Page 1

16 Lene Hansen, Helle Andersen og Michael Wahl Andersen

Matematik for mig 0,8

9 8

245

lærervejledning

3

2

1 3

0,5

2 5

Lærervejledning · Matematik

Special-pædagogisk forlag


Matematik for mig

lærervejledning

LENE HANSEN · HELLE ANDERSEN · MICHAEL WAHL ANDERSEN

97887235433769_indhold.indb 1

01/10/2019 10.41


Matematik for mig, Lærervejledning En titel i serien Matematik for mig © Special-pædagogisk forlag, en del af Alinea Originaltitel: Matematik for mig - et specialundervisningsmateriale for elever med særlige behov Forfatter: Lene Hansen, Helle Andersen og Michael Wahl Andersen Redaktion: Jesper Lyders Andersen Design: Tegnestuen Gram gl. skole og Lumina Datamatics, Inc. Omslagsdesign: ReinschDesign.dk og Lumina Datamatics, Inc. Tryk: Eurographic 1. udgave, 1. oplag 2019 ISBN 978-87-23-54376-9 Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node.

Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år, laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært. alinea.dk

97887235433769_indhold.indb 2

01/10/2019 10.41


Indhold Forord  4 Specialundervisning i matematik  5 At lære matematik  6 Årsager til at elever ikke lykkes i matematik  8 Holdninger til matematik  8 Evneniveau  8 Angst for matematik  9 Koncentrationsproblemer  10 Pædagogiske forhold  11 Opsamling  17

Talforståelse 32 Titalssystemet 33 Vejledning til Tal  34 Addition 38 Addition af flercifrede tal 40 Vejledning til Plus  41 Subtraktion  45 Subtraktion af flercifrede tal 47 Vejledning til Minus  48 Multiplikation  52 Vejledning til Gange  53

Specialundervisning i matematik – hvordan?  18 Forslag til en arbejdsgang  18 Materialer   19 Lokalet  19

Division 56 Vejledning til Dele 57

Begrebskort og problemløsningsark  20

Brøker 65 Vejledning til Brøk 66

Decimaltal 62 Vejledning til Decimaltal 63

Forslag til supplerende læsning  23 Lærervejledning til hæfter  24 Kortlægning af vanskeligheder i matematik  25

Procent 70 Vejledning til Procent 71 Kopiark 75

Spil og andre aktiviteter  27 Tallege, hvor eleverne bruger kroppen  29 Andre matematik-aktiviteter  31

97887235433769_indhold.indb 3

01/10/2019 10.41


Forord Med denne lærervejledning forsøger vi at sætte specialundervisning i matematik ind i en ramme der søger at skabe et helhedssyn på eleven og undervisningen. Lærervejledningen indeholder afsnit om hvad der kan forstås ved vanskeligheder i matematik og hvordan disse vanskeligheder kommer til udtryk. Der gives forslag til hvordan en sådan specialundervisning kan bygges op og organiseres. Der gives ligeledes forslag til konkrete aktiviteter og til anvendelse af metoder og materialer.

Det er ikke meningen at den enkelte elev arbejder individuelt med at træne færdigheder. Vi forestiller os at læreren samtaler med eleven undervejs i arbejdet. I lærervejledningen gives der forslag til hvordan arbejdet kan forløbe. Der er ikke tale om at eleven skal arbejde med alle hæfter fortløbende. Vi forestiller os at de relevante hæfter og materialer vælges ud efter at der er fortaget en kortlægning af eleven og den eller de problemstillinger, der skal arbejdes med, er afdækket.

Om hæfterne Hæfterne indeholder opgaver med stigende sværhedsgrad. De er udformet således, at problemerne bliver anskuet fra mange forskellige vinkler. I hvert hæfte er der en kort vejledning til læreren.

4

97887235433769_indhold.indb 4

01/10/2019 10.41


Specialundervisning i matematik Dansk og matematik bliver vel regnet for grundlaget for undervisningen i skolen. Alligevel ser det ud til at matematik får langt mindre opmærksomhed. Elever med vanskeligheder i dansk får langt større opmærksomhed, og en støtte der er langt mere reflekteret og målrettet, end elever der har vanskeligheder i matematik. Når man ser på hvor stor betydning matematik og forståelse af matematiske sammenhænge har i dagens Danmark, er det påfaldende hvor lidt opmærksomhed. der ofres på specialpædagogiske tiltag i matematik. Dette materiale er et forsøg på at rette opmærksomheden mod en mere målrettet specialundervisning i matematik, og en mere praktisk udformet undervisning for elever med vanskeligheder i matematik. Hvad er normalt og hvad er afvigelse? - Et centralt emne, når det gælder specialundervisning. Der findes mange elever med en eller anden form for funktionsnedsættelse, men om det er et problem eller ikke beror i høj grad af hvilke krav samfundet stiller. Der findes således ingen naturlig grænse for, hvilke elever der har vanskeligheder i matematik og de såkaldt normale elever. Man kunne måske endda vende det hele på hovedet og tale om ”Undervisningsformer som mere eller mindre handicappende”. Det er almindeligt anerkendt at vanskelighe­ der i matematik ikke kan beskrives med en entydig årsagssammenhæng. Der er tale om en række forskellige faktorer der alle trækker i sammen retning. Derfor må man danne sig en klar opfattelse af samspillet mellem mulige årsager, og hvordan disse årsager afgør typen og omfanget af de vanskeligheder eleverne har. I forbindelse med diagnosticering af matematikvanskeligheder viser den seneste forskning, at der ikke er noget der tyder på, at børn med specifikke matematikvanskeligheder skulle

adskille sig specielt fra børn med andre matematikvanskeligheder, eller at de skulle have behov for en undervisning der adskiller sig fra andre børn med særlige behov i matematik. Dermed forsvinder behovet for at diagnosticere specifikke matematikvanskeligheder. Det giver derfor ingen mening for det specialpædagogiske arbejde at opretholde denne distinktion. Der er i tidens løb knyttet mange ord til dette. Vi nævner i flæng: Talblindhed, dyskalkuli, dysmatematik, akalkuli, cifferdøvhed, cifferblindhed, cifferagrafi, parakalkuli m.m. Diagnoser der kan signalere overblik og ”styr på ­tingene”, men som der altså ikke er hold i. Begrebet dyskalkuli er nogle steder søgt knyttet til den alment accepterede diagnose dysleksi, men der er ikke videnskabeligt belæg for denne antagelse. Arne Engström bemærker at dyskalkuli også sproglig set er problematisk med en græsk forstavelse og en latinsk endelse. Da der inden for området matematikvanskeligheder ikke på nuværende tidspunkt eksisterer en konsekvent og alment accepteret terminologi, og da der ligeledes er divergerende opfattelser af indholdet af de anvendte ord og begre­ ber, har vi valgt at benytte mere generelle termer som: Elever med problemer i matematik, matematikvanskeligheder og elever med særlige behov. Et noget mere uhåndterligt udtryk som ”elever der ikke lykkes i matematik” er efter vores mening den i øjeblikket bedst dækkende terminologi, fordi det i denne formulering bliver muligt at flytte fokus fra eleven med pro­ blemer til et mere differentieret syn på matematik og matematikvanskeligheder. Marit Johnsen Høines udtrykker det på følgende måde: Ofte er det ikke elevernes forudsætninger, der er problemet, men mødet med den formelle matematik.

5

97887235433769_indhold.indb 5

01/10/2019 10.41


At lære matematik Hvis det skal være muligt at danne sig en ­forståelse af hvorfor nogle elever ikke lykkes med matematik i skolen, kan det være hensigtsmæssigt at prøve at forstå, hvordan børn lærer matematik. Det at lære – eller tilegne sig kundskab – er i det perspektiv som dette materiale bygger på, et spørgsmål om at eleverne søger at skabe mening og forståelse i matematikkens verden. Med ­forståelse mener vi, hvordan eleverne ser, opfatter og ­erfarer matematikken. Disse forståelser er det, der er repræ­ senteret i elevens bevidsthed og som man nogen gange kalder for elevens indre billeder. Når eleverne starter i 1. klasse har de allerede gjort erfaringer med matematik. De synes, at have intuitive kundskaber om: • at et hvert element i en mængde kun kan tælles en gang • at elementerne stiller op i samme orden hver gang • at det sidste element i mængden er symbol på antallet af elementer • at enhver mængde kan tælles for at finde antallet • at rækkefølgen af hvordan elementerne tælles ikke påvirker det samlede antal De tre første forhold handler om hvordan man tæller, det fjerde beskriver hvilke mængder, der kan tælles og det sidste forhold adskiller talnavnet fra det at tælle. Denne intuitive matematikkundskab kan sammenlignes med, når børn fx helt korrekt sætter en eller et foran et navneord længe før, de har modtaget formel undervisning i dansk grammatik.

Mængden af kugler ser ud til at være opfattet rigtigt, men talsymbolerne opfattes ikke af barnet som repræsentant for antallet af kugler. Nyere forskning peger på, at denne tællekundskab er grundlæggende for elevernes tilegnelse af et talbegreb. Børn i førskolealderen ser altså generelt ud til at besidde et intuitivt begreb eller forestil­ linger om antal - om processen ved at tælle. Det er denne talforståelse, der bør danne udgangspunktet for skolens matematikundervisning. Målet må være at skabe overensstemmelse mellem børnenes intuitive matematikkundskaber og det matematiske symbolsprog, de møder i skolen. Børn ser, føler og udforsker fysiske genstande. Det kan fx være en bamse. Snart begynder barnet at benytte ordet bamse som en s­ proglig repræsentation. Ordet er en abstraktion fra tingen. Senere kan barnet genkende billeder af bamser – endnu en abstraktion. Meget senere begynder barnet at genkende skrevne symboler. Det er endnu en ny abstraktion. Begrebsdannelsen består af en række trin/ abstraktioner med følgende indhold: I Erfaring med konkrete objekters form og antal II Sprog, der beskriver denne erfaring III Billeder/tegninger, der repræsenterer erfaringen IV Symboler der generaliserer denne erfaring Denne forståelse af hvordan elever tilegner sig begreber om tal og antal danner grundlaget for organiseringen af arbejdet i dette materiale. Se et eksempel på næste side.

Børn laver selvfølgelig fejl, de tæller fx 1 –3 –7, men peger på den sidste kugle i rækken.

6

97887235433769_indhold.indb 6

01/10/2019 10.41


I. Konkret:

de konkrete handlinger mod de symbolske repræsentationer. Når man underviser elever, der ikke lykkes i matematik, bliver opgaven derfor at klarlægge, hvor i processen kæden er sprunget af og tage sin begyndelse der.

Andreas sidder med tre sorte kugler og to hvide kugler i sin hånd

I forbindelse med undervisningen i matematik må udgangspunktet være at starte begrebsopbygningen med konkrete erfaringer/materialer og følge op med sproglige beskrivelser. Matematikbogen kan ifølge sin natur kun varetage de to sidste elementer i begrebsdannelsen. Specielt det sproglige arbejde kan være nøglen, der åbner for elevernes forståelser, hvorfor det ikke er hensigtsmæssigt at lade eleverne sidde alene med arbejdet.

II. Sprog:

Se! Jeg har tre sorte kugler og to hvide kugler – jeg har … lad mig se … fem kugler! III. a Billede/tegning afhængig af konteksten:

III. b Billede/tegning uafhængig af konteksten:

IV. a Matematiske symboler med benævnelse:

3 sorte kugler + 2 hvide kugler = 5 kugler IV. b Matematiske symboler uden benævnelse:

3+2=5 I vejledningen gives eksempler på, hvordan disse abstraktioner kan tage sig ud inden for de forskellige temaer elevhæfterne omhandler.

Kort kan det siges at elever lærer matematik ved at gøre erfaringer og sætte ord på de erfaringer de gør. Forløber denne proces ikke på en ­rimelig måde får eleverne vanskeligheder i matematik. Nedenstående sammenfatter ultrakort vores syn på matematik og undervisning af elever med vanskeligheder i matematik: • Alle elever kan lære grundlæggende dele af skolens matematik. Men alle elever skal ikke lære alt. Der er tale om fælles og individuelle mål. • Matematik læres bedst når man regner selv og reflekterer med sin egen måde at tænke på og med sit eget sprog over det man har lært/forstået. Det betyder ikke, at eleven skal sidde for sig selv og arbejde. Der er faktisk tale om det modsatte. Eleven skal have respons på sine refleksioner, enten fra læreren eller fra en kammerat. • Undervisningsformen og fagforståelsen er væsentlige årsager til at nogle elever ikke lykkes i matematik.

Generelt kan det siges, at (matematiske) begreber tilegnes på denne måde. Begrebsdannelsen bygges op som et indbyrdes korresponderende system af abstraktioner, udviklende sig fra 7

97887235433769_indhold.indb 7

01/10/2019 10.41


Årsager til at elever ikke lykkes i matematik Der kan være mange årsager til at eleverne præsterer noget dårligt i matematik. Først og fremmest er elever med vanskeligheder i matematik meget forskellige. Ivar Lunde mener dog, at det er muligt at se nogle overordnede problemstillinger. Han har opstillet en række kendetegn ved elever der ikke lykkes i matematik, hvoraf et eller flere ofte går igen hos den enkelte elev: • Talopfattelsen er dårlig • Den sproglige kompetence og problemløsning er svag • Det er elever med mere generelle indlæringsvanskeligheder • De fortsætter med at gøre de samme fejl, trods påpegning af fejlene • Kort opmærksomhed og kort hukommelse • De bliver let distraherede • Dårlig motorik • Problemer med at læse og skrive • De præges af angst • De har vanskeligt ved at opfatte retning og tid Vi har valgt at gruppere disse kendetegn i fem overordnede kategorier: Holdninger til matematik Evneniveau Angst for matematik Koncentrationsproblemer Pædagogiske forhold Det ofte er vanskeligt at isolere en enkelt faktor, når det gælder om at forklare årsagen til matematikvanskeligheder hos en elev. Der er som regel tale om et samspil af faktorer. Ligeledes vil det også dreje sig om varierende årsagsmønstre fra elev til elev og fra situation til situation.

Holdninger til matematik Den enkelte elevs holdning til matematik har stor betydning for hvordan eleven lykkes i faget. Det drejer sig om såvel faglige som affektive holdninger. Elever der har negative holdninger til matematik og som synes at matematik er unyttigt, eller at de er for ”dumme” til at lære matematik, investerer ikke de samme energier i faget, som de elever for hvem arbejdet giver mening. Der er en række forhold der influerer på læringspotentialet hos elever der ikke lykkes i matematik: • Vilje, anstrengelse, motivation, interesse er vigtige elementer for succes i matematik, samt at eleverne kan se meningen i at kunne matematik • Oplevelsen af at mislykkes igen og igen er erfaringer eleverne tager med sig, og som påvirker læringspotentialerne • Mange elever med matematikvanskeligheder synes at have et højt angstniveau, hvilket også har indflydelse på læringspotentialet For elever der har en negativ holdning til matematik skal der arbejdes med dette parallelt med at der arbejdes med selve indholdet i faget. Inspireret af Olav Lunde har vi udarbejdet et samtaleskema, der sætter fokus på elevernes holdning til matematik (Kopiark 1).

Evneniveau Uanset hvad vi end måtte mene, er det ofte sådan at vanskeligheder i matematik hænger sammen med generelle indlæringsvanskelighe­ der. Olof Magne argumenterer for at nedsat evneniveau er langt den hyppigste årsag til matematikvanskeligheder. Denne årsagsforklaring skal dog ikke fylde så

8

97887235433769_indhold.indb 8

01/10/2019 10.41


meget at den blokerer for fornuftige og åbenbare tiltag i forhold til den enkelte elev. Man kan meget nemt komme til at afskrive elever på denne konto. Det vigtigste må være at tage udgangspunkt i elevens faktiske forudsætninger, og hele tiden være opmærksom på, om der er overensstemmelse mellem elevernes præstationer og deres potentielle udviklingsmuligheder.

Angst for matematik Matematik er nok det fag i skolen, der giver eleverne den største abstraktionsudfordring. Matematikundervisningens opbygning og det matematiske symbolsprog kan for elever, der ikke har tilstrækkelige forudsætninger signalere, at matematik er svært, skrevet i et sprog som ikke forstås. Desuden er det ofte sådan, at undervisningen er tilrettelagt ud fra en opdeling af rigtige og forkerte svar, og mulighederne for alternativer er ofte små. Det gør at faget kan skabe emotionelle vanskeligheder især for elever med en lav selvværdsfølelse. Nogle elever tror simpelthen, at de ikke er kvikke nok til at lære matematik. Andre elever viser deciderede angstsymptomer overfor faget. For ganske få kan der være tale om, at angsten udvikler sig til en egentlig matematikforbi – dette på trods af at eleven egentlig har gode forudsætninger for matematik. Her skal man dog være opmærksom på, at en fobi er et symptom og ikke en årsag. Her er der tale om et specifikt problem, der kræver psykologhjælp. Olof Magne beskriver en trefaset model for udviklingen af matematikangst: 1) Uro opstår: Eleven får problemer med at løse nogle opgaver i matematik. I begyndelsen forsøger eleven at løse opgaverne – han ser jo, at de andre elever i klassen løser opgaverne. Han håber at det også vil lykkes for ham at løse opgaverne, men han regner forkert og bliver skuffet. Det vigtigste er ikke længere den aktuelle opgave men angsten for eller truslen om ikke at kunne løse de kommende opgaver.

97887235433769_indhold.indb 9

2) Konflikt truer: Eleven begynder at tro på at han ikke magter opgaverne i matematik, men håber stadig på at det vil lykkes. Hermed opstår konflikten mellem håb om fremgang og truslen om at mislykkes. 3) Forventningerne bliver skræmmende: Forventningerne bliver stadig mindre og mindre. Nye handlinger forventes på forhånd at være nyttesløse. Jo oftere eleven mislykkes desto mere uundgåelig opleves den forventede modgang. Konflikten bliver stadig vanskeligere at håndtere. I stedet for at bearbejde situationen rationelt reagerer eleven med modstand, bliver aggressiv, dagdrømmer, glemmer, fabulerer. Dette fører i sidste ende til knuste forhåbninger, afmagt og til sidst opgivelse. En elev i 6. klasse udtrykker det på følgende måde: ” Jeg ved ikke - men det er ligesom om at matematik­ ken ikke kan li’ mig.” Man skal med andre ord være opmærksom på, at det ikke er selve matematikopgaverne, der er skræmmende, men forventningen til en selv om at mislykkes. Det er derfor ikke nogen god idé at give elever, der er angst for matematik, materialer for et lavere klassetrin, da det bare er med til at accentuere det i forvejen lave selvværd og dermed forøge risikoen for at sætte yderligere fart på den negative malstrøm. I forbindelse med angst for matematik skal der lægges vægt på at: • styrke elevens selvværd og selvtillid – tro på egne muligheder og tro på at specialundervisningen nytter noget. • eliminere tidspresset i forbindelse med arbejdet. Eleven skal have den tid eleven behøver. Det er mere hensigtsmæssigt at reducere antallet af opgaver frem for at stresse eleven. • fjerne fokus fra at opgaverne enten er løst rigtigt eller forkert. • formulere åbne opgaver der lægger op til alternative løsningsmuligheder, og inspirerer eleverne til at stille spørgsmål. Det vigtigste mål for al specialundervisning er først og fremmest at styrke elevernes selvværd og tro på, at de kan lykkes.

9

01/10/2019 10.41


Koncentrationsproblemer ”Har du overhovedet hørt efter, hvad der er blevet sagt i matematiktimen?” – er en sætning man hører både fra forældre- og lærerside, når et barn giver udtryk for at det intet husker fra matematiktimen. Mangel på koncentration eller mangel på vilje og opmærksomhed kan være en faktor, når en elev har vanskeligheder med/i matematik. Men også her skal man være opmærksom på hvilke konsekvenser, man drager af en sådan slutning. Manglende koncentration i timerne kan bl.a. skyldes elevens rammebetingelser. Det kan for eksempel dreje sig om elevens hjemmesituation, søvn, fritid, lektievaner, spisevaner, kammerater etc. Koncentrationsproblemer i matematik kan også være et udtryk for angst for matematik. Manglende opmærksomhed i timerne kan skyl­ des, at eleven prøver at give indtryk af ikke at have vanskeligheder i matematik. Elevens opmærksomhed retter sig derfor mod nogle ydre forhold. Det kan bl.a. handle om at gøre det samme som de andre i klassen, at søge at tolke svaret på opgaven ud fra lærerens mimik eller at prøve at gøre sig ”usynlig”. Eleven koncentrerer sig altså om noget helt andet end det umiddelbare indhold i undervisningen. Dette kan ved en overfladisk betragtning karakteriseres som manglende koncentration, men der er snarere tale om koncentration om noget andet end det, der forventes.

10

Motivationen spiller også en væsentlig rolle her. Elever, der ikke lykkes i matematik, er ofte ikke motiverede for arbejdet, hvilket får indflydelse på koncentrationen i timerne. Argumentation fra elevens side vil ofte være ”Hvorfor bruge tid på noget meningsløst som matematik? Det er svært og jeg skal alligevel ikke bruge det til noget.” Elevernes hukommelsesspændvidde kan lige­ ledes have indflydelse på deres arbejde. Nogle af de elever der henvises til ­specialundervisning arbejder bare langsomt – her er det et ­spørgsmål om den tilgængelige tid kontra den anvendte tid. Nogle elever behøver mere tid til at løse de

97887235433769_indhold.indb 10

stillede opgaver – her kan man så vælge at give mere tid eller skære ned i antallet af opgaver, der skal arbejdes med. Nogle elever kan have problemer med at over­ føre information fra arbejdshukommelsen til langtidshukommelsen. Andre elever kan have svært ved at hente information fra langtids­ hukommelsen. Disse hukommelsesfaktorer kan igen ved en umiddelbar betragtning tage sig ud som koncentrationsproblemer. I forbindelse med koncentrationsproblemer kan man: • overveje rammerne omkring eleven. Hvordan er hjemmesituationen, forholdet til kammeraterne, etc.? • overveje om der er tale om angst for matematik • tage udgangspunkt i forhold som eleven har udtrykt interesse for • tage udgangspunkt i dagligdagsaktiviteter som: at handle, sammenligne priser, købe på afbetaling/kontokort, tid (Hvornår skal du rejse? Hvad tid skal du af sted?), orientere sig i en køreplan/fjernsynsprogram/vejrmelding, veje og måle i forbindelse med madlavning, pasning og pleje af husdyr, m.m.m. • lade arbejdet foregå i et tempo som eleven magter, hastighed er ikke en dygtighedsparameter • etablere faste daglige rutiner mht. undervisningen, arbejdsmåder etc. • gøre eleven bevidst om hvornår der arbejdes, og hvornår der blot er tale om tilstedeværelse • på forhånd aftale arbejds- og pauseperioder • arbejde med elevens forståelse frem for at lære ham/hende procedurer, der skal huskes udenad og enkeltvis • indøve forskellige studieteknikker Arbejdspladsen skal have præg af at være et sted hvor der arbejdes. Fjern unødvendige stimuli, der ofte er mere distraherende end inspirerende. Men det er ikke urimeligt at tro at en del af det, vi kalder koncentrationsvanskeligheder, handler om at eleverne mangler færdigheder i brugen af sproget som styrende redskab for

01/10/2019 10.41


handlingen – pointen er - siger Olav Lunde – at sproget over tid har en dirigerende og organiserende virkning på tænkningen og handlekompetencen.

Pædagogiske forhold I forbindelse med de pædagogiske forhold kan det være en hjælp indledningsvis af søge at afklare hvilken type af vanskeligheder, der kan være tale om. Vi arbejder med fire typer (Kopiark 2):

der synes det at være sprog og kommunikationsvanskeligheder, der i størst omfang hindrer faglig fremgang og udvikling af faglige færdigheder. Olav Lunde refererer en amerikansk undersøgelse hvor elever med vanskeligheder i matematik blev stillet over for tre opgavetyper: 1. Reelle legesituationer hvor der var krav til addition og subtraktion, fx spillede eleverne ludo. 2. Tekstopgaver af typen ”Peter har 5 æbler og Marie har 3 æbler, hvor mange æbler har de tilsammen?”. 3. Talopgaver der blev præsenteret mundtligt som ”hvor meget er 3 + 5?”.

Typer

Eksempler

Kommunikative vanskeligheder Usystematiske fejl Systematiske fejl Manglende begrebsforståelse

Her kan der være tale om, at eleven ikke er i stand til at afkode teksten. Disse fejltyper er ifølge deres natur svære at identificere og anvise handlestrategier overfor. I nogle situationer kaldes disse fejl for ”sjuskefejl”. Ved systematiske fejl kan der fx være tale om, at en elev konsekvent har misforstået en algoritme. Her kan der være tale om elever, der ikke har forstået, hvad fx multiplikation er, eller hvordan vores talsystem er opbygget.

Det skal understreges at disse grupperinger ikke er entydige, og at flere typer kan optræde samti­ dig hos en elev. Vi har valgt tre overordnede pædagogiske tilgange, det kan være hensigtsmæssigt at stille skarpt på i forbindelse med kortlægning og diagnosticering af matematikvanskeligheder. Der kan være tale om: • Sproglige vanskeligheder • Vanskeligheder med det matematiske symbolsprog • Problemer med algoritmerne

Sproglige vanskeligheder Både hos elever med generelle vanskeligheder og hos elever med mere specifikke vanskelighe-

Undersøgelsen viste at elevernes sprog og kommunikationsfærdigheder havde en væsentlig indflydelse på, hvordan de klarede opgaveløsningen. Sprogforståelse er nødvendigt for at løse matematiske problemer. Det er et område, der ofte – især i specialundervisningen – tages meget let på, men det er et af de vigtigste ­områder inden for matematiklæring, da det angår alle områder i et menneskes liv: Sociale/ kommunikative færdigheder, selvtillid og selvværd, ræsonnementer og strukturering af nye og ukendte situationer. Marit Johnsen Høines udtrykker det på denne måde: ”Mange af de børn som har fået diagnosen regnevanskeligheder, har ikke haft vanskeligheder med det matematiske indhold, men de har haft vanskeligheder med sproget og kommunikationen.” 11

97887235433769_indhold.indb 11

01/10/2019 10.41


I specialundervisningen kan man via at styrke elevernes sprogfærdigheder støtte deres begrebsdannelse. Det kan fx gøres ved: • at træne i at følge og give instruktioner. Det kan fx foregå på følgende måde: 1. Byg en figur i centicubes (din makker må ikke se figuren). 2. Instruér din makker i, hvordan hun kan bygge en figur magen til. 3. Blev figurerne ens? Sammenlign og diskutér. 4. Byt roller. • at læreren og eleven sidder med en skærm imellem sig. Begge har identiske materialer (mønsterbrikker, klodser, etc.) Læreren instruerer eleven i at udføre bestemte handlinger i forhold til materialet. Læreren udfører selv handlingen. Til sidst sammenlignes og diskuteres resultatet. Rollerne byttes om. Man kan også vælge at lave en tegneinstruktion. • at læse en fortælling og stille spørgsmål bagefter. • at læse eller fortælle en historie med ord eller begreber der ikke passer ind. Eleven skal gøre opmærksom på de forkerte ting i fortælling­en. • at benytte billeder. Læreren laver en sætning om noget fra billedet (”den har fire kanter”). Eleven skal så finde de andre elementer der passer til beskrivelsen. • at læse en regne- eller talfortælling. Eleven skal når historien er slut illustrere fortæl­ ling­en, evt. som tegneserie. • at læse eller fortælle en ”halv” historie. Lad eleven finde på en afslutning. • at lade eleven fortælle eller skrive en talhisto­ rie om sig selv Hvis der er flere elever, kan man lave en gættekonkurrence. (Jeg er født 12/9, jeg er 12 år gammel, jeg har 2 søskende, jeg bor i nr.2, 3. sal til højre – hvem er jeg?). • at bruge Jeopardy-modellen. Giv et svar og lad eleven stille spørgsmålet (facit er 9, hvad er spørgsmålet?). • at benytte samtalekort. • at lade eleven beskrive hvordan ting ser ud. Det kan fx være: Funktion, form, farve, sammensætning, størrelse, antal, sammenligning.

Herunder kommer en række forslag til spørgsmål læreren kan benytte i forbindelse med arbejdet. Spørgsmålene sætter fokus på, at det er eleverne, der skal sætte ord på deres tanker og sprogliggøre deres kompetencer: For at hjælpe eleverne til at udtrykke deres tanker: • Prøv at forklare hvorfor du tror det? • Hvordan er du kommet til det resultat? Hvordan kan man vide det? • Overbevis resten af os om at det stemmer? • Er der andre der har samme svar men en anden forklaring? • Hvilke ligheder og forskelligheder er der på jeres forklaringer? For at hjælpe eleverne til matematiske ræsonne­ menter: • Stemmer det altid? • Er det sandt i alle sammenhænge? • Hvordan vil du vise det? • Hvad ved du? Hvilke antagelser vil du gøre? • Kan man vise det ved hjælp af en model? For at hjælpe eleverne til at danne hypoteser, for­ mulere og løse problemer: • Hvad tror du er problemet? • Mangler du noget for at kunne løse problemet? • Er der oplysninger, der er overflødige? • Har du et forslag? Tør du gætte? • Er det muligt at stille spørgsmålet på en anden måde? • Kan du finde et mønster? • Hvad nu hvis …? • Er det muligt at ændre på problemet for at få andre løsninger? For at hjælpe eleverne til at søge sammenhænge: • Kan du komme i tanke om noget fra tidligere vi kan tage i anvendelse? • Kan du finde nogle sammenhænge? • Har du før arbejdet med lignende problemer? Spørgsmål og ordvalg skal indrettes efter aldersgruppen. Ovenstående spørgsmål kan vel derfor bedst karakteriseres som prototypiske, der nødvendigvis må tilpasses i forhold til eleverne og undervisningen.

12

97887235433769_indhold.indb 12

01/10/2019 10.41


To-sprogede elever For indvandrere og flygtninge kan den sproglige tilrettelæggelse af undervisningen være en hindring for at vise indsigt i og lære matematik. Sprogets betydning for elevernes begrebsudvik­ ling­/læring er vigtig for alle skolens elever. Hvis elevernes matematiklæring skal støttes, må det foregå på det sprog eleven bedst behersker, hvilket som regel er modersmålet. Eleven skal med andre ord have mulighed for at benytte sit modersmål som støtte for sin matematiske begrebsudvikling. Da der er tale om grundlæggende forhold ved læring og begrebsudvikling, er der ingen forskel på om det er elever med dansk som modersmål eller om det handler om elever med et andet modersmål. Modersmålet vil oftest være det sprog, hvor det er nemmest for den enkelte at fastholde og bearbejde et begreb. Det skal dog bemærkes at elever der ikke har dansk som modersmål, skal have danske ord på de begreber de har. Denne opgave kan ikke alene overlades til dansklæreren, men bør være et naturligt led i matematikundervisningen. At have svært ved at formulere sig på dansk om addition er ikke nødvendigvis et tegn på manglende begreber. Følgende eksempel illustrerer denne problemstilling: I forbindelse med at en 3. klasse arbejder med at illustrere gangestykker, opstår følgende situa­ tion.

Elev: Du har tegnet nogle sten eller hvad? Bojan: Ja. Lærer: Kan du fortælle os andre hvorfor du har tegnet disse sten? Bojan: ……. (kigger på sin tegning). Lærer: Kan du ikke sige noget om, hvorfor du har tegne disse sten? Bojan: Næhh .. Lærer: Nå – ja – det er også svært?!?! Samtalen går i stå, Bojans manglende danskkundskaber bliver et problem - for læreren. Efter et stykke tid foreslår læreren at Bojan skriver sine tanker om gangeillustrationen ned. Bojan skriver på serbokroatisk, der er hans modersmål. Han skriver:

Prvo sam napiso 5x5 i izracunnao sam da je to 25 pa sam nacrtao pet puta pet loptica Den danske oversættelse lyder: Først har jeg skrevet 5x5 og regnet ud at det bliver 25. Så har jeg tegnet fem gange fem bolde. Det viser sig med andre ord, at når Bojan bliver bedt om at benytte sit modersmål udviser han både sprog, kundskab og kompetence i multiplikation. Bojan er langt i tilegnelsen af et gangebegreb. Han skal blot have lært de danske ord til de matematiske begreber, han har på sit modersmål – matematik er også dansk.

Vanskeligheder med det matematiske symbolsprog

Bojans illustration af gangestykket fem gange fem: Følgende er et uddrag af samtalen om Bojans illustration af gangestykket fem gange fem: Lærer: Nå - Bojan, kan du fortælle os andre lidt om, hvad det er du har tegnet? Bojan: Hmnn … jeg øhh.

97887235433769_indhold.indb 13

Marit Johnsen Høines har - inspireret af L. S. Vygotsky - udviklet en teori om sprogets betydning for udviklingen af matematikkompetence. Når eleverne møder i skolen ved de allerede meget om addition. De er ikke nødvendigvis bevidste om at de bruger addition. Eleverne besidder et intuitivt additionsbegreb, som de er i stand til at benytte sig af. Lea lader sig ikke nøje med to bamser, hvis hun skal have tre, eller når Søren, der står med to bamser og får to til, fortæller at nu har han fire.

13

01/10/2019 10.41


Men det ser ud som om matematikundervisningen i skolen ikke medtænker, at addition er en kognitiv udfordring i sig selv uafhængigt af det matematiske symbolsprog. Når eleverne skal tilegne sig det matematiske symbolsprog, skal de til at lære et fremmedsprog. Det er muligt - i grove træk - at beskrive 3 faser i tilegnelsen af det matematiske symbolsprog: 1. fase: Eleven arbejder inden for sit sprog. Eleven arbejder med sprogformer som eleven kan tænke i – altså sprog af 1.orden. 2. fase: Læreren tilfører gradvist det nye sprog – matematiksproget. Det vil leve parallelt med sproget fra 1. fase. Eleven har hele tiden sproget fra 1. fase som et alternativ. Fx eksisterer ordene ”fire tiere og tre ene” parallelt med ”treogfyrre”. Matematiksproget fungerer som et sprog af 2. orden. 3. fase: Eleven arbejder i det nye sprog, det er blevet sprog af 1. orden. I 3. fase ligger målet for matematikundervisningen. Med sprog af 1. orden forstås et sprog man kan tænke i, et sprog der kan fungere som støtte for problemløsning. Det er et sprog man umiddelbart forstår. Med sprog af 2. orden menes et sprog, der skal oversættes. Det er et sprog man ikke umiddelbart forstår, det skal oversættes for at kunne blive et anvendeligt redskab. Udgangspunktet for arbejdet med matematik­ svage elever må være at finde indtil elevens forståelse og sprogbrug og starte der. Eleverne skal gives mulighed for at benytte deres aktuelle sproglige kompetence i forbindelse med arbejdet til tilegnelsen af det nye sprog.

14

Oversættelsesled Et oversættelsesled skaber broen mellem sprog af 1. orden og sprog af 2. orden. Høines argumenterer for, at essensen i specialundervisnin­ gen er at lede efter gode oversættelsesled. Hen-

97887235433769_indhold.indb 14

sigten er at knytte den symbolske skolematema­ tik til elevernes hverdagsmatematik. Hvis dette er muligt, bliver eleverne i stand til at tænke gennem matematikken. Målet med undervisningen er netop at gøre det matematiske fremmedsprog til et sprog af 1. orden. Oversættelsesledet må altså knyttes til elevernes sprogbrug og deres umiddelbare erfaringsverden. Gode oversættelsesled kan være mange ting. Tænk i bolcher, siger vi ofte til vore elever, eller som i dette afsnit hvor det er bamser vi benytter. Sproget der knytter sig hertil kan være mundtligt, skrevet eller tegnet. Vær opmærksom på, at det er eleven der foretager oversættelsen fra sit hverdagssprog til matematiksproget. Læreren tilrettelægger situationer, kommunikerer og støtter.

Søren og hans bamser Fordi Søren er i stand til – med sine 4 bamser i hånden – at berette ” Jeg havde to bamser og så fik jeg to til, nu har jeg fire bamser”, er det ikke ensbetydende med at han er i stand til at løse følgende problemstilling [ 2 + 2 = __]. Det umiddelbare problem er at Søren ikke relaterer snakken om bamser til det matematiske symbolsprog. Læreren kan på denne måde skaffe sig indsigt i hvordan Søren tænker, når han arbejder med matematik, fordi dette også er et udtryk for om han benytter sprog af 1. eller 2. orden. Søren forstår sig på ”bamse-matematik”, det er et sprog af 1. orden – et sprog han kan tænke og argumentere i. Når Søren skal løse en opgave, der er formuleret i et matematisk symbolsprog, skal han først oversætte det til ”bamsematematik”, løse opgaven og oversætte tilbage igen til det matematiske symbolsprog. For Søren fungerer det matematiske symbol­ sprog som et sprog af 2. orden – et ”fremmedsprog”, der må oversættes for at give mening. Bamserne fungerer da som oversættelsesled. Søren kan nu ved en overfladisk betragtning løse opgaven fra før [2 + 2 = 4]. Det ser umiddelbart ud til at Søren har forstået hvad det handler om, men den næste opgave [6 + 3 = __] giver ham igen problemer, fordi han ikke

01/10/2019 10.41


har bamser nok. Søren løser altså ikke symbolopgaven, men oversætter den til et sprog, han kender. Mange elever der ikke lykkes i mate­ matik løser opgaver på denne måde. Her bør man være opmærksom på, at der er tale om to kvalitativt forskellige måder at løse problemet på. Det er ikke muligt bare at give Søren de matematiske symboler. Søren er nødt til at erfare at matematiske symboler kan sættes i stedet for bamserne og på den måde være symboler for fx bamser. Først da kan han meningsfuldt arbejde med opgaven [6 + 3 = __]. Læreren kan nu vælge samme opgavetype men i forskellige kontekster, eller hun kan vælge forskellige opgavetyper men beholde bamserne, for at hele problemløsningssituationen ikke ændres, og eleven forvirres. Målet er at Søren via de problemløsningsopgaver, han arbejder med, og ved at bruge forskellige udtryksformer, som han behersker, udvikler et begreb om talsammenhænge og deres symbolske udtryk. Eleverne skal have mulighed for at foretage talbehandling inden for en kendt sprogbrug. Høines skriver bl.a.: ”Det er et mål at eleverne kan benytte matematik, at de erfarer at de kan løse opgaver med matematik. Det er muligt at åbne for dette gennem børnenes eget sprog, ofte ser man specielt hos matematiksvage elever et gab mellem deres forudsætninger og de kundskaber eleven forventes at tilegne sig i skolematematikken. En bevidst sprogbrug fra lærernes side vil være en støtte for mange af de elever der ikke lykkes i matematik.

• elevens egen algoritme • standardalgoritmer Elevens egen algoritme Det er muligt at tage udgangspunkt i elevernes problemløsningsstrategier – også kaldet elevernes egne algoritmer. Ved at åbne for elevernes egne forslag til, hvordan man kan løse et problem inden for de fire regningsarter, åbner man samtidig for, at læreren får indsigt i hvordan den enkelte elev tænker i forbindelse med problemløsningen. Det bliver muligt at få indblik i elevens: • talforståelse • forståelse af talsystemets opbygning • forståelse af regningsarterne • regnemetoder Med andre ord får læreren indblik i, hvordan eleven tænker, når han tænker matematik. Elevernes egne algoritmer belyser den tænkning, der ligger til grund for deres forståelse, og er et uundværligt afsæt for det videre arbejde ikke mindst i forbindelse med specialundervisning i matematik. Når man tager udgangspunkt i elevernes egne algoritmer sættes fokus på forklarende viden dvs. de tanker eleverne gør sig om matematik og problemhåndtering. At tage udgangspunkt i elevernes egne problemløsningsstrategier/ algoritmer vil højst sandsynligt forbedre regningsarternes funktionskvalitet for den enkelte elev.

Når man har fundet løsningen på et problem, har man fundet algoritmen. En algoritme er en beskrivelse af en proces, der fører frem til løsningen af et problem. Traditionelt anvendes begrebet algoritme om standardiserede løsningsmetoder inden for de fire regningsarter.

Standardalgoritmer En standardalgoritme er en symbolsk repræsen­ tation af en operation der angiver en trin for trin procedure. Når eleven har svært ved at anvende og udføre algoritmiske procedurer kan det skyldes, at algoritmer er abstrakte. Måden at opstille algoritmer på er ikke en naturlig følge af den regningsart der er i spil. Eleven mangler ofte kriterier for at vælge den rette algoritme. ”Du skal bare sige om jeg skal gange eller dividere med 100, så klarer jeg selv resten.”

Der er to tilgange til arbejdet med algoritmer i matematikundervisningen:

Standardalgoritmen er sammensat af flere operationer. Løsningen af et problem fordrer, at

Vanskeligheder med algoritmerne

97887235433769_indhold.indb 15

15

01/10/2019 10.41


operationerne bliver udført i en bestemt rækkefølge. Hvis denne rækkefølge ikke mestres eller man blander trin fra forskellige standardalgoritmer, kommer især svagt præsterende elever ud i problemer, da disse elever ofte kun har en løsningsstrategi – den standardalgoritme læreren har præsenteret - til rådighed. Det kan diskuteres om det formålstjenstlige i forbindelse med specialundervisning at medtage et afsnit om standardalgoritmer. Men da det ofte er elever med manglende kundskaber og kompetencer i de fire regningsarter, der henvises til specialundervisningen, og at disse manglende kundskaber beror på problemer med de standardalgoritmer, der anvendes i klassen, har vi valgt at medtage dette afsnit. Inden man går ind i et arbejde med standardalgoritmerne, bør det i hver enkelt tilfælde overvejes grundigt, om det er hensigtsmæssigt at træne og fejlrette elevernes manglende standardalgoritmefærdigheder. Træning af standardalgoritmer øger ikke automatisk forståelsen af regningsarterne. I værste fald kan en sådan træning være med til at fastholde og instrumentalisere elevens fejltænkning. Ofte vil det være en fordel at droppe standardalgoritmerne og tage udgangspunkt i elevernes egne problemløsningsstrategier/algoritmer. Der eksisterer mange forskellige typer af fejltænkning i forbindelse med anvendelsen af standardalgoritmer, og ofte er der ikke tale om et enkelt type-problem hos en elev med matematikvanskeligheder, men en sammensat række af vanskeligheder, fejltænkninger og mangelfulde kundskaber i underliggende kompetencer. Per Even Melbye opstiller seks kategorier af problemer i forbindelse med brug af standardalgoritmer.

16

a) Eleven har vanskeligheder med algoritmen, eller det der karakteriserer en regningsart Elever med dette problem kan have mangelfulde færdigheder i at opstille regnestykker. Eleven kan også have vanskeligheder med fremgangsmåden ved løsningen af det opstillede regnestykke.

97887235433769_indhold.indb 16

Eleven vil ofte forholde sig til tallene uaf­ hængigt af den algoritmiske opstilling. Eleven har indarbejdet procedurer, der er meningsløse, men ikke nødvendigvis inkonsistente.

86 + 48 1214

Her har eleven ikke forstået reglerne for mente i den opstillede additionalgoritme. Menten føres direkte ned i svaret. Man skal dog bemærke sig at eleven har tabelfærdigheder.

32 – 28 10

Eleven benytter ikke veksling. Derfor giver 2 – 8 ingen mening. Eleven skriver derfor nullet.

b) Reversaltypefejl Denne fejltype kan optræde i forbindelse med brug af engangsbøger, hvor eleverne skal udfylde fortrykte opgaver. Når disse elever selv skal skrive opgaven, kan problemet opstå.

36 + 23 95

Cifrene byttes om, så enerne står på tierpladsen og tierne på enerpladsen.

c) Blanding af regningsarter Enkelte elever har enten vanskeligheder med at skille regnesymbolerne fra hinanden, eller de taber ”tråden” i processen. Det mest almindelige er at eleverne blander addition og subtraktion.

328 + 143 252

Eleven blander i denne opstilling addition og subtraktion.

d) Vanskeligheder med 0 (nul), og anvendelsen af regneregler generelt Dette problem ses hos elever med en manglende talforståelse, men også hos elever der ikke grundlæggende forstår regningsarterne og indfører regnereglen for multiplikation. Vi får her en negativ overføring af regneregler.

01/10/2019 10.41


205 + 143 308

På tierpladsen får vi 0 som svar, fordi 0 plus ethvert andet tal bliver nul.

e) Perceptionsproblemer Disse problemer handler om at eleven blander talsymbolerne. 6 bliver 9, 1 bliver 7, 8 bliver 0, 18 bliver 81. Dette kan forklares ved at et perceptuelt center i hjernen forårsager symbolvridningen. f) Tabelsvigt eller sjuskefejl Disse elever regner for hurtigt, så der indsniger sig regnefejl i processen.

236 + 143 369

Svaret bliver for meget eller for lidt afhængig af fejlen. I dette tilfælde er der for få på tierpladsen.

Kategorierne a til d kan skyldes svigt i den grundlæggende talforståelse og forståelse af titalssystemets opbygning. Opfølgning og planmæssige tiltag fra lærerens side er nødvendig. Her kan læreren gå i dialog med eleven omkring elevens løsningsforslag. Vær opmærksom på, at eleven er den aktive i læringsarbejdet. Læreren tilrettelægger situatio­ ner, kommunikerer og støtter. Lærerens valg og tilrettelæggelse af undervisningen varierer i overensstemmelse med de fejlmønstre, der er identificeret. Læringsarbejdet forudsætter et tæt og nært samarbejde mellem lærer og elev. Til den sidste kategori kan man benytte en anden strategi. Her kan læreren samle en række træningsopgaver, og kontrollere elevens facit efter arbejdet. Det er dog en fordel at støtte eleven hvis der er tale om koncentrationsproblemer. Man skal ligeledes være opmærksom på at ­standardalgoritmer varierer meget fra land til land. Det drejer sig især overfor elever, der kommer fra andre lande og kulturer. Man kan let komme til at fejlbedømme en elev, hvis eleven kun bliver evalueret ud fra den måde at anvende standardalgoritmer på, der er gældende inden for den givne kulturkreds.

97887235433769_indhold.indb 17

Opsamling Hvis man i overskrifter skal prøve at opsummere indholdet i specialundervisningen i matematik kunne det se sådan ud: • Tro på at specialundervisningen nytter – at eleven ikke bare er parkeret • Opstil klare mål for forløbet • Koordinér elevens special- og almenundervisning • Skaf så meget information om eleven som muligt • Hold kontakt til hjemmet • Stol på elevens intuitive kundskab - styrk elevens selvværd og selvtillid • Tag udgangspunkt i hverdagsaktiviteter • Benyt konkrete materialer, billeder, sprog, spil m.m. • Vær opmærksom på ikke at benytte symbolsprog, før det falder naturligt • Sæt fokus på arbejdsprocessen • Sæt fokus på sprog og kommunikation • Lad eleven sætte ord på sin forståelse • Læg op til aktiviteter der fremmer den sociale kontakt • Stil åbne spørgsmål der kræver refleksion, ikke korte rigtigt/forkerte spørgsmål • Benyt ledende spørgsmål der understøtter elevens begrebsdannelse og forståelse • Spørg ind til hvordan eleven tænker, når han løser problemer • Læg op til forskellige måder at løse problemer på • Lad eleven benytte egne problemløsnings­ strategier/algoritmer i forbindelse med arbejdet • Vær opmærksom på fremgang hos eleven • Giv den tid eleverne behøver – vær tålmodig. Ikke stresse for at ”nå” stoffet – ”Du er bagud – så vi har travlt”. • Vær opmærksom på at eleven ikke gør de samme fejl igen og igen • Vær opmærksom på følgevanskeligheder hos eleven • Lad ikke eleven sidde alene og udfylde hæfter og fortrykte opgaver • Evaluér og perspektivér 17

01/10/2019 10.41


Specialundervisning i matematik - hvordan? Forslag til en arbejdsgang Herunder kommer vi med et forslag til, hvordan det er muligt at skabe et struktureret forløb i arbejdet med specialundervisningen i matematik (Kopiark 3). Kopiarket er struktureret efter de nedenstående overskrifter. Henvendelse fra en lærer om, at en elev ikke lykkes i matematik Traditionelt indledes et specialundervisningsforløb i matematik med en henvendelse til speciallærergruppen fra en lærer om, at en af hans elever ikke får nok ud af den undervisning, der gives i klassen Samtale mellem lærer og speciallærer om, hvad lærerens syn er på vanskelighederne Indledningsvis foregår henvisningen ved at læreren fortæller speciallæreren om hvad hans syn på problemet er. Læreren fortæller for eksempel, at eleven ikke forstår hvad det vil sige plusse, at eleven ikke forstår det med tiere og enere, m.m. Der kan være mange årsager til at eleven ikke lykkes i faget. Struktureret samtale (samtaleark) mellem elev og speciallærer Speciallæreren kan indledningsvis så vælge at mødes med eleven for at høre om hvad hans syn på matematik og matematikundervisning er. Hvilke holdninger eleven har til faget, hvil­ ken støtte han får og om han eventuelt er nervøs i timerne. Vi foreslår at benytte det strukturerede samtaleark på Kopiark 1. Der foretages en ”kortlægning” af eleven (screening) Derefter foretages en kortlægning af eleven for at få et indledende billede af problemstillingen samt et overblik over hvor meget støtte eleven behøver. Vi henviser her til afsnittet om kortlægning og Kopiark 4a-b-c. Kortlægningsmaterialet indikerer hvilke hæfter fra materialet, man med fordel vil kunne benytte i arbejdet. 18

97887235433769_indhold.indb 18

Afdækning af problemstillingen • Evneniveau • Angst for matematik • Koncentrationsproblemer • Pædagogiske forhold - sproglige vanskeligheder, - vanskeligheder med det matematiske sym- . bolsprog - problemer med algoritmerne • Andet - sociale årsager - fysiske handicap Det er derefter målet at speciallæreren afdækker hvad der skal arbejdes med. Vi har valgt at benytte ovenstående overskrifter til hjælp ved en strukturering af arbejdet. Der er i materialet afsnit der behandler ovenstående tilgange til specialundervisningen, og der gives forslag til hvordan man kan arbejde med eleverne. Er der overensstemmelse mellem lærerens og speciallærerens syn på problemet? Efterfølgende er det vigtigt at lærer og speciallærer mødes for en samtale om hvorvidt der er enighed om hvad der ligger til grund for at eleven ikke lykkes i matematik, og om hvordan arbejdet skal gribes an. Der skal udarbejdes et undervisningsforløb. Udarbejdelse af et undervisningsforløb • Tidsramme, antal uger, antal timer • Organisering - hvor og hvordan skal støtten sættes ind (i klassen, uden for klassen, individuelt, gruppe)? • Hvad er problemet? • Opstille mål for forløbet • Handleplan – hvordan skal målene nås? Hvilke materialer skal benyttes? Der udarbejdes en kontrakt Denne kontrakt findes som Kopiark 5, hvor målene og arbejdsformen konkretiseres og ope­ rationaliseres. Klare og velbeskrevne handleanvisninger letter evalueringen. Det er selvfølgelig muligt at ændre i målsætningen som arbejdet skrider frem. Vi mener, at det kan være en fordel med så stor åbenhed om arbejdet som muligt. Hvis det er muligt kan det være en fordel at inddrage forældrene.

01/10/2019 10.41


Vi har valgt at tale om en kontrakt for at understrege den gensidige forpligtelse. Evaluering For at kvalificere specialundervisningen i matematik er evalueringen et væsentligt element i forløbet. Skete det, som vi havde håbet og regnet med? Hvorfor? Hvorfor Ikke? Perspektivering Afslutningsvis skal det afgøres om mængden af støtte har været tilstrækkelig til at eleven kan arbejde videre i sin klasse, eller om der skal iværksættes yderligere støtteforanstaltninger og hvordan arten og omfanget af disse foranstaltninger skal være.

Materialer Konkrete handlinger og konkrete materialer samt materialer der lægger op til samtale og samarbejde er vigtige elementer i specialundervisningen i matematik. Særligt i specialundervisningen skal man være opmærksom på at eleverne ikke sidder alene med et hæfte og træner regnestykker – i værste fald i utidssvarende matematikbøger der ikke er alderssvarende. Materialerne skal kunne konkretisere og illu­ strere abstrakte forhold samtidig med at eleverne får mulighed for at sprogliggøre disse erfaringer.

• Materialer fra hverdagen Det kan være vægte (badevægte, køk­ kenvægte), forskellige mad- og bagerekvisitter, målebånd, kvitteringer, termometre, ure, avisen (vejrudsigten, tv-programmet), bus- og togplaner, ugeaviser/reklamer, rejsekataloger m.m. • Konkrete handlinger Foretage indkøb, planlægge udflugter m.m. Her kan indgå en række aktiviteter fra elevernes hverdag, der indeholder matematik. • Halvkonkreter Her er der tale om materialer, der ikke findes i elevernes umiddelbare hverdag, men som kan støtte elevernes begrebsudvikling. Det kan være centicubes, skolepenge, sømbræt, kuglerammer, mønsterbrikker af forskellig slags, positionsplader, taltavler, terninger af forskellig slags m.m. • Materialer som eleverne selv fremstiller Det kan være figurer eleverne selv fremstiller. Selve arbejdet med at tegne op, klippe ud og bygge kan indeholder mange matematik aktiviteter. • Spil Kan være en motiverende faktor i undervisningen. I lærevejledningen giver vi en række eksempler på aktiviteter.

Lokalet Vær opmærksom på at eleverne benytter de konkrete materialer som støtte for deres begrebsdannelse – og ikke som et hjælpemiddel til at nå et hurtigt facit. • Materiale der kan benyttes til sortering, klassificering og sammenligning Det kan være sten, kogler, frugter, knapper samt halvkonkreter som geobrikker, logiske klodser, m.m.

Specialcentret bør også være gearet til at undervise elever der ikke lykkes i matematik. Vi tror ikke at de forskellige fag stiller meget forskellige krav til lokalets indretning og udstyr, men der er alligevel nogle forhold man bør være opmærksom på når det drejer sig om specialundervisning i matematik. Der skal være en materialesamling der gør det muligt at konkretisere matematikken – jævnfør ovenfor.

19

97887235433769_indhold.indb 19

01/10/2019 10.42


Der skal være en bordopstilling der gør det muligt at lærer og elev(er) kan samtale og sam­ arbejde under arbejdet. Det skal ligeledes være muligt at manipulere med konkrete materialer uden at det virker forstyrrende ind på andre i lokalet. Det kan være en fordel at have faste værksteder opstillet i lokalet. Det kan for eksempel være: • en butik (værdi/penge) • flere måleværksteder (flader, rum, tid, vægt, rummål) • et regneværksted • et talværksted • et geometriværksted (grundlæggende geometriske former)

Illustration fra www.udstillingsplancher.dk

Begrebskort og problemløsningsark Inspireret af det amerikanske projekt CRISS’s norske udgave er her eksempler på brugen af – hvad vi kalder begrebskort og problemløsningsark til støtte for elevernes refleksioner i forbindelse med matematiklæring. Når eleverne skal skrive deres forklaringer på ideer eller begreber, vil de hurtigt finde ud af hvad de forstår ved et givent begreb. Skrivning eller tegning tvinger eleverne til at gøre sig overvejelser over begrebets natur. Skrivning og tegning støtter elevernes tænkning – gør dem metakognitive.

Desuden er skrivning og tegning et effektivt redskab til at støtte eleverne i at strukturere, ordne og gennemtænke forløbet i en proces. Problemløsningsarket bidrager til at tydeliggøre for eleverne, at de skal gennemtænke hvert trin i forbindelse med problemløsning i matematik. Når læreren og elev arbejder med opgaver i matematik kan trinnene i problemløsningsproceduren synliggøres og eksemplificeres for eleven bl.a. ved at benytte problemløsningsarket. Disse ark kan ligeledes fungere som porteføljer for eleven.

20

97887235433769_indhold.indb 20

01/10/2019 10.42


Begrebskort For at begrebskortet skal få den tilsigtede virkning skal man være opmærksom på at skrive entydige forklaringer – forklaringer der gør det muligt for en person der intet ved om emnet at udføre en opgave på grundlag af begrebskortet – se Kopiark 7. • Begynd med at lade eleven forklare/skrive/ tegne en enkel proces. Lad eleven forklare processen, mens du følger anvisningen. • Læreren kan derefter vælge en for eleven kendt proces – fx hvordan man i forskellige sammenhænge kan benytte tallet fem.

To eksempler på elevers besvarelse af begrebskort.

21

97887235433769_indhold.indb 21

01/10/2019 10.42


Problemløsningsark • Lærer og elev gennemtænker problemløsningsforløbet – se Kopiark 6. • Læs en problemløsningsopgave igennem sammen og støt eleven i at finde de nød­ vendige oplysninger og diskuter evt. hvilke regneoperationer, der skal foretages.

To eksempler på elevers besvarelse af problemløsningsark.

22

97887235433769_indhold.indb 22

01/10/2019 10.42


Forslag til supplerende læsning Denne liste gør sig ikke ud for at være udtømmende – langt fra. Men listen indeholder bøger fra toneangivende forskere inden for specialundervisning i matematik i Skandinavien. Man kan med udgangspunkt i disse mate­ rialer og deres fyldige henvisninger og litteraturlister trænge dybere ned i emnet, alt efter interesse og behov. Mellin- Olsen, S., N. Lindén (red.) (1997): Perspektiver på matematikkvansker. Caspar Forlag, Bergen. Lunde, O. (1996): Forslag til pedagogiske tiltak i skole og barnhage. Info Vest Forlag, 4353 Klepp St., Norge. Lunde, O. (1997): Kartlegging og undervisning ved lærevansker i matematik. Info Vest Forlag, 4353 Klepp St., Norge. Lunde, O. (1997): Rummelighet i matematik Info Vest Forlag, 4353 Klepp St., Norge. Malmer, G. (1999): Bra Matematk för alla. Studentlitteratur, Lund. Magne, O. (1998): Att lyckas med matematik i grundskolan. Studentlitteratur, Lund Neuman, D. (1989): Räknefärdighetens Rötter. Utbildningsförlaget, Helsingborg Nyborg, M. (1990): Matematisk språk. Norsk Specialpædagogisk forlag. Nämnaren (2000): Matematik från Början. Nationalt Centrum För Matematikutbildning, Göteborgs universitet. Santa, C.M., Engen, L (1996): Lære å lære. Stiftelsen Dysleksiforening, Postboks 2576, Ullandhaug, 4004 Stavanger.

23

97887235433769_indhold.indb 23

01/10/2019 10.42


Lærervejledning til hæfter Hvert afsnit indeholder to dele: • en overordnet indføring i emnet der behandles i hæftet • en side-til-side vejledning I lærervejledningen vil der for de lærere, der læser bogen kontinuerligt, forekomme gentagelser. Vi har dog efter moden overvejelse valgt at medtage disse gentagelser for at støtte de lærere, der benytter lærervejledningen som opslagsbog i forbindelse med arbejdet med de enkelte hæfter. Lærervejledningen indeholder ligeledes et kortlægningsmateriale, samt forslag til lege og spil man med fordel kan anvende i specialundervisningen.

24

97887235433769_indhold.indb 24

01/10/2019 10.42


Kortlægning af vanskeligheder i matematik Ved kortlægning af en elevs vanskeligheder i matematik må man anlægge et helhedsperspektiv. Et sådant helhedsperspektiv bør indeholde overvejelser over: • Hvilke begreber, strategier og metoder eleven er fortrolig med og kan anvende. • Hvordan eleven tænker, handler og udtrykker sig gennem forskellige materialer og ved hjælp af sproget. • Hvilken holdning eleven har til matematik og hvilken opfattelse eleven har til sig selv. Dette punkt er yderligere beskrevet i teoribogen s. 7. Der findes forskellige måder at kortlægge elevvanskeligheder på. Som udgangspunkt for en kortlægning af elevernes matematikvanskeligheder har vi valgt at benytte kontrolleret tegneiagttagelse. Denne form for dynamisk testning i matematik er udviklet af Olav Lunde. Materialet findes som Kopiark 4 a, b og c. Formålet med denne form for testning er, at læreren danner sig et billede af hvilke styrker og svagheder eleven besidder, samt mængden af den støtte eleven behøver for at mestre opgaverne i kortlægningsmaterialet. Eleven behøver et blankt A4 eller A3 ark, en blyant og et viskelæder. Materialet er inddelt i fem kolonner. Den første kolonne er til nummerering af opgaverne, den anden kolonne indeholder lærerens spørgsmål til opgaverne, den tredje kolonne indeholder kommentarer til de enkelte opgaver, den fjerde beskriver de forhold opgaven lægger op til at vurdere og den sidste kolonne er til at skrive resultatet i. Her kan læreren også notere forhold, der har interesse for kortlægningen. Hele stemningen omkring kortlægningen bør være så afslappet som muligt. Der er ingen tidsfrist for arbejdet. Vær opmærksom på at en test af denne type bliver en støtte til at strukturere en uformel samtale på - og ikke en test med stort T med alvorlige formelle procedurer, der skal efterleves til punkt og prikke. Der er en række forhold, man skal være op-mærksom på i forbindelse med arbejdet med kortlægningsmaterialet:

• Materialet er ikke en psykologisk test. Formå­ let med dette arbejde er ene og alene at danne sig et foreløbigt billede af elevens vanskeligheder og deres omfang som udgangspunkt for det forestående arbejde. • Læs materialet igennem inden kortlægningen, og overvej hvilke opgaver der har relevans for arbejdet. • De opgaver, der relaterer sig til temaer, eleven ikke har arbejdet med, springes over. • Fra opgave 6 til og med opgave 21 er der henvisning til hvilket hæfte i materialet opgaven relateres til(kopiark 4 a, b og c).. • Opgaverne er ikke konstrueret for at give en entydig rigtig/forkert score, men ud fra princippet om at vurdere læringspotentialet ud fra mængden af den givne støtte. • Hvis elevens svar ser ud til at være OK noteres dette i resultatkolonnen, og næste opgave tages. • Hvis eleven laver fejl eller ikke lykkes i sit forsøg på at løse problemet, prøv da at få en samtale i gang. Notér tallet der relateres til typen af hjælp og støtte i resultatkolonnen. • Læreren behøver ikke at læse opgaverne direkte op, men kan vælge at formulere sig i et sprog, der passer til elevens sprogbrug. • Det står læreren frit for at ændre tallene i opgaverne, så de korresponderer med elevens forudsætninger og klassetrin. Det er muligt at score elevernes besvarelser ud fra den hjælp og støtte, eleverne modtager. Hvis elevens svar ser ud til at være OK noteres det i resultatkolonnen. Hvis det ikke er i overensstemmelse med det forventede, så prøv at spørge ind til elevens svar. OK = Svaret på problemet uden hjælp eller støtte 1 = Besked om fejl, derefter OK 2 = Opgaven gentages med hjælp eller støtte, derefter OK 3 = Samtale om problemet med hjælp og støtte, derefter OK 4 = Forklaring om løsning, vejledning hele vejen, derefter OK 5 = Eleven løser ikke opgaven 25

97887235433769_indhold.indb 25

01/10/2019 10.42


26

Eksempel pĂĽ kontrolleret tegneiagttagelse til brug for kortlĂŚgning af en elevs vanskeligheder i matematik.

97887235433769_indhold.indb 26

01/10/2019 10.42


Spil og andre aktiviteter Det kan virke motiverende på eleven at indlede en lektion med et lille hovedbrud, et spil eller en anden praktisk aktivitet. Det er et godt alternativ til en mere traditionel undervisningsform hvor læreren starter med at informere, instruere, tegne og fortælle. I denne fase er – viser det sig - mange elever med vanskeligheder i matematik allerede ”stået af”. I dette afsnit giver vi en række eksempler på lege- og spilprægede aktiviteter, som man med fordel kan anvende i specialundervisningen. Når man inddrager spil i specialundervisningen i matematik er det vigtigt at få sat fokus på de matematikfaglige elementer i spillet. Mikado er for eksempel et spil der naturligt lægger op til at arbejde med plus og gangetabellerne, når der skal tælles point. Spillet giver ligeledes mulighed for at understrege sammenhængen mellem addition og multiplikation.

Sammentællingen af disse Mikadopinde kan foregå på flere måder: 2+2+5+2+10+5+5+2+2+10 (tæller fra en ende af) 2+2+2+2+2 er 10 og 5+5+5 er 15 og 10+10 er 20 (grupperer og benytter plustabeller) 5 x 2 er 10 og 3 x 5 er 15 og 2 x 10 er 20 (benytter gangetabeller)

Først til 20 Antal deltagere: 2 Den der begynder siger enten tallet 1 eller 2. Derefter skiftes man til at sige et tal ved enten at lægge 1 eller 2 til. Den som til sidst siger 20 har vundet.

Først til 100 Antal deltagere: 2 Den der begynder siger et tal mellem 1 og 10. Derefter skiftes man til at sige et tal ved at

97887235433769_indhold.indb 27

lægge et tal mellem 1 og 10 til. Den som til sidst siger 100 har vundet.

Ta’ væk Antal deltagere: 2 Til legen skal der bruges 13 genstande (fx knapper, centicubes, tændstikker, …). Legen går ud på at man skiftes til at fjerne 1 eller 2 knapper. Den, der tager den sidste knap, har tabt. Variation: Brug 21 genstande og fjern 1, 2 eller 3 ad gangen.

Terning-ræs Antal deltagere: 2 De to spillere skiftes til at kaste to terninger samtidig, og det gælder om først at nå op på 100 point. Når det er ens tur, kaster man 1, 2, 3 eller flere gange med begge terninger. Spilleren lægger øjentallene sammen og bestemmer selv, hvor længe man vil fortsætte. Men … hvis eneren kommer op på en af terningerne, kan man ikke bruge de point, man fik i hele denne omgangs få eller mange kast. Desuden bliver det den anden spillers tur til at kaste. Hvis begge terninger samtidig viser enere, taber man alle ens point og må begynde forfra med 0 point.

Tal-memory Der kan spilles mange forskellige former for memory med talkort, prikkort og kort med regnestykker på. Her er forslag til nogle stik-kombinationer: • To ens talkort • Talkort og prikkort • Kort med regnestykke og talkort med facit • To talkort der giver en bestemt sum (fx 10-venner)

Talkort-ræs Antal deltagere: 2 Hver person sidder med et antal talkort (fx fra 1 – 8). Først regner begge summen ud for de kort de har på hånden. Antallet noteres ned på pointtavlen. Inden spillet går i gang aftales det om man spiller på tid, eller om man spiller et bestemt antal runder. Herefter går aktiviteten ud på at man skiftes til at trække et kort hos hinanden.

27

01/10/2019 10.42


1 3

Matematik for mig er et undervisningsmateriale, som er udviklet

24

særligt til elever med matematikvanskeligheder og til elever, som har udfordringer med enkelte regnearter. Materialet er derfor et oplagt valg til matematikløft, specialundervisning og til brug i den understøttende undervisning.

8

Matematik for mig har en langsom progression, tydelige illustrationer og opgaver, som bliver anskuet fra mange forskellige vinkler.

Lærervejledningen indeholder en grundig introduktion til teorien bag Matematik for mig. Lærervejledningen giver viden om, hvad der kan forstås som vanskeligheder i matematik, og hvordan disse vanskeligheder kommer til udtryk. I lærervejledningen gives der konkrete forslag til opbygning og organisering af specialundervisning i matematik, og som lærer får man god støtte i den omfattende side-til-side vejledning, der findes til alle seriens elevhæfter.

3

Lærervejledningen rummer endvidere et kortlægningsmateriale, en lang række kopiark samt forslag til lege og spil, man med fordel kan anvende i forbindelse med brugen af Matematik for mig.

0,5

9

788723

543769

sp-forlag.dk

Profile for Alinea

Matematik for mig, Lærervejledning  

Matematik for mig, Lærervejledning