguiente fonna : (1-2) Esta curva difiere poco de la espiral de Euler para valores del ángulo de deflexión inferiores a 30°.

La espiral de Euler o espiral de Cornu o clotoide o radioide a los arcos La clotoide, denominación dada por Euler, tiene como una de sus diferentes fonnas de presentación la siguiente:

p=Ki

(1-3)

ecuación en la que se aprecia el aumento de curvatura proporcio nal a su longitud. 15


Esta curva, también conocida como espiral de Arquímedes, corresponde a una curva plana descrita....por un punto u~ se desplaza con movimiento unif~~sobre una recta mientras ésta gira con movimie nto unifonne alrededor ~e uno e SU! "puntos. Es, en otras palabras, una curva que se desarrolla a partir de un punto dando vueltas y alejándose de él cada vez más; en la Figura 1.6 se presenta en su totalidad, pero para transiciones solo se utiliza en su parte inicial.

Curvas más Aunque la utilizado como problema del empleando la~ curvatura es curvas, al obsérvese la Estas curvas Bemoulli y la se analizará utiliza en carreteras,

x

/

Figura 1.6 Espiral de Euler.

Otras curvas de transición También se han utilizado, para la transición de la curvatura entre alineamientos rectos y curvas circulares, la espiral logarítmica, la espiral multicompuesta o espiral de Searles en la cual la curvatura aumenta a intervalos sucesivos e iguales, y la curva de transición de séptimo grado, curva con la cual se realiza la continuidad de curvatura tanto en planta como en perftl longitudinal proporcionando así una solución teórica perfecta al problema, perfección que no es necesaria en las aplicaciones prácticas. 16

sIen 1.7.


Es~a curva, también conocida como espiral de Arqwmedes, corresponde a una curva plana descri p~or un punto .,!~se _desplaza con movimiento unifonne sobre una recta mIentras ésta gira con mOVUñiento ~m:e-alred~dor de-uno de ...E-s, en otras pa lab ras,- una curva que -­ se dI''' lunto dando vueltas y alejándose de él , ~:6 se presenta en su totalidad, pero iliza en su parte inicial.

Curvas más adecuadas para transiciones Aunque la totalidad de las curvas descritas antes se han utilizado como curvas de transición, las mejores soluciones, al problema del cambio progresivo de curvatura, se obtienen empleando las denominadas radioides en las cuales el radio de curvatura es inversamente proporcional al desarrollo de las curvas, al radio vector correspondiente o a la abscisa; obsérvese la similitud de las ecuaciones (1-1), (1-2) Y (1-3). Estas curvas son la clotoide o espiral de Euler, la lemniscata de Bemoulli y la curva elástica. De estas tres curvas, más adelante se analizará el por qué, la más conveniente y la que más se utiliza en las transiciones, tanto ferroviarias como de carreteras, es la espiral de Euler.

Trayectoria de los vehículos en las curvas Si se supone que los vehículos, tanto en las rectas como en las curvas, circulan a velocidad constante, v = el> se tendrá:

x

di

c=­ dI 1

Si, además, los conductores awnentan progresivamente el ángulo de giro w de sus volantes, puesto que la velocidad ión de la curvatura -ulares, la espiral

dO

angular es w = dI ' su cambio estará dado por:

,piral de Searles tcesivos e iguales, ~urva con la cual olanta como en '¡ución teórica esaria en las

siendo 1.7.

e

la inclinación de la tangente a la trayectoria, Figura

~)


Para C 3 y K, tal forma que C 3 =1/

..

Se .

1l

.,

expreslon que co puntos medios de constante y cuyo ĂĄngulo de giro del espiral de Euler en un punto ~ ,; :7J -

.........._ .._.. _.

Figura 17 Trayectoria, en las curvas, de los vehicuJos que circulan a velocidad constante.

De las dos expresiones anteriores se obtiene: d 2 (} C) = d/ 2

integrando

dO di = e)1 integrando nuevamente

() = Ci 2

8

2

(1)

vehĂ­culos no es los conductores por lo tanto progresivo lo exactamente velocidad en

ne.ro relacionadas de


Para e 3 y K, constantes diferentes pero relacionadas de tal forma que 3=1/K2, se obtiene:

e

Se

(1-4)

expreslOn que corresponde a la trayectoria descrita por los puntos medios de los automotores que viajan a velocidad constante y cuyos conductores aumentan regularmente el ángulo de giro del volante, ecuación correspondiente a la de la espiral de Euler en la que se relacionan el ángulo y la longitud en un punto cualquiera de la curva. " ...__.. Se ... ..........._

. ._.t

~

vehículos que

'C.

te:

Cabe anotar que, en la práctica, la velocidad de los vehículos no es constante, existe una tendencia generalizada de los conductores a reducir la velocidad al entrar en las curvas v por lo tanto el movimiento del volante no es linealmente progresivo lo que hace que la curva descrita no sea exactamente la de la espiral de Euler. La reducción de velocidad en estos casos se debe, fundamentalmente, al desconocimiento de las características de la carretera y a la suposición de que se trata de curvas circulares; reducción que va desapareciendo con el uso y conocimiento de la vía. Reemplazando del dI del dI =e3I, se obtiene:

por

l1R,

en la expresión

(1):

o, lo que es lo mismo

(1-5)


ecuaclOn que coincide con la (1-3), correspondiente a la espiral de Euler, en la que se relacionan la curvatura y la longitud recorrida de dicha curva. Resumiendo, la trayectoria descrita por los vehículos que, en una curva, circulan a velocidad constante y cuyo volante es accionado de tal forma que el ángulo de giro aumente gradualmente, coincide con la espiral de Euler.

/

LA ESPI

Ecuación Sin

entrar

8292174 1997 parte1  

Espiral de Euler en calles y carreteras

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Espiral de Euler en calles y carreteras

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