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CANTIDAD DE DIVISORES QUE TIENE UN NÚMERO COMPUESTO

Objetivos: • Determinar el número de divisores de la potencia de un número primo •Determinar la cantidad de divisores que tiene un número compuesto.


•Diferencia entre número primo y número compuesto Número Primo: •Es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos. El número uno y él mismo Recordemos que el número 1 no es primo ya que tiene un sólo divisor, él mismo.


Ejemplos de nĂşmeros primos


Número Compuesto: •Es todo número natural no primo que resulta del producto de dos o más números primos o de las potencias de éstos. •Es todo número natural mayor que la unidad y no es primo. •Es todo número natural que tiene más de dos divisores.


Ejemplos de nĂşmeros compuestos


¿Qué es un factor? En Aritmética, un factor es un número que está multiplicándose con otro para formar un producto


Ejemplo de factor:

6 = 2 g3 PRODUCTO FACTORES


¿Qué es múltiplo de un número? Sean n, d y c números naturales y la operación:

n÷d = c n es múltiplo de d cuando al dividir n para d, el cociente es c y el residuo es cero, es decir n contiene a d, c veces.


Ejemplo de múltiplo:

6÷2 = 3 6 es múltiplo de 2 porque 6 contiene a 2, 3 veces


¿Qué es divisor de un número natural? Sean n, d y c números naturales y la operación

n÷d = c Decimos que d es un divisor de n, cuando d divide a n en c partes iguales


Del ejemplo anterior

6á2 = 3 2 es un divisor de 6 porque lo divide a Êste en 3 partes iguales


Potencias de nĂşmeros primos. Tabla de potencias de 2 mostrando el nĂşmero de divisores

2 4 8 16 32 64

21

232

2

254

2

2

6

1, 2 1, 2, 4 1, 2, 4,8 1, 2, 4,8,16 1, 2, 4,8,16,32 1, 2, 4,8,16,32, 64

1+1 = 2 2 +1 = 3 3 +1 = 4 4 +1 = 5 5 +1 = 6 6 +1 = 7


Tabla de potencias de 2 mostrando el nĂşmero de divisores

128 256 512 1024

2

7

1, 2, 4,8,16,32, 64,128

7 +1 = 8

8

1, 2, 4,8,16,32, 64,128, 256

8 +1 = 9

2

9

1, 2, 4,8,16,32, 64,128, 256,512

9 + 1 = 10

10

1, 2, 4,8,16,32, 64,128, 256,512,1024

10 + 1 = 11

2

2

2

k

1, 2, 4,8,..., 2

k

k +1


ÂżCuĂĄntos divisores tiene 81?

81 = 3

4

Por lo tanto tiene (4 + 1 = 5) divisores y son 1, 3, 9, 27, 81


Determinar la cantidad de divisores que tiene un nĂşmero compuesto. Tabla de nĂşmeros compuestos mostrando la cantidad de divisores

21 g31 2 2 g31

6 12 15 18

31 g51 21 g32

24

2 g3

60

3

1, 2, 3, 6 1, 2, 3, 4, 6,12 1, 3, 5,15 1, 2, 3, 6, 9,18

1,2,3,4,6,

1

8,12,24

2 g3 g5 2

1

1

1,2,3,4,5,6,10, 12,15,20,30,60

( 1 + 1) ( 1 + 1) = 4 ( 2 + 1) ( 1 + 1) = 6 ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 4 ( 1 + 1) ( 2 + 1) = 6

( 3 + 1) ( 1 + 1) = 8

( 2 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 12


Si generalizamos, podemos decir que: Sean

p1 , p2 , p3 ,..., pn

, n nĂşmeros

primos diferentes, y

( p1 ) , ( p2 ) , ( p3 ) k1

k2

k3

,..., ( pn )

kn

sus potencias respectivamente. Si

k1 , k2 , k3 ,..., kn entonces

son nĂşmeros naturales,

( p1 ) g( p2 ) g( p3 ) k1

k2

k3

g...g( pn )

kn

( k1 + 1) ( k2 + 1) ( k3 + 1) ... ( kn + 1)

tiene

divisores


Determinar la cantidad de divisores de los siguientes nĂşmeros compuestos

1

2

96 32 8 16 4 3 6 12 24 48

1. 96 = 2 g3 5

1

( 5 + 1) ( 1 + 1)

= 12 divisores


2. 216 = 2 g3 3

( 3 + 1) ( 3 + 1)

3

4 8 12 18 2 1 3 6 9

24

27

108

36

54

216

72

= 16 divisores


3. 360 = 2 g3 g5 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 = 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360 3

2

1

( 3 + 1) ( 2 + 1) ( 1 + 1)

24 divisores


4. 432 = 2 g3 4

1 6 16 18 48 72

2 3 4 8 9 12 24 27 36 54 144 108 36

3

( 4 + 1) ( 3 + 1)

= 20 divisores


5. 450 = 2 g3 g5 1 2 3 5 6 9 10 15 18 30 30 45 50 150 75 90 225 450 1

2

2

( 1 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1)

= 18 divisores


Cantidad de divisores que tiene un numero compuesto