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Clase VI Distribuci贸n de Probabilidad Discreta y Continua

Prof. Llendy Gil

Estad铆stica y Probabilidad II

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Introducci贸n Una distribuci贸n de probabilidad proporciona toda la gama de valores que se Pueden presentar en un experimento. Es similar a una distribuci贸n relativas. Pero en lugar de describir el pasado, describe la probabilidad de que un evento. Se presente en el futuro.

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¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD? Indica en una lista todos los resultados posibles de un experimento, junto cola probabilidad correspondiente a cada uno de los resultados.

Característica de una Distribución de Probabilidad 1.- La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive 2.- Los Resultados son eventos mutuamente excluyente 3.- La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las Probabilidades de los diversos eventos es igual a 1 Prof. Llendy Gil

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Ejemplo: Supongamos que queremos conocer el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda al aire (Experimento). Los posibles resultados son:

0, 1, 2, y 3 caras. Pregunta: ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?

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Soluci贸n: Hay ocho posibles resultados: En el primer lanzamiento puede caer cruz (T), otra cruz en el segundo y otra en el tercero.

O puede caer cruz, cruz y cara (H), en ese orden.

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TABLA DE PROBABILIDADES Resultado posible

Primero

Segundo

Tercero

NĂşmero de caras (H)

1 2 3 4 5 6 7 8

T T T T H H H H

T T H H T T H H

T H T H T H T H

0 1 1 2 1 2 2 3

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA LOS EVENTOS Número de caras x 0 1

Probabilidad del resultado P(x) 1  0.125 8 3  0.375 8

2

3 8

3

1  0.125 8 8  1.000 8

Total

 0.375

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VARIABLES ALEATORIAS Es la cantidad que da como resultado de un experimento, y debido al azar, puede tomar valores diferentes. Pueden ser variables aleatorias discretas o continuas

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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA • Variable que solo puede tomar ciertos valores claramente separados. Ejemplo: Las puntuaciones otorgadas por los jueces a los deportistas de Danza Rítmica son cifras decimales como: 7.2, 8.7 y 9.7.

Son discretos porque existe una distancia entre estas puntuaciones por ejemplo: entre 8.7 y 8.8 no puede ser la puntuación 8.74 o 8.747. Prof. Llendy Gil

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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es la cual puede tomar un valor de una cantidad infinitamente grande de valores, dentro de ciertas limitaciones.

Ejemplo: La distancias (en millas) entre la Tierra y la Luna es de 238857.1234 millones, y as铆 sucesivamente dependiendo de la precisi贸n de dispositivo de medici贸n.

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Media Varianza y Desviación Estándar de una Distribución de Probabilidad MEDIA  Es un valor típico que sirve para representar una distribución de probabilidades.  También es el valor promedio, a largo plazo de la variable aleatoria.  Es conocida también como su “valor esperado”

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MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Formula:

   x.Px 

P(x) = Probabilidad que puede tomar la aleatoria x

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variable

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Ejemplo:

Juan Pablo Torres vende automóviles nuevos de la agencia TroncoMovil. Generalmente, los sábados vende el mayor numero de vehículos. El Sr. Torres, tiene la siguiente distribución de probabilidad que espera vender en un día sábado en particular Número de automóviles

Probabilidad

vendidos

P(x)

x 0

0.10

1

0.20

2

0.30

3

0.30

4

0.10

Total

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1.00

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Pregunta: En un sábado común, ¿cuántos vehículos espera vender? El número medio de automóviles vendidos se calcula estimando la cantidad de vehículos vendidos, con la probabilidad de vender ese número, y luego se suman todos los productos aplicando la fórmula:

   x.Px 

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Reemplazando:

   x.P( x)   0(0.10)  1(0.20)  2(0.30)  3(0.30)  4(0.10)   2.1   2.1

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Tenemos la siguiente tabla: Número de automóviles vendidos x

Probabilidad P(x)

x . P(x)

0

0.10

0.00

1

0.20

0.20

2

0.30

0.60

3

0.30

0.90

4

0.10

0.40

Total

1.00 Prof. Llendy Gil

= 2.10 16


¿Cómo interpretar la media de 2.10? Este valor nos indica que, en un gran número de sábados, el Sr. Torres espera vender un promedio de 2.10 vehículos por día. Por tanto, a la media se la denomina valor esperado ya que desde luego no se puede vender 2.10 autos.

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VARIANZA

 Se

utiliza para describir el grado de dispersión o variación en una distribución de probabilidades.

VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Fórmula:

2

  ( x   ) .P( x) 2

σ  Varianza 2

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Pasos para calcular la Varianza 1. 2.

Restar la media (u) a cada valor (x) y elevar la diferencia al cuadrado. Multiplicar el cuadrado de cada diferencia ( x  ď ­ ) 2 , por su probabilidad (P(x)). 3. Sumar los productos resultantes para obtener finalmente la varianza.

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Ejemplo: Del mismo ejemplo anterior de la agencia TroncoMovil del Sr. Torres. N煤mero de autom贸viles

Probabilidad

vendidos

P(x)

x 0

0.10

1

0.20

2

0.30

3

0.30

4

0.10

Total

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1.00

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Pregunta:

¿Cuál es la varianza de la distribución? Aplicando la Fórmula:

Debemos encontrar Tenemos: P(x)

 2   ( x   ) 2 .P( x)

(x  )

2

ya que:

Probabilidad P(x) 0.10 0.20 0.30 0.30

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0.10

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Obtenemos lo siguiente: ( x   ) 2 .P( x) P(x)

0.10 0.20 0.30 0.30 0.10

(x  )

(x  )

2

( x   ) 2 .P( x)

0 – 2.1

4.41

0.441

1 – 2.1

1.21

0.242

2 – 2.1

0.01

0.003

3 – 2.1

0.81

0.243

4 – 2.1

3.61

0.361

Total

= 1.290

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La desviación estándar (  2 ), es la raíz cuadrada de la varianza. Entonces tenemos:

 2  1.290  1.136 automóviles Dejando como conclusión que el Sr. Torres tiene una variabilidad en las ventas sabatinas de 1,136 autos. Prof. Llendy Gil

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BERENSON, M.L. y D.M. LEVINE. 1984. Estadística para Administración y Economía. Conceptos y Aplicaciones. Edit. Interamericana. México, D.F. CABALLERO, W. 1981. Introducción a la Estadística. Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura (IICA). San José, Costa Rica. CHAO, L.L. 1993. Estadística para las Ciencias Administrativas. 3ra. Edic. Edit. McGraw-Hill. Bogotá, Colombia. HERNANDEZ, S.R.; C. FERNANDEZ COLLADO y P. BAPTISTA LUCIO. 1991. Metodología de la Investigación. Edit. McGraw-Hill Interamericana de México, S.A. de C.V. México. INFANTE, GS y G.P. ZARATE de LARA. 1990. Métodos Estadístico. Un enfoque interdisciplinario. 2da. Edi. Edit. Trillas. México, D.F.

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