Issuu on Google+

维普资讯 http://www.cqvip.com

第 20卷 第 】期 

华东 师范 大 学 学报 ( 教 育 科 学版 )   J ou r n a l   o f   Ea s t   Ch i na   No r ma l   Un i v er s i t y(Ed uc a i t on a l   S c i e n c es )  

v01. 2o.No.1  

2OO2年 3月  Ma xc h.2002 

数 学 认 知 能 力 的认 知 与 脑 机 制 理 论 模 型 综 述 ’   张 红川

奇 

【 北 京 师 范 大学 发 展心 理 研 究所 ,北 京  l 00 8 75)  

数 学认 知 能力 是 十体 最 重要 的 认 知 能 力之 一 ,也 是 当前 认 知神 经抖 学 的重 点研 究课 

题 。近 二 十余 年 来 ,一 些研 究 者分 刺从 不 同的视 角 ,采 取 多种 研 究手 段 与 技 术 对 数 学认 知 能 力 、   过 程 及 其 与 脑 结 构 、 功 能 的 联 系 问 题 进 行 了 较 为 系统 深 入 的 探 讨 ,莸 得 了 大 量 的 研 究 结 果 ,并 据  

此 建 立 了若 干 数 学认 知 的功 能 与 结构模 型 。 这 些理 论 模 型彼 此 继 承 ,又不 断进 行 着 扩 展 与 沫化 ,   为 数 学认 知研 究莫 定 了较 好 的理 论 基 础 。本 文对 其 中应 用较 为 广 泛 的几 个 理 论 模 型 进 行 了 综述 .   分 析 了其 主要 理论 观 点 、研 究证 据 以及 尚待 改进 之 处 ,并 对今 后 的研 究 工作 提 出 了一 些建议 。   关键 词

数 学认 知

理 论模 型  Mc Cl  ̄k e y模型  三 重蝙码 模 型  蝻码 复 杂 性模 型 

数学认 知能力 作为个 体认知 能力 的一个重 要成分 ,是个 体正确认识 客 观世 界所必须 的基  本 能 力  对 个 体 的 数 学 认 知 能 力 与 过 程 进 行 研 究 ,不 仅 可 以更 深 入 地 了 解 数学 认 知 能 力 的 来   源 、结 构 、机 制 等 问 题 ,同 时 也 对 记 忆 、学 习 、语 言 以及 认 知 表 征 与 过 程 等方 面 的研 究 具 有   重 要 的借 鉴 作 用 。正 是 为 此 ,数 学 认 知 能 力 与 过 程 一 直 是 心 理 学 、认 知 科 学 、神 经 科 学 、教  育 学 等 学 科 研 究 者 所 关 注 的 重 要 课 题 。 在 国 内 ,尽 管 早 在 60年 代 ,研 究 者 就 已 经 开 始 进 行  初 步 研 究 ;80年 代 初 以来 ,相 关 研 究 逐 步 增 加 ,但 与 注 意 、记 忆 、语 言 等 认 知 功 能 的 研 究  相 比 ,数 学认 知 研 究 的数 量 仍 相 对 较 少 ,研 究 多 局 限 于 心 理 与 行 为水 平 , 进 展 较 为缓 慢 。   从 国 际 数 学认 知 研 究 领 域 的 发 展 趋 势 来 看 , 自本 世 纪 60年 代 以来 ,众 多 研 究 者 从 认 知  心 理 学 、神 经 心 理 学 、 比较 心 理 学 、发 展 心 理 学 等不 同 角度 ,对 人 类 个 体 的 数 学 认 知 能 力 与  过 程 进 行 了较 为 系 统 而 深 入 的 研 究 。 近 年 来 , 随 着 ERP、PET、t MRI和 MEG 等 无 刨 性 脑 功 

能成 像手 段的 出现 ,研究 者能够 在不损 伤脑 的条件 下 直接观 察正 常被 试在 完成 认 知任 务 时的  大脑 活动 情况 ,使 得研究 能够将 认知过程 与脑 活 动直接联系起 来 ,大 大提 高 了研究结果 的 直  观 性 和 深 入性 。 一 些 研 究 者 在 总结 已有 研 究 结 果 的基 础 上 ,对 数 学认 知 能 力 的 认 知结 构 、 操  作 过 程 、皮层 表 征 、脑 活 动 机 制 等 提 出 了若 干 理 论 模 型 ,并 在 研 究 与 应 用 实 践 中 获得 了一 定  程 度 的验 证 ,为 数 学 认 知 研 究 的 进 一 步 开 展 提 供 了 良好 的理 论 基 础 ; 同 时 , 围绕 这些 理 论 模  型 ,许 多研 究 者 也 从 多 种 角 度 发 现 了其 难 以解 释 的 证 据 ,并 提 出 了 不 同 的 观 点 ,展 开 了激 烈  的 争 论 。本 文 拟 对 这 些 理 论 模 型 及 有 关 研 究 进 行 简要 综 述 ,并 对 今后 数 学 认 知 研 究 的 方 向 与  思 路 提 出 一 些 我们 的 建 议 。  

・ l 本 文 的完 成得 到 国家 攀 登计 划基 金项 目 ( 95 一 专— 09)的 资助 。   收 稿 H期 :2o01—1 2  12 


维普资讯 http://www.cqvip.com

早期 的理 论 模 型 

数 学 是 一 个 广 阔 的 学 科 领 域 ,包 括 算 术 、几 何 、代 数 等 不 同 领 域 的 知识 与 技 能 。 自本 世  

纪初 以来 ,对数学 认知 能 力 的研究 一 直 集 中在 对 数 字 的表 征与 加 工 、数 学知 识 的存 贮与 提  取 、数 学 计 算 过 程 的 认 知 机 制 等 问题 进 行 探 讨 。 同 时 ,在 诸 如 不 同 的 数 学 符 号 系 统 是否 对 个   体 的 数 学 认 知 加 工 过 程 具 有 不 同 的 影 响 ;个 体 的 数 学 表 征 系 统 是 单 一 、抽 象 的 ,或 者 是 复   杂 、具体 的 ;个 体如何对 数学知 识进行 表 征 、加 工 、存 贮 与提取 ;个体 如何进 行 数学 计 算 ,   复 杂 计 算 与 简 单 计 算 的认 知 加 工 存 在 什 么 样 的 差 异 ;个 体 的 数 学 认 知 过 程 与 不 同脑 区域 的联   系 如 何 等 一 系 列 问 题 上 ,研 究 者 之 间 也 还 存 在 着 许 多 不 同 看 法 。   早期 的研究 者 ,如 As h c r a f t 、S i e g l e r等倾 向于 将 数 学认 知 能力 看作 是 数 学 知识 的 集台 ,   在 研 究 中 ,他 们 发 现 ,当 给 儿 童 或 成 人 呈 现 一 些 简 单 的数 学计 算 问 题 时 ,随 着 问题 中 运 算 数   的增大 ,其反应 时相对 延长 ,错 误率 也相对增 高 ,这 即为问题大 小效应 ( p r o b l e m  s i z e   e fe c t )。   为 了 对 这 一 现 象 进 行 解 释 ,研 究 者 们 提 出 了几 种 数 学 认 知 加 工 的 理 论 模 型 。   As hc r zf t与 Bat t a gl i a等 提 出 的 图 表 搜 索 理 论 模 型 (t a bl e s ear ch t he or y) 认 为 ,数 学 知 识 的  构 成类 似一个 两维 的知识表 ,数学 知识 的提取则 是一 个序列 的按 图表探索 的过程 。如 图 1所  示 ,当 个 体 进 行 数 学 运 算 (如 4×6=24) 时 ,其 认 知 操 作 将 从 (0,0) 点 开 始 ,先 在 纵 排 找  到 4,再 在 横 排 找 到 6,最 后 在 两 排 交 汇 处 提 取 出 24。 因 此 ,随 着 运 算 数 的 增 大 ,其 认 知 操 

作 的复 杂程 度也随 之加大 ,从 而导致 了 问题大小 效应 的产生 。  

2  l  

3  l  

4  l  

5  l  

6 

7  l  

8    l

9  I  

2一 ④一 ⑥一 ⑧ 一 ⑩ 一 ⑥ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 ⑩  l  

l  

l  

l  

l  

  l

l  

3一 ⑥ 一 ⑨一 ⑩ 一 ⑥ 一 ⑩ 一 ③ 一 ③ 一 ◎  l  

I  

l  

l  

  l

  l

I  

一 4一 ⑧ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 ④ 一 ③ 一 ⑤ 一 ④  l  

l  

l  

l  

l  

l  

l  

5一 ⑩ 一 ⑥ 一 ⑩ 一 ⑤ 一 ⑩ 一 ⑦ 一 ⑩ 一 ⑥  l  

l  

  l

l  

l  

I  

I  

6一 ⑩ 一 ⑩ 一 ◎ 一 ⑩ 一 ④ 一 ③ 一 ⑧ 一 ⑦  l  

  l

  l

  l

l  

l  

l  

7一 ⑩ 一 ③ 一 ③ 一 ⑦ 一 ③ 一 ◎ 一 ⑦ 一 ◎  l  

  l

  l

l  

l  

l  

l  

8一 ⑩ 一 ③ 一 ③ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 ⑩ 一 @  l  

l  

l  

l  

l  

l  

I  

9一 ⑩ 一 ◎ 一 ④ 一 ⑩ 一 ⑦ 一 ◎ 一 ⑥ 一 ①   图 1 图表 搜 索 理 论 

As h c r a f t提 出 的网络 提取 理论模 型 (n et wo r k  r e t r i e v a l   t he or y - )则将 数 学 知 识看 作 是 运算 数  与答 案之 间 的联 系表征 网络 ,数 学运 算 则 是通 过 运算 数 寻 找 答案 的搜 索 过程 。根 据 这一 模  l3 


维普资讯 http://www.cqvip.com

型 ,个体通 过学 习强化 了某 些运 算数与 某些答 案数之 间的联 系 ,因而更 容易提 取 。由于 在大  多数情 况下 ,小数字 运算 出现 的频率更 大 ,运 算数 与 正确 答案 间 的联 系 也受 到更 多 的强 化 ,   因而其 运算操 作 相对 于 大数 字运 算更为 容易0@。  

图 2 网 络提 取 理论  

Si eg l er ̄t J 提 出 了联 结 分 布理 论 模 型 (di s t ibut r i o n o f   a s s oci at ion  t he or y) 来 解 释 问 题 大 小 效 应  

现象 。他认 为 ,数 学知识 是 由运算 数 与 一 个正 确 答 案 以及 多 个错 误 答案 间 的联 结分 布构 成  的 ,由于 问题 越大 ,可能 的答案 也越 多 ,因此个 体需 要进行 更多 的认 知加工 ,从而形 成 了问  题 大 小 效 应0。  

图 3 联 结 分 布 理 论 

虽然 上 述 三 种 模 型 都 能 够很 好 地 解 释 问 题 大 小 效 应 ,但 是 .对 于 个 体 数 学 认 知 过程 中 的 

某些现象 ,如相 等数 效应 (t i e   e fe c t ,即 当两 个 运算 数 相 等 时 ,较 之于 其 它 问题 更 易 解决 )、   距 离效应 (d i s t a n c e   e f f e c t ,即个体 对与正 确 答案 更 为 接近 的错 误答 案 更难 进行 判 断 )等则 难  以作 出完 善 的解 释 。同时 ,这三种模 型 比较重 视 数 学运 算 过 程 ,而 对于 数字 的输入 、表征 、   理 解 、输 出等过 程则 没有进 行探 讨 ,因此 ,上述 三 种理 论模 型可能 分别 揭示 了数学认 知加 工  中的某些认 知操 作 步骤 ,而不是对 个体数 学认 知加 工过 程 的全 面描述 。   14 


维普资讯 http://www.cqvip.com

另 一 些 研 究 者 ,如 McCl os key等 则 在 综 合 考 虑 多 方 面 认 知过 程 基 础 上 ,提 出 了 一 个 较 为  系 统 的 抽 象 表 征 理 论 模 型 。这 一 理 论 模 型 主 要 包 括 了 数 字 输 人 、计 算 、输 出 三 个 基 本 系 统 。  

Mc Cl o s k e y等认 为 ,个 体 只存 在一个 内部 的数 字抽 象表 征 系 统 ,所 有 的数学 输 人 ,无论 其 外  部形 式 如何 ,个体均要 将其转 化为统 一 的 内部抽 象编码 ;同样 ,数学输 出则是 一个将 内部 的  抽象 编 码转化 为外部具 体形 式 的过程 。与此 同时 ,个 体还具有 一套与 内部抽象 表征系统 相对  独立 的计 算 程 序 ,数 学 运 算 则 是 将 内部 抽 象 编 码 提 交 计 算 程 序 的 过 程 ,与 数 字 的 外 部 形 式 无  关@0。  

图 4  McCl os ke y的抽 象 表 征 模 型  如 图 4所 示 , 我 们 可 以 将 McCl os key模 型 看 作 是 As hct af t与 si e  目 等 人 模 型 的 扩 展 ,   As hcr a f t等 人 的模 型 主 要 揭 示 了个 体 的计 算 程 序 ,而 Mcc] osk Cy模 型 则 在 此 基 础 上 包 括 了数 字 

的加 工过程 。与 As hc r a f t等 人 的模 型 一样 ,Mc Cl o B ke y模 型 也可 以很 好 的解 释 问题 大 小效 应 ,   因 为 在 计 算 过 程 中 ,反 应 时 与错 误 率 的变 化 只 与数 字 本 身 的量 度 相 关 ,而 与 外 部形 式 无 关 。   对 脑 损 伤 病 人 的神 经 心 理 学 研 究 结 果 支 持 了 这 一 理 论模 型 。 大 多 数 对 脑 损 伤病 人 的研 究 

均发 现 ,当病人 在数字 理解任 务 中表 现 出障碍特点 时 ,相应 地 也将 在数 学计算 任务 中表 现 出  障 碍 特 点 ,说 明 数 字 理 解 是 数 学 运 算 的 前 提 。另 一 些 研 究结 果 则 表 明 , 数 学 计 算 过 程 (或 数  学 知 识 的 提取 过 程 ) 与 数 字 的输 人 输 出 过 程 在 临 床 表 现 上 具 有 双 重 分 离 (do ubl e  d i s s oci a t i on)  

特点 ,如 Wa g

o n等 的研究发 现 ,病 人 在计算 任务 中表现 出明显 的障碍 ,但 是 在数 字 理 

解与产 生 任务 中的成绩 却 基本正 常 ;相反 ,Be n s on与 De nc kl a所 报 告 的病 例则是 在 要求 言语  参与 的数字理 解 任务 中存 在 咀显障碍 ,但 当问题 以阿拉 伯数 字呈现 时 ,他们 却 可 以完 成数学  计 算任 务 。这一现象 不仅 在患 有获 得性数 学 障碍 的成年 病人 身上 存在 ,一 些 研 究者在 患有  发展 性数 学 障碍 的儿 童 的 身上 也发 现 了类 似 的特 点 0。 这些 研 究 在一 定 程 度上 表 明 ,Mc   cl 惦k  的 理 论 模 型 在 一 定 程 度 上 反 映 了个 体 数 学 认 知 能力 的 脑 机 制 与结 构 特 点 , 正 因 如 此 ,   该 模 型 也成 为 临 床 中应 用 最 为 广 泛 的理 论 模 型 。  

二 、 三 重 编 码 模 型  尽 管 McCl os key模 型 能 够 在 很 大 程 度 上解 释 个 体 的 数 学 认 知 过 程 , 同时 也 得 到 了较 为 广  泛 的 研 究 支 持 。 但 是 ,一 些 研 究 者 也 指 出 ,这 一 模 型 并 不 能 完 全 辩 释 个 体 数 学 能 力 的 认 知 活 

动 与脑 机制 特点 。如 De l o  ̄ h e与 S ci o n等通 过对脑 损 伤病人 的研究指 出 ,个 体能够在 阿拉伯数  字 系统 与言语 数字 系统之 间进行直 接转化 ,无需 以抽象 编码 为 中介@。另一些 研究 结 果则 表  明 ,有 些 病 人 即使 数 字 理 解 过 程 正 常 , 当 计 算 任 务 分 别 以 阿 拉 伯 数 字 与 言 语 数 字 形 式 呈 现   l5 


维普资讯 http://www.cqvip.com

时 ,同样 会表 现 出双重 分离 的特 点 ∞,这说 明病人 对 于 不 同数 字 符号 系 统具 有不 同 的表 征  形 式 与 理 解 机 制 ,这 一 结 果 显 然 是 M ̄ bs key模 型 不 能 解 释 的 。 为 此 ,一 些 研 究 者 提 出 了 其  他 一些理 论模 型来修正 Mc Cl c  ̄k e y的抽 象 表 征模 型 ,其 中以 De h a e  ̄ a e等提 出三重 编码 理 论模  型 ( Tr i pl e— c ode  Mode1 ) 较 为 完 善 ,取 得 了 较 广 泛 的 研 究 支 持 。  

三 重编码 模 型认 为 ,个 体 的数学 认知 能力 核心是 由三部 分功能模块 构成 ,不 同模 块 分别  基 于 不 同 的数 字 编 码 ,不 同模 块 之 间 具 有相 应 的 通 道 ,能 够 进 行 认 知 功 能 之 间 的 切换 。 如 图  5所 示 ,个 体 的 数 学 认 知 系 统 是 由如 下 三 类 模 块 组 成 ; (1)基 于 量 的类 比编 码 (a na l 嚷 ma gni —   r ude  r epr es e nt at i on) 的模 块 ; (2) 基 于 听 觉 . 言 语 编 码 (a udi t o r y  v er ba l  f r ame) 的 模 块 ; ( 3) 基  于 视 觉 编 码 (vi s ual   f or m) 的 模 块 。 Dehaene等 认 为 , 个 体 的 数 学 认 知 过 程 主 要 遵 循 如 ��� 原 

则 :第 一 ,不 同 的功 能 模 块 分 别 与某 类 特定 数 字 编 码 相 联 系 ,如 书 面 与 言 语 数 字 主 要 通 过 听  觉. 言 语 模 块 进 行 加 工 ,而 阿 拉 伯 数 字 则 通 过 视 觉 模 块 进 行 加 工  而 在 某 一 模 块 内部 ,数 学  认 知 过 程 则 与 McCl os ke y模 型类 似 ,是 由基 于 某 类 特 定 编 码 的 输 入 、加 工 与 输 出过 程 构 成 的 ;  

第 二 ,不 同的功 能模 块分别 与某 些 特定 数 学认 知 功 能相 联系 ,如 听觉一 言 语模 块 主要 负 责数  数 、数学知识 的存贮 与 提 取 ( 如 记忆 乘 法 表 等 )等 认知 功 能 ,视觉 模 块则 主要 负责 数位 操  作 、奇 偶 判 断 等 认 知 功 能 ,而 量 的 类 比模 块 则 与 比 较 、估 算 等 功 能 相 联 系 。   与 MeCl os ke y模 型不 同 ,三 重 编 码模 型 尽 管 也 认 为 个 体 具 有 内 部 的 数 字 编 码 系统 ,但 是  这 一 系 统 并 非 以抽 象 的数 字 形 式 存 在 ,而 是 以 具 体 的 、类 比 的 形 式 存 在 。 Dehae ne等 认 为 ,   个 体 对 数 量 的 类 比能 力 是 在 长 期 的 进 化 过 程 中 逐 步 形 成 的 ,是 我 们 所 有 数 学 认 知 能 力 的 基  础 。 一 些 比较 心 理学 的研 究 结 果 表 明 ,诸 如 大 鼠 、鸽 子 、鹦 鹉 、海 豚 等 动 物 以及 大 多数 灵 长  类 动 物 均 能 够 表 现 出初 级 的 数 意 识 特 点 ,能 够 在 控 制 其 它 物 理 参 数 的 条 件 下 ,从 视 觉 刺 激 模  式 或 听 觉 刺 激 序 列 中 分 辨 出 数 字 特 征 0,一 些 动 物 还 能 进 行 某 些 简 单 的 加 减 运 算 0。 同 时 。   另 一 些 发 展 心 理 学 的研 究 结 果 表 明 ,人 类 新 生 儿 的数 学 认 知 过 程 也 表 现 出 类 似 特 点 ,如 能 区  分 某 些 数 量 的大 小 ,能 够 区 分 某 些 简 单 计 算 的 正 确 与 否 , 如 1+1=1、1+1=3、2—1=2   等 0;同 时 ,人 类 新 生 儿与 动 物 在 数 学 认 知 加 工 过 程 中 还 表 现 出惊 人 的 相 似性 ,如 均 存 在 问  题 大 小 效 应 与 距 离 效 应 、具 有 相 似 的错 误 类 型 等 。 这 些 结 果 表 明 ,人 类 具 有 某 些 类 似 动 物 的  数 学 认 知 能 力 ,也 即人 类 的 数 学 认 知 能 力 具 有 一定 的 进 化 基 础  与 动 物 不 同 的是 ,人 类 在 此   基 础 上 ,建 立 了一 套 数 学符 号 系 统 ,从 而 能 够 进 行 复 杂 而 精 确 的计 算 。 三 重 编 码 模 型 认 为 ,   这 一 特 点 是 与 人 类 高 度 发 展 的语 言 功 能 分 不 开 的 。 正 是 由 于 语 言功 能 的发 展 ,个 体 才 得 以发  展 出 一 套基 于 数 字 符 号 系 统 的认 知 功 能 ,如 数 数 、乘 法 表 、数 位 操 作 等 ,因 此 ,人 类 日常 进   行 的数学运 算 主要是通 过听 觉一 言 语 模 块 与 视 觉 模 块 进 行 的 ,而 非 通 过 量 的类 比模 块 。 基 于  此 ,Dehae ne等 认 为 ,个 体 数 学 能 力 的形 成 过 程 是 一 个 自然 进 化 与 文 化 进 化 交 互 作 用 ,不 断  修 饰 我 们 先 天 具 有 的 “数 意 识 ” (number   s ens e) 的过 程 。   三 重 编 码 模 型 扩 展 了 已有 的 数 学 认 知 能 力 模 型 , 同 时 相 当 多 的 研 究 也 为 之 提 供 了 支 持 ,   尤 其 是 来 自数 学 障 碍 病 人 的神 经 心 理 学 研 究 与 当前 广 为 开 展 的 脑 功 能 成 像 研 究 ,从 多 方 面 揭  示 了 个 体 数 学 认 知 能 力 的 脑 结 构 与 功 能 基 础 ,为 三 重 编 码模 型 提供 了最 直 接 的 证据 。   一

些对 脑 损 伤 病 人 的 研 究 结 果 发 现 ,尽 管 病 人 在 阿拉 伯 数 字 与 言 语 数 字 间 可 能 存 在选 择 

性 的 障 碍 ,但 是 当 受 损 区 域 在 左 右 顶 叶 内 沟 与 下 部 时 ,其 数 学 障 碍 则 不具 有 选 择性 特 点 ,研   究 表 明 ,这 一 区 域 主要 与 数 字 的 比较 与 估 计 相 关 。 De haene等 人 报 告 了 一 个 脑 损 伤 的 数 学 障  碍 病 人 ,其 症 状 表 现 为 不 能 进 行 简 单 计 算 ,尤 其 在 减 法 运 算 上 ,错 误 率 高 达 75% ; 同 时 ,  

他 也不 能进行 诸如数 字 比较 、数字 分半等 非计 算 任 务 ,但 是 ,他却 能 够对 某些非 数 字 刺激 ,   16 


维普资讯 http://www.cqvip.com

如 日期 、时 间 、字 母 等 进 行 类 似 的 比较 与 分 半 操 作0。 由 此 可 见 ,个 体 的 数 学 认 知 能 力 不 仅 

是具有 一定 层次性 的 ,同时也是 与特定 的数字 系统相 联 系的 ,这 一结果验 证 了三 重编码模 型  的有 关 假 设  

阿 拉 伯 数 字 输 人 

n O OD ̄ 2 2 >   口 口珊  阿 拉伯 数 字 输 出 

图 5 三重编 码模型 

De ha e n e等还采 用 PE T、   RI 、ERP等脑 功能 成 像技 术 ,从 脑 功 能定 位 的 角度对 三 重 编  码模 型进行 了检验 。在一项 研究 中 ,他们利 用 [ MRI考察 了个体 在进行精 确计算 (知识 提 取 )   与 估 算 (量 化 估 计 )时 的 不 同脑 区 的 活 动 差 异 ,其 结 果 表 明 , 当进 行 估 算 时 ,双 侧 顶 内 沟 的  激 活 程 度 更 高 ∞,表 明这 一 区 域 与 数 字 量 化 的表 征 及 操 作 联 系 程 度 更 高 ,这 一 结 果 与 脑 损 伤  病人 的研究结 果 是一 致 的  而 在 另一 项利 用 ERP进 行 的研 究 中 ,他 们则 发 现 ,估算 与精 确  计 算 不仅表 现 出结构 上 的分离 ,同 时在时 间进 程上也 表现 出不同 的特点 。   其 它 一 些 研 究 结 果 还 指 出 ,在 数 学 认 知 任 务 中 ,双侧 顶 内 沟 的激 活 不 受 刺 激 外 部 形 式 的  影响 ,表 明的确存 在某 种 内部 的数字 编码 系统 。同时 ,随着 问题大小 的改 变 ,这一 区域 的激  活 程 度 也 会 发 生 相 应 的 改 变 0。 由 此 ,De hae ne等 认 为 ,双 侧 顶 内 沟 可 能 与 内 部 量 化 表 征 模  块 具 有 密 切 的 联 系 ,是 个 体 数 学 认 知 能 力 的 进 化基 础 在 脑 结 构 上 的 表 现 。   除 此 之 外 ,一 些 研 究 者 还 通 过 一 系 列 脑 功 能成 像 研 究 对 个 体 加 工 阿 拉 伯 数 字 与 言 语 数 字  的 认 知 过 程 进 行 了考 察 。 其 结 果 表 明 ,个 体 对 阿 拉 伯 数 字 的 加 工 主 要 激 活 了 双 侧 的 颞 叶 区 

域 ,而加工言 语 数字 则 主要 激 活 了与 言语加 工 有关 的左 额下 回 、左外 侧裂 等部 位 。在此基  础上 ,他们 构建 了一个 三重编 码模 型 的脑结 构 模型 ,如 图 6所 示 。   17 


维普资讯 http://www.cqvip.com

图 6 三 重 编 码 理 论 的 脑 结 构 模 型 

三 、编 码 复 杂 性 模 型  De h a e ne等人 所 提出的三重 编码 模型较 之 于早 期 的 理论模 型 ,无论 在 广度 与 深度 上都 进  行 了 较 大 的 扩 展 ,大 量 的 研 究 证 据 也 支 持 了 其 有 关 假 设 。但 是 ,一 些 研究 也 得 到 了与 之不 相 

符合 的结果 。如 De l o c h e等人所报 告 的一例 病人 ,他在 听 写数字 任 务 中没 有错误 ,表 明其 听  觉输入 、听觉 词 汇加 工 、言语 与阿拉伯 数字转 换 、阿拉伯数 字表征 以及 阿拉 伯数 字书写 等过  程均 为正 常 ,但 是在看 词 写数 字 任务 中他 却 表 现 出严 重 的障碍 ( 错误率为 4 5%) q 墨 。按 照三  重 编码 模 型 ,书 面与 1 2 1 头 数字均 通过 听觉言语 模块进 行加工 ,该病 人数学 障碍唯 一可 能 的原  因是 由于 书面语 言 的输 入 受到 了影响 ,而进一 步 的测 验 表明 ,该病 人在完成 其他 书面语 言任  务 时 并 未 表 现 出 障 碍 特点 ,这 样 就 排 除 了输 入 障 碍 的 可 能 性 ,因 此 这 一 结 果 对 三 重 编 码 模 型  提 出了直接 的反对 证据 。Nma s j a等人 的研究 结果 也 表 明 ,病人在加 法与乘法 任务 上也表现 出  分离 特点 ,说 明其 数学知 识可能 以不 同形式 保存 于不 同的脑 区域∞。   一

些脑 成像研究 结果 也发现 ,个 体数学 认知 能力在 功能定位 上也不 完全符合 三重编码模 

型 的假 设 。 如 Pes ent i等 人 利 用 PET进 行 的 研 究 结 果 也 表 明 ,个 体 在 加 工 基 于 阿 拉 伯 数 字 的 

数学 认知 ,主要 激 活 了枕一 顶一颧 叶 的联 合 区域 ,而 没 有 激 活 预 叶 区0;近 年来 ,De h a e n e   等利 用 PET等 进行 的验证研究 结 果 也不 完全 符合 三重 编码 模 型 的假 设 ,如 与数 字 比较 任 务  相 比 ,乘 法任务 更多地 激活 了顶叶 区域 ,而没 有激 活左侧 额 下 回  ,尽 管 这些 研究 结果 可能  与研 究设 计 、任 务本 身 的难 度有一定 关 系 ,但也在 一定 程度 上表 明 ,对 于个体 的数学认 知能  力 的 脑 基 础 而 言 ,三 重 编 码 模 型 仍 然 不 是一 个 完 善 的 理 论 模 型 。   一

些 研究者 如 Ca mp b e k l等认 为 ,个 体的数学认 知 是 一个 复杂 的系统 ,不仅包括 了诸 多成 

分 与层 次 ,同时也 随着个体 经验 的变化 而不断 发生动 态 的变化 ,因此 ,无 论是抽 象表征模 型  还 是 三 重 编 码 模 型 均 失 之 于 简 单 和 静 态 。 他 们 在 三 重 编 码 模 型 的基 础 上 又 进 行 了 扩 展 和 深  化 ,提 出 了编 码 复 杂 性 模 型 (enco di ng c ompl ex  mode 1)。 这 一 模 型 主要 包 括 了 以 下 三 个 假 设 :   第 一 ,数 学 认 知 主 要 基 于 通 道 特 异 性 过 程 (如 视 觉 、听 觉 、视 . 动 通 道 等 ),而 非 基 于单 一 的 

抽象编码 ;第 二 ,不 同 的数 字形 式对于 数学认 知 的编码 、加 工与 策略等 多方砥过 程均有 着直  接 的影 响 ;第三 ,每一类 数学认 知过 程均可 能包括 多种编 码 ,每 一类 编码 也会参 与 多种数学  认 知过 程 。与三重 编码模 型相 比 ,编码 复杂性 模 型尽管也 赞 同存 在 多种编 码系统 ,但 是认 为  编码 系统并非 相对 分离 的功能 与结构模 块 ,而是 与不 同认 知 功能 相结台 的复杂系 统 ,不 同 的  数 学 认 知 过 程 由基 于 不 同 编 码 的 认 知 功 能 构 成 。 如 表 l所 示 ,某 一 项 认 知 过 程 (功 能 1) 可  18 


维普资讯 http://www.cqvip.com

能是 由基 于 阿拉 伯 数 字 的 表 征 、基 于 口 头数 字 的 知 识 提 取 与 基 于 书 面 数 字 的输 出 组 成 。   表 1 编 码 复 杂 性 模 型 的 结构 示 意 表 

注 : 不 同颜 色 表 示基 于 不 同编 码 的 不 同认 知 功 能 。  

编码 复杂性模 型认 为 ,个体 之所 以具有 复杂 的数学认 知功 能 ,主要 是 由学 习经验 的不 断  修饰 导致 的。尽 管不 同的编码 与认知 过程 在功 能与结构 上是相 对分离 的 ,但是 由于个 体在 长  期的学 习过程 中经常将 某些 过程与 编码联 系起来 ,便逐 渐形 成 一套 熟 练 的加 工模 式 (s k i l l e d   p r o c es s i 噜)。相 应地 ,在执行 这一加 工模 式 的 过 程 中 ,个 体将 有 意 识地 激 活某 些认 知 过 程 ,   同时也 抑制某 些认知过 程 ,在此基础 上 ,基 于不 同的认 知任 务 ,个 体 均建 立起 一套 跨 编码 、   跨 系统 的综台 认知 反应程 序 。这些认 知反应程 序 的有效 与否 ,主要取决 于个体 对任 务的熟悉  程 度 ,个 体对 某一 任务越 熟悉 ,其 认 知反应 就越 专 门化 ,其 效 率也越 高。从脑功 能 定位 的角  度来 看 ,熟悉 度高的 任务 与熟 悉 度低 的任 务相 比 ,其激 话 区域可能大致 相 同 ,但是 在 区域 的  激 活程度模 式 上却 可 能存 在 明显 的差别 ;熟 悉度 高 的任 务所 激活 的区域 更 为专 门化 ,而熟 悉  程 度低 的任务所激 活 的区域则 可 能较 为泛 化一些 。   Ca mp be 1 1等通 过一 项认 知 心理 学 试验 ,对 编码 复 杂性 模 型进 行 了检 验 。在这 一 实 验 中 ,   他 们选 取了 中文/英文 的双语者 为被 试 ,采 用 中文与 阿拉伯数 字为 刺激 材料 ,利用 数字命 名 、   数 字 比较 、简单 乘法计 算 ( 数学 知识 提取 )三 项任 务 ,考察 了被试 采用 中文 、英 文两 种不 同  语 言 进行 回答时 的反 应 时 、错误 率 与错 误类 型等 指标 。其 结果 发现 ,在命名任 务 中 ,阿拉伯  数 字 与 中文 数字并 没有显 著差别 ,但是 在 比较 与乘 法任 务中 ,阿拉伯数字 却 显著优 于中文数  字。 0。这表 明 :数字 形 式对于个 体 的数 量 化与 知识 提取 过 程具 有 直 接 的影 响。 同时 ,无 论  任务基 于阿拉伯 数字 还 是 中文 数字 ,被试 的 中文反 应 均 显著 优 于英 文反 应 ,在数 字较 小 时 ,   这一差 异相 对较 小 。由于被试 均为双语 者 ,其反 应差 异难 以归为输 出过程 的差 异 。 因此这 一  结果 表 明 ,被试可 能具有 中文 与英 文两种数 学 编码 系统 。Ca mpb e l l等认 为 ,被试 成绩 差 异 的  主要 原 因在 于 ,上述被试 长期 以来 在学 习中 已经习得 了一套 熟练反应 模式 ,即以阿拉伯 数字  为 主要 操作 符号 系统 ,同时 在 口头言语 中 主要 使 用 中文 。因此 ,当呈 现不 熟 悉 的 符 号 系统  时 ,被试需 要 付出更 多的认知 努力 来排 除认知 干扰 ,从 而导致错 误率增 高 ,反 应时增加 。   其 他 一 些 研 究 者 ,如 Ci pl ot t i、Bemar do、 McNei l、War r i ngt on、 But t er  ̄ n : b r t h等 也 分 别 从 认 知  心理 学实验 、脑损 伤 病 人 研究 等 不 同角 度 提 出 了对 编 码 复 杂 性 模 型 的 研 究 证据 支持  ∞。   另 一 些 研 究 者 ,如 Pe se nt i等 在 脑 成 像 研 究 中 也 发 现 , 当 任 务 基 于 阿 拉 伯 数 字 时 ,其 知 识 提   取 过 程 并 不 激 活 语 言 区 域  ,表 明数 字 形 式 可 能 对 于 编 码 后 的 认 知 过 程 具 有 直 接 的 影 响 。尽  

管 如此 ,另一些 研究也 对这一 模 型提 出 不 同的意 见 ,如 Br y s b  ̄r t等 的一项 以英 / 荷 双语 者 为  被 试 的 研 究 结 果 表 明 ,尽 管 两 种 语 言 对 数 字 的 表 征 存 在 显 著 的 差 别 ,但 是 对 加 法 与 乘 法 任 务 

却 几乎 没有影 响固。因此 ,个 体 的数学认 知 过程是 否如 编码 复 杂性模 型所 假 设 的那 样 ,数 字  形 式 对 于个 体 的整个数学 认 知加工 过程 均有 直 接的影 响 ,还 有待进 一 步的研究加 以检验 。   t9 


维普资讯 http://www.cqvip.com

四 、 简 单 评 述 与 对 未 来 ��� 究 的 展 望  过去 二 十余 年来 ,对 个 体数 学认 知 能力 与过 程 的研 究 已经成 为认知科 学 、心 理科学 、神  经科 学 、教育科 学乃 至数 学 与信 息科 学等 不 同学科 研究 的一个 重要课题 。众多研 究者从 不 同  的角度 ,采取 了多元 化 的研究路 线 ,对个体 的数学 认 知能力 与过程进行 了较为深 入而系统 的  研 究 。这 一 研 究 领 域 的 重 要 特点 就 是 研 究 者 重 视 理 论 模 型 的建 立 ,并 重 视 保 持 模 型 之 间 的 递  进 性 。从 上 述 综 述 中 可 以看 到 ,从 早 期 的 理 论 模 型 ,到 MeCl os key模 型 、三 重 编码 模 型 , 以 

至 于编码 复杂性模 型 ,尽 管对 于 数 学认 知 能 力 与 过程 均有 着 不 同的看 法 ,但 是 正 如 表 2所  示 ,每一 个后期 的模 型均 是 建立 在 已有 的理论模 型 基础 上 ,其 发展是一 个不断扩 展 、不 断深  化 的过程 。这不仅 有 效保 证 了研 究 的规 范性 ,同时也 为今后 的研究 提供 了重要 的理论基 础 。   表 2  MeCl os key模 型 、 三 重 编 码 模 型 与 编码 复 杂性 模 型 的关 系 

但 是 ,由 于 个 体 数 学 认 知 本 身 的 复 杂 性 ,研 究 者 对 于 很 多 数 学 认 知 现 象 的研 究 只 是 刚 刚  起 步 ,还 存 在着 大 量 问 题 值 得 进 一 步 探 讨 。从 已有 的 研 究 来 看 ,个 体 的数 学认 知 功 能 主 要 表 

现 为 以下 几个特 点 :(1 )编码形 式 的多样性 。 由于 数学 本身是 由多 种符 号 系统 ,如 阿拉 伯 数  字 、语言 数字 、图形 等所组 成 的复 杂知识 体 系 ,因此个体 如何对这 些符号 系统进行 编码 就 成  为 数学认 知研究 的一 个核心 问题 。当前 多数 的研究证 据均 支持多 重编码 的假设 ,但 是究竟 存  在 几 种编 码 形 式 ,各 种 编 码 形 式 之 间 的 关 系如 何 尚 待 进 一 步 的研 究 提 供 证 据 ; (2) 数学 认 知  功 能 的分 离 性 。 无 论 是 对 脑 损 伤 病 人 的研 究 ,还 是 脑 功 能 成像 研 究 均 表 明个 体 的 数 学 认 知 过  程 在 功 能 上 是 相 对 分 离 的 。 然 而 ,不 同 的 数 学 认 知 功 能 究 竟 在 多 大 程 度 表 现 出分 离 特 点 ,在 

功能 分离 的同时又 在多大程 度上 表现 出联合特 点 ,其联合 的形式 与特点是 什么 ,诸 如此类 问  题 目前 还 没 有 合 理 的 解 答 ;(3) 认 知 功 能 与 编 码 形 式之 间 存 在 复 杂 的联 系 。 从 已有 的研 究 结  果 来看 ,不 同的数学 认知功 能有 可能分 别基 于不 同的编码 形式或 符号 系统 ,如数 学知识 可能  基 于 言语 编 码 、数 位 操 作 可 能 基 于 视 觉 编 码 等 。不 过 目前 的 研 究 尚 难 明确 指 出 ,个 体 不 同的  数 学 认 知 功 能究 竟 是 基 于何 种 编 码 形 式 ,这 一 问 题 仍 然 需 要 进 行 深 入 的探 讨 。对 于 以 上 这 些  问题 ,上 述 几 个 理 论 模 型 均 提 出 了不 同 的 假 设 ,但 是 从 随 后 的验 证 研 究 来 看 ,这 些 假 设 均 面  临某 些 不 能 解 释 的研 究 结 果 ,不 能 对 所 有 这 些 问 题 提 供 一 个 比较 全 面 、完 善 的 解 释 。 同 时 ,  

从 现有 的各类理 论模 型来 看 ,其研 究焦 点 主要 集 中在对数 字加工 与计算过 程进行 探讨 ,远 不  足 以反映 个体数 学认 知 能力 的 全貌 ,如 个 体 对 更 多数 字 概 念 (无 理数 、负 数 、小 数 ) 的表  征 、个 体对几 何 图形 与 问题 的表征 、个 体 如 何 进 行 复 杂计 算 、个 体对数 学 问题 的推 理 与 解  决 、个 体数 学认 知 能力 的发展规律 与特 点 、数 学认 知能力 的个体 差异等一 系列问题 均没有 得  20 


维普资讯 http://www.cqvip.com

到深 人 的研 究 ,同时 ,对 于个体数 学认 知能力 与其 它认知功 能 ,如 记忆 、注意 、语 言等之 间  的关 系 问题 ,目前 的研究仍 然较少 。因此 ,在 今后 的研究 中 ,研究 者应 当高度重视 对上述 问  题进 行综合 探讨 与全面分 析 ,对 现有 的各类理 论模 型加 以深化 与扩展 ,以建立更 为合理 、完  备 的数学认 知功 能 、过程 与结构模 型 。   与此相应 ,在 研究路 线与手 段上 ,当前 的数学 认知研 究也要 求研究 者采取跨 学科合 作的  方式 ,综合 采用 多种研究 思路与 手段 ,开展 系统深 入 的研 究 。在 此应 当指出 ,尽 管神经 影像  学方 法近年 来成为 认知科 学研究 的重要 发展方 向,但是这 一研究 方法仅仅 只是对 数学认 知的  神 经 生理 基 础 进 行 描 述 ,脑 区 的 激 活 在 很 大 程 度 上 只 是 认 知 活 动 在 神 经 活 动 层 面 上 的 “表  面 ” 现 象 ,它 不 应 当 而 且 也 不 能 成 为 数 学 认 知 研 究 的 唯 一 手段 。 其 他 如 神 经 心 理 学 、认 知 心 

理学 、神经 生物 化学 、比较 心理学 与发展 心理 学等 不 同学科 的方法 与思路 等均应 成为研究 者  的重 要选 择对象 ,唯有 各个 学科实 现更充分 地 融 合 ,我们 才 可能 在 更广 阔的层 面上 来 认识 、   了解 个体 的数学认 知功 能 。   ( 责任 校对 曹嘉 阳 )   参 考 文献  M H As he r dt . &J  B习恤  j a(1 978). c。 

印   n】 l e t 1 咖 Ps yc ho l ol  ̄, :H—

ve   吐叩eI i c: E  目l c ef or  

Le  ̄ n g  a nd  M删

圆 M. H Ash嘣 (1 9艇 ) Tk  

a| l dDec l  讲Ih e B s  i nM∞  A&l i i ̄ . t   m 

, 4, PP. 527—538.  

d  咖 0fMe nt d  ⅡⅢI   c: A  chnHl 0 H劬  c  Appr oa ch.De  ‘  

@ M 1 4  Af , hc r af t (1 987) Ch ldr i e n’ s   Kno wl e dge   o f   Si  ̄vl e   en]& R Kai l( Ed* ). Fo i mu d  Mode l s   i n 

吼j J  Rene w, 2. pp 213—236.  

d 1 m c: A Ⅱ d0p m刚   Mo del   a| l d  Si mul at i o n I n  J.Bi  ̄, mz, C. J  B  n—  

Ⅻ1 “ Ps ych ol o gy ( PP. 302—338)Ed 

∞  Uni v ̄' s   0 f   Al be r t a.  

D F B即蛐 , & M B De a ̄l da(1 969) Ver bal   Par ap ha s i a强 a  So ur c e  0 f  Ca l cu l  ̄o n  Di s i  ̄dmne e A  —

0f   Neuml gy,21,pp n  9 6 

102 

@ A B 1 ̄ mar do( i n  pr os ) As  ̄ net r i c   Aai vmi  ̄ 0 fNund  ̄ erc。d   i n  Bi l i ngual s :nI I t 】 盯 Evi de ncef ort he   Nur S erI  ̄

i ng M 

喈  

麟 Mo del  

& Cq  【 L 讲I  

@ M. 1 3 r ys hv ea、 W.  蛆、& M P No  ̄ l (19 98)The  Whc r i, f m Hy , po l heg i s   a nd Hu咄 d  c 丑I  

j  讲I ;1 日“Tw ̄t y- Fom”Pr oc e s s ed  i n 

Same W ay 岫 “Four-and-Twi t )”’ Cog, i t i ̄ .66.1 o p 51—77  .

∞J  I  I )_ c 

I I (1 l 丌   bs h甜 ) An  Enc Mi ng - Co mpl e x  Appr o ac h t o  Nund  ̄ er   Pr o ̄ e s s i ng  i n  Ch l nes c - En#i  ̄ Bi l l n ̄ mh.  

@I L M Ch ur ch, & w H Me ek(1 98 4)The  Nume ic r al   At t r i but e   0f   St imdi  i n  H.L Ro i t bht ,丁 G.B 盯, & H s T抽 耻 e(。 ds ) (pp  445—464) Ani   r md  c叩 t l 吼. Hf ll s d ̄ de.N J.: Er t  ̄ m  @L  Ci l ml o t t i (1 9 95】 Mul ipl t e  Ro ut e s  f or  Re ad i n g 

s. whv  Not  Numbe r s? Ev i d enc e  

a   Cas e  0 fAmbl e  Nu mer a1Dys le ̄

Cog-  

ni ive Neur f nps ychdc gyt12,pp 313— 342 

⑩I .(   嘲. S  h蛳  , & P Ve r s e fc hel (1 994) Nun  ̄ b erWo r d s  a nd  Nun  ̄ b er   No n- wor ds  A c啪 0fDe ep  Dv s l ex  ̄ a   Ex t mdl n gt oAm  Num ends B ̄ain,117,pp 267— 279 

0 s Deh ae ne& L G, hm (1 99 4) Cer ebr a l   Pe a hway s   f o r   Cal c ul a t i  ̄: D州 e   喊 ;  【 m  be  ̄ nl  Rot e  Ved ̄ al  a| l d   ou蚰 dt  

Kn ̄' 1 .  

0fAri it f r r  ̄tl e Cort ex,那 .pp 219— 25O 

0 s Dd— e(1 992) Va r i e t i es   r mme it f ml& bi l i t l e s. C ̄g ni t i c t a. 4 4,1—4 2 

O S 3d ̄ l e(1 996) q l ' t e岫 Met hod Jot un ̄ d 0fC 

N ̄

  【 l n  0 f   Bmi n Ac t l v at i  ̄ i n Nut ab er  Co mpa i ̄ :Evsm-r f da t sd附   ence,8.  

@ s.Deha ene. N Tz o ut l o. V.Fmk.L_Ra yn a ml , L c  l   【 m 

8  a nd t he  Ad di ivc t - oct f ms 

47— 68 

, J  MeMe r, & B M岫  (1 996).Cer eb n ̄ l  Ae iv ̄ ms f  Dur ing  Number   M出 一  

C ̄r t t mr i s on: A  PET  S t udy  Ne m' o l  ̄yc hdc0a  24, PP 1 097—11 06.  

0 S.Deh ̄ne, E Spe l ke,P  I hna ]. R.s  eⅫ , &s  Ts i vki n(1 9 99). s  Emdenee sc 

o f   Ma   Ⅱ  耐 Tl in f kl g: n Bda a v i  ̄a l   and  Br mmn. 峨

 

. 284.PP. 970— 974 

0 S.Deha ene( 2001). Pr  ̄i s   0 ft heR o ml x  ̄ Se ns e Mi n d 

呼 , v ol1 6,1  pp 1 6—3 6.  

@ G De l oc he, & x.S e ̄ (1 982) FT 硼 Onet o1:^n  Ana l ys i s   0 f   a   Tr m ̄ e odi ngPm∞  by   eB m  0 f   N叫  

d1 0l 呷c a l  Dat a c咽  —  

ti on,12,pP l19— 149 

G Dd0c } I e, & K Wi l l  ̄ ( 2000)C ̄ni t l ve  Ne t a  ̄ y c ho l gJ n ca l  Mode l s  or   Adul t  CMeul  ̄o n  a nd  Nun ̄ b er   Pr oc ea *i n g:The   ol R e   0 f吐I e   Su  ce F一

【。f  

Ⅱ 啪

European Chi l d 曲 Adol ̄

t  B dI j嘶

9,pp 27— 40

0 M D F l aus e r. P.M, a c Ne i l a ̄ , & M War e(1 99 6) Nu me r ic a l  

咄 

.  

Pr ima t es. 1  

, hB  0 f  

帆   Aca & ̄a y  ofS4me e.  

( 下转 第 3o页 )   21  


维普资讯 http://www.cqvip.com

④ c.B肌   & M scⅡd日 Ⅱ  a(1 9 96. ^u  per p ̄

ntc d 

, he  & 

se P【 叫 盯) Bt  

Ccnt cmua i c0nf 目掷 ce,“Ti  e( 

Il g ^ 

瑚00   8t 一 咖叮: ]  ̄ ct hi nki ng  kna  。d  f ort he   kn owl e dge  萨 . Pa—   ”,G蛳 e坩 ,  

恤 

@[ 美] 桂威 著 , 姜 文 阔译 《我们 怎样 思 维 一 经 验与 教育 ),人 民教 育出 版社 ,1 901年 , 1—3   @ L B 

c k(1 98 7)E&J r ar i  ̄l岫d】 e  ngt o   nk. w  Ⅱ咖 Ⅱ,Dc:Na ior f  ̄l^  棚  P嗍 .  

⑦ 扬雄 里 《探 索脑 的 奥秘 ’. 上 海 科技 教育 出 版社 ,] 99 9年 . 第 65页。   @ T D.1 ( 0   们蚴 , A C.  恤 . P. J  F el t o ̄ 4& & H. 5. Ba Ⅱ ws(1 9 )u “Bt   曲 u  m  A  p ̄ncl p l e d日 P  

。  t o础

i nt 它BI 【 她  枷 钾 l e . J 0 ml ng* odi r n-  

ht ot he t t s e   of   c omput el  ̄i n  co l l a bo r at iveka 1 1 | i T   J0 I i m  0ft he I J mmi ng  S ci e nces- 3, 2 25 —262  

@ R H S pi r o,P J. Fe l t o v / c h. M J.k d  n & R.L_G。 u【 90 £ l (1 995) Co gni t i ve  f lexi t  ̄l 时 ,con s l  ̄ uc t i v i s m,a nd  hyp   哪 :R日 r I d0 m  c鼬 i t mt r uc t i  ̄ f or   n dv  ̄c e d  k n ̄l e dg e  a0l 删  t l m i ni l I—s t uct r ur e d  d0 仃 I I 8 I n Ll P s  陆 ns dal e.New Yo& :h 啪

I ce  【 hⅡL l m ^一

& J. C - de(Eds. )(   仃I 】   哪 i n  e du ea t l on.  

m船 .  

⑩ R.Oel i sl e(1 997).Ha m-t o   u吕 e  P  帅 一 B 

Le o mi ngi nt hea—

n.Al e xa ndr i a. VA: A8 呻d 加 f o rS 

凼呻 a . nd  Ct ml c ul um 

Devel opm ent  

H  : //ww 』 咀 _l 塑 一 q 1、www ur ea  £  0 R F Dc ds (1 997). , a n  f  o

m  r e s e ar c h mudy   oft he 

Lg 

盯. hi m1  

啪 嘲 o f   pmb l en ̄ba s e dl ea ni r ngi n  —  

t he  曲  

a nd  r et e nt i m 

。d   J our na l f o rt he  Ed uc al J m  t he  Gi f t e d, 20. 4 23—437  

0A.D Ge a t mmt  ̄& J.L.Ko l o de  ̄er(] 9 96).A 一

咖dy  of  

凹n- h 

l e n ̄ mng i n m砌 e s e hod  ̄ c i e t t e e  da s  ̄ r oo m:Les s e ns  

l e . am ̄ .I n  D.C Ede l s  ̄ m & E. A Do mes h&(Ed s ). Pr ec edi ngs   I n t e m mo r  ̄l  c0  

∞ oft heI-  

 g  l Sei e nc ̄ 9 6(pp 91 09 8).  

・  

l ot t es  ̄l l e. BA: Ass c ci a t i  ̄ h t he , a Ava nc e t r mnt  ofCo mp u ̄ngi n  Educ a t i m 

@ G Sa l o n& D N. Pe r ki ns (1 989).Ro c ky  r o adst oⅡ H  : Ret hi nki ngme c ̄

m  ofⅡT   ec t e d  ph…

n. Ed ue at i o m]PB  】 d—  

o  t ,24,1】8 — 142 

。 A D Ger mmn & J  L Ko l c dr  ̄ (1 996).A c4 s e mudy o f   p  凹I 1 - ba s e dl e ar ni ngi ni t   mi ddl e钟h∞】s ci en c e d∞帅舢 ;Le s s on s   l e . amed.I n  D.C.E de l  ̄ & E.A I kt oe &e k(Eds),Pr o ce e di ngs   ofl memat i  ̄a i c  lott esvil l e.BA Ass oci at i ̄ h  t he Advane ̄

n睫 oft heLc aml ng  S ei e t r c c s   96( pp 91 09 8) al  

t  of  Computi ng in Educat im  

( 上接 第 2l页 】   U 一 5  A . 93. PP  1514— 151 7.  

0 M. Mc Cl o  ̄k ey,A.ca Ⅻ m日 & A  Ba si l i (1 9 85) Cog ni i* f e Mt  

∞ si n  HI l  

Pr o

n g  ar m Ca l c ul , g,  ̄m : Ev i dm ̄ 

Dys c ai c ul l a   Br a mn  a nd  Cog nl t k ̄. 4. PP  1 71一 ] 9 6 

@ M. Mc Cl o  ̄ke v,P.  

&T  ̄ e t s t o ne (1 99 2) The Fun ̄ c a a a l  Arc  ̄t e ct me  0 f  Nut m ̄c a l  Pr oc es mng: De f mdi n g t he 

Modu l a rMo de l  i n  J   l_ D  Ca mpbe l l(Eds ) H  49 3—537} AnHe n  

:E 

a ndO, i si .  ̄  Ma ̄e ma ic f a l   du8一 S ex i e r: Adv an ̄ i n  

曲d0   , 91. ( pp 

凹.  

0 J. Mc Nei l& E  K. War ing f t m (1 994)   雎蚺 i mi 帅 be t w ̄

Addi t i on  md S ubt ra c io t n wi t h  

ne n Cdcul a t i m ./ %mol : sy.  

chol   B. 32, PP  71 7— 728 

0 N  J   va n Ka rs k  ̄ p& L   Ci pl ot t i( 2001)   Sel  ̄t i ve   I mpa i r me ntf o r   Ad di t i on.   Organi z ati  ̄l  

国 M. P 

日  

。兀a nd  M 却b  c Bl   m :l H 叫【 c 帅 f o r  

r I 耐l c  Fact a  Cort  ̄ , 37, pp  363—388.  

,M  1t I j 0   , X  Sel on& A.De   Vdd cr ( 2OOO)   Ne ur m ̄n a t o nf ic a l  Sub ̄ o  o f   Ar a bi c  Nuy mi mz   Pmct  ̄i ng. Nu—  

me r i c al   Cc 0 npa r i  ̄n皿d  S i o ,  ̄e   Add i t i  ̄ :A  PET咖 由 .J onma l   Co g ni i*e f   um 口*e,l 2( 3),pp  4 61—47 9.   0 R.S 岛e  盯 &J.s} I m萨r(1 98 4)   A Mode l   at "St r at eg y  ch 恍 I n  C  s叩h  (Eds).O, i g i  ̄  c 0   ve  s ki l l s (pp  229—294) Hi l l s da l e,  

:I a t  ̄

c e  Er t ba um  As s o&at e s.  

0 C.M. Te t npl e (1 991) Pmo e dur a lI  ̄s ca l c aha   a nd  Numbe rFa ctD ̄ca ic ul i a:Dc t  ̄l e   Di s s o  ̄i at i  ̄li n  De vd—   Cogni ive  t

mI  

ntl   Dy s c nl ca] i a 

h 。  , 8, pp  ]55— 176 

0 E.K. ̄Xmngt t m (1982).The  n  ∞且I i 啪0 f   Ar i t hme t i c a l   Ski l l s:A  r L 出 Ca s e  St ay  Q . b  如 J  ̄ ur r u d  Ex0e 6me nud   Ps ychol c ̄. -, 34A , PP  31— 51  

0 K  w  一

f1 998) P ̄c ho l og l c a l  F— d  0【 I 9  of  Nun r b er:  

Vd  2. No  8. PP. 296一 如 3 

舢 兀c 丑l  Ct ml p et e : n ̄ i n  Hun um I nf a nt s.Tr ends  i n 铀  6  Sci 一  


数学认知能力的认知与脑机制理论模型综述(董奇2002)