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Ingeniería Industrial-UNT

Ingeniería Económica

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LOGO Dr. Luis Benites Gutiérrez


IngenierĂ­a Industrial-UNT

El Valor del Dinero en el Tiempo

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LOGO Dr. Luis Benites GutiĂŠrrez


INTERÉS SIMPLE

Es el interés por devengado o cobrado linealmente proporcional al capital (principal), a la tasa de interés y al número de periodos de interés por los que el principal se impone.

Donde: I = Interés P = Stock inicial, capital n = Número de periodos de interés i = Tasa de interés por periodo de interés


LA TASA DE INTERÉS (i) Es la ganancia del interés expresado en porcentaje de la suma original por unidad de tiempo:

 La tasa de interés se expresa siempre con unidades de tiempo; por ejemplo: 8% de interés anual.  La autoridad monetaria publica los tipos de interés diarios mensuales y anuales del sistema financiero.


DEFINICION DE LAS VARIABLES EN LA VALORACIÓN DEL CAPITAL FINANCIERO  Es la medida de un bien económico referido al momento de su disponibilidad o vencimiento.  Magnitudes: valor en unidades monetarias y el momento de su disponibilidad y vencimiento. Definición y simbología: P = Stock inicial, valor actual S (F) = Stock final, valor futuro A = Flujo constante, series de sumas de dinero consecutivos, iguales en fin de periodo n = Número de periodos de interés, años, meses, días i = Tasa de interés por periodo de interés, porcentaje anual, porcentaje mensual t = Tiempo expresado en periodos, años, meses, días


DIAGRAMA DE EFECTIVO

 Es un segmento de recta en la que se representan los flujos de efectivo.  Este diagrama ilustra la distribución de los ingresos y salidas en el tiempo.  En los problemas de finanzas corporativas, resulta una herramienta práctica para comprender mejor los problemas y la distribución de la información de las variables financieras en el tiempo del pronóstico.


EJEMPLO

Una decisión de inversión simple implica un desembolso de $100 000 para poder producir a futuro beneficios anuales de $30 000 netos. Se espera un valor de recuperación de la inversión inicial por el 10% ($10 000) al final de la vida del proyecto. En esta inversión los accionistas piden una rentabilidad mínima de 15% anual. Represente con un diagrama de efectivo la operación de inversión de este proyecto e identifique las variables del problema.


DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA UN PROYECTO DE INVERSIÓN

Donde: P A VR i

= = = =

Inversión del proyecto en el momento de ahora “cero” Flujos de caja neto del proyecto (A = Ingresos – egresos) Valor de rescate del proyecto Costo de oportunidad (ver capitulo 6 para mayor definición)


CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO  Ecuación financiera o modelo matemático de capitalización compuesta

F = P (1 + i)n  Concepto de valor futuro  Es la función de capitalización; o sea, el proceso de pasar el valor actual (P) o valor presente al valor futuro (F). Conocido también como el proceso de acumulación de intereses en el tiempo.


Valor Futuro Los términos de la ecuación quedan definidos.  P = Valor presente o stock inicial  I = Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anual  N =Número de periodos (por lo general años, años) en que la cuenta ganará intereses.  F =Valor futuro al cabo de “n” años. DIAGRAMA DED FLUJO DE EFECTIVO


Valor Futuro ECUACIÓN SIMPLIFICADA PARA CALCULAR EL VALOR FUTURO

Ecuación utilizada en los libros de Chan S.Park , Leland T.Blank, A. Tarquin

Factor simple de capitalization:


CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO Ecuación financiera o modelo matemático de descuento compuesto:

 1  P  F n  1  i  

El concepto de Valor Presente  Es el eje central de las finanzas para la valoración de los problemas económicos y de los proyectos de inversión.  Es el proceso en el que se calculan valores presentes en el tiempo de los flujos de efectivo.  Es un proceso en el que se restan o descuentan los intereses o ganancias del capital futuro.


Ecuación simplificada para calcular el Valor Presente El cálculo del valor presente se simplifica mediante el Factor Simple de i ) P=F (FSA n Actualización (FSA).  Ecuación utilizada en los P=F(P/F ,i% ,n) libros de Chan S.Park , Leland T.Blank, A. Tarquin Factor simple de actualización=(P/F, i%,n)=

 1   (1  i) n   


TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA  Las diferencias básicas entre la tasa nominal y efectiva es la siguiente: el interés efectivo o compuesto incluye el interés sobre interés ganado durante el periodo anterior, mientras que el interés simple o nominal no lo hace.

 La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés.


Tasa de interés nominal Se utiliza un tipo de interés referido al año por lo cual la capitalización se realiza en partes del año. Se denomina tipo de interés nominal anual capitalizable por Jk = K * ik

Donde: JK: Interés nominal anual K: Periodo de capitalización Ik: Interés periódico y efectivo k-ésimo de año (se denomina Jk).


Tasa Efectiva o Real Es la tasa de interés que se paga o se gana en realidad. En esta tasa se incluye la frecuencia de capitalización de los intereses. RELACIÓN ENTRE LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

j  1  i  1    m

m

Donde:  i = Tasa efectiva anual  j = Tasa nominal anual  m = Número de periodo de capitalización  j/m =Tasa proporcional o tasa efectiva periódica


 La tasa periódica: Donde i > i’ :

1 + i = (1 + i’)m

 Método abreviado para el cálculo del interés : I = P * i * nº de días

Esta ecuación se aplica para calcular el interés de las operaciones de crédito que se cancelan con tasas periódicas efectivas o nominales con frecuencia de menos de un año.


SERIES UNIFORMES: www.themegallery.com

 Una serie o anualidad es una corriente de flujos de efectivo anual, mensual o equivalentes. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas de rendimiento obtenidos sobre inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros. Ejemplos de estas series:  Cuotas mensuales de créditos hipotecarios.  Cuotas mensuales de créditos por descuento en planillas.  Intereses pagados por bonos.  Rentas que el estado da a una Universidad. Company Logo


Clasificación de las series uniformes  Flujo inmediato vencido Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa final).

 Flujo inmediato anticipado Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa inicial).


 Flujo diferido vencido Cuando el préstamo P siempre empieza a devolver después de (m) periodo, pero desde el término del periodo (m + 1) .

 El valor futuro de una serie uniforme En el siguiente ejemplo ilustramos los cálculos requeridos para encontrar el valor futuro de una anualidad, por la que se paga un interés a una tasa específica compuesta anualmente:


“Transportes Lima S.A.” desea determinar la cantidad de dinero que tendrá después de cuatro años si deposita S/. 3000 al final de cada uno de los próximos cuatro años en una cuenta de ahorros del BCP, que paga 4% de interés anual.


ď ś Valor futuro de una anualidad de S/. 3000 durante cuatro aĂąos compuesta por 4% .


FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA LA CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME  Se trata de una Suma Económica al final del horizonte temporal.


www.themegallery.com

 Hacemos la Suma Económica en el punto (n); sacando (A) como factor común:

 El corchete es una progresión geométrica cuya suma se calcula así:  Simplificando:  (1  i ) n  1 F  A  i  

1(1  i)n  1 F  A   (1  i)  1 


ECUACIÓN SIMPLIFICADA PARA CALCULAR EL VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME  Los cálculos de una serie uniforme se simplifican mediante el uso de tablas de interés para el valor futuro de una anualidad.

F  A( FCS ni ) F  A( F / A, i%, n) (1  i ) n  1 F / A, i %, n)  i

FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE (FCS)


USO DEL EXCEL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FUTURO DE SERIE DE INTERESES

 Tasa= Tasa de interés  Nper= Número de periodos  Pago= Valor de la serie  Va= Valor actual  Tipo= 0, cuando los pagos son vencidos, 1 cuando los pagos son inicio del periodo


CALCULAR EL DEPÓSITO NECESARIO PARA ACUMULAR UNA SUMA FUTURA

  i A  F  n  (1  i)  1 

 El valor entre corchete recibe el nombre de: Factor de depósito al fondo de i   i n automatización o acumulación (FDFAn ) (1 i )  1

 Formulación abreviada: A = ( A/F, i %, n) Calcular el valor de la serie o pago dado el valor futuro

A  F(FDFAin )


CALCULAR EL VALOR DE LA SERIE O PAGO DADO EL VALOR FUTURO

 Tasa= Tasa de interés  Nper=Número de periodos  Va= Valor actual  Vf= Valor futuro  Tipo=0, si los pagos son vencidos u ocurren a fin de mes. Uno (1), si los pagos son adelantados u ocurren al inicio del mes o periodo.  Importante: la tasa de interés tiene que coincidir con la ocurrencia de los pagos.


VALOR PRESENTE DE UNA SERIE  (1  i ) n  1 P  A n  i ( 1  i )  

 Ecuaciones simplificadas para calcular el valor presente de la serie uniforme

P  A( P / A, i%, n) P  A(FAS )in

 Factor de actualización de la serie (1  i)n  1 ( P / A, i%, n)  i(1  i)n

(FAS)


CÁLCULO DEL VALOR DE LA SERIE (A), CONOCIENDO SU VALOR PRESENTE (P)

 Partiendo de la ecuación de valor presente de la serie:  Despejando el valor de A en la ecuación:  Fórmula abreviada:

n (1 i )  1 PA  n   i(1 i ) 

n  i(1 i )  A P   n (1 i ) 1

A  P(A/P,i%,n)

Factor de recuperaciones de capital

 Calcular el valor de la serie o pago (A) conociendo su valor presente (P): A  P(FRCin )


FÓRMULAS DE INTERÉS QUE RELACIONAN UNA SERIE DE GRADIENTE UNIFORME (ARITMÉTICA) CON SUS VALORES PRESENTE Y ANUAL

N 1 (1 i ) 1 N  P   N N i  i(l  i ) (1 i ) 

 Fórmula abreviada :

P  G(P/G,i%,N)

Encontrar A, dada G 1 N  A  G x 1  N i  (1 i ) 1

 Fórmula abreviada :

A  G(A/G,i%,N )


DERIVACIÓN DEL VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS

2 n1 d d(1 g ) d(1 g ) d(1 g ) Pg     .... 1 2 3 n (1 i ) (1 i ) (1 i ) (1 i )

2 n 1  1  1  g (1 g) (1 g ) Pd    ... 2 3 n  1  i (1  i ) (1  i ) (1 i )  

n (1 g )  d  1 n (1 i )   PE  g i

g i


EJEMPLO MÉTODO ALEMAN En un préstamo de S/. 2000 para devolver en un plazo de 3 meses mediante 3 cuotas mensuales (la tasa de interés j = 30% nominal anual). Amortizaciones fijas  1erPaso : Calculemos la tasa mensual i=0.30/3  2do Paso: Llenar el cuadro de intereses y amortizaciones con los datos básicos:


EJEMPLO MÉTODO AMERICANO

Método muy usado por las empresas que captan fondos del mercado de capitales emitidos bonos con cupones de interés. Con los datos del problema anterior y amortizaciones .


EJEMPLO DE INTERPOLACIÓN LINEAL  Por un crédito de S/.210 nos exigen pagar S/. 120 durante 2 meses. ¿Cuál es el costo del crédito? SOLUCIÓN: La tasa de interés se obtiene con la ecuación es el costo del crédito 0  210 

120 120  (1  i )1 (1  i ) 2

Probamos por ensayo y error, con i = 10% y 9% .


INTERPOLACIÓN LINEAL

(0  (2)) C (9  10 ) (1  (2))

2 C  (1) 3

( x  10)  

2 3

I X = 9,334%  Costo del crédito NTERPOLACIÓN


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APLICACIONES DE LAS SEIS FÓRMULAS

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SERIES UNIFORMES GENERALES O SERIES COMPLEJAS

 Es la valoración de series distribuidas en el tiempo cuya ocurrencia de pagos no coincide con el periodo de la tasa de interés.  Por ejemplo:  “Pagos A mensuales a la tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente”.  Aquí hay coincidencia entre el intervalo de A (mensual) y el periodo de la tasa (mensual).  “Pagos A trimestrales a la tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente”.  Aquí no hay coincidencia entre el intervalo de A (trimestral) y el periodo de la tasa (mensual).


PRIMER CASO Varios periodos de interĂŠs dentro de un intervalo de pago u ocurrencia de A .


SEGUNDO CASO ď ś Varios intervalos de pago u ocurrencia de (A), dentro de un periodo de interĂŠs.


PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA DESARROLAR CUALQUIER CASO

 PRIMER MÉTODO Transformar la tasa de interés dada en otra tasa de interés equivalente y coincidente con el intervalo de A.

 SEGUNDO MÉTODO Reemplazar, por artificio matemático, los pagos A con otros A’ equivalentes y coincidentes con el periodo de capitalización del interés.


TRANSACCIONES FINANCIERAS  Las transacciones financieras se orientan con mayor volumen a los préstamos bancarios con diversas herramientas de créditos y métodos de pago como : HIPOTECAS, PAGARÉS, LETRAS DE CAMBIO, etc. Los métodos de pago para la cancelación de los préstamos tradicionales se conocen como:

FRANCES

ALEMÁN

AMERICANO


ESQUEMA DE UNA OPERACIÓN DE PRÉSTAMOS (METODO FRANCES) DIAGRAMA DE EFECTIVO

NOTACIÓN:  P0 = Cuantía del préstamo nominal.  as = Cuantía del término de amortización que vence al final del periodo s.  Cs = Cuantía de la reserva matemática o capital pendiente de amortizar. una vez satisfecho el término amortizativo del periodo s.  Ms = Cuantía del capital amortizado en los primeros períodos.  Is = Cuantía de los intereses correspondientes al periodo s.  As= Cuota de amortización del periodo s.  Is = Tipo de interés del período s.


CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO


HIPOTECAS ď ś Es un sistema de prĂŠstamos bancarios para la compra de una propiedad como una casa, por ejemplo.

Las hipotecas de vivienda comprenden pagos mensuales.


HIPOTECAS DE PAGOS GRADUADOS A PAGOS FIJOS  EJEMPLO 12:  Considere a una familia que compra un departamento de $41 250 con una cuota inicial o enganche de x y una hipoteca graduada del programa Mi Vivienda. La hipoteca debe pagarse en 30 años, con un pago mensual de $225,14 en el primer año. Durante los cinco primeros años, los pagos mensuales aumentarán cada año en forma escalonada a una tasa del 5% con respecto al pago del año anterior. El pago mensual aumentará a $236,40; en el segundo año a $248,22; en el tercero, a $260,63; en el cuarto, a $273,66 en el quinto; y a $287,35 en los demás años.


HIPOTECAS DE PAGOS GRADUADOS A PAGOS FIJOS La familia solicita a la inmobiliaria le preparación de un calendario de pagos mensuales iguales equivalentes al plan graduado. ¿Cuánto será la cuota mensual con un interés del 9.5% anual (0.76%,mensual)? Calcule el valor de la hipoteca Y. DIAGRAMA DE EFECTIVO: HIPOTECA DE PAGOS GRADUADOS


HIPOTECAS DE PAGOS GRADUADOS A PAGOS FIJOS  Calculamos el valor de los flujos de efectivo al momento “cero”  punto donde se establece la equivalencia  1er. Año

P1= $225,40 (P/A, 0,76%,12)  2do. Año

P2 = $236,40 ( P/A, 0,76%,12)(P/F, 0,76%,12)  3er. Año

P3 = $248,22 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%,24)  4to. Año

P4 = $260,63 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 36)  5to. Año

P5 = $273,66 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 48)  6to. Año

P6 = $287,35 (P/A, 0.76%, 300 (P/F, 0,76%, 60)

PT  P1  P2  P3  P4  P5  P6

PT= $33 381,05  Valor de la hipoteca El enganche o pago del inmueble X = Valor del departamento – Valor de la hipoteca. $ 7869,95 (cuota inicial)

Esto es el valor de La hipoteca (Y)


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Valor del Dinero en el Tiempo