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aprender melhor BOLETIM INFORMATIVO DO PROJETO FAZER MELHOR, APRENDER MAIS

ano IV

O Círculo Básico de Matemática, iniciado em 2013|14, foi um dos subprojetos

número 16

integrantes de Fazer Melhor, Aprender Mais, um projeto apoiado pela Fundação Calouste

maio 2017

Gulbenkian que teve a duração de dois anos lectivos durante os quais foram realizadas vinte e sete sessões que envolveram alunos do ensino básico interessados em saber e aprender mais matemática. Procurou-se estimular e desenvolver o gosto por essa disciplina, o seu estudo e a sua aprendizagem através de problemas, em cuja resolução estiveram presentes processos matemáticos úteis e importantes no estudo da matemática escolar. Procurou-se assim alargar o conhecimento matemático de todos e desenvolver o interesse e a capacidade de estudar matemática assim como a compreensão de conceitos numéricos e geométricos, entre outros. Inspirado no projeto Círculo de Matemática do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, o Círculo Básico de Matemática teve continuidade e, no ano lectivo 2016|17, funcionou com dois pequenos grupos de alunos que trabalharam, semanalmente, à quarta e à quinta–feira, até ao final de maio. Foram realizadas 35 sessões durante as quais cada grupo resolveu 38 desafios de matemática. Este número de aprender melhor é dedicado à matemática e inclui trabalhos realizados por alunos do 12º A, alguns deles a propósito do Dia Internacional da Mulher.

A matemática.

Para conhecer melhor o projeto Círculo de Matemática:

No Ensino Básico e Secundário,

uma definição única de matemática

Matemática é uma disciplina em

que abranja todos os seus domínios

que se estudam, entre outros te-

ou os seus conteúdos, que nos dê

mas, números (operações e propri-

conta dos seus métodos ou das su-

edades), geometria, probabilidades

as aplicações.

e estatística, conjuntos, funções.

senvolve-se (progride) pela reso-

() remonta ao século

lução de problemas, pela criação de

palavra

VI a.C., época em que terá vivido Pitágoras. No seu significado inicial, a palavra matemática era aplicada Para conhecer melhor o projeto Fazer Melhor, Aprender Mais:

A actividade matemática de-

matemática

A

a “o que se aprende”, o que aprendiam Pitágoras e os seus discípulos (os pitagóricos); a palavra era usada para descrever as suas actividades intelectuais. Por ter grande amplitude, torna-se difícil encontrar (apresentar)

novas teorias e de novos conceitos, pela descoberta de novas aplicações, pelos desafios colocados pela vida prática e social. Desenvolve-se,

igualmente,

pela demonstração de propriedades (teoremas), pela criação de novos ramos da matemática. Com persistência, intuição, curiosidade, método, dedicação.

aprender melhor


Matemática. O que é?

M

as afinal o que é a matemática? Na falta de uma definição, apresenta-se a seguir um conjunto de citações que nos ajudam a compreender a matemática, método, conteúdo, e significado. “... as mate-

“O que o ma-

máticas têm

temático faz é

problemas são o

invenções

examinar

coração da ma-

muito subtis, e

“padrões” abs-

temática”

que podem

tractos – pa-

servir muito,

drões numéri-

tanto para satisfazer os curi-

cos, padrões de formas, pa-

osos como para facilitar todas

drões de movimento, padrões

as artes e diminuir o trabalho

de comportamento, etc. Es-

dos homens;”

ses padrões tanto podem ser

René Descartes (1596-1650), matemático e filósofo francês

Paul Halmos (1916-2006), matemático húngaro-americano.

“A matemática

reais como imaginários, visu-

é geralmente

ais ou mentais, estáticos ou

considerada

dinâmicos, qualitativos ou

como uma ci-

quantitativos, puramente uti-

ência à parte,

litários ou assumindo um in-

símbolos e con-

desligada da

teresse pouco mais que re-

tas. Estas são

realidade, vivendo na penum-

creativo. Podem surgir a par-

bra do gabinete, um gabinete

tir do mundo à nossa volta,

mentas do ofí-

fechado, onde não entram os

das profundezas do espaço e

cio – semifusas

ruídos do mundo exterior.

do tempo, ou das actividades

Nem o sol, nem os clamores

mais ocultas da mente huma-

dos homens. Isto, só em par-

na.

te é verdadeiro”

“A matemática não é sobre

apenas ferra-

e colcheias e exercícios para os cinco dedos. A matemática é sobre ideias. Em particular, é sobre a forma como diferentes ideias se relacionam entre si”.

“Sem os seus símbolos algébricos, uma grande parte da

Bento de Jesus Caraça (19011948), matemático português

matemática simplesmente não existiria. Na verdade,

“Deus criou os

trata-se de uma questão

números natu-

complexa que tem a ver com

rais; tudo o res-

as capacidades cognitivas do

to é obra do ho-

“Mesmo com

ser humano. O reconheci-

mem.”

um conheci-

mento de conceitos abstrac-

mento superfi-

tos e o desenvolvimento de

cial da mate-

uma linguagem adequada

mática, é fácil

são, de facto, os dois lados

identificar algu-

da mesma moeda”

Ian Stewart (1945), matemático inglês

mas das suas

“A matemática, a ciência

características: a sua abs-

dos padrões, é uma forma de

tracção, a sua precisão, o seu

contemplar o mundo em que

rigor lógico, o carácter irrefu-

vivemos, tanto a nível físico

tável das suas conclusões e,

como biológico e sociológico,

por fim, o vasto campo das

bem como o mundo oculto

suas aplicações.”

das nossas mentes e pensa-

Aleksandr Danilovic Alexandrov (1912-1999), matemático russo

2

“Creio que os

mentos.” Keith Devlin (1947), matemático inglês

“A essência da matemática é a sua liberdade” Leopold Kronecker (18231891), matemático alemão

“A diferença entre um poeta e um matemático é que um poeta tenta colocar a sua cabeça no céu, enquanto o matemático tenta colocar o céu na sua cabeça” G.K. Chesterton (1874–1936), escritor inglês

aprender melhor


Matemática. O que é? A matemática é “… uma acti-

Em A Utilidade do Inútil, o seu autor, Nuccio Ordine, a propó-

vidade mental mais valiosa

sito do título, refere na introdução que “A paradoxal utilidade

do que mil olhares pois só

de que falo não é a mesma em nome da qual os saberes hu-

através dela po-

manísticos e, de um modo mais geral, todos os saberes que

de ser a verdade

não produzem lucro, são considerados inúteis. Numa dimen-

apreendida”.

são muito mais universal, quis pôr no centro das minhas re-

“A Matemática

flexões a ideia de utilidade daqueles saberes cujo valor es-

trabalha com ideias e não com números ou linhas escritos ou desenhadas num papel” “... aqueles que se ocupam da geometria, da aritmética e ciências desse género, admi-

sencial está completamente livre de qualquer finalidade utilitária. Existem saberes absolutos que – precisamente pela sua natureza gratuita e desinteressada, longe de qualquer vínculo prático e comercial – podem ter um papel fundamental na educação do espírito e no desenvolvimento cívico e cultural da humanidade. Dentro deste contexto, considero útil tudo aquilo que nos ajuda a tornarmo-nos melhores.” em A Utilidade do Inútil, Nuccio Ordine

tem o par e o ímpar, as figuras, três espécies de ângulos,

“Um mate-

e outras doutrinas irmãs des-

mático, tal co-

resolver problemas”

tas, segundo o campo de ca-

mo um pintor

“A matemática, pensada e

da um.“

ou um poeta, é

aprendida de forma apropria-

Platão (428-347a.C.) matemático da Grécia Antiga. A matemática era considerada de grande utilidade quer para o estudo da filosofia quer para o exercício da cidadania.

um construtor

da, aperfeiçoa o pensamento

de padrões. Se

e incute bons hábitos de pen-

os seus padrões são mais

sar”

duradouros do que os dos

“A matemática é a mais bara-

outros é porque os seus são

ta das ciências. Apenas é

constituídos por ideias. ... os

preciso papel e lápis.”

“A matemática, quando bem interpretada, não possui somente a verdade, mas a suprema beleza, beleza austera e fria, como a da escultura, sem apelo ao que porventura haja em nós de menos eleva-

padrões dos matemáticos, tal

ca, mas de uma pureza sublime, e capaz de uma perfeição severa, que só a arte mais excelsa pode atingir”. Bertrand Russell (1872-1970), matemático inglês.

poetas, devem ser bonitos; as ideias, tal como as cores e as palavras, devem (ser organizadas) combinar de uma forma harmoniosa. ...” Godfred Harold Hardy (18771947), matemático inglês

“Um trabalho matemático é, para quem o sabe ler, o mesmo que um trecho musical é para quem o sabe ouvir, um quadro para quem o sabe

a rainha das ci-

ver, uma ode para quem a

ências”

sabe sentir”

(1777–1855), matemático alemão aprender melhor

temático húngaro

“A matemática integra todos os ramos do conhecimento científico e desempenha um papel incalculável na biologia, física, química, economia, sociologia, e engenharia. A matemática pode ser utilizada para explicar as cores do

“A matemática é

Carl F. Gauss

George Polya (1888–1985), ma-

como os dos pintores e dos

do, sem os faustosos ornamentos da pintura e da músi-

“A matemática é a arte de

Francisco Gomes Teixeira (18511933), matemático português

entardecer ou a estrutura cerebral. Ajuda-nos na construção de aviões supersónicos e de montanhas russas, a simular o fluir dos recursos naturais da Terra, a explorar as realidades subatómicas e a imaginar galáxias longínquas. A matemática alterou a forma como observamos o cosmos.” Clifford A. Pickover (1957), matemático americano

3


Matemática. O que é?

A

matemática

é

uma

diversão

podem vaguear livremente.

libertadora. Podemos deixar de tratar

A matemática é sobre como destruir a

as restrições da realidade com tacto e

espiral limitadora do pensamento. O mundo

diplomacia e permitir que as nossas mentes

matemático está cheio de surpresas, mas o

brinquem onde quiserem. A matemática é

nosso guia é o princípio claro de seguir

sobre o que pode ser pensado, o que pode

ideias simples para chegar a conclusões

ser imaginado, o que pode ser sonhado. E

lógicas.

conduz-nos a verdades novas. Explorar as

estratégia

biblioteca ESAS pelo

consequências profundas de ideias simples

matemático para nos guiarmos nas nossas

projeto Ciência Viva

leva-nos

vidas

Círculo de

surpreendentes e compreensão inesperadas.

vasta riqueza que as nossas mentes podem

Dobramos papel para encontrar padrões,

criar. A matemática e a nossa imaginação

professores do

contamos espirais para encontrar números,

não têm limites, nem fins, nem meta. Cada

Departamento de

desdobramos cubos para ver mundos de

horizonte alcançado abre novos horizontes

Matemática da

quatro dimensões onde não podemos ir

ainda mais gloriosos.

Livro colocado na

Matemática, promovido por

FCUP.

de

vistas

também

básica

quotidianas.

utilizar

do Aqui

esta

pensamento

vislumbrámos

a

em posfácio do livro O Matemático Disfarçado

ma pergunta, quatro respostas:

mente

definidos:

triângulo,

quadrilátero,

1) A matemática pode ser definida des-

círculo, números inteiros, números primos,

crevendo o seu conteúdo, ou nomeando os

funções, etc. Maneja as propriedades de

seus objectos de estudo.

esses termos e as relações entre essas pro-

Tradicionalmente, faz-se distinção entre

priedades: o teorema de Pitágoras é válido

geometria, álgebra, análise matemática e

para qualquer triângulo rectângulo. Essas

estocástica. A geometria é a ciência do es-

relações lógicas põem ordem no mundo dos

paço que nos rodeia, que tentamos compre-

conceitos.

ender mediante a definição de pontos, li-

3) Mas também podemos olhar para fora e

nhas, planos, ângulos, quadriláteros, círcu-

centrar a nossa atenção na descrição e na

los e outras figuras, e com o seu estudo

gestão do mundo através da matemática.

procuramos

vez

Galileo Galilei (1564–1642) estava convenci-

mais amplo do espaço. Tal como a geome-

do de que a matemática era a linguagem da

tria, a álgebra também alcançou o seu es-

natureza. A matemática é um instrumento

plendor durante a Antiguidade Clássica. De-

mais poderoso do que supomos para descre-

nomina-se assim o estudo dos números e

ver, conhecer e estruturar o mundo que nos

das suas características, por exemplo, os

rodeia.

números primos. A análise

matemática,

4) Outra definição, moderna e na minha

também designada por cálculo diferencial e

opinião muito certeira, vem do matemático

integral, é a teoria das quantidades em mu-

Hans Freudenthal (1905-1990), que se des-

dança permanente. Foram os seus principais

tacou como cientista e especialista em di-

criadores Leibniz e Newton. A estocástica é

dática da matemática. Ele afirma que: «Os

a mais recente das quatro disciplinas; é o

termos, conceitos e procedimentos matemá-

ramo da matemática dedicada ao azar.

ticos são ferramentas com as quais organi-

2) A matemática também se pode definir

zamos mentalmente fenómenos do mundo

Beu-

mediante a descrição dos seus métodos,

físico, social e mental». Esta definição des-

di-

métodos esses que a separam do resto das

taca claramente que a matemática é feita

ciências.

por pessoas “com as que organizamos”. A

tespacher,

retor do Mathematikum, museu interactivo

de

matemática

de

Giessen (Alemanha). 4

viagem

fisicamente mas onde as nossas mentes

U

Albrecht

numa

Podemos

um

conhecimento

cada

O que caracteriza realmente a matemá-

matemática não surge por si só, mas sim

tica é a demonstração, isto é, a dedução

através da intervenção ativa do ser huma-

puramente lógica dos seus enunciados. A

no.”

matemática usa termos que estão perfeita-

mentales, de Albrecht Beutespacher

em Matemáticas: 101 preguntas funda-

aprender melhor


Matemática. O que é?

T

teorias segundo as odos deveríamos saber matemáti-

quais o éter seria o

meio de propagação da luz. Tais teorias

ca. O que estuda na escola é uma coisa –

são substituídas por outras e só aparecem

não demasiado emocionante – mas o curso

nos livros pelo seu interesse histórico. Em

oferece-nos muito mais.

matemática, as coisas passam-se de ma-

É uma companheira silenciosa nas

neira diferente. Um resultado depois de

aplicações científicas, com importantes co-

demonstrado – um teorema – não poderá,

nexões com o mundo da arte. Como parte

mais tarde, ser considerado falso tendo,

do património da humanidade, a matemáti-

por isso, uma vida infinita. O teorema de

ca está viva e em constante expansão, a

Pitágoras,

sua vida alimenta-se de “grandes pergun-

será sempre válido.

tas”.

sobre

triângulos

rectângulos,

Hoje, os matemáticos não escrevem As perguntas importantes em mate-

artigos científicos da mesma maneira como

mática são muito variadas. Algumas devem

Euclides escreveu por volta do ano 300

–se a mudanças revolucionárias ocorridas

a.C. Esses trabalhos continuam a ser fon-

com as novas tecnologias, enquanto outras

tes de inspiração sendo possível encontrar

tiveram

a

sua

origem na Antiguidade,

tendo

perdurado

até

aos nossos dias. Algumas já encontraram

uma

resposta definiti-

A matemática tem uma característica que a diferencia das outras ciências. Um resultado depois de demonstrado – um teorema – não poderá, mais tarde, ser considerado falso tendo, por isso, uma vida infinita. O teorema de Pitágoras, sobre triângulos rectângulos, será sempre válido.

nesses textos novas

formas

pensar.

de

Podería-

mos ler a teoria de

equações

do

matemático grego Diofanto e ainda aprender com es-

va quando foram substituídas por novas

sa teoria. Há equações que foram coloca-

perguntas, enquanto outras se mantiveram

das na Grécia Antiga que ainda estão por

apesar de terem estado em destaque du-

resolver.

rante séculos. As que estão na esfera da

Isto não quer dizer que o tempo não

filosofia podem mesmo não ter solução,

tenho tido influência sobre a matemática e

mas, mesmo assim, como perguntas, con-

os seus teoremas. Muitas vezes, estes são

tinuam a ser fascinantes.

modificados, redefinidos e adaptados ao

É esse o caminho trilhado pela mate-

contexto atual. Na matemática, a tendên-

mática. Um facto curioso é que a matemá-

cia é a de um resultado poder ser absorvi-

tica progride lentamente. Se bem que seja

do por uma generalização e, embora o seu

importante a velocidade no cálculo mental

destino não seja o lixo, esse resultado po-

e nos problemas escolares, essa rapidez já

de vir a figurar como um caso particular de

não é interessante no que respeita ao de-

uma teoria mais geral.

senvolvimento da matemática. É inegável

Vivemos tempos fantásticos na mate-

que se têm verificado avanços, mas o seu

mática. Novas perguntas surgem na era

progresso assemelha–se mais ao do avan-

dos computadores. Não é só pela eficiência

ço lento e inevitável da lava de um vulcão

dos computadores no cálculo, mas sim por-

que ao repentino Eureka! de um grande

que desafiam a nossa noção de demonstra-

génio.

ção matemática e colocam novas pergun-

A matemática tem uma característica

tas sobre a natureza da matemática, com a

que a diferencia das outras ciências. Quan-

vantagem de poderem trabalhar com a

do uma teoria científica perde credibilidade

álgebra e mostrar formas e figuras geomé-

é abandonada como, por exemplo, a popu-

tricas.”

lar teoria do flogisto que pretendia explicar

em Introdução do livro Grandes Cuestiones

a razão pela qual as coisas ardem ou as

Matemáticas, de Tony Crilly.

aprender melhor

Tony Crilly, leitor na Universidade de Middlesex (Inglaterra)

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Matemática. Livros disponíveis na Biblioteca ESAS.

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

“Os paradoxos são como truques de magia – intrigam-nos porque contrariam a lógica e a razão. Neste livro, Martin Gardner apresenta uma série de divertidos e atrevidos paradoxos, divididos por seis áreas da matemática – lógica, probabilidade, números, geometria, tempo e estatística –, desafiando o raciocínio e a intuição dos leitores e ajudando-os simultaneamente a desenvolver a capacidade de resolver problemas.”

“De menos 1 e da sua raiz quadrada até aos números cúbicos, misteriosos, amigos, perfeitos, intocáveis ou afortunados; das sucessões alíquotas, do problema do gado, do triângulo de Pascal, do algoritmo de Siracusa, da música, magia, mapas, bolos, poliedros e palíndromos aos números tão grandes que confundem a imaginação, enfim, tudo o que sempre quis saber sobre números e não conseguiu esclarecer até aqui”

“… Por que razão os números foram anteriores às letras? Quem inventou o zero? Porque é que contar pelos dedos representou um grande avanço para a humanidade? Quem foi a primeira mulher matemática da história? Por que é que a raiz quadrada tem aquela estranha forma? Quais foram as quatro grandes desilusões matemáticas do séc. XX? Quantas crateras lunares têm nomes de matemáticos? …”

Chamo-me Pedro Nunes, "fui o mais importante Matemático da História de Portugal, fui um matemático muito famoso durante a minha vida, e há quem diga que fui o mais importante português de todos os tempos. Nós, os matemáticos, somos gente igual a todos os outros. A única diferença é que gostamos muito de Matemática. Vais ficar a saber quais foram algumas das descobertas mais importantes que fiz…“

“Este livro vai levá-lo a vários tópicos matemáticos – alguns modernos, outros antigos, mas todos eles profundos. E vai seduzi-lo, página a página, com a simplicidade de exposição, com humor e com o inesperado de muitas conclusões. Esta aparente contradição – matérias profundas, exposição simples – é resolvida pelos autores com grande mestria, a mestria que é apanágio dos bons divulgadores.“

“Um humilde pastor persa do século XIII, Beremiz Samir, exímio no exercício da arte de calcular, é o protagonista deste livro. O enredo ambienta-se no exotismo do Médio Oriente, mesclando aspetos da cultura islâmica, da herança grega e de outras grandes culturas, e reflete com fascinante realismo o clima filosófico, religioso e social da época. No universo narrativo são integrados curiosos problemas e enigmas matemáticos e lógicos, …”

“A matemática é a jóia da coroa intelectual da humanidade, a cereja no bolo do conhecimento, os pedacinhos de avelã no interior do chocolate da sabedoria. … Este é um livro para exercitar a geringonça que temos entre as orelhas. Puxem pelos vossos cérebros até estes parecerem esparguete, … entretenimentos matemáticos pouco conhecidos, desafiam-nos a igualar a vossa extraordinária perspicácia e acuidade mental, surpreendam-se com a simplicidade de tudo,…”

“O que acontece quando se junta uma dezena de matemáticos? Falase de matemática. É o que acontece neste pequeno livro, de uma forma simultaneamente brilhante e original. Sob a forma de miniaturas, onde um pequeno texto sobre a ideia específica é acompanhado por curiosidades e ilustrações, os autores transportam-nos numa suave viagem pelas ideias da matemática: dos tipos de infinitos aos hipercubos, da geometria à arte”.

(2)

(2)

(2)

(1)

(2)

Livros colocados na biblioteca pelo projeto CV Escolher Ciência

Livros adquiridos no âmbito do projeto Fazer Melhor, Aprender

– Círculo da Matemática, colaboração entre docentes do

Mais, apoiado pela Fundação Calouste Gulbemkian (2012|13).

Departamento de Matemática da FCUP e da ESAS.

6

aprender melhor


Estudar matemática. Para quê? Porquê? “A Matemática tem um notável potencial

capacidades, competências e talento, essenci-

de revelação de estruturas e padrões que

ais a uma integração consistente e bem su-

nos permitem compreender o mundo que

cedida no actual mercado de trabalho. Desenvolve o raciocínio lógico e dedu-

nos rodeia. Quando esses padrões são descobertos,

tivo e as capacidades de

ou inventados, muitas vezes em áreas cien-

generalização e abstrac-

tíficas e tecnológicas aparentemente muito

ção.

distintas, a Matemática pode ser usada para

Permite a modelação

explicar, medir e controlar processos na-

de situações reais e,

turais. A Matemática tem uma influência uni-

através do seu potencial

versal no nosso quotidiano e contribui de

de representação simbólica (fórmulas, equa-

forma decisiva para o progresso e bem-estar

ções, gráficos), facilita a sua simulação, me-

da humanidade.

dição e controlo.

Para além da sua beleza intrínseca e do seu conteúdo abstracto (axiomas, teoremas, teorias) a Matemática estimula diversos modos

Desenvolve a capacidade de formular e resolver problemas de forma precisa, conduzindo rapida-

“Por que razão é que a Matemática, sendo uma criação da mente humana, independente da experiência, se ajusta tão admiravelmente à descrição dos fenómenos naturais?”

cálculo, controlo, decisão

Albert Einstein

de pensamen-

mente ao

e resultados.

Desenvolve a criatividade, a versatili-

to, ao mesmo tempo versáteis e potentes, incluindo modelação, simulação, abs-

dade de adaptação a novas situações e su-

tracção, optimização, análise lógica e

peração de novos desafios.

dedutiva, inferência a partir de dados,

Desenvolve a capacidade de sonhar!

manipulação de símbolos e experimen-

Permite imaginar mundos diferentes, e dá

tação. Tem um campo de aplicações prati-

também a possibilidade de comunicar esses

camente ilimitado, presente em quase

sonhos de forma clara e não ambígua.”

todas as áreas do conhecimento humano. A Matemática não impõe limites à imaginação. É a única ciência com a capacidade de passar das observações das coisas visí-

em Estudar Matemática na FCUP, folheto editado pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

veis à imaginação das coisas invisíveis. Estudar matemática desenvolve múltiplas

“… um matemático é o único

“A

cientista que pode legitima-

matemáticos

mente

«Deito-me

não a partir de fenómenos

no meu sofá, fecho os olhos

do dia-a-dia mas a partir de

e trabalho.»“

conceitos matemáticos ante-

afirmar:

Ronald Graham (1935), matemático americano

maioria

dos

conceitos constrói-se

riores. Isto significa que o único caminho para obter uma compreensão, ainda que superficial, destes conceitos é seguir toda

“Num instante Alice tinha

a cadeia de abstracções que leva até

atravessado o vidro e sal-

eles.”

tado para a sala que exis-

Keith Devlin (1947), matemático inglês

tia do outro lado do espe-

“A viagem de mil quilómetros

lho.” Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll) (1832 –1898)

aprender melhor

começa com um passo.” Lao Tzu (604–531 aC)

7


Matemática. Ora os múltiplos de 99 com três algarismos

A magia da matemática – 1089!

I

Desafio colocado em aula de matemática

são:

magine que lhe propõem a seguinte atividade: pense num número com três algarismos, em

que a diferença entre o número do algarismo das centenas e o das unidades seja igual ou maior do que dois. Por exemplo: pense no número 457 

a seguir, inverta a escrita do número que escolheu (o número invertido é 754) e subtraia o menor ao maior (obteve 297);

adicione de seguida o resultado obtido (297) Excluem-se, naturalmente, os restantes múlti-

ao número que obtiver escrevendo esse resultado por ordem invertida (792). Escolha outros números com três algarismos nas condições indicadas e repita o processo! Deixe-me adivinhar … obteve sempre 1089!

plos de 99 por razões diferentes. O múltiplo 99 x 0 (igual a zero!), o 99 x 1, 99 x 10 (a escrita invertida conduz-nos a 099) e os restantes, por a escrita invertida nos levar a considerar números com mais de três algarismos.

Mas por que razão o resultado é sempre igual a 1089?

Assim, adicionando um número da lista anterior ao número correspondente com a escrita invertida

Para isso, vamos considerar um número genérico

obtemos sempre 1089!

com três algarismos e representá-lo por a b c em que a, b e c são números naturais. O “a”, que se encontra na casa das centenas vale 100a unidades, o “b”, na casa das dezenas vale 10b unidades e o “c” vale c unidades. O mesmo acontece quando se inverte a escrita do número. a b c = 100 a + 10 b + c (unidades) c b a = 100 c + 10 b + a (unidades)

Ângela Cruz, 12º A

123715907151244215033310987076605954538692156 892873914580899540576488789853006455306291611 786032469945137571936820184030397093807307381 394386946283427625557138112419598796462084333 035083405952391511192810738363198570972361529 024151766650925819891614170831065405411929462 393987634402910989244744154431593402251659553 627447630724198558389496254432442469232417642 229275623208176894660374778914778537443925839

Outra curiosidade: Subtraindo um do outro obtemos: a b c – c b a = 100a + 10b + c – (100c + 10b +a) = (100a–100c) + (10b–10b) + (c – a) = 99a + 0b - 99c = 99a – 99c = 99 (a – c) Concluímos então que o resultado deverá ser um número da forma 99 (a – c), isto é, os resultados possíveis da diferença serão múltiplos de 99 com três algarismos!

8

Escolha um número com três algarismos, por exemplo 287. Será que o número 287287 é divisível por 7, 11, 13, 77, 91, 143 e 1001? Escolha outro número de três algarismos e repita o processo. Também é divisível pelos mesmos números? Será que há exceções? Tiramos a mesma conclusão qualquer que seja o número escolhido de três algarismos? Represente por abc um número qualquer de três algarismos. Então o número que se escreve na forma abcabc é sempre divisível por 7, 11, 13, 77, 91, 143 e 1001?

aprender melhor


Matemáticas. Os textos que se seguem são apontamentos biográficos organizados a partir dos trabalhos realizados pelos alunos do 12º A (2016|17) Ângela Cruz, Joana Rocha, Raquel Anjos, Diogo Santos, Mariana Cunha, Ana Maltês e Joana Maltês, a propósito do Dia Internacional da Mulher que se comemora anualmente no dia 8 de março.

1

1813), um importante matemático francês, que logo reconheceu o seu talento matemático e que mais tar-

. Hipácia de Alexandria (370–415).

de a recomendou a outros matemáticos.

Hipácia é a primeira mulher mate-

Em 1801, Sophie Germain contactou da mesma

mática de que há notícia. Filha de Teão de Alexandria, matemático que se dis-

forma com outro importante matemático da época,

tinguiu pelos seus comentários às obras

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que também reco-

de Euclides e de Ptolomeu, Hipácia estudou em Atenas depois de ter recebido

Retrato idealizado de Hipácia.

a sua primeira formação no Museu de

nheceu o valor dos seus trabalhos e a indicou para receber um grau académico honorário na Universidade de Göttingen. Sophie deixou numerosos contributos na mate-

Alexandria onde terá estudado Matemática, Astronomia, Filosofia, Religião, Poesia e Artes. Quando re-

mática, teoria dos números, e em outras áreas do co-

gressou veio a ser uma professora respeitada e astró-

nhecimento como, por exemplo, a física, a química, a

noma.

geografia, filosofia e a teoria da elasticidade. O Instituto de França atribuiu-lhe um prémio

Apesar de muitos dos seus trabalhos se terem perdido, alguns dos seus contributos para a matemática são conhecidos através de comentários a obras de matemáticos gregos como Diofanto, Apolónio, Arquimedes e Ptolomeu. Hipácia morreu assassinada em 415, vítima dos

pelo trabalho realizado.

3

. Sofia Kovalevskaya (1850–1891) Sofia

Vasilyevna

Kovalevskaya

nasceu em Moscovo e faleceu em Esto-

conflitos religiosos que então opunham pagãos e apoi-

colmo. Durante o tempo em que viveu,

antes da doutrina cristã na cidade de Alexandria e no

as oportunidades para as raparigas eram

Império Romano.

escassas.

2

Na sua primeira formação, assegurada por um . Marie Sophie Germain (1776–

tutor, destacou-se pelo seu interesse e curiosidade

1831), um génio disfarçado, uma mate-

pela matemática. Mas, como a educação de nível su-

mática corajosa.

perior não estava disponível para as mulheres e qual-

Depois das muitas leituras que

quer viagem que quisesse fazer teria de ser autoriza-

efectuou dos livros da biblioteca de seu

da pela família, Sofia Kovalevskaya casou por conve-

pai, durante os dez anos seguintes à

niência para tentar ir estudar para a Universidade de

Revolução Francesa (1789), Marie-Sophie Germain

Heidelberg (Alemanha), mas também aí encontrou as

decidiu que iria estudar matemática.

portas fechadas às mulheres.

Mas logo encontrou a oposição da família por

Felizmente conheceu o matemático alemão Karl

considerar não ser próprio para uma rapariga estudar

Weierstrass (1815-1897) que lhe reconheceu interes-

matemática. No entanto, Sophie Germain não desistiu

se e mérito matemático e a acompanhou durante 4

de a estudar e fê-lo à noite a partir dos livros da bibli-

anos como seu tutor, ministrando-lhe uma formação

oteca de seu pai, sem que outros o soubessem. Ao fim

equivalente a um curso superior de matemática.

de algum tempo, e dada a sua persistência, a família

Sofia Kovalevskaya escreveu vários artigos de

acabou por aceitar que prosseguisse estudos na área

matemática tendo recebido o grau de Doutora ao

da matemática.

apresentar uma tese sobre equações diferenciais, títu-

Para continuar os seus estudos, e como não

lo entregue pela primeira vez a uma mulher.

tinha acesso às aulas na Escola Politécnica de Paris,

Mais tarde, leccionou na Suécia (Estocolmo)

Sophie Germain decidiu fazer-se passar por um antigo

tendo aí orientado numerosas pesquisas de matemáti-

aluno dessa escola, Mr. Le Blanc, para estabelecer

ca e ciência e, em 1888, recebeu o prémio Bordin da

correspondência com Joseph-Louis Lagrange (1736-

Academia das Ciências Francesa.

Para saber mais: https://www.mathunion.org/cwm e https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_mulheres_matem%C3%A1ticas aprender melhor

9


Números primos? Números gémeos? Números amigos? Números perfeitos?

1

diferentes de 284 (1, 2, 4, 71, 142) é igual . Os números primos, os “átomos” dos

números naturais, são em número infinito. Um número natural maior do que 1 dizse número primo se e só se tiver apenas

a 220. Números nestas condições são designados por números amigos! Outros pares de números amigos são, por exemplo, 1184 e 1210; 17 296 e o 18 416. Hoje, ainda não se sabe se o conjunto

dois divisores: o 1 e ele próprio. Caso contrário diz–se número composto. Por exemplo, são primos os números 2, 7, 11, 13 e 19. O 2 é o único número primo par. O maior número primo conhecido actu-

dos números amigos é ou não infinito.

5 6)

. A soma dos divisores de 6 (1, 2, 3 e é igual a 12, o dobro de 6! O mesmo

A sombreado estão assi-

almente, apresentado em 26 de dezembro

nalados todos os núme-

acontece com o número 28. A soma dos

de 2017, é representado por 277 232 917 −1,

ros primos menores do

seus divisores (1, 2, 4, 7, 14 e 28) é igual

um número com 23 249 425 dígitos!

56, o dobro de 28! Números nestas condi-

que 100, sendo os restantes números compostos.

Foi Eratóstenes (276–194 a.C.), mate-

ções são designados por números perfei-

mático, poeta, geógrafo e astrónomo grego,

tos. São também números perfeitos os nú-

quem criou um processo sistemático de

meros 496, 8128 e 33550336!

identificar números primos menores do que

Em geral, um número natural diz–se

um certo número escolhido (conhecido por

número perfeito sempre que a soma dos

Crivo de Eratóstenes).

seus divisores for igual ao dobro desse nú-

2

mero. . Observando o quadro ao lado, consta-

Até hoje, foram apenas identificados 49

ta-se que, por exemplo, 11 e 13 são núme-

números perfeitos! Não se sabe se o conjun-

ros primos consecutivos, o mesmo aconte-

to dos números perfeitos é infinito ou não! O

cendo a 17 e 19, 41 e 43. Por isso, esses

maior desses números conhecido represen-

números são designados por números pri-

ta-se por 277 232 916 x (277 232 917 –1) tendo

mos gémeos, tal como os números:

sido obtido a partir do maior número primo

140737488353699 e 140737488353701! Até hoje, ainda ninguém demonstrou que existem infinitos números primos gémeos!

3

conhecido, o já acima referido 277 232 917−1, designado por número primo de Merssene por ser um número primo da forma 2p –1, em que p representa um número primo. A matemática diz-nos, através de teo-

. Mas há outros problemas com números

remas da teoria dos números, que se 2p –1

primos que ainda hoje estão por demons-

é um número primo de Mersenne, então o

6=3+3

trar, tal como a Conjectura de Goldbach

número 2p - 1 x (2p –1) é um número perfei-

8=3+5

(1690–1764) que afirma que Todo o número

to!

10 = 5 + 5

Ora, como 3 é um primo de Mersenne

par maior do que 4 é igual à soma de dois números primos ímpares. Hoje, cerca de

2

(2 –1) então 6 é um número perfeito pois

12 = 5 + 7

300 anos depois, ainda ninguém a conse-

14 = 7 + 7

guiu provar nem refutar (isto é, ainda nin-

Como 8191 é um número primo de

16 = 3 + 13

guém conseguiu encontrar um número par

Mersenne (213 –1), então 212 x (213 -1) é

maior do que 4 que não pudesse ser escrito

um número perfeito, igual a 33 550 336.

6 = 22–1 (22 –1)

como soma de dois números primos).

4

. Os números 220 e 284 estão relacio-

mero perfeito! O pior é encontrá-los!

nados entre si através dos seus divisores. A

Para saber mais:

soma dos divisores de 220 diferentes de 220

https://www.mersenne.org/primes/

(1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) é

https://www.publico.pt/2018/01/05/ciencia/ noticia/tem-mais-23-milhoes-de-digitos-e-e-omaior-numero-primo-descoberto-ate-agora1798298

igual a 284. E a soma dos divisores de 284

10

E assim sucessivamente, a cada número primo de Mersenne corresponde um nú-

aprender melhor


Prémios. Medalha Fields. Prémio Abel. Prémio Gauss.

1

em 2016, ao matemático inglês Sir Andrew . Medalha Fields

A Medalha Fields é um prémio desti-

Wiles que apresentou, em 1995, uma demonstração

para

o

último

teorema

de

nado a distinguir trabalhos desenvolvidos

(Pierre) Fermat (1601-1665), um teorema

por jovens matemáticos com menos de 40

que demorou mais de 300 anos a ser de-

anos. O prémio é atribuído de quatro em

monstrado!

quatro anos aquando da realização dos Con-

Este prémio é atribuído anualmente

gressos da União Internacional

pela Academia das Ciências e das Letras da

de Matemática (IMU).

Noruega.

A medalha é uma forma de homenagear o matemático canadiano John Charles Fields (1863–1922) que foi a pessoa que instituiu o prémio.

Para saber mais: http://www.abelprize.no/c53673/seksjon/

3

vis.html?tid=53719 . Prémio Gauss

A medalha foi entregue

O Prémio Carl Friedrich Gauss é ou-

pela primeira vez em 1936,

tro dos prémios atribuídos pela União Inter-

aos matemáticos Lars Ahlfors (1907–1996,

nacional de Matemática (IMU) e pela Socie-

Finlândia) e Jesse Douglas (1897-1965, Es-

dade Matemática Alemã. Destina-se a pre-

tados Unidos). O processo foi interrompido,

miar as «contribuições matemáticas rele-

mas, a partir de 1950, a entrega das meda-

vantes com aplicações significativas fora da

lhas passou a ser regular.

matemática».

As últimas Medalhas Fields foram en-

Este prémio, que surgiu pela primeira

tregues em 2014

vez em 2006, é atribuído de quatro em qua-

aos matemáticos

tro anos durante a realização do Congresso

Artur Avila (1979,

da União Internacional de Matemática (IMU)

Brasil / França);

Os três únicos laureados foram Kiyosi

Martin Hairer

Itô da Universidade de

(1975, Suíça);

Yves Meyer da École Normale Supérieure

Manjul Bhargava

de Cachan (França), em 2010, e Stanley

(1974, Canadá) e,

Osher da Universidade da Califórnia (USA,

pela primeira vez,

em 2014.

foi entregue uma medalha a uma mulher, a iraniana Maryam Mirzakhani (1977-2017). Em 2018 serão

A

Kyoto, em 2006,

Sociedade Europeia de Matemática atribui o prémio Felix Klein (1849-

1925), no domínio das aplicações da mate-

atribuídas as próximas medalhas.

mática e o prémio Otto Neugebauer (1899

Para saber mais:

–1990), na História da Matemática.

 http://www.mathunion.org/general/prizes  http://www.nature.com/news/iranian-is-first-

woman-to-nab-highest-prize-in-maths1.15686#/corrections

2

. Prémio Abel

Enquanto que as Medalhas Fields distin-

guem trabalhos de matemáticos desenvolvidos em alguma das áreas da matemática, o Prémio Abel distingue o conjunto do trabalho desenvolvido por um matemático. O prémio é atribuído anualmente desde 2003, sendo que o penúltimo foi entregue, aprender melhor

Niels Henrik Abel (18021829), matemático norueguês.

Outros prémios mais existem para dis-

Carl Friedrich Gauss (17771855)

tinguir homens e mulheres que trabalham nos variadíssimos domínios da matemática. Premeiam o muito trabalho que desenvolvem, movidos certamente pela curiosidade, mas também pelo talento, muitas vezes sem qualquer preocupação em procurarem aplicações práticas imediatas! Para saber mais:  http://www.mathunion.org/general/prizes  http://euro-math-soc.eu/history-prizes-awarded

-european-congresses-mathematics  https://twas.org/opportunity/twas-prizes

11


Poesia. Jogos matemáticos. Design. Puzzles. Piet Hein (1905–1996), cientista, matemático, inventor, designer e poeta dinamarquês. É autor de numerosos poemas curtos, conhecidos por grooks, que apareceram no jornal diário Politiken logo após a ocupação nazi da Dinamarca, em 1940. Os temas de alguns desses grooks são a matemática e a ciência.

GROOKS

Revelação à Meia-noite

Paralelismo

Toda a gente

“Rectas paralelas

pensa no Infinito

encontram-se no infinito!”

como um oito

Insistia

deitado.

Euclides repetidamente,

Mas de repente

acaloradamente.

apercebo-me

Até que morreu

de que o oito é

e chegou a essas paragens: aí

o Infinito levantado.

descobriu que as malditas rectas divergiam.

O Hex joga-se num tabulei-

HEX

caminho que una as duas mar-

ro tal como o representado na

gens pretas opostas ou as duas

figura ao lado. Jogam dois joga-

margens brancas opostas.

dores, um simbolizado pelas marcas pretas e o outro pelas marcas brancas. Um jogador coloca num dos hexágonos do tabuleiro um disco preto e o outro um disco branco. Ganha quem

Este jogo é da autoria de Piet Hein (Dinamarca) e de John Nash (1928-2015), matemático americano, prémio Nobel da Economia em 2004.

conseguir formar primeiro um

DESIGN

O CUBO SOMA é um puzzle tridimensional criado, por Piet Hein, em 1936, a partir da deSOMA CUBO

composição de um cubo em sete peças formadas por cubos unitários. Agrupadas podem formar um cubo de 3×3×3.

Para saber mais:

12

http://www.piethein.com/

http://en.wikipedia.org/wiki/Piet_Hein_(scientist)

http://ludicum.org/jogos/abstr/hex

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Nash.html

aprender melhor

aprender melhor 16  

Boletim do projeto "Fazer melhor, Aprender mais" desenvolvido no Agrupamento de Escolas Aurélia de Sousa (Porto), apoiado pela Fundação Calo...

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