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“Año del Buen Servicio al Ciudadano”

UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA - CPEL PROYECTO FORMATIVO DE MATEMÁTICA 2 - TFM

GRUPO 3

PROFESOR:

LUYO SANCHEZ, JOSE RAUL

INTEGRANTES: 1620841 ALARCON APAZA, ERICK ADRIAN 1620129 CAMPOS BUSTAMANTE, CESAR JAVIER 1620287 CASTILLO GALDO DE ADRIANZEN, LUCIA 1620875 CHALCO RICCI, JUNIOR ENRIQUE 1510132 GAMBOA CABRERA, JULIA CELEDONIA 1620130 TANTALEAN REATEGUI, RENZO

BLOQUE:

2017 - 01

FEBRERO 2017

1


DEDICATORIA

"Dedicamos el presente trabajo a nuestras familias por el apoyo que nos brindan en el dĂ­a a dĂ­a en esta nueva etapa universitaria que es aleatorio de nuestra vida laboral. "

2


PRESENTACION

Este trabajo tiene por finalidad presentar las soluciones de distintos problemas matemáticos y su aplicación en contextos reales. Se desarrollarán problemas matemáticos con respecto derivadas, Variaciones reales, variaciones aproximadas, modelamientos matemáticos para los cálculos de ingresos y utilidades marginales. Las soluciones también deberán ser representadas gráficamente para un mejor entendimiento e interpretación. Por otro lado, toda ecuación, ya sea lineal o cuadrática, con una o dos incógnitas, no necesariamente debe ser propuesto numéricamente, quiere decir, que algunos problemas propuestos están planteados de forma literal, por ello se va a realizar el modelamiento matemático de cada problema aplicando los criterios aprendidos en el cursos Matemática II. Hoy en día, optimación de una función es muy importante en los cálculos económicos de una empresa, mediante esta herramienta matemática se puede determinar los puntos críticos, esto nos sirve para tomar decisiones importantes sobre la producción máxima o mínima que se necesita de un determinado producto, así como también la determinación de cuanta cantidad de producto se debe vender a un determinado precio para que se obtengan ganancias económicas máxima o mínimas en la empresa. Para estos problemas se deberá realizar el modelamiento matemático y su interpretación matemática real. Finalmente, para poder optimizar una función se deben aplicar los criterios matemáticos como las derivadas y el modelamiento matemático correcto.

3


INTRODUCCIÓN

Hoy en día muchas personas ignoran o desconocen la aplicación de las matemáticas en las actividades diarias, por ello, muchas veces se comete el error al decir que no son necesarias para nuestras vidas, pero no se dan cuenta que la aplican diariamente, desde realizar una simple suma de edades hasta el desarrollo y análisis de las derivadas y cálculos marginales de utilidad e ingreso en una entidad financiera, se está aplicando las matemáticas, por ello, es muy importante la determinación y conocimiento pleno de la matemática y todas sus ramas que involucran a ella, ya que facilitara nuestro trabajo mediante el planteamiento y representación numérica de soluciones y proyectos no solo en nuestro centro de trabajo, sino en muchas actividades rutinarias. El presente trabajo tiene por finalidad resolver diferentes tipos de problemas matemáticos, analizar y plantear el modelamiento y desarrollo y hallar sus respectivas soluciones gráficas, cabe señalar que estos problemas tienen una relación con algunas aplicaciones reales, se usará modelos matemáticos para el análisis económico y su aplicación en las actividades laborales o de la industria.

4


CONTENIDO

DEDICATORIA ........................................................................................................3 PRESENTACION ....................................................................................................4 INTRODUCCION ....................................................................................................5 Ejercicio 1 ................................................................................................................7 Ejercicio 2 ................................................................................................................8 Ejercicio 3 ..............................................................................................................10 Ejercicio 4 ..............................................................................................................11 Ejercicio 5 ..............................................................................................................10 Ejercicio 6 ..............................................................................................................14 Ejercicio 7 ..............................................................................................................15 Ejercicio 8 ..............................................................................................................17 Ejercicio 9 ..............................................................................................................19 Ejercicio 10 ............................................................................................................10 Ejercicio 11 ............................................................................................................20 Ejercicio 12 ............................................................................................................24

CONCLUSIONES .................................................................................................10 BIBLIOGRAFIA .....................................................................................................27 DISTRIBUCION ....................................................................................................28

5


6


Ejercicio 1.

En la siguiente figura se muestra la investigaciĂłn realizada por El Comercio (2013); en referencia a nuestras reservas netas internacionales. Figura 1

a) Explique el comportamiento que describen nuestras reservas netas segĂşn el grafico (desde el aĂąo 1997 al 2001). SOLUCION: Respecto a las reservas netas, segĂşn el grĂĄfico se observa un comportamiento DECRECIENTE. b) Entre el aĂąo 1997 y el aĂąo 2000 ÂżQue sucediĂł, con nuestras reservas internacionales netas? SOLUCION: Para resolver la interrogante, procederemos a aplicar la razĂłn de cambio promedio. Recordando:

RPC=

〖đ?’‡(đ?’™ă€—đ?&#x;? )âˆ’ă€–đ?’‡(đ?’™ă€—đ?&#x;? ) 〖đ?’‡(đ?’™ă€—đ?&#x;? )âˆ’ă€–đ?’‡(đ?’™ă€—đ?&#x;? )

Reemplazando: RPC=

đ?&#x;–,đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;?đ?&#x;Ž,đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•

= -663

Respuesta: Lo que sucediĂł con nuestras reservas internacionales netas, es que disminuyeron en 663 por aĂąo.

7


c) Calcule segĂşn el grafico (figura 1): o

La variaciĂłn de las reservas netas internacionales desde el aĂąo1997 hasta el aĂąo 2000 1,989 Unidades

SOLUCION: â–˛ RESERVAS = RESERVAS (2000) - RESERVAS (1997)

o

=

10,169 -

8,180

=

1,989 Unidades

La variaciĂłn del tiempo en la que se realizaron estas mediciones: 3 aĂąos

SOLUCION: â–˛ TIEMPO

= TIEMPO (f) (2000) - TIEMPO (i) (1997) =

2000 -

=

3 aĂąos

1997

Ejercicio 2. a. Para cierta poblaciĂłn, si E es el nĂşmero de aĂąos de escolaridad de una persona y S representa el salario anual promedio, para đ??¸ > 7 (đ??¸) = 300đ??¸2 −4360đ??¸ + 42800 . Modele la expresiĂłn que permita calcular la razĂłn promedio de cambio. (đ??¸) = 300đ??¸2 −4360đ??¸ + 42800 SOLUCION: E (1) = X E (2) = X + â–˛ X

RCP =

S(E1)− (E2) E2− E1

Reemplazando: RCP =

S(đ??— +

∆ đ??ą)− S(x)

x+ ∆ đ??ąâˆ’x

‌‌‌.(1)

S(đ??—

+ ∆ đ??ą)= 300((đ??ą + ∆ đ??ą)2 − 4360 (đ??ą + ∆ đ??ą)+ 42800

S(đ??—

+ ∆ đ??ą)= 300(đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľâˆ† đ??ą + ∆đ?‘Ľ 2 ) − 4360đ?‘Ľ − 4360 ∆ đ??ą + 42800

S(đ??—

+ ∆ đ??ą)= 300đ?‘Ľ 2 + 600đ?‘Ľ ∆ đ??ą + đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žâˆ† đ??ą 2 − 4360đ?‘Ľ − 4360 ∆ đ??ą + 42800 8


(𝐗

+ ∆ 𝐱)= 300𝑥 2

−4360𝑥 + 42800

Reemplazando en ………(1)

2

600𝑥 ∆ 𝐱+𝟑𝟎𝟎∆ 𝐱 −4360∆𝑥 RCP =

∆𝐱 ∆ 𝐱( 600𝑥+ 300∆ 𝐱 −4360)

RCP =

RCP =

∆𝐱 600𝑥 + 300∆ 𝐱 − 4360

b. Determine la derivada 𝑦’ , si se sabe que y = y = (1 − 2 𝑒 𝑥 )3−𝑥 SOLUCION:

ln y = ln(1 − 2 𝑒 𝑥 )3−𝑥 ln y = (3 − x) ln(1 − 2 𝑒 𝑥 ) (ln y)´ = [(3 − x) ln(1 − 2 𝑒 𝑥 ) ] ´ 𝑦´ 𝑦

= (3 − x)´ ln(1 − 2 𝑒 𝑥 ) + (3 − x) [ (1 − 2 𝑒 𝑥 )]´

𝑦´ = [ − ln(1 − 2 𝑒 𝑥 ) + (3 − x) .

𝑦´ = [ - ln(1 − 2 𝑒 𝑥 ) +

(1−2𝑒 𝑥 )´ 1−2𝑒 𝑥

(3−𝑥)(−2𝑒 𝑥 ) 1−2𝑒 𝑥

]. y

]. 𝑦

9


Ejercicio 3. Responda segĂşn sea el caso. a) Juan deposita S/. 500 en una instituciĂłn financiera y despuĂŠs de dos meses tiene S/. 600, en cambio Alfredo invierte S/.10 000 y despuĂŠs de 5 meses su capital ascendiĂł a S/.14 000. A su juicio ÂżcuĂĄl de los dos hizo la mejor inversiĂłn? Argumente su respuesta. SOLUCION: Juan:

Alfredo:

RCP = 600 – 500 = 50 2 Ganancia Promedio Mensual

RCP = 14000 – 10000 = 800 5

VariaciĂłn 50 500

VariaciĂłn 800 x 100% = 8 % 10000

x 100% = 10%

Juan hizo la mejor inversiĂłn con el 10% a su capital.

b) El costo de producir q unidades de un producto estĂĄ dado por đ?‘? =5000+12đ?‘ž+0,2đ?‘ž2 Si el precio de q unidades estĂĄ dado por la ecuaciĂłn đ?‘ž=1000−1,5đ?‘ž dĂłlares. Modele las funciones, ingreso marginal y utilidad marginal del fabricante. 3b Datos: C = 5000 + 12q + 0,2q² Formula I = p.q

mas

P = 1000 – 1,5q

Reemplazando :

I = (1000 – 1,5q)q Modelando el Ingreso Marginal del fabricante: IM = I’(q) = 1000 – 3q Modelando la Utilidad Marginal: U=I–C U = 1000Q – 1,5q² - (5000 + 12q + 0,2q²) U(q) = -1,7q² + 988q + 5000 UM = U’(q) = -3,4q + 988

10


Ejercicio 4. Los ingenieros de marketing de cierta empresa han establecido la demanda de un producto đ?’‘ =đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž √đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žâˆ’, 0≤đ?‘žâ‰¤100 . a. Los agentes de venta han indicado que cuando đ?‘ž cambia de 80 a 85, el precio disminuye en 20%. ÂżEstĂĄ usted de acuerdo con esta afirmaciĂłn? Justifique b. Modele la expresiĂłn que permita calcular la elasticidad de la demanda en funciĂłn de đ?’’ SOLUCION:

-½

DATO: đ?’‘ =đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž √đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žâˆ’q a) Si q = 80 P = 100 √100 – 80 P = 100 √20 = 447.21 Si q = 85 P = 100 √100 – 85 P = 100 √15 = 387.30 387.30−447.21 V% = x 100= - 13.39% 447.21

dp dq dp dq

= -50(100-q) invirtiendo ½ = -1 (100-q)

dp dq

½ E=

100 ( 100 - q) q

½ x (- 1)(100 – q ) 50

Entonces Disminuye en 13.39%. E=

Falso. b) E = P x dq q dp

ExpresiĂłn que permita calcular la elasticidad de la demanda en funciĂłn de đ?’’

½ P = 100 (100 – q) - ½ dp dq

- 100 ( 100 - q) 50q

= 100 (½)(100-q) (-1)

E=

- 2 ( 100 - q) q

11


Ejercicio 5. 2

Considere la curva definida por la ecuaciĂłn đ?‘Ś=3 đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľ 2 −6x a. Modele las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada que sean paralelas a la recta 12đ?‘Ľâˆ’2đ?‘Ś+10=0. SoluciĂłn:

L2 L1

L3

đ?‘š2 = 6 đ?‘š1 = 6

L3: 12đ?‘Ľâˆ’2đ?‘Ś+10=0 −2y = −12x+10 y = 6x+5 m=6 ‌..A m = y’= 2x+4x−6 ‌B

đ?‘š3 = 6

EcuaciĂłn de la Recta: đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) đ?‘ƒ1 (1.645; −1.49) đ?‘Ś − −1.49 = 6(đ?‘Ľ − 1.645) đ?‘Ś = 6đ?‘Ľ − 9.87 − 1.49

Igualando A y B 2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 6 = 6 2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 12 = 0 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 6 = 0 đ?‘Ľ1 = 1.645 đ?‘Ľ2 = −3.645

đ?‘Ś1 = −1.49 đ?‘Ľ2 = 16.157

đ?’š = đ?&#x;”đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?‘ƒ2 (−3.645; 16.157) đ?‘Ś − 16.157 = 6(đ?‘Ľ − −3.645) đ?‘Ś = 6đ?‘Ľ − 21.87 + 16.157 đ?’š = đ?&#x;”đ?’™ + đ?&#x;‘đ?&#x;–. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;•

12


b. Determine los valores de đ?‘Ľ para los cuales la recta tangente a la curva dada sea normal a la recta đ?‘Ľâˆ’6đ?‘Ś+6=0. SoluciĂłn: Perpendiculares:

Reemplazando en ecuaciĂłn 1 (2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 6) ( ) = −1 6

(đ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Ž )(đ?‘šđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Ž ) = −1

2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 6 = −6 2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) = 0

đ??ż4 đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś + 6 = 0 −6đ?‘Ś = −đ?‘Ľ − 6 6đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 6 đ?‘Ľ 6 đ?‘Ś = 6+6

đ?’™=đ?&#x;Ž

đ?’Ž = đ?&#x;?/đ?&#x;”

đ?’™ = −đ?&#x;?

Ejercicio 6. EL DULCE es una empresa que produce dos tipos de golosinas, caramelos y chocolates. El departamento de ventas determina que cuando se producen đ?‘Ľ bolsas de caramelos y đ?‘Ś cajas de chocolates diarias, entonces se puede generar utilidades definidas por đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 20đ?‘Ľ + 12.8đ?‘Ś − 0.002đ?‘Ľ 2 − 0.005đ?‘Ś 2 dĂłlares diarios. En la actualidad, se producen M bolsas de caramelos y N cajas de chocolates diarios. Datos: Productos variables Caramelos x Chocolates y

Actual M N

Parte B ∆M −∆N

Parte C -1 2

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 20đ?‘Ľ + 12.8đ?‘Ś − 0.002đ?‘Ľ 2 − 0.005đ?‘Ś 2 a. Modele la fĂłrmula que permita obtener la utilidad marginal con respecto a la cantidad de cajas de chocolates producidas. b. Modele la expresiĂłn que permita calcular la variaciĂłn aproximada de la utilidad al aumentar el nĂşmero de bolsas de caramelos, en ΔM y disminuir el nĂşmero de cajas de chocolates, en ΔN. c. Modele la expresiĂłn que permita calcular la variaciĂłn real de la utilidad al disminuir una bolsa de caramelos, y aumentar dos cajas de chocolates.

13


SoluciĂłn: a)

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Œ

=12.8 −0.1y = 12.8−0.1N

đ?œ•đ?‘ˆ

đ?œ•đ?‘ˆ

. đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘‹ đ?œ•đ?‘Œ đ?‘‘đ?‘ˆ = (20 − 0.004đ?‘Ľ). ∆x + (12.8 − 0.1y)∆y

b) đ?‘‘đ?‘ˆ =

. đ?‘‘đ?‘Ľ+

đ?’…đ?‘ź = [đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?‘´] ∆đ??Œ + [đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;– − đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ???](−∆đ???) c) ∆đ?‘ˆ = đ?‘ˆ(đ?‘€ − 1, đ?‘ + 2) − đ?‘ˆ(đ?‘€, đ?‘ ) đ?‘ˆ(đ?‘€ − 1, đ?‘ + 2) = 20(đ?‘€ − 1) + 12.8(đ?‘ + 2) − 0.002(đ?‘€ − 1)2 − 0.05(đ?‘ − 2)2 đ?‘ˆ(đ?‘€ − 1, đ?‘ + 2) = 20đ?‘€ − 20 + 12.8đ?‘ + 25.6 − 0.002(đ?‘€2 − 2đ?‘€ + 1) − 0.05(đ?‘ 2 + 4đ?‘ + 4) đ?‘ˆ(đ?‘€ − 1, đ?‘ + 2) = 20đ?‘€ + 12.8đ?‘ + 5.6 − 0.002đ?‘€2 + 0.004đ?‘€ − 0.002 − 0.005đ?‘ 2 = 0.2đ?‘ − 0.2 ‌.â‘  đ?‘ˆ(đ?‘€, đ?‘ ) = 20đ?‘€ + 12.8đ?‘ − 0.002đ?‘€2 − 0.02đ?‘ 2 ‌ â‘Ą Restando 1-2 ∆đ?‘ˆ = 5.6 + 0.004đ?‘€ − 0.002 − 0.2đ?‘ − 0.2 ∆đ?‘ź = đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?‘´ − đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?‘ľ + đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;–

Ejercicio 7. Elija convenientemente una de las expresiones contenidas en la primera columna y complete las proposiciones presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas. ALTERNATIVAS

I.

23x ∗ Ln(2)

II.

6 ∗ [23x ∗ Ln(2)]

III.

đ?&#x;‘ ∗ [đ?&#x;?đ?&#x;‘đ??ą ∗ đ??‹đ??§(đ?&#x;?)]

IV.

3 ∗ Ln(2)

PROPOSICIONES a) Luego de derivar la funciĂłn definida por: 29x f(x) = 3x 4 Se obtiene: df dx

(x) = _________________SoluciĂłn: 29x 29x 29x f(x) = 3x = 3x = 6x 4 2 22 9x−6x 3x f(x) = 2 =2 14


f(x) = 23x Nota: para bajar el exponente (variable), aplicamos logaritmo. Ln[f(x) ] = Ln(23x ) Ln[f(x) ] = 3x ∗ Ln(2) [Ln(f(x) )]´ = [3x ∗ Ln(2)]′ f´(x) = 3 ∗ Ln(2) f(x) f´(x) = 3 ∗ Ln(2) ∗ f(x) đ?’‡Â´(đ?’™) = đ?&#x;‘ ∗ đ?‘łđ?’?(đ?&#x;?) ∗ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?’™ b) Si:

I.

8

II.

4

III.

-4

IV.

-8

I.

Positivo

II.

Negativo

III.

Cero

IV.

No existe

f(x,y) = 2x 2 − 2xy 2 + 1 Entonces la variaciĂłn real de la funciĂłn f(x;y) al pasar de (1;1) a (2;0) es: _____________ SoluciĂłn: ∆f = f(2,0) − f(1,1) f(2,0) = 2(2)2 − 2(2)(0)2 + 1 f(2,0) = 9 f(1,1) = 2(1)2 − 2(1)(0)2 + 1 f(1,1) = 5 ∆f = 9 − 5 ∆đ?’‡ = đ?&#x;’ c) Consideremos que la variable q, representa a cantidad de cierto artĂ­culo medido en toneladas, la funciĂłn de costo de producciĂłn C, de las q unidades (en cientos de dĂłlares) es definida en tĂŠrminos de la cantidad mediante: 8000 f(q) = 1200 + 56q + đ?‘ž+2 Luego el costo marginal para cuando la cantidad sea 4 toneladas, nos resulta un valor de: ______. SoluciĂłn: f(q) = 1200 + 56q + 8000(q + 2)−1 Para calcular el costo marginal, se deriva la funciĂłn: C´(q) = 0 + 56 + 8000(−1)(q + 2)−2 ∗ (1) C´(q) = 56 + 8000(4 + 2)−2 đ??‚´(đ??Ş) = −đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;”. đ?&#x;?đ?&#x;? 15


Ejercicio 8. Se estima que el porcentaje de hogares con TV que se encuentran suscritos a TelevisiĂłn por Cable, puede ser modelado, para los aĂąos de 1990 al 2016 mediante P(q) = 6 +

627 % 10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.258đ?‘Ľ

Donde � es el número de aùos desde 1990 a) ¿Cuål es el porcentaje de hogares que se suscribió a televisión por cable al 2016 b) ¿En quÊ aùo el porcentaje de hogares con televisores que suscribió a televisión por cable sería måximo? Solución: a) 2016 – 1990 = 26

P(26) = 6 +

627 10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.258(26)

đ???(đ?&#x;?đ?&#x;”) = đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;•% De hogares que se han inscrito a la tv por cable al 2016. b) P(q) = 6 + 627 ∗ (10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.25đ?‘Ľ )−1 Para calcular los puntos crĂ­ticos, se deriva e iguala a cero: P´(q) = 0 P´(q) = 627 ∗ (−1)(10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.25đ?‘Ľ )−2 (−0.258) 0 = 627 ∗ (−1)(10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.25đ?‘Ľ )−2 (−0.258) 0=

161.766 [10 + 387 ∗ đ?‘’ −0.258đ?‘Ľ ]2

No hay mĂĄximos usando derivada. Se usa lĂ­mites para calcular el mĂĄximo: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 6 +

627 387 10 + −0.258đ?‘Ľ đ?‘’

lim = 6 +

627 387 10 + −0.258đ?‘Ľ đ?‘’

đ?‘Ľâ†’∞

lim = 6 +

đ?‘Ľâ†’∞

627 10 + 0 16


lim = 6 +

đ?‘Ľâ†’∞

627 10 + 0

lim = 6 + 62.7

đ?‘Ľâ†’∞

đ??Ľđ??˘đ??Ś = đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;• đ??šĂąđ??¨đ??Ź

đ?’™â†’∞

El mĂĄximo porcentaje de consumidores de televisiĂłn por cable serĂĄ dado en el aĂąo 2048.

Ejercicio 9. Dada la ecuaciĂłn de la demanda: đ?‘ž 2 (1 + đ?‘?2 ) = đ?‘? a) Determine la demanda cuando đ?‘? = 10. Respuesta đ?‘ž 2 (1 + đ?‘?2 ) = đ?‘? SoluciĂłn: Si đ?‘ƒ = 10 đ?‘ž 2 (1 + 102 ) = 10 đ?‘ž 2 + (101) = 10 đ?‘ž2 =

10 101

đ?’’ = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;” b) Determine la elasticidad de la demanda cuando đ?‘ƒ = 10 đ??¸=

đ?‘? đ?‘‘đ?‘ž . đ?‘ž đ?‘‘đ?‘?

đ?‘? = đ?‘ž 2 + đ?‘ž 2 đ?‘?2 đ?‘?′ = 2đ?‘ž + (đ?‘ž 2 )´đ?‘?2 + đ?‘ž 2 (đ?‘?2 )´ đ?‘?′ = 2đ?‘ž + 2đ?‘žđ?‘?2 + 2đ?‘ž 2 đ?‘?p´ đ?‘?´ = 2(0.31465) + 2(0.31465)102 + 0.314652 (2)(10)đ?‘?´ đ?‘?´ = 63.5593 + 1.98đ?‘?´ 0.98đ?‘?´ = −63.5593 đ?‘?´ = −64.85 17


đ?‘‘đ?‘? = −64.85 đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘ž = −0.0154 đ?‘‘đ?‘? đ??¸=

(10)(−0.0154) = −0.4894 0.31465 |đ?‘Ź| = đ?&#x;Ž. đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;’

Por lo tanto, la demanda es InelĂĄstica.

Ejercicio 10. El nĂşmero de estudiantes en una escuela primaria t aĂąos despuĂŠs de 2010 estĂĄ dado por (đ?‘Ą) = 100 ∗ ln(5 + đ?‘Ą) estudiantes. El costo anual para educar a un estudiante puede ser modelado por (đ?‘Ą) = 1500(1,05) đ?‘Ą dĂłlares por estudiante. a. Interprete la funciĂłn đ??š(đ?‘Ą) = [N(t) ∗ C(t)] b. Modele đ??šâ€™(đ?‘Ą) Use el anĂĄlisis marginal para pronosticar el comportamiento para el 2016 Respuesta: a. El costo total de todos los estudiantes segĂşn la cantidad de aĂąos desde el 2010 b. đ??š(đ?‘Ą) = [N(t) ∗ C(t)] SoluciĂłn. đ??šÂ´(đ?‘Ą) = [N(t) ∗ C(t)]´ đ??šÂ´(đ?‘Ą) = [đ?‘ (đ?‘Ą) ]´ ∗ C(t) + đ?‘ (đ?‘Ą) ∗ [C(t)]´ đ?‘ ´(đ?‘Ą) = 100 ∗

1 5đ?‘Ą + 1

đ??śÂ´(đ?‘Ą) = 1500 ∗ (1.05)đ?‘Ą ∗ đ??żđ?‘›(1.05) 100

đ??šÂ´(đ?‘Ą) = 5đ?‘Ą+1*1500 (1.05)đ?‘Ą + 100Ln (5 + t).1500 (105)đ?‘Ą 1500(1.05)đ?‘Ą đ??żđ?‘›(1.05)

18


đ??šÂ´(đ?‘Ą) = 150000 (1.05)đ?‘Ą [

1 5đ?‘Ą+1

+ ln(5 + đ?‘Ą). ln(1.05)]

1

c. F´(5) = 150000 (1.05)5 [5(5)+1 + ln(5 + 5). ln(1.05)]

F´(5) = 40651.62 El costo total para todos los estudiantes para el aùo 2016 es aproximadamente 40651.62 dólares.

Ejercicio 11. El departamento de ventas ha determinado que el nĂşmero de Televisores que pueden 12đ?‘Ľ

12đ?‘Ś

venderse por semana es dado por đ?‘ = 2+6đ?‘Ľ + 5+4đ?‘Ś donde x; y representan los gastos semanales (en miles de nuevos) por publicidad en televisiĂłn y periĂłdico respectivamente. Si la utilidad por la venta de cada televisor es de 250 dĂłlares a. Modele la funciĂłn de utilidades b. Si actualmente se gasta 10000 dĂłlares en publicidad en televisiĂłn y 5000 dĂłlares en periĂłdicos. Estime en cuanto varĂ­a aproximadamente la utilidad, si se hubieran asignado 200 dĂłlares mĂĄs a la publicidad por televisiĂłn, manteniĂŠndose en S/. 5000 a la publicidad por periĂłdico. c. Si para el prĂłximo aĂąo se asignan S/. 12 000 a la publicidad por televisiĂłn y S/. 5500 a la publicidad por periĂłdico. Estime el efecto real y aproximado sobre la utilidad para el prĂłximo aĂąo.

Respuesta a: Sea: La utilidad por cada televisor es 250 dĂłlares La cantidad (q) de televisores vendidos es “Nâ€? Entonces: Utilidad = 250N 19


Utilidad = P*q Reemplazando: đ?‘ˆ(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = 250 ∗ (

12đ?‘Ľ 12đ?‘Ś + ) 2 + 6đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ś

La ecuaciĂłn de la utilidad es: đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘ˆ(đ?‘Ľ;đ?‘Ś) = 3000 ∗ ( + ) 2 + 6đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ś Respuesta b, VariaciĂłn aproximada: Siendo: đ?‘Ľ = 1000 => đ?‘‘đ?‘Ľ = ∆đ?‘Ľ = 200 đ?‘Ś = 5000 => đ?‘‘đ?‘Ś = ∆đ?‘Ś = 0 La fĂłrmula para calcular la variaciĂłn aproximada: đ?‘‘đ?‘ˆ = đ?‘ˆđ?‘Ľ ∗ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ˆđ?‘Ś ∗ đ?‘‘đ?‘Ś

Calculando Ux: đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘ˆđ?‘Ľ = 3000 ∗ ( + ) 2 + 6đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ś đ?‘ĽÂ´ ∗ (2 + 6đ?‘Ľ) − đ?‘Ľ ∗ (2 + 6đ?‘Ľ)´ đ?‘ˆÂ´đ?‘Ľ = 3000 ∗ ( + 0) (2 + 6đ?‘Ľ)2 1 ∗ (2 + 6đ?‘Ľ) − đ?‘Ľ ∗ (6) đ?‘ˆÂ´đ?‘Ľ = 3000 ∗ ( ) (2 + 6đ?‘Ľ)2 đ?‘ˆÂ´đ?‘Ľ = 3000 ∗ ( đ?‘ˆÂ´đ?‘Ľ =

2 ) (2 + 6đ?‘Ľ)2

6000 (2 + 6đ?‘Ľ)2

Calculando Uy: đ?‘ˆđ?‘Ś = 3000 ∗ ( đ?‘ˆÂ´đ?‘Ś = 3000 ∗ (0 +

đ?‘Ľ đ?‘Ś + ) 2 + 6đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ś

đ?‘ŚÂ´ ∗ (5 + 4đ?‘Ś) − đ?‘Ś ∗ (5 + 4đ?‘Ś)´ ) (5 + 4đ?‘Ś)2

1 ∗ (5 + 4đ?‘Ś) − đ?‘Ś ∗ (4) đ?‘ˆÂ´đ?‘Ś = 3000 ∗ ( ) (5 + 4đ?‘Ś)2

20


5 𝑈´𝑦 = 3000 ∗ ( ) (5 + 4𝑦)2 𝑈´𝑦 =

15000 (5 + 4𝑦)2

Reemplazando en: 𝑑𝑈 = 𝑈𝑥 ∗ 𝑑𝑥 + 𝑈𝑦 ∗ 𝑑𝑦

6000 15000 ∗ 𝑑𝑥 + ∗ 𝑑𝑦 (2 + 6𝑥)2 (5 + 4𝑦)2

𝑑𝑈 =

Siendo 𝑑𝑥 = 0.2; 𝑑𝑦 = 0

6000 15000 ∗ 200 + ∗0 (2 + 6𝑥)2 (5 + 4𝑦)2

𝑑𝑈 =

𝑑𝑈 =

𝑑𝑈 =

1200 (2 + 6𝑥)2

1200000 (2 + 6 ∗ (10000))2

𝑑𝑈 = 0.31217

Respuesta c, Variación real: Siendo: 𝑼𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = (10000; 5000) 𝑼𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = (12000; 5500) La fórmula para calcular la variación real: ∆𝑈 = 𝑼𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑼𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 ∆𝑈 = 𝑼(𝒙+∆𝒙;𝒚+∆𝒚) − 𝑼(𝒙;𝒚) ∆𝑈 = 𝑼(𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎;𝟓𝟓𝟎𝟎) − 𝑼(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎;𝟓𝟎𝟎𝟎) 21


Siendo: 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥;𝑦) = 3000 ∗ ( + ) 2 + 6𝑥 5 + 4𝑦

Reemplazando: 𝑥 𝑦 𝑈(12000;) = 3000 ∗ ( + ) 2 + 6𝑥 5 + 4𝑦 𝑈´𝑦 = 3000 ∗ (0 +

𝑦´ ∗ (5 + 4𝑦) − 𝑦 ∗ (5 + 4𝑦)´ ) (5 + 4𝑦)2

1 ∗ (5 + 4𝑦) − 𝑦 ∗ (4) 𝑈´𝑦 = 3000 ∗ ( ) (5 + 4𝑦)2 5 𝑈´𝑦 = 3000 ∗ ( ) (5 + 4𝑦)2 𝑈´𝑦 =

15000 (5 + 4𝑦)2

Reemplazando en: 𝑑𝑈 = 𝑈𝑥 ∗ 𝑑𝑥 + 𝑈𝑦 ∗ 𝑑𝑦

𝑑𝑈 =

6000 15000 ∗ 𝑑𝑥 + ∗ 𝑑𝑦 (2 + 6𝑥)2 (5 + 4𝑦)2

Siendo 𝑑𝑥 = 0.2; 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑈 =

6000 15000 ∗ 0.2 + ∗0 (2 + 6𝑥)2 (5 + 4𝑦)2

𝑑𝑈 =

𝑑𝑈 =

1200 (2 + 6𝑥)2

1200 (2 + 6 ∗ (10))2

𝑑𝑈 = 0.31217 22


Ejercicio 12. La compaùía ABC produce dos tipos de chocolates: el de leche y el de leche con avellanas, cuyos costos unitarios de producciĂłn son, respectivamente, S/. 10 y S/. 20 cada uno. Las demandas anuales (en miles de unidades) estĂĄn dadas por: đ?‘ž1 = đ?‘?2 − đ?‘?1 đ?‘ž2 = 60 + đ?‘?1 − 3đ?‘?2 En donde p1 y p2 denotan los precios, en nuevos soles, de cada tipo de chocolate. a) Modele la funciĂłn ingreso de la compaùía, en tĂŠrminos de los precios. b) Modele la funciĂłn utilidad de la compaùía, en tĂŠrminos de los precios. c) Modele una fĂłrmula que permita calcular la utilidad marginal con respecto a los precios.

SoluciĂłn a: đ??źđ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ?‘?1 ∗ đ?‘ž1 + đ?‘?2 ∗ đ?‘ž2

đ??źđ?‘��đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ?‘?1 ∗ (đ?‘?2 − đ?‘?1 ) + đ?‘?2 ∗ (60 + đ?‘?1 −3đ?‘?2 )

đ??ź(đ?‘?1 ;đ?‘?2 ) = đ?‘?1 đ?‘?2 − đ?‘?1 2 + 60đ?‘?2 + đ?‘?2 đ?‘?1 − 3đ?‘?22

đ??ˆ(đ??Šđ?&#x;? ;đ??Šđ?&#x;? ) = đ?&#x;?đ??Šđ?&#x;? đ??Šđ?&#x;? − đ??Šđ?&#x;? đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;Žđ??Šđ?&#x;? − đ?&#x;‘đ??Šđ?&#x;?đ?&#x;?

SoluciĂłn b:

đ??ś(đ?‘ƒ1 ;đ?‘ƒ2 ) = 10(đ?‘?1 −đ?‘?2 ) + 20(60 + đ?‘?1 −3đ?‘?2 )

đ??ś(đ?‘ƒ1 ;đ?‘ƒ2 ) = 10(đ?‘?1 −đ?‘?2 ) + 20(60 + đ?‘?1 −3đ?‘?2 ) 23


𝐶(𝑃1 ;𝑃2 ) = 10𝑝1 − 10𝑝2 + 1200 + 20𝑝1 −60𝑝2

𝐶(𝑃1 ;𝑃2 ) = 10𝑝1 − 50𝑝2 + 1200 𝑈 =𝐼−𝐶 𝑼 = 𝟐𝐩𝟏 𝐩𝟐 − 𝐩𝟏 𝟐 + 𝟔𝟎𝐩𝟐 − 𝟑𝐩𝟐𝟐 − (𝟏𝟎𝒑𝟏 − 𝟓𝟎𝒑𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎) 𝑼 = 𝟐𝐩𝟏 𝐩𝟐 − 𝐩𝟏 𝟐 + 𝟔𝟎𝐩𝟐 − 𝟑𝐩𝟐𝟐 − 𝟏𝟎𝒑𝟏 + 𝟓𝟎𝒑𝟐 − 𝟏𝟐𝟎𝟎) Solución c: 𝐝𝐮 = 𝟐𝐩𝟐 − 𝟐𝐩𝟏 − 𝟏𝟎 𝐝𝐩𝟏 𝐝𝐮 = 𝟐𝐩𝟏 − 𝟔𝐩𝟏 − 𝟏𝟏𝟎 𝐝𝐩𝟐

24


CONCLUSIONES Tras el estudio del TFM, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las

matemáticas

como

para

muchas

otras

ciencias.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos

aplicar

frente

a

cierta

problemática.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de TFM fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también está, nos será útil en la práctica.

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BIBLIOGRAFÍA

INFOSIL •

[1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson.

[2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.

YouTube. (julio 04 del 2010) Problema 1 de optimización. [Archivo Video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=_exKGOyFZ50

YouTube. (marzo 1 del 2013) Recta Tangente a una curva - Ejercicio 2. [Archivo Video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=5mwxTMhi88Q&t=1s

YouTube. (Marzo 1 del 2013) Derivadas Parciales [Archivo Video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=jM8WkAIKAVM&t=235s

[1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson

[2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación

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DISTRIBUCION

Código

Alumno

1 1620841

ALARCON APAZA, ERICK ADRIAN

2

CAMPOS BUSTAMANTE, CESAR JAVIER

1620129

3 1620287

CASTILLO GALDO DE ADRIANZEN, LUCIA

4

1620875

CHALCO RICCI, JUNIOR ENRIQUE

1510132

GAMBOA CABRERA, JULIA CELEDONIA

5

6

1620130

TANTALEAN REATEGUI, RENZO

EJERCICIO EJERCICIO EJERCICIO EJERCICIO EJERCICIO EJERCICIO 1- 2 WEB 3 -4 5- 6 7-8 9-10 11 - 12 X

X

X

X

X

X

27


Tfm grupo 3 trabajo final web