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GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

13

ESO

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.


Programación de aula Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Al cálculo de las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos le han dedicado su estudio grandes científicos: – Una demostración de que el volumen del cono es igual a un tercio del cilindro que lo contiene se le atribuye a Eudoxo (400 a. C). – Euclides (330 a. C.), en sus Elementos, demostró que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro. Arquímedes (200 a. C.) demostró a su vez que esa constante de proporcionalidad estaba relacionada con pi. – Cavalieri (1635), con su teoría de lo indivisible, encontró simple y rápidamente el área y el volumen de varias figuras geométricas entre las que se hallaba la esfera. Todo va envasado y envuelto, y la fabricación de los envases y envoltorios requiere del cálculo de su capacidad, volumen y superficie. También en el mundo de la tecnología y de la arquitectura es casi imposible entrar en algún ámbito de la vida actual que no requiera estos conceptos. Es importante que los alumnos sean conscientes de ello. Se deben repasar las unidades de volumen y capacidad y cómo están relacionadas. Se centrará la atención en la deducción de fórmulas de la superficie y el volumen de algunos cuerpos geométricos siempre que se encuentren en su nivel de conocimiento, a través del desarrollo de las mismas. Este trabajo, con el apoyo del gráfico, no se debe descuidar, ya que ayuda a los alumnos a adquirir nivel de abstracción y a realizar un trabajo comprensivo y racional, no solo memorístico y rutinario. De este último se debe huir siempre que se pueda en matemáticas, salvo para la adquisición de automatismos. Se pueden llevar a clase envases diferentes para observar el concepto que tienen de capacidad. Los problemas que se realicen tendrán datos reales para que esto les ayude a adquirir una percepción real y concreta del concepto de unidad de superficie y de volumen.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1. Conocer, comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de superficies de cuerpos geométricos, y resolver problemas que impliquen este cálculo.

1.1 Cálculo de áreas en poliedros.

2. Comprender y conocer el concepto de medida de volumen y capacidad, utilizar las fórmulas para el cálculo de estas en cuerpos geométricos, así como resolver problemas de aplicación de las mismas.

2.1 Cálculo de volúmenes y capacidad en figuras poliédricas.

1.2 Cálculo de áreas en superficies de cuerpos redondos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística • Matemática • Cultural y artística

2.2 Cálculo de volúmenes y capacidad de cuerpos redondos.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

CONTENIDOS • Área del prisma

• Volumen del prisma

• Área del ortoedro

• Volumen de la pirámide

• Área de la pirámide. Pirámide regular y tronco de pirámide

• Volumen del tronco de pirámide

• Área del cilindro

• Volumen del cono

• Área del cono. Área del tronco de cono

• Volumen del tronco de cono

• Área de la superficie esférica • Cálculo de áreas de cuerpos geométricos compuestos

• Relación entre el volumen de un cono y la semiesfera circunscrita a él

• Volumen de los cuerpos

• Volumen de la esfera

• Unidades de volumen

• Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos compuestos

• Relación entre las unidades de capacidad y de volumen

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• Volumen del cilindro

Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos


Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para calcular las áreas de los diferentes cuerpos geométricos es preciso que los alumnos identifiquen sin problema cada cuerpo con su desarrollo plano. Los alumnos deben identificar los triángulos semejantes que se generan en el cálculo del área y del volumen de troncos de pirámides y conos, y aplicar el teorema de Tales al cálculo de los elementos en dichas figuras.

2. Previsión de dificultades Aunque los alumnos ya conozcan de cursos anteriores los cambios de unidades de longitud, superficie y volumen, les cuesta identificar la relación entre volumen y capacidad. Por otro lado, como en la unidad se indica una gran cantidad de fórmulas, conviene, en la medida que sea posible, enseñar a los alumnos cómo se deducen, para evitar aprendizajes memorísticos.

3. Vinculación con otras áreas La presencia de cuerpos geométricos en el mundo que nos rodea y la relación entre el contenido y el continente de multitud de objetos hacen que los contenidos de esta unidad estén relacionados con multitud de áreas.

4. Esquema general de la unidad Este tema se comienza con el cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Se apoya en el anterior, donde han hecho desarrollos de los cuerpos. Es fundamental que en un principio los hagan para el calculo de áreas, y así comprendan de dónde provienen las fórmulas que van a usar. Siempre que se pueda, se deben justificar o deducir de un modo razonado. Los alumnos suelen entender estas deducciones, que son muy formativas; es casi más importante que las deduzcan que se las aprendan de memoria, pues de este modo siempre estarán en condiciones de resolver un problema. No deben olvidar nunca el uso de las unidades de medida, y han de recordar que están trabajando con números concretos, no abstractos. El cálculo de volúmenes tendrá un tratamiento similar, se empezará por ortoedros donde puedan observar fácilmente el número de unidades cúbicas que tienen de capacidad, y se pasará a la justificación de las demás fórmulas siempre que la misma esté dentro de su nivel. Es importante que se trabajen las equivalencias entre unidades de volumen y de capacidad.

ÁREAS Y VOLÚMENES

En los resultados de sus cálculos deben ser críticos y dejarlos con las aproximaciones y redondeos adecuados. Se debe trabajar con ejercicios en los que los datos, preferentemente, sean de la vida real y con medidas también reales. Hay infinitos ejemplos de la vida misma donde buscar para calcular volúmenes y superficies, y de este modo, si es un objeto conocido cuando el alumno lo cuantifique, conseguiremos que este tenga un concepto claro de las dimensiones del espacio y del volumen.

Poliedros

Cuerpos redondos

Prismas

Cilindro

Ortoedro

Cono

Pirámides

Esfera

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Área de prismas 2.ª Área de pirámide y tronco de pirámide 3.ª Área de cilindro. Área de cono y tronco de cono 4.ª Área de superficie esférica 5.ª Volumen de cuerpos. Unidades de volumen. Relación con las unidades de capacidad. Volumen de prismas 6.ª Volumen de pirámides y troncos de pirámides 7.ª Volumen de conos y troncos de cono. Volumen de esfera 8.ª y 9.ª Actividades de repaso y consolidación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

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Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las actividades que proponen un debate y exposición ante los compañeros de las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias” desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación oral.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se trabaja a fondo la subcompetencia razonamiento y argumentación, debido a que hay numerosas actividades dedicadas a problemas lúdicos en los que es preciso aplicar diferentes procedimientos para solucionarlos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En esta unidad se trabaja el descriptor tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas de la subcompetencia medio natural y sostenible.

Cultural y artística Esta competencia, al igual que en todas las de geometría, se trabaja especialmente en la unidad. Se desarrolla la subcompetencia sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular, con la apreciación de la presencia de las matemáticas en diferentes manifestaciones artísticas, y la subcompetencia expresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos, con la elaboración de trabajos artísticos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de la sección “Autoevaluación” planteadas en las páginas finales de la unidad se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. La sección calcula con ingenio de “Pon a prueba tus competencias” permite potenciar la adquisición de la subcompetencia construcción del conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre Ortoedros de leche en la que, además de la competencia para la interacción con el mundo físico, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan las competencias y subcompetencias: • Lingüística: Comunicación escrita • Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas. • Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento. • Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

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Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos


Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Expresar oralmente pensamientos, emociones, vivencias y opiniones de forma coherente y adecuada en diferentes contextos.

– Participa en debates en clase. Desarrolla tus competencias, III

Argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás.

– Justifica a sus compañeros cuál es el envase que menos contamina. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 3

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Crea un informe sobre la civilización etrusca. Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 1

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Construye cuadrados mágicos. Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 4

Seguir determinados procesos de pensamiento, como la inducción y la deducción, selección por descarte, entre otros.

– Entiende el algoritmo de la resolución del cubo de Rubik. Pon a prueba tus competencias: Calcula con ingenio, 2

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Analiza los envases que usa a diario. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 1

Medio natural y desarrollo sostenible

Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

– Comprende la utilidad de los cortafuegos. Actividad 82 – Analiza qué material contamina menos. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 3

Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Conoce la obra de Escher. Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 5

Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.

– Aprecia la presencia de las matemáticas en el arte y otras culturas. Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 1, 4 y 5

Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad para expresar de forma personal ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos.

– Crea una obra de arte con cuerpos geométricos. Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 6

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 27 y 34 – Utiliza internet para realizar actividades y buscar información. En la red Pon a prueba tus competencias: Investiga y crea, 3

Construcción del conocimiento

Valorar la diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar diferentes estrategias y metodologías para solventarlo.

– Busca diferentes vías para resolver un problema. Pon a prueba tus competencias: Calcula con ingenio, 2

Comunicación oral Lingüística

Comunicación escrita

Razonamiento y argumentación Matemática

Interacción con el medio físico

Cultural y artística

Sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular Expresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos

Tratamiento de la información y competencia digital

Aprender a aprender

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

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Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para la comunicación: Desarrolla tus competencias, actividad II. • Educación medioambiental: actividad 82 y Deme un ortoedro de leche.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO SM

– Unidad 8. Cuerpos geométricos • Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida en el espacio • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Otros

Internet

SM

• DEL OLMO, M. A.; MORENO, M. F., Y GIL, F.: Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas? Síntesis, Madrid, 1993. www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad didáctica del programa Descartes sobre volúmenes: www.e-sm.net/2esomatprd26

Otros

Unidades de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos del libro digital del CIDEAD: www.e-sm.net/2esomatprd27

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatprd28

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Unidad 13

• Vídeo Área y volumen, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida en España por Metrovideo España. • Cuerpos geométricos que puedan rellenarse para comprobar las equivalencias entre los volúmenes. • Decímetro cúbico desmontable, botellas, envases de cartón, recipientes varios.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos


Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias La fotografía de entrada nos permite disfrutar de una de las maravillas del mundo antiguo. Podemos aprovecharlo para pedir a los alumnos que busquen cuáles eran las seis restantes maravillas y que las sitúen sobre un mapamundi actual. Por otro lado, la existencia de pirámides en el antiguo Egipto nos permite apreciar el gran desarrollo matemático que tenían los matemáticos egipcios. De hecho, en el papiro de Rhind podemos encontrar problemas para calcular “inclinaciones” y alturas de pirámides. I. Esta actividad nos va ayudar a que los alumnos comprueben que el hallar áreas de cuerpos geométricos se reduce a calcular el área de los polígonos que forman sus caras. II. Los alumnos que hayan seguido con atención el desarrollo de la unidad anterior podrán dar ya un ejemplo: templo de Kukulcán, en México. III.El debate que se desarrolle en esta pregunta tendrá dos posturas totalmente opuestas, ya que si preguntamos a los alumnos, muchos de ellos tendrán amuletos.

• Además de la relación entre la apotema y la altura de la pirámide y la apotema de la base, conviene mostrarles con un dibujo la relación entre la arista lateral, la altura de la pirámide y el radio de la base. • En el tronco de pirámide recta deben observar en su desarrollo que tiene como caras laterales trapecios isósceles, y para calcular su área total solo tienen que sumar las áreas de todos ellos.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

46d y 73

Medio

5, 6, 49b y 53

3. Área del cilindro • Para calcular el área del cilindro utilizaremos la similitud entre el cálculo de la de este con la del prisma, ya que podemos considerar el cilindro como un prisma donde el número de aristas de la base es infinito. En este caso, el perímetro de la base es la longitud de una circunferencia de radio el radio del cilindro.

ACTIVIDADES POR NIVEL

1. Área del prisma

Básico

8, 46b, 47 y 74

• En principio no es necesario que se aprendan las fórmulas si realizan una representación esquemática del desarrollo de los prismas donde se detallen las longitudes de sus aristas. Es una buena práctica para la comprensión de las fórmulas del área de las bases y su área lateral. Con el uso continuado de esta estrategia terminan por aprender la fórmula, y si no, siempre podrán deducirla.

Medio

9 y 49c

• La técnica del desarrollo incrementa su capacidad de percepción espacial. • En el cálculo de áreas de ortoedros se pueden dar datos sobre las aristas a través de sus diagonales, tanto de las caras como de las del poliedro, y aplicar el teorema de Pitágoras para calcularlas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 3, 45, 46a, 46e y 46f

Medio

4, 49a y 50 a 52

Alto

88 a 90

2. Área de la pirámide y del tronco de pirámide • Debe quedar claro el concepto de apotema de la pirámide. A veces la confunden con la apotema de la base. Por eso es importante, al igual que en el epígrafe anterior, el desarrollo de la pirámide, y observar que en la pirámide recta, sus caras laterales son triángulos isósceles, lo que facilitará la comprensión del cálculo de las áreas sin necesidad de utilizar las fórmulas, simplemente observando que al multiplicar el número de caras por el área de los triángulos se obtiene el perímetro por la apotema partido por dos, y obtendrán así el área lateral.

4. Área del cono y del tronco de cono • El desarrollo del cono es básico para la comprensión del área lateral, donde se puede comparar el sector circular con un triángulo cuya base es el perímetro del círculo de la base (longitud de la circunferencia), y su altura, la generatriz. • El compararla con el área lateral de una pirámide también es interesante, pues se puede considerar como una pirámide cuyo número de aristas de la base tiende a infinito. • Es interesante hacer la deducción de la fórmula del área lateral a través del área de un sector circular, sabiendo que el ángulo que le corresponde a ese sector es r α = 360⋅ , siendo r el radio de la base, y g, la generatriz, g 2πg 2πr pues con una simple proporcionalidad se obtie= 360 α ne, y el área de un sector circular (de radio g en este caso) la conocen. Este tipo de demostraciones son sencillas y a algunos alumnos buenos les resultan interesantes y formativas, y nunca debemos descuidarlos. • En el caso del área lateral del tronco de cono, si no se quiere utilizar la fórmula, siempre se puede llegar a calcular como la diferencia entre las áreas de dos conos, y en este caso aplicarán el teorema de Tales para deducir los datos que les falten.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

48

Medio

10 y 49 d

Alto

11 y 54

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

7


Sugerencias didácticas

5. Área de la superficie esférica

8. Volumen del prisma

• La demostración de la fórmula del área de una esfera no está al nivel de estos alumnos, pero se les puede hacer ver que es la misma que el área lateral del cilindro circunscrito a ella y se pueden trabajar algunas relaciones interesantes entre las porciones del área lateral del cilindro y las del casquete esférico y la zona esférica, indicando que coinciden.

• Se puede empezar viendo cómo paralelepípedos de dimensiones a × b × c se pueden descomponer en a ⋅ b ⋅ c cubos de 1 cm3. Esto suele ser muy didáctico para la comprensión de la fórmula del volumen de un prisma.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

13 y 46c

Medio

14 a 16

• Se les puede hacer ver cómo al empujar un montón de folios por sus laterales, deformándolos, evidentemente no variamos su volumen; lo mismo se puede hacer con un montón de monedas, y se les puede enunciar el principio de Cavalieri.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

29, 30, 60, 61a, 61d y 62

Medio

31, 32, 66, 67, 76, 77, 80, 82 y 83

Alto

33, 72a, 86 y 87

6. Volumen de los cuerpos. Unidades de volumen • Trabajar con la idea de un cubo para las unidades de volumen es muy útil y les hace ver fácilmente el significado de la relación que existe entre una unidad cúbica y su inmediata superior, observar que con 1000 cubos de 1 cm3 obtenemos un cubo de volumen 1 dm3 y así sucesivamente. • El uso de policubos de madera o plástico es muy útil para observar el volumen de algunas figuras. • Es interesante que realicen ejercicios de repaso de relaciones entre las unidades de volumen, así como que intenten medir el volumen de diversos cuerpos utilizando el principio de Arquímedes.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18

Medio

19

9. Volumen de la pirámide y del tronco de pirámide • Para la fórmula del volumen de una pirámide cuadrangular, la situación ideal sería conseguir dos figuras de plástico, un cubo y una pirámide cuadrangular, de tal manera que tengan la misma base y la altura del cubo sea el doble que la de la pirámide, que se puedan llenar de agua, y comprobar cómo el cubo se llena con seis pirámides de agua. • Este resultado puede generalizarse considerando un prisma y una pirámide de tal manera que tengan la misma base y la altura de la pirámide sea la mitad de la del prisma. • Para calcular el volumen de un tronco de pirámide será preciso que nos detengamos para que los alumnos recuerden cómo aplicar el teorema de Tales para calcular los elementos necesarios.

ACTIVIDADES POR NIVEL

7. Volumen y capacidad • A veces, a los alumnos les resulta muy curioso observar la capacidad de algunos recipientes. Si se tiene un decímetro cúbico y se trae una botella de litro de agua, les parece imposible que esta quepa en el decímetro cúbico. La forma de los objetos a veces nos engaña a la vista con su posible capacidad. • Para hacerse a la idea de la capacidad, se les puede sugerir que midan habitaciones en su casa o la clase y calculen su capacidad. • Deben trabajar ejercicios de relaciones entre las unidades de volumen y de capacidad. • Comparar recipientes de distintas formas con la misma capacidad es útil para la comprensión del concepto de capacidad.

ACTIVIDADES POR NIVEL

8

Básico

21 a 25 y 55 a 57

Medio

26, 58, 59, 79, 81 y 84

Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Básico

36, 61c, 61f y 64

Medio

37 y 68b

Alto

70b, 71a y 93

10. Volumen del cilindro y del cono • El relacionar los volúmenes de los cilindros y los conos con los de los prismas y pirámides es didáctico y ya se ha hecho con las áreas. • En el caso de los troncos de conos se puede trabajar con el cálculo de la diferencia entre el volumen del cono de base mayor y el del cono de base menor, y se hará uso del teorema de Tales para calcular la altura de la figura de máxima altura.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

39, 61e, 65 y 75

Medio

40, 68a y 69

Alto

70a, 71b, 72b, 85 y 92


Sugerencias didácticas

11. Volumen de la esfera • La obtención de la fórmula del volumen de la esfera no es posible para estos alumnos. Solo se puede recurrir a establecer relaciones entre los volúmenes de esferas y semiesferas con el volumen de conos cuya altura y radio sean igual al radio de la esfera. A ellos les resultan interesantes y van relacionando la fórmula con la del cono y la retienen mejor.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

42, 43, 61b y 63

Medio

44 y 78

Alto

91

Organiza tus ideas • El resumen se divide en dos partes: áreas y volúmenes, y unidades de volumen y su relación con las de capacidad. Los alumnos podrían elaborar un esquema nuevo añadiendo los desarrollos planos de cada uno de los cuerpos que aparecen. • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias INVESTIGA Y CREA. EL ARTE DE LOS POLIEDROS A lo largo de toda la actividad se puede apreciar la presencia de los poliedros en diferentes manifestaciones artísticas en diferentes épocas La pregunta 1 permite que los alumnos investiguen sobre la civilización etrusca. Podemos pedirles que en su resumen, una vez situada en el tiempo y el espacio, se centren en los logros matemáticos que obtuvieron.

Para la pregunta 3 podemos elaborar un listado con las aportaciones de cada uno de los alumnos. Sería interesante que las referencias artísticas que indicasen los alumnos fueran acompañadas de una fotografía. Para la realización de la pregunta 4 podemos imprimir el listado de actividades que aparece en la dirección, dividir la clase en grupos y asignar a cada grupo un par de ellas. En la pregunta 5 vuelve a aparecer Escher; no es ni la primera vez ni la última que disfrutaremos de su obra. Al contemplar el cuadro, los alumnos apreciarán un tipo de poliedro que no hemos visto a lo largo de la unidad, los poliedros estrellados. Podemos pedirles que busquen información sobre ellos. Una vez que los alumnos hayan realizado su trabajo artístico podemos hacer un mural con todos ellos y exponerlo en el aula. CALCULA CON INGENIO. JUEGOS MATEMÁTICOS En esta actividad volvemos a encontrarnos con el aspecto lúdico de las matemáticas, con tres referencias a problemas geométricos. Para la primera pregunta sería interesante llevar al aula diferentes dados de Rubik de distintas dimensiones y repartirlos a los alumnos para que traten de resolverlos. Al cabo del tiempo, si no los han podido resolver, pueden dirigirse a las diferentes direcciones indicadas en la pregunta. Para construir el tetraedro les daremos la pista de que es preciso juntar las dos piezas por una cara que tenga la misma forma, para que no quede ninguna superpuesta. Para esta actividad dividiremos la clase en 7 grupos y cada grupo construirá 7 unidades de una de las piezas. Una vez que estén construidas, iremos juntando las piezas del puzle para formar un total de 7 y entregaremos uno a cada grupo. APRENDE A PENSAR. DEME UN ORTOEDRO DE LECHE Las actividades 1 y 2 van encaminadas a que los alumnos reflexionen sobre el porqué de las formas de los diferentes envases que nos rodean. En la pregunta 3 se propone un tema de debate en el blog sobre los beneficios y desventajas de los diferentes procesos de reciclaje. Con la realización de dicho debate, además de trabajar la competencia de interacción con el mundo físico, trabajamos: – La competencia lingüística, en concreto la subcompetencia escrita. – La competencia social y ciudadana. – La subcompetencia de desarrollo de la autonomía personal.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

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Actividades de refuerzo

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Obtener el área lateral y total de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. • Distinguir los conceptos de capacidad y de volumen. • Recordar las fórmulas básicas de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. El trabajo de áreas y volúmenes con estos alumnos debe comenzar siempre con papel cuadriculado, para que asignen la unidad de superficie a un cuadrado, y trabajen primero con paralelogramos en los que puedan ir contando las unidades cuadradas que contiene la figura, luego pasen al desarrollo de paralelepípedos donde ellos puedan controlar sus dimensiones y observar al construir la figura cuántas unidades cúbicas contienen, para de ahí pasar a las fórmulas y desarrollos del resto de las figuras.

ACTIVIDAD DE GRUPO Mide tu entorno La actividad consiste en hallar, por grupos, las áreas de los objetos de su entorno con una peculiaridad: deben hacerlo sin regla (o casi). Se trata de medir a palmos, pasos o pies, de manera que al principio de la actividad o previamente en casa, cada alumno debe medirse su palmo, su paso y su pie, o cualquier otra medida corporal que se le ocurra y sea útil (no vale, por ejemplo, medirse el perímetro craneal). A partir de esas medidas, y ya sin ningún tipo de regla o metro, deben averiguar cuál es la superficie de las paredes y del suelo de la clase, o de su mesa, o del pasillo del centro, o de un balón, realizando, claro está, los cálculos necesarios. El objeto debe ser medido por cada miembro del grupo para, posteriormente, comprobar si coinciden unas medidas con otras. Al final de la actividad se pueden repetir las medidas y los cálculos para ver qué grupo se ha acercado más a la medida real. Es una actividad muy dinámica y entretenida, y en función del grupo, puede limitarse a medir objetos del aula o incluso a medir aquellos otros que estén fuera del centro.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. AL = 2 · 18 · 4 + 2 · 6 · 4 = 192 cm2

7. 200 cm3

8 ⋅10 = 80 cm2 2

8. 200 cm3

2. ABases = 2⋅

ALateral =15⋅ 8 + 2⋅15⋅ 102 + 42 = 443,11cm2 AT =52311 , cm

2

3. aP = 26,402 +112 = 28,6 dm ALateral = 5⋅

28,6⋅16 =1144 dm2 2

, + 2π ⋅103 , ⋅ h ⇒ h = 5,67 cm 4. 40 cm = π ⋅103 2

3

5. AL = 47,1 cm2 AT = 75,36 cm2

9. Si tomamos π = 3,14, tienen el mismo volumen. 314 , ⋅ 82 ⋅20 =1339,73 cm3 3 8⋅ 8⋅62,80 VP = =1339,73 cm3 3 VC =

10. a) Área de la esfera: A= 4 ⋅ π ⋅12,42 =1932,2 cm2 b) R2 = R1 – 0,5 = 11,9 cm Volumen de aire: 4 V = ⋅ π ⋅119 , 3 = 7058,8 cm3 3

6. 1017,36 cm2

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

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ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

1. ¿Cuál es el área lateral de la figura? 4 cm 6 cm 18 cm

2. ¿Cuál es el área total de un prisma de 15 centímetros de altura cuya base es un triangulo isósceles de 8 centímetros de base y 10 centímetros de altura?

3. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide regular de base pentagonal de 16 decímetros de lado, con 26,40 decímetros de altura y cuya apotema de la base mide 11 decímetros?

4. ¿Cuál es la altura de un cilindro de 40 cm2 de área total y 1,03 cm de radio?

5. Calcula el área lateral y total de la figura:

5 cm

4 cm

3 cm

6. ¿Qué superficie tiene una peladura de una manzana esférica de 9 centímetros de radio?

7. ¿Cuál es el volumen de un prisma de 8 centímetros de altura y de base cuadrada de 5 centímetros de lado?

8. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de 8 centímetros de altura cuya base tiene un área de 25 centímetros cuadrados?

10. Tenemos un balón de baloncesto hinchado al máximo en casa y, después de medir su contorno o perímetro con una cinta métrica, observamos que mide 78 cm. a) Calcula aproximadamente los cm2 de material necesario para la cubierta. b) Calcula los cm3 de aire necesario para hincharlo, teniendo en cuenta que la cubierta y la cámara ocupan 0,5 cm. (Llamaremos R1 al radio de la esfera completa, y R2 al radio de la esfera sin cubierta ni cámara). Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

Página fotocopiable

9. ¿Qué figura tiene más volumen, un cono de 20 centímetros de altura y cuya base mide 8 centímetros de radio, o una pirámide de base cuadrada de 8 centímetros de lado y 62,80 centímetros de altura?

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Actividades de ampliación Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos alumnos profundizarán en el conocimiento de las fórmulas de áreas y volúmenes. No solo tienen que usarlas, sino que, dentro de sus posibilidades y nivel, se debe intentar que las deduzcan por el conocimiento preciso de los elementos y sus propiedades en las figuras cuyas áreas y volúmenes tengan que calcular. Se les pedirá realizar ejercicios de planteamiento en los que relacionen conocimientos y a través de los cuales puedan descubrir el porqué de algunas fórmulas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Objetos reales Se proporcionarán a estos alumnos distintos objetos y se les pedirá que hallen sus respectivos volúmenes. Este simple hecho supone en algunos casos un problema nuevo y de difícil solución, ya que, por lo general, los alumnos están acostumbrados a trabajar con enunciados de problemas o dibujos de cuerpos geométricos, pero no con los objetos de la realidad. Por ejemplo, calcular el volumen de un balón cuyo radio es de 15 centímetros no supone ninguna dificultad para este tipo de alumnado, pero darles el balón y una regla y preguntarles su volumen puede resultar un pequeño quebradero de cabeza a la hora de obtener el radio con precisión. Lo mismo puede ocurrir con otros objetos, como conos y pirámides, y con la obtención de la altura de los mismos, ya que lo inmediato no es hallar la altura, sino la apotema.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) La arena ocupa la mitad del reloj: VA = 67 + 33,5 = 100,5 cm3 b) Tardará en pasar: 1s ⋅100,5 cm3 = 300 s = 5 min 0,335 cm3 2. a) Volumen de mortero: VM = V1 − V2 VM = 320 − (10 − 0,5)(8 − 0,5)(4 − 0,25) = 52,81 m3 b) Cemento: 15 843 kg. Arena: 56 330,67 kg c) Agua, igual que cemento: 8,8017 m3 = 8801,7 L 3. V1 = 318,3 cm3. V2 = 159,15 cm3 Sus capacidades son distintas.

5. 45 cm3 = 4 ⋅

2x ⋅ x x⋅ x + 2⋅ = 5 x 2 ⇒ x = 3 cm 2 2

La figura pesará:

126 , g ⋅54 cm3 = 68,04 g 1cm3

6. 1385,15 m2 de vidrio 7. a) Coste total de las baldosas: 11 553,81 € b) Coste del agua: 616 € 1 64 cm3 8. VA = ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 8 = 3 3 1 64 VB = ⋅ 8⋅ 4⋅ 4 = cm3 3 3 1 64 VC = ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 4 = cm3 3 3

4. El volumen extraído es el del tronco de cono de radios 9 y 6 m y altura 4 m: VE =

π ⋅92 ⋅12 π ⋅62 ⋅ 8 − = 716,28 m3 . 3 3

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

1. Un reloj de arena de 16 cm de altura está formado por 2 conos y dos semiesferas de 8 cm de diámetro de la base.

8 cm

a) Calcula el volumen que ocupa la arena.

16 cm

b) Si sabes que al darle la vuelta cae la arena a razón de 0,335 cm3 por segundo, calcula el tiempo que tarda en pasar de un recipiente a otro.

2. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero, que lleva en volumen las siguientes proporciones: 4 partes de arena fina de densidad 1,6 g/mL, 1 parte de cemento de densidad 1,8 g/mL y 1 parte de agua de densidad 1 g/mL. ¿Podrías contestar a las siguientes preguntas?

25 cm 4m 8m

10 m

a) ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? b) ¿Cuántos kg de cemento y de arena se necesitan? c) ¿Cuántos litros de agua? 3. Con una plancha rectangular de 10 por 20 cm se pueden construir dos cilindros según se unan por los bordes mayores o menores. ¿Tendrían los dos cilindros la misma capacidad? 4. ¿Qué volumen de agua hay que extraer de un depósito lleno que tiene forma de cono invertido cuyo radio de la base es de 9 m y su altura es de 12 m, para que la altura del agua descienda 4 metros? 5. Hemos creado una figura decorativa que tiene forma de prisma recto de base cuadrada y es el doble de alto que de ancho, hemos dibujado la mitad de cada una de sus caras trazando una diagonal en cada una de ellas, obteniendo una superficie total de 45 cm2. El material usado es ébano. Si su densidad es de 1,26 g/mL, ¿podrías decirnos cuánto pesará cada figura?

6. Una gran cúpula semiesférica de 20 m de radio cubre un invernadero hecho de cristal que tiene forma de pirámide recta de base cuadrada que queda inscrita en la semiesfera. Calcula la cantidad de vidrio necesaria para su construcción.

7. Se desea construir una piscina de 25 m de largo por 15 m de ancho. Su corte vertical (está en el dibujo) en el sitio menos profundo cubre 1 m, y en el más profundo, 4 m.

25 m 1m

a) Si se desea enlosar la parte interior con unas baldosas que cuestan a 20 € el metro cuadrado, ¿cuánto nos costará el total de baldosas necesarias?

4m

b) Si 1 m3 de agua nos lo cobran a 0,7141 €, ¿cuánto nos costaría llenarla hasta 20 cm del borde? A B

Calcula sus volúmenes y comprueba que el de cada una es igual a la tercera parte del volumen del ortoedro.

C

H

Página fotocopiable

8. Dado el ortoedro ABCDEFGH, de altura 8 cm y base cuadrada de 4 cm, realiza la división del mismo en las tres pirámides cuadrangulares AEFGH, ABFGC y ACDHG. Ayúdate de un dibujo esquemático.

D

Unidad 13

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E F

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

G


PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Calcula los m2 de tela que se necesitan para construir una carpa de circo que tiene forma de prisma hexagonal de arista de la base de 16 m y cuyo techo es una pirámide de altura la tercera parte de su altura total, que es de 24 m. 2. Calcula el área total de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm si su altura es de 4 cm. 3. Calcula los botes de pintura que se necesitan como mínimo para pintar 100 pesas que tienen forma de tronco de pirámide cuyas bases son cuadrados de 10 y 18 cm, y sus aristas laterales miden 5 cm, si con cada bote de pintura pintamos 5 m2.

5 cm

10 cm

4. Calcula el área total de la figura.

5. Calcula el área total de un cono que se ha engendrado al girar un triángulo equilátero alrededor de su altura, que mide 3 cm. Realiza previamente un dibujo esquemático de la figura girando, y del desarrollo del cono. 6. ¿Cuál sería la capacidad en litros de un depósito de agua que tiene forma de cubo si su diagonal mide 20 3 m? 7. Queremos comprar un adorno de plata macizo que tiene forma de octaedro regular de 5 cm de arista. Hemos ido a una tienda que vende la plata al peso, cobran a 0,55 € el gramo, y sabemos que 10,5 gramos de plata ocupan un volumen de 1 cm3. ¿Cuánto nos costará el colgante? 8. Hemos ido de tiendas a comprar figuritas de alabastro y nos han encantado por su color dos que tienen una forma cilíndrica y otra cónica, y miden 6 cm tanto el diámetro de la base como su altura. Nos las venden al peso y cuestan 1 € los 100 gramos. Si la densidad del alabastro es de 2,80 g/mL, ¿cuánto nos costarán las dos figuras? 9. Se desea construir unas bolas de madera de ébano, pero para que pesen menos se las quiere hacer huecas. Si su diámetro exterior es de 10 cm y tienen un grosor de 1 cm, calcula el volumen de madera empleado. Calcula el peso de la bola si sabes que la densidad del ébano es de 1,26 g/cm3. 10. ¿Cuál de las dos figuras tiene mayor capacidad? Contesta razonadamente.

Página fotocopiable

R

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R

Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

R

R


Propuesta de evaluación Unidad 13

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN ⎛2 ⎞ 1. Área lateral del prisma hexagonal: AL = 6⋅16⋅⎜⎜⎜ ⋅24⎟⎟⎟=1536 m2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎛1 ⎞ 16⋅⎜⎜⎜ ⋅24⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Área lateral del prisma de la pirámide hexagonal: AL = 6⋅ = 768 m2 2 Se necesitan 2304 m2 de tela.

2. Atotal = 6⋅6+ 4 ⋅

6⋅ 42 + 32 = 36 + 60 = 96 m2 2

3. Atotal = AL + AB + Ab =

4 ⋅18 + 4 ⋅10 ⋅ 3 +182 +102 = 56⋅5 + 324 +100 = 592 m2 2

592 · 100 = 59 200 cm2 = 5,92 m2 Necesitaremos 2 botes de pintura, con uno no llega.

4. Atotal = π ⋅52 + 2⋅ π ⋅5⋅5+

4⋅ π ⋅52 = 125 π cm2 2

⎛ g⎞ 9⋅ 4 5. Primero se calcula la generatriz: g2 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + 32 ⇒ g = = 12 cm ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 2

⎛ g ⎞⎟ g π ⋅ g2 Alateral = π ⋅ r ⋅ g = π ⋅ ⋅ g = = 6π cm2, Abase = π ⋅ r 2 = π ⋅⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 3π cm2, Atotal = 9π cm2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 2 2

6. a = 20 m ⇒ V = 8000 m3 ⇒ Capacidad: 8 000 000 L 7. V = 58,3 cm3. Cuesta 336,68 euros. 8. V = 55,55 cm3. Cuesta 6,33 euros. 9. Vmadera = 1135,16 cm3. Peso: 1,430 kg 2 1 10. V1 = ⋅ π ⋅ R 3 + π ⋅ R 3; V1 = π ⋅ R 3 3 3 V2 = π · R3 Son iguales.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13

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Unidad 1 Divisibilidad. Números enteros

Lingüística Comunicación oral

Lingüística Comunicación escrita

Matemática Razonamiento y argumentación

Argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás. Leer, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

Desarrolla tus competencias, II – Justifica cuál es el envase que menos contamina.

Aprende a pensar, 3 – Crea un informe sobre la civilización etrusca.

Investiga y crea, 1 – Construye cuadrados mágicos.

Seguir procesos de pensamiento, como la inducción y la deducción entre otros.

– Entiende el algoritmo de la resolución del cubo de Rubik.

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

Interacción con el medio físico Medio natural y desarrollo sostenible

Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

Cultural y artística Sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular

Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.

Cultural y artística Expresión personal y colectiva mediante códigos artísticos

Tener iniciativa, imaginación y creatividad para expresar ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos.

Aprender a aprender Construcción del conocimiento

– Participa en debates en clase.

Usar procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas.

Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad

Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información

DESEMPEÑO

DESCRIPTOR

Investiga y crea, 4 Calcula con ingenio, 2 – Analiza los envases que usa a diario.

Aprende a pensar, 1 – Comprende la utilidad de los cortafuegos.

Actividad 82 – Analiza qué material contamina menos.

Aprende a pensar, 3 – Aprecia la presencia de las matemáticas en el arte y

otras culturas. Investiga y crea, 1, 4 y 5

– Crea una obra de arte con cuerpos geométricos.

Investiga y crea, 6 – Visita la página librosvivos.net.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Valorar la diversidad de respuestas posibles ante un problema y encontrar diferentes estrategias y metodologías para solventarlo.

Actividades 27 y 34 – Realiza actividades y busca información en internet.

En la red Investiga y crea, 3 – Busca diferentes vías para resolver un problema.

Calcula con ingenio, 2

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA


ESO

SOLUCIONARIO

2


Áreas y volumenes de cuerpos geométricos