Page 1

1.

Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¾Cuánto mide el poste?

Solución:

tan 40º =

2.

h 7

⇒ h = 7 · tan 40º ' 50 87 m

Sabiendo que un ángulo verifica que

180º < α < 270º

y que

cos α = − 34 ,

calcula las otras razones

trigonométricas del ángulo.

Solución: Vamos a suponer primeramente, para facilitar los cálculos, que el ángulo pertenece al primer cuadrante, es decir que todas sus razones trigonométricas son positivas. Utilizamos la relación fundamental de la trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α + 1−

9 16

⇒ sen α =

q

7 16

=

7 4

 3 2 4

= 1 ⇒ sen2 α =

' 00 6614. Calculamos ahora el valor de la tangente, para lo cual usaremos el √

valor exacto del seno, no la aproximación: tan α =

sen α cos α

=

7 4 3 4

=

7 4

·

4 3

=

7 3

' 00 8819.

Ahora sí, como sabemos que el ángulo pertenece al tercer cuadrante, ponemos el signo correspondiente a sus razones trigonométricas: sen α = − 3.

7 4 ,

cos α = − 43 y tan α =

7 3 .

Dibuja, de forma aproximada, dos ángulos distintos con seno

2 , y halla el coseno de ambos. 5

Solución:

De la relación fundamental de la trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos α =

q

21 25

=

21 5

' 00 9165.

1

 2 2 5

+ cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 −

4 25


Por tanto, el ángulo del primer cuadrante (dibujado en rojo) tiene coseno cuadrante (dibujado en verde) tiene coseno − 4.

√ 21 5 ,

y el ángulo del segundo

21 5 .

Un triángulo ABC tiene por lados 6 cm, 8 cm y 10 cm. Dibuja el triángulo y halla, utilizando la definición, las razones trigonométricas del ángulo menor.

Solución: Comprobemos el teorema de Pitágoras, ¾102 = 62 + 82 ? Efectivamente, 100 = 36 + 64, y la vericación del teorema nos permite armar que se trata de un triángulo rectángulo.

sen α =

5.

6 10

= 00 6; cos α =

8 10

= 00 8; tan α =

6 8

= 00 75.

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a)

El siguiente círculo indica el signo del seno de un ángulo según el cuadrante en el que se encuentra.

b)

Un ángulo menor de 360º queda determinado si conocemos su coseno.

c)

Dados dos triángulos tales que uno de ellos es el doble que el otro, el seno de uno también es el seno del otro.

d)

La siguiente tabla es correcta: 0º

90º

180º

270º

sen

0

1

0

-1

cos

1

0

-1

0

tan

no existe

0

no existe

0

Solución: a ) Falso, esos signos corresponden a la tangente, no al seno.

2


b ) Falso, pues puede pertenecer a dos cuadrantes distintos, necesitaríamos saber al menos un dato más. c ) Falso, baste el siguiente contraejemplo: 180º es el ángulo doble de 90º, pero sus senos no se doblan, pues sen 180º = 0 y sen 90º = 1.

d ) Falso, los senos y cosenos son correctos, pero las tangentes de 0º, 180º están intercambiadas con las de

90º, 270º. 6.

Expresa el ángulo de 920º como un número entero de vueltas más un ángulo menor de 360º.

Solución: a

Dividimos 920º entre 360º: 920 ÷ 360 = 20 5 . Eso signica que corresponden 2 vueltas completas. Además, 920 − 5 · 360 = 200, es decir 920º son 2 vueltas completas a la circunferencia más un ángulo de 200º.

De otra forma, podríamos haber realizado el algoritmo de la división: 920

360

200

2

Así, el cociente y el resto de la división nos permiten ya armar que 920º son 2 vueltas completas a la circunferencia más un ángulo de 200º. 7.

¾Cuántos grados son 3'5 radianes?

Solución: Podemos resolver el problema con una regla de tres, 360º

2π radianes

x

30 5 radianes

x=

8.

360·30 5 2π

=

630 π

' 200º320 700

Halla el área de un octógono regular de 12 cm de lado.

Solución:

3


Un octógono tiene 8 lados y 8 ángulos, por tanto

360º 8

= 45º mide el ángulo central en cada triángulo como el

de la imagen. Podemos dividirlo en dos triángulos rectángulos iguales, y ese ángulo mitad será de mientras que el cateto opuesto resulta ser

12 2

45º 2

= 220 5º,

= 6 cm. Llamando x al apotema (que resulta ser el otro cateto

de dicho triángulo rectángulo) tenemos: tan 220 5º =

6 x

⇒x=

6 tan 220 5º

' 140 49 cm

Finalmente, el área del octógono será: 8 · 9.

12·140 49 2

= 6950 29 cm2 .

En un parque de una región montañosa es dificultoso medir la distancia que hay entre un restaurante y la casa del guardabosques. Sin embargo, puede medirse la distancia entre esta y un castillo (1800 metros) y también entre el restaurante y el castillo (1200 metros), así como el ángulo que forman los caminos que convergen en el restaurante (135º). Calcula esa distancia desconocida.

Solución:

Dibujemos y nombremos el triángulo correspondiente:

Aplicando el teorema del seno:

b sen B

=

c sen C

1800 sen 135º

=

1200 sen c

⇒ sen C =

1200·sen 135º 1800

=

2·sen 135º 3

'

00 4714045 ⇒ Cˆ ' 28º70 3200 .

Además Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180º ⇒ Aˆ = 180º − Bˆ − Cˆ = 16º520 2800 . Si volvemos a aplicar el teorema del seno: a sen A

10.

=

b sen B

a sen 16º520 2800

=

1800 sen 135º

⇒ a ' 7380 92 metros dista la casa del guardabosques del restaurante.

Resuelve el triángulo rectángulo cuyas proyecciones sobre la altura correspondiente al ángulo recto miden 9 y 4 cm.

4


Solución:

4

Debemos calcular los tres ángulos (Aˆ, Bˆ , Cˆ ) y los tres lados (a, b, c) del triángulo ABC . b = m + n = 9 + 4 = 13 cm. Ya tenemos un lado.

Aplicando el teorema de la altura: h2 = m · n ⇒ h =

9 · 4 = 6 cm.

El teorema de Pitágoras, considerado en los dos triángulos más pequeños, nos proporciona los otros dos lados: a2 = h2 + n2 ⇒ a2 = 62 + 42 ⇒ a =

b2 = h2 + m2 ⇒ b2 = 62 + 92 ⇒ b =

36 + 16 = √

52 ' 70 21 cm. Ya tenemos un segundo lado.

36 + 81 =

117 ' 100 82 cm. Con este ya hemos calculado los tres

lados. Pasemos a los ángulos. Como el triángulo es rectángulo, ya conocemos uno de los ángulos, Bˆ = 90º. Nos ayudamos de las razones trigonométricas: tan Aˆ =

h m

=

6 9

ˆ + Cˆ = 180º, ⇒ Aˆ ' 33º410 2400 . Ya tenemos un segundo ángulo. Para acabar, dado que Aˆ + B

tenemos que Cˆ = 180º − Aˆ − Bˆ = 56º180 3600 .

5

Simulacro del examen de trigonometría  

Simulacro del examen de trigonometría.

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you