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Negación . En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En lasemántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento. Definición La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A(pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso. La tabla de verdad de ¬p es la siguiente: Tabla de verdad de ¬p

p

¬p

Verdadero Falso

Falso

Verdadero

La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es unaconjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la 1


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lógica clásica como en la intuicionista, no funcionan en la lógica para consistente, donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q". Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásicas e intuicionista respectivamente. Notación La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes: Notación

Vocalización

no p

no p

no p

ene p

p prima , complemento de p p barra, barra p exclamación p Independientemente de la notación o símbolo utilizados, la negación ¬p / ~p se puede leer como "no es el caso que p", "no es cierto que p", o por lo común, simplemente (aunque no gramaticalmente) como "no p". 2


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Propiedades Doble negación Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos. Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko. Distributiva ~

~

Linealidad En el álgebra de Boole, una función lineal es una función tal que: Si existe a0, a1, ..., an {0,1} tal que f(b1, ..., bn) = a0 ⊕ (a1 para todo b1, ..., bn {0,1}.

b1) ⊕ ... ⊕ (an

bn),

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre cambia su valor de verdad de la operación o nunca cambia. La negación es un operador lógico lineal. Autodualidad En el álgebra de Boole, una función autodual es una función tal que: Si f(a1, ..., an) = ~f(~a1, ..., ~an) para todo a1, ..., an operador lógico de autodualidad.

{0,1}. La negación es un

Reglas de inferencia [editar] Hay varias formas equivalentes entre sí, de formular reglas para la negación. Una forma usual de formular la negación clásica, al establecer una deducción natural, es tomar como reglas primitivas de inferencia: 

Introducción de la negación (Si p implica a q y ¬q, inferimos ¬p; esta regla también se llama reductio ad absurdum), 3


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Eliminación de la negación (Dado p y ¬p inferimos q; esta regla también se llama ex falso quodlibet),

Eliminación de la doble negación (Dado ¬¬p inferimos p).

Las reglas para negación intuicionista se obtienen de la misma forma, pero excluyendo la eliminación de la doble negación. La introducción de la negación establece que si se puede obtener un absurdo como conclusión de p, entonces p no debe ser el caso (p es falso (clásico), o refutable (intuicionista), etc.). La eliminación de la negación establece que cualquier cosa se desprende de un absurdo. A veces, la negación de la elimincación es formulada usando el signo primitivo de absurdo ⊥. En este caso, la regla dice que dado p y ¬p concluimos en un absurdity. Junto a la eliminación de la doble negación, se puede inferir la regla originalmente formulada, a saber, que cualquier cosa que se desprende de un absurdo. Típicamente, la negación intuicionista ¬p de p se define como p→⊥. Entonces la introducción de la negación y la eliminación son sólo casos especiales de introducción de la implicación (prueba condicional) y eliminación (modus ponens). En este caso, podemos también agregar como regla primitiva ex falso quodlibet.

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