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José Anchieta da Silva

Série

Concursos Militares Provas Comentadas de Matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) Livro I

Editora Vestseller Fortaleza - Ceará 1ª Edição - Março 2013


Erratas e atualizações Foi feito todo um esforço para entregar um livro livre de erros técnicos ou de conteúdo, porém, nem sempre isso é conseguido. Sendo assim, criei um grupo no Facebook® onde relatarei, com a devida correção, qualquer erro encontrado e onde aguardarei sugestões e críticas para melhoria do trabalho. Facebook - Erratas da Série Concursos Militares: http://www.facebook.com/groups/287189181384402 ou através do atalho www.vestseller.com.br/anchieta


Índice/Sumário Capítulo I – Questões da EsPCEx Notações matemáticas utilizadas Lógica Matemática / Matemática Básica Conjuntos Numéricos Funções (Conceitos) Função do 1º grau Função do 2º grau Função Modular Função Exponencial Função Logarítmica Trigonometria Contagem e Análise Combinatória Probabilidade Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Sequências Numéricas e Progressões Geometria Espacial de Posição Geometria Espacial Métrica Geometria Analítica Polinômios Números Complexos Matemática Financeira Capítulo 2 – Solução das questões Questões comentadas da EsPCEx Capítulo 3 – Apêndices Apêndice A - Equação do 2º grau Apêndice B – Inequação produto/quociente Apêndice C – Inequação do 2º grau Apêndice D – Efeitos gráficos devido às transformações simples ocorridas em funções Apêndice E – Triângulos retângulos pitagóricos Apêndice F – Equações Matriciais Respostas Bibliografia

Questões [01, 07] [08, 10] [11, 27] [28, 34] [35, 45] [46, 52] [53, 67] [68, 90] [91, 127] [128, 140] [141, 145] [146, 163] [164, 178] [179, 185] [186, 209] [210, 214] [215, 218] [219, 221] [222, 225] [1, 225] -

Página 15 16 [17, 19] [19, 20] [20, 25] [25, 28] [28, 32] [32, 34] [34, 37] [38, 44] [44, 56] [57, 60] [60, 61] [61, 66] [66, 69] [70, 72] [72, 81] [81, 83] [83, 84] 84 85 87 [89, 263] 264 [266, 273] [274, 284] [285, 286]

-

[287, 290]

-

291 [292, 298] 299 300


CAPÍTULO 1

QUESTÕES DA ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO EXÉRCITO ( EsPCEx )


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

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LÓGICA MATEMÁTICA / MATEMÁTICA BÁSICA 01. (EsPCEx-02) Em uma empresa, o acesso a uma área restrita é feito digitando uma senha que é mudada diariamente. Para a obtenção da senha, utiliza-se uma operação matemática “#” definida por: a#b = 4a(a + 2b). A senha a ser digitada é o resultado da conversão de um código formado por três algarismos, xyz, através da expressão x#(y#z). Sabendo que a senha a ser digitada é 2660, e o código correspondente é 52z, então o algarismo z é [A] 1

[B] 3

[C] 5

[D] 7

[E] 9

02. (EsPCEx-02) Duas grandezas são tais que: se x = 5, então y = 11. Dessa forma, pode-se concluir que [A] se x ≠ 5, então y ≠ 11 [B] se y = 11, então x = 5 [C] se y ≠ 11, então x ≠ 5 [D] se y ≠ 11, então x = 5 [E] se y = 5, então x = 5 03. (EsPCEx-05) A análise do solo de certa região revelou a presença de 1 37,5 ppm (partes por milhão) de uma substância química. Se a densidade do solo analisado é de 1,2 toneladas por metro cúbico, então a quantidade dessa substância, presente em 1 ha do solo, considerando uma camada de 30 cm de profundidade é Dados: 1 tonelada vale 1 000 kg; 2 1 ha (hectare) é 10 000 m . massa densidade = volume [A] 125 kg

1

[B] 135 kg

[C] 1 250 kg

[D] 1 350 kg

[E] 3 750 kg

Nota: ppm ou partes por milhão não possui unidade de medida, éapenas uma razão.

Exemplo: 10 ppm de uma substância em cada 1000 kg é o mesmo que 10 1  1000 = dessa substância em kg (mesma unidade adotada) ou 0,01 100 1000000 kg, que é igual 10 g da substância em 1000 kg.


30

CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

39. (EsPCEx-02) A figura mostra uma função quadrática, definida por 2 f(x) = –x + 6x + 7, e uma função afim g(x). O ponto V é o vértice da parábola e P é uma raiz da função f(x). O gráfico de g(x) passa por esses dois pontos. O valor da ordenada onde o gráfico da função g(x) corta o eixo y é [A] 2 7 [B] 2 [C] 4 9 [D] 2 [E] 6

40. (EsPCEx-02) O gráfico que melhor representa a parábola da função 2 y = px + px – p, p  R*, é [A]

[B]

[C]

[D]

[E]


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

49

107. (EsPCEx-05) Um topógrafo, querendo conhecer a altura de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi [A] 15 3 m [B] 12 3 m [C] 10 3 m [D] 20 3 m [E] 40 3 m 108. (EsPCEx-05) A água utilizada em uma fortificação é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água localizada a 50 m de distância da bomba. A fortificação está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções bomba-caixa d’água e caixa d’água-fortificação é de 60º, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a fortificação, quantos metros de tubulação são necessários? [A] 54 metros. [B] 55 metros. [C] 65 metros. [D] 70 metros. [E] 75 metros.

109. (EsPCEx-05) Na figura, as circunferências são tangentes entre si e seus 1 raios estão na razão . Se a reta r passa pelos centros O e O’ das duas 3 circunferências, e a reta s é tangente a ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede 1 [A] arcsen 3 1 [B] arctg 2 [C] 60º [D] 45º [E] 30º


70

CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO 179. (EsPCEx-02) Considere as afirmações abaixo: I – Se um plano encontra outros dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas. II – Uma reta perpendicular a uma reta de um plano e ortogonal a outra reta desse plano é perpendicular ao plano. III – Se a intersecção de uma reta r com um plano é o ponto P, reta essa não perpendicular ao plano, então existe uma única reta s contida nesse plano que é perpendicular à reta r passando por P. Pode-se afirmar que [A] todas são verdadeiras. [D] apenas II e III são verdadeiras. [B] apenas I e II são verdadeiras. [E] todas são falsas. [C] apenas I e III são verdadeiras. 180. (EsPCEx-08) A ilustração a seguir representa um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH e um prisma reto triangular de base EHJ seccionado por um plano, gerando o triângulo isósceles ADI, cuja medida AI é igual à medida DI. Diante das informações acima, podemos afirmar que [A] a reta JH é ortogonal à reta DC. [B] as retas EJ e FG são reversas. [C] a reta IJ é ortogonal à reta EF. [D] a reta AI é concorrente à reta BC. [E] a reta AI é paralela à reta EJ.

181. (EsPCEx-09) Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. Dentre as afirmações abaixo I – Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes. II – Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares. III – Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares. Pode-se concluir que [A] somente a I é verdadeira. [B] somente a II é verdadeira. [C] somente a III é verdadeira. [D] as afirmações II e III são verdadeiras. [E] as afirmações I e III são verdadeiras. 182. (EsPCEx-11) Considere as seguintes afirmações:


72

CAPÍTULO 1 – QUESTÕES DA ESPCEX

185. (EsPCEx-12) Considere as seguintes afirmações: I. Se uma reta r é perpendicular a um plano , então todas as retas de  são perpediculares ou ortogonais a r; II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano  é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com  um ângulo de 60°; III. Dados dois planos paralelos  e , as interseções entre esses planos serão retas reversas; IV. Se  e  são dois planos secantes, todas as retas de  também interceptam . Estão corretas as afirmações [A] Apenas I e II [D] I, II e IV [B] Apenas II e III [E] II, III e IV [C] I, II e III

GEOMETRIA ESPACIAL MÉTRICA 186. (EsPCEx-01) Denomina-se rolamento a um dispositivo mecânico constituído por dois anéis em forma de casca cilíndrica e um conjunto de esferas. Desejando obter o volume de uma das esferas de aço que compõe o rolamento dado na figura 1, sem desmontá-lo, e não dispondo de todos os instrumentos necessários para executar as medições, um estudante executou os seguintes procedimentos: a. Com os instrumentos de que dispunha, mediu o anel interno, em forma de casca cilíndrica, obtendo 3,46 cm para o diâmetro interno, 4 cm para o diâmetro externo e 1 cm para altura; b. Repetiu as operações para o anel externo, anotou as medidas e calculou o 3 volume, obtendo 3,8 cm ; c. Lembrando o princípio de Arquimedes, que afirma que o volume de um objeto imerso num recipiente com líquido corresponde à variação do 3 volume do líquido, colocou água numa proveta graduada em cm , conforme a figura 2, mergulhou o rolamento na água e obteve a leitura indicada na figura 3.


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

75

193. (EsPCEx-04) Uma caixa d’água cilíndrica tem capacidade para 500 litros. Quando ela está com 100 litros, um dispositivo eletrônico aciona a abertura de uma torneira que despeja em seu interior 25 litros de água por minuto, desligando-se automaticamente após a caixa estar totalmente cheia. Com base nesses dados e supondo que não há consumo de água durante o enchimento, pode-se concluir que: [A] A quantidade Q de água existente na caixa, em litros, está relacionada ao tempo t, em minutos, contado a partir da abertura da torneira, através da função matemática Q(t) = 500 – 100t. 3 [B] A caixa estará com de sua capacidade após transcorridos 8 minutos 5 desde a abertura da torneira. [C] A quantidade de água existente na caixa e o tempo não podem ser relacionados, pois um não depende do outro. [D] A caixa estará totalmente cheia após transcorridos 20 minutos desde a abertura da torneira. [E] Se a torneira despejasse 20 litros de água por minuto, a caixa estaria totalmente cheia após transcorridos 18 minutos desde a abertura da caixa. 194. (EsPCEx-04) Se a área lateral e a área total de um cilindro reto são 2A e 2S respectivamente, então, o volume deste sólido é igual a: [A] A S  A [D] S S  A [B] S S  A

[E]  S  A

[C] A S  A 195. (EsPCEx-05) O hexágono regular ABCDEF é uma secção plana de um cubo de aresta 2a 3 . Cada vértice do polígono divide ao meio a aresta na qual está apoiado. A área do hexágono é [A] 9a 2 3 [B]

3a 2 3 2

[C]

2a 2 3 3

[D] 4a2 3 [E]

5a 2 3 4


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

[A] [B] [C] [D] [E]

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

81

1 h 2 1 h 3 1 h 4 1 h 5 1 h 6

209. (EsPCEx-12) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio de base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será: 3

[A] [B] [C] [D] [E]

7 h 2 3 7 h 3 3 12 h 2 3 23 h 2 3 23 h 3

GEOMETRIA ANALÍTICA 2

2

210. (EsPCEx-11) O ponto da circunferência x + y + 2x +6y +1 = 0 que tem ordenada máxima é: [A] (0, –6) [B] (–1, –3) [C] (–1, 0) [D] (2, 3) [E] (2, –3)


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

89

QUESTÕES COMENTADAS – EsPCEx 2001-2012 01. Dados: a # b = 4a(a + 2b) xyz = x # (y # z) código: 52z senha 2660 Transformando o código 52z, através da expressão x # (y # z): 52z = 5 # (2 # z) Desenvolvendo 2 # z, através da igualdade a # b = 4a(a + 2b), temos:   2 # z = 4  2  2  2 z  = 8(2 + 2z) = 16 + 16z aa b a b Fazendo 5 # (2 # z) = 5 # 16  16z  e desenvolvendo, novamente, através da a

b

relação a # b = 4a(a + 2b), temos:   5 # 16  16z  = 4  5  5  2 16  16z   = 20(5 + 32 + 32z) = 20(37 + 32z)   a a a b b   O resultado 20(37 + 32z) é igual a senha 2660, daí: 20(37 + 32z) = 2660 37 + 32z = 133 32z = 96 z=3

[20] [subtraindo 37 nos dois membros] [32]

02. Dados do problema: se x = 5, então y = 11 Trata-se de um problema de lógica, fazendo p: x = 5 e q: y = 11 e construindo a tabela-verdade do conectivo “se..., então...”: p q pq V V V F V F V F V V F F


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

103

f(x) 3x 3  4 1 = = = g(y) 4y 4  9 3 23. O domínio é dado por 2  x  0 e x 2  8x  12  0 . Resolvendo 2  x  0 : –x  –2 [multiplicando por –1] x2 Encontrando as raízes de x 2  8x  12 : 3 Usando o esquema a seguir

Para entender: 2 Decompomos os extremos no produto de dois fatores, observe que x = xx e 12 = (–2)(–6) Multiplicamos cruzado e somamos o resultado: (–2x) + (–6x) = –8x; buscando encontrar o termo central –8x Quando isso ocorre, fazemos: x–2=0x=2e x–6=0x=6 encontrando as raízes da equação. Então, o domínio é dado por x  2 com x  2 e x  6 Graficamente, temos:

Assim, D(f) = { x < 2 } ou D(f) = ] –, 2 [.

24. Solução 1: No gráfico, temos a raiz da função (–2) e o coeficiente linear (1). A equação x y   1. segmentária da reta é dada por raiz coeficiente linear 3

Para saber mais sobre o esquema apresentado, leia o Apêndice A.


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

103

f(x) 3x 3  4 1 = = = g(y) 4y 4  9 3 23. O domínio é dado por 2  x  0 e x 2  8x  12  0 . Resolvendo 2  x  0 : –x  –2 [multiplicando por –1] x2 Encontrando as raízes de x 2  8x  12 : 3 Usando o esquema a seguir

Para entender: 2 Decompomos os extremos no produto de dois fatores, observe que x = xx e 12 = (–2)(–6) Multiplicamos cruzado e somamos o resultado: (–2x) + (–6x) = –8x; buscando encontrar o termo central –8x Quando isso ocorre, fazemos: x–2=0x=2e x–6=0x=6 encontrando as raízes da equação. Então, o domínio é dado por x  2 com x  2 e x  6 Graficamente, temos:

Assim, D(f) = { x < 2 } ou D(f) = ] –, 2 [.

24. Solução 1: No gráfico, temos a raiz da função (–2) e o coeficiente linear (1). A equação x y   1. segmentária da reta é dada por raiz coeficiente linear 3

Para saber mais sobre o esquema apresentado, leia o Apêndice A.


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CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

x y   1. 2 1 A função inversa é encontrada fazendo a troca do x por y e do y por x, então y x   1. 2 1 Isolando y, encontramos:

Fazendo as substituições, temos

y  2x  2 2x  2  f 1(x)

Solução 2: Substituindo os pontos (–2, 0) e (0, 1) na função y = ax + b, temos: 1 = a0 + b  b = 1 1 0 = a(–2) + 1  a = 2 1 y = f(x) = x  1 2 Encontrando a inversa 1 y = x 1 2 1 x = y 1 2 2x – 2 = y –1 f (x) = 2x – 2 Solução 3: A função y = ax + b, pode ser encontrada fazendo  2 0 x 2 0

1 y 0 0 x –2y 2 0 x 2

0 0 + x + –2y = –2 + 0 + 0 x + 2 = 2y y + 2 = 2x y = 2x – 2 –1 f (x) = 2x – 2 Observação:

1 y 0 –2 0 0

[substituindo x por y e y por x]


130

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

50. Solução 1: Do gráfico, temos: f(–3) = 0 f( –1) = 0 f(0) = 1 Substituindo em f(x) = | x – k | – p, temos: (I) 0 = | –3 – k | – p  | –3 – k | = p  | 3 + k | = p (II) 0 = | –1 – k | – p  | –1 – k | = p  | 1 + k | = p (III) 1 = | 0 – k | – p  1 = | – k | – p  | k | = 1 + p Comparando (I) e (II): |3+k|=|1+k| 3+k=1+k 3+k=–1–k 2k = –4 k = –2 Substituindo k = –2 em (III): |k|=1+p | –2 | = 1 + p 2=1+p 1=p Solução 2: Partindo da função f(x) = x ou g(x) = –x Inserindo o módulo: f(x) = | x | ou g(x) = | –x |, e sabendo que| x | = | –x|, vamos usar apenas f(x) = | x | Realizando o deslocamento para à direita de “–2” unidades: f(x) = | x + 2 | Realizando o deslocamento para baixo de “–1” unidade: f(x) = | x + 2 | – 1 Comparando as leis f(x) = | x – k | – p e f(x) = | x + 2 | – 1, verificamos que –k = 2  k = –2 –p = –1  p = 1

51. Na verdade, a função f(x) = 8 + (|4k – 3| – 7)x é do primeiro grau com o coeficiente de x contendo uma expressão modular. E, para que seja decrescente, a função do 1º grau, basta que |4k – 3| – 7 < 0


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

13 11 sen  cos  12 12

sen 2  sen 2

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

 1 0 6  2 1 2 4

Solução 3: 13 11 sen  cos 12 12 13  180º 11 180º sen  cos = sen 195º cos165º 12 12 Sabemos que: sen 195º = – sen 15º = sen

30º 1  cos30º =  2 2

cos 165º = – cos 15º =  cos

30º 1  cos30º =  2 2

Assim: sen

 1  cos 30º   1  cos 30º  13 11  cos =        12 12 2 2    

1  cos 30º 1  cos 30º 1  cos 2 30º   2 2 22 2

 3 3 1 1 1  1  2  1   4 4    2  2 2 2 2 4

Solução 4: 13 11 sen  cos = sen 195º cos165º =  sen 15º     cos15º  12 12 sen 15º  cos15º = sen (45º – 30º)cos (45º – 30º) Sabemos que: sen (45º – 30º) = sen 45ºcos 30º – sen 30º cos 45º = 2 3 1 2 6 2 = =     2 2 2 2 4 4 cos (45º – 30º) = cos 45ºcos 30º + sen 30ºsen 45º = =

2 3 1 2 6 2     = 2 2 2 2 4 4

165


182

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

Solução 2:

Como BM  AM  MC  4 cm , então a mediana AM é igual a metade do lado

BC . Assim, o triângulo ABC é retângulo em A.

Como Logo:

h=

ACM  60º e AM  MC , o triângulo AMC é equilátero.

4 3  2 3 cm 2

118. OP4  OP1  P1P4  2 OP4   3  6 5  6 41 OP4    6 5 30


224

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

III. Correta t r  t e   90º r=P t é a única reta perpendicular à reta r passando por P

180. [A] Incorreta

CD / /GH e GH  JH Assim, a reta JH não é ortogonal à reta DC.

[B] Incorreta e EJ estão contidas no mesmo plano, logo não são reversas, são coplanares.

GF

[C] Correta

IJ / /AE e AE  EF Assim, a reta IJ é ortogonal à reta EF.

[D] Incorreta A reta AI é ortogonal à reta BC.


226

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO DAS QUESTÕES DA ESPCEX

182. I. Incorreta

Considerando  //  r1  α e r2  β Então, r1 // r2 ou r1 é reversa a r2

II. Correta Considerando os planos  e  r1  α e r2  β Então, r1 // r2 ou r1 é ortogonal a r2 ou r1  r2 ou r1 é reversa a r2 III. Correta Considerando r As retas s, t, u  α stu=P Então, r  s, r  t e r  u Pela definição de perpendicularidade, se uma reta r é perpendicular a um plano por um ponto P, toda reta do plano que contém P, também é paralela a reta r. 183.


CONCURSOS MILITARES – ESPCEX

Vsólido  Vcubo  8 

L3 12  32

L3

1

Vsólido  L3  8 

12  32

Vsólido 

48L3  L3 48

Vsólido 

47L3 47V  48 48

202.

2

2

2

x = 5 + 12 2 2 x = 169 = 13 x = 13 cm Na figura, o ABC  CDE Assim,

d2 2  13 5 5d + 10 = 26 5d = 16 d = 3,2 cm

4

– SILVA, JOSÉ ANCHIETA

243


Provas Comentadas de Matemática da EsPCEx