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SERIE_A4

SUJET_BAC_TOGO

Année_98

Exercice 1 On considère la fonction polynôme f définie par : f (x) = x4 − 7x3 − 19x2 + 7x + 18 1. Trouver une fonction polynôme g telle que : f (x) = (x2 − 1)g(x) 2. Résoudre dans R l’équation f (x) = 0.

Exercice 2

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3. Résoudre dans R les équations suivantes : a) ln[g(x) + 18] = ln 2 + 2 ln 3 (E1 ) b) ln(x) + ln(x − 7) = 2 ln 6 − ln 2 (E2 ) c)e8x − 7e6x − 19e4x + 7e2x = −18 (E3 ) NB :ln(x) et ex désignent respectivement le logarithme népérien et l’exponentiel népérien de x

Soient (U ) et (V ) les deux suites définies par Un + 2Vn U1 = 1 et Un+1 = 3 Un + 3Vn V1 = 4 et Vn+1 = 4 1. On pose : ∀n ∈ N∗ , Wn = Vn − Un a) Calculer les 3 premiers termes de chacune des suites U ; V ;W b) Démontrer que la suite W est une suite géométrique et exprimer Wn en fonction de n 2. Démontrer que U est une suite croissante et V une suite décroissante.

3. On pose : ∀n ∈ N∗ ; tn = 3Un + 8Vn . Démontrer que t est une suite constante.

Exercice 3

Le plan P est muni d’un repère orthonormé ; on considère la fonction numérique f définie par : f : R −→ R 1 x 7−→ −2x + 1 − ex 1. Déterminer le domaine de définition de f .

2. Résoudre l’équation : x ∈ R; −2x2 + 5x − 2 = 0 et en déduire l’ensemble de solution de l’équation x ∈ R; −2ex + 5ex − 2 = 0 3. Calculer les limites de f (x) aux bornes de son domaine de définition. 4. Calculer f 0 (x) et dresser le tableau de variation de f

5. On désigne par (Cf ) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (o, u, v); montrer que (Cf ) admet la droite d’équation y = −2x comme asymptote oblique à +∞ et la droite d’équation : y = −2x + 1 comme asymptote oblique à -∞. 6. Construire (Cf ). On donne ln 2 = 0, 7.

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