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Asig: Estadística II / Curso 1999-2000

El Infinito y la Teoría de Conjuntos -V

-IV

-III

-II

-I

I

II

III

IV

XIII

XIV

XV

La imposibilidad del movimiento o es mejor no pensar en lo infinito

XVI XVII XVIII XIX

XX XXI

Galileo

Zenón de Elea

¿Hay igual cantidad de nºs naturales que de cuadrados perfectos?

n

Paradojas: Aquiles y la Tortuga La pista de atletismo

n2

" al considerar segmentos cada vez mayores de enteros la proporción de cuadrados contenidos en ellos tiende a cero"…??

Arquímedes

Newton y Leibniz

Area del circulo como área "limite" de un "infinígono"

S. Tomás de Aquino Se oponía radicalmente a la idea del infinito "Tal noción comporta un desafío directo a la naturaleza única, infinita y absoluta de Dios"

Aristóteles

trabajan con "infinitésimos" "objetos demasiado pequeños para ser medibles"

George Cantor

El infinito actual, como cantidad no superable por ninguna otra El infinito potencial, como posibilidad de procesos sin fin

Teoría de conjuntos

Formalización del concepto de infinito Infinitos numerables R Infinitos no numerables Hipótesis del continuo ?? Correspondencia " uno a uno"

Anaxágoras "Tratándose de magnitudes para cualquiera de ellas siempre hay una mayor"

nºs Transfinitos R2

À0, À1,…,Àn,…. John D. Scotto Euclides " El todo es siempre mayor que cualquiera de sus partes"

" Tienen igual nº de puntos: ¿dos circunferencias concéntricas ? ¿dos esferas concéntricas? ¿dos segmentos cualesquiera ?

[0,1]

R

R. Dedekind La recta es infinitamente más rica en puntos que Q ¿cuánto más grande? El conjunto Q aunque denso se encuentra acribillado de "poros" y no es continuo

J. Cohen Demuestra la irresolubilidad de la hipótesis del continuo

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Conjuntos finitos e infinitos, infinitos numerables e infinitos no numerables El concepto de infinito y la Teoría de Conjuntos Citando a Hans Hahn, Cantor partió lo mismo que en muchas otras creaciones, de una idea muy sencilla: Cantor se preguntó: ¿ que queremos decir cuando hablamos de que dos conjuntos finitos tienen el mismo nº de elementos, o que tienen el mismo tamaño ? Es evidente, que esto sucede cuando entre los elementos del primer conjunto y los del segundo se puede establecer una correspondencia "uno a uno", por la que a cada elemento del primero, se le hace corresponder uno y solo uno del segundo y recíprocamente, a cada uno del 2º uno y uno solo del 1º George Ferdinand Ludwig Phiplipp Cantor, nació en San Petesburgo en 1845, murió en 1918. Gracias a su famosa Teoría de Conjuntos fue capaz de formalizar seriamente por primera vez en la historia el concepto de infinito actual que permanecía inasequible a una definición formal desde su ilustre predecesor Aristóteles. ¿ Cuán grande es un conjunto infinito?, ¿ Existen infinitos de diferentes "tamaños" ?, ¿ Existe un infinito de mayor tamaño que todos los demás ? Def. 1

Dos conjuntos se llaman Equivalentes si es posible establecer entre ellos una correspondencia "uno a uno" (pensando en termino finitos esto implicaría que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño o el mismo nº de elementos, pero Cantor estableció el criterio de equivalencia de conjuntos para cualesquiera de ellos, fuesen finitos o infinitos, y ahí empezó el estudio del infinito)

Def. 2

La característica que tiene en común un conjunto A, con todos los conjuntos equivalentes a él y por la cual se distingue de los que no lo son es el Cardinal de ese conjunto ( pensando en conjuntos finitos el cardinal de un conjunto correspondería con la idea intuitiva de tamaño de ese conjunto, como nº de elementos que lo componen)

Ahora bien, en estas definiciones no se supone que los conjuntos a los que se refieren sean de un determinado tamaño, son definiciones generales y primarias de la teoría de conjuntos, pensando en el sencillo ejemplo del conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,…..,n,….}. Tres siglos antes de Cristo en la antigua matemática griega Anaxágoras plasmó la idea de infinitud diciendo que " tratándose de magnitudes siempre existe una mayor" Def. 3

Los números cardinales de los conjuntos finitos se llaman nºs naturales y son los que representamos por 1,2,3…., n, n+1,….; a los números cardinales de los conjuntos infinitos Cantor les llamó números transfinitos ( los cardinales o "tamaños" de los conjuntos finitos dan lugar a los números finitos, los "tamaños de los conjuntos infinitos generan los llamados nºs transfinitos) (los números son pues propiedades, características de los conjuntos)

¿ Como podríamos comparar el tamaño de dos conjuntos distintos, u ordenar por tamaño creciente una colección de conjuntos?, pues a través de una relación de orden, que nos proporcione un procedimiento general para comparar el tamaño de dos conjuntos cualesquiera Def. 4

Dados dos conjuntos A y B se dice que Card(A) <= Card(B), si A es equivalente a un subconjunto de B, o lo que es lo mismo si podemos definir una aplicación inyectiva de A en B (Esta definición permite establecer una relación de orden entre los conjuntos, que nos permite ordenar por tamaño a cualquier par de conjuntos. )

Este método nos permite disponer de una relación de orden, puesto que la relación definida cumple las propiedades: 1) Reflexiva : Car( A) ≤ Card( A) 2) Antisimétrica : si Card( A) ≤ Card( B) y Card( B) ≤ Card( A) ⇒ Card( A) = Card( B) 3) Transitiva :

si Card( A) ≤ Card( B) ⇒ Card( A) ≤ Card(C ) y Card( B) ≤ Card(C )

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Asig: Estadística II / Curso 1999-2000 Con estos intuitivos preliminares estamos ya en disposición de poder definir lo que entendemos, en el marco de la Tª de Conjuntos, por:

Conjuntos finitos e infinitos Def. 5

Un conjunto A cualquiera se dice que es un conjunto finito, si:

∃ n ∈ N / J n = { 1,2,.....,n } ≈ A

a1

Correspondencia "uno a uno"

Jn = { 1,2,3,......., n }

A 1 2

a2

a1 a2

a3 ....... an

...... n an (esta es una definición aceptable totalmente por nuestra intuición, o sentido común., si existe un número natural "n", con el que terminamos de ordenar todos los elementos, "uno a uno" del conjunto A, utilizando las etiquetas 1,2,........,n eso quiere decir que A es un conjunto finito. Esto aparece como un irrefutable procedimiento para decidir que conjuntos son finitos)

Llamaremos conjuntos infinitos a aquellos que no cumplan esta, tan intuitivamente correcta, definición anterior Def. 6

Un conjunto A se dice que es un conjunto infinito, si no cumple la definición anterior.

no ∃ n ∈ N / J n = {1,2,.....,n} ≈ A

(intuitivamente aceptamos, se establece como axioma en la Teoría de Conjuntos, que existen en efecto tales conjuntos, el conjunto N = {1,2,3,....,n, n+1,.... } es obviamente un conjunto infinito desde los griegos, con su infinito potencial admitían que todo número entero tiene un siguiente y que esta operación puede realizarse, potencialmente, sin fin

Una segunda forma de introducir el concepto de conjunto finito parece una obviedad que patentaron los griegos, Euclides sentenció que " El todo siempre es mayor que las partes" como un principio o axioma aplicable a....?. ¿Es esto aplicable a los entes matemáticos, tan intuitivos ellos, que resultan ser los conjuntos?. La respuesta es muy sorprendente : resultan ser definidos como conjuntos finitos: aquellos conjuntos que si cumplen esta máxima de Euclides resultan ser definidos como conjuntos infinitos: aquellos conjuntos que no cumplen esta máxima de Euclides Es decir la referida máxima euclideana solo es asumible para ciertos tipos de conjuntos, los finitos Def. 7

Un conjunto A se dice que es un conjunto finito si no es equivalente a ninguno de sus subconjuntos propios

no ∃ B ⊂ A , y B ≠ A / B ≈ A

(los conjuntos finitos es obvio intuitivamente que cumplen esta definición, ¿la cumplen todos los conjuntos independientemente de su tamaño?) (no parecería en principio posible encontrar fácilmente un conjunto que no cumpliese esta regla)

Un conjunto A se dice que es un conjunto infinito si es equivalente a alguno de sus subconjuntos propios

∃ B⊂ A,y B ≠ A / B ≈ A

Ya en el siglo XVI, Galileo se encontró con la paradoja de que aparentaba haber tantos números naturales, como números únicamente pares N 2N Es una correspondencia "uno a uno" 1 2 luego ambos conjuntos tienen el mismo 2 4 tamaño, el mismo Cardinal. Luego en efecto existen conjuntos en los que el todo es equivalente 3 6 a una de sus partes propias, que no coinciden con el todo: N y 2N .. .. 2N es una parte del todo N y sin Podríamos haber considerado la correspondencia uno a uno entre N y N2 n 2n embargo tiene el mismo tamaño .. .. N ≈ 2N ⇔Card ( N) = Card( 2N ) N2 y concluiríamos igualmente que N n2 n 2 Existen pues conjuntos infinitos en el sentido de esta segunda y no tan intuitiva N ≈ N ⇔ Card ( N ) = Card ( N 2 ) definición de lo infinito. El conjunto N hemos visto que es infinito Puede demostrarse que ambas definiciones de conjunto, finito e infinito, son equivalentes, la primera implica la segunda y recíprocamente E.U.E Lugo / Laboratorio de Métodos Cuantitativos / L. G. G.

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Otros conjuntos infinitos

[0,1] [0,1] después de doblarlo en tres partes de igual

Z es infinito

Q es Infinito

Para comprobarlo basta considerar la siguiente correspondencia biyectiva o "uno a uno"

R es Infinito

longitud

P En este caso nos sirve

Lo comprobaremos de forma gráfica

Q n/m

[0,1] a b

a

"uno a uno"

Z 0 -1 1 -2 2 .. z

2Z 0 -2 2 -4 4 .. 2z

2Q 2n/m

b

R a' b'

R

a' podríamos haber considerado esta otra función también biyectiva

Z ≈ 2Z Q ≈ 2Q [0 ,1 ] ≈ R

(-1,1) x

R f(x) = x / (1-x2)

b'

basta con representarla gráficamente la función en el intervalo considerado, para visualizarlo

Todos los conjuntos de números infinitos que ya conocíamos vemos que cumplen la definición de infinitud que hemos dado, igual le ocurre al conjunto de todos los números complejos, C es infinito Podríamos enumerar muchos otros conjuntos sin fin, infinitos, las rectas del plano que pasan por el origen, las paralelas (o las perpendiculares) a una recta dada, los rectángulos del plano, etc., etc.,...

Conjuntos Infinitos Numerables Def. 8

Un conjunto A decimos que es un conjunto infinito numerable si y solo si es equivalente al conjunto N de los números naturales A es infinito numerable sii

A ≈ N ⇔Card( A) = Card( N )

(llamamos pues conjuntos infinitos numerables a aquellos que tienen el mismo cardinal, tamaño, que el conjunto infinito N)

Al Cardinal del conjunto N se le llamo aleph-cero, el primer nº transfinito, eran nºs transfinitos los cardinales de los conjuntos infinitos Si un conjunto A es infinito numerable entonces es que existe al menos una aplicación biyectiva, uno a uno, entre N y A

f / f es uno a uno

N 1 2 3 .. n ..

Podemos enumerar todos los elementos de A en una sucesión utilizando las etiquetas 1,2,3,....,n,.... A

a1 a2 a3

(Aquellos conjuntos en los que es posible encontrar alguna forma de escribir todos sus elementos en una sucesión infinita, estando seguros de que los contendría a todos son los que llamamos conjuntos infinitos numerables)

..

an

Emplearemos la siguiente representación para estos conjuntos

.. A = {a1, a2, a3,……, an ,….}

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Algunas propiedades de los conjuntos infinitos numerables Prop. 1

La unión de un conjunto finito de conjuntos infinitos numerables es a su vez un conjunto infinito numerable Demostrac.:

Sean A1, A2, A3,….,An conjuntos infinitos numerables, c.i.n., todos ellos, queremos demostrar que el conjunto A, unión de los n, es también un c.i.n. (veámoslo para n=2)

Si representamos a:

A1={a1,a2,…,an,….} entonces su conjunto unión A={a1, b1 , a2 , b2 ,……, an , bn ,….} sería una descripción completa, numerable, de los elementos del conjunto unión A2={b1,b2,…,bn,….} N A 1 a1 esta es una correspondencia uno a uno, luego Car(A) = Card(A 1 U A 2 ) 2 b1 3 a2 (por inducción se demuestra fácilmente para n, o sin ser por inducción, construyendo la sucesión de elementos de A ..

..

primer elemento de A1, primero de A2,..,primero de An, segundo de A1, segundo de A2,…,segundo de An,…)

(Este resultado es cuando menos sorprendente, la unión o suma de dos conjuntos infinitos numerables no nos proporciona un conjunto infinito de mayor tamaño. nos proporciona un nuevo conjunto infinito de exactamente el mismo tamaño que cualquiera de ellos, lo mismo ocurre si unimos 1.000 ó 1.000 millones de conjuntos todos del mismo tamaño que N, el resultado de la unión vuelve a tener el mismo tamaño que N. ?????). Nuestro ancestral sentido común o intuitivo-numérico……)

Los conjuntos infinitos numerables resultaron en la Teoría de Conjuntos continuar siendo sorprendentes….., la siguiente sorpresa la utilizaremos más adelante Prop. 2

La unión de una familia infinita numerable de conjuntos cada un de ellos infinito numerable es un nuevo conjunto infinito numerable Demostrac.:

Sean A1, A2, A3,….,An,... conjuntos infinitos numerables, c.i.n., todos ellos, queremos demostrar que el conjunto unión de los infinitos Ai es también un c.i.n.

Representamos:

A1={a11,a12,…,a1n,….} A2={a21,a22,…,a2n,….} ……. An={an1,an2,…,ann,….} ……

Los elementos del conjunto A el conjunto unión de la colección infinita numerable de Ai, podrían numerarse, todos ellos, en la sucesión siguiente: primero se considera como elemento c11 aquel elemento de los Ai cuya suma de subíndices es 2, el a11 a continuación y en orden creciente del primer subíndice aquellos elementos de los Ai cuya suma de subíndices sea 3: a12 y a21. después, respetando el orden creciente de subíndices, aquellos elementos de Ai cuya suma de subíndices se 4: a13, a22 y a31, y así indefinidamente……

Si consideramos a A={a11,a12,a21,a13,a22,a31,….} entonces A enumerará en una sucesión a todos y a cada uno de los elementos de todos los Ai: A1, A2, A3,….,An,... (en esta demostración se reproduce el ingenioso método de Gerorge Cantor conocido por el "razonamiento diagonal", que utilizaría en diferentes ocasiones)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

..

..

..

..

..

luego:

A ≈ U Ai 1

Prop. 3

∞  ⇒ Car( A) = CarU Ai  1 

Con esta visualización geométrica observamos que el conjunto A recorre todos los elementos de la unión de los infinitos conjuntos Ai, todos ellos del mismo tamaño que N, permitiéndonos representarlos a todos ellos en una única sucesión, luego el conjunto A es un conjunto infinito numerable Ejemplo Pensemos en que conjunto obtendríamos si uniésemos los infinitos conjuntos infinitos

c.q.d.

Todo subconjunto infinito de un conjunto infinito numerable es infinito numerable

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M(1)={1,2,3,….,n,….} M(2)={2,4,6,8,..,2n,…} M(3)={3,6,9,12,..,3n,..} …..

Los múltiplos del 1 Los múltiplos del 2 Los múltiplos del 3 …..

Obtendríamos el propio conjunto N un conjunto infinito del mismo tamaño que cada uno de los Ai, ?????

esto lo dejaremos sin demostrar.

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Algunos ejemplos sorprendentes de conjuntos infinitos numerables

Z es numerable

Q es numerable

Z={....-n,....,-2,-1,0,1,2,.....,n,....}

Aparentemente Z tendría el "doble" de elementos que N. ¿ será Z un infinito de mayor tamaño que N ? Veamos que Z es un conjunto del mismo tamaño que N.

Q={ m / n , con m y ,n elementos de Z }

Q aparenta ser, en este caso con mucha más razón que con Z, un conjunto infinito de mayor tamaño que N (Basta considerar que entre dos números naturales consecutivos no existe ningún natural intermedio, y que una propiedad especial de Q, que nos da idea de una increíble mayor densidad de elementos, es la que dice que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos encontrar infinitos racionales intermedios.)

Basta para ello considerar la siguiente enumeración completa de los elementos de Z ¿ será Q un infinito de mayor tamaño que N ? Veamos que Q es un conjunto del mismo tamaño que N.

N={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,................} Esta correspondencia es "uno a uno"

Podríamos enumerar los infinitos elementos de Q+ en una disposición de rectángulo infinito

..... Z={ 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3,........., n,-n,.......}

f: N n

Luego

Z f (n) /

  f ( n) =   

(*) n 2 (n + 1) 2 −

si n es par si n es impar

Q0 = { 0/1 }

Cada uno de los Qi, es un conjunto infinito numerable y la unión de esta colección numerable de c.i.n. es todo Q+, luego Q+ es infinito numerable Q1 = { 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ........... (Prop. 2) Q2 = { 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ........... Igual se haría para Q--{0}

Z ≈ N ⇔Card( Z ) = Card( N )

Q3 = { 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ........... Por lo tanto Q como unión de Q+ y Q--{0} es un c.i.n.

(Z es un conjunto infinito numerable) ........

Q ≈ N ⇔ Card ( Q ) = Card ( N )

(Q es un conjunto infinito numerable) (*) Al final del tema vemos un esquema más completo de la representación gráfica de Q En conclusión los conjuntos infinitos N, Z, y Q tienen el mismo Cardinal, el mismo tamaño como conjuntos infinitos.

Conjuntos Infinitos no numerables El siguiente conjunto infinito que sería razonable considerar para ver si su tamaño difiere del de N, seria el conjunto de los números reales R, a estas alturas podríamos creer que dado que todo nº real puede ser aproximado tanto como queramos por una sucesión de racionales, que R tendría el mismo Cardinal que Q y por lo tanto que N, es decir que R fuese también un c.i.n., y que solo existe un único tamaño más exactamente, cardinal para todos los conjuntos infinitos, que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño y se terminaría la discusión de los Cardinales Transfinitos, solo habría uno. Veremos que existen conjuntos infinitos no numerables, no equivalentes a N, y que su Cardinal es mayor que el cardinal de N,... al menos habría dos tamaños de conjuntos infinitos Def. 9

Un conjunto A se dice que es un conjunto infinito no numerable si es infinito y no es equivalente a N

Para que una definición tenga interés debe referirse a algún ente u objeto existente en el marco de la teoría en la que se presenta, ¿ existen realmente conjuntos infinitos de este tipo ?.....

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Asig: Estadística II / Curso 1999-2000 R es un conjunto infinito no numerable Veamos la demostración hecha por G. Cantor utilizando el método de demostración por reducción al absurdo. Si se parte de que R fuese numerable y llegamos a una conclusión absurda entonces se concluye que la hipótesis de la numerabilidad de R no puede ser cierta. f Supongamos que R fuese numerable N R Si esta aplicación es biyectiva la columna de los elementos imagen debería cubrir todo R entonces debería existir una aplicación 1 n1, a1 a2 a3 a4.......... todo nº real sabemos que puede representarse por una nº con infinitas cifras decimales de N en R que fuese biyectiva luego usamos esta notación para representar las imágenes de los elementos de N 2 n2, b1 b2 b3 b4.......... (imágenes distintas implican originales distintos y Sin embargo veamos como podemos construir un nº real que no es imagen de ningún las imágenes cubren todos los elementos de R) 3 n3, c1 c2 c3 c4.......... elemento de N a través de la aplicación que estamos considerando ....

....

r =h, r1 r2 r3 r4.....

siendo r1 distinto de la primera cifra decimal del primer número, f(1) siendo r2 distinto de la segunda cifra decimal del segundo nº, f(2) siendo r3 distinto de la tercera cifra decimal del tercer número, f(3) ..... y siendo "h" cualquier nº arbitrario

Este nº " r " así construido no coincide con ninguna de las imágenes de f, no coincide: Luego existe al menos un nº real " r " que no es imagen de ningún con f(1) porque al menos tienen distinta su primera cifra decimal elemento de N luego f, sea quien sea, no puede ser biyectiva lo cual es absurdo, es una contradicción con la hipótesis de que R con f(2) porque al menos tienen distinta su segunda cifra decimal es un c.i.n.. Luego R es un conjunto infinito no numerable con f(3) porque al menos tienen distinta su tercera cifra decimal ....... En conclusión existe al menos un conjunto infinito no numerable: R. Ya tenemos al menos dos cardinales distintos de conjuntos infinitos el Card (N) y el Card (R).

Def. 10

Al Cardinal del conjunto infinito no numerable R, se le denomina potencia del continuo, se representa por aleph-uno

Prop. 4

La potencia del continuo es superior, mayor, que la de los conjuntos numerables. Es decir Card (R) > Card (N) Demostrac.

Recordemos que Card (N) < Cad(R) sii podemos encontrar una aplicación inyectiva definida de N en R y no existe ninguna aplicación de N en R que sea biyectiva

la aplicación inclusión que lleva a cada número en si mismo es una aplicación inyectiva I : N n y ya hemos demostrado anteriormente, R es no numerable, que no puede existir ninguna aplicación f : N Prop. 5

El conjunto de los números complejos C es equivalente a R. Es decir Card (C) = Card (R)

R

R luego Card (N) < = Card (R) I(n) = n que sea biyectiva luego Card (N) < Card (R)

(dejaremos esto sin demostrar)

Hemos llegado pues a que al menos hay dos Cardinales, tamaños en lo finito, de conjuntos infinitos uno de ellos de menor valor que el otro. Los conjuntos infinitos R, C,… son más "grandes" que los también conjuntos infinitos conjuntos N, Z, Q,…y todos sus equivalentes

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Potencias superiores al continuo La cuestión siguiente sería lógicamente el preguntarnos: existen conjuntos infinitos más "grandes " que R, C,…. Teorema 1

Para todo conjunto infinito A siempre hay un conjunto infinito de mayor potencia. Car (A) < Card [ P(A) ]. (teorema de Cantor) (representamos por P(A) el conjunto de todas las partes de A, esto es el conjunto de todos los subconjuntos de A) (Para todo conjunto infinito siempre existe un conjunto infinito de mayor tamaño)

Demostrac.

Card [ P(A) ] = 2n luego el teorema se cumple y que Car (A) < Card [ P(A) ] En el caso finito el teorema es cierto ya que si Card (A) = n entonces Supongamos que sea un conjunto infinito Para demostrar que Car (A) < Card [ P(A) ] deberemos encontrar al menos una aplicación inyectiva definida de A en P(A), y que no existe ninguna inyectiva

como aplicación inyectiva nos sirve la aplicación f : A a b .. supongamos que, utilizando el método de reducción al absurdo, que existiese una aplicación biyectiva

Consideremos el subconjunto

Suponemos que existe un

C = {a ∈ A / a ∉ f (a)}

t ∈ A / f (t) = C

P(A) {a} {b} ..

con f (a) = {a} para todo a de A

f:A a b .. ??

P(A) f(a) f(b) .. C

a∈ f (A)  ∀ a∈ A ⇒ f (a) ∈P(A) , f (A) ⊂ A y puedeserque  ó a∉ f (A) 

y veamos que este subconjunto de A no tiene ninguna preimagen a través de f , sea esta la aplicación que sea

entonces tiene que darse una de dos:

t ∈ C    t ∉ C

⇒ t ∉ f (t ) = C ó ⇒ t ∈ f (t ) = C

absurdo absurdo

en cualquier caso llegamos a un absurdo luego f no puede ser biyectiva y llegamos a demostrar lo que queríamos, que Car (A) < Card [ P(A) ]

Según este resultado la sucesión de los números transfinitos sería infinita, como la de los números finitos ya que la sucesión: Card (N) < Card [P(N)] < Card [P(P(N))] < ……….. No tendría fin. P(N)

N

Veamos una forma sencilla de comprobar el teorema de Cantor, para A=N Suponemos que en la columna de la izqda. tenemos una sucesión con todos los subconjuntos posibles de N Cada subconjunto lo representamos por una sucesión de SI, NO,SI,…… La demostración consiste en encontrar un subconjunto de N que no pudiese estar en la lista de la izquierda. Ese es el subconjunto diagonalizado de la figura

Prop. 6

La aplicación: N P(N) a {a} b {b} … … es inyectiva, luego: Luego Car(N) <= Car[P(N)] y como no puede existir ninguna aplicación biyectiva de N en P(N) tenemos que: Car(N) < Car[P(N)] Comprobación extraída de: " Breve Historia del Infinito" A. W. Moore Rev.: Investigación y Ciencia. Junio 1995

El conjunto infinito R tiene el mismo cardinal que el conjunto de todas las partes de N. Card (R) = Card [ P(N) ]

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La Hipótesis del Continuo La hipótesis del continuo fue enunciada por Cantor en 1878 y ni el mismo fue capaz de dilucidar si aceptaba, demostraba, o no esa hipótesis. La cuestión era averiguar si existía un cardinal, nº transfinito intermedio entre N y R Es decir si existe algún conjunto A tal que Card (N) < Card (A) < Card (R). La hipótesis de Cantor era que no existía tal conjunto. Se murió sin poderlo demostrar Se ha demostrado, Cohen 1963 en EE.UU. , que esta cuestión es irresoluble, ya sea admitiéndola o negándola no se llega a ninguna contradicción. Si se añade a los a los axiomas de la teoría de conjuntos uno que asuma dicha hipótesis no aparece ninguna contradicción y lo mismo ocurre si el axioma afirmase lo contrario

Los primeros Nºs transfinitos Gerge Gamow, en su libro "Un, Dos, Tres,….Infinito" termina su capitulo de los grandes números, con el siguiente dibujo:

diciendo que " … parece que los tres primeros nºs infinitos son suficientes para contar todo lo que podemos imaginar, nadie hasta ahora ha sido capaz de concebir una colección infinita definida de objetos que deba ser descrita por el siguiente nº transfinito que correspondería al cardinal del conjunto de todas las curvas geométricas."

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Asig: Estadística II / Curso 1999-2000 Anexo 1:

Representación gráfica del conjunto de los nºs Racionales Extraído del libro: " En busca del Infinito", de Stan Gibilisco

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Asig: Estadística II / Curso 1999-2000 Anexo 2:

El Hotel Infinito de Hilbert

En realidad, como hemos visto, en el mundo de lo infinito ¡una parte puede ser igual al todo! Probablemente esto se ilustra mejor mediante un ejemplo tomado de uno de los cuentos sobre el famoso matemático alemán David Hilbert. Dicen que en sus clases sobre el infinito ponía esta propiedad paradójica de los números infinitos en las siguientes palabras:

«Imaginemos un hotel con un número finito de cuartos, y supongamos que todos están ocupados. Llega un nuevo pensionista y pide una habitación. 'lo lamento dice el propietario, pero todos los cuartos están ocupados." Ahora imaginemos un hotel con un número infinito de cuartos, también todos ocupados. A dicho hotel viene un nuevo pensionista y pide una habitación. "¡Por supuesto!", exclama el propietario. Y traslada la persona que ocupaba anteriormente el cuarto NI al cuarto N2, el ocupante del cuarto N2 al N3, al del cuarto N3 al N4, y así sucesivamente... El nuevo cliente recibe la habitación NI, que queda libre como resultado de tales transposiciones. Imaginemos ahora un hotel con un número infinito de cuartos, todos ocupados, y un número infinito de nuevos pensionistas que vienen y piden habitaciones. "Sin duda, caballeros dice el propietario, esperen nada más que un minuto." Pasa el ocupante del NI al N2, el ocupante del N2 al N4, el ocupante del N3 al N6 y así sucesivamente. Ahora todos los cuartos con número impar quedan desocupados y el infinito de los nuevos pensionistas se puede acomodar fácilmente en ellos. Texto incluido en: “ The Complete Collection of Hilbert Stories”. Escrito por R. Courant

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Asig: Estadística II / Curso 2000-2001 Anexo 3:

Conjuntos Infinitos continuos, R2, R3, Rn,… son conjuntos infinitos equivalentes a R R es equivalente a R2. La recta real R tiene el mismo "tamaño" que el Plano R x R

I)

Comprobaremos que [0,1] es equivalente a [0,1] x [0,1] Para ello basta considerar que la aplicación f, es una aplicación biyectiva f : [0,1] x [0,1]

[0,1]

1 0,a1a3a5a7…..

P

P

P'

1

P' = 0,a1a2a3a4a5a6a7

R2

0

R

0,a2a4a6…..

0

1

R es equivalente a R3. La recta real R tiene el mismo "tamaño" que el Espacio R x R x R = R3

II)

de forma similar construiriamos una aplicación biyectiva 1 f : [0,1] x [0,1] x [0,1]

[0,1]

P

P'

P P' 0

1

R3

R

Por ejemplo si P 1

P = ( 0.718534.. , 0.302412.., 0.562824)

P' = (0.735106822548….)

…….

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Conjuntos finitos e infinitos