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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES

ELEMENTO II NOMBRE: LILIANA QUISHPE SEMESTRE: TERCERO INFORMÁTICA DOCENTE: ING.MSC. WILMA GAVILANES

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES ALGEBRA BOOLEANA Y COMPUERTAS LOGICAS El algebra de Boole se basa en el concepto de cantidades, que solo pueden asumir uno de las dos posibles valores que se representa por 0 y 1 que identifican 2 posibles estados encendidos y apagados. COMPUERTAS LÓGICAS.- en la computadoras están compuertas son circuitos electrónicos que reciben una o mas señales de entrada y producen una de salida. Las operaciones de suma y resta se realizan físicamente e internamente dentro del computador con 3 tipos de circuitos electrónicos llamadas compuertas “AND” (y), OR (o) , “NOT” (negación ). De ahora en adelante denotaremos a la unión como (+) y a la intersección como (•). ¡Ojo! No son la suma y multiplicación ordinarias. Las operaciones lógicas se pueden representar como funciones: Para la unión, S = A + B. Para la intersección, S = A • B. Complementario o negación, S = Ā Donde los conjuntos A y B (variables) pueden tener los dos estados 0, 1. Función unión o suma lógica (+): S=a+b La función toma valor lógico "1" cuando a o b valen "1". También se la conoce como función Or (O). Otra forma de representarlo es en la llamada tabla de verdad. a b S = a+b 000 011 101

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 111 La tabla de verdad, representa en el lado izquierdo todas las combinaciones que se pueden dar de las variables y en la parte derecha el valor que toma la función para cada uno de ellos Función intersección o multiplicación lógica (•): S=a•b La función toma valor lógico "1" cuando a y b valen "1". También se la conoce como función And (Y). Otra forma de representarlo es en la llamada tabla de verdad. a b S = a·b 000 010 100 111 Función negación lógica o complementario (¯): S=ā La función toma valor lógico "1" cuando a vale "0" y toma el valor "0" cuando a vale "1".

También

se

la

conoce

como

función

Otra forma de representarlo es en la llamada tabla de verdad. A S=ā 0 1 1 0 Los símbolos que representan estas funciones se pueden ver a continuación:

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Inversión.


ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES

Símbolos normalizados de la suma, multiplicación e inversión Los símbolos antiguos todavía se pueden ver en numerosos lugares por lo que se representan aquí, pero ya no deben utilizarse.

Símbolos antiguos de la suma, multiplicación e inversión en desuso no se deben utilizar

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES PUERTAS LÓGICAS. Las puertas lógicas son componentes físicos (electrónicos, eléctricos, mecánicos, neumáticos...) capaces de realizar las operaciones lógicas. A continuación se implementan las tres puertas lógicas con interruptores.

Puertas Suma, multiplicación e inversión con interruptores En la puerta suma (OR), cuando se cierra el interruptor a o el b, o los dos, luce la bombilla. En la puerta multiplicación (AND), sólo cuando se cierra el interruptor a y el b luce la bombilla. La puerta inversora tiene encendida la bombilla, y deja de estarlo cuando actuamos sobre el interruptor a, normalmente cerrado. Las puertas lógicas se encuentran comercializadas en diversos formatos.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES El más famoso es el formato electrónico, puesto que ocupa muy poco espacio y su coste es muy bajo. Se comercializan múltiples formatos, tecnologías y características eléctricas. No es el objetivo de esta unidad entrar en tanto detalle, por lo que mostraré un ejemplo sin entrar demasiado en los detalles. Las puertas electrónicas corresponden a familias lógicas, una de las más utilizadas es la TTL (Transistor Transistor Logic). El circuito 7432 en sus distintas versiones (L, LS, S...), integra cuatro puertas suma (OR) de dos entradas en un encapsulado de 14 patillas, dos de las cuales son la de alimentación +5V(14) y masa (7). El aspecto de dicho integrado puede verse a continuación:

Circuito integrado 7432 Por otra parte el circuito 7408 integra también cuatro puertas, pero ahora multiplicación (AND) y sus terminales de alimentación. Este es su aspecto:

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El circuito 7404 integra 6 puertas inversoras con los terminales de alimentación. Este es su aspecto:

Para utilizar una de estas puertas se debe alimentar el circuito a 5 Voltios y conectar los

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES terminales de dicha puerta. Cada una de ellas es independiente del resto. Existen otras puertas que son combinación de las anteriores, la NOR y la NAND, que también se comercializan. Función NOR: La función toma valor lógico "1" cuando a y b valen "0". Es la negación de la OR. Esta es su tabla de verdad. a b 00 1 01 0 10 0 11 0 Función NAND: La función toma valor lógico "1" cuando a o b valen "0". Es la negación de la AND. Esta es su tabla de verdad. a b 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Su símbolo normalizado sería el siguiente, también se muestra el símbolo antiguo en desuso que no debe utilizarse:

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Símbolo de las puertas NAND y NOR, actual y antiguo en desuso Este es el aspecto de los circuitos que las contienen:

Circuito integrado 7402, NOR

Circuito integrado 7400, NAND

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. Para toda variable a,b,c que pertenece al conjunto de álgebra de Boole se cumple: 1) PROPIEDAD CONMUTATIVA: •

a+b = b+a

a•b = b•a

2) PROPIEDAD ASOCIATIVA: •

a+b+c = a+(b+c)

a•b•c = a•(b•c)

3) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: •

a•(b+c) = a•b + a•c

a+(b•c) = (a+b)•(a+c) ¡ojo!

4) Elementos neutros: son el "0" para la suma y el "1" para el producto. •

a+0=a

a •1 = a

5) Elementos absorbentes: son el "1" para la suma y el "0" para el producto. •

a+1=1

a •0 = 0

6) Ley del complementario: •

a+ā=1

a•ā=0

7) Idempotente: •

a+a=a

a•a=a

8) Simplificativa:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES •

a + a•b = a

a • (a+b) = a

9) Teoremas de Demorgan: • • OTRAS OPERACIONES LÓGICAS A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas, las cuales son: NAND, cuya tabla correspondiente es:

A b 0 0 0 1 1 0 1 1

(a*b)' 1 1 1 0

NOR, cuya tabla correspondiente es: A 0 0 1 1

b 0 1 0 1

(a+b)' 1 0 0 0

XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:

a 0 0 1 1

b 0 1 0 1

a(+)b 0 1 1 0

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES PUERTAS LÓGICAS Todas las funciones lógicas vistas hasta el momento poseen una representación normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente:

Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha. Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas. Hay que mencionar en este punto que los niveles de tensión que se corresponden con los niveles lógicos 1 y 0 dependen de la familia lógica empleada. De momento basta saber que la familia TTL se alimenta con +5V, por lo que los niveles de tensión se corresponderán con +5V para el 1 lógico y 0V para el 0 lógico (idealmente hablando). Funciones lógicas La aplicación más directa de las puertas lógicas es la combinación entre dos o más de ellas para formar circuitos lógicos que responden a funciones lógicas. Una función lógica hace que una o más salidas tengan un determinado valor para un valor determinado de las entradas. Supongamos que tenemos dos entradas, A y B, y una salida F. Vamos a hacer que la salida sea 1 lógico cuando A y B tengan el mismo valor, siendo 0 la salida si A y B son diferentes. En primer lugar veamos los valores de A y B que hacen 1 la función: A=1yB=1 A=0yB=0 Es decir, podemos suponer dos funciones de respuesta para cada caso: F1 = A*B (A y B a 1 hacen F1 1) F2 = A'*B' (A y B a 0 hacen F2 1)

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES La suma de estas funciones será la función lógica final que buscamos: F = F1 + F2 = (A*B)+(A'*B') A continuación vamos a ver como en muchos casos es posible simplificar la función lógica final en otra más simple sin alterar el funcionamiento del circuito. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Supongamos que tenemos un circuito donde "F" es la respuesta (salida) del mismo en función de las señales A, B, y C (entradas): F = A*B*C + A'*B*C + B*C Esta función puede ser simplificable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. En primer lugar aplicamos la propiedad distributiva: F = B*C*(A+A') + B*C Ahora aplicamos las leyes de idempotencia: F = B*C + B*C = B*C Como hemos podido ver en este ejemplo en muchas ocasiones se puede simplificar la función (y por tanto el circuito) sin que ello afecte al resultado. Más adelante veremos como simplificar funciones empleando otros métodos más sencillos y fiables. TABLA DE VERDAD Es una forma de representación de una función en la que se indica el valor 0 o 1 para cada valor que toma ésta por cada una de las posibles combinaciones que las variables de entrada pueden tomar. Anteriormente hemos visto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones lógicas; estas tablas son tablas de verdad de sus correspondientes puertas lógicas. La tabla de verdad es la herramienta que debemos emplear para obtener la forma canónica de la función del circuito, para así poder simplificar y conseguir la función más óptima. Veamos un ejemplo de un circuito y la tabla de verdad correspondiente:

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Como podemos ver, si simplificamos la función obtenemos: 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

F = (A*B*C*D)' Es decir, una puerta NAND de 4 entradas. FUNCIONES LÓGICAS, TABLA DE VERDAD. Ejemplo La forma más simple de definir una función lógica es mediante su tabla de verdad. Consiste en establecer todas las posibles combinaciones de las variables independientes en forma de tabla, e indicar el valor de S para cada una de ellas. El número total de combinaciones es 2n, siendo n el número de ellas. El primer paso en resolución de circuitos lógicos es la obtención de la tabla de verdad y posteriormente obtener la función lógica a partir de esta. A continuación se muestra como obtener la función a partir de la tabla de verdad. La función lógica S, es una expresión algebraica en la que se relacionan las variables independientes (a,b,c...) mediante las operaciones lógicas. Por ejemplo:, una función lógica de tres variables puede ser:

a B c S 0 0 0 0 0 0 1 1

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

Cuando a=0, b=0, c=0 la función S= 0, Cuando a=0, b=0, c=1 la función S = 1, Y así con el resto de combinaciones. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES CON PUERTAS DE TODO TIPO. Una vez obtenida la función simplificada, podemos implementarla con puertas lógicas que la resolverán. Si en la función aparecen todos los términos negados en primer lugar realizamos la negación de todas las variables y luego las operaciones. Dada esta función

su implementación será:

Para implementarla necesitaríamos un circuito 7404 (2 puertas inversoras), un circuito

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 7408 (2 puertas AND) y un circuito 7432 (1 puerta OR). Total 5 puertas en 3 CI. La función anterior también se encuentra integrada en un circuito electrónico y se la conoce con el nombre de or-exclusiva (EXOR). FUNCIÓN OR-EXCLUSIVA O (EXOR):

La función toma valor lógico "1" cuando a o b valen "1" y toma el valor lógico "0" cuando a y b son iguales. Su tabla de verdad es:

ab 00 01 10 11

0 1 1 1

Su símbolo actual y el símbolo antiguo en desuso es:

Implementación de funciones con puertas NAND o NOR. Toda función puede expresarse en función de multiplicaciones y negaciones o de sumas y negaciones. Veamos el proceso con un ejemplo: Dada la función para cambiar la suma por una multiplicación seguimos los pasos: 1.- Hacer una doble inversión en toda la función. 2.- Aplicar el teorema de Demorgan sobre la inversión de bajo y convertir la negación de términos sumados en la multiplicación de términos negados.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES 3.- Con esto ya tenemos toda la función convertida en multiplicaciones y negaciones y se puede implementar con puertas NAND.

Función implementada con puertas NAND. A partir de puertas NOR puede obtenerse puertas Inversoras, y OR.

Puertas Inversora y OR a partir de puertas NOR. Para implementar una función con puertas NAND debemos convertirla en multiplicaciones y negaciones. Para ello utilizaremos los teoremas de Demorgan.

TABLAS DE CIRCUITOS LÓGICOS Compuerta AND: Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES Compuerta OR: La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta NOT: El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa. Compuerta Separador (yes): Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador. Compuerta NAND: Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal). La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido. Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

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ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS DIGITALES Compuerta NOR: La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR. Ejemplos de simplificación de expresiones booleanas Los 6 postulados fundamentales, junto con los teoremas anteriores conforman las herramientas básicas de simplificación y manipulación de expresiones booleanas, a continuación se ilustra su uso con algunos ejemplos.

Ejemplo. Simplificar las siguientes expresiones

1.- A(BC + AC) + BC Distribuyendo el factor A en el paréntesis: = ABC + AAC + BC, conmutando y aplicando idempotencia: = ABC + BC + AC, usando absorción: = BC +AC

2.- XYZ+XZ Usando el Teorema de De Morgan: = XYZ.XZ , por De Morgan nuevamente e involución: = (XY+ Z )( X+ Z ), distribuyendo: =XY X +XY Z + X Z + Z Z , como X X es cero, y por idempotencia: = 0+ XY Z + X Z + Z , por absorción: =Z

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Elemento 2  

algebra booleana

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