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con mayor probabilidad se encuentran entre a 0j − σ j y a0j + σ j . Adem´as, la distribuci´on (A.10) es id´entical a la distribuci´on normal (A.1), y verifica:  ∞ P(a j )da j = 1, (A.11)  ∞−∞ < a j >= a j P(a j )da j = a0j , (A.12) −∞

< a2j > − < a j >2 = σ2j ,  a0 +σ j j P(a j )da j = 0.6835 a0j −σ j

(A.13) (A.14)

Las ecuaciones (A.11) y (A.12) nos dicen que la funci´on de probabilidad (A.10) est´a normalizada a la unidad, y que el valor medio de los par´ametros es a 0j . La ecuaci´on (A.13) indica que la variancia de (A.10) es σ j . Finalmente, la ecuaci´on (A.14) dice que la probabilidad integrada entre a 0j − σ j y a0j + σ j es del 68.35%. Estos par´ametros que est´an entre a 0j − σ j y a0j + σ j podr´ıamos considerarlos como aceptablemetne buenos. Ahora debemos de tener en cuenta de que tenemos M par´ametros. En consecuencia, la probabilidad para los valores a1 , ..., a M , ser´a P(a1 , ..., a M ) =

2 1 e−χa /2 , (2π) M/2

(A.15)

donde χ2a

⎞2 M ⎛  ⎜⎜⎜ a j − a0j ⎟⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ . = ⎜⎝ σ ⎠

(A.16)

j

j=1

Por lo tanto, los valores de los par´ametros que van a conducir al mejor modelo ser´an aquellos que maximicen (A.15), esto es, que minimicen (A.16). Como el m´ınimo de χ 2a , que podemos llamar (χ2a )min , es 0, se cumple la condici´on de que a 01 , ...a0M es el conjunto de par´ametros del mejor modelo. As´ı, a medida que los par´ametos difieran de esos, χ 2a va a ser cada vez m´as mayor, de manera que el modelo va a ser cada vez peor. Sin embargo, calcular χ2a es imposible, dado que desconocemos los valores de las variancias σi . No obstante, si que podemos conocer la probabilidad de cada χ2a ; y, esto va a ser suficiente para estimar el rango de los par´ametros que conducen a buenos ajustes. Para calcular esta probabilidad, se va reescibir la ecuaci´on (A.16) como χ2a =

M 

y2j ,

(A.17)

i= j

con yj =

a j − a0j σj

.

(A.18)

∞ donde Γ(a) = 0 ta−1 e−t dt es la funci´on gamma. As´ı, con este proceso que hemos desarrollado, hemos conseguido asignar una probabilidad que nos da cuenta de la bondad de par´ametros que difieren de aquellos del mejor ajuste, y que solo depende del valor de χ2a . Contra mayor es χ 2a , menor es P(χ 2a , M) y peor ajusta el modelo. En la ecuaci´on (A.14) hemos visto que los par´ametros que conducen a un modelo aceptablemente bueno son aquellos tales que la probabilidad integrada hasta ellos es menor o igual a 0.6835. Diremos que estos par´ametros est´an dentro de 1 σ. Bas´andonos en este hecho, ahora, por convenio, tomaremos como par´ametros de un modelo aceptablemente bueno, aquellos que conducen a un χ 2a tal que la probabilidad integrada de (A.20) hasta este χ2a es menor o igual que 0.6835; es decir, que est´an dentro de 1 σ. As´ı, para un modelo de M par´ametros, podemos definir Δχ21σ,M como aquel χ 2a tal que la probabilidad integrada de (A.20) es 0.6835. En consecuencia, diremos que un modelo est´a dentro de 1 σ si 0 ≤ χ2a ≤ Δχ21σ,M , con  Δχ2

1σ,M

0

(A.21)

P(χ2a , M)dχ2a =

γ(M/2, Δχ21σ,M /2) Γ(M/2)

= 0.6838,

(A.22)

x donde γ(a, x) = 0 ta−1 e−t dt es la funci´on gamma incompleta. De la misma manera podemos decir que un modelo de M par´ametros est´a dentro de 2 σ si 0 ≤ χ2a ≤ Δχ22σ,M , con  Δχ2

2σ,M

P(χ2a ,

M)dχ2a

0

(A.23)

=

γ(M/2, Δχ22σ,M /2) Γ(M/2)

= 0.95.

(A.24)

´ a los parametros ´ A.4. Aplicacion de un modelo

En la subsecci´on anterior, hemos visto que el modelo que mejor ajusta es aquel cuyos par´ametros cumplen χ 2a = 0; tambi´en vimos que buenos ajustes se obtienen con modelos de par´ametros que satisfacen 0 ≤ χ2a ≤ Δχ21σ,M , con Δχ21σ,M calculado a partir de (A.22). Sin embargo, e´ sto no nos sirve de nada dado que somos incapaces de calcular χ 2a a partir de los valores de los par´ametros. No obstante, una manera de estimar los mejores par´ametros es hacer uso conjunto de los resultados de las subsecciones (A.2) y (A.3). En la subsecci´on (A.2), vimos que la minimizaci´on de χ2 , dada por la ecuaci´on (A.9), permite obtener el valor de los par´ametros, a 01 , ...a0M , que conducen al modelo que mejor ajusta. En esa subsecci´on, al m´ınimo de χ 2 , lo denominamos χ 2min . As´ı, asumiremos por convenio que los par´ametros que conducen a los mejores modelos son son aquellos que llevan a un χ 2 , tal que

Dado que, de acuerdo con (A.10), la probabilidad de y i viene dada por

χ2min + Δχ21σ,M ≤ χ2 .

1 P(y j ) = √ e−y j /2 , 2π

Diremos, entonces, que estos modelos est´an dentro de 1 σ. Algunos valores para Δχ 21σ,M , para diferentes M, son: Δχ21σ(M=1) = 1.000, Δχ21σ(M=2) = 2.296, Δχ21σ(M=3) = 3.526, Δχ21σ(M=4) = 4.720. De la misma manera diremos que un modelo est´a dentro de 2 σ si χ 2min + Δχ22σ,M ≤ χ2 , con Δχ22σ(M=1) = 1.000, Δχ22σ(M=2) = 6.177, Δχ22σ(M=3) = 8.026, Δχ22σ(M=4) = 9.717.

(A.19)

la probabilidad de χ 2a va a ser(9) P(χ2a , M) =

2 1 (χ2 )(M/2)−1 e−χa /2 , 2 M/2 Γ(M/2) a

(A.20)

(A.25)

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Haziak 01  

Estudio atmosférico a partir de los datos de los registrosde temperaturas de la sonda estratosférica Haziak1

Haziak 01  

Estudio atmosférico a partir de los datos de los registrosde temperaturas de la sonda estratosférica Haziak1

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