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Matemáticas Aplicadas I

Tema 1: Números Reales

Tema 1: NÚMEROS REALES

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES LOS NÚMEROS REALES INTERVALOS Y SEMIRRECTAS VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL POTENCIAS. PROPIEDADES RADICALES. PROPIEDADES NOTACIÓN CIENTÍFICA LOGARITMOS

Lola López

Tema 1

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1.1 Los números racionales Los números naturales son 0, 1, 2, 3…,10, 11, 12,… Hay infinitos. Sirven para contar y para ordenar y se designa por . El conjunto de los números enteros, Z, consta de los naturales y sus opuestos (enteros negativos). Z={…. Para expresar medidas se necesitan los números fraccionarios . los fraccionarios, junto con los enteros, forman el conjunto de los números racionales, Q. Los números racionales se caracterizan por que se pueden expresar en forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros. enteros o bien tienen una expresión decimal finita (decimal exacto) o periódica (puro o mixto).

EJEMPLOS

1.2 Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es

, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

1.3 Los números reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por

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.

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Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

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1.4 Intervalos y semirrectas NOMBRE Intervalo Abierto

SÍMBOLO (a, b)

SIGNIFICADO {x/a < x < b} Nº comprendidos entre a y b

Intervalo Cerrado

[a, b]

Intervalos Semiabiertos

(a, b]

{x/a x b} Nº comprendidos entre a y b, incluídos a y b {x/a < x b} Nº comprendidos entre a y b, incluído b

Semirrectas

[a, b)

{x/a x < b} Nº comprendidos entre a y b, incluído a

(

, a)

{x/x < a} Nº menores que a

, a]

{x/x a} Nº menores que a y el propio a

(a, + )

{x/x > a} Nº mayores que a

[a, + )

{x/x a} Nº mayores que a y el propio a

REPRESENTACIÓN

Cuando queremos nombrar un conjunto de números formado por dos o más intervalos, se utiliza el signo entre ellos.

Ejemplo: [3, 4)

(unión)

(5, + )

Solución:

Ejercicios resueltos Representa los siguientes conjuntos numéricos:

a)

Números mayores que 3

b)

{x/2 x<5}

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(3, +

)

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c)

{x/ 3

d)

Números menores que 1, excluyendo el 0

e)

{x/

/

/

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

2

Representa los siguientes conjuntos:

Representa los siguientes conjuntos:

1.5 Valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número real nos da “el tamaño” de dicho número. Por ejemplo, -7 y 7 tienen el mismo valor absoluto 7. El valor absoluto de un número real, a, es el propio número a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.

b)

EJERCICIOS RESUELTOS 1

Hallar

2

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades?:

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Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?:

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

Halla los siguientes valores absolutos:

2

Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

1.6

Potencias. Propiedades

an se lee "potencia enésima de a” , n es el exponente y a es la base

PROPIEDADES signo de la potencia

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1

2

3

4

5

6

7

1.7

Radicales. Propiedades

Recordemos

FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES

PROPIEDADES DE LOS RADICALES. POTENCIAS Y RAÍCES

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EJERCICIOS RESUELTOS 1

2

Comparar

y decir quien es mayor

Simplifica:

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Nota: los números que no sean primos, hay que descomponerlos factorialmente: por ejemplo,

2

?

3 4 Propiedades del producto y del cociente de radicales

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SUMA DE RADICALES Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniéndose sus expresiones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales semejantes, es decir, si la parte del radical es idéntica.

=

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 2

3 4

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES A veces conviene suprimir los radicales que hay en un denominador. Para ello hay que multiplicar numerador y denominador por la expresión adecuada. Veamos tres formas para suprimir las raíces del denominador en los casos más frecuentes:

SUPRIMIR UNA RAIZ CUADRADA, UN SOLO RADICAL

Se multiplica arriba y abajo por la raíz

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SUPRIMIR UNA RAIZ NO CUADRÁTICA Se multiplica arriba y abajo por otra raíz del mismo índice que se complete en el radicando una potencia de igual exponente que el índice.

SUPRIMIR UNA SUMA DE RADICALES Se multiplica arriba y abajo por el conjugado de dicha suma

EJERCICIOS PROPUESTOS

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1.8

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

Los siguientes números están en notación científica:

Ventaja de la notación científica sobre la usual: Las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de la magnitud del número es evidente. Es muy útil para expresar, sobretodo, números muy grandes o muy pequeños. Un número puesto en notación científica consta de :   

Una parte entera formada por una sola cifra. El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número

Si n es positivo, N es “grande”. Si n es negativo, N es “pequeño”.

OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 

El producto y el cociente es inmediato

La suma y la resta exigen que todos los sumandos tengan la misma potencia de base 10

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

1.10

LOGARITMOS

Si a>0 y a

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p

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EJEMPLOS

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1 2

3 4 5 6 7 8

Cambio de base

LOGARITMOS DECIMALES Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales, y en vez de escribir se escribe simplemente log

.

log

esta tecla en la calculadora sirve para calcular el logaritmo decimal de cualquier número(positivo siempre).

Si queremos saber cuánto vale usamos la propiedad 8

aproximadamente (suelen salir irracionales, infinitos decimales),

LOGARITMOS NEPERIANOS Se llaman así a los logaritmos cuya base es el número e y se designan ln “logaritmo neperiano de k”

ln

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esta tecla en la calculadora sirve para calcular el logaritmo neperiano

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EJERCICIOS RESUELTOS 1

Halla los siguientes logaritmos:

2

Halla la parte entera de los siguientes logaritmos:

3

Sabiendo que

Calcula:

4 Averiguar la relación que hay entre x e y sabiendo que se verifica: ln y=x+ln 7

=

7

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

2

4 5 FIN TEMA 1

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