Matematrix 7, Grundbog

Page 1

E T A M TRI A M

S

ARD

·L

BO

·

E

A TOM

JGA HØ

SEN JEN

N RSE

N SON

9 7

M LSO HVI E EN

SE LAR

E PED EN S I BO

LE HEL

��

Alinea



7

E T A M ATRI M

EN ENS N J RD ERSE AA G J PE D Ø N H E AS OIS TOM · BO B · EN E ARS SONN L M E L SO HEL VIL H E LEN

Alinea


MATEMATRIX 7, Grundbog, 1. udgave, 7. 10.oplag oplag2010 2013 © 2004 Alinea København Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Grafisk tilrettelægning, og omslag: Knud Udbye Tegninger: Peter Bay Alexandersen Forlagsredaktion: Peter Lund Billedredaktion: Vibeke Sommer Prepress: Sangill Grafisk Produktion Tryk: Livonia Print Kortmateriale: s. 125 og s. 127 © Kort & Matrikelstyrelsen (340 og 341) Billedfortegnelse: Helle Ask: 141 (modelfoto: Nivå Centralskole); Avenue Images GmbH/Frank Siteman: 154; Jerry Bergman: 124; Gert Blume/Freelance Pressefoto: 54; Bornholmstrafikken: 60ø; Braun/Gillette Group Denmark: 58ø; Grete Dahl: 174-175 (stort billede); Mogens Dam: 129 ø+h; Destination Bornholm/Bornholms Velkomstcenter: 60m (logo), 61; Martin Dybdal: 155; Ikea: 58n-59 (modelfoto af møbler m.m. - fiktive priser); Juliana Drivhuse: 71v; Det Kongelige Bibliotek: 177 (Guaman Poma, 1615); Copyright Kort & Matrikelstyrelsen (A.32-04): 125v, 127ø; NASA: 38; Stefan Kai Nielsen/EKKO: 34, 36ø, 79, 145; Flemming Pauk: forside, 60n, 127n, 128n; Hans-Ole Ploug/Flash Lyd & Lys: 104; Polfoto: 18 (Jens Dresling), 40 (Thomas Borberg), 57 (Niels Hougaard), 110 (Claus Peuckert), 138 (Thomas Wilmann), 139h (Bente Lindegaard), 139v (Lars Rievers), 157 (Thomas Wilmann), 172-173 Safri Duo (Kim Nielsen); Rigsarkivet: 128ø; Scanpix: 8-9 (Klaus D. Bentzen/Biofoto), 25 (Mikkel Østergaard/BAM), 27 (Per Morten Abrahamsen/BAM), 29 (Jørgen True), 35 (Jørgen Schytte/BAM), 37 (Bent K. Rasmussen), 43 (Stuart Westmorland/Corbis), 48 (Eva Rosenqvist/Biofoto), 87 (Raoul Minsart/Masterfile), 90 (Heine Pedersen/BAM), 95 (Patrik Giardino/Corbis), 106 (Corbis), 112ø (indsat: Anders Tvevad/Biofoto), 113ø (indsat: Steen Agger/Biofoto), 115 (Elvig Hansen/Biofoto), 125h (Susan S. Jensen/Biofoto), 130 (Jose Fuste Rave/Corbis), 142 (Meeke/Scanpix), 143 (Claus Beck Andersen, modelfoto), 156 (Thomas Sjørup), 159 (Esbin Andersen/AGE), 164-165 (Jean-Pierre Lescourret/CORBIS), 166-167 (Peter Mark /BAM), 168-169 (Liselotte Sabroe), 176-177 (stort billede: Mark L. Stephenson/Corbis); Skov- og Naturstyrelsen: 129 (kort); Sara Skytte: 170-171; Preben B. Søborg/Sports Foto: 63; Trip Trap Danmark A/S: 36n (modelfoto); Axel D. Wittmann, Göttinger Universitäts-Steinwarte: 23; Aalborg Stadsarkiv/H. Tønnies: 175 (lille billede). Øvrige fotos: Hans Juhl

ISBN: 978-87-23-01200-5

www.alinea.dk


INDHOLD Til eleverne

5

Variable

8

Lix-tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Talfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variable og regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procent

21 22 24 27

Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 TEMA Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ligninger

43

Uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TEMA Udsalgspriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 TEMA Lejrskole på Bornholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Rumfangsberegning

Massefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med rodstørrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler og overslagsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA Vandforbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA Post . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistik

63

73 74 75 76 77 79

Verdens lande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Statistik og regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 TEMA Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


Funktioner

95

Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 TEMA Post . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 TEMA Vandforbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Konstruktioner

115

Målestoksforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 TEMA Lejrskole på Bornholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Taxageometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Ændringer TEMA

133

Udsalgspriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Tællemodeller

145

Søgning på internettet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Undersøgelser

Vandforbrug: Vand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA Lejrskole på Bornholm: Klassetur . . . . . . . . . . . . . . TEMA Udsalgspriser: Udsalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA Post: Kommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Min by . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tændstikmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA

161

164 166 168 170 172 174 176 178

Facitliste

180

Stikordsregister

204


TIL ELEVERNE Hvis din hjerne skal lagre noget nyt, er du nødt til at ”fortælle den”, at det er vigtigt for dig. Det gør du dels ved at være motiveret for at lære og dels ved at være aktiv. Hvis du fx skal lære, hvad et baghåndsslag i badminton er og kunne bruge det, er det typiske forløb følgende: Du møder op til træningen i hallen, hvorved du bliver motiveret og fokuseret. Du varmer op ved at slå nogle slag, du allerede behersker. Dernæst viser træneren det nye slag. Så øves det en masse gange. Til sidst skal slaget bruges i en kamp. Her skal det bruges i pressede situationer. Det er her, du oplever glæden ved at have lært slaget, og det er her, du bliver motiveret til at øve mere og derefter spille mere osv. Efterhånden mestrer du slaget og kan begynde at lære nye ting, fx finter så slaget maskeres, og du kan udspille din modstander. Matematik kan stort set læres på samme måde. Derfor er hvert af de ni kapitler i denne bog opbygget som forløb, der svarer til de forskellige sider af læringsprocessen. For at gøre det lettere at forstå, hvad vi mener, har vi lavet en model - timeglasmodellen - som du kan se på næste side. Der er så lidt læsestof og så mange opgaver som muligt i bogen. En ting er nemlig helt sikkert! Du bliver hverken god til badminton, trompetspil, eller matematik ved kun at se og høre på folk, der allerede kan. Du skal selv være aktiv på en struktureret måde - sammen med andre.


For at gøre timeglasstrukturen tydelig for dig har vi brugt nogle bestemte farvekoder til de forskellige aktiviteter. Intro-aktiviteter Øvelser Opgaver og opslag Gennemgangssider er markeret med røde streger i kanten.

Facitliste Facitlisten bagest i bogen kan måske hjælpe dig, når du er ”gået i stå” eller vil checke et facit. Facitlisten indeholder: ■ Vink og kommentarer til de introducerende aktiviteter. ■ Kort gennemgang af de forskellige typer øvelser samt facit til hver anden. ■ Grundige besvarelser af de første 3-5 opgaver og derefter facit til dem, hvor nummereringen står med hvide tal. I nogle tilfælde hjælper facitlisten dig på vej med et tip til, eller en ”udfoldning” af en opgave i underspørgsmål. Når vi gør det, er det for at vise dig, at man ofte er godt i gang med en opgave, hvis man kan dele den op i nogle mere overskuelige delopgaver.

Selvom du kan kigge i facitlisten, er det vigtigt, at du selv vurderer, om dit facit lyder rigtigt. Vi synes også, det er en rigtig god idé at foretage overslagsberegninger, da det kan være med til at fremme din talforståelse. Hvor præcist behøver fx et facit at være?

Undersøgelser Efter de ni kapitler er der otte undersøgelser i bogen. Idéen med undersøgelserne kan du læse mere om på side 161.

Held og lykke med bogen! Forfatterne


INTRO OP MØDER SÆTTER S CENEN

FÆLLES S NAK RM FÆLLES PLATFO

INTRO-AKTIVITETER

N MNING OPVAR REPETITIO KOM L IDT I G ANG E PÅ FOKUSER

V HO E B

NU ER DET NU NY VIDEN

R FO

T NY T GE NO

GENNEMGANG

OBS

ERET ONSTR M E D FÅ

ØVELSER

IND PÅ RYGRADEN PRØV SE TRÆN LV ING GELSE GHED GENTA I D R Æ F SIG TEKNIK ØVE

SUC CES

FRUSTR ATION ION VARIAT

ANVENDELSER NG RSKNI UDFO

ING OPSAML STYR PÅ BEGREB ERNE?

OPGAVER KAMP

SIG INDE OVERV

PROBLEM LØSES OPSLAG

UDFORDRING JDE SAMARBE

AFRUNDING NYE MÅL

SELV

NING? MERE TRÆ

VIRKELIGHED

STÆDIGHED ÅBNE PROB LEMER

FIK VI LÆRT DET VI VILLE? SIKKER I UDREGNINGER NE?


VARIABLE ■ Kan ”blomst” betyde flere forskellige ting? ■ Hvordan kan blomster beskrives? ■ Hvad vil det sige, at noget varierer? ■ Hvad vil det sige, at noget er konstant?

Hvad er en formel egentlig? taver i matematik?

Hvorfor bruger man bogs

Kan dette skrives kortere: ”Arealet af en cirkel kan beregnes ved at gange det tal, som udtrykker forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter, med cirklens radius opløftet til anden potens .”



1

2

Løs ligningerne: a x–2=3 b x+2=3

c 4=5–x d 4=5–y

e 1+z=1–z f x–4=x–3

Hvad betyder det, når der står bogstaver i en ligning? A=

1 2

h·g

A=l·b

h

b

g

3

Hvorfor står der bogstaver i formler, når det som regel er tal, man er interesseret i at beregne?

4

Omkredsen O af trekanten til venstre kan skrives som et bogstavudtryk: O = 3a + 4a + 5a a Skriv omkredsen af rektanglerne A til D som bogstavudtryk. b Skriv bogstavudtrykkene så kort, du kan. Hvis a sættes til 3, er omkredsen af trekanten 12 · 3 = 36 c Beregn omkredsen af rektanglerne A til D for forskellige værdier af a: a = 1 a = 5 a = 2,5

4a

3a

l

5a

A

B

a

a

2a

a

C 2a 1,5a D 2a 3a

5

Hvis en beregning med a = 2 og b = 4 skal give 8, kan du skrive a · b = 8. a Er a2 + b = 8, hvis a = 2 og b = 4? b Er 3 · b – 2 · a = 8, hvis a = 2 og b = 4? c Opskriv flere udtryk med a = 2 og b = 4, som giver 8.

6

Tegn skemaet af. Indsæt værdien af a i hvert udtryk og beregn. a

a+2

3·a

5 – 2a

a2

5 –2 1 0 1 2

10

VAR I A B L E


7

a b c d e

Vælg et bogstav som forkortelse for hver af disse frugter. Skriv et udtryk for 2 appelsiner og 10 jordbær. Skriv et udtryk for 3 kiwier og 2 figner. Skriv et udtryk, hvor du sammensætter 8 frugter. Skriv et udtryk, hvor du sammensætter 20 frugter. Hvad mener du egentlig når du siger “elev”?

kiwi melon vindrue figen

Jeg tænker på en elev i vores klasse, som vi kan vælge til elevrådet.

8

Hvad kunne pigen på billedet ellers have svaret?

9

Her er nogle eksempler, hvor du skal tage stilling til, om det er en bestemt eller en tilfældig mønt, der tænkes på: a Mønten, du skal komme i en spilleautomat b Mønten, du har lagt frem hjemme på skrivebordet c Mønten, du skylder din ven d Mønten, du mangler i dit møntsamler – album e Din lykkemønt, som du har i en kæde om halsen

10

Find det tal, som opfylder følgende: Man trækker en fra det dobbelte af tallet, lægger tre til, og får det samme, som hvis man lagde to til det tal, som er en mindre end det tredobbelte af tallet.

VAR IAB L E

appelsin banan citron jordbær

Kald tallet x

11


Når vi i matematikken vil arbejde med noget, som kan have flere forskellige værdier, skriver vi udtryk, hvor hvert af bogstaverne som regel er en variabel:

x+3=5 A=l·b

2b + 3b y=a·x

En variabel er en pladsholder for et element fra en bestemt mængde, kaldet grundmængden.

Det vil sige, at man kan sætte ethvert element fra grundmængden ind på den variables plads. Jeg holder pladsen for en i klassen. Mængden af elever i 7.b.

Variable findes også uden for matematikken. Tænk på ordet ”elev”. Det kan betyde ”en bestemt elev”, fx dig, men det kan også betyde ”en af alle de elever, der findes”. Grundmængden kan indeholde mange forskellige typer elementer: Ting, personer, ord, tal mv. Det behøver altså ikke at handle om tal. π er altid konstant.

3 er konstant i ligningen.

3 · 7 er altid 21.

En konstant er et element, som ikke varierer – altså det modsatte af en variabel.

Når bogstaver er brugt som tal-variable eller tal-konstanter, kan man regne med dem, ligesom man regner med kendte tal.

12

VAR I A B L E


Hvad mener du, når du beder om ”en mønt”?

Min lykkemønt!

Det er lige meget – jeg samler på alle lande.

En der kan bruges til at ringe for.

Hvad mener du med ”n”?

år irret, n er forv Jeg bliv r om, at højkke du sna ”n”. den er

Jeg mener højden på den højeste i klassen. Jeg kender bare ikke tallet, så derfor kalder jeg det n.

en Nåh, det er jo i sidn Me t. tan ns ko du, at ste uge sagde højden n var en variabel?

Ja, for dengang brugte vi n som symbol for højden af en fra klassen.

Hvad mener du med ”3”?

Du siger, du har 3 runde ting i rygsækken – det har jeg også.

VAR IAB L E

Men det er jo forskelligt: Du har 3 appelsiner, og jeg har 3 tennisbolde.

i, vi Ja, det er ford bruger ”runde ting” som en variabel.

Til gengæld er der ingen tvivl om, hvad vi mener med ”3” – det kan kun være en konstant.

13


Øvelser Om at udpege variable og konstanter 11

Hvad kan være variable, og hvad er konstanter i følgende udtryk: a 2+a f A=b·l b 4x + 2 – 3y g Arealet = højden · 42 c 5+π–2+a h 12 = højden · grundlinjen 2 d Arealet = 3 · længden i A = h 2· g e 24 = bredden · længden j O=2·π·r

12

Hvad er variable, og hvad er konstanter i disse situationer: a Din højde da du blev født og højden på en 7. klasses elev. b Din lærers højde og højden på et højhus. c Du skal hente en bog fra din taske og din Matematrix-bog. d Den ældste i din klasse skal have fat i en lærer på skolen. e Din alder lægges sammen med alderen på en i din familie. f Du skal vælge din yndlings-cd eller en fra hylden. g Du skal enten være sammen med en fra dit håndboldhold eller din bedste ven.

3 l

Om at opskrive bogstavudtryk med variable 13

14

Forkort ved at bruge bogstaver som variable: a 4 elever + 9 elever – 2 elever. b 9 elever – 1 lærer + 7 elever + 2 lærere. c Halvdelen af 4 elever + 8 lærere. d 3 børn ganget med 2 + deres 4 forældre. e 6 pædagoger + 20 børn gange 3. f 22 spillere + 1 dommer + 2 linjevogtere + 50.000 tilskuere. g Spillere og trænere. h Mødre og fædre og børn.

VARIABLE


14

Forkort ved at bruge bogstaver som variable: a Tolv bolde minus otte bolde plus elleve bolde. b Seks bolde minus ni bolde plus det halve af fire bolde. c To bolde plus syv bolde minus tre bolde – det hele divideret med tre. d En gruppe med tre drenge og to piger sammen med en anden gruppe med en dreng og fire piger. e En gruppe med 12 drenge og 14 piger deles i to. f 20 kakaomælk til hver af ugens fem skoledage i 40 skoleuger. g Tre stykker kridt om dagen til hver lærer i 200 skoledage. h 14 bøger til hver elev i hver af de tre 7. klasser på skolen.

Om at bestemme grundmængden 15

Angiv en grundmængde for de variable i følgende situationer: a Du skal bestemme prisen på en fødselsdagsgave, du vil give. b Du skal bestemme højden af et træ. c Du møder en, du kender, x. d Løs ligningen x + 3 = 5. e Om en tings højde, x, ved man, at x + 3 = 5. f Du skal bestemme en persons alder i år. g Et helt tal ganget med sig selv. h Temperaturen på en forårsdag.

Om at regne med variable 16

Reducer mest muligt: a 2a + 5a –3a + 6a – 4a

e 2,5c + 6c + 5,3c – 2,8c + c

b 6A – 4A + 1A – 5A

f

c 7b – 8b + 4b – 2b + 7b + 2b

g 5g + 12 g + 74 g – 34 g + 72 g

d

1 2x

+ 8x – 52 x –3x

1 3y

h

11 5z

– 43 y + 3y – y

a =1·a 2a = 2 · a

– 15 z – 4z + 25 z + 85 z 1-2

17

Reducer mest muligt: a 2a · 4 + a – 3a

e

b 3x + x – 2x · 2 + 12 x c 6g + g – 3 · 3g – d

10b 5

VAR I AB L E

– 2b + 7 · 12 b

5 2g

4z + 4z +4z 6

f 2 · 1,7c – 0,4c + 2 · 5c g h

66y 11 1 2h

+ 2 · 3y – 10y + 34 h – 2h + 3 · 12 h + 14 h

Husk: 8–2·3=8–6=2

15


18

Reducer mest muligt: a 4a + 2a + 5a + 7b – 2b b 4c + 2c + 5c + 7b – 2b c 3a + 6c + 4a – 5c d 22b + 4d – 10b + 2d – 6b – 8d e 10,5x + 3,2x – 3,5y + 4,3x + 5,5y f 3x + 3x + 2z + 2z – 12 x + 12 z g 4a – 3A –a + 4A – 2a + 2A + 12 a h 99b + 10p + 13 b – 9p – 2p + 23 b

19

Reducer mest muligt: a xy + 2xy – 5xy + 6xy b 2ab – ba + 11 + 3ab – 13 c 2 · 3c – 4d + 2,5 – 3c + d d 6xy +4 2xy e 1,5h + 2gh – 5g + 0,5h – 5gh + 10g f 2xz – 4zx + xz + xz – zx + 12 xz g 12 q + 2 · 3p – 32 q – 42 p + 3q h 4ab + 12 b – 112 a + 6ab + 7a + 112 b – 9ab + 12 ba

20

Opskriv følgende udtryk ved hjælp af tal og bogstaver som variable, og reducer: a To bolde plus syv bolde minus tre bolde. Det hele delt med tre. b Fire bolde plus ti bolde minus det halve af otte bolde. c Tre bolde gange syv, trukket fra femoghalvtreds bolde. d Halvdelen af fjorten bolde lagt sammen med ti bolde. e Tolv sølvmønter og ni guldmønter lægges sammen med to guldmønter og en sølvmønt. f Ti sølvmønter lægges sammen med summen af halvdelen af seksten guldmønter og seks sølvmønter. g Det dobbelte af fire guldmønter trækkes fra ni sølvmønter og ti guldmønter. h Fra enogtyve guldmønter og halvfems sølvmønter tages halvdelen af ti guldmønter.

ba = b · a = a · b = ab

16

VARIABLE


Opgaver 21

Opskriv følgende udtryk ved hjælp af tal og bogstaver som variable, og find løsningen. a Et tal lagt sammen med elleve er femten. b Et tal lagt sammen med otte er lige så meget som tolv minus ni. c Fire lagt sammen med to gange et tal er lige så meget som tre gange det samme tal. d Halvdelen af et tal er lige så meget som fyrre trukket fra tallet. e Tretusindesekshundredetooghalvfems gange et tal er enmillionfemhundredeniogtredivetusindefemhundredefireogtres. f Tre gange det halve af et tal er mindst lige så meget som det samme tal lagt sammen med en.

22

Opskriv ligninger med variable, som fortæller noget om elevernes a køn b hårfarve c brug af briller. d Find selv på flere kategorier.

23

Hvad er det dobbelte af: a 2x – 5 d – 3x + 4 b 6(x + 2) e 5 – 4x 1 c 2 (4 + 2x) f x–5

24

g 6 – 2x h 13 (3–9x) 3(x + 3) = 3 · x + 3 · 3 = 3x + 9

Hvilke tal t opfylder at: a 40 ≤ t ≤ 80 både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t – 1)

c 450 ≤ t ≤ 520 9 går op i (t – 1) t er ulige og 5 går op i t

b 400 ≤ t ≤ 450 både 7 og 8 går op i t 5 går op i (t + 2)

d 40 ≤ t ≤ 50 3 og 5 går ikke op i t. både 6 og 4 går op i (t – 1)

VAR I AB L E

3

17


3a + 4a + 5a 12a = 4 = 3a 4

18

25

I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. Hvad betyder følgende formler? a D=P e T>0 b T<L f D+P>T+L c D = 2P g D + P +T + L = 110 d P = D + 10 h 12 (D + P) = 45

26

Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge: a Der er en træner flere, end der er ledere. b Der er 10 drenge flere, end der er piger. c Der er 10 gange så mange drenge som piger. d Der er en træner for hver 10 drenge. e Der er en træner for hver 10 medlemmer. f Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne (trænere og ledere).

27

Rigtigt eller forkert? Begrund svaret. a b er altid større end a. b 5c er altid det samme som c + c + c + c + c. c 4v er noget andet end 4·v. d x + 1 er altid større end 1. e x + 1 er altid større end x. f Om man skriver 10 – x eller x – 10, spiller ingen rolle. g Variable er altid noget med hele tal. h I en ligning er der altid mindst én variabel.

28

Skriv på en kortere måde: Man ganger et tal med en brøk ved at gange tallet med tælleren og beholde nævneren.

29

Reducer mest muligt:

2a 2

a

a + 2a + 3a + 4a +5a 5

d

a–1+a+a+1 3

b

a + 2a + 3a + 4a +5a a

e

a–2+a–1+a+a+1+a+2 5

c

a+a+a+a+a 5

f

a–1+a–1+a–1 3

=a fordi 2 · a = 2a

30

Forklar med ord og eksempler, hvad en formel er.

31

Skriv sætningen ved hjælp af bogstavsymboler og en tilhørende tegning: ”Arealet af et trapez kan beregnes ved at tage halvdelen af afstanden mellem de to parallelle sider i trapezet ganget med summen af de to siders længde”.

VARIABLE


32

Nikolaj og Louise får lommepenge. Beløbets størrelse afhænger af, hvor meget de hjælper til derhjemme. Navn

Vaske op

Skraldepose

Lufte hund

Slå græs

Nikolaj

4 kr.

2 kr.

3 kr.

5 kr.

Louise

2 kr.

4 kr.

0 kr.

0 kr.

Dig

v kr.

s kr.

h kr.

g kr.

a Hvor meget får Nikolaj, hvis han går tur med hunden 5 gange, vasker op 2 gange, slår græs 1 gang og går ud med skraldeposen 3 gange? b Hvor meget får Louise, hvis hun vasker op 7 gange og går ud med skraldeposen 4 gange? c Hvor meget får Nikolaj, hvis han udfører alle pligterne n gange? d Opskriv et bogstavudtryk for hvad du får, hvis du vasker op 4 gange og går tur med hunden 2 gange. e Hvor meget får du, hvis du udfører alle pligterne 7 gange?

VAR I AB L E

19


Å er prisen for et årsforbrug i kr.

33

P er apparatets effekt i kilo–watt.

Å=P·T·E a Skriv med ord, hvad formlen udtrykker. b Hvilke bogstaver er variable for dig som forbruger? c Hvad koster det at se 4 timers tv om dagen i et år, når tv’et er på 120 watt og prisen for 1 kWh er 1,40 kr.

T er brugstiden i timer pr. år. E er prisen for 1 kWh. 34

Omkreds: O=π·d

a Tegn figuren, når a = 10 cm, b = 6 cm, og c = 3 cm. b Beregn omkredsen, når b = 6 cm. c Skriv formler med variable til beregning af omkredsen og arealet af figuren.

a 2c

b c c

c

35

Et cementrør har en omkreds på 1,4 m. a Find rørets diameter. b Opskriv en formel med variable, så du altid kan beregne diameteren, hvis du kender omkredsen. c Find et rør i klasselokalet eller derhjemme. Mål omkredsen og beregn diameteren med din formel.

36

Skriv sætningen ved hjælp af symboler og en tilhørende tegning: ”Overfladearealet af en kasse med netop to kvadratiske sider kan beregnes ved at gange højden med bredden 4 gange, og dertil lægge 2 gange bredden ganget med sig selv”.

37

Opskriv følgende udtryk ved hjælp af matematiske symboler og find løsningen: Et tal ganget med sig selv og derefter lagt sammen med det tal, der er tre mindre end tallet, er lige så meget som tallet ganget med summen af to og tallet.

Diameter

20

Hvor meget koster et års tv-forbrug? Prisen for at bruge et elektrisk apparat kan beregnes ved hjælp af følgende formel:

VARIABLE


Lix-tal Lix står for LæsbarhedsIndeX og bruges til at finde en teksts sværhedsgrad. Den kaldes lixtallet og beregnes ved hjælp af en formel med flere forskellige variable. Lixtallet =

a b

+c·

100 a

a: det samlede antal ord i teksten b: det samlede antal sætninger c: det samlede antal ord på over 6 bogstaver

LIX-TAL

SVÆRHEDSGRAD

20–30

meget let

30–40

let

40–50

middelsvær

50–60

svær

60 og over meget svær

C I TA T 1 ”Emil fra Lønneberg hed en dreng, der boede i Lønneberg. Han var en rigtig lille vildbasse og ikke nær så sød som du. Skønt han så nu sød ud, vist gjorde han så. Når han ikke vrælede, altså. Han havde runde blå øjne og et rundt, rødkindet ansigt og hvidt uldhår. Det så alt sammen meget sødt

ud – ja, man kunne godt tro, at Emil var en rigtig engel. Men det skulle man bare ikke bilde sig ind. Fem år var han og stærk som en lille okse, og han boede på gården Katholt i Lønneberg i Småland i Sverige.” Astrid Lindgren: Emil fra Lønneberg

C I TA T 2 ”Denne bog handler for en stor del om hobitterne, og af dens sider vil læseren kunne finde ud af meget om deres karakter og lidt om deres historie. Endnu mere vil man kunne få at vide i det udvalg af Vestmarks Røde Bog, som tidligere er udgivet under titlen The Hobbit. Det, der fortælles i den, er hentet fra de første kapitler i den Røde Bog, som er samlet af selve Bilbo, den første hobbit, der skulle blive kendt vidt omkring i verden og som han selv har kaldt Dertil og tilbage igen, fordi de fortalte om hans rejse mod øst og hans tilbagevenden,

en oplevelse, som senere skulle komme til at indvikle alle hobitter i de af tidens begivenheder, som vi her skal berette om. Imidlertid er der måske mange, som gerne vil have visse forhåndsoplysninger om dette ejendommelige folk, og der er vel også dem, der ikke selv er i besiddelse af den omtalte bog. For sådanne læsere følger her et par kortfattede bemærkninger om de vigtigste træk i kundskaben om hobbitterne, og deres tidligere historie genfortælles i korte træk.” J.R.R. Tolkien: Hobbitten

38

a Beregn lixtallet i citat 1. b Beregn lixtallet i citat 2. c Sammenlign de to lixtal.

39

Find selv artikler fra forskellige aviser og/eller ugeblade. Beregn og sammenlign lixtallene.

VAR I AB L E

21


Talfølger 40

Hvad er summen af alle de hele tal fra 1 til 100?

Det er ikke første gang, denne besværlige opgave er blevet stillet. I 1787 blev opgaven stillet i Tyskland i en klasse med 10-årige elever. Læreren havde givet dem opgaven som straf, og nu håbede han på, at eleverne skulle bruge rigtig lang tid på at lægge de 100 tal sammen. Men Carl Friedrich Gauss kom op til læreren efter mindre end ét minut. Hans besvarelse fyldte kun én linje – og var rigtig! Carl Friedrichs overvejelser var: „Læreren sagde ikke, at jeg skulle lægge sammen 1 + 2 + 3 + ... + 100. Jeg må vel godt lave sumnavne for 101: 1 + 100 = 101 ; 2 + 99 = 101 ; 3 + 98 = 101......” 41

a Hvor mange sumnavne for 101 fandt Carl Friedrich? b Hvad er antallet af sumnavne ganget med 101? c Udfyld en tabel som denne: Tælle til…

Antal sumnavne

Sum

Facit

100

50

101

5.050

10

5

11

55

20 50 200 1.000

22

VARIABLE


42

Beskriv Carl Friedrichs metode, så den kan bruges uanset hvilket tal, der er det sidste i rækken.

43

Vis Carl Friedrichs metode som en formel, hvor det tal, der skal adderes til, kaldes n.

Som voksen blev Carl Friedrich Gauss professor i matematik, og han huskes i dag som en af de største og mest alsidige matematikere nogensinde. Han undersøgte blandt andet, hvordan tal ”hang sammen” i talfølger. TALFØLGER

44

Hvad er summen af de første n lige tal fra 2?

45

Hvad er summen af de første n ulige tal fra 1? L I G E TA L Antal i rækken

U L I G E TA L

Udregning

Sum

Antal i rækken

1

2

2

2

2+4

6

3

2+4+6

12

Udregning

Sum

1

1

1

2

1+3

4

3

1+3+5

9

100

100

n

n

46

Hvad er gennemsnittet af de første n lige tal fra 2?

47

Hvad er gennemsnittet af de første n ulige tal fra 1?

4 -7

U L I G E TA L

L I G E TA L Antal i rækken

Udregning

Gennemsnit

Antal i rækken

Udregning

Gennemsnit

1

2:1

2

1

1:1

1

2

(2 + 4) : 2

3

2

(1 + 3) : 2

2

3

(2 + 4 + 6) : 3

4

3

(1 + 3 + 5) : 3

3

100

100

n

n

VAR I AB L E

23


Variable og regneark VARIABLE I REGNEARK

I dette kapitel har du arbejdet med begreber som pladsholder, variabel og konstant. I regnearket ”Variable i Regneark” kan du undersøge, hvad disse begreber dækker over, når regnearket bruges til beregninger. Et regneark er opdelt i tusindvis af små pladsholdere, som kaldes celler. Hver celle har et navn bestående af et bogstav for kolonnen og et tal for rækken. Fx har den celle, der er markeret herunder, navnet A1. Man kan også sige, at A1 er pladsholder for et eller andet.

Formellinjen

Den aktive celle

Den aktive celles navn

I formellinjen står det, der er indtastet i cellen.

A1 indeholder en konstant med 3 bogstaver s, y og v, som vi opfatter som tallet 7. Men regnearket kender ikke syv som navn for talværdien 7.

A2 indeholder konstanten 7. Ved at placere tegnet til højre i cellen viser regnearket, at indholdet er et tal, som det kan regne med og ikke en tekstkonstant som i A1.

24

48

a Er den aktuelle værdi i celle A3 en konstant eller en variabel? b Hvorfor?

49

I A4 står også 21, men i formellinjen står der =A3, som betyder, at indholdet af A4 skal være lig med indholdet af A3. a Er den aktuelle værdi i celle A4 en konstant eller en variabel? b Hvorfor?

VARIABLE


50

I A5 står også 21; men i formellinjen står der nu =3*7, som betyder at indholdet af A5 skal være produktet af 3 og 7. a Er den aktuelle værdi i A5 en konstant eller en variabel? b Hvorfor?

51

I A6 står igen 21; men i formellinjen står der =3*A2, som betyder, at indholdet af A6 skal være produktet af 3 og indholdet af A2. a Er den aktuelle værdi i celle A6 en konstant eller en variabel? b Hvorfor?

52

I A4 er indtastet formlen =A1+8. Find værdien af A4, hvis du i A1 taster: a 7 b 12 c 68

53

Hvilken værdi skal du indtaste i A1, hvis værdien af A4 skal blive: a 30 b 15 c 6

54

I B4 er indtastet en ”hemmelig” formel. Heri indgår variablen B1 samt 2 konstanter.

B1

B4

7

9

8

11

10

15

20

35

100

195

Når B1 har værdien 7, så har B4 værdien 9

Brug tabellen til at finde den ”hemmelige” formel. 55

Skriv selv en ”hemmelig” formel, og prøv at gætte dine klassekammeraters formler.

56

Hvordan kan du let skrive tabeller i et regneark?

VAR I AB L E

25


Afrunding ■

Hvad er en variabel?

Hvad er en konstant?

Hvorfor bruger man variable?

Hvordan regner man med variable?

Variab e

l

Konstant

Element

gde

Regneark

Mæn

Bogsta

For

mel

Tal Symboludtryk

ver

Ligning

lder

ho Plads


PROCENT ■ Hvad betyder procent? ■ Hvor mange procent af eleverne i din klasse er piger?

Hvor mange procent fedt er der i lakridskonfekt? Er 13% tættest på 1 , 2

1 8

eller

1 10 ?

cent, brøk og decimaltal?

Hvad er sammenhængen mellem pro

Hvad svarer 1% til i et cirkeldiagram?


1

Mia køber en bluse på udsalg og sparer 20%. Prisen før udsalget var 198 kr. a Hvor mange kr. udgør rabatten? b Hvad koster blusen på udsalg?

2

Skolekantinen skal tjene 20% på alt, hvad der sælges. Udfyld resten af regnskabet. Vare

1% svarer til 3,6 grader.

3

4

Protein Fedt Kulhydrat Andet

28

Indkøbspris

Æble

2,00 kr.

Banan

2,50 kr.

Grovbolle

3,00 kr.

Minirugbrød

3,50 kr.

Juice

3,75 kr.

Kakao

4,00 kr.

Chokolade

5,00 kr.

Pølse m. brød

10,00 kr.

Sandwich

12,00 kr

Burger

15,00 kr

Fortjeneste

Salgspris

0,40 kr.

a Hvor mange procent af vægten er protein, kulhydrat, fedt og andet? b Tegn et cirkeldiagram, der viser, hvad 100 g pålægschokolade indeholder.

2,40 kr.

Indhold Protein Fedt Kulhydrat Andet

pr. 100 g 5g 28 g 55 g 12 g

Hvor mange procent af vægten udgør protein, kulhydrat, fedt og andet for hver af de tre fødevarer?

HAVREGRYN

LETMÆLK

TUN I VAND

PROCENT


5

I en klasse er der 10 piger og 15 drenge. a Hvor mange procent af klassen er piger? b Hvor mange procent er drenge? c Hvordan er fordelingen i din klasse?

6

Stjernekiosken solgte i sidste uge 165 kasser cola, 40 kasser appelsinvand og 295 kasser blandede vand. a Hvor mange kasser sodavand har de solgt i alt? b Hvor mange procent af kasserne var cola? c Hvor mange procent af kasserne var appelsinvand? d Hvor mange procent af kasserne var blandede vand?

7

Udfyld tabellen. Brøk

1 100

Decimaltal

5 100

0,02

Procent 2 50

Procent

25 50

0,4 1 5

60% 1 8

100%

1 16

0,25 50% 1 500

75% 10 500

125% 100 500

0,004

500 500

0,500 1%

10%

8

På et konditori koster et stykke lagkage 24 kr. a Hvad koster hele kagen, hvis hvert stykke udgør 18 ? b Hvad koster hele kagen, hvis hvert stykke udgør til 10%?

9

Ved skolens melodigrandprix fik gruppen Me & Be 147 stemmer. Det svarer til 28% af stemmerne. a Hvor mange elever stemte i alt? En anden gruppe, Popsildene, fik 12% af stemmerne. b Hvor mange stemmer svarer det til?

PROCENT

Procent betyder hundrededel eller for hvert hundrede.

0,85

Procent

Decimaltal

50%

10 50

10%

Brøk

Brøk

10%

0,020

Procent

Decimaltal

0,25 3%

Brøk Decimaltal

100 100

29


Procent

Procent betyder hundrededel. 15% betyder derfor 15 100

= 15 ·

1 100

15 100

eller 0,15.

= 15%.

Tænk på procenttegnet som en nem måde at skrive ”gange med

{

p%

Delen

100%

Helheden

          

1 100 ”.

Procentregning

Hvor meget er 15% af 80? x=

Det kan man udregne som 15% · 80 =

15 100

x 80

· 80

= 0,15 · 80

=

15 100

15 100

· 80

x = 0,15 · 80 x = 12

= 12

Hvor meget er 12 i forhold til 80? Det kan man udregne som 12 80

x= 12 80

= 0,15 = 15%

=

x 100

=

15 100

12 80

· 100

x = 0,15 · 100 x = 15

Hvad er 100%, hvis 15% svarer til 12? Det kan man udregne således: Hvis 15% svarer til 12, så svarer 1% til og 100% til

30

12 15

· 100 = 80

12 15 ,

12 x

x=

12 15

· 100

x = 0,80 · 100 x = 80

PROCENT


Øvelser

8-11

Om at aflæse procenter 10

Hvor mange procent af hver figur er farvet? C

D

B

A

E

F

G

Om at omregne mellem brøk, procent og decimaltal 11

Omskriv til procent a b

12

13

14

3 4 3 8

c d

2 5 3 20

e f

1 25 1 3

g

5 6

h 2+

1 4

i

1 3

j

3 15

+5

Omskriv til procent a 0,25

c 0,406

e 0,54

g 0,125

i

0,02

b 0,07

d 0,37

f 0,725

h 0,32

j

1,01

Omskriv til decimaltal a 13%

c 22,1%

e 84%

g 2,01%

i

4%

b 5,6%

d 110%

f 33,3%

h 0,4%

j

400%

Omskriv til brøk a 25%

c 5%

e 11%

g 110%

i

250%

b 20%

d 1%

f 83%

h 12,5%

j

37 12 %

PROCENT

31


12-13

Om at udregne x procent af y 15

16

Hvor meget er: a 50% af 120? b 10% af 50? c 5% af 220?

d 20% af 60? e 75% af 8? f 2% af 12?

Find: a 20% af 10, af 20 og af 200 b 2% af 200, af 20 og af 75 c 14% af 50, af 40 og af 200

g 110% af 15? h 60% af 20? i 12 % af 300?

d 60% af 10, af 20 og af 200 e 110% af 10, af 20 og af 50 f 12 % af 100, af 50 og af 200

Om at udregne hvor mange procent x er i forhold til y 17

Hvilken procentdel udgør a 5 i forhold til 100? b 10 i forhold til 100? c 12 i forhold til 80? d 24 i forhold til 80?

e f g h

12 i forhold til 40? 24 i forhold til 40? 40 i forhold til 24? 60 i forhold til 24?

18

Hvor meget er følgende tal i forhold til 20 og i forhold til 5? (angiv svaret i procent) a 1 c 4 e 10 g 20 b 2 d 5 f 15 h 40

19

Hvor mange procent er en stigning fra a 20 til 25 c 10 til 14 b 36 til 48 d 40 til 45 Hvor mange procent er et fald fra g 25 til 20 i 50 til 48 h 48 til 36 j 80 til 50

e 2 til 6 f 562 til 758,7 k 65 til 52 l 245 til 191,1


Om at udregne 100%, hvis x svarer til y% 20

Hvad er 100%, hvis a 12 svarer til 15% b 12 svarer til 20% c 12 svarer til 50% d 12 svarer til 2% e 12 svarer til 150%

f g h i j

75 svarer til 15% 75 svarer til 20% 75 svarer til 50% 75 svarer til 2% 75 svarer til 150%

Om at regne med procent 21

Hvordan kan noget være mere end 100%, når 100% er det hele?

a 150 svarer til 15% af et tal. Find tallet. b Hvad er 15% af 150? c Hvor meget er 15 i forhold til 150? d 25 svarer til 5% af et tal. Find tallet. e Hvad er 5% af 25? f Hvor meget er 5 i forhold til 25? g 80 svarer til 12,5% af et tal. Find tallet. h Hvad er 12,5% af 80? i Hvor meget er 12,5 i forhold til 80? j 60 svarer til 30% af et tal. Find tallet. k Hvad er 30% af 60? l Hvor meget er 30 i forhold til 60? m 12 svarer til 1% af et tal. Find tallet. n Hvad er 1% af 12? o Hvor meget er 1 i forhold til 12?

Tjek dig selv 22

I denne øvelse skal du foretage forskellige procentberegninger med tallene 6 og 8. Hvor mange procent er: a 6 af 8 g (8 + 6) af 6 b 8 af 6 h (8 + 6) af (8 – 6) c 6 mindre end 8 i 6 af (8 – 6) d 8 større end 6 j 8 af (6 + 8) e (8 – 6) af 6 k (8 – 6) af (8 + 6) f 6 af (6 + 8) l (8 + 6) af 8

PROCENT

33


Opgaver 23

Hvilken brøk er størst? a b c d

ENERGIFORDELING:

f g h

5 12 4 15 15 88 37 84

eller eller eller eller

3 8 1 4 17 90 45 95

En plade mørk chokolade vejer 200 g. Den indeholder mindst 44% kakao. Hvor mange gram kakao er der mindst i hele pladen?

25

Lakridskonfekt indeholder 1.681 kJ pr. 100 g. a Hvor mange kJ kommer fra hhv. kulhydrater, protein og fedt? b Tegn et cirkeldiagram, der viser energifordelingen i lakridskonfekt.

26

I en vare er der i alt 444 kJ pr. 100 g. a Hvor mange kJ kommer fra hhv. kulhydrater, protein og fedt? b Tror du, varen er pålægschokolade, makrel i tomat eller røget svinefilet? c Tegn et cirkeldiagram, der viser energifordelingen i varen.

27

Asger har 5.000 kr. stående på sin konto. Han hæver halvdelen af beløbet. a Hvor meget hæver Asger? Jane hæver 375 kr. på sin bankkonto. Det svarer til 5% af beløbet. b Hvor mange penge havde hun stående på sin konto? c Hvor mange procent havde Asger mindre end Jane, før de hævede nogle af deres penge? d Hvor mange procent har Asger mindre end Jane, efter de har hævet nogle af deres penge?

Kulhydrater: 2% Protein: 79% Fedt: 19%

34

e

24

Kulhydrater: 84% Protein: 2% Fedt: 14%

ENERGIFORDELING:

7 8 9 eller 9 5 5 12 eller 11 2 1 13 eller 7 5 5 7 eller 8

PROCENT


28

Hvor mange procent udgør dette kapitel af hele bogen?

29

Find den mest præcise løsning ved overslagsregning: a 33,3% af 130 er cirka 40 50 b 55% af 475 er cirka 260 360 c 47% af 230 er cirka 75 100 d 23% af 600 er cirka 100 150 e 66,2% af 700 er cirka 260 460 f 125% af 305 er cirka 350 375 g 300% af 57 er cirka 150 160 1 h 2 % af 450 er cirka 2 4

60 460 125 200 660 400 170 8

Måned

jan.

feb.

mar.

apr.

maj

juni

juli

aug.

sep.

okt.

nov.

dec.

Nedbør i mm

45

35

41

40

42

47

63

83

59

68

56

60

30

Dansk Metrologisk Institut (DMI) har opgjort den gennemsnitlige nedbørsmængde pr. måned i Danmark. a Hvor mange procent af årets nedbør falder i august? b I hvilken måned falder der mindst nedbør, og hvor mange procent svarer det til? c Find selv på mindst to spørgsmål ud fra tabellen, som din kammerat skal svare på (regn selv resultatet ud først).

31

Tegn cirkeldiagrammer over antallet af drenge og piger i din klasse, i parallelklassen, på skolen osv.

32

Adam køber et skateboard til 1.280 kr. Han sælger det igen et år efter for 840 kr. a Hvor mange kr. har Adam tabt på den handel? b Hvor mange procent af indkøbsprisen har han tabt?

PROCENT

35


33

Kristian vil købe en cykel for 4.995 kr. Han har ikke pengene, men han kan enten låne dem af sin storesøster, som skal have 10% i rente, når han betaler pengene tilbage, eller hos cykelhandleren. Hos cykelhandleren skal han give 1.500 kr. i udbetaling og derefter betale 350 kr. om måneden i 12 måneder. Hvilket lånetilbud er det billigste?

34

Alle lønmodtagere får 12,5% af deres løn i feriepenge. Hvor meget skal følgende personer have i feriepenge? a Lise, der er sekretær, har en årsløn på 253.000 kr. b Helle, der er lærer, har en årsløn på 297.450 kr. c Bo, der er tømrer, har en årsløn på 326.950 kr. d Ida, der er kassedame, har en årsløn på 165.464 kr.

35

Hassan betaler 42% i skat af sin B-indkomst. Hvis han betaler 5.313 kr. i skat, hvad er så hans B-indkomst?

36

Er det sandt, hvad der står i annoncen?

Spar en prisen p tredjedel af å havem øbler. BORD M ED 4 STOLE: Før 5.99 5 kr. Nu 4.19 5 kr.

36

PROCENT


37

Prisen på et fjernsyn er nedsat fra 5.995 kr. til 3.995 kr. a Hvor mange procent udgør rabatten? Senere sættes det op til 5.995 kr. igen. b Hvor mange procent stiger prisen? c Hvorfor er det ikke det samme procenttal?

38

Find priser, der passer til skiltene.

el af Spar op til en fjerded ven! ha prisen på planter til R O S ER FØ R 5 9 ,9 5 K R . NU 39

DER STAU kr. 9 Før 12 Nu

BAMBUS Før 199 kr. Nu

ÆBLE

TRÆ

Før 225 kr. Nu

I et supermarked får medlemmerne ved årets udgang tilbagebetalt en procentdel af det beløb, de har handlet for. Det kaldes bonus. Bonusbeløb på under 50 kr. udbetales ikke. a Hvor meget får man tilbage, hvis man som medlem har købt varer for 2.500 kr., og bonus er 3%? b Hvor meget skal et medlem mindst have købt for, før der udbetales bonus? c Skriv en formel, der viser sammenhængen mellem det beløb, der er handlet for, bonus-procenten og bonusbeløbet.

PROCENT

37


38

40

Fabrik A sælger sko til en butikskæde med en fortjeneste på 10% af produktionsprisen. a Hvad kommer et par sko til at koste, hvis produktionsprisen er 250 kr.? Fabrik B sælger sko for 300 kr. parret til butikskæden. b Hvor mange procents fortjeneste har denne fabrik, hvis produktionsprisen er 250 kr.? c Hvor mange procent af fortjenesten mister hver af fabrikkerne, hvis butikskæden får en rabat på 10 kr. på hvert par sko? d Skriv en formel, som viser sammenhængen mellem produktionsprisen, salgsprisen og den procentdel, der gives i rabat.

41

Ved jordoverfladen består tør luft af 78,09% nitrogen, 20,95% oxygen (ilt), 0,93% argon og 0,03% kuldioxid. a Hvor mange liter ilt er der i et værelse, hvis rumfang er 15 m3? b Hvor meget ilt er der i jeres klasselokale?

42

Jens får 5.000 kr. til sin konfirmation. Han sætter pengene i banken. Banken giver 3% i rente hvert år. a Hvor meget får han i rente Efter 1. år 2. år 3. år efter 1. år? Beløb 5.000 5.000 5.150 b Hvor meget vil han ca. kunRente 0 150 154,5 ne hæve efter 2. år, efter 3. Nyt beløb 5.000 5.150 5.304,5 år, efter 5. år og efter 10. år?

PROCENT

4. år


Promille Promille betyder tusindedel på latin (mille betyder tusind). Tegnet for promille er ‰. 43

44

45

Skriv som decimaltal: a 1‰ c 10‰ b 5‰ d 90‰

e 214‰ f 1.000‰

g 0,4‰ h 0,03‰

Hvilket tal er størst? a 1% eller 1‰

e 0,9‰ eller 9%

b 10‰ eller 0,1%

f 400‰ eller 41%

c 5% eller 60‰

g 2‰ eller 12 %

d 0,7% eller 7‰

h 25‰ eller 12 %

Lis blev taget for promillekørsel en lørdag aften. Politiet målte, at alkoholindholdet i hendes blod var 0,7‰. Et menneske har ca. 5 liter blod i kroppen. Hvor mange ml alkohol havde Lis i kroppen? Man kan selv beregne sin alkoholpromille nogenlunde efter følgende formel: Spirituspromille =

14

a·b c·d

a = antal genstande b = alkoholmængden pr. genstand (ca. 12 g) c = personens vægt d = kroppens vandprocent. For kvinder er den 55 for mænd er den 68

46

En almindelig øl svarer til en genstand. a Forklar hvorfor formlen ser ud, som den gør. b Udregn alkoholpromillen for en mand, der vejer 85 kg og lige har drukket to øl. c Udregn alkoholpromillen for en kvinde, der vejer 65 kg og lige har drukket tre øl.

PROCENT

39


Musik

TEMA

Musik spilles ofte efter noder. Noderne er musikkens alfabet, der ligesom matematikken er opbygget efter særlige logiske regler. En nodes placering i forhold til de fem nodelinjer angiver, hvilken tone der skal spilles. Den enkelte nodes udseende har betydning for hvor lang tonen er. Noders længde kan beskrives som brøker. De forskellige nodeværdier: 1/1 (Helnode)

Kun hoved uden hals.

1/2 (Halvnode)

Med hals og mindre hoved.

1/4 (4-dele)

Endnu mindre sort hoved.

1/8 (8-dele)

Med bjælke foroven

1/16 (16-dele)

Med dobbelt-bjælke.

En prik efter en node betyder, at noden skal forlænges med halvdelen af dens egen værdi. Fx betyder

1/4 node + 1/8 node = 3/8 node

Der findes også tegn for de tilsvarende pauser: Helnode: Halvnode: 4-del: 8-del: 16-del: Musikstykker er opdelt i takter ved hjælp af lodrette linjer. Hver takt indeholder et antal slag, som angives med en brøk. Brøken kaldes også en taktart. Nedenfor ses fire kendte taktarter og deres nodeværdier: March:

Vals:

Rock:

Gadedrengeløb:

1/8 1/8 1/8 1/8 1/4

3/8

1/8 1/4

1/4

1/4

1/8 1/8 1/8 1/8 1/4

      

1/4

1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/4 = 8/8 = 4/4

40

PROCENT


47

48

Angiv nodeværdierne herunder og undersøg, om de stemmer med taktarten. A

D

B

E

C

F

Nedenfor er vist brudstykker fra tre danske viser. Taktstregerne mangler. Indsæt dem, så nodeværdierne passer med taktarten.

15

STOP DEN LILLE KÆNGURU

SÅ TÆNDER VI ET LYS I KVÆLD

KOM, MAJ DU SØDE MILDE

49

Takterne nedenfor stemmer ikke. Indsæt noder og pauser, så takterne passer med taktarten. A

D

B

E

C

F

PROCENT

41


Afrunding ■

Hvad betyder procent?

Hvordan kan du finde en procentdel af et tal?

Hvordan kan du regne et forhold mellem to tal ud i procent?

Hvordan kan du finde helheden, hvis du kender delen?

ed h l He

edel Hundred nt Proce

Brøk I fo rho ld t il

Cirkeldia gram

ing Stign Rente

Decim altal

Del

le Promil

Fald


LIGNINGER

■ Hvordan får man skabt balance i skålvægten? ■ Hvis der er to bøger på den ene vægtskål, hvad skal der så være på den anden, for at der er ligevægt?

Kan en ligning have mere end en løsning? Hvad er en ubekendt?

Er formbrød omformet?


043_062

05/07/05

14:08

Hvis to figurer i en opgave er ens, skal der stå det samme tal i figurerne.

Side 44

1

Hvad skal der stå i den tomme figur for at udsagnet bliver sandt? a b 7– c d 3· e f 54 :

+4=7 =5

g

: 14 = 5

h 72 :

=8

+ 2 = 10

i

·

= 27

j

– 34 = –21

:6=7

k

+

= 16

l

·

= 81

=9

=4

2

Reducer følgende udtryk: a 2 æg + 3 æg + 4 høns + 1 æg + 1 høne b 4 æbler + 3 pærer + 2 æbler + 10 pærer – 5 æbler c 10 fluer – 2 myg – 8 fluer + 4 myg + 3 myg – 1 flue d 2x + 3x + 4y + x + y e 4b + 3a + 2b + 10a – 5b f 8x – 2y – 10x + 4y + 3y – x

3

Hvilke udtryk gælder altid? a en bil = en jaguar b to plus to = 4 c godt vejr = regnvejr d x+2=4 e en elefant og to myg = to myg og en elefant f y·y=9 g 2 æbler og 1 æble = 3 æbler h 50 g minus 20 g = 30 g


4

Forklar hvad der sker med hver ligning fra linje til linje.

c x=–1 3

1 2

a x= 2x = 1 2x – 4 = –3 x 2x – 4 + x = –3 +

d 6x + 5 = 2x + 13 6x+ 5 – 5 = 2x + 13 – 5 6x = 2x + 8

6x – 2x = 2x + 8 – 2x 4x = 8 4x 4

=

8 4

x=2

3x = –1

b x = –5 1 5 2x = –2 1 5 2x + 3 = –2 + 3 1 1 2x + 3 = 2 1 1 2 x + 3 + 2x = 2 + 1 2 2 x + 3 = 21 + 2x

3x + 2 = – 3x + 2 = 1 3x + 2 + 3 21 x

2x

1+2

1 2x

= 1 + 1x 2 + 2= 1 + 1 x 2

= 11x – 38 e –2x + 14 + 38 8 = 11x – 38 –2x + 14 + 3 1x –2x + 52 = 1 x = 11x + 2x –2x + 52 + 2 f 3x + 10 = 45 52 = 13x – 2x x 13 52 = 3x + 10 – 10 = 45 – 13 13 2x – 10 3x = 35 – 2x 4=x 3x + 2x = 35 – 2x + 2x 5x = 35 5x 5

=

35 5

x=7

5

Marianne har 2 små søskende. Hun er 2 år ældre end den næstældste og 4 år ældre end den yngste. Tilsammen er de 3 søskende 24 år. Hvor gammel er Marianne?

6

Løs ligningerne: a 22x – 22 = 11 + 11x b 6 – 10x = 2 – 2x c 13x + 5 = 8x – 15

LIGNINGER

d 7x + 4 – 2x = 3x + 10 e 26x – 6 – 14x = 2x + 14 f 2x + 4 – 6x + 2 = 4x + 7 – 9

45


Hvad er en ligning? En ligning består af to talstørrelser på hver sin side af et lighedstegn. Lighedstegnet er en påstand om, at de to talstørrelser er lige store.

Man kan tænke på en ligning som en vægt. Påstanden om lighed svarer så til, at de to vægtskåle er i balance. De to talstørrelser på hver side af lighedstegnet svarer til lodderne i hver af de to vægtskåle. Hvad er en løsning til en ligning? En løsning til en ligning er et tal, der kan sættes ind på den eller de ubekendtes plads, så påstanden, om at de to talstørrelser er lige store, er sand.

Løsninger kan findes på flere måder: Man kan gætte Løs ligningen x + 2 = 5 Her kan du gætte eller tænke dig til, at hvis x = 3, så er de to talstørrelser lige store, nemlig 5. Man kan prøve sig frem

A: Jeg prøver med x = 4. B: Så står der 16 = 12. Det blev for meget på den side, hvor der er flest x’er. Prøv med et mindre tal.

46

A: Så prøver jeg med 1. B: Nu står der 7 = 9. 1 er for lidt. Prøv med et tal mellem 1 og 4.

A: Så prøver jeg med 2. Det giver 10 = 10. B: Det lykkedes! Der står det samme på begge sider. x = 2 giver et sandt udsagn.

LIGNINGER


Man kan omforme ligningen

Omformning af ligninger kan gøre det nemmere at se, hvad løsningen er. Hvis vi vil omforme en ligning, er det vigtigt at den omformes lovligt. Ved en lovlig omformning af en ligning ændres løsningen ikke.

x + 10 = 2x – 3 x – x + 10 = 2x – x – 3 10 = x – 3 10 + 3 = x – 3 + 3 13 = x 16x + 5 – 4x = 229 – 2x 16x + 5 – 5 – 4x = 229 – 5 – 2x 12x = 224 – 2x 12x + 2x = 224 –2x + 2x 14x = 224 14x 224 14 = 14 x = 16

r er Puha! De . ed m brøker Dem reg ner vi da bare med. Først læ gger vi 1 4x til på be gge side r. 1 2x

LIGNINGER

3 4

Der trækkes 5 fra på begge sider Der reduceres på begge sider Der lægges 2x til på begge sider Der reduceres på begge sider Der divideres med 14 på begge sider Det ses, at løsningen er 16

os Lad til på e r, så g 2 læg ge side lene beg står a e ne x’er venstr e. på sid

d gange me Så kan vi r. e d si e 4 på begg

+ 41 x

det giver

Der trækkes x fra på begge sider Der reduceres på begge sider Der lægges 3 til på begge sider Det ses, at løsningen er 13

x.

Nu må vi dele med 3 på begge sider.

Så er løsningen altså 8.

47


Øvelser 16-17

Om hvilke udtryk, der angiver en ligning 7

Hvilke af udtrykkene A–G er ligninger? A

x+2=4

D

En vintergæk = en blomst

B

A=h·

g 2

C

b<a a

b

h g

E

Rumfang = l · b · h

F

A=y·y y

h l

b

y

G

Om at gætte, prøve sig frem og kontrollere 8

48

Indsæt tal i stedet for x i ligningen og kontroller: a 2x = 8 Er løsningen 1, 2, 3 eller 4 b 3x –2 = 13 Er løsningen 4, 5, 6 eller 7 c –2x = 14 Er løsningen 3, 7, –3 eller –7 d 10 – x = 2x – 2 Er løsningen 0, 2, 4 eller 6 e 2 – 3x = 22 + x Er løsningen 5, –1, 1 eller -5 x f 2 = 13,5 – x Er løsningen 12 , 3, 9 eller –2 g 2x + 3 = 13 h 3x + 4 = 16 i 5x – 6 = 14 j 7 + 4x = –5 k 3x + 12 = 36 l 21 + 2x = 7

LIGNINGER


9

Hvilke ligninger og løsninger hører sammen?

a b c d e f g h i j

Ligninger

Løsninger

2x = 8 2x + 1 = 7 1 2x = 4 –2x = 6 x–3=5 1 3x = 2 x + 3 = 4 – 2x 4x – 1 = – x + 9 –5 = x – 7 –x = 10 + 4x

A B C D E F G H I J

18

8 –3 2 6 4 1 3

1 3

Når vi nu har matematik – hvorfor bliver du så ved med at tale om formning?

1 2

–2

Om at løse ligninger ved omformning 10

11

12

13

Løs ligningerne: a x + 23 = 48 b 13 + x = 39 c 120 + x = 14 d x + 17 = 15

e f g h

2+x=0 10 + x = 20 10 + x = –20 x+4=4

Løs ligningerne: a x – 23 = 48 b –13 + x = 39 c –120 + x = 14 d x – 17 = 15

e f g h

–2 + x = 0 –10 + x = 20 –10 + x = –20 x–4=4

Løs ligningerne: a 2x = 4

e 25 = 2,5x

b 3x = 12

f 2,5x = 50

c 15 = 3x

g 3x = 5

d 69 = 3x

h

3 2x

=6

Løs ligningerne: a

1 2x

=2

b –4 = 0,5x c d

1 3x = 9 – 13 x = –1

LIGNINGER

e 4 = 0,25x f g

1 8x 1 9x

=2 =2

h 100 =

1 10 x

49


14

15

Løs ligningerne: a y–2=7

e 100y + 25 = 50

b 15 + 2z = 21

f 20 – z = 10

c 32 = 3y –1

g

d 4z + 8 = –8

h

3 2y 1 2z

+ 4 = 10 – 4 = 12

Løs ligningerne: a

3 4x

–8=4

e 1,2 + 6x = –0,6

b 6 – 13 z = 3

f

c 0,4 + 2x = 1,6

g –0,8 + 0,2x = 0,2

d 5=3

+ 15

y

2 5z

–5=3

h 0,8 – 0,2x = – 0,2

Op med humøre t! Jeg er li ge i stø d et til at om forme.

i form igtig r e k k i dag. Jeg er ger i n i n g i til l

19

16

Løs ligningerne: a 2x – 3 – x = 4x – 12

g 2,5x + 2 = 3 + 2x

b 8 – x + 2x = 6 – 3x + 6

h x+4=2–x

c 14x – 4 – 6x = 6 + x + 2 – x

i

5x – 6 = x – 8

j

20x – 19 = 20 + 10x

d

1 2x

e 3x

+ 2 – 32 x = 1,5x – 6 – 2 + 12 x + x = 21 – 2

f 3x + 4 = 5 + x

50

+x

k 12x + 5 = 3 + 4x l

5 4x

+ 7 = 13 + x

LIGNINGER


Opgaver 17

Hvad er der gået galt i disse omformninger? a 4x = 24 b 3x + 3 = 12 c 6x – 2 = 2x + 2 5x = 25 3x = 15 8x – 2 = 2 x=5 x =5 8x = 4 x = 12

18

Ligningerne nedenfor er løst af elever i 7. klasse. a Hvilke ligninger er løst rigtigt? b Hvilke ligninger er løst forkert? Forklar hvor og hvorfor det er gået galt.

20

AANNEE

BBOO

CCEECCI LI LI EI E

RTEE DDOORT

EESSBBEENN

IK FFRREEDDEERRI K

GGUUNNI LI LLLAA

ID HHAAMMI D

I NGGEE IN

J JOONNAASS

KKAASSPPEERR

I NEEAA LLI N

L LI IGGNNI INNGGEERR

51 51


Jeg ved, at man må lægge det samme tal til på begge sider

19

a Løs ligningen 2x – 4 = 12 b Bekriv med ord, hvad du gjorde på hver side af lighedstegnet for at løse ligningen. c Skriv selv en ligning og løs den. d Lad en kammerat løse ligningen og sammenlign jeres løsninger og måder at nå løsningen på. e Havde I løst ligningen på samme måde?

20

Formuler nogle regler for omformning af en ligning, som ikke ændrer på løsningsmængden.

21

Løs ligningerne: a

1 5x

+x–8=x–5

b 5x + 3 + 54 x = 4 + 3x + 14 x c 2x + 4 – 14 x = –3 – 14 x d 2x + 12 x – 2 = – 14 x + 2 – 14 x e 3,2x – 28 + 1,4x = 0,2x + 2 + 0,4x f 3 + 7,2x – 1,1 = 1,2x – 4,1 + x

l

A = areal

21

22

a Hvad er arealet af et rektangel med længden 7 cm og bredden 4 cm? b Hvad er arealet af et rektangel med længden l cm og bredden b cm? c Opstil en ligning, der beskriver sammenhængen mellem areal (A), længde (l) og bredde (b).

23

a Hvad er længden af et rektangel med arealet 27 cm2 og bredden 3 cm? b Opstil en ligning, så du kan finde (l), hvis du kender (A) og (b). c Omform ligningen, så du kan finde (b), hvis du kender (A) og (l).

24

a Hvad er højden i en trekant, hvis arealet af trekanten er 24 cm2 og grundlinjen er 6 cm? b Hvad er grundlinjen i en trekant, hvis arealet af trekanten er 36 cm2 og højden er 9 cm? c Opstil 3 ligninger for beregninger i en trekant (1) hvor arealet er den ubekendte. (2) hvor grundlinjen er den ubekendte. h (3) hvor højden er den ubekendte.

b

g

52

LIGNINGER


25

Familien Hansen vil anlægge en cirkelformet terrasse på græsplænen. Græsplænen er rektangulær og har målene 9,5 m·10,6 m. Terrassen må højst udgøre halvdelen af græsplænens areal. Find den største diameter terrassen kan have.

26

a Fru Olsen kører 45 km fra København til Helsingør. Gennemsnitsfarten er 60 km/t. Hvor lang tid tager turen? b Opstil en ligning, der viser hvor lang tid (t), Fru Olsen har kørt efter x antal km med en gennemsnitsfart på 60 km/t.

27

a Peter tænker på et tal, som vi kalder x. Han ganger tallet med 7 og trækker 4 fra. Resultatet bliver 59. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal, Peter tænker på. b Lise tænker på et tal, som vi kalder y. Hun lægger 2 til tallet og ganger det hele med 4. Resultatet bliver 64. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Lise tænker på. c Birgitte tænker på et tal, som vi kalder z. Hun deler tallet med 3 og lægger 15 til. Resultatet bliver 27. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Birgitte tænker på.

28

Fordel 225 kr. mellem Martin og Julie sådan at a Martin får 65 kr. mere end Julie. b Martin får 85 kr. mindre end Julie.

29

Hos familien Nielsen drikker børnene Kaj og Ida mælk. Kaj drikker 1 liter på 2 dage, Ida drikker 1 liter på 3 dage. Hvor længe vil 15 liter mælk vare hos familien Nielsen?

LIGNINGER

Opstil en ligning, der viser hvor meget de drikker pr. dag.

53


Du skal bruge ligningen:

BMI =

v h2

hvor v er din vægt, og h2 er højden i meter ganget med sig selv.

54

30

Lars, Hans og Benjamin er topscorere på håndboldklubbens drengehold. Lars har scoret 4 mål flere end Hans, og han har scoret dobbelt så mange mål som Benjamin. Tilsammen har de 3 drenge scoret 63 % af holdets mål. Hvor mange mål har hver af drengene scoret, når deres hold har scoret 200 mål i alt?

31

BMI, en forkortelse for bodymassindex, er en måde at udregne normalvægten på. BMI bør for normalvægtige ligge mellem 18,5 og 24,9. a Beregn BMI for Mette der er 1,60 m høj og som vejer 53 kg. b Beregn BMI for Jens der er 1,75 m høj og som vejer 79 kg. c Beregn BMI for dig selv. d Kirstine har BMI tallet 23,2. Hun er 1,73 m høj. Hvad vejer hun? e Peter har BMI tallet 23,2. Han er 1,52 m høj. Hvad vejer han? f Charlotte har BMI tallet 25,2. Hun vejer 68 kg, hvor høj er hun?

LIGNINGER


Uligheder En ulighed består af to talstørrelser på hver sin side af et ulighedstegn. Ulighedstegnet er en påstand om, at den ene talstørrelse er større end den anden. 32

Find det mindste hele tal t, der passer i uligheden. a 2t > 4 e 2t > 49 b 3t > 12 f t – 1 > 10 c 12 t > 4 g t+2>8 d 5t > 11 h 2t + 5 > 5

33

Find det største hele tal t, der passer i uligheden. a 3t < 16 e 12 t < 3 b 5t < 21 f t + 2 < 10 c 4t < 35 g t–2<9 d 8t < 57 h 3t – 5 > 12

Ulighedstegn: > større end. ≥ større end eller lig med. < mindre end. ≤ mindre end eller lig med.

En løsning til en ulighed er den mængde af tal, der kan sættes ind på den ubekendtes plads, så påstanden om, at den ene talstørrelse er større end den anden, er sand.

Løsningen kan angives på en tallinje. Løsningsmængden til x > 2 angivet på tallinje: –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Løsningsmængden til x ≤ 5 angivet på tallinje: –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Løsningsmængden til x < 16 angivet på tallinje: 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 34

Løs ulighederne, skriv løsningsmængden og indtegn den på en tallinje. a x+2>4 d 3y < 27 – 6y g 3x + 18 ≤ 2 – x b x–2<4 e 5x + 4 < 24 h 12 y > 6 – y c 6y ≥ 72 f 8x – 4,6 < 3,4 i 8 < 6x – 4

LIGNINGER

x>2 2 3 4 x kan ikke antage værdien 2 ≤5 x≤ 4 5 6 x kan antage værdien 5 x < 16 14 15 16 x kan ikke antage værdien 16

22

55


En ulighed kan løses som en ligning. x + 4 < 10 – 2x 3x + 4 < 10 3x < 6 x<2

læg 2x til på begge sider træk 4 fra på begge sider divider med 3 på begge sider løsningsmængden er alle tal mindre end 2

Den eneste forskel er, at ulighedstegnet skal vendes, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. 2x – 4 > 6 + 4x læg 4 til på begge sider 2x > 10 + 4x træk 4x fra på begge sider –2x > 10 divider med –2 på begge sider og vend ulighedstegnet x < –5 løsningsmængden er alle tal mindre end –5

Kontroller om et eller flere af tallene fra løsningsmængden passer i den oprindelige ulighed. 35

Simone kan ikke købe halve pensler, så der må rundes ned til det nærmeste heltal.

36

Løs ulighederne. a 3x + 2 < 5x – 12 b 22 – 4x + 12 > 8x + 10 c 12 x + 3 – x < 2(x + 4)

d 1 + 5x + 12 (x+2) > 12x – 24 e 2(3x – 5) > 2(x + 3) f 4(3x + 1) < 2(4x + 8)

Simone er meget glad for at male. Hun trænger til nye farver og pensler og overvejer, hvor meget hun har råd til. a Hvor mange pastelfarver kan Simone købe, hvis hun højst vil bruge 125 kr. på dem?

Simone vælger at købe 2 træpensler, 1 plastikpensel og 5 pastelfarver. b Hvor mange akrylfarver kan hun købe, hvis hun har 500 kr. at købe ind for i alt? c Hvor mange penge får hun tilovers?

56

LIGNINGER


37

Simon og Kasper er blevet lækkersultne. 100 g bland selv slik koster 12,50 kr. a Kasper køber 396 g slik. Hvad koster det? b Hvor mange gram slik kan Simon højst få, hvis han har 40 kr.? c Opstil en ulighed der viser, hvad Simon skal betale for x g slik.

38

a Hvor stor skal højden være i en trekant, hvis grundlinjen er 10 cm, og arealet mindst skal være 20 cm2? b Hvilken af følgende 3 uligheder kan løse opgave a? 1 h · g · 2 ≥ 20 2 h · 10 ·

1 2

≤ 20

3 h · 10 ·

1 2

≥ 20

c Hvor stor skal grundlinjen være i en trekant, hvis højden er 4 cm, og arealet skal være mindre eller lig med 16 cm2? d Opstil en ulighed, der viser opgave c. 39

Mette køber nye tallerkner. De koster 54 kr. stk. a Hvor mange tallerkner kan hun købe, hvis de højst må koste 400 kr.? Mette køber også nyt bestik. Hun køber 8 skeer til 30 kr. pr. stk., 6 gafler til 28 kr. pr. stk. og nogle knive til 32 kr. pr. stk. b Hvor mange knive kan hun købe, hvis hun i alt har 600 kr. til bestik? c Hvad koster det at købe en tallerken og bestik til 1 person? d Hvis hun vil købe tallerkner og bestik samlet til x antal personer, hvor mange personer kan Mette så købe til for 1.500 kr.?

LIGNINGER

57


TEMA

Udsalgspriser 40

Normalprisen (n) for et digitalkamera er 1.920 kr. Det sælges under et udsalg med 15% rabat. Hvilke af nedenstående ligninger kan bruges til at beregne rabatten (r) med? a n · 0,15 = r d 15n = r ·100 b n · 15 = r e n · (100 – 0,15) = r 15 c n · 100 = r

41

El-biksen holder udsalg på hårde hvidevarer. Sarah sparer 180 kr. på en hårtørrer. Den koster nu 270 kr. a Hvad kostede hårtørreren før? b Hvor mange procent har Sarah fået i rabat? Lennart sparer 305 kr. på en kaffemaskine til sin mor. Han får den samme rabatprocent som Sarah. c Hvad kostede kaffemaskinen før og hvad koster den nu? Jean køber en barbermaskine, der er nedsat med 40%. Før-prisen var 399 kr. d Hvad er nu-prisen på barbermaskinen? e Opstil en ligning som du kan bruge til at finde nu-prisen. f Opstil en ligning som kan bruges til at finde besparelsen i kr. g Udfyld et skema som det viste.

VARE

FØR-PRIS

vaskemaskine

6.099 kr.

tørretumbler

3.495 kr.

opvaskemaskine køle-fryseskab

7.199 kr.

køleskab mikroovn komfur kaffemaskine el-kedel el-tandbørste støvsuger

42

58

NU-PRIS

BESPARELSE

35% 20% 35%

6.599 kr.

40% 25%

2.799 kr.

20%

1.999 kr.

40%

6.499 kr.

5%

229 kr. 499 kr. 999 kr.

BESPARELSE I %

449,10 kr.

49,90 kr.

849,15 kr. 1.424,25 kr.

474,75 kr.

En seng koster normalt 2.999 kr. På udsalg koster den 2.249,25 kr. a Hvad er besparelsen i kr.? b Hvad svarer det til i procent?

LIGNINGER


c Hvor mange procent sparer man på de andre møbler? d Opstil en ligning, som du kan bruge til at finde den procentvise besparelse fra normalprisen (n) til udsalgsprisen (u). SKRIVEBORDSSTOL Normalpris 2.595 kr. Udsalgspris 1.595 kr.

REOL Normalpris 1.175 kr. Udsalgspris 875 kr.

K Norma OMMODE Udsalg lpris 1.099 k spris 6 r. 99 kr.

SKRIVEBORD Normalpris 625 kr. Udsalgspris 450 kr.

LÆNESTOL Normalpris 1.995 kr. Udsalgspris 1.495 kr.

43

Ida får et gavekort på 3.000 kr. til møbelbutikken i 18 års fødselsdagsgave. a Hvilke møbler har Ida råd til, hvis hun køber sengen? b Hvilke af ligningerne passer til Idas problem? A x + 2.999 = 3.000 B 2.249,25 + x = 3.000 C x = 3.000 – 2.249,25 c Hvis hun i stedet vælger at købe lænestolen på udsalg, hvilke andre møbler har hun så råd til at købe? d Opstil en ligning, der viser, hvor mange penge Ida har tilbage, hvis hun køber lænestolen på udsalg.

44

I møbelbutikken sælger de også puder, lamper, lysestager og nips-ting.

TÆPPE 179 kr.

VASE 47 kr.

SPEJL 239 kr.

PUDE 75 kr.

GULVLAMPE 499 kr.

a b c d e

Hvad tror du, at t er en forkortelse for i denne opgave? Hvor meget er 3 · t? Hvor meget er p + g + s? Hvor mange vaser kan Marie købe for 200 kr.? Hvor mange tæpper og puder kan Marie få for 1.000 kr., hvis hun køber lige mange af hver? f Opstil en ligning, der viser Maries indkøb af puder og tæpper for 1.000 kr.

LIGNINGER

59


Lejrskole på Bornholm

TEMA

7.a skal på lejrskole til Bornholm. Skolen får frirejse til Rønne, men klassen skal selv afholde de øvrige udgifter. Til det får de 1.800 kr. pr. elev af skolen. Eleverne går i gang med at lægge et budget. Der deltager 22 elever og 2 lærere i lejrskolen.

60

45

Busturen fra Rønne til Sandvig, hvor klassen skal have 4 overnatninger, koster 55 kr. pr. person tur/retur. På kolonien i Sandvig koster det 250 kr. pr. elev pr. overnatning i 4 sengs værelser og 340 kr. pr. lærer pr. overnatning i enkeltværelse. Beregn udgifterne for transport og overnatning.

46

Klassen skal selv lave mad og vil købe billigt ind til frokost, aftensmad og morgenmad. De regner med, at hver deltager spiser for 20 kr. pr. måltid. a Hvad koster det for de 22 elever og 2 lærere at spise de 3 måltider i 5 dage? I budgettet afsætter de 7.500 kr. til mad. b Opstil en ligning, der viser, hvor meget hver deltager kan spise for. c Hvor meget kan hver deltager spise for, hvis der kommer 6 nye elever i klassen? d Opstil en ligning, der viser, hvor meget x antal personer har at spise for, når budgettet er 7.500 kr.

LIGNINGER


47

7.a vil leje cykler på Bornholm i to dage. De afsætter 2.000 kr. i budgettet til leje af cykler og får to tilbud på leje af cykler: Cykelhandler Hjul udlejer cykler for 40 kr. pr. døgn. Cykelhandler Dæksen udlejer cykler for 45 kr. pr. døgn, men lærernes cykler er gratis. a Hvilket tilbud er billigst for 7.a? b Opstil en ligning, der viser hvor mange cykler, der kan lejes for de 2.000 kr. hos Hjul. c Hvor mange elever kan leje cykler hos Dæksen?

48

Klassen skal på tur til Hammershus. En vejleder fra skoletjenesten viser rundt på ruinen, og det koster 40 kr. pr. elev. a Opstil en ligning, der viser, hvad en rundvisning på Hammershus koster for x elever. b Hvad ville det koste for din klasse?

49

Skolen indbetaler 1.800 kr. for hver af klassens 22 elever til lejrskolen. a Hvor mange penge betaler skolen? b Hvor stort er overskuddet i 7.a’s budget?

50

Angiv indtægter og udgifter til klasseturen i et regneark eller et budgetskema. a Prøv at ændre prisen for mad til 75 kr. pr. person pr. dag og se, hvad overskuddet så bliver. b Prøv derefter at lade skolen indbetale 100 kr. mindre pr. elev og se, hvad der så sker med budgettet. c Foretag selv andre ændringer i budgettet.

LIGNINGER

23

LEJRSKOLE

61


Afrunding ■

Hvad er en ligning?

Hvad vil det sige at omforme en ligning?

Hvordan kan du løse en ligning?

t Ligevæg

Løsningsmængde

ning m r o f Om Gange Lighedstegn

ollere r t n o k e og t t æ G

Ubekend t 62

Lægg e til

Balance Træ kke fra

Divide re

Løsning

el b a ri Va LIGNINGER


RUMFANGSBEREGNING ■ Hvor meget sand er der på en beachvolley bane? ■ Hvis rumfanget af bolden er 4,5 dm3 hvor stor er diameteren af bolden så? Hvad er ligheden mellem en cylinder og en kasse? Hvad er rumfanget af en

appelsin?

Hvor mange 112 liter sodavand kan der være i et badekar?

24 m

11 m

9m

15 m

18 m


1

Beregn arealet af figurerne. C

A

4,5 cm

4 cm

3 cm 7 cm

7 cm

B

2

Find x-værdierne. A

B

8 cm

Areal 56 cm2

x cm

Areal 35 cm2 7 cm

x cm D C

Omkreds 36 cm

x cm

7 cm

Areal 42 cm2

x cm

x cm

F E

x cm

3 1

64

Areal 64 cm2 x cm

a Hvad er rumfanget af en centicube? b Hvad er rumfanget af figur 1 ? Skriv et regneudtryk. c Hvad er rumfanget af figur 2 ? Skriv et regneudtryk. d Hvilken faktor ændrer sig i de to regneudtryk?

2

RUMFANGSBEREGNING

x cm

4 cm

Omkreds 48 cm


D

3 cm

4 cm

2

2 cm

m

6 cm

8c

cm

5 cm

8 cm

C

4 cm

8

B

cm

A

4 cm

3 cm

6

g 20 dm3 h 1000 cl i 25.000 mm3

Beregn rumfanget af former med mål som vist.

11

5

Hvor meget vand bærer manden? a 3l d 20.000 ml b 150 l e 1 m3 c 1.000 ml f 200 dl

cm

4

En cylinderformet rulle indeholder 16 pastiller. Diameteren er 1,9 cm, og længden er 7,3 cm. a Hvad er arealet af rullens bund? b Hvad er rumfanget af en pastil? v = π · r 2· h

7

På en lakridsfabrik pakkes konfektæsker i kasser. Konfektæskerne er kasseformede, fylder hver 864 cm3 og måler 8 cm · 6 cm i bunden. De kasser, æskerne pakkes i, er 55 cm høje, 65 cm lange og 37 cm brede. a Hvor høj er en konfektæske? b Hvor mange konfektæsker kan der være i hver kasse?

RUMFANGSBEREGNING

h r

65


Definitionen på rumfang

Rumfang er et mål for størrelsen af en rumlig form. Man kalder også rumfang for volumen. Al rumfangsberegning tager udgangspunkt i terningen.

1

1

En enhedsterning har sidelængden 1 (cm, dm, m …)

1

V = rumfang (volumen)

Rumfanget af en terning defineres som sidelængde gange sidelængde gange sidelængde. V = S · S · S = S3

Rumfanget af andre former kan nu beregnes ved at finde ud af, hvor mange enhedsterninger der kan være i den givne form. Rumfanget af en kasse med en sidelængde forskellig fra 1:

h = højden

b = bredden

n de ng læ l=

l=

l=

ng

ng

de

de

n

n

1 enhed

b = bredden

b = bredden

Arealet af en firkant beregnes ved at gange længden og bredden.

I en kasse med grundfladearealet (l · b) kan der lægges l · b enhedsterninger.

Rumfanget af en kasse beregnes ved at gange grundfladearealet (l · b) med antallet af enhedsterninger i højden (h).

A=l·b

V=l·b·1

V=l·b·h

hp

Sætning: Rumfanget af et prisme findes ved først at finde grundfladearealet G, og derefter gange dette med højden i prismet. G = h t2· g

ht

V = G · hp = g

66

g · ht 2

· hp

RUMFANGSBEREGNING


Sætning: Rumfanget af en cylinder findes ved at gange arealet af grundfladen med højden. V = π · r2 · h = G · h

h

r

Sætning: Rumfanget af en kugle findes ved at gange 43 π med radius i tredje potens. V=

4 3

· π · r3

r

En formel er en ligning, der beskriver sammenhængen mellem forskellige variable. Formler kan derfor omformes som ligninger. Formler kan også indeholde konstanter, fx π i formlen for rumfanget af en kugle.

Hvor dybt skal jeg grave, når jeg har 32 m3 sand og beachvolleybanen skal være 8 m bred og 16 m lang?

Når rumfanget er 32 m3, længden 16 m og bredden 8 m, kan man omforme rumfangsformlen for en kasse og finde dybden.

32

h = 16 · 18 m m h = 0,25 liver Dybden b m. altså 25 c

RUMFANGSBEREGNING

67


Øvelser Om at bruge rumfangsformler 8

h

b l

Beregn rumfanget af kasser med følgende mål: a l = 10 cm b = 8 cm h b l = 1,1 cm b = 1,68 cm h c h = 5 cm l = 3,8 cm b d l = 9,6 mm h = 12,6 mm b e h = 8,6 dm b = 39 cm l f b = 1,8 m h = 76 cm l

= 6,5 cm = 0,22 cm = 9,5 cm = 1,7 cm = 0,7 m = 17 dm

9

Beregn rumfanget af prismer med følgende mål: 3 cm g = 7 cm hp = 10 cm a ht = g = 8,5 cm hp = 21 cm b ht = 6,2 cm g = 6,8 cm hp = 9 cm c ht = 4,9 cm hp = 55 cm d g = 21 cm ht = 43 cm ht = 3 cm g = 17 mm e hp = 21 mm g = 7m hp = 24 dm f ht = 21 dm

10

Beregn rumfanget af cylindre med følgende mål (2 dec.): a r = 6 cm h = 19 cm d d = 30 cm h = 68 cm b r = 19 cm h = 51 cm e h = 4,3 dm d = 26 cm c r = 1 cm h= 5 cm f r = 95 cm h = 1,3 m

11

Beregn rumfanget af kugler med følgende mål (2 dec.): a r = 9 cm d d = 15,6 cm b r = 35 cm e r = 5,4 dm c r = 9,8 cm f d = 9,6 dm

12

Beregn rumfanget af følgende former (2 dec.):

ht hp g

h

A

C

B

1,5 m G

9,8 cm

0,

2m

3 dm H

I

F

55 cm

4 cm

0,6 m

1,1 m

1,5 m

12

m

27 cm

68

d 1,7

cm

8 cm

RUMFANGSBEREGNING

17,5 cm

20 cm

E 21 cm

dm

75 cm

7 cm

13 cm

0,5

D

m

r

15

r


Om at omforme rumfangsformler 13

V står for Volumen (rumfang).

Find den manglende størrelse i følgende kasser: a b c d e f

V V l h b h

= 57 cm3 = 294 cm3 = 36 cm = 5,3 dm = 49,5 cm = 5,9 m

l h h l V l

= 3,5 cm = 6 cm = 21 cm = 4,9 dm = 39,6 dm3 = 29 cm

h b V b l V

= 13 cm = 7 cm = 267 cm3 = 67 cm = 3,8 dm = 49,0 dm3

14

Find den manglende størrelse i følgende prismer: ht = 12 cm g = 21 cm a V = 252 cm3 3 g = 34 cm hp = 50 cm b V = 425 cm g = 6 cm V = 34,65 cm3 c hp = 2,5 cm d ht = 5,9 dm g = 96 cm V = 2.124 cm3 3 e g = 3,6 dm V = 351 cm hp = 6,5 cm g = 1.062 cm ht = 34,6 dm f hp = 21,5 m

15

Find den manglende størrelse i følgende kugler: c V = 93,4 cm3 e d = 96 cm a V = 17,16 cm3 3 d r = 43,5 dm f V = 73,5 m3 b V = 468 cm

16

Find den manglende størrelse i følgende former: A

B

C

9 cm 1,6 m

x

cm

x

15

x

V = 1620 cm

4m

V = 12,8 m3

3

D

V = 60 m3

E

F x 10 dm

20 mm

V = 10895 m3

RUMFANGSBEREGNING

x 24-25

2

17 m

dm

x

V = 270 cm3

V = 2,49 m3

69


Opgaver B

C

A

E D

F

17

a Mål og find rumfanget af hver figur. b Find overfladearealet af hver figur. Forestil dig, at sidelængden af hver terning er 2 cm. c Find rumfanget (V) og overfladearealet (O) af hver figur. d Hvor mange gange større bliver rumfanget? e Hvor mange gange større bliver overfladearealet? Forestil dig, at sidelængden af hver terning er n cm. f Find rumfanget (V) og overfladearealet (O) af hver figur.

10 cm

18

Her er en udfoldet papkasse. a Beregn overfladearealet. b Hvor meget kan der være i kassen?

10 cm

19

Kasper vil fylde sin lillesøsters babybadekar med sodavand. Badekarret er næsten kasseformet og er 90 cm langt, 40 cm bredt og 30 cm højt. Hvor mange sodavand (1 12 l) kan der ca. være i badekarret?

25 cm

50 cm

25 cm

70

RUMFANGSBEREGNING


197 cm

121 cm

296 c

197

m

cm

20

Et drivhus har mål som vist. Hvad er rumfanget af drivhuset?

21

Hansens regnvandstønde har næsten form som en cylinder. a Hvor mange liter indeholder tønden? Hansen samler regnvand fra sit garagetag i tønden. Tagets areal er 18 m2. En dag falder der 8 mm regn. b Hvor mange l vand kommer der i tønden? c Hvor højt står vandet i tønden?

90 cm

59 cm

22

Et firma, der fremstiller juice, ønsker, at deres kartoner skal rumme 13 mere. Den nuværende juicekarton er 9,7 cm · 9,7 cm · 20,8 cm. Foreslå nogle nye mål, så den nye karton ligner den gamle mest muligt.

23

Månen bevæger sig i en næsten cirkelformet bane rundt om Jorden. Afstanden er i gennemsnit 380.000 km. Månens diameter er ca. 3.476 km, og Jordens diameter er ca. 12.700 km. a Hvad er rumfanget af månen og Jorden? b Hvor meget større er Jorden end månen? c Hvor lang er månens bane rundt om Jorden?

24

Familien Svenningsens nye swimmingpool er 5 m bred og 15 m lang. Den er 90 cm dyb i den ene ende og 2,5 m dyb i den anden ende, og faldet er jævnt fordelt. a Hvor meget vand kan der være i poolen? Der fyldes vand i bassinet op til 15 cm fra kanten. 1 m3 vand koster 29 kr. inkl. afgifter. b Hvad koster det at fylde poolen med vand?

2,5 m

SET FRA SIDEN

15 m

SET OPPEFRA

5m

RUMFANGSBEREGNING

15 m 0,9 m

71


72

25

7 drenge fra 7.a har købt 1,5 l cola, som de vil dele. Deres glas er cylinderformede med en diameter på 6 cm og en højde på 10,5 cm (indvendige mål). Hvor stor en del af hvert glas bliver fyldt, hvis drengene skal have lige meget cola?

26

Du skal bygge en reol til dine cd’er. Der skal være plads til mindst 60 cd’er. Et cd-cover måler 14,2 cm · 12,3 cm · 1,0 cm. a Tegn en skitse af reolen og skriv mål på tegningen. b Hvor mange cd’er kan der være i din reol?

27

Jeanet vil lave en æske til hemmelige ting. Hun har bestemt, at kassen skal være 15 cm høj, kunne rumme ca. 10 l og materialeforbruget skal være mindst muligt. Hvor stor skal kassen være?

28

Lukas bruger et cylinderformet glas som regnmåler. Glassets indvendige diameter er 6 cm. a Hvor stort er glassets grundfladeareal? b Hvor meget vand er der i glasset, hvis der falder 1 mm regn? c En dag indeholder glasset 7 cm3 vand. Hvor 6 cm mange mm regn er der faldet den dag?

29

De fleste regnmålere er opbygget af en cylinder og en tragt som vist på billedet. Hvor stor skal afstanden mellem skalastregerne være på denne regnmåler, før den måler korrekt?

RUMFANGSBEREGNING


Massefylde

30

a Hvad vejer mest? b Skriv genstandene ovenfor i rækkefølge efter vægt og rumfang. c Kan en lille ting veje mere end en stor?

Når man har brug for at sammenligne vægten af forskellige materialer med samme rumfang, bruger man massefylde. Massefylde er forholdet mellem vægt og rumfang. Den beregnes sådan: Massefylde

Massefylde =

31

genstandens masse genstandens rumfang

Find massefylden af følgende materialer: a 5.499 cm3 granit, der vejer 15,4 kg. b 107 cm3 kork, der vejer 21,4 g. c 150 cm3 træ, der vejer 112,5 g. d 4 cm3 marmor, der vejer 10,6 g.

32

Find rumfanget af følgende materialer: a 5 g jern c 1 ton sand b 165 g kobber d 750 g sølv

33

Find vægten af følgende materialer: c 1 l mælk a 3 cm3 guld d 2,5 l benzin b 56 cm3 aluminium

34

35

Her er en arbejdstegning til et H. Alle mål er i cm. a Beregn rumfanget af figuren. b Figuren skal udføres i massivt jern. Hvad vil den veje? Patrick vil bygge en sandkasse til sin lillebror. Han bestemmer sig for, at sandkassen skal være kvadratisk. Siderne skal være 2,3 m lange og 20 cm høje. Han graver et 20 cm dybt hul under hele sandkassen og fylder sand i til 5 cm fra kanten af kassen. Hvor meget vejer sandet til sandkassen?

RUMFANGSBEREGNING

Aluminium

2,70 g/cm3

Benzin

0,75 g/cm3

Guld

19,28 g/cm3

Jern

7,87 g/cm3

Kobber

8,93 g/cm3

Messing

8,4 g/cm3

Mælk

1,03 g/cm3

Sølv

10,50 g/cm3

Sand

1,55 g/cm3

3

2

8

3 3

3

2

Alle mål er i cm

26

73


Regning med rodstørrelser 36

Areal = a

Tallet, der angiver sidelængden i et kvadrat, med arealet a, kaldes kvadratroden af a og skrives a . 37

Ved kvadratroden af et positivt tal a, a , forstås de posetive tal b, hvor 2 b · b = b = a. a = b hvis og kun 2 hvis b = a

38

22 = 4

Beregn og redegør for dit svar. a

9

c

225

e

121

g

576

b

36

d

16

f

289

h

9.801

mindre end 8 og 32 = 9, som er større end 8.

40

Mellem hvilke to hele tal ligger værdien af følgende kvadratrødder: a

2

c

40

e

165

g

79

b

6

d

98

f

265

h

489

Find sidelængden i en terning, når rumfanget er: c 8 cm3 e 1 cm3 a 125 cm3 b 343 cm3 d 729 cm3 f a

Tallet, der angiver sidelængden i en terning med rumfanget a, kaldes kubikroden af a og skrives . 41

74

fordi

8 er to tal, der ligger mellem 2 og 3, fordi 22 = 4, som er

39

Ved kubikroden af 3 et tal a, a forstås det tal b, hvor b · b · b = b3 = a. 3 a = b, hvis og kun hvis b3 = a

Hvorfor kan man ikke uddrage kvadratroden af negative tal? 4 =2

n o'e n ke er. Sik ødd r

Rumfang = a

Find sidelængden i et kvadrat, når arealet er: c 64 cm2 e 2 cm2 a 16 cm2 b 9 cm2 d 81 cm2 f a

Beregn og redegør for dit svar. a

3

b

3

8 27

c

3

d

3

64 512

e

3

f

3

216 1.000

g

3

2.197

h

3

343 27

42

Hvorfor er der ikke både positive og negative tal som svar, når man beregner kubikrødder?

RUMFANGSBEREGNING


Formler og overslagsberegning Rumlige former fra virkelighedens verden er sjældent rene matematiske figurer, som kasser og cylindere, som der findes formler til at beregne rumfanget efter. Irregulære formers rumfang må man bestemme på andre måder: Man kan nedsænke den rumlige form i et måleglas med vand og aflæse stigningen. Man kan vurdere, hvilken matematisk figur den rumlige form minder mest om, og benytte figuren (eller flere figurer sammen) som model. Når man foretager den type beregninger, bruger man ”matematisk modellering”.

43

Vælg selv nogle rumlige former og bestem rumfanget ved hjælp af matematisk modellering.

44

Mohammed, Niklas og Britt skal beregne rumfanget af en kasse. De måler alle tre kassen og når frem til disse tal: Hvad er kassens rumfang?

45

Mohammed

Niklas

Britt

Længde

27,8 cm

28,1 cm

27,9 cm

Bredde

9,7 cm

10,3 cm

9,9 cm

Højde

15,5 cm

15,4 cm

15,6 cm

Johannes laver papirkugler af hele gamle A4-ark og kaster dem i sin papirkurv. Han spekulerer på, hvor mange kugler der kan være i spanden. a Hvilke mål kan en papirkurv have? b Hvad er rumfanget af en papirkugle? c Hvor mange kugler kan der være i papirkurven?

RUMFANGSBEREGNING

75


TEMA

Vandforbrug ÅD: PARER S D N A V

arbad. i stedet for k Tag brusebad r dig ind. ens du sæbe m t, e d n a v r Luk fo er. børster tænd u d s n e m t, e Luk for vand de vand. under rinden k s a v p o å g d Un r det. u ikke bruge d is v h , e b lø ndet Lad aldrig va iletter. g løbende to o r e n a h e d n pe Reparer dryp

VAND OG KLOAK PR. M3 Vandpris

6,93 kr.

Vandafgift

5,00 kr.

Vandafledningspris

7,50 kr.

Spildevandsafgift

0,45 kr.

Abonnement/kvartal 125,00 kr. Moms 25 %

46

Hvad koster 1 m3 vand?

47

Hvor stor en del udgør vandprisen af den samlede pris for 1 m3 vand (uden abonnement)?

48

Ældre toiletter har et vandforbrug på ca. 9 liter pr. skyl. Et vandsparetoilet har to forskellige skyl, et 4 liter skyl og et 6,5 liter skyl. En familie på fire personer skyller i gennemsnit ud 20 gange dagligt. Heraf er 8 skyl store og 12 skyl små. a Hvor meget vand kan familien dagligt spare ved at skifte til et vandsparetoilet? b Hvor mange penge kan familien spare om året?

Kilde: Frederiksberg forsyning 2003

Utætte pakninger og tilkalkede haner kan være årsag til, at vandhaner drypper, og toiletter løber. Et forbrugermagasin undersøgte vandspildet: VANDHANE: (koldt/varmt vand) Langsomt dryp Hurtigt dryp Løber konstant

TOILET: (kun koldt vand)

Liter pr. år

7.000 liter

Løber, svag rislen

100.000 liter

30.000 liter

Løber, så det ses

200.000 liter

Løber markant

400.000 liter

100.000 liter

49

76

Liter pr. år

Hvor meget koster utætte haner og løbende toiletter om året?

RUMFANGSBEREGNING


TEMA

Post

Varenr.

FP1 FP2 FP3

Varenr.

PÆ1 PÆ2 PÆ3 PÆ4 PÆ5 PÆ6 PÆ7 PÆ8 PÆ9

Størrelse (B x

L)

mm 150 x 100 x 40 mm 225 x 165 x 95

5 mm 250 x 190 x 11 2 mm 292 x 222 x 13 mm 40 x 0 10 x 0 30 2 mm 320 x 250 x 13 5 mm 335 x 315 x 13 5 mm 425 x 315 x 13 0 mm 26 x 0 32 x 0 45

Pris ved min. 15 stk.

3,49 5,49 6,89 7,49 3,99 7,69 7,99 8,49 10,99

Pris ved min. 90 stk.

3,24 5,24 6,49 6,99 3,49 7,09 7,69 7,99 10,49

Størrelse (B x L)

300 x 230 x 200 mm

300 x 230 x 260 mm 400 x 300 x 250 mm

Pris ved min. 300 stk.

2,99 4,99 5,99 6,49 3,24 6,79 7,19 7,49 9,99

Pris ved min. 15 stk.

Pris ved min. 90 stk.

3,99 4,49 6,99

3,69 4,19 5,99

Pris ved min. 300 stk.

Kollistr.

3,29

15

3,99

15

5,49

15

Kollistr.

15 15 15 15 15 15 15 15 15

Post Danmark sælger emballage til forsendelser. Deres pakker har de mål, som er opgivet i tabellerne. 50

Et forlag skal sende 26 stk. Matematrix 7 bøger til Jylland. a Hvilken emballage passer bedst til det formål? b Hvor meget koster det at sende bøgerne til skolen?

51

Melissa skal sende en gave til sin veninde på Bornholm. Hun har købt en gipsskulptur, der er 25 cm høj og har en omkreds på 35 cm på det tykkeste sted. Skulpturen vejer 1,7 kg a Hvilken emballage skal Melissa købe på posthuset? b Hvor meget koster det at sende pakken? På posthuset rådes Melissa til at sende gaven som ”Forsigtigpakke”. Det koster 127 kr. c Hvor mange procent udgør prisforskellen?

RUMFANGSBEREGNING

77


Afrunding ■ ■ ■

Hvad er et rumfang, og hvordan beregnes det? Hvorfor kan rumfanget af en kasse beregnes som l · b · h? Hvorfor kan en formel for et rumfang betragtes som en ligning?

Prisme

Rumfang Kugle

Massefylde

Ligning

Cylinder

Formel

s Radiu

Højde

Længde

Vurdering g Omformnin

Figurer

Irregulære former


STATISTIK

■ Hvor mange typer cykler er der i klassen? ■ Hvilken cykel er mest populær?

Hvor i Tyskland bor der flest mennesker? g?

Hvor lang er en kridtstre

Hvad er en kvartil?

På hvilken årstid stjæles

der flest cykler?

79


1

a Hvor mange forskellige farver har flagene? b Hvor mange gange bruges hver farve? c Hvilke tre farver er hyppigst anvendt?

2

a Hvor mange mm nedbør faldt der i Danmark i juli 2001? b Hvor meget nedbør faldt der i hele 2001? c Hvor meget nedfør faldt der i gennemsnit hvert år fra 1961 til 1990? d Hvilke måneder var nedbørsmængden større i 2001 end normalt? e Hvilken årstid er nedbørsmængden størst?

Gennemsnit af 30 år kaldes „normalt”.

140

137

NEDBØR I DANMARK I MILLIMETER

GENNEMSNIT FOR 1961-1990

120 2001

100 90

80 60

63

57

79

76 64

66 59

61

48

DECEMBER

NOVEMBER

AUGUST

JULI

JUNI

MAJ

APRIL

OKTOBER

41 33

3

80

48 40

66

73

SEPTEMBER

46

MARTS

0

48 38

FEBRUAR

20

45

JANUAR

40

55

62

67

I Ringkøbing amt var den månedlige nedbørsmængde i 2001: 52 mm, 53 mm, 43 mm, 72 mm, 37 mm, 66 mm, 61 mm, 83 mm, 152 mm, 99 mm, 80 mm og 69 mm. a Tegn et diagram, der både viser nedbørsmængden i Ringkøbing amt og i hele Danmark måned for måned i 2001. b Hvor stor var nedbørsmængden i Ringkøbing amt i hele 2001? c I hvilke måneder var nedbørsmængden i Ringkøbing amt større end gennemsnittet for hele Danmark?

STAT I ST I K


4

a Hvor mange cykler blev meldt stjålet hvert år fra 1990 til 2002? b Hvor mange cykeltyverier anmeldes i gennemsnit hvert år? c Vis udviklingen af anmeldte cykeltyverier i et diagram. d Hvor mange cykler meldtes stjålet hvert år i 1. kvartal? e Vis i et pindediagram, hvilket kvartal der anmeldes flest tyverier.

Anmeldte cykeltyverier 20.083 1. kvartal1. kvartal 1990

25.693 2. kvartal2. kvartal 27.019 3. kvartal3. kvartal 21.953 4. kvartal4. kvartal 18.297 1. kvartal1. kvartal

1991

24.668 2. kvartal2. kvartal 28.892 3. kvartal3. kvartal 22.619 4. kvartal4. kvartal 20.443 1. kvartal1. kvartal

1992

24.906 2. kvartal2. kvartal 29.139 3. kvartal3. kvartal 22.054 4. kvartal4. kvartal 20.332 1. kvartal1. kvartal

1993

26.858 2. kvartal2. kvartal 27.744 3. kvartal3. kvartal 31.053 4. kvartal4. kvartal 32.063 1. kvartal1. kvartal

1994

32.079 2. kvartal2. kvartal 30.294 3. kvartal3. kvartal 31.115 4. kvartal4. kvartal 28.392 1. kvartal1. kvartal

1995

29.398 2. kvartal2. kvartal 29.315 3. kvartal3. kvartal 25.821 4. kvartal4. kvartal 22.336 1. kvartal1. kvartal

1996

25.533 2. kvartal2. kvartal 27.008 3. kvartal3. kvartal 23.470 4. kvartal4. kvartal 19.932 1. kvartal1. kvartal

1997

5

Et par elever fra 7. y besøgte en brugtvognshandler i 2003 og talte biler (mærke og årgang). Her er deres resultat:

22.717 2. kvartal2. kvartal 25.107 3. kvartal3. kvartal 21.309 4. kvartal4. kvartal 18.452 1. kvartal1. kvartal

1998

20.724 2. kvartal2. kvartal 21.384 3. kvartal3. kvartal 16.812 4. kvartal4. kvartal 15.275 1. kvartal1. kvartal

Ford 1995 Skoda 1993 Citroen 1999 Ford 1997

VW 1997 Toyota 1995 VW 1994 Opel 1988.

Toyota 1989 Volvo 1999 Fiat 2001

Opel 1998 Nissan 1996 Toyota 1997

Nissan 1989 Ford 1998 Honda 2000

1999

Hvor mange biler talte de i alt? Hvor mange biler fandt de af hvert mærke? Hvilket mærke var der flest af? Hvilket årstal var den ældste bil fra? Hvilket årstal var den nyeste bil fra? Hvilket årstal var de fleste biler fra? Hvad var bilernes gennemsnitsalder?

STAT I ST I K

21.851 3. kvartal3. kvartal 18.536 4. kvartal4. kvartal 16.610 1. kvartal1. kvartal

2000

a b c d e f g

18.481 2. kvartal2. kvartal

18.774 2. kvartal2. kvartal 19.365 3. kvartal3. kvartal 17.424 4. kvartal4. kvartal 16.610 1. kvartal1. kvartal

2001

18.774 2. kvartal2. kvartal 19.365 3. kvartal3. kvartal 17.424 4. kvartal4. kvartal 13.271 1. kvartal1. kvartal

2002

16.212 2. kvartal2. kvartal

20.835 3. kvartal 3. kvartaltal 4. kvartal

16.152

81


Statistik er den matematiske disciplin, hvor man systematiserer og beskriver store datamængder og vurderer resultatet.

SKOSTØRRELSER

38 39 40 41

Det totale antal observationer

Når observationerne har talværdier, kan man finde deres størsteværdi, mindsteværdi og variationsbredden. Variationsbredden er differensen mellem størsteværdi og mindsteværdi. x

h(x)

H(x)

37

5

5

38

8

13

39

4

17

40

0

17

41

3

20

Sum

20

37

En mængde observationer kaldes et observationssæt. For at kunne beskrive observationssættet må man sortere de mulige observationer i en tabel. De værktøjer, man anvender til beskrivelsen, kaldes deskriptorer.

x

h(x)

H(x)

f(x)

F(x)

37

5

5

0,25

0,25

38

8

13

0,40

0,65

39

4

17

0,20

0,85

40

0

17

0,00

0,85

41

3

20

0,15

1,00

82

3. kvartil: Den mindste observation hvor F(x) ≥ 0,75

x

2. kvartil (eller median): Den mindste observation hvor F(x) ≥ 0,50

Hyppigheden betegnes h(x) og er det antal gange, hver mulig observation optræder. Den observation, der forekommer hyppigst, kaldes typeobservation. Man kan beregne den summerede hyppighed af x. Den betegnes H(x) og er summen af alle hyppigheder til og med x. Frekvensen af x betegnes f(x) og er hyppigheden divideret med det totale antal observationer. Man kan beregne den summerede frekvens af x. Den betegnes F(x) og er summen af alle frekvenser til og med x. De mindste observationer, hvor den summerede frekvens er større end eller lig med 0,25; 0,50 og 0,75, kaldes kvartiler. 1. kvartil: Den mindste observation hvor F(x) ≥ 0,25

STAT I ST I K


x 37 38 39 40 41 Sum

h(x) 5 8 4 0 3 20

x · h(x) 185 308 156 0 123 762

Når observationerne har talværdier, kan man beregne gennemsnittet: Først ganges alle observationer med deres tilhørende hyppighed (x · h(x)). Derefter findes summen, som divideres med det totale antal observationer. Gennemsnit: 762 : 20 = 38,1 som afrundes til 38.

Diagrammer Et pindediagram er velegnet til at vise hyppigheden, h(x) eller frekvensen, f(x), af den enkelte observation.

Et trappediagram er velegnet til at vise den summerede hyppighed, H(x), eller den summerede frekvens, F(x), af observationerne. Et cirkeldiagram er velegnet til at vise frekvensen, f(x), af den enkelte observation.

Deskriptorer (beskrivelsesværktøjer)

100% = 360°, 1% = 3,6°

x: Mulig observation. h(x): Hyppigheden af observation x. f(x): Frekvensen af observation x er hyppigheden af x divideret med det totale antal observationer. Typeobservation: Den observation, der forekommer flest gange. Størsteværdi: Den største observationsværdi i observationssættet. Mindsteværdi: Den mindste observationsværdi i observationssættet. Variationsbredde: Forskellen mellem største og mindste værdi. Gennemsnit: Summen af hver observationsværdi ganget med sin hyppighed, det hele divideret med antallet af observationer. H(x): Summeret hyppighed er antallet af observationer mindre eller lig med x. F(x): Summeret frekvens er den summerede hyppighed divideret med det samlede antal observationer. 1. kvartil: Den mindste observation hvor F(x) ≥ 0,25. 2. kvartil (eller median): Den mindste observation, hvor F(x) ≥ 0,50. 3. kvartil: Den mindste observation, hvor F(x) ≥ 0,75.

STAT I ST I K

83


Øvelser Om at finde mulige observationer 6

Angiv, mindst 3 mulige observationer i forbindelse med: a Lommepenge. b Mønttyper i pungen. c Elevernes højde uden fodtøj. d Afstand mellem to byer. e Temperaturen hver dag kl. 12. f Fliseformer i et byggemarked. g Lysstyrke i pærerne hjemme.

Om at optælle data i en tabel 7

Sæt følgende observationer op i en tabel. Find det totale antal observationer og typeobservationen. a Deltagere i en dyrefilm: 5 giraffer, 4 elefanter, 21 aber, 4 løver, 10 zebraer. b Mønter i en pung: otte 25-ører, tre 10-cent, en 20-krone, tre 1 €, fire 10-kroner, tre 5-kroner og fire 50-ører. c Drengenavne i en klub: Mads: 14, Jesper: 8, Jens: 12, Peter: 6, Anders: 9, Kenneth: 8.

Om at beregne gennemsnit 28

8

a

84

x

Beregn gennemsnit og variationsbredde. b

c

h(x)

100

0

125

12

x

h(x)

9

5

3

150

9

3

10

8

175

15

40

0

15

12

200

12

50

14

20

10

225

7

60

10

25

7

250

6

x

h(x)

20 30

STAT I ST I K


Om at beregne summeret hyppighed, frekvens, summeret frekvens, median og kvartiler 9

Udfyld tabeller som de viste og angiv kvartilerne. a

b x

h(x)

x

h(x)

10

8

H(x)

f(x)

F(x)

3

33

20

12

6

42

30

6

9

25

40

5

12

24

50

4

15

51

60

7

18

62

70

9

21

72

x

h(x)

x

h(x)

150

8

–10

42

155

0

–5

59

160

16

0

46

165

17

5

50

170

14

10

39

175

9

15

2

180

3

20

18

c

H(x)

f(x)

F(x)

H(x)

f(x)

F(x)

d H(x)

f(x)

F(x)

Om at tegne diagrammer 10

Vis hyppighederne i et pindediagram. a

11

b

c

x

h(x)

100

0

125

12

x

h(x)

x

h(x)

5

3

20

9

150

9

10

8

30

3

175

15

15

12

40

0

200

12

20

10

50

14

225

7

25

7

60

10

250

6

Vis frekvenserne i et cirkeldiagram. a

STAT I ST I K

x

f(x)

10

b

c

x

f(x)

x

f(x)

0,16

3

0,12

150

0,12

20

0,24

6

0,14

155

0,00

30

0,12

9

0,08

160

0,24

40

0,10

12

0,08

165

0,25

50

0,08

15

0,17

170

0,21

60

0,14

18

0,20

175

0,13

70

0,16

21

0,23

180

0,05

85


12

Vis følgende summerede hyppigheder eller frekvenser i et trappediagram.

a

b x

Brug millimeterpapir

c

d

H(x)

x

F(x)

x

H(x)

x

F(x)

10

8

3

0,11

150

8

-10

0,15

20

20

6

0,24

155

8

-5

0,37

30

26

9

0,32

160

24

0

0,53

40

31

12

0,40

165

41

5

0,71

50

35

15

0,57

170

55

10

0,86

60

42

18

0,77

175

64

15

0,93

70

51

21

1,00

180

67

20

1,00

Om at beregne manglende værdier 29

13

a Find variationsbredden i et observationssæt, når mindsteværdien er 90, og størsteværdien er 225. b Find størsteværdien i et observationssæt, når variationsbredden er 1387, og mindsteværdien er 1371. c Gennemsnittet af syv tal er 5. Seks af tallene er 5, 2, 6, 3, 2, 8. Find det sidste tal. d Gennemsnittet af 30 tal er 450. Hvad er summen af alle tallene? e Udfyld de manglende værdier i hyppighedstabellerne. x

h(x)

5

x · h(x)

x

h(x)

x · h(x)

H(x)

40

36

15

540

15

37

10

6

60

15

7

105

21

38

13

20

3

24

39

9

25

4

100

28

40

33

41

2

Sum:

63

30 Sum:

86

H(x)

33

515

629 45 351

54

280 63 2376

STAT I ST I K


Opgaver 14

Eleverne i 7.a skulle vurdere længden af en kridtstreg på tavlen. Her er deres gæt i cm: 31, 32, 29, 32, 33, 27, 34, 30, 30, 28, 30, 29, 31, 30, 34, 32, 27. a Indsæt observationssættet i en tabel. b Beskriv observationssættet ved hjælp af deskriptorer. c Tegn et pindediagram.

15

Danmarks Statistik giver følgende oplysninger om antallet af levendefødte børn i Danmark 2002: 2002 Levendefødte

1. kvartal

2. kvartal

3. kvartal

4. kvartal

15.633

16.253

17.022

15.245

a Hvor mange børn blev der født i 2002? b Beregn gennemsnittet pr. kvartal. c Indsæt observationssættets frekvens og summerede frekvens i en tabel. d I hvilket kvartal forekommer størsteværdien? e I hvilke måneder undfanges flest børn?

11-12

10

DELTAGERE

9 8

16

STAT I ST I K

6 5 4 3 2 1 5

10

15

20

25

30

ELEVER

19

13

13

6

6 2

23

22

23 22 19

POINT

Diagrammet viser resultatet af en danskprøve i 7. y. a Hvor mange elever er der i 7. y? b Hvor mange elever fik 1 point? c Hvor mange elever fik henholdsvis 2, 3, 4 og 5 point? d Hvad er det højeste antal point, som den nederste halvdel af eleverne fik? e Opstil en hyppighedstabel over pointfordelingen. f Hvad er det gennemsnitlige antal point?

7

POINT

17

Diagrammet viser resultatet af en quiz, hvor man får 5 points for hvert rigtigt svar. a Hvor mange deltagere var der i quizzen? b Vis diagrammets oplysninger i en tabel. c Beregn gennemsnittet. d Hvad er medianen?

2 0

1

2

3

4

5

87


Baden-Württemberg

9.400.000

Bayern

11.000.000

Berlin

3.400.000

Brandenburg

2.700.000

Bremen

700.000

Hamburg

1.600.000

Hessen

5.600.000

Mecklenburg-Vorpommern 2.100.000 Niedersachsen Nordrhein-Westfalen

7.200.000 16.900.000

Rheinland- Pfalz

3.700.000

Saarland

1.100.000

Sachsen

4.900.000

Sachsen-Anhalt

3.000.000

Schleswig- Holstein

2.600.000

Thüringen

2.500.000

Kilde: Politikens bog om Verdens lande

18

Tabellen viser indbyggertallet i Tyskland optalt efter delstater. a Tegn et pindediagram, der viser befolkningstallet i de tyske delstater. b Hvor mange mennesker bor der i alt i Tyskland? c Beregn gennemsnittet af befolkningstallet i hver delstat. d I hvor mange delstater er befolkningstallet under gennemsnittet? e I hvor mange delstater er befolkningstallet over gennemsnittet?

19

Skemaet viser antallet af elever på fire gymnasiale uddannelser i 1991 og 2001. a Opstil en tabel over h(x) og f(x) for hvert af årene. b Tegn et cirkeldiagram for hvert af årene. c Vurder udviklingen fra 1991 til 2002 på grundlag af tallene og diagrammerne.

ÅR HELE LANDET GYMNASIET 1991 2001

57.689 53.203

HF

1991 2001

15.075 10.645

HHX

1991 2001

29.780 26.505

HTX

1991 2001

2.876 7.893

Kilde: Danmarks Statistik

88

STAT I ST I K


Verdens lande På kopiarket og regnearket ”Verdens lande” findes der nogle oplysninger fra omkring år 2000 om 193 lande. 20

a b c d e

Hvad hedder de 5 folkerigeste lande? Hvad hedder de 5 tyndest befolkede lande? Hvad hedder de 5 lande med den største befolkningstilvækst? Hvor ligger landene med den største befolkningstilvækst? I hvor mange lande er den forventede levealder for kvinder over 79 år? Er Danmark blandt dem?

21

a Hvilken verdensdel har færrest analfabeter? b Hvilken verdensdel har flest analfabeter?

22

Stil selv flere spørgsmål. Stil de nødvendige oplysninger op i en tabel. Brug deskriptorer. Tegn evt. et diagram. Skriv en kommentar til din databehandling.

STAT I ST I K

VERDENS LANDE

30-32

Regneark et ”Verde ns lande” giver tips og ideer til, hvorda sortering n sfunktion en kan udnyttes. Ved at bru ge at finde sv den, bliver det let ar på den ne sides opgaver – og dine e gne. Men du sk al kommente stadig selv re resulta terne.

89


Statistik og regneark

I dette kapitel har du indtil nu fået helt præcise spørgsmål til oplysninger, der alle skulle bruges. Men i den „virkelige verden” – fx i aviser og statistiske oversigter – får man ofte mange oplysninger på én gang i samme tabel – og ingen opgaver. Denne tabel fra Danmarks Statistik er sat ind i et regneark.

90

STAT I ST I K


Hvis man vælger alle oplysningerne i regnearket og fremstiller et pindediagram, får man dette resultat:

Formålet med et diagram er at få et hurtigt overblik over et talmateriale. Man siger ofte, at „et billede siger mere end 1.000 ord.” 23

Hvad kan umiddelbart ses ud af pindediagrammet?

24

Hvad gør diagrammet uoverskueligt? INDVANDRERE

For bedre at kunne analysere tallene, når man har så mange oplysninger, kan man udvælge dele af dem – og stille spørgsmål til dem. 25

Hvilke af oplysningerne fra den store tabel er nødvendige for at kunne a beskrive udviklingen af indvandrere fra Iran i perioden 1988 til 2003? b finde det samlede antal indvandrere og efterkommere fra Tyrkiet i 2003? c Stil selv andre spørgsmål ud fra tabellen.

STAT I ST I K

91


TEMA

Musik MUSIK

Statistik bruges ofte, når man vil undersøge og skaffe sig et overblik over noget. I dette afsnit skal I undersøge, hvordan og hvor meget eleverne i 6. og 7. klasse på jeres skole bruger musik. Dette kan I gøre ved at ■ indsamle data ■ opstille flere observationssæt ■ præsentere resultaterne ■ vurdere resultaterne af jeres undersøgelse Indsamling af data 26

33

Når man skal indsamle data, anvender man ofte et spørgeskema. Skemaet kan fx se sådan ud:

. ____ Spørgeskema nr

❏ Dreng

❏ Pige

Sæt X t?

en et musikinstrum Spiller du selv på ❏ Nej ❏ Ja

I derhjemme? ikafspillere har us m ge an m r Hvo Skriv antal ____ ❏ Nej – cd’er? ❏ Ja Køber du musik computer? ik ved hjælp af Kopierer du mus ❏ Nej Ja

a Kopier et passende antal spørgeskemaer og få dem udfyldt af fx 6. og/eller 7. klasserne. b Når I får skemaerne tilbage, nummererer I skemaerne fortløbende (1,2,3, …).

92

STAT I ST I K


Opstilling af observationssæt 27

OBSERVAT IONSSÆT A Spiller mus ikinstrum ent Spiller ikke musikinst rument I alt

a Saml alle skemaer i én oversigt:

Nr.

Dreng

1

x

Pige

Spiller selv på et musikinstrument

Antal musikafspillere

Køber musik – cd’er

2

x

x

2

x

x

1

x

3

x

x

3

x

Kopierer musik med computer

ELEVER

ELEVER

TD OBSERVATIONSSÆ pillere afs sik mu al Ant 0 1 2 3 osv

osv. I alt

b Opstil derefter følgende observationssæt: A Elever, der selv spiller på et musikinstrument. B Drenge, der spiller på et musikinstrument. C Piger, der spiller på et musikinstrument. D Elever, har så mange musikafspillere. E Elever, der spiller på et musikinstrument og køber musik cd’er. c Brug oversigten og opstil flere observationssæt.

OBSE RIValt ATION SSÆT Spille E r og k øber Spille musik r men k ø b er ikk Spille e r ikke men Spille købe r ikke r o g køb I alt er ikk e

ELEV ER

Forslag til præsentation af resultater 28

a Tegn pindediagrammer over hyppigheder eller frekvenser til observationssæt A, B, C og D. b Tegn et trappediagram over den kumulerede frekvens til observationssæt D. c Tegn et cirkeldiagram til observationssæt E.

Vurdering af resultater 29

En beskrivelse af undersøgelsen bør indeholde ■ hvilket tidspunkt, den fandt sted ■ hvilke(n) klasse(r), der deltog ■ hvor mange piger og drenge, der deltog ■ hvilke spørgsmål, der blev stillet ■ en beskrivelse af ”interessante” resultater med både diagram og ord - fx ”x procent af drengene og y procent af pigerne spiller eget instrument” ■ en afslutning, som giver en samlet vurdering af undersøgelsens resultater - fx ”Det har overrasket os, at...” og ”Det er helt tydeligt, at...”

STAT I ST I K

93


Afrunding ■

Hvornår kan man beregne gennemsnit til et observationssæt?

Hvad bruger man frekvensen til?

Hvornår bruges pindediagram, cirkeldiagram og trappediagram?

Deskrip tor

Observa tionssæt hed Hyppig

Summer et frekve ns

værdi e t s d n i M Sum mer et h ypp ighe d Kvartil nit Gennems

Frekv ens

94

Stør stev ærd i RUMFANG


FUNKTIONER ■ Hvor hurtigt svømmer du 100 m? ■ Hvad er din tid afhængig af?

Er 4-tabellen en funktion? Hvad vejer en forsendels

e til 25 kr.?

Hvad er du afhængig af? Hvor i bassinet er du placeret efter 60 meters svømning?

DANMARKSREKORDER I 100 METER FRI SVØMNING JUNI 2004 HERRER

DAMER

Kortbane (25 m): 0.49,25 min. Peter Rohde Langbane (50 m): 0.50,74 min. Franz Mortensen

Kortbane (25 m): 0.54,45 min Mette Jacobsen Langbane (50 m): 0.55,31 min. Mette Jacobsen

Kilde: Dansk Svømmeunion


1

Et cykelhjul med dæk har en radius på 35 cm. a Hvor langt kører hjulet på 1 omgang? b Hvor langt kører det på 2, 4, 10 og 20 omgange? c Hvor mange omgange har det drejet, når det har kørt 1 km?

2

Jens er 3 år ældre end Signe. a Tegn tabellen af og udfyld de tomme felter Signes alder (år) Jens alder (år)

1

15 8

13

b Hvor gammel er Jens, når Signe er 27 år? c Angiv med en ligning, hvordan Signes alder afhænger af Jens’ alder.

96

3

Tallene i kolonnerne A og D er indtastet, og tallene i kolonne B og E er beregnet. a Beskriv sammenhængen mellem tallene i kolonne A og B med ord. b Udtryk sammenhængen ved hjælp af en ligning. c Beskriv sammenhængen mellem tallene i kolonne D og E med ord. d Udtryk sammenhængen ved hjælp af en ligning.

4

Afsæt følgende punkter i et koordinatsystem, og forklar sammenhængen mellem x og y med ord. a (0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3) ; (4, 5) b (3, 1) ; (4, 2) ; (5, 3) ; (6, 4) c (1, 2) ; (2, 4) ; (3, 6) ; (4, 8) d (1, 14 ) ; (2, 12 ) ; (4, 1) ; (6, 112 )

FUNKTIONER


5

Maskinen ganger de tal, der kommer ind, med 4. a Udfyld resten af tabellen. a

–4

–3

b

–16 –12

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

b Hvilken ligning passer til maskinen: a = 4b , b = 4a eller ab = 4 ? c Lad maskinen gange de tal, der kommer ind, med 6. Udfyld en tabel og angiv en ligning, der beskriver sammenhængen.

6

I en chokoladeforretning kan man købe gaveæsker med fyldt chokolade. Æsken koster 4 kr., og hvert stykke chokolade koster 2 kr. a Hvad koster en æske med 9 stk. chokolade? b Hvor mange stykker chokolade er der i en æske til 40 kr.? c Udfyld en tabel som den viste. Antal stk. chokolade Pris kr.

1

2

4

8

9

18 36

25

36

n

68

d Hvor mange stykker chokolade er der i en æske til 120 kr.? 7

8

Hamit blander saftevand i forholdet 1 : 4. a Hvor meget saftevand får han, hvis han bruger 1 dl ren saft? b Udfyld en tabel som den viste. c Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem mængden af ren saft og mængden af blandet saft. Du svømmer 100 m i et bassin, der er 25 m langt. Du svømmer med en jævn hastighed, og det tager 200 sekunder. Hvor i bassinet er du efter: a 50 sekunder? b 30 sekunder? c 60 sekunder? d Tegn en graf der viser, hvor langt du er fra startstedet efter et bestemt stykke tid. e På et tidspunkt er du 10 m fra den ende af bassinet, hvor du startede. Hvor lang tid har du svømmet?

FUNKTIONER

ren saft dl

vand dl

blandet saft dl

0

0

0

4

5

0,35 1,8 10 10 3 4

Afstand fra startsted

Tid

97


En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser. Den ene kaldes den uafhængige variabel x, den anden kaldes den afhængige variabel f(x).

Man kalder kun en sammenhæng for en funktion, hvis værdien af den uafhængige variabel er entydigt knyttet til værdien af den afhængige variabel. Det betyder, at der til enhver x-værdi findes højst en værdi for f(x). Det kan vises på flere måder: Et pilebillede x

0

En maskine

f(x)

4

● ●

1

● ● ●

6

● ● ●

2

8

● ● ● ●

● ● ●

3

10

f(x) = 2x + 4

Prisen for en æske chokolade kan beskrives som en funktion af, hvor mange stykker man køber. Hvis chokoladen koster 2 kr./stk., og æsken koster 4 kr., kan prisen beregnes som: f(x) = 2 kr./stk. · x + 4 kr. Variablen x er pladsholder for ”antal stykker chokolade”, og variablen f(x) er pladsholder for ”den samlede pris”. Brugen af symbolerne x og f(x) fortæller, at f(x) er en variabel, som afhænger af værdien af x. Arealet af et kvadrat kan beskrives som en funktion af sidelængden: Arealet A = f(s) = s · s = s2

98

s s

FUNKTIONER


Mia er 12 år, Carl er 13 år, Anna er 13 år og Per er 14 år. Det angiver en funktion fra en mængde af personer til en mængde af tal. Til hver person er der knyttet netop en alder.

Mia

Carl

Anna

12 ●

● ● ●

Per

● ●

13

14

12

● ●

Mia ●

● ●

13

Carl

● ●

14

● ●

Til samme alder er knyttet to personer. Derfor er der ikke en funktion fra mængden af tal til mængden af personer.

● ●

Anna ● ●

Per ●

En funktion kan angives på flere måder: 1

En funktion kan angives med ord.

f(x) fremkommer ved at gange x med to og lægge fire til.

2

3

4

En funktion kan angives ved hjælp af en tabel, hvis man kun er interesseret i eller kun kender enkelte funktionsværdier. En funktion kan angives ved en ligning, som kaldes en regneforskrift. Her kan man beregne værdien af den afhængige variable for alle værdier af den uafhængige variabel.

f(x) = 2x + 4 x = 1: f(1) = 2 · 1 + 4 = 6 x = 2: f(2) = 2 · 2 + 4 = 8 x = 8: f(8) = 2 · 2 + 4 = 20

En funktion kan angives i et koordinatsystem. Et sådant billede af en funktion kaldes en graf. Grafen består af de punkter i koordinatsystemet, hvor punktets andenkoordinat er funktionsværdien af førstekoordinaten.

FUNKTIONER

x

0

1

2

3

f(x)

4

6

8

10

f(x) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 1

2

3 4

5

99


Øvelser Om funktioner og entydighed 9

Hvilke sætninger beskriver en funktion? a Til ethvert tal knyttes det dobbelte af tallet. b Til ethvert tal knyttes tallet selv. c Til ethvert tal knyttes tallet 1. d Til ethvert tal knyttes tallet 1 og tallet 2. e Til tallet 7 knyttes tallet 3. f Til tallene 7 og 11 knyttes tallet 3. g Til tallet 7 knyttes tallene 3 og 4.

10

Hvilke sætninger beskriver en funktion? a Til ethvert barn knyttes dets mor. b Til enhver mor knyttes hendes barn. c Til enhver mor knyttes hendes ældste barn. d Til enhver elev knyttes en bestemt mobiltelefon. e Til enhver mobiltelefon knyttes en elev. f Til ethvert rektangel knyttes dets omkreds. g Til enhver omkreds knyttes rektanglet med denne omkreds.

11

Hvilke ligninger kan angive regneforskriften for en funktion? a f(x) = 4 · a d g(x) = x g 2 · f(x) = 7 + x b g(x) = 2 · a + 4 e x = 2 + 3 h f(x) = 3 c x=3 f h(x) = 2 + x i y 2 + x2 = 1

34

Om at genkende funktioner

Hvilke af kurverne A-H er grafer for funktioner?

12 f(x)

f(x)

A

x f(x)

x

100

x

D

x f(x)

F

f(x)

C

x f(x)

E

f(x)

B

G

x H

x

FUNKTIONER


Om at bestemme regneforskrift 13

Bestem regneforskrifter: a f(x) er 5 større end x d f(x) er det halve af x minus 2 b f(x) er 1 mindre end x e Jeg tjener 50 kr. mere end Bo c f(x) er det tredobbelte af x f Jeg får 6 kr. mindre end Lene

Om at aflæse på grafer 14

Aflæs funktionsværdierne, når x antager følgende værdier: f(x) g(x) a x=5 c x=1 e x=1 g x = –3 b x=3 d x = –1 f x=2 h x=4 g(x)

f(x)

1

1 1

1

x

x

Om at tegne grafer 15

Tegn grafen for funktionerne: a b

16

17

x

0

1

2

3

f(x)

2

4

6

8

x

–2

0

2

4

g(x)

0

2

4

6

c d

x

0

2

4

6

h(x)

6

4

2

0

x

–2

0

2

4

i(x)

2

2

2

2

Husk kun at medtage tabellens værdier.

35

Tegn grafen for funktionerne: 1 2

a a(x) = –x

d d(x) = – x

b b(x) = x –2

e e(x) = 2x – 3

c c(x) = 2x

f f(x) = 12 x + 3

Tegn grafen for funktionerne: a a(x) = x

1 2

d d(x) = – 4x

b b(x) = x + 3

e e(x) = 2x – 5

c c(x) = 3x – 2

f f(x) =

FUNKTIONER

x 2

+3

101


Om at angive funktioner på forskellige måder 18

36-37

Angiv funktionerne på så mange forskellige måder som muligt. a Anja er to år ældre end Bo b f(x) = 4x + 2 c f(x)

1

d

x

1

x

1

2

3

4

5

6

7

y

6

10

14

18

22

26

30

e Sebastian er to år yngre end Julie.

19

Hver af graferne A til F er billedet af en funktion. Angiv funktionerne på forskellige måder.

f(x)

1

f(x)

A

1

x

1

f(x)

B

1

x

1

C

x

1

f(x)

1

102

1

f(x)

D

x

1

1

f(x)

E

x

1

1

F

x

FUNKTIONER


Opgaver Hvilke fremstillinger repræsenterer den samme sammenhæng?

20

y

a

c

b f(x) = 2,2

x

1

5x + 25

0

f(x)

0

1

2

4

8

hvor x ≥

3 12

x

1

e

• •

d x=y

g

0

x y

0

2

1

4

2

3 6

• 1 1

5

4 8

10

h f(x) er 4 gan

i

ge så stor so

j Tax ipris: 2

,25 kr.

21

)=4 f f(x

pr. km

f(x)

m4 1 1

og 25 k

x

r. i star t

gebyr.

Hvilke påstande er forkerte? a En graf er et billede af en funktion. b At en variabel er uafhængig betyder, at dens værdi kan vælges frit fra grundmængden. c På en graf er førstekoordinaten til hvert punkt funktionsværdien af andenkoordinaten. d Omkredsen af et kvadrat er en funktion af sidelængden. e At en variabel er afhængig betyder, at dens værdi afhænger af værdien af en anden variabel. f For en værdi af den uafhængige variabel må der gerne findes flere værdier af den afhængige variabel. g Arealet af et rektangel er en funktion af omkredsen.

FUNKTIONER

103

0


22

Jens vil forære sin mor chokolade på mors dag. Han køber et antal stykker til 4 kr. pr. stk. a Hvad er de variable i Jens’ køb af chokolade? b Vis på forskellige måder sammenhængen mellem den samlede pris og det antal stykker chokolade Jens køber.

23

Et omrejsende Tivoli tager 20 kr. for at komme ind på området og 10 kr. for at prøve hver forlystelse. a Hvad koster det at komme ind og prøve to forlystelser? b Hvad koster det at komme ind og prøve fem forlystelser? c Hvad koster det at komme ind og prøve x antal forlystelser? d Tegn en graf, der viser prisen som funktion af antal forlystelser. e Peter har 100 kr. med. Hvor mange forlystelser kan han prøve?

24

Omkredsen af et kvadrat er en funktion af sidelængden. Beskriv sammenhængen på mindst tre forskellige måder.

25

Hvis radius i en cirkel er 1 cm, er omkredsen ca. 2π cm. a Udfyld en tabel som denne:

Overvej hvilke punkter, det giver mening at have med på grafen.

s

s 38

Radius (cm)

1

Omkreds (cm)

2

3

100

r

b Tegn en graf, der viser omkredsen som funktion af radius.

104

FUNKTIONER


26

Når man køber stof, afhænger den samlede pris af, hvor meget man køber og prisen pr. meter. a Indfør symboler for de variable. b Opskriv en regneforskrift, der kan være en hjælp, når man skal på stofindkøb.

27

Skriv regneforskriften for tre forskellige funktioner, hvis graf går gennem punktet (2, 5). Byt med en kammerat og kontroller regneforskrifterne.

28

Hos et teleselskab koster hver SMS 50 øre. a Vis med en regneforskrift, hvad det koster at sende x SMS’er. Hos et andet teleselskab koster hver SMS 30 øre, men du skal betale et abonnement på 50 kr. om måneden. b Vis prisen for at sende x SMS'er pr. måned i en regneforskrift. c Hvornår kan det andet tilbud bedst betale sig?

29

Ved måling af temperaturer anvendes enheden grader Celsius (°C) i Europa, mens man i USA bruger enheden grader Fahrenheit (°F). Man kan finde temperaturen målt i °F ved at gange temperaturen målt i °C med 1,8 og lægge 32 til. a Skriv en formel, der kan omregne fra °C til °F. b Skriv en formel, der kan omregne ”den anden vej”. c Tegn en graf, der angiver temperaturen målt i °F som funktion af temperaturen målt i °C. d Ved hvilken temperatur fryser vand?

30

Før en vare sælges, lægges der 25% moms til prisen. a Hvilke af følgende ligninger viser sammenhængen mellem prisen inkl. moms og prisen ekskl. moms? A

25 100

· 100 = y

C

125 100

B

0,25 · x = 100 · y

D

x = y · 0,25

39

·x=y

b Tegn en graf, der viser sammenhængen. c Hvad må en vare højst koste ekskl. moms, hvis du har 100 kr. at købe for?

FUNKTIONER

105


(2)

y y = 2x + 1

(1)

1 1

106

x

31

Trykket ved jordoverfladen er en atmosfære. I vand stiger trykket, jo dybere man kommer ned. For hver ti meter man kommer ned, stiger trykket med en atmosfære. a Hvad er trykket i ti meters dybde? b Angiv en regneforskrift for trykket, som funktion af vanddybden. c I Marianergraven er der ca. 11 km dybt. Hvad er trykket på bunden? d Verdensrekorden i dyk uden ilt er 129 m. Hvad er trykket på den dybde?

32

Ligningen for en ret linje er y = ax + b. Linjen består af alle de punkter (x, y), som er løsning til ligningen. a Tegn den linje man får, hvis a = 2 og b = 1. (x, y) = (0, 1) en løsning, og dermed et punkt på linjen b Tegn to andre linjer, med samme b-værdi. c Hvad er fælles for linjer med samme b-værdi? RET LINJE d Tegn to andre linjer, med samme a-værdi. e Hvad er fælles for linjer med samme a-værdi?

FUNKTIONER


Proportionalitet Ligefrem proportionalitet En funktion kaldes en ligefrem proportionalitet, når regneforskriften kan skrives som f(x) = ax, hvor a er en konstant (a ≠ o) og x og f(x) er variable.

Det betyder, at hvis x eksempelvis bliver fordoblet, så bliver f(x) også fordoblet, og hvis x bliver halveret, så bliver f(x) også halveret. a Er sammenhængene her en ligefrem proportionalitet?

e

x

–1

0

1

2

f(x)

–5

0

5

10

1 2 3

h

x

3

4

5

6

f(x)

7

9

15

21

3 2 1

3 2 1 1 2 3

34

3 2 1

i

f

g

b Når man løber, afhænger den tilbagelagte distance af, hvor længe man har løbet. c f(x) = 7x d f(x) = 43 x + 6

33

1 2 3

Tegn følgende funktioners grafer i samme koordinatsystem: a f(x) = 4x b g(x) =

1 2x

c h(x) = 10x

e j(x) = –2x

d i(x) = 7 + 8x

f k(x) = –3x + 4

40

g Hvilke af funktionerne er en ligefrem proportionalitet?

FUNKTIONER

107


Omvendt proportionalitet En funktion kaldes en omvendt proportionalitet, når regneforskriften kan a skrives som f(x) = x , hvor x ≠ 0, a er en konstant (a ≠ 0) og x og f(x) er variable.

Det betyder, at hvis x eksempelvis bliver fordoblet, så bliver f(x) halveret, og hvis x bliver halveret, bliver f(x) fordoblet. 35

Er sammenhængene her en omvendt proportionalitet? a

b f(x) =

10 x 5 x +

c f(x) = 15 d En klasse har 1850 kr. til lejrskolen. Beløbet til hver elev afhænger af antallet af elever. x

–2

–4

–6

–8

f(x)

–12

–6

–4

–3

x

1

2

3

4

f(x)

20

10

5

2,5

h

f

g

e

2 1

3 2 1

1 2 1 2 3

36

Tegn følgende funktioners grafer i samme koordinatsystem: a f(x) =

41

8 x

b 20 = g(x) · x

c h(x) = 4 + d i(x) = x - 1

x 3

e j(x) = f k(x) =

2 x 1 x

–6

g Hvilke af funktionerne er en omvendt proportionalitet?

108

FUNKTIONER


37

38

a Beskriv sammenhængen mellem længde og bredde i et rektangel, når arealet er 24 cm2. b Tegn sammenhængen mellem længde og bredde i et koordinatsystem. c Brug det samme koordinatsystem, og indtegn sammenhængen mellem længde og bredde, når rektanglet har andre arealer. d Hvordan ændres grafen, når arealet ændres? a Beskriv sammenhængen mellem længden og arealet i et rektangel, når bredden er 5 cm. b Tegn sammenhængen mellem længde og areal i et koordinatsystem. c Brug det samme koordinatsystem, og indtegn sammenhængen mellem længde og areal, når rektanglet har andre bredder. d Hvordan ændres grafen, når bredden ændres?

Eksperimenter

De følgende opgaver er forslag til små eksperimenter. Vurder om sammenhængen mellem de variable størrelser er ligefrem proportional, omvendt proportional eller slet ikke er proportional. Undersøg derefter jeres påstand ved at gennemføre eksperimentet i praksis.

39

Undersøg, om den tid, det tager at smelte en isterning, er proportional med omgivelsernes temperatur.

40

Undersøg, om den tid, det tager at bringe noget vand i kog, er proportional med mængden af vand.

41

Undersøg, om den tid, et stearinlys er om at brænde ned, er proportional med lysets vægt.

42

Undersøg, om en cykels bremselængde er proportional med hastigheden.

FUNKTIONER

l cm

1

2

3

4

b cm 24 12

Hvordan er sammenhængen mellem…? De to ting må da være ligefrem proportionale, fordi…?

109


Post

TEMA

Der er flere muligheder, når man skal sende breve eller pakker til Danmark eller udlandet. Når man skal sende et brev eller en pakke, kan der være stor forskel på priserne hos de forskellige kurer- eller budfirmaer.

43

110

Man kan sende pakker, der vejer op til 20 kg, med Post Danmark. Hvis man skal sende tungere pakker, kan man få et tilbud på posthuset. a Hvor meget koster det at sende pakker indenrigs, der vejer 500 g, 2 kg, 5 kg, 5,1 kg og 17 kg? b Vis sammenhængen mellem vægten og Post Danmarks priser indenrigs i et koordinatsystem. c Beskriv grafens udseende.

FUNKTIONER


ENKEL PRISSTR UKTUR

Intet startgebyr Intet ekspresgebyr Intet faktureringsgeb yr

Kilometerpris 7,50 kr. Ekstra vente- eller læs setid 4,50 kr. pr. min.

44

KurerNet fragter større forsendelser rundt i Danmark. a Hvor meget koster det at sende fragtgods 20 km, 80 km, 160 km og 380 km med KurerNet, når ventetid samt af - og pålæsning udgør 10 min.? b Skriv en regneforskrift for prisen som funktion af afstanden. c Tegn funktionens graf i et koordinatsystem.

45

Et firma i Aalborg sender pakker til Esbjerg, Hanstholm, Frederikshavn, Århus og Sønderborg med KurerNet. Hvor meget koster hver tur, når vente- og læssetid udgør 10 min.? 165

215

187

123

317

125

177

207

278

180

62

139

359

38

219

114

144

Frederikshavn

175

101

24

307

179

188

109

Hanstholm

66

51

104

246

153

106

Hobro

49

156

167

147

259

Horsens

219

102

174

399

Skagen

189

297

286

Sønderborg

148

96

Thisted

117

Aalborg

Esbjerg

Tabellen viser antal km mellem byerne. Fx er der 167 km mellem Thisted og Horsens.

Århus

FUNKTIONER

111

:


TEMA

Vandforbrug

Vand er den vigtigste ressource på Jorden. Hverken mennesker, dyr, eller planter kan overleve uden vand. I Danmark får de fleste vand fra et vandværk, hvor det renses, så alt vand hos forbrugeren er drikkevand. 46

Man kan aflæse forbruget af vand på sin vandmåler. I august 2002 viste en måler 3.047 m3. I august 2003 viste den 3.129 m3. a Hvor stort var vandforbruget det år? b Aflæs måleren på billedet. Hvad vil måleren vise efter et år, hvor forbruget er 98 m3? Fast årlig afgift, pr. måler: kr. 225,00 (inkl. moms) kr. 281,25 Pris pr. m3 i 2003: Vandafgift Miljøafgift til staten Vandafledningsafgift moms 25 % I alt

kr. kr. kr. kr. kr. kr.

5,00 5,00 14,50 24,50 6,13 30,63 + målerafgift

Kilde www.slagelsekommune.dk

47

112

Familien Jensen i Slagelse bruger årligt 150 m3 vand. a Hvad koster deres vandforbrug inkl. moms årligt? b Hvad koster det, hvis de årligt sparer 20% på vandet? c Hvad koster det, hvis deres årlige forbrug stiger med 50 m3? d Skriv en regneforskrift for vandprisen pr. m3 som funktion af forbruget. e Undersøg, hvad vand koster i din kommune, og skriv en regneforskrift for vandprisen som funktion af forbruget.

FUNKTIONER


0 cl) inerale ( 2 x 15 2 stk. Aqua M 0,75 l) ldevand ( 2 x 2 stk. Vittel Ki el Kildevand 2 stk. 1,5 l Vitt ian 3 stk. 1,5 l. Ev nd 0,25 l Dansk Va 0,33 l Ramløsa ua d’or 6 stk. 1,5 l Aq

15,95 kr. 10,00 kr. 15,00 kr. 30,00 kr. 1,00 kr. 4,50 kr.

Vandmærke Aqua Miner ale Vittel Kildev and (0,75)

Literpris

22,00 kr.

48

a Hvad koster det at drikke en liter vand fra hanen i Slagelse? b Hvad er literprisen for de forskellige typer vand på flaske? c Sammenlign priserne på en liter vand på flaske med prisen på vand fra hanen. d Skriv tre regneforskrifter, der viser prisen som funktion af antal liter, for de forskellige typer vand. e Tegn tre af funktionernes grafer i samme koordinatsystem.

49

Når vand koger, bliver det til damp. 1 dm3 vand fylder ved almindeligt atmosfærisk tryk 1680 dm3 som damp. a Hvad fylder 12 liter vand, når det er blevet til damp? b Vis sammenhængen mellem mængden af vand og mængden af damp i en tabel.

50

1 liter vand vejer 1 kg. 1dm3 is vejer 0,9 kg. a Fylder et kg is mere, mindre eller det samme, som et kg vand? b Undersøg, om mængden af is er proportional med mængden af vand, der fryses.

FUNKTIONER

Sammenlign ing

113


Afrunding ■

Giv eksempler på funktioner.

Hvad er ikke en funktion?

På hvilke måder kan du beskrive en funktion?

Sammenhæng bel Uafhængig varia

Entydi g

Regneforskrift

Funktion

bel a i r a v ngig æ h f A Pile bille de

Ligning

Maskine Graf

Proportionali tet Regnea rk

Tabel


KONSTRUKTIONER

■ Hvilke forudsætninger har tømreren for at bygge taget? ■ Hvilke figurer indgår i tagkonstruktionen? ■ Hvad er højden på taget?

Hvor stor skal en tunnel

være?

Hvor mange ræsonnementer fører til

den rette konstruktion?

Hvad kan man stole på, på en skitse?


Længden af et linjestykke kan anføres på to måder: A c

Vinklerne i en figur kan navngives på to måder: A

b

c

a

B

C

|AB| = c |BC| = a |AC| = b

A |AD| = |BC|, |AB| = |CD| og ∠D = ∠B

C

∠A= ∠BAC ∠B = ∠ABC ∠C = ∠ACB

A

B

A

b Parallelle: a || b l m

B

Vinkelrette: l ⊥ m Vinkelrette linjer er normaler til hinanden.

B

D

C A

A

B

A

B

B C

D

C

C A

A

D

116

a

Hvad kaldes disse figurer?

1

C

Forhold mellem to linjer:

b

a

B

Når to linjestykker eller to vinkler er lige store, kan det vises med små streger. C D

F

E

D

C

B

C

B

2

Hvad ved du om figurerne i opgave 1? Skriv det ”matematisk”.

3

Se på skitsen her. a Er de angivne vinkelstørrelser rigtige? b Er den angivne sidelængde rigtig? c Konstruer trekanten med de opgivne mål. Beskriv, hvordan du gjorde. d Hvilke oplysninger på en skitse kan man stole på?

4

Konstruer en figur ud fra denne beskrivelse: 1. Afsæt et linjestykke AB på 5 cm. 2. Tegn en linje gennem punktet A, vinkelret på AB. 3. Tegn en cirkel med centrum i punktet B og radius på 6 cm. 4. Kald skæringspunktet mellem cirklen og linjen vinkelret på AB for C. 5. Indtegn linjestykkerne AC og BC.

KONSTRUKTIONER


5

Konstruer de skitserede figurer.

a

c

b

f

d

e

6

Konstruer de skitserede figurer og forklar, hvordan du gør.

7

Konstruer de skitserede trekanter.

a

”Jeg skal f orklare det hele o g kun m ed ord”.

b c

d

8

e

f

Hvad skal du vide for at kunne tegne en trekant entydigt?

KONSTRUKTIONER

117


Geometri handler om beskrivelse og måling af figurer. Udgangspunktet kan være en given figur, hvis egenskaber man forsøger at beskrive. Men man kan også ”gå den anden vej” og forsøge at konstruere en figur med bestemte egenskaber.

Ræsonnement: Fornuftsmæssig slutning

Denne måde at tænke på stammer fra oldtidens Grækenland. Når de græske matematikere konstruerede geometriske figurer, beskrev de omhyggeligt, hvordan de gjorde. Fra nogle forudsætninger nåede de, ved hjælp af ræsonnementer, frem til det ønskede resultat: En geometrisk figur med bestemte egenskaber.

Forudsætninger

Ræsonnement

Resultat

Geometrisk konstruktion En skitse er et udkast, hvor man kun kan stole på oplysningerne – ikke på figurens udseende

118

1

Forudsætningerne tegnes ind på en skitse.

2

Ved hjælp af ræsonnementer og afprøvninger undersøges det, om konstruktionen er mulig. Hvis den er det, bestemmes og nedskrives rækkefølgen i tegneprocessen.

3

Resultatet af konstruktionen vurderes ved at sammenholde resultatet med forudsætningerne.

KONSTRUKTIONER


Konstruer en trekant med sidelængderne 4 cm, 8 cm og 5 cm. For at få overblik tegnes en skitse. Trekanten kan godt tegnes, fordi de to korte sider tilsammen er længere end den længste.

Begynd med at tegne linjestykket AB på 8 cm.

Brug passeren til at finde punkter med afstanden 5 cm fra A og 4 cm fra B.

Buernes skæringspunkt skal svare til C på skitsen.

KONSTRUKTIONER

Passer trekantens mål med forudsætningerne? Er der flere løsninger?

119


Øvelser Om at tegne skitser En regulær polygon er en figur, hvor alle sider og alle vinkler er lige store.

9

10 mABC betyder trekant ABC

Hvad ved du om: a et kvadrat b en cirkel c et parallelogram d en 7-kant e en retvinklet trekant

f g h i j

en femkant et rektangel en regulær ottekant en ligesidet trekant et trapez

Tegn skitser efter disse beskrivelser: a Et kvadrat med sidelængden 3 cm b En trekant med siderne 6 cm, 5 cm og 4 cm c mABC, hvor |AB| = 4 cm, ∠C er 60° og ∠A er 70° d mABC, hvor |AB| = 5 cm, ∠C er 50° og ∠B er 35° e Et trapez, hvor AB || CD, |AB| = 7 cm, |BC| = 3,5 cm, ∠A er 55° og ∠B er 35° f En regulær 6-kant med sidelængden 3 cm

Om at beskrive figurer 11

Hvilke konstruktioner er rigtige i forhold til skitsen?

D A

E

B

F

C

120

KONSTRUKTIONER


12

Beskriv figurerne med matematisk sprog.

a

c

b

f e d

Om at konstruere 13

Konstruer figurer efter skitserne. b

a

c

e

f

d

14

Konstruer de polygoner, du tegnede i øvelse 10.

15

Konstruer følgende polygoner: a mABC hvor ∠C er 50°, ∠A er 40°, |AB| = 10 cm, |BC| = 8 cm. b En regulær 6-takket stjerne. c Firkant ABCD, hvor ∠A er 58°, ∠B = ∠D, og alle sider er 4 cm. d En sekskant, hvor ∠C er 90°, ∠D er 280°, |EF| = 5,5 cm, ∠F er 68°, ∠E er 53°, |DE| = 3,6 cm, |AF| = 7,5 cm, |AB| = 3 cm og |BC| = 4 cm.

KONSTRUKTIONER

42-43

121


Opgaver 16

Eleverne i 7. klasse fik denne opgave: ”Konstruer en ligebenet trekant, hvor |AB| = 3 cm, |BC| = |AC| og h c = 2 cm” (h c er højden fra C). Her er fire af elevernes løsninger. Hvem har ræsonneret og konstrueret rigtigt?

søren

Først tegnes AB. Når |AC| = |BC| så er hc midt på AB. hc afsættes. Trekanten tegnes færdig.

mie

Først tegner jeg en streg på 3 cm. Så tegner jeg en på 2 cm, som rammer den. Så tegner jeg trekanten færdig.

17

18

19

122

melissa

jonas

Jeg tegner først AB. Så finder jeg midten af den og tegner en vinkelret linje på 2 cm. Toppen af den er C. Så er trekanten færdig.

To streger er lige lange. Hvor der er 3 cm er trekanten færdig.

Hvilken figur er beskrevet, når: a figuren har mellem to og otte sider, siderne er mellem 3 cm og 6 cm, og alle vinkler er rette? b alle sider er 5 cm, og alle vinkler er 60°? c alle figurens punkter befinder sig 4 cm fra et bestemt punkt? d figuren har fire sider, og de vinkler, der ligger overfor hinanden er ens? e figurens diagonaler er lige lange og alle vinkler er rette? a Konstruer mABC, når |AC| = 5 cm, ∠A er 40° og hb = 3 cm. b Forklar, hvordan du gjorde. a Konstruer mABC, når: |AB| = 4,6 cm, ∠B er 60° og h c = 4 cm. b Forklar, hvordan du gjorde.

KONSTRUKTIONER


20

a Konstruer mABC, når: |AC| = 5,3 cm, h b = 3,5 cm og |AB| = 4,5 cm. b Forklar, hvordan du gjorde. B

A

C

n e E

F G

D

21

a Konstruer figurer efter skitserne. b Beskriv, hvordan du gjorde. c Kan der konstrueres forskellige figurer ud fra skitserne? Hvorfor/hvorfor ikke? d Hvorfor kan nogle af figurerne ikke konstrueres, selv om der er skitser af dem?

22

Hvor mange punkter kan der afsættes på et stykke papir, hvis der skal være samme afstand mellem alle punkter? Hvorfor?

23

Konstruer en regulær 6-kant, og brug den som hjælp til at konstruere en regulær 6-takket stjerne.

24

Konstruer en regulær 8-takket stjerne.

25

Tegn en vilkårlig firkant, marker sidernes midtpunkt og forbind dem i rækkefølge. Hvilken figur dannes af de fire nye linjer?

KONSTRUKTIONER

123


26

27

28

29

Afsæt to punkter. Konstruer den punktmængde, hvor: a afstanden til de to punkter er den samme. b afstanden til de to punkter er den samme og mindst mulig. c summen af afstandene til de to punkter er mindst mulig. a Konstruer mABC, når |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm og ∠A er 70˚. En vinkelb Tegn trekantens vinkelhalveringslinjer, halveringslinje kald deres skæringspunkt O, og kald afdeler en vinkel i to lige store standen fra O til en af trekantens sider r. vinkler. c Tegn en cirkel med centrum i O og med radius r. d Konstruer to nye trekanter, og gentag opgave b og c. e Beskriv cirklernes placering. a Konstruer mABC når |AB| = 5 cm, ∠A er 55˚ og |BC| = 5 cm. b Tegn trekantens midtnormaler, kald deres skæringspunkt O, og kald afstanden fra O til en af vinkelspidserne r. c Tegn en cirkel med centrum i O og med radius r. d Konstruer to nye trekanter, og gentag opgave b og c. e Beskriv cirklernes placering. Der skal bores en tunnel til en metrobane. Tegn en skitse, der viser, hvor stor tunnellens diameter skal være, for at to vogne kan passere hinanden.


Målestoksforhold E

B

F

D

A

C

Trekanterne ABC og DEF er ligedannede, fordi de har samme form. Det lineære forhold mellem trekanterne er 3 : 1. Det betyder, at hver side i ABC er tre gange så lang som de tilsvarende sider i DEF. Dette forhold kaldes målestoksforholdet. Meget små eller meget store ting er ofte afbildet i et målestoksforhold, hvor tallene viser forholdet mellem tegningen og virkeligheden.

1 : 200.000

20 : 1

Bestem målestoksforholdet mellem de ligedannede figurer.

30

A1

A

B

C1

C

B1 D D1 E

KONSTRUKTIONER

E1

125


31

Tegn figurerne i følgende målestoksforhold: 2 : 1, 1 : 2 og 3 : 1.

C

A

D

E

B

44

126

32

Beskriv med ord, hvordan tingene skal tegnes i de angivne målestoksforhold. a Blyant 1 : 2 c Mønt 4 : 1 e Bordplade 1: 20 b Tændstik10 : 1 d Tavlesvamp 1: 8 f Bornholm 1: 500.000

33

Tegn et kvadrat med sidelængden 1 cm. Forstør kvadratet i målestoksforholdet 2:1, 3:1, 5:1 og 10:1 a Hvad er der sket med sidernes måltal? b Hvad er arealet af kvadraterne? c Hvad er der sket med arealernes måltal? d Er længdeforholdet det samme som arealforholdet? Hvorfor/hvorfor ikke? e Tegn en ny figur, og forstør i de samme målestoksforhold. Svar derefter på spørgsmål a-d.

Man kan ofte med fordel løse opgaver ved hjælp af konstruktion i målestoksforhold, hvor man bruger tegningen til at måle på. 34

Hvor stor er diagonalen i et rektangulært klasselokale, som er syv meter bredt og otte meter langt?

35

Mathiesen skal have malet sit hus. Hans stige er fire meter lang, og han vil helst have den til at stå i en vinkel på 60°. Hvor langt kan stigen nå op?

36

Tegn klasseværelsets tavle i et målestoksforhold, så den kan være på et stykke A4-papir.

37

Tegn en grundplan af jeres klasselokale i et passende målestoksforhold.

38

Tegn grundplanen af et hus på 120 m2.

KONSTRUKTIONER


Lejrskole på Bornholm

TEMA

Afstanden i km Allinge Gudhjem Hasle Neksø Rønne Svaneke Aakirkeby

jem Allinge Gudh

Neksø

Hasle

45-46

1 : 500.000

39

a Tegn en skitse af Bornholm på en planche i et passende målestoksforhold. b Placer Bornholms største byer på skitsen. c Mål og beregn afstanden mellem byerne i fugleflugtslinje, og indsæt tallene i et skema som vist.

I mange år har rundkirkerne været et af Bornholms vartegn. I gamle dage blev de brugt som kirker, til forsvar og til opbevaring af forråd. Der er en rundkirke i Nyker, Olsker, Østerlars og Nylars. Østerlars Rundkirke er den største. 40

Tegn rundkirkens grundplan i et passende målestoksforhold.

0

5

10

15

20

25 m


På Nordbornholm ligger Nordeuropas største borgruin Hammershus. Byggeriet af Hammershus begyndte i 1200-tallet. Der er efterfølgende bygget om og til adskillige gange. Fotoet viser borgruinen, som den ser ud i dag. Tegningen viser, hvordan bygningerne engang har været bygget sammen. Krydset på tegningen viser, hvorfra fotoet er taget. 41

128

Forestil dig, at du står ved krydset på tegningen og ser op imod Hammershus. Hvordan så bygningerne på fotoet ud i 1200-tallet? Tegn bygningerne, som de kunne have set ud dengang.

KONSTRUKTIONER


Danmarks tredje største skov ligger på Bornholm. Den hedder Almindingen. Her kan man finde forskellige seværdigheder, såsom Rokkestenen, Kongemindet og Ekkodalen.

42

Hvor langt er der mellem Kongemindet og Rokkestenen?

43

Find længden af en rute, der begynder ved Kongemindet, passerer Rokkestenen og Ekkodalen og ender ved en af parkeringspladserne.

44

Find længden af andre vandreture.

KONSTRUKTIONER

47

129


Taxageometri

B

• D

A

C

45

a b c d

Find den korteste vej fra A til B. Hvor langt er der fra A til B, hvis du skal følge stregerne? Besvar spørgsmål a og b med hensyn til A–C og A–D. Er den direkte vej altid kortere end vejen langs stregerne?

Forestil dig, at du kigger ned på en by fra en flyvemaskine. Alle veje krydser hinanden som i det ternede net. Fugle kan flyve den direkte vej fra A til B, men mennesker må gå eller fx køre i taxa. Heraf navnet på den type geometri, du skal arbejde med her: Taxageometri.


I taxageometri er der altid lige langt mellem vejkrydsene, som kaldes knuder, og man starter, drejer og slutter altid i en knude. Et stop undervejs kaldes et punkt. 46

På et stykke ternet papir svarer alle skæringspunkterne til knuder. a Afsæt et punkt A i en tilfældig knude. Marker alle de knuder, der ligger 1 vejlængde fra A. Hvor mange punkter er det? b Afsæt et nyt punkt B i en tilfældig knude. Marker alle de knuder, der ligger 2 vejlængder fra B. Hvor mange punkter er det? c Afsæt et nyt punkt C i en tilfældig knude. Marker alle de knuder, der ligger 3 vejlængder fra C. Hvor mange punkter er det? d Afsæt et nyt punkt D i en tilfældig knude. Marker alle de knuder, der ligger 4 vejlængder fra D. Hvor mange punkter er det? e Find en regel for antallet af punkter, der har samme afstand fra et fælles udgangspunkt. f Hvilken figur danner punkterne? g Hvilken figur danner punkterne i den „almindelige” geometri?

47

a Afsæt nogle punkter, som ligger lige langt fra E og F. b Afsæt nogle punkter, som ligger lige langt fra E og G.

F

• H

E

c Hvor findes de punkter, som ligger lige langt fra E og F samt E og G? Hvorfor? d Afsæt nogle punkter, som ligger lige langt fra E og H. e Hvordan ligger de punkter, som ligger lige langt fra E og H? Hvorfor?

KONSTRUKTIONER

G

TAXA

131


Afrunding ■

Hvad er en skitse?

Hvad er geometrisk konstruktion?

Hvad skal man mindst kende for at kunne konstruere en trekant?

Passer

Lineal

Konstr uktion

net Ligedan

Tegning

Linje

Ræsonn ement Målestoksforhold

Skitse Resultat

Vin kelr et Diagonal

tning Forudsæ Højd e


ÆNDRINGER ■ Hvilke ting på billederne har ændret sig fra 1. klasse til 7. klasse? Hvem er stærkest: En elefant eller en myre? Er 100 kr. mange penge?

Kan 1.000.000 kr. være småpenge? Hvordan kan matematik ændre arbejdet med ændringer?


134

1

Hvor meget er a 15% af 200? b 2% af 1.500? c 12 % af 450?

Hvor mange % er d 15 af 200? e 30 af 1.500? f 12 af 50?

Hvad svarer 100% til, hvis g 20 svarer til 10%? h 30 svarer til 15%? i 5 svarer til 2%?

2

Udregn ændringen fra a 20 til 25 e 2 til 3 b 100 til 105 f 2 til 42 c 500 til 1.000 g 0,5 til 0,75 d 500.000 til 1.000.000

3

Angiv ændringerne fra opgave 2 i procent.

4

Olsen synes, han har taget alt for meget på, men det er kun 5 kg. a Hvad kan Olsen have vejet før, hvis de 5 kg udgør en stor procentvis stigning? b Hvad kan Olsen have vejet før, hvis de 5 kg udgør en lille procentvis stigning?

5

Find eksempler på situationer, hvor et vægttab på 10 % svarer til a et tab på mange kg b et tab på få kg eller gram c et tab på præcis 10 kg

6

Hvad er mange penge? 10 kr., 100 kr., 1000 kr., 100.000 kr., 1.000.000 kr. eller 1.000.000.000 kr.?

7

Sarah fik 50 kr. om ugen i lommepenge. Da hun fyldte 13 år fik hun 60 kr. om ugen. Jasmin fik også 50 kr. om ugen i lommepenge. Da hun blev 13 år, steg lommepengene med 10%. a Hvem fik den største stigning? b Hvad er bedst: At få 10 kr. eller 10% mere i lommepenge? c Hvornår er det lige godt?

ÆNDRINGER


Absolut og relativ ændring Når man skal sammenligne to tal y1 og y2, kan man beregne to forskellige slags ændringer: Absolut ændring viser, hvor meget det sidste tal y2 er større eller mindre end det første tal y1. Man skal med andre ord udregne differencen y2 – y1.

Relativ ændring viser, hvor stor en brøkdel den absolutte ændring udgør af det første tal y1. y –y Man skal med andre ord udregne forholdet y . 2

1

y1 = 10 y2 = 15

15 – 10 = 5 differencen er 5

15 – 10 5 10 = 10 = 50%

1

Når man skal sammenligne to tal, er det vigtigt at tænke over, hvad der er mest interessant at vise: Den absolutte eller den relative ændring. Det kan ikke afgøres ud fra tallene alene, men afhænger af den situation, man er i, og hvad man vil vise.

Du kommer ti minutter for sent!!!!

Er jeg ikke bare stærk?

ÆNDRINGER

Ja ja, men vi har jo hele aftenen, så det svarer kun til ca. 2%.

Det synes jeg ikke! Vægten af det, jeg bærer, måles i ton, mens jeg kan have det du bærer siddende i en hudfold uden at mærke det.

ed, ligeglad m et er. Jeg er da nd e n e ft a f en del a r en o st hvor stor er er for Ti minutt er slut, og e rn e m la e, for rek ls e k t. in d rs yn fo beg filmen er

re jeg kan bæ Rigtigt, men gt. væ en eg in 50 gange m r det Hvordan se ud regnestykke dig? for

135


Øvelser Om at beregne absolutte og relative ændringer 8

9

Hvor mange procent er a 10 større end 8 b 8 større end 4 c 22 større end 20 d 12 større end 10

e f g h

7 større end 5 12,5 større end 10 22,5 større end 20 48,6 større end 36

Beregn den absolutte og relative ændring, hvis et tal ændres fra a 4 til 5 e 10 til 12 i 2 til 1

Lisette - prøv lige en gang at beregne den absolutte og den relative ændring af en matematiktime, hvis mødetiden ændres fra 8.00 til 8.30.

b 4 til 6 c 5 til 6 d 6 til 5

136

f 12 til 10 g 10.000 til 12.000 h 12.000 til 10.000

j 1 til 2 k 0,5 til 1 l 1 til 0,75

10

Beregn den absolutte og relative ændring, hvis et tal ændres fra a 5 til 7 e 16 til 14 i 240 til 350 b 5 til 9 f 8 til 7 j 150 til 350 c 20 til 21 g 150 til 180 k 1 til 0 d 20 til 28 h 180 til 240 l 0 til 1

11

Beregn den absolutte og relative ændring både ”skridtvis” og totalt, hvis et tal ændres fra a 4 til 6 til 9 f 3 til 5 til 4 b 9 til 6 til 4 g 5 til 3 til 4 c 20 til 30 til 45 h 5 til 4 til 3 d 45 til 30 til 20 i 4 til 3 til 5 e 3 til 4 til 5 j 4 til 5 til 3

ÆNDRINGER


Om at vurdere absolutte og relative ændringer 12

Beregn i hvert tilfælde både den absolutte og den relative ændring og vurder hvilken, der er mest interessant at kende i de forskellige sammenhænge. a En lønstigning fra 56 kr./time til 60 kr./time. b Et vægttab fra 53 kg til 50 kg. c En stigning i antallet af matematiktimer fra 4 timer/uge til 5 timer/uge. d En prisstigning på et stykke slik fra 1 kr./stk. til 2 kr./stk. e En prisstigning på en computer fra 4.999 kr. til 5.000 kr.

48-49

Jeg synes faktisk, at det er langt mere interessant at vurdere, hvor meget mine lommepenge er steget fra det ene år til det andet.

f Et prisfald på en mobiltelefon fra 399 kr. til 299 kr. g Et prisfald på sodavand fra 17,50 kr. til 12,50 kr. h En lønstigning fra 3080 kr/uge til 3234 kr./uge. 13

Hvad er mest interessant at kende i nedenstående sammenhænge: Den absolutte eller den relative ændring/forskel? Begrund dit svar. a Din stigning i lommepenge fra det ene år til det andet. b Aldersforskellen mellem to søskende. c Rabatten på en vare. d Hvor mange dage en vares sidste salgsdato er overskredet. e Hvor meget træningsmængden er øget. f Temperaturforskel mellem nat og dag. g Hvor meget du kommer for sent til første time. h Hvor meget en bilist overskrider hastighedsgrænsen.

ÆNDRINGER

137


Opgaver 14

På Nørreskolen er 314 ud af 608 elever drenge. På Sønderskolen er 264 ud af 500 elever drenge. a På hvilken skole går der flest drenge? b Går der også relativt set flest drenge på samme skole?

7.a 20 elever illere 4 fodboldsp

7.c 18 el eve 4 fod bolds r piller e

7.b 24 elever 5 fodboldspillere

FUGL Solsort ge Fuglekon se ej tm æ Sp

sel Sangdros Sjagger Sortklire Gøg

LÆNGDE ca. 25 cm ca.

9 cm

ca. 15 cm ca. 23 cm ca. 26 cm ca. 30 cm ca. 35 cm ca. 40 cm

Natugle . 45 cm spove ca Lille regn ca. 55 cm Musvåge m ca. 100 c Stork

138

15

a I hvilken klasse er der flest fodboldspillere? b I hvilken klasse er der procentvis flest fodboldspillere? c Hvorfor er der forskel på svarene i a og b?

16

Angiv ændringen absolut og relativt i procent, når et tal falder fra a 25 til 20. d –10 til –15. g – 750 til –1000. b 20 til 15. e 1000 til 750. h –1000 til –1250. c 15 til 10. f 1000 til 995.

17

a b c d e

Find en fugl i tabellen, der er ca. 5 cm længere end en solsort. Find en fugl i tabellen, der er ca. 5% længere end en solsort. Find en fugl i tabellen, der er ca. 20 cm længere end en solsort. Find en fugl i tabellen, der er ca. 20% længere end en solsort. Hvor mange procent er en spætmejse længere end en fuglekonge? f Hvor mange procent er en natugle længere end en gøg? g Hvad er det procentuelle forhold i % mellem længden af en solsort og en stork? h Hvad er det procentuelle forhold i % mellem længden af en fuglekonge og en lille regnspove?

ÆNDRINGER


18

En racerkører har sat sin hastighed ned med 50 %. Hvad kørte han før, hvis han nu kører: a 50 km/t. d 153 km/t. b 10 km/t. e 196 km/t. c 76 km/t.

19

På kartonen anbefales blandingsforholdet 1 : 4 mellem saft og vand. a Hvor mange procent er saft, og hvor mange procent er vand? b Hvor meget stærkere bliver blandingen, hvis blandingsforholdet er 1 : 3? c Hvor meget svagere bliver blandingen, hvis man i stedet bruger blandingsforholdet 1 : 5? d Kom med forslag til, hvordan man kan blande en liter saftevand, der er halvt så stærk som den anbefalede koncentration.

20

Her er angivet nogle blandingsforhold.

.

LÆ s k

Saftevand 4 Blandes 1 :

Banza i Rengø

ringsmid del Blande

L TAnzin O T lertbe 00 l Kna des 2 : 1 a l n B

s 1 : 20 0

a Skriv de blandingsforhold, hvor blandingerne er halvt så stærke. b Find selv blandingsforhold, der gør blandingerne stærkere. 21

En myretue kan blive en meter høj. Empire State Building er 448,6 meter høj. Vurder, hvad der vil opleves højest: En myretue for en myre eller Empire State Building for et menneske?

ÆNDRINGER

139


140

22

En liter mælk og et brev med tørret oregano har overskredet holdbarhedsdatoen med en uge. For hvilken af varerne er overskridelsen alvorligst? Begrund svaret.

23

Giv eksempler på situationer, hvor beløbene er mange penge og situationer, hvor de er småpenge: a 10 kr. d 1.000.000 kr. b 100 kr. e 1.000.000.000 kr. c 10.000 kr. f 100.000.000.000 kr.

24

Giv eksempler på situationer, hvor de relative ændringer herunder svarer til en absolut stigning på 100 kr. a 10% c 1000% e 0,1% b 100% d 1% f 0,01%

25

Udregn værdien af a, når den absolutte ændring er den samme, og når den relative ændring er den samme. a 20 svarer til 30, som 100 svarer til a. b 10 svarer til 20, som 20 svarer til a. c 10 svarer til 0, som 20 svarer til a. d 0 svarer til 1, som 10 svarer til a. e 5 svarer til 8, som a svarer til 16. f 20 svarer til a, som 100 svarer til 150. g a svarer til 20, som 100 svarer til 150. h 20 svarer til 10, som a svarer til 150. i 10 svarer til a, som 0 svarer til 10. j 1 svarer til a, som a svarer til 9.

ÆNDRINGER


26

I mange sportsgrene – fx håndbold – udregner man hver spillers scoringsprocent, dvs. hvilken procentdel af de affyrede skud, der er blevet scoret på. Mia har normalt en scoringsprocent på 75. Nu er der pause mellem de to halvlege, og Mia har kun scoret på to ud af fem forsøg. a Hvor mange gange i anden halvleg skal Mia score uden at brænde for at nå op på sin sædvanlige scoringsprocent? b Hvor mange mål skal hun score i anden halvleg, hvis hun brænder en gang og stadig skal holde sin scoringsprocent? c Hvor mange mål skal hun score i anden halvleg, hvis hun brænder to gange og stadig skal holde sin scoringsprocent? Isabel scorede på alle sine fire forsøg i første halvleg, men blev skadet og måtte derefter udgå. d Hvad kan Mia gøre i anden halvleg for at nå op på samme scoringsprocent som Isabel?

27

Hvor meget mere får man ud af at være tre personer, der skal dele et beløb ligeligt i forhold til, hvis man var fire, der skulle dele samme beløb?

28

De tre 7. klasser på Bykøbing skole har opført den årlige skolekomedie og skal nu dele overskuddet på 6.000 kr. ligeligt mellem klasserne. Eleverne i 7.a bliver enige om, at de ikke var så aktive som eleverne i de andre klasser. Derfor vil de kun bede om at få halvt så meget som hver af de andre klasser. a Hvor meget mister 7.a ved at træffe denne beslutning? b Opstil en ligning, der kan løse problemet.

ÆNDRINGER

Prøv med forskellige beløb.


TEMA

Udsalgspriser

Mange butikker reklamerer flere gange om året med udsalgstilbud. Tilbudene kan være angivet på mange forskellige måder. Man får en procentdel af prisen i rabat, eller der trækkes et fast beløb fra prisen. UDSALG

A

B

Sony 21" TV

Phillips 28" TV

Før 4.999 nu 4.599

Før 6.899 spar 15%

D

B&O 28" TV

E

500 kr. Før 12.999 spar 1.

29

8" TVr. 2 s p i Phill spar 1.000 k 5.998

Sony DVD afspiller

142

BUTIK 2:

afspiller D V D y n o S par 500. s Før 1.499

30

" TV Sony 298spar 20% Før 3.99

Grundig 3 2" TV Før 7.998

F

nu 6.998

a Hvad er den relative besparelse på hvert af de seks tv'er? b Hvad er den absolutte besparelse på hvert af de seks tv'er? c Hvorfor er den største relative og den største absolutte besparelse ikke på det samme tv?

BUTIK 1:

Før 1.299 nu 977

C

BUTIK 3 :

Sony D V

D afspil Før 1.29 ler 9 spar 25%

Nikolaj vil købe en dvd-afspiller. Han finder den samme afspiller i 3 forskellige forretninger. a Hvilken forretning har den største prisnedsættelse? b Hvor er dvd-afspilleren billigst?

ÆNDRINGER


Ved ”hollandsk udsalg” nedsættes en vares pris med et beløb hver dag, så længe udsalget varer. Det vil sige, at jo længere man venter med at handle, desto mindre skal man betale. ”Hollandsk udsalg” forekommer oftest i forbindelse med lagersalg og loppemarkeder.

Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag

Musik-cd'er

dvd'er

Spil

50 kr. 45 kr. 40 kr. 35 kr. 30 kr. 25 kr.

100 kr. 90 kr. 80 kr. 70 kr. 60 kr. 50 kr.

150 kr. 130 kr. 110 kr. 90 kr. 70 kr. 50 kr.

salg tte d u k sa nds Holla varer nedvente? - alle nge tør du Hvor

31

a Hvor meget sparer man ved at vente til onsdag med at købe tre musik-cd’er? b Hvor meget sparer man ved at vente til lørdag med at købe to dvd’er, tre spil og en musik-cd? c Hvor mange % falder prisen på hver vare fra mandag til onsdag? d Hvor mange % falder prisen på hver vare fra onsdag til lørdag?

32

Hvilke fordele og ulemper er der ved ”hollandsk udsalg”?

ÆNDRINGER

143


Afrunding ■

Hvad er den absolutte ændring mellem to tal?

Hvad er den relative ændring mellem to tal?

Hvornår anvendes den absolutte ændring til sammenligning?

Hvornår anvendes den relative ændring til sammenligning?

Forhol d

Relativ ændring

Procent Samm enlign ing

Forske l

ring d n æ lut Abso Ændring


TÆLLEMODELLER

■ Hvor mange forskellige menuer kan man sammensætte på en burgerbar.

Kan du regne med et tælletræ? Er der over en million he

nvisninger til hunde på int

ernettet?

Hvad er et mængdediagram? Hvilke tal går op både i 12, 63 og 98?

145


1

Kenneth, Christian og Anders er alene tilbage i finalen i 60 m løb. Hvor mange mulige rækkefølger er der for deres placering?

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a b c d

3

Hvilke af tallene findes både i 4-tabellen og i 6-tabellen? Hvilke af tallene findes enten i 4-tabellen eller i 6-tabellen? Hvilke af tallene findes kun i 4-tabellen eller kun i 6-tabellen? Hvilke af tallene findes hverken i 4-tabellen eller i 6-tabellen?

Hvor mange personer er a lyshårede? d rødhårede? b mellemblonde? e piger? c sorthårede? f drenge? g mellemblonde piger? h lyshårede drenge?


4

Skriv 2-cifrede tal, ved at bruge cifrene 0, 1, 2, 3 og 4. Hvor mange forskellige tal a kan du skrive? d er mindre end 22? b begynder med 1? e er delelige med 3? c er ulige? f er ulige og mindre end 22?

5

Hos Burger–Børge kan du selv sammensætte din burgermenu (en burger og en sodavand). Du kan vælge mellem Mini-burger, Jumbo-burger, Oste-burger, Kyllinge-burger, Cola, Hindbærbrus og Energivand. a Foreslå tre forskellige menuer. b Hvor mange menuer indeholder en mini-burger? c Hvor mange menuer indeholder en hindbærbrus? d Hvor mange menuer er der i alt?

6

Kast to terninger, og find produktet af øjnene. Hvilke produkter er a med i 3-tabellen? b med i 5-tabellen? c med i enten 3- eller 5-tabellen? d med i både 3- og 5-tabellen? e ikke med i hverken 3- eller 5-tabellen?

7

Kast med to terninger, og find summen af øjnene. Hvor mange forskellige summer er a større end 6? b både større end 6 og mindre end 10? c enten mindre end 7 eller større end 10? d hverken større end 9 eller mindre end 5?

TÆLLEMODELLER

147


Når man vil have overblik over forskellige kombinationer, har man ofte brug for et system. Her er tre modeller, som du kan bruge, når du skal tælle antallet af muligheder. Model 1: Mængdediagram

Et mængdediagram kan bruges, når man skal besvare spørgsmål som fx ”Hvor mange elementer er der i alt?” i delmængde A?” i delmængde B?” enten i delmængde A eller delmængde B?” både i delmængde A og delmængde B?” Ved opdeling i mængder kan du tælle og placere elementerne i eller uden for forskellige delmængder. Eksempel: ”Fordel de naturlige tal mellem 1 og 20 i 4-tabellen og 6-tabellen.” G Grundmængden G herunder består af hele tal fra 1 til 20 og to delmængder F og S (4-tabellen og 6-tabellen).

·1

4-TABEL

F

·9

·20 ·16

·3 ·2

·5

6-TABEL

·12

·8

·6

·4

·7

·18

S

·15

·19 ·17 ·10 ·14 ·13 ·11

På listeform: G = {1, 2, 3…, 20} Enten F eller S skrives F ∪ S og kaldes foreningsmængden.

F ∪S ·16

·8 ·4

På listeform: F∪S = {4, 6, 8, 12, 16, 18, 20}.

Både F og S skrives F ∩ S og kaldes fællesmængden.

F ·20

F∩S

S ·12

F

·18 ·6

S ·12

På listeform: F ∩ S = {12}

148

TÆLLEMODELLER


Model 2: Tælletræ Et tælletræ kan bruges ved spørgsmål som: „Hvor mange muligheder er der i alt, når man først har a forskellige muligheder og derefter b forskellige muligheder?” Eksempel: ”Hvor mange forskellige menuer kan du sammensætte med fire forskellige burgere og tre forskellige sodavand?” Cola

b

Hindbærbrus

ger bur

Energivand

iMin

Cola

Jumbo-burger

a

Ost

Hindbærbrus Energivand

e-b

urg

er

Cola

Ky lli ng ebu rg er

Hindbærbrus Energivand Cola Hindbærbrus Energivand

Model 3: Kombimatrix

En kombimatrix kan bruges, når man vil kombinere a muligheder med b muligheder og derefter undersøge sammenhænge. Eksempel: ”Hvor stor en del af summen er større end 7 ved kast med to terninger?” Terning 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Terning 2

TÆLLEMODELLER

149


Øvelser Om at bruge mængdediagrammer 8

Skriv mængderne på listeform, og beskriv dem. ·73

·77

B

·70 ·82 ·72 ·78 ·74 ·76 ·84 ·80

·75

·71

·81

G

·79 ·85 ·83

9

Grundmængden er de hele tal fra og med 21 til og med 30. Tegn til hver øvelse et mængdediagram, og placer elementerne i eller uden for delmængderne. Angiv derefter fællesmængde og foreningsmængde på listeform. a A er mængden af ulige tal, B er mængden af lige tal. b C er mængden af tal i 2-tabellen, D er mængden af tal i 3-tabellen. c E er mængden af tal i 2-tabellen, F er mængden af tal i 4-tabellen. d H er mængden af ulige tal, I er mængden af primtal.

10

Grundmængden er de hele tal fra med 21 til med 30. Tegn et mængdediagram med delmængderne: K, L og M. Hvilke tal indeholder K er mæn e K∪M a K∩L gden af ulige tal. f L∪ M b K∩M L er mæn g K ∪ L∪ M c L∩ M gden af tal i 3-tab ellen. h K ∩ L∩ M d K∪L M er mæ ngden af Hvilke tal er ikke med i tal i 4-tab ellen. i K ∪ L∪ M j K ∩ L∩ M

11

Hvilke af følgende påstande er sande? a A ∩ B indeholder {e, g} b A ∩ B indeholder ikke {j, k} c A ∩ C indeholder {d, g, h, i, j} d A ∩ B ∩ C indeholder ikke {k} e B ∩ C ∩ A indeholder {g, h} f (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C) indeholder {d, g, h, i}

50

150

A

A

B

·d ·e ·l

·g

·f ·h ·k

·j

C

TÆLLEMODELLER


Om at bruge tælletræer 12

Tegn et tælletræ, som viser hvor mange a 2-cifrede tal, der kan skrives med cifrene 2, 4, 6 og 8. b 3-cifrede tal, der kan skrives med cifrene 0, 1 og 2. c 3-cifrede tal, der kan skrives med cifrene 0, 1, 2, 3, 4 og 5, når tallene skal være lige og mindre end 300. d menuer, der kan sammensættes af tre forretter, to hovedretter og tre desserter. e forskellige rækkefølger, man kan læse fire bøger i.

13

Bogstaverne A, B, E og N skal bruges til at danne en kode. Hvor mange kombinationer er der, hvis koden består af a 3 bogstaver, som hver kun må bruges én gang? b 3 bogstaver, som kun må bruges én gang, og det første bogstav skal være en vokal? c 3 bogstaver, som kun må bruges én gang, og første og sidste bogstav skal være konsonanter? d 3 bogstaver, som må bruges flere gange? e 3 bogstaver, som må bruges flere gange, og første og sidste bogstav skal være vokaler? f 3 bogstaver, som må bruges flere gange, og andet bogstav skal være en vokal? g 4 bogstaver, som kun må bruges én gang? h 4 bogstaver, som må bruges flere gange? i bogstaver, som må bruges flere gange, og de to midterste bogstaver skal være vokaler?

TÆLLEMODELLER

151


Om at bruge en kombimatrix 51

14

Tegn en kombimatrix, der viser alle de resultater, man kan få ved at gange to almindelige terningers øjental. Find de tal i kombimatrixen, der a kun er med i 3-tabellen? b kun er med i 4-tabellen? c er med i enten 3- eller 4-tabellen? d er med i både 3- og 4-tabellen e ikke er med i hverken 3- eller 4-tabellen

15

Tegn en kombimatrix, der viser alle de resultater, man kan få ved at udregne forskellen mellem to 12-sidede terningers øjental. Find de tal i kombimatrixen, der

a b c d e

Summen af 18 + 29 er 47 Tværsummen er 4 + 7 = 11 Totaltværsummen er 1 +1 = 2

152

16

er større end 5 er med i 3–tabellen er større end 5 eller med i 3–tabellen? er større end 5 og med i 3–tabellen? hverken er større end 5 eller med i 3–tabellen?

Tegn en kombimatrix, der viser totaltværsummerne af de mulige resultater, der fremkommer ved at addere tallene fra 11 til 20 med tallene fra 21 til 30 (hele tal). a Farv de celler røde, hvor totaltværsummen er enten 7 eller 8. b Farv de celler grønne, hvor 3 går op i totaltværsummen.

TÆLLEMODELLER


Opgaver 17

Tabellen er en kombimatrix, der viser de mulige produkter af 2 terningers øjental. Tegn en hyppighedstabel over produkterne.

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

8

10

12

3

3

6

9

12

15

18

4

4

8

12

16

20

24

5

5

10

15

20

25

30

6

6

12

18

24

30

36

18

Fem elever Abdhalla, Beatrice, Carsten, Dorthe og Eva skal stå i én række på et foto til skolebladet. Hvor mange mulige opstillinger er der, hvis a Abdhalla skal stå forrest? b Carsten skal stå i midten? c Abdhalla skal stå forrest, og Carsten skal stå i midten?

19

a Skriv D18, D24, D28, D36 og D40 på listeform. b Tegn tre mængdediagrammer, et med D12 og D18, et med D24 og D28 og endelig et med D12, D36 og D40. c Skriv fællesmængderne i hvert diagram på listeform. d Beskriv D24 ∩ D28 med ord.

20

a Tegn mængdediagrammet af, men erstat prikkerne med tal. b Skriv mængden af tal, der både går op i 12 og i 63, men ikke i 98 på listeform. c Skriv mængden af tal, der enten går op i 98 eller i 63, men ikke i 12, på listeform.

TÆLLEMODELLER

D63

D12 ·

· ·

· · ·

Et helt tal, som går op i et helt tal, er divisor i tallet. Fx er alle hele tal, der går op i 12 divisorer i 12. De positive divisorer i 12 betegnes D12. D12 = {1,2, 3, 4, 6,12}

· ·

· ·

· ·

·

D98

153


21

a Hvor mange forskellige 3-cifrede tal, kan du skrive med cifrene 0, 1, 2, 3 og 4? Hvor mange af dem b begynder med 3? c er ulige? d er mindre end 333? e går 10 op i? f er lige og mindre end 333?

22

Annes kat har fået fire killinger: Én er sort, én er sort med hvide pletter, én er grå og én er stribet. Hun må kun beholde to af killingerne. a Tegn et tælletræ, der viser alle kombinationerne med to killinger. b Hvor mange muligheder har Anna for at vælge?

23

Hvor mange forskellige sætninger kan der aflæses i skemaerne? (Der må kun læses i pilens retning)

a

Matematik Idræt

er

mit hans hendes

bedste sjoveste værste

fag

b Andre Han Hun

154

har er

store små ingen

evner for

god dårlig

til

badminton fodbold ishockey bridge skak

TÆLLEMODELLER


24

Joakim har fem forskellige stykker mad med i skole. Han vil spise to af dem i 10–frikvarteret. a På hvor mange måder kan han sammensætte de to stykker? Resten af madpakken spiser han i 12–frikvarteret. b Hvor mange rækkefølger kan han spise resten i?

25

En kodelås har 3 hjul, der hver kan stilles i 10 forskellige positioner. Hvor mange forskellige indstillinger af låsen findes der?

26

15 elever trækker lod om seks biografbilletter. Elevernes navne skrives på 15 sedler. Gustav vil meget gerne med i biografen. Da der er udtrukket fem sedler er hans navn endnu ikke kommet frem. Hvor stor er chancen for, at Gustav kommer med i biografen?

27

Marcus har brændt fem cd’er med fem forskellige solister. Desværre har han glemt at skrive uden på cd’erne, hvad de indeholder. Marcus vil høre Signe Solstrejf og putter en af de fem cd'er i afspilleren. Hvor stor er chancen for, at a første cd ikke er med Signe Solstrejf? b tre cd’er i træk ikke er med Signe Solstrejf? c den anden cd Marcus vælger, er med Signe Solstrejf?

TÆLLEMODELLER

155


28

Chancen for at føde en dreng og en pige er nogenlunde den samme, nemlig 50%. På et hospital fødes der en nat tre børn. Vis de forskellige kombinationer af piger og drenge i et tælletræ. Hvad er sandsynligheden for, at der fødes a tre drenge? b først en dreng og derefter to piger? c to piger og en dreng? d mindst en pige?

29

Andreas afslutter 10. kl. til sommer. I sommerferien (6 uger) vil han meget gerne tjene nogle penge, så han kan købe noget teknisk udstyr, som han ønsker sig. Han finder fem interessante jobs på nettet. Han beregner, hvor meget han kan tjene pr. uge:

Indsæt Andreas' indtægt og ønsker i en kombinatrix.

ANDREAS' INDTÆGT Supermarked Sportsforretning Tankstation Bud Avisbud (3 morgenruter)

ANDREAS' ØNSKER 1.850 kr. 850 kr. 1.000 kr. 680 kr.

Bærbar pc

8.500 kr.

Specielt stereoanlæg

5.700 kr.

Digitalt kamera

3.700 kr.

21’’ TV

2.100 kr.

1.450 kr.

Andreas kan kun vælge et af jobbene. Pengene vil han bruge til at opfylde netop et af sine ønsker. Desuden skal han have mindst 2.000 kr. til lommepenge. a Hvor mange muligheder (job, ønsker) er der for at opfylde kravene? b Hvilke kombinationer af ønsker kan hver af de fem jobs opfylde, hvis Andreas beslutter sig for at opfylde to af sine ønsker?

156

TÆLLEMODELLER


30

Drengene i 7.a er meget begejstrede for boldspil – især fodbold, håndbold og basket. To af dem er ikke indmeldt i en klub, men resten af drengene er medlemmer i mindst en klub. a Hvor mange drenge er der i 7.a? b Hvor mange procent af drengene går til hhv. fodbold, håndbold og basket? c Tegn et cirkeldiagram, der viser, hvor mange procent af drengene der går til 0, 1, 2 og 3 boldspil.

31

En filatelist (frimærkesamler) inddeler sine frimærker i følgende klasser efter kvalitet: Acceptabel, god, fin, særdeles fin og fejlfri. Frimærkerne inddeles også i klasser efter hvor meget de er værd: Værdiløs, billig, almindelig, dyr, meget dyr og kostbar. a Hvor mange forskellige klasser inddeler denne samler sine frimærker i? b I hvor mange klasser er frimærkerne værdiløse eller billige, selv om deres kvalitet er bedre end fin?

32

I 7.a er der 10 drenge og 15 piger, og i 7.b er der 8 drenge og 12 piger. Der skal vælges et par bestående af en elev fra hver klasse. Hvor mange par kan der vælges, hvis a der kan vælges helt frit? b der skal vælges én dreng og én pige? c der kan vælges helt frit, men én af pigerne i 7b vil kun vælges, hvis den anden i parret også er en pige?

33

Birthe går med aviser. Hun bringer tre forskellige aviser ud: Landsavisen, Dagbladet og Morgenposten – 30 af hver. Flere af hendes kunder får mere end én avis, men ingen får to eksemplarer af den samme avis. 4 kunder får alle 3 aviser. 12 kunder får både Landsavisen og Dagbladet. 8 kunder får både Landsavisen og Morgenposten. 7 kunder får både Morgenposten og Dagbladet. Hvor mange kunder har Birthe på sin rute?

TÆLLEMODELLER

En går til alle tre boldspil. En går til fodbold o g basket. To går til håndbold og baske t. En går til fodbold o g håndbold . Tre går ku n til fodbold. En går ku n til basket, o g en går kun til hå ndbold.

Tegn et mængdediagram og indsæt tal.

157


Søgning på internettet ”Er der virkelig over en million henvisninger til hunde på internettet?” ”Hvilket web-sted skal jeg bruge?” Du har sikkert allerede stillet lignende spørgsmål flere gange. I dette afsnit vil du se, at kombinatorik kan hjælpe dig med at tilpasse antallet af web-steder til dem, hvis indhold passer til dine ønsker. Man kan søge oplysninger på internettet på flere måder. En metode er at indtaste ord til en søgerobot. En søgerobot er et edb-program, som automatisk finder web-steder, hvor det indtastede ord findes. En søgerobot ”besøger” millioner af web-steder. Mulighederne i de forskellige søgerobotter kan afvige fra hinanden; men de fleste fungerer som Google, som er anvendt i dette afsnit. Vi har her valgt kun at søge på danske web-steder.

34

Skriv hund i indtastningsfeltet, klik på søgning og noter, hvor mange hits robotten fandt. Vi skal søge oplysninger om hundes sygdomme.

35

Skriv sygdom i indtastningsfeltet, klik på søgning og noter, hvor mange hits, robotten nu fandt. Her fandt robotten også de web-steder med sygdomme hos andre dyr og mennesker.

36

Skriv i stedet hund sygdom og noter, hvor mange hits robotten nu fandt.

Du skulle nu gerne få langt færre hits end før. Når du har indtastet 2 ord, undersøger robotten nemlig, om både hund og sygdom findes på et web-sted.

158

TÆLLEMODELLER


37

a Tegn et mængdediagram med mængden ”hund” og mængden ”sygdom”. b Farv den delmængde, der svarer til både hund og sygdom. c Hvad kaldes den farvede delmængde?

38

Faktisk har vi en hvalp, der har problemer med pelsen. Hvad vil du udvide søgestrengen hund sygdom med?

Af og til kan antallet af hits blive for snævert.

” ” om flere ord betyder at ordene skal forekomme samlet

39

Prøv følgende søgestreng: ”sund madpakke” pølse og noter antallet af hits. Måske burde vi også interessere os for andet pålæg

40

Skriv ”sund madpakke” pølse OR ost, og noter antallet af hits.

41

a Tegn et mængdediagram med mængden ”pølse” og mængden ”ost”. b Farv den delmængde, der svarer til enten pølse eller ost. c Hvad kaldes den farvede delmængde?

OR skrevet med stort betyder eller.

Måske var der en type pålæg, man helt ville undgå. 42

Prøv følgende søgestrenge, og noter antallet af hits. a ”sund madpakke” b ”sund madpakke” banan c ”sund madpakke” -banan d Hvilken betydning har minustegnet foran banan?

TÆLLEMODELLER

159


Afrunding ■ ■ ■ ■

Hvad vil det sige at kombinere? Hvad kan man bruge en kombimatrix til? Hvad kan man bruge et tælletræ til? Hvilken sammenhæng er der mellem et mængdediagram og søgning på internettet?

de Foreningsmæng gram a i d e gd Mæn

Både-og

Fællesmængde Tælletr æ

Kom bim atri x

ler Enten-el

Hverke n-eller 160

Delmængde

del Tællemo VÆKST


UNDERSØGELSER

I dette afsnit lægges der op til, at I skal arbejde meget selvstændigt. For at kunne besvare de åbne spørgsmål i undersøgelserne bedst muligt, er det vigtigt, at I selv lægger en plan for, hvordan arbejdet skal gribes an. I den forbindelse er det vigtigt at huske, at I skal se på problemstillingen med ”matematiske briller”. Hvad kan I få ud af at inddrage matematik som en central del af undersøgelsen? Alt efter undersøgelsens karakter kan I fx indsamle og ordne tal, vurdere forskelligt talmateriale eller lave skitser og konstruktioner. I skal også selv være med til at afgøre, hvornår undersøgelsen er færdig. Hvornår ved I så meget om emnet, at I for alvor tør pege på en løsning? Det er en god idé at arbejde sammen i grupper, så I kan diskutere, hvordan I vil lave undersøgelsen, og fordele arbejdet, hvis der viser sig at være meget at lave.

161


Hvordan I vil gennemføre undersøgelsen, må I aftale med jeres lærer. Nogle af de spørgsmål I må tage stilling til, er:

• • • • •

Hvor lang tid har I til rådighed? Hvad skal der komme ud af undersøgelsen? Hvad skal I have til rådighed for at kunne lave undersøgelsen (fx bøger, talmateriale, adgang til nettet)? Kan I bruge billederne som inspiration? Hvordan skal samarbejdet fungere?

Som afslutning på arbejdet skal I gøre jer klart, hvordan I har valgt at „angribe“ undersøgelsen, og hvorfor I har valgt at gøre sådan. vise jeres produkt frem og forklare, hvad det er, I har gjort. fortælle om, hvad I synes, I har fået ud af at lave undersøgelsen: på hvilken måde er I blevet klogere?

• • •


INDHOLD

TEMA

Vandforbrug: Vand . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Rumfangsberegning side 76 ➜ Funktioner side 112 ➜

TEMA

Lejrskole på Bornholm: Klassetur . . . . 166 Ligninger side 60 ➜ Konstruktioner side 127 ➜

TEMA

Udsalgspriser: Udsalg . . . . . . . . . . . . . . 168 Ligninger side 58 ➜ Ændringer side 142 ➜

TEMA

Post: Kommunikation . . . . . . . . . . . . . . 170 Rumfangsberegning side 77 ➜ Funktioner side 110 ➜

TEMA

Musik: Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Procent side 40 ➜ Statistik side 92 ➜

Min by . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tændstikmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


VAND Vand indgår i vores hverdag. Vi drikker vand, anvender det i madlavning og til rengøring. Vi svømmer i vand og vi indeholder vand. Vand er livsvigtigt for os. Hvad bruger du vand til og hvor meget vand bruger du? Søgeord: Vandforbrug / Vask / Forbruger /Vandafgift / Spildevand / Vandværker

SKAT


GENNE MSNITL IGT VAN DFORBR UG PR. DANSK Personli ER PR. 1990 g hygie DØGN jne 1995 Toiletsk 5 9 yl liter 2000 52 liter Tøjvask 45 liter 47 liter 39 liter Opvask 21 liter /rengøri 3 5 liter ng 19 liter Mad/dri 17 liter kke 17 liter 15 liter Øvrigt 12 liter 13 liter 10 liter I alt 12 liter 9 liter Kilde: D 10 liter anske Va 166 lite ndværk ers Fore 9 r liter ning 145 lite r 130 lite r

3 otte kommuner. Pris pr. m vand i ms og afgifter) mo Juni 2004 (inkl. 31,94 kr. e Gladsaxe kommun une 29,99 kr. København komm 35,73 kr. e Næstved kommun une 30,82 kr. Kalundborg komm 30,81 kr. Odense kommune 40,40 kr. Svendborg 31,06 kr. e Herning kommun 29,43 kr. Skagen kommune

165


KLASSETUR I skal på klassetur i løbet af næste år, hvis I selv kan betale turen. I er blevet enige om at blive inden for Danmarks grænser. Hvor skal I hen? Hvad koster turen? Hvordan vil I tjene pengene?

Søgeord: Bornholm / DSB-Skolerejser / Vandrehjem / Turisme


EKSEMPLE R LEJRSKOLE PÅ R I DANMA RK Naturcente r Fosdalen 29 senge

Stenvang Lejrskole 138 senge

Nordisk Le jrskole 106 senge

Haderslev Lejrskole 100 senge Lejrskolen Kilden 120 senge

Trente Mø lle 32 senge

PRIS

Hverdage: 1 overnatn ing: 1.800 kr. + 20 kr 2 overnatn . pr. perso inger: 3.00 n. 0 kr. + 40 3 overnatn kr. pr. perso inger: 4.10 n. 0 kr. + 60 4 overnatn kr. pr. perso inger: 5.00 n. 0 kr. + 80 Weekend: kr. pr. perso n. Fre./lør. el ler lør./søn .: 2.100 kr Hele weeke . + 20 kr. pr. p nden: 3.50 erson. 0 kr. + 40 kr. pr. perso 95 kr. pr. p n. erson pr. d ø g n eller 300 kr. pr. døgn i sm å 4 mands 190 kr. fuld hytter. kost pr. dø gn for børn 230 kr. fuld u/ 14 år. kost pr. dø gn for voks ne. Pr. deltager /pr. døgn: Ved et døg n 210 kr. Ved to døg n 195 kr. Ved tre dø gn 185 kr. Ved fire dø gn180 kr. Pr. deltager /pr. døgn: 205 kr. Pr. deltager /pr. nat i le jl. v/ 4 næ 29/3-17/4 tter: og 26/9-13 /11: 65 kr. 17/4-8/5 o g 11/9-25/9 : 75 kr. 8/5-20/5 o g 28/8-11/9 : 95 kr. 20/5-3/7 o g 7/8-28/8 : 110 kr. For leje af huset: 1.400 kr. p r. døgn


UDSALG Under udsalg reklamerer forretningerne med, at man kan spare mange penge. Nogle gange er varen sat ned med et fast beløb. Andre gange kan man spare en procentdel af prisen. Det er ikke altid, en vare er nedsat så meget, som annoncen siger. Hvor meget sparer du ved at gå på udsalg?

Søgeord: Forbruger / Rabat / Tilbud / Udsalg / Prissammenligning


169


KOMMUNIKATION Brev, fax, e-mail og SMS er nogle af de måder, man kommunikerer på i dag. Hvilke måder man vælger at meddele sig på, afhænger af, hvad der er nemmest, hurtigst, mest præcist eller billigst. Hvilke kommunikationsmidler benytter danskerne sig af og i hvor høj grad?

Søgeord: Mobiltelefon / SMS / Post Danmark / Post og tele-museum / Telestyrelsen


ONI FASTNETTELEF

2003 (1.halvår) 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1987 1986

I MOBILTELEFON

4.543.270 3.656.129 4.477.752 3.700.867 3.960.165 3.864.839 3.363.552 3.835.017 2.628.585 3.638.119 1.931.101 3.495.858 1.444.016 3.340.501 1.316.592 3.251.124 822.264 3.193.412 503.500 3.123.026 357.589 3.059.806 211.063 3.004.944 175.943 2.950.756 148.220 2.911.198 101.903 2.847.873 79.523 2.771.691 60.504 2.628.371

k lsen. www.tst.d Kilde: Telestyre

FAMILIER I DANMA RK, DER HAR MIN DST EN M OBILTELE FON 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40%

1999 Kilde: Da

2000

nmarks St

atistikba

nk

30% 20% 2001

2002

10% 2003

0%

171


MUSIK Mange mennesker interesserer sig for musik. Nogle spiller selv, mens andre nøjes med at lytte. Der findes mange forskellige musikgenrer: Rock, pop, techno, disco, R&B, country, klassisk osv. Hvordan og hvor meget indgår musik i din hverdag?

Søgeord: Musik / Musikinstrument / CD / Musiker-navne / Navne på udgivere


cd’er i mmernes salg af IFPI Danmark medle 1995-2004 Totalsalg i 1.000 ANTAL CD’ER

ÅR

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

15.708 18.353 18.750 18.263 18.805 20.282 15.283 12.242 10.138 9.786

Danmark

BELØB I DKK.

916.992 1.092.069 1.087.385 1.076.828 1.111.955 1.151.585 946.343 798.145 682.799 644.995

enr af danske og ud dlemskreds bestå ca. 95-98% r gø ud IFPI Danmarks me ng tni sæ ber, hvis om landske pladeselska der årligt sælges i Danmark. elser, af de musikudgiv k Kilde: IFPI Danmar

173


MIN BY

1900 30.708

IKLING I ÅLBORG BEFOLKNINGSUDV 1980 1960 1940 1920 153.948 85.800 55.652 41.061 sarkiv

Kilde: Ålborg Stad

Vore byer udvikler sig. Tempoet og graden af forandring varierer dog meget. Der er kommet flere eller færre forretninger, huse, biler og beboere. Hvordan har din by udviklet sig?

2000 161.161


Søgeord: Statistikbanken / Kirke / Kommune / Bynavn / Stadsarkiv

BEFOLKNINGEN I ÅLBORG PR. 31. DEC. 2003

I alt Kilde: Ålborg Kommune

163.231

dser, bejdspla ling. tal af ar ervspend gen i an hv lin er ik og dv U er e person skæftiged

be

9.173 9.381 9.027 8.080 14.532 14.856 11.790 11.995 10.873 10.280 9.895 11.088 8.407 6.783 5.709 4.945 3.600 2.817

e til Udpendler uner mm andre ko ere til Indpendl mmuner andre ko

135 130 125 120

95 -1 00 IN D EX 19

0- 4 år 5- 9 år 10-14 år 15-19 år 20-24 år 25-29 år 30-34 år 35-39 år 40-44 år 45-49 år 50-54 år 55-59 år 60-64 år 65-69 år 70-74 år 75-79 år 80-84 år 85- år

115

Antal ladser arbejdsp

110

ede med Beskæftig munen m ko i l pæ bo

105

100 95

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

175


TALSYSTEMER I vores kultur bruger vi som regel titalssystemet, men ikke altid. Nogle kulturer anvender helt andre systemer, og tidligere brugte vi også andre systemer. Undersøg ideen med og brugen af et eller flere talsystemer.

Søgeord: Talsystem / Binærtalsystem / Tolvtalssystemet / Romertal


EM TALSYST

12 5 3 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 2 10 3 2 3 5-TALSSYSTEMET 10 11 4 3 4 Addition: Subtrak 11 tion: 5 100 4 10 1 2 1 1 0 6 1 423 5 324 11 20 7 110 + 302 6 2 1 – 143 21 8 111 7 13 1230 2 2 131 9 1000 8 14 0 0 1 T 1001 9 20 0 101 1 E 0 1 10 21 1 102 1 0 0 1 1 11 22 0 110 0 1 1 1 1 12 23 1 111 0 1 1 13

177


TÆNDSTIKMØNSTRE Byg en simpel figur af tændstikker. Hvor mange tændstikker har du brugt? Hvad er figurens sidelængde målt i tændstikker? Omkreds? Areal? Hvad sker der med tallene, hvis man

• gør figuren større? • konstruerer et mønster ved at gentage figuren flere gange efter hinanden? Er der system i, hvordan de forskellige tal afhænger af hinanden? Kan man opstille formler, som viser disse sammenhænge? Hvilke sammenhænge er der mellem forskellige størrelser af ens figurer og mønstre i et tændstikmønster?


179


180_203

06/07/05

10:02

Side 180

FACITLISTE VARIABLE 1

6

a 5 b 1 c 1

d 1 e 0 f ingen løsning

2

Bogstaverne er variable for tal, som du selv vælger, så det passer med den opgave du bruger formlen eller ligningen til at løse.

a

a+2

3·a

5 – 2a

a

5

7

15

–5

25

–2

0

–6

9

4

1

3

3

3

1

0

2

0

5

0

1 2

2,5

1,5

4

1 4

7

3

Bogstaverne viser, at der er tale om noget generelt, at formlen gælder for alle tal (i grundmængden). 4

a

b

A

2a + 2a + a + a

B

a+a+a+a

C

2a + 2a + 1 12 a + 1 12 a

D

3a + 3a + 2a + 2a

A

6a

B

12 2

4a

a b c d e

fx a, b, c, j, k, m, v, f fx 2 a + 10 j fx 3 k + 2 f fx 3 k + 4 b + 1 m fx 10 j + 5 k + 2 b + 3 a 8

C

7a

D

10a

“Jeg tænker på mig selv.” eller “Bare en der går i skole” osv. 9

a b c d e

c For a = 1 er omkredsen: A

6

C

7

B

4

D

10

10

2x - 1 + 3 = 2 + (3x – 1) x=1

For a = 5 er omkredsen: A

30

C

35

B

20

D

50

11

a a kan være variabel. 2 er konstant. c a kan være variabel. 5, π og 2 er konstanter. e Bredde og længde kan være variable. 24 er konstant. g Areal og højde kan være variable. 4 (grundlinjen) og 2 er konstanter. i Areal, højde og grundlinje kan være variable. 2 er konstant.

For a = 2,5 er omkredsen: A

15

C

17,5

B

10

D

25

5

a Ja, 2 + 4 = 8 b Ja, 3 · 4 – 2 · 2 = 8 c flere løsninger fx: b2 – 4 · a, 5 · a – 12 · b eller 4 ·

en tilfældig (25 øre, 1 kr. eller…) en bestemt en tilfældig en bestemt en bestemt

2

b a

a Variabel: Højden på en 7. klasses elev. Konstant: Din højde da du blev født. c Variabel: En bog fra din taske. Konstant: Din Matematrix bog. e Variabel: Alderen på en i din familie. Konstant: Din alder. g Variabel: En fra dit håndboldhold. Konstant: Din bedste ven. 13

a 4 e + 9 e – 2 e = 11 e c

4e 2

+ 8l = 2 e + 8l

e 6 p + 60 b g s og t 14

a 12 b – 8 b + 11 b = 15 b c

2b+7b–3b 3

=

6b 3

=2b

e 6d+7p g 600 k 15

a c e g

Alle tal op til fx max. 50 kr. Alle dem du kender. Alle tal større end 0. {0, 1, 4, 9, 16…} 16

a 6a c 10b

e 12c g 10g

17

a 6a c –9 2g

e 2z g 2y

18

a 11a + 5b c 7a + c

e 18x + 2y g 32 a + 3A


180_203

06/07/05

10:02

Side 181

19

a 4xy

e 5g + 2h – 3gh

c 3c – 3d

+ 52

b

g 2q + 4p c d

20

a 2 b + 73b – 3 b = c 34 b e 13 s + 11 g g 9s+2g

6b 3

=2b e f g

21

a x + 11 = 15 x = 4. Løsningen er 4. c 4+2·x=3·x x = 4. Løsningen er 4. e 3.692 · x = 1.539.564 x = 417. Løsningen er 417. 22

a P + D eller P = D, hvor P er pladsholder for ”antal piger” og D er pladsholder for ”antal drenge” b Fx L + R = M. Hvad er bogstaverne pladsholdere for? c UB – MB = 2. Hvad er bogstaverne pladsholdere for? d Husk at skrive hvad bogstaverne er pladsholdere for. 23

a c e g

2 · (2x – 5) = 4x –10 4 + 2x 10 – 8x 12 – 4x 24

a 56

c 505

25

a der er lige mange drenge og piger. c der er dobbelt så mange drenge som piger. e der er flere end 0 trænere. g antallet af drenge og piger og trænere og ledere er 110.

h

størrelsen af b som talvariabel i forhold til a som talvariabel. Rigtigt. c + c + c + c + c = 5c, som er det samme som 5 gange c. Forkert. 4v betyder 4 · v. Forkert. x kan være 0 eller et negativt tal. Rigtigt. Hvorfor? Forkert. Indsæt tal for x og se forskellen. Forkert. variable kan repræsentere alle tal Forkert. En ligning kan bestå af lutter kendte talstørrelser, fx 3 + 7 = 10 eller noget helt andet end tal. Oftest er der dog mindst en variabel. 29

a 15a 5 = 3a b 15 c a

d a e a f a–1

Tip: Se formelsamlingen.

a Variable: Å, som er afhængig af tidsforbruget T, som er indenfor mængden [0 ; 8760] b Konstanter: P, som i dette tilfælde er dit tv’s effekt, e, som er prisen på 1 kWh c 245,28 kr. 35

a 44,56 cm b d = Oπ c —-

39

– 40

5050 41

a 50 c

Tælle til Antal sumnavne

100 10 20 50 200 1000

Summen:

Sum

Facit

101 5050 11 55 21 210 51 1275 201 20100 1001 500500

n 2

· (n + 1)

36 b

Summen: n · n 47

Gennemsnit: n 48

a En konstant. b Cellen A3 kan kun antage værdien 21

b

50

a En konstant. b 3 · 7 er altid 21. 51

a En variabel. b Værdien i cellen afhænger af værdien i celle A2. 53

a 22 a Forkert. At b kommer efter a i alfabetet, siger ikke noget om

50 5 10 25 100 500

49

=T

27

b 5050

a En variabel. b Cellen A4 antager samme værdi som A3. Hvis værdien i A3 ændres, så ændres værdien i celle A4 også.

c 10 · P = D D+P 10

≈ 22 c –

45

33

a L+1=T e

100 101

43

31

h

26

38

a 101 8 +9· b 54

O = 4 · h · b + 2 · b2

55

b 7

c –2


180_203

06/07/05

10:02

Side 182

PROCENT 8

1

a 39,60 kr.

b 158,40kr.

a 192 kr. b 240 kr.

2

Vare

Indkøbspris

Fortjeneste

Salgspris

9

a 525 elever b 63 stemmer

Æble

2,00 kr.

0,40 kr.

2,40 kr.

Banan

2,50 kr.

0,50 kr.

3,00 kr.

10

Grovbolle

3,00 kr.

0,60 kr.

3,60 kr.

Minirugbrød

3,50 kr.

0,70 kr.

4,20 kr.

a 50% c 100%

Juice

3,75 kr.

0,75 kr.

4,50 kr.

11

Kakao

4,00 kr.

0,80 kr.

4,80 kr.

a 75%

g 83 13 %

Chokolade

5,00 kr.

1,00 kr.

6,00 kr.

c 40%

i 533 13 %

Pølse m. brød

10,00 kr.

2,00 kr.

12,00 kr.

e 4%

Sandwich

12,00 kr

2,40 kr.

14,40 kr.

Burger

15,00 kr

3,00 kr.

18,00 kr.

3

12

a 25% c 40,6% e 54%

kulhydrat: 0% andet: 73,8%

a 5% protein 28% fedt 55% kulhydrat 12% andet b 28%

a 40% b 60% c Hvis I fx er 25 elever i klassen og der er 10 piger og 15 drenge, så er 10 ud af 25 (10/25) piger. 10/25 = 0,40 = 40%

12%

Protein

Fedt

Andet

4

14

a e

a 500 kasser b 165 500 · 100 = 33% c 8% d 59%

g 0,0201 i 0,04

1 4 1 20 11 100

g i

11 10 5 2

7

havregryn protein: 13% fedt: 7% kulhydrat: 56% andet: 24% letmælk: protein: fedt: kulhydrat: andet:

Kulhydrat

a 0,13 c 0,221 e 0,84

c

6 55%

g 12,5% i 2%

13

5

5%

e 35% g 48%

3,5% 1,6% 4,9% 90%

tun i vand protein: 25,2% fedt: 1%

1 100

2 100

3 100

5 100

Decimaltal

0,01

0,02

0,03

0,05

0,10

0,25

0,50

1,00

Procent

1%

2%

3%

5%

10%

25%

50%

100%

1 50

2 50

5 50

10 50

20 50

30 50

25 50

50 50

Decimaltal

0,02

0,04

0,10

0,20

0,40

0,60

0,50

1,00

Procent

2%

4%

10%

20%

40%

60%

50%

100%

1 4

1 5

1 2

1 8

3 4

1 16

17 20

5 4

Brøk

Brøk

Brøk

10 100

25 100

50 100

100 100

Decimaltal

0,25

0,20

0,50

0,125

0,75

0,0625

0,85

1,25

Procent

25%

20%

50%

12,5%

75%

6,25%

85%

125%

1 500

2 500

5 500

10 500

50 500

100 500

250 500

500 500

Decimaltal

0,002

0,004

0,01

0,02

0,10

0,20

0,50

1,00

Procent

0,2%

0,4%

1%

2%

10%

20%

50%

100%

Brøk


180_203

06/07/05

10:02

Side 183

15

24

a 120 · 0,50 = 60 c 11 e 6

g 16,5 i 1,5

36

Nej, 13 af 5.995 kr. er 1.978,35 kr., og det sparer man ikke. Man sparer kun 1.800 kr.

Mindst 88 g 25

a Fra kulhydrat: 1412,04 kJ Fra protein: 33,62 kJ Fra fedt: = 235,34 kJ b

16

a 10 · 0,20 = 2 20 · 0,20 = 4 200 · 0,20 = 40 c 7 5,6 28 e 11 22 55

38

Fx ”Roser nu 45 kr.”, ”Æbletræ nu 169 kr.”, ”Stauder nu 97 kr.” ”Bambus nu 149 kr.” 39

a 75 kr. b 1.666,67 kr. c B(bonus) = P(bonusprocenten) · V (beløb for varer)

17

a

5 100

= 0,05 = 5%

e 30% g 166 23 %

c 15%

Protein

18

I forhold til 5 20% 80% 200% 400%

19 5 20

Kulhydrat

41

a 3,1425 liter b Udfoldning: Find først rumfanget af jeres klasselokale.

27

I forhold til 20 a 5% c 20% e 50% g 100%

a

Fedt

= 14 = 25%

g 20%

c 40%

i 4%

e 200%

k 20%

20 12 15

a · 100 = 80 c 24 e 8

g 375 i 3750

a 2.500 kr. b 7.500 kr. c Jane 7.500 kr., Asger 5.000 kr. Asger havde 66,7% af Janes beløb, dvs. 33,3% mindre d 64,4% mindre

43

a 0,001 c 0,01 44

29

a 40 c 100

a 1% c 60‰

e 460 g 170

a Ca. 13% c –

3,5 ml.

b Februar ca. 5,5%

47

31

a · 100 = 1000 b 22,5 1 c 10%, 10 eller 0,1 g 640 h 10 5 i 15,625%, 32 eller 0,15625 m 1200 n 0,12 1 o 8,333%, 12 eller 0,08333

1 4 1 4 1 4

A

150 15

e 9% g 12 %

45

30

21

e 0,214 g 0,0004

C

32

a 440 kr.

E

b 34,38%

+ +

1 8 1 8 1 8

+ + +

c 40.868,75 kr.

48 STOP DEN LILLE KÆNGURU

SÅ TÆNDER VI ET LYS I KVÆLD

22

a

6 8

· 100 = 75%

g 233,33%

c 25%

i 300%

e 33 13 %

k 14,29%

KOM, MAJ DU SØDE MILDE

49

23

a c

8 9 2 13

e g

5 12 17 90

A C

6 8 2 4

– ( 18 + –

1 8

= 38

1 8

+ 18 ) =

3 8

fx E

1 4 6 8

med prik eller tre –

1 1 1 8 + 4 + 4 = 1 1 2 16 + 16 = 4 1 1 1 8 + 4 + 4 =

4 4

4 4

Nodeværdierne stemmer med taktarterne

34

a 31.625 kr.

+

1 4

=

4 8

1 8

noder


180_203

06/07/05

10:02

Side 184

LIGNINGER 1

a b c d e f

3 2 8 9 42 6

g h i j k l

70 9 2 eller –2 13 8 9 eller –9

2

a b c d e f

6 æg + 5 høns. 1 æble + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y b + 13a –3x + 5y 3

Følgende udtryk gælder altid: b, e, g og h. 4

a Der ganges med 2 på begge sider af lighedstegnet. Der trækkes 4 fra på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på højre side af lighedstegnet. Der lægges x til på begge sider af lighedstegnet. b Der divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet. Der lægges 3 til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på højre side af lighedstegnet. Der lægges 2x til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på venstre side af lighedstegnet. c Der ganges med 3 på begge sider af lighedstegnet. Der lægges 2 til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på højre side af lighedstegnet. Der lægges 12 x til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på venstre side af lighedstegnet. d Der trækkes 5 fra på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet.

Der trækkes 2x fra på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet. Der divideres med 4 på begge sider af lighedstegnet. Løsningen er 2. e Der lægges 38 til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet. Der lægges 2x til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet. Der divideres med 13 på begge sider af lighedstegnet. Løsningen er 4. f Der trækkes 10 fra på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet. Der lægges 2x til på begge sider af lighedstegnet. Der reduceres på begge sider af lighedstegnet. Der divideres med 5 på begge sider af lighedstegnet. Løsningen er 7.

8

a 4 c –7 e –5 9

a og E g og F c og A

i og C e og A

10

a 25 c –106

e –2 g –30

11

a 71 c 134

e 2 g –10

12

a 2 c 5

e 10 g 53

13

a 4 c 27

e 16 g 18

14

a 9 c 11

5

e 0,25 g 4

15

Mariannes alder: x år. Den næstældstes alder: (x –2) år. Den yngstes alder: (x–4) år. x + x – 2 + x – 4 = 24 3x – 6 = 24 3x = 30 x = 10 Marianne er altså 10 år. 6

a 3 b 12 c –4

g 5 i 4 k 8

a 16 c 0,6 16

a 3 c

1 12

e 6 d 3 e 2 f 1

7

A, B, E, F og G er ligninger, fordi det her påstås, at to talstørrelser skal være lige store. C er en ulighed. D indeholder et =, men ingen talstørrelser, og er derfor ikke en ligning.

e – 0,3 g 5

g 2 i –

1 2

k – 14

17

a Der er lagt noget forskelligt til på hver side. Tallet 5 er ikke løsning i den oprindelige ligning. b Der er trukket 3 fra på venstre side og lagt 3 til på højre side. Ligevægten er ødelagt. 5 er ikke løsningen i den oprindelige ligning. c Der er lagt 2x til på venstre side og trukket 2x fra på højre side. Ligevægten er ødelagt. 12 er ikke løsningen i den oprindelige ligning.


180_203

06/07/05

10:02

Side 185

18

19

a 8

c y ≥ 12

26

Ane: Fra 3. til 4. linje er der lagt 4 til på venstre side mens der er trukket 4 fra på højre side, Der skal lægges 4 til på begge sider. Løsningen er 13. Cecilie: Her er læsningen rigtig. Esben: Fra 2. til 3. linje er der forsvundet 2 fra venstre side. De skal trækkes fra på begge sider. Løsningen er 2 12 . Gunilla: Fra 3. til 4. linje er der divideret med 2 på venstre side og med 5 på højre side. Den rigtige løsning er 2. Inge: Fra 2. til 3. linje er der lagt 2 til på højre side og trukket 2 fra på venstre side. 2 er ikke løsningen i den oprindelige ligning. Den rigtige løsning er 26 11 . Kasper: Fra 2. til 3. linje er der lagt 5z til på højre side og trukket 5z fra på venstre side. Den rigtige løsning er – 34 .

b-f –

20

Udfoldning: I en ligning må man lægge …… til ………. af lighedstegnet. I en ligning må man …………… 21

a 15 c –3,5 e 7,5

a 45 = 60 · x omformes til: x=

45 60 ,

Turen tager b t=

8

x = 34 . 3 4

e x<4 time = 45 min. –3 –2 –1

x 60

0 1 2 3 4 5 6 7 8

g x ≤ –4

28 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0

a x + (65 + x) = 225 2x = 290 x = 145 Martin får 145 kr. Julie får 80 kr. b Martin får 70 kr. Julie får 155 kr.

i x>2 –2 –1 0

(x + 4) + (x + 4) = 126 2 x = 48 Hans har scoret 48 mål, Lars har scoret 52 og Benjamin har scoret 26 mål.

Ligning:

7 8

36

3 9 25 7

38

a b c d

33

5 8 5 10

h>4 3 g≤8 4·g·

1 2

≤ 16

40

a og c

34

41

a x>2 –2 –1 0

6

a 5 pastelfarver. b 2 · 48 + 1 · 32 + 5 · 24 + x · 15 < 500 x < 16,8 altså 16 akrylfarver. c 12 kr.

32

a c e g

2 3 4 5

35

30

a c e g

1

a x>7 c x > –2 e x>4

1

2 3 4 5

6

7 8

a b c d e

450 kr. 40% Før: 762,50 kr. Nu: 457,5 kr. 239,40 kr. Nupris = førpris – (førpris · 0,4) eller Nupris = førpris · 0,6. f Sparet = Førpris – nupris.

9

22

a 28 cm2 b l · b cm2 c A=l·b

g

24

a 8 cm b 8 cm c 1 A = h 2· g 2 Ligning 1 omformes til 2 · A = h · g, der omformes til g = 2 h· A . 3 Ligning 2 omformes til 2 · A = h · g, der omformes til h = 2 g· A .

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Vare

Førpris

Nu-pris

Besparelse

vaskemaskine

6.099 kr.

3.964,35 kr.

2.134,65 kr.

Besparelse i % 35%

tørretumbler

3.495 kr.

2.796,00 kr.

699,00 kr.

20% 35%

opvaskemaskine

6.599 kr.

4.289,35 kr.

2.309,65 kr.

køle-fryseskab

7.199 kr.

4.319,40 kr.

2.879,60 kr.

40%

køleskab

2.799 kr.

2.099,25 kr.

699,75 kr.

25%

mikroovn

1.999 kr.

1.599,20 kr.

399,80 kr.

20%

komfur

6.499 kr.

3.899,40 kr.

2.599,60 kr.

40%

kaffemaskine

229 kr.

217,55 kr.

14,95 kr.

5%

el-kedel

499 kr.

449,10 kr.

49,90 kr.

10%

el-tandbørste støvsuger

999 kr.

849,15 kr.

149,85 kr.

15%

1.899 kr.

1.424,25 kr.

474,75 kr.

25%

9


180_203

06/07/05

10:02

Side 186

43

45

a Skrivebord eller kommode. b B eller C. c Reol/kommode, reol/skrivebord eller skrivebord/kommode. d 3000 = 1495 + x

48

Transport: 1.320 kr. Overnatning: 24.720 kr.

a y = x ·40 b –

46

a b c d

50

a Overskud: 1760 kr. b Underskud: 440 kr. c –

7.200 kr. 24x = 7.500 250 kr. y = 7.500 x

RUMFANGSBEREGNING 8

1

a 3 cm · 7 cm = 21 cm2 b 42 · π ≈ 50,27 cm2 c 7 · 4,5 : 2 = 15,75 cm2

a 10 cm · 8 cm · 6,5 cm = 520 cm3 c 180,5 cm3 e 2347,8 dm3

2

a b c d e f

7 cm 5 cm 6 cm 9 cm 20 cm 8 cm 3

a 1 cm3 b 1 cm · 2 cm · 3 cm = 6 cm3 h·l·b c 2 cm · 2 cm · 3 cm = 12 cm3 h·l·b d Figurens højde.

a 62 · π cm2 · 19 cm ≈ 2148,85 cm3 c 15,71 cm3 e 22,83 dm3 11

a 43 · π · 93 cm3 ≈ 3053,63 cm3 c 3942,46 cm3 e 659,58 dm3

24 cm3 440 cm3 96 cm3 128 cm3 6

a 2,84 cm2 b 1,30 cm3 7

a 18 cm b 144 æsker

C E G I

a

= 2 cm

455 cm3 2,25 m3 1320,02 cm3 1,05 m3 192,00 cm3

4 3

· π · r3 = 17,16 cm3

r3 = 17,16 cm3 : 43 · π r ≈ 1,6 cm c r ≈ 2,81 cm d V ≈ 344,8 m3 e r = 48 cm, V ≈ 463,2 dm3 16 1620 cm3 15 cm · 19 cm

A

l=

C

r ≈ 2.43 m

E

h = 6,8 cm

= 12 cm

17

a

12 A

12 · 21 cm2 2

15

10

Rigtige svar: d, f og g

a b c d

a hp = 252 cm3 : c ht = 4,62 cm e ht = 3 cm

9

a 3 cm 2· 7 cm · 10 cm = 105 cm3 c 149,94 cm3 e 5,36 cm3

4

5

14

b

c

13 3

57 cm a b = 3,5 cm · 13 cm = 1,25 cm c b = 0,35 cm e h = 2,1 dm

d e

3 cm3 C 4 cm3 E 1 cm3 A 14 cm2 C 16 cm2 E 6 cm2 A V = 24 cm3 O = 56 cm2 C V = 32 cm3 O = 64 cm2 E V = 8 cm3 O = 24 cm2 Rumfanget bliver 8 gange større. Overfladearealet bliver 4 gange større. A


180_203

06/07/05

f

A C E

10:02

Side 187

V = 3 · n3 cm3 O = 14 · n2 cm2 V = 4 · n3 cm3 O = 16 · n2 cm2 V = n3 cm3 O = 6 · n2 cm2

18

a 4000 cm2 b 12,5 dm3 19

108.000 cm3 = 108 dm3 = 108 l 108 l 1,5 l = 72 flasker 21

a ca. 246 l b 144 l c ca. 53 cm 23 3 a Månen: V ≈ 43 · π · ( 3.476 2 ) ≈ 2,2 · 1010 km3 Jorden: V ≈ 1,07 · 1012 km3 1,07 · 1012 km3 b Forhold: 2,2 · 1010 km3 = 48,6. Jorden er ca. 49 gange større end månen. c ca. 2,4 mio. km.

25 5 7

26

Løsningsforslag: a 15 cm dyb, 30 cm høj og 35 cm bred så er der luft omkring cd’erne b Teoretisk skulle reolen rumme 70 cd’er, men så står de så tæt at det kan være svært at få fat I dem. Men det skulle være muligt at have ca. 66 cd’er i reolen. 28

a 28,27 cm2 b 28,27 cm2 · 0,1 cm ≈ 2,8 cm3 = 2,8 ml 7 cm3 c 28,27 cm2 ≈ 0,25 cm = 2,5 mm 30

a Hvis man ser på både størrelse og vægt er svaret: Ambolten. Men ser man på den samme mængde af hver genstand, afhænger det af hvilket stof de forskellige genstande består af.

b Ambolt, sten, sandsæk, træklods, flamingoklods, nøgle, mønt. c Ja, sagtens. Tænk fx på en pakke køkkenruller og en pose mel. 31

a

15.400 g 5.400 cm3

≈ 2,8 g/cm3

c 0,75 g/cm3 32 5g

a 7,87 g/cm3 ≈ 0,64 cm3 c ≈ 0,65 m3 33

a 19,28 g/cm3 · 3 cm3 ≈ 57,84 g c 1,03 kg 34

a 104 cm3 b 818,48 g 36

a 4 cm c 8 cm e 2 ≈ 1,41421362 cm 37

Et tal ganget med sig selv giver aldrig et negativt tal. Hvorfor ikke? 38

a ± 3 fordi både 3 · 3 = 9 og (–3) · (–3) = 9 c ±15 e ±11 g ±24 39

a c e g

mellem 1 og 2, fordi 2 ≈ 1,41 mellem 6 og 7 mellem 12 og 13 mellem 8 og 9 40

a 5 cm fordi 5 · 5 · 5 = 125 c 2 cm e 1 cm 41

a c e g

2, fordi 23 = 8 4, fordi 43 = 64 6, fordi 63 = 216 13, fordi 133 = 2.197

42

Et positivt tal i tredje potens giver altid et positivt tal. Et negativt tal i tredje potens giver altid et negativt tal. Prøv selv! 43

Udfoldning: - Hvilken figur ligner formen mest? - Er der tale om sammensatte figurer? - Hvilke mål har formen? - Hvilke formler skal du bruge for at beregne rumfanget? - Virker resultatet fornuftigt? 44

Alle målinger er behæftet med usikkerhed, så det er ikke mærkeligt at de får forskellige resultater, selv om det er det samme, de måler på. Et bud på rumfanget kan være at tage gennemsnittet af de tre personers modelberegning, hvilket giver et rumfang på ca. 4315 cm3. Herved tillægges alle målinger lige stor vægt, men måske måler en af dem mindre præcist. 45

a Hvilken form har papirkurven, er den kasseformet, cylinderformet eller er det en keglestub? b Rumfanget af papirkuglen afhænger af det sammenfoldede papirs tykkelse, og hvor hårdt det er foldet. Du kan evt. forsøge dig frem. c Når papirkuglerne presses sammen i papirkurven, kan man se bort fra luften mellem kuglerne. 46

24,85 kr. (uden abonnement) 48

a 80 l b 725,62 kr. 50

a Bogens mål: 17,3 · 24,7 ·1,7 cm. Foldepapkasse FP3 rummer 34 bøger og der er lidt spildplads. Postæske PÆ 09 rummer 36 bøger og der er mere spildplads. Da der kun skal sendes 26 bøger må FP3 være den bedst egnede. b 92,00 kr. plus kassens pris.


180_203

06/07/05

10:02

Side 188

STATISTIK 1

2

a 7 forskellige farver (hvis der ikke tages hensyn til nuancer). b Rød 19 Grøn 6 Blå 11 Gul 6 Orange 1 Sort 3 Hvid 17 c Rød, hvid og blå.

c Der anmeldes færre cykeltyverier. d 1.kvartal 1990 20083 1.kvartal 1991 18297 1.kvartal 1992 20443 1.kvartal 1993 20332 1.kvartal 1994 32063 1.kvartal 1995 28392 1.kvartal 1996 22336 1.kvartal 1997 19932 1.kvartal 1998 18452 1.kvartal 1999 15275 1.kvartal 2000 16610 1.kvartal 2001 13271 1.kvartal 2002 14144 e

a b c d

48 mm 750 mm 712 februar, april, juni, august, september e Efteråret

3

a 160

NEDBØR I DANMARK I MM

152

140

STJÅLNE CYKLER PR. KVARTAL

137

7.000 RINGKØBING 2001

120

6.000 2001

100

5.000

99 90

80

83 72

60

66

63

b 867 mm

62

64

61

61

59

3.000

DECEMBER

OKTOBER

SEPTEMBER

AUGUST

NOVEMBER

2.000

33

JULI

37

1.000 0

1.

2.

3.

4.

c Alle måneder undtagen august.

4

a 1990 1991 1992 1993 1994 1995

69

48 40

JUNI

43

MAJ

0

48

APRIL

JANUAR

20

45

MARTS

40

53

FEBRUAR

52

4.000

80

1996 98347 1997 89065 1998 77372 1999 74143 2000 72173 2001 65066 2002 69081 b 22.179 om året, hvilket svarer til 61 om dagen.

94748 94476 96542 105987 125551 112926

35.000

Der anmeldes flest i juli, august og september. Hvorfor mon? 5

a 17 b Ford: 3, VW: 2, Toyota: 3, Opel: 2, Nissan: 2, Skoda: 1, Volvo: 1, Citroën: 1, Fiat: 1, Honda: 1 c Ford og Toyota d 1988 f 1997 e 2003 g 7 år 6

30.000

a fx 300 pr. måned, 110 kr. om ugen eller 10 kr. om dagen. c fx 134 cm, 167 cm og 155 cm. e fx 8°, 9°, 10°, 11°, 12° g fx 11 watt, 25 watt, 40 watt, 60 watt og 100 watt.

25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 2002 K3

2002 K1

2001 K3

2001 K1

2000 K3

2000 K1

1999 K3

1999 K1

1998 K3

1998 K1

1997 K3

1997 K1

1996 K3

1996 K1

1995 K3

1995 K1

1994 K3

1994 K1

1993 K3

1993 K1

1992 K3

1992 K1

1991 K3

1991 K1

1990 K1 1990 K3

0


Side 189

h(x) 5 4 21 4 10 44

c x Mads Jesper Jens Peter Anders Kenneth I alt Typetal:

h(x) 14 8 12 6 9 8 57 14

c x h(x) H(x) 150 8 8 155 0 8 160 16 24 165 17 41 170 14 55 175 9 64 180 3 67 1.kvartil: 160 Median: 165 3.kvartil:170

12

F(x) 0,12 0,12 0,36 0,61 0,82 0,96 1,00

a 60 51 50 42 40

a

20

20 8

10

10

15

c

35

31

26

30

10

20

30

40

50

70

10

70

60

67

64

60

55

50

8

41

5

a x h(x) x · h(x) 20 9 180 30 3 90 40 0 0 50 14 700 60 10 600 Sum 36 1570 Gennemsnit: 43,61 Mindsteværdi: 20 Størsteværdi: 60 Variationsbredde: 40

40 30

20

10

8

15 150

10

155

160

165

170

175

180

13

a 225 – 90 = 135 c 9 5

70 60

10

50 40 F(x) 0,16 0,39 0,51 0,61 0,69 0,82 1,00

20

30 c

170 175 180

165

150 160

250

200

225

175

150

100

125

11

a

9

f(x) 0,16 0,24 0,12 0,10 0,08 0,14 0,18

25

15

10

5

c

24

20

c x h(x) x · h(x) 100 0 0 125 12 1500 150 9 1350 175 15 2625 200 12 2400 225 7 1575 250 6 1500 Sum 61 10950 Gennemsnit: 179,51 Mindsteværdi: 125 Størsteværdi: 250 Variationsbredde: 125

a x h(x) H(x) 10 8 8 20 12 20 30 6 26 40 5 31 50 4 35 60 7 42 70 9 51 1.kvartil: 20 Median: 30 3.kvartil: 60

f(x) 0,12 0,00 0,24 0,25 0,21 0,13 0,04

7

a x giraf elefant aber løve zebra I alt Typetal: 21

10:02

06/07/05

180_203

e x h(x) 5 8 10 6 15 7 20 3 25 4 30 5 Sum: 33

x · h(x) 40 60 105 60 100 150 515

H(x) 8 14 21 24 28 33

14

a x h(x) x· h(x) H(x) f(x) 27 2 54 2 0,12 28 1 28 3 0,06 29 2 58 5 0,12 30 4 120 9 0,24 31 2 62 11 0,12 32 3 96 14 0,18 33 1 33 15 0,06 34 2 68 17 0,12 I alt 17 519 Gennemsnit: 31 b Typeobservation: 30 Mindsteværdi: 27 Størsteværdi: 34

F(x) 0,12 0,18 0,29 0,53 0,65 0,82 0,88 1,00


180_203

06/07/05

10:02

Side 190

16

Variationsbredden: 7 Gennemsnit: 31 (afrundet) 1. kvartil: 29 Median (2. kvartil): 30 3. kvartil: 32

b x h(x) x · h(x) H(x) f(x) 5 5 25 5 0,14 10 7 70 12 0,20 15 4 60 16 0,11 20 6 120 22 0,17 25 5 125 27 0,14 30 8 240 35 0,23 Sum: 35 640 1,00

c

5 4 3 2

34

33

31

32

30

29

28

27

a Kina, Indien, USA, Indonesien og Brasilien. b Vestsahara, Australien, Mongoliet, Namibia og Canada. c Rusland. Canada, USA, Kina og Australien. d Alle bortset fra Tuvalu (nordøst for Australien: Oceanien) ligger i mellemøsten e 14 lande. Danmark er ikke blandt disse lande.

F(x) 0,14 0,34 0,46 0,63 0,77 1,00

c Gennemsnit: 18,3 d Median: 20

1

18.000.000

20

a 35 deltagere

22

18

a

INDBYGGERANTAL

23

Der er (vist nok) flest indvandrede fra Tyrkiet

16.000.000 14.000.000 12.000.000

24

10.000.000

Diagrammet viser både indvandrere og efterkommere fra flere lande over 4 år.

8.000.000 6.000.000 4.000.000

26-29

2.000.000

Thü

Sch

Sa-An

Sac

Saa

Rhe

Nor

Nie

Mec

Hes

Ham

Bre

DELSTATER

Bra

Ber

Bay

Bad

0

b ca. 78.400.000 c ca. 4.900.000 d-e 10 delstater har et indbyggertal, der er mindre end gennemsnittet. Sachsens indbyggertal er identisk medgennemsnittet. Resten (5) har et indbyggertal over gennemsnittet.


06/07/05

10:02

Side 191

FUNKTIONER 7

a 5 dl saftevand b

a ca. 220 cm b ca. 4,4 m, ca. 8,8 m, ca. 22 m, ca. 44 m c ca. 455 omgange

Ren saft dl

a Signes alder Jens' alder

1 4

5 8

10 13

15 18

b 30 år c S = J – 3, hvor S er pladsholder for Signes alder, og J er pladsholder for Jens' alder. 3

dl blandet saft

20 15 10 5 1 2 3 4 5

dl ren saft

50 25 a Efter 50 sek. har du svømmet 200 = 100 af distancen, hvilket svarer til 25 m, så du er ved den anden kant. b Efter 30 sek. har du svømmet 15 m, så du er lidt over midten af bassinet. c Efter 60 sek. har du lige vendt og er 5 m fra modsatte kant. d

4

a y-værdierne er 1 større end x-værdierne, eller y = x + 1. b y-værdierne er 2 mindre end x-værdierne, eller y = x – 2. c y-værdierne er dobbelt så store som x værdierne, eller y = 2x. d y værdierne er

1 4

30

M FRA KANT

25 20

af x værdierne,

15

eller y = x4 .

10

5

a b –4 –16 –3 –12 –2 –8 –1 –4 0 0 1 4 2 8 3 4 5 6

0 1,75 5 9 10 12,5 15 20 5·S

c

8

a y er 3 større end x b y=x+3 c y er det dobbelte af x d y = 2x

a

0 1,4 4 7,2 8 10 12 16 4·S

Vand

0 0,35 1 1,8 2 2,5 3 4 S

2

dl

Blandet saft dl

1

180_203

12 16 20 24

b b = 4a

5

a b – 4 –24 –3 –18 –2 –12 –1 –6 0 0 1 6 2 12 3 18 4 24 5 30 6 36

c

SEK.

100

c Antal stk Pris kr.

g er ikke en funktion, da samme omkreds kan forekomme ved forskellige rektangler

9

a-b-c-e-f 10

11

a-c-d-f b er ikke en funktion, da en mor godt kan have flere børn. e er ikke en funktion, da en mobiltelefon godt kan knyttes til flere elever.

b = 6a

d 58 stk.

b 18 stk. 1 6

2 8

4 12

e Du kar svømmet enten 10 m, 40 m, 60 m eller 90 m. Det giver følgende tider: 20 sek., 80 sek., 120 sek. eller 180 sek.

6

a 22 kr.

200

8 20

9 22

16 36

18 40

25 54

32 68

36 76

n 2n + 4

a-b-d-f-g-h 12

a, b, c, e 13

a f(x) = x + 5 c f(x) = 3 · x e J = B + 50


10:02

Side 192

14

e Regneforskrift: S = J – 2, hvor J ≥ 0. Tabel for udvalgte J-værdier:

17

a f(x) = 7 c f(x) = 3

a

e g(x) = 1 g g(x) = 1

a(x)

15

J S

1

a

x 1

·

a(x)

0 -

1 -

Graf:

06/07/05

180_203

2 0

3 1

4 2

7 10 15 5 9 13

S

· · 1

x

1

c

J

1

·

c(x)

1

h(x)

19 1

·

x 1

·

A

·

x –4 –2 0 f(x) –2 0 2

·x

e

e(x) C

16

1

a

x

1

a(x)

x

4 6

Regneforskrift: f(x) = – 12 x Med ord: Funktionsværdien er halvdelen af x med modsat fortegn. Tabel for udvalgte x-værdier:

E

a Regneforskrift:a = b + 2, hvor b ≥ 0 Tabel for udvalgte b-værdier:

b a

c(x)

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

7 9

Graf:

Regneforskrift: f(x) = –2x + 2 Med ord: Funktionsværdien er to større end –2 gange x. Tabel for udvalgte x-værdier: x –2 –1 0 f(x) 6 4 2

1 2 0 –2

20

a

1

a og d f og i

1

2 4

x –4 –2 0 2 4 f(x) 2 1 0 –1 –2 18

c

Regneforskrift: f(x) = x + 2 Med ord: Funktionsværdien er to større end x. Tabel for udvalgte x-værdier:

b og j

c og e

21

Forkerte påstande: c, f og g 1

c

a(x)

1

x 1

b 1

22

c Med ord: Funktionsværdien er x med omvendt fortegn. Regneforskrift: f(x) = –x Tabel for udvalgte x-værdier: x –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 –1 –2 –3

a Antal stk og den samlede pris. Prisen f(x) er afhængig af antal stk. x eller antal stk. f(x) er afhængig af prisen x. b Med ord: Den samlede pris er stykprisen på 4 kr. gange antallet af stykker chokolade. Regneforskrift: f(x) = 4 · x, hvor x er 0 eller et helt positivt tal.


10:02

Side 193

Tabelfor udvalgte x-værdier: x 0 f(x) 0

2 3 4 5 8 12 16 20

Graf:

1 4

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

PRIS

·

· ·

·

26

· · ·

·

·

·

28

Flere løsninger, fx: a pris pr. meter kaldes p antal købte meter kaldes a samlet pris kaldes s b regneforskrift: s = p · a, p > 0 og a > 0

· ·

a Pris i kr. = f(x) = 0,50 kr./stk. · x stk. b Pris i kr. = f(x) = 0,30· x + 50 c 0,3 · x + 50 < 0,5 · x x > 250 Hvis man sender over 250 SMS’er om måneden, er det andet tilbud billigst.

30

a C b ANTAL

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

06/07/05

100

PRIS INKL. MOMS

90

80

24

70

Med ord: Omkredsen er fire gange sidelængden. Regneforskrift: O = 4s, hvor s > 0. Tabel for udvalgte sidelængder: Omkreds cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

50 40 30 20 10 PRIS EKSKL. MOMS 10

20

30

40

60

50

70

80

c 80 kr. 32

a

Sidelængde cm

60

y

Graf:

180_203

30

Omkreds i cm

1 1 20

10

2

Sidelængde i cm 1

5

10

b c d e

– Linjerne skærer andenaksen i samme punkt. – Linjerne er parallelle (samme hældning). 33

a ja, fordi prisen stiger med 4 kr. pr. æble. c ja e ja g nej i ja

x

90

100


06/07/05

10:02

Side 194

180_203

34

i(x)

(2)

h(x)

f(x)

a-f g f(x), g(x), h(x) og j(x) 35

a Ja. Betalingen pr. stykke pizza er omvendt proportionalt med antallet af stykker, man spiser. c Nej e Ja g Nej

k(x)

g(x)

j(x)

1 1

(1)

36

a-f g f(x), g(x) og k(x)

i(x)

h(x)

k(x)

f(x)

g(x)

k(x) f(x) g(x)

j(x)

j(x)


06/07/05

10:02

Side 195

b Pris i kr. kaldes f(x). f(x) = 7,50 kr./km · x km + 4,50 kr/min. · 10 min.

37

a l (cm) 1 2 3 b(cm) 24 12 8

4 6

6 8 12 24 4 3 2 1

50

1.300

b-c

1.200

b cm

180_203

Pris (kr.) 1245,00

1.100 1.000

40

900 800 700

30

645,00

600 500

20

400

A = 6 cm2

300

A = 24 cm2

200

A = 48 cm2

10

195,00

100

Afstand (km) 20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

l cm 10

20

40

30

50

39-42

Undersøg om f(x) er proportional med x i de fire eksperimenter. Du kan begynde med at opstille dine resultater i en tabel x f(x) 44

20 195

80 645

160 1.245

47

a 150 m3 · 30,63 kr./m3 + 281,25 kr. = 4.875,75 kr. b 4076,85 kr. c 6407,25 kr. 3 d f(x) = 281,25 kr.x+ 30,63 kr./m · x e —-

d Kurven flytter sig diagonalt i kvadranten.

a Afstand (km) Pris (kr.)

380 2.895

49

a 840 dm3 b Vand (dl)

Damp (dm3)

0,5 1 2 4 8 12 16 20

840 1.680 3.360 6.720 13.440 20.160 26.880 33.600


180_203

06/07/05

10:02

Side 196

KONSTRUKTIONER 1

5 A

Kvadrat Ligesidet trekant Parallelogram Trapez Retvinklet trekant Ligebenet trekant

C

a

b

75˚ C

B

4 cm A

A |AB| = |BC| = |CD| = |AD|

∠A, ∠B, ∠C og ∠D er 90° B |AB| = |BC| = |AC|

E F

3,5

5 cm

cm

8 cm

C

Cirkelbuernes skæringspunkt er punktet B. c Linjestykket |AB| = 3 cm tegnes. AE og BC tegnes vinkelret på AB. De er begge er 3 cm. C og E forbindes. Herefter findes midtpunktet på EC, hvor der tegnes en vinkelret linje (EC’s midtnormal). D afsættes 2 cm fra linjestykket EC på midtnormalen. DE og CD tegnes.

B

7

C

∠A, ∠B og ∠C er 60° |AB| = |CD|, |BC| = |AD| ∠A = ∠B AB || CD ∠C er 90° ∠B = ∠C

e

d

B

a

4,5 cm B 2,5

cm

5 cm

A

75˚ A

D

3 cm

C

D

7,5 cm

A

B A

B

b

a

m

m 3c

4

5 cm

O

B

A

3 cm

D

c 2 cm

Linjestykket |AB| = 4,5 cm tegnes ∠B er 95° afsættes ∠A findes (180° – 95° – 30° = 55°) og tegnes. d Man kan stole på målene, men ikke på udseendet.

E

C 3 cm

C1 6c m

A

5 cm

m 6c

C2

B

A

3 cm

8 cm

B

Man skal mindst kende: Tre sider eller to sider og en vinkel eller en side og to vinkler. Hvis man kun kender 3 vinkler kan man konstruere en trekant, men den bliver ikke entydig.

6

4,5 c

4c m

8

m

75˚

2,5 c

105˚ 50˚

95˚

C

Kun a og c kan konstrueres entydigt. Der mangler oplysninger før b, d, e og f kan konstrueres entydigt.

C

f 30˚

C

m 5c

3

a Nej b Nej c

m 7c

25˚

A

4,5 cm

D

c

B

50˚

2

C

35˚ 3,5 cm

A

3c m

a b c d e f

9 C

a Figuren har fire lige lange sider og fire rette vinkler. c Figuren er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle. e Figuren har tre sider og én vinkel på 90°. g Siderne er parvis lige lange og alle vinkler er rette (90°) i Alle siderne er lige lange og alle vinklerne er 60°. 10

B

a Punktet O afsættes. Der tegnes en cirkel med radius 5 cm og centrum i O. b Linjestykket AC = 3 cm afsættes. Med center i A afsættes en cirkelbue 3 cm fra punktet A og en cirkelbue 3 cm fra punktet C.

a

c

e


06/07/05

10:02

Side 197

c

11

23

C

B, C, E, og F 12 B

a ∆ABC hvor |AB| = 7 cm, ∠B er 47° og ∠C er 85°. c ∆ABC hvor |AC| = 5,5 cm, |AB| = 7 cm og ∠B er 80°. e Cirkel med en radius på 3,5 cm.

A

16

13

a

Søren har ræsonneret og konstrueret rigtigt. Mie har konstrueret rigtigt, men ikke ræsonneret korrekt. Melissa har læst opgaven forkert. I hendes konstruktion er |AB| = |AC|, og hun placerer derfor ikke højden midt på AB. Jonas’ konstruktion er forkert og han har slet ikke ræsonneret.

B

65˚ A

2,5 cm

C

B

c

D 58˚

4,5 cm 8c m

25

Der dannes altid et parallelogram af de nye linjer. 26 a

4 cm

17 C

6,5 cm

A

·

a Rektangel c Cirkel e kvadrat

e

18

3 cm

a

✕b

c

·

27

B

a-

c

C

3 cm

14 C

a

3 cm

c 70˚

3,5 cm

e

C

B

7 cm

C

C 50˚

5,3 cm

8 cm

10 cm

B

8 cm

70˚ 6 cm

B

d —e Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel. A

b AC tegnes. AB afsættes med passer. Punktet B findes, idet højden fra B er 3,5 cm og står vinkelret på AC. Herefter tegnes CB. 22

40˚

O

A

cm

35˚

a

r

C

15

A

B

4,5

A

a

3,5 cm

55˚

A

20

60˚

A D

40˚ 5 cm

b AC tegnes. ∠A afsættes og linjen fra A tegnes. Punktet B findes, idet højden fra B er 3 cm og står vinkelret på AC. Herefter tegnes BC.

B

4 cm

180_203

3 punkter Fordi, kun i en ligesidet trekant er der lige langt mellem alle toppunkter.

29

Udfoldning: - Hvor stor er en vogn? - Hvor stor afstand skal der være imellem dem? - Hvor i røret bevæger vognene sig? - Vælg et passende målestoksforhold og tegn en arbejdstegning.


180_203

06/07/05

10:02

Side 198

30

32

A, A1 B, B1 C, C1 D, D1 E,E1

1:2 1:3 1:2 2:1 3:2

Hvor stort er klasselokalet? Hvilket målestoksforhold skal klasseværelset tegnes i?

a Tegningen af blyanten bliver halvt så stor. Blyantens mål divideres med 2. c Mønten forstørres 4 gange. e Bordpladen formindskes 20 gange.

38

Udfoldning: Hvilke mål kan et hus på 120 m2 have? Hvad er et passende målestoksforhold?

31 34 C

Afstanden kan findes ved konstruktion i målestoksforholdet 1 : 100. Herefter kan afstanden mellem hjørnerne måles. 10,7 cm svarer til 10,7 m

1:2

2:1

3:1

39

a Udfoldninger: Hvilke hjælpemidler kan I evt. bruge? Bestem et passende målestoksforhold. Øen skal fylde mest muligt på planchen Hvordan vil I tegne skitsen af Bornholm? Hvordan kan man kopiere en tegning uden brug af kopimaskine eller computer? b Udfoldning: Hvilke byer er de største på Bornholm? Hvordan kan byerne placeres på skitsen?

36

Udfoldning: Hvor stor er tavlen? Hvor stort er papiret? Hvilket målestoksforhold skal tavlen tegnes i, før den kan være på papiret?

D

37 2:1

Udfoldning: Hvad er et passende målestoksforhold?

3:1

c

1:2

Allinge

E 1:2

Allinge

Gudhjem

Hasle

Neksø

Rønne

Svaneke

Aakirkeby

-

15

12

37

23

29

28

Gudhjem

15

-

20

24

25

14

18

Hasle

12

20

-

36

12

32

22

Neksø

37

24

36

-

30

9

14

Rønne

23

25

12

30

-

30

16

Svaneke

29

14

32

9

30

-

22

Aakirkeby

28

18

22

14

16

22

-

2:1

41

Indtegn først de oplysninger, fotoet og tegningen giver dig, og brug så fantasien. 43

Tip: Når ruten skal opmåles kan man evt. bruge et stykke snor til at måle med, da det er nemmere at bøje langs ruten. 3:1

44

– 45

a Det rette linjestykke mellem A og B (ca. 4,2cm). b 6 cm c Afstand mellem A og C: ca. 1,4 cm og 2 cm. Afstand mellem A og D: ca. 3,6 cm og 5 cm.


06/07/05

10:03

Side 199

47

a

· ······· ·E F

b

E

·

·······

180_203

·G

c På en ret linje. (midtnormaler til EF. eller EG). d

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

·H · · ·E · · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

e Da E og H ikke ligger på samme ”vej,” ligger punkterne dels på midtnormalen til EH og dels i to kvadratiske områder, der begynder, hvor afstanden til E eller H er større end 3.

ÆNDRINGER 1

a b c d e f g h i

4

0,15 · 200 = 30 30 2,25 15 200 · 100% = 7,5% 2% 1% 20 10 · 100 = 200 200 250 2

a b c d

5 5 500 500.000

e 1 f 40 g 0,25

3 5 a 20 · 100% = 25% e 50% b 5% f 2000% c 100% g 50% d 100%

a For en person, der vejer 50 kg. vil en. vægtstigning på 5 kg svare 5 til 50 · 100% = 10% b For en person, der vejer 150 kg. vil en. vægtstigning på 5 kg svare 5 til 150 · 100% = 3 23 %

b Det kommer an på startbeløbets størrelse. c Ved 100 kr. 8

a 28 = 14 = 25% c 10% 9

5

Fx a Hvis der ryger 10% af en kæmpe sten, der vejer 35 t, svarer det til 3.500 kg. b Hvis en myre taber 10% af sin vægt, er det meget lidt. c For en mand, der vejer 100 kg vil ved et vægttab på 10% tabe 10 kg.

Absolut ændring

a c e g i k

7

a Sarah

1 1 2 2000 –1 0,5

Relativ ændring

25% 20% 20% 20% –50% 100%

10

6

Det kommer an på hvem der spørger og i hvilken situation, der spørges. Men 1.000.000.000 kr. er vel altid mange penge.

e 40% g 12,5%

Absolut ændring

a c e g i k

2 1 –2 30 90 –1

Relativ ændring

40% 5% –12,5% 20% 37,5% –100%


180_203

06/07/05

10:03

Side 200

11

24

a Skridtvis ændring i tal: Skridtvis ændring i %:

2 2 4

· 100 = 50%

Total ændring i tal:

· 100 = 50%

5 5 4

Total ændring i %:

25

· 100 = 125%

c Skridtvis ændring i tal: Skridtvis ændring i %:

10

15

50%

50%

Total ændring i tal:

25

Total ændring i %:

125%

e Skridtvis ændring i tal: Skridtvis ændring i %:

33 13 %

25%

Total ændring i %:

66 23 %

Skridtvis ændring i %:

30 – 20 = a – 100 Relativ:

1

2

a Absolut: a = 110

1

Total ændring i tal: g Skridtvis ændring i tal:

20 30

=

30 – 20 20

–2

1

–40%

33 13 %

100 a

=

eller

a – 100 100

a = 150 c Absolut: 10

Relativ: 0

e Absolut: 13

Relativ: 10

Total ændring i tal:

–1

Total ændring i %:

–20%

g Absolut: –30

Relativ: 13,333

–1

2

i Absolut: 20

Relativ: intet svar

–25%

66 23 %

i Skridtvis ændring i tal: Skridtvis ændring i %:

a c e g

3 3 6

a Fra 1.000 kr. til 1.100 kr. c Fra 10 kr. til 110 kr. e Fra 100.000 kr. til 100.100

Total ændring i tal:

1

Total ændring i %:

25%

12

16

Abs.: 4 kr. Abs.: 1t/uge Abs.: –1 kr. Abs.: –5 kr.

Rel.: 7,14% Rel.: 25% Rel.: –0,02% Rel.: –28,57%

13

a Den relative. c Det kommer an på situationen. Skal man købe én vare eller et helt parti. e Den relative. g Den absolutte. 14

a Der går flest drenge på Nørreskolen. b Relativt set går der ca. 52% drenge på Nørreskolen og ca. 53% drenge på Sønderskolen. 15

a 7.b b 7.c c fordi

4 18

er større end

5 24

a c e g

Absolut: –5 Absolut: –5 Absolut: –250 Absolut: –250

1 12

29

a

8,0 20% E 16,7% b A 400 kr. C 799,80 kr. E 1.000 kr. c Den største absolutte besparelse på 1.500 kr. udgør kun 11,5% af den oprindelige pris. Til sammenligning udgør den største relative besparelse på 20% kun 799,80 kr. Den relative besparelse skal ses i forhold til før-prisen. A C

Relativ: –20% Relativ: –33 13 % Relativ: –25% Relativ: –33 13 %

18

a 100 km/t b 20 km/t c 152 km/t

27

d 306 km/t e 392 km/t

20

a Saft: 1 : 9 Rengøringsmiddel : 1 : 402 Benzin: 1 : 102 b – 21

En myretue er ca. 100 cm i forhold til 0,5 cm dvs. Tuen er 200 gange større end myren. Et højhus er 448,6 m i forhold til 1,70 m dvs. Højhuset er ca. 260 gange større end mennesket. 23

Tip: Tænk fx på en millionær i forhold til en tigger.

31

a 30 kr. eller 20% b 425 kr. eller ca.60% c Cd: 20% Dvd 20% Spil ca. 27% d Cd 37,5% Dvd 37,5% Spil ca. 55%


180_203

06/07/05

10:03

Side 201

TÆLLEMODELLER 1

6 mulige rækkefølger: Kenneth, Christian, Anders K,A,C C,A,K C,K,A A,K,C A,C,K

{12, 24} {4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30} {4, 6, 8, 16, 18, 20, 28, 30} {1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29}

A

B

·21

5 personer 5 personer 3 personer 4 personer

·25

·26

·27

·28 ·30

A∩B={ } A ∪ B = {21, 22, 23, …,29, 30} c G ·25

a 4 · 5 = 20 tal d 7 tal b 5 tal e 6 tal c 8 tal f 3 tal

·26

10 G

8

6

2 4 6 8 2 4 6 8

0

0 2 4

1

0 2 4

2

0 2 4

3

0 2 4

4

0 2 4

5

0 2 4

0

0 2 4

1

0 2 4

2

0 2 4

3

0 2 4

4

0 2 4

5

0 2 4

2

K

L

·23 ·25 ·29

·21 ·27

·30

·24 ·22 ·28

7

G = {70, 71, 72, …,84, 85} De naturlige tal fra 70 til 85. A = {70, 72, 74, …,82, 84} De lige tal fra G B = {72, 75 ,78, 81, 84} De tal fra G, som er delelige med 3. A ∩ B = {72, 78, 84} De tal fra G, som er både delelige med 2 og 3.

·23 ·27

E ∩ F = {24, 28} E ∪ F = {22, 24, 26, 28, 30}

a {3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 30, 36} b {5, 10, 15, 20, 25, 30} c {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30, 36} d {15, 30} e {1, 2, 4, 8, 16}

6 summer 3 summer 8 summer 5 summer

·28

·29

6

2 4 6 8

·21

·30

5

a b c d

·22 ·24

a fx Miniburger + Cola, Osteburger + Hindbærbrus, Kyllingeburger + Energivand. b 3 c 4 d 12

4

1

F

E

4

2 4 6 8

8

·24

c e f g h

2

·22

·23

·29

5 personer 4 personer 1 personer 0 personer

a

a G

3

a b c d

12

9

2

a b c d

A ∪ B = {70, 72, 74, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 84} De tal fra G, som enten er delelige med 2 eller med 3.

M

·26

e Bog Bog

a c e g

K ∩ L = {21, 27} L ∩ M = {24} K ∪ M = {21, 23, 24, 25, 27, 28, 29} K ∪ L ∪ M = {21, 23, 24, 25, 27, 28, 29,30} i {22, 29} 11

a Sand c Falsk e Falsk

1

2

osv osv osv

13

a c e g i

4 · 3 · 2 = 24 6 16 24 64

Bog

3

Bog 4


180_203

06/07/05

10:03

Side 202

14

c

a 1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

e 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

16

15

a–b

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5

22 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6

23 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7

24 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8

25 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

27 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2

28 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3

29 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4

30 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5

18

c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

a 1 · 4 · 3 · 2· 1 = 24 19

D24

D28 ·3 ·24

·6

e

·7 ·1 ·4

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

D12

·14

·2

·12

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

c 6

a D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} b

·8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b 24

·2 ·6 ·3 ·12

·28

·1

D12

D18 ·4

·12

·1

·9 ·3

·2 ·6

·8

·18 ·36

·4

·10

·5

·40

D36

·9

·20

·18

c D12 ∩ D18 = {1, 2, 3, 6} D24 ∩ D28 = {1, 2, 4} D12 ∩ D36 ∩ D40 = {1, 4} d ”De naturlige tal, som både går op i 24 og 28.”

D40


180_203

06/07/05

10:03

Side 203

21

29

a 4 · 5 · 5 = 100 b 25 c 40

d 36 e 20 f 24

23

a 2 · 1 · 3 · 3 · 1 = 18 b 3·1·3·1·5+3·1·2·1·5= 75

b c

= 80% · ·

3 4 1 4

· =

2 3

ca. 6.380 (05-04-2004) 38

Fx hund sygdom pels 39

b 4 klasser

3 (05-04-2004) 40

a 25 · 20 = 500 b 10 ·12 + 8 · 15 = 240 c 25 · 20 – 10 = 490

27

a

36

32

1.000 indstillinger

4 5 4 5 4 5

ca. 194.000 (05-04-2004)

31

a 30 klasser

25

35

a 10 b Job 1: opfylder 2 dobbeltønsker (stereoanlæg + tv eller kamera + tv). Job 2-4 opfylder ingen dobbeltønsker. Job 5 opfylder 1 dobbeltønske (kamera + tv)

=

4 20

24 60

=

=

2 10

4 10

= 40%

= 20%

34

ca. 272.000 hits. (05-04-2004)

40 (05-04-2004) 42

a b c d

ca. 238 (05-04-2004) ca. 6 (05-04-2004) ca.232 (05-04-2004) At der ikke søges efter web-steder, hvor ordet ”banan” indgår.


STIKORD A absolut ændring 110-137, 140 absolutte 140, 142 afhængig variabel 98-99, 103 areal 18, 52, 64, 74, 98, 103, 126

B besparelse 58 bogstaver, regning med 10-11, 14, 17-18, 59 bredde 67, 75 bremselængde 109 brøk 31, 34, 40 brøkdel 135 budget 61 både-og 147-148, 158

C celler 24 celsius 105 cirkeldiagram 34-35, 157 cylinder 67-68, 71-72

D data 84, 92 decimaltal 31, 39 definitionsmængde 12 del 30 delmængde 150, 159 deskriptor 82-83 diagonal 122, 126 diagram 83, 85 diameter 72 diffenrence 135 dybden 67, 106

E

enten-eller 147-148 entydig 98, 100

F fahrenheit 105 feriepenge 36 foreningsmængde 148 forhold 135 formel 10, 18, 20, 25, 39, 67, 75 formellinje 24-25 forskel 138 forudsætning 118-119 frekvens 82-83 funktion 98-108, 111-113 funktionsværdi 103 fællesmængde 148, 153

G Gauss, Carl Friedrich 22, 23 gennemsnit 23, 71, 83, 84 graf 97, 99, 101-104, 107-111 grundfladeareal 66, 72 grundflade 67 grundlinje 57 grundmængde 12, 15, 148, 150

H hastighed 109, 137, 139 helhed 30 heltal 56 hundrededel 29 hverken-eller 147 hyppighed 82-83, 85 hyppighedstabel 153 højde 75

I irregulære former 75

K knudepunkt 131 kombimatrix 149, 152-153 konstant 12, 14, 24, 107 konstruktion 116-124 koordinatsystem 96, 103, 108111, 113 kubikrod 74 kegle 67-69 kvartil 82-83, 85 kvadratrod 74

L ligedannet 122, 125 ligefrem propotionalitet 107, 109 ligevægt 46 ligning 17, 44, 46-54, 56, 58-59, 67, 96, 106 lineal 119 linje 116, 119 listeform 148, 150, 153 lixtal 21 lovlig omformning 47 længde 64, 66, 70, 104, 116, 119120 løsningsmængde 55-56

M maskine 97-98 massefylde 73 matematisk modellering 75 matematiske symboler 20, 121 median 82-83, 85 midtnormal 124 mindsteværdi 82-83 mængde 12, 150, 153 mængdediagram 148, 150, 153, 157 målestoksforhold 125-127

element 12, 150

204

STIKORD


måltal 126

N negativt tal 56, 74 nodeværdier 40-41 normaler 116 normalpris 58, 142 nævner 18

O observation 82-84 observationssæt 82-83, 92 omformning 47, 49-51, 67 omkreds 10, 20, 64, 103-104, 124 omvendt propotionalitet 108-109 overfladearealet 70 overslagsregning 35, 75

P paralelle linjer 116 passer 119 pilebillede 98 pladsholder 12, 24 potens 67 prisme 66, 69 procent 28-33, 58-59, 134, 136, 138-139, 143, 157 procentregning 30 promille 39 propotionalitet 107-109, 113 punkt 131

R radius 67, 96, 104, 124 reducer 16, 18, 44 regneark 24 regneforskrift 99-101, 107, 112 regneudtryk 65 relativ ændring 135-137, 140 relativ 140, 142 resultat 118 rodstørrelser 74 rumfang 48, 64-67, 70-75 rumfangsformler 67-69 ræsonnement 118, 122

STIKORD

S sammenhæng 96-98, 103-105, 108-109, 137, 149 sammenligning 146-147 sandsynlighed 147, 156 skitse 116-117, 118-124 skæringspunkt 119 størsteværdi 82-83 sum 23, 152 summeret frekvens 82-83 summeret hyppighed 82-83 sumnavne 22 symboludtryk 20 søgerobot 158

vinkelstørrelse 116, 122 volumen 66, 69 vægt 54, 73, 134 værdi 25, 98, 101, 140

Æ ændring 134-138, 140

T tabel 96-97, 99, 101, 104, 110, 146-147, 150, 152-153 takt 40 taktart 40-41 tal 17, 56 talfølger 22 tallinje 55 talstørrelser 46, 55 taxageometri 130-131 tegning 126-129 temperatur 105, 109, 137 totaltværsum 152 tværsum 152 tællemodel 148-149 tæller 18 tælletræ 149-150, 154, 156

U uafhængig variabel 103 ubekendt 52 udsalgspris 58, 142 uligheder 55-57

V vandforbrug 76, 112 variabel 12-18, 24, 98, 103-104, 107 variationsbredde 82-83 vinkelhalveringslinje 124 vinkelret 116

205