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José Anchieta da Silva

Série

Concursos Militares Provas Comentadas de Matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) Livro I

Editora Vestseller Fortaleza - Ceará 1ª Edição - Março 2013


Erratas e atualizações Foi feito todo um esforço para entregar um livro livre de erros técnicos ou de conteúdo, porém, nem sempre isso é conseguido. Sendo assim, criei um grupo no Facebook® onde relatarei, com a devida correção, qualquer erro encontrado e onde aguardarei sugestões e críticas para melhoria do trabalho. Facebook - Erratas da Série Concursos Militares: http://www.facebook.com/groups/287189181384402 ou através do atalho www.vestseller.com.br/anchieta


Índice/Sumário Capítulo I – Questões da EsPCEx Notações matemáticas utilizadas Lógica Matemática / Matemática Básica Conjuntos Numéricos Funções (Conceitos) Função do 1º grau Função do 2º grau Função Modular Função Exponencial Função Logarítmica Trigonometria Contagem e Análise Combinatória Probabilidade Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Sequências Numéricas e Progressões Geometria Espacial de Posição Geometria Espacial Métrica Geometria Analítica Polinômios Números Complexos Matemática Financeira Capítulo 2 – Solução das questões Questões comentadas da EsPCEx Capítulo 3 – Apêndices Apêndice A - Equação do 2º grau Apêndice B – Inequação produto/quociente Apêndice C – Inequação do 2º grau Apêndice D – Efeitos gráficos devido às transformações simples ocorridas em funções Apêndice E – Triângulos retângulos pitagóricos Apêndice F – Equações Matriciais Respostas Bibliografia

Questões [01, 07] [08, 10] [11, 27] [28, 34] [35, 45] [46, 52] [53, 67] [68, 90] [91, 127] [128, 140] [141, 145] [146, 163] [164, 178] [179, 185] [186, 209] [210, 214] [215, 218] [219, 221] [222, 225] [1, 225] -

Página 15 16 [17, 19] [19, 20] [20, 25] [25, 28] [28, 32] [32, 34] [34, 37] [38, 44] [44, 56] [57, 60] [60, 61] [61, 66] [66, 69] [70, 72] [72, 81] [81, 83] [83, 84] 84 85 87 [89, 263] 264 [266, 273] [274, 284] [285, 286]

-

[287, 290]

-

291 [292, 298] 299 300


CAPÍTULO 1

QUESTÕES DA ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO ( EsPCEx )


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

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LÓGICA MATEMÁTICA / MATEMÁTICA BÁSICA 01. (EsPCEx-02) Em uma empresa, o acesso a uma área restrita é feito digitando uma senha que é mudada diariamente. Para a obtenção da senha, utiliza-se uma operação matemática “#” definida por: a#b = 4a(a + 2b). A senha a ser digitada é o resultado da conversão de um código formado por três algarismos, xyz, através da expressão x#(y#z). Sabendo que a senha a ser digitada é 2660, e o código correspondente é 52z, então o algarismo z é [A] 1

[B] 3

[C] 5

[D] 7

[E] 9

02. (EsPCEx-02) Duas grandezas são tais que: se x = 5, então y = 11. Dessa forma, pode-se concluir que [A] se x ≠ 5, então y ≠ 11 [B] se y = 11, então x = 5 [C] se y ≠ 11, então x ≠ 5 [D] se y ≠ 11, então x = 5 [E] se y = 5, então x = 5 03. (EsPCEx-05) A análise do solo de certa região revelou a presença de 1 37,5 ppm (partes por milhão) de uma substância química. Se a densidade do solo analisado é de 1,2 toneladas por metro cúbico, então a quantidade dessa substância, presente em 1 ha do solo, considerando uma camada de 30 cm de profundidade é Dados: 1 tonelada vale 1 000 kg; 2 1 ha (hectare) é 10 000 m . massa densidade = volume [A] 125 kg

1

[B] 135 kg

[C] 1 250 kg

[D] 1 350 kg

[E] 3 750 kg

Nota: ppm ou partes por milhão não possui unidade de medida, éapenas uma razão.

Exemplo: 10 ppm de uma substância em cada 1000 kg é o mesmo que 10 1  1000 = dessa substância em kg (mesma unidade adotada) ou 0,01 100 1000000 kg, que é igual 10 g da substância em 1000 kg.


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CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

39. (EsPCEx-02) A figura mostra uma função quadrática, definida por 2 f(x) = –x + 6x + 7, e uma função afim g(x). O ponto V é o vértice da parábola e P é uma raiz da função f(x). O gráfico de g(x) passa por esses dois pontos. O valor da ordenada onde o gráfico da função g(x) corta o eixo y é [A] 2 7 [B] 2 [C] 4 9 [D] 2 [E] 6

40. (EsPCEx-02) O gráfico que melhor representa a parábola da função 2 y = px + px – p, p  R*, é [A]

[B]

[C]

[D]

[E]


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

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107. (EsPCEx-05) Um topógrafo, querendo conhecer a altura de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi [A] 15 3 m [B] 12 3 m [C] 10 3 m [D] 20 3 m [E] 40 3 m 108. (EsPCEx-05) A água utilizada em uma fortificação é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água localizada a 50 m de distância da bomba. A fortificação está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções bomba-caixa d’água e caixa d’água-fortificação é de 60º, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a fortificação, quantos metros de tubulação são necessários? [A] 54 metros. [B] 55 metros. [C] 65 metros. [D] 70 metros. [E] 75 metros.

109. (EsPCEx-05) Na figura, as circunferências são tangentes entre si e seus 1 raios estão na razão . Se a reta r passa pelos centros O e O’ das duas 3 circunferências, e a reta s é tangente a ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede 1 [A] arcsen 3 1 [B] arctg 2 [C] 60º [D] 45º [E] 30º


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CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO 179. (EsPCEx-02) Considere as afirmações abaixo: I – Se um plano encontra outros dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas. II – Uma reta perpendicular a uma reta de um plano e ortogonal a outra reta desse plano é perpendicular ao plano. III – Se a intersecção de uma reta r com um plano é o ponto P, reta essa não perpendicular ao plano, então existe uma única reta s contida nesse plano que é perpendicular à reta r passando por P. Pode-se afirmar que [A] todas são verdadeiras. [D] apenas II e III são verdadeiras. [B] apenas I e II são verdadeiras. [E] todas são falsas. [C] apenas I e III são verdadeiras. 180. (EsPCEx-08) A ilustração a seguir representa um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH e um prisma reto triangular de base EHJ seccionado por um plano, gerando o triângulo isósceles ADI, cuja medida AI é igual à medida DI. Diante das informações acima, podemos afirmar que [A] a reta JH é ortogonal à reta DC. [B] as retas EJ e FG são reversas. [C] a reta IJ é ortogonal à reta EF. [D] a reta AI é concorrente à reta BC. [E] a reta AI é paralela à reta EJ.

181. (EsPCEx-09) Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. Dentre as afirmações abaixo I – Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes. II – Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares. III – Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares. Pode-se concluir que [A] somente a I é verdadeira. [B] somente a II é verdadeira. [C] somente a III é verdadeira. [D] as afirmações II e III são verdadeiras. [E] as afirmações I e III são verdadeiras. 182. (EsPCEx-11) Considere as seguintes afirmações:


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CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

185. (EsPCEx-12) Considere as seguintes afirmações: I. Se uma reta r é perpendicular a um plano , então todas as retas de  são perpediculares ou ortogonais a r; II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano  é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com  um ângulo de 60°; III. Dados dois planos paralelos  e , as interseções entre esses planos serão retas reversas; IV. Se  e  são dois planos secantes, todas as retas de  também interceptam . Estão corretas as afirmações [A] Apenas I e II [D] I, II e IV [B] Apenas II e III [E] II, III e IV [C] I, II e III

GEOMETRIA ESPACIAL MÉTRICA 186. (EsPCEx-01) Denomina-se rolamento a um dispositivo mecânico constituído por dois anéis em forma de casca cilíndrica e um conjunto de esferas. Desejando obter o volume de uma das esferas de aço que compõe o rolamento dado na figura 1, sem desmontá-lo, e não dispondo de todos os instrumentos necessários para executar as medições, um estudante executou os seguintes procedimentos: a. Com os instrumentos de que dispunha, mediu o anel interno, em forma de casca cilíndrica, obtendo 3,46 cm para o diâmetro interno, 4 cm para o diâmetro externo e 1 cm para altura; b. Repetiu as operações para o anel externo, anotou as medidas e calculou o 3 volume, obtendo 3,8 cm ; c. Lembrando o princípio de Arquimedes, que afirma que o volume de um objeto imerso num recipiente com líquido corresponde à variação do 3 volume do líquido, colocou água numa proveta graduada em cm , conforme a figura 2, mergulhou o rolamento na água e obteve a leitura indicada na figura 3.


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– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

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193. (EsPCEx-04) Uma caixa d’água cilíndrica tem capacidade para 500 litros. Quando ela está com 100 litros, um dispositivo eletrônico aciona a abertura de uma torneira que despeja em seu interior 25 litros de água por minuto, desligando-se automaticamente após a caixa estar totalmente cheia. Com base nesses dados e supondo que não há consumo de água durante o enchimento, pode-se concluir que: [A] A quantidade Q de água existente na caixa, em litros, está relacionada ao tempo t, em minutos, contado a partir da abertura da torneira, através da função matemática Q(t) = 500 – 100t. 3 [B] A caixa estará com de sua capacidade após transcorridos 8 minutos 5 desde a abertura da torneira. [C] A quantidade de água existente na caixa e o tempo não podem ser relacionados, pois um não depende do outro. [D] A caixa estará totalmente cheia após transcorridos 20 minutos desde a abertura da torneira. [E] Se a torneira despejasse 20 litros de água por minuto, a caixa estaria totalmente cheia após transcorridos 18 minutos desde a abertura da caixa. 194. (EsPCEx-04) Se a área lateral e a área total de um cilindro reto são 2A e 2S respectivamente, então, o volume deste sólido é igual a: [A] A S  A [D] S S  A [B] S S  A

[E]  S  A

[C] A S  A 195. (EsPCEx-05) O hexágono regular ABCDEF é uma secção plana de um cubo de aresta 2a 3 . Cada vértice do polígono divide ao meio a aresta na qual está apoiado. A área do hexágono é [A] 9a 2 3 [B]

3a 2 3 2

[C]

2a 2 3 3

[D] 4a2 3 [E]

5a 2 3 4


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[A] [B] [C] [D] [E]

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1 h 2 1 h 3 1 h 4 1 h 5 1 h 6

209. (EsPCEx-12) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio de base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será: 3

[A] [B] [C] [D] [E]

7 h 2 3 7 h 3 3 12 h 2 3 23 h 2 3 23 h 3

GEOMETRIA ANALÍTICA 2

2

210. (EsPCEx-11) O ponto da circunferência x + y + 2x +6y +1 = 0 que tem ordenada máxima é: [A] (0, –6) [B] (–1, –3) [C] (–1, 0) [D] (2, 3) [E] (2, –3)


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QUESTÕES COMENTADAS – EsPCEx 2001-2012 01. Dados: a # b = 4a(a + 2b) xyz = x # (y # z) código: 52z senha 2660 Transformando o código 52z, através da expressão x # (y # z): 52z = 5 # (2 # z) Desenvolvendo 2 # z, através da igualdade a # b = 4a(a + 2b), temos:   2 # z = 4  2  2  2 z  = 8(2 + 2z) = 16 + 16z aa b a b Fazendo 5 # (2 # z) = 5 # 16  16z  e desenvolvendo, novamente, através da a

b

relação a # b = 4a(a + 2b), temos:   5 # 16  16z  = 4  5  5  2 16  16z   = 20(5 + 32 + 32z) = 20(37 + 32z)   a a a b b   O resultado 20(37 + 32z) é igual a senha 2660, daí: 20(37 + 32z) = 2660 37 + 32z = 133 32z = 96 z=3

[20] [subtraindo 37 nos dois membros] [32]

02. Dados do problema: se x = 5, então y = 11 Trata-se de um problema de lógica, fazendo p: x = 5 e q: y = 11 e construindo a tabela-verdade do conectivo “se..., então...”: p q pq V V V F V F V F V V F F


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f(x) 3x 3  4 1 = = = g(y) 4y 4  9 3 23. O domínio é dado por 2  x  0 e x 2  8x  12  0 . Resolvendo 2  x  0 : –x  –2 [multiplicando por –1] x2 Encontrando as raízes de x 2  8x  12 : 3 Usando o esquema a seguir

Para entender: 2 Decompomos os extremos no produto de dois fatores, observe que x = xx e 12 = (–2)(–6) Multiplicamos cruzado e somamos o resultado: (–2x) + (–6x) = –8x; buscando encontrar o termo central –8x Quando isso ocorre, fazemos: x–2=0x=2e x–6=0x=6 encontrando as raízes da equação. Então, o domínio é dado por x  2 com x  2 e x  6 Graficamente, temos:

Assim, D(f) = { x < 2 } ou D(f) = ] –, 2 [.

24. Solução 1: No gráfico, temos a raiz da função (–2) e o coeficiente linear (1). A equação x y   1. segmentária da reta é dada por raiz coeficiente linear 3

Para saber mais sobre o esquema apresentado, leia o Apêndice A.


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– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

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f(x) 3x 3  4 1 = = = g(y) 4y 4  9 3 23. O domínio é dado por 2  x  0 e x 2  8x  12  0 . Resolvendo 2  x  0 : –x  –2 [multiplicando por –1] x2 Encontrando as raízes de x 2  8x  12 : 3 Usando o esquema a seguir

Para entender: 2 Decompomos os extremos no produto de dois fatores, observe que x = xx e 12 = (–2)(–6) Multiplicamos cruzado e somamos o resultado: (–2x) + (–6x) = –8x; buscando encontrar o termo central –8x Quando isso ocorre, fazemos: x–2=0x=2e x–6=0x=6 encontrando as raízes da equação. Então, o domínio é dado por x  2 com x  2 e x  6 Graficamente, temos:

Assim, D(f) = { x < 2 } ou D(f) = ] –, 2 [.

24. Solução 1: No gráfico, temos a raiz da função (–2) e o coeficiente linear (1). A equação x y   1. segmentária da reta é dada por raiz coeficiente linear 3

Para saber mais sobre o esquema apresentado, leia o Apêndice A.


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CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

x y   1. 2 1 A função inversa é encontrada fazendo a troca do x por y e do y por x, então y x   1. 2 1 Isolando y, encontramos:

Fazendo as substituições, temos

y  2x  2 2x  2  f 1(x)

Solução 2: Substituindo os pontos (–2, 0) e (0, 1) na função y = ax + b, temos: 1 = a0 + b  b = 1 1 0 = a(–2) + 1  a = 2 1 y = f(x) = x  1 2 Encontrando a inversa 1 y = x 1 2 1 x = y 1 2 2x – 2 = y –1 f (x) = 2x – 2 Solução 3: A função y = ax + b, pode ser encontrada fazendo  2 0 x 2 0

1 y 0 0 x –2y 2 0 x 2

0 0 + x + –2y = –2 + 0 + 0 x + 2 = 2y y + 2 = 2x y = 2x – 2 –1 f (x) = 2x – 2 Observação:

1 y 0 –2 0 0

[substituindo x por y e y por x]


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CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

50. Solução 1: Do gráfico, temos: f(–3) = 0 f( –1) = 0 f(0) = 1 Substituindo em f(x) = | x – k | – p, temos: (I) 0 = | –3 – k | – p  | –3 – k | = p  | 3 + k | = p (II) 0 = | –1 – k | – p  | –1 – k | = p  | 1 + k | = p (III) 1 = | 0 – k | – p  1 = | – k | – p  | k | = 1 + p Comparando (I) e (II): |3+k|=|1+k| 3+k=1+k 3+k=–1–k 2k = –4 k = –2 Substituindo k = –2 em (III): |k|=1+p | –2 | = 1 + p 2=1+p 1=p Solução 2: Partindo da função f(x) = x ou g(x) = –x Inserindo o módulo: f(x) = | x | ou g(x) = | –x |, e sabendo que| x | = | –x|, vamos usar apenas f(x) = | x | Realizando o deslocamento para à direita de “–2” unidades: f(x) = | x + 2 | Realizando o deslocamento para baixo de “–1” unidade: f(x) = | x + 2 | – 1 Comparando as leis f(x) = | x – k | – p e f(x) = | x + 2 | – 1, verificamos que –k = 2  k = –2 –p = –1  p = 1

51. Na verdade, a função f(x) = 8 + (|4k – 3| – 7)x é do primeiro grau com o coeficiente de x contendo uma expressão modular. E, para que seja decrescente, a função do 1º grau, basta que |4k – 3| – 7 < 0


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

13 11 sen  cos  12 12

sen 2  sen 2

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

 1 0 6  2 1 2 4

Solução 3: 13 11 sen  cos 12 12 13  180º 11 180º sen  cos = sen 195º cos165º 12 12 Sabemos que: sen 195º = – sen 15º = sen

30º 1  cos30º =  2 2

cos 165º = – cos 15º =  cos

30º 1  cos30º =  2 2

Assim: sen

 1  cos 30º   1  cos 30º  13 11  cos =        12 12 2 2    

1  cos 30º 1  cos 30º 1  cos 2 30º   2 2 22 2

 3 3 1 1 1  1  2  1   4 4    2  2 2 2 2 4

Solução 4: 13 11 sen  cos = sen 195º cos165º =  sen 15º     cos15º  12 12 sen 15º  cos15º = sen (45º – 30º)cos (45º – 30º) Sabemos que: sen (45º – 30º) = sen 45ºcos 30º – sen 30º cos 45º = 2 3 1 2 6 2 = =     2 2 2 2 4 4 cos (45º – 30º) = cos 45ºcos 30º + sen 30ºsen 45º = =

2 3 1 2 6 2     = 2 2 2 2 4 4

165


182

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

Solução 2:

Como BM  AM  MC  4 cm , então a mediana AM é igual a metade do lado

BC . Assim, o triângulo ABC é retângulo em A.

Como Logo:

h=

ACM  60º e AM  MC , o triângulo AMC é equilátero.

4 3  2 3 cm 2

118. OP4  OP1  P1P4  2 OP4   3  6 5  6 41 OP4    6 5 30


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CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

III. Correta t r  t e   90º r=P t é a única reta perpendicular à reta r passando por P

180. [A] Incorreta

CD / /GH e GH  JH Assim, a reta JH não é ortogonal à reta DC.

[B] Incorreta e EJ estão contidas no mesmo plano, logo não são reversas, são coplanares.

GF

[C] Correta

IJ / /AE e AE  EF Assim, a reta IJ é ortogonal à reta EF.

[D] Incorreta A reta AI é ortogonal à reta BC.


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CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

182. I. Incorreta

Considerando  //  r1  α e r2  β Então, r1 // r2 ou r1 é reversa a r2

II. Correta Considerando os planos  e  r1  α e r2  β Então, r1 // r2 ou r1 é ortogonal a r2 ou r1  r2 ou r1 é reversa a r2 III. Correta Considerando r As retas s, t, u  α stu=P Então, r  s, r  t e r  u Pela definição de perpendicularidade, se uma reta r é perpendicular a um plano por um ponto P, toda reta do plano que contém P, também é paralela a reta r. 183.


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

Vsólido  Vcubo  8 

L3 12  32

L3

1

Vsólido  L3  8 

12  32

Vsólido 

48L3  L3 48

Vsólido 

47L3 47V  48 48

202.

2

2

2

x = 5 + 12 2 2 x = 169 = 13 x = 13 cm Na figura, o ABC  CDE Assim,

d2 2  13 5 5d + 10 = 26 5d = 16 d = 3,2 cm

4

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

243

Provas Comentadas de Matemática da EsPCEx  

Esse excelente livro visa atender aqueles que procuram por um excelente material de apoio para ingressar na Escola Preparatória de Cadetes d...