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TORNEIO DAS CIDADES – 2004 O incírculo do triângulo ABC toca os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F respectivamente. Se AD=BE=CF, é verdade que ABC deve ser equilátero? RESOLUÇÃO 1 [ GEOMETRIA SINTETICA] Claramente, em qualquer  ABC, dois ângulos internos são necessariamente agudos. Supondo, por exemplo, C e B, os vértices destes ângulos ; o que não perde em generalidade, constrói-se a figura abaixo; que servirá apenas para auxiliar a compreensão da resolução dada a seguir .

RESOLUÇÃO 2 [USANDO TEOREMA DOS COSSENOS] Com as notações usuais para as medidas dos lados de um triangulo ABC, tem-se : abc BC = c, CA = b, AB = c e p   semiperimetro 2 Das propriedades, bem conhecidas, de tangencia do incirculo, com os lados do triangulo ABC; podemos escrever: BD = BF = p  b CD = CE =

pc

AE = AF =

pa

Do Teorema dos Cossenos aplicado ao par:  ABD, CBF  , com vertice B, em comum ,tem-se : CF 2  a2  p  b 2  2a p  b cos B        2 2 2   AD  c   p  b   2c  p  b  cos B

  Sejam D1 e E1, projeções ortogonais de D e E , sobre as retas CA e BC respectivamente.

Subtraindo, membro a membro, resulta:

 ABD  CBF 

 CF 2  AD2   a  c   a  c   2 p  b  cosB  .

 CF 2  AD2   a  c  2p  b   2 p  b  cos B 

Daí ,

pois, 2p =a+b+c  ,

Desde que D e E são pontos de contato do incirculo com os lados do triangulo ABC, os segmentos

CE e CD , são tangentes ao incirculo e congruentes [ propriedade de tangencia]. Traçando os segmentos DD1 e EE1, obtém-se

o que implica,

CE1E e CD1D , retângulos em E1 e D1 ,

  b CF 2  AD2  2  a  c  p  b  1   cos B   2  p  b  

pois, p-b  0 

[I]

  b respectivamente. Como ECE1 = DCD1 [ vértice C comum] e CE  CD [hipotenusas congruentes], Por outro lado, claramente, p  b  0 e cos B  1 . Consequentemente, 1   cos B  0. [ II ] 2 p  b   conclui-se CE1E  CD1D ,[ LAA0], e, como consequência, obtém-se EE1 = DD1 . a  c  0, ou seja, a  c . Como CF  AD hipotese e p  b  0 , conclui-se de [I] e [II] : Agora, com os segmentos AD e BE traçados, obtém-se: AD1D e BE1E , retângulos em D1 e E1, Raciocinando, de modo similar, obtém-se dos pares:  CAF , BAE  e  BCE , ACD  , e, as igualdades respectivamente. Desde que EE1 = DD1 e AD = BE [hipótese], AD1D  BE1E [ lado-lado ]. b  c e a  b , respectivamente. CF=BE e BE = AD, hipotese , Daí, DAD =EBE ,o que implica, DAC = EBC. 1

1

Nestas condições, ADC e BEC; com AD = BE, vértice C em comum e são congruentes , pelo critério LAAo [ lado – ângulo – ângulo oposto ]. Daí, AC = BC.

DAC = EBC,

Com raciocínio similar , ao usado acima, com o par de pontos [D,E] e a igualdade AD = BE, obtém-se do par de pontos (D,F) e AD = CF , a congruência CFB  ADB e, como conseqüência, BC= BA. Portanto, das conclusões encontradas acima, conclui-se a veracidade da proposição:

AD=BE=CF, implica AC=BC=BA; isto é,  ABC é equilátero .

RESPOSTA:

Portanto, com estes resultados conclui-se que :

a=b=c, isto é, ABC é equilátero, se AD=BE=CF .

NOTA1 : A resolução pode ser obtida de modo similar pelo uso somente do teorema dos cossenos. Por ser equivalente, a que apresentei aqui, deixo como desafio para os interessados. NOTA 2 : Por curiosidade, as cevianas AD,BE e CF são concorrentes. A prova é obtida com facilidade pelo recíproco do teorema de CEVA, veja abaixo: reciproca de  CEVA   AF BD CE p-a p-b p-c . .  . . 1  as cevinas AD,BE, CF são concorrentes. FB DC EA p-b p-c p-a

A proposição é verdadeira. Ainda mais, o ponto de intersecção destas cevianas é conhecido por PONTO DE GERGONNE.

AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 27/02/2013 ]


TOURNAMENT OF THE TOWNS -2004