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r

T

Conceitos básicos ARCoDEcIRcUNFERÊNCIA móveldescrevêndo a trajetóriacircularindicadana fiaura:

quêo.móvelpaÍtado pontoA e chegueatéo pontoB pêrcorrendo Suponhamos a circun." rerencta no senttooanti-horário queos pontosAe B divjdema circunterênciaem Obsêrv_emos duaspartes.Cadaumades_ sas partesé dênominâdaarcode circuníeÉncla.

Assim,temos: arcoAB

arcoBA

Os pontosA e B são chamadosexlremidadesdos arcos. Arco dê,circunÍêrência é cada uma das pârtesem que uma circunferên"i"Ìi"" Oiuion dâ por dois de seusoonlôs

umavolacomptêta nacircunferência, o pontoBcoincidirá como pon. .^ Ío A ^""_:I^ol"]_"1"!y.] neslecasqetesdererminam os sêquintes ^ e, ârcosl

AB é o arcodê umâvolta. B A é o a rc o n u lo

'16

f


ÃNGULoCENTRAL Consideremos umâ circunfeíênciade centíoO e os pontosAê B pertencenlesa êlâ.

Unindoos pontosAeB aocentrodacircunferência, deteíminamos oângulocentralAOB. Utilizando as mesmasmêdidas paraumarcounitário{arco demêdidai;uala 1}ê seucorresponoente angutocentrat. queas medidas dÍzemos do arcoe do àngulocénlralqueo determinasão iguais. Na figura,têmos: . O ârcoÁÈ subtendêqângutocentíatAOB. . med (AOB) = med (AB) Noteque â medidade um arco não íepresentaa medidado comprimentodessearco Exemplo:

OsarcosAÈ"ô possuêma mesmamedjdaa, poíémnãotêmo mesmocomprimenlo.

Observêtambémquecadaarcodeterminaum ânguloe cadâângulodeterminaum arco. , Forissq as unidâdesutilizadasparamedirarcossãoas mesmasusadasparamedirânoulos.

UNIDADES DEMEDIDA Paramedirarcose ângulos,utilizarêmoso grâue o radiano. . Gíau Umgrâuédêflnido comoa mêdidâdo j ângutocentralsubtêndido porumarco - iguàl.a da clrcunferência que contémo arco '-- - 360 17


Ummlnutoé iguala

+

dograu.

Umsegundo é iguala 1| do minuto

t

r

Símbolos: Grau( ô ); Minuto('); Segundo ( " ). Entãq podemosdizerque umacircunÍerência (ou arcode umavolta)medê3600. . Radiano O radi.m(símbolo:Íad)édefinidocomoa medidadeum ángulocêntratsubtendidopor um arco igualao raio da circunferência que contémo aíco

o.\:;

Observação: Sêjaa circunfêrência de raior ê o segmento ABqueâ repÍêsenta.

t a

I

I

AB

SabemosdaceometriaqueamedidaCdocomprimentodackcunferência(AB)édaoa por:

I

II

C = 2rr

i

Comoa medidadê umacircunferência é dadapor2 . r uma circunferèncla (ou arcode umavolta)mede21rrad. 18

rê í = 1 rad,podemosdizerque

1


. Relação entreas unidades podemosestabelecerentre Deacordocomo expostoanteriormente, as unidadesâs rêlâções:

,'

Vêjamosalgunsêxemplos. 19exemplo:Exprêssar300' êm rad. Resoluçâo:Estabêlêçâmos a sêguìntêrêgrâde três: 1800

.r @d

300"

x

l 99l ,q *x 3000

.L

-5

=-*'*= ì

ra d

Fésposla.

rad ÌL 29 exempfoi Expressar22" 30' em íad.

Resolução:Vamostransformar 22ô30' emminutos: 22'30'= 22 60' + 30' = 1320'+ 30' = 1350' Vamostíânstormar 18Oo em minutos: 1800= 180.60' = 10800, Estabeleçamos, entâqa seguinterêgradelrês: 10800'_trrad 1350'-x 10800 = r = 8 -T1350 x Besposta: -F ''" '19


39exêmplo: Expressârf rademOraus. Reaolução: Estabeleçamos a seguinteregradetíês: '180o _ í rad

-f raa

'180 X_Lx1

Resposta: 45ô

,J

49 exemplo:Umapêssoanumabiciclêtadág vollasemtornodêumapistacircularderâio20 m. Determinarâ dislánciaporcorridâpetabiciclêtâ.(Adoì;r { = 3J4.) Resoluçâo:O comprimentoda circunÍerência é dado por:

C = 2 r.2 0 c=2 .3 ,1 4 .20 c = 125,6 m

C=2r.+

Em8 voltas,temos: d=8c+d=

8. 1 2 5 , 6 1 804,8m

Resposla. 1804,8m

EXERCÍCIOS DEAPREN DIZAGEM I Expresse emrad: a) 60' c) 350' b) 210. d) 150. 2 Expresse ernmd: a)67o30' b) 37"30',

ó Erpresseerngrauseemradialos asmedidasalos arcosque coúesponclema:

e) 12o f) 2"

c) 25"m' d) 112030

3 Expresseem graus: lll ,r -' 9 b)Ë

',-' -',9-'' -; -a "r-L rad d) j0 rad

of

oa

rad

a);

da m€dida da circunfeÍência.

b)

da rnedidada circuofeÈncia-

i

7 Determjneo menorZìn8uioformadopelosponteiros de um relógio: a) as thlo min. b) às 12h15úin. 8 Cdculeocomprimentode umacircunferência de râio 30 cm. Adote r = 3,14.

4 Acherresângulo.. emgnus.sabendoquea soma do l9 com o 29 é l2', a somado 29 com o 39é9'eado 19como39 é 9 rad.

9 Sabendoqueuma pessoadá 4 vollas em torno deumcanteirocircularde1,5mderaiqcâlcÌ e a distânciaÍrercorrida pela pessoa.

5 Qu.alé. eln mdjanos,oângulodescriropeloponteirodosminutosdeum relógio,num periodo de ã minutos?

l0 As rodasde um auromór€llêm 70 cm de diâmetrc. Determine o número de voÌtas efetuadas pelâsrodâ! quando o automóvelpercorre 9.89t km. Adole ,r = 3,14.

m

f


DEUM ARCODE O COMPRIMENTO CIRCUNFERENCIA Considerêmos a f iguraa sêguir:

meAB = A B

t\,4 N

,.:illtil::,t'. l 1

.

r

-lM

temos: Porsemelhança, ^

Of,4N- Á OAB =

m

a

=!

Í

{a em radjanos)

s do ârco A medidado ângulod em radianos é igualâo quociênte entreo comprimento ^ pelo raioda cìrcunferência. AB Vejamosalgunsexemplos. '|9 exemplo:O ponteirodos minutogdeum relógiomede12cm.Qualadistânciaquesuaextre_ midadêpercorredurante20 minutos? Resolução: queoponteirodos obsêrvandoa tiguraao lado,vêriíicamos minulospeícorre,em 5 minutos, .1^ da ciícunferència, ou seja, 12

360' = 30o.

Dê acoídocom o problema,em 20 minutoso ponteiropercoíre4 30o = 120' Assim,lemos: r = 12 cm d = 120õ = ::J

êd

O percursofeito podesêr calculadopor s= r 'o=s=

12. 1'

=s=8r-s = 8 . 3 , 1 4 -s = 2 5 , 1 2 c m

FesposfarEm 20 minutos,a êxtrêmidâdedo pontêiropercorre25,12cm.

a


I 2? 6xemplo:Numacircunferênciâde raior qualéo comprimentode umarcoque subtenoeum ângulocêntralde 60=";0cm'

Resoluçáo:a=60"=ãrad f r = 30cm

- "

=

+

. 3 0= 1 o Ícm

Fazendor = 3,14,temos: s=10Í=10.3,14=31, 4 c m

r

Bésposta.- O comprimentoé de 31,4cm.

EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM Acheamedida Ílocomprimenro OorrcoGio-

150. ..<-\

4 Num círculode rajor - l0 cm, um arcocui! comprimento é ó cmçublende umáneutocen. lral cuja medjdaé o. Determineo (e; rad). 5 O,penautoae um relógiotem comprimenÌo u,) m ee\ecuLã o motimenlodeA DaraB indicaclona fieura,

30cm

2 Qualé o comprimento deum arcoquesubtendeum ángutocenlralde45. numacircunlerèn_ cla de raror = 10cm? J NumacircunteÈncia de raio t2 cm, um a .o subÌendeum angutocenlralde t20o. eual é o compÍunentodessearco?

Determineo comprimento do *m ,G qre a tremidadedo pèndulodescreve. "._ (, Aom_íjncto{e\eí a terrâ uma e.ferade mto r.- o r/r hm.determineadLÌánciadoequa_ ooraumponro5iruâdo a umalarirude 10"nor_ ÌeAdoter=3,14.

TR rcoNoM Érn rcRoucIcro fli88NãliÈi_lrA ChcuníeÍéncia orionladâe arcoorientado Umacircunfeíência se dizodentadaquan_- netatixamos oo umsentidopositivodêpercurso Èm tngonomelria.convencionou_sê . esta. oerecercomo sentido positivoo sentidoanunorano(sentidocontrárioao do movimentodos pontetros do relógio). Naluralmentê, o sentidone_ gaüvoê o sêntldohoráriô 22\


Todoaíco de uma circunferência orientadachamâ"sêarcoodgnlado' Exemplo:

t^o

B

a G=

nr ac

-,t

AcâdaarcoorientadoAB,ondeA é aorigeme Baextremidade, estáassociadoum númeíal reâ|4, que é a sua medtoa;o módulode a é o compíimentodo arcoorientado

é zero; Arconuloéaquelecuiocomprimento queo arconulotema origêmê a êxobservemos tremidade coincidentes.

. CircunÍeÉnclataigonomélrica e arcotrlgonométrlco

Vâmosfixârum sisÌemâdêcoordenadas cartesianâsortogonaisxÔy no plano. A circunfêrênciâ orientâdâdê cêntío na origêmdosislema, dêíaiounitário(r= 1)êcujosentido oositivoé o antihorárioédenominadacircun. ÍêÍônciôtílgonoÍhétricaou ciclo tíigonomótÍico

âpênasos arcosoriêntados A partirdeagora,consideraaemos dacircunferôhciatdgonomélricacom odgemno pontoA (1,0),que são chamadosarcostÍigonométrlcos. O pontoA (1,0)é châmadoorigemdos arcos.

. OuadÌanles As rêtasx êv eixosdosistemâsdecooídenaoas canestanasonogonarsxuy, orvloêmaclrcun. feÉncia lrigonométíicâêm quatro partesiguaig oue são châmadasquadÍanles.

I Q......19quadrante ll Q......29quâdrântê quadíante lll Q ...,..39 quadrante lV Q ......49

23


a trigonométrico apresentam asseguintêsvariaçõesêm grause ra_ O,"no:lOuuOr"n,""Oocicto RADIANOS

2700

EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM ( | AcircunreÍència da fisurafoidivididaemópaÌignais. -tes

' l,cl;;1t*u"''"""'*i'

Localizesobreestacircunferênciaasextremidadesdos seguintesarcos: at *

rad

b)

120.

..

d)

@r *d

dadesdos següntesaÌcos: a)ï

l ad,

of .^a

b)22s"

0,330'l

c) - 45'

ARCOS CONGRUOS (oucongruentes vamosrêpíesentarna circunfêrêncja lrigonométrica: . um arcode 60o

24

..

foidividida em8paF

d)

ri

0

3600

rad


Obsêrvequê os ârcosde medidas60' + 3600,600+ 2 360ô,60. + 3 360',...têm a mesmaextremidadedo aíco dê 60o.

ffi

ffiwffiff 600 + 3600

60' + 2. 360"

O mesmovâiocorrercomos ârcosde medidas60ô- 360",60. 2 3600,60. 3. 3600,.

60.

2 . 3600

Entãqos arcoscujasmedidâssáo:.-.,600 3 . 3600,60. 2 3600,60ô - 1 360ó,60., 600+ 1 360o,600 +2 360',60+ 3 3600,...têm a mesmaêxtrem idadee sediÍeÍemapenas peìonúmerode voltasinteiras. . um aÍco de

á

Ísd

queosarcosdemedidas, Observe emradianos, f + 2",á +2

2r,+ +3 2r,...

têma mêsmaextremidadê dò arcode+ rad.

+ 2 2Í


O mêsmovâi ocorrercom os ârcosde medidaqem radianos,

-2r,+

2.2 r,+ - s.2r,. . .

r 2r Enlãqos arcoscuiasmêdidas, emradianos, sáo:..., -3 . 2 r, +

+ -, "",+ i. 2",+,++1.2Í,++2.2r,++ 3 midade pelo e se difêremapenas

2Í,..-,têm a mesmaextre-

númerode voltasinteiras.

Daídefinimos:

Assim: . arcosde mêdidâs...,60 arcoscôôgruose podemsêr exprossospelafórmula: 60o + k.3 6 0 0 , o n d e k € 2 .

. aÍcos demêdidas..., 2 2r,+ ã

1 - 2Ì,+,+ + 1 2Í,+ + 2 . 2Í,...sãoarcos

côngruos ê podemseíexpressos pelafómulâ:

f De maneirageíâlì

26

+ t<.Z. o u f + 2 k ' , o n d ê k ( 2 .


Exemplos: 19)Ummóvô|,panindodopontoA,percorrêu umarcode 1 6900. Quantasvoltascompletasdeu e em que quadranteparou? Resolução: 16.90 250 1 690"

(expressâo g€ral)

+4.3600

númerodevoltascompletas o arcode 16900tema mssmaertrêmtdade queo aÍcode 2500

nesposta: . o móveldeu4 voltascomplotas no senlidoanti-horário . como1800< 250o< 2701o móvêlparouno39.quadrante. partindo 29)Ummóvê|, do pontoA,percoíêu umarcode!F íad. Quantas o parou? voltascompletas deue emquequadrantê Resolução:

r

35 _32 -16 35r

(2 +

16,

3r +2

' '16 2r=2

211

2r =2'

2.r númerode voltascomplêtas

o arcode+

Resposta:

têma mesma extíemidade doarcode+

. o móveldeu 2 voltascompletasno sêntidoanllhoíá o. . como 0 < < â, o móvelparouno 19quadrante. #

EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM @qu-to

*ttu, *-pLu"

dáeernquequadraa-

te pára um móvelque,partindo dâ origem dos arcos,percorreum :ìÍco de: a) I 810"? b) 2 350o? c) I 200'? d).-

rèd? erji

Íad? D

ïa

rad?

@ Ummovet,partindodaorigemilosarcos,percoffeu um aÌco de -3 1200.Quantas voltas completaseledeu e em que quadmnteparou?

/ a\',

quâtm Oa,emlornoOaOrÌgem, I rrlUmaSerÌn-reÍa - vohâscomple|,as. no senlidoposhit o. Determjne,eÍn radianos5o ângÌÍo gemdopelasemi-Ì€ta

6betermin.o quadranre ondeesuiae,rrremidade dos seguintesarcos:

a) -1640. b)26300

q 2l-

5 verifique sesàocôngruosos seguinresparesde

a)l4e0oe loJo' ur

$raae$raa

GD"te.mineo" arcospositiuos: a) menoÍesque 900' e côngruosa 2 l40o.

que4r eóngruosa b) menores

+

Éd.


pOStTtVA PRtMEtRA DETERMTNAçAO DEUMARCO . Se.umarcomedeo gÍaus,dizemosque umaÍcodepgrausé âsuapÌimgiÍadelgrmina. _ posiliva se0 < P < 3600e Éé côngruoa a. ção Vejamos os exemplos. l? êx€mplo: positivae oscrever Calcular a 1?dêterminação geraldosarcoscôna èxpressão gruosa 1 9400.

.,t

Resolução: 1940 | 360 Í-140 l o 1 9400= 1400+ 5 . 3600 núm€rode voltascomptetas 1: det6Íminaçáopositiva

l. a 1: detêrminâçãopositivaé l,too 'F.a.^^"b. '-'---'' l . a expressãogêralé a = 140. + k . 360o,k ( 2. 2? exomplo:Calcularâ19determinação positivae escrevera è(pressãogeaaldosarcoscóngíuosa -2 7100Besotução:2710l360 190 7

pê..^.r.. '----''-

27100=190ô+7.360 0 -27100 = -190" + 7. ( -3 6 0 ô ) C,omo-1900 = -3600,temos: -170ô I . a primeirad€terminaçãopositivaé 1700. 1. a expressãogoralé a = 1700+ k . 3600,com K ( Z.

Observação: O valor - 190oé chamadopílmeiradeteÍninaçãonegativado arcode -2 7too. .._Seum-aÌcomededradiânos,dizemosqueumarcodepradianoséasuaprimêlradeteÍ. minaçãopositivase0 < B < 2Íe pé côngruoa o. Vejamoso exemplo Ef(emplo:Calcularâ |9 dêtermlnaçâo posi vâ e escreveraoxpressãogêraldosarcoscôngruosa j! râd.

+=+=+. +

Resolução: _16:r

*

.7

=('.*) '"=

z"*! -!

*2" 1I deteminaçáo posltlva

'

a primeirâ positlvaé determlnaçâo ÊdFesposra.. I I' | . a expíessão geralé d = + +2kÍ,comk(z. 2A

f


DEAPREN DIZAGEM EXERCÍCIOS positi!ãe escreva. I Caiculeat ?dererminaçào expressãogeÉÌ dos Ímos cônglros a:

2 Represente nocjcloÌrigonomàricqâse\trcrÍudadesdos arcosdadospela expressão:

a) 1 550' b)

2 165"

c)

rad

Ír dr rï

_L, k r, k c Z 3' :L- +k+,kez 8 90' + k . 9 0 . , k (z

-lm + z k Í , k < Z

rad

O pri. somam24Oo. 8 TìËsânguloscorÌsecutivos meiromede60'e o lerc€iroé o suplemenlo deste Determine,em radianos,o ângulo for' madopelasbissetri4sdo segundoe lerceiro âncülos. gmusmedeapro\ima9 0 uvesr-SP) QuanLos daÍìente, um ângulo de 0,105rad? l0 (FEI-SP) a) Ache o valor aproximado em gmus,mjnuÌose seg!ndosdo arcode I radjano (Í = 3,14). na formaan.do b)Acheo\€lor emmdranos. arcode medida15030'.

,,

aÌco que subtmde um ângulo centÍal de 12Í rad. Seo Íaio dessapolia é 2,5 m, qual seráa distância p€Ícorrida poÍ esseponto em um segundo? lSUma cuna, numa linha féÍr€â, deve ser tÉçada em círculo. Qüal a medida r do raio que d€veser dada ao circulo pam que os trilhos mudem 25' de direção numa distância de 120m? ló Delermineos \aloresdeo e íindicado\nd figuIa.

ll Delerminea difer€nçaenúeos ángulosagu' dos dos ponteiros de um rclógio que maÍca 2h30miÌÌ e de outro que marca lh. l2 Sabendoqueo comprimentode umacircunfeÍênciaé de 32Í cm, calculeo seudifunetÍo. deceDLÍos l3 la hgura.rem-seJ circÌÌnferencias. A, B e C, tangentesduasa duas.As retasQC Sendo4 m o raio e Pf sàopeÍpendiculares. da circun-ferènciamaior, quantos metÍosdevemospeÍcor€r paÉ ir de P a q seguindoâs Ílechas?

| 7 Em quaiquadranteesú a elt remidadedo arco de: a, t r\nor

h\ !9r E.r -ì

.r - ""'' ì ô1ôot -'

18 Deterrnine o menor \ãlor não negativo côngruo ao arco de: a) 850'

b)-l ll0'

c)ïrad

posiLivâeescreva l9 Calculea Il delerminação a expÌessãogeÍal dos arcoscôngruosa:

l+ sabe-sequq em um segunoo,urn ponlo situadona periferia deumalrolia desclel€um I

a)930'

c)-i

íad

b)

d) rï

rad

3 190.

n

cap.2 - CONCEITOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA NO CICLO  

.- " Suponhamosquêo.móvelpaÍtado pontoA e chegueatéo pontoB pêrcorrendo a circun- rerenctano senttooanti-horário Obsêrv_emosqueos pontosAe B...

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