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SUMÁRIO Complemento 1

Situações - Problema do Tipo Galinhas e Coelhos (método da suposição) ..................................... 05 Fixando as Ideias .............................................................................................................................. 06 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................... 07 Desafios de Tirar o Fôlego ................................................................................................................ 08

Complemento 2

Tratamento da Informação e Probabilidade ..................................................................................... 09 Ideia de Tratamento da Informação ................................................................................................. 09 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 11 Média Aritmética ............................................................................................................................. 15 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 16 Média Aritmética Ponderada .......................................................................................................... 18 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 20 Noções de Probabilidade ................................................................................................................. 21 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 24 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 28 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 29 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 30 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 36

Complemento 3

Espaço e Formas Geométricas Espaciais ......................................................................................... 37 Figuras Geométricas: Espaciais e Planas ......................................................................................... 37 Sólidos Geométricos: Poliedros e Corpos Redondos ....................................................................... 38 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 39 Relação de Euler na Contagem das Faces, Vértices e Arestas ......................................................... 41 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 43 Planificação de Sólidos Geométricos ............................................................................................... 45 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 46 Visão Espacial .................................................................................................................................. 48 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 51 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 53 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 58

Complemento 4

Espaço e Formas Geométricas Planas ............................................................................................. 59 Das Formas Espaciais aos Elementos Fundamentais da Geometria ................................................ 59 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 62 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 63 Posições da Reta .............................................................................................................................. 64 Partes da Reta .................................................................................................................................. 66 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 67 Ângulos ............................................................................................................................................ 68


Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 70 Polígonos ......................................................................................................................................... 71 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 73 Triângulos: Polígonos Muito Especiais ............................................................................................. 74 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 76 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 76 Quadriláteros ................................................................................................................................... 77 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 80 Forma Circular: Circunferência e Círculo ......................................................................................... 81 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 83 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 83 Simetria nas Figuras Geométricas ................................................................................................... 85 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 88 Composição e Decomposição de Figuras Espaciais ......................................................................... 89 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 89 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 91 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 93

Complemento 5

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas ............. 94 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 95 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 97 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 98

Complemento 6

Descrição, Interpretação e Representação de uma Pessoa ou Objeto no Espaço e Construção de Itinerário ............................................................................................................... 99 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 100 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 101 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 102

Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas .................... 103 Fórmula de Pick ............................................................................................................................. 104 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 106 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 108 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 110 Gabarito ......................................................................................................................................... 111 Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 115


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

SituAçõeS-ProBleMA do tiPo GAlinhAS e CoelhoS

1

Complemento

Seria bastante fácil resolvermos os problemas que se seguem com o manuseio da Álgebra. Porém, a resolução através de sistemas de equações foge dos assuntos exigidos nos 5º e 6º anos. Assim, achamos melhor, resolvermos sem o uso da Álgebra. Dessa forma, a metodologia utilizada nas resoluções dos problemas a seguir chamaremos de Método da Suposição. Considere os seguintes exemplos: • Em um sítio, criam-se galinhas e coelhos que juntos totalizam 38 cabeças. Ao contar o número de pés encontramos 122. Quantas galinhas e quantos coelhos existem nesse sítio?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Resolução: Vamos supor que todos os 38 animais são coelhos (ou poderia também supor que todos fossem galinhas, mas como um coelho tem mais pés que uma galinha, é melhor sempre supor o que tem mais). Daí, era pra ter 38 x 4 pés = 152 pés. Como só temos 122 pés, isso quer dizer que nem todos os animais são coelhos. Considerando que um coelho tem 4 pés e uma galinha tem 2 pés, cada coelho que é substituído por uma galinha faz uma diferença de (4 – 2) = 2 pés para menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (152 - 122) = 30 pés corresponde a 2 vezes o número de galinhas. Portanto , o número de galinhas é dado por 30 : 2 = 15 e o número de coelhos por (38 – 15) = 23. • Em um estacionamento havia carros e motocicletas no total de 43 veículos e 150 rodas no chão. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionados. Resolução: Vamos supor que todos os 43 veículos são carros. Daí, era pra ter 43 x 4 rodas = 172 rodas. Mas só temos 150 rodas, isso quer dizer que nem todos os veículos são carros. Levando em conta que um carro tem 4 rodas e uma motocicleta tem 2 rodas, cada carro que é substituído por uma motocicleta faz uma diferença de (4 – 2) = 2 rodas a menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (172 - 150) = 22 rodas corresponde a 2 vezes o número de motocicletas. Logo temos, 22 : 2 = 11 motocicletas e (43 – 11) = 32 carros. • O professor Edivando sabendo que seu filho iria prestar o Concurso de Admissão ao colégio Militar de Fortaleza propôs o seguinte acordo para motivá-lo nos estudos: Elaboraria 50 problemas para ele resolver por semana. Informando-o que ganhará 3 reais por problema resolvido corretamente e perderá 1 real por cada problema não resolvido ou incorreto. No final da semana, seu filho ganhou 118 reais. Quantos problemas ele resolveu corretamente? Resolução: Vamos supor que seu filho acertou todos os 50 problemas. Dessa maneira, ele era pra ganhar 50 x 3 reais = 150 reais. Mas, o enunciado diz que ele só ganhou 118 reais, isso quer dizer que nem todos os problemas foram acertados e por isso deixou de ganhar (150 – 118) = 32 reais. Em cada pro-

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Complemento 1

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

04.

(CMPA) Em uma caixa, que custa R$ 30,00, são acondicionados 5 kg de maçãs e de pêras. Se o quilograma de pêras custa R$ 4,00 e o quilograma de maçãs custa R$ 9,00, podemos afirmar que, nessa caixa, existem A.( ) 2 kg de pêras. B.( ) 3 kg de pêras. C.( ) 4 kg de pêras. D.( ) 3 kg de maçãs. E.( ) 4 kg de maçãs.

05.

(CMBH) Um garoto, ao abrir seu cofre, verificou que nele havia somente moedas de R$ 0,05 e de R$ 0,10 num total de 45 moedas que somavam R$ 3,20. A diferença entre o número de moedas de R$ 0,05 e R$ 0,10 existentes no cofre é igual a: A. ( ) 13 B. ( ) 11 C. ( ) 3 D. ( ) 5 E. ( ) 7

06.

(CMC-2009) O professor Guilherme, do 9º ano do Colégio Militar de Curitiba, fez uma brincadeira com seus alunos: a cada pergunta que um aluno a certasse, ganharia 8 pontos; a cada uma que errasse, perderia 5 pontos. O aluno Alan Gomes, depoisde responder 26 perguntas, terminou a brincadeira sem ganhar e sem ficar devendo nada. O número de perguntas que o aluno Alan Gomes acertou foi de: A. ( ) 10 B. ( ) 11 C. ( ) 12 D. ( ) 16 E. ( ) 18

07.

(CMB) Tiago recebeu uma lista de 120 problemas de matemática para resolver. Seu avô prometeu que lhe daria R$ 0,70 por cada problema que viesse a acertar, mas, em contrapartida, Tiago devolveria R$ 0,30 por cada um que viesse a errar. No final,

01. (CMR-2006) Dona Márcia é proprietária do sa-

lão de beleza mais procurado da cidade, porém ela só atende a clientela feminina. Certo dia, ela resolveu fazer a seguinte promoção:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

hoJe: Corte de cabelo em adulto: R$ 10,00. Corte de cabelo em criança: R$ 8,00. Se neste dia dona Márcia realizou doze cortes de cabelo, entre crianças e/ou adultos, e recebeu pelos cortes realizados um total de R$ 114,00, podemos então afirmar que neste dia: A ( ) apenas 2 crianças cortaram o cabelo. B ( ) só houve corte de cabelo em crianças. C ( ) só houve corte de cabelo em adultos. D ( ) a quantidade de crianças que cortou o cabelo foi igual a quantidade de adultos que cortou o cabelo. E ( ) três crianças cortaram o cabelo. 02. (CMR) No Jardim do Instituto Ricardo Bren-

nand há avestruzes e coelhos, contando-se ao todo 58 cabeças e 178 pernas. Quantos são os avestruzes? A. ( ) 27 B. ( ) 31 C. ( ) 33 D. ( ) 35 E. ( ) 39

03. (CMR) Desvendado o enigma, a porta se abriu

e da caverna saíram aranhas e escaravelhos. Os garotos perceberam que saíram ao todo 8 animais. Contaram 54 patas desses animais. Sabendo que cada aranha tem 8 patas e cada escaravelho tem 6 patas, então: A. ( ) havia 3 aranhas e 5 escaravelhos. B. ( ) havia 5 aranhas e 3 escaravelhos. C. ( ) havia 4 aranhas e 4 escaravelhos. D. ( ) havia 7 aranhas e 1 escaravelho. E. ( ) havia 6 aranhas e 2 escaravelhos.

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

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Complemento 1

Tiago ficou com R$ 72,00. A quantidade de problemas que acertou menos a quantidade de problemas que errou expressa-se por um número: A. ( ) igual a 8 vezes o número de problemas que errou. B. ( ) par e maior que 100. C. ( ) maior que 10 e menor que 15. D. ( ) par e múltiplo de 9. E. ( ) maior que 80 e menor que 90. 08.

(CMS) Ivan observa que em um estacionamento há 29 veículos, sendo 7 motocicletas (veículos com 2 rodas), 5 triciclos (veículos com três rodas), carros (veículos com quatro rodas) e ônibus (veículos com 6 rodas). Além dos pneus que utilizam normalmente para rodar, os ônibus e os carros têm um pneu reserva. Sabendo que o total de pneus, inclusive os reservas, dos veículos do estacionamento é de 132, Qual é o resultado da soma entre a metade do número de carros e o dobro do número de ônibus. A. ( ) 20 B. ( ) 22 C. ( ) 21 D. ( ) 26 E. ( ) 28

Moeda

Massa (gramas)

1 centavo

17,00

1,65

2,43

5 centavos

22,00

1,65

4,10

10 centavos

20,00

2,23

4,80

25 centavos

25,00

2,25

7,55

50 centavo

23,00

2,85

7,81

1 real

27,00

1,86

6,96

Fonte: www.casadamoeda.com.br

Em um cofrinho há 60 moedas, todas de 5 e de 10 centavos. Juntas, essas moedas tem a massa de 270,50 gramas. Baseado na tabela acima tem-se que, nesse cofrinho, existem A ( ) 30 moedas de 10 centavos. B ( ) 30 moedas de 5 centavos. C ( ) 25 moedas de 10 centavos. D ( ) 35 moedas de 10 centavos. E ( ) 35 moedas de 5 centavos. 02.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. A Casa da Moeda do Brasil (CMB) é respon-

sável pela impressão das cédulas monetárias, pela cunhagem das moedas em circulação no Brasil e também pela produção de medalhas comemorativas, selos fiscais e postais, passaportes, bilhetes magnetizados para transporte (metrô e ônibus), carteiras de trabalho, dentre outros produtos. Observe a tabela abaixo.

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Diâmetro Espessura (milímetros) (milímetros)

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Na papelaria Rumo ao CMF, uma caixa de canetas custa R$ 5,00, uma régua custa R$ 1,00 e uma borracha, R$ 0,10. Na papelaria há um total de 100 (cem) produtos, entre caixas de canetas, réguas e borrachas. O valor total desses 100 (cem) produtos é R$ 100,00. Quais são as possíveis quantidade de caixas de canetas, sabendo-se que, na papelaria, existe pelo menos uma unidade de cada produto? A ( ) 3 ou 6 caixas. B ( ) 6 ou 12 caixas. C ( ) 9 ou 18 caixas. D ( ) 12 ou 24 caixas. E ( ) Qualquer valor entre 1 (uma) e 20 caixas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

trAtAMento dA inForMAçÃo e ProBABilidAde

2

Complemento

1. Ideia de Tratamento da Informação Consiste em proporcionar, principalmente, por meios de gráficos, tabelas e diagramas, a capacidade de coletar, organizar, analisar e interpretar; com a finalidade de prever, para tomar decisões em situações-problema de diversas áreas do cotidiano. Veja o exemplo:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No Campeonato Cearense de Futebol 2 011, 12 times disputaram a 1ª divisão. Na contagem dos pontos ganhos, destacamos os resultados dos cinco melhores dados coletados: Horizonte, obteve 17 pontos; Guarani de Juazeiro, 21 pontos; Fortaleza, 24 pontos; Guarani de Sobral, 17 pontos; Ceará, 29 pontos. Os dados coletados foram organizados de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Tabela Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Times Pontos Ganhos Horizonte 17 Guarani de Juazeiro 21 Fortaleza 24 Guarani de Sobral 17 Ceará 29 Fonte: Federação Cearense de Futebol. Acesso em 12/02/2 012

2ª maneira: Gráfico de Barras Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Quantidade de Pontos 35 30 25 20 15 10 5 0 Horizonte

Guarani (J)

Fortaleza

Guarani (S)

Ceará

Time Fonte: Federação Cearense de Futebol

Os recursos gráficos utilizados para representar os dados coletados formam uma tabela e um gráfico.

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64.

O jogo de Dominó tem 28 peças diferentes. As peças são formadas por retângulos e cada uma é dividida em duas casas; em cada casa aparecem de 0 a 6 bolinhas. Se, aleatoriamente, uma peça for retirada do jogo de Dominó, qual a probabilidade do número total de bolinhas dessa peça ser igual a 6? A. ( ) 5/28 B. ( ) 3/28 C. ( ) 1/7 D. ( ) 1/6 E. ( ) 1/5

01. (CMB–2011) O gráfico abaixo mostra o fatu-

Em um baralho de 52 cartas, existem 13 cartas de cada naipe ( ouros, copas, paus e espadas). Ao retirar uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de se obter: a) um “ouro”? b) um “rei”?

65.

Ao lançar dois dados, qual a probabilidade da soma dos números nas faces de cima ser igual a 6? A. ( ) 1/12 B. ( ) 1/6 C. ( ) 5/12 D. ( ) 5/36 E. ( ) 4/6

66.

Yasmin dispõe dos algarismos 2, 4, 7 e 6 e sem repeti-los escreve em um papel todos os números diferentes de quatro algarismos possíveis e coloca na urna. Em seguida, pede a seu irmão Samuel que retire ao acaso um papel e diga seu número. Qual a probabilidade de ser retirado um número ímpar? A ( ) 1/10 B ( ) 1/3 C ( ) 2/5 D ( ) 1/4 E ( ) 1/7

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T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

ramento mensal das empresas C e M no primeiro semestre de 2011: Faturamento das Empresas C e M 1º Semestre - 2011

210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90

C M

jan

fev

mar

abr

mai

jun

Mês

Com base nesse gráfico, pode-se afirmar que A ( ) houve um mês em que o faturamento da empresa C foi o dobro do faturamento da empresa M, no mesmo mês. B ( ) no mês de janeiro, a diferença de faturamento entre as empresas C e M foi maio que nos demais meses. C ( ) a empresa M foi a que sofreu maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos. D ( ) o faturamento total de C, no semestre, foi maior que o de M. E ( ) a diferença entre os faturamentos totais no semestre das empresas C e M excedeu 25 milhões de reais. 02.

(CMB–2011) Sabe-se que a probabilidade de um bebê nascer do sexo masculino equivale a um meio. Em um reino, a coroa é sempre passada ao primeiro filho da Família Real, seja um homem ou uma mulher. Nessa situação, a chance de que, por três gerações seguidas, um homem seja coroado corresponde a A ( ) três meios. B ( ) um sexto.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

63.

Complemento 2

Faturamento (em milhões de reais)

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 2

02. O gráfico abaixo mostra o valor aproximado do

01.

Definimos média aritmética como sendo a soma de dois ou mais números dividida pela quantidade de números somados. Considere três números naturais representados pelas letras C, M e F. Sobre esses números sabemos que: • a média aritmética dos números C e M é igual a 12; • a média aritmética dos números M e F é igual a 26; • a média aritmética dos números C e F é igual a 20. De acordo com as informações acima, o valor de C + M + F é igual a A( ) 29 B( ) 58 C( ) 62 D( ) 85 E( ) 92

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Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

dólar em reais no dia 15 dos últimos 6 meses.

Valor

2,0 1,5 1,0

Meses

D

J

F

M

A

M

J

Felipe comprou um carro usando um sistema de financiamento chamado leasing corrigido pela variação do dólar e suas prestações vencem exatamente no dia 15 de cada mês. Em dezembro, Felipe pagou R$ 600,00 de prestação. Com base na tabela, podemos dizer que em maio a prestação foi de: A( ) R$ 700,00 B( ) R$ 850,00 C( ) R$ 650,00 D( ) R$ 900,00 E( ) R$ 800,00

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D eSAFioS de tirAr o FÔleGo


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS eSPACiAiS

3

Complemento

Bola de futebol

Lata de leite

Melão

Tronco de árvore

Esfera

Casca de sorvete

Cilindro

Dado

Pinheiro

Bloco de rocha

Cone

Cubo

1. Figuras Geométrica: espaciais (ou sólidos geométricos) e planos (polígonos) As figuras geométricas espaciais (ou sólidos geométricos) são também chamados de figuras tridimensionais, pois têm 3 dimensões: comprimento, largura e altura. Por exemplo:

gu

ra

altura

¾ Paralelepípedo

comprimento

lar

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Tudo que nos cerca tem uma forma: os objetos e as construções feitas pelo homem, assim como os da natureza. Nessas diversas formas, podemos encontrar figuras geométricas; como nos exemplos que se seguem:

As figuras geométricas planas são também chamadas de figuras bidimensionais, pois têm duas dimensões: comprimento e largura. Por exemplo: Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

37


Complemento 3

32. Cristiana deu uma volta ao parque, partindo

do ponto assinalado e na direção da seta.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ela tirou 4 fotografias. Qual a ordem, dentre A, B, C e D seguem as fotografias no sentido considerado? a)

b)

c)

d)

33. Abaixo temos as vistas lateral, traseira e su-

perior de uma pilha de caixotes dispostos sobre um vagão de carga. Somente com essas vistas, não conseguimos saber o número exato de caixotes que estão no vagão, mas podemos determinar a quantidade mínima e máxima. Qual dos números abaixo pode representar a quantidade de caixas dispostas sobre esse vagão?

Visão lateral

A. ( B. ( C. ( D. ( E. (

) 28 ) 34 ) 42 ) 52 ) 60

Visão traseira

Visão superior

espaço e Formas Geométricas espaciais

(CMB–2011) Fernanda e Juliana participaram da “Feira de Matemática” da escola. Fernanda construiu um prisma hexagonal e Juliana uma pirâmide de base triangular. Para cobrir seu prisma hexagonal, Fernanda gastou de folha de papel crepom para cada face lateral e de folha de papel crepom para cada base. Juliana gastou 50 centímetros (cm) de fita adesiva para cobrir cada uma das arestas de sua pirâmide de base triangular. Sabendo-se que Fernanda pagou R$ 0,75 por folha de papel crepom e que Juliana pagou R$ 1,25 o metro da fita adesiva, pode-se afirmar, em relação ao custo com papel crepom e fita adesiva, que A ( ) Juliana pagou o dobro da quantia paga por Fernanda. B ( ) Fernanda pagou R$ 2,00 a mais que Juliana. C ( ) Juliana pagou R$ 1,75 a mais que Fernanda. D ( ) o custo de Fernanda foi R$ 2,25 menor que o de Juliana. E ( ) o custo de Juliana excedeu o de Fernanda em R$ 1,50.

02. (CMB–2011) Lúcia e Tiago são irmãos e gos-

tam muito de Matemática. O pai deles, Seu Antenor, para incentivar o interesse dos filhos, toda sexta-feira pela manhã entrega um desafio matemático para eles. Aquele que resolve primeiro e corretamente o desafio escolhe um filme para assistirem todos juntos à noite. As crianças adoram essa brincadeira. Na última sexta-feira, Seu Antenor entregou o seguinte desafio: “Observe a planificação do dado e diga o número de pontos representado nas faces pelas letras C, M e B, sabendo que pontos de faces opostas somam 7.”

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53


Complemento 3

01.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Yasmin construiu um “Castelo” empilhando

cubinho de madeira. As três figuras abaixo mostram as vistas de frente, de cima edo lado esquerdo. Determine quantos cubinhos ela utilizou para construir o “Castelo”?

Vista de frente

A( B( C( D( E(

58

Vista de cima

Samuel entrou emuma loja de brinquedos que estava exposta uma construção com quatro pisos de blocos pretos e brancos (figura 1). Cada piso é feito com blocos da mesma cor. Na figura 2, a construção é vista de cima. Quantos blocos brancos foram usados na construção? A( B( C( D( E(

)9 ) 10 ) 12 ) 13 ) 14

Vista da lateral esquerda

) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14

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edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS PlAnAS

4

Complemento

1. das Formas espaciais aos elementos Fundamentais da Geometria Já vimos que no mundo onde vivemos, tudo ao nosso redor apresenta três dimensões. Estudamos um pouco os poliedros e os não poliedros. Considere uma caixa cúbica conforme a figura a seguir:

B

A D

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A D

A

E

H

F

E

plano H

G

F

ponto

E

parte da reta

Imagine então uma face do cubo acima projetado em uma folha de papel. Esta folha pode representar um plano se desprezarmos sua espessura; uma vez que ela é muito pequena. E a face projetada na folha é uma figura plana, bidimensional, pois só apresenta comprimento e altura. Por outro lado, se pintarmos um dos vértices do cubo e o tocarmos com a folha, estando a tinta ainda fresca, a marca ali deixada representa um ponto. Fazendo o mesmo com uma das arestas do cubo, pintamos a aresta e, com a tinta fresca, o tocamos com a folha. Estará ali representada uma parte de uma reta. Assim, ponto, reta e plano, são conhecidos como os elementos primitivos ou básicos da geometria. São “ideias” que intuitivamente se formam em nossa mente. ¾ Ponto O ponto, por exemplo, pode ser representado pela marca deixada da ponta de um lápis em uma folha de papel, por um grão de feijão espalhado sobre uma superfície ou mesmo pelo encontro de duas linhas.

A Marca de uma ponta de lápis

B Grão de feijão na superfície

P Encontro de duas linhas

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59


Complemento 4

57.

Quantos planos de simetria tem no cubo mágico abaixo? A( )1 B( )2 C( )3 D( )4 E( )5

58.

Quantos planos de simetria tem as figuras tridimensionais abaixo.

espaço e Formas Geométricas Planas

02. (CMBH–2011) No Mineirão haverá uma sala

de troféus e cada um deles ficará sobre um apoio com o formato de um prisma hexagonal regular, representado abaixo:

Desenho em perspectiva

a)

b)

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Pirâmide hexagonal

d)

c)

Octaedro regular

e)

Cilindro

A respeito dessa estrutura, é correto afirmar que: A ( ) todas as suas faces são quadrados. B ( ) todas suas faces possuem eixo de simetria. C ( ) tem o número de faces igual ao número de arestas. D ( ) tem o número de arestas menor que o número de vértices. E ( ) possui um total de 6 faces e 1 base.

Prisma hexagonal

f)

Cone

Esfera

03. (CMBH–2011) Na entra-

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMBH–2011) Para revestir a tribuna de honra do Mineirão, serão utilizados três painéis nos seguintes formatos: quadrado, pentágono regular e hexágono regular. Para montá-los, os empreiteiros possuem somente ladrilhos triangulares de tamanhos variados. O número máximo de ladrilhos triangulares necessário para a composição de cada uma dessas figuras, respectivamente, sabendo-se que, após essa composição, as mesmas figuras ficarão divididas apenas pelos seus eixos de simetria, é igual a: A ( ) 2, 3, 4. B ( ) 2, 5, 6. C ( ) 4, 5, 6 . D ( ) 8, 4, 6. E ( ) 8, 10, 12.

da principal do estádio Castelão será instalada A uma placa em homenagem à reinauguração. Essa placa será fixada em um paralelepípedo retângulo, conforme a E figura ao lado:

D C B Plac

a

H G

F

Dentre as opções abaixo, determine, aquele que inclui, respectivamente, duas arestas paralelas e duas arestas perpendiculares A ( ) AC e EG ; AC e CG B ( ) EF e CD ; AC e BF C ( ) AD e FG ; DH e EH D ( ) AE e FB ; CG e FB E ( ) AE e AB ; BC e CG

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

91


Complemento 4

C ( ) r interseção t é um ponto, quando são paralelas. D ( ) r interseção t é vazio, quando são coincidentes. E ( ) r interseção t é a reta r, quando são oblíquas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13.

14.

15.

(CMR–1998) Quanto as noções de geometria, podemos afirmar que A ( ) retas reversas são aquelas que ficam no mesmo plano e são perpendiculares. B ( ) ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 45º e menor que 90º. C ( ) em todo polígono, o número de lados é igual ao dobro do número de vértices. D ( ) uma linha poligonal fechada simples é chamada de polígono. E ( ) dois segmentos de retas podem ser ao mesmo tempo consecutivos, colineares, congruentes e concorrentes.

SeI é o ponto de encontro das diagonais desse quadrado, pode, se afirmar que, em metros, a soma ie + iF + iG + ih é igual a A ( ) 8. B ( ) 12. C ( ) 16. D ( ) 32. E( )6

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Observe as figuras seguintes:

H

D

I

G

F

s t

r

u

(CMR–2000) Tome cinco pontos distintos M, N, P, Q e R sobre uma reta. Quantos segmentos você pode determinar? A( ) 4 B( ) 7 C ( ) 10 D ( ) 12 E ( ) 14 (CMPA–2010) Considerando o quadrado ABCD da figura seguinte, tem-se que • sua área é igual a 64m². • E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. • ACeBDsãoassuasdiagonais,asquaiscort am-seaomeio. E A B

espaço e Formas Geométricas Planas

v

Com uma reta r, determinamos duas regiões ou partes de um círculo. Com duas retas s e t, podemos determinar três ou quatro regiões em um círculo. Desenhe três retas em um círculo que determine: a) quatro regiões; b) cinco regiões; c) seis regiões; d) sete regiões. 02.

Pelo menos quantos quadrados precisam ser sombreados para se ter um eixo de simetria? A( )4 B( )6 C( )5 D( )2 E( )3

C Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

93


edivando de lima e rômulo tavares

5

Complemento

Complemento 1

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de PeríMetroS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

Nos problemas que envolvem perímetros em malhas quadriculadas, devemos considerar, na maioria das vezes, o lado de um quadradinho como uma unidade de medida de comprimento. Assim, para calcularmos o perímetro, basta contarmos o número de vezes que o lado de um quadradinho aparece no contorno de determinada figura. Vejamos o exemplo que se segue: Calcular o perímetro da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm. 1cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1cm

Resolução Partindo da extremidade de um dos lados da figura e seguindo um sentido, até completarmos o desenho, é fácil perceber que, ao longo do seu contorno, temos 88 lados da malha quadriculada; portanto seu perímetro, P, é dado por: P = 88 x (unidade de comprimento); isto é, P = 88 x 1cm = 88 cm. nota Tenha muita atenção na contagem dos lados do contorno da figura. Seja preciso!

Aqui vai uma dica! À medida que você for contando os lados, no sentido escolhido, vá assinalando com um tracinho cada lado do quadradinho para não ocorrer repetição.

94

Matemática para paraAdmissão Admissãonos nosColégios ColégiosMilitares Militaresdo doBrasil Brasil


Complemento 5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

driculada abaixo:

Canteiro 1

12. Considere as figuras V, N e R na malha qua-

Canteiro 3

Lanchonete

Uma pessoa faz caminhadas em uma pista desenhada em um piso quadriculado, no qual o lado de cada quadrado mede 1 metro. A figura a seguir representa essa pista. Quantos metros essa pessoa percorre ao completar uma volta? 1m A. ( ) 36 m 1m B. ( ) 24 m C. ( ) 22 m D. ( ) 20 m E. ( ) 16 m

Yasmin fez o projeto de uma área de lazer em uma malha quadriculada, em que todos os quadradinhos têm 1 metro de lado, como mostra o desenho abaixo.

Lago

11.

13.

Canteiro 2

As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? A. ( ) 7,2 m B. ( ) 6,6 m C. ( ) 5,4 m D. ( ) 3,6 m E. ( ) 2,4 m

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

A. ( ) o perímetro do canteiro 1 mede 12 metros. B. ( ) o perímetro do canteiro 2 mede 16 metros. C. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 e do lago têm a mesma medida. D. ( )o perímetro da lanchonete mede 3 metros a mais que o perímetro do canteiro 3. E. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 têm medidas diferentes.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMRJ-2010) Na cidade planejada de “Matemópolis”, todos os quarteirões são quadrados idênticos de lado 500 m. No mapa abaixo, as linhas pontilhadas representam as ruas dessa cidade de mão dupla, ou seja, podem ser percorridos em qualquer sentido.

R V

C

N B

É correto afirmar que: A. ( ) o perímetro da figura V é o triplo do perímetro da figura R. B. ( ) o perímetro da figura N é o dobro do perímetro da figura V. C. ( ) o perímetro da figura R é a quarta parte do perímetro da figura N. D. ( ) o perímetro da figura N é maior que a soma dos perímetros das figuras V e R. E. ( ) o perímetro da figura N é o triplo do perímetro da figura R.

500 m

A

500 m

Mara toma táxi na esquina A de “Matemópolis”, passa pela esquina B para buscar sua amiga Patrícia e, em seguida, partem juntas, no mesmo táxi, para encontrar Ana Júlia que as aguarda na esquina C. Qual a

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

97


Complemento 5

a) O custo do letreiro do CMRJ será o mesmo que o custo do letreiroCMBH. b) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais barato que o custo do letreiro do CMBH. c) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais caro que o custo do letreiro do CMBH. d) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5100,00. e) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5475,00.

(CMRJ-2010) Uma formiguinha atravessa o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo um dos caminhos descritos na figura abaixo. Sabendo que, para percorrer o CAMINHO 2, a formiga gasta 3 minutos, e gasta o mesmo tempo para percorrer 1 dm em qualquer caminho, quanto tempo ela gastará para atravessar a sala, se percorrer o CAMINHO 4?

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo

CAMINHO 1 - 41 dm

CAMINHO 2 - 50 dm

01. O senhor Anastácio quer colocar uma cerca em

volta de cada um dos quatro canteiros indicados na figura. Sabendo que o perímetro do canteiro A é 60 metros, o do B é 64 metros e o do C é 56 metros, de quantos metros de cerca precisará o senhor Anastácio para o canteiro D? A. ( ) 58 m A D B. ( ) 60 m C. ( ) 62 m D. ( ) 64 m E. ( ) 68 m B C

CAMINHO 3 - 38 dm CAMINHO 4

A( B( c) ( d( e( 03.

) 2 minutos ) 2 minutos e 12 segundos ) 2 minutos e 22 segundos ) 2 minutos e 32 segundos ) 2 minutos e 42 segundos

(CMRJ-2010) No Colégio Militar de Belo Horizonte foi colocado um letreiro luminoso na entrada do colégio, om a configuração abaixo:

02. Duas formigas percorrem o trajeto da figura par-

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

m

98

40

O custo deste letreiro foi de R$ 75,00 por peça em forma quadrangular e R$ 42,00 por peça em forma triangular. Se o Colégio Militar do Rio de Janeiro colocar um letreiro com a configuração da figura exibida abaixo e utilizar o mesmo cálculo do custo do letreiro do Colégio Militar de

tindo, ao mesmo tempo, uma do ponto A e outra do ponto B. Elas andam com a mesma velocidade e no sentido indicado pelas flechas. Qual será a distância entre elas no momento em que elas ficarem uma de frente para a outra? A ( ) 30 m A B B ( ) 40 m C ( ) 50 m D ( ) 60 m E ( ) 70 m m

02.

Belo Horizonte, o que se pode afirmar sobre o custo do letreiro do CMRJ?

60m

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

menor distância que o táxi pode percorrer para sair de A e chegar a C passando por B? A ( ) 10,5 km B ( ) 10 km c) ( ) 11 km d ( ) 21 km e ( ) 20,5 km

30

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

deSCriçÃo, interPretAçÃo e rePreSentAçÃo de uMA PeSSoA ou oBJeto no eSPAço e ConStruçÃo de itinerÁrio

6

Complemento

É a indicação ou a descrição do caminho a ser percorrido, seguindo orientações de acordo com os pontos cardeais, direções baseadas no Sol e na Terra que são quatro:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• norte, inicial n, também chamado “Setentrional ou Boreal”. • sul, inicial S, também chamado “Meridional ou Austral”. • leste ou Este, inicial l ou e (leste em inglês), também chamado “Oriente, Nascente ou Levante”. Pois, é onde o sol “nasce” e está situado a sua direita, de acordo com a bússola. • oeste, inicial O ou W (West, em inglês), também chamado “Ocidente ou Poente”. Pois, é onde o sol “se põe” e está situado a sua esquerda, de acordo com a bússola.

nota: • As marinhas de Portugal e do Brasil usam a forma leste para evitar confusão com este (pronome demonstrativo), mas em geral é mais usual a inicial E.. • Os termos à esquerda e à direita são baseadas no corpo humano. • A bússola é um instrumento de Navegação e Orientação, que aponta sempre para o Norte de acordo com a Terra. Considere a situação a seguir: A Mell é uma cadela muito traquina e esperta. Ela passa o dia a passear entre os canteiros do quintal da Senhora Deniza e descobre muitos objetos para brincar. Mas com tantos canteiros, a Mell só pode andar em cima dos muros, para a direita (Leste) ou para a esquerda (Oeste) e para cima (Norte) ou para baixo (Sul), conforme está representado pelas linhas da malha quadriculada abaixo. A Mell é uma cadela muito esperta, ela faz sempre o caminho mais curto para chegar aos objetos.

B

E

D Norte

C

Leste

Oeste Sul

A Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

99


Complemento 6 descrição, interpretação e representação de uma Pessoa ou objeto no espaço e Construção de itinerário 04. A figura seguinte mostra um teatro onde as

cadeiras da plateia são numeradas de 1 a 25. Nara recebeu um ingresso de presente que dizia o seguinte: Sua cadeira está localizada exatamente no plateia centro da plateia. Qual é 21 22 23 24 25 a cadeira de Mara? 16 17 18 19 20 A. ( ) 12 11 12 13 14 15 B. ( ) 14 6 7 8 9 10 C. ( ) 13 1 2 3 4 5 D. ( ) 22 palco E. ( ) 23

05.

A( B( C( D( E( 07.

Quantos metros é preciso andar para chegar da bilheteria até a sala de exposição, sabendo que o lado do quadrado abaixo corresponde a três décimos de quilômetros: A.( ) 1,5 B.( ) 15,0 C.( ) 150,0 D.( ) 1,5 × 102 E.( ) 0,15 × 104 Exposição

Marcelo fez a seguinte planta da sua sala de aula:

Bilheteria

Quadro-negro

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

) esquerda na prateleira do meio. ) direita na prateleira de cima. ) esquerda na prateleira de cima. ) direita na prateleira do meio. ) esquerda na prateleira de baixo.

Professora

Marcelo

Tiago

Luiza

Carla

Márcia

Bruna

Tânia

Rodrigo

Rafael

08. Carlos pode ir de sua casa à escola andando

três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar: A ( ) 2 km para o leste B ( ) 1 km para o sul C ( ) 5 km para o leste D ( ) 3 km para o oeste E ( ) 4 km para o norte

Janela

Porta

Das crianças que se sentam perto da janela, a que senta mais longe da professora é A ( ) o Rafael. B ( ) o Marcelo. C ( ) a Tânia. D ( ) a Luiza. E ( ) a Bruna.

História

Literatura

Literatura

Música

Ciências

Ciências

Artes

Matemática

Matemática

Literatura

História Matemática

Matemática

Artes Português

História

Política Artes

Geografia

Literatura Esportes

História

Matemática

Considere, no desenho abaixo, as posições dos livros numa estante:

Português

06.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMS–2011)O mapa abaixo mostra a cidade de Salvador dividida em quadradinhos iguais. Vamos chamar a medida de cada lado de um quadradinho de “a”. Um helicóptero sai do ponto P, na Graça, voa 10apara o leste; depois voa para o norte 6a, voa 2a para o oeste, voa 2a para o sul, voa 3a para oeste, voa 4a para o sul e finalmente voa 2a para o oeste e para. Pode-se dizer que o ponto mais próximo ao da parada é:

Você está de frente para essa estante. O livro de Música é o terceiro a partir da sua:

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

101


Complemento 6

edivando de lima e rômulo tavares

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura ao lado está representado um labi-

A( B( C( D( E( 02.

) ) ) ) )

A B C D E

A( )

C( )

D( )

E( )

(CMS–2010) Partindo de um ponto inicial (ponto X), Luiz caminha seguindo a seguinte orientação até atingir o ponto final (ponto F): Norte

Oeste

02. Leste

Sul

•3 metros para Leste; •5 metros para o Sul; •4 metros para o Leste; •8 metros para o Norte; •9 metros para Oeste; •3 metros para o Sul. Se Luiz fizesse um caminho diferente desse, a menor distância que percorreria é A ( ) 2 metros. B ( ) 3 metros. C ( ) 4 metros. D ( ) 5 metros. E ( ) 6 metros.

102

B( )

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Um canguru de brinquedo estava colocado num quadrado de um tabuleiro, tal como é apresentado na figura. O Martim deslocou o canguru do quadrado inicial para um outro quadrado, fazendo 5 movimentos. Em cada movimento, o canguru só podia ser colocado num quadrado vizinho. Sabemos que o Martim fez os seguintes movimentos: primeiro para a direita, a seguir para cima, depois para a esquerda, a seguir para baixo e finalmente para a direita. Qual das seguintes figuras apresenta a posição final do canguru?

A( )

B( )

C( )

D( )

E( )

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

rinto que permite ao gato chegar ao leite e permite ao rato chegar ao queijo, sem que o gato e o rato se encontrem. Como é que poderá ser a parte escondida do labirinto?


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de ÁreAS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

7

Complemento

Nos problemas que envolvem áreas em malhas quadriculadas, devemos considerar cada quadradinho como unidade de medida de superfície. Assim, para calcularmos a área de figuras planas, basta contarmos o número de vezes que a unidade aparece na determinada figura. Veja o exemplo que se segue: Calcular a área da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm.

1 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 cm

Resolução A área da figura pode ser obtida pela contagem das unidades , não havendo a necessidade de cálculos. Assim, é fácil perceber que a figura cobre exatamente 21 unidades de área. Portanto, a área da superfície, A, é dada por: A = 21 ; isto é, 21 cm2.

nota Perceba que na figura há 17 superfície é de 21

e8

, sendo que 8

=4

. Daí, conclui-se que a medida da

.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

103


Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

Fórmula de Pick Dado um polígono simples P e sejam f o número de pontos de fronteira, I o número de pontos interiores. Então, a área A desse polígono é dada pela expressão seguinte: A=

f + I −1 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere o exemplo abaixo:

Na figura acima, temos f = 12 e I = 19; dessa forma a área da figura é calculada por A=

12 + 19 − 1 ∴ A = 24 unidades de área 2

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

105


Complemento 7

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

A ( ) A área da figura 1 é igual a área da figura 3. B ( ) A área da figura 1 é maior do que a área da figura 2. C ( ) A área da figura 5 é o dobro da área da figura 3. D ( ) A área da figura 2 é igual 1/16 a área da figura total. E ( ) A área da figura 4 é maior que a área da figura 3.

01. (CMCG– 2011)Durante uma aula de artes no

Colégio Militar de Campo Grande, o aluno Pitaluga fez o seguinte desenho em uma malha quadriculada.

03.

Observando o desenho acima, podemos afirmar que arazão entre a área cinza e a área não cinza é A ( ) 31/90. B ( ) 31/149. C ( ) 62/149. D ( ) 31/180. E ( ) 149/180. 02.

(CMF– 2011) Na malha da figura abaixo, cada quadradinho tem 1 cm2 de área. A área da região sombreada é A ( ) 24 cm2 B ( ) 23 cm2 C ( ) 25 cm2 D ( ) 22 cm2 E ( ) 26 cm2

04. (CMRJ– 2011) Durante as aulas de Educação

(CMCG–2011)O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo) que formam um quadrado. Com essas peças, podemos formar várias figuras, utilizando todas lado a lado, sem sobrepô-las.

Artística, os alunos do CMRJ fizeram um mural com o nome do mascote dos Jogos Militares em uma malha quadriculada. Para isso, usaram peças de cores e formatos diferentes, como mostra a figura abaixo. Peça clara

Peça escura

Mural

7 6

5 2

3

4 1

Observando o tangram acima, contido numa malha quadriculada; no que diz respeito às figuras numeradas, assinale a alternativa que contém a informação falsa.

108

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Desse modo, para compor todo o mural, os alunos usaram: A ( ) 40 peças claras e 100 peças escuras. B ( ) 20 peças claras e 25 peças escuras. C ( ) 40 peças claras e 50 peças escuras. D ( ) 20 peças claras e 100 peças escuras. E ( ) 21 peças claras e 26 peças escuras.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 7

11.(CMRJ–2010)Na figura abaixo, cada quadra-

36 m

dinho tem lado medindo 0,5 cm. A área de toda a parte sombreada nessa figura mede: 13,5 m

12.

13.

110

) 0,4200 dm2 ) 0,3925 dm2 ) 0,3825 dm2 ) 0,3750 dm2 ) 0,3525 dm2

(CMRJ–2006)Assim que acabou de roubar mais um navio do Rei, Barba Negra mandou pintar no mastro do seu navio o símbolo abaixo indicado, onde a soma das áreas de todos os possíveis quadrados existentes no símbolo corresponde ao número de navios já roubados. Sabendo-se que o símbolo é formado por nove quadrados de lado 1 cm, determine quantos navios do Rei já haviam sido roubados por Barba Negra? A ( )13 B ( )18 C ( ) 25 D ( ) 30 E ( ) 34

)60,8 m2 )61,2 m2 ) 64,8 m2 ) 68,4 m2 ) 75,6 m2

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura seguinte, o lado de cada quadradi-

nho mede 10 milímetros. Qual é a área da região cinza? A. ( ) 0,40 m2 B. ( ) 0,50 cm2 C. ( ) 0,58 cm2 D. ( ) 0,64 cm2 E. ( ) 0,72 cm2

02.

(CMRJ–2007)Morg ficou impressionado com um lindo e enorme painel localizado na parede, bem no fundo do grande salão. Quando recebeu a Pedra, o chefe dos matemágicos caminhou em direção ao painel e encaixou-a no símbolo nele pintado, indicado na figura abaixo. Determine a área desse símbolo, sabendo-se que o painel é formado por retângulos iguais.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Na malha quadriculada os lados dos quadrados medem 1 cm. Qual é a razão entre a área cinza e a área desse quadrado? A. ( ) 1/2 B. ( ) 3/5 C. ( ) 5/8 D. ( ) 3/4 E. ( ) 1

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A( B( C( D( E(

A( B( C( D( E(


GABAritoS CoMPleMento 1 Página 06 Fixando as Ideias 01

02

C

5 perus

03

04

28 tábuas

20 porcos 05

530 brancos e 970 azuis 06

07

C

36 perguntas

8

09

11 tiros

31 problemas

Página 07 Testes nos Colégios Militares 01

02

03

04

E

A

A

B

05

06

7

8

E

A

A

B

Página 08 desafios de tirar o Fôlego 01

02

D

C

CoMPleMento 2 Página 11 Fixando as Ideias

04

05

06

D

E

D

a) 9 números b) 6 números

36 possibilidades

44

45

10

11

24 maneiras

10 duplas

D

E

D

C

46

47

12

6 números

280 vezes

A

48

49

48 maneiras

6 números

50

51

Página 16 Fixando as Ideias 13

14

15

a) 7 b) 3,1 c) 24 d) 50,50

22 livros

C

16

a) 18 maneiras b) 2 cores

17

E

a) 4 735,5 l b) 789,25 l c) 26,4 l

19

20

21

54

E

D

E

38

22

23

24

1 2

C

D

E

Página 20 Fixando as Ideias 25

26

27

7,0

R$ 12,50

D

28

29

30

A

R$ 2 850,00 a) 6,5 b) 8,0 c) 4,0

31

32 aproximadamente 8,2

33

34

D

a) sexta-feira b) 3 128 pessoas c) aproximandamente 14,26%

A

D

a) 6 anagramas b) 24 anagramas

52

53

B

21

Página 29 Fixando as Ideias

18

32 anos

C = pau-brasil (30 m) D = cajueiro (10 m) E = castanha-do-pará (50 m) F = abacateiro-do-mato (20 m) G = cedro (35 m)

43

09

02

A = jequitibá (45 m) B = peroba (15 m)

a) D b) A c) D

42

08

01

03

07

35

36

37

B

D

E

38

39

30 opções

15 maneiras

40

41

12 possibilidades

8 resultados

a)

1 2

b)

1 3

a)

c) 0

56

57

2 3

1 4 58

59 D

7 7 13 b) c) 25 25 25 60

61

62

C

19 85

19%

63 C

Página 24 Fixando as Ideias

55

64 a)

1 1 b) 13 4

65

66

D

D


SUMÁRIO Complemento 1

Situações - Problema do Tipo Galinhas e Coelhos (método da suposição) ..................................... 05 Fixando as Ideias .............................................................................................................................. 06 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................... 07 Desafios de Tirar o Fôlego ................................................................................................................ 08

Complemento 2

Tratamento da Informação e Probabilidade ..................................................................................... 09 Ideia de Tratamento da Informação ................................................................................................. 09 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 11 Média Aritmética ............................................................................................................................. 15 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 16 Média Aritmética Ponderada .......................................................................................................... 18 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 20 Noções de Probabilidade ................................................................................................................. 21 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 24 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 28 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 29 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 30 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 36

Complemento 3

Espaço e Formas Geométricas Espaciais ......................................................................................... 37 Figuras Geométricas: Espaciais e Planas ......................................................................................... 37 Sólidos Geométricos: Poliedros e Corpos Redondos ....................................................................... 38 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 39 Relação de Euler na Contagem das Faces, Vértices e Arestas ......................................................... 41 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 43 Planificação de Sólidos Geométricos ............................................................................................... 45 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 46 Visão Espacial .................................................................................................................................. 48 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 51 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 53 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 58

Complemento 4

Espaço e Formas Geométricas Planas ............................................................................................. 59 Das Formas Espaciais aos Elementos Fundamentais da Geometria ................................................ 59 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 62 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 63 Posições da Reta .............................................................................................................................. 64 Partes da Reta .................................................................................................................................. 66 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 67 Ângulos ............................................................................................................................................ 68


Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 70 Polígonos ......................................................................................................................................... 71 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 73 Triângulos: Polígonos Muito Especiais ............................................................................................. 74 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 76 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 76 Quadriláteros ................................................................................................................................... 77 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 80 Forma Circular: Circunferência e Círculo ......................................................................................... 81 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 83 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 83 Simetria nas Figuras Geométricas ................................................................................................... 85 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 88 Composição e Decomposição de Figuras Espaciais ......................................................................... 89 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 89 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 91 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 93

Complemento 5

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas ............. 94 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 95 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 97 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 98

Complemento 6

Descrição, Interpretação e Representação de uma Pessoa ou Objeto no Espaço e Construção de Itinerário ............................................................................................................... 99 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 100 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 101 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 102

Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas .................... 103 Fórmula de Pick ............................................................................................................................. 104 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 106 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 108 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 110 Gabarito ......................................................................................................................................... 111 Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 115


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

SituAçõeS-ProBleMA do tiPo GAlinhAS e CoelhoS

1

Complemento

Seria bastante fácil resolvermos os problemas que se seguem com o manuseio da Álgebra. Porém, a resolução através de sistemas de equações foge dos assuntos exigidos nos 5º e 6º anos. Assim, achamos melhor, resolvermos sem o uso da Álgebra. Dessa forma, a metodologia utilizada nas resoluções dos problemas a seguir chamaremos de Método da Suposição. Considere os seguintes exemplos: • Em um sítio, criam-se galinhas e coelhos que juntos totalizam 38 cabeças. Ao contar o número de pés encontramos 122. Quantas galinhas e quantos coelhos existem nesse sítio?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Resolução: Vamos supor que todos os 38 animais são coelhos (ou poderia também supor que todos fossem galinhas, mas como um coelho tem mais pés que uma galinha, é melhor sempre supor o que tem mais). Daí, era pra ter 38 x 4 pés = 152 pés. Como só temos 122 pés, isso quer dizer que nem todos os animais são coelhos. Considerando que um coelho tem 4 pés e uma galinha tem 2 pés, cada coelho que é substituído por uma galinha faz uma diferença de (4 – 2) = 2 pés para menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (152 - 122) = 30 pés corresponde a 2 vezes o número de galinhas. Portanto , o número de galinhas é dado por 30 : 2 = 15 e o número de coelhos por (38 – 15) = 23. • Em um estacionamento havia carros e motocicletas no total de 43 veículos e 150 rodas no chão. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionados. Resolução: Vamos supor que todos os 43 veículos são carros. Daí, era pra ter 43 x 4 rodas = 172 rodas. Mas só temos 150 rodas, isso quer dizer que nem todos os veículos são carros. Levando em conta que um carro tem 4 rodas e uma motocicleta tem 2 rodas, cada carro que é substituído por uma motocicleta faz uma diferença de (4 – 2) = 2 rodas a menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (172 - 150) = 22 rodas corresponde a 2 vezes o número de motocicletas. Logo temos, 22 : 2 = 11 motocicletas e (43 – 11) = 32 carros. • O professor Edivando sabendo que seu filho iria prestar o Concurso de Admissão ao colégio Militar de Fortaleza propôs o seguinte acordo para motivá-lo nos estudos: Elaboraria 50 problemas para ele resolver por semana. Informando-o que ganhará 3 reais por problema resolvido corretamente e perderá 1 real por cada problema não resolvido ou incorreto. No final da semana, seu filho ganhou 118 reais. Quantos problemas ele resolveu corretamente? Resolução: Vamos supor que seu filho acertou todos os 50 problemas. Dessa maneira, ele era pra ganhar 50 x 3 reais = 150 reais. Mas, o enunciado diz que ele só ganhou 118 reais, isso quer dizer que nem todos os problemas foram acertados e por isso deixou de ganhar (150 – 118) = 32 reais. Em cada pro-

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

5


Complemento 1

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

04.

(CMPA) Em uma caixa, que custa R$ 30,00, são acondicionados 5 kg de maçãs e de pêras. Se o quilograma de pêras custa R$ 4,00 e o quilograma de maçãs custa R$ 9,00, podemos afirmar que, nessa caixa, existem A.( ) 2 kg de pêras. B.( ) 3 kg de pêras. C.( ) 4 kg de pêras. D.( ) 3 kg de maçãs. E.( ) 4 kg de maçãs.

05.

(CMBH) Um garoto, ao abrir seu cofre, verificou que nele havia somente moedas de R$ 0,05 e de R$ 0,10 num total de 45 moedas que somavam R$ 3,20. A diferença entre o número de moedas de R$ 0,05 e R$ 0,10 existentes no cofre é igual a: A. ( ) 13 B. ( ) 11 C. ( ) 3 D. ( ) 5 E. ( ) 7

06.

(CMC-2009) O professor Guilherme, do 9º ano do Colégio Militar de Curitiba, fez uma brincadeira com seus alunos: a cada pergunta que um aluno a certasse, ganharia 8 pontos; a cada uma que errasse, perderia 5 pontos. O aluno Alan Gomes, depoisde responder 26 perguntas, terminou a brincadeira sem ganhar e sem ficar devendo nada. O número de perguntas que o aluno Alan Gomes acertou foi de: A. ( ) 10 B. ( ) 11 C. ( ) 12 D. ( ) 16 E. ( ) 18

07.

(CMB) Tiago recebeu uma lista de 120 problemas de matemática para resolver. Seu avô prometeu que lhe daria R$ 0,70 por cada problema que viesse a acertar, mas, em contrapartida, Tiago devolveria R$ 0,30 por cada um que viesse a errar. No final,

01. (CMR-2006) Dona Márcia é proprietária do sa-

lão de beleza mais procurado da cidade, porém ela só atende a clientela feminina. Certo dia, ela resolveu fazer a seguinte promoção:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

hoJe: Corte de cabelo em adulto: R$ 10,00. Corte de cabelo em criança: R$ 8,00. Se neste dia dona Márcia realizou doze cortes de cabelo, entre crianças e/ou adultos, e recebeu pelos cortes realizados um total de R$ 114,00, podemos então afirmar que neste dia: A ( ) apenas 2 crianças cortaram o cabelo. B ( ) só houve corte de cabelo em crianças. C ( ) só houve corte de cabelo em adultos. D ( ) a quantidade de crianças que cortou o cabelo foi igual a quantidade de adultos que cortou o cabelo. E ( ) três crianças cortaram o cabelo. 02. (CMR) No Jardim do Instituto Ricardo Bren-

nand há avestruzes e coelhos, contando-se ao todo 58 cabeças e 178 pernas. Quantos são os avestruzes? A. ( ) 27 B. ( ) 31 C. ( ) 33 D. ( ) 35 E. ( ) 39

03. (CMR) Desvendado o enigma, a porta se abriu

e da caverna saíram aranhas e escaravelhos. Os garotos perceberam que saíram ao todo 8 animais. Contaram 54 patas desses animais. Sabendo que cada aranha tem 8 patas e cada escaravelho tem 6 patas, então: A. ( ) havia 3 aranhas e 5 escaravelhos. B. ( ) havia 5 aranhas e 3 escaravelhos. C. ( ) havia 4 aranhas e 4 escaravelhos. D. ( ) havia 7 aranhas e 1 escaravelho. E. ( ) havia 6 aranhas e 2 escaravelhos.

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

7


Complemento 1

Tiago ficou com R$ 72,00. A quantidade de problemas que acertou menos a quantidade de problemas que errou expressa-se por um número: A. ( ) igual a 8 vezes o número de problemas que errou. B. ( ) par e maior que 100. C. ( ) maior que 10 e menor que 15. D. ( ) par e múltiplo de 9. E. ( ) maior que 80 e menor que 90. 08.

(CMS) Ivan observa que em um estacionamento há 29 veículos, sendo 7 motocicletas (veículos com 2 rodas), 5 triciclos (veículos com três rodas), carros (veículos com quatro rodas) e ônibus (veículos com 6 rodas). Além dos pneus que utilizam normalmente para rodar, os ônibus e os carros têm um pneu reserva. Sabendo que o total de pneus, inclusive os reservas, dos veículos do estacionamento é de 132, Qual é o resultado da soma entre a metade do número de carros e o dobro do número de ônibus. A. ( ) 20 B. ( ) 22 C. ( ) 21 D. ( ) 26 E. ( ) 28

Moeda

Massa (gramas)

1 centavo

17,00

1,65

2,43

5 centavos

22,00

1,65

4,10

10 centavos

20,00

2,23

4,80

25 centavos

25,00

2,25

7,55

50 centavo

23,00

2,85

7,81

1 real

27,00

1,86

6,96

Fonte: www.casadamoeda.com.br

Em um cofrinho há 60 moedas, todas de 5 e de 10 centavos. Juntas, essas moedas tem a massa de 270,50 gramas. Baseado na tabela acima tem-se que, nesse cofrinho, existem A ( ) 30 moedas de 10 centavos. B ( ) 30 moedas de 5 centavos. C ( ) 25 moedas de 10 centavos. D ( ) 35 moedas de 10 centavos. E ( ) 35 moedas de 5 centavos. 02.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. A Casa da Moeda do Brasil (CMB) é respon-

sável pela impressão das cédulas monetárias, pela cunhagem das moedas em circulação no Brasil e também pela produção de medalhas comemorativas, selos fiscais e postais, passaportes, bilhetes magnetizados para transporte (metrô e ônibus), carteiras de trabalho, dentre outros produtos. Observe a tabela abaixo.

8

Diâmetro Espessura (milímetros) (milímetros)

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Na papelaria Rumo ao CMF, uma caixa de canetas custa R$ 5,00, uma régua custa R$ 1,00 e uma borracha, R$ 0,10. Na papelaria há um total de 100 (cem) produtos, entre caixas de canetas, réguas e borrachas. O valor total desses 100 (cem) produtos é R$ 100,00. Quais são as possíveis quantidade de caixas de canetas, sabendo-se que, na papelaria, existe pelo menos uma unidade de cada produto? A ( ) 3 ou 6 caixas. B ( ) 6 ou 12 caixas. C ( ) 9 ou 18 caixas. D ( ) 12 ou 24 caixas. E ( ) Qualquer valor entre 1 (uma) e 20 caixas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

trAtAMento dA inForMAçÃo e ProBABilidAde

2

Complemento

1. Ideia de Tratamento da Informação Consiste em proporcionar, principalmente, por meios de gráficos, tabelas e diagramas, a capacidade de coletar, organizar, analisar e interpretar; com a finalidade de prever, para tomar decisões em situações-problema de diversas áreas do cotidiano. Veja o exemplo:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No Campeonato Cearense de Futebol 2 011, 12 times disputaram a 1ª divisão. Na contagem dos pontos ganhos, destacamos os resultados dos cinco melhores dados coletados: Horizonte, obteve 17 pontos; Guarani de Juazeiro, 21 pontos; Fortaleza, 24 pontos; Guarani de Sobral, 17 pontos; Ceará, 29 pontos. Os dados coletados foram organizados de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Tabela Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Times Pontos Ganhos Horizonte 17 Guarani de Juazeiro 21 Fortaleza 24 Guarani de Sobral 17 Ceará 29 Fonte: Federação Cearense de Futebol. Acesso em 12/02/2 012

2ª maneira: Gráfico de Barras Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Quantidade de Pontos 35 30 25 20 15 10 5 0 Horizonte

Guarani (J)

Fortaleza

Guarani (S)

Ceará

Time Fonte: Federação Cearense de Futebol

Os recursos gráficos utilizados para representar os dados coletados formam uma tabela e um gráfico.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

9


64.

O jogo de Dominó tem 28 peças diferentes. As peças são formadas por retângulos e cada uma é dividida em duas casas; em cada casa aparecem de 0 a 6 bolinhas. Se, aleatoriamente, uma peça for retirada do jogo de Dominó, qual a probabilidade do número total de bolinhas dessa peça ser igual a 6? A. ( ) 5/28 B. ( ) 3/28 C. ( ) 1/7 D. ( ) 1/6 E. ( ) 1/5

01. (CMB–2011) O gráfico abaixo mostra o fatu-

Em um baralho de 52 cartas, existem 13 cartas de cada naipe ( ouros, copas, paus e espadas). Ao retirar uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de se obter: a) um “ouro”? b) um “rei”?

65.

Ao lançar dois dados, qual a probabilidade da soma dos números nas faces de cima ser igual a 6? A. ( ) 1/12 B. ( ) 1/6 C. ( ) 5/12 D. ( ) 5/36 E. ( ) 4/6

66.

Yasmin dispõe dos algarismos 2, 4, 7 e 6 e sem repeti-los escreve em um papel todos os números diferentes de quatro algarismos possíveis e coloca na urna. Em seguida, pede a seu irmão Samuel que retire ao acaso um papel e diga seu número. Qual a probabilidade de ser retirado um número ímpar? A ( ) 1/10 B ( ) 1/3 C ( ) 2/5 D ( ) 1/4 E ( ) 1/7

30

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

ramento mensal das empresas C e M no primeiro semestre de 2011: Faturamento das Empresas C e M 1º Semestre - 2011

210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90

C M

jan

fev

mar

abr

mai

jun

Mês

Com base nesse gráfico, pode-se afirmar que A ( ) houve um mês em que o faturamento da empresa C foi o dobro do faturamento da empresa M, no mesmo mês. B ( ) no mês de janeiro, a diferença de faturamento entre as empresas C e M foi maio que nos demais meses. C ( ) a empresa M foi a que sofreu maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos. D ( ) o faturamento total de C, no semestre, foi maior que o de M. E ( ) a diferença entre os faturamentos totais no semestre das empresas C e M excedeu 25 milhões de reais. 02.

(CMB–2011) Sabe-se que a probabilidade de um bebê nascer do sexo masculino equivale a um meio. Em um reino, a coroa é sempre passada ao primeiro filho da Família Real, seja um homem ou uma mulher. Nessa situação, a chance de que, por três gerações seguidas, um homem seja coroado corresponde a A ( ) três meios. B ( ) um sexto.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

63.

Complemento 2

Faturamento (em milhões de reais)

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 2

02. O gráfico abaixo mostra o valor aproximado do

01.

Definimos média aritmética como sendo a soma de dois ou mais números dividida pela quantidade de números somados. Considere três números naturais representados pelas letras C, M e F. Sobre esses números sabemos que: • a média aritmética dos números C e M é igual a 12; • a média aritmética dos números M e F é igual a 26; • a média aritmética dos números C e F é igual a 20. De acordo com as informações acima, o valor de C + M + F é igual a A( ) 29 B( ) 58 C( ) 62 D( ) 85 E( ) 92

36

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

dólar em reais no dia 15 dos últimos 6 meses.

Valor

2,0 1,5 1,0

Meses

D

J

F

M

A

M

J

Felipe comprou um carro usando um sistema de financiamento chamado leasing corrigido pela variação do dólar e suas prestações vencem exatamente no dia 15 de cada mês. Em dezembro, Felipe pagou R$ 600,00 de prestação. Com base na tabela, podemos dizer que em maio a prestação foi de: A( ) R$ 700,00 B( ) R$ 850,00 C( ) R$ 650,00 D( ) R$ 900,00 E( ) R$ 800,00

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS eSPACiAiS

3

Complemento

Bola de futebol

Lata de leite

Melão

Tronco de árvore

Esfera

Casca de sorvete

Cilindro

Dado

Pinheiro

Bloco de rocha

Cone

Cubo

1. Figuras Geométrica: espaciais (ou sólidos geométricos) e planos (polígonos) As figuras geométricas espaciais (ou sólidos geométricos) são também chamados de figuras tridimensionais, pois têm 3 dimensões: comprimento, largura e altura. Por exemplo:

gu

ra

altura

¾ Paralelepípedo

comprimento

lar

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Tudo que nos cerca tem uma forma: os objetos e as construções feitas pelo homem, assim como os da natureza. Nessas diversas formas, podemos encontrar figuras geométricas; como nos exemplos que se seguem:

As figuras geométricas planas são também chamadas de figuras bidimensionais, pois têm duas dimensões: comprimento e largura. Por exemplo: Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

37


Complemento 3

32. Cristiana deu uma volta ao parque, partindo

do ponto assinalado e na direção da seta.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ela tirou 4 fotografias. Qual a ordem, dentre A, B, C e D seguem as fotografias no sentido considerado? a)

b)

c)

d)

33. Abaixo temos as vistas lateral, traseira e su-

perior de uma pilha de caixotes dispostos sobre um vagão de carga. Somente com essas vistas, não conseguimos saber o número exato de caixotes que estão no vagão, mas podemos determinar a quantidade mínima e máxima. Qual dos números abaixo pode representar a quantidade de caixas dispostas sobre esse vagão?

Visão lateral

A. ( B. ( C. ( D. ( E. (

) 28 ) 34 ) 42 ) 52 ) 60

Visão traseira

Visão superior

espaço e Formas Geométricas espaciais

(CMB–2011) Fernanda e Juliana participaram da “Feira de Matemática” da escola. Fernanda construiu um prisma hexagonal e Juliana uma pirâmide de base triangular. Para cobrir seu prisma hexagonal, Fernanda gastou de folha de papel crepom para cada face lateral e de folha de papel crepom para cada base. Juliana gastou 50 centímetros (cm) de fita adesiva para cobrir cada uma das arestas de sua pirâmide de base triangular. Sabendo-se que Fernanda pagou R$ 0,75 por folha de papel crepom e que Juliana pagou R$ 1,25 o metro da fita adesiva, pode-se afirmar, em relação ao custo com papel crepom e fita adesiva, que A ( ) Juliana pagou o dobro da quantia paga por Fernanda. B ( ) Fernanda pagou R$ 2,00 a mais que Juliana. C ( ) Juliana pagou R$ 1,75 a mais que Fernanda. D ( ) o custo de Fernanda foi R$ 2,25 menor que o de Juliana. E ( ) o custo de Juliana excedeu o de Fernanda em R$ 1,50.

02. (CMB–2011) Lúcia e Tiago são irmãos e gos-

tam muito de Matemática. O pai deles, Seu Antenor, para incentivar o interesse dos filhos, toda sexta-feira pela manhã entrega um desafio matemático para eles. Aquele que resolve primeiro e corretamente o desafio escolhe um filme para assistirem todos juntos à noite. As crianças adoram essa brincadeira. Na última sexta-feira, Seu Antenor entregou o seguinte desafio: “Observe a planificação do dado e diga o número de pontos representado nas faces pelas letras C, M e B, sabendo que pontos de faces opostas somam 7.”

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

53


Complemento 3

01.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Yasmin construiu um “Castelo” empilhando

cubinho de madeira. As três figuras abaixo mostram as vistas de frente, de cima edo lado esquerdo. Determine quantos cubinhos ela utilizou para construir o “Castelo”?

Vista de frente

A( B( C( D( E(

58

Vista de cima

Samuel entrou emuma loja de brinquedos que estava exposta uma construção com quatro pisos de blocos pretos e brancos (figura 1). Cada piso é feito com blocos da mesma cor. Na figura 2, a construção é vista de cima. Quantos blocos brancos foram usados na construção? A( B( C( D( E(

)9 ) 10 ) 12 ) 13 ) 14

Vista da lateral esquerda

) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14

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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS PlAnAS

4

Complemento

1. das Formas espaciais aos elementos Fundamentais da Geometria Já vimos que no mundo onde vivemos, tudo ao nosso redor apresenta três dimensões. Estudamos um pouco os poliedros e os não poliedros. Considere uma caixa cúbica conforme a figura a seguir:

B

A D

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A D

A

E

H

F

E

plano H

G

F

ponto

E

parte da reta

Imagine então uma face do cubo acima projetado em uma folha de papel. Esta folha pode representar um plano se desprezarmos sua espessura; uma vez que ela é muito pequena. E a face projetada na folha é uma figura plana, bidimensional, pois só apresenta comprimento e altura. Por outro lado, se pintarmos um dos vértices do cubo e o tocarmos com a folha, estando a tinta ainda fresca, a marca ali deixada representa um ponto. Fazendo o mesmo com uma das arestas do cubo, pintamos a aresta e, com a tinta fresca, o tocamos com a folha. Estará ali representada uma parte de uma reta. Assim, ponto, reta e plano, são conhecidos como os elementos primitivos ou básicos da geometria. São “ideias” que intuitivamente se formam em nossa mente. ¾ Ponto O ponto, por exemplo, pode ser representado pela marca deixada da ponta de um lápis em uma folha de papel, por um grão de feijão espalhado sobre uma superfície ou mesmo pelo encontro de duas linhas.

A Marca de uma ponta de lápis

B Grão de feijão na superfície

P Encontro de duas linhas

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

59


Complemento 4

57.

Quantos planos de simetria tem no cubo mágico abaixo? A( )1 B( )2 C( )3 D( )4 E( )5

58.

Quantos planos de simetria tem as figuras tridimensionais abaixo.

espaço e Formas Geométricas Planas

02. (CMBH–2011) No Mineirão haverá uma sala

de troféus e cada um deles ficará sobre um apoio com o formato de um prisma hexagonal regular, representado abaixo:

Desenho em perspectiva

a)

b)

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Pirâmide hexagonal

d)

c)

Octaedro regular

e)

Cilindro

A respeito dessa estrutura, é correto afirmar que: A ( ) todas as suas faces são quadrados. B ( ) todas suas faces possuem eixo de simetria. C ( ) tem o número de faces igual ao número de arestas. D ( ) tem o número de arestas menor que o número de vértices. E ( ) possui um total de 6 faces e 1 base.

Prisma hexagonal

f)

Cone

Esfera

03. (CMBH–2011) Na entra-

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMBH–2011) Para revestir a tribuna de honra do Mineirão, serão utilizados três painéis nos seguintes formatos: quadrado, pentágono regular e hexágono regular. Para montá-los, os empreiteiros possuem somente ladrilhos triangulares de tamanhos variados. O número máximo de ladrilhos triangulares necessário para a composição de cada uma dessas figuras, respectivamente, sabendo-se que, após essa composição, as mesmas figuras ficarão divididas apenas pelos seus eixos de simetria, é igual a: A ( ) 2, 3, 4. B ( ) 2, 5, 6. C ( ) 4, 5, 6 . D ( ) 8, 4, 6. E ( ) 8, 10, 12.

da principal do estádio Castelão será instalada A uma placa em homenagem à reinauguração. Essa placa será fixada em um paralelepípedo retângulo, conforme a E figura ao lado:

D C B Plac

a

H G

F

Dentre as opções abaixo, determine, aquele que inclui, respectivamente, duas arestas paralelas e duas arestas perpendiculares A ( ) AC e EG ; AC e CG B ( ) EF e CD ; AC e BF C ( ) AD e FG ; DH e EH D ( ) AE e FB ; CG e FB E ( ) AE e AB ; BC e CG

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

91


Complemento 4

C ( ) r interseção t é um ponto, quando são paralelas. D ( ) r interseção t é vazio, quando são coincidentes. E ( ) r interseção t é a reta r, quando são oblíquas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13.

14.

15.

(CMR–1998) Quanto as noções de geometria, podemos afirmar que A ( ) retas reversas são aquelas que ficam no mesmo plano e são perpendiculares. B ( ) ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 45º e menor que 90º. C ( ) em todo polígono, o número de lados é igual ao dobro do número de vértices. D ( ) uma linha poligonal fechada simples é chamada de polígono. E ( ) dois segmentos de retas podem ser ao mesmo tempo consecutivos, colineares, congruentes e concorrentes.

SeI é o ponto de encontro das diagonais desse quadrado, pode, se afirmar que, em metros, a soma ie + iF + iG + ih é igual a A ( ) 8. B ( ) 12. C ( ) 16. D ( ) 32. E( )6

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Observe as figuras seguintes:

H

D

I

G

F

s t

r

u

(CMR–2000) Tome cinco pontos distintos M, N, P, Q e R sobre uma reta. Quantos segmentos você pode determinar? A( ) 4 B( ) 7 C ( ) 10 D ( ) 12 E ( ) 14 (CMPA–2010) Considerando o quadrado ABCD da figura seguinte, tem-se que • sua área é igual a 64m². • E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. • ACeBDsãoassuasdiagonais,asquaiscort am-seaomeio. E A B

espaço e Formas Geométricas Planas

v

Com uma reta r, determinamos duas regiões ou partes de um círculo. Com duas retas s e t, podemos determinar três ou quatro regiões em um círculo. Desenhe três retas em um círculo que determine: a) quatro regiões; b) cinco regiões; c) seis regiões; d) sete regiões. 02.

Pelo menos quantos quadrados precisam ser sombreados para se ter um eixo de simetria? A( )4 B( )6 C( )5 D( )2 E( )3

C Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

93


edivando de lima e rômulo tavares

5

Complemento

Complemento 1

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de PeríMetroS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

Nos problemas que envolvem perímetros em malhas quadriculadas, devemos considerar, na maioria das vezes, o lado de um quadradinho como uma unidade de medida de comprimento. Assim, para calcularmos o perímetro, basta contarmos o número de vezes que o lado de um quadradinho aparece no contorno de determinada figura. Vejamos o exemplo que se segue: Calcular o perímetro da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm. 1cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1cm

Resolução Partindo da extremidade de um dos lados da figura e seguindo um sentido, até completarmos o desenho, é fácil perceber que, ao longo do seu contorno, temos 88 lados da malha quadriculada; portanto seu perímetro, P, é dado por: P = 88 x (unidade de comprimento); isto é, P = 88 x 1cm = 88 cm. nota Tenha muita atenção na contagem dos lados do contorno da figura. Seja preciso!

Aqui vai uma dica! À medida que você for contando os lados, no sentido escolhido, vá assinalando com um tracinho cada lado do quadradinho para não ocorrer repetição.

94

Matemática para paraAdmissão Admissãonos nosColégios ColégiosMilitares Militaresdo doBrasil Brasil


Complemento 5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

driculada abaixo:

Canteiro 1

12. Considere as figuras V, N e R na malha qua-

Canteiro 3

Lanchonete

Uma pessoa faz caminhadas em uma pista desenhada em um piso quadriculado, no qual o lado de cada quadrado mede 1 metro. A figura a seguir representa essa pista. Quantos metros essa pessoa percorre ao completar uma volta? 1m A. ( ) 36 m 1m B. ( ) 24 m C. ( ) 22 m D. ( ) 20 m E. ( ) 16 m

Yasmin fez o projeto de uma área de lazer em uma malha quadriculada, em que todos os quadradinhos têm 1 metro de lado, como mostra o desenho abaixo.

Lago

11.

13.

Canteiro 2

As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? A. ( ) 7,2 m B. ( ) 6,6 m C. ( ) 5,4 m D. ( ) 3,6 m E. ( ) 2,4 m

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

A. ( ) o perímetro do canteiro 1 mede 12 metros. B. ( ) o perímetro do canteiro 2 mede 16 metros. C. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 e do lago têm a mesma medida. D. ( )o perímetro da lanchonete mede 3 metros a mais que o perímetro do canteiro 3. E. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 têm medidas diferentes.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMRJ-2010) Na cidade planejada de “Matemópolis”, todos os quarteirões são quadrados idênticos de lado 500 m. No mapa abaixo, as linhas pontilhadas representam as ruas dessa cidade de mão dupla, ou seja, podem ser percorridos em qualquer sentido.

R V

C

N B

É correto afirmar que: A. ( ) o perímetro da figura V é o triplo do perímetro da figura R. B. ( ) o perímetro da figura N é o dobro do perímetro da figura V. C. ( ) o perímetro da figura R é a quarta parte do perímetro da figura N. D. ( ) o perímetro da figura N é maior que a soma dos perímetros das figuras V e R. E. ( ) o perímetro da figura N é o triplo do perímetro da figura R.

500 m

A

500 m

Mara toma táxi na esquina A de “Matemópolis”, passa pela esquina B para buscar sua amiga Patrícia e, em seguida, partem juntas, no mesmo táxi, para encontrar Ana Júlia que as aguarda na esquina C. Qual a

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

97


Complemento 5

a) O custo do letreiro do CMRJ será o mesmo que o custo do letreiroCMBH. b) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais barato que o custo do letreiro do CMBH. c) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais caro que o custo do letreiro do CMBH. d) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5100,00. e) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5475,00.

(CMRJ-2010) Uma formiguinha atravessa o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo um dos caminhos descritos na figura abaixo. Sabendo que, para percorrer o CAMINHO 2, a formiga gasta 3 minutos, e gasta o mesmo tempo para percorrer 1 dm em qualquer caminho, quanto tempo ela gastará para atravessar a sala, se percorrer o CAMINHO 4?

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo

CAMINHO 1 - 41 dm

CAMINHO 2 - 50 dm

01. O senhor Anastácio quer colocar uma cerca em

volta de cada um dos quatro canteiros indicados na figura. Sabendo que o perímetro do canteiro A é 60 metros, o do B é 64 metros e o do C é 56 metros, de quantos metros de cerca precisará o senhor Anastácio para o canteiro D? A. ( ) 58 m A D B. ( ) 60 m C. ( ) 62 m D. ( ) 64 m E. ( ) 68 m B C

CAMINHO 3 - 38 dm CAMINHO 4

A( B( c) ( d( e( 03.

) 2 minutos ) 2 minutos e 12 segundos ) 2 minutos e 22 segundos ) 2 minutos e 32 segundos ) 2 minutos e 42 segundos

(CMRJ-2010) No Colégio Militar de Belo Horizonte foi colocado um letreiro luminoso na entrada do colégio, om a configuração abaixo:

02. Duas formigas percorrem o trajeto da figura par-

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

m

98

40

O custo deste letreiro foi de R$ 75,00 por peça em forma quadrangular e R$ 42,00 por peça em forma triangular. Se o Colégio Militar do Rio de Janeiro colocar um letreiro com a configuração da figura exibida abaixo e utilizar o mesmo cálculo do custo do letreiro do Colégio Militar de

tindo, ao mesmo tempo, uma do ponto A e outra do ponto B. Elas andam com a mesma velocidade e no sentido indicado pelas flechas. Qual será a distância entre elas no momento em que elas ficarem uma de frente para a outra? A ( ) 30 m A B B ( ) 40 m C ( ) 50 m D ( ) 60 m E ( ) 70 m m

02.

Belo Horizonte, o que se pode afirmar sobre o custo do letreiro do CMRJ?

60m

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

menor distância que o táxi pode percorrer para sair de A e chegar a C passando por B? A ( ) 10,5 km B ( ) 10 km c) ( ) 11 km d ( ) 21 km e ( ) 20,5 km

30

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

deSCriçÃo, interPretAçÃo e rePreSentAçÃo de uMA PeSSoA ou oBJeto no eSPAço e ConStruçÃo de itinerÁrio

6

Complemento

É a indicação ou a descrição do caminho a ser percorrido, seguindo orientações de acordo com os pontos cardeais, direções baseadas no Sol e na Terra que são quatro:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• norte, inicial n, também chamado “Setentrional ou Boreal”. • sul, inicial S, também chamado “Meridional ou Austral”. • leste ou Este, inicial l ou e (leste em inglês), também chamado “Oriente, Nascente ou Levante”. Pois, é onde o sol “nasce” e está situado a sua direita, de acordo com a bússola. • oeste, inicial O ou W (West, em inglês), também chamado “Ocidente ou Poente”. Pois, é onde o sol “se põe” e está situado a sua esquerda, de acordo com a bússola.

nota: • As marinhas de Portugal e do Brasil usam a forma leste para evitar confusão com este (pronome demonstrativo), mas em geral é mais usual a inicial E.. • Os termos à esquerda e à direita são baseadas no corpo humano. • A bússola é um instrumento de Navegação e Orientação, que aponta sempre para o Norte de acordo com a Terra. Considere a situação a seguir: A Mell é uma cadela muito traquina e esperta. Ela passa o dia a passear entre os canteiros do quintal da Senhora Deniza e descobre muitos objetos para brincar. Mas com tantos canteiros, a Mell só pode andar em cima dos muros, para a direita (Leste) ou para a esquerda (Oeste) e para cima (Norte) ou para baixo (Sul), conforme está representado pelas linhas da malha quadriculada abaixo. A Mell é uma cadela muito esperta, ela faz sempre o caminho mais curto para chegar aos objetos.

B

E

D Norte

C

Leste

Oeste Sul

A Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

99


Complemento 6 descrição, interpretação e representação de uma Pessoa ou objeto no espaço e Construção de itinerário 04. A figura seguinte mostra um teatro onde as

cadeiras da plateia são numeradas de 1 a 25. Nara recebeu um ingresso de presente que dizia o seguinte: Sua cadeira está localizada exatamente no plateia centro da plateia. Qual é 21 22 23 24 25 a cadeira de Mara? 16 17 18 19 20 A. ( ) 12 11 12 13 14 15 B. ( ) 14 6 7 8 9 10 C. ( ) 13 1 2 3 4 5 D. ( ) 22 palco E. ( ) 23

05.

A( B( C( D( E( 07.

Quantos metros é preciso andar para chegar da bilheteria até a sala de exposição, sabendo que o lado do quadrado abaixo corresponde a três décimos de quilômetros: A.( ) 1,5 B.( ) 15,0 C.( ) 150,0 D.( ) 1,5 × 102 E.( ) 0,15 × 104 Exposição

Marcelo fez a seguinte planta da sua sala de aula:

Bilheteria

Quadro-negro

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

) esquerda na prateleira do meio. ) direita na prateleira de cima. ) esquerda na prateleira de cima. ) direita na prateleira do meio. ) esquerda na prateleira de baixo.

Professora

Marcelo

Tiago

Luiza

Carla

Márcia

Bruna

Tânia

Rodrigo

Rafael

08. Carlos pode ir de sua casa à escola andando

três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar: A ( ) 2 km para o leste B ( ) 1 km para o sul C ( ) 5 km para o leste D ( ) 3 km para o oeste E ( ) 4 km para o norte

Janela

Porta

Das crianças que se sentam perto da janela, a que senta mais longe da professora é A ( ) o Rafael. B ( ) o Marcelo. C ( ) a Tânia. D ( ) a Luiza. E ( ) a Bruna.

História

Literatura

Literatura

Música

Ciências

Ciências

Artes

Matemática

Matemática

Literatura

História Matemática

Matemática

Artes Português

História

Política Artes

Geografia

Literatura Esportes

História

Matemática

Considere, no desenho abaixo, as posições dos livros numa estante:

Português

06.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMS–2011)O mapa abaixo mostra a cidade de Salvador dividida em quadradinhos iguais. Vamos chamar a medida de cada lado de um quadradinho de “a”. Um helicóptero sai do ponto P, na Graça, voa 10apara o leste; depois voa para o norte 6a, voa 2a para o oeste, voa 2a para o sul, voa 3a para oeste, voa 4a para o sul e finalmente voa 2a para o oeste e para. Pode-se dizer que o ponto mais próximo ao da parada é:

Você está de frente para essa estante. O livro de Música é o terceiro a partir da sua:

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

101


Complemento 6

edivando de lima e rômulo tavares

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura ao lado está representado um labi-

A( B( C( D( E( 02.

) ) ) ) )

A B C D E

A( )

C( )

D( )

E( )

(CMS–2010) Partindo de um ponto inicial (ponto X), Luiz caminha seguindo a seguinte orientação até atingir o ponto final (ponto F): Norte

Oeste

02. Leste

Sul

•3 metros para Leste; •5 metros para o Sul; •4 metros para o Leste; •8 metros para o Norte; •9 metros para Oeste; •3 metros para o Sul. Se Luiz fizesse um caminho diferente desse, a menor distância que percorreria é A ( ) 2 metros. B ( ) 3 metros. C ( ) 4 metros. D ( ) 5 metros. E ( ) 6 metros.

102

B( )

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Um canguru de brinquedo estava colocado num quadrado de um tabuleiro, tal como é apresentado na figura. O Martim deslocou o canguru do quadrado inicial para um outro quadrado, fazendo 5 movimentos. Em cada movimento, o canguru só podia ser colocado num quadrado vizinho. Sabemos que o Martim fez os seguintes movimentos: primeiro para a direita, a seguir para cima, depois para a esquerda, a seguir para baixo e finalmente para a direita. Qual das seguintes figuras apresenta a posição final do canguru?

A( )

B( )

C( )

D( )

E( )

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

rinto que permite ao gato chegar ao leite e permite ao rato chegar ao queijo, sem que o gato e o rato se encontrem. Como é que poderá ser a parte escondida do labirinto?


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de ÁreAS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

7

Complemento

Nos problemas que envolvem áreas em malhas quadriculadas, devemos considerar cada quadradinho como unidade de medida de superfície. Assim, para calcularmos a área de figuras planas, basta contarmos o número de vezes que a unidade aparece na determinada figura. Veja o exemplo que se segue: Calcular a área da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm.

1 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 cm

Resolução A área da figura pode ser obtida pela contagem das unidades , não havendo a necessidade de cálculos. Assim, é fácil perceber que a figura cobre exatamente 21 unidades de área. Portanto, a área da superfície, A, é dada por: A = 21 ; isto é, 21 cm2.

nota Perceba que na figura há 17 superfície é de 21

e8

, sendo que 8

=4

. Daí, conclui-se que a medida da

.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

103


Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

Fórmula de Pick Dado um polígono simples P e sejam f o número de pontos de fronteira, I o número de pontos interiores. Então, a área A desse polígono é dada pela expressão seguinte: A=

f + I −1 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere o exemplo abaixo:

Na figura acima, temos f = 12 e I = 19; dessa forma a área da figura é calculada por A=

12 + 19 − 1 ∴ A = 24 unidades de área 2

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

105


Complemento 7

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

A ( ) A área da figura 1 é igual a área da figura 3. B ( ) A área da figura 1 é maior do que a área da figura 2. C ( ) A área da figura 5 é o dobro da área da figura 3. D ( ) A área da figura 2 é igual 1/16 a área da figura total. E ( ) A área da figura 4 é maior que a área da figura 3.

01. (CMCG– 2011)Durante uma aula de artes no

Colégio Militar de Campo Grande, o aluno Pitaluga fez o seguinte desenho em uma malha quadriculada.

03.

Observando o desenho acima, podemos afirmar que arazão entre a área cinza e a área não cinza é A ( ) 31/90. B ( ) 31/149. C ( ) 62/149. D ( ) 31/180. E ( ) 149/180. 02.

(CMF– 2011) Na malha da figura abaixo, cada quadradinho tem 1 cm2 de área. A área da região sombreada é A ( ) 24 cm2 B ( ) 23 cm2 C ( ) 25 cm2 D ( ) 22 cm2 E ( ) 26 cm2

04. (CMRJ– 2011) Durante as aulas de Educação

(CMCG–2011)O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo) que formam um quadrado. Com essas peças, podemos formar várias figuras, utilizando todas lado a lado, sem sobrepô-las.

Artística, os alunos do CMRJ fizeram um mural com o nome do mascote dos Jogos Militares em uma malha quadriculada. Para isso, usaram peças de cores e formatos diferentes, como mostra a figura abaixo. Peça clara

Peça escura

Mural

7 6

5 2

3

4 1

Observando o tangram acima, contido numa malha quadriculada; no que diz respeito às figuras numeradas, assinale a alternativa que contém a informação falsa.

108

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Desse modo, para compor todo o mural, os alunos usaram: A ( ) 40 peças claras e 100 peças escuras. B ( ) 20 peças claras e 25 peças escuras. C ( ) 40 peças claras e 50 peças escuras. D ( ) 20 peças claras e 100 peças escuras. E ( ) 21 peças claras e 26 peças escuras.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 7

11.(CMRJ–2010)Na figura abaixo, cada quadra-

36 m

dinho tem lado medindo 0,5 cm. A área de toda a parte sombreada nessa figura mede: 13,5 m

12.

13.

110

) 0,4200 dm2 ) 0,3925 dm2 ) 0,3825 dm2 ) 0,3750 dm2 ) 0,3525 dm2

(CMRJ–2006)Assim que acabou de roubar mais um navio do Rei, Barba Negra mandou pintar no mastro do seu navio o símbolo abaixo indicado, onde a soma das áreas de todos os possíveis quadrados existentes no símbolo corresponde ao número de navios já roubados. Sabendo-se que o símbolo é formado por nove quadrados de lado 1 cm, determine quantos navios do Rei já haviam sido roubados por Barba Negra? A ( )13 B ( )18 C ( ) 25 D ( ) 30 E ( ) 34

)60,8 m2 )61,2 m2 ) 64,8 m2 ) 68,4 m2 ) 75,6 m2

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura seguinte, o lado de cada quadradi-

nho mede 10 milímetros. Qual é a área da região cinza? A. ( ) 0,40 m2 B. ( ) 0,50 cm2 C. ( ) 0,58 cm2 D. ( ) 0,64 cm2 E. ( ) 0,72 cm2

02.

(CMRJ–2007)Morg ficou impressionado com um lindo e enorme painel localizado na parede, bem no fundo do grande salão. Quando recebeu a Pedra, o chefe dos matemágicos caminhou em direção ao painel e encaixou-a no símbolo nele pintado, indicado na figura abaixo. Determine a área desse símbolo, sabendo-se que o painel é formado por retângulos iguais.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Na malha quadriculada os lados dos quadrados medem 1 cm. Qual é a razão entre a área cinza e a área desse quadrado? A. ( ) 1/2 B. ( ) 3/5 C. ( ) 5/8 D. ( ) 3/4 E. ( ) 1

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A( B( C( D( E(

A( B( C( D( E(


GABAritoS CoMPleMento 1 Página 06 Fixando as Ideias 01

02

C

5 perus

03

04

28 tábuas

20 porcos 05

530 brancos e 970 azuis 06

07

C

36 perguntas

8

09

11 tiros

31 problemas

Página 07 Testes nos Colégios Militares 01

02

03

04

E

A

A

B

05

06

7

8

E

A

A

B

Página 08 desafios de tirar o Fôlego 01

02

D

C

CoMPleMento 2 Página 11 Fixando as Ideias

04

05

06

D

E

D

a) 9 números b) 6 números

36 possibilidades

44

45

10

11

24 maneiras

10 duplas

D

E

D

C

46

47

12

6 números

280 vezes

A

48

49

48 maneiras

6 números

50

51

Página 16 Fixando as Ideias 13

14

15

a) 7 b) 3,1 c) 24 d) 50,50

22 livros

C

16

a) 18 maneiras b) 2 cores

17

E

a) 4 735,5 l b) 789,25 l c) 26,4 l

19

20

21

54

E

D

E

38

22

23

24

1 2

C

D

E

Página 20 Fixando as Ideias 25

26

27

7,0

R$ 12,50

D

28

29

30

A

R$ 2 850,00 a) 6,5 b) 8,0 c) 4,0

31

32 aproximadamente 8,2

33

34

D

a) sexta-feira b) 3 128 pessoas c) aproximandamente 14,26%

A

D

a) 6 anagramas b) 24 anagramas

52

53

B

21

Página 29 Fixando as Ideias

18

32 anos

C = pau-brasil (30 m) D = cajueiro (10 m) E = castanha-do-pará (50 m) F = abacateiro-do-mato (20 m) G = cedro (35 m)

43

09

02

A = jequitibá (45 m) B = peroba (15 m)

a) D b) A c) D

42

08

01

03

07

35

36

37

B

D

E

38

39

30 opções

15 maneiras

40

41

12 possibilidades

8 resultados

a)

1 2

b)

1 3

a)

c) 0

56

57

2 3

1 4 58

59 D

7 7 13 b) c) 25 25 25 60

61

62

C

19 85

19%

63 C

Página 24 Fixando as Ideias

55

64 a)

1 1 b) 13 4

65

66

D

D


SUMÁRIO Complemento 1

Situações - Problema do Tipo Galinhas e Coelhos (método da suposição) ..................................... 05 Fixando as Ideias .............................................................................................................................. 06 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................... 07 Desafios de Tirar o Fôlego ................................................................................................................ 08

Complemento 2

Tratamento da Informação e Probabilidade ..................................................................................... 09 Ideia de Tratamento da Informação ................................................................................................. 09 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 11 Média Aritmética ............................................................................................................................. 15 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 16 Média Aritmética Ponderada .......................................................................................................... 18 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 20 Noções de Probabilidade ................................................................................................................. 21 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 24 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 28 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 29 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 30 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 36

Complemento 3

Espaço e Formas Geométricas Espaciais ......................................................................................... 37 Figuras Geométricas: Espaciais e Planas ......................................................................................... 37 Sólidos Geométricos: Poliedros e Corpos Redondos ....................................................................... 38 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 39 Relação de Euler na Contagem das Faces, Vértices e Arestas ......................................................... 41 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 43 Planificação de Sólidos Geométricos ............................................................................................... 45 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 46 Visão Espacial .................................................................................................................................. 48 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 51 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 53 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 58

Complemento 4

Espaço e Formas Geométricas Planas ............................................................................................. 59 Das Formas Espaciais aos Elementos Fundamentais da Geometria ................................................ 59 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 62 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 63 Posições da Reta .............................................................................................................................. 64 Partes da Reta .................................................................................................................................. 66 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 67 Ângulos ............................................................................................................................................ 68


Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 70 Polígonos ......................................................................................................................................... 71 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 73 Triângulos: Polígonos Muito Especiais ............................................................................................. 74 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 76 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 76 Quadriláteros ................................................................................................................................... 77 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 80 Forma Circular: Circunferência e Círculo ......................................................................................... 81 Todo Cuidado é Pouco ..................................................................................................................... 83 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 83 Simetria nas Figuras Geométricas ................................................................................................... 85 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 88 Composição e Decomposição de Figuras Espaciais ......................................................................... 89 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 89 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 91 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 93

Complemento 5

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas ............. 94 Fixando as Ideias ............................................................................................................................. 95 Teste dos Colégio Militares .............................................................................................................. 97 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................... 98

Complemento 6

Descrição, Interpretação e Representação de uma Pessoa ou Objeto no Espaço e Construção de Itinerário ............................................................................................................... 99 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 100 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 101 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 102

Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas .................... 103 Fórmula de Pick ............................................................................................................................. 104 Fixando as Ideias ........................................................................................................................... 106 Teste dos Colégio Militares ............................................................................................................ 108 Desafios de Tirar o Fôlego ............................................................................................................. 110 Gabarito ......................................................................................................................................... 111 Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 115


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

SituAçõeS-ProBleMA do tiPo GAlinhAS e CoelhoS

1

Complemento

Seria bastante fácil resolvermos os problemas que se seguem com o manuseio da Álgebra. Porém, a resolução através de sistemas de equações foge dos assuntos exigidos nos 5º e 6º anos. Assim, achamos melhor, resolvermos sem o uso da Álgebra. Dessa forma, a metodologia utilizada nas resoluções dos problemas a seguir chamaremos de Método da Suposição. Considere os seguintes exemplos: • Em um sítio, criam-se galinhas e coelhos que juntos totalizam 38 cabeças. Ao contar o número de pés encontramos 122. Quantas galinhas e quantos coelhos existem nesse sítio?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Resolução: Vamos supor que todos os 38 animais são coelhos (ou poderia também supor que todos fossem galinhas, mas como um coelho tem mais pés que uma galinha, é melhor sempre supor o que tem mais). Daí, era pra ter 38 x 4 pés = 152 pés. Como só temos 122 pés, isso quer dizer que nem todos os animais são coelhos. Considerando que um coelho tem 4 pés e uma galinha tem 2 pés, cada coelho que é substituído por uma galinha faz uma diferença de (4 – 2) = 2 pés para menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (152 - 122) = 30 pés corresponde a 2 vezes o número de galinhas. Portanto , o número de galinhas é dado por 30 : 2 = 15 e o número de coelhos por (38 – 15) = 23. • Em um estacionamento havia carros e motocicletas no total de 43 veículos e 150 rodas no chão. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionados. Resolução: Vamos supor que todos os 43 veículos são carros. Daí, era pra ter 43 x 4 rodas = 172 rodas. Mas só temos 150 rodas, isso quer dizer que nem todos os veículos são carros. Levando em conta que um carro tem 4 rodas e uma motocicleta tem 2 rodas, cada carro que é substituído por uma motocicleta faz uma diferença de (4 – 2) = 2 rodas a menos na sua contagem. Então, a diferença para menos de (172 - 150) = 22 rodas corresponde a 2 vezes o número de motocicletas. Logo temos, 22 : 2 = 11 motocicletas e (43 – 11) = 32 carros. • O professor Edivando sabendo que seu filho iria prestar o Concurso de Admissão ao colégio Militar de Fortaleza propôs o seguinte acordo para motivá-lo nos estudos: Elaboraria 50 problemas para ele resolver por semana. Informando-o que ganhará 3 reais por problema resolvido corretamente e perderá 1 real por cada problema não resolvido ou incorreto. No final da semana, seu filho ganhou 118 reais. Quantos problemas ele resolveu corretamente? Resolução: Vamos supor que seu filho acertou todos os 50 problemas. Dessa maneira, ele era pra ganhar 50 x 3 reais = 150 reais. Mas, o enunciado diz que ele só ganhou 118 reais, isso quer dizer que nem todos os problemas foram acertados e por isso deixou de ganhar (150 – 118) = 32 reais. Em cada pro-

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

5


Complemento 1

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

04.

(CMPA) Em uma caixa, que custa R$ 30,00, são acondicionados 5 kg de maçãs e de pêras. Se o quilograma de pêras custa R$ 4,00 e o quilograma de maçãs custa R$ 9,00, podemos afirmar que, nessa caixa, existem A.( ) 2 kg de pêras. B.( ) 3 kg de pêras. C.( ) 4 kg de pêras. D.( ) 3 kg de maçãs. E.( ) 4 kg de maçãs.

05.

(CMBH) Um garoto, ao abrir seu cofre, verificou que nele havia somente moedas de R$ 0,05 e de R$ 0,10 num total de 45 moedas que somavam R$ 3,20. A diferença entre o número de moedas de R$ 0,05 e R$ 0,10 existentes no cofre é igual a: A. ( ) 13 B. ( ) 11 C. ( ) 3 D. ( ) 5 E. ( ) 7

06.

(CMC-2009) O professor Guilherme, do 9º ano do Colégio Militar de Curitiba, fez uma brincadeira com seus alunos: a cada pergunta que um aluno a certasse, ganharia 8 pontos; a cada uma que errasse, perderia 5 pontos. O aluno Alan Gomes, depoisde responder 26 perguntas, terminou a brincadeira sem ganhar e sem ficar devendo nada. O número de perguntas que o aluno Alan Gomes acertou foi de: A. ( ) 10 B. ( ) 11 C. ( ) 12 D. ( ) 16 E. ( ) 18

07.

(CMB) Tiago recebeu uma lista de 120 problemas de matemática para resolver. Seu avô prometeu que lhe daria R$ 0,70 por cada problema que viesse a acertar, mas, em contrapartida, Tiago devolveria R$ 0,30 por cada um que viesse a errar. No final,

01. (CMR-2006) Dona Márcia é proprietária do sa-

lão de beleza mais procurado da cidade, porém ela só atende a clientela feminina. Certo dia, ela resolveu fazer a seguinte promoção:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

hoJe: Corte de cabelo em adulto: R$ 10,00. Corte de cabelo em criança: R$ 8,00. Se neste dia dona Márcia realizou doze cortes de cabelo, entre crianças e/ou adultos, e recebeu pelos cortes realizados um total de R$ 114,00, podemos então afirmar que neste dia: A ( ) apenas 2 crianças cortaram o cabelo. B ( ) só houve corte de cabelo em crianças. C ( ) só houve corte de cabelo em adultos. D ( ) a quantidade de crianças que cortou o cabelo foi igual a quantidade de adultos que cortou o cabelo. E ( ) três crianças cortaram o cabelo. 02. (CMR) No Jardim do Instituto Ricardo Bren-

nand há avestruzes e coelhos, contando-se ao todo 58 cabeças e 178 pernas. Quantos são os avestruzes? A. ( ) 27 B. ( ) 31 C. ( ) 33 D. ( ) 35 E. ( ) 39

03. (CMR) Desvendado o enigma, a porta se abriu

e da caverna saíram aranhas e escaravelhos. Os garotos perceberam que saíram ao todo 8 animais. Contaram 54 patas desses animais. Sabendo que cada aranha tem 8 patas e cada escaravelho tem 6 patas, então: A. ( ) havia 3 aranhas e 5 escaravelhos. B. ( ) havia 5 aranhas e 3 escaravelhos. C. ( ) havia 4 aranhas e 4 escaravelhos. D. ( ) havia 7 aranhas e 1 escaravelho. E. ( ) havia 6 aranhas e 2 escaravelhos.

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

7


Complemento 1

Tiago ficou com R$ 72,00. A quantidade de problemas que acertou menos a quantidade de problemas que errou expressa-se por um número: A. ( ) igual a 8 vezes o número de problemas que errou. B. ( ) par e maior que 100. C. ( ) maior que 10 e menor que 15. D. ( ) par e múltiplo de 9. E. ( ) maior que 80 e menor que 90. 08.

(CMS) Ivan observa que em um estacionamento há 29 veículos, sendo 7 motocicletas (veículos com 2 rodas), 5 triciclos (veículos com três rodas), carros (veículos com quatro rodas) e ônibus (veículos com 6 rodas). Além dos pneus que utilizam normalmente para rodar, os ônibus e os carros têm um pneu reserva. Sabendo que o total de pneus, inclusive os reservas, dos veículos do estacionamento é de 132, Qual é o resultado da soma entre a metade do número de carros e o dobro do número de ônibus. A. ( ) 20 B. ( ) 22 C. ( ) 21 D. ( ) 26 E. ( ) 28

Moeda

Massa (gramas)

1 centavo

17,00

1,65

2,43

5 centavos

22,00

1,65

4,10

10 centavos

20,00

2,23

4,80

25 centavos

25,00

2,25

7,55

50 centavo

23,00

2,85

7,81

1 real

27,00

1,86

6,96

Fonte: www.casadamoeda.com.br

Em um cofrinho há 60 moedas, todas de 5 e de 10 centavos. Juntas, essas moedas tem a massa de 270,50 gramas. Baseado na tabela acima tem-se que, nesse cofrinho, existem A ( ) 30 moedas de 10 centavos. B ( ) 30 moedas de 5 centavos. C ( ) 25 moedas de 10 centavos. D ( ) 35 moedas de 10 centavos. E ( ) 35 moedas de 5 centavos. 02.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. A Casa da Moeda do Brasil (CMB) é respon-

sável pela impressão das cédulas monetárias, pela cunhagem das moedas em circulação no Brasil e também pela produção de medalhas comemorativas, selos fiscais e postais, passaportes, bilhetes magnetizados para transporte (metrô e ônibus), carteiras de trabalho, dentre outros produtos. Observe a tabela abaixo.

8

Diâmetro Espessura (milímetros) (milímetros)

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Na papelaria Rumo ao CMF, uma caixa de canetas custa R$ 5,00, uma régua custa R$ 1,00 e uma borracha, R$ 0,10. Na papelaria há um total de 100 (cem) produtos, entre caixas de canetas, réguas e borrachas. O valor total desses 100 (cem) produtos é R$ 100,00. Quais são as possíveis quantidade de caixas de canetas, sabendo-se que, na papelaria, existe pelo menos uma unidade de cada produto? A ( ) 3 ou 6 caixas. B ( ) 6 ou 12 caixas. C ( ) 9 ou 18 caixas. D ( ) 12 ou 24 caixas. E ( ) Qualquer valor entre 1 (uma) e 20 caixas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

trAtAMento dA inForMAçÃo e ProBABilidAde

2

Complemento

1. Ideia de Tratamento da Informação Consiste em proporcionar, principalmente, por meios de gráficos, tabelas e diagramas, a capacidade de coletar, organizar, analisar e interpretar; com a finalidade de prever, para tomar decisões em situações-problema de diversas áreas do cotidiano. Veja o exemplo:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No Campeonato Cearense de Futebol 2 011, 12 times disputaram a 1ª divisão. Na contagem dos pontos ganhos, destacamos os resultados dos cinco melhores dados coletados: Horizonte, obteve 17 pontos; Guarani de Juazeiro, 21 pontos; Fortaleza, 24 pontos; Guarani de Sobral, 17 pontos; Ceará, 29 pontos. Os dados coletados foram organizados de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Tabela Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Times Pontos Ganhos Horizonte 17 Guarani de Juazeiro 21 Fortaleza 24 Guarani de Sobral 17 Ceará 29 Fonte: Federação Cearense de Futebol. Acesso em 12/02/2 012

2ª maneira: Gráfico de Barras Campeonato Cearense 1ª Divisão 2 011 Quantidade de Pontos 35 30 25 20 15 10 5 0 Horizonte

Guarani (J)

Fortaleza

Guarani (S)

Ceará

Time Fonte: Federação Cearense de Futebol

Os recursos gráficos utilizados para representar os dados coletados formam uma tabela e um gráfico.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

9


64.

O jogo de Dominó tem 28 peças diferentes. As peças são formadas por retângulos e cada uma é dividida em duas casas; em cada casa aparecem de 0 a 6 bolinhas. Se, aleatoriamente, uma peça for retirada do jogo de Dominó, qual a probabilidade do número total de bolinhas dessa peça ser igual a 6? A. ( ) 5/28 B. ( ) 3/28 C. ( ) 1/7 D. ( ) 1/6 E. ( ) 1/5

01. (CMB–2011) O gráfico abaixo mostra o fatu-

Em um baralho de 52 cartas, existem 13 cartas de cada naipe ( ouros, copas, paus e espadas). Ao retirar uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de se obter: a) um “ouro”? b) um “rei”?

65.

Ao lançar dois dados, qual a probabilidade da soma dos números nas faces de cima ser igual a 6? A. ( ) 1/12 B. ( ) 1/6 C. ( ) 5/12 D. ( ) 5/36 E. ( ) 4/6

66.

Yasmin dispõe dos algarismos 2, 4, 7 e 6 e sem repeti-los escreve em um papel todos os números diferentes de quatro algarismos possíveis e coloca na urna. Em seguida, pede a seu irmão Samuel que retire ao acaso um papel e diga seu número. Qual a probabilidade de ser retirado um número ímpar? A ( ) 1/10 B ( ) 1/3 C ( ) 2/5 D ( ) 1/4 E ( ) 1/7

30

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

ramento mensal das empresas C e M no primeiro semestre de 2011: Faturamento das Empresas C e M 1º Semestre - 2011

210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90

C M

jan

fev

mar

abr

mai

jun

Mês

Com base nesse gráfico, pode-se afirmar que A ( ) houve um mês em que o faturamento da empresa C foi o dobro do faturamento da empresa M, no mesmo mês. B ( ) no mês de janeiro, a diferença de faturamento entre as empresas C e M foi maio que nos demais meses. C ( ) a empresa M foi a que sofreu maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos. D ( ) o faturamento total de C, no semestre, foi maior que o de M. E ( ) a diferença entre os faturamentos totais no semestre das empresas C e M excedeu 25 milhões de reais. 02.

(CMB–2011) Sabe-se que a probabilidade de um bebê nascer do sexo masculino equivale a um meio. Em um reino, a coroa é sempre passada ao primeiro filho da Família Real, seja um homem ou uma mulher. Nessa situação, a chance de que, por três gerações seguidas, um homem seja coroado corresponde a A ( ) três meios. B ( ) um sexto.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

63.

Complemento 2

Faturamento (em milhões de reais)

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 2

02. O gráfico abaixo mostra o valor aproximado do

01.

Definimos média aritmética como sendo a soma de dois ou mais números dividida pela quantidade de números somados. Considere três números naturais representados pelas letras C, M e F. Sobre esses números sabemos que: • a média aritmética dos números C e M é igual a 12; • a média aritmética dos números M e F é igual a 26; • a média aritmética dos números C e F é igual a 20. De acordo com as informações acima, o valor de C + M + F é igual a A( ) 29 B( ) 58 C( ) 62 D( ) 85 E( ) 92

36

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

dólar em reais no dia 15 dos últimos 6 meses.

Valor

2,0 1,5 1,0

Meses

D

J

F

M

A

M

J

Felipe comprou um carro usando um sistema de financiamento chamado leasing corrigido pela variação do dólar e suas prestações vencem exatamente no dia 15 de cada mês. Em dezembro, Felipe pagou R$ 600,00 de prestação. Com base na tabela, podemos dizer que em maio a prestação foi de: A( ) R$ 700,00 B( ) R$ 850,00 C( ) R$ 650,00 D( ) R$ 900,00 E( ) R$ 800,00

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS eSPACiAiS

3

Complemento

Bola de futebol

Lata de leite

Melão

Tronco de árvore

Esfera

Casca de sorvete

Cilindro

Dado

Pinheiro

Bloco de rocha

Cone

Cubo

1. Figuras Geométrica: espaciais (ou sólidos geométricos) e planos (polígonos) As figuras geométricas espaciais (ou sólidos geométricos) são também chamados de figuras tridimensionais, pois têm 3 dimensões: comprimento, largura e altura. Por exemplo:

gu

ra

altura

¾ Paralelepípedo

comprimento

lar

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Tudo que nos cerca tem uma forma: os objetos e as construções feitas pelo homem, assim como os da natureza. Nessas diversas formas, podemos encontrar figuras geométricas; como nos exemplos que se seguem:

As figuras geométricas planas são também chamadas de figuras bidimensionais, pois têm duas dimensões: comprimento e largura. Por exemplo: Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

37


Complemento 3

32. Cristiana deu uma volta ao parque, partindo

do ponto assinalado e na direção da seta.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ela tirou 4 fotografias. Qual a ordem, dentre A, B, C e D seguem as fotografias no sentido considerado? a)

b)

c)

d)

33. Abaixo temos as vistas lateral, traseira e su-

perior de uma pilha de caixotes dispostos sobre um vagão de carga. Somente com essas vistas, não conseguimos saber o número exato de caixotes que estão no vagão, mas podemos determinar a quantidade mínima e máxima. Qual dos números abaixo pode representar a quantidade de caixas dispostas sobre esse vagão?

Visão lateral

A. ( B. ( C. ( D. ( E. (

) 28 ) 34 ) 42 ) 52 ) 60

Visão traseira

Visão superior

espaço e Formas Geométricas espaciais

(CMB–2011) Fernanda e Juliana participaram da “Feira de Matemática” da escola. Fernanda construiu um prisma hexagonal e Juliana uma pirâmide de base triangular. Para cobrir seu prisma hexagonal, Fernanda gastou de folha de papel crepom para cada face lateral e de folha de papel crepom para cada base. Juliana gastou 50 centímetros (cm) de fita adesiva para cobrir cada uma das arestas de sua pirâmide de base triangular. Sabendo-se que Fernanda pagou R$ 0,75 por folha de papel crepom e que Juliana pagou R$ 1,25 o metro da fita adesiva, pode-se afirmar, em relação ao custo com papel crepom e fita adesiva, que A ( ) Juliana pagou o dobro da quantia paga por Fernanda. B ( ) Fernanda pagou R$ 2,00 a mais que Juliana. C ( ) Juliana pagou R$ 1,75 a mais que Fernanda. D ( ) o custo de Fernanda foi R$ 2,25 menor que o de Juliana. E ( ) o custo de Juliana excedeu o de Fernanda em R$ 1,50.

02. (CMB–2011) Lúcia e Tiago são irmãos e gos-

tam muito de Matemática. O pai deles, Seu Antenor, para incentivar o interesse dos filhos, toda sexta-feira pela manhã entrega um desafio matemático para eles. Aquele que resolve primeiro e corretamente o desafio escolhe um filme para assistirem todos juntos à noite. As crianças adoram essa brincadeira. Na última sexta-feira, Seu Antenor entregou o seguinte desafio: “Observe a planificação do dado e diga o número de pontos representado nas faces pelas letras C, M e B, sabendo que pontos de faces opostas somam 7.”

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

53


Complemento 3

01.

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Yasmin construiu um “Castelo” empilhando

cubinho de madeira. As três figuras abaixo mostram as vistas de frente, de cima edo lado esquerdo. Determine quantos cubinhos ela utilizou para construir o “Castelo”?

Vista de frente

A( B( C( D( E(

58

Vista de cima

Samuel entrou emuma loja de brinquedos que estava exposta uma construção com quatro pisos de blocos pretos e brancos (figura 1). Cada piso é feito com blocos da mesma cor. Na figura 2, a construção é vista de cima. Quantos blocos brancos foram usados na construção? A( B( C( D( E(

)9 ) 10 ) 12 ) 13 ) 14

Vista da lateral esquerda

) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14

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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

eSPAço e ForMAS GeoMÉtriCAS PlAnAS

4

Complemento

1. das Formas espaciais aos elementos Fundamentais da Geometria Já vimos que no mundo onde vivemos, tudo ao nosso redor apresenta três dimensões. Estudamos um pouco os poliedros e os não poliedros. Considere uma caixa cúbica conforme a figura a seguir:

B

A D

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A D

A

E

H

F

E

plano H

G

F

ponto

E

parte da reta

Imagine então uma face do cubo acima projetado em uma folha de papel. Esta folha pode representar um plano se desprezarmos sua espessura; uma vez que ela é muito pequena. E a face projetada na folha é uma figura plana, bidimensional, pois só apresenta comprimento e altura. Por outro lado, se pintarmos um dos vértices do cubo e o tocarmos com a folha, estando a tinta ainda fresca, a marca ali deixada representa um ponto. Fazendo o mesmo com uma das arestas do cubo, pintamos a aresta e, com a tinta fresca, o tocamos com a folha. Estará ali representada uma parte de uma reta. Assim, ponto, reta e plano, são conhecidos como os elementos primitivos ou básicos da geometria. São “ideias” que intuitivamente se formam em nossa mente. ¾ Ponto O ponto, por exemplo, pode ser representado pela marca deixada da ponta de um lápis em uma folha de papel, por um grão de feijão espalhado sobre uma superfície ou mesmo pelo encontro de duas linhas.

A Marca de uma ponta de lápis

B Grão de feijão na superfície

P Encontro de duas linhas

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

59


Complemento 4

57.

Quantos planos de simetria tem no cubo mágico abaixo? A( )1 B( )2 C( )3 D( )4 E( )5

58.

Quantos planos de simetria tem as figuras tridimensionais abaixo.

espaço e Formas Geométricas Planas

02. (CMBH–2011) No Mineirão haverá uma sala

de troféus e cada um deles ficará sobre um apoio com o formato de um prisma hexagonal regular, representado abaixo:

Desenho em perspectiva

a)

b)

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Pirâmide hexagonal

d)

c)

Octaedro regular

e)

Cilindro

A respeito dessa estrutura, é correto afirmar que: A ( ) todas as suas faces são quadrados. B ( ) todas suas faces possuem eixo de simetria. C ( ) tem o número de faces igual ao número de arestas. D ( ) tem o número de arestas menor que o número de vértices. E ( ) possui um total de 6 faces e 1 base.

Prisma hexagonal

f)

Cone

Esfera

03. (CMBH–2011) Na entra-

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMBH–2011) Para revestir a tribuna de honra do Mineirão, serão utilizados três painéis nos seguintes formatos: quadrado, pentágono regular e hexágono regular. Para montá-los, os empreiteiros possuem somente ladrilhos triangulares de tamanhos variados. O número máximo de ladrilhos triangulares necessário para a composição de cada uma dessas figuras, respectivamente, sabendo-se que, após essa composição, as mesmas figuras ficarão divididas apenas pelos seus eixos de simetria, é igual a: A ( ) 2, 3, 4. B ( ) 2, 5, 6. C ( ) 4, 5, 6 . D ( ) 8, 4, 6. E ( ) 8, 10, 12.

da principal do estádio Castelão será instalada A uma placa em homenagem à reinauguração. Essa placa será fixada em um paralelepípedo retângulo, conforme a E figura ao lado:

D C B Plac

a

H G

F

Dentre as opções abaixo, determine, aquele que inclui, respectivamente, duas arestas paralelas e duas arestas perpendiculares A ( ) AC e EG ; AC e CG B ( ) EF e CD ; AC e BF C ( ) AD e FG ; DH e EH D ( ) AE e FB ; CG e FB E ( ) AE e AB ; BC e CG

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

91


Complemento 4

C ( ) r interseção t é um ponto, quando são paralelas. D ( ) r interseção t é vazio, quando são coincidentes. E ( ) r interseção t é a reta r, quando são oblíquas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13.

14.

15.

(CMR–1998) Quanto as noções de geometria, podemos afirmar que A ( ) retas reversas são aquelas que ficam no mesmo plano e são perpendiculares. B ( ) ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 45º e menor que 90º. C ( ) em todo polígono, o número de lados é igual ao dobro do número de vértices. D ( ) uma linha poligonal fechada simples é chamada de polígono. E ( ) dois segmentos de retas podem ser ao mesmo tempo consecutivos, colineares, congruentes e concorrentes.

SeI é o ponto de encontro das diagonais desse quadrado, pode, se afirmar que, em metros, a soma ie + iF + iG + ih é igual a A ( ) 8. B ( ) 12. C ( ) 16. D ( ) 32. E( )6

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Observe as figuras seguintes:

H

D

I

G

F

s t

r

u

(CMR–2000) Tome cinco pontos distintos M, N, P, Q e R sobre uma reta. Quantos segmentos você pode determinar? A( ) 4 B( ) 7 C ( ) 10 D ( ) 12 E ( ) 14 (CMPA–2010) Considerando o quadrado ABCD da figura seguinte, tem-se que • sua área é igual a 64m². • E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. • ACeBDsãoassuasdiagonais,asquaiscort am-seaomeio. E A B

espaço e Formas Geométricas Planas

v

Com uma reta r, determinamos duas regiões ou partes de um círculo. Com duas retas s e t, podemos determinar três ou quatro regiões em um círculo. Desenhe três retas em um círculo que determine: a) quatro regiões; b) cinco regiões; c) seis regiões; d) sete regiões. 02.

Pelo menos quantos quadrados precisam ser sombreados para se ter um eixo de simetria? A( )4 B( )6 C( )5 D( )2 E( )3

C Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

93


edivando de lima e rômulo tavares

5

Complemento

Complemento 1

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de PeríMetroS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

Nos problemas que envolvem perímetros em malhas quadriculadas, devemos considerar, na maioria das vezes, o lado de um quadradinho como uma unidade de medida de comprimento. Assim, para calcularmos o perímetro, basta contarmos o número de vezes que o lado de um quadradinho aparece no contorno de determinada figura. Vejamos o exemplo que se segue: Calcular o perímetro da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm. 1cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1cm

Resolução Partindo da extremidade de um dos lados da figura e seguindo um sentido, até completarmos o desenho, é fácil perceber que, ao longo do seu contorno, temos 88 lados da malha quadriculada; portanto seu perímetro, P, é dado por: P = 88 x (unidade de comprimento); isto é, P = 88 x 1cm = 88 cm. nota Tenha muita atenção na contagem dos lados do contorno da figura. Seja preciso!

Aqui vai uma dica! À medida que você for contando os lados, no sentido escolhido, vá assinalando com um tracinho cada lado do quadradinho para não ocorrer repetição.

94

Matemática para paraAdmissão Admissãonos nosColégios ColégiosMilitares Militaresdo doBrasil Brasil


Complemento 5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

driculada abaixo:

Canteiro 1

12. Considere as figuras V, N e R na malha qua-

Canteiro 3

Lanchonete

Uma pessoa faz caminhadas em uma pista desenhada em um piso quadriculado, no qual o lado de cada quadrado mede 1 metro. A figura a seguir representa essa pista. Quantos metros essa pessoa percorre ao completar uma volta? 1m A. ( ) 36 m 1m B. ( ) 24 m C. ( ) 22 m D. ( ) 20 m E. ( ) 16 m

Yasmin fez o projeto de uma área de lazer em uma malha quadriculada, em que todos os quadradinhos têm 1 metro de lado, como mostra o desenho abaixo.

Lago

11.

13.

Canteiro 2

As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? A. ( ) 7,2 m B. ( ) 6,6 m C. ( ) 5,4 m D. ( ) 3,6 m E. ( ) 2,4 m

Cálculo e Comparação de Perímetros de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

A. ( ) o perímetro do canteiro 1 mede 12 metros. B. ( ) o perímetro do canteiro 2 mede 16 metros. C. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 e do lago têm a mesma medida. D. ( )o perímetro da lanchonete mede 3 metros a mais que o perímetro do canteiro 3. E. ( ) os perímetros dos canteiros 1 e 2 têm medidas diferentes.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMRJ-2010) Na cidade planejada de “Matemópolis”, todos os quarteirões são quadrados idênticos de lado 500 m. No mapa abaixo, as linhas pontilhadas representam as ruas dessa cidade de mão dupla, ou seja, podem ser percorridos em qualquer sentido.

R V

C

N B

É correto afirmar que: A. ( ) o perímetro da figura V é o triplo do perímetro da figura R. B. ( ) o perímetro da figura N é o dobro do perímetro da figura V. C. ( ) o perímetro da figura R é a quarta parte do perímetro da figura N. D. ( ) o perímetro da figura N é maior que a soma dos perímetros das figuras V e R. E. ( ) o perímetro da figura N é o triplo do perímetro da figura R.

500 m

A

500 m

Mara toma táxi na esquina A de “Matemópolis”, passa pela esquina B para buscar sua amiga Patrícia e, em seguida, partem juntas, no mesmo táxi, para encontrar Ana Júlia que as aguarda na esquina C. Qual a

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

97


Complemento 5

a) O custo do letreiro do CMRJ será o mesmo que o custo do letreiroCMBH. b) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais barato que o custo do letreiro do CMBH. c) O custo do letreiro do CMRJ será 27 reais mais caro que o custo do letreiro do CMBH. d) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5100,00. e) O custo do letreiro do CMRJ será R$ 5475,00.

(CMRJ-2010) Uma formiguinha atravessa o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo um dos caminhos descritos na figura abaixo. Sabendo que, para percorrer o CAMINHO 2, a formiga gasta 3 minutos, e gasta o mesmo tempo para percorrer 1 dm em qualquer caminho, quanto tempo ela gastará para atravessar a sala, se percorrer o CAMINHO 4?

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo

CAMINHO 1 - 41 dm

CAMINHO 2 - 50 dm

01. O senhor Anastácio quer colocar uma cerca em

volta de cada um dos quatro canteiros indicados na figura. Sabendo que o perímetro do canteiro A é 60 metros, o do B é 64 metros e o do C é 56 metros, de quantos metros de cerca precisará o senhor Anastácio para o canteiro D? A. ( ) 58 m A D B. ( ) 60 m C. ( ) 62 m D. ( ) 64 m E. ( ) 68 m B C

CAMINHO 3 - 38 dm CAMINHO 4

A( B( c) ( d( e( 03.

) 2 minutos ) 2 minutos e 12 segundos ) 2 minutos e 22 segundos ) 2 minutos e 32 segundos ) 2 minutos e 42 segundos

(CMRJ-2010) No Colégio Militar de Belo Horizonte foi colocado um letreiro luminoso na entrada do colégio, om a configuração abaixo:

02. Duas formigas percorrem o trajeto da figura par-

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

m

98

40

O custo deste letreiro foi de R$ 75,00 por peça em forma quadrangular e R$ 42,00 por peça em forma triangular. Se o Colégio Militar do Rio de Janeiro colocar um letreiro com a configuração da figura exibida abaixo e utilizar o mesmo cálculo do custo do letreiro do Colégio Militar de

tindo, ao mesmo tempo, uma do ponto A e outra do ponto B. Elas andam com a mesma velocidade e no sentido indicado pelas flechas. Qual será a distância entre elas no momento em que elas ficarem uma de frente para a outra? A ( ) 30 m A B B ( ) 40 m C ( ) 50 m D ( ) 60 m E ( ) 70 m m

02.

Belo Horizonte, o que se pode afirmar sobre o custo do letreiro do CMRJ?

60m

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

menor distância que o táxi pode percorrer para sair de A e chegar a C passando por B? A ( ) 10,5 km B ( ) 10 km c) ( ) 11 km d ( ) 21 km e ( ) 20,5 km

30

edivando de lima e rômulo tavares


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

deSCriçÃo, interPretAçÃo e rePreSentAçÃo de uMA PeSSoA ou oBJeto no eSPAço e ConStruçÃo de itinerÁrio

6

Complemento

É a indicação ou a descrição do caminho a ser percorrido, seguindo orientações de acordo com os pontos cardeais, direções baseadas no Sol e na Terra que são quatro:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• norte, inicial n, também chamado “Setentrional ou Boreal”. • sul, inicial S, também chamado “Meridional ou Austral”. • leste ou Este, inicial l ou e (leste em inglês), também chamado “Oriente, Nascente ou Levante”. Pois, é onde o sol “nasce” e está situado a sua direita, de acordo com a bússola. • oeste, inicial O ou W (West, em inglês), também chamado “Ocidente ou Poente”. Pois, é onde o sol “se põe” e está situado a sua esquerda, de acordo com a bússola.

nota: • As marinhas de Portugal e do Brasil usam a forma leste para evitar confusão com este (pronome demonstrativo), mas em geral é mais usual a inicial E.. • Os termos à esquerda e à direita são baseadas no corpo humano. • A bússola é um instrumento de Navegação e Orientação, que aponta sempre para o Norte de acordo com a Terra. Considere a situação a seguir: A Mell é uma cadela muito traquina e esperta. Ela passa o dia a passear entre os canteiros do quintal da Senhora Deniza e descobre muitos objetos para brincar. Mas com tantos canteiros, a Mell só pode andar em cima dos muros, para a direita (Leste) ou para a esquerda (Oeste) e para cima (Norte) ou para baixo (Sul), conforme está representado pelas linhas da malha quadriculada abaixo. A Mell é uma cadela muito esperta, ela faz sempre o caminho mais curto para chegar aos objetos.

B

E

D Norte

C

Leste

Oeste Sul

A Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

99


Complemento 6 descrição, interpretação e representação de uma Pessoa ou objeto no espaço e Construção de itinerário 04. A figura seguinte mostra um teatro onde as

cadeiras da plateia são numeradas de 1 a 25. Nara recebeu um ingresso de presente que dizia o seguinte: Sua cadeira está localizada exatamente no plateia centro da plateia. Qual é 21 22 23 24 25 a cadeira de Mara? 16 17 18 19 20 A. ( ) 12 11 12 13 14 15 B. ( ) 14 6 7 8 9 10 C. ( ) 13 1 2 3 4 5 D. ( ) 22 palco E. ( ) 23

05.

A( B( C( D( E( 07.

Quantos metros é preciso andar para chegar da bilheteria até a sala de exposição, sabendo que o lado do quadrado abaixo corresponde a três décimos de quilômetros: A.( ) 1,5 B.( ) 15,0 C.( ) 150,0 D.( ) 1,5 × 102 E.( ) 0,15 × 104 Exposição

Marcelo fez a seguinte planta da sua sala de aula:

Bilheteria

Quadro-negro

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

) esquerda na prateleira do meio. ) direita na prateleira de cima. ) esquerda na prateleira de cima. ) direita na prateleira do meio. ) esquerda na prateleira de baixo.

Professora

Marcelo

Tiago

Luiza

Carla

Márcia

Bruna

Tânia

Rodrigo

Rafael

08. Carlos pode ir de sua casa à escola andando

três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar: A ( ) 2 km para o leste B ( ) 1 km para o sul C ( ) 5 km para o leste D ( ) 3 km para o oeste E ( ) 4 km para o norte

Janela

Porta

Das crianças que se sentam perto da janela, a que senta mais longe da professora é A ( ) o Rafael. B ( ) o Marcelo. C ( ) a Tânia. D ( ) a Luiza. E ( ) a Bruna.

História

Literatura

Literatura

Música

Ciências

Ciências

Artes

Matemática

Matemática

Literatura

História Matemática

Matemática

Artes Português

História

Política Artes

Geografia

Literatura Esportes

História

Matemática

Considere, no desenho abaixo, as posições dos livros numa estante:

Português

06.

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS 01.

(CMS–2011)O mapa abaixo mostra a cidade de Salvador dividida em quadradinhos iguais. Vamos chamar a medida de cada lado de um quadradinho de “a”. Um helicóptero sai do ponto P, na Graça, voa 10apara o leste; depois voa para o norte 6a, voa 2a para o oeste, voa 2a para o sul, voa 3a para oeste, voa 4a para o sul e finalmente voa 2a para o oeste e para. Pode-se dizer que o ponto mais próximo ao da parada é:

Você está de frente para essa estante. O livro de Música é o terceiro a partir da sua:

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

101


Complemento 6

edivando de lima e rômulo tavares

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura ao lado está representado um labi-

A( B( C( D( E( 02.

) ) ) ) )

A B C D E

A( )

C( )

D( )

E( )

(CMS–2010) Partindo de um ponto inicial (ponto X), Luiz caminha seguindo a seguinte orientação até atingir o ponto final (ponto F): Norte

Oeste

02. Leste

Sul

•3 metros para Leste; •5 metros para o Sul; •4 metros para o Leste; •8 metros para o Norte; •9 metros para Oeste; •3 metros para o Sul. Se Luiz fizesse um caminho diferente desse, a menor distância que percorreria é A ( ) 2 metros. B ( ) 3 metros. C ( ) 4 metros. D ( ) 5 metros. E ( ) 6 metros.

102

B( )

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Um canguru de brinquedo estava colocado num quadrado de um tabuleiro, tal como é apresentado na figura. O Martim deslocou o canguru do quadrado inicial para um outro quadrado, fazendo 5 movimentos. Em cada movimento, o canguru só podia ser colocado num quadrado vizinho. Sabemos que o Martim fez os seguintes movimentos: primeiro para a direita, a seguir para cima, depois para a esquerda, a seguir para baixo e finalmente para a direita. Qual das seguintes figuras apresenta a posição final do canguru?

A( )

B( )

C( )

D( )

E( )

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

rinto que permite ao gato chegar ao leite e permite ao rato chegar ao queijo, sem que o gato e o rato se encontrem. Como é que poderá ser a parte escondida do labirinto?


Complemento 1

Situações-Problema do Tipo Galinhas e Coelhos

CÁlCulo e CoMPArAçÃo de ÁreAS de FiGurAS deSenhAdAS eM MAlhAS QuAdriCulAdAS

7

Complemento

Nos problemas que envolvem áreas em malhas quadriculadas, devemos considerar cada quadradinho como unidade de medida de superfície. Assim, para calcularmos a área de figuras planas, basta contarmos o número de vezes que a unidade aparece na determinada figura. Veja o exemplo que se segue: Calcular a área da figura abaixo na malha quadriculada de lado 1 cm.

1 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 cm

Resolução A área da figura pode ser obtida pela contagem das unidades , não havendo a necessidade de cálculos. Assim, é fácil perceber que a figura cobre exatamente 21 unidades de área. Portanto, a área da superfície, A, é dada por: A = 21 ; isto é, 21 cm2.

nota Perceba que na figura há 17 superfície é de 21

e8

, sendo que 8

=4

. Daí, conclui-se que a medida da

.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

103


Complemento 7

Cálculo e Comparação de Áreas de Figuras Desenhadas em Malhas Quadriculadas

Fórmula de Pick Dado um polígono simples P e sejam f o número de pontos de fronteira, I o número de pontos interiores. Então, a área A desse polígono é dada pela expressão seguinte: A=

f + I −1 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere o exemplo abaixo:

Na figura acima, temos f = 12 e I = 19; dessa forma a área da figura é calculada por A=

12 + 19 − 1 ∴ A = 24 unidades de área 2

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

105


Complemento 7

T eSteS doS ColÉGioS MilitAreS

A ( ) A área da figura 1 é igual a área da figura 3. B ( ) A área da figura 1 é maior do que a área da figura 2. C ( ) A área da figura 5 é o dobro da área da figura 3. D ( ) A área da figura 2 é igual 1/16 a área da figura total. E ( ) A área da figura 4 é maior que a área da figura 3.

01. (CMCG– 2011)Durante uma aula de artes no

Colégio Militar de Campo Grande, o aluno Pitaluga fez o seguinte desenho em uma malha quadriculada.

03.

Observando o desenho acima, podemos afirmar que arazão entre a área cinza e a área não cinza é A ( ) 31/90. B ( ) 31/149. C ( ) 62/149. D ( ) 31/180. E ( ) 149/180. 02.

(CMF– 2011) Na malha da figura abaixo, cada quadradinho tem 1 cm2 de área. A área da região sombreada é A ( ) 24 cm2 B ( ) 23 cm2 C ( ) 25 cm2 D ( ) 22 cm2 E ( ) 26 cm2

04. (CMRJ– 2011) Durante as aulas de Educação

(CMCG–2011)O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo) que formam um quadrado. Com essas peças, podemos formar várias figuras, utilizando todas lado a lado, sem sobrepô-las.

Artística, os alunos do CMRJ fizeram um mural com o nome do mascote dos Jogos Militares em uma malha quadriculada. Para isso, usaram peças de cores e formatos diferentes, como mostra a figura abaixo. Peça clara

Peça escura

Mural

7 6

5 2

3

4 1

Observando o tangram acima, contido numa malha quadriculada; no que diz respeito às figuras numeradas, assinale a alternativa que contém a informação falsa.

108

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Desse modo, para compor todo o mural, os alunos usaram: A ( ) 40 peças claras e 100 peças escuras. B ( ) 20 peças claras e 25 peças escuras. C ( ) 40 peças claras e 50 peças escuras. D ( ) 20 peças claras e 100 peças escuras. E ( ) 21 peças claras e 26 peças escuras.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

edivando de lima e rômulo tavares


edivando de lima e rômulo tavares

Complemento 7

11.(CMRJ–2010)Na figura abaixo, cada quadra-

36 m

dinho tem lado medindo 0,5 cm. A área de toda a parte sombreada nessa figura mede: 13,5 m

12.

13.

110

) 0,4200 dm2 ) 0,3925 dm2 ) 0,3825 dm2 ) 0,3750 dm2 ) 0,3525 dm2

(CMRJ–2006)Assim que acabou de roubar mais um navio do Rei, Barba Negra mandou pintar no mastro do seu navio o símbolo abaixo indicado, onde a soma das áreas de todos os possíveis quadrados existentes no símbolo corresponde ao número de navios já roubados. Sabendo-se que o símbolo é formado por nove quadrados de lado 1 cm, determine quantos navios do Rei já haviam sido roubados por Barba Negra? A ( )13 B ( )18 C ( ) 25 D ( ) 30 E ( ) 34

)60,8 m2 )61,2 m2 ) 64,8 m2 ) 68,4 m2 ) 75,6 m2

D eSAFioS de tirAr o FÔleGo 01. Na figura seguinte, o lado de cada quadradi-

nho mede 10 milímetros. Qual é a área da região cinza? A. ( ) 0,40 m2 B. ( ) 0,50 cm2 C. ( ) 0,58 cm2 D. ( ) 0,64 cm2 E. ( ) 0,72 cm2

02.

(CMRJ–2007)Morg ficou impressionado com um lindo e enorme painel localizado na parede, bem no fundo do grande salão. Quando recebeu a Pedra, o chefe dos matemágicos caminhou em direção ao painel e encaixou-a no símbolo nele pintado, indicado na figura abaixo. Determine a área desse símbolo, sabendo-se que o painel é formado por retângulos iguais.

Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil

Na malha quadriculada os lados dos quadrados medem 1 cm. Qual é a razão entre a área cinza e a área desse quadrado? A. ( ) 1/2 B. ( ) 3/5 C. ( ) 5/8 D. ( ) 3/4 E. ( ) 1

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A( B( C( D( E(

A( B( C( D( E(


GABAritoS CoMPleMento 1 Página 06 Fixando as Ideias 01

02

C

5 perus

03

04

28 tábuas

20 porcos 05

530 brancos e 970 azuis 06

07

C

36 perguntas

8

09

11 tiros

31 problemas

Página 07 Testes nos Colégios Militares 01

02

03

04

E

A

A

B

05

06

7

8

E

A

A

B

Página 08 desafios de tirar o Fôlego 01

02

D

C

CoMPleMento 2 Página 11 Fixando as Ideias

04

05

06

D

E

D

a) 9 números b) 6 números

36 possibilidades

44

45

10

11

24 maneiras

10 duplas

D

E

D

C

46

47

12

6 números

280 vezes

A

48

49

48 maneiras

6 números

50

51

Página 16 Fixando as Ideias 13

14

15

a) 7 b) 3,1 c) 24 d) 50,50

22 livros

C

16

a) 18 maneiras b) 2 cores

17

E

a) 4 735,5 l b) 789,25 l c) 26,4 l

19

20

21

54

E

D

E

38

22

23

24

1 2

C

D

E

Página 20 Fixando as Ideias 25

26

27

7,0

R$ 12,50

D

28

29

30

A

R$ 2 850,00 a) 6,5 b) 8,0 c) 4,0

31

32 aproximadamente 8,2

33

34

D

a) sexta-feira b) 3 128 pessoas c) aproximandamente 14,26%

A

D

a) 6 anagramas b) 24 anagramas

52

53

B

21

Página 29 Fixando as Ideias

18

32 anos

C = pau-brasil (30 m) D = cajueiro (10 m) E = castanha-do-pará (50 m) F = abacateiro-do-mato (20 m) G = cedro (35 m)

43

09

02

A = jequitibá (45 m) B = peroba (15 m)

a) D b) A c) D

42

08

01

03

07

35

36

37

B

D

E

38

39

30 opções

15 maneiras

40

41

12 possibilidades

8 resultados

a)

1 2

b)

1 3

a)

c) 0

56

57

2 3

1 4 58

59 D

7 7 13 b) c) 25 25 25 60

61

62

C

19 85

19%

63 C

Página 24 Fixando as Ideias

55

64 a)

1 1 b) 13 4

65

66

D

D

Tópicos Especiais em Matemática para Admissão nos Colégios Militares do Brasil  

Recentemente, o edital dos exames de admissão dos Colégios Militares acrescentou, na prova de Matemática, alguns temas que não são encontrad...

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