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ffi$ffimmmm üËrxmmrem EQUAÇAO LINEAR Todâequaçãoda foíma alxl + â2x2+ ... + anxn= b é denominadâ equaçãolinear en que:a., a/, , . .. a. são os coefjclenleg

. _.,x" sã o a s in c ó g n it a s b

é o Ìermoindependentê

Exemplos:a) 2x1 3x2 + N3= S é umaequação linearâ três incógnitas. o)x + y = z + t: -1 é umaequaçao nearaquatroiniOg;itas. Obsêrvaçõesj

t1

flï*iïï:"Jãiïïdependente

b rorisuara 2610, a equação rinear denomina.se equação

Exemplo:5x - 3y = O 29)Umaequaçãolinearnão aprêsentatermos clâform" xi. x, . x2 elc.. .- Ísto equaçãolem umaúnicaincógnita. -.- é. "-", lêrmoda -. cada cujoexpoente é sêmpref. As e q u a ÇÕ 3x1 es +2x, = _Je.4x.y +z = v Zn á os ã olin e a re s . 3f) Á soluçãodê,umaequaçãolinearan incógnitas é a seqüénciade númerosreaisou ènupla

lã';ïã;;;#àïï?j''"câdos

respectivamente notrs"io"i,, *,, . .i, *ï,ïiiãfr u","o",r"i

4?) Umasoluçãoevidenteda equaçâotineâr homogênea3x + y = Oé a dupta(0,O). Vejamosalgunsêxemplos. 19exemplo:Dâdaa equaçãolinêar4x

y + z = 2, êncontrarumâ de 6uas solirçóês.

Resolução:Vamosatribuirvâloresarbitrários a x e y e obtero valordê z. x= 2 tortântq uma sotuçãoé a tripla ordenada(2,O, _6). 157


29êxemplo: Dadaa equação 3x - ry = 5,determinar d parâquea dupla(- 1,d)sejasolução da equâção. Resolução: \_1,d|

Resposta: d = -4

EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM fiquat

aasseguintes equações sãolií€arcs? =0

a) 4 a - b+;

(3ì"t"..in" pu. que(-1, 1, -2) s€jasoìumx + y - 22 = 6. çãoda equação

/s

b\sx+ 2yz-0 c) x'z- 5y-o d) xyz = Ì

\!?Daoaa equaçao -t

(lAche duassoluçoesda equação:

= -t,acne"pai ra que (o, a + l) torne a sentençav€rdadeim. llPekrmine duassoluçòes da equaçào x+2y z=0.

ftCacute a aemoaoque( - l, a + l, 2.)nãose]a

- \ + + &=0.

'- soluçàodâ equação2x + 4y + z 0. -

SISTEMA LINEAR sistemalinearde m equaçóêsnâs n incógnitasx1,x2,. . ., xna todo sistê.Denomina-se ma oa Íorma:

em queaÍ, a12,. . -, a1n, bj, b2,..., bnsãonúmerosrêais. Sêo conjuntoordenadode númerosreais(ol,02,. . ., on)satisfizertodâsas equaçõesdo sistema,seíádenominadosoluçãodo sislemalinear. ObseNação:Sê o teímoindependonte de todâsas equaçõesdo sistemafor nulo,isto é, b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistemalinearserá ditohomogôn€o

ExgÍnplo:/ l A x+v

z=o

l'x+y+nz=o

t5x - 2y + 32 = 0 Umasoluçáoêvidentedo sistemalinearhomogéneoé x = y = z = O. Seo sistemahomogêneo . Eslasoluçãochama-sesoluçãolrivialdo sistomahomogênêo. admitiroutrasoluçãoondêâs incógnitasnãosão lodasnulaq a soluçãoseráchamâdasoluQãonão.lrivlal. 158

t


SISÏEMAS LINEARES EQUIVALENTES Sedoissistemaslineares51e 52admitema mêsmasoluçáqelessãodiiossislemas€quivalentes. Exemplo: Calcularm e n, de modoque sejamequivalenÌes os sisiêmas:

f x y=r y= (2x+

fmx ny= I {n x t my = 2

5

ResoluÇão:

J

. Cálculode x e y. 2x+y=5

Substituindo-se x ê y no segundosjstema, vem: 2m- n = -'1 = 2 n +m=2

2m- n = 2m+4n = 4

2 m-n=-1

2m-1 =

1

_ t*

I

1

Resposta: m = 0en = 1.

EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM '''

2xÌ+3x,

xr=0

xl 2 x z + x j :5 xr + x2+x] =

3 ve,itiqueseo*isr(ma' ., Í':,: 2

a) Veriliquese(2, t, 1)é soluçãode S. b) Verifiquese(0, 0, 0) é soluçãode S. + = k' \Srseia o.isrema:ì3x ) [\-zy=K+r

9

Caìcuìe k pamqüeo 'i.lema'ejâhoÌo8èn<o.

:"

,,1 ,ì-i,-; ,"".,,.,.";.

d (l -L!e.r-S P lD (rc' mi l e a e b, de moJo que ,e l^ o\ \r\tcmâ\ 1 ., l am equrl arente( : . e Ì11- Ì- 4

la x + b y = l

159


EXPRE ssÃo MATRICIAL DEUMSISTEMA DE EQUcoEs LINEARES Dentrêsuasvariadasaplicaçõês, âs mâÌíizessão uÌilizadasnaresoluçãodeum sistema de equaçõeslineares. Sejao sisÌemalinear: + ... + ahxn = b1 + ... + a2nxn= b2

,t

:: + ... + amnxn= bm

ï,

ntarostesistemada seguintêformâ

Utilizando

l' ' I lx, I

tt=tl tt tttl

lx " t

lb 1I lb zI tl

lb " l

TT maÍizcoluna constlluída pêlasincó0nitas

maÍizcoluna dostermos independêntes

Obseíveque se vgcêefetuara multiplicaçãodas matrizêsindicadasirá obtero stsrema oaoo, Sea matíizconstituídapeloscoeflciênteg dasincógnilasÍorquadrada, o sêudeterminanle é dito determinante do sistema. t^

l 2 xr +5- x 2- &= 0 Exêmplo: Selao sistema: 14x1 3xz+ 6& = -1 lilx1 +

x " -à3= 8

poí meiode matrizes,da seguinteforma: Ele podeser repÍesentado

[íïi][ii]

tl 8l

t

I ExprcssematÍicialmente os sistemâs:

a1f z x+ y = s (x-3y=0

( - *+y+ "- t:z 2x- y+t= 0 ", - ' l 1 Y- z+ 31 =l \+2y z+4t= - 5 | 2 A c\pressãomatricial aleìrm sistemaS é:

2a+ b+c= -1 b) a +c=0 _3 a+5b-c=2

[: lr

sl [al il lbl -

l-+l I 7l

Determine as equaçõesde S.

160


quântoao númerodesoluçõês, Os sistemaslinearessãoclassificados, daseguintetorma:

REGRADECRAMER A íegrade Crameíconsistenum métodoDârâse resolverum sistemalinear. Veiamosa demonstraçâo dessaregraparaum sistemalinearde trêseeuaçÕes a três incógnitas. (auxr+ar"*r*a13x3=b1

Sejao sistêmâ:1a)1X1+ atxt + âÌxì = Dr la31xi+a32X2+â313=D3

f^ 412 â13 | Seiam dessesistema. _t^-A = la", ar) a' | â matrizincompleta - ^l

lo' Io'

ap 413 422 423 432 433

a matrizobtida deA,substituindo-se a colunadoscoeÍicien. tes de xr pela coluna dos termos independênÌês.

l,/lultiplicando: a'1?equâçãoporArl (coíatoídearì a 2? êquâçãopor 421lcoÍaiordeaã) a 39 êquaçãopor A31lcofalorde a3r)ê somandoos produtos,temos: â11411x11_â12A11x2+ â13A11x3= b1A1ì ã21421x1 t ã22Avx2 + aBA21x3 = b2421 a3rA31xl + 432431x2t â$A31xs = b3431 {a1jA1j + aã421 t a31A3tx1 + (aj2A11 + a22A,21+ a32A3ìx2 + (a1341í + a23421+ a$43ìx3 = b1411 + b2A21 + bsA3i

È

t

Nessaigualdade,convémdêstacarque: . A exprêssãoâÍAÍ + az1A2j+ fu1431, pelotêoíeínadeLâplace,podeseí repíêsentadâ por dêt A. . As expressõesâ124Í + a22421 + a$Â31ê arcAÍ * a23A2ì+ asA31são iguaisa 0. . A expressão blAÍ + b2421 + qA3r,peloteoremadê Laplacqpodeserrepresentada por det41. 161


Ì

Daí a igualdadeé expíessapor:det A x1 = det A1.

^ r-

detA

Do mesmomodo,se mulÌiplicârmosâ: 1: equaçãopor A1, 2f equâçãopor 422 3f equâçãopor A3r,âo somârmosos produlos,terêmos:

i

ti ; em queA2éãmaÍizobtidadêA, substituindo-se a colunadoscoêficientes oe xr-pelaJoluna dos têrmosindêpêndêntes. det A.

podêmosobtêr: Analogâmentê,

, em que A3é a mâtrizobtidade A,

substituìndo.se a colunados coeficientesde x3pêlacolunados têrmosindepêndentes. Genêralizândqnum sisÌemalineaío valorda incógnitaxi é dado pelaexpressão A é â matrìzincomplêtado sistema; em que: Ai é â matrizobtidadê A, substituindo.se as colunasdos coêÍicientesde x, pelacolunados termosindependenles.

.. x i = det A, d e tA

Vejamosalgunsexemplos. ( = 7 2l ^.. 19 exemplo:Resotvero----sistema , .I = -2 -(I x+5Y

Resotução: ^=[l |

-ll +dêÌA=11 7

^'=l_) "-

íl

à l=detar

- 33

det A, 33 ^ dêtA - 11 -"

n z = lì Y=

11

; l= d e rA r=

dêt A"

11

,

-;tãObserveque o sistemaé possívele determinado Resposfa. S = [(3, -1)] ( 2? exemplo:Rêsolvêro sistema - -----(I Hesotuceo: I í ' A =l j t-'-'t A . = l:

rl jl=detA =0 il-

logo: det A, ^ - dêtA = Besposta: S = A 162

-.,. +. = 5 :x I Y=2

detA . = -7

7

o

&= [- ]t]= d e tAv= 7

rmpossrver r = :Ë*

= f,im p o ssive r


i x , + 2 xr -

&= o

Resolver o sistema{ 3x1 4x; + 5& = 10 r39êxomplo: x2+ x3= 1 Ix1 + Resolução:. Cálculodo determinantê da matrizincompleta.

[r z -rl

A =1 3 4 5 l =d ê tA = - 12 [1 1 1 l . Cálculo do dêterminante dâsincógnitâs. I o r -rl

lr z ol

t

n,=lrõ r- dl-aeta,= -zn A:= ls a rol=detÁ:= o11 1 1l ll

1 0 310 1 1

1 lJ

1l 5 l +d e tA, = + 12 1J

. Cálculodas incógnitas.

,."=#nr. ==j =o

, =:1"-:i' = ---:-::=2 xz=

det A'

+1,

l;

"^,í.=-

=

1

O sistemaé possívele dêtermtnaoo. Fesposfa.S = l(2,-j,0)l

EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Resolvaos sistemasa seguit utìtizando a regÌ-a de Crâmer.

4 Determineo conjuntosoÌuçãoalosistema: x + y -1 0 : 0 x -z 5=0 y -z 3=0

")l ,i 13ï =')l'ï '. 3v. =s = * 2 Resolva ' ' - -o- sisrema: - '' -t2Í^" \+2 )^t |

I0

3 Resolva,utjljzandoa regrade Cmmer:

., \

( *+ z y z=2 y+3 2 =e 1 2 " "l (3x + 3y 22 = 3

fzu r* "=: b +2c=3

b) la

l a+b +

c-6

( 2"y -t"=t c) í- x + 3y + z= -10 l 3x+2 y -22= -2

5 Resolvaas equaçõesmatdciais:

"(?-l)(i):(,'ï

"(ií i)(')É) ó Ache o conjunto soluçãodo sistema ia+b+c+d=0

I I I

2a+5d=4 ì 3 c -2 d = 1 ,4b+ 3d:5

.

163


DISCUSSAO DEUM SISTEMA LINEAR â n incógnitas. Seiao sistemalinearde n equaçóes aÍx1 + 412X2+ ... + alnxn = bl ax(l + autY2+...

+.aàXn =b2

I an1x1+ an2x2+ ... + annxn = bn

Discutiro qistemaé saberseêleé possÍvel, impossível ou iídotgÍminado Utlllzando â Íegíade Cíâmer,lemos: .. = detA1 x..2= detA2 xt detA detA "

x" = detA" ìët Ã:

Vejamosalgunsexemplos. í_ 3x + my = 2 í9 6xêmolo:Discutiro sisteme ---- -LI x

Y=' r

Resolução: Vamoscalcularo valordosdeterminantes: l =l i

tl

_ ïl =d e tA =

- 3- m

Ar = li

-ìl -

A-, = l : t,

Íl,t= d e tA ' = 1

tl

d e tA í = - 2 - m

Fazendo: detA = 0 á -3 - m = 0 m=- 3 = detA1 0 -2 - m = 0 ín= 2 Diacussão: (sistemapossívêl S P D +mí-3 e del€rmlnâdo) (slstemapo8eÍvel sP l 3 e IndeteÍminado) (sistêmaimpossÍv€l) S l é m=-3 'm 164

I

r


2?exemplo: Determinar k, de modoqueo sistema l kx+2 y - z=0 {x-3 v+z=0 =2 l x+ú

a d mita soluçâo única.

Rêsolução: O sistemaadmitesoluçâoúnica,quandoé possívele determinado, isto ê detA + 0. 2 lk A =1 1 -3 11 0

1l l l =d e tA.o 2 l -6 k 5/0 _ 6 kr 5

t

k ' -+

Resposta: kt

39 gx€mploiDeterminaím, de modoque o sistema

x Y =2 x+mY +z=0 y-z=4 -x+

se iaincompatível.

Resoluçáo: A =l

0l | 1 -1 1 m 1 l =d êtA= 1 -1 1 l -1

0l 1 2 -1 A , =1 0 m 1 l =d e tA' = 1 4 1 -1 1

m

1

2m - 6

1 2 0l 'I 0 1 l =d o tAz= - + -1 4 ,1 1 A 3=l

1 1

| l-1

-1 2l m 0l=detA3 = 6 m+ 6 1 4l

Fazendo: detA =O+-m-1 = 0 detA 1 =0+

2m

detA g=0-

6m + 6 = 0

l%íam= z= *

ffi ffiffi$i

lteremos:x= --

(indetêrminado).

R esp o g íajS l 3m=-1.

6=0 m= 3

4 (impossivel). y = t-

õ

(impossível)e


EXERCICIOS DEAPRENDIZAGEM I Classifiquee resol!" os sisremas:

a'. (x * , =i ty = - r i: "

.(N +z r= s "ri * +y =4

.. íx + v = :

7 Determinea e b paraque o sistema

le " + ^ y= tz

t4x + 4y = b sejaindet€Íminâdo. I Qual o valor de p paraque o sisrema

o ) +' z y= I l z*

r , [n, x + py

I

2 Discutaos sistemas: a 1[,n +y=z

[*- Y= z b l fkx+y=1 tx + Y :2

3 (Faap-SP)Discuta o sistema

[zr,-ty =t,1 t x+kY=1-k 4 Determinek para que o sist€maiídicado seja determinado:

[r+y=s {3x

, =+

+ z = 0 admiraumasoluçãolinical

2y=k

tx+ky=5 5 Calculeâ pam que o sistema

l a - r- 2 y +u=t

[ -2\ + ay - 2a = I seja determinado (Sugeçrào: tÍansponeos termosque nào pos. suemìncógnitaspaÉ o 2: membro.) ó Calculeos \,ãloresde a pala que o sistema í3x+2v=l sejacompatrlqeoeleÍÌnrnado Iax - +i, O

9 Determineo valor de k paraqueo sjsÌema

q-r

(u

22 = 2 \4x (2Y-:*=:

seiaindeterminado. t

l0 Determineosvalores ileme k, demodoquese, ja compativele inde(erminado o sistema:

(

m"= - t "+ zy y+z=4

\3x l-b t + 4 y -2 2 = k ll (Fuvest-SP) Paraqüaisvalores dea o sistema {" * y * = t ìinearl2x + 3y +' 42 = a^ admiresolução?

I

t

zz=a'

| 2 Paraquevaloresd€ k o sisrema

I x+y +zz= r

\3x - y + 22= 3 z ( r + kz= é compatívele determinado?

DISCUSSAO DEUM SISTEMA DEEQUACÕES LINEARES HOMOGENEAS . Comojávimos,umsistemalinearhomogêneo é formadoporequaçõês cujostermosindêpendentes sãotodosnulos,istoé: a1jx1 + Afx2 +..,

+ ahxn =0

anxl + Au:X2+ ... + a2nxn = 0

An1\ + ad2x2+ ... + annxn

. Todosislemalineal homogêneoé somprepossível,pois admitea solução(0,O, . . ., O), chamadasoluçãotrlvial. 166

t


queparaumsistemahomogêneo Obsgrve teromossempre detA 1 = 0,de t A 2= 0 , .

,detA. = 0.

Fortanlo,paraadiscussáode um sistemalinearhoíhogêneo é suficienÌeo estudodo de. têrminantedos coêÍicientesdas incógnitas.

! -Í- "*y- r = o Exêmplo: Calcular o valorde m paíaqueo sistemâI x - y + mz = O tenhasomente =o lx + Y -z a soruçâo triviar. Feso/ução. Paraquêosistematenhasomente a soluçâotriviâ|, istoê,sêiadeterminado, é necessárioquêdetA . 0.

1 1 I

ffif ,18ffi

1 -11 1 1

ml =d e tn= 2m- 270 1) 2m- 2- m,1

Ím(R m*1 1

EXERCíCIOS DEAPRENDIZAGEM \,',Iü\ /Ì\Iassifique quanroaonúmerode.oluçóe'.o, ' seguintessistemashomogêneos:

=

r*, o a.rí:,, l - à x ' +ã x,=o ( x + y+u =o .

b){x

y-32=0

= lx + 4Y 0

VCalcule o r.alorde a oaraoueo sistema 'Iax+v:0 ^ dâ dilèrentes =-o renhâsoluçõe1 l* - í triüaÌ. t{oet.rrnin.rn It

paraqueo sisrema

l 2x- y+32=0 l x + 4y - 52:0 (3x + my + 22= 0

\fl:alcule / '

o valordea paraqueo sisrema lax + y + 2 = 0 \ 2 * -y + z -a = 0 a,/ 5 - 0 .eraimpo\.í\e.. {.ar-r

do ÁGuvest-SP)SejaM amatrizaloscoeficientes

f' ,, + a *

x,+ 2 \= o

lxr + xr+ 2rr+ xr+ ) x1 +2\2+ + xr+ xr+ (2xr

Àa=0 &=0 &=0

a) Calcule o determinantede M. b) Prcve que o sistemaadmite uma única soÌução.

tenhasoluçõespÍóprias. 167

'!


Vejamosalgunsexemplos:

(nx - s v = 2

19gxemDlo:Resolvero---'sìstema I ;:: + 4Y ;L = 1 0 -tzx

â 29equaçáopor 2 e trccandca de posiçãocom a 1f equaçãopara Reaoluçâo:Dividindo-se fazero coeficientede x iguala 1,vem: I.

) x+zY =5

t4x -3y = -2 x, multiplica-se a 19equaçãopor(-4) e soma-se c$m Paraeliminaía incógnita a 2i equação:

lx + z y= s

-11y = -22

|

Da2?equaçãqvem: 1 1 y= -2 2 -y =2 y = 2 na 29êquaçãqtemos: Substituindo x +4 =5 3 x=1 Observâção: somente os coeÍicientes, istoé,a mâFodomos resolver estesislemautilizando ao sistemada sêgulnleforma: trizcompletaassociada

I't

z

1 4 -3

I'r l0

5l f9

-2-

z

11

sl

221

Da2?equaçáo, vêm: 1 1 y=-2 2 )y=2 Substituindo na 1i equaçáqtemos: x +2 Y =5 -x+4 =5 FesposÍaj S = [(1,2)]

29ex€m9fo:

Íx+2y+42=5 Resolver o sistema l2x - y+22=8 (3 x 3Y- z=7

x é aÍ = 1. Resolução: O coeÍiciente da primeiraincógnitâ . Ìúulliplicando por(- 2)e por(- 3),e somana primeira equaçáqrespectivamente, oblemoso sislemaequivalente: do,respectivamonte, comâ 29e 39equações,

lx + z y + t z = {

-5y-

62 =

5

= -8 [ -w-tsz 169


RESOLUCÃO DEUM SISTEMA LINEARPOR ESCALONAMENTO â)Sistemaescálonado Um sislêmalinearé dito escalonadoquandoeslá dispostonâs seguintesformas:

l x + 3 y=4 ( 0 x + y=1

l x+2 y-z=2 e í0 x.r5 y+z=1 to x +0 y z=7

I

na pÍimêirâequaçãoaparecemtodâsas incógnitas,na 2?desapaÍecea in. Observeq-ue cógnitax, na 39 desaparecêa incógnitay, e assimsucessivamãnte. b) Métododo €scalonamento procêssode resoluçãode um sistemalinearque envolveâ eliminaçãode incógnitas . O è, denominado métododo oscalonemênto Estemétodoprocuíâtransformarosistemadadoemsistemasequivalentes ítêma mes" ma solução),ate chegara um sistemaêscalonado, usandoas sêguintespropriedades: . Trocaras posiçôesde duasequações. . Trocaías incógnitasde posição . Dividiruma das equaçõespor um númeíorealdiÍerentede zêro . Í\4ultiplicar umaêquaçãopor um númerorêalê adicionaroresultadoa outraequaoáo

. Aplicaçãodo método Sejâo sistema 411X1+ ãpx2 + 413x3+ ... t â1nxn= b1 axxl + 422x2 * azsx: + ... +az.xn= b2 :: -f a.3x3 + ... + amnxn= Dm

ParâtransÍormá.lonum sistemaescalonadqdevemosprccedêrda seguinteforma: . Tornaro coeficiênteaÍ igualâ 1. . Tornariguaisa zeroos coeficientesde x1nas êquaçóes abaixoda 1?. Localizadas . Fazer,se houvêrnecessidâde, o coeficiêntede x2na 2a equaçãoiguala 1. . Tornariguâisa zeroos coeficientêsde x2nas êquaçóeslocalizâdasabaixo da 2: ê assim sucessÍvamentê. aÌé obtêrum sistemaequivalentêna formaescalonada. Daúltima.equaçáo, âchâ.seovalordâ incógnitaxn,quêsubstituídona penúltimaequa_ ção permileencontíaíxn 1,e assim por diantecom os valoresde x3,;2 e xj. 168

t


rr . Dividindo-se a 29 equaçãopor -5, vem:

x+2 y+4 2 =5

= " , 9, Z l3z=

-gy-

8

. Multiplicandose por(9) a 29êquâçâo e somando-èe coma3aequaçâq vem: = lx + 2y+ 42 5 ) ,,-6 .-2

i*'

í

iti'. gi:,

11_

^

22

Dâ 3: equaçâqtemos:

Ì:r l

-!z=

L

4

-z=z

Substituindo-se na 29 equação.vem: .. 12 2 ^ Dâ 1i equaçáqlemos: x-4+8=5=x=1 Utilizandoa matrizcompleta,podemossimplificarã resoluçâo

l.

z

4 51

281 12 -1 13 3 -l 7l

Irz4 5l

l 0 -5 [0 -s

6 -13

2l : 8l

-1 3

,8

lrr4 s lo r9Z lc5

l0

I

It

z

4

"

11 c

lor 9?l I

l" I

c

5l

o

ls

cl

22 1 cl

Da 3? equação,vem: Ë z=

-z=2

Substituindona 2i equaçâo,temos:

v+9

=? =v= z

Substituindo na 1?equaçãqobtemos: = 1 x-4 +8 =5 +x Resposta: s = t0,-2, 2Ì 170

_r


( a t bt c= Rêsolveí o sistêma 39sx€mplo: 13a - b + 2c = 14. c= - 3 l 2 a -2 b + Resolução:Utilìzando têmos: a matrìzcomplêta, 1 1 1, l oÉ à l1 2 14l--ì-1 13 Í

L2 -2 1 11 1 l 0 -4 [ 04 1 11 1 4 l0 0 l0

-3 1 +

1 1

12| ,^. -221 \-'t)

t

1 1 0

Da 3i equaçãqtemosl 0a + 0b + 0c = -5 (impossível) Reêposta: S = A)

( x+2v -z = q 4 : e xe m p fo: i Íesotvero srsrema _ y-z = S L3X Resolução:Obsêrvequeo númerode incógnitas(três)é maioído queo númerode equações (duas). Utilizândoa matrizcomplêtâ,têmos:

2 -1 lr 13 -i i 5 l

l't"141 7

l0

4l

4

!-3 ' "-

7l

é: O sistemaequivalente

lx+ \ - z = a 7y+42:

I

7

Noteque o sistemaé indeterminadqporém,fazêndoz = a, obtemosa solução geral: . Da 2l equação

-7y + 4a = -z - v = a^ï 7 ? equâção X+

Fesposta. S =

,Wl-a=+-x=14ía

$.'+'41 171


r r =g íl t-gv* 59ex€mpfo: Resolvor o sistemal3x + y + 42 = -1 [5 x - r y+ 32=2 Rosoluçáo: Ìocandoa 3?colunade posiçâocomâ 1:,temos: z-3 y+4 x=3 4 2 + yl -3 x= 1 3 z-2 y+5 x=2 Utilizando a matíizcompleta, lemos:

3 l ìG

[r -a13r

-l J ---:-

14

Ì

!

2l13 2s 4 3l Ít -s rs r3l ,r) -rs lo l0

7

-7

lr

s

4

-7 1

3l ,.---

1 1 l0 107771 4 l 1 -3 1 -1 l0 [0 0 0

-1 1 i- 7,

+ sistema indererminado

il

Fazêndcse x = À,vem: . Da 2i equação y-I= 1 -1 -y=À . Da 1: equação z 3(À -1)+4ì=3+z= Re sp o sla. S = i0,ì- 1, -\)l

-l

6? gxgmplo:Qualo valorde m parâque o sislemaa seguirtenhâsoluçãoúnica?

fmx+ 3y = tz t4x - y =10 Resolução:Opeíandocom a matrÍzcompleta,lemos:

[m [ 4

o rzl*1

,1

101+

l@ Ir -r3 ro 121 lm l.

l'

[m

- T1

5l

zl

-i

-m

mr fZ

3 12t

5 2 4 -5 m

Da2: equaçáo, vem: l m+1 2 I = 2-------4 5m l-^

tt

Obsêívândo estaequação, verificâmosque o sistemaserápossívele delerminadose

ÃL 1 t

Resposta: m I -12 172

;

-

/ -0,istoé . m

12.

f


\y'

EXERCICIOS DEAPREN DIZAGEM I Resolvaos sistemâs:

ó Discuta os srstemas;

.,[ x + 2 y=t -'t l 3 x+X y=9

a tl a x-2 y =8 Ix+5 y= -9

üí z*-r-q

.- í:x+lv=l D '{:x + zy = 2

(-ax+6y=

-8

a+4 b +3c=l a- 3 b - 2x.=5 2 a +5 b +4c:4

sejaIndetenrunado l

8 CalculeosvaloÍesde k em, de modo que o s$í,.-. . : temalinear | Ï - 'v ' seiaimpossivel. (aY:

5 xr 4 y- 22=O x+ 8y- 22=O 2 .,{+ y- z=O

9 Determinem, de modo que o sistemaa segur se.,adeterminado

3 Resolmo sistema:

3x- y+mz=r Í x+ y+42=0 I -2x +4y z=3 [

z + t=2 í x+ y+ 5 I x- y- 2 2 - 3t= t= -9 \2 x+y- 3 1 '+ z + t= -6 l3 x- y-

lO Ache o llalor de k paÌa qu. o .irt"."

4 Àcheo !ãlor dey Íro sistema:

( *++y-

x+ y+ z=0 y+mz=2 I "z=l tmx+2y+

7 Detemine k, parâ que o sistemâ I4x+Ln:14 Ì|g + 9i:2l

2 Resobaos sistemas:

b)

a) [x+3y=ab)[ (2x+by=4

y xz=O x- 2y -22 =0 2x+ky+ z=0

z =r

l 4 x + 5 y + 2 2 =1 2 2 y + 32 =8 Ix 5 DeteÍmineo conjuntosoluçãodossistemas:

a t í z x + y+ z=5 l - 2 x + y+ z-L

b ) i :** y=3 l 5 x+3 y=1

(2x+5Y+52=17

[x-aY=7

adrnitasoluF€spóprias.

ll Para quevaloresreaisdep e q o seguintesistema não admite soluçãol

( 3x+py+az:o 5 l- x + y+32: {2x-3y+

z:q

EXERCíC|OS DEF|XAçÃO 233 Achem,demodoque( - l, 2, - 3)sejasolu- 4b + mc : 0. çâodâequaçãolinear2a 234Resolmos sistemas:

a \ [ 2 , - y = rsb ) [x +y+2 2 : - r l' x + 3 y=2 5 l 4 x+y+4 2 : - 2 y+2 2 =-4 [2 x 235 Resoll"4utilizandoa regradeCramer:

2 a - 3 b+c=2 3 a + 2Ì=o b-c+d=

-4

23ó Calcule o valor de t no sistema:

Ix + y + z + t: o l2 x -y + t = l ly + z -2 r: o l4 y + 3 2 = 7 237 Resolvao sistema: -s e n a [ * * ru * y . s e n a : t x (-s e n a ) + y . c o s a = c o s a 23E (Fuvest-SP) AcheÍrLdemodoqueo sistema t +.."o":0 naincógnitâ x f "o" mseux: I teúa solução [cosx173


239 nesolvâ asequaçòes:

249 Acheo conjuntosoluçãodo sisrema abaixo, por escalonam€nio.

rì /-ì /rì /r _r/ *,(r ", (y / \5/

,= t íx+ zy+ l3x+ y- 1r z= - 2 l2x+3y - z= l

o,(? tì í,ì=í\ rì r/ \y/ // \r

250 Resolva,por escalonamento, o sistema:

240 Ounesp)Derermineumvatordepquetome incompatíveÌ o seguintesistema:

l2a+3b+4c=s ia+ b+ c=2

( *+ zy-s" -t l2 x (ix

6y+pz=9 ay z=p

[4a-5b+2c=3 251 Resolvao sistema:

241 Calcule o valordea, paraqueo sistema sejacompativel e f,, * y = r = t3x + 3Y a + I d€termjnado.

lt x + y

242 GEI,SP)Derermine a€ b paÍaqueo sisrema f1 a tlr+(â+b)y=a {ta' u':rr+ {a2+ b1y = b admitaumaúniôâsolução. --")

z=

z

7x 2z=1 | 5y+32= -1 | 252 Resolvao sistemapor escâlonamento:

f z x + : yy ++2+2z==2e

1" \\+1y+22=7 253 P.esolva, por escalonâmenro, o sistema:

243 Discutao sist€ma:

x+y-z+r=0 x-y+z-t=2 x+y+z-t= x-y z-Ì=

3 z =l o

f r x++yr+ z = ó Íx (4x+y+pz=q

4 4

244 Calcule os ralores de a para que o sist€ma 254 Discura,por escalonamertqo sistema: (_",",=_, -r-a fzr+my=: reìacompaÌivele l*:" 8y = 0 {mx 2y + 42 = 5 determirÌado. lüt255 Determinem, paraqueo sisrema

í**u n r=t 2 4 5o a a oo si ste rn l xa+;4 J+z=a , l 2 x.+2 y+(3 -a \z= b,

í+r+rm-2tr=o i0 i r. ' rx iri

(eÌârmpo'trver'

calculeosvaloresdea e b, paú queestesiste- 25ó Calculemep,deformaqueosistemaseguÌnma seja compativ€le indeterminado. te sejaimpossível. 24ó Calcule o vaÌor de \ para que o sistema

[x+y

v=o

{x + Ày z = 0 {x + ô + l)y + z = 0 âdmita soluções(\ y, z) distintasde (0, 0, 0). 247 Determineos valoresde a pâra que o sistema

f **'"

y= o

2cosa=0 (x+y nasincógnitasx e y tenhasotuçõesdiferenrcs da rriviâ1. 248 Calculeo valor de ). para que a equaçãoma,

/À a s -a\ /x \ /o\ Ìr i ciar 0l l y l =l 0l | -t ^t Illzl I 0 l0l seiaindeterminada. 174

13\+2y=4Íí,+4

(6x

(p+2)y=l

257 Calculemep,deformaqueosistemasegüinte seja ind€terminado.

fo"+ 1- - 1y = l {9x-2y=p+l 258 Ache o valor de a para que o sistema

liir ï

.' i _ l

te n h a m a ;sd euma s o ru ç a o '

lz r+ : y + lz = a 259 Calcule X,demodoqueo sistema a seguirseja impossível. (x + 3 y + 4 2 = t

I |

v+\'=z

2x+22=3

Í


cap.12 - SISTEMAS LINEARES