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1.

Dadas las funciones

f (x) = 5x2

g (x) =

y

1 , calcula: x+1

(a) (g ◦ f ) (x) (b) (f ◦ g) (x) (c) f −1 (x) (d) g −1 (x) (e) (g ◦ f ) (2) Solución: (a) (g ◦ f ) (x) = f

1 5x2 +1

g

1 5x2 +1

x −→ 5x2 −→

(b) (f ◦ g) (x) = f

x −→

g

1 x+1

−→ 5 ·

(c) f −1 (x) = ± y = 5x2 ⇒

(d) g −1 (x) = y=

1 x+1

5 x2 +2x+1

5.

px

y 5



1 x+1

2

=5·

=

5 x2 +2x+1

Como no es una función, decimos que f −1 es la recíproca de f .

= x2 ⇒ x = ±

1−x x .

1 (x+1)2

py 5

Como esto es una función, decimos que g −1 es la inversa de g .

⇒x+1=

1 y

⇒x=

1 y

−1⇒x=

(e) En el apartado (a) calculamos (g ◦ f ) (x) = 2.

1−y y 1 5x2 +1 .

Entonces, (g ◦ f ) (2) =

1 5·22 +1

=

1 20+1

=

1 21 .

Determina, razonadamente, si son funciones o no:

(a)

x

-1

0

1

2

1

y

-5

0

5

10

-5

(b) Solución: (a) Esta tabla de valores no corresponde a una función porque observamos que a un valor, el 1, de la variable independiente (la x) le corresponden dos valores distintos, 5 y -5, de la variable dependiente (la y). (b) Esta gráca no corresponde a una función porque hay valores de la variable independiente como el 0 al que corresponden varios valores de la variable dependiente. Intuitivamente se puede observar que existen rectas verticales que cortan a la función en dos o más puntos.


3.

Estudia la paridad de las siguientes funciones:

(a) f (x) =

(b) g (x) = x3 − x

−x x3 −1

(d)

(c) Solución: (a) Calculamos f (−x) =

−(−x) (−x)3 −1

=

x −x3 −1 .

Como f (−x) 6= f (−x), la función f no es par ni impar.

(b) Calculamos g (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x. En este caso g (−x) = −g (x), y por tanto se trata de una función impar. (c) Intuitivamente observamos que el eje de coordenadas es no es un eje de simetría, pero el origen sí es un centro de simetría, por tanto la función es impar. (d) Intuitivamente observamos que ni el eje OY es un eje de simetría ni el origen de coordenadas es un centro de simetría, por tanto la función no es par ni impar. 4.

Calcula los siguientes límites:

−1 (a) l´ım xx+2 2

x→2

(b) l´ım x22−9 x→3

Solución: −1 (a) l´ım xx+2 = 2

x→2

22 −1 2+2

=

4−1 4

=

3 4

(b) l´ım x22−9 x→3

Como al sustituir aparece una división por 0, vamos a hacer el estudio a través de tablas de valores: x

2'7

2'9

2'99

2'999

y

-1'1695

-3'3898

-33'3889

-333'3888

x

3'2

3'01

3'001

y

1'6129

3'1 3'2786

33'2778

333'2777

⇒ l´ım− x22−9 = −∞ x→3

⇒ l´ım

x→3+

2 x2 −9

= +∞

Por tanto el límite no existe, pues los límites laterales no coinciden. 5.

Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

(a) f (x) =

   x+1

  2x − 1    x2 − 1    (b) f (x) = 2      x−1

, si x < 2 , si x ≥ 2 , si x < 1 , si x = 1 , si x > 1


Solución: (a) A la vista de la expresión de la función, la función es continua en R − {2} por tratarse de polinomios, y falta estudiar qué sucede en el punto x = 2. ¾f (2) = l´ım f (x)? x→2

f (2) = 2 · 2 − 1 = 3, el punto x = 2 está incluido en el segundo tramo de la función. l´ım f (x) = 2 + 1 = 3, pues tratamos con puntos más pequeños que 2 que estarán incluidos en el primer tramo de la

x→2−

función. l´ım f (x) = 2 · 2 − 1 = 3, pues tratamos con puntos más grandes que 2 que estarán incluidos en el segundo tramo de la

x→2+

función. Por tanto, en x = 2 también es continua. Así, la función es continua en R. (b) A la vista de la expresión de la función, la función es continua en R − {1} por tratarse de polinomios, y falta estudiar qué sucede en el punto x = 1. ¾f (1) = l´ım f (x)? x→1

f (1) = 2, el punto x = 1 está incluido en el segundo tramo de la función. l´ım f (x) = 12 − 1 = 0, pues tratamos con puntos más pequeños que 1 que estarán incluidos en el primer tramo de la

x→1−

función. l´ım f (x) = 1 − 1 = 0, pues tratamos con puntos más grandes que 1 que estarán incluidos en el tercer tramo de la función.

x→1+

En consecuencia, la función presenta en x = 1 un punto de discontinuidad evitable. 6.

Haz un estudio de las características generales de la siguiente función:

Solución: • El dominio es [−5, 3] y la imagen es [−2, 3]. • La función no es continua, pues presenta un punto de discontinuidad en x = 1. • Monotonía:

La función es creciente en (−1, 1) y decreciente en (−5, −1) ∪ (1, 3).


• Extremos:

La función no presenta máximos relativos y tiene un mínimo relativo en el punto (−1, −2). El máximo absoluto se encuentra en el punto (−5, 3) y el mínimo absoluto en el punto (−1, −2). • La función no presenta ningún tipo de simetría. • La función no es periódica. • La función está acotada tanto superior como inferiormente.

7.

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

(a) f (x) =

2x−5 x2 −5x+6

(b) g (x) = + −x + 2 Solución: (a) Como la función f es una fracción algebraica, el dominio será todo R salvo los puntos en los que se anule el denominador. Calculémoslos: x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x =

√ 5± 52 −4·1·6 2·1

=

√ 5± 25−24 2

=

5±1 2

=

%

3

&

2

Por tanto, Dom (f ) = R − {2, 3}. (b) Como la función g es una raíz cuadrada, el dominio estará compuesto por los valores que hagan el radicando mayor o igual que cero. Calculémoslos: −x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ 2

Así, Dom (g) = (−∞, 2]. 8.

Compara el crecimiento de la función

f (x) = x2 − x

en los intervalos

[1, 4]

y

[4, 7].

Solución: T V M[1,4] f =

f (4)−f (1) 4−1

=

T V M[4,7] f =

f (7)−f (4) 7−4

=

[42 −4]−[12 −1] 3

[72 −7]−[42 −4] 3

=

12−0 3

=

42−12 3

=

12 3

=

=4

30 3

= 10

Como las tasas de variación media son positivas, podemos armar que la función es creciente, en promedio, en ambos intervalos dados. Y sabemos también que crece más rápidamente en el intervalo [4, 7], pues su tasa es mayor en valor absoluto.

Simulacro funciones  

Simulacro del examen de funciones