Page 1

Foreløbig version - bl.a. er QR-koder til videoer m.m. ikke aktive

Af Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Kernestof Mat 2 stx Lindhardt og Ringhof


KERNESTOF Mat 2 stx Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard © 2018 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Billedredaktion: Astrid Sletten Rybner Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 1. oplag 2018 Kernestof Mat 2 er en revideret og delvist nyskrevet udgave af Kernestof Mat B, af Per Gregersen og Peter Limkilde. Sammen med Kernestof Mat 1 er Kernestof Mat 2 en fuldt dækkende grundbog til matematik på B-niveau. ISBN 978 87 xxxxx www.lru.dk


Indhold Forord 1. Andengradsploynomier 1.1 Parabler og koefficienter

6 8 8

1.2 Diskriminant og toppunktsformel

10

1.3 Rødder

12

1.4 Faktorisering og modellering

14

1.5 Polynomier af højere grad

16

Opgaver til kapitel 1

18

Træningssider 1

22

2. Funktioner 2.1 Introduktion

24 24

2.2 Monotoniforhold

26

2.3 At regne med funktioner

28

2.4 Sammensatte funktioner

30

2.5 Parallelforskydning af grafer

32

Opgaver til kapitel 2

34

Træningssider 2

38

3. Trigonometriske funktioner 3.1 Radianer

40 40

3.2 Funktionen sin(x)

42

3.3 Amplitude

44

3.4 Periode

46

Opgaver til kapitel 3

48

Træningssider 3

50

4. Logaritmefunktioner 4.1 Introduktion 4.2 Logaritmiske skalaer 1

52 52 54

4.3 Logaritmiske skalaer 2

56

4.4 Beviser og regneregler for logaritmer

58

Opgaver til kapitel 4

60

Træningssider 4

64

Indhold

3


1

3 2

5. Binomialfordelingen 66 5.1 Stokstisk variabel 66 5.2 Middelværdi og spredning

68

5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel

70

5.4 Middelværdi  og spredning i binomialfordelingen 72 5.5 Baggrunden for binomialfordelingen 74

Opgaver til kapitel 5

76

Træningssider 5

80

6. Binomialtest 82 6.1 Er mønten ærlig? 82 6.2 Binomialtest

84

6.3 Enkeltsidet test, bias og konfundering

86

Opgaver til kapitel 6 88

Træningssider 6 90

7. Differentialregning 92 7.1 Tangenter og væksthastighed 92 7.2 B  eregning af tangenthældninger (og væksthastighed) 7.3 Afledet funktion

94 96

7.4 Sekanthældninger 98 7.5 Beviser 1: Tretrinsreglen

100

7.6 Beviser 2 102 Opgaver til kapitel 7 104

Træningssider 7

106

8. Differentialregningens regneregler 110 8.1 Sum-, differens- og konstantreglen 110 8.2 Produkt- og kædereglen

112

8.3 Beviser for konstant- og sumreglen 114

4

Indhold

8.4 Bevis for produktreglen

116

Opgaver til kapitel 8

118

Træningssider 8

120


9. Differentialregningens anvendelser 9.1 Monotoniforhold

122 122

9.2 Om forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion

124 ′ 9.3 Optimering og andre anvendelser af f 126 9.4 Andengradspolynomier og differentialregning 128 9.5 O  m begreberne voksende og aftagende

130

Opgaver til kapitel 9

132

Træningssider 9

138

10. Konklusioner fra data 10.1 Approksimation og simulering 10.2 Konfidensintervaller

140 142 144

10.3 Lineær regression – midste kvadraters metode

146

10.4 R esidualspredning

148

10.5 Polynomiel regression

150

Opgaver til kapitel 10

152

Træningssider 10

156

11. Analytisk geometri 11.1 Normalvektor og linjens ligning

158 158

11.2 Skæring mellem linjer

160

11.3 Afstande

162

11.4 Cirkler 1

164

11.5 Cirkler 2

166

11.6 Retningsvektor og parameterfremstilling 168 11.7 Skæringspunkter og skæringstidspunkter 170 11.6 Beviser 1

172

11.7 Beviser 2

174

11.8 Beviser 3

176

Opgaver til kapitel 11

Facitliste

178

184

Indhold

5


Forord

(fra K-stof 1)

Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse hf. Den kan bruges alene på C-niveau, eller som første del af undervisningen på B-niveau.

Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle

NYT FORORD PÅ VEJ øvelser bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression. Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv.

At forstå matematik

Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller. Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.

To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse. Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber. Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo.

6

Forord


Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen.
Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl!

NYT FORORD PÅ VEJ

Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse

Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker.

Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgå i en sammenhæng, der giver mening.

Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske? • "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher"

Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken. Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet. God fornøjelse med bogen. Majken og Per

Forord

7


1. Andengradspolynomier 1.1 Parabler og koefficienter 1 Introduktion Når vandet i et springvand skydes skråt opad, følger det en parabelformet kurve. Den funktionstype, der har parabler som grafer, kaldes andengradspolynomier. I kernestof 1 så vi på sammenhængen mellem forskriften for et andengradspolynomium 2

f(x) = ax + bx + c og parablens udseende. I kapitlet her skal vi undersøge andengrads-

y 3 2

polynomierne mere detaljeret. f

1

2 Eksempel I koordinatsystemet ses grafen for

1

2 andengradspolynomiet f(x) = –2x + 5x.

2

3

x

3 Definition Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften f(x) = ax2 + bx + c. De tre konstanter a, b og c kaldes koefficienter. De kan antage alle værdier, dog må a ikke være 0. En graf for et andengradspolynomium kaldes en parabel.

4 Eksempel Tre andengradspolynomier og deres grafer. f(x) = –0,5x2 + 4

f(x) = x2

f(x) = x2–4x + 4

y

y

y f

f

f

x

x

x

De markerede punkter på graferne kaldes toppunkter. På den røde graf er toppunktet øverst, og grenene vender nedad. På de to blå grafer er toppunktet nederst, og gre-

y

nene vender opad. De to grafer til venstre har y-aksen som symmetriakse.

f

5 Sætning En parabel er symmetrisk om den lodrette linje, der går gennem toppunktet. x T

8

1. Andengradsplynomier


Toppunktet er et globalt ekstremum (maksimum eller minimum) for andengradspolynomiet. Man får ofte brug for at bestemme koordinaterne til toppunktet, når man opstiller modeller med andengradspolynomier og parabler. Vi skal senere behandle en formel, hvormed toppunktets koordinater kan bestemmes ud fra koefficienterne i andengradspolynomiets forskrift.

6 Sætning For en parabel, der er graf for f(x) = ax2 + bx + c gælder:

1. Parablen vender grenene opad, hvis koefficienten a er større end 0, og nedad, hvis a er mindre end 0.

2. Parablen skærer y-aksen i punktet (0,c).

3. Tangenthældningen i punktet (0,c) til lig med b.

7 Eksempel Vi vil beskrive de to andengradspolynomier f(x) = x2– 4x + 3 og g(x) = – 2x2 + 4x,

y

samt deres grafer med de indførte begreber.

3

I andengradspolynomiet f er koefficienterne: a = 1, b = –4 og c =3.

2

Parablen vender grenene opad, da a er et positivt tal. Parablen skærer y-aksen i

f g

1

punktet (0,3), da c = 3, og hældningen af tangenten i dette punkt er lig med –4, da b = –4.

–1

1

2

x

3

–1

I andengradspolynomiet g er koefficienterne: a = –2, b = 4 og c = 0. Parablen vender grenene nedad, da a er et negativt tal. Parablen skærer y-aksen i punktet (0,0), da c = 0, og hældningen af tangenten i dette punkt er lig med 4, da b = 4.

y f

8 Øvelse

3

I koordinatsystemet ses to parabler, som er grafer for andengradspolynomierne f og g.

1

b. Bestem koordinatsættet til deres toppunkter. c. Bestem koefficienten c for begge andengradspolynomier. d. Bestem fortegnet for koefficienten b for begge andengradspolynomier.

g

2

a. Hvilken af de to har en forskrift, hvor koefficienten a er negativ?

–2

–1

1

2

x

–1

9 Øvelse

y

I koordinatsystemet ses graferne for andengradspolynomierne

f(x) = –2x2+ 4x + 1 og g(x) = x2– 4x + 4 .

4

a. Bestem værdierne af koefficienterne a, b og c i regneforskrifterne for f og g.

3

b. Gør rede for, hvilken graf der hører til f, og hvilken der hører til g.

2

c. Aflæs koordinatsættet til deres toppunkter. d. Aflæs skæringspunktet med y-aksen for begge grafer. e. Den brune parabel er smallere end den grønne. Gør rede for, hvordan dette

1 1

2

3

4

x

kan ses på forskriften for f i forhold til forskriften for g.

1. Andengradsplynomier

9


1.2 Diskriminant og toppunktsformel

10 Introduktion Et rejsebureau sælger oplevelsesrejser. Andengradspolynomiet R(x) = –0,05x2 + 30x

er model for omsætningen (i tusind kr.) som funktion af antal solgte rejser x.

y 5000

I koordinatsystemet ses grafen for R.

4000

  Koordinaterne til parablens toppunkt er I erhvervsøkonomi bruges betegnelinteressante for rejsebureauet, fordi x-koorsen R for omsætningsfunktioner. R er en forkortelse for ”revenue” som

dinaten til toppunktet er det antal rejser,

betyder omsætning.

hvor omsætningen er maksimal, og y-koor-

3000

R

2000 1000

dinaten er den tilhørende omsætning.

100 200 300 400 500 600

11 Sætning Parablen, der er graf for funktionen f(x) = ax2 + bx + c, har et toppunkt med koordinaterne: T =  − b , − d  , hvor a, b og c er koefficienterne fra forskriften,  2a 4 a  og tallet d, som kaldes diskriminanten, er givet ved: d = b2 – 4ac.

12 Eksempel Vi vil beregne koordinaterne til toppunktet for parablen, der er graf for

f(x) = x2– 3x + 2.

Vi bemærker, at koefficienterne i forskriften for f er a = 1, b = –3 og c = 2. 2

Diskriminanten beregnes til d = (–3) – 4 · 1 · 2 = 9 – 8 = 1. Størrelserne indsættes i toppunktsformlen: −3 1 3 1  − −3 , − 1  =  3 , − 1  T =  − , −  =  , −  . Toppunktets T = koordinater  er  . 2 ⋅1

4 ⋅1

2

4

2 ⋅1

4 ⋅1

2

4

13 Eksempel Vi beregner koordinaterne til toppunktet for parablen, der er graf for funktionen R(x) = –0,05x2 + 30x. I forskriften er a = –0,05, b = 30 og c = 0. Diskriminanten beregnes til d = 302 – 4 · (–0,05) · 0 = 900 – 0 = 900. Vi indsætter tallene i toppunktsformlen: 30 900  = (300, 4500 ) T =  − ,− 2 ⋅ ( −0, 05) 4 ⋅ ( −0, 05)  Dette er altså koordinaterne til toppunktet.

I modellen betyder det, at virksomheden har den maksimale omsætning på 4 500 tusinde kr., altså 4 500 000 kr. ved salg af 300 rejser.

10

1. Andengradsplynomier

x


I 14-17 arbejdes videre med introcasen. y

14 Modellering af rejsebureauets omsætning R(x)

30

Sammenhængen mellem antal rejser x og prisen i tusind kroner, p(x),

25

antages at være givet ved prisfunktionen:

20

p

15

p(x) = –0,05x + 30.

På grafen ses, at der sælges flest rejser, når prisen er lav. Omsætningen R(x) findes ved at gange antal rejser med prisen pr. rejse.

10 5

Vi får da: R ( x ) = x ⋅ p ( x ) = x ⋅ ( −0,05 x + 30 ) = − 0,05 x 2 + 30 x .

100 200 300 400 500 600

x

y

15 Modellering af virksomhedens omkostninger C(x)

3000

Vi vil antage, at der er nogle faste omkostninger på 300 000 kr. til husleje mv. og nogle variable omkostninger, som varierer med antal solgte

2000

rejser (flybilletter, hotelværelser mv.) på 4 000 kr. pr. rejse. Omkostningsfunktionen (i tusind kr.) bliver derved C(x) = 4x + 300.

C 1000

16 Modellering af virksomhedens overskud O(x) Overskuddet findes ved at trække omkostningerne fra omsætningen. Vi får: O ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = − 0,05 x 2 + 30 x − ( 4 x + 300 ) = − 0,05 x 2 + 26 x − 300

100 200 300 400 500 600

x

y

I koordinatsystemet ses grafen for O(x), altså virksomhedens overskud.

5000

Denne parabels toppunkt er mere interessant for rejsebureauets ejere end

4000

toppunktet for den grønne parabel, som viser omsætningens maksimum.

3000

Bemærk, at overskuddet er maksimalt for et lavere antal rejser, end der, hvor

2000

omsætningen er maksimal. Det handler altså ikke om at sælge mest muligt!

1000

17 Øvelse

R

O

100 200 300 400 500 600

x

2

Virksomhedens overskudsfunktion er O(x) = –0,05x + 26x – 300 a. Beregn diskriminanten d. b. Beregn toppunktets koordinater. c. Brug toppunktets x-koordinat til at bestemme det antal rejser, hvor profitten er maksimal. d. Brug toppunktets y-koordinat til at bestemme den maksimale profit.

18 Øvelse Et andengradspolynomium er givet ved f(x) = 3x2 + 2x – 2 . a. Tegn grafen i CAS. b. Bestem diskriminanten. c. Bestem koordinaterne til toppunktet uden CAS. d. Bestem koordinaterne til toppunktet med CAS.

1. Andengradsplynomier

11


1.3 Rødder 19 Introduktion  Billedet viser The Winter Garden i Sheffield. Bygningens spær er parabelformede.

Andengradspolynomiet f(x) = –0,2x2 + 0,2x + 4 kan være model for tværsnittet af bygningen. Parablen er tegnet, så bygningens grundplan ligger langs x-aksen. De to steder (x-værdier), hvor parablen skærer x-aksen, kaldes rødder.

At bestemme polynomiets rødder svarer dermed til at løse

y

f

ligningen f(x) = 0.

5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

20 Definition En rod er et tal r, hvorom det gælder, at f(r) = 0. 1 2 3 4 5

x

21 Sætning Antallet af rødder for f(x) = ax2 + bx + c afhænger af diskriminanten

d = b2 – 4ac:

(1) For d < 0 er der ingen rødder.

(2) For d = 0 er der en enkelt rod: x =

(3) For d > 0 er der to rødder: x =

−b 2a

−b ± d 2a

22 Eksempel

Vi vil bestemme rødderne for g(x) = x2 + 2x – 3, dvs. vi vil løse ligningen g(x) = 0.

Koefficienterne er a = 1, b = 2 og c = –3. Diskriminanten beregnes til

d = 22 – 4 · 1 · (–3) = 4 + 12 = 16. Ligningen vi løser er af typen Diskriminanten er positiv, så der er to rødder. Vi indsætter i formlen ax2 + bx + c = 0.  −2 − 4 −6 −2 ± 16 −2 ± 4  2 = 2 = − 3 = = = x  −2 + 4 En sådan ligning hedder en 2 ⋅1 2  2 = 22 = 1 andengradsligning.

Rødderne er altså x = –3 og x = 1.

23 Eksempel

Vi vil bestemme rødderne for funktionen fra introduktionen: f(x) = –0,2x2 + 0,2x + 4.

Først bestemmes diskriminanten: d = b2 – 4ac = 0,22 – 4 · (–0,2) · 4 = 3,24.

Dernæst indsættes i formlen:  −4 = 5 Rødderne er altså x = –4 og x = 5.

12

1. Andengradsplynomier

x=

−0, 2 ±

3, 24

2( −0, 2)


24 Bevis for sætning 21

Potensregneregel

I beviset sætter vi først regneforskriften lig med nul.

pn · qn = (p · q)n

ax2 + bx + c = 0 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 22a2x2 + 4abx = – 4ac

(2ax)2 + b2 + 2 · 2ax · b = b2 – 4ac 2

(2ax + b) = d

Vi ganger med 4a på begge sider Vi trækker 4ac fra på begge sider Vi lægger b2 til på begge sider Vi udnytter en kvadratsætning og definitionen af d.

Kvadratsætning (p + q)2 = p2 + q2 + 2pq

På venstre side er udtrykket sat i anden og derfor positivt. Hvis d er et negativt tal, er der derfor ingen værdier af x, hvor ligningen har en løsning. Hermed har vi bevist (1). Hvis d = 0, har vi ligningen: (2ax + b)2 = 0

Som er ensbetydende med

2ax + b = 0

Denne ligning løser vi for x:

2ax = –b

−b x == 2a

Vi har trukket b fra på begge sider Vi har divideret med 2a på begge sider

Hermed har vi bevist (2). Hvis d > 0 har vi: (2ax + b)2 = d 2ax ++ b == ±± d 2ax 2ax+= b–b= ±± d xx ==

−b ± d 2a

+ bp = ± q . Vi har brugt, at p2 = q er ensbetydende2ax med Vi har trukket b fra på begge sider Vi har divideret med 2a på begge sider

Hermed har vi bevist (3).

25 Øvelse Betragt de tre andengradspolynomier f(x) = 2x2 – 2x – 4, g(x) = x2 – 2x + 1 og h(x) = –x2 + 7x – 12. a. Beregn diskriminanten for alle tre polynomier. b. Bestem rødderne (hvis der er nogen) for alle tre polynomier. c. Tegn graferne for alle tre polynomier med CAS, og aflæs eventuelle skærings-

y

punkter med x-aksen.

26 Øvelse

8

f

6

I koordinatsystemet ses grafen for en funktion af typen f(x) = ax2 + bx + c.

4

a. Bestem fortegnet af koefficienten a. b. Bestem fortegnet af koefficienten b.

2

c. Bestem værdien af koefficienten c. d. Bestem antallet af rødder ud fra grafen.

–4

–2

2

4

x

e. Bestem diskriminantens fortegn.

1. Andengradsplynomier

13


1.4 Faktorisering og modellering 27 Introduktion På billedet ses broen Piney Branch Bridge i Washington. Broens bue er parabelformet. I afsnittet her skal vi se på, hvordan man kan frembringe en forskrift ud fra oplysninger om bredde og højde for parabelbuen.

28 Eksempel

y

I en model for broen kommer vi frem til andengradspolynomiet

8 6 4 2

f

f(x) = –0,05x2 + 7,2.

–14–12–10–8 –6 –4 –2–2

2 4 6

Med denne forskrift har parablens toppunkt y-værdien 7,2.

Parablen skærer x-aksen i x = –12 og x = 12. x 8 10 12

Derved er afstanden mellem rødderne 24.

29 Eksempel

2 To tals sum gange de samme I designet af forskriften f(x) = –0,05x + 7,2 har vi krævet tre ting.

(1) f skal være et andengradspolynomium med grenene nedad,

to tals differens: 2

(a + b) (a – b) = a – b

(2) f skal have rødderne –12 og 12, og endeligt at

2

(3) toppunktet skal være i (0;7,2). ad (2) E n funktion med forskriften f(x) = a · (x – 12) · (x + 12) har rødderne 12 og –12, fordi f(x) = 0 for disse to x-værdier.

ad (1) f (x) = a · (x – 12) · (x + 12) = ax2 – 144a er et andengradspolynomium.

ad (3) Toppunkt i (0 ; 7,2) betyder, at f(0) = 7,2. Vi udregner først 2

f(0) = a · 0 – 144a = –144a. Vi har altså ligningen –144a = 7,2 med løsningen a =

Denne værdi af a indsættes i (1), hvorefter vi har f(x) = –0,05x2 + 7,2.

Nulreglen

−144 = −0,05 . 7, 2

30 Nulreglen

Der er en enkel forklaring på, at vi i eksemplet ovenfor kan aflæse rødderne direkte i andengradspolynomiet f(x) = –0,05 (x – 12)(x + 12).

p∙q=0 er ensbetydende med at

Andengradspolynomiet er nemlig skrevet på faktoriseret form, og så kan vi benytte nulreglen (se boks i margen).

p = 0 eller q = 0.

Ifølge nulreglen skal blot én af faktorerne i forskriften for f(x) være nul, for at funktionsværdien giver nul.

Første parentes giver nul for x = 12 og anden parentes giver nul for x = –12:

14

1. Andengradsplynomier

f (12) = − 0,05 ⋅ (12 − 12) ⋅ (12 + 12) = − 0,05 ⋅ 0 ⋅ 24 = 0 f ( −12) = − 0,05 ⋅ ( −12 − 12) ⋅ ( −12 + 12 ) = − 0,05 ⋅ ( −24 ) ⋅ 0 = 0


31 Eksempel Ved at skrive et andengradspolynomium på faktoriseret form er det let

y

at frembringe parabler med bestemte rødder og en bestemt højde af

3 2 1

f

toppunktet. Eksempelvis kan vi bruge forskriften f(x) = –0,1(x – 5)(x + 5) til at frembringe en parabel med rødderne –5 og 5 og højden 2,5, hvis

–6 –5 –4 –3 –2 –1

x-aksen betegner jordoverfladen.

x

1 2 3 4 5 6 7

–2

32 Sætning En funktion med en faktoriseret forskrift af typen f(x) = a · (x – x1) (x – x2) er et andengradspolynomium f(x) = ax2 + bx + c med rødderne x1 og x2.

33 Bevis Vi ganger faktorerne ud og viser, at vi får ax2 + bx + c, altså ”en konstant gange x2 plus en konstant gange x plus en konstant”:

f ( x ) = a (( x − x1 )( x − x 2 ))

(

= a x 2 − x ⋅ x 2 − x1 ⋅ x + x1 ⋅ x 2

Produkt af to parenteser:

)

(p + q) · (r + s) =

= a ⋅ x − a ⋅ x 2 ⋅ x − a ⋅ x1 ⋅ x + a ⋅ x1 ⋅ x 2 2

= a ⋅ x + ( − a ⋅ x 2 − a ⋅ x1 ) ⋅ x + a ⋅ x1 ⋅ x 2   

p·r+p·s+q·r+q·s

2

b

c

Da (–ax2 – ax1) er konstanter, der kan udregnes til én ny konstant, og ax1x2 ligeså,

Sætte uden for en parentes: p · q + p · r = p · (q + r)

er vi kommet frem til en forskrift af typen ax2 + bx + c. Derfor er f et andengradspolynomium. Hermed er sætningen bevist.

34 Øvelse Et andengradspolynomium har rødderne –4 og 4. a. Opskriv forskriften for f på faktoriseret form, idet det oplyses, at konstanten a = –0,2. b. Tegn grafen for f i CAS. c. Bestem toppunktets koordinater. d. Bestem en ny værdi af konstanten a, således at toppunktet kommer til at ligge i (0;6,4).

35 Øvelse Et andengradspolynomium har rødderne –1 og 7. a. Opskriv forskriften for f på faktoriseret form, idet det oplyses, at konstanten a = –1. b. Tegn grafen for f i CAS. c. Brug parablens symmetriske egenskaber til at redegøre for x-værdien i parablens toppunkt. d. Beregn toppunktets andenkoordinat ved at indsætte x-værdien fra delspørgsmål c. i forskriften for f.

1. Andengradsplynomier

15


1.5 Polynomier af højere grad 36 Introduktion En rektangulær bakke kan laves ud af en plade ved at klippe et kvadrat ud af hvert hjørne med en given sidelængde x. Se tegningen i margenen. Volumen af bakken kan beregnes med funktionen x

V(x) = 4x3 – 30x2 + 50x.

Dette er et tredjegradspolynomium, fordi den højeste eksponent er 3.

x

I afsnittet her skal vi se nærmere på polynomier, der har højere grad end 2.

5

37 Eksempel Vi vil opstille en forskrift for bakkens volumen. Når bakken foldes som vist på tegningen, bliver x højden af bakken, og bakkens bredde og længde

10

bliver pladens sidelængder fratrukket 2x (et x i hver ende). Volumen af en kasse beregnes ved at gange sidelængderne sammen, og vi får derfor følgende volumenfunktion:

y

V(x) = x · (5 –2x) · (10 –2x),

40

som kan omskrives til

V(x) = 4x3 – 30x2 + 50x. 20

f

38 Eksempel –2

2

4

6

 På figuren ses grafen for tredjegradspolynomiet f(x) = 4x3 – 30x2 + 50x. x I polynomier er Dm(f) lig med alle reelle tal.  For polynomiet f, som bruges som model for volumen i introduktionscasen, er det modelbetingelserne, der bestemmer definitionsmængden. Her er

Dm(V) = ]0 ; 2,5[ , fordi kassen er 5 bred, og x er en længde (et positivt tal). Grenene vender hver sin vej, når polynomiets grad er ulige, og

39 Definition

samme vej, når graden er lige. Et polynomium af n’te grad er en funktion med en forskrift af typen f(x) = a · xn + a · xn–1 + … + a · x + a , n

n–1

1

0

hvor koefficienterne an , an–1, … , a1 og a0 er reelle tal, og hvor an ikke er nul.

y

40 Eksempel 20

f

Funktionen f(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 10 er et fjerdegradspolynomium.

10

Vi ser på grafen, at der må være to rødder.

Hvis vi parallelforskyder grafen lodret op, ved at sætte konstantleddet til et tal større end 10, kan vi få et fjerdegradspolynomium uden rødder.

–4

–2

2

x  Omvendt, hvis vi formindsker konstantleddet, vil grafen parallelforskydes 4

nedad. Vi kan derved få 0, 1, 2, 3 eller 4 rødder i fjerdegradspolynomiet.

–10

41 Sætning Et polynomium af n’te grad har højest n rødder.

16

1. Andengradsplynomier


y

42 Eksempel

20

f

Femtegradspolynomiet f(x) = x5 + 2x4 – 4x3 – 4x2 + 2x, hvis graf kan ses i margenen, har 5 rødder. Hvis vi imidlertid lægger konstanten 5 til, får vi et

10

andet polynomium: g(x) = x5 + 2x4 – 4x3 – 4x2 + 2x + 5, hvis graf har samme forløb, men er parallelforskudt opad.

–2

Bemærk, at uanset størrelsen af den konstant vi lægger til, vil vi altid have

x

2

mindst én rod, i modsætning til eksemplet med fjerdegradspolynomiet.

43 Sætning Et polynomium af ulige grad har mindst én rod. y

44 Eksempel

8

Funktionen f(x) = 2 · x · (x –1) · (x + 3) er et tredjegradspolynomium skrevet

7 6

på faktoriseret form. Ganger vi de fire faktorer sammen på højresiden, får vi 3

5

2

tredjegradspolynomiet skrevet op på traditionel form f(x) = 2x + 4x – 6x.

f

4

Omskrivningen kan udføres med CAS. I nogle programmer med komman-

3

doen ”expand(2∙x∙(x–1)∙(x+3))”.

2

I den faktoriserede form er det let at aflæse rødderne til 0, 1 og –3, idet hvert

1

af disse tal bevirker, at en af faktorerne bliver lig med 0, og derved bliver

–3

–2

f(x) = 0 ifølge nulreglen.

–1

1

–1

2

3

x

–2

45 Øvelse Et polynomium er givet ved f(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 10. a. Hvilken grad har polynomiet? b. Angiv hvor mange muligheder, der er for antal rødder for f. c. Tegn grafen for f. d. Angiv, hvor mange rødder f har. e. Bestem rødderne med CAS.

46 Øvelse Lad der være givet en funktion f(x) = –0,3x(x + 3)(x + 2) (x – 1) a. Brug CAS til at gange parenteserne ud, for at vise at f er et fjerdegradspolynomium. b. Bestem rødderne i f. y

47 Øvelse I koordinatsystemet ses grafen for et femtegradspolynomium.

10

f

8 6

a. Angiv antallet af rødder.

4

b. Bestem rødderne ved grafisk aflæsning.

2

c. I ndsæt rødderne en af gangen i det faktoriserede polynomium f(x) = –0,05 ∙ x ∙ (x + 2) ∙ (x – 1) ∙ ( x – 3) ∙ (x – 4), og afgør, om polynomiets graf kunne være den, der vises i koordinatsystemet.

–2

–1

–2

1

2

3

4

5

x

–4

1. Andengradsplynomier

17


Opgaver – 1. Andengradspolynomier

S can QR-koden for at

Opgave 105 y

komme til facitlisten.

f

Opgave 101 Et andengradspolynomium er givet ved forskriften f(x) = 2x2 – 3x + 1. Beregn følgende funktionsværx

dier uden CAS

a. f(0)

b. f(1)

I koordinatsystemet ses grafen for funktionen

c. f(4)

f(x) = ax2 + bx + c

d. f(–2)

a. Angiv fortegnet for koefficienten a. b. Angiv fortegnet for koefficienten c.

Opgave 102

c. Angiv fortegnet for koefficienten b.

Et andengradspolynomium er givet ved forskriften g(x) = 0,2x2 – 3,7x + 2,1. Definer funktionen i dit

Opgave 106 y

CAS-værktøj, og bestem følgende funktionsværdier a. g(5) b. g(–5)

g

c. g(4,92) d. g(0,017)

Opgave 103

Tegn ved hjælp af CAS graferne for nedenstående

andengradspolynomier

I koordinatsystemet ses grafen for funktionen

x

2

g(x) = ax2 + bx + c

2

b. f2(x) = 0,1x + 0,2x – 1,9

a. Angiv fortegnet for koefficienten a.

2

b. Angiv fortegnet for koefficienten c.

a. f1(x) = 0,5x – 3x + 7 c. f3(x) = –2x – 4x

c. Angiv fortegnet for koefficienten b.

Opgave 104 Tegn ved hjælp af CAS graferne for nedenstående

Opgave 107 y

andengradspolynomier a. g1(x) = 0,1x

3

2

b. g2(x) = x2 c. g3(x) = 3x

2

f

–3

g

1

2

–2

–1

1

2

3

x

–1

I koordinatsystemet ses graferne for andengradspolynomierne f og g. a. Bestem koordinatsættet til parablernes toppunkter.

18

1. Andengradsplynomierr


Opgave 108

Opgave 113

Beregn diskriminanten af nedenstående anden-

Et andengradspolynomium har forskriften

gradspolynomier

p(x) = 2x2 + k · x + 2

a. p1(x) = 2x2 – 3x + 1

a. For hvilke værdier af k har p netop én rod?

b. p2(x) = –x2 – 2x + 5 c. p3(x) = –3x2 + x – 4

Opgave 114

d. p4(x) = 5x2 – 2x + 3

Bestem, uden brug af CAS, rødderne til nedenstående andengradspolynomier

Opgave 109

a. p1(x) = x2 – 3x + 2

Bestem koordinaterne til toppunktet for nedenstå-

b. p2(x) = –2x2 + 4x + 6

ende andengradspolynomier ved hjælp af top-

c. p3(x) = x2 – 25

punktsformlen.

d. p4(x) = 2x2 – 2x – 12

2

a. f1(x) = 2x – 3x + 2 b. f2(x) = –x2 + 2x + 3

Opgave 115

c. f3(x) = x2 – x + 5

Tegn graferne for nedenstående andengradspoly-

2

d. f4(x) = –3x – 4x

nomier, og find rødderne grafisk med CAS. a. p1(x) = –x2 + 2x + 1

Opgave 110

b. p2(x) = –2x2 – 20x – 43

Tegn graferne, og bestem koordinaterne til top-

c. p3(x) = 0,5x2 – 2x – 5

punktet for nedenstående andengradspolynomier

d. p4(x) = 0,1x2 – 0,4x – 2,6

ved hjælp af CAS. a. g1(x) = 4x2 – 2x + 1

Opgave 116

b. g2(x) = –3x2 + x + 8

Bestem tallet k i nedenstående andengradspoly-

2

c. g3(x) = 0,2x + 0,6x + 3,4

nomier, således at den tilhørende parabel kun har

d. g4(x) = –0,0012x2 + 2,4x + 134

et enkelt skæringspunkt med x-aksen.

Opgave 111 Et andengradspolynomium har forskriften

a. p1(x) = 2x2 – 8x + k b. p2(x) = 2 x2 + k · x + 2 c. p3(x) = k · x2 – 4x – 2

2

p(x) = x + 4x + k a. Bestem k, så diskriminanten bliver 0.

Opgave 117 y

Opgave 112

5 4 3 2 1

Beregn diskriminanten, og angiv antallet af rødder for nedenstående andengradspolynomier. a. p1(x) = x2 – 2x – 3 b. p2(x) = 2x2 + 12x + 10 c. p3(x) = x2 – 4x + 4 2

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1

2 3 4 5

x

d. p4(x) = x – 2x + 3 Forskrifterne for hver af de tre parabler ovenfor er af typen f(x) = ax2 + bx + c.

1. Andengradsplynomier

19


Opgaver – 1. Andengradspolynomier

Bestem, for den grønne, røde og blå parabel

Opgave 120

a. Fortegnet på koefficienten a.

Bestem rødderne til nedenstående andengrads-

b. Fortegnet på koefficienten b.

polynomier

c. Værdien af koefficienten c.

a. p1(x) = (x – 1)(x + 3)

d. Fortegnet på diskriminanten.

b. p2(x) = (x + 1)(x – 2) c. p3(x) = (x – 4)(x + 2)

Opgave 118

d. p4(x) = 7(x + 1)(x + 3) y

Opgave 121

5 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

Bestem rødderne til nedenstående andengradspolynomier a. p1(x) = (x + 8)(x – 4) 1

2 3 4

b. p2(x) = 2,5(x – 1,1)(x – 5)

x

5

c. p3(x) = (x + 3,4)(x – 1,3) d. p4(x) = 3(x – 0,1)(x + 0,03)

Forskrifterne for hver af de tre parabler ovenfor er af typen f(x) = ax2 + bx + c Bestem, for den grønne, røde og blå parabel a. Fortegnet på koefficienten a.

Omskriv følgende andengradspolynomier til formen f(x) = ax2 + bx + c ved at gange parenteserne ud. a. f1(x) = (x – 1)(x + 2) b. f2(x) = (x + 1)(x + 3)

b. Fortegnet på koefficienten b.

c. f3(x) = 2(x + 2)(x – 4)

c. Værdien af koefficienten c.

d. f4(x) = 3(x + 5)(x + 6)

d. Fortegnet på diskriminanten.

Opgave 119

Opgave 122

Opgave 123 a. Bestem forskriften for et andengradspoly-

y 3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

nomium med rødderne r1 = 2 og r2 = 5. Der er flere korrekte muligheder. Angiv én. 1

2 3 4

5

x

Forskriften tilhørende denne parabel er af typen: f(x) = ax2 + bx + c a. Bestem toppunktets koordinater. b. Bestem eventuelle rødder. c. Bestem fortegnet af konstanten a. d. Bestem værdien af konstanten c i forskriften. e. H  vad kan du sige om diskriminanten?

Opgave 124 a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne r1 = –1 og r2 = 3. Der er flere korrekte muligheder. Angiv én.

Opgave 125 a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne r1 = –10 og r2 = –6. Der er flere korrekte muligheder. Angiv én.

Opgave 126 a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne r1 = 1 og r2 = –2. Skriv forskriften på formen f(x) = ax2 + bx + c. Det oplyses, at a = 1.

20

1. Andengradsplynomierr


Opgave 127

c. p3(x) = x4 – 5x2+ 4

Opskriv følgende andengradspolynomier på fak-

d. p4(x) = x4 + x3 – 7x2 – x + 6

toriseret form. Uden brug af CAS. a. f1(x) = x2 – 2x – 3

Opgave 133

b. f2(x) = x2 – 5x + 6

Et polynomium er givet ved

2

c. f3(x) = 2x + 2x – 12

f(x) = –0,01(x – 4)(x – 1) (x + 2)(x + 7)

d. f4(x) = 3x2 + 6x + 3

a. Aflæs polynomiets rødder. b. Brug CAS til at gange parenteserne ud.

Opgave 128

c. Angiv graden af polynomiet.

Opskriv følgende andengradspolynomier på fak-

d. Tegn grafen for polynomiet i intervallet

toriseret form. Med brug af CAS.

–10 ≤ x ≤ 10.

2

a. g1(x) = 0,3x + 1,65x – 8,352

Opgave 134

b. g2(x) = –0,7x2 – 2,31x + 0,49 2

c. g3(x) = –0,1x + 1,37x – 4,42

Et polynomium er givet ved g(x) = 0,01(x – 3,1)(x – 2,1) (x + 0,4)(x + 3,6)(x + 6)

Opgave 129

a. Aflæs polynomiets rødder.

Bestem graden af nedenstående polynomier

b. Brug CAS til at gange parenteserne ud.

4

a. f1(x) = 0,5x – x2

c. Angiv graden af polynomiet.

b. f2(x) = 3x3 – 5x2

d. Tegn grafen for polynomiet i intervallet

5

4

3

c. f3(x) = 0,2x + 6x + x – 230x

2

d. f4(x) = 8x – 2

–10 ≤ x ≤ 10.

Opgave 135

Opgave 130

En lille virksomhed producerer legetøjsmodeller af

Bestem graden af nedenstående polynomier

campingvogne. De kan sælges for 20 kr. pr. styk, og

a. f1(x) = 21x8 – 34x6 – 5x4 + 9

deres omkostninger pr. måned ved produktion af

6

b. f2(x) = 0,53x + 10x 3

4

x styk vogne er c(x) = 0,05x2 + 100.

2

c. f3(x) = 0,2x + 6x + 2x 12

d. f4(x) = 8x + 7x

a. Opstil en funktion, der udregner indtægten som

9

funktion af antallet x. b. Opstil en funktion, der udregner fortjenesten

Opgave 131

som funktion af antallet x.

Bestem, med CAS, rødderne til nedenstående poly-

c. Bestem det antal, hvor fortjenesten er størst.

nomier. Vær sikker på, at du finder alle rødderne. a. g1(x) = 0,1x3 + 0,1x2 – 1,7x + 1,5 4

3

2

Opgave 136

b. g2(x) = 0,1x + 0,7x – 0,7x – 4,3x + 4,2

En planteskole sælger gensplejsede tomater i

c. g3(x) = –0,5x5 + 4,5x4 – 16x3 + 28x2 – 24x + 8

skønne farver. Tomaterne sælges for 45 kr. pr. kg.

4

3

2

d. g4(x) = –x – 2x + 9x + 2x – 8

De samlede omkostninger ved produktion af x styk kan udregnes med funktionen c(x) = 0,02x2 + 350

Opgave 132 Undersøg, uden brug af CAS, om x = 2 er rod i nedenstående polynomier a. p1(x) = x2 – 3x + 2 2

b. p2(x) = x + x – 2

a. Opstil en funktion, der udregner indtægten som funktion af antallet x. b. Opstil en funktion, der udregner fortjenesten som funktion af antallet x. c. Bestem det antal, hvor fortjenesten er størst.

1. Andengradsplynomier

21


Træningssider 1

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

f(x)-notation Eksempel: For funktionen f med forskriften f(x) = x2 – 1 beregnes funktionsværdien f(3) ved indsættelse: f(3) = 32 – 1 = 9 – 1 = 8

1. Lad  f(x) = 3x – 2

2. Lad g(x) = 3 · x2

3. L ad h(x) = 2 · (x – 3)2

Beregn følgende funktionsværdier uden CAS

Beregn følgende funktionsværdier uden CAS

Beregn følgende funktionsværdier uden CAS

a. f(1)

a. g(1)

a. h(0)

b. f(5)

b. g(2)

b. h(1)

c. f(–2)

c. g(–1)

c. h(3)

d. f(0)

d. g(5)

d. h(–3)

Parenteser Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 5(11 + 2a) = 5 · 11 + 5 · 2a = 55 + 10a 4 – 2(2x – 4) = 4 – (2 · 2x – 2 · 4) = 4 – (4x – 8) = 4 – 4x + 8 = –4x + 12

4. Ophæv  parenteserne

5. Ophæv parenteserne

6. O  phæv parenteserne

og reducer

og reducer

og reducer

a. 4(x – 2)

a. 2 + (5 + x)

a. 2(x + 5y) – 3(y – 6x)

b. –2(8 + a)

b. 3 – (y+12)

b. 2(x2+ 4x) – x2–12

c. 5(2y – 10)

c. a + 2 (4 – 3a)

c. 2b – 3(b + 4) + 12

d. –3(5a + 12b)

d. –4(2x + 8y) + x – 2y

d. 3a + 8b – 2(15a + 3) – 7

Ligninger Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det. Eksempel: Løsning af ligningen 2x + 10 = 2 · (3x – 1)

2x + 10 = 6x – 2

2x + 10 –2x = 6x – 2 – 2x

10 = 4x – 2

10 + 2 = 4x – 2 + 2

7. L øs ligningerne

22

2 er ganget ind i parentesen. 2x er trukket fra på begge sider. Ligningen er reduceret. 2 er lagt til på begge sider.

12 = 4x

Ligningen er reduceret.

12 = x 4

Begge sider er divideret med 4.

x = 3

8. L øs ligningerne

Løsningen er 3.

9. L øs ligningerne

a. x + 10 = 18

a. 4x – 7 = 13

a. 2x – 7 = 28 – 5x

b. x – 3 = –8

b. 5x + 8 = –12

b. 5x – 5 = –3x – 37

c. 5x = 20

c. 22 = 2 – 4x

c. 3x – 7 = –3x + 23

d. 3x = –9

d. 3x – 5 = –17

d. 9x + 5 = 2x + 40

1. Andengradspolynomier


10. L øs ligningerne

11. L øs ligningerne

a. 3(x – 10) = 60

a. 3(x + 4) = –2x + 32

b. 2(x + 7) = 26

b. 6(x – 5) = 4x – 22

c. 10 = –5(x + 3)

c. 4(3 + x) = –(x + 13)

d. 36 = 2(16 + 2x)

d. 6(x + 2) = 2(2x + 10)

Funktioner Eksempel: Ud fra funktionen f med forskriften f(x) = –2x2 + 4 kan vi danne en ny funktion g(x) = 3 · f(x) + 15 Vi vil beregne funktionsværdien g(1). Først beregnes f(1) som f(1) = –2 · 12 + 4 = –2 + 4 = 2. Dernæst beregnes g(1) som g(1) = 3 · f(1) + 15 = 3 · 2 + 15 = 6 + 15 = 21.

12. Lad  f(x) = 5x – 3

13. Lad f(x) = 2x + 11, og

14. L ad g(x) = 2x2 – 3, og

a. f(1) + 10

lad g(x) = f(x) + 10 Beregn følgende uden CAS

lad f(x) = 5 · g(x) Beregn følgende uden CAS

b. f(–2) + 14

a. g(1)

a. f(0)

c. 3 · f(2)

b. g(–2)

b. f(1)

d. –2 · f(1)

c. g(0)

c. f(2)

d. g(3)

d. f(–1)

Beregn følgende uden CAS

Funktioner og grafer

y 7 6

Eksempel: Den røde linje på figuren viser grafen for funktionen f. På figuren kan

5 4 3 2 1

man aflæse funktionsværdien f(6) ved at finde x = 6, bevæge sig op til grafen, og dernæst bevæge sig vandret hen til y-aksen. Det er markeret med de to grønne pile. Man kan aflæse, at f(6) = 2.

–2 –1

f

1

2 3

4

5 6

7 8

x

15. Figuren viser grafen for funktionen 16. Figuren viser grafen for funktionen 17. L ad f(x) = 3x – 11. g. Aflæs følgende funktionsværdier. Alle facit er heltal.

f. Aflæs følgende funktionsværdier. Alle facit er heltal.

a. g(2)

a. f(2)

b. g(0)

b. f(0)

c. g(6)

c. f(4)

d. g(8)

d. f(8)

–2

0

2

4

6

y = f(x)

b. Plot punkterne i et koordinatsystem (i hånden), og tjek, at de ligger på en ret linje.

6

6

f

5

g

5

4

4

3

3

2

2

1

1 –2 –1

x

y

y 7

a. U  dfyld nedenstående sildeben uden CAS

1

2

3

4

5

6

7 8

x

–2 –1

1

2

3

4

5

6

7 8

x

1. Andengradspolynomier

23


2. Funktioner 1 Introduktion En biolog undersøger væksten af en ukendt type bakterier i en petriskål. Det viser sig, at væksten de første 10 minutter kan beskrives ved funktionen f(x) = 3,2 · 1,073x, hvor x er antal minutter efter start, og f(x) er antal hundrede bakterier i skålen. For eksempel er der omkring 460 bakterier efter 5 minutter, da f(5) = 4,6.

2 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x kan der kun være ét f(x). Scan QR-koden for se en uddybende forklaring. y

7 6 5 4 3 2

3 De fire repræsentationsformer

Funktionen fra introduktionen er givet ved regneforskriften (ofte blot kaldet

f

forskriften) f(x) = 3,2 · 1,073x. Den kan derudover beskrives ved tabellen x

1

1 2

3 4 5

6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x) 3,2 3,4 3,7 4,0 4,2 4,6 4,9 5,2 5,6 6,0 6,5

x 8 9 10 Grafen

kan ses margenen.

Endelig kan funktionen beskrives med ord: ”Der er 320 bakterier i petriskålen til at starte med, og antallet øges med ca. 7,3% pr. minut.” (Der er tale om en eksponentialfunktion med startværdi 3,2 og fremskrivningsfaktor 1,073 svarende til en procentvis tilvækst på 7,3%). De fire forskellige måder at beskrive en funktion: forskrift, tabel, graf og sproglig beskrivelse, kaldes de fire 4 Definition repræsentationsformer.

De tilladte tal x, som funktionen må bruges på, kaldes definitionsmængden. Vi vil forkorte den Dm(f). De værdier, som f(x) antager, når x-værdierne gen-

y

nemløber definitionsmængden, kaldes værdimængden. Vi forkorter den Vm(f).

7 6 5 4 3 2

5 Eksempel

f

Forskeren målte bakterievæksten de første 10 minutter. Dvs. at x ligger i intervallet fra 0 til 10. Dette interval kan enten beskrives som 0 ≤ x ≤ 10 eller som

1

[0;10]. Vi kan vælge dette interval som vores definitionsmængde, og vi skriver 1 2

3 4 5

6 7

8 9 10

Definitionsmængden er en del af x-aksen, og værdimængden er en del af y-aksen.

24

2 . Funktioner

x

det som Dm(f) = [0;10]. Værdimængden er alle de tal, vi kan ”ramme” som resultat af udregningen f(x). Dvs. alle tallene mellem den mindste værdi f(0) = 3,2 · 1,0730 = 3,2 og den største værdi f(10) = 3,2 · 1,07310 = 6,5 . Så Vm(f) = [3,2;6,5]. Begge intervaller er markeret på figuren.


y

6 Eksempel Hvis man ikke specificerer definitionsmængden, er det underforstået, at den består af alle de tal, det er ”tilladt” at indsætte på x’s plads. Funktionen givet ved g(x) = 3x – 5 har alle reelle tal som definitionsmængde, fordi vi kan indsætte alle tal på x’s plads. Vi skriver Dm(g) = . Værdimængden er ligeledes Vm(g) = , fordi vi kan ”ramme” alle reelle tal. På grafen kan vi se, at tallet 10 ligger i Vm(g), fordi g(5) = 10.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2

g

1

2

3

4

5

6

x

Talmængden  er alle de reelle tal, dvs. intervallet ]–∞;∞[ . y

7 Eksempel Definitionsmængden for h(x) = 1x er alle reelle tal, undtagen 0.

Det skrives Dm(h) = \ {0}. Værdimængden er det samme: Vm(h) = \{0}, fordi vi kan ramme alle tal, undtagen 0.

8 Øvelse En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 2x – 1 a. Beregn funktionsværdierne f(1), f(5), f(100) og f(–5)

6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 –1 –2 -3 -4 -5

h 1 2 3 4 5 6 7 8

x

b. Løs ligningerne f(x) = 3 og f(x) = –21 c. Tegn grafen for f i intervallet –5 ≤ x ≤ 5

9 Øvelse En funktion h er givet ved forskriften h(x) = 0,5x2 –2x + 3 a. Beregn funktionsværdien h(2), uden brug af CAS. b. Tegn grafen for h i intervallet –5 ≤ x ≤ 5 med CAS. c. Løs ligningen h(x) = 3 med CAS.

10 Øvelse En funktion g er givet ved forskriften g(x) = 15 · 0,82x. Løs følgende opgaver med CAS: a. Tegn grafen for g i intervallet 0 ≤ x ≤ 20 b. Beregn funktionsværdien g(10), og løs ligningen g(x) = 5

11 Øvelse Vi betragter funktionerne f(x) = x2 og g(x) =

x

a. Forklar, hvorfor Dm(f) =  og Vm(f) = [ 0;∞[ b. Forklar, hvorfor Dm(g) = [ 0;∞[ og Vm(g) = [ 0;∞[

2 . Funktioner

25


2.2 Monotoniforhold 12 Introduktion   Det tager ca. en halv time at flyve fra København til Aalborg. Hvis man betragter flyets højde over jorden som funktion af tiden, vil det være en funktion, der starter omkring 0, vokser op til ca. 10 km, er konstant et kort stykke, for derefter at aftage ned til ca. 0 igen.

13 Eksempel y

Hvis man skulle opskrive en forskrift for funktionen, der beskriver flyets højde over jorden, kunne det lidt forsimplet se således ud:

10

 23 x , , 0 ≤ x < 15 f ( x ) =  10 , , 15 ≤ x < 20   − x + 30 , , 20 ≤ x ≤ 30 

f 5

 Her er x tiden målt i minutter, og f(x) er højden målt i kilometer. Dette er et 5

10

15

20

30 x

25

eksempel på en stykkevist defineret funktion. Denne funktion er voksende i intervallet [0;15], konstant i intervallet [15;20] og aftagende i intervallet [20;30].

14 Definition  En funktions monotoniforhold er en liste over de intervaller, hvori funktionen er voksende eller aftagende.

y 3

15 Eksempel

f

2

Monotoniforholdene for funktionen f ( x ) = 13 x 3 − 21 x 2 − 2 x er:

1 –3 –2 –1 –1

f er voksende i intervallerne ]–∞;–1] og [2;∞[. 1

2

3

x 5 f er aftagende i intervallet [–1;2].

4

–2 –3

16 Eksempel

Her ses grafen for funktionen f givet ved forskriften

 x + 4 , , − 5 ≤ x < −3  f ( x ) =  − x − 2 , , − 3 ≤ x < 0 x − 2 , , 0 ≤ x < 5  Funktionen har lokalt minimum, når x = –5 og x = 0.

y 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Bemærk, at intervalendepunkterne –1 og 2 er med i begge intervaller!

1

2

3

–2

4

5

x

Funktionen har lokalt maksimum, når x = –3.

Funktionen har globalt minimum, når x = 0, fordi f(0) = –2 er den mindste værdi, som funktionen antager. Bemærk, at der ikke er noget maksimum, når x = 5, fordi funktionen ikke er defineret for x = 5. Det betyder også, at funktionen ikke har noget globalt maksimum.

26

2 . Funktioner


y

17 Eksempel

3

Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = 0,5x2 – 2x + 3, 0 ≤ x ≤ 4 x = 2 er et minimumssted, og funktionsværdien f(2) = 1 kaldes

f

2 1

minimumsværdien eller blot: funktionens minimum. 1

2

3

4

x

18 Øvelse a. Bestem monotoniforholdene for funktionen med forskriften

h(x) = – 2x + 1

19 Øvelse En funktion f er givet ved forskriften

f ( x ) = 1 x 3 − 3 x 2 − 10 x , –10 ≤ x ≤ 10 3

2

a. Tegn grafen for f, og bestem monotoniforholdene med CAS. (Husk, at funktionen kun er defineret i intervallet [–10;10].)

20 Øvelse En funktion g er givet ved forskriften g(x) = x · 0,9x , 0 ≤ x ≤ 20 a. Tegn grafen for g. b. Funktionen har et maksimum. Find dette maksimum med CAS. c. Bestem maksimumsstedet og maksimumsværdien.

21 Øvelse En tennisbold følger en banekurve, der kan beskrives med modellen f(x) = –0,03x2 + 0,5x + 1 Her er x boldens vandrette afstand fra tennisspilleren, og f(x) er boldens højde over jorden. a. Tegn grafen for f, når x ligger i intervallet [0;15]. b. Bestem boldens maksimale højde over jorden.

22 Øvelse Skitser grafer for funktioner med følgende monotoniforhold: a. Aftagende i intervallet ]1;3] og voksende i intervallet [3;6]. b. Voksende i intervallet [–5;2] og aftagende i intervallet [2;5].

2 . Funktioner

27


2.3 At regne med funktioner 23 Introduktion Et firma producerer 3D-printere. Salgschefen regner med, at salget i styk vil vokse lineært som funktion af tiden, og at prisen på printerne vil aftage med omkring 10 % om året. I dette afsnit skal vi se, hvordan de to funktioner kan kombineres til én funktion, der beskriver omsætningen.

24 Eksempel Salgschefen for firmaet, der producerer 3D-printere, opstiller følgende model: Salget kan beskrives ved funktionen f med forskriften f(x) = 400x + 100. hvor x er antal år efter produktionsstart, og f(x) er antal solgte printere. Prisen pr. printer beskrives ved funktionen

g(x) = 8000 · 0,9x.

Den samlede omsætning kan nu beregnes som omsætning = styk · pris. Eller hvis vi lader funktionen h angive omsætningen: h(x) = f(x) · g(x). Omsætningen efter 3 år kan da beregnes som

h(3) = f (3) ⋅ g(3) = (400 ⋅ 3 + 100) ⋅ 8000 ⋅ 0,93 ≈ 7,6 millioner   f (3)

g (3)

Man kan regne med funktioner, ligesom man kan med tal:

25 At regne med funktioner Lad f og g betegne to funktioner, og lad k være et reelt tal. Sum:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Differens:

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Produkt:

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Kvotient:

f f( x) (x) = , g(x) ≠ 0 g g( x )

Skalering med konstant: (k · f)(x) = k · f(x)

26 Eksempel Hvis f(3) = 5 og g(3) = 8, er (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 5 + 8 = 13 (f – g)(3) = f(3) – g(3) = 5 – 8 = –3 (f · g)(3) = f(3) · g(3) = 5 · 8 = 40

f f (3) 5 (3) = = = 0,625 g g(3) 8

(–2 · f)(3) = –2 · f(3) = –2 · 5 = –10

28

2 . Funktioner


27 Eksempel Lad f være givet ved forskriften f(x) = –2x + 8 og g være givet ved forskriften g(x) =

x.

Funktionen f – g er givet ved forskriften (f – g)(x) = –2x + 8 –

x.

g g x Funktionen f er givet ved forskriften ( x ) = . f −2 x + 8

Funktionen 10g er givet ved forskriften 10g(x) = 10 x . Funktionen 3g + f er givet ved forskriften (3g + f)(x) = 3 x – 2x + 8.

28 Eksempel Om to funktioner f og g er en række funktionsværdier oplyst i tabellen. Vi vil beregne (f – g)(4), og udnytter først at: (f – g)(4) = f(4) – g(4) De to funktionsværdier f(4) og g(4) kan aflæses i tabellen til henholdsvis 8 og 1, og vi har dermed: (f – g)(4) = f(4) – g(4) = 8 – 1 = 7

x

1

2

3

4

5

f(x)

–2

0

3

8

15

g(x)

6

4

2

1

–2

29 Øvelse Lad der være givet de samme to funktioner som i eksempel 28, hvor udvalgte funktionsværdier fremgår af tabellen. Bestem: a. (f + g)(3) b. (g – f)(5) c. (f · g)(2) d.

g (1) f

e.

 f 2f − g + (4)  g

30 Øvelse Lad funktionerne f, g og h være givet således: f(x) = 2x + 1, g(x) = 2 · ex og h(x) =

x

a. Beregn (g + h)(2) b. Beregn

f +g (4) h

c. Opskriv forskriften for g + f d. Opskriv forskriften for g

g h

e. Tegn grafen for f i intervallet –5 ≤ x ≤ 5 (Bemærk, at x = –0,5 ikke er med i definitionsmængden.) Scan QR-koden for at få hints til besvarelsen.

2 . Funktioner

29


2.4 Sammensatte funktioner 31 Introduktion Vi ønsker at opstille en model for, hvor meget et føl skal spise, som funktion af føllets alder. Vi ved, at den nødvendige fodermængde afhænger af føllets vægt, og vi ved, at vægten afhænger af alderen. De to sammenhænge kan vi kombinere, så fodermængden afhænger direkte af alderen.

32 Eksempel For en bestemt hesterace kan den daglige mængde kraftfoder (målt i kg) beskrives med modellen

f(x) = 0,005x, hvor x er hestens vægt i kg.

Vægten af et bestemt føl kan de første 18 måneder efter fødsel beskrives med modellen g(x) = 40 + 22x0,8, hvor x er antal måneder efter fødslen, og g(x) er føllets vægt i kg. For at få et udtryk for den daglige mængde kraftfoder som funktion af tiden, sætter vi funktionen for føllets vægt g ”ind i” funktionen for fodermængden f:

f ( g( x )) = 0,005 ⋅ (40 + 22 x 0,8 ).  g( x )

33 Sammensat funktion Ud fra to funktioner f og g kan vi danne en ny funktion f ° g. Den nye funktions x ) = f ( g( x )) .= 0,005 f (2 x +⋅1(40 ) = +222 x +x10,8 ) forskrift er f  g((x)  g( x ) ) = f ( gsom ( x )) "f = bolle f (2 x +g". 1) = 2 x + 1 f  g( xlæses

læses som g xaf0,8x". f ( g( x )) = 0,005 ⋅ (40"f +af22 )  g( x ) g kaldes den indre funktion, og f kaldes den ydre funktion.

34 Eksempel Hvis f(x) =

x og g(x) = 2x + 1, er

f  g( x ) = f ( g( x )) = f (2 x + 1) = 2 x + 1

Rækkefølgen er vigtig: g  f ( x ) = g(f ( x )) = g( x ) = 2 x + 1

35 Eksempel f og g er stadig givet ved de samme forskrifter som i eksemplet ovenfor. Vi vil nu beregne funktionsværdien for x = 4 i de to tilfælde:

f  g(4) = 2 ⋅ 4 + 1 = 9 = 3

g  f (4) = 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

2 ⋅ 4 det + 1 =samme 9 = 3som g  f (4) != 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5 Igen kan vi se, at rækkefølgen er vigtig. f  g(4) = er ikke

30

2 . Funktioner


36 Eksempel Hvis f(x) =

2 x og g(x) = x – 1 kan vi danne den sammensatte funktion

h( x ) = f ( g( x )) = x 2 − 1

Graferne for de tre funktioner ses nedenfor. y

y

y

3

3

2 f

g

2

1

1

1

1

x

2

–2

1

–1

h

2

2

x

–3

–2

–1

1

2

x

–1

37 Eksempel Funktionen med forskriften f(x) = (x + 3)5 kan betragtes som en sammensat funktion med indre funktion h(x) = x + 3 og ydre funktion g(x) = x5, fordi g( h(x)) = (x + 3)5

38 Øvelse Om to funktioner f og g oplyses x

–1

0

1

2

3

f(x)

0

–1

–2

0

2

g(x)

–10

–5

5

8

–1

Bestem f  g((3), x ) =gf ( gf ((3) =gf((2 1=x) )= +x1)2) =xg+( 1x ) = 2 x + 1 x ) )=og fg ( x)+f) ((–1). g=( g2x(xf) (=

39 Øvelse h og g er bestemt ved forskrifterne h( x ) =

1 og g(x) = –x + 5 x

a. Opskriv forskrifter for h  g og g  h. b. Beregn funktionsværdierne h  g(2) og g  h(2).

40 Øvelse a. Split funktionen h( x ) =

x 3 + 2 x 2 op i en indre og en ydre funktion.

b. Split funktionen p(x) = (x – 1)5 op i en indre og en ydre funktion.

2 . Funktioner

31


2.5 Parallelforskydning af grafer 41 Introduktion Jan brygger sig en kop kaffe. Lige efter brygningen er kaffen for varm til, at han vil drikke den, så han stiller den på bordet og venter. Kaffens temperatur kan beskrives ved funktionen f(x) = 70 · 0,93x + 20, hvor x er tiden efter brygningen målt i minutter, og f(x) er kaffens temperatur i grader Celsius.

42 Eksempel

y

Grafen for funktionen givet ved forskriften f(x) = 70 · 0,93x + 20 har



100

samme form som grafen for en aftagende eksponentialfunktion, men

f

i stedet for at nærme sig x-aksen for store værdier af x, vil grafen

50

nærme sig linjen med ligningen y = 20. Eller sagt på en anden måde: Grafen for f er parallelforskudt 20 lodret op i forhold til eksponential-

y = 20 20

40

funktionen med forskrift g(x) = 70 · 0,93x.

x

60

43 Parallelforskydning Lad f være en funktion, og lad k og c være reelle tal.

Grafen for funktionen g(x) = f(x) + k er parallelforskudt k lodret i forhold til grafen for f(x). Grafen er forskudt opad, hvis k > 0, og nedad, hvis k < 0.

Grafen for funktionen h(x) = f(x – c) er parallelforskudt c vandret i forhold til grafen for f(x). Grafen er forskudt mod højre, hvis c > 0, og mod venstre, hvis c < 0. y

y g f

f

k c

x

y f

h 1

44 Eksempel 2

Grafen for funktionen f(x) = x – 2 er parallelforskudt 2 lodret nedad i –2

–1

1 –1

2

x

2

forhold til grafen for h(x) = x . På figuren er de lodrette afstande markeret med blå pile.

I forhold til beskrivelsen i den grå kasse kan vi se, at f(x) = h(x) – 2, svarende til at k = –2.

–2

32

2 . Funktioner

h

x


y f

45 Eksempel 2

Grafen for funktionen f(x) = (x – 2) er parallelforskudt 2 vandret

h

2

2

til højre i forhold til grafen for h(x) = x . På figuren er de vandrette afstande markeret med blå pile. I forhold til beskrivelsen i den grå

1

kasse kan vi se, at f(x) = h(x – 2), svarende til at c = 2. –1

46 Eksempel

1

2

3

x

2

3

x

y f

Man kan kombinere de to typer parallelforskydning: 2

Grafen for funktionen f(x) = (x – 2) + 1 er parallelforskudt 2

h

2

2

vandret til højre og 1 lodret op i forhold til grafen for h(x) = x . I forhold til beskrivelsen i den grå kasse kan vi se, at

1

f(x) = h(x – 2) + 1, svarende til at c = 2 og k = 1. –1

47 Øvelse

1

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 2x – 3 a. Opskriv forskriften for en funktion, hvis graf er parallelforskudt lodret 5 opad i forhold til grafen for f. Tegn begge grafer med CAS for at tjekke dit resultat. b. Opskriv forskriften for en funktion, hvis graf er parallelforskudt vandret 3 til venstre i forhold til grafen for f. Tegn begge grafer med CAS for at tjekke dit resultat. c. Tegn grafen for f(x) og funktionen g(x) = f(x – 5) –7 i samme koordinatsystem. Beskriv med ord, hvordan graferne ligger i forhold til hinanden.

48 Øvelse 3

To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) = x + 4x2 og g(x) = f(x + 2) – 7 a. Overvej, hvordan graferne for disse to funktioner ligger i forhold til hinanden. b. Tegn nu de to grafer. Passer det med dine overvejelser fra a.?

49 Øvelse 2

2

To funktioner er givet ved forskrifterne g(x) = –x og f(x) = –x – 6x –7 a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem. b. Vi betragter en ny funktion h(x) = g(x –c) + k. Prøv at finde frem til, hvad c og k skal være, for at grafen for h ligger oven i grafen for f. Prøv dig frem. Lav for eksempel en ”skyder”, der varierer værdierne på c og k.

2 . Funktioner

33


Opgaver – 2. Funktioner

S can QR-koden for at

Opgave 206

komme til facitlisten.

Bestem definitionsmængden for funktionerne a. f1(x) = –x + 5 b. f2(x) = 2x2 1 ( x )= c. fh3(x)

Opgave 201

x

En funktion f er givet ved forskriften

1

d. f4(x) = x – 5

f(x) = –5x + 10. Lav følgende opgaver ”i hånden” a. Beregn f(0), f(2), f(–2) og f(5)

Opgave 207

b. Løs ligningerne f(x) = 0 og f(x) = 20.

En bestemt type mini-vindmølles årlige produktion af elektrisk energi kan beregnes ved

Opgave 202

hjælp af formlen f(x) = 0,14x2, hvor f(x) betegner

Tegn graferne for funktionerne givet ved forskrif-

den årlige produktion (målt i kWh), og x er vinge-

terne

længden (målt i cm).

a. f1(x) = 0,5x – 2

a. Bestem den årlige produktion i kWh fra en mini-

b. f2(x) = 2 x c. f3(x) = 2 · 1,14

vindmølle med en vingelængde på 50 cm. x

b. H vor stor skal vingelængden være, hvis den

d. f4(x) = 4 · x1,5

årlige produktion skal være 600 kWh? (Baseret på hf C eksamen juni 2010)

Opgave 203 Opgave 208

Tegn grafen for følgende lineære funktioner i hånden på ternet papir a. f1(x) = 2x + 1 b. f2(x) = -x + 2

f ( xc.) =f313(x) x 3=− 21 x 2–−32 x d. f4(x) = –2x – 4

Opgave 204 En funktion er givet ved forskriften g(x) = 25 · 0,7

x

For en række dyr har man undersøgt sammenhæn-

a. Tegn grafen for g.

gen mellem vægten af dyret og vægten af dets

b. Beregn funktionsværdierne g(0), g(10) og g(–10).

hjerne. Sammenhængen kan med tilnærmelse be-

c. Løs ligningerne g(x) = 20 og g(x) = 10

skrives ved modellen f(x) = 0,0635 · x0,822, hvor x er vægten af dyret, og f(x) er vægten af dets hjerne.

Opgave 205

Vægtene er målt i gram.

To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) = x + 2

a. H vad vejer hjernen hos et dyr på 100 gram,

og g(x) = 3 · x0,55. a. L øs ligningen f(x) = g(x) med ligningsløseren i dit CAS-program. b. Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem i intervallet 0 ≤ x ≤ 10. c. Bestem skæringspunkterne mellem graferne med grafværktøjet i dit CAS-program.

ifølge modellen? b. H vad vejer hjernen hos et dyr på 100kg (=100000 gram), ifølge modellen? c. Hvor meget skal et dyr veje, for at vægten af dets hjerne kommer over 75 gram, ifølge modellen? d. Brug modellen til at vurdere vægten af en voksen elefants hjerne. (Baseret på hf C eksamen juni 2010)

34

2 . Funktioner


Opgave 209

Opgave 214

a. Tegn grafen for følgende stykkevist definerede

Et fjerdegradspolynomium er givet ved forskriften

funktion i hånden på ternet papir , 0≤ x ≤4  2x  f ( x ) =  − x + 12, 4 < x ≤ 8  − 1 x + 8, 8 < x ≤ 16  2

f(x) = 0,025x4 – 0,03x3 – 1,25x2 + 2,5x + 10.

Opgave 210

Opgave 215

a. Tegn grafen for f i intervallet –10 ≤ x ≤ 10. b. Bestem monotoniforholdene for f i intervallet –10 ≤ x ≤ 10.

y

Skitser graferne for funktioner med følgende mo-

6

notoniforhold: a. f 1, som er aftagende i intervallet [–5;5] og vok-

5 f

4

sende i intervallet [5;10].

3

b. f 2, som er voksende i intervallet [0;8] og afta-

2

gende i intervallet [8;10].

1

–1

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

c. f 3, som er voksende i intervallerne [–7;–3] og [4;7] samt aftagende i intervallet [–3;4].

a. O venfor ses grafen for en stykkevist defineret funktion f. Angiv forskriften for funktionen.

Opgave 216 Om to funktioner f og g er en række funktions-

Opgave 211 Betragt funktionen givet ved forskriften

værdier oplyst i tabellen x

–2

–1

0

1

2

3

a. Tegn grafen for f i intervallet –5 ≤ x ≤ 5.

f(x)

–7

–5

–3

–1

1

3

b. Bestem monotoniforholdene for f i intervallet

g(x)

–2

3

6

7

6

3

f(x) = 0,2x2 – 08x – 4,2.

–5 ≤ x ≤ 5. Bestem nedenstående funktionsværdier

Opgave 212

a. f(0)

Et tredjegradspolynomium er givet ved forskriften

b. g(3)

g(x) = 0,03x3 + 0,05x2 – 1,2x + 3.

c. (3f)(–1)

a. Tegn grafen for g i intervallet –10 ≤ x ≤ 10.

d. (f + g)(3)

b. Bestem monotoniforholdene for g i intervallet

e. (f – g)(2)

–10 ≤ x ≤ 10.

f. (–4g)(1) g. (f · g)(–2)

Opgave 213

a. Tegn grafen for h i intervallet 0 ≤ x ≤ 10.

h. (g · f)(0) f i.  g  (3) g j.   (0) f

b. Bestem monotoniforholdene for h i intervallet

k. (3f + 2g)(2)

Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = –0,2x3 + 2,5x2 – 8x – 1.

0 ≤ x ≤ 10.

l. (2g – 3f)(–1)

2 . Funktioner

35


Opgaver – 2. Funktioner

Opgave 217

Årene derefter regner de med, at prisen kan be-

Betragt funktionerne f(x) = x og g(x) = x – 1

skrives med modellen P(x) = 750 · 0,95x.

a. Beregn (f + g)(2).

Omsætningen fra salget kan beskrives med

b. Beregn (g – f)(3).

funktionen R(x) = (S · P)(x)

c. Tegn grafen for (f + g)(x) i intervallet

b. Beregn omsætningen, når x = 0 og når x = 5.

–10 ≤ x ≤ 0. d. Tegn grafen for  f  (3) (x) i intervallet g –10 ≤ x ≤ 10.

c. Tegn grafen for omsætningsfunktionen R(x) i

2

intervallet 0 ≤ x ≤ 20. d. Bestem den værdi af x, hvor omsætningen er størst.

Opgave 218 Betragt funktionerne f(x) = 2 + 5 og g(x) = x2 + 3

Opgave 221

a. Beregn (f + g)(2).

To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) = x2

b. Beregn (g – f )(3).

og g(x) = 2x – 5

c. Tegn grafen for (f + g)(x) i intervallet

a. Beregn funktionsværdierne f( g(1)) , f( g(0)) og f( g(–2)) .

–10 ≤ x ≤ 10.

d. Tegn grafen for  f  (x) (3) i intervallet g –10 ≤ x ≤ 10.

b. Beregn funktionsværdierne g( f(1)) , g( f(–3)) og g( f(5)). c. Opskriv en forskrift for den sammensatte

Opgave 219 Betragt funktionerne f(x) = x og g(x) =

funktion f ( g(x)) . x

a. Beregn (f · g)(4).

d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g( f(x)) .

b. Tegn graferne for f(x), g(x) og (f · g)(x) i samme koordinatsystem. I intervallet 0 ≤ x ≤ 10.

Opgave 220

Opgave 222

1

( x )= To funktioner er givet ved forskrifterne hf(x) x og g(x) = x2.

a. Beregn funktionsværdierne f( g(1)) og f( g(–2)) . b. Beregn funktionsværdierne g( f(2)) og g( f(–3)) . c. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion f( g(x)) . d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g( f(x)) . Et firma starter en produktion af vandtætte

Opgave 223

Bluetooth-højttalere. De regner med at kunne

To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) =

sælge 1000 det første år, og at salget vil vokse med

og g(x) = 3x + 1

100 højtalere om året.

x ) = f (gg(((0) xx)) = f ((2 g(xx+))1= ) =f (22x x++1)1= a. Beregn funktionsværdierne f  g((1),

a. O  pskriv forskriften for en funktion S(x), der beskriver antallet af solgte højttalere, hvor x er antal år efter produktionsstart, og S(x) er antallet af solgte højttalere. Firmaet regner også med at kunne sælge højttalerne til 750 kroner stykket det første år.

x ) = f ( g( x )) = f (2 x + 1) = 2 x + 1 og f  g((5). + 1== 22 ⋅ 42 + 1 = 5 2 ⋅ 2 +1 = b. Beregn funktionsværdierne g  f (4) (1), = g2  4f (4) og g  f (4) (0). = 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5 c. Opskriv en forskrift for den sammensatte x ) = f ( g( x )) = f (2 x + 1) = 2 x + 1 funktion f  g((x). d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g  f (4) (x). = 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

36

2 . Funktioner

x


Opgave 224

Opgave 227

Om to funktioner f og g er en række funktionsvær-

Split nedenstående funktioner op i en indre funk-

dier oplyst i tabellen.

tion og en ydre funktion. a. g1(x) = (x2 – 5x)10

x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

f(x)

3

1

–1

–3

–5

–3

5

4

3

2

g(x)

1

3

5

4

3

2

1

0

–1

–2

b. g2(x) =

1

4 20 x 3 − 4 x

c. g3(x) =

3 x 2 − 32 x

–3

d. g4(x) = 100 · 1,3–x

2

Bestem nedenstående funktionsværdier.

Opgave 228

a. f(3)

Betragt funktionerne med forskrifterne f(x) = x2

b. g(0)

og g(x) = (x – 6)2.

c. f( g(1))

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme

d. f( g(5))

koordinatsystem.

e. f( g(–3))

b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til

f. g( f(4))

hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i

g. g( f(0))

din forklaring.

x ) = f ( g( x )) = f (2 x + 1) = 2 x + 1 h. f  g((–5)

c. Tegn nu også grafen for funktionen med forskrif-

x ) = f ( g( x )) = f (2 x + 1) = 2 x + 1 i. f  g((3)

ten h(x) = x2 + 4 i samme koordinatsystem.

j. g  f (4) (2) = 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

d. Beskriv, hvordan graferne for f og h ligger i for-

k. g  f (4) (5) = 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

hold til hinanden. Brug igen begrebet parallel-

l. g  f (4) (–1)= 2 4 + 1 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

forskydning i din forklaring.

Opgave 225 To funktioner er givet ved forskrifterne h(c) = x

Opgave 229 5

2

Betragt funktionerne med forskrifterne f(x) = x2

og p(x) = x + 3x.

og g(x) = (x + 3)2 – 7.

a. Opskriv en forskrift på den sammensatte funk-

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme

tion, der har p som indre funktion og h som ydre funktion.

koordinatsystem. b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i

Opgave 226

din forklaring.

Split nedenstående funktioner op i en indre funktion og en ydre funktion

Opgave 230

a. f1(x) = (3x – 8)3

( x )= Betragt funktionerne med forskrifterne hf(x) x og g(x) = f(x – 2) + 3.

b. f2(x) = 4 x + 2 c. f3(x) =

1 −3 x + 1

d. f4(x) = 5 · 35x – 1

1

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem. b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i din forklaring.

2 . Funktioner

37


Træningssider 2

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødderanan,

n n

aa

a

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

(

)

2

Eksempel: Vi vil beregne udtrykket: 52 + 3 ⋅ 3 − 16 . Ifølge regnearternes hierarki skal vi starte med udtrykket i parentesen. I parentesen står to led. Det ene er en rod, så det skal vi beregne først. Parentesen bliver altså til (3 − 16 ) = (3 − 4) = ( −1) Nu kan vi regne videre på resten. Først potenserne, så produktet, og til sidst summen. 52 + 3 ⋅ ( −1)2 = 25 + 3 ⋅ 1 = 25 + 3 = 28 . Det hele kan også samles til én beregning: 52 + 3 ⋅ (3 − 16 )2 = 52 + 3 ⋅ (3 − 4)2 = 52 + 3 ⋅ ( −1)2 = 25 + 3 ⋅ 1 = 25 + 3 = 28. Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempel 5 + 3 = 8 = 4 og 2

1. U  dregn

2. U  dregn

2

3. U  dregn

4. U  dregn

a. 10 + 5 · 4

a. 2 ⋅ 25

a.

25 + 11

b. 2 · 3 – 1

b.

36 ⋅ 2

b.

25 − 9

c. (4 + 2) · 5

c. (2 + 3)2

c.

d. 3 · (2 – 3)

d. (5 – 6)2

d. 1− 3 − 16

(

)

a. 7 + 3

2

9 +5 −4

(

12 − 3 = 9 = 3.

)

3

2+3 7⋅3 b. 25 − 4

c.

5 − 4 +1 4 −1 2

2

Kombinatorik Hvis man både skal vælge blandt n muligheder og blandt m muligheder er der i alt n · m muligheder. Eksempel: En restaurant tilbyder 5 forskellige hovedretter og 3 forskellige desserter. En gæst har altså mulighed for at sammensætte hovedret og dessert på 5 · 3 = 15 forskellige måder.

5. Hvor mange forskellige måder kan retterne sammensættes hvis … a. b. c. d.

… en restaurant tilbyder 8 forskellige hovedretter og 2 forskellige desserter? … en restaurant tilbyder 7 forskellige hovedretter og 5 forskellige desserter? … en restaurant tilbyder 4 forskellige forretter og 2 forskellige hovedretter? … en restaurant tilbyder 3 forskellige forretter, 4 forskellige hovedretter og 2 forskellige desserter?

6. Hvor mange forskellige kombinationsmuligheder er der? a. En isbar tilbyder 20 slags is, 5 slags krymmel og 2 slags marmelade. b. En kodelås har 3 hjul, hver med mulighed for ét af de 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. c. En nummerplade har 2 bogstaver først og derefter 5 cifre. Eksempel: 6 elever skal stille sig i en kø. Hvor mange forskellige rækkefølger kan de stille sig i? Til plads nummer 1 er der 6 muligheder, til plads nummer 2 er der 5 muligheder, til plads nummer 3 er der 4 muligheder, etc. I alt kan de stille sig i køen på 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 forskellige måder. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 kan skrives kort som 6! der læses som ”6 fakultet”.

7. H  vor mange mulige rækkefølger er der, hvis a. 4 elever skal stille sig i en kø? b. 8 elever skal stille sig i en kø? c. 20 elever skal stille sig i en kø?

38

2 . Funktioner


8. Hvor mange forskellige rækkefølger kan hundene komme i mål på, hvis a. der er 5 hunde i et hundevæddeløb? b. der er 9 hunde i et hundevæddeløb? c. der er 30 hunde i et hundevæddeløb?

Enhedscirklen, sinus og cosinus

y

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i punktet (0,0) og med radius 1. De trigonometriske størrelser sinus og cosinus er defineret ud fra enhedscirklen. Vinklen v er vinklen mellem førsteaksen og en radius afsat i cirklen. Punktet, hvor den afsatte radius rammer cirklen, kaldes retningspunktet Pv. Sinus til v er defineret som retningspunktets y-koordinat, og cosinus til v er defineret som retningspunktets x-koordinat. Se figuren. Nogle af værdierne af sinus og cosinus kan aflæses direkte fra enhedscirklen. For eksempel kan man se, at sin(90°) = 1 og cos(90°) = 0 .

1

–90°

0

90°

sin(v)

1

cos(v)

0

v

–1

–25°

40°

x

0 cos(90) = 0 1

x

cos(v)

–1 y sin(90) = 1

P90 = (0,1)

1

180° 270° 360° v = 90°

–1

10. Udfyld et skema som det nedenstående ved hjælp af CAS v

1

0

9. Udfyld et skema som det nedenstående uden brug af CAS. v

Pv (cos(v), sin(v)

sin(v)

75°

100° 110° 140°

–1

sin(v)

y

1

cos(v)

6 5

11. Løs følgende ligninger med CAS. Find kun løsninger i intervallet 0 ≤ v ≤ 90 . a. sin(v) = 0,8

b. sin(v) = 0,3

c. cos(v) = 0,1

4 2 1 –2 –1

Ligningsløsning og grafer Eksempel: Ud fra figur 1 kan man løse ligningen f(x) = 4. Altså spørgsmålet om, hvad x skal være, for at funktionsværdien er 4. Man finder y = 4, bevæger sig vandret hen til grafen, og derefter lodret ned til x-aksen. Det er markeret med de to blå pile. Man kan aflæse, at f(x) = 4 har løsningen x = 2.

1

2

3

4

6

7 8

x

5

6

7 8

x

5

6

7 8

6

7 8

5

y

2

6 h

5 4 3 2 1 –2 –1

12. F igur 2 viser grafen for funktionen h. Løs følgende ligninger ved hjælp af grafen. Alle løsningerne er heltal. a. h(x) = 1 b. h(x) = 5 c. h(x) = –1 d. h(x) = 7

f

3

d. cos(v) = 0,5

1

2

3

4

y

3

6 f

5 4 3

13. Figur 3 viser grafen for funktionen f. Løs følgende ligninger ved hjælp af grafen. Alle løsningerne er heltal. Nogle af ligningerne har mere end en løsning. Opskriv dem alle. a. f(x) = 6 b. f(x) = 2 c. f(x) = 5 d. Hvilken af følgende ligninger har ingen løsning: f(x) = 0 eller f(x) = 7?

2 1 –2 –1

1

2

3

x

y

4

6 5

g

4

14. F igur 4 viser graferne for tre funktioner f, g og h. Løs nedenstående ligninger ud fra graferne. Løsningerne er et heltal. a. g(x) = h(x) b. g(x) = f(x) c. f(x) = h(x)

4

3 2

h

f

1 –2 –1

1

2

3

4

5

2 . Funktioner

x

39


3. Trigonometriske funktioner 3.1 Radianer 1 Introduktion Hvem har bestemt, at der er 360° grader hele vejen rundt i en cirkel? Hvorfor ikke 400° eller måske 100°? Uanset hvad man vælger, er der tale om en konvention. På mange måder er det mere naturligt at kigge på buelængden af en cirkel. Omkredsen af en enhedscirkel er netop 2 · π. Dette er baggrunden for vinkelenheden radian.

y 1

2 Definition

L

Radiantallet til en vinkel, v, er den buelængde L, som vinklen spænder over på enhedscirklen.

v 1

x

3 Eksempel Her er tre vinkler angivet på enhedscirklen. y 1

L= π

1

L=1

1 –1

v = 1 radian ≈ 57,3°

x

v 1

–1

L=π

1

2

v

v –1

y

y

–1

v = π2 radianer = 90°

x

1

–1

x

–1

v = π radianer = 180°

4 Omregning mellem grader og radian Vi ved, at enhedscirklens omkreds er 2π. Det vil sige, at vinklen 360° svarer til vinklen 2π radianer. Hvis vi med bogstavet g betegner en vinkel angivet i grader, svarer brøken

g til, 360°

hvor stor en del af ”hele vejen rundt i cirklen” vinklen svarer til. Hvis vi med R betegner R

den samme vinkel angivet i radian, vil den tilsvarende brøk være 2π .

De to brøker må være lig hinanden, da de dækker over det samme (hvor stor en del af ”hele vejen rundt i cirklen” vinklen svarer til): g = R. 360° 2π

Hvis vi multiplicerer med 2 på begge sider af lighedstegnet, får vi g = R. 180 ° π

40

3. Trigonometriske funktioner


Vi har vist følgende sætning: I formlen kan g og R isoleres,

5 Sætning

så vi får: g = 180° ⋅ R

Lad g betegne en vinkel målt i grader, og R den samme vinkel målt i radianer. g Da gælder følgende sammenhæng: = R. 180 ° π

π

og R=π⋅

g 180 °

6 Eksempel For at beregne hvad vinklen 33° svarer til i radianer, sætter vi g = 33° ind i formlen: R = π⋅

g ° = π ⋅ 33 ° = 0,575959... ≈ 0 ,58 180° 180

33 grader svarer altså til 0,58 radianer.

7 Eksempel Vinklen 2,23 radianer svarer til 127,8°, fordi R

2, 23

g = 180°⋅ π = 180°⋅ π = 127,7695...° ≈ 127,8° .

8 Øvelse

Vinkel i grader Vinkel i radianer

a. Udfyld skemaet med brug af formlerne for omregning mellem grader og radianer:

9 Øvelse a. Udfyld skemaet udelukkende ud fra betragtninger på enhedscirklen (dvs. uden at bruge formlerne for omregning mellem grader og radianer):

33°

50°

141°

0,58

Vinkel i grader

360°

Vinkel i radianer

270°

0,1

1,5

90°

45°

π

0,1 π

π 3

10 Øvelse a. Forklar, hvorfor enhedscirklens omkreds netop er 2π.

11 Øvelse a. Gør rede for, hvordan

g = R omskrives til 180 ° π

12 Øvelse

R=π⋅

g . 180 °

π

a. Indstil CAS-værktøj til at regne med radianer, og beregn sin( 2 ) . b. Forklar resultatet ud fra enhedscirklen.

3. Trigonometriske funktioner

41


3.2 Funktionen sin(x) 13 Introduktion Om sommeren er dagene længere end om vinteren. Dagslængden ændres hen over året efter et helt bestemt mønster, og dette mønster gentages periodisk fra år til år. I dette afsnit vil du møde en funktion, der er essentiel i modelleringen af periodiske fænomener.

14 Eksempel

Hvis man indstiller sit CAS-værktøj til radianer, kan man udfylde en tabel som denne

y π 2

0

1

sin(x)

0

0,841

π 2

2

3

4

1

0,909

0,141

-0,757

Sinus kan opfattes som en funktion af vinklen x.

Px

sin(x) π

x

15 Definition

Funktionen sin(x) defineres ud fra enhedscirklen: sin(x) er 2.-koordinaten til ret-

x x

cos(x)

3π 2

ningspunktet Px , hvor x er vinklen målt i radianer.

16 Eksempel

Ud fra enhedscirklen kan vi se, at sin(0) = 0 og sin( 2 ) = 1.

π

Når vi betragter sin(x) som funk 17 Eksempel tion, vil vi udvide vinkelbegrebet,  Vinklen 3π svarer til 1,5 gange rundt på enhedscirklen, og 4π svarer til to hele så vi kan tale om vinkler større

gange rundt. Vi kan også tale om negative vinkler: Vinklen –π svarer til en halv

end ”hele vejen rundt”, 2π.

gang rundt på enhedscirklen i negativ omløbsretning.

y

18 Grafen for sin(x)

 Hvis man forestiller sig, at retningspunktet Px bevæger sig rundt på enheds-

1 π 2

π

3π 2

cirklen i positiv omløbsretning, vil punktet (0 , sin(x)) bevæge sig op og ned

2π x

–1

på y-aksen. Den største værdi vil være 1, og den mindste værdi er –1. Funktionsværdierne for sin(x) bevæger sig altså mellem 1 og –1, efterhånden som x vokser. I margenen kan du se et udsnit af grafen for funktionen sin(x).

19 sin(x) er periodisk Funktionen sin(x) er periodisk med perioden T = 2π. Det betyder, at grafen for sin(x) ”gentager sig”, når x vokser med 2π. Matematisk kan det skrives som sin(x + n . 2π) = sin(x), for alle hele tal n (svarende til, at vi bevæger os n gange ekstra rundt i enhedscirklen).

42

3. Trigonometriske funktioner


20 Eksempel x = 7π svarer til, at vi bevæger os 3,5 gange rundt i enhedscirklen. Det betyder, at vi ender det samme sted, som hvis vi kun havde bevæget os 0,5 gange rundt (svarende til x = π). Dvs. sin(7π) = sin(π).

21 Eksempel Hvis man tegner grafen for sin(x) over et større interval, kan man tydeligt se, at grafen gentager sig selv med en periode på 2π. y

1 –π

–2π –7

–6

–5

–4

π

–3

–2

–1

1

2

3

2π 4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

13

–1 2π

22 Øvelse x

a. Udfyld et skema som det viste. Beregn funktionsværdierne med et CAS-værktøj.

0,1

–1

–10

5

5+2π

sin(x)

Husk, at vinklerne skal regnes i radianer.

23 Øvelse a. Tegn grafen for sin(x) i intervallet [–5;10] med et CAS-værktøj.

24 Øvelse

y

a. Udfyld et skema som det viste, udelukkende ud fra

π 2

observationer på enhedscirklen (dvs. uden CAS). x

–π

– π2

0

π 2

π

3π 2

Px

sin(x)

π

x cos(x)

sin(x)

Scan QR-koden for hints til løsning.

x

3π 2

25 Øvelse Ligesom med sin(x) kan vi opfatte cos(x) som en funktion. a. Beregn cos(0), cos(1) og cos(π) med et CAS-værktøj. b. Tegn grafen for funktionen cos(x). c. Forklar ud fra enhedscirklen, hvorfor cos(π) = –1 d. Overvej, ved at se på enhedscirklen, hvad x kan være for at cos(x) = 0

26 Øvelse Tangens kan også opfattes som en funktion. a. Tegn grafen for tan(x) med et CAS-værktøj.

3. Trigonometriske funktioner

43


3.3 Amplitude 27 Introduktion Dagslængden i Tønder kan beskrives ved funktionen med forskriften f(x) = 5,1 · sin(0,0172x – 1,38) + 12,3

0 ≤ x ≤ 365

Her er x antallet af dage siden første januar, og f(x) er dagens længde målt i timer. Funktioner af denne type kaldes harmoniske svingninger.

28 Definition En harmonisk svingning er en funktion af typen f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k, hvor koefficienterne A, ω, ϕ og k er reelle tal, og hvor A > 0 og ω ≠ 0.

29 Eksempel Vi vil bruge funktionen fra introduktionen til at beregne dagens længde i Tønder den 1. januar. Dvs. svarende til x = 0. f(0) = 5,1 · sin(0,0172 · 0 – 1,38) + 12,3 = 7,3 Den første januar er dagen altså 7,3 timer lang i Tønder.

y

f

15

30 Eksempel

I margenen ses grafen for funktionen, der beskriver dagslængden i Tønder. Den 10

vandrette akse angiver antal dage siden første januar, og den lodrette akse angiver dagens længde målt i timer. Bemærk, at grafen har samme ”form” som

5

grafen for sin(x). 100

200

300

x

31 Eksempel Hvornår er dagen netop 10 timer lang i Tønder? Med andre ord: Hvad skal x være, for at f(x) = 10? Det er en ligning, vi kan løse med CAS. Her skal vi huske at begrænse intervallet. Det kan for eksempel se ud som:

solve(5.1 · sin(0.0172 x – 1.38) + 12.3 = 10,x)  0 ≤ x ≤ 365

Vi får outputtet x = 53 og x = 290.

y 15

32 Eksempel

f

Ligningen fra foregående eksempel kan også løses grafisk ved at finde skæ-

10

ringspunkterne mellem grafen for f og den vandrette linje y = 10. Se grafen i margenen.

5 53

290

100

44

Dag nummer 53 og dag nummer 290 er 10 timer lange.

200

300

x

3. Trigonometriske funktioner

Vi får naturligvis de samme løsninger som før.


y

(171,56;17,4)

33 Eksempel

f

15

Ud fra grafen kan vi finde maksimum med CAS. Vi kan se, at maksimumspunktet har koordinaterne (171,56;17,4).

10

Den længste dag er, når x = 171,56. Da der er tale om hele dage, 5

runder vi ned og konkluderer, at dag 171 er den længste dag. Vi kan også se, at den længste dag er 17,4 timer lang.

100

200

x

300

34 Ligevægtsværdien, k For en harmonisk svingning f givet ved forskriften

f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k

kaldes koefficienten k for ligevægtsværdien. Det er den værdi, funktionen ”svinger omkring”. Koefficienten k kan også betragtes som en slags gennemsnit af funktionsværdierne. Hvis k ændres, vil grafen for f parallelforskydes lodret. y

35 Eksempel I funktionen f(x) = 5,1 · sin(0,0172 · x – 1,38) + 12,3 for dagslængden i Tønder er k = 12,3. Det betyder, at dagslængden ”svinger om” værdien 12,3. Det be-

15 12,3 10

tyder også, at gennemsnittet af dagslængderne hen over et år, er 12,3 timer.

5

36 Amplituden, A

100

For en harmonisk svingning f givet ved forskriften

f

200

300

x

f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k

kaldes koefficienten A for amplituden. Amplituden er den maksimale afstand mellem ligevægtsværdien og grafen for f. Amplituden kaldes også af og til for størrelsen af udsvinget.

37 Eksempel

y

I funktionen for dagslængden i Tønder er amplituden A = 5,1. Det vil sige, at den længste dag er 5,1 timer længere end ligevægtsværdien. Den længste dag er altså 12,3 timer + 5,1 timer = 17,4 timer. Det samme, som vi fandt tidligere. Den korteste dag er 12,3 timer – 5,1 timer = 7,2 timer.

15

f 5,1

12,3 10

Bemærk også, at forskellen mellem maksimum og minimum er det dobbelte af

5,1

5

amplituden, så den længste dag er 10,2 timer længere end den korteste dag. 100

200

300

x

38 Øvelse Dagslængden i Skagen kan beskrives ved funktionen med forskriften

g(x) = 5,8 · sin(0,0172x – 1,38) + 12,3 ,

0 ≤ x ≤ 365

Her er x antallet af dage siden første januar, og f(x) er dagens længde målt i timer. a. Beregn længden af dag nummer 20 efter første januar (husk at regne i radianer). b. Tegn grafen for g i et passende grafvindue. c. Hvornår er dagen netop 16 timer lang i Skagen? d. Hvilken dag er den korteste i Skagen? 3. Trigonometriske funktioner

45


3.4 Periode 39 Introduktion Kammertonen A har frekvensen 440Hz. Det betyder, at lydtrykket svinger 440 gange 1 i sekundet: Så én svingning tager 440 ≈ 0,0023 sekunder. Længden af en svingning kaldes svingningstiden eller perioden.

40 Periode For en harmonisk svingning, f, givet ved forskriften f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k kan perioden T beregnes med formlen 2π

T=ω . Er perioden kendt, kan koefficienten ω beregnes med formlen

ω = 2π .

T

41 Eksempel y

Betragt den harmoniske svingning givet ved forskriften

g(x) = 2 · sin(3x + 1) + 3.

5

T = 2,1

4 3

Fra forskriften kan vi se, at ω = 3.

Perioden er dermed 2π

T = 3 ≈ 2,1 Bemærk, at perioden er afstanden fra bølgetop til bølgetop. Det er også

2 T = 2,1

1 1

2

3

4

5

x

6

afstanden fra bølgedal til bølgedal.

42 Eksempel I forrige afsnit så vi på funktionen

f(x) = 5,1 · sin(0,0172x – 1,38) + 12,3,

som beskriver dagslængden i Tønder (hvor x er antal af dage efter første januar, og f(x) er dagens længde målt i timer). Vi kan se, at ω = 0,0172 , så vi kan beregne perioden:

T=

2π ≈ 365,3 0, 0172

Perioden er 365,3 dage, altså ret præcist ét år.

43 Eksempel Om en harmonisk svingning får vi at vide, at perioden er T = 10. Vi kan beregne, hvad koefficienten ω skal være.

46

ω=

3. Trigonometriske funktioner

2π ≈ 0,628 . 10


44 Eksempel Om en harmonisk svingning f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k oplyses det, at perioden

y

er 8, at maksimum er 22, samt at minimum er 4. Desuden oplyses det, at ϕ = 0.

22 20

Vi vil bestemme A, ω og k. Ligevægtsværdien k er gennemsnittet af maksimum og minimum k = 222+ 4 = 13 .

13 10

− Amplituden A er halvdelen af forskellen på maksimum og minimum a = 22 4 = 9 . 2 2π π Koefficienten ω er ω = 8 = 4 ≈ 0,785.

4 2

Med dette bliver forskriften f(x) = 9 · sin(0,785 · x) + 13

4

6

8

10

12

x

Den sidste koefficient skal vi ikke beskæftige os med, ud over at kende navnet.

45 Faseforskydningen For en harmonisk svingning f givet ved forskriften f(x) = A · sin(ω · x + ϕ ) + k, kaldes koefficienten ϕ for faseforskydningen. Hvis faseforskydningen ændres, vil grafen for f parallelforskydes vandret.

46 Øvelse Betragt den harmoniske svingning givet ved forskriften

f(x) = 3 · sin(2x + 1).

a. Bestem konstanten ω. b. Bestem perioden / svingningstiden. c. Tegn grafen for f, og vis svingningstiden på grafen.

47 Øvelse En harmonisk svingning er givet ved forskriften

g(x) = 3 · sin(0,73x + 1) + 4 .

a. Beregn svingningens periode T. b. Tegn grafen for f i intervallet 0 ≤ x ≤ 20 og tjek, at det passer, at perioden er afstanden fra bølgetop til bølgetop og afstanden fra bølgedal til bølgedal.

48 Øvelse Om en harmonisk svingning g(x) = A · sin(ω · x + ϕ ) + k oplyses det, at perioden er 5, at maksimum er 10, samt at minimum er 2. Desuden oplyses det, at ϕ = 0. a. Bestem værdien af koefficienterne k, A og ω. b. Tegn grafen for g i et passende grafvindue. Tjek, at forskriften er korrekt ved at finde maksimum og minimum med et CAS-værktøj.

3. Trigonometriske funktioner

47


Opgaver – 3. Trigonometriske funktioner

S can QR-koden for at

Opgave 306

komme til facitlisten.

a. Beregn følgende funktionsværdier med dit CASværktøj. Husk at indstille til radian.

Opgave 301

x

a. U  dfyld skemaet med brug af formlerne for

1

2

3 5,13 –1 –3 –2,97 1,5 100

cos(x)

omregning mellem grader og radianer. Vinkel i grader

0

10° 35° 176° –200° –25° 111° 255° –90° 1° 3,23°

Vinkel i radianer

Opgave 307 a. Beregn følgende funktionsværdier udelukkende ud fra observationer på enhedscirklen (dvs. uden CAS).

Opgave 302

0 f ( x2π ) = 13 π x 3 − 21 πx 2 −5π 2 x –3π – 34 π

x

a. U  dfyld skemaet med brug af formlerne for

7 2

π – 11 π 100π 2

sin(x)

omregning mellem grader og radianer. Vinkel i grader

Opgave 308

Vinkel i radianer

1

2

3

5,98 –1

6,1 0,03 1,05

π

a. Tegn, med dit grafværktøj, grafen for sin(x) i intervallet [–2π;2π]. a. Tegn nu grafen igen, men denne gang i hånden

Opgave 303

på ternet papir. Gør dig umage med, at grafen

a. U  dfyld skemaet udelukkende ud fra betragt-

bliver pæn og ligner den korrekte. (Så den skal fx gå gennem punkterne (0,0) og ( π ,1).

ninger på enhedscirklen (dvs. uden CAS). Vinkel i grader

90°

180°

45°

30°

18°

2

135°

Vinkel i radianer

Opgave 309 Løs nedenstående ligninger med ligningsløseren i dit CAS-værktøj. Find kun løsninger i intervallet [0;2π].

Opgave 304

a. sin(x) = 0,5

b. sin(x) = 1

a. U  dfyld skemaet udelukkende ud fra betragt-

c. sin(x)= - 0,8

d. sin(x) = 1,5

ninger på enhedscirklen (dvs. uden CAS).

Opgave 310

Vinkel i grader

Betragt den harmoniske svingning med forskriften

Vinkel i radianer

f (x) π =

1 3 x 3

1 2 πx 2

− 2 x 15

π

1 π 20

3 5

π

f(x) = 3sin(0,1x + 5) + 10 a. Bestem amplituden. b. Bestem ligevægtsværdien.

Opgave 305

c. Bestem perioden.

a. B  eregn følgende funktionsværdier med dit

d. Bestem funktionens maksimum og minimum.

CAS-værktøj. Husk at indstille til radian. x

0

1

2

3 5,13 –1 –3 –2,97 1,5 100

Betragt den harmoniske svingning med forskriften g(x) = 1,4 sin(2x – 2) – 1

sin(x)

48

Opgave 311

3. Trigonometriske funktioner


a. Bestem amplituden.

a. Tegn grafen for f.

b. Bestem ligevægtsværdien.

b. Løs ligningen f(x) = 2,8 med ligningsløseren i

c. Bestem perioden.

dit CAS-værktøj.

d. Bestem funktionens maksimum og minimum.

Opgave 317 Opgave 312

Betragt den harmoniske svingning med forskriften

Betragt den harmoniske svingning med forskriften

f(x) = 100sin(0,01x – 25) + 35, 0 ≤ x ≤ 600.

h(x) = 100sin(45x) + 50.

a. Tegn grafen for f.

a. Bestem amplituden.

b. For hvilke værdier af x er f(x) lig med 50?

b. Bestem ligevægtsværdien. c. Bestem perioden.

Opgave 318

d. Bestem funktionens maksimum og minimum.

Dværgplaneten Plutos afstand til Solen kan tilnærmelsesvist beskrives med modellen

Opgave 313

g(x) = 9,8sin(0,0253x – 1,31) + 39,5 , 0 ≤ x ≤ 250.

Om en harmonisk svingning f(x) = A · sin(ω · x + ϕ)

Her er x antal år efter 2000, og g(x) er afstanden

+ k oplyses det, at perioden er T = 10, at maksi-

målt i enheden AE. (Enheden AE hedder ’Astrono-

mum er 20, samt at minimum er –20.

misk Enhed’. 1AE er lig med middelafstanden mel-

a. Bestem værdien af koefficienterne k, A og ω.

lem Solen og Jorden. Det er ca. 150 millioner km). a. Beregn g(5) og giv en fortolkning af resultatet.

Opgave 314 Om en harmonisk svingning f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k oplyses det, at perioden er T = 2, at maksimum er 5, samt at minimum er 1. a. Bestem værdien af koefficienterne k, A og ω.

b. Beregn afstanden mellem Pluto og Solen år 2018. c. H vilke år er afstanden mellem Pluto og Solen 30 AE? d. H vilket år er afstanden mellem Pluto og Solen kortest?

Opgave 315 Betragt den harmoniske svingning med forskriften

e. H vor stor er den maksimale afstand mellem Pluto og Solen?

f(x) = 5sin(0,3x + 2) – 2, 0 ≤ x ≤ 25. a. Tegn grafen for f.

Opgave 319

b. Tegn grafen for funktionen g(x) = 2 i samme

En kvindelig atlet får målt sin vejrtrækning under

koordinatsystem. c. Find, med dit grafværktøj, skæringspunkterne mellem graferne for f og g. d. Løs ligningen f(x) = 2 med ligningsløseren i dit CAS-værktøj. e. Forklar, hvad skæringspunkternes x-værdier har at gøre med løsningerne til f(x) = 2.

sprint. Det viser sig, at mængden af luft i lungerne med god tilnærmelse kan beskrives med modellen f(x) = 1,1sin(3,67x – 0,2) + 2,3 , 0 ≤ x ≤ 30. hvor x er tiden målt i sekunder, og f(x) er luftmængden målt i liter. a. Tegn grafen for f. b. Beregn f(10) og giv en fortolkning af resultatet. c. H vad er den gennemsnitlige mængde luft atle-

Opgave 316 Betragt den harmoniske svingning med forskriften f(x) = 0,5sin(4x + 2) + 3, 0 ≤ x ≤ 2.

ten har i lungerne? d. H vad er den maksimale mængde luft atleten har i lungerne? e. Beregn perioden T, og giv en fortolkning af resultatet. 3. Trigonometriske funktioner

49


Træningssider 3

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødderanan ,

n n

aa

a

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn

2. U  dregn

3. U  dregn

4. U  dregn

a. 4 + 10 · 7

a. 5 ⋅ 16

a.

40 + 9

b. 8 · 3 – 5

b.

9 ⋅ 25

b.

100 − 19

c. (2 – 7) · 25

c. (3 + 4)2

c.

d. 24 · (2 – 4)

d. (9 – 5)3

d. 5 −

(

)

+ 50 a. 100 2+8 10 ⋅ 50

b. 25 − 5

5

16 − 5 − 100

( ) 4

c.

3

6 + 8 + 10 9 +7 2

2

Ligningsløsning −b ± d

Andengradsligningen ax2 + bx + c = 0 har løsningerne x = , hvor d = b2 – 4ac. 2a Hvis d er negativ, er der ingen løsning. Hvis d = 0 er der kun en løsning. Hvis d er positiv, er der to løsninger. Tallet d kaldes diskriminanten, og løsningsmetoden kaldes ofte for diskriminantmetoden. Eksempel: Vi vil løse 2x2 + 6x – 8 = 0. Først beregnes diskriminanten d = 62 – 4 · 2 · (–8) = 36 + 64 = 100. Der er altså to løsninger. x=

−6 − 10 −6 ± 100 −6 ± 10   4 = = =  −6 + 10 2⋅2 4 =



4

5.  Beregn diskriminanten d, og an-

−16 4 4 4

= −4

=1

. De to løsninger er x = –4 og x = 1.

6.  L øs følgende andengrads-

7. Løs følgende andengrads-

giv antallet af løsninger for nedenstående andengradsligninger

ligninger med diskriminantmetoden

ligninger med diskriminantmetoden

a. 2x2 – 8x + 3 = 0

a. x2 – 3x + 2 = 0

a. 3x2 – 9x + 6 = 0

b. x2 – 7x + 4 = 0

b. x2 – 3x – 4 = 0

b. x2 + 7x + 10 = 0

2

2

c. x + 6x + 9 = 0

c. 2x + 2x – 12 = 0

c. x2 + 6x + 9 = 0

d. 2x2 – 6x + 7 = 0

d. x2 + 8x + 16 = 0

d. –x2 + 2x = 0

Brøker Forlænge med tallet c: Forkorte med tallet c:

a c ⋅a = b c ⋅b

2

Eksempel:

c

50

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

3. Trigonometriske funktioner

20

20

a

a c = b b

20 10 2 = = 30 30 3 10

b a⋅b a = ⋅b Tal gange en brøk: a ⋅ = c c c

Produkt af to brøker:

10 ⋅ 2

Eksempel: 3 = 10 ⋅ 3 = 30

Eksempel: 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12 og 3 ⋅ 15 = 3 ⋅ 15 = 45 7 7 7 2 2 2 Eksempel:

3 2 3⋅2 6 = ⋅ = 4 5 4 ⋅ 5 20


8. F orlæng

9. Forkort

brøkerne med 4 1 a . 2 4 b. 3

10 a . 15 50 b. 20

c. 10

c. 100

100

10. Forkort så meget som 11. B eregn og forkort så 12. Beregn og forkort så

brøkerne med 5

30

muligt (så nævner og tæller stadig er heltal)

meget som muligt

meget som muligt

a. 4 · 8

10

a. 8 ⋅ 3

a. 18 4

b. 7 · 8

b. 2 ⋅ 1

12 b. 18

c. 4 · 3 8

c. 5 ⋅ 5

4 1 4 5

8

10 7

21 c. 14

Kombinatorik Udvælgelse hvor rækkefølgen er vigtig Eksempel: Der er 12 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles? Førstepladsen kan gå til 12 forskellige heste. Andenpladsen til 11 forskellige og tredjepladsen til 10 forskellige. Der er altså 12 · 11 · 10 = 1320 forskellige muligheder for fordeling af de første 3 pladser. Det kunne også være beregnet som

12! . (12 − 3)!

13. a. Der er 6 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles? b. Der er 8 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 5 pladser fordeles? c. Der er 10 hunde i et hundevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles? d. Der er 120 cykelryttere i et cykelløb. På hvor mange måder kan de første 20 pladser fordeles? e. Der er 10 gæster til en fest. På hvor mange måder kan vi fordele 7 forskellige festlige hatte? Ingen gæster får mere end én hat, men der er naturligvis ikke hatte til alle. Udvælgelse hvor rækkefølgen er ligegyldig Antallet af måder man kan udvælge r elementer ud af en større gruppe med n elementer, hvor vi er ligeglade med rækkefølgen, kan beregnes med formlen K (n, r ) =

n! . ( n − r )! r !

n K(n,r) kaldes en binomialkoefficient, og skrives også nogle gange som   . r  Eksempel:

En isbutik har 21 forskellige smagsvarianter is. Vi vil gerne have en is med 3 forskellige smagsvarianter. Det giver os følgende antal kombinationsmuligheder K (21,3) =

21! = 1330 . (21 − 3)! ⋅ 3!

14. Beregn følgende binomialkoefficienter ved hjælp af formlen a. K(5,3) b. K(7,2) 6 c.  2 d. K(10,7)

15. a. Du har 20 par sko, men kan kun tage 3 par med på rejse. Hvor mange kombinationsmuligheder har du? b. Du har 100 bøger, men kan kun tage 5 med på rejse. Hvor mange kombinationsmuligheder har du? c. Du har 7 mundharmonikaer, men må kun tage 3 med på festival. Hvor mange kombinationsmuligheder har du? d. 17 venner holder fest. Der er plads til 4 på altanen. De sidste må være i stuen. På hvor mange måder kan de fordeles?

3. Trigonometriske funktioner

51


4. Logaritmer 4.1 Logaritmefunktioner

1 Introduktion

Når stof møder antistof, bliver begge dele ødelagt i en proces, man kalder annihilation. Det eneste, der er tilbage efter annihilationen, er energi i form af stråling. Nogle funktioner har en slags ”antifunktion”, som man kalder en omvendt funktion. Funktionen selv og den omvendte funktion ophæver hinanden, hvis man sætter dem sammen!

2 Definition  To funktioner f og g er hinandens omvendte funktioner, hvis der gælder, at f( g(x)) = x og g( f(x)) = x

Omvendte funktioner kaldes også inverse funktioner.

3 Eksempel

 f(x) = x 2 og g(x) =

2

x

x er hinandens omvendte funktioner, når x ≥ 0.

Hvis vi prøver at indsætte en konkret x-værdi, kan vi se, at funktionerne 16

4

”gør det omvendte af hinanden”: g(16) = 16 = 44 f(4) = 42 = 16 og g(16)

x

f(x) = x 2 sender 4 til 16, og g(x) =

y

y=x

f

2

Hvis vi tjekker med definitionerne, kan vi se, at det passer for alle værdier af x:

f( g(x)) = f( x ) = g( f(x)) = g(x 2) =

g 1

x sender 16 tilbage til 4.

2 x =x

x2 = x

Det sidste lighedstegn gælder, fordi vi kun betragter x ≥ 0.

Graferne for et par af omvendte funktioner har samme ”form”, men er spejlet i 1

2

y

3

y=x

4 10

log(x)

1

–1

1

2

3

4

Ud fra definitionen af omvendte funktioner har vi:

log(10x) = x og 10log(x) = x 5 x Titalslogaritmen skrives nogle gange som log10(x). Se grafen for log(x) og 10x i margenen.

–2

52

4 Definition eksponentialfunktionen 10x.

2

–2 –1

linjen y = x. Se figuren i margenen.

 Titalslogaritmen log(x) er defineret som den omvendte funktion til

x

3

x

4. Logaritmer


At log(x) gør ”det omvendte” af 10x, kan illustreres med to eksempler: 10x

5 Eksempel log(10000) = 4, fordi 104 = 10 000.

10000

4

10x sender 4 til 10 000, og log(x) sender 10 000 tilbage til 4.

log(x)

6 Eksempel Da vi ud fra definitionen har, at 10log(7) = 7, må log(7) være netop det tal, 10 skal opløftes i for at give 7. Med CAS kan man beregne, at log(7) = 0,8451 med 4 decimalers nøjagtighed. Prøv selv at tjekke, at 100,8451 = 7,000031 ≈ 7. y

7 Definition Den naturlige logaritme ln(x) er defineret som den omvendte funktion til den naturlige eksponentialfunktion e .

2

Ud fra definitionen af omvendte funktioner har vi:

1

ln(e ) = x

og

e

ln(x)

e

3

x

x

y=x

4

=x

x

ln(x)

–2 –1

1

Den naturlige logaritme skrives nogle gange som loge(x).

–1

Se grafen for ln(x) og ex i margenen.

–2

2

3

4

5 x

8 Eksempler a. ln(e3) = 3 kan beregnes direkte fra definitionen. b. Med CAS kan man beregne, at ln(8) ≈ 2,0794, og at e2,0794 = 7,99967 ≈ 8.

9 Tallet e Tallet e er en matematisk konstant. Ligesom tallet π er det irrationelt. Det betyder, at man ikke kan skrive tallet eksakt op, uanset hvor mange decimaler man tager med. Med 10 decimalers nøjagtighed er tallet e ≈ 2,7182818285. Tallet kaldes nogle gange ’Eulers tal’ eller ’Napiers tal’.

10 Øvelse Udfyld de manglende felter i nedenstående tabel uden brug af CAS x

0,00000000001

0,0001

0,001

0,01

log(x)

0,1

1

10

–1

0

1

11 Øvelse Udfyld de manglende felter i nedenstående tabel med CAS

100

x ln(x)

1000

1000000000 –5

–1

1

2

5

10 1

2

3

12 Øvelse a. Gør rede for, hvorfor log(1) = 0, log(10) = 1, ln(1) = 0 og ln(e) = 1. Hint: Husk potensregnereglerne a0 =1 og a1 = a. 4. Logaritmer

53


4.2 Logaritmiske skalaer 1 13 Introduktion Decibelskalaen (dB) er en logaritmisk skala. En forøgelse på 3 dB svarer til en fordobling af lydtrykket.  Vi har allerede beskæftiget os med logaritmiske skalaer i Kernestof 1. Nu skal vi arbejde med dem igen.

14 Logaritmisk skala 100 90 80 70 60 50

På en almindelig tallinje er der lige langt mellem nabotal: Der er f.eks. lige så langt fra 10 til 11, som der er fra 100 til 101. I margenen ses en anden type tallinje. Her er princippet, at lige lange afstande svarer

40

til, at der skal ganges med det samme tal. For eksempel er afstanden fra 1 til 10 den

30

samme som afstanden fra 10 til 100. En sådan tallinje kaldes en logaritmisk skala.

20

10 9 8 7 6 5

Logaritmiske skalaer er velegnede, når man skal behandle data, der består af både meget små tal og meget store tal.

15 Definition Et koordinatsystem, hvor y-aksen er logaritmisk, kaldes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

4 3 2

Man kan konstruere et koordinatsystem med logaritmisk skala ved at starte med et almindeligt koordinatsystem. På y-aksen opfattes tallene nu som eksponenter i 10x. Der, hvor der står 2, skal der nu stå 102 = 100, og der hvor der står 3, skal der stå 1000, da 103 = 1000, osv.

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

y

y

3

103 = 1 000

2

10 = 100

1

101 = 10

2

0

1

2

3

4

x

10 = 1

1

2

3

4

x

16 Sætning 0,1

Grafen for en eksponentiel funktion er en ret linje, når den tegnes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

54

4. Logaritmer


17 Eksempel Nedenfor ses grafen for f(x) = 5 · 2,7x i et almindeligt koordinatsystem og i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. y

y 3

10 = 1000

1000 800

102 = 100

600 400

101 = 10

200

1

2

3

4

x

5

100 = 1 1

2

3

4

5

x

18 Øvelse Nedenfor er 8 punkter plottet i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. a. Bestem punkternes koordinater. Skan QR-koden for at se, hvordan det første punkts koordinater aflæses. 1000

100

10

1

0,1 1

2

3

4

5

6

4. Logaritmer

55


4.3 Logaritmiske skalaer 2 19 Introduktion Mars er den fjerde planet i Solsystemet, regnet fra Solen. Mars har en omløbstid på næsten 2 år og en afstand til Solen, som er ca. 1,5 gange større end Jordens afstand. Til sammenligning er Neptuns afstand til Solen 30 gange Jordens afstand, men Neptun er ca. 165 år om at færdiggøre et kredsløb om Solen. Når man har at gøre med så store forskelle, er det praktisk at bruge logaritmiske skalaer.

20 Definition Et koordinatsystem, hvor både x-aksen og y-aksen er logaritmiske, kaldes et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

21 Eksempel Tabellen viser sammenhørende værdier for planeternes omløbstid og deres gennemsnitsafstand til Solen. Omløbstiden er målt i år, og afstanden er målt i AE (1AE er afstanden mellem Solen og Jorden). Merkur

Venus

Jorden

Mars

Afstand (i AE)

0,39

0,72

1

1,52

5,2

9,54

19,19

30,07

Omløbstid i år

0,24

0,62

1

1,9

11,9

29,5

84

164,8

Planet

Jupiter Saturn Uranus Neptun

Nedenfor ses to punktplot af dataene. Det til venstre er i et almindeligt koordinatsystem, og det til højre er i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. 1000

180 160

100

120

Omløbstid i år

Omløbstid i år

140

100 80 60

10

1

40 20 0

56

5

10

4. Logaritmer

15 20 Afstand i AE

25

30

35

0,1

0,1

1

10 Afstand i AE

100


Bemærk to ting: Det er lettere at aflæse punkternes koordinater i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem, fordi de ikke klumper sig sammen på samme måde. Derudover ser punkterne ud til at ligge på en ret linje i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem. Det sidste er ikke tilfældigt. Det er, fordi vi har at gøre med en potenssammenhæng.

22 Sætning Grafen for en potensfunktion er en ret linje, når den tegnes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

23 Øvelse a. Aflæs koordinaterne til de 8 punkter i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem. Scan QR-koden for at se, hvordan det første punkts koordinater aflæses. 100

10

1

0,1 0,1

1

10

100

24 Øvelse a. Udfør potensregression på planetdataene fra eksempel 21 for at bekræfte, at der er tale om en potenssammenhæng.

4. Logaritmer

57


4.4 Beviser og regneregler for logaritmer 25 Introduktion I dette afsnit vil vi bevise, at grafen for en eksponentiel funktion er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, og at grafen for en potensfunktion er en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Men først skal vi bevise nogle regneregler for logaritmer, som vi får brug for.

26 Sætning For logaritmefunktionerne gælder følgende regneregler 1. log(p · q) = log(p) + log(q) og ln(p · q) = ln(p) + ln(q) p

2. log( q ) = log(p) – log(q) 3. log(pq) = q · log(p)

og

p

ln( q ) = ln(p) – ln(q)

og ln(pq) = q · ln(p)

27 Bevis for sætning 26.1 Beviset består af nogle omskrivninger, hvor man bruger definitionen af log(x) og en potensregneregel: p q     log(p · q ) = log = log  10log( p ) ⋅10log( q ) 

Fra definitionen af log: x = 10log(x)

= log(10log(p) + log(q)) Potensregel: xn · xm = xn + m

= log(p) + log(q) Definitionen x = 10log(x) brugt igen

Samlet set har vi altså vist, at log(p · q) = log(p) + log(q). Beviset for sætning 26.2 foregår på samme måde blot med udnyttelse af potensn regnereglen xx m = x n−m .

28 Bevis for sætning 26.3

((

( )

log p q = log 10log( p )

) ) = log(10 q

log( p )⋅q

) = log( p) ⋅ q = q ⋅ log( p)

Ved første lighedstegn har vi brugt definitionen af log til at omskrive p til 10log(p). Ved andet lighedstegn bruges potensregnereglen (xn)m = xn · m. Ved tredje lighedstegn bruges definitionen af log igen.

29 Eksempel Sætning 26.3 er nyttig, hvis man skal løse ligninger, hvor den ubekendte er en eksponent. Vi vil løse ligningen 6 = 3x. log(6) = log(3x)

Vi har taget logaritmen på begge sider

log(6) = x · log(3)

Vi har brugt sætning 26.3

log(6) =x log(3)

x=

58

4. Logaritmer

log(6) ≈ 1,63 log(3)

Vi har divideret med log(3) på begge sider


[16 Sætning] Grafen for en eksponentiel funktion er en ret linje, når den tegnes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. y

30 Bevis for sætning 16 Forskriften for en eksponentiel funktion er f(x) = b · ax. Vi betragter grafen, så vi sætter f(x) = y. Dvs. vi får udtrykket y = b · ax. Ideen i beviset er at foretage omskrivninger af udtrykket, så det kommer til at ligne ligningen for en ret linje. log(y) = log(b · ax)

Vi har taget logaritmen til begge sider

log(y) = log(b) + log(ax)

Sætning 26.1 er anvendt

log(y) = log(b) + x · log(a)

Sætning 26.3 er anvendt

x

log(y)

log(y) = log(a) · x + log(b) Til sidst er udtrykket skrevet om, så man kan se, at det ligner y = m · x + k, men i stedet for y står der log(y). Med andre ord: Grafen bliver en ret linje, hvis den lodrette akse (2. aksen) er logaritmisk.

x

[22 Sætning] Grafen for en potensfunktion er en ret linje, når den tegnes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

y

31 Bevis for sætning 22 Forskriften for en potensfunktion er f(x) = b · xa. Vi betragter grafen, så vi sætter f(x) = y. Dvs. at vi får udtrykket y = b · xa. Ideen i beviset er at foretage omskrivninger af udtrykket, så det kommer til at ligne ligningen for en ret linje. log(y) = log(b · xa) a

x

Vi har taget logaritmen til begge sider

log(y) = log(b) + log(x )

Sætning 26.1 er anvendt

log(y) = log(b) + a · log(x)

Sætning 26.3 er anvendt

log(y)

log(y) = a · log(x) + log(b) Til sidst er udtrykket skrevet om, så man kan se, at det ligner y = m · x + k, men i stedet for x står der log(x), og i stedet for y står der log(y). Med andre ord: Grafen bliver en ret linje, hvis begge akser er logaritmiske. log(x)

32 Øvelse Løs følgende ligning uden CAS. Angiv facit eksakt. a. 15 = 3 ·2x

4. Logaritmer

59


Opgaver – 4. Logaritmer

Opgave 404

 S can QR-koden for at komme til facitlisten.

Beregn, uden CAS, nedenstående værdier af log(x). 103 1000 10–3 0,001 0,1 10 1 10000 1000000000

Opgave 401

x

Beregn, med CAS, nedenstående værdier af log(x).

log(x)

x

1

0,5

0,1

3

9

10

100 137 6,7

Opgave 405

log(x)

Beregn med CAS a. log(1)

Opgave 402

b. ln(1)

Beregn, med CAS, nedenstående værdier af ln(x).

c. log(4) d. log(1,38)

x

1

0,5

0,1

3

9

10

100 137 6,7

e. log(10) f. ln(5)

ln(x)

g. log(8,91)

Opgave 403

Opgave 406

Beregn, uden CAS, nedenstående værdier af ln(x).

Tegn graferne for følgende funktioner

x

1

e1

e5

e–3

e2

e100

a. f1(x) = log(x)

1 e5

b. f2(x) = ln(x) c. f3(x) = 5 · ln(x)

ln(x)

1 d. f4(x) = log(x)

Opgave 407 a. N  edenfor er 10 punkter plottet i et enkelt-logaritmisk koordinatsystem. Angiv punkternes koordinater. 1000

100

10

1

0

0,1

0,001

60

4. Logaritmer

1

2

3

4

5


Opgave 408 100

10

f(x)

1

0,1 –10

–5

0

5

10

Ovenfor er grafen for en eksponentiel funktion f plottet i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Aflæs, så præcist som det er muligt ud fra grafen, følgende funktionsværdier a. f(–10) b. f(0) c. f(5) d. f(10)

Opgave 409 a. Nedenfor er 10 punkter plottet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Angiv punkternes koordinater. 100

10

0,1

1

1

10

100

0,1

4. Logaritmer

61


Opgaver – 4. Logaritmer

Opgave 410 1000

f(x)

100

10

0,1

1

10

Ovenfor er grafen for en potensfunktion f plottet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Aflæs, så præcist som det er muligt ud fra grafen, følgende funktionsværdier a. f(1) b. f(2) c. f(0,1) d. f(10)

Opgave 411

Opgave 413

Reducer nedenstående udtryk ved hjælp af

Fordoblingskonstanten T2 for en voksende eksponen-

logaritmeregneregler

tiel funktion f(x) = b · ax er netop det tal, der skal læg-

a. log(3) + log(5)

ges til x for at funktionsværdien fordobles. Dvs.

b. ln(10) – ln(2)

f(x + T2) = 2 · f(x), som bliver til b · ax + T2 = 2 · b · ax.

c. log(50) + log(2)

Ved hjælp af logaritmer kan man udlede en formel for

d. 3 · ln(2)

fordoblingskonstanten.

Opgave 412

a. Isoler T2 i ligningen b · ax + T2 = 2 · b · ax.

Løs ligningerne ved hjælp af logaritmer a. 10 = 2x b. 15x = 11 c. 3 · 5x = 21 d. 64 = 8 · 10x e. 2000 = 250 · 1,4n

62

4. Logaritmer


4. Logaritmer

63


Træningssider 4

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Faktorisering Et andengradspolynomium p(x) = ax2 + bx + c kan skrives på faktoriseret form p(x) = a(x – r1)(x – r2), hvor r1 og r2 er polynomiets rødder, dvs. løsningerne til den tilhørende andengradsligning ax2 + bx + c = 0. Løsningerne til andengradsligningen kan findes med formlen r =

−b ± d , hvor d = b2 – 4ac. 2a

Hvis den tilhørende andengradsligning ikke har løsninger, kan polynomiet ikke faktoriseres.

Eksempel: Andengradspolynomiet p(x) = 2x2 + 6x – 8 kan skrives på den faktoriserede form p(x) = 2(x + 4)(x – 1), fordi det har rødderne r1 = –4 og r2 = 1.

1.  Angiv rødderne til følgende

2.  O  pskriv følgende andengrads-

3. Kan nedenstående anden-

faktoriserede andengradspolynomier

polynomier på faktoriseret form

gradspolynomier faktoriseres eller ej?

a. p1(x) = 15(x – 4)(x – 2)

a. p1(x) = –x2 + 7x – 12

a. p1(x) = x2 – x – 6

2

b. p2(x) = 3(x + 3)(x – 10)

b. p2(x) = 2x + 2x – 12

b. p2(x) = x2 – 3x – 2

c. p3(x) = 5(x – 3)(x + 2)

c. p3(x) = 2x2 + 16x – 30

c. p3(x) = –x2 – 3x – 4

2

d. p4(x) = –10(x + 5)(x + 7)

d. p4(x) = x + 5x

d. p4(x) = 3x2 + 18x + 27

e. p5(x) = –2(x + 5)2

e. p5(x) = –x2 – 10x + 25

e. p5(x) = 2x2 – 4x + 4

Overslagsregning ”Tommelfingerregler” for overslagsregning Hvis to tal skal lægges sammen eller multipliceres, rundes det ene op, og det andet ned. Eksempler: 1765 + 1512 ≈ 1800 + 1500 = 3300 (det korrekte tal er 3277) 12 · 67 ≈ 10 · 70 = 700 (det korrekte tal er 804) Det er naturligvis en vurderingssag, hvilket tal der skal rundes op, og hvilket der skal rundes ned. Det er også en vurderingssag, hvor meget der skal afrundes. Hvis to tal skal trækkes fra hinanden eller divideres, skal begge rundes op eller ned. Eksempler: 53,95 – 28,25 ≈ 55 – 30 = 25 (det korrekte tal er 25,70) 1729 1800 180 ≈ = = 30 (det korrekte tal er 29,810344…) 58 60 6

Reglerne er ”tommelfingerregler”, fordi der er masser af tilfælde, hvor den bedste strategi er at gøre det modsatte af, hvad reglen siger. Eksempel: 51 · 31 ≈ 50 · 30 = 1500 (det korrekte tal er 1581) Udregn et overslag på hvert af nedenstående regnestykker.

4. a. 81,95 + 48,25

5. a. 8,95 · 109

b. 38 + 51

b. 11,71 · 48,34

b. 113,75 – 61,95

c. 512 + 1778

c. 120563 · 18

c. 99981 – 1083

d. 2011 + 5020

d. 1516 · 18200

d. 12345 – 9876

8. a. 9,95 + 12,95 + 39,95 + 149,00 + 56,25 + 81,85 b. 598 + 612 + 897 – 550 – 56 + 584 + 798 c. 12,95 + 85,25 + 13,25 + 214,95 8

64

6. a. 8781 + 1577

4. Logaritmer

26,95 5 120965,3156 b. 5015,5641 5831 c. 17

7. a .


Potenser og rødder ar r −s s =a a

ar · as = ar+s

Regler:  a0 = 1

1 (an)m = an · m ar = r a

ar  a  r r =  b b

a−r =

1 ar

(a · b)r = ar · br

Udregn tallene nedenfor i “hånden”. Brug evt. multiplikationstabellen i formelsamlingen.

10. a. 33 + 32 + 31

9. a. 53 b. 35

b. 5000

c. 2–2

c.

Brøker Produkt af to brøker:

11. a .

32 + 4 2

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

Fællesnævner og sum af brøker:

1

12. a . 22 · 23

25

2

13. a . 16 2

14. a . (22)

1

b.

3

27

b. 6–3 · 62

b. 8 3

c.

5

32

10 c. 7 8

c. 9 2 · 9 2

1

7

Eksempel:

b. (2 ·3)3 1

1

2

c. ( 2 )

3 2 3⋅2 6 = ⋅ = 4 5 4 ⋅ 5 20

a c a⋅d c⋅b a⋅d + c⋅b 4 5 4 ⋅ 2 5 ⋅ 3 8 + 15 23 + = + = + = = Eksempel: + = 3 2 3⋅2 3⋅2 6 6 b d b⋅d b⋅d b⋅d

Beregn ”i hånden”, og forkort nedenstående så meget som muligt, så der stadig står heltal i tæller og nævner. Brug evt. multiplikationstabellen i formelsamlingen. 1 1 ⋅ 2 2 7 2 b. 3 ⋅ 9 4 3 c. 11 ⋅ 2 8 3 d. 3 ⋅ 8

2 16. a.  3 

15. a.

3

1 1 + 2 2 1 1 b. 2 + 3 1 1 c. 2 + 4 1 1 d. 2 + 5

4 5 + 5 4 2 2 b. 3 + 5

18.  a.

17. a .

1 2 3

b. 2 ⋅ 3 ⋅ 4 5  1 c.  2 

15 10 15

d. 10 ⋅ 15 ⋅ 10

1 2 c. 11 +5 9

7

d. 2 − 3

Sandsynlighed Hvis alle udfald har samme sandsynlighed, kan sandsynligheden for en hændelse beregnes som P =

Antal gunstige udfald Antal mulige udfald .

Eksempel: Kast med en 6-sidet terning. Sandsynligheden for at få 1 er P(1) = 1 6

Sandsynligheden for at få et lige tal er P(lige) = 3 = 1 6

2

19. V  ed kast med en 10-sidet 20. Der trækkes et kort fra et almin- 21. Vi kaster med to 4-sidede terninger, terning, hvad er da sandsynligheden for at få a. Udfaldet 5 b. Et ulige tal c. Et tal mindre end 7 d. Enten 6, 7 eller 10

deligt kortspil uden jokere

og noterer summen af de to udfald.

a. Hvad er sandsynligheden for at få hjerter dame?

a. Hvad er de mulige udfald?

b. Hvad er sandsynligheden for at få en spar? c. Hvad er sandsynligheden for at få en knægt? d. Hvad er sandsynligheden for enten en 5’er eller en 8’er?

b. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 2? c. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 3? d. Hvad er sandsynligheden for, at summen er større end 5? e. Hvad er sandsynligheden for, at summen er et lige tal?

4. Logaritmer

65


5. Binomialfordelingen 5.1 Stokastisk varibel

1

3

1 Introduktion

Der er 0,65 = 65 % sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på 1 point, 0,25 = 25 % sandsynlighed for at lande på 2 point og 0,10 = 10% sand-

2

synlighed for at lande på 3 point. I dette afsnit indføres begrebet stokastisk variabel, som netop kan beskrive sådanne sandsynligheder. Vi repeterer først, hvordan sandsynlighederne i et forsøg som det ovennævnte skal forstås.

Sandsynlighedsfelt:

2 Sandsynlighed

Sandsynligheden for en given hændelse skal forstås som frekvensen for – Et udfaldsrum, U, består af  hændelsen ved en uendelig række gentagelser af forsøget. en række mulige udfald u. – Til hvert udfald, u, er der en sandsynlighed P(u), hvor 0 ≤ P(u)≤ 1.

3 Hændelse og komplementær hændelse

 En hændelse, H, er et eller flere udfald fra et udfaldsrum. Den komplemen– Summen af alle sandsynligtære hændelse, H ’, er de andre udfald i udfaldsrummet, som ikke er med i hederne er 1. H, og derfor gælder P(H ’) = 1 – P(H)

4 Eksempel I situationen ovenfor med lykkehjulet er der tre udfald, der alle har en sandsynlighed. Lægges de tre sandsynligheder sammen, får vi 0,65 + 0,25 + 0,1 = 1. Det er altså et sandsynlighedsfelt.

I hændelsen ”ulige” er de to udfald: 1 og 3.

Den komplementære hændelse er ”ikke ulige” og er udfaldet 2.

Vi kan udregne sandsynligheden for at få "ulige" som

P(ulige) = 1 – P(ikke ulige) = 1 – 0,25 = 0,75

Vi kunne naturligvis også blot have lagt P(1) = 0,65 og P(3) = 0,10 sammen.

5 Stokastisk variabel I et tilfældigt eksperiment, der har en talværdi X som resultat, kaldes X en stokastisk variabel. De konkrete talværdier af X betegnes med små bog0,7

staver x1, x2, x3 osv. Udtrykket P(X = xi) betyder ”sandsynligheden for, at X

0,6

antager værdien xi”.

0,5 0,4

6 Eksempel

0,3

 Når lykkehjulet drejes, lander det på 1, 2 eller 3 point. Vi lader X betegne

0,2

antal point og har altså:

0,1

X = antal point. 1

66

2

3

5. Binomialfordelingen

xi P(X = xi)

1

2

3

0,65

0,25

0,1

I tabellen ses værdierne og sandsynlighederne for at få værdierne.


7 Sandsynlighedsfordeling En beskrivelse af, hvordan sandsynligheden er fordelt for en stokastisk variabel X, kaldes sandsynlighedsfordelingen for X. Ofte bruges en tabel eller et søjlediagram til at vise sandsynligheds-

xi

x1

x2

...

xn

P(X = xi)

p1

p2

...

pn

fordelingen for X.

8 Eksempel Der trækkes et tilfældigt af de viste 10 kort. En stokastisk variabel X betegner kortets værdi.

xi P(X = xi)

2

4

8

10

0,4

0,3

0,2

0,1

Sandsynlighedsfordelingen for X er vist i margenen. Sandsynligheden for at få mindre end eller

0,4 0,35

lig med 8 skrives P(X ≤ 8). Dermed menes:

0,3

P(X ≤ 8) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 8)

0,25 0,2

= 0,4 + 0,3 + 0,2

0,15

= 0,9

0,1 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 Øvelse Der er 0,50 = 50 % sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på 1 point, 0,35 = 35% sandsynlighed for at lande på 2 point og 0,15 = 15% sand-

2

synlighed for at lande på 3 point. Den stokastiske variabel X betegner antal point. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X. b. Tegn stolpediagrammet.

3

1

c. Bestem sandsynligheden P(X = 2).

10 Øvelse En terning kastes, og X betegner antallet af øjne. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Bestem P(X = 4). c. Bestem P(X ≤ 3). d. Bestem 1 – P(X = 4).

11 Øvelse

0,7 0,6

Søjlediagrammet i margenen viser sandsynlighedsfordelingen

0,5

for en stokastisk variabel X.

0,4

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.

0,3

b. Bestem P(X ≤ 2).

0,2 0,1 1

2

5. Binomialfordelingen

3

67


5.2 Middelværdi og spredning

12 Introduktion Et spillefirma overvejer at udbyde et spil, hvor der kastes en firesidet terning. Firmaet udbetaler 100 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er. Til gengæld skal kunderne betale 30 kr., hvis den lander på en 2’er, 40 kr., hvis den lander på en 3’er, og 50 kr., hvis den lander på en 4’er.

Kommer firmaet mon til at tjene penge på spillet?

13 Eksempel  For at få overblik, indfører vi en stokastisk variabel, X, der betegner firma-

xi

–100

30

40

50

P(X = xi)

0,25

0,25

0,25

0,25

ets indtægt. Sandsynlighedsfordelingen fremgår af tabellen i margenen.

 Vi kan vurdere, hvor meget firmaet kommer til at tjene på spillet ved at udregne den forventede værdi af indtægten X.

xi

x1

x2

...

P(X = xi)

p1

p2

...

14 Definition

xn  Den forventede værdi eller middelværdien af en stokastisk variabel er: pn µ = E ( X ) = x1 ⋅ p1 + x 2 ⋅ p2 +  + x n ⋅ pn .

15 Eksempel

Den forventede værdi (gevinst/tab) af X i eksemplet ovenfor er

µ = E ( X ) = − 100 ⋅ 0,25 + 30 ⋅ 0,25 + 40 ⋅ 0,25 + 50 ⋅ 0,25 = 5

Den forventede værdi / middelværdien er altså 5 kr., svarende til, at firmaet i gennemsnit vil tjene 5 kr. pr. spil. Vi skal nu se på variansen af en stokastisk variabel. Den fortæller noget om, hvor langt fra middelværdien værdierne af den stokastiske variabel i gennemsnit er.

16 Definition

Varians: Var ( X ) = ( x1 − µ )2 ⋅ p1 + ( x 2 − µ )2 ⋅ p2 +  + ( x n − µ )2 ⋅ pn Spredning:

σ = Var ( X )

17 Eksempel

Vi samler udregningerne for spiludbyderens varians og spredning.

Var ( X ) = ( −100 − 5)2 ⋅ 0,25 + (30 − 5)2 ⋅ 0,25 + (40 − 5)2 ⋅ 0,25 + (50 − 5)2 ⋅ 0,25 = 3725.

68

5. Binomialfordelingen

σ = 3725 = 61,03.


18 Bemærkning: En høj spredning kan være et problem Selvom spiludbyderen i gennemsnit tjener 5 kr. pr. spil, kan firmaet ikke være sikre på at tjene 5 kr. på et givet spil. Måske får de 50 kr., måske 30 kr. og måske skal de betale 100 kr. Spiludbyderen vil hellere have et spil, hvor det ikke varierer helt så meget, hvad de skal betale eller have.

19 Eksempel Spillefirmaet ændrer beløbene, så de udbetaler 40 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er, og deltagerne skal betale 20 kr. hvis terningen lander på en 2’er, 3’er eller 4’er. Der er altså en sandsynlighed på 0,25 for at firmaet skal betale 40 kr., og der er en xi

–40

20

P(X = xi)

0,25

0,75

bliver plat, og 3, hvis det bliver krone.

X = xi

1

3

a. Bestem middelværdien.

P(X = xi)

1 2

1 2

sandsynlighed på 0,75 for at firmaet tjener 20 kr. Vi beregner det nye spils middelværdi, varians og spredning.

µ = E ( X ) = − 40 ⋅ 0,25 + 20 ⋅ 0,75 = 5

Var ( X ) = ( − 40 − 5)2 ⋅ 0,25 + (20 − 5)2 ⋅ 0,75 = 675

σ = 675 = 25,98

Firmaet tjener de samme 5 kr. i gennemsnit pr. spil, men det varierer mindre pr. spil.

20 Øvelse En mønt flippes, og den stokastiske variabel X får værdien 1, hvis det

b. Bestem varians og spredning.

21 Øvelse Et spillefirma laver et lotteri, hvor er det gratis at deltage, men: 30 % af lodderne er mærket

, og man skal betale 50 kr., hvis det trækkes.

60 % af lodderne er mærket X, og man skal betale 10 kr., hvis det trækkes. 10 % af lodderne er mærket

, og man får 150 kr., hvis det trækkes.

Den stokastiske variabel X betegner indtægten for firmaet. a. Tegn tabellen i margenen af, og udfyld nederste række.

X = xi

b. Bestem middelværdien.

P(X = xi)

50

10

–150

c. Bestem varians og spredning.

22 Øvelse a. Udtænk nogle andre beløb i ovenstående øvelse, så den forventede indtægt er den samme, men spredningen bliver mindre for spillefirmaet.

5. Binomialfordelingen

69


5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel

23 Introduktion

Når et basiseksperiment som at flippe en mønt gentages et bestemt antal gange, og vi lader en stokastisk variabel X tælle antal plat, så er dens sandsynligheder fordelt på en helt særlig måde. I resten af kapitlet skal vi se nærmere på sandsynlighederne i forbindelse med gentagelser af et basiseksperiment, der kun har to udfald.

24 Definition

Et binomialeksperiment er et sammensat eksperiment, der består af: • n uafhængige gentagelser af et basiseksperiment med • to udfald, som vi kalder succes og fiasko, hvor • der er samme sandsynlighed p for succes ved hver gentagelse.

0,35 0,3

0,25

25 Eksempel

En mønt kastes 5 gange, og vi lader X betegne antal plat. Dette er et binomialeks-

0,2

periment, fordi vi har

0,15 0,1

• 5 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”flip en mønt”, med

0,05

• to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor;

• der er samme sandsynlighed p = 21 for succes ved hver gentagelse.

0

1

2

3

r P(X = r)

4

5

0



0,03

1

2

3

4

0,16

0,31

0,31

0,16

 5

Sandsynlighedsfordelingen for X kan ses i

0,03

tabellen og søjlediagrammet i margenen.

De enkelte sandsynligheder kaldes 26 Binomialfordelt stokastisk variabel punktsandsynligheder, og de kan Når den stokastiske variabel X betegner antal succeser i et binomialberegnes i CAS eller et regneark eksperiment, siger vi, at den stokastiske variabel er binomialfordelt med med kommandoer som: antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. =binomdist(r;n;p; ) i Google Sheets og binompdf(n,p,r) i Texas Nspire. Vi skriver X ∼ b(n,p)

27 Eksempel

Lad X betegne antal 3’ere ud af 10 kast med en terning. Derved er X binomialfordelt, fordi vi har

70

• 10 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning”, med

• to udfald, hvor succes er 3’er, og fiasko er ”ikke 3’er”, og hvor

• der er samme sandsynlighed p = 61 for succes ved hver gentagelse.

5. Binomialfordelingen


Vi kan nu beregne P(X = 2) til 0,29071 med kommandoen binompdf(10, 61 , 2). Der er altså 29,071 % chance for at få to 3’ere ved 10 kast med en terning. I søjlediagrammet er sandsynlighedsfordelingen for X illustreret. Det ses, at X = 2 er det næstmest sandsynlige udfald, mens sandsynlighederne for at få 8, 9 eller 10 styk 3’ere ved 10 kast er så lille, at søjlerne ikke kan ses på illustrationen. Det mest sandsynlige udfald er X = 1.

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

Altså at vi får netop én 3’er ud af de 10 kast.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 Eksempel De tre første sandsynligheder i sandsynlighedsfordelingen af X i ovennævnte eksempel kan beregnes således. P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2)

binompdf(10, 61 , 0) → 0,16151 binompdf(10, 61 , 1) → 0,32301 binompdf(10, 61 , 2) → 0,29071

Vi kan beregne sandsynligheden for at få 2 eller færre 3’ere ved 10 kast ved at lægge de tre ovennævnte sandsynligheder sammen.

P( X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)

Vi finder, at P( X ≤ 2) = 0,16151 + 0,32301 + 0,29071 = 0,77523 . Der er altså 77,523 % chance for at få to eller færre 3’ere. Dermed kan vi også indse, at der er 1 – 0,77523 = 0,22477 = 22,477% chance for at få ”samtlige andre værdier” – altså sandsynligheden for at få tre eller flere 3’ere ved 10 kast.

29 Øvelse I et eksperiment kastes en firesidet terning 10 gange, og X betegner antallet af 2’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 1) og P(X = 2).

30 Øvelse Når en bestemt skæv mønt flippes, er sandsynligheden for at få plat lig med 0,3. Mønten flippes 5 gange, og den stokastiske variabel X betegner antal plat. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Bestem de mulige værdier X kan antage. c. Bestem P(X = 3).

5. Binomialfordelingen

71


5.4  Middelværdi og spredning i binomialfordelingen 31 Introduktion I  roulette er der 37 felter, som kuglen kan lande på. Heraf er 18 røde, 18 sorte og 1 er grøn. Sandsynligheden for at lande på et rødt felt er dermed p = 18 ≈ 0, 4865 = 48,65 % . 37

Kuglen vil altså forventeligt lande på et rødt felt knap halvdelen af gangene. Vi   skal i dette afsnit behandle, hvordan man i binomialfordelingen kan beregne de tidligere indførte størrelser middelværdi/forventet værdi og spredning.

32 Sætning  Den forventede værdi eller middelværdien af en binomialfordelt stokastisk variabel er bestemt ved: µ = E ( X ) = n ⋅ p .

33 Eksempel  Vi forestiller os, at en kugle kastes i rouletten 100 gange. Vi beregner Middelværdien er en matematisk middelværdien med formlen: µ = E ( X ) = n ⋅ p og får: abstraktion. Derfor kan middelværdien

µ = E ( X ) = 100 ⋅ 18 ≈ 48 , 65 . godt være 48,65, selvom kuglen naturlig37 18 vis lander et helt antal gange på rødt. Middelværdien af X  b 100 ,  er altså lig med 48,65. 37 Af 100 spil vil kuglen altså forventeligt lande ca. 49 gange på rødt.

Vi    har at gøre med tilfældigheder, så vi kan ikke regne med at få 49 røde på 100 spil. Måske lander kuglen kun 34 gange på rødt ud af de 100 kast. Det kan vi ikke vide på forhånd. Men ved hjælp af spredningen for X kan vi vurdere, hvor ofte vi vil få et tal i nærheden af 48,65.

34 Sætning For en binomialfordelt stokastisk variabel X er spredningen σ bestemt ved:

σ = n ⋅ p ⋅ (1− p ) . Der gælder med tilnærmelse, at 68% af udfaldene af X vil ligge i området

µ ± σ , og at 95 % af udfaldene vil ligge i µ ± 2σ .

72

5. Binomialfordelingen


35 Eksempel

18 I roulettespillet, hvor X  b 100 , 37  , er spredningen

σ = 100 ⋅

18  18  ⋅ 1−  = 4, 9981 ≈ 5,00 37  37

Det kan vi i forhold til roulettespillet tolke på følgende måde: Der er omkring 68 % chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 5,00. Dvs. mellem 43,65 og 53,65 gange. Der er omkring 95 % chance for, at antallet af gange, vi lander på rødt, ligger i intervallet 48,65 ± 2 · 5,00. Dvs. mellem 38,65 og 58,65 gange. Vi kan deraf se, at det vil være utroligt sjældent at få et resultat som de førnævnte 34.

36 Eksempel 8 % af alle mænd er farveblinde. På et gymnasium undersøges 75 mænd. Den stokastiske variabel X betegner antal farveblinde, og "succes" er farveblindhed. X er binomialfordelt, fordi der er:

• 75 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”undersøg en mand for farve-

• to udfald, og der er

• samme sandsynlighed for succes hver gang.

blindhed”, hvor der er

Vi vil forvente at finde µ = E ( X ) = 75 ⋅ 0,08 = 6 farveblinde blandt de 75, men også at der vil være en spredning på σ = 75 ⋅ 0,08 ⋅ (1 − 0,08) = 2,34947 . Dermed vil vi med 95% sandsynlighed finde mellem 1,3 og 10,7 farveblinde mænd i stikprøven.

µ − 2σ = 6 − 2 ⋅ 2,34947 ≈ 1,3 µ + 2σ = 6 + 2 ⋅ 2,34947 ≈ 10,7

37 Øvelse Fra et spil kort uden jokere trækkes et kort, og det noteres, om det er en ruder eller ej. Kortet lægges tilbage, og bunken blandes. Eksperimentet gentages 40 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal ruder. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameter og sandsynlighedsparameter. b. Bestem middelværdien og fortolk tallet i forhold til situationen. c. Bestem spredningen. d. Bestem det interval, som antal rudere med 95% sikkerhed vil ligge i.

38 Øvelse En terning kastes 1000 gange. X betegner antal 6’ere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt b(n,p), og bestem n og p. b. Bestem middelværdi og spredning, og fortolk tallene.

5. Binomialfordelingen

73


5.5 Baggrunden for binomialfordelingen 39 Introduktion I et eksperiment kastes en firesidet terning, og den stokastiske variabel X betegner antallet af 2’ere. Eksperimentet gentages 3 gange. X er binomialfordelt, og vi har X  b 3, 41  , fordi der er: • 3 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet ”kast en terning” med • to udfald, hvor ”2” er succes og ”ikke 2” er fiasko, og hvor • = 41 er basissandsynligheden for succes ved hver gentagelse. X  bp3, I afsnittet her skal vi opstille en formel til beregning af sandsynlighederne i forbindelse med binomialeksperimenter. Vi tager udgangspunkt i ovennævnte eksempel i hele afsnittet. Da der kun er to udfald i et basiseksperiment, gælder følgende:

40 Sætning Hvis sandsynligheden for succes i basiseksperimentet betegnes med p, da er sandsynligheden for fiasko i basiseksperimentet 1 – p.

41 Eksempel Ved kast med en firesidet terning er sandsynligheden for at få en fiasko, en ”ikke 2’er”: 1− p = 1 − 1 = 3 . 4

4

Vi vil nu se på sandsynlighederne for P(X = 3) og P(X = 2) i detaljer.

42 Sandsynligheden P(X = 3) Vi vil beregne sandsynligheden for at få tre 2’ere: Brøkregneregel:

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

P(tre 2' ere ) =

3

1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 3 ≈ 0,016. 4 4 4 4

I beregningen af sandsynligheden kunne vi blot multiplicere sandsynlighederne, fordi basiseksperimenterne er uafhængige af hinanden.

43 Sandsynligheden P(X = 2) Inden vi ser på denne sandsynlighed, så lad os beskrive samtlige udfald i sandsynlighedsfeltet. Idet vi husker, at en 2’er er succes, s, og ”ikke 2” kaldes fiasko, f, kan vi beskrive udfaldene ved tre kast således: sss

ssf

sfs

fss sff

ffs fsf

fff

Der er altså otte muligheder. Vi siger, der er otte mulige udfald, når terningen kastes tre gange, og vi holder øje med antal succeser.

74

5. Binomialfordelingen


Af de otte muligheder svarer den første mulighed sss til P(X = 3), som vi allerede har set på. Når vi nu skal regne på P(X = 2), indgår der tre udfald, nemlig ssf, sfs og fss

1 1 3 1 3 1 3 1 1 P( X = 2) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ 0,14 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Den kommutative lov for multiplikation:

De tre led i udregningen har samme talstørrelse, fordi de er ens på nær række-

a·b=b·a

følgen af faktorerne. Udregningen kan derfor også skrives

2

1 3 P( X = 2) = 3 ⋅   ⋅ ≈ 0,14 4

4

At der var tre udfald, hvor der indgik 2 s’er og 1 f, kan også beregnes med binomialkoefficienten K(3,2) = 3, fordi det svarer til antal måder, man kan vælge 2 ud af 3 elementer (2 succeser ud af 3 kast). Alt i alt har vi:

Når der skal vælges r elementer ud af n mulige, kan det gøres på K(n,r) forskellige måder. K ( n, r ) =

2

1 3 2) = 3 ⋅   ⋅ ≈ 0,14 P(X =P(2)X = K(3,2) 4 4

n! ( n − r )! r !

På baggrund af ovenstående eksempler formulerer vi nu en generel sætning om binomiale punktsandsynligheder:

44 Sætning For en binomialfordelt stokastisk variabel X ∼ b(n,r), hvor sandsynligheden for

basishændelsen er p, gælder P( X = r ) = K (n, r ) ⋅ ( p ) ⋅ (1 − p ) . r

n−r

45 Eksempel Sandsynligheden for P(X = 1) i det gennemgående eksempel udregnes direkte ved indsættelse i formlen. 3−1 1 P( X = 1) = K (3,1) ⋅  1  ⋅  1 − 1  ≈ 0, 42  4  4

46 Øvelse a. Beregn sandsynligheden for P(X = 0) i det gennemgående eksempel ved hjælp af ovenstående sætning. b. Kontroller i CAS med binompdf(n,p,r) eller lignende kommando.

47 Øvelse Et lykkehjul, hvor chancen for gevinst er 30%, drejes 6 gange. X betegner antal succeser. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt. b. Beregn sandsynligheden for P(X = 4) ved hjælp af formlen.

5. Binomialfordelingen

75


Opgaver – 5. Binomialfordelingen

Opgave 503

S can QR-koden for at komme til facitlisten.

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Opgav 501 En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen xi P(X = xi)

1

2

3

4

0,1

0,3

0,2

0,4

0

1

2

3

4

En stokastisk variabel er beskrevet ved ovenstående søjlediagram.

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne.

a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen.

?

Bestem nedenstående sandsynligheder

b. Bestem P(X ? 2).

b. P(X = 1) c. P(X ≤ 2)

?

Opgave 504

d. Sandsynligheden for at få enten 2 eller 3.

?

0,3 0,2 0,1

e. P(X ? 2) f. Sandsynligheden for ikke at få 4.

–5 –4 –3 –2 –1

Opgav 502

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

En stokastisk variabel X har sandsynligheds-

En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstå-

fordelingen

ende søjlediagram. a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen.

xi

–10

–5

0

5

10

15

P(X = xi)

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,5

?

b. Bestem P(X ≤ 3)

Opgave 505

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne.

En 12-sidet terning kastes, og X betegner øjeantallet.

Bestem nedenstående sandsynligheder

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.

b. P(X = –5)

b. Bestem P(X = 2).

c. P(X ? 0)

? ? ?

e. P(X ? 7)

?

f. P(X ? 10)

d. P(X ? 0)

c. Bestem P(X = 10) + P(X = 11).

? d. Bestem P(X ? 8). e. H vad er sandsynligheden for, at øjeantallet er et tal i 3-tabellen? f. Bestem sandsynligheden for ikke at få 12 øjne?

76

5. Binomialfordelingen


Opgave 506

Opgave 510

En stokastisk variabel X har sandsynlighedsfordelingen xi

P(X = xi)

5

7

10

0,1

0,4

0,5

a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem variansen af X.

c. Bestem spredningen af X.

En idrætsforening vil udstede lodsedler for at tjene penge til en lejrtur. 2% af lodderne giver en

Opgave 507

gevinst på 100 kroner. 10% giver en gevinst på

En stokastisk variabel X har sandsynligheds-

10 kroner. Resten af lodderne giver ingen gevinst.

fordelingen

Gevinsten ved et lod kan betragtes som en stoka-

xi

100

200

300

400

P(X = xi)

0,5

0,4

0,05

0,05

stisk variabel X. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen. b. Beregn middelværdien af X, og giv en fortolkning af tallet.

a. Bestem middelværdien af X.

De sælger lodderne for 20 kroner stykket.

b. Bestem variansen af X.

c. Bestem hvor mange lodder, de skal sælge for at

c. Bestem spredningen af X.

Opgave 508

tjene 10000 kroner?

Opgave 511

I et bestemt spil kastes en 6-sidet terning. Hvis terningen lander på en 1’er, 2’er eller 3’er, skal

0,8

man betale 50 kroner. Hvis terningen lander på 4,

0,7

får man 10 kroner, lander den på 5, får man 50 kro-

0,6

ner, og lander den på 6, får man 100 kroner. a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen.

0,5

b. Bestem den gennemsnitlige gevinst, man kan

0,4

forvente at få i dette spil.

0,3

c. Bestem varians og spredning for spillet.

0,2 0,1

Opgave 509 Du kaster med en almindelig 6-sidet terning. a. Bestem middelværdien af øjeantallet. b. Bestem spredningen af øjeantallet.

–2

–1

1

2

3

4

5

6

En stokastisk variabel X er beskrevet ved ovenstående søjlediagram. a. Bestem middelværdien af X. b. Bestem spredningen af X.

5. Binomialfordelingen

77


Opgaver – 5. Binomialfordelingen

Opgave 512

Opgave 516

En mønt flippes, og den stokastiske variabel X

10% af verdens befolkning er venstrehåndede. Vi

får værdien 10, hvis det bliver plat, og 1, hvis det

udtager en stikprøve på 1000 personer. X betegner

bliver krone.

antallet af venstrehåndede i stikprøven.

a. Bestem middelværdien.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem

b. Bestem spredningen.

antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren.

Opgave 513 En mønt flippes 10 gange. Lad X betegne antal gange, vi får plat. a. G ør rede for, at X er en binomialfordelt stokastisk variabel.

b. Bestem sandsynligheden for, at der er mindst 110 venstrehåndede i stikprøven. c. Bestem sandsynligheden for, at der er højst 70 venstrehåndede i stikprøven. d. Bestem middelværdien af X.

b. Bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p.

? ?

Opgave 517

c. Bestem P(X = 5).

Bestem sandsynligheden for at

d. Bestem P(X ? 4)

a. få en sekser ved et kast med en terning.

e. Bestem P(X ? 7)

b. få plat ved et flip med en mønt.

f. Bestem sandsynligheden for at få plat alle 10

c. få gevinst i et lotteri, hvor du trækker først, og

gange.

der er 5 lodder med gevinst og 1000 lodder i alt. d. trække en rødhåret elev med bind for øjnene i

Opgave 514

en klasse med 4 rødhårede, 6 lyshårede og 10

En stokastisk variabel X er binomialfordelt med

mørkhårede.

1

X ∼ b(5, 3 ).

a. Bestem P(X = 2)

Opgave 518

b. Bestem P(X ? 3)

Afgør om følgende er binomialeksperimenter

c. Tegn et søjlediagram over sandsynlighederne

a. K ast 4 gange med to terninger; vi registrerer

for udfaldene. d. Bestem middelværdien af X. e. Bestem spredningen af X.

summen af øjnene. b. Flip 5 gange med en mønt; vi registrerer antal Plat. c. Drej 6 gange på et lykkehjul, hvor man enten får

Opgave 515 En firesidet terning kastes 20 gange. Den stokasti-

gevinst eller nitte. d. Kast en 8-sidet terning, og registrer antal 5’ere.

ske variabel X betegner antal ettere. a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem

Der kastes 3 gange med en skæv mønt, der viser

teren.

plat (P) 40% af gangene og krone (K) 60% af gan-

b. Bestem sandsynligheden for at få præcis 5 ettere. c. Bestem sandsynligheden for at få mindst 1 5 ettere. d. Bestem E(X).

78

Opgave 519

antalsparameteren og sandsynlighedsparame-

5. Binomialfordelingen

gene. a. Skriv udfaldsrummet op. b. Brug kombinatorik til at bestemme det samlede antal udfald, og kontroller, at du har alle med i spørgsmål a.


c. Bestem sandsynligheden for at få PPP.

Opgave 524

d. Bestem sandsynligheden for at få KKK.

Ved import af en bestemt type eksotisk frugt

e. H vor mange udfald er der i hændelsen

må man påregne et ret stort spild, da mange af

”to P og en K”.

frugterne er blevet stødt, har fået kulde eller er angrebet af skadedyr undervejs. En tommelfingerre-

Opgave 520

gel siger, at 15% af frugterne må sælges på tilbud.

En terning kastes fire gange. Vi vil holde øje med

Ud af et nyt parti med et meget stort antal frugter,

antallet af 2’ere.

flere millioner, udtager importøren en stikprøve på

a. Gør rede for, at det er et binomialeksperiment.

10 frugter.

b. Bestem basissandsynligheden P.

a. Gør rede for, at det er rimeligt at bruge en bino-

c. Bestem P(fire 2’ere). d. Bestem sandsynligheden for ikke at få en 2’er i et kast.

mialmodel for denne stikprøveudtagning. b. Bestem sandsynligheden for, at der er 2 defekte varer i stikprøven.

e. Bestem P(fire ”ikke 2’ere”).

Opgave 525 Opgave 521

44% af danskere har blodtype A, og 10% har blod-

På en restaurant kan man vælge imellem 3 forret-

type B.

ter og 5 hovedretter.

Et eksperiment går ud på at bestemme blodtypen

a. Hvor mange menuer kan man sammensætte, hvis

på 10 mennesker. Vi indfører en stokastisk variabel,

man både skal have en forret og en hovedret.

der tæller antal med blodtype B. a. Bestem sandsynligheden for basishændelsen i

Opgave 522 Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af

eksperimentet. b. Bestem sandsynligheden for, at der blandt 10 adspurgte er netop 2 med blodtype B?

2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt). Bestem, hvor mange forskellige nummerplader

Opgave 526

man kan lave, hvis nummerpladen skulle bestå af

Vi betragter et eksperiment, hvor der kastes med

2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt)

to 6-sidede terninger. Vi indfører en stokastisk

og 2 cifre (mellem 0 og 9).

variabel X = summen af antal øjne i et kast med to terninger.

Opgave 523

a. Bestem de værdier, som X kan antage.

Blandt fem personer A, B, C, D og E skal vælges

b. Bestem sandsynligheden P(X = 2).

2 personer.

c. Bestem sandsynligheden P(X = 3).

a. Skriv alle mulighederne op. b. Bestem antal måder ved brug af CAS-kommandoen nCr(n,r).

Opgave 527 En stokastisk variabel X er binomialfordelt med 1

X ∼ b(10, 3 ). Bestem nedenstående sandsynligheder ved hjælp af formlen for binomialsandsynligheder. a. P(X = 1) b. P(X = 3)

5. Binomialfordelingen

79


Træningssider 5

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødderanan, n an a

a

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

(

)

Eksempel: 2 ⋅ 9 + 3 − 2 = (2 ⋅ 3 + 3) − 2 = (6 + 3) − 2 = 92 − 2 = 81 − 2 = 79 2

2

2

Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempel:

1. Udregn

2. U  dregn

5+3 8 = = 4 og 2 2

3. U  dregn 2

a. 6 + 3 · 9

a. (5 + 3)

b. (4 + 2) · (3 – 1)

2 2 b. (3 – 5) – 10 · 2

c. 11 – 3 · (5 + 2 · 10)

c. 2 · 92 – 5 · 4

a.

(

b.

)

2 + 7 −1

4. U  dregn

2

(

c. 3 4 2 + 32 − 3 ⋅ 5

5. Løs følgende ligninger "i hånden"

6. Løs følgende ligninger "i hånden"

4 ⋅ 20 − 12 2⋅2 4 ⋅ (5 − 4) b. 16 + 2 2 −13 + 7

a.

22 + 12 − 4 + 52

Ligninger

12 − 3 = 9 = 3 .

)

c.

2+2

2

7. Løs følgende andengradslignin-

a. 5x + 12 = 32

a. 2 · (x + 6) = 4

ger med determinantmetoden

b. 2x – 25 = 8

b. 25 = 5(x + 7)

2 a. x + 8x + 16 = 0

c. 5x + 8 = 3x – 2

c. 3(x + 4) = –3x – 6

b. 3x2 – 3x – 6 = 0

d. 2x + 4 = –3x + 29

d. 4(x – 4) + x = 9

2 c. x + 6x + 5 = 0 2 d. x + 8x – 20 = 0

Tjek af løsning  i vil undersøge, om x = 2 er løsning til tredjegradsligningen x3 + 9x2 + 2x – 48 = 0. Eksempel: V Det gør vi ved indsættelse: 23 + 9 ⋅ 22 + 2 ⋅ 2 − 48 = 8 + 9 ⋅ 4 + 4 − 48 = 8 + 36 + 4 − 48 = 0. Vi har vist, at x = 2 er en løsning. Hvad med x = 1: 13 + 9 ⋅ 12 + 2 ⋅ 1 − 48 = 1 + 9 + 2 − 48 = 36 ≠ 0 Vi har vist, at x = 1 ikke er en løsning.

8. Tjek ved indsættelse, hvilke

9. T jek ved indsættelse, hvilke 10. Løs nedenstående ligninger med

af nedenstående tal der er løsninger til ligningen

af nedenstående tal der er løsninger til ligningen

CAS. Vær sikker på, at du får alle løsninger med.

x3 + 9x2 + 6x – 16 = 0

x4 + 4x3 – 7x2 –10x = 0

a. 2x3 + 8x2 – 14x – 20 = 0

a. x = 0

a. x = 0

b. x4 + 11x3 + 14x2 –80x = 0

b. x = 1

b. x = 1

5 4 3 2 c. x + 24x + 171x + 284x – 480x = 0

c. x = 2

c. x = 2

5 4 3 2 d. x – 5x + 10x – 10x + 15x – 1 = 0

d. x = –2

d. x = –2

Reduktion Husk, at du ikke må sammenblande variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 2 3a – b + 2a kan ikke reduceres.

Parenteser: a  (b + c) = ab + ac (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq

80

5. Binomialfordelingen


11. Reducer udtrykket

12. Reducer udtrykket

a. 3ab – 6ab + b2 2

13. R educer udtrykket

a. 3(3p –q) – p(5 + p) – p2

2

2

b. a – 5b + 11a + b c. a + 7b + 6a + 4ab 2

2

b. 2p – 3q + 4pq – 2q(p + q)

b. (x + y)(x + 3y) – 5xy + 2x2

c. p(q + 2p) – q(q + 2p)

c. x2 + 5xy – (x + 3)(y – x)

2

d. –2 + 3b – a + 8 –2a + 7a

a. (x + 5)(x + 2)

2

2

d. (x + y)(x – y) + 8x2 + y2

d. 2(2 + p ) – 6p + p(3p – 2q)

Kvadratsætninger (a + b)2 = a2 + a2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab (a + b)(a – b) = a2 – b2

14. Brug en kvadratsætning 15. Brug en kvadratsætning 16. B rug en kvadratsætning 17. R educer følgende til at fjerne parentesen eller parenteserne.

til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.

2

2

a. (x + 4)

2

2

a. (p + q) b. (p – q)

til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.

b. (a + b)2 – 2ab

2

c. (x – 2y)2 – 2xy

b. (2p – q)

2

a. (p + q)2 – q2

2

a. (a + 4b)

b. (t – 2)

udtryk mest muligt

2

c. (p + q) · (p – q)

c. (5 – p)

c. (2x – 3y)

d. (p – q) · (p + q)

d. (k – 3) · (k + 3)

d. (2x – p) · (2x + p)

d. (2p + q)2 – 2p2 + pq

Lineære funktioner Funktioner med forskrift af typen f(x) = ax + b kaldes lineære funktioner. Grafen for en lineær funktion er en ret linje med hældningskoefficient a, som skærer y-aksen i punktet (0,b).

18. Angiv hældningskoefficient og koordinaterne til grafens skæringspunkt med y-aksen for følgende lineære funktioner. a. f1(x) = 2x – 3

b. f2(x) = –4x – 1

c. f3(x) = –5x + 11

d. f4(x) = 9 + 3x

19. Beregn hældningskoefficienten for følgende fire forskellige lineære funktioner. Hældningskoefficienten er et heltal eller en brøk. a. Grafen for g1(x) går gennem punkterne (1,5) og (7,11). b. Grafen for g2(x) går gennem punkterne (–3,4) og (15,9). c. Grafen for g3(x) går gennem punkterne (2,–5) og (–3,8). d. Om g4 ved vi, at g4(x) = ax + 4 og at grafen går gennem punktet (5,-1).

20. Tegn i hånden, graferne for følgende fire lineære funktioner a. f1(x) = 2x + 3

b. f2(x) = –x + 10

c. f3(x) = – 1 x + 4 3

d. f4(x) = 9 – 3x

21. Graferne for 3 forskellige lineære funktioner går gennem punkterne som angivet nedenfor. Bestem en regneforskrift for hver af funktionerne. Koefficienterne a og b er heltal. a. Grafen for h1(x) går gennem punkterne (1,–1) og (5,7). b. Grafen for h2(x) går gennem punkterne (3,7) og (5,11). c. Grafen for h3(x) går gennem punkterne (–4,–8) og (0,–4).

22. Indfør passende variable og opstil en model der beskriver situationen. a. En tur med cykeltaxa koster 25 kroner i startgebyr, og derefter 60 kroner pr 10 minutter. b. En sportsklub har 1000 medlemmer i år 1990. Årene efter voksede antallet af medlemmer med 35 om året. c. I et land koster strømmen 2 kr. pr. kWh, og 1000 kr. i fast årlig afgift.

5. Binomialfordelingen

81


6. Binomialtest 6.1 Er mønten ærlig? 1 Introduktion En bestemt mønt testes for, om den er ærlig. Der laves en stikprøve, hvor mønten flippes 100 gange. Mønten lander på plat 38 gange. Er der grund til mistanke? For at finde ud af det, vil vi indføre en hypotese (en formodning) om, at mønten er ærlig.

2 Den stokastiske variabel X, der betegner antal plat er binomialfordelt Vi indfører en stokastisk variabel X, der tæller antal plat i ovenstående eksempel. Hvis mønten er ærlig, vil X være binomialfordelt X  b 100 , 21 , fordi: • der er 100 uafhængige gentagelser af et basiseksperiment • med2 udfald, succes og fiasko • og der er samme sandsynlighed for succes p = 0,08

0,06

I søjlediagrammet vises sandsynlighedsfordelingen for X.



0,04

1 i hver gentagelse. 2

X kan antage værdier fra 0 til 100, men vi ser, at der er meget stor sandsynlighed for, at X vil ligge mellem 40

0,02

og 60. 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3 Bestemmelse af P(X ≤ r) Vi skal nu se nærmere på, hvordan man bestemmer sandsynligheden for, at X ligger under en bestemt værdi, eksempelvis 44: P(X ≤ 43) = P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 43). Vi har altså:

P(X ≤ 43) = binomCdf(100,0.5,43) = 0,0967 = 9,67 %

For en binomialfordelt stokastisk variabel 4 Udfaldenes tilfældige variationer og signifikante afvigelser I søjlediagrammet ses det, at de mest sandsynlige udfald af X ligger X ∼ b(n,p) er middelværdien bestemt ved E(X) = µ = n · p

tæt på 50, som er den forventede værdi E(X), som også kaldes middelværdien µ:

E(X) = µ = 100 · 0,5 = 50.

82

6. Binomialtest


Vi sætter nu grænsen mellem tilfældig afvigelse og signifikant afvigelse til 5 %. Det betyder i praksis, at vi kun betragter de ”midterste” 95 % som tilfældig afvigelse og dermed acceptable værdier, hvis hypotesen er sand.

En signifikant afvigelse er en af-

De værdier af X, der ligger i det ovennævnte 5 %-interval, kaldes de kritiske

vigelse der er for stor til at vi vur-

værdier. Vi vil nu bestemme disse i vores 100 kast-stikprøve.

derer den skyldes tilfældigheder.

5 Bestemmelse af de kritiske værdier De kritiske værdier findes ved at indkredse de 2,5 % yderste udfald (værdier af X) på hver side af søjlediagrammet. I venstre side prøver vi os frem og finder

P(X ≤ 39) = binomCdf(100,0.5,39) = 0,0176 P(X ≤ 40) = binomCdf(100,0.5,40) = 0,0284

Vi vælger den første, hvor X ≤ 39, da vi ellers kommer over 2,5 %. I højre side prøver vi os frem, og ser:

Den kritiske mængde er tallene

P(X ≥ 60) = 1 – P(X ≤ 59) = 1 – binomCdf(100,0.5,59) = 0,0284

0, 1, 2, 3, 4, … , 38, 39

P(X ≥ 61) = 1 – P(X ≤ 60) = 1 – binomCdf(100,0.5,60) = 0,0176

samt

Her vælger vi den sidste, hvor X ≥ 61, da vi ellers kommer over 2,5 %.

61, 62, 63, … , 99, 100.

Mønten, der blev testet, landede på plat 38 gange. Dette tal ligger i den kritiske mængde, og vi forkaster derfor hypotesen om, at mønten var ærlig.

6 Øvelse Spillerne afprøver en ny mønt, denne gang med en stikprøve på 50 kast. Igen er hypotesen, at mønten er ærlig. Denne mønt landede på plat 29 gange. a. Bestem den kritiske mængde, K. Grænsen for, hvornår afvigelsen er signifikant, sættes til 5 %. b. Undersøg, om denne værdi af X er i den kritiske mængde, K. c. Gør rede for, om hypotesen at mønten er ærlig, skal forkastes eller ej.

7 Øvelse I et bestemt lotteri blev der opstillet en hypotese om, at der var 20 % chance for gevinst. Der blev udtrukket 100 lodder, og det viste sig, at der var gevinst på 14 af dem. a. Gør rede for, at den stokastiske variabel X, der betegner antal gevinster, er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Undersøg, om den oplyste værdi af X er i den kritiske mængde K. Grænsen for, hvornår afvigelsen er signifikant, sættes til 5 %. c. Gør rede for, om hypotesen at der er 20 % chance for gevinst, skal forkastes eller ej.

6. Binomialtest

83


6.2 Binomialtest 8 Introduktion En slikfabrikant har indstillet produktionsapparatet, så andelen af gule pastiller er 20 %. Hun vil undersøge, om dette overholdes.  Hendes hypotese er, at andelen af gule pastiller er 20 % af de mange millioner producerede pastiller.  Hun vil teste sin hypotese ved at udtage en tilfældig stikprøve med 300 pastiller. Hun finder 71 gule i stikprøven. Skal hun forkaste sin hypotese eller ej?

9 Binomialtestens setup  Grundlaget for en binomialtest er en hypotese, der kaldes nulhypotesen, En population er den mængde, som betegnes H0 , om at en vis procentdel af en population har en bestemt man undersøger (en befolkningsgruppe, en samling skruer, insekter

egenskab.

eller et uendeligt antal kast med en

Der udtages så en stikprøve fra populationen, og man undersøger, hvor

terning).

stor procentdelen er i stikprøven. Hvis hypotesen er sand, vil man i stikprøven forvente en procentdel nær procentdelen fra nulhypotesen.

10 Eksempel Man kan altså ikke skrive ”H0: der er cirka 20 % gule pastiller” eller ”der er flere end 20 % gule pastiller”, for det er ikke klart, hvad der menes med ”cirka 20 %” eller ”flere end 20 %”. I stedet skriver vi H0: Andelen af gule pastiller er 20 %. Den alternative hypotese H1 er dermed: H1: Andelen af gule pastiller er ikke 20 %.

11 Signifikansniveau Signifikansniveauet er risikoen for at komme til at forkaste en H0 , som faktisk var rigtig. Signifikansniveauet vælges normalt til 5 % eller 1 %.

12 Eksempel Man kan ikke bare sætte signifikansniveauet ned til 0% for at undgå fejl. Årsagen er, at man nu ikke forkaster nogen som helst udfald, idet man under ingen omstændigheder må forkaste en sand H0. Og derved giver testen slet ikke mening. Se mere om denne problemstilling i næste afsnit.

13 Binomialtest af slikmaskinens indstilling Populationen er de mange millioner pastiller. Stikprøven på 300 pastiller er udtaget, så den repræsenterer hele produktionsmængden. Vi sætter signifikansniveauet til

84

6. Binomialtest


5 %. Den stokastiske variabel X, der betegner antal gule pastiller i stikprøven,

En stikprøve skal udtages så den

vil være binomialfordelt X ∼ b(300,0.2), fordi

repræsenterer populationen bedst

• der er 300 uafhængige gentagelser af et basiseksperiment, med

muligt. Se mere om dette i næste

• 2 udfald gul og ikke gul, og der er

afsnit.

• samme sandsynlighed for gul p = 0,2 i hver gentagelse.

Sandsynlighedsfordelingen for X ses herunder. 0,06 0,04 0,02 10

20

30

40 50

60

70

80

90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 19 200 210 220 230 240 250 26 270 280 290 300

Vi vil beregne den kritiske mængde givet signifikansniveauet på 5 %. Da maskinen hverken må lave for mange eller for få gule pastiller, deles de 5 % i 2,5 % i hver hale af sandsynlighedsfordelingen. I venstre side prøver vi os frem, og finder

P(X ≤ 46) = binomCdf(300,0.2,46) = 0,0230

P(X ≤ 47) = binomCdf(300,0.2,47) = 0,0328

Vi vælger den første, hvor X ≤ 46, da vi ellers kommer over 2,5 %. I højre side prøver vi os også frem og udregner:

P(X ≥ 74) = 1 – P(X ≤ 73) = 1 – binomCdf(300,0.2,73) = 0,0279

P(X ≥ 75) = 1 – P(X ≤ 74) = 1 – binomCdf(300,0.2,74) = 0,0202

Her vælger vi den sidste, hvor X ≥ 75, da vi ellers kommer over 2,5 %. Den kritiske mængde K er tallene {0, 1, … , 46} og {75, 76, … , 300}. Da der blev fundet 71 gule, forkastes H0 derfor ikke under det givne signifikansniveau. Maskinen fungerer altså, som den skal.

I hypotesetest bruger vi vendingerne forkaste og ikke forkaste, i stedet for forkaste og acceptere. Statisti-

14 Øvelse

kere er påpasselige med ikke at sige

a. Brug et regneark til at opstille en tabel med 2 søjler og 300 rækker,

for meget.

hvor søjle A er de værdier, som X kan antage, når X ∼ b(300,0.2) og søjle B er de kumulerede sandynligheder beregnet med en formel af typen binomcdf(n,p,r). b. Eftervis, at værdierne i den kritiske mængde er korrekte.

15 Øvelse Antag nu, at vi har samme H0 som i eksemplet, men at der kun blev taget 200 pastiller i stikprøven, og at 37 af dem var gule. a. Bestem de værdier, der ligger i den kritiske mængde, givet et 5 % signifikansniveau. b. Konkluder, hvad binomialtesten viser i dette tilfælde om H0.

6. Binomialtest

85


6.3 Enkeltsidet test, bias og konfundering 16 Introduktion Ifølge en artikel i dagbladet Politiken dropper flere end 25 % at spise kød en dag eller flere dage om ugen. For at undersøge påstanden har nogle elever lavet en undersøgelse blandt 50 tilfældigt udvalgte personer. Her fandt man, at 9 personer i stikprøven havde mindst en kødfri dag om ugen.

Vi vil undersøge, om vi på et 5 % signifikansniveau kan forkaste:

H0: Flere end 25 % har én eller flere kødfri dage om ugen.

0,14

 X betegner antallet, der har mindst en kødfri dag, og vi har nu, at X ∼ b(50,0.25). I søjlediagrammet ses sandsyn-

0,12 0,1 0,08

lighedsfordelingen for X. Den kritiske mængde under det

0,06

givne signifikansniveau ligger nu kun til venstre, fordi

0,04

ethvert tal til højre bare bekræfter vores hypotese.

0,02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13141516171819 20212223242526272829

Enkeltsidet eller dobbeltsidet test? dobbeltsidet test ved afvigelse fra

Vi søger altså efter 5 %-grænsen i venstre hale og finder at: P(X ≤ 7) = binomCdf(50,0.25,7) = 0,0453 P(X ≤ 8) = binomCdf(500,0.25,8) = 0,0916,

en bestemt procentdel.

Vi vælger derfor den kritiske mængde således: K = {0,1, . . . , 7}. Da vi fandt, venstresidet test ved ”mere end” at X = 9 i stikprøven, kan vi ikke forkaste hypotesen om, at flere end 25 % end en bestemt procentdel. har en eller flere kødfrie dage om ugen. højresidet test ved ”mindre end” end en bestemt procentdel.

17 p-værdi Sandsynligheden for at få en observation, der er mindst lige så kritisk for nulhypotesen som det observerede X, kaldes p-værdien. Med et 5 % signifikansniveau kan vi forkaste H0 , hvis p-værdien er mindre end 5 %.

18 Eksempel

I eksemplet ovenfor er p-værdien

p = P(X ≤ 9) = binomCdf(50,0.25,9) = 0,1639 = 16,39 %.

Vi når altså samme konklusion: Vi kan ikke forkaste nulhypotesen.

I en statistisk test er det vigtigt, at stikprøven udtages, så den repræsenterer populationens forskellighed (alder, køn, familiesituation, beskæftigelsessituation, boligsituation, landsdel osv.). Endvidere skal man være påpasselig med ikke at fejltolke, når der konkluderes.

86

6. Binomialtest


19 Bias og konfundering Bias kaldes også en systematisk fejl og er en fejl i indsamlingen af data, der gør, at stikprøven ikke er repræsentativ for populationen. Konfundering kaldes også skjult variabel og betegner en tredje variabel, som i virkeligheden forklarer en sammenhæng mellem to andre variable.

20 Eksempel Hvis vi kun bruger sociale medier i dataindsamlingen til en undersøgelse af hele befolkningen, så får vi ingen information om dem, der ikke har en konto på sociale medier. Vi har dermed begået en systematisk fejl. Hvis vi konkluderer, at det er sundt for øjnene at spille computerspil, fordi der er færre gamere, der bruger læsebriller end i resten af befolkningen, har vi begået en konfunderingsfejl, fordi den forklarende skjulte variabel er, at der er flere yngre personer blandt gamere end i resten af befolkningen.

21 Signifikansniveau og fejltyper Når vi konkluderer på en statistisk test, er der risiko for to typer fejl. Det er der også, når en dom afsiges ved en domstol. Vi kan forkaste noget sandt, eller vi kan undlade at forkaste noget falsk.

Forkastes ikke (frikendes) Forkastes (dømmes)

Sand (uskyldig)

Falsk (skyldig)

Korrekt

Fejl (type 2)

Fejl (type 1)

Korrekt

Signifikansniveauet er risikoen for at komme til at forkaste en H0 , som faktisk var rigtig. Som tidligere nævnt, kan vi ikke blot sætte det til 0 % for at undgå at forkaste noget, der er rigtigt. Problemet er nemlig, at så er der ingen kritisk mængde, og så skal vi acceptere alt – også det, som er forkert!

22 Øvelse En casinoejer har mistanke om, at en bestemt spiller har medbragt en snydeterning. Spilleren får for mange 6’ere. Ud af 30 kast har spilleren slået 9 6’ere. Nulhypotesen er, at terningen er ærlig, så hvis nulhypotesen kan forkastes, har casinoejeren vist, at spilleren snyder. a. X  betegner antal 6’ere. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. b. Gør rede for, at der skal bruges højresidet test. c. Bestem den kritiske mængde, når signifikansniveauet sættes til 5 %. d. Konkluder på testen ud fra den kritiske mængde. e. Bestem p-værdien, og konkluder på testen ud fra p-værdien.

6. Binomialtest

87


Opgaver – 6. Binomialtest

S can QR-koden for at

Hjulet spinnes 45 gange, og det noteres, hvor

komme til facitlisten.

mange gange det lander på A. a. Gør rede for, at antal gange, hjulet lander på

Opgave 601

A, er en binomialfordelt stokastisk variabel, og

En stokastisk variabel X er normalfordelt med

angiv antalsparameteren n og sandsynligheds-

antalsparameter n = 100 og sandsynlighedsparameter p = 0,2. a. Bestem den forventede værdi E(x). b. B  estem sandsynligheden for at få udfaldet X = 25.

parameteren p. b. Bestem, under antagelse af at firmaet har ret, middelværdien af X. c. Bestem den kritiske mængde, når signifikansniveauet sættes til 5%.

c. Bestem P(X ≤ 15). d. B  estem den kritiske mængde for X ved at finde de 2,5% yderste udfald i begge sider.

En bestemt deltager spinner hjulet 45 gange og vinder 10 af gangene. d. Gør rede for, om hypotesen ”hjulet giver gevinst

Opgave 602

30% af gangene”, skal forkastes eller ej.

En stokastisk variabel X er normalfordelt med antalsparameter n = 75 og sandsynligheds-

Opgave 605

parameter p = 0,9.

Et spillefirma sælger lodsedler og påstår, at der er

a. Bestem den forventede værdi E(x).

gevinst på mindst hvert 4. lod.

b. B  estem den kritiske mængde for X ved at finde

En spiller køber 20 lodsedler.

de 2,5% yderste udfald i begge sider.

a. Gør rede for, at antallet af vinderlodsedler ud af de købte 20 er en binomialfordelt stokastisk

Opgave 603

variabel X.

En gruppe fodboldspillere vil teste, om en mønt er ærlig. De flipper mønten 200 gange og får plat 115

Ud af de 20 lodsedler viser det sig, at der er ge-

gange. Deres hypotese er, at mønten ér ærlig.

vinst på 2. Spilleren vil gerne undersøge, om det

a. G  ør rede for, at antal plat er en binomialfordelt

passer med, at firmaet påstår, der er gevinst på

stokastisk variabel X. b. B  estem, under antagelse af at mønten er ærlig, middelværdien af X. c. Bestem den kritiske mængde, når signifikansniveauet sættes til 5 %. d. G  ør rede for, om hypotesen, at mønten er ærlig, skal forkastes eller ej.

mindst hvert 4. lod. b. Opstil en nulhypotese, der undersøger påstanden. c. Gør rede for, at der skal anvendes en venstresidet test for at teste nulhypotesen. d. Bestem den kritiske mængde for X, når signifikansniveauet sættes til 5%. e. Bestem p-værdien for udfaldet X = 2. f. Kan vi forkaste nulhypotesen?

Opgave 604

88

Et spillefirma bruger et lykkehjul til at afgøre, om

Opgave 606

en spiller vinder eller ej. Hjulet har to felter, som

Ifølge en artikel i dagbladet Politiken tror mere

kaldes A og B. Hvis hjulet lander på A, vinder man,

end hver 10. på engle. Nogle gymnasieelever

hvis det lander på B, taber man.

beslutter sig for at teste påstanden ved at udføre

Firmaet påstår, at der er 30 % chance for at vinde.

en spørgeskemaundersøgelse. De spørger 185

6. Binomialtest


tilfældigt udvalgte personer, og ud af dem svarer

Opgave 608

15, at de tror på engle.

En gruppe elever ønsker at undersøge nulhypote-

a. Opstil en nulhypotese, og afgør, om der skal

sen ”10% af verdens befolkning er venstrehåndede”.

bruges en dobbeltsidet, venstresidet eller højre-

Der undersøges en stikprøve på 179 personer. Det

sidet test.

antages, at antallet af venstrehåndede i stikprøven

b. Bestem p-værdien, og afgør, om nulhypotesen

er en binomialfordelt stokastisk variabel med antals-

kan forkastes, når signifikansniveauet sættes

parameter 179 og sandsynlighedsparameter 0,1.

til 5%.

a. Afgør, om der skal bruges en dobbeltsidet, venstresidet eller højresidet test.

Opgave 607

Det viser sig, at der er 20 venstrehåndede i stikprøven. b. Undersøg, om man på 5% signifikansniveau, kan forkaste nulhypotesen.

Et dagblad har overskriften ”Færre end 20 % bruger cykelhjelm i Københavns morgentrafik”. Vi ønsker at undersøge påstanden. Vi stiller os ud på en befærdet vej i København en onsdag morgen og tæller cyklister. Vi undersøger i alt 538 cyklister. a. Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at tjekke påstanden. b. Gør rede for følgende påstand: Hvis nulhypotesen er sand, kan antallet af cyklister med cykelhjelm ud af de 538 opfattes som en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n = 538 og sandsynlighedsparameter p = 0,2. c. Afgør, om der skal bruges en dobbeltsidet, venstresidet eller højresidet test. Ud af 538 cyklister brugte 130 cykelhjelm. d. Undersøg, om man på 5 % signifikansniveau kan forkaste nulhypotesen.

6. Binomialtest

89


Træningssider 6

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Reduktion Reducer nedenstående udtryk så meget som muligt.

1. a. 5(2 + 3x) – 10x

2. a. (a + 2b)(b – 3)

b. x2 + 5x – (2x2 – 3x) + 12 2

2

c. (3x – 4x ) · 3 – (8x + x + 1)

3. a . (a + b)2 – 2ab

b. (1 + a)(3a – 5) – a2

b. (2p – q)2 + q2 – 5p2

c. 7b + (2a – b)(4b – a)

c. 3q – (p – q)2

Procentregning Eksempel: Vi ønsker at bestemme 20% af 500. Da 20% svarer til 0,2 har vi 0,2 · 500 = 100 . Eksempel: Vi ønsker at lægge 20% til 800. Vi bruger fremskrivningsfaktoren 1 + 0,20 = 1,20. Vi multiplicerer de 800 med fremskrivningsfaktoren og får 800 · 1,20 = 960. Vi ønsker at trække 15 % fra 800. Vi bruger fremskrivningsfaktoren 1 – 0,15 = 0,85. 800 · 0,85 = 680.

4.  Beregn "i hånden". Hvad er

5. Beregn "i hånden". Hvad får man, 6. Beregn ”i hånden”. Hvad får man,

a. 10% af 100?

når man

når man

b. 20% af 700?

a. lægger 10% til 500?

a. trækker 10% fra 100?

c. 25% af 500?

b. lægger 20% til 1000?

b. trækker 10% fra 1200?

d. 7% af 200?

c. lægger 5% til én million?

c. trækker 30% fra 1200?

d. lægger 4% til 200?

d. trækker 9% fra 200?

7. Brug overslagsregning til at beregne et tilnærmet resultat. a. Et par bukser koster 490 kr. Hvad skal man ca. betale, hvis man får 30% i rabat? b. En computer koster 12900 kr. Hvad skal man ca. betale, hvis man får 10% i rabat? c. En telefon koster 3900 kr. Hvad skal man ca. betale, hvis man får 20% i rabat? d. En glasramme koster 124,95 kr. Hvad skal man ca. betale, hvis man får 10% i rabat?

Potenser og rødder Regler:  a0 = 1

ar · as = ar+s

1 (an)m = an · m ar = r a

ar r −s s =a a ar  a  r r =  b b

a−r =

1 ar

(a · b)r = ar · br

Udregn tallene nedenfor i “hånden”. Brug evt. multiplikationstabellen i formelsamlingen.

8. a. 43 b. 28 c. 5–1

90

9. a. 3 · 102 b. 4,7 · 105 c. 2 · 103 + 5 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100

6. Binomialtest

10. a . b. c.

81 3 7

1000 128

11. a . 22 · 26 b. 6100· 6–98 4

c. 500 3 500

1

3

12. a . 36 2

13. a . (22)

1

b. (4 · 3)2

b. 27 3 1 2

c. 16 · 16

1 2

1

5

c. ( 2 )


Brøker a c ⋅a = b c ⋅b

Forlænge med tallet c:

20 10 2 = = 30 30 3

Eksempel:

c

10

b a⋅b a = ⋅b Tal gange en brøk: a ⋅ = c c c

Produkt af to brøker:

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

Ved division med en brøk, ganges med det omvendte:

20

20

a

a c = b b

Forkorte med tallet c:

10 ⋅ 2

2

Eksempel: 3 = 10 ⋅ 3 = 30

a b c d

Eksempel: 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12 og 3 ⋅ 15 = 3 ⋅ 15 = 45 7 7 7 2 2 2

3 2 3⋅2 6 = ⋅ = 4 5 4 ⋅ 5 20

Eksempel:

2 3 7 4 6 5

Eksempel:

= a⋅d b c

7

Fællesnævner og sum af brøker: a c a⋅d c⋅b a⋅d + c⋅b + = + = b d b⋅d b⋅d b⋅d

=

5 2 4 2⋅4 8 , 3 = ⋅ = = 3 7 3 ⋅ 7 21 2

=

6 5 7 1

=

5 1 3 2

=

5 2 5 ⋅ 2 10 ⋅ = = 1 3 1⋅ 3 3

og

6 1 6 ⋅1 6 ⋅ = = 5 7 5 ⋅ 7 35

4 5 4 ⋅ 2 5 ⋅ 3 8 + 15 23 + = + = = 3 2 3⋅2 3⋅2 6 6

Eksempel:

Udregn og forkort mest muligt ved hjælp af brøkregnereglerne.

14. a.

4 2 ⋅ 5 5

7 3

15. a. 2

2 7

b. 3 ⋅ 4

b.

c. 9 ⋅ 8

c.

2 3

16. a .

6

17. a .

4 5

2

6

4 3

1 2 1 3

b. 28

b. 47

2 3 8 3

5 c. 10

c. 34

18. a.

8

7

1

1

b. 5 + 10

15

3

3 2 + 4 3

5

2

c. 4 − 3

Logaritmiske skalaer 19. a. Nedenfor er 10 punkter plottet i et

20. a. N  edenfor er 10 punkter plottet i et

enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Punktet markeret med rødt har

Punktet markeret med rødt har

koordinaterne (1,20). Angiv koordi-

koordinaterne (0,3 ; 40). Angiv koordi-

naterne til resten af punkterne.

naterne til resten af punkterne.

100

100

10

10

1

0,1

0

1

2

3

4

5

6

0,1

1

1

10

100

0,1

6. Binomialtest

91


7. Differentialregning 7.1 Tangenter og væksthastighed 1 Introduktion Vi skal nu starte på emnet differentialregning. Meget forenklet handler differentialregning om at bestemme tangenters hældning, så vi starter med en repetition af begreberne tangent og tangenthældning. Den moderne differentialregning blev grundlagt for mere end 300 år siden af blandt andet Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

2 Definition

En tangent er en ret linje, som rører grafen i et punkt, og som approksimerer grafen i nærheden af dette punkt. At tangenten approksimerer grafen i nærheden af punktet betyder, at man ikke kan se forskel på grafen og tangenten, hvis man zoomer tæt nok ind på grafen.

3 Eksempel De tre figurer nedenfor viser grafen for f(x) = 0,5x2 samt tangenten til grafen i punktet (1 ; 0,5). Ad to omgange har vi zoomet ind på tangentens røringspunkt. I figuren længst til højre er der zoomet så langt ind, at man ikke kan se forskel på tangenten og grafen for f. y 2

1

0,6

0,51

0,5

0,5 0,49

0,4 1

2

3

x

0,9

1

0,99

1,1

1

y

1,01

f

4 Notation

f ′(x0)

Betragt funktionen f. Tangentens hældning i punktet ( x0 ,f(x0)) kaldes differentialkvotienten og skrives ofte f ′(x0). f ′ læses som ”f-mærke”.

Nogle gange kan tangentens hældning aflæses manuelt.

gennem punkterne (x1 ,x2)

I margenen ses grafen for f(x) = x2 og tangenten i punktet

og (y1 ,y2) kan beregnes

(1,1). Vi kan aflæse, at punktet (4,7) ligger på tangenten. 7 −1 6 = = 2. Hældningen af tangenten er: a =

y −y som a = x 2 − x1 . 2 1

1 x0

4 −1

3

Når x = 1, er differentialkvotienten f ′(1) = 2.

7 6 5 4 3 2 1

7. Differentialregning

x

(4,7)

(1,1) 1

92

x0+1

y

5 Eksempel Hældningen af en ret linje

f(x0)

2

3

4

5

x


I matematiske modeller angiver tangentens hældning væksthastigheden. enhed på y -aksen

Enheden for væksthastigheden er enhed på x -aksen .

6 Eksempel

y

I et eksperiment kan antallet af bakterier i en petriskål beskrives med

1200

modellen f(x) = 320 · 1,073x, hvor x er antal minutter efter start, og f(x)

1000 800

er antal bakterier i skålen. Væksthastigheden efter 10 minutter kan findes som hældningen af tangenten til grafen for f i punktet ( 10,f(10)) . Denne hældning er 46. Enheden på x-aksen er minutter, og enheden

600

f

400 200

på y-aksen er antal bakterier. Væksthastigheden efter 10 minutter er

2

dermed 46 bakterier . minut

7 Eksempel Ikke alle grafer har tangenter i alle punkter. Grafen for f ( x ) =

3

( x − 2)2 + 1

har ingen tangent i punktet (2,1). Uanset hvor meget man zoomer ind på grafen omkring dette punkt, kom-

y

4

6

8 10 12 14 16

x

y

3

3 f

2

f

2

1

1

mer den aldrig til at ligne en ret linje, så man kan ikke indlægge en enty-

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

dig tangent. Se graferne.

8 Øvelse Funktionen med forskriften g(x) = –x3 + 5x har en tangent i punktet (1,4). Denne tangent har ligningen y = 2x + 2. a. Bestem tangentens hældning, når x = 1. b. Bestem g ′(1). c. Tegn i samme koordinatsystem grafen for g samt tangenten. Zoom ind på punktet (1, 4), og undersøg, om det er rigtigt, at tangenten approk-

y

simerer grafen for g i punktet.

5 4

9 Øvelse Grafen for funktionen f er vist i margenen. Tangenten i punktet (2,3) er også indtegnet. a. Angiv tangentens hældning. Angiv facit som en brøk.

f

2 1 1

10 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen med forskriften f ( x ) =

(2,3)

3

3

2

3

4

5

x

( x − 2)2 + 1 .

b. Zoom ind på punktet (2 ,1), og undersøg, om det virkelig kan passe, at grafen aldrig kommer til at ligne en ret linje, uanset hvor meget man zoomer ind.

7. Differentialregning

93


7.2 B  eregning af tangenthældninger (og væksthastigheder) 11 Introduktion En bjergklatrer taber sine nøgler fra et meget højt udhæng. Nøglernes fald kan med god tilnærmelse beskrives med modellen g(x) = 5x2, hvor x er tiden målt i sekunder, og g(x) er afstanden, som nøglerne er faldet, målt i meter. Kan vi mon beregne, hvor hurtigt nøglerne falder? Det svarer til at spørge: Kan vi beregne tangentens hældning for en bestemt værdi af x?

12 Sætning Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax2 i punktet ( x0 ,f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2ax0. Vi vil bevise sætningen i et senere afsnit. Først vil vi bruge den på nogle konkrete tilfælde.

13 Eksempel

y 4

Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = 3x2. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = –1. Dvs. tangenten i punktet ( –1,f(–1)) = (–1, 3).

f

Funktionen er af typen ax2, hvor a = 3. Dvs. at tangenthældningen kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2 · 3x0 = 6x0.

2

Med x0 = –1 indsat bliver det til f ′(–1) = 6 · (–1) = –6. –1

1

x

Se grafen og tangenten i margenen.

14 Eksempel Funktionen g(x) = 5x2 fra introduktionen er også en funktion af typen ax2. Hvis vi benytter sætningen, kan vi se, at tangenthældningerne kan beregnes med formlen

g ′(x0) = 2 · 5x0 = 10x0.

Vi vil beregne nøglernes hastighed efter 2 sekunder. Det svarer til, at x0 = 2. Tangentens hældning er g ′(2) = 10 · 2 = 20. Enheden for hældningen (dvs. væksthastigheden) er som bekendt

enhed på y -aksen enhed på x -aksen .

meter Nøglernes hastighed efter 2 sekunder er 20 sekund .

15 Eksempel Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = 0,1x2. Hvad skal x være for at tangenthældningen er 10? h er en funktion af typen ax2, hvor a = 0,1, og derved kan tangenthældningen beregnes med formlen 2 · 0,1x0. Det giver os ligningen 2 · 0,1x0 = 10.

94

7. Differentialregning


Den kan løses med omskrivningerne: 0,2x0 = 10

Mellemregningen 2 · 0,1 = 0,2

2x0 = 100

Der er ganget med 10 på begge sider

x0 = 50

Begge sider er divideret med 2.

Tangenthældningen er 10, når x er 50. Eller skrevet kort: h ′(50) = 10.

16 Eksempel Betragt igen de faldende nøgler fra introduktionen. Hvornår falder de med hastigmeter heden 30 sekund ?

Vi fandt tidligere ud af, at hastigheden (tangenthældningen) kunne beregnes som g ′(x0) = 10x0. Vi får altså ligningen 10x0 = 30, som har løsningen x0 = 3. Altså er g ′(3) = 30, og vi kan konkludere, at nøglerne falder med en hastighed på meter efter 3 sekunder. 30 sekund

I de 3 øvelser herunder skal du bruge sætning 12 til at beregne tangenthældninger (differentialkvotienter).

17 Øvelse En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 3x2. a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: f ′(1), f ′(15) og f ′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 36?

18 Øvelse En funktion h er givet ved forskriften h(x) = –2x2. a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for h, når x0 = 2, og når x0 = –2. b. Beregn følgende differentialkvotienter: h ′(1), h ′(15) og h ′(–2). c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 20?

19 Øvelse En funktion g er givet ved forskriften g(x) = 2x2.

x0

a. Udfyld tabellen.

g ′(x0)

b. Lav med et værktøjsprogram et punktplot over punk-

–3 –2 –1 0

1

2

3

–12

terne fra tabellen. Plot værdierne for x0 på den vandrette akse, og værdierne for g ′(x0) på den lodrette akse. Det første punkt skal altså være (–3 , –12). c. Udfør en lineær regression på punkterne. d. Sammenlign forskriften fra den lineære regression med formlen fra sætning 12. Hvad er sammenhængen?

7. Differentialregning

95


7.3 Afledet funktion 20 Introduktion Vi betragter igen eksperimentet med bakterievækst i en petriskål. Tabellen angiver væksthastigheden af bakterier i petriskålen.

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f ′(x0)

23

24

26

28

30

32

34

37

40

43 46

10

 x er antal minutter efter start, og f ′(x) er væksthastigheden angivet i bakterier pr. minut.

Væksthastigheden kan opfattes som en funktion!

21 Eksempel I sidste afsnit brugte vi, at hvis en funktion er af typen f(x) = ax2, så kan tangenthældningen f ′(x0) i punktet ( x0 ,f(x0)) beregnes som f ′(x0) = 2ax0. Det gælder for alle værdier af x0 , så vi kan opfatte reglen som en funktion, hvor funktionsværdierne netop er tangenthældningerne. Funktionen har så forskriften f ′(x) = 2ax. En sådan funktion kaldes en afledet funktion.

22 Sætning Den afledede funktion f ′af funktioner af typen f(x) = ax2 har forskriften f ′(x) = 2ax. y f

4

23 Eksempel Funktionen med forskriften f(x) = 0,5x2 har den afledede funktion f′ f ′(x) = 2 · 0,5x = x . Graferne for begge funktioner er her tegnet i samme

3 2

koordinatsystem. Grafen for f er grøn, og grafen for f ′er rød. Vi kan se, at det passer med, at f ′er negativ, når f er aftagende, og at f ′er positiv, når

1 –3

–2

–1

1

x

2

f er voksende.

–1 –2

I formelsamlingen er en tabel over funktioner og deres tilhørende afledede funktioner. Her er en lignende tabel.

96

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Funktion

f(x)

k

ax + b

ax2

ex

ax

xa

1 = x −1 x

Afledet funktion

f ′(x)

0

a

2ax

ex

ax · ln(a)

ax a –1

− 12 = − x −2

7. Differentialregning

x

9. 1

x = x2 1 = 1 x − 12 2⋅ x 2

ln(x) 1 = x −1 x


24 Eksempel Den afledede funktion til g(x) = x4 er g ′(x) = 4x4–1 = 4x3. Vi har brugt regel nr. 6, hvor eksponenten er a = 4. y

25 Eksempel

5

Den afledede funktion til h(x) = 3x – 4 er den konstante funktion h ′(x) = 3

4 3

ifølge regel 2.

h

2

Det er ikke overraskende, for h er jo en lineær funktion, så tangenten må

1

have samme hældning overalt, nemlig 3. –3

For lineære funktioner er tangenten sammenfaldende med grafen for

–2 –1 –1

funktionen (De ligger ”oven i hinanden”). Se margenen.

1

2

3

4

5

x

–2 –3 –4 –5

26 Eksempel Betragt funktionen g(x) =

x . Vi vil gerne beregne hældningen af

tangenten, når x = 2.

3

Regel 8 fortæller os, at den afledede funktion har forskriften

g ′(x) =

1

2⋅ x

y

.= 21 x −2

2) = Når x = 2, giver det gg′((2)

1 ≈ 0, 354 ≈ 0,354 . Med andre ord: Tangentens 2⋅ 2

2

g

1

hældning, når x = 2, er 0,354. I margenen ses grafen for g samt tangenten. 1

2

3

4

5

x

27 Øvelse Angiv forskriften for den afledede funktion til følgende funktioner a. f1(x) = –8x + 12 b. f2(x) = x7 c. f3(x) = x100 d. f4(x) = x–3 e. f5(x) = 1,5x

28 Øvelse

1 x

Betragt funktionen f ( x ) = . a. Beregn tangenthældningen, når x = 2, og når x = 10.

7. Differentialregning

97


7.4  Sekanthældninger

29 Introduktion Da differentialregningen blev udviklet, fortolkede man tangenter på forskellige måder. Gottfried Leibniz opfattede tangenten som en ret linje, der gik gennem to punkter, der lå uendelig tæt på hinanden på grafen. y Tangent

30 Definition

f Sekant

En sekant er en ret linje, som skærer grafen for en funktion to steder. På figuren er grafen for funktionen grøn, og en sekant er indtegnet med blå. En tangent er indtegnet med rød. x

Hældningen af en ret linje

31 Eksempel

y

Lad f(x) = 0,2x .

gennem punkterne (x1, y1)

Vi tegner en sekant gennem punkterne ( 2,f(2))

og (x2, y2) kan beregnes

2

4 f(4) 3

og ( 4 ,f(4 )) . Se figuren. Vi kan beregne sekantens hældning a med

2

formlen for hældningen af en ret linje gennem

f f(2)

y −y

som a = x 2 − x1 . 2 1

1

1

2

3

4

to punkter: 2 2 a = f (4) − f (2) = 0, 2 ⋅ 4 − 0, 2 ⋅ 2 = 1,2 s 4 −2

x

5

2

y

32 Sætning

f(x0+h)

 Hældningen as af sekanten gennem punkterne ( x0 ,f(x0)) og ( x0 +h ,f(x0+h)) kan beregnes som

f(x0)

as = f x0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

.

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) kaldes differenskvotienten. Brøken as =

x0+h

h

x

33 Bevis Sekanten går gennem punkterne( x0 ,f(x0)) og ( x0 +h ,f(x0+h)) . Ved indsættelse i formlen for hældningen af en ret linje gennem to punkter fås as =

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) ( x 0 + h) − x 0

=

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

.

34 Sekant og tangent Vi betragter igen funktionen f(x) = 0,2x2. Vi er interesserede i hældningen af tangenten i punktet ( 2,f(2)) . Vi kan ikke beregne den direkte, da vi kun kender ét punkt på tangenten. Men vi kan beregne hældningen af en sekant, som ligger ”tæt på”.

98

7. Differentialregning


y f

4

I figuren er tangenten indtegnet samt en sekant gennem

(2,f(2)) og (4,f(4 )) svarende til h = 2. Man kan få en bedre

f(2+2)

og bedre tilnærmelse til tangentens hældning ved at lade

2

h blive mindre og mindre. I tabellen nedenfor er hældningen af 6 sekanter beregnet.

f(2)

1 h=2

–1

Sekantens hældning

1

as =

f (2 + h) − f (2) h

4

2

f (2 + 2) − f (2) as = = 1,2 2

3

1

as =

f (2 + 1) − f (2) =1 1

0,5

as =

f (2 + 0, 5) − f (2) = 0,9 0, 5

0,1

as =

f (2 + 0,1) − f (2) = 0,82 0,1

0,01

as =

f (2 + 0, 01) − f (2) = 0,802 0, 01

as =

2 x0 = 2

3

4

5

x

y

h

0,00001

f

f(2+1) 2 f(2)

1

–1

h =1 1

2 x0 = 2

3

4

5

x

y f

4

f (2 + 0, 00001) − f (2) = 0,800002 0, 00001

3

2

Det ser altså ud til, at sekanthældningerne nærmer sig 0,8, efterhånden som h nærmer sig 0. Vi siger, at sekanthældningen f (2 + h) − f (2) as = har grænseværdien 0,8, når h går mod 0. h

35 Grænseværdien skrives som

3

f(2+0,5) 1 f(2) –1

h =0,5 1

2 x0 = 2

3

4

5

x

Kort fortalt er en grænseværdi et tal,

f (2 + h) − f (2)  lim   = 0,8 h h→0

vi kan komme lige så tæt på, som vi

At tangentens hældning kan beregnes som en grænseværdi af sekanthældninger, er grundideen i beviserne i

vil. Ved at vælge h mindre og mindre kan vi få sekanthældningen så tæt på 0,8, som vi ønsker.

de næste par afsnit.

36 Øvelse Lad f(x) = 0,2x2. Vi ønsker at tilnærme hældningen af tangenten i punktet ( 3,f(3)) . Dvs. x0 = 3. a. Beregn følgende sekanthældninger. h

1

0,5

0,1

0,01

0,00001

Sekanthældningen as

b. Kom med et bud på tangentens hældning i ( 3,f(3)) . Tjek efter med CAS.

7. Differentialregning

99


7.5 Beviser 1: Tretrinsreglen

37 Introduktion

I dette og det følgende afsnit vil vi udlede differentialkvotienter for nogle udvalgte funktioner. Vi vil udnytte de ideer, vi undersøgte i forrige afsnit.

38 Definition

En funktion f er differentiabel i x0, hvis grænseværdien

lim h→0

 f ( x 0 + h) − f ( x 0 )    h

eksisterer.

Hvis grænseværdien eksisterer, er den lig med differentialkvotienten i x0:

lim h→0

 f ( x 0 + h) − f ( x 0 )  = f ′(x0)   h

Hvis en funktion er differentiabel for alle x0 i dens definitionsmængde, siger vi  kort, at funktionen er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x).

39 Bemærkning

Hvis vi kalder sekanthældningen as og tangenthældningen at , er

lim

h→0

 f ( x 0 + h) − f ( x 0 )  = f ′(x0)   h

det samme som

lim a = a ( s) t h→0

I sidste afsnit så vi en metode til at beregne bedre og bedre tilnærmelser til en tangents hældning. Denne metode kaldes ofte for tretrinsreglen og kan kort beskrives som: y

40 Tretrinsreglen

f(x0+h)

Trin 1: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) Opskriv differenskvotienten (sekantens hældning) as = . h

Trin 2:

f(x0)

h→ 0

f x0

Omskriv differenskvotienten til noget, der kan arbejdes videre med.

Trin 3: x x0+h Lad

h gå mod nul, så sekanthældningen går mod tangenthældningen.

[12 Sætning]

Tangenthældningen for funktioner af typen f(x) = ax2 i punktet ( x0 ,f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2ax0.

100

7. Differentialregning


41 Bevis for sætning 12 Beviset følger tretrinsreglen. Trin 1: Differenskvotienten opskrives

as =

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

=

a ⋅ ( x 0 + h) − a ⋅ x 0 h 2

2

Trin 2: Differenskvotienten omskrives as =

a ⋅ ( x 0 + h) − a ⋅ x 0 h 2

2

Husk kvadratsætningen ( p + q )2 = p 2 + q 2 + 2 pq

=

a ⋅ ( x 0 + h + 2 ⋅ x 0 ⋅ h) − a ⋅ x 0 h

=

a ⋅ x0 + a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x0 ⋅ h − a ⋅ x0 h

=

a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x0 ⋅ h h

Brøkregneregel

h

a⋅b a ⋅b = =b a a

=

2

2

2

2

2

Sætte uden for en parentes a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c )

2

2

h ⋅ (a ⋅ h + a ⋅ 2 ⋅ x 0 )

= a ⋅ h + 2 ⋅ a ⋅ x0 .

Trin 3:

Vi kan nu lade h gå mod nul. Første led ah går mod 0, (vi kan komme lige så tæt på 0, som vi vil, ved at lade h blive mindre og mindre), og andet led bliver slet ikke påvirket af h.

lim (=a ⋅(ah h + 2+⋅ 2ax a ⋅ x00)) == 00 + 22ax ⋅ a ⋅0 x=0 2ax = 2 ⋅0a ⋅ x 0 h→0

Vi har altså bevist, at differentialkvotienten (tangenthældningen) kan beregnes som f ′(x0) = 2ax0.

42 Bemærkninger

• H vordan kan vi være sikre på, at grænseværdien lim ((ah a ⋅ h++ 2ax 2 ⋅ a0⋅)xeksisterer? 0) Det korte svar er: Fordi vi kan regne den ud!

h→0

• I beviset er der ikke nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, så vi har faktisk også bevist, at funktioner af typen f(x) = ax2 er differentiable og har den afledede funktion f ′(x) = 2ax.

43 Øvelse a. Skriv hele bevis 41 ned, og indsæt personlige kommentarer rundt omkring.

7. Differentialregning

101


7.6 Beviser 2

44 Introduktion

Vi fortsætter med beviserne. Bemærk, hvordan de alle følger fremgangsmåden beskrevet i tretrinsreglen.

45 Sætning

Den konstante funktion f(x) = k, hvor k er et reelt tal, er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x) = 0.

46 Bevis

Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0:  Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med:

as =

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) k − k 0 = = =0 h h h

Trin 3: Lad h gå mod 0:

f ′(′(x 00) = lim( 0 ) = 0 f h→0

Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = 0.

47 Sætning

Den lineære funktion f(x0) = ax + b er differentiabel, med den afledede funktion f ′(x) = a.

48 Bevis

Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0:  Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med: as =

=

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h a( x 0 + h) + b − ( ax 0 + b ) h

ax 0 + ah + b − ax 0 − b h ah = h

=

=a

Trin 3: Lad h gå mod 0:

ff ′(′ x0)) = lim(a) (a) = a h→0

102

7. Differentialregning


Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = a.

49 Sætning

1 x

Funktion f ( x ) = , x ≠ 0 er differentiabel, med den afledede funktion f ′′((x) x )==

−1 , x ≠ 0. x2

50 Bevis Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten i x0: Trin 1: Opskriv differenskvotienten

as =

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = h

1 x0 +h

1 x0

h

.

Trin 2: For at få omskrevet differenskvotienten til noget, vi kan arbejde videre med, er vi nødt til at lægge de to brøker sammen, så vi starter med at skaffe os en fællesnævner.

as = = = = = = =

1 x0 +h

− x10

h x0 x 0 ⋅( x 0 + h)

( x +h )

− x0 ⋅(0x0 +h) h

x 0 −( x 0 + h ) x 0 ⋅( x 0 + h)

h

Brøkregneregler

x 0 − x 0 −h x 0 ⋅ x 0 + x 0 ⋅h

Fællesnævner:

h

a c a⋅d − b⋅c − = b d b⋅d

−h x 02 + x 0 ⋅h

h

(

Brøk delt med et tal:

−h 2 x0 + x0 ⋅ h ⋅ h

a b

)

c

−1 2 x0 + x0 ⋅ h

=

a b⋅c

Trin 3: Lad h gå mod 0:

−1  = −1 = −1 . f '(′(xx00))== lim  2 2 2 h→0  x + x ⋅ h  x0 + 0 x0 0 0

Vi har begrænsningen x ≠ 0, men beviset har ikke tilført nye begrænsninger. Beviset 1

virker altså for alle x0 i definitionsmængden, så vi har vist, at f ( x ) = er differentiabel, x −1 med afledet funktion f ′′((x) x )== 2 . x

51 Øvelse a. Tag et blankt stykke papir, og træn beviserne ved at skrive alle beregningerne ned. Sørg for, at du forstår alle mellemregningerne.

7. Differentialregning

103


Opgaver – 7. Differentialregning

S can QR-koden for at

Opgave 703

komme til facitlisten.

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 10x2. a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hældning, når x0 = 1 og når x0 = 3.

Opgave 701

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

y 5

Opgave 704

f

4

En funktion er givet ved forskriften f(x) = –x2.

3

a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hæld-

2

ning, når x0 = 1 og når x0 = 3.

(1,2)

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

1 –1

1

2

3

4

5

6

x

Opgave 705

Figuren viser grafen for funktionen f tegnet med

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 0,1x2.

rødt. Tangenten i punktet (1,2) er også indtegnet.

a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hældning, når x0 = 1 og når x0 = 3.

a. B  estem tangentens hældning ud fra tegningen. b. Bestem differentialkvotienten f ′(1).

Hældningen er et heltal.

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

Opgave 702

Opgave 706

y

5 4 3 2

( 12 ,2)

1

f

–1

1

2

3

4

5

6

x

En sten falder frit fra toppen af Det skæve tårn i

Pisa. Afstanden, stenen er faldet til tiden t, kan

Figuren viser grafen for en funktion f tegnet med

beskrives med modellen s(t) = 5t2. Her er t målt i

1

rødt. Tangenten i punktet ( 2 ,2) er også indtegnet.

a. Bestem tangentens hældning ud fra tegningen. Hældningen er et heltal.

7. Differentialregning

a. H vor langt er stenen faldet efter 0,5 sekunder og efter 1 sekund?

1

b. Bestem differentialkvotienten f ′( 2 ).

104

sekunder, og s(t) målt i meter.

b. H vilken hastighed falder stenen med efter 1 sekund?


Opgave 707

Opgave 713

Angiv forskriften for den afledede funktion til

Betragt funktionen f(x) =

følgende funktioner

a. Tegn, i samme koordinatsystem, grafen for f(x) og for den afledede funktion f ′(x).

a. f1(x) = 3x2. b. f2(x) = x6.

Opgave 714

c. f3(x) = x10.

1

x .= x 2

1 . x

7

Betragt funktionen ff(x) ( x ) ==

–3

a. Tegn, i samme koordinatsystem, grafen for f(x) og for den afledede funktion f ′(x).

d. f4(x) = x . e. f5(x) = x .

Opgave 708 Angiv forskriften for den afledede funktion til

Opgave 715

følgende funktioner

Betragt funktionen f(x) = x3.

a. f1(x) = 4x + 1.

a. Tegn, i samme koordinatsystem, grafen for f(x) og for den afledede funktion f ′(x).

b. f2(x) =

1

x .= x 2

c. f3(x) = 5x.

Opgave 716

d. f4(x) = 10x. 1 e. ff5(x) ( x ) == . x

Opgave 709

Betragt funktionen f(x) = 2x3.

1

a. Angiv forskriften for den afledede funktion f ′(x). b. Løs ligningen f ′(x) = 24. Der er to løsninger.

Betragt funktionen f ( x ) = x . a. Bestem f ′(1) og f ′(4).

Opgave 717

b. Bestem tangenthældningen, når x0 = 2

Betragt funktionen f(x) = 10x2.

og når x0 = –2.

a. Angiv forskriften for den afledede funktion f ′(x). b. Løs ligningerne f ′(x) = 20 og f ′(x) = –10.

Opgave 710 Betragt funktionen f(x) = x3. a. Bestem f ′(1) og f ′(4). b. Bestem tangenthældningen, når x0 = 2 og når x0 = –2.

Opgave 718

1

Betragt funktionen f ( x ) = x . a. Angiv forskriften for den afledede funktion f ′(x). b. Bestem x, så tangenthældningen er to løsninger.

−1 . Der er 4

Opgave 711 Betragt funktionen f(x) = ln(x). a. Bestem f ′(1) og f ′(4).

Opgave 719

b. Bestem tangenthældningen, når x0 = 2

a. Bestem hældningen af sekanten, der går gen-

og når x0 = –2.

Betragt funktionen g(x) = 3x2. nem punkterne ( 1,g(1)) og ( 3,g(3)) .

Opgave 712 Betragt funktionen f(x) = x5. a. Bestem tangenthældningen, når x0 = 1 og når x0 = 2.

7. Differentialregning

105


Træningssider 7

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Vektorer

    a b Vektor a og b er givet ved koordinaterne a =  a1  og b =  b1  , og k er et tal. 2 2  2 2 a a Længden af en vektor: a = 1 + 2   Eksempel: Længden af vektor v =  3  er | v | = 32 + 92 = 9, 49 9   a +b Sum af to vektorer: a + b =  1 1  . a2 + b2  5  6  5 + 6  11 Eksempel:  3 +  −2 =  3 − 2 =  1 .  ka Konstant gange vektor: ka =  1  . ka2 4 5⋅4 20 Eksempel: 5 ⋅  2  =  5 ⋅ 2  =  10  .

 x −x Vektor mellem punkt A(x1,y1) og B(x2,y2): AB =  2 1  y 2 − y1

 8 − 2  6 Eksempel: Vektoren mellem punkt A(2,6) og B(8,–3) har koordinaterne AB =  .  −3 − 6 =  −9

1. Beregn længden

2. Beregn

af vektorerne  3 a. a =   4   −2 b. b =  7   5 c. v =  −3

3. Beregn

3 5 a.  7 +  10

4 3 a. 5 ⋅  10 −  8

7 −2 b.  2 −  11

4 2 b. −3 ⋅   + 2 ⋅   7 1

12 c. 3 ⋅    −4

2 4 5 c. 10 ⋅   − 3 ⋅   +    −3  2   5

4. B etem koordinaterne til vektoren mellem punkterne a. A(3,8) og B(1,5) b. P(–2,5) og Q(10,3) c. C(1,7) og D(–3,–5)

To ligninger med to ubekendte Eksempel: Vi ønsker at løse et ligningssystem bestående af de to ligninger l1: 2x – 2y – 4 = 0 og l2: –4x + 3y + 5 = 0 . Vi isolerer x i ligningen l1 og indsætter i den anden ligning: 2x – 2y – 4 = 0 2x = 2y + 4 x=y+2 Vi kan nu indsætte dette x i ligning l2 og isolere y: –4(y + 2) + 3y + 5 = 0 –4y –8+ 3y + 5 = 0 –y –3 = 0 –3 = y Værdien for x findes ved at indsætte den fundne y-værdi i en af ligningerne. x = y + 2 = –3 + 2 = –1 Løsningen er altså x = –1 og y = –3. Vi kunne naturligvis også have valgt at isolere y først, eller at starte med den anden ligning. Det ville have givet andre mellemregninger, men samme facit.

106

7. Differentialregning


5. Løs nedenstående lignings-

6. Løs nedenstående lignings-

7. L øs nedenstående lignings-

systemer. Løsningerne er heltal.

systemer. Løsningerne er heltal.

a. 3x + y –7 = 0 og –2x + y – 2= 0

a. 5s + t = 6 og –s + t = 0

systemer. Løsningerne er heltal eller brøker.

b. 3x – y +7 = 0 og x – 2y + 4 = 0

b. 4s – 2t = 6 og 6s – t = 1

a. 2x = 5y – 2 og 3x – 5y = 1

c. 2x + 3y – 18 = 0 og –x + 3y = 0

c. 2p + 5q = 15 og 4p + 5q = 35

b. 8a – 4b = 12 og 5b = a – 2 c. 2t – s + 5 = 0 og 2s = 5t

Reduktion Parenteser: a(b + c) = ab + ac (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab (a + b) · (a – b) = a2 – b2 Eksempel: 

( x − 2 y )2 − xy = x 2 + (2 y )2 − 2 ⋅ x ⋅ 2 y − xy = x 2 + 4 y 2 − 4 xy − xy = x 2 + 4 y 2 − 5 xy

(

)

og

2(a + b ) − 2a = 2 a + b + 2ab − 2a = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b + 2 ⋅ 2ab − 2a = 2b + 4 ab 2

2

2

2

8. Reducer mest muligt

2

2

2

2

9. Reducer mest muligt

2

10. R educer mest muligt

2

a. 3x + 4y –2x + 3x – y

a. 5(s – t)2

a. (p + q) – pq

2

2

2

b. 2(p – 2q)2 – 2p2

b. p(q – 3p) – 5p + 2pq

b. 2a + (2a – 5)

c. 8b – ba + 3(2 – b + ba)

c. (5x + 2y)2 – x2 – 20xy 2

d. (5 – 2t) · 3 + 6t

2

c. 3(a – b)(a + b) – a2 + 2b2 d. 2xy + 4(y – 3x)2 + y2

d. (t – 2s)(t + 2s) + 4s

Reduktion med brøker: 4⋅x ⋅y 4 x y ⋅ 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 1 ⋅ y 9−4 = 2 y 5 2 4 = 2⋅ x ⋅ y 2 x y 2

9

2

9

Eksempel: a + a⋅b a a⋅b a⋅b b = 2 + 2 = 1+ = 1+ 2 a a a a⋅a a 2

2

2

2

11. Reducer mest muligt

2

2

12. Reducer mest muligt a. a + b

6⋅x a. 3⋅ x

5

b.

10 ⋅ s ⋅ t 4 10 5⋅s ⋅t

c.

1500 ⋅ p ⋅ q 2 500 ⋅ p ⋅ q

8

5

15

 a3 ⋅ b 7  d.  5 3  a ⋅b 

2

a 2 2 2 8x y + 4x b. 2 2x p( q + p ) c. 2 p 10 ⋅ s ⋅ t − 5 ⋅ s ⋅ t 2 5⋅s ⋅t 3

d.

2

2

7. Differentialregning

107


Træningssider 7

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Eksponentiel vækst En eksponentiel funktion er en funktion af typen f(x) = b · ax, hvor a og b skal være positive, og hvor a ikke må være 1. Konstanten a kaldes fremskrivningsfaktoren. Hvis a er større end 1, er funktionen voksende. Hvis a ligger mellem 0 og 1, er funktionen aftagende. Grafen for funktionen skærer y-aksen i (0,b). Konstanten b kaldes også startværdien, fordi f(0) = b.

13. Aflæs fremskrivningsfaktor og grafens skæringspunkt med y-aksen for nedenstående eksponentielle funktioner. Angiv også, om funktionen er voksende eller aftagende. a. f1(x) = 5 · 2x b. f2(x) = 3 · 1,2x c. f3(x) = 3 · 0,8x d. f4(x) = 0,3 · 4x

Vækstegenskaber Eksempler: Funktionen f1(x) = 3 · 1,27x vokser med 27%, hver gang x vokser med 1, fordi fremskrivningsfaktoren er 1,27 = 1 + 0,27. Funktionen f2(x) = 1000 · 0,88x aftager med 12%, hver gang x vokser med 1, fordi fremskrivningsfaktoren er 0,88 = 1 – 0,12.

14. Hvor mange % vokser eller aftager nedenstående funktioner med, når x vokser med 1? a. g1(x) = 5 · 1,65x b. g2(x) = 10000 · 1,04x c. g3(x) = 5298 · 0,73x d. g4(x) = 0,56 · 2,1x

15. Opskriv forskriften for følgende eksponentialfunktioner. a. f1(x) vokser med 34 % hver gang x vokser med 1, og startværdien er 7. b. f2(x) aftager med 17 % hver gang x vokser med 1, og startværdien er 500. c. f3(x) aftager med 29 % hver gang x vokser med 1, og startværdien er 0,01254. d. f4(x) vokser med 300 % hver gang x vokser med 1, og startværdien er 2.

Fordoblingskonstant T2 =

ln( 1 ) ln(2) og halveringskonstant T1 = 2 . 2 ln(a ) ln(a )

16. Beregn fordoblingskonstant eller halveringskonstant for funktionerne a. h1(x) = 100 · 0,8x b. h2(x) = 2 · 1,56x c. h3(x) = 0,34 · 4,8x d. h4(x) = 3000 · 1,0032x

108

7. Differentialregning


17. Angiv fordoblingskonstanten for følgende funktioner a. g1(x) hvorom vi ved at g1(5) = 20 og g1(10) = 40 b. g2(x) hvorom vi ved at g2(3) = 80 og g2(6) = 160 c. g3(x) hvorom vi ved at g3(10) = 12 og g3(20) = 48 d. g4(x) hvorom vi ved at g4(0) = 2 og g4(50) = 64 Eksponentialfunktioner opskrives af og til på formen f(x) = b · ek · x, hvor e er en konstant, der af og til kaldes Eulers tal. I dette tilfælde er fremskrivningsfaktoren a = ek. Hvis man kender fremskrivningsfaktoren, og vil beregne k, kan det gøres med formlen k = ln(a). Konstanten b er stadig begyndelsesværdien. Hvis k er positiv, er funktionen voksende, og hvis k er negativ, er funktionen aftagende. Eksempler: Funktionen f(x) = 2 · e3x har fremskrivningsfaktoren a = e3 = 20,0855. Funktionen h(x) = 5 · 1,45x kan også skrives som h(x) = 5 · e0,3716x, fordi k = ln(1,45) = 0,3716.

18. Beregn fremskrivningsfaktor og fordoblings eller halveringskonstant for funktionerne a. f1(x) = 3 · e5x b. f2(x) = 1000 · e0,00254x c. f3(x) = 2 · e–0,3x d. f4(x) = 0,00045 · e–4,67x

19. Omskriv eksponentialfunktionerne til formen g(x) = b · ek · x a. g1(x) = 10 · 2x b. g2(x) = 10 · 0,95x c. g3(x) = 5000 · 1,93x d. g4(x) = 30 · 0,1x

20. Indfør passende variable og opstil en model der beskriver situationen. a. Du indsætter 100 kroner på en konto der betaler en rente på 3 % pr. år. b. Der er 1000 bakterier i en petriskål. Populationen vokser med 8 % pr. døgn. c. År 2012 kostede et bestemt solcelleanlæg 120 tusind kroner. Siden er prisen faldet med 15 % pr. år.

7. Differentialregning

109


8. Differentialregningens regneregler

8.1 Sum-, differens- og konstantreglen 1 Introduktion

For en bestemt kop kaffe kan temperaturen beregnes som en funktion af tiden i minutter: f(x) = 70 · 0,93x + 20. Med hvilken hastighed aftager kaffens temperatur efter 10 minutter? Det kan vi svare på ved at finde tangenthældningen, når x = 10, men hvordan differentierer man en funktion som denne? I dette afsnit skal vi se på nogle regneregler, som kan hjælpe os.

2 Regneregler for afledte funktioner

1. Differentiation af en sum af to funktioner:

(f + g) ′(x) = f ′(x) + g ′(x) 2. Differentiation af en differens mellem to funktioner (f – g) ′(x) = f ′(x) – g ′(x)

3. Differentiation af en konstant gange en funktion

(k · f) ′(x) = k · f ′(x)

(xn) ′= nxn–1 3 Eksempel

((( )

′ 1 xx )′′=== 2 1x 2 x

Betragt funktionen h(x) = x3 + x2. Vi kan opfatte h som en sum af to funktioner f og g, hvor f(x) = x3 og g(x) = x2.

(a ) ′= a · ln(a) Dvs. h(x) = f(x) + g(x). x

x

Ifølge regel 1 ovenfor, er h ′(x) = f ′(x) + g ′(x). Da f ′(x) = 3x2 og g ′(x) = 2x er h ′(x) = 3x2 + 2x.

(k) ′= 0

y

4 Eksempel

( )

Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = x2 – x . ′ = 1 2 x Vi vil beregne hældningen af tangenten, når x = 1, med andre ord: Vi vil beregne f ′(1). Først differentierer vi f

3

f

2 1

( )

x )1′ += 1 . (= 2x f ′(x) = (x2) ′+ ( x )′′= 2 x2 x Nu kan vi indsætte x = 1

1

1

2

3

4

1

Tangenten er også indtegnet.

110

1

1

′f(1) ´(1)= = 2 ⋅ 1 + =2+ =2+ = 2 + = 2,5 f x 2 ⋅1 2 2 1 2 1  Tangentens hældning er altså 2,5. På figuren ses grafen for f med grøn.

8. Differentialregningens regneregler


5 Eksempel Betragt funktionen f(x) = 10x3. Ifølge regel 3 kan den differentieres på følgende måde: f ′(x) = (10 · x3) ′= 10 · (x3) ′= 10 · 3x2 = 30x2.

6 Eksempel Ved at kombinere regnereglerne kan vi nu differentiere alle polynomier. Betragt fx polynomiet p(x) = 5x7 + 3x4 – 2x3 + 8 :

p ′(x) = (5x7 + 3x4 – 2x3 + 8 ) ′ = (5x7) ′+ (3x4) ′– (2x3) ′+ (8 ) ′ = 5(x7) ′+ 3(x4) ′– 2(x3) ′+ 0 = 5 · 7x6 + 3 · 4x3 – 2 · 3x2 = 35x6 + 12x3 – 6x2

7 Eksempel Kaffens temperatur er beskrevet ved funktionen f(x) = 70 · 0,93x + 20, hvor x er tiden i minutter, og f(x) er temperaturen i grader Celsius. Hvor hurtigt aftager temperaturen efter 10 minutter? Vi vil beregne tangenthældningen f ′(10) for at svare på det spørgsmål. Først differentieres f med brug af regnereglerne.

f ′(x) = (70 · 0,93x + 20) ′ = (70 · 0,93x) ′ + (20) ′ = 70 · (0,93x) ′ + 0 = 70 · ln(0,93) · 0,93x

Nu indsættes x = 10:

f ′(10) = 70 · ln(0,93) · 0,9310 ≈ –2,5.

Konklusion: Efter 10 minutter aftager kaffens temperatur med en hastighed på 2,5 grader pr. minut.

8 Øvelse a. Beregn, hvor hurtigt kaffens temperatur aftager efter 2 minutter.

9 Øvelse Differentier følgende funktioner ved hjælp af regnereglerne ′ x5 1 a. g(x) = x + b. h(x) = 5 x ′ c. f(x) = 5x2 + 2x3 = = 1 2 x 2 x

( )

( )

10 Øvelse Betragt polynomiet p(x) = 2x3 – 4x2 + 3x – 1 a. Angiv p ′(x), og beregn p ′(2). b. Beregn tangenthældningen, når x = –1 c. Tjek dine beregninger med CAS.

8. Differentialregningens regneregler

111


8.2 Produkt- og kædereglen 11 Introduktion Et firma, der producerer 3D-printere, regner med, at omsætningen x år efter produktionsstart kan beregnes med funktionen R(x) = (400x + 100) · (8 000 · 0,9x). Hvor hurtigt vokser omsætningen efter 3 år? I dette afsnit skal vi se på, hvordan man kan differentiere funktioner som R(x).

12 Produktreglen og kædereglen 4. Differentiation af et produkt af to funktioner (produktreglen):

( f(x) · g(x)) ′= f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x) 5. Differentiation af en sammensat funktion (kædereglen): ( f ( g(x)) ) ′= f ′( g(x)) · g ′(x)

13 Eksempel Funktionen h(x) = x · ln(x) kan betragtes som et produkt af de to funktioner f(x) = x og g(x) = ln(x). Den kan altså differentieres med produktreglen (regel 4). Som mellemregning differentieres først f og g: 1

f ′(x) = 1 og g ′(x) = x Vi kan nu sætte ind i produktreglen:

(ln(x)) ′= 1x (sin(x)) ′= cos(x) (cos(x)) ′= –sin(x)

h ′(x) = ( f(x) · g(x)) ′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x)

1

= 1 · ln(x) + x · x = ln(x) + 1

14 Eksempel Funktionen R(x) = (400x + 100) · (8000 · 0,9x) kan differentieres med produktreglen: R(x) ′= ( (400x + 100) · (8000 · 0,9x)) ′ = (400x + 100) ′ · (8000 · 0,9x) + (400x + 100) · (8000 · 0,9x) ′ = 400 · (8000 · 0,9x) + (400x + 100) · (8000 · ln(0,9) · 0,9x) Vi kan nu beregne R(3) ′

R(3) ′ = 400 · (8000 · 0,93) + (400 · 3 + 100) · ( 8000 · ln(0,9) · 0,9) 3 ≈ 1,5 millioner

112

8. Differentialregningens regneregler


Efter 3 år vokser omsætningen med en hastighed på 1,5 millioner pr. år.

15 Eksempel Funktionen p(x) = (3x + 8 ) 5 kan opfattes som en sammensat funktion med indre funktion g(x) = 3x + 8 og ydre funktion f(x) = x5 . Den kan differentieres med kædereglen (regel 5). Først differentierer vi den indre og ydre funktion hver for sig: f ′(x) = 5x4 og g ′(x) = 3. Vi kan nu indsætte i kædereglen

g ′(x) = ( f ( g(x)) ) ′ = f ′( g(x)) · g ′(x) = 5 · (3x + 5)4 · 3 = 15 · (3x + 5)4

16 Eksempel: Sammensat funktion med lineær indre funktion. Vi bruger kædereglen på f(ax + b)

(f(ax + b)) ′= f ′(ax + b) · (ax + b)′= f ′(ax + b) · a Når den indre funktion er lineær, kan regel 5 altså forenkles til

(f(ax + b)) ′= a · f ′(ax + b) 17 Eksempel Med indsigten fra eksempel 16 ovenfor kan funktionen f(x) = 3sin(8x + 15) differentieres: f ′(x) = 8 · 3cos(8x + 15) = 24cos(8x + 15).

18 Øvelse Differentier følgende funktioner med produktreglen a. f1(x) = x2 · ln(x)

( x )′ = 2 1x

b. f2(x) = (5x – 2) ·

c. f3(x) = x8 · cos(x)

Differentier følgende funktioner med kædereglen d. f4(x) = (2x – 34)10 x ) = 10 x − 30 e. f65((x)

19 Øvelse En kvindelig atlet får målt sin vejrtrækning under sprint. Mængden af luft i lungerne kan med god tilnærmelse beskrives med modellen

f(x) = 1,1 · sin(3,67x – 0,2) + 2,3,

hvor x er tiden målt i sekunder, og f(x) er luftmængden målt i liter. a. Beregn f ′(2), og giv en fortolkning af resultatet.

8. Differentialregningens regneregler

113


8.3 Beviser for konstant- og sumreglen

[2.3 Sætning]

Lad k være et tal. Hvis f(x) er differentiabel i x0 , er k · f(x) også differentiabel i x0 , med differentialkvotient (k · f) ′ (x0) = k · f ′(x0).

20 Bevis for sætning 2.3

 f ( x + h) − f ( x 0 )  At f er differentiabel i x0 betyder, at lim  0  = f '(′(xx00).) h h→0 Beviset følger tretrinsreglen.

Trin 1: Opskriv differenskvotienten (sekanthældningen).

k ⋅ f ( x 0 + h) − k ⋅ f ( x 0 ) a= s h

Trin 2: Omskriv differenskvotienten til noget, vi kan regne videre med.

Husk, at

as = =

(k · f ) (x) = k · f(x)

k ⋅ f ( x 0 + h) − k ⋅ f ( x 0 ) h k ⋅ ( f ( x 0 + h ) − f ( x 0 )) h

f ( x + h) − f ( x 0 ) = k⋅ 0 h

Brøkregneregler a⋅b b = a⋅ c c

Husk, at (f + g) (x) = f(x)+ g(x)

Trin 3: Vi kan nu lade h gå mod nul.

 (k ⋅ f ) ′( x 0 ) = lim k ⋅ h→0 

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )  h



 f ( x + h) − f ( x 0 )  = lim( k ) ⋅ lim  0 h→0 h→0   h = k ⋅ f ′( x 0 )

Ved det sidste lighedstegn har vi udnyttet, at f er differentiabel i x0.

22 Bemærkning

R1gnereglen skrives ofte med afledede funktioner: ( k ⋅ f ( x )) ′ = k ⋅ f ′( x )

[2 Sætning]

1. H vis f(x) og g(x) er differentiable i x0 , er (f + g)(x) også differentiabel i x0 , med differentialkvotient ( f + g ) ′( x 0 ) = f ′( x 0 ) + g ′( x 0 ) 2. Derudover er (f – g)(x) også differentiabel i x0 , med differentialkvotient ( f – g ) ′( x 0 ) = f ′( x 0 ) – g ′( x 0 )

114

8. Differentialregningens regneregler


22 Bevis for sætning 2.1 At f og g er differentiable i x0 betyder, at  f ( x + h) − f ( x 0 )  lim  0  = f '(′ x 0 ) og h→0 h  g( x + h ) − g( x 0 )  lim  0  = g '(′ x 0 ) .

h

h→0

Beviset følger tretrinsreglen. Trin 1 og trin 2: Opskriv differenskvotienten (sekanthældningen), og omskriv den til noget, vi kan regne videre med. Den overordnede ide er at omskrive brøken, så vi får skilt f og g ad.

as = =

(f + g ) ( x

+ h) − ( f + g ) ( x 0 ) h

0

Brøkregneregler

f ( x 0 + h ) + g( x 0 + h ) − ( f ( x 0 ) + g( x 0 ) )

a+b a b =c+c c

h

=

f ( x 0 + h ) + g( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − g( x 0 ) h

=

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + g( x 0 + h ) − g ( x 0 ) h

=

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) g( x 0 + h ) − g ( x 0 ) + h h

a–b a b =c–c c

Trin 3: Vi kan nu lade h gå mod nul.

 (f + g ) ′( x 0 ) = lim h→0 

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) g( x 0 + h ) − g ( x 0 )  +  h h

 f ( x + h) − f ( x 0 )   g( x 0 + h ) − g ( x 0 )  = lim  0  + lim   h

h→0

h→0

h

= f ′( x 0 ) + g ′( x 0 ) Ved det sidste lighedstegn har vi udnyttet, at f og g er differentiable i x0.

23 Bemærkning Regnereglerne skrives ofte med afledede funktioner:

(f(x) + g(x)) ′= f ′(x) + g ′(x)

(f(x) – g(x)) ′= f ′(x) – g ′(x)

24 Øvelse

a. Bevis, at ( f – g ) ′( x 0 ) = f ′( x 0 ) – g ′( x 0 ) . Beviset er stort set identisk med beviset for ( f + g ) ′( x ) = f ′( x ) + g ′( x ). 0

0

0

8. Differentialregningens regneregler

115


8.4 Bevis for produktreglen

[12.4 Sætning]

Hvis f(x) og g(x) er differentiable i x0 , er (f · g)(x) også differentiabel i x0 , med differentialkvotient (f · g) ′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g ′(x0) .

25 Bevis for 12.4

At f og g er differentiable i x0, betyder, at

 f ( x + h) − f ( x 0 )  lim  0  = f '(′ x 0 ) og h

h→0

 g( x + h ) − g( x 0 )  lim  0  = g '(′ x 0 ) . h

h→0

Beviset følger tretrinsreglen.

Trin 1 og trin 2: Opskriv differenskvotienten (sekanthældningen), og omskriv den til noget, vi kan regne videre med. Den overordnede ide er at omskrive brøken, så vi får skilt f og g ad.

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

+ h) − ( f ⋅ g ) ( x 0 ) h f ( x 0 + h ) ⋅ g( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ⋅ g( x 0 ) = h

as =

Husk, at

(f ⋅ g ) ( x

0

Vi vil gerne frem til noget, der ligner differenskvotienterne for f og g – og får her Sætte uden for en parentes

brug for et lille trick: Vi trækker leddet f(x0) · g(x0 + h) fra, og lægger det til igen.

a · b + a · c = a · (b + c)

…=

f ( x 0 + h ) ⋅ g( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ⋅ g( x 0 + h ) + f ( x 0 ) ⋅ g( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) h

Det, der er markeret med rødt, giver 0, så vi må gerne indsætte det. Vi kan nu sætte g(x0 + h) uden for en parentes i de første to led, og f(x0) uden for en parentes i de to sidste led. Derefter bruger vi et par brøkregneregler til at skille brøken ad i to, så vi får noget, der ligner differenskvotienterne. Brøkregneregler a+b a b =c+c c b c

a⋅ =

… =

a⋅b a = ⋅b c c

=

(f ( x

0

(f ( x

+ h ) − f ( x 0 ) ) ⋅ g( x 0 + h ) + f ( x 0 ) ⋅ ( g( x 0 + h ) − g ( x 0 ) ) h

0

+ h ) − f ( x 0 ) ) ⋅ g( x 0 + h ) h

+

f ( x 0 ) ⋅ ( g( x 0 + h ) − g( x 0 ) ) h

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) g( x 0 + h ) − g ( x 0 ) = ⋅ g( x 0 + h) + f ( x 0 ) ⋅ h h

Det, der er markeret med rødt, er netop differenskvotienterne, så vi er nu klar til trin 3.

116

8. Differentialregningens regneregler


Trin 3: Vi kan lade h gå mod nul. Vi tager det i dele: Da f og g er differentiable i x0, er

 f ( x + h) − f ( x 0 )  lim  0  = f '(′ x 0 ) og

 g( x + h ) − g ( x 0 )  lim  0  = g '(′ x 0 ) .

h

h→0

h

h→0

Hvis g er differentiabel i x0 , må den også være kontinuert i x0 . Så ved vi, at

lim ( g( x 0 + h)) = g( x 0 ) . h→0

Og endelig er lim (f ( x 0 )) = f ( x 0 ) , fordi h slet ikke optræder i f(x0). h→0

Samlet givet alt det netop (f · g) ′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g ′(x0) .

26 Bemærkning Regnereglen skrives ofte med afledede funktioner: (f · g) ′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x)

y f(x0+h)

f(x0+h) → f(x0)

27 Definition En funktion f er kontinuert i x0 , hvis

f(x0)

lim ( f (x 0 + h )) = f ( x0 ) . h→0

h→ 0

f

Hvis en funktion er differentiabel, er den også kontinuert.

28 Eksempel

x

x0+h

x0

En funktion er kontinuert,

Nedenfor ses graferne for funktionerne f1, f2 og f3.

hvis dens graf hænger

f1( x ) = ( x − 2) + 1 er både kontinuert og differentiabel i x0 = 2.

sammen.

f2 ( x ) =

f3 ( x ) =

2

3

( x − 2)

2

x −2 2 ⋅ ( x − 2)

En funktion er differen-

+ 1 er kontinuert, men ikke differentiabel i x0 = 2. 2

y

y

y

3

3

3

2

2

1

ikke har knæk.

2 f2

f1 1

1

tiabel, hvis dens graf

+ x er hverken kontinuert eller differentiabel i x0 = 2.

2

3

4

x

1

1

2

3

4

x

f3

1

2

3

4

x

8. Differentialregningens regneregler

117


Opgaver – 8. Differentialregningens regneregler

S can QR-koden for at

Opgave 806

komme til facitlisten.

a. Er linjen y = ⋅ x + 1 tangent til

1 2

2

y = –x + 5x – 6? b. Er y =

Opgave 801 a. Bestem f ′(x), når f(x) = 5x + 2 · 3x b. Bestem f ′(x), når f(x) = 10 + ln(x) c. Bestem f ′(x), når f(x) = 10 · ln(x) d. Bestem f ′(x), når f(x) = x + 5 2

x

1 4

tangent til y = –x2 + 5x – 6? 1 2

c. Er y = − ⋅ x − 1 tangent til y = –x2 + 5x – 6?

Opgave 807 a. Linien y = –4x + 7 er tangent til y = x2 – 6x + 8. Find røringspunkts koordinater, gerne med et CAS-værktøj.

Opgave 802

b. H vor stor er forskellen på tangentens y-værdi

a. Bestem f ′(x), når f(x) = 1 · x3 + 4 · x2 + 5 · x + 6 b. Bestem f ′(x), når f(x) = 1 · x10 + 3 · x9 10 c. Bestem f ′(x), når f ( x ) = 3 ⋅ x 2 +

c. H vor stor er forskellen på tangentens y-værdi og

d. Bestem f ′(x), når f(x) = 5 +10x

x

og f(x), når x = 0? f(x), når x = 2?

Opgave 809 Opgave 803 3 b. Bestem f ′(x), når f ( x ) = 2ln( x ) + x − x 3 x c. Bestem f ′(x), når f ( x ) = x + e d. Bestem f ′(x), når f ( x ) = 3 x + 4e x − x

Funktionen: f ( x ) = x har differentialkvotienten 1 f ′’((xx 0))== 0

2 x0

a. Beregn f ′(5). b. Beregn f ′(4).

e. Bestem f ′(x), når f(x) = 2 · x3 – x + 5e4x f. Bestem f ′(x), når f(x) = 2 · x–1 + e2x – 10 g. Bestem f ′(3), når f(x) = 2 · x + 3 – ex

c. Beregn f(4), og skriv det punkt op, som grafen

Opgave 804

e. Bestem tangentens ligning ud fra oplys-

a. Bestem f ′(x), når f(x) = 9 · x3 + ex b. Bestem f ′(x), når f(x) = 11 · e6x c. Bestem f ′(x), når f(x) = e6 · x – 2 · x + 8 d. Bestem f ′(x), når f(x) = 4x – ln(x) e. Bestem f ′(x), når f(x) = x3 + x + ex

Opgave 805

går igennem for x = 4. d. Bestem hældningen af tangenten til: f ( x ) = x i punktet x0 = 4. ningerne om punktet og hældningen.

Opgave 810 a. B  estem f ′(x) for f ( x ) = 2 ⋅ x + 3 ⋅ e4 x + 6 x + 7 , når x > 0 b. Bestem f ′(1) for f ( x ) = 2 ⋅ x + 3 ⋅ e4 x + 6 x + 7 c. Bestem f ′(x) for f ( x ) = 2 ⋅ x 3 + e5 x + 4

En tangent til grafen for f(x) = x2 – 5x + 6 har røringspunkt i (2,0). a. Bestem f ′(2). b. Hvad er tangentens hældning i punktet (2,0)?

Opgave 811 a. Bestem

df ( x ) , dx

når f ( x ) = 8 ⋅ x 4 + 3 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 7

b. Bestem

df ( x ) , dx

når f ( x ) = 9 ⋅ x 8 + 7 ⋅ x −8

c. Bestem

df ( x ) , dx

når f ( x ) = 5 ⋅ x 2 +

d. Bestem y ′, når y = 6 + 2 · 10x

118

8. Differentialregningens regneregler

12 x


Opgave 812

Opgave 815 Et firma regner med at deres omsætning de kommende år vil kunne beskrives med modellen R(x) = (1000x + 20) ∙ (0,95x), hvor x er antal år, og R(x) er omsætningen i antal 10000 kr. a. Bestem en forskrift for den afledede funktion R ′(x) ved at benytte produktreglen. b. Bestem R ′(5) og giv en fortolkning af resultatet. c. Bestem R ′(15) og giv en fortolkning af resultatet.

Ai fra Japan server i volleyball 9 m fra nettet, som er 2,24 m højt. Hun sender bolden af sted, da den

Opgave 816

er 1,8 m over gulvet. Hvis ingen anden spiller

Bestem følgende differentialkvotienter uden CAS. 1 a. f1 ′(1), når f1(x) = x · x ′ = 1 2 x b. f2 ′(0), når f2(x) = x2 ∙ sin(x) c. f3 ′(1), når f3(x) = x ∙ ln(x)

rør bolden, vil dens højde over gulvet i m være givet ved h(t) = –5t2 + 3,9t + 1,8, hvor t er tiden i sekunder.

( )

a. H vornår når bolden det højeste punkt på ba-

Opgave 817

nen? b. Kommer bolden over nettet uden at røre?

En sammensat funktion har den ydre funktion

c. H vornår er væksthastigheden i højden over

f(x) = x og den indre funktion g(x) = 3x + 1. a. Opskriv en forskrift for den sammensatte funk-

gulvet lig med nul?

1

tion h(x) = f ( g(x)) .

Opgave 813 To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) = x2

b. Opskriv en forskrift for den afledede funktion h ′(x).

og g(x) = ln(x). En tredje funktion defineres som

c. Beregn hældningen af tangenten til h når x0 = 2.

h(x) = (f ∙ g)(x). a. Opskriv en forskrift for h(x).

Opgave 818

b. Benyt produktreglen til at finde en forskrift for den afledede funktion h ′(x).

Brug kædereglen til at differentiere følgende

Opgave 814 Benyt produktregelen til at differentiere nedenstående funktioner a. f1(x) = x3 ∙ ln(x) b. f2(x) = x4 ∙ ln(x) c. f3(x) = x ·′ sin(x) = 1 2 x x 2 d. f4(x) = 3 ∙ x

( )

funktioner a. f1(x) = (3x + 15)5 b. f2(x) = ln(–2x + 4) c. f3(x) =

1 −5 x + 11

d. f4(x) = 5 · 1,24x +1 e. f5(x) = 5sin(3x – 1) + 5 f. f6(x) = 10sin(0,1x + 5,6) + 11 g. f7(x) = (–4x + 34)100

1

e. f5(x) = x · cos(x)

8. Differentialregningens regneregler

119


Træningssider 8

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Skalarprodukt og vinkel mellem vektorer

    a b Vektor a og b er givet ved koordinaterne a =  a1  og b =  b1  . 2 2   a b Skalarproduktet (som også kaldes prikproduktet) af to vektorer: a ⋅ b =  a1  ⋅  b1  = a1b1 + a2b2 . 2 2 3 9 Eksempel:  −2 ⋅  4 = 3 ⋅ 9 + ( −2) ⋅ 4 = 27 − 8 = 19 Skalarproduktet mellem to egentlige vektorer er nul, hvis og kun hvis vektorerne er ortogonale.   4 5 Eksempel: Vektorerne v =   og w =  −10 er ortogonale (vinklen mellem dem er 90º), 2  5 4 fordi v ·=w = 5 · 4 + 2 · (–10) = 20 – 20 = 0.  2  −10   a⋅b Vinklen v mellem to vektorer kan beregnes med formlen: cos(v ) =   a b    1  ⋅  5  2  −3     5  1 −1  = 94, 4°. Eksempel: Vi vil beregne vinklen mellem vektorerne c =  2 og d = : v = cos  2 2 2 2  −3  1 + 2 ⋅ 5 + ( −3)    5 6 Eksempel: To vektorer er givet ved koordinaterne p =   og q =   . Hvad skal t være, for at vektorerne er t  10 ortogonale? Hvis prikproduktet er nul, er vektorerne ortogonale. Det giver os en ligning:   p⋅q = 0  5 ⋅  6 = 0  t   10 5 ⋅ 6 + t ⋅ 10 = 0 30 + 10t = 0 10t = − 30 t = −3

Konklusion: Vektorerne er ortogonale, når t = –3.

1. Beregn skalarproduktet 2. Afgør, om vektorerne er 3. B eregn vinklen mellem af vektorerne   3 3 a. a =   og b =   6  9   3 3 b. a =  6−2 og b =  5  9 8   3  c. a =  10 og b =  3   6 4 19   36   53  d. a = og b =  9–3   16

ortogonale   3 3 a. a =  61 og b =  –2   91 2   3 3 9 b. a =  6 og b =  10  8  93   310 13 c. a =  6  og b =   1 9    3–9 3  d. a =  6  og b =  2  9–3 –6

vektorerne   3 3 a. a =  61 og b =  –4   94   9 3 3 b. a =  64 og b =  8  89   36 38 c. a =  6  og b =     9–6 10   34 3 d. a =  6 og b =  9  29  7

4. B estem t, så vektorerne bliver ortogonale. Facit er heltal eller brøker.   3 3 a. a =  6 og b =  –69  9  t   3 3 7 b. a =  6 og b =  6 2  t9   32t   83 c. a =  6–9   og b =  59   34  32 d. a =  6–6   og b =  3t 9  

Potensfunktioner Funktioner med forskrifter af typen f(x) = b · xa, hvor b er et positivt tal, kaldes potensfunktioner. Potensfunktioner er normalt kun defineret for positive værdier af x. Hvis eksponenten a er negativ, er funktionen aftagende. Hvis a er positiv, men mindre end 1, er funktionen voksende, og hældningen aftager (grafen ”flader ud”). Hvis a er større end 1, vil hældningen vokse. 1 –1 1 1 Bemærk: g(x) = x ′er= en1potensfunktion, da x 2 = x , ′ h(x) = 1= x er en potensfunktion da x = x . 2 x 2 x

( )

5. Tegn grafen for følgende potensfunktioner med CAS. 2,9

a. f1(x) = 3,2x

b. f2(x) = 1,5 · x

–0,9

–0,71

c. f3(x) = 2 · x

120

( )

6. Beregn i hånden. a. g1(4), når g1(x) = 3 · x2 b. g2(9), når g2(x) = 2 · x0,5 c. g3(5), når g3(x) = 3 · x–1

8. Differentialregningens regneregler


y 4 C 3

7. Figuren viser graferne A, B og C for nedenstående tre potens-

2

funktioner. Hvilken graf hører til hvilken funktion? a. f1(x) = 2x–0,7

b. f2(x) = 0,5 · x2,3

B

1

c. f3(x) = 2 · x0,4

A 1

Vækstegenskab for potensvækst

2

3

4

5

x

Om potensfunktioner f(x) = b · xa gælder, at når x ganges med en fremskrivningsfaktor Fx = 1 + r x , vil f(x) ganges med en fremskrivningsfaktor Fy = 1 + r y , hvor der gælder, at Fy = Fxa eller 1 + r y = (1 + r x ) a og 1 + rx = a 1 + ry . Eksempel: Vi betragter potensfunktionen f(x) = 2 · x–0,7. Hvis x vokser med 24%, svarer det til, at r x =0,24. Vi beregner fremskrivningsfaktoren for f(x) som 1 + ry = (1 + 0,24)–0,7 = 0,860. Dvs. ry = 0,860 – 1 = –0,14 = –14% . Når x vokser med 24%, aftager f(x) med 14%. Eksempel: Vi betragter funktionen g(x) = 5 · x1,5. Hvor meget skal x vokse med, for at g(x) vokser med 7%, svarende til at ry = 0,07? Det kan beregnes som 1 + rx = 1,5 1 + 0,07 = 1,046. Dvs. rx = 1 – 1,046 = 0,046 = 4,6%. For at g(x) vokser med 7%, må x vokse med 4,6%.

8. Lad f(x) = 2 · x2,7.

9. Lad g(x) = 5 · x0,7.

Hvor meget vokser f(x), hvis x vokser med

10. L ad f(x) = 10 · x–3,4.

11. L ad h(x) = 2,6 · x0,5.

a. 5%

Hvor meget vokser eller aftager g(x), hvis x aftager med

Hvor meget skal x vokse eller aftage, for at f(x) vokser med

Hvor meget skal x vokse eller aftage, for at h(x) aftager med

b. 15%

a. 9 %

a. 17%

a. 5%

c. 100 %

b. 25%

b. 3%

b. 50%

c. 50 %

c. 80%

c. 95%

12. Svingningstiden for et pendul kan tilnærmelsesvist beskrives med funktionen f(x) = 2x0,5, hvor x er snorens længde målt i meter, og f(x) er svingningstiden i sekunder. a. Beregn svingningstiden af et pendul med en snorlængde på 2 meter. b. Hvor mange % øges svingningstiden, hvis snorlængden øges 50%? c. Hvor mange % skal snorlængden øges, for at svingningstiden fordobles?

Ligningsløsning 13. Løs ligningen ved at isolere x ”i hånden”.

14. L øs ligningen ved at isolere t ”i hånden”.

Facit er heltal eller brøker.

Facit er heltal eller brøker.

a. 3x + 5 = 2x – 11

a. 3t + 5t + 10 = 11t – 2

b. 5x – 1 = 7x – 15

b. 10 + 2t = 3(4t + 8)

c. 3(2x + 5) – 4x = 11x

c. 5(t – 3) = 9(5 –t)

15. Brug determinantmetoden til at finde rødderne i andengradspolynomierne. a. f1(x) = x2 – 2x –3 b. f2(x) = x2 – 2x –8 c. f3(x) = 5x2 + 10x d. f4(x) = 4x2 + 4x –3 8. Differentialregningens regneregler

121


9. Differentialregningens anvendelser 9.1 Monotoniforhold 1 Introduktion  Omsætningen år x for et firma, der sælger 3D-printere, kan beskrives med funktionen R(x) = (400x + 100) · (8 000 · 0,9x). Man kan beregne, at R ′(3) ≈ 1,5 millioner: Efter 3 år vokser omsætningen med en hastighed på ca. 1,5 millioner om året. Vil omsætningen mon blive ved med at vokse i det uendelige? Hvad er monotoniforholdene for R(x)?

En funktions monotoni-

2 Observation

forhold er en liste over

 Hvis differentialkvotienten (tangentens hældning) er nul i et punkt, er der

de intervaller, hvori funk-

tale om et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller en vandret ven-

tionen er voksende eller

detangent. Et lokalt maksimum/minimum kan derudover vise sig også

aftagende.

at være det globale maksimum/minimum for funktionen, men det er ikke relevant for monotoniforholdsundersøgelsen. y

y

y

Lokalt maksimum

x

Lokalt minimum

x

Vandret vendetangent

x

3 Eksempel: Monotoniforholdsundersøgelse med CAS

Vi vil undersøge monotoniforholdene for omsætningsfunktionen R(x) = (400x + 100) · (8 000 · 0,9x ) fra introduktionen. Vi ser kun på x ≥ 0,

y

da x er antal år efter produktionsstart.  Først findes R ′(x) med CAS, og derefter løses R ′(x) = 0 med CAS. Det giver netop én løsning: x = 9,2.

R

Nu tegnes grafen med CAS, og vi kan se, at der er tale om et maksimum. Konklusion: Funktionen er voksende i intervallet [0; 9,2] og aftagende i [9,2 ;∞[. I forhold til modellen, betyder det, at omsætningen vokser de 9,2

x

første 9 år, hvorefter den begynder at aftage.

4 Bemærkninger • I ntervalendepunktet 9,2 er med i begge intervaller. Det er en konsekvens af definitionen af begreberne voksende og aftagende. Det kigger vi på i et senere afsnit. • Vi er nødt til at løse R ′(x) = 0 for at sikre os, at funktionen ikke begynder at vokse igen uden for grafvinduet!

122

9. Differentialregningens anvendelser


5 Eksempel: Monotoniforholdsundersøgelse uden CAS Vi vil undersøge monotoniforholdene for funktionen med forskriften f(x) = x3 + x2 – x + 2. •D  ifferentier f(x)

f ′(x) = 3 · x3–1 + 2 · x2–1 –1 + 0 = 3x2 + 2x –1 •L  øs ligningen f ′(x) = 0 for at finde eventuelle ekstrema: f ′(x) = 0 svarer til 3x2 + 2x –1 = 0.

Det er en andengradsligning, som har løsningerne x = –1 og x = 13 .

Scan evt. QR-koden for at se, hvordan den løses.

Ved x = –1 og ved x = 13 (og kun de to steder!) er tangenten vandret.

x:

Det er skrevet ind i tallinjen i margenen.

1 3

0

0

–1

1 3

f ′(x):

•F  ortegnsundersøgelse af f ′(x)

–1

For at finde ud af, om funktionen er voksende eller aftagende til venstre for x = –1, beregnes differentialkvotienten (tangentens hældning) for en x-værdi mindre end –1. Vi vælger x = –2.

f ′(–2) = 3 · (–2) 2 + 2 · (–2) –1 = 3 · 4 – 4 – 1 = 7. Tangentens hældning er dermed positiv, når x = –2. Det betyder, at f(x) er

voksende, når x er mindre end –1.

På samme måde undersøges de andre intervaller: x = 0 ligger mellem –1 og 13 , og f ′(0) = 3 · 02 + 2 · 0 –1 = –1.

Tangentens hældning er altså negativ, når x = 0. Det betyder, at f(x) er aftagende, når x er større end –1, og mindre end 13 .

x:

x = 1 er større end 13 , og f ′(1) = 3 · 12 + 2 · 1 –1 = 3 + 2 – 1 = 4

f ′(x):

Tangentens hældning er positiv, når x = 1. Det betyder, at f(x)

er voksende, når x er større end 13 .

+

0

+

0

f(x):

I margenen er disse resultater samlet i en såkaldt monotonilinje.

•K  onklusion

y

f(x) er voksende i intervallet ]–∞ ; –1], aftagende i intervallet [–1; 13 ]

og voksende igen i intervallet [ 13 ;∞[.

3 f

2

6 Bemærkning

1

De x-værdier, der udvælges i fortegnsundersøgelsen, kan vælges frit inden for intervallerne. Vi kunne for eksempel have valgt x = 2 i stedet for x = 1. –2

–1

1

2

x

7 Øvelse a. Gennemfør, med CAS, en monotoniforholdsundersøgelse af funktionen

g(x) = 14 x4 + 13 x3 – 20x2 – 112x.

b. Gennemfør, uden CAS, en monotoniforholdsundersøgelse af funktionen

f(x) = x3 – 3x2 + 8.

9. Differentialregningens anvendelser

123


9.2 O  m forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion 8 Introduktion Børn arver nogle egenskaber fra deres forældre. Afledede funktioner arver også nogle helt bestemte egenskaber. I dette afsnit skal vi se nærmere på forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion.

9 Eksempel

y f

Figuren viser graferne for funktionen f(x) og dens afledede funktion f (′ x).

f′

 Grafen for f (′ x) skærer x-aksen ved x = 3. Det betyder, at f (′ 3) = 0. Det passer med, at grafen for f(x) har en vandret tangent

3

x

netop ved x = 3. x:

3

f ′(x):

+

0

f(x):

Derudover kan vi se

– at f(x) er aftagende, der hvor f (′ x) er negativ – at f(x) er voksende, der hvor f (′ x) er positiv

I margenen ses en monotonilinje for f(x).

10 Eksempel I margenen ses to grafer, A og B, i samme koordinatsystem. Den ene er graf for en funktion f(x) og den anden er graf for den afledede funktion f (′ x). Hvilken graf hører til f(x) og hvilken hører til f (′ x)?

y B

Vi lægger mærke til, at graf B skærer x-aksen to steder, og at de to steder svarer til der, hvor graf A har vandret tangent.  Vi kan også se, at der hvor graf A er voksende, ligger graf B over x-aksen; samt x at der hvor graf A er aftagende, ligger graf B under x-aksen.

A

Vi kan samlet set konkludere, at A må være graf for f(x), og at B må være graf for den afledede funktion f (′ x).

11 Eksempel x: f ′(x):

2 –

0

5 +

0

I margenen ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for f (′ x).

Vi vil bruge disse informationer til at finde monotoniforholdene for f(x).

Vi kan se, at f (′ 2) = 0, og at f (′ 5) = 0. Ved x = 2 og ved x = 5 er der altså enten

et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller en vandret vendetangent. Ud fra fortegnene på f (′ x) kan vi konkludere:

f(x) har lokalt minimum ved x = 2. f(x) har lokalt maksimum ved x = 5.

124

9. Differentialregningens anvendelser


Vi kan nu opskrive monotoniforholdene: f(x) er aftagende i intervallerne ]–∞; 2] og [5 ;∞[. f(x) er voksende i intervallet [2;5] Nedenfor ses tre mulige grafer for f(x). De har alle tre samme monotoniforhold.

–1

y

y

y

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

–1

1

2

3

4

5

6

8 x

7

–2 –3

f

–4

–1

–1

f 1

2

3

4

f

1 5

6

7

8 x

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

12 Eksempel Til højre ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for f (′ x). Vi vil gerne tegne en mulig graf for funktionen f(x). Fra tallinjen kan vi se, at f(x) har en vandret tangent, når x = 3 og at f(x) er aftagende både før og efter x =3. Ud fra dette kan

1

2

3

4

5

6

8 x

7

y

x:

4 f

3

3

f ′(x):

4

5

7

8 9

0

2 1

vi tegne en mulig graf. 1

13 Øvelse

y

På figuren er to grafer, P og Q, tegnet i samme koordinatsystem.

6

Den ene er graf for en funktion f(x) og den anden er graf for den afledede funktion f (′ x). a. Gør rede for, hvilken der er graf for f(x), og hvilken der er graf for f (′ x).

2

3

5 Q

4 3 2 1 –1 –1

P 1 2

3

4

5

14 Øvelse

6

I margenen ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for f (′ x).

x:

a. Tegn en mulig graf for f(x).

f ′(x):

15 Øvelse I margenen ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for g (′ x). a. Tegn en mulig graf for g(x).

16 Øvelse I margenen ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for h (′ x). a. Tegn en mulig graf for h(x).

x

4

x: g ′(x):

+

+

0

10 –

–3 –

0

0

–8

x: h ′(x):

x

0

+

2 +

0

9. Differentialregningens anvendelser

+

125


9.3 Optimering og andre anvendelser af f ′

200

90

h

x

17 Introduktion (Opgave fra skriftlig eksamen august 2012.)

x

En rektangulær legemadras kan foldes på midten og danne en hule, som vist på figuren. Vi vil bestemme den værdi af x, der gør volumenet størst muligt.

Volumenet er lig med (arealet af endefladen) · (længden). Endefladen er en trekant, så arealet af endefladen er 1 ⋅ h ⋅ 2 x = h ⋅ x , 2

og længden er 200. Volumenet er dermed V = h · x · 200.

Volumenet afhænger både af x og af højden h. Kan vi udtrykke h ved x? Endefladen kan ses som to retvinklede trekanter. Vi indsætter sidelængderne i Pythagoras’ sætning og isolerer h. Se beregningen i margenen.

x 2 + h2 = 902

Vi har nu udtrykt h ved x og kan opskrive volumenet som en funktion af x

h2 = 902 − x 2

h = 902 − x 2

2 V ( x ) = 90 − x 2 ⋅ x ⋅ 200 . 

h

For at finde maksimum, løser vi V (′ x) = 0. Det giver løsningen x = 63,6. For at tjekke, at der rent faktisk er tale om et maksimum, beregner vi differentialkvotienten for en x-værdi til venstre og til højre for x = 63,6. V (′ 60) = 2683 og V (′ 70) = –6010. V(x) er altså voksende før x = 63,6 og aftagende efter x = 63,6. Der er tale om et maksimumssted, og vi kan konkludere, at volumenet er størst, når x er 63,6.

Tangentens ligning y

18 Sætning Tangenten til grafen for f i punktet ( x0 , f(x0)) har ligningen y = f (′ x0) · (x – x0) + f(x0). Beviset kan ses ved at scanne QR-koden.

f f(x0)

19 Eksempel x0

x

Vi vil beregne tangentens ligning til grafen for f ( x ) = x , når x0 = 4.

Vi bestemmer først f (4) = 4 = 2 . 1

f ( x ) =(f ′( x ) ′==

1 2 x

(b · a ) ′= b · a · ln(a) x

126

1

1

1 = = ff ′(′ x) så ff′(4) (′ 4) = x )== 2⋅2 4 2 x 2 4 Vi kan nu indsætte i formlen og reducere: x

1 4

1 4

1 4

y = ⋅ ( x − 4 ) + 2 = ⋅ x − ⋅ 4 + 2 = 1 4

1 4

1 4

1 4

y = ⋅ ( x − 4 ) + 2 =Tangentens ⋅ x − ⋅ 4 + 2ligning = x −er 1+ y2 ==

9. Differentialregningens anvendelser

1 1 x − 1+ 2 = x + 1. 4 4

1 x + 1. 4


Konklusioner ud fra viden om f ′ 20 En konstant væksthastighed giver lineær vækst Hvis man ved om en funktion f(x), at f (′ x) = a, så er f(x) = a · x + b

21 Eksempel På en given crosstrainer forbrændes 60 kJ pr. minut. Hvis funktionen g(x) er antal forbrændte kJ efter x minutter, betyder det, at g (′ x) = 60. Væksthastigheden er konstant, og vi kan konkludere, at g(x) = 60x.

22 En væksthastighed proportional med funktionsværdien giver eksponentiel vækst Hvis man ved, at f (′ x) = c · f(x), så er f(x) = b · ax, hvor a = ec.

23 Eksempel En bank giver en rente på 4 % p.a. Hvis der står 1000 kr. på kontoen, får man altså

Renteformlen

40 kr. i rente. Står der 2 000 kr., får man 80 kr. i rente. Står der 10 000 kr., får man

Kn = K0 · (1 + r)n

400 kr. i rente.

kan skrives som

Kontoernes væksthastighed er proportional med saldoen. Så hvis funktionen g(x) er saldoen efter x år, er g (′ x) = c · g(x) for en bestemt konstant c. Vi ved fra tidligere, at

g(x) = K0 · (1 + r)x, hvor x er antal terminer.

saldoen kan beskrives med g(x) = K0 · 1,04x, hvor K0 er startbeløbet. g (′ x) = K0 · 1,04x · ln(1,04) = g(x) · ln(1,04) = ln(1,04) · g(x) Så i dette tilfælde er c = ln(1,04).

24 Øvelse Volumen af en bestemt kasse er givet ved dens højde x, således at: V(x) = 4x3 – 30x2 + 50x, x ∈ ]0;2,5[ a. Bestem V (′ x), og løs ligningen V (′ x) = 0

b. Bestem den højde, der giver det maksimale volumen.

25 Øvelse a. Bestem ligningen for tangenten til f(x) = x2 + 3, når x0 = 1.

26 Øvelse Om en funktion gælder, at f (′ x) = ln(2) · f(x). a. Gør rede for funktionstypen, og opskriv et funktionsudtryk for f(x). b. Bestem en af konstanterne i funktionsudtrykket. c. Det oplyses, at f(1) = 6. Benyt dette til at bestemme den sidste konstant i regneforskriften.

9. Differentialregningens anvendelser

127


9.4 A  ndengradspolynomier og differentialregning

27 Introduktion

I dette afsnit vil vi benytte differentialregning til at bevise et par sætninger om andengradspolynomier.

Fra kapitel 1 har vi sætningen

[6 Sætning]

For en parabel, der er graf for f(x) = ax2 + bx + c gælder:

1. P  arablen vender grenene opad, hvis koefficienten a er større end 0, og nedad, hvis a er mindre end 0.

2. Parablen skærer y-aksen i punktet (0,c).

3. Tangenthældningen i punktet (0,c) er lig med b.

y

28 Bevis for [6 Sætning 3.]

f (′ 0) er netop tangenthældningen i punktet ( 0,f(0)) = (0,c). Vi finder først den afledede funktion f :′

b

f (′ x) = a · 2x + b + 0 = 2ax + b

f

1

Nu kan vi beregne f (′ 0):

f (′ 0) = 2a · 0 + b = 0 + b = b.   Hermed har vi bevist, at tangentens hældning i skæringen med y-aksen, x

dvs. i punktet (0,c), er lig med b.

Fra kapitel 1 har vi også sætningen

[11 Sætning]

Parablen, der er graf for funktionen

f(x) = ax2 + bx + c

har et toppunkt med koordinaterne:

b d T =  − , −  , 2a 4 a

 hvor a, b og c er koefficienterne fra forskriften, og tallet d, som kaldes diskriminanten, er givet ved: d = b2 – 4ac.

128

9. Differentialregningens anvendelser


y

29 Bevis for [11 Sætning] Kald toppunktets koordinater for T = (xT ,yT). Ved toppunktet må tangenten være vandret. Dvs. at tangentens hældning er nul, når x = xT. Det betyder, at f (′ xT) = 0.

f

Den afledede funktion er f (′ x) = 2ax + b, så f (′ xT) = 0 giver os ligningen 2a · xT + b = 0. Den kan løses ved at isolere xT :

2a ⋅ x T + b = 0 2a ⋅ x T = − b

x

xT

−b 2a b xT = − 2a

xT =

Hermed har vi vist sætningen mht. x-koordinaten.

y

For at beregne y-koordinaten, benytter vi, at yT = f(xT). Det giver os en lidt lang udregning, hvor vi skal bruge nogle potensregneregler og nogle brøkregneregler.

f

yT = f ( xT ) = a ⋅ xT 2 + b ⋅ xT + c

yT = f(xT)

2

−b −b +c = a ⋅   + b ⋅ 2a 2a

= a⋅

( −b ) + (2a )

= a⋅

b −b +c 2 + 2 ⋅a 2a

2

2

Potensregneregler

( )+c

n

2

=

b 4a ⋅ c −2b + + 4a 4a 4a

=

b − 2b + 4 ac 4a

=

−b + 4 ac 4a

2

(p · q)n = pn · qn

2

2

Brøkregneregler

2

(

p⋅

)

− b − 4 ac 4 a 2a ⋅ x + b = 0 T −d 2a ⋅ x T = − b = 4a −b xT = I sidste linje har vi udnyttet, at2ad = b2 – 4ac. b d b T =at −yT =, − . Samlet set, har vi vist, at x T = − og 2a 4 a 2a

=

n

p  p = n  q q

2 ⋅ −b a⋅b = + 4⋅a⋅a 2 ⋅ 2a

2

x

2

2

2

2

xT

b ⋅ ( −b ) +c 2a

2

q p⋅q = r r

p r⋅p = q r ⋅q p r p+r + = q q q

Så vi har vist, at toppunktets koordinater er

b d T =  − , −  . 2a 4 a

30 Øvelse a. Tag et blankt stykke papir, og træn beviserne ved selv at skrive alle beregningerne ned. Sørg for, at du forstår alle mellemregningerne.

9. Differentialregningens anvendelser

129


9.5 Om begreberne voksende og aftagende

y

31 Definition

f

En funktion f er voksende i et interval [a;b],

f(x2)

når der, for alle x1 og x2 i intervallet, gælder: Hvis x1 < x2, så er f(x1) < f(x2).

f(x1)

Sagt med ord: Hvis x1 er mindre end x2, så medfører det, at f(x1) er mindre end f(x2).

32 Eksempel

x

x2

x1

y 2

Funktionen f(x) = x er voksende i intervallet [0;∞[.

f

Vi vælger to x-værdier i dette interval: x1 = 3 og x2 = 4.

5

3 er mindre end 4, så x1 < x2.

f(2)= 4

Funktionsværdierne er

3 2

f(x1) = f(3) = 32 = 9

f(x2) = f(4) = 42 = 16

f(1)=1

9 er mindre end 16, så f(x1) < f(x2).

–1

1

2

3

33 Eksempel Vi vil vise, at funktionen g(x) = 2x + 8 er voksende for alle reelle tal. Vi skal altså vise, at hvis x1 < x2, så er g(x1) < g(x2). Det kan vi gøre ved at omskrive betingelsen x 1 < x 2:

x1 < x2

2x1 < 2x2

2x1 + 8 < 2x2 + 8 g(x1) < g(x2)

2 er ganget på begge sider af ulighedstegnet

8 er lagt til på begge sider af lighedstegnet Funktionsforskriften genkendes.

Det var, hvad vi skulle vise. Som det ses, kan man regne med uligheder på næsten samme måde som med lignin-

ger, med den vigtige forskel at hvis man multiplicerer eller dividerer med et negativt y

tal, skal ulighedstegnet vendes om. f

34 Definition

f(x2)

 En funktion f er aftagende i et interval [a;b], hvis der, for alle x1 og x2 i [a;b],

f(x1)

gælder, at hvis x1 < x2 , så er f(x1) > f(x2). x1

130

x2

x

9. Differentialregningens anvendelser

x


y

35 Eksempel Funktionen h(x) = –0,5x + 3 er aftagende for alle reelle tal.

4

h

Vi vælger to x-værdier: x1 = 2 og x2 = 4.

3

2 er mindre end 4, så x1 < x2. Funktionsværdierne er

h(2)= 2

h(x1) = h(2) = –0,5 · 2 + 3 = –1 + 3 = 2

h(4)= 1

h(x2) = h(4) = –0,5 · 4 + 3 = –2 + 3 = 1 –1

2 er større end 1, så h(x1) > h(x2).

1

2

3

4

x

5

36 Eksempel Funktionen f(x) = x2 er aftagende i intervallet ]–∞;0] og voksende i intervallet [0;∞[. Vi vil nu vise, hvorfor minimumsstedet x = 0 er med i begge intervaller. Intervallet ]–∞;0] Hvis vi vælger x2 = 0 og x1 som et hvilket som helst andet tal (dvs. ikke 0)

y

i intervallet ]–∞;0], har vi, at x1 < x2. f(x1) = x12 og f(x2) = f(0) = 02 = 0 så f(x1) > f(x2), og vi kan konkludere,

f

3

at funktionen er aftagende i intervallet ]–∞;0]. 2

Intervallet [0;∞[ Hvis vi vælger x1 = 0 og x2 som et hvilket som helst andet tal (dvs. ikke 0)

1

i intervallet [0;∞[, har vi at x1 < x2. f(x1) = 02 = 0 og f(x2) = x22, så f(x1) < f(x2), og vi kan konkludere, at funktionen er voksende i intervallet [0;∞[.

–2

–1

1

2

x

Så minimumsstedet 0 skal altså være med i begge intervaller.

Om kontinuitet og monotoniforhold 37 Bemærkning y

Hvis en funktion ikke er kontinuert for alle reelle tal, er man nødt til at være opmærksom på de steder, den ikke er kontinuert, når man undersøger monotoniforholdene.

f 3

38 Eksempel

2

Funktionen f ( x ) = 12 , x ≠ 0 er voksende i intervallet ]–∞;0[ x og aftagende i ]0;∞[, men f (′ x) = 0 har ingen løsninger.

1

–3

–2

–1

1

2

9. Differentialregningens anvendelser

3

x

131


Opgaver – 9. Differentialregningens anvendelser

S can QR-koden for at

Opgave 908

komme til facitlisten.

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle maksima/minima for f ( x ) = 6 ⋅ x − x ⋅ x b. Tegn grafen.

Opgave 901 Opgave 909

Vi ser på funktionen f(x) = x4 – x2. a. Find f ′(x).

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

b. F ind løsningerne til Iigningen f ′(x) = 0.

1

c. Opdel x-aksen efter nulpunkterne for f ′(x) og

maksima/minima for f ( x ) = x ; x ≠ 0 b. Tegn grafen.

bestem monotoniintervallerne. d. Find de lokale maksimum- og minimumssteder.

Opgave 910 a. Bestem monotoniintervaller og minimum for

Opgave 902 a. E r f(x) = x + x voksende for alle x. (Benyt f ′(x) 4

f (x) = f ′(x).

x2 . x +2 2

Brug et CAS-værktøj til at finde

til at afgøre spørgsmålet)

Opgave 911 Opgave 903

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

a. Tegn en mulig graf for en funktion f(x) hvor f ′(x) er positiv i intervallet fra 0 til 5 og ellers

maksima/minima for f(x) = x3 – ex b. Tegn grafen.

negativ.

Opgave 912 Opgave 904

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

Find monotoniforhold og eventuelle maksima/ minima for funktionen f(x) = x2 – 2x ved hjælp af fortegnet for f ′(x).

maksima/minima for f(x) = ex – 2x b. Tegn grafen.

Opgave 913 Opgave 905

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle 0,3

a. Bestem monotoniforholdene for f(x) = 2x . b. Bestem monotoniforholdene for f(x) = 2 · 3 x.

maksima/minima for f(x) = ln(x) – x + 4; x > 0 b. Tegn grafen.

c. Bestem monotoniforholdene for f(x) = –2x + 4. d. Bestem monotoniforholdene for f(x) = 3x3 – 9x.

Opgave 914 a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

Opgave 906

maksima/minima for f ( x ) = x − x 2 ; x > 0

a. B  estem monotoniforholdene og eventuelle maksima/minima for f(x) = 6x2 – 12x + 10 b. Tegn grafen.

.

b. Tegn grafen.

Opgave 915 a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

Opgave 907 a. B  estem monotoniforholdene og eventuelle maksima/minima for f(x) = x3 – 27x b. Tegn grafen.

132

9. Differentialregningens anvendelser

maksima/minima for f(x) = ln(x) + x; x > 0 b. Tegn grafen.


Opgave 916

Opgave 920

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

En tangent til grafen for f(x) = x2 – 5x + 6 har

maksima/minima for f(x) = x – ln(x); x > 0

hældningen 1. a. Bestem f ′(x)

b. Tegn grafen.

b. Bestem x-koordinaten til tangentens rørings-

Opgave 917

punkt.

Bestem monotoniforholdene og eventuelle

c. Har grafen en vandret tangent?

maksima/minima for følgende funktioner, brug et CAS-værktøj til at finde f ′(x) og løse ligningen

Opgave 921

f ′(x) = 0:

a. Har grafen for f(x) = 3x4 + 5 en eller flere van-

a. f ( x ) =

x ; x −1

b. f ( x ) =

x −1 ; x

drette tangenter?

x≠1

2

c. f ( x ) =

1 1+ e− x

d. f ( x ) =

1 ; x +1

e. f ( x ) =

2x ex

f. f ( x ) =

ln( x ) ; x

b. H vis ja, find ligningen for de vandrette tangen-

x≠0

ter i spm. a, hvis nej begrund svaret. c. Har grafen for f(x) = x4 – x2 en eller flere vandrette tangenter?

x ≠ –1

d. H vis ja, find ligningen for de vandrette tangenter i spm. c, hvis nej begrund svaret.

Opgave 922

x>0

a. Skitser grafen for en funktion f, hvorom der gælder, at f ′(3) = 0, f ′(7) = 0 samt f (5) = 10.

Opgave 918 a. Vis at grafen for f(x) = x3 har en vandret vende-

Opgave 923

tangent. b. Bestem ligningen til den vandrette vende-

a. Bestem monotoniforholdene og vandrette tangenter for f(x) = 16 · x5 – 10 · x4 – 40 · x3

tangent.

b. H vilke af de vandrette tangenter er vende-

Opgave 919

tangenter? c. Tegn grafen.

y 2

Opgave 924

f(x) = x3 – x 1,5

a. Bestem monotoniforholdene og vandrette tangenter for f(x) = x3 – 3x2 – 3x – 1

1

b. H vilke af de vandrette tangenter er vende-

0,5

tangenter? –2

–1,5

–1

–0,5

0,5

1

1,5

2

x

c. Tegn grafen.

a. Figuren viser grafen for f(x) = x3 – x. b. Bestem de x-værdier hvor f(x) = x3 – x har vandret tangent. c. Find lokale maksima/minima for f(x) = x3 – x.

9. Differentialregningens anvendelser

133


Opgaver – 9. Differentialregningens anvendelser

Opgave 925

Opgave 932 x:

a. B  estem monotoniforholdne og vandrette tan5

4

3

2

genter for f(x) = x – 5x + 10x – 10x + 5x – 1 b. H  vilke af de vandrette tangenter er vende-

f ′(x):

1 +

0

4 –

+

0

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x). a. Tegn en mulig graf for f(x).

tangenter? c. Tegn grafen.

Opgave 933 x:

Opgave 926 x:

5

f ′(x):

+

0

f ′(x):

–5 –

0

3 +

0

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det at f(–4) = –3.

a. Tegn en mulig graf for f(x).

a. Tegn en mulig graf for f(x).

Opgave 927

Opgave 934

x:

x:

11

f ′(x):

0

+

f ′(x):

–2 –

0

10 +

0

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f(x).

a. Tegn en mulig graf for f(x).

Opgave 928 x:

–2

f ′(x):

+

0

Opgave 935 x:

+

11

17

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(–2) = 5.

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f(x).

Derudover oplyses det, at f(5) = 10, f(16) = 5 og at

f ′(x):

0

+

0

f(18) = 5.

Opgave 930 x:

a. Tegn en mulig graf for f(x). 1

f ′(x):

0

+

Opgave 936

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

x: f ′(x):

4

–1

9

Derudover oplyses det, at f(3) = 10.

a. Tegn en mulig graf for f(x).

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

+

0

0

+

a. Tegn en mulig graf for f(x).

Opgave 931 x:

6

f ′(x):

+

0

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x). Derudover oplyses det, at f(0) = 2 og at f(10) = 1. a. Tegn en mulig graf for f(x).

134

9. Differentialregningens anvendelser

0

+


Opgave 937

y

d.

I hvert koordinatsystem er tegnet to grafer. En for f og en for den afledede funktion f ′. For hver figur

5

skal du afgøre, hvilken der er grafen for f, og hvilken er grafen for f ′.

3

a.

4

2 M

y

1

3 –4

2

A

–3

–2

–1

1 –3

–2

–1

1

2

3

x

4

–1

B

–2

4

5

6

x

7

–3

e.

y 3 S

2

y 4

C

3

–3

b.

2

–2

N –-4

1 –1

1

3

R

2

–3

–2

–1

1

2

3

x

1 –1 –-4

–3

–2

–1

1

2

3

4

x

–1 D

–2

f.

c.

y W

y

4

P 3 1

2 1

–2

–1

1

2

Z

x

–2

1

2

3

4

5

x

–1

–1

Q

–1

9. Differentialregningens anvendelser

135


Opgaver – 9. Differentialregningens anvendelser

Opgave 938

Opgave 942

En cylinderformet konservesdåse skal have rum-

 En familie vil sætte

fanget 100 cm3 (1 dl). Højden kaldes h, overfladen

et vindue i gavlen på

for O(x) og radius i grundfladen for x. a. Bestem h som funktion af x.

4m

deres hus.

a.  H vilke dimensioner

b. Bestem en formel for O(x).

(længde og højde)

c. Find den x-værdi og h-værdi hvor materialefor-

skal vinduet have

bruget er mindst muligt.

for at få størst muligt areal?

6m

Opgave 939 Torben vil bygge en opbevaringskasse af ædeltræ,

Opgave 443

bundfladen skal være dobbelt så lang som den er bred (længderne x og 2x). Højden kalder vi h. Træet koster 0,04 kr. pr. cm2 og bunden skal være dobbelt

16 km

tykkelse. Den samlede pris skal være 150 kr. a. O  pstil en formel for den samlede pris og en formel for rumfanget af kassen b. E liminer variablen h, og find en formel for rumfanget alene som funktion af x c. Bestem den værdi af x, der giver det største rumfang til prisen.

0

x

En olieboreplatform ligger 16 km udenfor en kyst. Olien skal transporteres til et raffinaderi lidt nede af kysten. Det koster 300.000 pr. km i vandet at lægge en olieledning, og 210.000 kr. pr. km på

Opgave 940

land. (Vink: Brug Pythagoras’ læresætning, og kald

Et sportsanlæg består af et rektangulært område

derudover afstanden fra (0,0) til raffinaderiet for L)

med siderne x og y afsluttet af to halvcirkler med

Find ud af, hvor vi skal føre olieledningen på land (x),

diameter x. Omkredsen skal være 250 m i alt (ind-

hvis ledningens samlede pris skal være mindst

hegning).

muligt.

a. H  vilke værdier skal x og y have, for at arealet af anlægget bliver størst muligt?

Opgave 944 En funktion er givet ved forskriften

Opgave 941

f(x) = 0,5x2 + 3x.

 Et blomsterbed har form af et rektangel afsluttet af en enkelt halvcirkel. Omkredsen skal være 8 m. a.  H vilken størrelse skal siderne i rektanglet have, for at bedet får størst muligt areal?

136

9. Differentialregningens anvendelser

a. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( 2, f(2)) . b. Tegn grafen for f og tangenten i samme koordinatsystem.


Opgave 945

Opgave 950

En funktion er givet ved forskriften f (x) =

x + x 2 , x ≥ 0.

a. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( 1, f(1)) . b. Tegn grafen for f og tangenten i samme koordinatsystem.

Opgave 946 En funktion er givet ved forskriften g(x) = –x2 + 5. a. Grafen har én tangent med hældning 2. Bestem en ligning for denne tangent.

Opgave 947

I en model H for højden af et bestemt træ, antages

a. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til f i punktet (1,5), når det oplyses, at f ′(1) = –2.

det, at væksthastigheden er konstant på 2 cm pr.

b. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til g i punktet (3, –5), når det oplyses, at g ′(3) = 1.

oplyses, at H(0) = 21 cm.

c. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til h i punktet (–1, 4), år det oplyses, at h ′(–1) = 8.

døgn. H(t) er højden i cm, og t er tiden i døgn. Det a. Opskriv en forskrift for modellen H.

Opgave 951 Om en funktion gælder det, at f ′(x) = 5 ∙ f(x).

Opgave 948

a. Bestem, hvilken type funktion der er tale om.

Om en bestemt funktion f oplyses det at f ′(x) = 5.

b. Bestem en forskrift for f, når det oplyses, at

Det oplyses også at f(2) = 1.

f(0) = 10.

a. Bestem en forskrift for f.

Opgave 952 Opgave 949

Modellen N(t) beskriver størrelsen af en bestemt

Om en bestemt funktion g oplyses det, at g ′(x) = –2. Det oplyses også, at g(5) = 10.

population bakterier. N(t) er antallet af bakterier,

a. Bestem en forskrift for g.

Det viser sig, at væksthastigheden er proportional

og tiden t er målt i timer. med antallet af bakterier, med proportionalitetsfaktor 0,023. Dvs. N ′(t) = 0,023 ∙ N(t) a. Beregn væksthastigheden, når der er 5000 bakterier i populationen. b. Beregn væksthastigheden, når der er 10000 bakterier i populationen. c. Hvilken type vækst er der tale om? d. Bestem en forskrift for N(t), når det oplyses, at der er 1000 bakterier, når t = 0.

9. Differentialregningens anvendelser

137


Træningssider 9

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Tværvektor, determinant og arealer     a b Vektor a og b er givet ved koordinaterne a =  a1  og b =  b1  . 2 2   − a2 Tværvektor: Når en vektor a drejes 90° i positiv omløbsretning, fremkommer dens tværvektor aˆ =  a  1   3 −5 Eksempel: Ud fra vektor p =   kan vi danne tværvektoren p̂ =   . 5 3     a b Determinanten af to vektorer: det(a , b ) = aˆ ⋅ b = 1 1 = a b − a b . a2

b2

1 2

2 1

    3 4 7 3 Eksempel: Hvis a =  4 og b =  7 , er det a , b = –10. = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 7 = 4 − 14 = 10 2 1  26  19

( )

Arealer:

y

 b =  b1   b2  v

  4 7 = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 7 = 4 − 14 Arealet A af det parallelogram, som to vektorer udspænder: A =det a , b .= a = 10 2 1 a =  a    4 7 x = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 7 = 4 − 14 = 10 Arealet T af den trekant to vektorer udspænder: T = 1 det a , b = 2 1 2   1 Arealet T∆ABC af trekanten med hjørner i punkterne A, B og C: T ABC = det AB , AC 2     4 7 = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 7 = 4 − 14 = 10 Parallelle vektorer: To egentlige vektorer a og b er parallelle, hvis og kun hvis det a , b == 0 .

( )

1. Angiv koordinater til

2. Beregn determinanten

tværvektoren til vektorerne.  9 a. a =  2  −5 b. p =   11   −4 c. v =   −7

af vektorerne.

 0 d. w =  −100

  5 6 d. v =   og w =  −3 1

 3  3 a. a =   og b =   6 9   −2   5 b. p =  8 og q =  9  3  10 c. c =   og d =  1  4

5. Beregn arealet af trekanten med hjørner i punkterne: a. A(1,1), B(6,2) og C(3,9) b. A(–6,–9), B(–7,–4) og C(2,8) c. A(3,–6), B(–9,2) og C(1,1) d. A(–5,2), B(–9,–4) og C(1,–7)

( )

1

2

(

)

( )

3. B eregn arealet af det parallelogram, vektorerne udspænder.   1 a. a =  3 og b =  1   5   10   4 b. p =  2  og q =  9   2 3 c. c =   og d =  −4  −2   4 1 d. v =  −2 og w =  −4

2

1

4. B eregn arealet af den trekant, vektorerne udspænder.  3  5 a. a =  2 og b =    4   2   7 b. p =  −2 og q =  4   1 3 c. c =   og d =  −3  −1 

  −2 3 d. v =   og w =    −4 −3 

6. Hvilke af nedenstående vektorpar 7. B estem k, så vektorerne bliver paer parallelle?  2 a. a =  3 og  9 b. p =  1 og

rallelle. Facit er heltal eller brøker.  8  k a. a =   og b =   6  2   9   3 b. p =  1 og q =  k    3 −3 c. c =   og d =  10 k

 8 b =   12  3 q =   4   3 −3 c. c =   og d =  10 1   −6 3 d. v =   og w =    −1  2

  −3 k d. v =   og w =   −4 −8

Differentialregning Find oversigten over funktioner og deres afledede funktioner, samt regnereglerne for differentialregning, i formelsamlingen. Eksempel: Hvis f(x) = 5x3 – 2x2, er f (′ x) = (5x3) ′– (2x2) ′= 5 · 3x3–1– 2 · 2x2-1 = 15x2 – 4x 1 ⋅ ln( x+) +x x· (⋅ ln(x) ln( x )++ xx ·⋅ = ln( x ) + 11 Eksempel: Hvis f(x) = x · ln(x), er gg (′(x)x )== x( x′ ·′ )ln(x) ln(x) (ln( x))′)=′ =11·⋅ln(x) x

138

9. Differentialregningens anvendelser




Differentier følgende funktioner ”i hånden”.

8. a . f1(x) = x6

( )

10. a . h1(x) = x · x ′ = 1

9. a . g1(x) = 10x5 – 7x3

2 x 1 x 2 b. f2(x) = x ′ = 1g′(b. g2((x) ln(x) x) = x ′ )=⋅ ln( x ) ++ xx ⋅ (ln( x ))′ = 1b. ⋅ ln(hx2(x) )+ = x⋅ = · 3ln( x ) + 1 x 2 x 1 2 + x=⋅ = ln( x ) + 1 c. g3(x) = 3 x –′ =2x5 1 c. xf3)(x) ( x ′) ⋅ ln( x ) + x ⋅ (ln( x ))′ = 1⋅ ln( c. h (x) = (4x – 2x – 5) · e5x 3 x 2 x 10 d. f4(x) = cos(x) d. g4(x) = x + 12 · e3x d. h4(x) = (x2 + 3x) · (x5– 4x2 + x)

( )

( )

Beregn nedenstående differentialkvotienter uden brug af CAS.

12. a . f1 (′ 2), når f1(x) = x3

( )

b. f2 (′ 4), når f2(x) = x ′ = 1 2 x c. f3 (′ 10), når f3(x) = ln(x) d. f4 (′ –2), når f4(x) = 3x2 – 4x + 1

14. Differentier følgende

( )

b. f2(x) =

1 −3 x + 10

c. f3(x) = 3sin(5x – 1) + 12 d. f4(x) = 4e–2x–12

13. a . g1 (′ 1), når g1(x) = 7x3· x ′ = 1 b. g2 (′ 2), når g2(x) = sin(3x – 6)

2 x

c. g3 (′ 1), når g3(x) = x2 · ln(x) d. g4 (′ 3), når g4(x) = (3x – 4)5

15. Beregn nedenstående differential- 16. L øs nedenstående ligninger med CAS.

funktioner med CAS.

kvotienter med CAS. a. h1 (′ –2), når h1(x) = x – 5x – 12

2

2

a. f1(x) = 3x + 4x – 1

sin( x ) b. h2 (′ 1), når h2(x) =

2

b. f2(x) = x · sin(x) c. f3(x) =

11. a . f1(x) = 4 x + 15

x 100 c. h3 (′ 3), når h3(x) = −0 ,2 x 1+ 2 ⋅ e

x + 2x −1 2x + 8 2

d. f4(x) = ln(x + 1)

b. f2 (′ x) = 0, når f2(x) = x2 · 3x c. f3 (′ x) = 0, når f3(x) =

d. h4 (′ 5), når h4(x) = x · (ln(x))

2

a. f1 (′ x) = 0, når f1(x) = x2 – 5x – 12

2

x − 5x + 3 1− 4 x 2

d. f4 (′ x) = 0, når f4(x) = x · (ln(x))2

Funktioner Logaritmefunktionerne 10-talslogaritmen:

log(10x) = x og 10log(x) = x

Den naturlige logaritme: ln(ex) = x og ein(x) = x Eksempel:

log(1000) = log(103) = 3 og eln(9) = 9

17. Bestem uden brug af CAS. a. log(105) –3

18. Bestem uden brug af CAS. a. ln(e5) –10

19. B estem uden brug af CAS. a. log(100)

b. l og(10 )

b. ln(e )

b. log(10000)

c. 10log(2)

c. ln(e)

c. log(0,01)

d. ln(1)

d. log(0,000001)

log(100)

d. 10

Andengradspolynomier 20. Parallelforskyd f(x) = x2 for at opnå et andengradspolynomium med toppunkt i a. (2,7) b. (8,–4) c. (–3,5) d. (–1,–6)

9. Differentialregningens anvendelser

139


10. Konklusioner fra data 10.1 Approksimation og simulering 1 Introduktion

Matematikeren C.F. Gauss fandt i starten af 1800-tallet på en funktion, hvis graf er klokkeformet. Denne graf kaldes derfor ofte en Gausskurve, og den udtrykker, hvordan sandsynlighederne er fordelt i det, man kalder normalfordelingen. I normalfordelingen er der en enkel sammenhæng mellem middelværdi, spredning og arealet under kurven. Denne sammenhæng kan i visse tilfælde overføres til binomiale sandsynligheder. Vi starter med at se, at binomialt fordelte sandsynligheder faktisk kan have et klokkeformet mønster.

Sandsynligheden for en hændelse skal forstås som

2 Simulering af binomiale sandsynligheder

Ved hjælp af CAS vil vi nu simulere, at vi hhv. 25, 110 og 1500 gange kaster 10 mønter og registrerer antal krone. I diagrammerne nedenfor vises frekvensen af

frekvensen ved et uendeligt

de mulige udfald. Bemærk, at frekvensen allerede efter 1500 gentagelser er klok-

stort antal gentagelser.

1

keformet og meget tæt på sandsynlighedsfordelingen, der er vist for b(10, 2 )

25 forsøg

110 forsøg

1500 forsøg

b(10, 12 )

Hvis du scanner QR-koden, kan du se, hvordan man laver simuleringen.

Normalfordelingsapproximation

3 Normalfordelingen

N  ormalfordelingen, som vi skal se nærmere på i bog 3 på A-niveau, er en symmetrisk sandsynlighedsfordeling. I normalfordelingen opereres med de to parametre middelværdi, µ , og spredning σ. Vi skriver N( µ ,σ ). Middel-

µ – 2σ

µ

værdien, µ , ligger præcis i midten. Hvis spredningen σ er lav, er klokken høj

µ + 2σ

og smal. Hvis σ er stor, er klokkeformen lavere og bredere.

I normalfordelingen ligger 95% af arealet under kurven mellem de to x-værdier µ – 2σ og µ + 2σ. Et udfald uden for intervallet µ ± 3σ kaldes et

µ – 2σ

µ

µ + 2σ

140

10. Konklusioner fra data

exceptionelt udfald. 1

I margen ses fordelingerne for hhv. N(10, 2 ) og N(10,1).


4 Normalfordelingsapproximationen Det viser sig, at når tallene n · p og n · (1 – p) er 5 eller større, kan normalfordelingen approximere binomialfordelingen. Det er det fænomen, vi ser, når vi genkender klokkeformen i simuleringen af møntkastet og i binomialfordelingen. Binomialfordelingens middel-

Vi kan altså blot udregne µ og σ for binomialfordelingen, og hvis kriterierne

værdi µ = n · p

er opfyldt, kan de indsættes i normalfordelingen. Hvis signifikansniveauet er

og spredning σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p )

sat til 5%, kan vi bruge, at ”acceptmængden” på 95% tilnærmelsesvis ligger mellem x-værdierne µ – 2σ og µ + 2σ.

5 Eksempel Ved et folketingsvalg stemte 20 % på et bestemt parti. Hvis opbakningen til partiet 3 år senere er den samme, og vi tager en stikprøve på 1000 tilfældigt udvalgte stemmeberettigede, vil antallet af personer, der siger, at de vil stemme på partiet, være binomialfordelt b(1000 ; 0,20). Det viste sig, at der var 223 personer i stikprøven, som ville stemme på partiet, hvis der var valg i morgen. Det forventede antal, der ville stemme på partiet, er lig med middelværdien

µ = 1000 · 0,20 = 200. Vi beregner endvidere spredningen til

σ = 1000 ⋅ 0,2 ⋅ (1 − 0,2) = 12,65 . For at vurdere usikkerheden ved undersøgelsen benyttes normalfordelings-approximationen N(µ ,σ), altså N(200;12,65). På figuren ses søjlediagrammet for b(200;0,2) sammen med normalfordelingskurven for N(200;12,65).

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245

µ – 2σ

µ

µ–σ

µ+σ

µ + 2σ

Vi ser nu, at 95 % af værdierne vil ligge mellem 200 – 2 · 12,65 og 200 + 2 · 12,65, dvs. mellem 174,7 og 225,3. I stikprøven var der 223 personer, der ville stemme på partiet, hvis der var valg i morgen. Vi kan altså ikke konkludere, at opbakningen til partiet har ændret sig.

6 Øvelse a. Opbyg et regneark i CAS, der kan bruges til at simulere 700 gentagelser af 10 kast med en mønt, hvor man holder øje med antal krone.

7 Øvelse a. Vis, at det er rimeligt at lave en normalfordelings-approximation af en binomialfordeling med antalsparameter n = 100 og sandsynlighedsparameter p = 0,3. b. Brug en normalfordelings-approximation til at bestemme 95 %-intervallet for binomialfordelingen B(100;0,3).

10. Konklusioner fra data

141


10.2 Konfidensintervaller

8 Introduktion

Analysefirmaet YouGov* har undersøgt danskernes holdning til sommertid. De har udvalgt en repræsentativ stikprøve på 1009 personer og bedt dem om at svare ”ja”, ”nej” eller ”ved ikke” til spørgsmålet: ”Vil du gerne slippe af med sommertid?” 356 svarede ”ja”. 356 ud af 1009 er 35 %. Kan vi konkludere, at 35 % af hele Danmarks befolkning mener det samme?

9 Eksempel Hvis man i en meningsmåling Undersøgelsen af holdningen til sommertid kan opfattes som et binomialeksperiment, fordi vi har fokuserer på kun ét af de mulige svar, kan meningsmålingen opfattes som et binomialeksperiment.

• 1009 uafhængige gentagelser af basiseksperimentet.

• To udfald. Svaret ”ja” er det ene udfald. Svarene ”nej” og ”ved ikke” samles til det andet udfald, fordi vi udelukkende fokuserer på, hvor mange der svarer ”ja”.

•  Den samme ukendte sandsynlighed p for at svaret er ja. Den ukendte sandsynlighed p er andelen af alle i Danmark, som gerne vil slippe af med sommertid. De 35 %, der svarede ”ja” i introduktionen, kaldes stikprøveandelen og betegnes med p̂. Stikprøveandelen p̂ er vores gæt på den rigtige sandsynlighedsparameter p. Man siger, at p̂ er et skøn eller et estimat for p. 10 Eksempel Jeg går typisk i seng

En gruppe elever vil gerne undersøge deres medstuderendes søvnvaner. De udvælger en stikprøve på 189 tilfældigt udvalgte elever på skolen, som

A. før klokken 22. B. mellem 22 og 24. C. efter klokken 24.

de hver beder om at sætte ét kryds i skemaet, som ses i margenen. 23 sætter kryds ved ”A”, 93 sætter kryds ved ”B”, og de sidste 73 sætter

kryds ved ”C”. 23 Stikprøveandelen for svaret ”A” er pˆ A = = 0,12169 ≈ 12 %

93 Stikprøveandelen for svaret ”B” er pˆ B = = 0, 49206 ≈ 49 %

189

189 73 = 0,38624 ≈ 39 % Stikprøveandelen for svaret ”C” er pˆ C = 189

11 Sætning Den rigtige værdi af sandsynlighedsparameteren p er, med 95 % sandsyn-

Intervallet

 pˆ − 2 ⋅ σ ; pˆ + 2 ⋅ σ  n n  kaldes et 95%-konfidensinterval for p.

142

10. Konklusioner fra data

lighed, indeholdt i intervallet σ σ  pˆ − 2 ⋅ n ; pˆ + 2 ⋅ n  , σ σ − 2stikprøveandelen, ⋅ n ; pˆ + 2 ⋅ n  n er størrelsen af stikprøven, og σ er spredningen: hvor pˆ er σ = n ⋅ pˆ ⋅ (1 − pˆ ) .

* Se referencen på s. XXX


12 Eksempel Vi vil beregne et 95 %-konfidensinterval for p i undersøgelsen af holdningen σ ˆ σ − 35 2⋅% ; p + 2 ⋅ n  n = 1009. til sommertid (se 8 Introduktion). Her er  pˆ = n = 0,35 og

2⋅

σ

n

1009 ⋅ 0, 35 ⋅ (1 − 0, 35)

= 2⋅

1009

= 0,030 = 3% .

Konfidensintervallet er dermed [(35 –3) % ; (35 + 3) %] = [32 % ; 38 %].

Ofte vil konfidensintervallet

Vi kan konkludere, at med 95 % sikkerhed vil mellem 32 % og 38 % af

skrives

Danmarks befolkning gerne slippe af med sommertid.

 pˆ − 1,96 ⋅ σ ; pˆ + 1,96 ⋅ σ  . n n  Når de 1,96 afrundes til 2, får man

13 Bemærkning

σ

σ

; pˆ + 2 ⋅ n  får vi Ved at indsætte σ = n ⋅ pˆ ⋅ (1−pˆ p−ˆ )2 i⋅ leddet n

2⋅

σ n

n ⋅ pˆ ⋅ (1 − pˆ )

= 2⋅

n

= 2⋅

n ⋅ pˆ ⋅ (1 − pˆ ) = 2⋅ n2

pˆ ⋅ (1 − pˆ ) n

faktisk 95,45 % i stedet for præcist 95 %.

Konfidensintervallet kan altså skrives som

  pˆ − 2 ⋅ 

pˆ ⋅ (1 − pˆ ) ; pˆ + 2 ⋅ n

pˆ ⋅ (1 − pˆ )  . n 

14 Eksempel I undersøgelsen af elevernes søvnvaner kan vi beregne et 95 %-konfidensinterval σ ˆ σ − 12 2⋅% ; p + 2 ⋅ n  n = 189: for svaret ”A”:  pˆ = n = 0,12 og

2⋅

pˆ ⋅ (1 − pˆ ) = 2⋅ n

0,12 ⋅ (1 − 0,12) = 0,0473 ≈ 5% . 189

Konfidensintervallet er [(12 –5) % ; (12 + 5) %] = [7 % ; 17 %].

15 Øvelse a. Beregn et 95 %-konfidensinterval for svaret ”C” i undersøgelsen af elevernes søvnvaner.

16 Øvelse I en stikprøve med 205 tilfældigt udvalgte mænd, viser 20 sig at være farveblinde. σ σ − 2farveblinde. ⋅ n ; pˆ + 2 ⋅ n  a. Beregn stikprøveandelen pˆ af b. Beregn et 95 %-konfidensinterval. c. Er resultatet i modstrid med, at 8 % af alle mænd er farveblinde?

10. Konklusioner fra data

143


10.3 L  ineær regression – mindste kvadraters metode

17 Introduktion

y

Tabellen viser vinsalget i Danmark angivet i millioner liter vin i årene 1996 til 2011.

175

På punktplottet af dataene kan man se,

170

at punkterne ser ud til at ligge spredt om

165

en ret linje. Vi ved fra Kernestof 1, at vi kan

160

finde den bedste rette linje med en lineær

155

regression.

150

I dette og det næste afsnit vil vi gå lidt

5

10

x

15

mere i dybden med lineær regression. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

149

154

154

158

165

167

162

164

159

164

162

167

173

175

175

172

x År efter 1996 y Antal millioner liter vin

18 Definition  Forskellen mellem en faktisk målt værdi og den værdi, modellen forudsiger, kaldes et residual.

y

På figuren er målepunkterne markeret med blåt, og modellens forudsigelser er de sorte punkter på grafen. Residualerne er længden af de stiplede

f(x) = ax + b

røde linjer.

f(x1) y1

 M ålepunktet (x1 ,y1) samt modellens værdi f(x1) er også indtegnet. De andre x1

x

punkter er ikke navngivet. Residualet r1 svarende til (x1 ,y1) kan beregnes som r1 = y1 – f(x1). x

x1

Residual

r 1 = y 1 – f ( x 1) r 2 = y 2 – f ( x 2)

x2

...

xn

...

r n = y n – f ( x n)

19 Eksempel

En lineær regression på dataene fra introduktionen giver funktionen

f(x) = 1,43x + 153. Vi vil beregne residualerne til de første to målepunkter (x1 ,y1) = (0,149) og (x2 ,y2) = (1,154): r1 = 149 –f(0) = 149 – (1,43 · 0 + 153) = –4 r2 = 154 –f(1) = 154 – (1,43 · 1 + 153) = –0,43. x År efter 1996 y Antal millioner liter vin r Residual

144

Tabellen viser resten af residualerne.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

149

154

154

158

165

167

162

164

159

164

162

167

173

175

175

172

–4

–0,43 –1,86 0,71 6,28 6,85 0,42 0,99 –5,44 –1,87 –5,3 –1,73 2,84 3,41 1,98 –2,45

10. Konklusioner fra data


19 Definition Summen af kvadratet på residualerne kan skrives symbolsk: K = r 12 + r 22 + . . . + r n2.

Med kvadratet på et tal a menes a2.

Den bedste rette linje er den linje, som har den mindste sum af

Med summen af en række af n tal

kvadratet på residualerne.

a1 , a2 , a3 , . . . , an menes a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n.

Lineær regression finder netop den bedste rette linje. Vi vil kalde summen af kvadratet på residualerne for kvadratsummen.

20 Eksempel Kvadratsummen af residualerne fra regressionen på vindataene bliver K = (–4)2 + (–0,43)2 + (–1,86)2 + . . . + 1,982 + (–2,45)2 = 201

21 Eksempel

y

Betragt nu igen dataene fra introduktionen. I figuren er der indtegnet 3 rette linjer. Hvilken er den bedste? Det kan være svært at vurdere

175

blot ved at kigge på figuren. Den blå linje har forskriften fBlå(x) = 2x + 148.

170 165

Hvis man beregner kvadratsummen af residualerne, får man KBlå = 318.

160

Den grønne linje har forskriften fGrøn(x) = 1,5x + 150 og giver summen

155

KGrøn = 292. Den røde linje har forskriften fRød(x) = 1,43x + 153 og giver

150

summen KRød = 201. Den røde linje har den mindste sum og passer derfor bedst af de tre. Den røde linje er i øvrigt linjen fra regressionen.

5

10

x

15

22 Øvelse x y

Tabellen angiver tre punkter. En lineær funktion er givet ved forskriften f(x) = –0,3 · x + 3,0.

2 4

Residualet til det første punkt i forhold til denne funktion er

4 1

6 2

y

r1 = 4 –f(2) = 4 – (–0,3 · 2 + 3) = 1,6.

5

a. Beregn residualerne r2 og r3 til de andre to punkter.

4

b. Beregn summen K af kvadratet på residualerne.

3

r1 = 1,6

f

2

23 Øvelse

1

Tabellen viser salget af pilsnerøl i Danmark angivet –1

i millioner liter øl i årene 1996 til 2011.

1

2

10

11

3

4

5

6

7 x

a. Lav et punktplot af dataene. b. Udfør en lineær regression på dataene. c. Få dit CAS-værktøj til at vise en liste med residualerne. d. Beregn, med dit CAS-værktøj, summen af kvadratet på residualerne. x År efter 1996 y Antal millioner liter pilsnerøl

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12

13

14

15

632 614 569 554 544 527 520 520 486 483 473 461 440 405 382 379

10. Konklusioner fra data

145


10.4 Residualspredning 24 Introduktion En gruppe biologer undersøger væksten af dybhavsrødfisken Sebastes mentella. De måler alder og vægt af en stikprøve på 110 fisk. I tabellen ses en lille del af målingerne.

y 800

x Alder (år)

5

y Vægt (gram)

99 79 92 94 50 144

5

5

5

5

6

6

...

19

20

20

20

122

...

726

768

852

771

I margenen ses et punktplot af alle de 110 målinger. Det viser sig, at når fiskene er mellem 5 og 20 år, kan vægten beskrives med en lineær model. En

600

lineær regression giver forskriften f(x) = 47,3x – 170, hvor x er alderen i år, og

400

f(x) er vægten i gram.

f(x) = 47,3x – 170

200

I dette afsnit skal vi se på spredningen af residualerne og på, hvordan denne 10

x

20

spredning kan bruges til at vurdere en models anvendelighed.

25 Definition Et residualplot er et punktplot af residualerne.

Hvis modellen er god, vil punkterne ligge spredt tilfældigt om x-aksen.

y 100

50

26 Eksempel Til venstre ses et plot af residualerne fra regressionen på dataene fra introduktionen. Der er ikke nogen åbenlys systematik i residualerne, så modellen

5

10

15

20

x

–50

ser ud til at være god. Man kunne dog indvende, at residualerne er store. Betyder det, at modellen ikke er så god alligevel?

–100

27 Sætning  Lad r1 , r2 , r3 , . . . , rn være residualerne fra en lineær regression på n data-

Da residualerne er en lodret af-

punkter. Residualspredningen, s, beregnes med formlen

stand, har de samme enhed som s =  y-værdierne. Det betyder, at spred-

r1 + r2 + r3 +  + rn . n−2 2

2

2

2

ningen også får samme enhed som

Bemærk, at r12 + r22 + r32 + . . . + rn2 er summen af kvadratet på residua-

y-værdierne.

lerne, som vi beskæftigede os med i forrige afsnit.

28 Eksempel Spredningen på residualerne fra regressionen ovenfor beregnes til s = 39,6737 ≈ 40. Spredningen har samme enhed som y-værdierne, så spredningen er 40 gram. Scan QR-koden for at se, hvordan spredningen beregnes med CAS.

146

10. Konklusioner fra data


29 Vurdering af modellens anvendelighed ud fra residualerne Hvad betyder spredningen på residualerne for vurderingen af modellen? Er 40 gram en stor spredning eller en lille spredning? Fiskenes vægte spænder fra ca. 50 gram til ca. 850 gram, så vægtene spænder over 800 gram. I forhold til dette interval på 800 gram er en spredning på 40 gram ikke stor. Det svarer til 5 %. Sammenholdt med at residualerne ser ud til at ligge tilfældigt spredt, tyder det på, at modellen er anvendelig.

30 Eksempel Vi kan nogle gange fortolke spredningen som en usikkerhed på modellens forudsigelser. Hvis vi f.eks. vil bruge modellen til at beregne vægten af en 10 år gammel dybhavsrødfisk, indsætter vi x = 10 i resultatet fra regressionen:

f(10) = 47,3 · 10 – 170 = 303.

Er residualerne tilnærmelsesvist normalfordelte med middelværdi

Modellen forudsiger altså, at en 10-årig rødfisk vejer 303 gram. Men det er

µ og spredning s, vil ca. 95 %

også klart, at alle 10-årige rødfisk ikke vejer præcis 303 gram. De 303 gram

ligge mellem µ – 2s og µ + 2s.

kan betragtes som en middelværdi µ = 303 g. Ud fra spredningen kan vi opstille et interval. Ca. 95 % af fiskene vil have en vægt, der ligger mellem µ – 2s og µ + 2s:

µ – 2 · s = 303 g – 2 · 40 g = 223 g

µ + 2 · s = 303 g + 2 · 40 g = 383 g

Vi konkluderer, at ca. 95 % af de 10-årige rødfisk vejer mellem 223 gram og 383 gram.

31 Øvelse a. Gennemgå eksempel 30, men regn i stedet på vægten af en 15-årig rødfisk. Angiv konklusionen som ”… ca. 95 % af de 15-årige rødfisk vejer mellem ___ gram og ___ gram.”

32 Øvelse I en bestemt region har man for hvert femte år i perioden 1960 til 2000 målt den gennemsnitlige vægt for 18-årige mænd, der mødte til session på Forsvarets Dag. a. Udfør en lineær regression på dataene b. Tegn residualplottet, og beregn spredningen på residualerne c. Benyt residualplottet og residualspredningen til at vurdere den lineære models anvendelighed til at beskrive udviklingen. (Baseret på opgave fra hf matematik B vejledende sæt 2-2018)

x År efter 1969 0 5 10 15 20 25 30 35 40

y Gennemsnitlig vægt (kg) 69,5 70,2 71,6 72,3 73,1 74,9 75,2 77,4 78

10. Konklusioner fra data

147


10.5 Polynomiel regression 33 Introduktion På en alligatorfarm i det sydlige USA har man målt sammenhængende værdier af længde og vægt på 25 alligatorer. Resultaterne ses i tabellen. xL  ængde 239 188 373 147 218 239 160 218 175 183 325 216 208 218 218 183 188 155 229 226 173 193 290 229 198 (cm) y V  ægt (kg)

59

23 290 13

36

50

15

41

16

17 166 38

36

38

32

28

24

20

48

38

18

19

89

47

26

Det viser sig, at den bedste model til at beskrive dataene er et tredjegradspolynomium. I dette afsnit skal vi se på polynomiel regression.

y

34 Eksempel 200

Til venstre ses et punktplot af dataene fra introduktionen. På x-aksen er længden i cm, og på y-aksen er vægten i kg. f

100

En tredjegradsregression på dataene giver funktionen

f(x) = 0,000023x3 + 0,01124x2 + 2,145x –133 150

200

250

300

x 350 Grafen for f er også tegnet i figuren. y

Til højre ses et residualplot. Der er ingen åbenlys systematik i residualplottet, så det

10

ser ud til, at modellen er god. Hvis vi måler længden af en alligator, kan vi

150

altså bruge modellen til at forudsige vægten, så vi ikke behøver veje alligatoren.

200

250

300

x

350

–10

Vi måler længden af en bestemt alligator til 272 cm. Modellens forudsigelse: f(272) ≈ 79.

En 272 cm lang alligator vejer altså omkring 79 kg ifølge modellen.

35 Eksempel Et firma vil gerne undersøge, hvor produktive deres ansatte er hen over dagen. De måler dette ved at få de ansatte til at tage en test på forskellige tidspunkter i løbet af dagen. Testscoren er, ifølge firmaet, et udtryk for, hvor produktive de ansatte er. Tid (min) 0 10 20 30 40 Score 40 31 208 164 326 Tid (min) 170 180 190 200 210 Score 748 687 804 913 1073 Tid (min) 340 350 360 370 380 Score 1117 1066 1015 1152 822

148

10. Konklusioner fra data

50 473 220 949 390 936

60 546 230 943 400 725

70 80 431 459 240 250 1102 935 410 420 655 1022

90 565 260 933 430 659

100 110 542 556 270 280 1029 1097 440 450 754 740

120 866 290 950 460 771

130 140 150 621 787 790 300 310 320 1081 1069 1021 470 480 490 649 585 792

160 951 330 928 500 619


Der udføres tests hele dagen med 10 minutters mellemrum, fra arbejds-

y

start om morgenen ved t = 0 minutter og til slut ved t = 500 minutter

1000

(svarende til efter 8 timer). Se dataene i tabellen.

800

I margenen ses et punktplot af dataene. På x-aksen er tidspunktet i

g

600

minutter og på y-aksen er test-scoren.

400

En andengradsregression på dataene giver funktionen

200

g(x) = –0,011x2 + 6,5x + 58. Grafen for g er også med på figuren.

100

Vi kan bruge regressionen til at finde ud af, hvornår de ansatte er mest

200

300

400

x

produktive, ved at finde parablens toppunkt. Toppunktet kan findes enten med toppunktsformlen eller med differentialregning. Toppunktet ligger omkring x = 300. De ansatte er altså mest effektive efter 300 minutters arbejde, svarende til efter 5 timer.

36 Øvelse Tabellen viser sammenhørende værdier af x og y. x

–7,3 –6,3 –4,4

–3

–1,2 –0,5 1,8

3,3

4,2

5,1

5,4

6,5

6,7

7,8

8,1

8,6

y

0,6

2,1

2,3

2,8

3,6

3,4

4,9

7,1

5,9

11,4

9,7

12,4

1,8

1,1

1,6

1,8

a. Tegn et punktplot af dataene. b. Udfør tre regressioner på dataene: En førstegradsregression (dvs. en lineær regression), en andengradsregression og en tredjegradsregression. Skriv de tre forskrifter ned. c. Hvilken regression passer bedst med dataene? Argumenter ud fra residualplottene.

37 Øvelse Tabellen viser sammenhørende værdier af den vandrette afstand fra kanonens munding og højden over jorden for en menneskelig kanonkugle. Afstand (m)

0

Højde (m)

6

4

8

10,3 13,7

12 16

16

20

24

28

32

36

17,5 17,8 17,2 15,7 13,5 10,1

Der er med god tilnærmelse tale om en sammenhæng af typen f(x) = a · x2 + b · x + c hvor x er afstanden fra kanonen i meter, og f(x) er højden over jorden i meter. a. Tegn et punktplot for de givne data. b. Bestem tallene a, b og c. Den menneskelige kanonkugle lander i et net i højden 3,0 meter over jorden. c. Hvor langt fra kanonen lander den menneskelige kanonkugle? (Baseret på opgave fra hf Matematik B vejledende sæt 1-2017)

10. Konklusioner fra data

149


Opgaver – 10. Konklusioner fra data

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 1005

1

Betragt binomialfordelingen X∼ b(10, 5 ). a. Er det rimeligt at bruge normalfordelingsapproksimationen?

Opgave 1001 a. Udfør en simulering af 1000 flip med en mønt.

Opgave 1006

b. Bestem hyppigheden af udfaldet krone.

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(50, 4 ). a. Er det rimeligt at bruge normalfordelingsap-

c. Bestem frekvensen af udfaldet krone.

1

proksimationen?

Opgave 1002 a. U  dfør en simulering af 1000 kast med en 6-sidet terning. b. Bestem antal 6’ere. c. Bestem frekvensen af udfaldet ”slå en 6’er”.

Opgave 1007

1

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(100, 10 ). a. Gør rede for, at det rimeligt at bruge normalfordelingsapproksimationen. b. Bestem middelværdi µ og spredning σ for X.

Opgave 1003

c. Bestem 95 % intervallet [µ – 2σ ; µ + 2σ ].

a. U  dfør en simulering af 100 gentagelser af forsøget ”5 flip med en mønt, hvor man tæller

Opgave 1008

antal plat”.

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(20, 2 ). a. Gør rede for, at det er rimeligt at bruge normal-

b. Bestem frekvenserne af de 6 mulige udfald. c. Plot frekvenserne i et frekvensdiagram.

1

fordelingsapproksimationen. b. Bestem middelværdi µ og spredning σ for X.

Opgave 1004

c. Bestem 95 % intervallet [µ – 2σ ; µ + 2σ ].

Opgave 1009

3

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(70, 4 ). a. Gør rede for, at det rimeligt at bruge normalfordelingsapproksimationen. b. Bestem middelværdi µ og spredning σ for X. c. Bestem 95 % intervallet [µ – 2σ ; µ + 2σ ]. a. U  dfør en simulering af 500 gentagelser af forsø-

Opgave 1010

get ”10 kast med en 4-sidet terning, hvor man

Første del af opgaven går ud på at udføre en simu-

tæller antal 1’ere”.

lering af et ret omfattende eksperiment.

b. Bestem frekvenserne af udfaldene.

a. Udfør en simulering af 1000 gentagelser af

c. Plot frekvenserne i et frekvensdiagram.

forsøget ”100 Kast med en 8-sidet terning, hvor

d. P  lot sandsynlighederne for udfaldene af den

man tæller antal 8’ere”.

binomialfordelte stokastiske variabel X, hvor

b. Bestem frekvenserne af udfaldene.

X ∼ b(10, 4 ).

c. Plot frekvenserne i et frekvensdiagram.

1

150

10. Konklusioner fra data


d. Bestem de kumulerede frekvenser.

Opgave 1013

e. Bestem de 2,5 % mest yderliggende udfald i

Din ven kaster 30 gange med en mønt, og tæller

hver side, ud fra listen over de kumulerede

antal plat.

frekvenser.

a. Gør rede for, at der er tale om et binomialforsøg, og at det er rimeligt at benytte normalforde-

Anden del af opgaven går ud på at sammenligne med normalfordelingsapproksimationen.

lingsapproksimationen. b. Din ven får plat 20 ud af de 30 gange. Er det et

f. Gør rede for, at forsøget ”10 kast med en 8-sidet terning, hvor man tæller antal 8’ere”, er et

exceptionelt udfald? c. Din ven gentager forsøget og får denne gang

binomialforsøg. Angiv antalsparameteren n og

plat 25 gange. Er det et exceptionelt udfald?

sandsynlighedsparameteren p. g. Beregn middelværdien µ og spredningen σ af

Opgave 1014

binomialfordelingen fra opgave f. h. Beregn np og n(1 – p) og gør rede for, at det er rimeligt at bruge normalfordelingsapproksimationen. i. Bestem 95 % intervallet [µ – 2σ ; µ + 2σ ]. Sammenlign intervallet med dit facit fra opgave e.

Opgave 1011

1

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(35, 3 ) a. Gør rede for, at det rimeligt at bruge normal-

fordelingsapproksimationen. b. Bestem middelværdi µ og spredning σ for X.

I en stikprøve med 500 tilfældigt udvalgte mænd,

c. Undersøg, om 18 er et exceptionelt udfald.

viser 45 sig at være farveblinde.

d. Undersøg, om 2 er et exceptionelt udfald.

a. Gør rede for, at det er rimeligt at betragte situationen som et binomialeksperiment med

Opgave 1012

1

Betragt binomialfordelingen X ∼ b(100, 5 ) a. Gør rede for, at det rimeligt at bruge normalfordelingsapproksimationen. b. Bestem middelværdi µ og spredning σ for X. c. Undersøg, om 35 er et exceptionelt udfald.

antalsparameter n = 45 og ukendt sandsynlighedsparameter p. b. Bestem stikprøveandelen p̂ af farveblinde. c. Bestem et 95 % konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p . d. Giv en fortolkning af resultatet.

d. Undersøg, om 10 er et exceptionelt udfald.

*(Kilde: “Determinants of frequent attendance in Danish general practice: a cohort-based cross-sectional study”; BMC Fam Pract. 2016; 17: 9.).

10. Konklusioner fra data

151


Opgaver – 10. Konklusioner fra data

Opgave 1015

b. Bestem et 95 % konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p.

En gruppe forskere har undersøgt danskernes sundhedsvaner*. De har undersøgt en stikprøve på

c. Ved sidste folketingsvalg fik Velfærdssocialister-

54849 personer i alderen 50 til 65 år.

ne 18 % af stemmerne. Kan man på baggrund

19685 er rygere.

af meningsmålingen og konfidensintervallet

a. G  ør rede for, at det er rimeligt at betragte

konkludere, at vælgertilslutningen til partiet har

situationen som et binomialeksperiment med

ændret sig?

antalsparameter n = 54 849 og ukendt sandsynlighedsparameter p.

Opgave 1018

b. Bestem stikprøveandelen p̂ af rygere. c. Bestem et 95 % konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p. d. Giv en fortolkning af resultatet. Ud af de 54849 har 1133 diabetes. e. Bestem stikprøveandelen p̂ af diabetikere. f. B  estem et 95 % konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p. g. Giv en fortolkning af resultatet.

En gruppe forskere ønsker at undersøge udbredelsen af et bestemt gens udbredelse i en population. De undersøger en tilfældigt udvalgt stikprøve på

Opgave 1016

1203 individer. Det viser sig, at 91 ud af de 1203 er

I en stikprøve på 1000 tilfældigt udvalgte personer,

bærere af genet.

svarer 917, at de aldrig betaler for at læse nyheder

a. Bestem stikprøveandelen p̂ af bærere af genet.

på nettet. a. G  ør rede for, at det er rimeligt at betragte situationen som et binomialeksperiment med antalsparameter n = 1000 og ukendt sandsyn-

Tidligere undersøgelser har vist, at 4 % af populationen har genet. b. Vurder, ud fra et 95 % konfidensinterval, om

lighedsparameter p.

den nye undersøgelse er i strid med de tidligere

b. B  estem stikprøveandelen p̂ af personer, der

undersøgelser.

aldrig betaler for at læse nyheder på nettet. c. Bestem et 95 % konfidensinterval for sandsyn-

Opgave 1019

lighedsparameteren p. d. E r resultatet i modstrid med påstanden ”Kun 7 % betaler for at læse nyheder på nettet.”?

x

1

2

3

4

5

6

7

y

10

15

16

20

21

27

30

a. Lav et punktplot af dataene.

Opgave 1017 I en stikprøve med 264 tilfældigt udvalgte personer, siger 56, at de vil stemme på partiet Velfærdssocialisterne. a. B  estem stikprøveandelen p̂ af personer, der vil stemme på partiet.

Punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje, som er graf for funktionen f(x) = ax + b. b. Udfør en lineær regression på dataene, og bestem en forskrift for f. c. Lav et residualplot, og bestem spredningen på residualerne.

152

10. Konklusioner fra data


Opgave 1020

Opgave 1022

x

12

14

16

18

20

22

24

På en bestemt ø har man hvert år i en årrække

y

52

43

29

22

5

–2

–15

udtaget en stikprøve blandt de lam, der skulle slagtes, og målt den gennemsnitlige slagtevægt.

a. Lav et punktplot af dataene.

År

Punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje, som er graf for funktionen f(x) = ax + b. b. Udfør en lineær regression på dataene, og bestem en forskrift for f. c. Lav et residualplot, og bestem spredningen på residualerne.

Opgave 1021

Gennemsnitlig slagtevægt (kg)

0

41

1 2 3 4 5 6 7 8

41,4 42,2 42,7 42,4 44,2 44,4 45,7 46

I et land har man hvert 5. år målt højden af de

18-årige mænd, der mødte til session.

I en model kan udviklingen beskrives ved en lineær

År

Gennemsnitlig højde (cm)

1960

169,5

1965

170,2

1970

171,6

1975

172,3

1980

173,1

1985

174,9

1990

175,2

1995

177,4

2000

178

funktion f(x) = ax + b, hvor f(x) betegner lammenes gennemsnitlige slagtevægt (målt i kg) til tidspunktet x (målt i år). a. Bestem tallene a og b ved regression. b. Tegn residualplottet. c. Benyt residualplottet og residualspredningen til at vurdere den lineære models anvendelighed til at beskrive udviklingen. (STX B Vejledende opgavesæt 1)

Opgave 1023

I en model kan udviklingen beskrives ved en lineær funktion f(x) = ax + b, hvor f(x) er den gennemsnitlige højde (målt i cm) til tidspunktet x (målt i år efter 1960). a. Bestem tallene a og b ved regression. b. Tegn residualplot. c. Benyt residualplottet og residualspredningen til at vurdere den lineære models anvendelighed

til at beskrive udviklingen. Tabellen nedenfor viser nogle sammenhørende værdier af den gennemsnitlige kuldstørrelse og antal ynglende sangspurvepar pr. acre for arten Melospiza melodia.

10. Konklusioner fra data

153


Opgaver – 10. Konklusioner fra data

Antal ynglende sangspurve pr. acre

Gennemsnitlig kuldstørrelse

5

3,8

18 29 46 55 57 66 72

3,6 3,5 3,4 3,2 3,3 3,2 3,1

Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden 1981-2007 kan beskrives ved en model af typen W(t) = a ∙ t + b, hvor t betegner tiden målt i år efter 1981, og W(t) betegner verdensrekorden målt i sekunder. a. Bestem tallene a og b ved regression. b. Forklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer.

I en model kan udviklingen beskrives ved en

c. Tegn residualplottet.

lineær funktion f(x) = ax + b, hvor f(x) er den gen-

d. Benyt residualplottet og residualspredningen til

nemsnitlige kuldstørrelse, og x er antal ynglende

at vurdere den lineære models anvendelighed

sangspurvepar pr. acre. a. Bestem tallene a og b ved regression.

til at beskrive udviklingen. (Baseret på opgave fra STX B maj 2009)

b. B  enyt modellen til at bestemme antal ynglende sangspurvepar pr. acre, når den gennemsnitlige

Opgave 1025

kuldstørrelse er nede på 3,0.

Datapunkterne i tabellen ligger tilnærmelsesvist

c. Tegn residualplottet.

på grafen for et tredjegradspolynomium

d. B  enyt residualplottet og residualspredningen til

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

at vurdere den lineære models anvendelighed

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

til at beskrive udviklingen. (Baseret på opgave fra STX B maj 2013)

Opgave 1024 Tabellen nedenfor viser tiderne for verdensrekorderne i maratonløb (målt i sekunder) for mænd i perioden 1981-2007. År

154

Tid

1981 1984 1985 1988 1998 1999 2002 2003 2007

7698 7685 7632 7610 7565 7542 7538 7495 7466

10. Konklusioner fra data

y –126 –61 –34 –12 3 0 –3 9 21 66 126

a. Tegn et punktplot af dataene. b. Bestem forskriften for f ved at udføre en tredjegradsregression.


Opgave 1026

Antallet af landbrugsbedrifter i Danmark i årene

Tabellen viser sammenhørende værdier af en ten-

2010 til 2015 kan ses i tabellen.

nisbolds vandrette afstand fra tennisspilleren og

Kilde: Danmarks statistik

højden over jorden.

Udviklingen kan beskrives ved en lineær model

Afstand (m)

Højde (m)

0 2 4 6 8 10 12 14

1,1 1,9 2,5 3,1 3,1 3,1 2,7 2,3

y = ax+b. a. Bestem tallene a og b ved regression. b. Forklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer. c. Tegn residualplottet. d. Benyt residualplottet og residualspredningen til

Der er med god tilnærmelse tale om en sam-

at vurdere den lineære models anvendelighed

menhæng af typen f(x) = ax2 + bx + c, hvor x er

til at beskrive udviklingen.

afstanden til tennisspilleren, og f(x) er højden over jorden. Begge er målt i meter. a. Tegn et punktplot af dataene. b. Bestem tallene a, b og c ved at udføre en andengradsregression. c. Bestem, hvor langt tennisbolden kommer, før den rammer jorden.

Opgave 1027

År

2010 2011 2012 2013 2014 2015

Antal bedrifter 42099 40660 39917 38829 37950 36637

10. Konklusioner fra data

155


Træningssider 10

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Projektion af vektor på vektor

     Projektionen af vektor a på vektor b er ab = a ⋅ 2b b . b   2 4 Eksempel: Projektionen af vektor a =  3 på vektor b =  −1 .

 2 ⋅  4  3  −1  4 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( −1)  4  5  4  1,18 = ab = 2  −1  −1 = 17  −1 ≈  −0, 29 . 16 + 1 2 2 4 + ( −1)

1. Beregn nedenstående projektioner uden hjælpemidler.  1   14 a. a =  10 projiceret på b =   , dvs. vektor ab 0  0   9 b. c =  −16 projiceret på d =  1  , dvs. vektor cd  1   2 c. p =   projiceret på q =  1 , dvs. vektor pq  10

2. B eregn nedenstående projektioner med hjælpemidler.  9  4 a. a =  1  projiceret på b =   5   5   8 b. c =  −5 projiceret på d =  −9   −8 10 c. p =   projiceret på q =   −3 −6

Vektorer. Blandet.

y

3. I koordinatsystemet er der tegnet repræsentanter for vektorerne

5

      95  2 a , b, c ,=d,=eog f . Vektor a ’s koordinater kan aflæses til a =  −4 .  −9 −16 a. Bestem resten af vektorernes koordinater.

4. Med de samme vektorer som ovenfor, beregn

 a

1 –1

 5 d =   −9

–1

 f

1

2

3

4

6. M  ed de samme vektorer som ovenfor,

beregn   5 a. a · d =   −9   b. f · e   9 c. det(c ,=b) −16   d. det( b, a )

beregn

 5 a. Længden af vektor d =    −9 b. Længden af vektor a   c. Vinklen mellem f og b   9 d. Vinklen mellem a og c =  −16

7. Med  de samme vektorer som ovenfor, beregn

8. A  fgør ved hjælp af skalarproduktet   5 determinanten. a. Arealet af parallelogrammet udspændt af f og d .=  eller       9 −9a. Er vektor a og f ortogonale? b. Arealet af parallelogrammet udspændt af c = og −a16 .  5     b. Er vektor d =og f ortogonale? c. Arealet af trekanten udspændt af f og e . −    99   5 c. Er vektor c = og b ortogonale? d. Arealet af trekanten udspændt af d =og a .    5 −9   −16 d. Er vektor a og d =parallelle?   −9

156

10. Konklusioner fra data

9 −16

2

  a. a + f  b. 4 b   9 c. c = – b−16    9 a d. 3 + 4 b – c =  −16

5. Med  de samme vektorer som ovenfor,

 b

4 3

 c = 

5  e

6

7

x


Tangentens ligning 9. Bestem, uden CAS, ligningen for

10. Bestem, uden CAS, ligningen for 11. B estem, med CAS, ligningen for

tangenten i punktet (x0 ,f(x0)), når

tangenten i punktet (x0 ,f(x0)), når

tangenten i punktet (x0 ,f(x0)), når

a. f(x) = x2 og x0 = 1

a. f(x) = x3 + 3 og x0 = 2

a. f(x) = 2 · x0,3 og x0 = 5

b. f(x) = 2x2 – 5 og x0 = 2

b. f(x) = ln(x) og x0 = 1

b. f(x) = 0,5e0,2x og x0 = 1

c. f(x) = x1 og x0 = –1 d. f(x) = x ′og = x01= 4 2 x

c. f(x) = x1 + x2 og x0 = 2

c. f(x) = 3sin(5x – 2) + 4 og x0 = 10

d. f(x) = sin(3x) og x0 = 0

d. f(x) =

( )

1 3 2 og x 0 = 2 x − x

Monotoniforhold 12. Bestem, uden CAS, monotoniforholdene

13. Benyt  differentialregning til at bestemme mono-

for funktionerne. a. b. c. d.

toniforholdene for nedenstående funktioner.

2

f1(x) = 2x – 5 x + 2 f2(x) = –x2 + 4x + 1 f3(x) = 6x2 – x – 10 f4(x) = 2x3 – 3x2

Brug CAS som ligningsløser. a. g1(x) = x3 – x 2 b. g2(x) = 0,3x3 – 0,1x2 – x + 1 c. g3(x) = x3 · ex d. g4(x) = 3sin(0,5x + 4) + 1, 0 ≤ x ≤ 10 y

Funktion og afledet funktion 3

Eksempel: I koordinatsystemet er tegnet grafen for f og for den afledede funktion f .′ Den afledede funktion f ′angiver hældningen for f.

2 A

1

Så når fx f er voksende, er f ′positiv, og hvor f har vandret tangent, er f ′lig med nul. På denne måde kan vi se, at B må være

1

–1

graf for f, og A må være graf for f .′

2

3

4

5

6

x

B

–2

14. I hvert koordinatsystem er tegnet to grafer. En for f og en for den afledede funktion f .′ For hver figur skal du afgøre, hvilken der er grafen for f, og hvilken er grafen for f .′ a. y

b. y

c. y 3

3

C

3 2

2 1

1

–1

2

3

x

–1

1

Q

1

D

1

2

T

2

P

3

–1

x

d.

y 5 4 3 2 1

W

V 1

2

3

4

5

x

6

U

–1 1 2 3 4 5 6 7

x

Funktion og afledet funktion 15. V  ed hver delopgave ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for den afledede funktion f ′(x). Tegn i hver tilfælde en mulig graf for funktionen f(x). a. b. 2 x: f1 ′(x):

+

–4 5 c. x: f3 ′(x):

0

+

0

8

f2 ′(x):

0

x:

d.

x: f4 ′(x):

+

0

4

2 +

0

0

6 –

0

+

10. Konklusioner fra data

157


11. Analytisk geometri 11.1 Normalvektor og linjens ligning 1 Introduktion Analytisk geometri blev grundlagt af René Descartes i første halvdel af 1600-tallet. Grundtanken bag var en revolutionerende idé om at kombinere algebra og geometri: At bruge beregninger med koordinater til at studere geometriske figurer som fx linjer og cirkler.  Vektorregningen fra Kernestof 1 viser sig at være et meget nyttigt værktøj i den analytiske geometri.

2 Sætning

y

 Linjen l, som går gennem punktet P0(x0 ,y0),  a og som er ortogonal med en vektor n =   ,  b er beskrevet ved ligningen

  2 n=  5 l P0(x0 ,y0)

l: a(x – x0) + b(y – y0) = 0.  a Vektoren n =   kaldes en normalvektor til linjen.  b

3 Eksempel

  2 Linjen med normalvektor n =  5 , som går gennem punktet P0(3,–4), har ligningen:

2( x − 3) + 5( y − ( −4)) = 0 2( x − 3) + 5( y + 4) = 0 2x − 2 ⋅ 3 + 5y + 5 ⋅ 4 = 0 2 x − 6 + 5 y + 20 = 0

2 x + 5 y + 14 = 0.

4 Bemærkning

 a Ligningen a · x + b · y + c = 0 beskriver en ret linje med normalvektor n =   .  b

5 Eksempel

  −3 Linjen givet ved ligningen –3x + y –19 = 0 har n =   som en normalvektor. 1

6 Eksempel Punktet (–5,4) ligger på linjen med ligningen –3x + y –19 = 0, fordi koordinaterne gør ligningen sand:

158

–3x + y –19 = 0

–3(–5) + 4 – 19 = 0

15 + 4 – 19 = 0

0=0

11. Analytisk geometri

x


7 Eksempel Vi vil gerne finde hældningskoefficienten for den rette linje l givet ved ligningen l: 2x + 5y + 14 = 0. Det gør vi ved at isolere y:

5 y = − 2 x − 14 −2 x − 14 5 −2 14 y= x− 5 5

y=

y = − 0, 4 x − 2,8

Hældningskoefficienten er altså –0,4. y

8 Sætning

l: y = ax + b

En linjes hældningsvinkel, v, er vinklen fra førsteaksen til linjen regnet med

v

fortegn. Om hældningsvinklen v og hældningskoefficienten a gælder, at

x

–1

a = tan(v) og v = tan (a)

9 Eksempel Linjen med ligningen m: y = 2x – 3 har hældningsvinklen v = tan–1(2) = 63,4°. Linjen med ligningen n: y = –0,3x + 1 har hældningsvinklen v = tan–1(–0,3) = –16,7°.

10 Eksempel Linjen l med hældningsvinkel v = 32° har hældningskoefficienten a = tan(32°) = 0,62. Linjen q med hældningsvinkel v = –85° har hældningskoefficienten a = tan(–85°) = –11,4.

11 Øvelse a. Opskriv ligningen for en ret linje l, der går gennem punktet P0(2,4), og som har   −3 normalvektor n =   . 1 b. Omskriv ligningen fra opgave a) til formen y = a · x + b, og angiv hældningskoefficienten. c. Beregn linjens hældningsvinkel.

12 Øvelse a. En linje er givet ved ligningen 8x – 2y + 3 = 0. Angiv en normalvektor til linjen.

11. Analytisk geometri

159


11.2 Skæring mellem linjer 13 Introduktion Øresundsbroen er en såkaldt skråstagsbro. Vejbanen hænger i kabler, som er direkte forbundet til de lodrette pyloner. Kablerne og vejbanen kan beskrives som rette linjer. Kablerne er fastgjort der, hvor linjerne skærer hinanden.

14 Skæringspunkt mellem to linjer To linjer, der ikke er parallelle, vil altid have et skæringspunkt. Skæringspunktets koordinater kan findes ved at løse de to linjers ligninger som to ligninger med to ubekendte. Skæringspunktet kan også findes ved aflæsning med CAS.

15 Eksempel y –4x + 2y + 2 = 0

6

l: –4x + 2y + 2 = 0 og m: 3x + 3y – 24 = 0. Først isoleres y i ligningen for l:

5 4

2y = 4x – 2 y = 2x – 1

3

3x + 3y – 24 =0

2

Vi kan nu indsætte y = 2x – 1 på y’s plads i ligningen for m. Derved får vi en

1 –1 –1

Vi vil finde skæringspunktet mellem linjerne l og m givet ved ligningerne

7

1

2

3

4

5

6 7

8

9

ligning med kun x som ubekendt.

x

3x + 3(2x – 1) – 24 = 0

3x + 6x – 3 – 24 = 0

9x – 27 = 0

9x = 27

x=3

For at finde den tilhørende y-værdi, indsættes x = 3 i y = 2x – 1:

y = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5

Konklusion: De to linjer skærer hinanden i punktet (3,5).

16 Vinklen mellem to linjer Vinklen mellem to linjer kan findes ud fra vinklen mellem deres normalvektorer. Hvis normalvektorerne ligger på ”samme side” af linjerne, fås den spidse vinkel v. Hvis normalvektorerne ligger på ”hver sin side” af linjerne, fås den stumpe vinkel w. y v + w = 180° m

m v

l

11. Analytisk geometri

v   −3   −n 3m=  1 nl =  1 v

  −3 nm=  1

m

w l

l

w x

160

y

y

x

w

  −3 nl =  1 x


17 Eksempel Vi vil finde den spidse vinkel mellem linjerne l: x + 2y – 11 = 0 og m: –2x – 5y + 17 = 0. Vi kan aflæse normalvektorer for de to linjer direkte fra lignin  gerne: nl =  1  og nm =  −−25 . Ved brug af formlen for vinklen mellem vektorer får vi:  2  

 n⋅n  cos −1   l m  = 175,236° .  nl ⋅ nm 

 Vinklen v mellem to vektorer a  og b kan findes med formlen  

Vi har fundet den stumpe vinkel. Den spidse vinkel kan nu beregnes som

cos(v ) = a ⋅ b . a ⋅ b

v = 180° – 175,236° = 4,764° ≈ 4,8°.

Den spidse vinkel mellem linjerne er 4,8°.

18 Sætning

Når skæringsvinklen mellem to

To rette linjer givet ved ligningerne l: y = ax + b og m: y = cx + d er

linjer er 90°, siger vi at linjerne

ortogonale, hvis og kun hvis a · c = –1.

er ortogonale.

19 Eksempel Et forsyningsfirma skal levere gas til en by. De har allerede en gasledning som passerer tæt på byen. De indlægger et koordinatsystem på kortet over byen og omegnen. Enhederne på både x- og y- koordinaterne er kilometer. Deres oprindelige gasledning kan beskrives med linjen l: y = 3x og byen ligger i punktet (30,10). For at den nye gasledning bliver så kort som mulig, skal den gå vinkelret på den gamle gasledning. Vi kalder linjen der beskriver den nye gasledning for m: y = ax + b. De to linjer er ortogonale, så 3 · a = –1. Når vi isolerer a får vi a = Ledningen skal gå gennem punktet (30,10), så ligningen bliver

−1 . 3

Gasledning l: y = 3x

25 20

Ny gasledning

15

−1 −1 30 −1 y= ⋅ ( x − 30 ) + 10 = x + + 10 = x + 20 . 3 3 3 3

Den nye gasledning kan altså beskrives med linjen m: ya ==

y

−1 x + 20. 3

By

10 5

For at finde ud af, hvor den nye ledning skal tilkobles den gamle, findes de to linjers skæringspunkt. Det giver (6,18).

5

10

15

20

25

30

35 x

20 Øvelse Betragt linjerne med ligningerne –3x + y + 16 = 0 og 6x – 3y – 30 = 0. a. Find linjernes skæringspunkt ved at løse to ligninger med to ubekendte. b. Tegn, med CAS, linjerne i samme koordinatsystem, og find skæringspunktet med skæringsværktøjet i dit CAS-program. c. Beregn vinklen mellem linjerne med metoden vist i eksemplerne ovenfor.

21 Øvelse Betragt linjen med ligningen l: y = 5x –2. Punktet (2,4) ligger på linjen. a. Bestem ligningen for en linje m, der er ortogonal på l, og som går gennem punktet (2,4).

11. Analytisk geometri

161


11.3 Afstande 22 Introduktion I forrige afsnit så vi et eksempel, hvor et forsyningsfirma skulle konstruere en ny gasledning. Her fandt vi en ligning for den linje, som ledningen følger. Men hvor lang skal den nye ledning være? Hvor lang er den korteste afstand fra byen og til den oprindelige gasledning? I dette afsnit skal vi se på, hvordan man beregner afstande ved hjælp

y

af koordinatgeometri. Vi skal se på afstanden mellem to punkter og på afstanden fra et punkt til en linje.

B(x2,y2)

23 Sætning Afstanden mellem to punkter A(x1,y1) og B(x2,y2) kan beregnes med formlen:

A(x1,y1)

AB = x

( x2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2 .

24 Eksempel Afstanden mellem punkterne A(5,–2) og B(1,9) er AB = y 6

3 2

A

Figuren viser tværsnittet af en tagkonstruktion til et hus. Det er indlagt i

E

D

4

et koordinatsystem. Enheden er meter. Vi vil beregne længden af det skrå F

spær, der går mellem punkterne B(8,3) og C(4,5). Vi indsætter i formlen

B

G

BC =

1 1

2

= 16 + 121 = 137 ≈ 11, 7

25 Eksempel

C

5

(1 − 5)2 + (9 − ( − 2))2 = ( − 4 )2 + 112

3

4

5

6

7

x 8

( 4 − 8)2 + (5 − 3)2 =

20 ≈ 4, 47 .

Det skrå spær skal altså være 4,47 meter langt.

26 Eksempel

Betragt igen tagkonstruktionen. Punktet E skal ligge midt på spærret. Det skal altså ligge midt mellem punkterne B og C. Koordinaterne må derfor være gennemsnittet af koordinaterne til B og C:

E

 8 + 4 , 3 + 5  = E  12 , 8  = E (6, 4) .  2  2 2 2 

27 Sætning

 M idtpunktet M for linjestykket mellem to punkter A(x1,y1) og B(x2,y2) har koordinaterne

162

11. Analytisk geometri

x +x y +y  M =  1 2 , 1 2  . 2 2


28 Sætning (dist-formlen) Afstanden fra punktet P(x1,y1) til linjen med ligningen l: ax + by + c = 0 er

dist( P , l ) =

a ⋅ x1 + b ⋅ y1 + c a +b 2

2

y

.

l 3

29 Eksempel

2

Afstanden fra punktet P(–2,1) til linjen l: 4x + 2y – 10 = 0 er

dist( P , l ) =

4 ⋅ ( −2) + 2 ⋅ 1 − 10 4 +2 2

2

=

−8 + 2 − 10 16 + 4

=

−16 20

=

16 20

P

1

≈ 3, 58 .

Afstanden er 3,58.

–2

–1

1

2

3

x

30 Løsning ved konstruktion i geometriprogram Afstanden fra et punkt, P, til en linje, l, kan også findes ved hjælp af konstruktion i et geometriprogram. F.eks. med følgende 4 trin: 1) Indtegn linjen l og punktet P. 2) Konstruer en linje vinkelret på l og gennem P. 3) Bestem skæringspunktet mellem de to linjer. 4) Bestem afstanden fra P til dette skæringspunkt med måleværktøjet.

31 Øvelse a. Beregn afstanden mellem punkterne A(1,5) og B(3,–2) b. Bestem koordinaterne til midtpunktet M af linjestykket fra A til B.

32 Øvelse a. Betragt igen tagkonstruktionen. Beregn længden af det skrå spær, der går mellem punkterne C(4;5) og G(5,5;3).

33 Øvelse a. Beregn afstanden fra punktet P(3,2) til linjen l: –x + 2y + 8 = 0 ved hjælp af dist-formlen. b. Bestem afstanden fra punktet Q(5,–2) til linjen m: 2x – y – 4 = 0 ved hjælp af konstruktion i et geometriprogram.

34 Øvelse a. Beregn længden af den nye gasledning fra introduktionen. Byen har

y Gasledning l: y = 3x

25 20

koordinaterne (30,10), og den gamle gasledning har ligningen y = 3x.

15

Enheden er km.

10

Ny gasledning By

5 5

10

15

20

25

11. Analytisk geometri

30

35 x

163


11.4 Cirkler 1 35 Introduktion Racerbanen Pista di Nardò, som ligger i det sydlige Italien, er formet som en cirkel med radius 2 km. Vi vil i dette afsnit se på den matema tiske beskrivelse af cirkler. En cirkel er en punktmængde, der opfylder den

y

nedenstående ligning. Punktmængden er derved kun cirklens periferi og

P(x,y)

altså ikke selve skiven. C(a,b)

36 Sætning Cirklen med centrum i C(a,b) og med radius r er beskrevet ved ligningen x

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

37 Eksempel Cirklen med centrum i punktet C(2,–4) og med radius 7 har ligningen

(x – 2)2 + (y – (–4))2 = 7 2 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 7

Cirklen kan konstrueres med et geometriprogram, når man kender centrum og radius.

38 Eksempel Ud fra cirklens ligning kan vi aflæse centrums koordinater samt radius. Betragt cirklen givet ved ligningen ( x + 6) 2 + ( y – 4) 2 = 25 Radius er r = 5, fordi vi kan aflæse, at r2 = 25. Centrums x-koordinat er a = –6. Det kan vi se, fordi x – a skal være lig med x + 6. Det kan kun lade sig gøre, når a = –6. y

Centrums y-koordinat er b = 4.

Centrum har altså koordinaterne (–6,4).

39 Skæring mellem linje og cirkel

En cirkel og en linje kan enten skære hinanden i to punkter, have ét skæringspunkt, eller slet ikke skære hinanden. Eventuelle skæringspunkter kan findes ved at substituere linjens ligning x

ind i cirklens ligning. Det resulterer i en andengradsligning.

40 Eksempel Vi vil beregne skæringspunkterne mellem linjen med ligningen l: –2x + y + 4 = 0, og cirklen givet ved ligningen ( x – 1) 2 + ( y – 3) 2 = 25. Først isoleres y i linjens ligning y = 2x – 4. Så substitueres y fra linjens ligning med y i cirklens ligning:

164

11. Analytisk geometri

(x – 1)2 + ((2x – 4) – 3)2 = 25.


Det er nu en ligning med kun en ubekendt. Den kan løses med CAS, eller man kan reducere udtrykket og løse det som en andengradsligning:

( x − 1)2 + (2 x − 4 − 3)2 = 25 ( x − 1)2 + (2 x − 7)2 = 25 x 2 + 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ x + (2 x )2 + 72 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 7 = 25 x 2 + 1 − 2 x + 4 x 2 + 49 − 28 x = 25 x + 4 x − 2 x − 28 x + 49 + 1 − 25 = 0 2

2

Kvadratsætninger: (p + q)2 = p2 + q2 + 2pq og (p – q)2 = p2 + q2 – 2pq

5 x 2 − 30 x + 25 = 0 x2 − 6x + 5 = 0

Fra sidste til næstsidste linje har vi divideret med 5 på begge sider af lighedstegnet. Vi står nu med en andengradsligning, som vi kan løse.

y

Diskriminanten er d = (–6)2 – 4 · 1 · 5 = 36 – 20 = 16.

8 7 6 5 4 3 2 1

Diskriminanten er positiv, så der er to løsninger, svarende til at der er to skæringspunkter.

10 =5 6±4  −( −6) ± 16 2 = =  x= 2 ⋅1 2 2 = 1  2

Løsningerne er x = 5 og x = 1.

–5 –4 –3 –2 –1 –2

1 2 3 4 5 6 7 8

x

Vi skal nu finde de tilsvarende y-koordinater. De findes med linjens ligning. Når x = 5, er y = 2 · 5 – 4 = 10 – 4 = 6 Når x = 1, er y = 2 · 1 – 4 = 2 – 4 = –2 Skæringspunkterne er (5,6) og (1,–2).

41 Øvelse Racerbanen Pista di Nardò indlægges i et koordinatsystem, så banens centrum får koordinaterne C(3,3). Enheden på koordinaterne er km, så radius er r = 2. a. Opskriv ligningen for den cirkel, som banen udgør. En vej krydser banen. Vejen kan beskrives ved den rette linje med ligningen

y 4 3 2 1

l: y = 2x – 5y + 3 = 0. De to steder, hvor vejen og banen skærer hinanden, er der en tunnel under racerbanen.

1

2

3

4

5

6

x

b. Bestem koordinaterne til de to tunneler. Brug ligningsløseren i dit CAS-program. c. Konstruer situationen med dit geometriprogram, og aflæs skæringspunkterne med det indbyggede skæringsværktøj. Scan QR-koden for at se en løsning af en lignende øvelse.

42 Øvelse En cirkel har centrum i C(2,–1) og har radius r = 5 . a. Opskriv en ligning for cirklen. En linje l har ligningen l: –x + y + 4 = 0 b. Bestem, uden brug af CAS, koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen og cirklen.

11. Analytisk geometri

165


11.5 Cirkler 2 43 Introduktion Vejsving konstrueres som cirkelbuer. En cirkelbue er en del af en cirkel. Før og efter svinget er vejen en ret linje. For at svinget føles behageligt, er det vigtigt, at de rette linjer er tangenter til cirklen.

44 Definition En tangent til en cirkel er en ret linje, som rører cirklen i netop ét punkt. y

45 Eksempel

2x – y + 1 = 0

5

Linjen med ligningen 2x – y + 1 = 0 er tangent til cirklen med ligningen

4

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5. Se figuren.

3

Man kan tjekke, om en linje er tangent til en cirkel, ved at beregne afstan-

r

2

den fra linjen og til cirklens centrum. Hvis der er tale om en tangentlinje,

C(3,2)

vil denne afstand jo netop være cirklens radius.

1

Fra cirklens ligning kan vi aflæse, at centrum har koordinaterne C(3,2), 1

2

3

4

5

x

6

og at radius er r = 5 . Vi tjekker:

dist ( P , l ) =

2 ⋅ 3 − 1⋅ 2 + 1 2 + ( −1) 2

2

=

6 −2+1 4 +1

=

5 5

=

5 5

=

5 ⋅ 5

5

= 5

Vi ser, at afstanden netop er radius.

46 Eksempel Ligning for linje med normalvektor  Betragt cirklen med centrum C(–4,1) og radius r = 10 . a n =   gennem punktet P(x0,y0):  b  Punktet P(–1,2) ligger på cirklen. Vi ønsker at finde en ligning for tangenten a(x – x0) + b(y – y0) = 0 . til cirklen i punktet P. For at bestemme ligningen for en linje skal vi bruge en normalvektor til linjen samt et punkt på linjen.  Punktet P ligger på tangenten, så vi mangler kun at finde en normalvektor. Vi kan bruge en hvilken som helst vektor, som er vinkelret på linjen, så vi kan bruge vektoren, der går fra punktet P til C:   − 4 − ( −1)  − 3 = PC =  1 − 2   −1

y –3x – y – 1 = 0

5 4

Vi kan nu indsætte i linjens ligning

3 2

C(–4,1)

–7

–6

–5 –4

  − 4 − ( −1)  − 3 PC = =  1 −1 2   −1 –3

–2

–1 –1 –2

166

P(–1,2)

1

x

11. Analytisk geometri

−3( x − ( −1)) + ( −1) ( y − 2) = 0 − 3( x + 1) − ( y − 2) = 0

a( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0

− 3x − 3 − y + 2 = 0 − 3 x − y − 1= 0

Tangentens ligning er –3x – y – 1 = 0.


47 Løsning ved konstruktion i geometriprogram Følg eksempelvis disse 4 trin: 1) Indtegn en cirkel med C(–4,1) og r = 10 , og afsæt punktet P(–1,2). 2) Konstruer linje gennem C og P. 3) Afsæt en vinkelret linje til CP, der går gennem P. Dette er tangenten. 4) Benyt programmet til at bestemme ligningen for den fundne tangent.

48 Omskrivning af cirklens ligning Ligningen x2 – 6x + y2 + 8y + 16 = 0 beskriver også en cirkel. Vi kan nemlig om2

2

2

skrive den til formen (x – a) + (y – b) = r ved at bruge kvadratsætningerne baglæns. Vi genkender leddene –6x og 8y som de dobbelte produkter og kan

Kvadratsætninger: (p + q)2 = p2 + q2 + 2pq og (p – q)2 = p2 + q2 – 2pq

nu lave omskrivningen. x 2 − 6 x + y 2 + 8 y + 16 = 0 x 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 − 32 + y 2 + 2 ⋅ y ⋅ 4 + 4 4 − 4 2 + 16 = 0       = ( x − 3)2

= ( y + 4 )2

( x − 3)2 − 9 + ( y + 4)2 − 16 + 16 = 0

( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 9

Fra ligningen kan vi nu se, at der er tale om en cirkel med centrum i (3,–4) og med radius 3. Omskrivningen kan også udføres med CAS. I nogle værktøjer f.eks. med kommandoen

CompleteSquare(x 2 − 6 x + y 2 + 8 y + 16 = 0, x , y )

49 Eksempel Ligningen x2 + 2x + y2 – 4y + 15 = 0 er ikke ligning for en cirkel. Den kan omskrives til (x + 1)2 + (y – 2)2 = –10, så det, der skulle svare til r2, er altså –10. Eller sagt på en anden måde. I ligningen (x + 1)2 + (y – 2)2 = –10 er det, der står på venstre side af lighedstegnet, positivt, mens det, der står på højre side, er negativt. Det kan ikke lade sig gøre, så der er ingen løsninger til ligningen.

50 Øvelse En cirkel er givet ved ligningen (x – 2)2 + (y – 3)2 = 5, og punktet P(1,5) ligger på cirklen. a. Bestem ligningen for en tangent til linjen i punktet P, uden at benytte et geometriprogram. b. Tjek din løsning ved at beregne afstanden fra centrum til din tangentlinje. c. Bestem også tangentens ligning vha. et geometriprogram.

51 Øvelse En cirkel er beskrevet ved ligningen x2 + 2x + y2 – 4y = 11 a. Omskriv ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r2. b. Angiv cirklens radius og koordinaterne til centrum.

11. Analytisk geometri

167


11.6 R  etningsvektor og parameterfremstilling

52 Introduktion

Den Transaustralske jernbane har en strækning på 477km, hvor banen er en ret linje. Et bestemt tog kører med konstant hastighed på denne strækning. Hastighed kan beskrives som en vektor, den har nemlig både en størrelse og en retning. Hvis man kender togets position til et bestemt tidspunkt, og hvis man kender hastighedsvektoren, kan man beregne togets position resten af tiden.

53 Eksempel

Toget fra introduktionen befinder sig, til tiden t = 0, i punktet med koordinaterne  10 P(5,1) og har hastighedsvektoren r =   . Enheden på koordinaterne er meter, 30 og hastighedsvektoren har enheden meter pr. sekund. Hver gang der går ét sekund, har toget bevæget sig én hastighedsvektor frem. y 100 80

 10 r =   30

Efter t = 2. position (25,61)

60 40 20

Efter 1 sekund er positionen  5  10   5 + 10  15 + 1⋅ = =  1  30  1 + 30   31 . t = 3. position (35,91)

t = 1. position (15,31) t = 0. position (5,1)

–20

–20 –40

20

40

60

t = –1. position (–5,–29)

80

2 sekunder er positionen  5  10   5 + 20  25 . + 2⋅ = =  1  30  1 + 60   61

Efter 3 sekunder er positionen x 100  5  10   5 + 30  35 + 3⋅ = =  1  30  1 + 90   91 .

Punkterne ligger alle på en ret linje. Se figuren.

Vektoren fra Origo O(0,0) til et En stedvektor for togets position efter t sekunder kan beregnes som punkt P(x0,y0) kaldes punktets  x   5  10  . = +t⋅  y   1  30 stedvektor. Stedvektoren har En sådan måde at fremstille en ret linje kaldes en parameterfremstilling. samme koordinater som punktet   x 0  Hastighedsvektoren kaldes en retningsvektor. . OP =  y0 

54 Sætning Linjen l, som går gennem punktet P(x0,y0), og som er parallel med I et geometrisk værktøjsprogram  r vektoren r =  1  , er beskrevet ved parameterfremstillingen kan en linje konstrueres ud fra to  r2  punkter. De to punkter kan bereg r1   x  x0  l : . = +t⋅  y  y0   r2  nes med parameterfremstillingen.  Tallet t kaldes parameteren og gennemløber alle reelle tal.  r Vektoren r =  1  kaldes en retningsvektor for linjen.  r2 

168

11. Analytisk geometri


55 Eksempel Vi ønsker at finde en parameterfremstilling for linjen, der går gennem de

y

to punkter P1(–1,5) og P2(4,3). For at opskrive en parameterfremstilling skal

9 8 7 P1 6 5 4 3 2 1

vi bruge et punkt på linjen og en retningsvektor. Vi vælger punktet P1. Som retningsvektor kan vi bruge en hvilken som helst vektor, som er parallel  4 − ( −1)  5 med linjen. Her kan vi bruge vektor P1 P2 =  . Med dette bliver =  3 − 5   −2 parameterfremstillingen

 x  =  −1 + t ⋅  5 .  y   5  − 2

 4 − ( −1)  5 P1 P2 =  =  3 − 5   −2 P2

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

56 Eksempel Vi ønsker at opskrive en ligning for linjen givet ved parameterfremstillingen

y

 x   3  4 = +t⋅  y   4  −2 .

8 7 6 5 4 3 2 1

Vi skal bruge et punkt på linjen samt en normalvektor. Vi kan aflæse fra parameterfremstillingen, at punktet P(3,4) ligger på linjen. Vi kan også aflæse, at  retningsvektoren er r =  4  . Vi kan finde en normalvektor ved at tage tvær −2   −( −2)  2  vektoren til retningsvektoren: n = rˆ =  . =  4   4 Ligningen bliver da 2 · (x – 3) + 4 · (y – 4) = 0.

–1

   −( −2)  2  n = rˆ = =  4   4  ˆ  −( −2)  2  P n = r =  4  =  4

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

57 Eksempel Vi ønsker at opskrive en parameterfremstilling for linjen med ligningen  −2 –2x + 3y + 6 = 0. Normalvektoren aflæses til n =   . 3 Vi kan finde en retningsvektor som tværvektoren til normalvektoren:   −3 r = nˆ =   . −2 Hvis x = 0, bliver y = –2, så punktet (0,–2) ligger på grafen. Med dette x 0 −3 bliver parameterfremstillingen:   =   + t ⋅   . y −2 −2

y 1 x –5

–4

–3

–2

1 22  –1 ˆ  −( −2) n = –1 r= =  4   4

  –2 −3 r = nˆ =   P  −2 –3

–4

58 Øvelse a. Opskriv en parameterfremstilling for linjen gennem punkterne P1(1,4) og P2(3,2). b. Opskriv en ligning for linjen givet ved parameterfremstillingen −5

  =   +t⋅  .  y   2  1 c. Opskriv en parameterfremstilling for linjen givet ved ligningen 2x – 5y + 15 = 0. x

8

11. Analytisk geometri

169


11.7  Skæringspunkter og skæringstidspunkter 59 Introduktion Ved hjælp af parameterfremstillinger kan vi ikke blot bestemme koordinaterne til et skæringspunkt, men vi kan også modellere, hvornår to objekter (fx et tog og en bil) befinder sig i skæringspunktet.

60 Eksempel Parameterfremstillingen

m:

 x   100  −20 = +t⋅  y   10  6

beskriver positionen af en bil på en lang lige vej, som skærer jernbanen fra forrige afsnit. Vi ønsker at finde koordinaterne til skæringspunktet mellem vejen og jernbanen.  x   5  10  Jernbanen er beskrevet med parameterfremstillingen l :  y  =  1  + s ⋅  30 . Bemærk, at vi har ændret navnet på parameteren. Ved skæringspunktet er koordinaterne ens. Vi kan finde skæringspunktet ved at sætte parameterfremstillingerne lig hinanden:  100  −20  5  10   10 + t ⋅  6 =  1  + s ⋅  30 y

 100 − 20 t   5 + 10 s  10 + 6 t  =  1 + 30 s 

100 80

60 40 20 –20 –20

100 – 20t = 5 + 10s

(16,4; 35,1) Toget til t = 0 20

40

60

Det giver os to ligninger med to ubekendte – en for hver koordinat:

Bilen til t = 0 80

x 100

–40

10 + 6t = 1 + 30s

Ligningerne kan løses med CAS. Ligningerne har løsningerne t = 4,18 og s = 1,14.

For at finde skæringspunkternes koordinater, indsættes t = 4,18 i parameterfremstillingen for m:  x  =  100 + 4,18 ⋅  −20 =  16, 4  y   10  6  35,1  ligninger med to ubekendte løses Skæringspunktet har koordinaterne (16,4 ; 35,1). med kommandoen I nogle CAS-værktøjer kan to

solve  100 − 20t = 5 + 10 s  , {t  , s } Bilen er ved skæringspunktet efter 4,18 sekunder, og toget er ved skæ 10 + 6t = 1 + 30 s   ringspunktet allerede efter 1,14 sekunder.

61 Eksempel Vi vil bestemme skæringspunktet mellem linjerne l og m, hvor l er givet ved en ligning og m er givet ved en parameterfremstilling. Vi har  x   4  1 l: 4x + 3y – 11 = 0 og m :  y  =  −3 + t ⋅  −1 .

170

11. Analytisk geometri


Parameterfremstillingen kan skrives op som to udtryk. Et for x og et for y:

x=4+t·1=4+t

y = –3 + t · (–1) = –3 – t Disse to udtryk kan indsættes på x og y’s plads i ligningen for l. På denne måde fremkommer en førstegradsligning med kun t som ubekendt. Ligningen kan løses ved at isolere t

4x + 3y –11 = 0

4 · (4 + t) + 3 · (–3 –t) – 11 = 0

16 + 4t – 9 – 3t – 11 = 0

–4 + t = 0

t=4

Skæringspunktets koordinater findes ved indsættelse af t = 4 i parameterfremstillingen:

 x   4  1  4 + 4 ⋅ 1   8  = + 4⋅ = =  y   −3  −1  −3 + 4 ⋅ ( −1)  −7

De to linjer skærer hinanden i punktet P(8,–7).

62 Eksempel Vi vil bestemme skæringspunkterne mellem linjen l og cirklen C, hvor

l:

 x   4  1 2 2 = +t⋅  y   −1  −1 og C: (x – 1) + (y – 2) = 2 .

Parameterfremstillingen giver os følgende om x og y:

3

x = 4 + t og y = –1 – t.

1

((4 + t) – 1)2 + ((–1 – t) – 2)2 = 2.

Det er en andengradsligning med løsningerne t = –2 og t = –4. Ved indsættelse i parameterfremstillingen, finder vi, at det svarer til punkterne (2,1) og (0,3). Scan QR-koden for at se flere detaljer.

C (0,3)

2

Disse to udtryk indsættes i cirklens ligning:

y

l

–1

(2,1) 1

–1

2

3

4

5

x

(4,–1)

–2

63 Øvelse a. Bestem skæringspunktet for de to linjer, som er givet ved parameterfremstillingerne

l:

 x   12  5 og m :  x  =  8 + s ⋅  −3 . = +t⋅  y   2  −3  y   −14  −5

64 Øvelse

 x   −6  4 To linjer l og m er givet ved l: 5x – 2y = 0 og m :  y  =  15 + t ⋅  −5 a. Bestem de to linjers skæringspunkt.

65 Øvelse a. Bestem skæringspunkterne mellem linjen l og cirklen C, hvor

l:

 x   1  −1 2 2 = +t⋅  y   0  1 og C: (x – 1) + y = 8.

11. Analytisk geometri

171


11.8 Beviser 1

66 Introduktion

I afsnittet her skal vi bevise sætninger om linjer og linjers hældning. Vi skal bl.a. se nærmere på, hvordan den trigonometriske funktion tangens kan bruges til at knytte en linjes hældningskoefficient til dens hældningsvinkel. Derved skal vi også rundt om en række trigonometriske begreber og indsigter, om retvinklede trekanter og om to overgangsformler om sinus og cosinus, som bedst kan forstås ud fra enhedscirklen.

[2 Sætning]  Linjen l som går gennem punktet P0(x 0 ,y0), og som er ortogonal  a med en vektor n =   er beskrevet ved ligningen  b Skalarproduktet af to vektorer   a b a =  1  og b =  1  beregnes l: a · (x – x0) + b · (y – y0) = 0.  a2   b2  som  a   Vektoren n =   kaldes en normalvektor til linjen.  b a ⋅ b = a1 b1 + a2 b2 . y

P(x,y)

67 Bevis for sætning 2

  Lad P(x,y) være et vilkårligt punkt på linjen (et såkaldt løbende   ˆ  −( −2)  2 punkt). Vektoren P P fra P til P er parallel med linjen og derfor 0 n=r= = 0  4   4   a n .=Se ortogonal på normalvektoren figuren. Når vektorerne er   b P0 P ortogonale, ved vi, at deres skalarprodukt giver nul. P0(x0,y0)    n ⋅ Po P = 0 x

   To egentlige vektorer a ⋅og ab⋅ =b aer =1 ba11 b+1 a+2 ab2 b2   a1 b1 + a2 b2 ortogonale, netop når a ⋅ b = 0.

 a ⋅  x − x 0  = 0  b  y − y0  a ⋅ ( x − x0 ) + b ⋅ ( y − y0 ) = 0 Dette er netop linjens ligning.

[8 Sætning]  En linjes hældningsvinkel, v, er vinklen fra førsteaksen til linjen regnet med fortegn. Om hældningsvinklen v og hældningskoefficienten a gælder, at

172

11. Analytisk geometri

a = tan(v) og v = tan–1(a)


68 Bevis for sætning 8

Tangens i retvinklet trekant.

Vi deler beviset op i tre tilfælde: Linje med positiv hældning, vandret linje

q

tan(v) = p

og linje med negativ hældning: Positiv hældning: a > 0.

r

q

Hældningskoefficienten er netop defineret som ændringen i y-koordinaten, når x-koordinaten får en tilvækst på 1. Det giver os en retvinklet trekant,

v

som er tegnet med rød.

p

Ved at bruge tangens for retvinklede trekanter, får vi tan(v) = a , som kan forkortes til tan(v) = a.

1

y

Vinklen ligger i intervallet ]0;90[, så når tan(v) = a, kan vi finde vinklen

l: y = ax + b

som v = tan–1(a). Vandret linje: a = 0.

a v

Hvis linjen er vandret, er hældningsvinklen v = 0°. Da tan(0) = 0, gælder

x

1

formlen også i dette tilfælde. Negativ hældning: a < 0. Først skal vi en lille tur omkring enhedscirklen, som vi også beskæftigede os med i Kernestof 1. Ud fra enhedscirkelen i margenen kan vi se, at sin(–v) = –sin(v) og at cos(–v) = cos(v). Det giver os følgende om tangens:

y

1

tan( −v ) =

sin( −v ) − sin(v ) sin(v ) = =− = − tan(v ) cos( −v ) cos(v ) cos(v )

sin(v)

Heraf kan vi konkludere, at hvis vi tager tangens til en negativ vinkel, får vi et negativt tal, så længe vinklen ligger i intervallet ]–90;0[. Omvendt vil tan–1(a), hvor a er en negativ hældning, også give en negativ hældningsvinkel. Formlen gælder altså også for negative hældningskoefficienter og

v –1

–v

cos(v) cos(–v)

1

x

negative hældningsvinkler. Hermed er sætningen bevist.

sin(–v) –1

69 Øvelse a. Skriv begge beviser ned på papir, og forklar udregningerne og ræsonnementerne med egne kommentarer rundt omkring.

11. Analytisk geometri

173


11.9 Beviser 2

70 Introduktion

I afsnittet her skal vi bevise sætningen om, at hvis to linjer er ortogonale, så vil produktet af deres hældningskoefficienter give –1. Derudover vil vi udlede linjens parameterfremstilling.

[18 Sætning] To rette linjer givet ved ligningerne l: y = ax + b og m: y = cx + d er ortogonale, hvis og kun hvis a · c = –1.

y

 1 r =   a

l

I beviset bruger vi følende:

a

71 Bemærkning

1

 1 Linjen givet ved ligningen y = ax + b har r =  a som en retningsvektor.

x

72 Bevis for sætning 18

Beviset deles op i to.

Først vil vi bevise, at hvis linjerne er ortogonale, så medfører det, at a · c = –1. Dernæst vil vi bevise, at hvis a · c = –1, så medfører det,

y

l: y = ax + b   rl ⋅ rm = 0  1  ⋅  1  a  c  1⋅ 1 + a ⋅ c 1 + a ⋅1c   rl ⋅ rm a=⋅ 0c

 1  ⋅  1  a  c  1⋅ 1 + a ⋅ c 1+ a ⋅ c a⋅c

=0

a

=0 =0c = −1

=0 =0 =0 = −1

at linjerne er ortogonale.

 1 Uanset, om linjerne er ortogonale eller ej, er vektoren rl =   en a  1 retningsvektor for l, og vektoren rm =   en retningsvektor for m. c Første del:

m: y = cx + d

Vi antager, at linjerne l: y = ax + b og m: y = cx + d er ortogonale.

x  Hvis linjerne er ortogonale, må deres retningsvektorer også være orto-

gonale. Det betyder, at retningsvektorernes skalarprodukt giver nul:   rl ⋅ rm = 0

 1  ⋅  1  a  c  1⋅ 1 + a ⋅ c 1+ a ⋅ c a⋅c

174

11. Analytisk geometri

=0 =0 =0 = −1

Vi har nu vist, at hvis linjerne er ortogonale, er a · c = –1.


Anden del: Vi antager nu, at a · c = –1. Vi vil beregne retningsvektorernes skalarprodukt:   1 1 rl ⋅ rm =   ⋅    a  c  = 1⋅ 1 + a ⋅ c = 1+ a ⋅ c = 1 + ( −1) = 1− 1 =0 Skalarproduktet er nul, så vektorerne er ortogonale. Hvis retningsvektorerne er ortogonale, må linjerne også være ortogonale. Vi har vist, at hvis a · c = –1, er linjerne ortogonale.

[54 Sætning] Linjen l som går gennem punktet P(x 0 ,y0), og som er parallel med   r1  vektoren r = er beskrevet ved parameterfremstillingen  r2 

x r x l :   =  0 + t ⋅  1 .  y  y0   r2 

   Hvis to vektorer a ⋅og +1 a+2 ab2 b2 ab⋅ =b aer =1 baparallelle, 11 b    eksisterer der et tal t, så a ⋅=bat =·⋅ ba.1=b1a1+b1a2+ba2 2 b2

Tallet t kaldes parameteren, og gennemløber alle reelle tal.   r1  Vektoren r = kaldes en retningsvektor for linjen.  r2 

73 Bevis for sætning 54 Lad P(x,y) være et løbende punkt på linjen. Vi ved, at punktet P0(x 0 ,y0) ligger   på linjen, så vi kan danne en vektor P0 P , som er parallel med linjen. Når P0 P   r1  er parallel med linjen, er den også parallel med linjens retningsvektor r .=  r2     r1  Dvs. der eksisterer et tal t, så P0 P = t · r .=  r2    x x OP =   er stedvektor for punktet P, og OP0 =  0  er stedvektor for  y  y0  punktet P0. Se figuren. Vi kan nu opskrive følgende vektorsum:    OP = OP0 + P0 P    OP = OP0 + t ⋅ r

y   r1  r =  r2   P(x,y) P0 P    P0(x0,y0) OP = OP0 + P0 P      l OP = OP0 + P0 P  OP = OP0 + t ⋅ r    OP = OP0 + t ⋅ r x x   =  0  + t ⋅  r1   r2   x  =  x 0  + t ⋅  r1  y   y 0   y  y0   r2 

x

 x  =  x 0  + t ⋅  r1   y  y0   r2  Det sidste er netop linjens parameterfremstilling.

11. Analytisk geometri

175


11.10 Beviser 3

74 Introduktion

I dette afsnit vil vi bevise formlerne for afstanden mellem to punkter og afstanden fra et punkt til en linje. Derudover vil vi udlede cirklens ligning.

[23 Sætning]

Afstanden mellem to punkter A(x 1 ,y1) og B(x 2 ,y2) kan beregnes:

AB =

( x2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2 .

75 Bevis for sætning 23

Vi laver en vektor fra punktet A til punktet B:  x −x AB =  2 1 . y 2 − y1 Afstanden mellem punkterne er netop

y

længden af denne vektor:  a Længden af en vektor a =  1  kan  a2 AB = AB beregnes med formlen  = ( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 . a = a12 + a22 . Det var netop, hvad vi skulle vise.

B(x 2 ,y2)   x − x  AB = 2 1  y 2 − y1 

A(x 1 ,y1)

[36 Sætning]

Cirklen med centrum i C(a,b) og med radius r er beskrevet ved ligningen

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

y P(x,y)

76 Bevis for sætning 36

Betragt et løbende punkt P(x,y) på cirkelperiferien.

 Afstanden PC mellem dette punkt og centrum C(a,b) må netop være radius r.

C(a,b)

Vi indsætter i afstandsformlen:

2 2 | PC | = ( x − a) + ( y − b )

x

r = ( x − a)2 + ( y − b )2 r 2 = ( x − a)2 + ( y − b )2 .

Vi er kommet frem til cirklens ligning, og beviset er dermed slut.

[28 Sætning (dist-formlen)]

Afstanden fra punktet P(x 1 ,y1) til linjen med ligningen l: ax + by + c = 0 er

dist( P , l ) =

176

11. Analytisk geometri

a ⋅ x1 + b ⋅ y1 + c a +b 2

2

.

x


1

y

77 Bevis for sætning 28

P(x1,y1)

Den søgte afstand er afstanden vinkelret fra P til linjen. Denne afstand

d

er markeret med d på figurerne.

 a Ud fra linjens ligning kan vi aflæse, at linjen har vektoren n =   som  b en normalvektor. Derudover vælger vi et vilkårligt punkt P0(x 0 ,y0) på linjen. Begge dele er tegnet ind på figur 2.  Vi laver nu en vektor P0 P fra punktet på linjen og til punktet P. Denne  x − x vektor er indtegnet i figur 3 og har koordinaterne P0 P =  1 0  .  y1 − y 0    a n .=   Til sidst indtegner vi projektionen af P0 P på normalvektoren   b  P0 P ⋅ n  Ved indsættelse i formlen for projektionen fås P0 Pn =  2 ⋅ n.

l: ax + by + c = 0

x 2

y P(x1,y1)

 a n=   b

d

n

l: ax + by + c = 0

Længden af denne projektion må netop være den søgte afstand.

P0(x0,y0)

Resten af beviset går ud på at beregne længden af denne projektion.    P0 P ⋅ n P0 P n = 

x

 Projektionen af vektor v på vek-

n

= =

=

tor w kan beregnes med formlen    v ⋅ w  v =  2 ⋅ w. w

 x 1 − x 0  ⋅  a  y 1 − y 0   b a +b 2

2

w

( x1 − x 0 ) ⋅ a + ( y1 − y 0 ) ⋅ b a +b 2

w

ax1 − ax 0 + by1 − by 0 a +b 2

2

Punktet P0(x 0 ,y0) ligger på linjen, så koordinaterne opfylder linjens ligning:

Længden af projektionen er    v ⋅ w v =  . w

2

ax0 + by0 + c = 0

y 3 P(x1,y1)

 a n=   b  P0 P

Vi isolerer c: c = –ax0 – by0.

d

Ved at samle leddene –ax0 og –by0 kan vi se, at vi kan substituere med c.

l: ax + by + c = 0

 ax + by1 − ax 0 − by 0 P0 P n = 1 2 2

P0(x0,y0)

a +b

=

x

ax1 + by1 + c a +b 2

4

2

Da længden af projektionen netop er den søgte afstand, har vi vist

dist( P , l ) =

a ⋅ x1 + b ⋅ y1 + c a +b 2

2

.

y P(x1,y1)

 a n=   b  P0 P

d

 ax + by1 − ax 0 − by 0 P0 P n = 1 2 l:2 ax + by + c = 0 a +b

=

,y01)+ c axP10(x + 0by a +b 2

2

11. Analytisk geometri

x

177


Opgaver – 11. Analytisk geometri

S can QR-koden for at

Opgave 1104

komme til facitlisten.

Bestem en normalvektor til følgende linjer a. l1: 4x + 6y + 1 = 0 b. l2: 2x – 5y + 12 = 0

Opgave 1101

c. l3: –5x + 2y – 6 = 0

a. U  ndersøg, om punktet (5,8) ligger på linjen med

d. l4: 6y – 2x – 6 = 0 e. l5: 3y + 1 = 0

ligningen 3x – 2y + 1 = 0. b. U  ndersøg, om punktet (–4,5) ligger på linjen med ligningen x + 2y – 6 = 0.

f. l6: 7x – 3 = 0 g. l7: y = 3x – 5

c. Undersøg, om punktet (2,5) ligger på linjen med

Opgave 1105

ligningen 5x – 2y + 1 = 0.

To linjer n og m er givet ved ligningerne

Opgave 1102

n: 3x –2y –11= 0 og m: 5x –2y –21= 0.

Bestem en ligning for de nedenstående linjer.  2 a. E n linje med normalvektor n1 =   , som går 5 gennem punktet P1(6, 3).  −1 b. E n linje med normalvektor n2 =   , som går 7 gennem punktet P2(4, 0).  4 c. En linje med normalvektor n3 =   , som går  −2 gennem punktet P3(–5, 3).

a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne

d. E n linje med hældningskoefficient 5 , som går

a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne

e. E n linje med hældningsvinkel 32°, som går

b. Bestem vinklen mellem linjerne.

2

gennem punktet (9,2).

uden CAS. b. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 1106 To linjer n og m er givet ved ligningerne n: 8x – 3y + 17 = 0 og m: 7x + 5y – 8 = 0. uden CAS.

gennem punktet (–3,6). f. E n linje med hældningsvinkel –67°, som går gennem punktet (8,15). g. E n linje med hældningsvinkel –89°, som går gennem punktet (1,3). h. E n linje som går gennem punkterne (2,7) og (5,–2).

Opgave 1107 To linjer n og m er givet ved ligningerne n: 3x + 8y + 2 = 0 og m: 7x – 3y – 17 = 0. a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne uden CAS. b. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 1103

Opgave 1108

Bestem hældningskoefficient og hældningsvinkel

To linjer n og m er givet ved ligningerne

for linjerne givet ved nedenstående ligninger

n: 17x – 2y + 1 = 0 og m: 3x + 11y + 6 = 0

a. l1: 3x – 6y + 1 = 0

a. Tegn linjerne i samme koordinatsystem

b. l2: –2x + 5y – 11 = 0 c. l3: 10x – 2y + 1 = 0 d. l4: 5x + 3y + 100 = 0

med CAS. b. Bestem skæringspunktet mellem linjerne med CAS. c. Bestem vinklen mellem linjerne.

178

11. Analytisk geometri


Opgave 1109

Opgave 1114

To linjer n og m er givet ved ligningerne

Punkterne P og Q har koordinaterne P(5, 1) og

n: 0,3x + 2,7y + 12,1 = 0 og m: –3,5x + 0,8y + 1 = 0.

Q(–11, 7).

a. Tegn linjerne i samme koordinatsystem

a. Bestem længden af linjestykket PQ. b. Bestem koordinaterne til punktet R, som ligger

med CAS.

midt mellem P og Q.

b. Bestem skæringspunktet mellem linjerne med CAS. c. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 1115 y

Opgave 1110 C

To linjer n og m er givet ved ligningerne

5

n: 8x – 3y + 4 = 0 og m: x + 7y + 34 = 0.

D 4

a. Bestem linjernes skæringspunkt ved at løse

3

to ligninger med to ubekendte med CAS.

A

B

E

2

Opgave 1111

1

Afgør, uden brug af CAS, om nedenstående par af linjer er ortogonale eller ej.

1

2

3

4

5

6

7

8

x

a. y = 2x + 11 og y = 4x – 1 b. y = 5x + 3 og y = 0,2x + 2

Figuren viser tværsnittet af tagkonstruktionen til et

c. y = 3x + 1 og y =

hus. Det er indlagt i et koordinatsystem. Enheden

−1 x − 11 3

d. y = 0,25x + 10 og y = –4x + 3

er meter.

e. 2x – 5 y + 1 = 0 og 10x + 4y + 12 = 0

Punkterne A, B og C har koordinaterne A(0,3), B(8,3)

f. x – y + 1 = 0 og x + y + 1 = 0

og C(7,5). a. Konstruer trekant ABC i dit geometriprogram.

Opgave 1112 En linje er givet ved ligningen l: y = 5x + 3. a. Bestem, uden CAS, ligningen for den linje, der er ortogonal til l og som går gennem punktet P(2,13). b. Bestem ved konstruktion i CAS, ligningen for den linje der er ortogonal til l og som går gennem punktet Q(1,8).

Opgave 1113 a. Bestem, uden CAS, afstanden mellem punkterne P1(4, 3) og P2(8, 6). b. Bestem, med CAS, afstanden mellem punkterne

b. M ål længden af linjestykket AB med dit geometriprogram. c. Mål ∠BAC med dit geometriprogram. Punktet D ligger midt på linjestykket AC. d. Bestem D’s koordinater med dit geometriprogram. Linjestykket DE er ortogonalt på linjestykket AC. e. Konstruer linjestykket DE, og bestem koordinaterne til punktet E, som er skæringspunktet mellem DE og AB. f. Bestem længden af det skrå spær EC.

P1(9, 1) og P2(34, –3). c. Bestem, med CAS, afstanden mellem punkterne P1(–4, 2) og P2(–8, –5).

11. Analytisk geometri

179


Opgaver – 11. Analytisk geometri

Opgave 1116

Opgave 1121

Bestem afstandene mellem nedenstående punkter

Hvilke af nedenstående punkter ligger på cirklen

og linjer ved hjælp af dist-formlen.

med ligningen (x – 1)2 + (y – 2)2 = 13.

a. A  fstanden mellem punktet P1(4, 2) og linjen

a. (0,0)

l1: 8x – y + 2 = 0. b. A  fstanden mellem punktet P2(15, –11) og linjen l2: x – 3y + 5 = 0. c. Afstanden mellem punktet P3(–1, –6) og linjen l3: 5x + 2y + 4 = 0.

Opgave1117

b. (1,2) c. (4,0) d. (–2,4)

Opgave 1122 Angiv radius og centrums koordinater til nedenstående cirkler.

Bestem afstandene mellem nedenstående punkter

a. (x – 3)2 + (y – 5)2 = 16

og linjer ved hjælp af konstruktion i dit geometri-

b. (x – 10)2 + (y – 8)2 = 5

program.

c. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 11

a. A  fstanden mellem punktet P1(3, 2) og linjen l1: 5x – 2y – 3 = 0. b. A  fstanden mellem punktet P2(–10, 3) og linjen l2: 3x + y + 15 = 0. c. Afstanden mellem punktet P3(4, –9) og linjen l3: 10x + 3y = 0.

Opgave 1118 En trekant er udspændt af punkterne A(1, 6), B(2, 3) og C(5, 1). a. Bestem længden af siden AC. b. B  estem længden af højden hb fra punktet B til siden AC, ved hjælp af dist-formlen. c. Benyt resultaterne ovenfor til at bestemme arealet af trekant ABC.

Opgave 1119 Bestem en ligning for nedenstående cirkler. a. En cirkel med centrum i (3,1) og radius 5. b. En cirkel med centrum i (–2,6) og radius 2. c. En cirkel med centrum i (4,–9) og radius 8 .

Opgave 1120

d. (x – 1)2 + (y + 7)2 = 25 e. (x + 5)2 + (y + 16)2 = 3

Opgave 1123 En cirkel C og en linje l er givet ved ligningerne C: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 15 og l: x + y + 4 = 0. a. Tegn cirklen og linjen i dit geometriprogram. b. Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 1124 En cirkel C og en linje l er givet ved ligningerne C: (x + 1)2 + (y – 2)2 = 27 og l: 6x – 2y + 16 = 0. a. Tegn cirklen og linjen i dit geometriprogram. b. Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 1125 En cirkel C og en linje l er givet ved ligningerne C: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18 og l: x – y + 1 = 0. a. Bestem, uden brug af CAS, skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Konstruer nedenstående cirkler med dit geometriprogram. Aflæs deres ligninger.

Opgave 1126

a. En cirkel med centrum i (4,8) og radius 3.

En cirkel C og en linje l er givet ved ligningerne

b. En cirkel med centrum i (6,–1) og radius 10 .

C: (x + 3)2 + (y – 6)2 = 5 og l: 2x – 2y + 12 = 0.

c. En cirkel med centrum i (2,–7). Derudover oply-

a. Bestem, uden brug af CAS, skæringspunkterne

ses det, at punktet (3,1) ligger på cirklen.

180

11. Analytisk geometri

mellem cirklen og linjen.


Opgave 1127

Opgave 1131

a. Er linjen 3x – y – 5 = 0 tangent til cirklen

En cirkel er beskrevet ved ligningen

med ligningen (x – 4)2 + (y + 3)2 = 10? b. Er linjen 7x – 2y – 10 = 0 tangent til cirklen med ligningen (x + 5)2 + (y – 4)2 = 53? c. Er linjen 3x + 2y – 22 = 0 tangent til cirklen

x2 + 2x + y2 + 4y = –4. a. Omskriv, med CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r2. b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

med ligningen (x – 3)2 + (y – 1)2 = 13?

Opgave 1132 Opgave 1128

En cirkel er beskrevet ved ligningen

Løs opgaverne ved konstruktion i dit geometri-

x2 + 2x + y2 – 10y + 22 = 0.

program.

a. Tegn cirklen med dit geometriprogram.

a. En cirkel er givet ved ligningen

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

(x – 5)2 + (y – 2)2 = 20. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (1,4). b. En cirkel er givet ved ligningen 2

2

Opgave 1133 En cirkel er beskrevet ved ligningen

(x – 8) + (y + 2) = 40. Bestem ligningen for

x2 + 2x + y2 + 4y = 20.

tangenten til cirklen i punktet (2,-4).

a. Tegn cirklen med dit geometriprogram.

c. En cirkel med centrum i C(–5,–1) og med radius

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

r = 40. Bestem ligningen for en tangent til

Opgave 1134

cirklen i punktet (–3,5).

En cirkel er beskrevet ved ligningen

Opgave 1129

x2 – 4x + y2 – 8y + 16 = 0.

Løs opgaverne uden brug af CAS.

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på

a. En cirkel er givet ved ligningen 2

2

(x – 2) + (y – 1) = 10. Bestem ligningen for

formen (x – a)2 + (y – b)2 = r2. b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

tangenten til cirklen i punktet (5,2). b. En cirkel er givet ved ligningen 2

2

Opgave 1135

(x – 7) + (y + 1) = 5. Bestem ligningen for

En cirkel er beskrevet ved ligningen

tangenten til cirklen i punktet (6,-3).

x2 – 6x + y2 – 8y = 0.

c. En cirkel er givet ved ligningen (x + 5)2 + (y – 3)2 = 13. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (–2,1).

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r2. b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 1130

Opgave 1136

En cirkel er beskrevet ved ligningen

En cirkel er beskrevet ved ligningen

2

2

x2 – 4x + y2 + 6y = 3.

x + 6x + y + 4y – 3 = 0. a. Omskriv, med CAS, ligningen, så den er på for2

2

2

men (x – a) + (y – b) = r . b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r2. b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

11. Analytisk geometri

181


Opgaver – 11. Analytisk geometri

Opgave 1137

Opgave 1141

En linje er bestemt ved parameterfremstillingen

Bestem en parameterfremstilling for nedenstå-

x 5 3 l :   =   + t ⋅   y 2 1

ende linjer a. Linjen l1, som går gennem punktet P(2, 5), og

a. B  estem koordinaterne til punktet på linjen svarende til t = 2.

som er ortogonal på linjen med ligningen 3x – 5y + 3 = 0.

b. B  estem koordinaterne til punktet på linjen svarende til t = –3.

b. Linjen l2, som går gennem punktet Q(–9, 2), og som er ortogonal på linjen med ligningen 6x + y = 0.

c. Tegn linjen med dit geometriprogram.

c. Linjen l3, som tangerer cirklen

Opgave 1138

C1: (x – 2)2 + (y – 5)2 = 17 i punktet A(6, 4).

To linjer er givet ved parameterfremstillingerne x 2 −2 x −4 1 l1 :   =   + s ⋅   og l2 :   =   + s ⋅   y 7 6 y 5 4

a. K  onstruer begge linjer i samme koordinatsystem med dit geometriprogram.

d. Linjen l4, som tangerer cirklen C2: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 10 i punktet B(–1, 4).

Opgave 1142 Bestem en ligning for hver af nedenstående linjer

b. Aflæs linjernes skæringspunkt.

a. Linjen givet ved parameterfremstillingen

Opgave 1139

x 2 5 l1 :   =   + t ⋅   . y 4 −1 b. Linjen givet ved parameterfremstillingen

Bestem en parameterfremstilling for neden-

x −3 8 l2 :   =   + s ⋅   . y 2 −9

stående linjer

 3 a. L injen l1, som har retningsvektor r1 =  4

Opgave 1143

og går gennem punktet P1(6, –2).

 −7 b. L injen l2, som har retningsvektor r2 =   og går gennem punktet P2(10, 8).

To linjer, l1 og l2, er givet ved parameterfrem-

2

 −1 c. Linjen l3, som er parallel med vektor a =   og går gennem punktet P3(–1, 5).

5

 2 d. L injen l4, som er parallel med vektor b =   −3 og går gennem punktet P4(–4, 1).

stillingerne x 2 −2 x −4 1 l1 :   =   + s ⋅   og l2 :   =   + s ⋅    y   5  4 y 7 6

a. Konstruer begge linjer i samme koordinatsystem med dit geometriprogram. b. Aflæs linjernes skæringspunkt.

Opgave 1140 Bestem en parameterfremstilling for neden-

Opgave 1144

stående linjer

To linjer, l1 og l2, er givet ved parameterfrem-

a. L injen l1, som går gennem punkterne P(4, 1)

stillingerne

og Q(2, 8). b. L injen l2, som går gennem punkterne A(–3, 6) og B(9, –2). c. Linjen l3, som er bestemt ved ligningen l3: 2x – 7y + 1 = 0. d. L injen l4, som er bestemt ved ligningen l4: 9x + y – 3 = 0.

182

11. Analytisk geometri

x −5 2 x −4 3 l1 :   =   + t ⋅   og l2 :   =   + t ⋅   . y 0 4 y 10 −2

a. Bestem koordinaterne til de to linjers skæringspunkt. b. Bestem vinklen mellem linjerne.


Opgave 1145

Opgave 1149

To linjer, l1 og l2, er givet ved parameterfrem-

Linjen l er givet ved parameterfremstillingen

stillingerne

x 1 1 l :   =   + t ⋅   , og cirklen C er givet y 1 −1

x −13 −4 x 3 4 l1 :   =   + t ⋅   og l2 :  y  =  −5 + t ⋅  −1 . y 1 3

ved ligningen C: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9

a. Bestem koordinaterne til de to linjers skærings-

a. Bestem, uden CAS, koordinaterne til skærings-

punkt.

punkterne mellem linjen og cirklen.

b. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 1150 Opgave1146

Linjen l er givet ved parameterfremstillingen

Linjen l1 er givet ved parameterfremstillingen

x 4 3 l :   =   + t ⋅   , og cirklen C er givet ved y 1 −5

x 0 −1 l1 :   =   + t ⋅   , y 16 3

ligningen C: (x – 3)2 + (y + 5)2 = 1

og linjen l2 er givet ved ligningen

a. Bestem, uden CAS, koordinaterne til skærings-

l2: 4x + 4y – 24 = 0.

punkterne mellem linjen og cirklen.

a. Bestem, uden CAS, koordinaterne til de to linjers skæringspunkt. b. Konstruer begge linjer i samme koordinatsystem med dit geometriprogram, og tjek, at du har fundet det korrekte skæringspunkt.

Opgave 1151 Linjen l er givet ved parameterfremstillingen x 12 2 l :   =   + t ⋅   , og cirklen C er givet ved y 2 1 ligningen C: (x – 5)2 + (y + 3)2 = 52. a. Bestem koordinaterne til skæringspunkterne

Opgave 1147

mellem linjen og cirklen ved at benytte lignings-

Linjen l1 er givet ved parameterfremstillingen

løseren i dit CAS-værktøj.

x 17 −2 l1 :   =   + t ⋅   , y 4 −2

Opgave 1152

og linjen l2 er givet ved ligningen

Et bestemt flys rute

l2: 3x + 4y – 11 = 0.

kan beskrives ved pa-

a. Bestem, uden CAS, koordinaterne til de to

rameterfremstillingen

linjers skæringspunkt.

 x  =  100 + t ⋅  200 ,  y   75  670

Opgave 1148

i tidsrummet 2 ≤ t ≤ 8.

Linjen l er givet ved parameterfremstillingen

Her er t tiden efter af-

x 10 3 l :   =   + t ⋅   , y 0 1

gang målt i timer, og koordinaterne er angivet i km.

og cirklen C er givet ved ligningen

b. Bestem afstanden flyet tilbagelægger i tidsrum-

2

2

C: (x – 4) + (y – 2) = 20 a. Tegn linjen og cirklen i samme koordinatsystem med dit geometriprogram. b. Bestem skæringspunkternes koordinater med skæringsværktøjet i dit geometriprogram.

a. Bestem flyets position, når t = 5. met fra t = 2 til t = 8. Et andet flys rute kan i samme tidsrum beskrives ved parameterfremstillingen  x  =  −1000 + t ⋅  600 .  y   1300  350 c. Bestem skæringspunktet mellem de to flyruter. d. Vil flyene kollidere?

11. Analytisk geometri

183


Opgaver - Kapitalfremskrivning Facitliste Dette er facit til øvelserne i bogens kapitler. Facitlisten til opgaver og træningssider finder du på www.lru.dk/kernestof.

1. Andengradspolynomier 8 a) g b) f 's toppunkts-koordinater er (–1;1). g's toppunkts-koordinater er (0,9;2,5). c) For f, er c = 2

b) d = 28 c) (–0,3;–2,3) 1 7 d) T =  − , −  3 3

25 a) For f: d = 36, for g: d = 0, for h: d = 1 b) For f: x = –1 eller x = 2, for g: x = 1,

For g, er c = 1

for h: x = 3 eller x = 4

d) F ortegnet for begge funktioners b-koefficient

c)

y 2

er +. f

9

1

–2 –1 –1

a) F or f gælder: a = –2, b = 4, c = 1

1

2

3

4

–2

For g gælder: a = 1, b = –4, c = 4 b) B  run graf hører til f – ses bl.a. ved, at den skæ-

g 5

6

x

h

–3

–4

rer y-aksen i punktet (0, 1). Grøn graf hører til g – ses bl.a. ved, at tangent-

S om det ses af graferne, stemmer skærings-

hældningen i punktet (0, c) er negativ.

punkterne overens med resultatet i opg. b.

c) f 's toppunkts-koordinater er (1, 3). g's toppunkts-koordinater er (2, 0).

26

d) f 's skæring med y-aksen findes i punktet (0, 1).

a) Koefficienten a er positiv.

g's skæring med y-aksen findes i punktet (0, 4).

b) Koefficienten b er positiv.

e) D  en brune graf er smallere, fordi den i sin for-

c) c = 4

skrift har en numerisk større a-værdi, end den

d) 0 rødder

grønne.

e) Diskriminanten er negativ.

17

34

a) d = 616

a) f(x) = –0,2 ∙ ( x –(–4)) ∙ (x – 4)

b) T = (260,3080)

b)

y

c) 260 rejser

3

d) 3080000 kr.

2 1

18

–4 –3 –2 –1 –1

y

a)

184

Facit

–1

4

x

c) T = (0;3,2)

d) Den nye værdi skal være a = –0,4

5

–2

3

–3

10

–3

2

–2

15

f

1

1

2

x


2. Funktioner

35 a) f(x) = –1 ∙ ( x –(–1)) ∙ (x – 7) b)

8

y

a) f (1) = 1

15

f(5) = 9 10

f(100) = 199 f(–5) = –11

5

b) For ligningen f(x) = 3 er x = 2 –3 –2 –1

For ligningen f(x) = –21 er x = –10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y

c)

8

c) Grafen er symmetrisk og skærer x-aksen i

6

–1 og 7 – derfor må toppunktets x-koordinat

4

være 3.

f(x) = 2x –1

2

d) Andenkoordinaten er 16.

–3 –2 –1 –2

45

1 2 3 4 5 6 7 8

x

–4

a) 4. grad

–6

b) 5 muligheder (0, 1, 2, 3 eller 4)

–8

c)

y f

9

15

a) Funktionsværdien h(2) = 1

10

b)

5 –4

–3

–2

–1

1

2

y 4

h(x) = 0,5x2 –2x + 3

3

3 x

2 1

d) 2 rødder e) x = –2,97 eller x = –1,44

2

3

4

5

x

c) x = 0 eller x = 4

46 a)

1

−0,3 x ⋅ ( x + 3)( x + 2)( x − 1) = − 0,3 x 4 − 1,2 x 3 − 0,3 x 2 + 1,8 x 10

3 x ⋅ ( x + 3)( x + 2)( x − 1) = − 0,3 x 4 − 1,2 x 3 − 0,3 x 2 + 1,8 x b) x = –3 eller x = 2 eller x = 0 eller x = 1

a)

y 16 14 12

47 a) 3 rødder b) x = –3 eller x = 0 eller x = 1 c) Nej (x = –3 er ikke en rod i f)

10 g(x)

8 6 4 2 2

4 6

8 10 12 14 16 18 20

x

b) Funktionsværdien g(10) = 2,06172 Løsningen til ligningen g(x) = 5 er x = 5,53594

Facit

185


Opgaver - Kapitalfremskrivning

11

20

a) D  m(f) = , fordi vi må smide alle reelle tal ind

a)

på x’s plads og sætte det i anden potens.

y

3

g(x)

Vm(f) = [0;∞[, fordi et tal ganget med sig selv 2

aldrig kan antage en negativ værdi. Hvis vi smider et negativt tal ind på x’s plads,

1

bliver f(x) positiv, da minus gange minus giver plus. Fordi vi ikke kan tale om kvadratroden af noget

b) Funktionen har et globalt maksimum, når x = 9,49.

negativt. Intet negativt tal ganget med sig selv, kan give noget negativt.

x

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

b) D  m(g) = [0;∞[. Følger samme logik som i spg. a:

c) M aksimumsstedet er x = 9,49.

Vm(g) = [0;∞[. Da vi kun må indsætte 0 eller

Maksimumsværdien er g(9,49) = 3,49.

positive tal og udregne deres kvadratrod, får vi også kun talværdier ud, der er enten 0 eller

21

positive.

a)

y

4

18

f(x)

3

a) Funktionen h(x) er aftagende i samtlige punkter i intervallet ]–∞;∞[.

2

Den har derfor ikke noget maksimum og ikke

1

noget minimum. 2

19 a)

4

6

8

10

12

4

5

6

16 x

14

b) 3,08 meter y 40 30 20 10 –4 –10 –2

22 g(x)

a)

y

5 4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x

3

–20 –30 –40 –50

f

2 1

f er voksende i intervallerne [–10;–2] og [5;10].

1

f er aftagende i intervallet [–2;5].

2

3

b)

7

8

x

y

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

186

Facit

1

2

3

4

5

x


29

47

a) f(3) + g(3) = 3 + 2 = 5

a) p(x) = 2x + 2 y

b) g(5) – f(5) = –2 – 15 = –17 c) f(2) · g(2) = 0 · 4 = 0

p(x)

6

g(1) 6 d) = = −3 f (1) −2

4

f(x)

2

f (4) 8 = 2 ⋅ 8 − 1+ = 16 − 1+ 8 = 23 e) 2 ⋅ f (4) − g(4) + g(4) 1

–4 –3 –2 –1 –2

30

1

2

3

4

5

x

–4

a) 16,19

–6

b) 59,1 c) 2 · ex + 2x + 1 d)

2⋅e x

b) w(x) = 2(x + 3) – 3 y

x

w(x)

6

y

e)

4 5

f(x)

2

4 3

–4 –3 –2 –1 –2

g/f

2

1

2

3

4

5

x

–4

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

–2

–6

x

c)

–3

2,5 47c

–4 –5

38 f  g((3) x ) = f ( g(3) g( x )) = f(–1) f (2 x +=1)0= 2 x + 1 g  f ((3) x ) = g( f(3) f ( x )) = g(2) g( x=) 8= 2 x + 1 g  f ((–1) x ) ==gg(f((f(–1) x )) =) g=( g(0) x ) == 2–5x + 1 De to grafer er parallelle. Grafen for g er forskudt

39

1 a) Forskriften for h  g er − x + 5 . Forskriften for g  h er − 1 + 5 . x

b) h  g (2) =

nedad og mod højre ift. grafen for f.

1 , g  h(2) = 4,5 3

40 a) I ndre funktion er x3 + 2x2. Ydre funktion er

x.

b) I ndre funktion er x – 1.

Ydre funktion er x5.

Facit

187


Opgaver - Kapitalfremskrivning

48

10 a) Omkredsen af en cirkel findes ved O = 2 · π · r.

a) G  rafen for g bør ligge forskudt 2 til venstre og 7 ned ift. grafen for f. b)

Da enhedscirklen er defineret som en cirkel

2,5 48b

med radius = 1, er omkredsen jo netop 2 · π · 1 = 2π

11 a) Findes ved reglerne, som kendes fra almindelig ligningsløsning. Det er tilladt at gange med π på begge sider af lighedstegnet, således at ”π går ud” på højresiden, da der både ganges og divideres med π.

49 a)

Dermed står R isoleret og man får derfor R=π⋅

2,5 49a

12

g . 180 °

π

a) sin 2 = 1 b) Først: Husk, at sinus til en vinkel angiver, hvor langt op eller ned ad y-aksen, vi går. π 2

radian svarer til 90 grader, og da enheds-

cirklen har radius 1, vil en vinkel, der danner b) c skal være –3 og k skal være 2

90 grader med x-aksen, ligge i punktet (0,1) i et

Dvs. h(x) = g ( x –(3)) + 2 = g(x+ 3) + 2

koordinatsystem – altså en y-værdi på netop 1.

22

3. Trigonometriske funktioner

a+b)

8 a)

Vinkel i grader

33°

50°

141° 5,73° 85,94° 18°

Vinkel i radianer

0,58

0,87

2,46

Vinkel i grader

360°

270°

180°

Vinkel i radianer

3π 2

π

0,1

1,5

a)

0,1π

188

Facit

90°

45°

60°

π

π 4

π 3

2

0,1

–1

–10

5

5+2π

sin(x)

0,1

–0,84

0,54

–0,96

–0,96

23

9 a)

x

3,2 23a


24

38

a)

–π –π

x

2

sin(x)

0

–1

0

π

0

1

2

π

3π 2

0

–1

0

0

a) 7,31 timer b)

3,3 38b

25 a) cos(0) = 1, cos(1) = 0,54, cos(π) =–1 b)

3,2 25b

c) På den 120. og den 222. dag i året. d) Den 354. dag.

46 a) Konstanten er 2. c) Cosinus til en vinkel angiver, hvor langt ud ad x-aksen vi går.

b) Perioden er π. c)

3,3 46c

π radianer svarer til, at vi er 180 grader, og da enhedscirklen har en radius 1, vil en vinkel, der danner 180 grader med x-aksen, ligge i punktet (–1, 0) – altså d)

π 2

, 2 , 2 osv.

26 a)

3,2 26a

47 a) T =

2π = 8,61 0,73

b)

y 8 7 6 5 4 3 2 1 –1

T = 8,61

T = 8,61 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20

x

Facit

189


48

23

a) k =

a) (0,2; 50), (0,4; 2), (0,6; 0,3), (3; 5), (5; 70), (10; 0,5),

10 + 2 =6 2

(30; 30) og (60; 7)

10 − 2 A= =4 2

ω=

24

2π ≈ 1,26 5

a) Det passer med potensfunktionen f(x) = 1 · x1,5.

b) y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

32

5. Binomialfordelingen

g

2

4

6

x

8 10 12 14 16 18 20

9 a)

4. Logaritmefunktioner 10 a)

ln(5) ln(2)

a) x =

b)

x1

1

2

3

P(X = x1)

0,5

0,35

0,15

y 0,5

x

0,00000000001 0,0001 0,001 0,01 0,1

log(x)

–11

–4

–3

–2

1

0,4

–1 –1

0,3 0,2

10 100 1000 1000000000 0,00001 100000 1

2

3

9

–5

0,1

5 1

2

x

3

c) P(X = 2) = 0,35

11 a)

x

–1

ln(x)

n a

1

2

10

0 0,69 2,30

e ≈ 2,72 7,39 20,09 1

2

3

10 a)

x1

1 1 ≈ 0,166... 6

P(X = x1)

12 log(1) = 0, fordi 100 = 1 log(10) = 1, fordi 101 = 10 ln(1) = 0, fordi e0 = 1 ln(e) = 1, fordi e1 = e

18 a) ( 1;6), (1;200), (2;0,4), (3 ; 4), (3 ; 50), (4 ; 0,7), (4;20) og (5;600)

190

Facit

2

3

4

6

1 1 1 1 1 ≈ 0,166... ≈ 0,166... ≈ 0,166... ≈ 0,166... ≈ 0,166... 6 6 6 6 6

b) P(X = 4) = 1 ≈ 0,166... 6

c) P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 1 1 1 3 = + + = = 0,5 6 6 6 6 d) 1 – P(X = 4) = 1 –

5

1 0,833 ≈ 0,166... 6


11

Der er samme sandsynlighed p = 0,3 for succes

a)

ved hver gentagelse.

x1

1

2

3

P(X = x1)

0,25

0,15

0,6

b) X  kan antage værdien ”plat” eller værdien ”ikke

plat”.

b) P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,25 + 0,15 = 0,4

c) P(X = 3) = 0,13

20

37

a) µ = 2

a) X  er binomialfordelt, fordi:

b) Var(X) = 1 , σ = 1

Vi har 40 uafhængige gentagelser af eksperimentet ”træk et kort”. Vi har to udfald, hvor

21 a)

”ruder” er succes, og ”ikke ruder” er en fiasko. x1

50

10

–150

P(X = x1)

0,3

0,6

0,1

b) µ = 6 c) Var(X) = 3024 , σ = 55

22

Der er samme sandsynlighed p = 0,25 for succes ved hver gentagelse. Antalsparameteren er n = 40. b) µ  = 40 · 0,25 = 10. Dvs. vi vil forvente at trække 10 rudere ud af de 40 trækninger. c) σ = 40 ⋅ 0,25 ⋅ (1− 0,25) = 2,74 d) µ  – 2σ = 4,52, µ + 2σ = 15,48

a) H vis ”præmierne” fx ændres til 30, 10 og –90, fås

Dvs. intervallet for 95 % sikkerhed, er mellem

samme middelværdi, mens spredningen bliver

4,52 og 15,48 rudere.

på 33,2 i stedet for 55.

38 29

a) X  er binomialfordelt, fordi:

a) X  er binomialfordelt, fordi:

Vi har 1000 uafhængige gentagelser af

Vi har 10 uafhængige gentagelser af eksperi-

eksperimentet ”slå med en terning”.

mentet ”kast en terning”.

Vi har to udfald, hvor ”en 6'er” er succes,

Vi har to udfald, hvor ”en 2'er” er succes, og ”ikke

og ”ikke en 6'er” er en fiasko.

en 2'er” er en fiasko.

Der er samme sandsynlighed p =

Der er samme sandsynlighed p = 0,25 for suc-

for succes ved hver gentagelse.

ces ved hver gentagelse.

Antalsparameteren er n = 1000.

Antalsparameteren er n = 10.

1 ≈ 0,166... 6

b) µ = 166,67, σ = 11,79

b) X  kan antage værdierne 1, 2, 3 eller 4. c) P(X = 1) = 0,19, P(X = 2) = 0,28

46 a) P(X = 0) = 0,42

30 a) X  er binomialfordelt, fordi: Vi har 5 uafhængige gentagelser af eksperimentet ”flip en mønt”. Vi har to udfald, hvor ”plat” er succes, og ”ikke plat” er en fiasko.

Facit

191


47

Vi har to udfald, hvor ”en 6'er” er succes,

a) X  er binomialfordelt, fordi:

og ”ikke en 6'er” er en fiasko.

Vi har 6 uafhængige gentagelser af

Der er samme sandsynlighed p =

eksperimentet ”drej på lykkehjulet”.

for succes ved hver gentagelse.

Vi har to udfald, hvor ”gevinst” er succes,

Antalsparameteren er n = 30.

og ”ingen gevinst” er en fiasko.

1 ≈ 0,166... 6

b) Der er tale om en højresidet test, fordi det er

Der er samme sandsynlighed p = 0,3

”ligegyldigt”, om spilleren slår ”for få” 6'ere.

for succes ved hver gentagelse.

Vi koncentrerer os altså kun om det, der sker på

b) P(X = 4) = 0,06

højre side af det forventelige antal 6'ere. c) Den kritiske mængde er tallene 9, 10, 11, . . . , 30.

6. Binomialtest

d) 9 ligger i den kritiske mængde, og vi må forkaste H0. Det er en snydeterning. e) p  = 2 % – Kan vi så alligevel være helt sikre på,

6

at spilleren snyder?

a) D  en kritiske mængde er tallene 0, 1, 2, . . . , 17 samt 32, 33, 34, . . . , 50. b) Værdien 29 ligger ikke i den kritiske mængde.

7. Differentialregning

c) H ypotesen om, at mønten er ærlig, skal ikke forkastes.

8

7

a) Tangentens hældning er 2. b) f ′(1) = 2

a) X  er binomialfordelt, fordi:

c)

y

Vi har 100 uafhængige gentagelser af eksperimentet ”træk et lod”.

4

Vi har to udfald, hvor ”gevinst” er succes,

3

og ”ingen gevinst” er en fiasko.

2

Der er samme sandsynlighed p = 0,2 for succes ved hver gentagelse.

f

1

Antalsparameteren er n = 100.

–3

b) Værdien 14 ligger ikke i den kritiske mængde.

–2

–1

1

2

c) Hypotesen skal ikke forkastes.

15

4

a) D  en kritiske mængde er tallene 0, 1, 2, . . . , 28 samt 51, 52, 53, . . . , 200.

b) H0 skal ikke forkastes.

f

1

22 a) X  er binomialfordelt, fordi: Vi har 30 uafhængige gentagelser af eksperimentet ”kast en terning”.

192

Facit

9

1

a) Tangenthældningen er 2 .

3

x


10

c) Regressionen giver forskriften y = 4x. d) Det passer ift. sætning 12 (vi har her, at a = 2): f ′(x0) = 2 · a · x0 ⇒ 2 · 2 · x0 = 4 x0

y

a)

3 f 2

27

1

–1

1

2

3

a) f1 ′(x) = –8 b) f2 ′(x) = 7x6

x

4

c) f3 ′(x) = 100x99 −3 d) f4 ′(x) = x 4 e) f5 ′(x) = 1,5x · ln(1,5) = 1,5x · 0,405465

b) f

28

1

a) For x = 2 er tangenthældningen –0,25. For x = 10 er tangenthældningen –0,01.

2

Grafen kommer aldrig til at ligne en ret linje.

36 h

a)

17

sekanthældningen as

a) Tangenthældningen for x0 = 2 er 12. Tangenthældningen for x0 = –2 er –12.

1

0,5 0,1

0,01 0,00001

1,4 1,3 1,22 1,202

1,2

b) Et godt bud ville være en sekanthældning på 1,2.

b) f ′(1) = 6, f ′(15) = 90, f ′(–2) = –12

(som også er svaret, man får med CAS)

c) x skal være 6.

8. Differentialregningens regneregler

18 a) Tangenthældningen for x0 = 2 er –8. Tangenthældningen for x0 = –2 er 8.

b) h ′(1) = –4, h ′(15) = –60, h ′(–2) = 8

8

c) x skal være –5.

a) Temperaturen aftager med 4,4 grader pr. minut.

9 a)

x0

–3

g ′(x0)

–2

–1

0

1

2

3

–12 –8

–4

0

4

8

12

y

b)

–4 –3

–2 B

A

–1 –5 C –10

a) p ′(x) = 6x2 – 8x + 3, p ′(2) = 11

G F

10 5

c) f ′(x) = 10 x + 6x2

10

15

1 + 5x 4 2⋅ x 5 b) h ′(x) = 2⋅ x

a) g ′(x) =

19

b) Tangenthældningen er 17.

E D 1

2

3

4

x

–15

Facit

193


18

14

a) f1 ′(x) = 2x · ln(x) + x

a)

b) f2 ′(x) =

4

15 ⋅ x 1 − 2 x

3

c) f3 ′(x) = 8x · cos(x ) – x · sin(x) d) f4 ′(x) = 20 · (2x – 34)9 7

e) f5 ′(x) =

y

2

8

1

5⋅ 2 10 = 2⋅ x − 3 2⋅ x − 3

1

2

3

4

5

6

x

7

19

15

a) f ′(2) = 2,64.

a)

Mængden af luft i hendes lunger stiger med 2,64 liter/sek. i det 2. sekund af målingen. Dette ses ved, at det er en positiv tangenthældning –

y 15 10 g 5 –10 –8 –6 –4 –2 –5 –10 –15

altså under en indånding.

9. Differentialregningens anvendelser

16 y

a)

14 12 10 8 6 4 2

7 a)

x

–4

g ′(x)

0

7 –

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 x

+

–5 –4 –3 –2 –1

g(x)

h

1 2 3 4 5 6 7 8

x

24 a) V  ′(x) = 12x2 –60x + 50 b)

x

0

f ′(x)

+

0

Løsningen til ligningen V ′(x) = 0 er x ≈ 1,06.

2 –

0

+

b) Den største volumen fås ved højden 1,06.

f(x)

25 13

a) y = 2x + 2

a) Q  er grafen for f(x), og P er grafen for f ′(x). Det ses bl.a. ved, at grafen P har nulpunkter

26

præcis dér, hvor grafen Q har minimum og

a) Funktionstypen er en eksponentialfunktion

maksimum.

med forskriften f(x) = b · 2x b) Konstanten a = 2 c) Den sidste konstant b = 3

194

Facit


10. Konklusioner fra data

32 a) Regressionen giver forskriften f(x) = 0,2x + 69,2

7

y

b) 

a) Det er rimeligt, da n · p = 100 · 0,3 = 30 og

2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4

n · (1 – p) = 100 · 0,7 = 70. Begge er altså større end 5. b) 95%-intervallet er mellem 90,8 og 109,2.

15 a) Konfidensintervallet er [7,4 % ; 16,9 %].

x

5 10 15 20 25 30 35 40

–0,4 –0,8 –1,2 –1,6 –2

Residualspredningen er 0,39.

16

c) Den lineære model lader til at være anvendelig,

a) 0,098 ≈ 9,8%

da residualplottet synes at være tilfældigt

b) Konfidensintervallet er [5,6 % ; 13,9 %].

fordelt, og residualspredningen på 0,39 er

c) Nej.

meget lille ift. spændet i y-værdier.

22

36

a) r2 = –0,8 og r3 = 0,8

a)

y 12 10

b) K = 3,84

8 6

23

4

y

a)

2

700 600

–10

500

–5

5

10

x

b) Regressionerne giver forskrifterne:

400

flineær(x) = 0,58x + 3,28

300 200

f2. grad(x) = 0,08x2 + 0,42x + 1,09

100 2

4

6

8

10

12

14

x

f3. grad(x) = 0,01x3 + 0,05x2 – 0,05x + 1,66

c) Tredjegrads-regressionen passer bedst.

b) Regressionen giver forskriften f(x) = –15,6x + 616,6. c) {15.4, 13.0, –16.3, –15.7, –10.1, –11.4, –2.8, 12.9, –5.5, 7.2, 12.8, 16.4, 11.1, –8.3, –15.6, –3.0} d) K = 2284,02

31 a) Mellem 459,5 gram og 619,5 gram.

37 y

a) 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

4

8 12 16 20 24 28 32 36

x

b) a = –0,03, b = 1,18, c = 6,06 c) 42,1 meter

Facit

195


11. Analytisk geometri

41 øvelse a) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 22

11 øvelse a) l: –3 · (x – 2) + (y – 4) = 0

b) (1,87;1,35) og (4,69;2,58) c)

b) y = 3x – 2 Hældningskoefficienten er 3. c) 71,6°

y 4

f

2

(4,96;2,58)

12 øvelse

(1,87;1,35)

 8 a) n =   −2

2

4

20 øvelse

42 øvelse

a) Skæringspunktet er (6,2).

a) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5

b)

y

b) (1;–3) og (4;0)

4

50 øvelse

6

x

a) l: y = 0,5x + 4,5 b) Afstanden fra centrum til tangentlinjen err 5 .

2

c) Samme som fundet i opg. a. 2

c) 8,13°

4

6

x

51 øvelse a) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 42 b) Radius er 4 og centrum-koordinaterne er (1,–2).

21 øvelse a) m: y = –0,2x + 8,4

58 øvelse

31 øvelse

x 0 1 a)   =   + t ⋅    y   5  −1 b) l: –(x + 5) + 8 · (y – 2) = 0

a) Afstanden er 3,6. b) (2;3,5)

x 0 5 c)   =   + t ⋅    y   3  2

32 øvelse

63 øvelse

a) Længden er 2,5.

a) (2,–4)

33 øvelse

64 øvelse

a) Afstanden er 4.

a) Skæringspunktet er (2,5) – dvs. når t = 2.

b) Afstanden er 7,16.

65 øvelse 34 øvelse a) 25,3 km

196

Facit

a) (3,–2) og (–1,2)


Facit

197


Register (k-stof 1) a a priori 72, 73, 75 additionsprincip 67, 76, 77 afdrag 234 aftagende 140, 142, 144, 145, 147, 148, 149, 173, 196 amortisationstabel 234 andengradspolynomium 194, 195, 212ff annuitetslån 234, 236f areal 54, 104, 121, 161, 174 arealformel 89, 100, 174 arealformlen for en vilkårlig trekant 100, 106 asymptote 141, 148

b basisår 124 begyndelsesværdi 129, 140 boksplot 50, 51

c chancetræ cos(v) cosinus cosinusrelation

76 96, 97, 99, 105 96, 98, 99, 100, 107 102, 103, 107

d definitionsmængde deskriptor diagram

140, 192, 193, 200 46, 47, 52, 55 48, 49, 54

e eksponent 218 eksponentiel 140ff, 192, 216, 218, 220, 221 eksponentiel regression 142, 143, 146 eksponentiel udvikling 144 enhedscirkel 96, 98, 105 ensvinklet trekant 92

f fakultet 68 fordoblingskonstant 144, 145, 149 frekvens 46, 47, 48, 54, 72 frekvensbaseret 72, 73 fremskrivningsfaktor 122, 123, 124, 140, 147, 148, 149, 178 funktion 15 første kvartil, Q1 49, 50, 53

g gennemsnit 47, 52, 53 gennemsnitlig rente 240 globalt ekstrema 194 grafisk løsning 10, 11 grene 212, 213 grundlinje 90, 91

198

Register

grundtal 217 grupperet observationssæt 52 gunstig hændelse 74

h halveringskonstant 144 hele tal, Z 8 histogram 54 hosliggende katete 98 hovedstol 234 hypotenuse 92, 98, 104 hyppighed 46, 48, 54 hyppighedstabel 47 hældning 198, 199 hældningskoefficient 26, 34, 35 hændelse 72ff højde 90, 91, 106 højre-/venstreskævhed 50

i ikke-grupperet observationssæt 46 indeks 146 indekstal 124, 125 interval 52, 54, 194, 196 intervalhyppighed 52, 53 irrationale tal, Q 147

k katete 92, 98, 104 koefficienter 212, 213, 214 kombination 70, 78, 79 kombinatorik 66ff konstant 142, 147, 174, 175 konstantled 26, 35 konstruktion 94, 95, 102 koordinatsystem 10, 15, 218, 221 kumuleret frekvens 46, 54 kvadratrod 192 kvartil, Q 49 kvartilafstand 49, 50, 55 kvartilafstand (Q3 – Q1) 49, 50, 55 kvartilbredde 50, 55 kvartilsæt 48, 49, 50, 54, 55

l ligedannet 105 ligefrem proportional 160, 161 lighedstegn 10 ligning 6, 10 lineær funktion 24ff lineær model 28, 29 lineær regression 30ff lineære sammenhænge 24, 30, 32, 180 logaritme 212ff lokalt ekstrema 194 løse ligninger grafisk 10 løsning 10


m median 49, 50 medianen M 49, 55, 91 middelværdi 47, 50, 52 midterste observation 49 modelleringsproces 9, 31, 124, 146 modstående katete 98 multiplikationsprincip 66, 68, 76

n naturlig logaritme niveauforskel

217 50, 51

o observation 28, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 177 omvendt proportionalitet 162, 163, 180 opsparing 230ff opsparingsannuitet 230ff outlier 50

p parabel 195, 212, 214 parallelforskydning 200 Pascals trekant 71 permutation 68, 69, 78, 79 pindediagram 48 potensregneregler 89, 121, 159, 190 potensregression 176 potensudvikling 174 prikdiagram 48 primo 230 pro anno 238 procent 122ff procentdel 46, 52 procentregning 124 proportional 160ff proportionalitet 160f proportionalitetsfaktor 160 Pythagoras' sætning 92, 104, 106

r radius 96 regneark 30, 49 rente 126, 128, 140, 232ff, 238, 240, 242 renteformel 126, 128, 140, 238 residualplot 32, 33 ret vinkel 90 retningspunkt 96 retvinklet trekant 99, 104, 105 rod 22, 44, 64, 138, 190, 210, 228 rækkefølge 46, 66, 69, 69, 70, 87, 79

s sammenligning sandsynlighed

sandsynlighedsfelt 74, 75, 79 sin(v) 96 sinus 96, 98, 100 sinusrelation 100, 102, 106 skalafaktor 92 skæringspunkt 35, 94 slutbeløb 126 slutkapital 126, 238 spejling 216 spids vinkel 90, 98 startbeløb 126, 127 startkapital 126, 238 statistik 46ff stump vinkel 90 stykkevist defineret funktion 200 største og mindste værd 50 sumkurve 54, 55 symmetriakse 212 symmetri 5, 79, 212

t tabel 15, 192 talstørrelse 7, 10 tangens 99, 105 tangent 198 tangenthældning 198, 199 termin 126, 128, 232, 234, 236, 238 terminer 240ff titalslogaritme 216, 217 toppunkt 212 tredje kvartil, Q3 49, 50, 55 typeinterval 52 typetal 47 tælletræ 66

u udfald 74ff, 79 udfaldsrum 74, 76 udvidet kvartilsæt 50 ultimo 230

v variable 8ff variationsbredde 46, 50 vinkelhalveringslinje 91 vinkelret 90 vinkelspids 90, 91 voksende 140, 144, 146, 147, 148, 149, 173, 196 vækst 142, 144, 178, 192 vækstmodel 146, 219 vækstrate 123, 126, 140, 146 værdimængde 141, 148, 193

50 72, 74ff, 79

Register

199


Billedfortegnelse (k-stof 1) Alamy: 196 Heritage Image Partnership Ltd Avifauna: 166 Bally.dk: 152 Barbara Redmond: 245 Bridgeman Art Library: 117th Colourbox: 61, 124, 188tv, 194, 212, Carsten Medom Madsen, 230 Danfoss: 123n Det kongelige Bibliotek: 117tv DR: 244 Getty: 34 og 148 August Rodin, 225th Giles Larrain: 24 iStock: 37 Viktor Kitaykin, 54 TT Jim Schmitz photo: 16 JoBlo Media Inc.: 126 Movie Poster: 162ø Networkingstar: 128ø Per Gregersen: 73n, 74m Photos.com: 17 Amanda Davies, 30 Jupiterimages, 38 Alexalex1, 56 tv Jannet Serham, 59 Valua Vitzly, 122 Brennan Wesley, 137tv James Steidl, 137th Comstock, 146 Shock, 164tv Oliale72, 168 Christina Hanck, 184 Nazeda Sitnikova 186 Maris Zemgahetis, 234 Denis Raev, 236ø Shock, 236n Zdorov, 246 Epstock, 248 Catherine Yeulet, 251 Fernando Dinis Polfoto: 50 Sif Meincke, 56 Anita Graversen, 90 Adam Monk, 142ø Bettmann Pw-pix: 249 Pxhere: 188th Scanpix: 133 European Press Photo, 136 Mary Evans Picture Library, Science Photo Library: 74 Sputnik Shutterstock: 8 Jacob Lund, 12 Bignai, 14 Nejron Photo, 25 Holbox, 26 Tatiana Popova, 27 Guntsoophack Yuktahnon,

200

Lineære sammenhænge

28 mocagrande, 29 Rawpixel.com, 32 Zurijeta, 33 Kinga, 36 Santi S, 38th Catarina Belova, 39 mezzotint, 40tv Zhuk Roman, 40th Bluehousestudio, 42n Artem Oleshko, 42ø Patrick Thomas, 43 Joshua Rainey Photography, 46 Martin Novak, 48 Everett – Art, 49 dinozzaver, 51 Octa corp, 52 Leonardo da Vinci, 53 Sampien, 66ø Monkey Business Images, 66n Treenoot, 67 Usoltceva Anastasiia, 68 Vladimir Hodac, 69 Olena Zaskochenko, 70ø ESB Professional, 70n Lukas Gojda, 71 ecco, 72ø Chermen Otaraev, 72n sbarabu, 73ø Tatiana Popova, 73m Mikkel Bigandt, 76 Tama2u, 78 Zolnierek, 83tv Dmitry Syshchikov, 83th CJM Grafx, 86 montego, 92 Offscreen, 93 RastoS, 94 Popartic, 96 Mikio Oba, 98 Steven Poh, 100 Homo Cosmicos, 102 miquelito, 104 racorn, 123ø thefinalmiracle, 122 dani daniar, 127 freevideophotoagency, 143 pearl7, 144 R. Peterkin, 161, 160 Stockr, 161 Gena Melendrez, 162 Azman AlKurauwi, 163 Izf, 164th sgame, 172 nd3000, 173 Ken Kojima, 174 Dmitri Ometsinsky, 176 Vitezslav Halamka, 177ø Ian Scott, 177n TFoxFoto, 178ø Eric Isselee, 178n dcwcreations, 179ø Dudarev Mikhail, 179n Kate33, 183 Ella Hanochi, 180 Bumble Dee, 196 360b, 198 Dudarev Mikhail, 199 Maksim Vostrikov, 200 amenic181, 214 Wead, 218 melis, 219 tomfotorama, 220 optimarc, 226 MilanB, 232 articular, 237 Scharfsinn, 238 Smileus, 239 Jim Pruitt, 240ø totojang1977, 240n Maciej Maksymowicz Sport- Prestige: 134 South Tyrol Museum of Archeology: 145 Thinkstock: 80, 81, 140, 141, 167, 168øh, 168øv, 168n, 225tv, 252 United States Department of Health and Human Services: 216 Villa Carne Biological Station: 60 What's on Sanya: 129 Wikimedia Commons: 52 Leonardo Da Vinci, 106 Jitse Niesen, 142, 253 WordPress: 20

Kernestof 2 stx_foreløbig version  
Kernestof 2 stx_foreløbig version