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Coeficiente de Correlação Para quantificar o grau da associação linear entre duas variáveis utiliza-se uma estatística a que se dá o nome de correlação linear ou coeficiente de correlação linear, que se representa por r e é dado pela fórmula:

O coeficiente de correlação indica o grau de associação linear entre as duas variáveis. Prova-se que r é um valor do intervalo [- 1 , 1] . Conhecido o valor de r pode avaliar-se o grau de associação linear entre as duas variáveis de acordo com a seguinte tabela:


Propriedades do coeficiente de correlação: 1. O valor de r está contido no intervalo [-1, 1] 2. Quanto maior for o módulo de r, maior será, o grau de associação linear existente entre os x’s e os y’s. 3. Se r é positivo significa que existe uma associação positiva entre as variáveis, se r é negativo significa que existe uma associação negativa entre as variáveis.

Interpretação geométrica r > 0 Aos maiores valores de x correspondem os maiores valores de y. Os produtos

x



 x yi  y

i

são de um modo geral,

positivos.

r < 0 Aos maiores valores de uma variável estão associados, de um modo geral, os menores valores da outra variável. Os produtos

x

i



 x yi  y

são de um modo geral,

negativos.

r = 0 Não existe correlação linear entre os valores de x e os valores de y.


Reta de regressão Quando duas variáveis estão fortemente correlacionadas os pontos do diagrama de dispersão colocam-se em torno de uma reta.

Há muitas retas que se podem desenhar, mas um dos critérios mais comuns para definir essa reta é o de tornar mínima a soma dos quadrados dos desvios dos pontos em relação à reta.

A essa reta chama-se reta de regressão ou reta dos mínimos quadrados.

A reta de regressão pode ser definida por uma equação do tipo y = ax + b.


Exemplo: Suspenderam-se

objetos

de

diferentes

massas numa mola deformada e registaram-se os correspondentes alongamentos da mola, como se mostra na tabela seguinte:

1.1. Calcule as médias

x

e

y.

1.2. Use a calculadora para obter a equação da reta de regressão, o coeficiente de correlação e a imagem gráfica da reta de regressão. Resolução: Utilizando a calculadora gráfica


Usando três casas decimais, obteve-se a equação da reta de regressão y  0,296 x  0,282 .

r  0,992 é o coeficiente de correlação.

1.3. Construa o diagrama de dispersão e esboce a reta de regressão, verificando que passa pelo ponto de coordenadas

x , y .


A reta de regressão para fazer estimativas A reta de regressão adapta-se à nuvem de pontos e descreve, aproximadamente, a sua regularidade”. Se conhecermos o valor de uma variável, a partir da reta de regressão obtemos, de uma forma aproximada, o valor esperado da outra variável. Em linguagem estatística dizemos que podemos inferir o valor de x para um dado valor de y ou vice-versa. A estes valores também se chamam estimativas. Observe a figura seguinte.

Os valores obtidos para a variável desconhecida são sempre valores aproximados, por isso se diz “o valor que inferimos é…”.


Diagrama de Dispersão