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TÓPICOS DE MATEMÁTICA Olimpíadas – ITA – IME

Volume 01 Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades

Carlos A. Gomes José Maria Gomes


Os autores Carlos A. Gomes O professor Carlos A. Gomes é bacharel e mestrando em Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE, UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT-UFRN, além a sua larga experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado nas olimpíadas de Matemática.

José Maria Gomes O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino, em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando materiais didáticos para este propósito.




Apresentação Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no Brasil. A SBM – Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou a OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso país. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições. Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas. Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção “´TÓPICOS DE MATEMÁTICA – OLIMPÍADAS – ITA  IME” que consiste numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados pelos autores. A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo. Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber: Volume 01 – produtos notáveis, fatorações e desigualdades. Volume 02 – indução matemática e teoria elementar dos números . Volume 03 – geometria e trigometria. Volume 04 – funções, equações funcionais ,sequências e séries. Volume 05 – combinatória e probabilidade. Volume 06 – números complexos, polinômios e equações algébricas.


Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA. Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para críticas, sugestões bem para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email cgomesmat@yahoo.com.br

Carlos A. Gomes. José Maria Gomes.

Natal/RN, 04 de Fevereiro de 2010


Prefácio A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais. Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo. Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas. Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das médias. É de tirar o fôlego a cada página ! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Prof. Renato Brito Fortaleza, 09 de Fevereiro de 2010


Dedicat贸ria Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho (Paulinho)

Carlos A. Gomes Jos茅 Maria Gomes


Índice

Capítulo 1. Produtos notáveis e fatoração...........................................................13 I II

 Resumo teórico..........................................................................15  Questões ...................................................................................15

Capítulo 2. Desigualdades elementares ..............................................................27 I II

 Resumo teórico..........................................................................29  Questões ...................................................................................30

Capítulo 3. Resoluções – Produtos notáveis e fatoração...................................41 Capítulo 4. Resoluções – Desigualdades ..........................................................111 Apêndice – Polinômios simétricos ...................................................................175 I II III IV

   

Polinômios simétricos ..............................................................177 Exemplos resolvidos................................................................178 Problemas Propostos ..............................................................183 Resoluções..............................................................................184

Apêndice – Demonstrações  Desigualdades elementares ...........................195 I II III IV V VI VII

      

Desigualdade de Bernoulli .......................................................195 Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica .........196 Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica .........198 Desigualdade entre as médias aritmética e quadrática ..........199 Um lema poderoso ..................................................................200 Desigualdade de Cauchy-Schwarz .........................................202 Desigualdade de Young ..........................................................203

Bibliografia .........................................................................................................205


Tópicos de Matemåtica – Olimpíadas – ITA – IME

15

Produtos notåveis e fatoração. Resumo teórico PRODUTOS NOTà VEIS

a  b 2 a2  2ab  b2 a  b 2 a2  2ab  b2 a  b  c 2 a2  b2  c 2  2 ab  ac  bc

a  b 3 a3  3a2 b  3ab2  b3 a  b 3 a3  3a2b  3ab2  b3 FATORAÇÕES USUAIS a˜x a˜y 2

a b

2

a3  b3 a3  b 3

a ˜ x  y

a  b ˜ a  b

a  b ˜ a2  ab  b2

a  b ˜ a2  ab  b2

Se D e E sĂŁo raĂ­zes da ax 2  bx  c a. x  D ˜ x  E .

equação

ax 2  bx  c

Questþes Propostas 01) Fatore: a) x2 – 7yx + 12y2 b) x2 – 3yx – 4x + 12y c) x4 – 20x2 + 4 d) x4 – 4y4 e) x4 + y4 f) xn – yn para n inteiro positivo g) xn + yn para n ímpar positivo 02) Qual o valor das somas S

267 ˜ 455  337 ˜ 733  267 ˜ 545  663 ˜ 733

0,

entĂŁo


16

1 - Produtos Notåveis e Fatoração

1234562  123456  123457 ?

03) Qual o valor de

04) Qual o valor de 20082  20072  20062  20052  ...  22  12 ? 05) Qual o valor da expressĂŁo 20012  1999 ˜ 2001  992 ˜ 2 ? 06) Determine o valor das expressĂľes abaixo: 5932 ˜ 6001  69 5932  6001˜ 5931

a)

2004

b)

2

 2010 ˜ 20042  4008  3 ˜ 2005

2001 ˜ 2003 ˜ 2006 ˜ 2007

07) (EotvĂľs-1899) Mostre que divisĂ­vel por 1897.

2903n  803n  464n  261n

ĂŠ sempre

08) a) Se a  b  c

0 mostre que a3  b3  c 3

b) Qual o valor de

3abc.

4011  2006  2005 ? 4011 ˜ 2006 ˜ 2005

3

3

3

09) (AIME) Simplifique

5 6 7

5 6 7

10) Mostre que 1  x  x 2  x3  ...  x1023

4

4

 324 ˜ 16

5 6 7  5 6 7

 324 ˜ 28

 324 ˜ 40

 324 ˜ 52

 324

 324 ˜ 224  324 ˜ 34 4  324 ˜ 46 4  324 ˜ 58 4  324 4

12) Fatore: a) 3a2  2ab  b2 b) a2  6a  b2  2b  8

1  x 1  x2 1  x 4 ˜ ... ˜ 1  x256 1  x512

11) (AIME-87) Calcule

10 4

4

4

4


Tópicos de Matemåtica – Olimpíadas – ITA – IME

19

37) Calcule 2 8

1 2

1 2

1 2

1 2  ...

Expressando a sua resposta na forma

ab c , com a, b, c e d d

inteiros positivos. 38) Verifique que a2  b2  c 2

ab  ac  bc œ a

b

c

­2a  b  c  d  e ° a  2b  c  d  e °° 39) (AIME) Resolva o sistema Ž a  b  2c  d  e ° a  b  c  2d  e ° °¯ a  b  c  d  2e

6 12 24 48 96

40) (Torneio das cidades) Calcule: 1 2



1 3

1 4

1 1

1 1 ...  2005

1 1

1 3

1 4

41) Determine a e b naturais tais que 22 a  32b 42) Sabendo que a  b

a

2

1

... 

1 2005

55 .

6 , encontre o valor de

a32  b32

 b2 a4  b4 a8  b8 a16  b16

 12b

43) Se a e b sĂŁo inteiro consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 ĂŠ um quadrado perfeito.


20

1 - Produtos Notåveis e Fatoração

44) Qual o maior valor de n, n Â? ` para que n3  100 seja divisĂ­vel por n  10 .

45) Calcule o valor de A

1000000 ˜ 1000001 ˜ 1000002 ˜ 1000003  1 .

46) Se a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais tais que a2  2b 7 , b2  4c c 2  6a 14 . Determine o valor de a2  b2  c 2 . 47) Se x e y sĂŁo nĂşmeros reais tais que x  y  xy Determine o valor de x + y.

10 e x 2  y 2

48) I. Qual das fraçþes abaixo Ê a maior? a)

25.038.876.541 25.038.876.543

b)

25.038.876.543 25.038.876.545

c)

25.038.876.545 25.038.876.547

d)

25.038.876.547 25.038.876.549

II. Qual das fraçþes abaixo Ê a menor? a)

250.386.765.412 250.384.765.412

b)

250.386.765.412 250.385.765.412

c)

250.384.765.412 250.383.765.412

d)

250.385.765.412 250.384.765.412

49) Simplifique: 1 1 1   a) a  b a  c b  a b  c c  a c  b

b)

a3 b3 c3   a  b a  c b  a b  c c  a c  b

50) Se 0  a  b e a2  b2

6ab , determine o valor de

51) Simplifique a expressĂŁo A

ab . ab

4  43 2  3 4  4  43 2  3 4 .

7

e

40 .


22

1 - Produtos Notåveis e Fatoração

1 1 1 .   xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1

S

60) Resolva o sistema ­x  y  z 3 ° 2 2 2 3 Žx  y  z ° 3 3 3 3 ¯x  y  z

61) Se a, b, c e d sĂŁo nĂşmeros reais mostre que

a

2

 b2 c 2  d2

ac  bd 2  ad  bc 2

62) Se D, E e J são as raízes da equação x 3  5x  8 valor de D 3  E3  J 3 .

0 determine o

63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que ­°a  b  c  d  e 8 Ž 2 2 2 2 2 °¯a  b  c  d  e

16

Determine o valor mĂ­nimo de e. 64) Sejam x1, x 2 , ..., xn nĂşmeros inteiros tais que 1 d xii d 2 , i = 1, 2, 3, ..., n, x1  x 2  ...  xn

19 e x12  x 22  ...  xn2

99 . Sendo m e M os

x13 

x 23  ...  xn3 , determine

valores mĂĄximo e mĂ­nimo da expressĂŁo o valor de

M . m

65) Se x, y e z sĂŁo nĂşmeros reais tais que x  y  z

1 , mostre que

1 x 2  y 2  z2 t . 3

66) Resolva a equação x  5 x  7 x  6 x  4

67) Determine os racionais a, b e c tais que

3 3

2 1

504 . 3

a3b3c .

68) Qual o valor numĂŠrico da expressĂŁo abaixo para x  3 ? A

9  6x  x 2  9  6x  x 2


24

1 - Produtos Notåveis e Fatoração

80) Verifique que nĂŁo existem nĂşmeros reais x, y e z tais que 1 1 1 xyz 0 e   0. x y z 81) (Harvard) Simplifique 82) Se x  5  y  12

2

2

2003

2 11  3 5 ˜ 4006 89  12 55 .

142 , determine o valor mĂ­nimo de x 2  y 2 .

83) Se a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais nĂŁo nulos tais que a  mostre que abc

1 b

b

1 c

c

1 , a

1.

84) Quantas raízes negativas possui a equação x 4  5x3  4x 2  7x  4

85) (Harvard) Mostre que x 3  3x 2  3x  7 0 .

1  3 6

ĂŠ

0

uma

raiz

da

equação

86) Determine todos os primos da forma n3  1. 87) Determine o número de soluçþes de

1 1  x y

1 com x e y inteiros 1998

positivos. 88) Mostre que não existe um número natural de cinco algarismos abcde que seja igual a soma dos cubos dos seus dígitos. 89) Calcule os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro equaçþes ­ x  7y  3v  5u 16 °8x  4y  6v  2u 16 ° Ž °2x  6y  4v  8u 16 °¯5x  3y  7v  u 16 90) Dado que n Ê um número inteiro positivo, determine o valor de n que cumpre a seguinte igualdade


CapĂ­tulo 2

Desigualdades elementares


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Desigualdades elementares Resumo teĂłrico Desigualdades das mĂŠdias.

Sejam x1, x2, ... xn nĂşmeros reais positivos, definimos: x12  x 22  ...  xn2 n

MQ

MA

x1  x 2  ...  xn n

MG

n

MH

x1x 2 ˜ ... ˜ xn

n 1 1 1   ...  x1 x 2 xN

(MQ = MĂŠdia QuadrĂĄtica)

(MA = MĂŠdia AritmĂŠtica) (MG = MĂŠdia GeomĂŠtrica) (MH = MĂŠdia HarmĂ´nica)

No capĂ­tulo 6 (ApĂŞndice), demonstraremos que MH d MG d MA d MQ , onde a igualdade ocorre se, e somente se x1 x 2 ... xn . ConsequĂŞncia da desigualdade MG d MA

i. Se o produto de n nĂşmeros positivos for constante, a soma serĂĄ mĂ­nima se todos os nĂşmeros forem iguais. ii. Se a soma de n nĂşmeros for constante, o produto serĂĄ mĂĄximo quando todos forem iguais.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Sejam x1, x2, ..., xn , y1, y2, ... yn nĂşmeros reais, entĂŁo

x1y1  x2 y2  ...  xn yn 2 d x12  x22  ...  xn2 y12  y22  ...  yn2

valendo a igualdade se, somente se,

x1 y1

x2 y2

...

xn . yn


30

2 - Desigualdades elementares

Lema poderoso

Se a, b, x e y sĂŁo nĂşmeros reais e x > 0 e y > 0, entĂŁo

a  b 2 x y

d

a 2 b2  x y

Observação:

O poderoso lema acima pode ser estendido. Se a1, a2 , ..., an Â? \ e b1, b2 , ..., bn Â? \  , entĂŁo ĂŠ vĂĄlida a desigualdade

a1  a2  ...  an 2 b1  b2  ...  bn

d

a12 a22 a 2   ...  n b1 b2 bn

Ocorrendo a igualdade se, e somente se

a1 b1

a2 b2

...

an . bn

QuestĂľes Propostas

01) Se x Â? \ e x > 0, prove que x 

1 t 2. x

02) Para todos os valores as variĂĄveis x, y, z e w, reais positivas. Qual ĂŠ o x y z w    ? menor valor da expressĂŁo f x, y, z, w

y z w x 03) Para x > 0. Qual o valor mĂ­nimo de y

x2 

1 . x

4

§x y¡ 04) (ITA/2002) Mostre que ¨  2  ¸ ! C(8, 4) . xš Šy

05) Qual o valor mĂ­nimo da expressĂŁo f x

06) Se x, y e z > 0 prove que

6x 

24 x2

, quando x > 0 ?

2 2 2 9 .   t xy yz zx xyz


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07) Se x, y e z são números positivos. Qual o valor mínimo de § 1 1 1¡ x  y  z ¨   ¸ ? Šx y zš 08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e z tais que xyz = 48? 09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição a b c   3 prove que abc Ê um cubo de um inteiro. b c a 10) Sejam x, y, z números reais tais que x ¡ y ¡ z = 32. Qual o menor valor da expressão x 2  4xy  4y 2  2z2 ? 11) Prove que

a2  3 a2  2

t 2.

12) (Baltic-way) Prove que se a, b ,c e d sĂŁo nĂşmeros reais positivos, entĂŁo temos: ac bd c a db    t4 ab bc c d da 13) Qual o valor mĂ­nimo de f x, y

12 18   xy? x y

14) Se x e y são positivos e x > y. Qual o menor valor de 8 f(x,y) x  y(x  y) 15) Encontre o menor valor da função definida pela lei f(x, y,z)

x 2y 4z    12 y z x

onde x, y e z são números reais positivos. 16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei f(x,y)

onde x e y sĂŁo reais positivos.

50 20   xy x y


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2 - Desigualdades elementares

17) Encontre o menor valor da função definida pela lei f(x)

(x  10) ˜ (x  2) x 1

18) Encontre o valor måximo da função definida pela lei f(x,y)

12(xy  4x  3y) x 2 y3

,

onde x e y sĂŁo reais positivos. 19) Qual o valor mĂĄximo do produto x ˜ y ˜ (72  3x  4y). Para todo x e y positivo? 20) Encontre o valor mĂĄximo de 54x 2 y 3 ˜ (1  x  y) . 21) (AIME-83) Encontre o valor mĂ­nimo de f(x)

9x 2 sen2 x  4 , com x ˜ senx

0  x  S.

22) Dada a equação 3x 2  4x  k 0 , com raízes reais. Qual o valor de k para qual o produto das raízes da equação Ê måximo. 23) Sejam a, b, c e d reais positivos prove que 1 1 4 16 64    t a b c d abc d 24) Qual o valor måximo que pode assumir a expressão f(T)

3 sen T  4cos T onde 0 d T d 2S

25) Para valores positivos de x, qual o menor valor de f(x)

26) Qual o maior valor de f(x)

5x 

16  21 x

2x 12  x 2 para todos os valores de x > 0?

27) Qual o nĂşmero positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior quantidade possĂ­vel?


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28) Encontre o nĂşmero positivo que excede seu cubo da maior quantidade possĂ­vel. 29) Qual o menor valor de x 2  12y  10xy 2 para valores positivos de x e y satisfazendo a condição x ˜ y 6 . 30) Se a, b, x e y sĂŁo nĂşmeros reais nĂŁo negativos a5  b5 d 1 e x 5  y5 d 1 prove que a2 x3  b2 y3 d 1 .

31) Se a e b sĂŁo positivos prove que 8 ˜ a4  b4 t a  b . 4

32) Encontre o maior valor de x2y se x e y são números reais positivos satisfazendo a equação 6x  5y 45 .

33) Qual o valor mĂ­nimo de f(x)

x2 

16 para todos os valores positivos x

de x? 34) Se a e b sĂŁo nĂşmeros reais quaisquer verifique que

a b  t 2. b a

35) (Turquia-2000) Se a t 0, b t 0 e c t 0 prove que

a  3b) ˜ (b  4c ˜ c  2a t 60abc 36) Prove que: a) Se a t 0, b t 0 e c t 0 , entĂŁo b  c) ˜ (c  a ˜ a  b t 8abc b) Se a t 0, b t 0, c t 0 e a  b  c

1, entĂŁo

§1 ¡ §1 ¡ §1 ¡ ¨ a  1¸ ˜ ¨ b  1¸ ˜ ¨ c  1¸ t 8 . Š š Š š Š š

37) Se x t 0, y t 0 e z t 0 prove que x2 y2 z2 3   t x  y ˜ x  z y  z ˜ y  x z  x ˜ z  y 4


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2 - Desigualdades elementares

38) Se x t 0, y t 0 e z t 0 prove que x y z 1   t x  2y  3z y  2z  3x z  2x  3y 2

39) Se a, b, x, y e z sĂŁo nĂşmeros reais positivos, prove que x y z 3   t ay  bz az  bx ax  by a  b

40) Se x e y sĂŁo tais que 3x  y

20 , qual o menor valor de

x2  y2 ?

41) (Bielorussia-99) Se a, b e c são números reais positivos e 1 1 1 3 a2  b2  c 2 3 prove que   t . 1  ab 1  bc 1  ac 2 42) (China-90) Quantos pontos (x, y) satisfazem a equação abaixo? 1 1¡ § log ¨ x3  y 3  ¸ 3 9š Š

log x  log y

43) Se a e b sĂŁo nĂşmeros reais positivos determine o menor valor possĂ­vel 1 de f(a,b) a  . b ˜ a  b

44) Para todo numero real positivo x e y, Prove que (x  y) ˜ (xy  1) t 4 xy .

45) (RepĂşblica Tcheca-00) Sejam a, b e c nĂşmeros reais positivos prove que a b c   t1 b  2c c  2a a  2b 46) Se a, b, c e d sĂŁo nĂşmeros reais positivos cuja soma vale 1. Prove que a2 b2 c2 d2 1    t . Com a igualdade se verificando se e ab bc c d da 2 1 somente se a b c d . 4


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47) (RĂşssia-02) Se x, y e z sĂŁo nĂşmeros reais positivos cuja soma vale 3. Prove: x  y  z t xy  yz  zx . 48) (Novo MĂŠxico) Encontre o termo mĂ­nimo da sequĂŞncia 7 96 8 96 9 96 95 96      , ...,  6 7 6 8 6 9 6 95

49) Prove que a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais positivos entĂŁo (a2  1) ˜ (b2  1) ˜ (c 2  1) t 8 abc 50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde D ĂŠ um dos ângulos. Vale a relação tg D  cotg D t 2 . 51) (IMO-95) Se a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais positivos e a ¡ b ¡ c = 1 prove 1 1 1 3  3  3 t . que 3 a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2 52) Prove que se a + b = 1, onde a e b sĂŁo nĂşmeros positivos 2

2

1¡ § 1¡ 25 § ¨a  a ¸  ¨b  b ¸ t 2 Š š Š š

53) Resolva o sistema: ÂŞ 2 ÂŤx  x ÂŤ 2 ÂŤ ÂŤy  y ÂŤ 2 ÂŤ ÂŤÂŹ z  z

54) Prove que se a t 0 , entĂŁo

2y 2z 2x

a3  b 6 t 3 ab2  4 . 2

55) Demonstrar que x 2  y 2  z2 t 12 se x  y  z

6.

56) O volume de um paralelepĂ­pedo e 216cm3 e sua ĂĄrea total ĂŠ 216cm2. Prove que o paralelepĂ­pedo ĂŠ cubo. 57) Mostre que todo valor arbitrĂĄrio a, b, c e d Â? \+ temos:


36

2 - Desigualdades elementares

(a2  a  1) ˜ (b2  b  1) ˜ (c 2  c  1) ˜ (d2  d  1) t 81 a ˜ b ˜ c ˜ d

58) Mostre que para todo a, b e c Â? \+ vale a desigualdade: 1 1 1 9   t 1 a 1 b 1 c 3  a  b  c

59) Mostre que 2x + 4y = 1 para todo x, y Â? \ entĂŁo x 2  y 2 t

1 . 20

60) Mostre que para nĂşmeros reais x, y, z temos: 2

x 2 y 2 z2 §x y z¡ ¨2  3  6¸ d 2  3  6 Š š

61) Mostre que para qualquer valor de a, b e c Â? \+. ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c) t 6abc

62) Se x e y são tais que 3x – y = 20, qual o menor valor de

x2  y2 .

63) Se a1 > a2 > 0, ..., an > 0 mostre que: a1 a2 an n   ...  ! a2  a3  ...  an a3  a 4  ...  an  a1 a1  a2  ...  an 1 n  1 64) Se a > 0, b > 0, c > 0 e d > 0, prove que: a b c d 4    t bc d ac d abd abc 3 65) (Cone Sul) Se a > 0, b > 0 e c > 0 prove que: a b c 3   t bc ac ab 2 66) Sejam x e y nĂşmeros positivos e xy = 1 calcule o valor mĂ­nimo de 1 1  . 4 x 4.y 4 67) Sabendo que x, y e z sĂŁo nĂşmeros reais mostre que x 2 y 2  x 2 z2  y 2 z2 t x 2 yz  xy 2 z  xyz2 .


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68) Mostre que se a > 0 entĂŁo

37

a4  9 4 ! . 10a 5

1 ¡ § 1 69) Se a, b, c e d � \+ mostre que ab  cd ¨  ¸ t 4. Š ac bd š

70) Se a, b Â? \+ mostre que 2b(1  a2 )  4a(1  b2 ) t 12ab. 71) Se a e b Â? \+ mostre que a2  b  a  b (a ab  4a) t 0 . 72) Se x, y e z, sĂŁo nĂşmeros reais positivos e x + y + z = 1. Determine o 1 4 9 valor mĂ­nimo de   . x y z 73) Mostre que se a Â? \+ entĂŁo

2a2  1

! 1.

4a2  1

74) (Gazeta MatemĂĄtica) Se a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais positivos e abc = 1 prove que: bc c a a b   t a b c 3 a b c 75) Prove que se a, b e c sĂŁo nĂşmeros reais tais que a > 1, b > 1 e c > 1, entĂŁo 9 § logc b loga c logb a ¡ 2˜ ¨   ¸ t ca ab š abc Š bc 76) Se x, y e z sĂŁo nĂşmeros reais positivos. Prove que: §x ¨  ¨y Š

2

¡ §y x ¸  ¨  ¨ z 3 x˜y˜z 3 x˜y˜z ¸ š Š z

2

¡ §z y ¸  ¨  ¸ ¨ x 3 x˜y˜z š Š

2

¡ ¸ t 12 ¸ š

77) Mostre que para a, b e c reais positivos temos que

a b  b c  c a ˜ ab 2

2

2

2

 bc 2  ca2 t 9 a2b2 c 2

78) Se 0 < x < 1 qual o valor mĂĄximo de f(x)

x Â&#x2DC; 1  x2 .


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39

91) (Ibero) Determine D, E, J e T sabendo que sĂŁo as raĂ­zes da equação D E J T 4x 4  ax 3  bx 2  cx  5 0 e que    1. 2 4 5 8 92) Supondo que n ĂŠ natural mostre que nn ! 1Â&#x2DC; 3 Â&#x2DC; 5 Â&#x2DC; 7 Â&#x2DC; ... 2n  1 . 93) Se a, b, c e d sĂŁo nĂşmeros reais positivos de soma 1, prove que S

4a  1  4b  1  4c  1  4d  1  6

94) Encontre todas as soluçþes em números reais positivos do sistema: ­a  b  c  d 12 Ž ¯abcd 27  ab  ac  ad  bc  bd  cd 95) Se a, b e c são inteiros que satisfazem a condição

a b c   b c a

3.

Prove que abc ĂŠ o cubo de um inteiro. n

§ n  1¡ 96) Para n natural, com n t 2 , mostre que n!  ¨ ¸ . Š 2 š 97) Usando MA t MG, mostre que a desigualdade de Bernoulli

1  x n t 1  nx , com n natural, ĂŠ vĂĄlida para x > 0. 98) (Desigualdade de Young) Se p e q sĂŁo nĂşmeros racionais positivos 1 1 xp y q tais que  1, entĂŁo para x e y positivos tem-se  t xy . p q p q 99) Prove que se a1, a2 , a3 , ..., an Â? \  e a1 Â&#x2DC; a2 Â&#x2DC; a3 Â&#x2DC;... Â&#x2DC; an

1 entĂŁo

nestas condiçþes verdade que 1  a1 Â&#x2DC; 1  a2 Â&#x2DC; 1  a3 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; 1  an t 2n . 100) (Desigualdade de Carlson) Mostre que

a1  a2  ...  a2 2 d Cn a21c 21  a22c 22  ...  a2nc 2n

onde Cn ĂŠ uma constante. 101) Mostre que a1  a2  ...  a2  2

S2 2 a1  22 a22  32 a32  ...  n2an2 . 6


Apêndice

Polinômios Simétricos Desigualdades Elementares


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5 - Apêndice POLINÔMIOS SIMÉTRICOS

Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares, na resolução de algumas equações irracionais são as funções polinomiais simétricas, que apesar de seu grande poder algébrico são pouco divulgadas entre os nossos alunos. A finalidade deste breve artigo é exibir de modo sucinto como estas ferramentas podem ser úteis na resolução de alguns problemas olímpicos.

I.

Polinômios Simétricos

Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quando f(x, y) = f(y, x) para todos os valores x, y.

Exemplos: a) V1 = x + y e V 2 = x · y, são evidentemente polinômios simétricos (chamados polinômios simétricos elementares). b) Os polinômios da forma Sn = xn + yn, com n  ` também são simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em função de V1 e V2. Vejamos: Se Sn = xn + yn, n  `, (n t 2), então: Sn = xn + yn = (x + y) (xn–1 + yn–1) – xy(xn–2 + yn–2) = V1 · Sn–1 – V2 · Sn–2 (n t 2) Mas, S0 = x0 + y0 = 1 + 1 = 2 S1 = x1 + y1 = x + y = V1 Assim temos que: S0 = 2 S1 = V1 S2 = V1 · S1 – V2· S0 = V1 · V1 – V2 · 2 = V12 – 2V2


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5 - Apêndice – Polinômios Simétricos

S3 = V1 · S2 – V2· S1 = V1 (V12 – 2V2) – V2 · V1 = V13 – 3V1 · V2 E daí usando a lei de recorrência Sn = V1 Sn–1 – V2 Sn–2 (n t 2) podemos determinar Sn em função de V1 e V2 para qualquer número natural n. Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em V1 e V2 observemos o seguinte fato: Num polinômio simétrico f(x, y) para os termos da forma a · xK · yK não temos nenhum problema pois a · xK · yK = a(x · y)K = a · V2K. Agora com os termos da forma b · xi · yK, com i < k devemos observar o seguinte fato: Como, por hipótese, f(x, y) é simétrico se b · xi · yk, com i < k estiver presente em f(x, y) temos que b · xk · yi também deve estar presente em f(x, y), visto que deve ser satisfeita a condição f(x, y) = f(y, x). Assim se agruparmos os termos b · xi · yk + b · xk · yi (i < k) temos que:

b · xi · yk + b · xk · yi = b · xi · yi (xk–i + yk–i) = b · V2i · Sk–i, mas como já mostramos anteriormente Sk–i pode ser escrito como um polinômio em V1 e V2, pois k – i  `, visto que i < k.

II.

Exemplos Resolvidos

01. (Funções simétricas elementares a 3 variáveis) Definido: V1 = x + y + z V2 = xy + xz + yz V3 = x · y · z Sn = xn + yn + zn, com n  ` (n t 2). Mostre que: a) Sn = V1 · Sn–1 – V2 · Sn–2 + V3 · Sn–3 (n t 3, com n  `) b) S3 = V13 – 3V1V2 + 3V3

Resolução: Observe inicialmente que: xn + yn + zn = (x + y + z) (xn–1 + yn–1 + zn–1) – (xy + xz + yz) (xn–2 + yn–2 + zn–2) + xyz (xn–3 + yn–3 + zn–3)


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03) Fatore (x + y + z)3 â&#x20AC;&#x201C; (x3 + y3 + z3).

Resolução: (x + y + z)3 â&#x20AC;&#x201C; (x3 + y3 + z3) = V13 â&#x20AC;&#x201C; S3 Mas, no exemplo anterior vimos que S3 = V13 â&#x20AC;&#x201C; 3V1V2 + 3V3 e daĂ­ (x + y + z)3 â&#x20AC;&#x201C; (x3 + y3 + z3) = V13 â&#x20AC;&#x201C; (V13 â&#x20AC;&#x201C; 3V1V2 + 3V3) = 3(V1V2 â&#x20AC;&#x201C; V3) = 3 ¡ [(x + y + z) (xy + xz + yz) â&#x20AC;&#x201C; xyz] = 3(x2y + x2z + xyz + xy2 + xyz + y2z + xyz + xz2 + yz2 â&#x20AC;&#x201C; xyz) = 3 ¡ [xy(x + y) + xz(x + y) + yz(y + z) + xz(y + z)] = 3 ¡ [(x + y)(xy + xz) + (y + z)(yz + xz)] = 3 ¡ [(x + y) ¡ x(y + z) + (y + z) ¡ z(x + y)] = 3(x + y)(y + z)(x + z) 04) Se x1 e x2 sĂŁo as raĂ­zes da equação x2 â&#x20AC;&#x201C; 6x + 1 = 0 determine o valor de x15 + x25.

Resolução: Fazendo Sn = x1n + x2n, n Â? `, queremos determinar S5 = x15 + x25 Temos que: V1 = x1 + x2 = 6 V2 = x1 ¡ x2 = 1 S0 = x10 + x20 = 1 + 1 = 2 S1 = x1 + x2 = 6 Sn = V1 ¡ Snâ&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C; V2 ¡ Snâ&#x20AC;&#x201C;2 = 6Snâ&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C; Snâ&#x20AC;&#x201C;2, S2 = 6 ¡ S1 â&#x20AC;&#x201C; S0 = 6 ¡ 6 â&#x20AC;&#x201C; 2 = 34 S3 = 6 ¡ S2 â&#x20AC;&#x201C; S1 = 6 ¡ 34 â&#x20AC;&#x201C; 6 = 198 S4 = 6 ¡ S3 â&#x20AC;&#x201C; S2 = 6 ¡ 198 â&#x20AC;&#x201C; 34 = 1.154 S5 = 6 ¡ S4 â&#x20AC;&#x201C; S3 = 6 ¡ 1.154 â&#x20AC;&#x201C; 198 = 6.726

e daĂ­:

Assim: x15 + x25 = 6.726 05) Determine todas as soluçþes reais do sistema xyz 1 ­° Ž 3 3 3 4 4 4 °¯ x  y  z  xyz x  y  z  1

Resolução:


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183

­y  z 6 Por outro lado, se V2 = 8 Â&#x; ÂŽ Â&#x; y = 2 e z = 4 ou z = 2 e y = 4 ÂŻ yÂ&#x2DC;z 8 Assim concluĂ­mos que: y = 2 Â&#x; x = 16 y = 4 Â&#x; x = 256

Logo as raízes reais da equação são 16 e 256.

III. Problemas Propostos 01) Se D,E e J sĂŁo as raĂ­zes da equação x3 + 3x2 â&#x20AC;&#x201C; 7x + 1 = 0. Determine o valor de D3  E3  J 3  D 4  E4  J 4 . ­ xy a °° 02) Mostre que se o sistema ÂŽ x 2  y 2 b tem solução, entĂŁo a3 â&#x20AC;&#x201C; 3ab + 2c = 0. ° 3 3 c °¯ x  y

03) Sejam a,b,c Â? R , sabendo que a  b  c ! 0 , a  b  c ! 0 e abc ! 0 mostre que a >0 , b >0 e c >0.

04) Se x + y + z = 0, verifique que, para n = 0, 1, 2, ... vale a relação: xn3  yn3  zn3

21 x

xyz xn  yn  zn 

05) Determine as raízes reais da equação

4

2

 y 2  z2

97  x 

x 4

n1

x

 yn1  zn1 5.

06) a) Definindo: ­V1 ° ŽV 2 °V ¯ 3

Mostre que

V3

V1.V2 Â&#x;

abc ab  ac  bc abc a

b ou a

c ou b

c .


184

5 - ApĂŞndice â&#x20AC;&#x201C; PolinĂ´mios SimĂŠtricos

b) Sejam a, b e c nĂşmeros reais tal que 1 a

2011



1 b

2011



c

1 1 1   a b c

1

1

2011

a  b  c 2011

1 . Mostre que abc

.

07) Sejam a, b e c nĂşmeros reais positivos tais que: loga b  logb c  logc a

0

Determine o valor de loga b  logb c  logc a

3

3

3

08) Se D, E e J são números complexos tais que: ­D  E  J 1 °° 2 2 2 ŽD  E  J ° 3 3 3 °¯D  E  J

3 7

Determine o valor de D 21  E21  J 21.

IV. Resoluçþes 01)

Se D ,E e J sĂŁo as raĂ­zes da equação x3 + 3x2 â&#x20AC;&#x201C; 7x + 1 = 0.

Determine o valor de D3  E3  J 3  D 4  E4  J 4 .

Resolução: Para uma equação polinomial do 3°grau ax3  bx 2  cx  d D , E e J são bastante conhecidas as relaçþes de Girard, ­ °V1 ° ° ŽV 2 ° ° ° V3 ¯

DE J



DE  DJ  EJ DEJ



d a

b a c a

0 com raĂ­zes


194

6 - ApĂŞndice â&#x20AC;&#x201C; Demonstraçþes -Desigualdades Elementares

6 - DEMONSTRAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES Desigualdades Elementares

A intenção deste apêndice Ê reunir num mesmo lugar vårias demonstraçþes das principais desigualdades elementares clåssicas, coisa que em geral, só se consegue após consultar diversas obras. Assim estarå facilitado o trabalho do leitor, que num mesmo lugar poderå encontrar as demonstraçþes detalhadas destas importantes ferramentas Matemåticas.

I.

Desigualdade de Bernoulli Para todo x Â? \, x > â&#x20AC;&#x201C;1 e n Â? ` tem-se (1 + x)n t 1 + nx.

Demonstração: Inicialmente vamos usar o mÊtodo da indução sobre n.

1Âş modo: para n = 1 (1 + x)1 t 1 + 1¡x ĂŠ verdadeira pois (1 + x)1 = 1 + x e evidentemente 1 + x t 1 + x. Suponhamos que a desigualdade seja verdadeira para n = k, isto ĂŠ, para x > â&#x20AC;&#x201C;1, (1 + x)k t 1 + kx Agora vamos verificar que a desigualdade ĂŠ vĂĄlida para n = k + 1. De fato, como estamos supondo que x > â&#x20AC;&#x201C;1 segue que 1 + x > 0. Assim podemos multiplicar ambos os membros da desigualdade (1 + x)k t 1 + kx por 1 + x, sem que seja alterado o sinal da desigualdade. Assim

1 x

k

t 1 kx Â&#x; 1 x 1 x t 1  kx 1  x

k

1  x  kx  kx 2 t 1  k  1 x

ou seja, (1 + x)k+1 t 1 + (k + 1)x, o que verifica que a desigualdade ĂŠ vĂĄlida para todo n natural.


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195

2° modo: Uma outra maneira de chegarmos ao resultado Ê verificar que se bn  an 0 < a < b e n � `, n t 1, então nan 1 d . ba E fato, bn  an ba

bn 1  bn  2 a  ...  an 1 t an 1  an 1  ...  an 1

Portanto nan1 d

nan 1

bn  an ; ba

Tomando b = x + 1 e a = 1, e lembrando que 1 + x > 0 segue que

1  x  1 1  x  1 bn  a n n Â&#x; n Â&#x2DC; 1n 1 d Â&#x;nd Â&#x; 1  x t 1  nx ba x 1  x  1 n

nan 1 d

n

II. Desigualdade entre as mĂŠdias aritmĂŠtica e geomĂŠtrica Sejam x1, x2, ..., xn nĂşmeros reais positivos. EntĂŁo n

x1x 2 ... xn d

x1  x 2  ...  xn n

A igualdade ocorrendo se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn. Para demonstrarmos este conhecido e importante resultado vamos demonstrar inicialmente um resultado auxiliar: Sejam x1, x2, ..., xn números reais positivos tais que x1 ¡ x2 ¡ ... ¡ xn = 1, então x1  x 2  ...  xn t n , valendo a igualdade se, e somente se, x1 x 2 ... xn 1 . Faremos novamente uma demonstração por indução sobre n.

Para n = 1: Temos x1 = 1 e portanto x1 t 1 , o que torna o resultado verdadeiro.


196

6 - ApĂŞndice â&#x20AC;&#x201C; Demonstraçþes -Desigualdades Elementares

Suponhamos que o resultado seja vĂĄlido para n = k, ou seja, x1 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; xk

1 Â&#x; x1  x 2  ...  xn t k

Agora vamos verificar que o resultado ĂŠ vĂĄlido para n = k + 1. De fato, sejam x1, x 2 ,..., xk , xk 1 nĂşmeros reais positivos tais que x1 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; xk Â&#x2DC; xk 1 1 . Assim dois casos podem se apresentar: i.

Todos os nĂşmeros x1, x 2 ,..., xk , xk 1 sĂŁo iguais, ou seja, x1 x 2 ... xk xk 1 . Como estamos supondo que x1 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; xk Â&#x2DC; xk 1 1 segue que neste caso todos eles tĂŞm de ser iguais a 1 e portanto x1  x 2  ...  xk  xk 1 k  1 . O resultado vale, neste caso, para n = k + 1, visto que a igualdade ĂŠ verificada quando cada um dos nĂşmeros ĂŠ igual a 1.

ii.

Nem todos os nĂşmeros sĂŁo iguais, ou seja, hĂĄ entre os nĂşmeros um deles que ĂŠ menor que 1 e outro que ĂŠ maior que 1, pois nĂŁo podemos ter todos os nĂşmeros menores que 1 nem todos os nĂşmeros maiores que 1, visto que o produto de todos eles deve ser igual a 1. Sem perda de generalidade podemos supor que x1 < 1 e que xk 1 ! 1. Fazendo x1 Â&#x2DC; xk 1 b1 segue que x Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; xk Â&#x2DC; xk 1

1 Â&#x; b1 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; ... Â&#x2DC; xk

1

Pela hipótese de indução segue que b1  x 2  ...  xk t k . Assim, x1  x 2  ...  xk  xk 1

b1  x 2  ...  xk  x1  b1  xk 1 t k  x1  b1  xk 1 

tk

Para finalizar devemos verificar que x1  b1  xk 1 t 1. De fato, lembrando que x1 Â&#x2DC; xk 1 x1  b1  xk 1

b1 segue que x1  x1xk 1  xk 1

Assim, x1  b1  xk 1

x1  x1xk 1  xk 1

x1 1  xk 1  xk 1  1  1

x1 1  xk 1  1  xk 1  1

1  xk 1 x1  1  1


204

Bibliografia [1] Andreescu, Titu; Enesc, Bogdan. Mathematical Olympiad Treasures. Birkhauser. 2004. [2] Andreescu, Titu; Feng; Zuming. A Path to Combinatorics for Undergraduates-Counting Strategies. Birkhauser. 2004. [3] Berzsenyi, George; Mauer, Stephen B. The Contest Problem Book V. The Mathematical Association of America. 1997. [4] Chentzov, N.N.; Shklarsky, D.O.; Yaglom, I.M. The USSR Olympiad Problem Book - Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics. W. H. Freeman and Company. 1962. [5] D´Angelo, John P.; West, Douglas B. Mathematical Thinking - ProblemSolving and Proofs Prentice Hall. 2000. [6] Edwards, Josephine D.; King, Declan, J.; O’Halloran, Peter J.All The Best From The Australian Mathematical Competition. Australian Mathematics Competition. 1986. [7] Fauring, Flora ; Wagner, Eduardo;Moreira, Carlos G. T. de A, Gutierrez, Pedraza; Wykowsky. Problemas de las Olimpiadas Matematicas del Cono Sur. Red Olimpica.1994. [8] Honsberger, Ross. In Pólya´s Footsteps. The Mathematical Association of America. 1997. [9] Honsberger, Ross. Mathematical Chestnuts from Around the World. The Mathematical Association of America. 2001. [10] Honsberger, Ross. Mathematical Delights. Association of America. 2004.

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205

[14] Moreira, Carlos G. T. de A.; Wagner, Eduardo. Iberoamericanas de Matemática. OEI. 1996.

10 Olimpíadas

[15] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997: Questões e Soluções. ACIESP No. 106. ACIESP. 1999. [16] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997: Questões e Soluções. 2º. Grau ACIESP No. 106. 1999. [17] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997: Questões e Soluções de 5ª. A 8ª. Série do 1º. Grau. ACIESP No. 102. 1999. [18] Salkind, Charles T.; Earl, James M. The Contest Problem Book III. The Mathematical Association of American. 1973. [19] Taylor, P J. Tournament of the Towns 1984-1989. Australian International Center for Mathematics Enrichment. 1992. [20] Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. Dover.1985. [21] Valderlind, Paul ; Guy, Richard ; Larson, Loren. The Inquisitive Problem Solver - MAA Problems Books. The Mathematical Association of America. 2001. [22] Veloso, Eduardo ; Viana, José. Desafios Vol. 01 ao 08. Edições Afrontamento - Portugal. 1991 a 2002. [23] www.obm.org.br [24] Zeitz, Paul. The Art and Craft of Problem Solving.Second Edition. John Wiley & Sons, INC. 2007. [25] Crux Mathematicorum, CMS – vários volumes

Tópicos de Matemática - IME ITA Olimpíadas - Carlos Gomes, José Maria Gomes - Volume 1  

Nessa obra prima, os autores fazem mágica com os Produtos Notáveis, Fatoração e Desigualdades das Médias. Mais de 200 questões de Matemática...

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