UNIDAD 10
f (1) = 1 8 1 + a + b + c = 1 ° § f ' (1) = 0 8 3 + 2a + b = 0 ¢ § f '' (1) = 0 8 6 + 2a = 0 £
a = –3 b=3 c=0
° § ¢ § £
f (x) = x 3 – 3x 2 + 3x
s22 Sea f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5. Halla a y b para que la curva y = f (x) tenga en x = 1 un punto de inflexión con tangente horizontal. Si la curva tiene un punto de inflexión en x = 1, debe ser f '' (1) = 0. f ' (x) = 3x 2 + 2ax + b 8 f '' (x) = 6x + 2a 8 f '' (1) = 6 · 1 + 2a 8 6 + 2a = 0 Si en x = 1 la tangente es horizontal, su pendiente será 0; y, por tanto, f ' (1) = 0. f ' (1) = 3 · 12 + 2a · 1 + b = 3 + 2a + b = 0 ° 6 + 2a = 0 8 a = –3 Resolvemos: ¢ £ 3 + 2a + b = 0 8 b = –3 – 2(–3) = 3 La curva será f (x) = x 3 – 3x 2 + 3x + 5.
PARA RESOLVER 23 Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y =
( )
1 1 en el punto 3, . x 3
Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. f ' (x) = –1 ; f ' (3) = –1 x2 9
( )
• Ecuación de la recta tangente en 3, y=
1 : 3
1 1 – (x – 3) 3 9
• Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados: x=0 8 y=
2 3
( ) 2 3
8 Punto 0,
y = 0 8 x = 6 8 Punto (6, 0)
[( ) ( )]
dist 3,
1 2 , 0, 3 3
[( )
dist 3,
= (3 – 0)2 +
(
]
(
1 2 – 3 3
1 1 , (6, 0) = (6 – 3)2 + 0 – 3 3
Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas
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)
2
)
2
=
√ 82 °§
3 § § La distancia es la misma. ¢ § √ 82 § = § 3 £
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