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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES

ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES

AUTOR: LILIANA QUISHPE 1


ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES

ÍNDICE GENERAL METODO DE MAPAS DE KARNAUGHT --------------------------------------------------- 3 FORMA DE UN MAPA DE KARNAUGHT ------------------------------------------------------- 3 PROCESO DE SIMPLIFICACIÓN --------------------------------------------------------------- 3 PARA QUE SIRVE? ---------------------------------------------------------------------------------- 3 EJEMPLOS: -------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Para resumir lo anterior: ------------------------------------------------------------------------------ 8

OTRA MANERA PARA SIMPLIFICAR MAPAS DE KARNAUGHT ---------------- 12 EJEMPLOS: -------------------------------------------------------------------------------------------12

EJERCICIOS EN CLASE ---------------------------------------------------------------------- 14 SIMPLIFICACIÓN POR MAPA DE KARNAUGH ---------------------------------------------14

EJERCICIOS CON EL PROGRAMA LOGICAL CIRCUIT ---------------------------- 17 1.- OPERADORES LOGICOS.----------------------------------------------------------------------17 2.- SUMADOR Y SEMISUMADOR. ---------------------------------------------------------------17 3.- MOTORES M1 Y M2. ----------------------------------------------------------------------------17 4.- UNA LÁMPARA CON DOS PULSADORES A Y B. ----------------------------------------17 5.- SEMÁFORO ---------------------------------------------------------------------------------------17

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ELEMENTO III METODO DE MAPAS DE KARNAUGHT Este es un método grafico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica o para convertir una tabla de verdad en un circuito lógico mediante un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas, ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora. FORMA DE UN MAPA DE KARNAUGHT El mapa k al igual que una tabla de verdad es un medio para demostrar la relación entre las entradas lógicas y la salida que se busca. A través de la simplificación adecuada combinando los cuadrados en el mapa k que contengan números 1 adyacentes unos a otros se denomina agrupamiento, el agrupamiento puede ser de 2 (pares), de 4 (cuadrúpedos), de 8 (octetos). El número de celdas de un mapa k es igual al número total de posibles combinaciones de los valores de las variables de entrada. PROCESO DE SIMPLIFICACIÓN 1. La minimización de una suma de productos comienza agrupando los 1 que están situados en celdas adyacentes del mapa. 2. Un grupo debe contener el mayor numero posible de celdas de acurdo a los siguientes parámetros. Toda celda del grupo debe ser adyacentes del grupo. El numero de celdas de cada grupo de ser potencia de dos (2, 4, 8, 18). 3. Cada 1 del mapa debe ser incluido en al menos 1 grupo aunque un 1 puede estar incluido en varios grupos solapados.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 4. Puede haber varias agrupaciones validas posibles pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo final de este proceso es maximizar el tamaño de los grupos al mismo tiempo que se trata de minimizar el numero de grupos para obtener la respuesta. ¿PARA QUE SIRVE? Sirve para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1". Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh

EJEMPLOS:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables. La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura. 2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente). Note que cada cuadrado del renglón superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglón inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglón superior es adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna. 3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha: 4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'. Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento. Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C'

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B. Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

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La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X. Para resumir lo anterior:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada. Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. Los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí. Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

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Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es: X = AD Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada. El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma complementada y no complementada. Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos.

Porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14. Para resumir:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.

OTRA MANERA PARA SIMPLIFICAR MAPAS DE KARNAUGHT Otra manera de simplificar funciones es representándolas en mapas de Karnaugh. Esto es equivalente a resolver las simplificaciones por teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que resulta más fácil visualizar las simplificaciones si se presentan gráficamente. Los mapas de Karnaugh pueden aplicarse a dos, tres, cuatro y cinco variables. Para más variables, la simplificación resulta tan complicada que conviene en ese caso utilizar teoremas mejor. Para efectos de clase, veremos las simplificaciones de dos, tres y cuatro variables. EJEMPLOS: Ejemplo 1: Simplifica la función de dos variables f = a'b + ab' + ab Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de dos variables. Se representa como una tabla. Para llenar la tabla, pongo un uno donde se intersecte el valor de la función. Por ejemplo, para el primer término de la función f = a'b + ab' + ab, se ha marcado en rojo donde se puso el 1 en la tabla.

Una vez hecho el mapa, debemos marcar las regiones contiguas que manejen 1s. Aquí en el dibujo vemos cómo se marcan dos regiones. Estas regiones son las simplificaciones. Como la región azul involucra solamente a la b, eso representa. La región verde, por su parte, involucra solamente a la a. Para cada región, debemos checar qué variables involucra. En el caso de la región azul, cubre a la b, pero con respecto a la variable a maneja tanto a como a', y por eso se descarta la a. Una vez definidas las regiones, se escribe la función simplificada f= b + a.

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Ejemplo 2: Simplifica la función de tres variables f = a'b + ab'c + c' Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de tres variables. Se representa como se muestra en la tabla. Para llenar la tabla, pongo un uno donde se intersecte el valor de la función. Por ejemplo, para los términos de la función f = a'b +ab'c + c', se ha marcado donde se puso el 1 en la tabla.

Ahora debemos buscar las regiones que nos indiquen la función simplificada. Lo primero que debemos observar es que las regiones pueden agruparse de los extremos del mapa, como la región azul. Esta región representa a c'. Ahora, vemos que queda un bit en a'bc, pero siempre conviene agruparlo lo más posible, en regiones cuyas celdas sean múltiplos de 2 (1, 2, 4, 8...) En este caso, la agrupamos con el 1 contiguo, para que la región quede como a'b. La región verde se agrupa para formar ab'. Así, la función resultante sería f = a'b + ab' + c.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES Ejemplo 3: Simplifica la función de cuatro variables f = ac'd' + a'bd + abcd + ab'cd + a'bc'd' + a'b'c'd' Nuevamente, lo primero que hacemos es vaciar la función al mapa. Nótese la forma que toma el mapa. Ahora, lo siguiente es agrupar las variables en regiones. La primer a región, la roja, está agrupada de las esquinas. Esta agrupación representa a c'. La siguiente región, la verde la agrupo con el 1 que tiene abajo. Pude haberla agrupado con el 1 a la derecha, pero hubiera significado agrupar un 1 ya agrupado, y dejar otro 1 aún no agrupado sin agrupar. Así que se agrupa de esta forma, y la región verde representa a a'bd. Los 1s que quedan hasta este momento libre pueden agruparse juntos, en la región azul. Esto representa a acd.

Es importante notar la región naranja. Representa a bcd. Esta región es una simplificación adicional válida, que pudo haberse manejado. En ocasiones, habrá varias formas de agrupar a los 1s. Todas son válidas, y representan soluciones equivalentes. Sin embargo, hay que cuidar de siempre agrupar las regiones lo más grandes posibles, y cuidando de agrupar a los 1s de manera que se repitan lo menos posible.

EJERCICIOS EN CLASE SIMPLIFICACIÓN POR MAPA DE KARNAUGH 1.- Remplazar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplificar .Dar su diseño.

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SIMPLIFICACIÓN

CIRCUITO

2.-Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh.

SIMPLIFICACIÓN

CIRCUITO

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3.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño. SIMPLIFICACIÓN

CIRCUITO

4.- Representar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplifique. Dar su diseño. F=a'.b'.c'.d'+a.b'.c'.d'+a'.b'.c'.d+a'.b.c'.d+a.b.c'.d+a'.b'.c.d+a'.b'.c.d'+a.b'.c.d'

SIMPLIFICACIÓN

CIRCUITO

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 5.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño.

CIRCUITO

SIMPLIFICACIÓN

EJERCICIOS CON EL PROGRAMA LOGICAL CIRCUIT 1.- OPERADORES LOGICOS. 2.- SUMADOR Y SEMISUMADOR. 3.- MOTORES M1 Y M2. 4.- UNA LÁMPARA CON DOS PULSADORES A Y B. 5.- SEMÁFORO 6.-EJEMPLO

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1.- OPERADORES LÓGICOS

2.- SUMADOR Y SEMISUMADOR

3.- Se desea controlar dos motores M1 y M2 por medio de los contactos de 3 interruptores A, B y C.

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4.- Una lรกmpara de incandescencia debe de poder gobernar mediante dos pulsadores A y B, de acuerdo a las siguientes condiciones:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 5.- El semáforo de cruce se controlara de acuerdo a la siguiente lógica:  El semáforo E-O (este- oeste) estará de verde siempre que C y D estén ocupados.  El semáforo E-O (Este -Oeste) estará de verde siempre que C o D estén ocupados pero A y B no estén ocupados.  El semáforo N-S (Norte - Sur) estar en verde siempre que los carriles A y B estén ocupaos pero C y D.  El semáforo N-S también estará en verde cuando A o B estén ocupados en tanto que D y C estén vacíos.  El semáforo E-O estará en verde NO haya vehículos transitado.

6.- Ejercicio

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 7.- Visualizar con un displey o un led de 8 salidas hacer que funcionen los números del 1 al 8

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http://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh http://www.unicrom.com/Dig_mapa-karnaugh.asp http://www.google.com.ec/imgres?hl=es&sa=X&tbo=d&biw=1252&bih= 570&tbm=isch&tbnid=Zmd8c9sFyooKmM:&imgrefurl=http://es.wikipedi a.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh&docid=DiYAaBSYd8NsFM&imgurl=http: //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Kmap_minterms_A.svg/350px-Kmap_minterms_A.svg.png&w=350&h=210&ei=_ALTUL7BIeu30AGXv4D wBA&zoom=1&iact=hc&vpx=361&vpy=248&dur=80&hovh=168&hovw =280&tx=134&ty=48&sig=111722177163385377702&page=1&tbnh=13 8&tbnw=230&start=0&ndsp=20&ved=1t:429,r:3,s:0,i:94

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ELEMENTO 3