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LA YUPANA DINAMICA Un instrumento que permite calcular conscientemente Carlos A. Hernández García


SU ORIGEN Se puede localizar en los tiempos de la civilizaci贸n Inca, que usaba LA YUPANA Como un instrumento para calcular.


En manos de un antiguo contador inca podemos ver un quipu, aparato para anotar nĂşmeros y a sus pies a su derecha vemos el aparato para hacer cĂĄlculos llamado la

YUPANA. Esta imagen aparece en El Antiguo Abaco de los peruanos escrito, por Guaman Poma


VALIOSO DESCUBRIMIENTO Para emplear este instrumento, como material didรกctico, los investigadores peruanos encabezados por Martha Villavicencio giraron 90 grados, en sentido positivo, el rectรกngulo que vemos en la parte inferior izquierda del cuadro anterior, obteniendo el que vemos a la derecha; o

o

o

o

o


Además propusieron eliminar la fila de unos que podemos ver en la parte superior del segundo rectángulo. Y reemplazarlos de izquierda a derecha , por U,D,C,M … Unidad, decena, centena , tal como se ve a continuación

M

C

D

U


Con este instrumento y usando granos de maíz colocados en forma adecuada sobre los diferentes cuadros, Martha nos enseño a realizar la adición, como en ese momento, 1986, se ensayaba en las escuelas del Perú. Fácilmente se entiende, por ejemplo, como colocar 372. Se comienza representando 3 cientos, luego 7 decenas y por fin las 2 unidades, colocando los granos necesarios en cada casilla y empleando los diferentes orificios que aparecen en la yupana, no importando el orden.


Para sumarle 835, se cogen 8 granos en la mano y se comienzan a colocar en el orden de las centenas. Tan pronto se completan los 10 huecos, correspondientes a una columna se recogen los 10 granos de maíz y se reemplazan por un grano del siguiente orden. A continuación se coloca en el orden de las centenas el grano que, en este caso, quedó en la mano y luego se procede a colocar las 3 decenas y las cinco unidades, en la misma forma. La lógica del proceso fue suficiente para idear mi propia Yupana, que llamé YUPANA DINAMICA que respeta los valores asignados por los Incas a cada cuadro. PERO sin huecos ni letras.


LA YUPANA DINAMICA es la que se ve a continuación. Sin los números, que recuerdan el valor asignado a cada uno de los cuadros de la fila del frente. Las filas serán 4, pero las columnas pueden ser cuantas se quiera.

1→

2→

3→

5→


La propia reflexi贸n me llev贸 a suponer que si la civilizaci贸n inca hubiera supervivido, en este momento, los incas no hubieran necesitado de 5 cavidades para representar el cinco ni de 3 para representar el tres, ni de 2 para el dos y que por algo reservaron una cavidad para el UNO. No habiendo motivo para suprimirla.


OBSERVACION IMPORTANTE.

A PARTIR DE AHORA CADA UNO DEBE ESTAR USANDO SU PROPIA YUPANA


ADICION En un cuadro como el anterior realizaremos una adici贸n. An贸tala en un papel para que sepas lo que estas haciendo. 53 32 824 581 9847 7997


Se comienza colocando 53 y luego se procede a sumarle 32 Para facilitar el entendimiento 53 en blanco +32 en negro. Para representar 53, basta colocar una ficha en 5 decenas y otra en 3 unidades. Para 32, una en 3 decenas y otra en 2 unidades


YUPANA DINAMICA


OLVIDAREMOS EN ADELANTE, LOS COLORES. Pudimos leer la respuesta 85. Evidentemente que el 3+2 unidades, se puede reemplazar por 5 unidades; pero esto no es necesario. De todos modos recuerda antes de leer la respuesta final, si es necesario recoger los 10 que aparezcan en cualquier columna y cambiarlos por una unidad del orden superior. Pero esto sucederĂĄ, con menos frecuencia, si entendemos que cualquier dĂ­gito se puede representar, en cualquier columna, colocando 10 y quitando su complemento y que para colocar diez de un orden basta colocar 1 del orden siguiente.


A 85, le sumaremos ahora 824. Dรณnde y cรณmo coloca 8 centenas. Dรณnde las 2 decenas y dรณnde y cรณmo coloca 4 unidades. ENSAYA HACERLO


COMPARA CON LO QUE APARECE A CONTINUACION - Ensaya Sumarle , ahora, 210


Posiblemente esto es lo que hiciste Pero c贸mo leer la respuesta. Ya te lo dije


Donde encuentres 10 los recoges y los reemplazas por 1 del orden inmediatamente superior. Recuerda las unidades son el primer orden. Las decenas son el segundo orden. Para el caso recoges las 10 que encuentras en los cientos, tercer orden, y las reemplazas por 1 de mil, cuarto orden. A continuaci贸n recoges las 10 que vez en el segundo orden y las cambias por 1 del tercero. Ahora puedes leer la respuesta. ENSAYA


1119


A 1119 le sumaremos 581. Para colocar quinientos (cinco cientos) no habrรก problema. Lo mismo para colocar 80 ( 8 de diez). Para colocar una unidad, el 1, puedes hacerlo en dos formas, colocar dos unidades y quitar una. Pero es preferible colocar una decena, que se logra bajando la ficha que esta en 1 de las decenas, hasta el 2 de las mismas, lo que equivale a colocar 10 unidades; pero como no se iban a colocar 10 sino 1 unidad, se quita el exceso 9 unidades. Esto es lo que se hizo. TRATA DE HACERLO ANTES DE VER LA RESPUESTA A CONTINUACION.


Trata de leer la respuesta, antes de pasar al siguiente cuadro donde podrรกs verla si no puedes.


1700. Practica sumรกndole 9847


Para sumar 9 mil, podr铆as colocar 10 en la columna de los miles y luego quitar 1 de la misma. Pero es mejor colocar una de diez mil y a continuaci贸n quitar 1 de mil. Para colocar 8 cientos, no lo puedes hacer en forma diferente a colocar 1 de mil y luego quitar 2 de cien. Para cuarenta usa el 3 y el 1 de las decenas y para 7 unidades el 5 y el 2 de esta columna. Hazlo antes de ver respuesta a continuaci贸n.


Vemos como respuesta, el numero 11547. Al cual le debes sumar 7997. ObservaciĂłn importante. Si en algĂşn momento, cuando se va a colocar una unidad del siguiente orden, no es posible, usa el orden inmediatamente superior para colocarla y quita 9 del orden en que deseabas colocarla inicialmente. Trata de hacer esto automĂĄticamente.


La respuesta final debe ser 19544. Si no obtuviste este resultado, vuelve a empezar

53 + 32 + 824 + 581 + 9847 + 7997


SUSTRACCION En un cuadro de la Yupana Dinámica, realizaremos la siguiente sustracción:

840 - 539 No me parece necesaria la siguiente explicación. Pero sin embargo a continuación la doy para quien quiera comparar su trabajo con el mío.


Se comienza colocando en la Yupana el minuendo es decir 840 :


De este quitaremos 539 o sea el sustraendo. Para esto sencillamente se quitaron las 5 centenas y las 3 decenas que aparecĂ­an en los respectivos ordenes


Para quitar las 9 unidades, como en el minuendo no hay se quitan 10 unidades o sea una decena y como no habĂ­a que quitar 10 sino 9 se devuelve a este orden el complemento de 10, o sea 1


MULTIPLICACION La yupana no exime del conocimiento de las tablas. Se necesita un tablero auxiliar donde se colocan el multiplicando y el multiplicador y la multiplicaci贸n se va realizando en la forma usual. La 煤nica diferencia est谩 en que los resultados parciales que se van obteniendo, van siendo representados en la yupana mediante la colocaci贸n de fichas. Sin necesidad de recordar lo que se lleva, que directamente va quedando registrado.


Sea por ejemplo multiplicar 647 x 72 Se comienza multiplicando por 2 y diciendo 2x7 = 14 que se representa en la yupana. Lo podemos ver.


Observa que se termin贸 en las unidades. Ahora debe terminarse en decenas 2 x 4 = 8. El ocho debe caer sobre las decenas.


Ya te imaginas que debes terminar en centenas. 2 x 6 = 12. El dos debe caer sobre las centenas . Y as铆 es lo puedes ver a continuaci贸n.


Ya haz acabado de multiplicar por la cifra de las unidades del multiplicador. Ahora multiplica por la cifra de las decenas: 7 , que en realidad es 70. Dices 7x7= 49. Debes terminar en las decenas


OBSERVA LO QUE SE HIZO Para 4 centenas, colocas 5 centenas y quitas 1 corriendo la que esta en 2 hacia el 1. Para colocar el 9 en las decenas, tienes que colocar 1 del orden de las centenas; para esto corriste la que estaba en 1 hasta el 2 y luego, quitaste 1 decena ( el exceso por haber colocado 10). Ahora dices 7x4 = 28 y debes terminar en centenas


Debes lograr el resultado que aparece a continuaci贸n


7 x 6 = 42. Al colocar el 42 debes terminar en los miles. Y podr谩s inmediatamente leer el resultado final de la multiplicaci贸n.


LEE LA RESPUESTA. No olvides antes de leerla, no debes olvidar, nunca cambiar las 10 de un orden por 1 del orden superior si es el caso Respuesta: 46584


DIVISION Al efectuar una división tienes oportunidad de practicar la sustracción. Ya que esta consiste en encontrar el numero de veces que está contenido un numero en otro. El número de restas no es tan grande como inicialmente te lo imaginas, si logras descubrir la forma de hacer la operación.


Asi al dividir 7862 entre 581. El resultado que vamos a obtener es 13. Pero serรก que tenemos que hacer 13 restas?. NO. Solamente 4 divertidas restas Observemos el divisor: Se compone de 3 cifras y es menor que el numero compuesto por las tres primeras cifras del dividendo. Se comienza entonces quitando 581 de 786. De lo que quede se restarรก de nuevo 581 hasta que no se pueda mas.


De lo anterior se deduce que el cociente tendrรก dos

cifras o sea que constarรก de unidades y decenas. Se comienza empleando la columna de las decenas de una yupana auxiliar anotando en ella, de uno en uno, las veces que 581 es restado de 786. Cuando ya no sea posible efectuar nuevas restas, se considera la siguiente cifra del dividendo, el 2, Procediendo a calcular la cifra de las unidades correspondiente al cociente . Veamos el proceso a continuacion.


ATENCION Comienza por representar en la yupana superior 7862 (dividendo). Como el divisor 581 tiene 3 cifras, se consideran las tres primeras cifras del dividendo y como en este caso resulta que cabe en 786 se procede a restarlo una vez, anotando 1 en la yupana inferior, en el orden de las decenas. Trata de hacer la resta y calcular lo que se vera en el siguiente cuadro.


Después de la resta resultó 205 que es menor que 581. Por consiguiente no cupo sino 1 vez, que ya se anotó. Si cupiera otra vez, habría que hacer una nueva resta y cambiar 1 decena por 2. Del número completo que se ve en la yupana superior, o sea 2052, se debe restar 581 hasta que no se pueda mas y se van anotando las veces que se efectúa la resta, en la columna de unidades. TRATA DE LOGRAR EL RESULTADO DE EFECTUAR LA PRIMERA NUEVA RESTA.


En primer lugar se representa en la yupana inferior 1 unidad. Luego se prode a restar 5 centenas, restando 1 de mil y aumentando 5 centenas. Ahora se restan 8 decenas, restando una centena y devolviendo 2 decenas. Por fin se resta 1 unidad Se observa el residuo 1471. De este numero se puede restar otra ves 581. Trata de hacerlo antes de ver el siguiente cuadro.


Se comienza bajando, en la yupana inferior, 1 unidad al puesto de 2 unidades. Se resta ahora 581 de 1471 que se ve en la yupana superior TRATA DE HACER ESTA RESTA ANTES DE QUE APAREZCA EL CUADRO SIGUIENTE.


El resultado es 890 De este numero se puede restar aun 581. Y queda un residuo del cual ya no se podrรกn realizar nuevas restas. TRATA DE REGISTRAR LA NUEVA RESTA Y EFECTUARLA EN LA YUPANA SUPERIOR ANTES DE QUE APAREZCA EL CUADRO SIGUIENTE.


Comienza por aumentar 1 al 2 que se encuentra en la columna de unidades de la yupana auxiliar. Ahora de 890 que ves en la yupana superior, resta 581. Has hecho la divisi贸n. Cu谩l es el resultado? Cual el residuo? Cuantas restas que realizar.

hubo


RAIZ CUADRADA Emplearemos el método chino que se basa en el hecho de que sumando los números impares consecutivos siempre se obtiene un cuadrado perfecto. Se necesitan dos Yupanas dinámicas superpuestas, como aparece en seguida.


En la superior aparece 72583 nĂşmero al cual se quiere extraer la raĂ­z cuadrada. Mediante colores aparece dividido en periodos de dos cifras de derecha a izquierda . El ultimo periodo puede ser de una cifra. En la inferior en la columna de las unidades se van colocando los nĂşmeros impares. Se ha colocado el 1 que debe ser restado del primer periodo Hazlo antes de continuar.


En el primer periodo quedĂł 6. Como de este nĂşmero es posible restar el siguiente impar, el 3. Se comienza por representarlo en la yupana inferior, despuĂŠs de haber eliminado el 1, colocado anteriormente y luego se procede a restar 3, del primer periodo de la yupana superior. Hazlo antes de continuar. Y piensa si es posible restar de lo que queda en el primer periodo, el siguiente impar.


Del primer periodo de izquierda a derecha de la yupana superior se quitaron 3, (quitando 5 y devolviendo 2). Se observa que de 3, el resto, no se puede restar el siguiente impar que es 5. Siempre que se presente un caso similar, AUMENTA 1 AL ULTIMO IMPAR ANOTADO Y LUEGO MULTIPLICA POR 10. Para lo cual basta correr todo el impar un lugar hacia la izquierda y se aumenta 1 Haz esto ultimo con 3.


Observa que la yupana inferior apareci贸 4, multiplicado por 10. Es decir 40, al cual se agrega 1, obteniendo as铆 41, primer impar que debe ser restado del residuo anterior anexado al segundo periodo. (325). RECUERDA ESTA RUTINA: Aumentar 1 al ultimo impar anotado, multiplicar por 10. Aumentar de nuevo 1. Continuar la resta de impares, hasta que se vuelva a presentar el caso de no poder restar un nuevo impar. EJECUTA LA PRIMERA RESTA ANTES DE DAR CLIC .


Result贸 un resto de 284 del cual deben restarse el siguiente impar que es 43. REALIZA TU MISMO, ANTES DE DAR CLIC PARA PASAR AL SIGUIENTE CUADRO


AQUÍ ESTA RESULTADO.

EL

Qué número impar debe ser restado a continuación ? Anótalo y réstalo. Da clic cuando tengas tu resultado y luego sigue hasta no poder restar mas impares


No se puede quitar 53 que seria el impar que corresponde ahora. Es el momento de seguir la rutina antes indicada RECUERDALA.


Aumentar 1 al 煤ltimo impar anotado, multiplicar por 10. Aumentar de nuevo 1 y luego, continuar la resta de impares, hasta que se vuelva a presentar el caso de no poder restar un nuevo impar. El primer impar que debe ser restado ahora es 521 Ahora comienza a ejecutar las restas de impares a partir de 521. Cuando empieces das clic para comparar tu respuesta con la del cuadro que aparece a continuaci贸n


El siguiente impar seria 539 que es mayor que 222 (ultimo residuo). Esto quiere decir, que a partir del 537, ultimo impar anotado en la yupana auxiliar se puede calcular la raĂ­z cuadrada.


RECUERDE LA FORMA DE HACERLO: Aumentar 1 al último impar restado y luego dividir entre 2. Para el caso la raíz buscada resulta de: (537 +1) /2 = 269 y el residuo es 222


Yupana 2