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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 3, n´ um. 2 (2009), pp. 1-24.

Modelos Estoc´asticos para el Precio Spot y del Futuro de Commodities con Alta Volatilidad y Reversi´on a la Media V´ıctor Manuel Garc´ıa de la Vega∗ Antonio Ruiz Porras∗∗ Recibido 14 de mayo de 2009, Aceptado 27 de julio de 2009

Resumen La valuaci´ on de derivados de commodities (materias primas) requiere modelar el subyacente con reversi´ on a la media y alta volatilidad. Desarrollamos f´ ormulas para obtener precio spot del commodity, del futuro, y el valor de “call” europeo sobre el spot y sobre el futuro, en mundo real y en mundo neutral al riesgo, utilizando modelo de un factor. Abstract The pricing of commodity derivatives requires that the underlying asset be modelled with mean reversion and high volatility. We develop closed formulas to price the spot of the commodity, its future, and to price a call option on the spot and on the commodity future, in the real world and under risk neutrality, by using a 1 factor model. Keywords: real world, risk-neutral world, mean reversion. Clasificaci´ on JEL: G12, G13. Palabras clave: Mundo Real, Mundo Neutral al Riesgo, Reversi´ on a la Media.

∗ Director General de FINALITICA, S.A. de C.V. Av. Tecamachalco 159, piso 1 , Col. Reforma Social, M´ exico, D.F. 11650, M´ exico. Tel: (52-55) 5202 - 1834, E-mail: victor.garciav@finalitica.com ∗∗ Profesor-Investigador de la Universidad de Guadalajara, CUCEA. Perif´ erico Norte 799, M´ odulo M, 1er Nivel, N´ ucleo Universitario los Belenes, C.P. 45100, Zapopan, Jalisco, M´ exico. Tel: (52-33) 3770-3300, Ext. 5291, E-mail: antoniop@cucea.udg.mx


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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

1. Introducci´ on Los precios de los commodities (materias primas) se comportan de manera estoc´ astica, y modelarlos de esta manera es muy importante para poder valuar productos financieros derivados cuyo activo subyacente es un commodity. Hace tiempo se asum´ıa que para valuar derivados de commodities se podr´ıan utilizar los mismos supuestos que para valuar opciones sobre acciones. Sin embargo, se ha demostrado que los precios de los commodities presentan reversi´ on a la media y altas volatilidades, caracter´ısticas que no presentan los precios de las acciones. En este art´ıculo desarrollaremos un modelo de 1 factor de riesgo (variable de estado) ya que modelaremos el precio spot del commodity, incorporando reversi´ on a la media y volatilidades que pueden ser funciones del tiempo (deterministas), lo cual permite incorporar una amplia gama de formas funcionales para la volatilidad. Adicionalmente, una de las contribuciones m´ as importantes de este trabajo es que los desarrollos matem´ aticos se har´ an en el Mundo Real (MR) y en el Mundo Neutral al Riesgo (MNR). El MNR incorpora la aversi´ on al riesgo que tiene un agente representativo del mercado (un inversionista). Adicionalmente, el MNR es el que nos permitir´ a valuar derivados sobre commodities. Como puede observarse en la Tabla 1, los commodities son en su mayor´ıa productos que son utilizados como materias primas en procesos productivos. Por tanto, sus precios son funci´ on de la oferta y demanda, y es bien sabido que en el largo plazo, estos precios tienden a regresar a niveles promedio hist´ oricos, lo que se conoce como reversi´ on a la media. Algunos autores como Brennan (1991), Gibson y Schwartz (1990), Cortazar y Schwartz (1994), Bessembinder, Coughenour, Seguin y Smoller (1995), y Ross (1995), ya han tomado en cuenta la reversi´ on a la media en los precios de los commodities. Otra caracter´ıstica muy importante de los commodities es su alta volatilidad. Seg´ un la Futures Industry Association (2009), obs´ervese la Tabla 1 para un comparativo de las volatilidades (anualizadas) en 2007 y 2008 de diferentes commodities agr´ıcolas (trigo, ma´ız, soya), energ´eticos (gas natural, petr´ oleo) y met´ alicos (cobre, oro). Podemos observar que todos los commodities presentaron una mayor volatilidad en el a˜ no 2008 que en 2007. La volatilidad del mercado accionario (no mostrada en la Tabla 1) en 2007 se report´ o en 15.2% y fue menor que la de cualquiera de estos commodities, y en 2008 fue de 35.6%, solamente superando a la volatilidad del oro. La mayor´ıa de los trabajos sobre commodities han modelado la volatilidad como constante. En Jaillet, Ronn y Tompaidis (2004) se modela el precio del gas natural en el MR (no se desarrolla el MNR) con 1 factor y usando reversi´ on a la media y volatilidad constante. En nuestro art´ıculo hemos desarrollado nuestro modelo basado en el modelo de estos autores, ya que nos ha permitido incorporar volatilidad determinista, nos ha permitido incluir el desarrollo en el MNR, y es un modelo que no permite precios spot negativos. Cabe notar que Geman y Nguyen (2003) han demostrado que la volatilidad de los commodities es variable. Eydeland y Geman (1998) propusieron un modelo de 2 factores con volatilidad estoc´ astica para el gas natural y la electricidad. Desafortunadamente, este modelo resulta matem´ aticamente muy complejo ya que la volatilidad sigue procesos de Bessel. Por esta raz´ on, para mantener los desarrollos matem´ aticos accesibles y no tener que modelar 2 factores, en este art´ıculo hemos propuesto nuestro modelo de 1 factor con volatilidad determinista.


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

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Tabla 1 Volatilidades de Commodities Commodity Trigo Ma´ız Soya Gas Natural Petr´ oleo Cobre Oro

2007 33.4% 31.7% 22.3% 45.1% 29.2% 32.4% 16.6%

2008 50.5% 41.4% 42.8% 45.4% 52.6% 42.1% 29.3%

El resto de este art´ıculo est´ a organizado de la siguiente manera. En la secci´ on 2 desarrollamos las f´ ormulas cerradas para el precio spot de cualquier commodity, para la media y varianza condicional del spot, para el precio del futuro, y del precio del “call” (opci´ on de compra) europeo sobre el precio spot del commodity, en el MR. En la secci´ on 3 presentaremos las correspondientes f´ ormulas en el MNR, que es el mundo que nos permitir´ a valuar correctamente derivados sobre commodities. Demostraremos que las f´ ormulas cerradas del precio spot y del futuro en el MNR son id´enticas a las f´ ormulas del MR, excepto por la aparici´ on de un t´ermino constante. La secci´ on 4 concluye. 2. Valuaci´ on en el Mundo Real 2.1 Proceso Propuesto para Obtener Precio Spot El proceso propuesto para modelar el precio spot del gas natural est´ a basado en el modelo de Jaillet, Ronn, y Tompaidis (2004). La diferencia fundamental es que estos autores modelaron su proceso en el MR y asumiendo volatilidad constante, y en este art´ıculo desarrollamos el modelo tanto en el MR como en el MNR, y asumiendo volatilidad determinista (dependiente del tiempo), lo cual nos permite incorporar un gama amplia de formas funcionales para la volatilidad, sin necesidad de desarrollar un modelo de 2 factores con volatilidad estoc´ astica, lo cual complica significativamente los desarrollos matem´ aticos. Por tanto, el proceso propuesto para modelar el precio spot del commodity, St , es el siguiente, St = F (t)eYt

(1)

donde St es el precio spot del commodity en cuesti´ on, F (t) es el componente determin´ıstico, y Yt corresponde a la parte estoc´ astica, misma que est´ a representada por el proceso, dYt = α(0 − Yt )dt + σ(t)dWt = −αYt dt + σ(t)dWt

(2)

La ecuaci´ on (2) es un proceso con reversi´ on a la media tipo Vasicek (Ornstein - Uhlenbeck), cuyo valor de reversi´ on a la media de largo plazo es cero, y con velocidad de reversi´ on α > 0. Intuitivamente, la expresi´ on (2) lo que sugiere es que si Yt es menor a cero, el cambio en el valor esperado de Yt ser´ıa positivo, en otras palabras, dYt ser´ıa positivo, y por tanto, Yt tender´ıa a subir


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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

hacia cero (su valor de largo plazo). Por el contrario, si Yt es mayor a cero, el cambio en el valor esperado de Yt ser´ıa negativo, en otras palabras, dYt ser´ıa negativo, y por tanto, Yt tender´ıa a bajar hacia cero (su valor de largo plazo). Notemos de la ecuaci´ on (1) que si Yt tiende a cero, St tiende a F (t). Adicionalmente, un proceso de Ornstein-Uhlenbeck es el proceso de reversi´ on a la media m´ as sencillo que existe de resolver matem´ aticamente, ya que su soluci´ on es similar a la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial no homog´enea de primer orden. La volatilidad determinista (dependiente del tiempo), est´ a dada por σ(t), y dWt es el incremento de un movimiento browniano est´ andar. La funci´ on estoc´ astica Yt describe la desviaci´ on de St del nivel de equilibrio determinista (dependiente del tiempo) F (t).1 Para obtener la soluci´ on de St , utilizamos el lema de Itˆ o,   ∂St ∂St 1 ∂ 2 St ∂St dSt = − αYt + σ 2 (t) dt + σ(t) dWt ∂t ∂Yt 2 ∂Yt2 ∂Yt = St



 1 dlnF (t) − αlnSt + αlnF (t) + σ 2 (t) dt + σ(t)St dWt dt 2

(3)

asumiendo que Yt = lnSt − lnF (t), que se obtuvo de despejar Yt de la ecuaci´ on (1), y que, dlnF (t) 1 ∂F (t) = dt F (t) ∂t   dlnF (t) 1 2 Si asumimos que ρ(t) = α1 + σ (t) + lnF (t), la expresi´ on (3) dt 2 queda as´ı, dSt = α(ρ(t) − lnSt )St dt + σ(t)St dWt

(4)

Hacemos el siguiente cambio de variable rt = lnSt (n´ otese que rt no es la tasa de inter´es instant´ anea libre de riesgo, es simplemente una variable auxiliar), para poder aplicar el lema de Itˆ o a la ecuaci´ on (4),

drt = dlnSt =



∂lnSt ∂lnSt 1 ∂ 2 lnSt + α(ρ(t) − lnSt )St + σ 2 (t)St2 ∂t ∂St 2 ∂St2 +σ(t)St

∂lnSt dWt ∂St



dt

(5)

1 = [α(ρ(t) − rt ) − σ 2 (t)]dt + σ(t)dWt 2 1 Cabe notar que la forma funcional de la ecuaci´ on (1) evita que se generen precios negativos del commodity, y nos permite utilizar una amplia gama de funciones para F(t), misma que incluye los efectos de estacionalidad presentes en los precios de los commodities.


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

5

Para facilitar el desarrollo matem´ atico para encontrar la soluci´ on de St , (t) + αlnF (t). usamos β(t) = αρ(t) − 21 σ 2 (t) = dlnF dt Por tanto, obtenemos, drt = β(t)dt − αrt dt + σ(t)dWt = [β(t) − αrt ]dt + σ(t)dWt Es importante notar que esta u ´ ltima expresi´ on es el modelo de Vasicek, y para proceder a su desarrollo matem´ atico necesitamos transformar esta expresi´ on a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, para lo cual, definimos mt = αrt − β(t) = −[β(t) − αrt ]. Por tanto, dmt = αdrt − dβ(t), de donde obtenemos, 1 [dmt + dβ(t)] = −mt dt + σ(t)dWt α Despejando dmt obtenemos, drt =

dmt = −(αmt + β 0 (t))dt + ασ(t)dWt

(6)

N´ otese como la expresi´ on drt = [β(t) − αrt ]dt + σ(t)dWt , que es el modelo de Vasicek, se transform´ o a la expresi´ on (6), misma que se conoce como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. La soluci´ on a (6) es similar a la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial no homog´enea de primer orden. Por tanto, procedemos a hacer el siguiente cambio de variable, Xt = mt eαt , y aplicamos el lema de Itˆ o a Xt utilizando el proceso estoc´ astico de la ecuaci´ on (6), a saber, 

αt

dXt = d(mt e ) =

∂Xt ∂Xt 1 ∂ 2 Xt − (αmt + β 0 (t)) + α2 σ 2 (t) ∂t ∂mt 2 ∂m2t +ασ(t)



dt

∂Xt dWt ∂mt

= −eαt dβ(t) + ασ(t)eαt dWt Integramos la ecuaci´ on (7), Z t+h Z αs d(ms e ) = − t

t+h αs

e dβ(s) + t

(7)

t+h

Z

ασ(s)eαs dWs

t

= mt+h eα(t+h) − mt eαt Despejando mt+h de la ecuaci´ on anterior y recordando que mt = αrt −β(t), obtenemos,

−αh

mt+h = mt e

Z

t

t+h −α(t+h−s)

e

dβ(s) + α

Z

t

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs


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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

= αrt+h − β(t + h) Despejando rt+h de la ecuaci´ on anterior, obtenemos, rt+h = rt e−αh +

Z

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs

t

"

1 + β(t + h) − β(t)e−αh − α

= rt e−αh +

Z

t+h

Z

−α(t+h−s)

e

β(s)e−α(t+h−s) ds +

t

= rt e−αh + r¯t+h − r¯t e−αh +

dβ(s)

t

t+h

Z

Z

#

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs t

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs

(8)

t

En consecuencia, −αh

rt+h − r¯t+h = (rt − r¯t )e

Z

+

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs t

−αh

= lnSt+h − lnFt+h = (lnSt − lnFt )e

+

Z

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs

t

Recordemos que en esta u ´ ltima expresi´ on hemos utilizado que rt = lnSt y que r¯t = lnFt . Despejando St+h de la ecuaci´ on anterior encontramos que, St+h = Ft+h



St Ft

e−αh R t+h σ(s)e−α(t+h−s) dWs e t

(9)

La integral en el exponente de la ecuaci´ on (9) es estoc´ astica. El hecho de que el incremento dWs siga una distribuci´ on de probabilidad normal (dWs ∼ N (0, ds)), nos indica que la integral estoc´ astica tambi´en sigue una distribuci´ on de probabilidad normal. Esto a su vez har´ a posible obtener una representaci´ on m´ as expl´ıcita de St+h . Empezamos por notar que esta integral estoc´ astica es una variable aleatoria que definimos as´ı, X=

Z

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs

t

Asimismo, definimos, A(t + h, t) = Ft+h



St Ft

e−αh


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

7

Por tanto, la ecuaci´ on (9) se puede reescribir de la siguiente manera, d´ andonos una representaci´ on expl´ıcita del precio spot del commodity, St+h = A(t + h, t)eX

(10)

Observemos de la ecuaci´ on (10) que el precio spot del commodity St+h es una variable aleatoria, lo cual nos permitir´ a calcular su media condicional y su varianza condicional haciendo uso de la funci´ on generatriz de momentos de la distribuci´ on de probabilidad normal, para lo cual primero deberemos calcular la esperanza y la varianza de X. "Z # t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs = 0

E(X) = E

t

V ar(X) = V ar

"Z

t+h −α(t+h−s)

σ(s)e

dWs

t

=

Z

#

t+h

σ 2 (s)e−2α(t+h−s) ds = v(t + h, t)

t

Como resultado, entonces sabemos que X ∼ N (0, v(t + h, t)). Para facilitar los c´ alculos posteriores, asumimos que F (t), que es el componente que modela la estacionalidad presente en los precios de los commodities, y que se incluye en la ecuaci´ on (1), y que σ(t), que es la volatilidad determinista del proceso estoc´ astico del precio spot del commodity, y que se incluye en la ecuaci´ on (2), son constantes, en otras palabras, asumimos que F (t) ≡ F = constante σ(t) ≡ σ = constante y as´ı recalculamos A(t + h, t) y v(t + h, t) A(t + h, t) = Ft+h

=F



= F Ste = Ste

v(t + h, t) =

Z

t

St F

−αh

−αh



St Ft

e−αh

e−αh F −e

F 1−e

−αh

−αh

t+h

σ 2 (s)e−2α(t+h−s) ds

(11)


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2 −2α(t+h)

=σ e

Z

t+h

e2αs ds

t

=

σ2 (1 − e−2αh ) = V ar(X) = v 2α

(12)

Por tanto, sustituyendo la expresi´ on (11) en la ecuaci´ on (10) obtenemos, St+h = A(t + h, t)eX = Ste

−αh

F 1−e

−αh

eX

(13)

donde sabemos que, X ∼ N (0, v(t + h, t)) La ecuaci´ on (13) es la f´ ormula cerrada para obtener el precio spot del commodity en cuesti´ on St+h en el mundo real. Notemos de la expresi´ on (13) que para obtener el precio spot del commodity del per´ıodo de tiempo siguiente St+h , debemos utilizar el precio spot del per´ıodo de tiempo anterior St , y as´ı sucesivamente. Adicionalmente, no perdamos de vista que la varianza de la variable aleatoria X se ha vuelto constante seg´ un la expresi´ on (12). Observemos que la varianza v(t + h, t) dej´ o de depender del tiempo porque hemos asumido que la volatilidad determinista σ(t) es constante y porque el incremento en el tiempo h es constante. 2.2 Media Condicional y Varianza Condicional de St La f´ ormula expl´ıcita de la esperanza condicional de St+h se utilizar´ a para obtener la f´ ormula cerrada del precio del futuro del commodity en la secci´ on 2.3 de este art´ıculo. Haciendo uso de la funci´ on generatriz de momentos de la distribuci´ on de probabilidad normal, en otras palabras, sabiendo que E[eX ] = E(X)+ 12 V ar(X) e , y recordando las expresiones (11) y (12), la esperanza condicional de St+h est´ a dada por, E[St+h | St ] = Ste

−αh

F 1−e

−αh

1

e2v

La varianza condicional de St+h est´ a dada por,  −αh  −αh 2 V ar[St+h | St ] = Ste F 1−e [e2v − ev ]

(14)

(15)

2.3 Precio del Futuro (o Forward) del Commodity Asumiendo que la tasa de inter´es libre de riesgo instant´ anea r es constante, los precios forward son iguales a los precios de los futuros, F (St , t, t + h). El valor de un contrato futuro o forward se define as´ı, Vt = [F (St , t, t + h) − K]e−rh = F (St , t, t + h)e−rh − Ke−rh donde K es el precio de ejercicio del contrato futuro.


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

9

Tambi´en se define como esperanza condicional, as´ı, Vt = E[St+h − K | St ]e−rh = E[St+h | St ]e−rh − Ke−rh donde St+h es el precio futuro del spot del commodity. Igualando ambas expresiones de Vt , obtenemos, F (St , t, t + h)e−rh − Ke−rh = E[St+h | St ]e−rh − Ke−rh Por tanto, 1

F (St , t, t + h) = E[St+h | St ] = A(t + h, t)e 2 v(t+h,t) = Ste

−αh

F 1−e

−αh

1

e 2 v(t+h,t)

(16)

En la ecuaci´ on (16) hemos demostrado que el precio del futuro del commodity es igual a la esperanza condicional del precio futuro del spot del commodity. Esta ecuaci´ on valida la hip´ otesis de eficiencia en el mercado, lo cual significa que es imposible obtener ganancias sin riesgo (arbitraje) en el mercado de los spot y futuros de commodities. Si la relaci´ on en (16) tuviera signo de desigualdad en lugar de igualdad, los especuladores podr´ıan comprar el activo (spot o futuro) barato y vender el activo caro, obteniendo una utilidad libre de riesgo. Esto no podr´ıa durar mucho tiempo y los precios del spot y del futuro tender´ıan a igualarse y cumplir la ecuaci´ on (16). En otras palabras, esta expresi´ on nos indica que el precio del futuro es un estimador insesgado del precio esperado del spot en el futuro, o que podemos predecir correctamente el precio spot en el futuro utilizando el mercado de los futuros. 2.4 C´ alculo del Precio del Call Europeo sobre el Precio Spot del Commodity Utilizando la metodolog´ıa de Black & Scholes (1973), a continuaci´ on desarrollamos una f´ ormula cerrada para valuar una opci´ on europea de compra (“call”) sobre el precio spot del commodity. Sabemos que por definici´ on, el precio de un call europeo se calcula de la siguiente manera, c(St , t, t + h) = e−rh E[max(St+h − K, 0) | St ] donde, K es el precio de ejercicio y se asume constante, r es la tasa de inter´es instant´ anea libre de riesgo y se asume constante, y St+h est´ a dado por la ecuaci´ on (13). c(St , t, t + h) = e−rh E[max(Aex − K, 0) | St ] = Ae−rh E[max(ex − = Ae−rh

Z

ln K A

K , 0) | St ] A

1 x2 1 K ex √ e− 2 v dx − Ae−rh A 2πv

Z

ln K A

1 x2 1 e− 2 v dx 2πv


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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

= I1 − I2

(17)

Cabe notar que los l´ımites de integraci´ on de arriba se obtuvieron as´ı, K >0⇒ A

ex −

K ⇒ A

ex >

x > ln

K A

Ahora resolvemos I1 e I2 , de la siguiente manera, Z ∞ 1 x2 1 −rh K √ e− 2 v dx I2 = Ae A ln K 2πv A −rh

= Ke

Z

d2

−∞

1 1 x2 e− 2 v dx 2πv

= Ke−rh N (d2 )

(18)

donde hemos utilizado las siguientes expresiones, x > ln

K ⇒ A

−x < −ln

−∞ < x < ln

I1 = Ae−rh = Ae−rh

Z

ln K A

K ⇒ A

A K

−x < ln

, d2 = ln

A K

A K

1 1 x2 e− 2 v dx ex √ 2πv

1 1 x2 e− 2 v dx ex−v+v √ 2πv x−v>ln K A −v

Z

Hacemos el siguiente cambio de variable, u = x − v, por tanto, du = dx, x = u + v, adem´ as, x − v > ln ⇒

K −v ⇒ A −u < ln

u > ln

A +v ⇒ K d1 = ln

K −v ⇒ A

−u < −ln

−∞ < u < ln

A + v, K

A +v K

Entonces, 2 1 (u+v) 1 eu+v √ e− 2 v du 2πv u>ln K A −v

Z

I1 = Ae−rh

−rh

= Ae

Z

A ln K +v

−∞

1 u2 +2uv+v 2 v

eu+v− 2

K +v A

1 du 2πv


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

1

= Ae−rh e 2 v

Z

d1

1 u2 v

e− 2

−∞

11

1 du 2πv

1

= Ae−rh e 2 v N (d1 )

(19)

Como consecuencia de estos c´ alculos, finalmente obtenemos la f´ ormula cerrada para valuar un call europeo cuyo activo subyacente es el precio spot del commodity modelado con un factor con reversi´ on a la media, c(St , t, t + h) = I1 − I2 1

= Ae 2 v−rh N (d1 ) − Ke−rh N (d2 )

(20)

con, d1 = ln

A +v K

(21)

A K

(22)

d2 = ln

donde debemos tomar en cuenta que, Z y (x−a)2 1 √ N (y) = e− 2b dx 2πb −∞ es la distribuci´ on normal acumulada con media a = 0 y varianza b = v. 3. Valuaci´ on Neutral al Riesgo 3.1 Proceso Propuesto para Obtener Precio Spot Recordemos que la ecuaci´ on (1), dada por St = F (t)eYt , es la expresi´ on que hemos utilizado para modelar el precio spot del commodity. La ecuaci´ on (2), misma que hemos repetido abajo, es el proceso seguido por Yt en el Mundo Real (MR), y adem´ as es una variable de estado que no representa ning´ un instrumento financiero que cotice en los mercados. El proceso seguido por Yt es un proceso estoc´ astico con reversi´ on a la media tipo Vasicek (Ornstein-Uhlenbeck), cuyo valor de reversi´ on a la media de largo plazo es cero, y con velocidad de reversi´ on α > 0. La volatilidad determinista (dependiente del tiempo), est´ a dada por σ(t), y dWt es el incremento de un movimiento browniano est´ andar. La funci´ on estoc´ astica Yt describe la desviaci´ on de St del nivel de equilibrio determinista (dependiente del tiempo) F (t). Cabe notar que F (t) incluye los efectos de estacionalidad presentes en los precios de los commodities. La teor´ıa de valuaci´ on de derivados originada en la metodolog´ıa de Black & Scholes (1973), dice que debemos utilizar argumentos de no arbitraje para encontrar el precio del derivado en el Mundo Neutral al Riesgo (MNR). Adicionalmente, Cox y Ross (1976), y Harrison y Kreps (1979), profundizaron en la metodolog´ıa para valuar derivados bajo neutralidad al riesgo. Por tanto,


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t´ecnicamente, debemos transformar la ecuaci´ on (2) del MR al MNR, y as´ı podremos valuar correctamente cualquier derivado dependiente de St , como el valor esperado (bajo el MNR) de su funci´ on de pago, descontado al presente a la tasa de inter´es libre de riesgo r. Partimos de la ecuaci´ on (2), la cual est´ a representada en el MR, y misma que repetimos aqu´ı, dYt = −αYt dt + σ(t)dWt Aun cuando Yt sea una variable de estado que no cotice en los mercados, podemos construir un derivado que tenga como subyacente a Yt , en otras palabras, construimos una opci´ on de compra o “call”, c = c(Yt , t), y utilizando el lema de Itˆ o, obtenemos,   ∂c 1 ∂2c ∂c ∂c dc = − αYt + σ 2 (t) dt + σ(t) dWt (23) ∂t ∂Yt 2 ∂Yt2 ∂Yt Otra manera de expresar dc que nos ayudar´ a en los c´ alculos posteriores es, dc = µc cdt + σccdWt

(24)

Por tanto, de las ecuaciones (23) y (24) podemos obtener las siguientes equivalencias,   1 ∂c ∂c 1 ∂2c − αYt + σ 2 (t) 2 µc = (25) c ∂t ∂Yt 2 ∂Yt y σc =

1 ∂c σ(t) c ∂Yt

(26)

Siguiendo los argumentos de no arbitraje, debemos formar un portafolio con dos activos para poder eliminar dWt , que es el u ´ nico factor de riesgo presente en el portafolio. Debemos construir un portafolio con 2 activos, los cuales ser´ an 2 opciones de compra, c1 = c1 (Yt , t), y c2 = c2 (Yt , t). Asimismo, debemos escoger el n´ umero de unidades que tendremos de cada activo en el portafolio. Hemos llamado θ1 al n´ umero de unidades que tendremos del activo c1 = c1 (Yt , t), y hemos llamado θ2 al n´ umero de unidades que tendremos del activo c2 = c2 (Yt , t) en el portafolio. El valor actual del portafolio est´ a dado por Πt . En otras palabras, Πt = θ1 c1 + θ2 c2 Por tanto, el cambio en el valor del portafolio durante el instante dt, debido a fluctuaciones del mercado, est´ a dado por, dΠt = θ1 dc1 + θ2 dc2 = θ1 (µ1 c1 dt + σ1 (t)c1 dWt ) + θ2 (µ2 c2 dt + σ2 (t)c2 dWt ) = (θ1 µ1 c1 + θ2 µ2 c2 )dt + (θ1 σ1 (t)c1 + θ2 σ2 (t)c2 )dWt


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

13

donde hemos definido que dc1 = µ1 c1 dt + σ1 (t)c1 dWt y que dc2 = µ2 c2 dt + σ2 (t)c2 dWt Para poder eliminar el riesgo de mercado de nuestro portafolio Πt , debemos eliminar el factor de riesgo dWt de la ecuaci´ on dΠt = (θ1 µ1 c1 + θ2 µ2 c2 )dt + (θ1 σ1 (t)c1 + θ2 σ2 (t)c2 )dWt . Por tanto, debemos encontrar los valores de θ1 y θ2 que hagan que la expresi´ on que multiplica a dWt se haga cero, en otras palabras, debemos resolver θ1 σ1 (t)c1 + θ2 σ2 (t)c2 = 0. Una elecci´ on factible de valores para θ1 y θ2 es, θ1 =

σ2 (t) ; c1 (σ1 (t) − σ2 (t))

θ2 =

σ1 (t) c2 (σ1 (t) − σ2 (t))

Por tanto, sustituyendo estas definiciones de θ1 y θ2 en la expresi´ on previa de dΠt , logramos que desaparezca el factor de riesgo dWt , lo cual nos arroja una expresi´ on para dΠt donde s´ olo aparecen t´erminos de tendencia, o sea, t´erminos multiplicados por dt. Esto es equivalente a decir que el portafolio Πt ahora genera un rendimiento dΠt libre de riesgo, o en otras palabras, que dΠt = Πt rt dt, donde rt es la tasa de inter´es instant´ anea libre de riesgo. Continuando con el desarrollo matem´ atico, obtenemos, dΠt =

µ1 c1 σ2 (t)dt µ2 σ1 (t)c2 dt − c1 (σ1 (t) − σ2 (t)) c2 (σ1 (t) − σ2 (t)) = Πt rt dt

=

σ2 (t)c1 rt dt σ1 (t)c2 rt dt − c1 (σ1 (t) − σ2 (t)) c2 (σ1 (t) − σ2 (t))

Eliminando t´erminos iguales de los cocientes anteriores, llegamos a la siguiente expresi´ on, µ1 σ2 (t) − σ1 (t)µ2 = σ2 (t)rt − σ1 (t)rt , de donde se obtiene que, µ1 − rt µ2 − rt = =λ σ1 (t) σ2 (t) Como estas fracciones son claramente independientes de la fecha de vencimiento, podemos generalizar λ de la siguiente manera, λ=

µc − rt σc

(27)


14

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Sustituyendo las expresiones (25) y (26) en la ecuaci´ on (27), obtenemos,

λ=

1 c



∂c ∂t

 ∂c 1 2 ∂2c − rt − αYt ∂Y + σ (t) 2 2 ∂Y t t

1 ∂c σ(t) ∂Y c t

Despejando la expresi´ on anterior, obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial parcial de segundo orden, ∂c ∂c ∂c 1 ∂2c − αYt − λσ(t) + σ 2 (t) − rt c = 0 ∂t ∂Yt ∂Yt 2 ∂Yt2 Reordenando t´erminos obtenemos,   ∂c λσ(t) ∂c 1 ∂2c + α −Yt − + σ 2 (t) − rt c = 0 ∂t α ∂Yt 2 ∂Yt2 Ahora definimos, γ=−

λσ(t) α

(28)

Por tanto, sustituyendo la expresi´ on (28) en la ecuaci´ on diferencial parcial previa, obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial parcial de segundo orden, ∂c ∂c 1 ∂2c + α (γ − Yt ) + σ 2 (t) − rt c = 0 ∂t ∂Yt 2 ∂Yt2

(29)

De aqu´ı deducimos que la ecuaci´ on (2), misma que repetimos aqu´ı, dYt = −αYt dt + σ(t)dWt se transforma en la siguiente expresi´ on en el MNR, dYt = α(γ − Yt )dt + σ(t)dWt∗

(30)

Notemos que hay dos nuevas variables que aparecen en la ecuaci´ on (30) que no estaban presentes en la ecuaci´ on (2), γ y dWt∗ . La expresi´ on de γ est´ a definida en la ecuaci´ on (28) y podemos observar que esta expresi´ on incluye a λ, misma que hemos definido en la ecuaci´ on (27). Debemos aclarar que λ se define como el precio de mercado por unidad de riesgo de la variable de estado Yt . Generalmente λ podr´ıa ser una funci´ on de Yt y de t, pero para facilitar los c´ alculos posteriores, asumiremos que λ es constante. La variable dWt∗ es el incremento de un movimiento browniano est´ andar en el MNR, raz´ on por la cual le hemos incluido el ∗, para distinguirlo de la variable dWt que corresponde al MR. Para poder obtener una f´ ormula expl´ıcita para el precio spot del commodity, St , en el MNR, utilizaremos el lema de Itˆ o y las expresiones (1) y (30).


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

dSt =

= αSt





∂St ∂St 1 ∂ 2 St + α(γ − Yt ) + σ 2 (t) ∂t ∂Yt 2 ∂Yt2



dt + σ(t)

15

∂St dWt∗ ∂Yt

 1 dlnF (t) 11 2 + γ − lnSt + lnF (t) + σ (t) dt + σ(t)St dWt∗ α dt α2

(31)

asumiendo que Yt = lnSt − lnF (t), que se obtuvo de despejar Yt de la ecuaci´ on (1), y que, dlnF (t) 1 ∂F (t) = dt F (t) ∂t   (t) 1 2 Si asumimos que ρ(t) = α1 dlnF + σ (t) + lnF (t), la expresi´ on (31) dt 2 queda as´ı, dSt = αSt [ρ(t) + γ − lnSt ]dt + σ(t)St dWt∗

(32)

Hacemos el siguiente cambio de variable rt = lnSt para poder aplicar el lema de Itˆ o a la ecuaci´ on (32),

drt = dlnSt =



∂lnSt ∂lnSt 1 ∂ 2 lnSt + αSt [ρ(t) + γ − lnSt ] + σ 2 (t)St2 ∂t ∂St 2 ∂St2 +σ(t)St



dt

∂lnSt dWt∗ ∂St

1 = [α(ρ(t) + γ − rt ) − σ 2 (t)]dt + σ(t)dWt∗ (33) 2 Para facilitar el desarrollo matem´ atico para encontrar la soluci´ on de St , (t) usamos β(t) = α[ρ(t) + γ] − 21 σ 2 (t) = dlnF + αlnF (t) + αγ. dt Por tanto, obtenemos, drt = β(t)dt − αrt dt + σ(t)dWt∗ = [β(t) − αrt ]dt + σ(t)dWt∗ Es importante notar que esta u ´ ltima expresi´ on es el modelo de Vasicek, y para proceder a su desarrollo matem´ atico necesitamos transformar esta expresi´ on a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, para lo cual, definimos mt = αrt − β(t) = −[β(t) − αrt ]. Por tanto, dmt = αdrt − dβ(t), de donde obtenemos, drt =

1 [dmt + dβ(t)] = −mt dt + σ(t)dWt∗ α


16

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Despejando dmt obtenemos, dmt = −(αmt + β 0 (t))dt + ασ(t)dWt∗

(34)

La soluci´ on a (34) es similar a la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial no homog´enea de primer orden. Por tanto, procedemos a hacer el siguiente cambio de variable, Xt = mt eαt , y aplicamos el lema de Itˆ o a Xt utilizando el proceso estoc´ astico de la ecuaci´ on (34), a saber, 

αt

dXt = d(mt e ) =

∂Xt ∂Xt 1 ∂ 2 Xt − (αmt + β 0 (t)) + α2 σ 2 (t) ∂t ∂mt 2 ∂m2t +ασ(t)



∂Xt dWt∗ ∂mt

= −eαt dβ(t) + ασ(t)eαt dWt∗ Integramos la ecuaci´ on (35), Z t+h Z t+h Z αs αs d(ms e ) = − e dβ(s) + t

dt

t

(35)

t+h

ασ(s)eαs dWs∗

t

= mt+h eα(t+h) − mt eαt Despejando mt+h de la ecuaci´ on anterior y recordando que mt = αrt −β(t), obtenemos,

mt+h = mt e−αh −

Z

t+h

e−α(t+h−s) dβ(s) + α

t

Z

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗

t

= αrt+h − β(t + h) Despejando rt+h de la ecuaci´ on anterior, obtenemos, Z t+h −αh rt+h = rt e + σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗ t

"

1 + β(t + h) − β(t)e−αh − α

−αh

= rt e

+

Z

t+h

Z

−α(t+h−s)

e

t

t+h −α(t+h−s)

β(s)e

ds +

t

−αh

= rt e

Z

#

dβ(s)

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗

t

−αh

+ r¯t+h − r¯t e

−α(t+h)

+ αe

Z

t

t+h

γ(s)eαs ds


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

+

Z

17

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗

(36)

t

λσ(s)

donde γ(s) = − α . En consecuencia, rt+h − r¯t+h = (rt − r¯t )e−αh + αe−α(t+h) +

Z

Z

t+h

γ(s)eαs ds

t

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗

t

= lnSt+h − lnFt+h = (lnSt − lnFt )e−αh + αe−α(t+h) +

Z

Z

t+h

γ(s)eαs ds

t

t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗

t

Recordemos que en esta u ´ ltima expresi´ on hemos utilizado que rt = lnSt y que r¯t = lnFt . Despejando St+h de la ecuaci´ on anterior encontramos que,

St+h = Ft+h



St Ft

e−αh

αe−α(t+h)

e

R t+h t

γ(s)eαs ds

R t+h σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗ e t

(37)

La integral en el segundo exponente de la ecuaci´ on (37) es estoc´ astica. El hecho de que el incremento dWs∗ siga una distribuci´ on de probabilidad normal (dWs∗ ∼ N (0, ds)), nos indica que la integral estoc´ astica tambi´en sigue una distribuci´ on de probabilidad normal. Esto a su vez har´ a posible obtener una representaci´ on m´ as expl´ıcita de St+h . Empezamos por notar que esta integral estoc´ astica es una variable aleatoria que definimos as´ı, Z t+h X= σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗ t

Asimismo, definimos, A(t + h, t) = Ft+h



St Ft

e−αh

Por tanto, la ecuaci´ on (37) se puede representar de la siguiente manera, R t+h αe−α(t+h) γ(s)eαs ds X t St+h = A(t + h, t)e e (38)

Observemos de la ecuaci´ on (38) que el precio spot del commodity St+h es una variable aleatoria, lo cual nos permitir´ a calcular su media condicional y su varianza condicional haciendo uso de la funci´ on generatriz de momentos de la


18

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

distribuci´ on de probabilidad normal, para lo cual primero deberemos calcular la esperanza y la varianza de X. "Z # t+h

σ(s)e−α(t+h−s) dWs∗ = 0

E(X) = E

t

V ar(X) = V ar

"Z

t+h −α(t+h−s)

σ(s)e

dWs∗

t

=

Z

#

t+h

σ 2 (s)e−2α(t+h−s) ds = v(t + h, t)

t

Como resultado, entonces sabemos que X ∼ N (0, v(t + h, t)). Para facilitar los c´ alculos, asumimos que F (t), que es el componente que modela la estacionalidad presente en los precios del commodity en cuesti´ on, y que se incluye en la ecuaci´ on (1), St = F (t)eYt , y que σ(t), que es la volatilidad determinista del proceso estoc´ astico del precio spot del commodity, y que se incluye en la ecuaci´ on (30), dYt = α(γ − Yt )dt + σ(t)dWt∗ , son constantes. Ahora recalculamos la expresi´ on (28), a saber, γ=−

λσ(t) α

λσ (39) α as´ı como A(t + h, t) y v(t + h, t) que podemos observar en las expresiones (11) y (12), respectivamente. Ahora podemos proceder a simplificar la ecuaci´ on (38). N´ otese que al haber asumido que σ(t) es constante, entonces seg´ un la expresi´ on (39), γ = − λσ . α Esto nos permite hacer la siguiente simplificaci´ on en el primer exponente de la ecuaci´ on (38), R t+h −αh αe−α(t+h) γ(s)eαs ds t = eγ(1−e ) e =−

Por tanto, la ecuaci´ on (38) se puede simplificar de la siguiente manera, R t+h αe−α(t+h) γ(s)eαs ds X t St+h = A(t + h, t)e e = A(t + h, t)eγ(1−e = Ste

−αh

F 1−e

−αh

−αh

eγ(1−e

) X

e

−αh

) X

e

(40)

La ecuaci´ on (40) es la f´ ormula expl´ıcita del precio spot del commodity en el MNR. Asimismo, observemos que la ecuaci´ on (40) es id´entica a la expresi´ on (13) que representa el precio spot del commodity en el MR, St+h = A(t + h, t)eX = −αh −αh Ste F 1−e eX , excepto que en la expresi´ on (40) ha aparecido el t´ermino −αh constante eγ(1−e ) .


19

Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

3.2 Media Condicional y Varianza Condicional de St La f´ ormula expl´ıcita de la esperanza condicional de St se utilizar´ a para obtener la f´ ormula cerrada del precio del futuro del commodity en la secci´ on 3.3 de este trabajo. Haciendo uso de la funci´ on generatriz de momentos de la distribuci´ on de probabilidad normal, en otras palabras, sabiendo que E[eX ] = E(X)+ 21 V ar(X) e , recordando que E(X) = 0, V ar(X) = v(t + h, t), R haciendo uso t+h

αe−α(t+h)

γ(s)eαs ds

t de la expresiones (37) y (11), as´ı como de la ecuaci´ on e γ(1−e−αh ) e , entonces la esperanza condicional de St+h est´ a dada por,

E[St+h | St ] = Ste

−αh

F 1−e

−αh

eγ(1−e

−αh

)

1

e 2 v(t+h,t)

=

(41)

Por tanto, la varianza condicional de St+h est´ a dada por,  −αh  −αh 2 −αh V ar[St+h | St ] = Ste F 1−e e2γ(1−e ) [e2v − ev ]

(42)

No olvidemos de la ecuaci´ on (39) que γ = − λσ on (12) que α , y de la expresi´ σ2 −2αh v(t + h, t) = v = 2α (1 − e ). 3.3 Precio del Futuro (o Forward) del Commodity En el MNR, los precios de los futuros son iguales a la esperanza del precio spot en el futuro, bajo el proceso neutral al riesgo, y asumiendo que la tasa de inter´es libre de riesgo instant´ anea r es constante, los precios forward son iguales a los precios de los futuros. Por tanto, utilizando la expresi´ on (41), obtenemos la f´ ormula expl´ıcita para calcular el precio del futuro del commodity en el MNR, a saber, F (St , t, t + h) = E[St+h | St ] = Ft = Ste

−αh

F 1−e

−αh

eγ(1−e

−αh

)

1

e 2 v(t+h,t) (43)

Observemos que la ecuaci´ on (43) es id´entica a la expresi´ on (16) que representa el precio del futuro del commodity en el MR, F (St , t, t + h) = E[St+h | −αh −αh 1 St ] = Ste F 1−e e 2 v(t+h,t) , excepto que en la expresi´ on (43) ha aparecido el γ(1−e−αh ) t´ermino constante e . 3.4 C´ alculo del Call sobre el Futuro con F´ ormula de Black Sabemos que St+h sigue una distribuci´ on de probabilidad lognormal y que F (St , t, t + h) = E[St+h | St ] = Ft , por tanto el precio del futuro Ft tambi´en sigue un proceso lognormal. En un proceso lognormal, sabemos que ln Ft sigue una distribuci´ on de probabilidad normal. La f´ ormula de Black (1976) para valuar un call (en el tiempo 0, que vence en t) sobre el futuro Ft cuya vida va de t a t + h, aplicada a nuestro caso, quedar´ıa de la siguiente manera, c(0, t) = e−r(t−0) E[max(Ft − K, 0) | F0 ] = e−r(t−0) [F (0, t + h)N (d1 ) − KN (d2 )]

(44)


20

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Para poder desarrollar los c´ alculos siguientes hemos utilizado una expresi´ on alternativa a la ecuaci´ on (43) para F (St , t, t + h) = Ft . La expresi´ on siguiente nos facilitar´ a el uso de logaritmos, a saber, R t+h αe−α(t+h) γ(s)eαs ds 1 v(t+h,t) t F (St , t, t + h) = A(t + h, t)e e2 = Ft+h



St Ft

e−αh

αe−α(t+h)

e

R t+h t

lnFt+h +e−αh (lnSt −lnFt )+αe−α(t+h)

=e

γ(s)eαs ds

R t+h t

1

e 2 v(t+h,t)

γ(s)eαs ds+ 21 v(t+h,t)

(45)

donde, K es el precio de ejercicio, r es la tasa de inter´es instant´ anea libre de riesgo, F (0, t + h) est´ a dada por la ecuaci´ on (45), N (d) es la distribuci´ on de probabilidad normal est´ andar acumulada, F0 es la informaci´ on en 0, y d1 y d2 est´ an dadas por, i h σ2 (t+h) + 1 2 ln F (0,t+h) K √ d1 = σ1 t + h h i √ ln F (0,t+h) K σ1 t + h √ (46) = + 2 σ1 t + h h i σ2 (t+h) F (0,t+h) ln − 1 2 K √ d2 = σ1 t + h h i √ ln F (0,t+h) K σ1 t + h √ − = 2 σ1 t + h √ = d 1 − σ1 t + h (47)

Notemos que σ12 es la varianza anual del rendimiento de los precios de los futuros Ft . La f´ ormula de Black asume que ln Ft sigue una distribuci´ on de probabilidad normal, cuya varianza est´ a dada por σ12 (t + h). Para efectos de claridad, esta u ´ ltima expresi´ on es el producto de σ12 por (t + h). Podemos observar que la ra´ız cuadrada de σ12 (t + h) entra en el c´ alculo de d1 y de d2 , as´ı que utilizaremos la ecuaci´ on (45) para calcular, σ12 (t + h) = V ar[lnF (t, t + h) | F0 ]

(48)

Para calcular V ar[lnF (t, t+h) | F0 ], necesitamos primero calcular E[lnFt | F0 ]. Por tanto, E[lnFt | F0] = lnFt+h + e−αh E[lnSt | F0 ] − e−αh lnFt Z t+h 1 −α(t+h) γ(s)eαs ds + v(t + h, t) +αe 2 t


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot



De la expresi´ on (38) y de la ecuaci´ on A(t + h, t) = Ft+h nemos que, St = Ft



Stâ&#x2C6;&#x2019;h Ftâ&#x2C6;&#x2019;h

eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh

Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t)

e

Rt

tâ&#x2C6;&#x2019;h

St Ft

eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh

21

, obte-

Îł(s)eÎąs ds X

e

Por tanto, E[lnSt | F0 ] = lnFt + eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh (lnStâ&#x2C6;&#x2019;h â&#x2C6;&#x2019; lnFtâ&#x2C6;&#x2019;h ) Z t +Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t) Îł(s)eÎąs ds + E[X | F0 ] tâ&#x2C6;&#x2019;h

De aqu´Ĺ obtenemos, E[lnFt | F0 ] = lnFt+h +  Z +eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh lnFt + eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh (lnStâ&#x2C6;&#x2019;h â&#x2C6;&#x2019; lnFtâ&#x2C6;&#x2019;h ) + Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t)

t

tâ&#x2C6;&#x2019;h

â&#x2C6;&#x2019;eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh lnFt + Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t+h)

Z

t

t+h

 Îł(s)eÎąs ds

1 Îł(s)eÎąs ds + v(t + h, t) 2

(49)

Por tanto, V ar[lnFt | F0 ] = Z = E lnFt+h + eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh (lnSt â&#x2C6;&#x2019; lnFt ) + Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t+h) 

t+h t

1 Îł(s)eÎąs ds + v(t + h, t) 2

 Z â&#x2C6;&#x2019;lnFt+h â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh lnFt + eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh (lnStâ&#x2C6;&#x2019;h â&#x2C6;&#x2019; lnFtâ&#x2C6;&#x2019;h ) + Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t)

t

tâ&#x2C6;&#x2019;h

+eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh lnFt â&#x2C6;&#x2019; Îąeâ&#x2C6;&#x2019;Îą(t+h)

Z

t

t+h

 Îł(s)eÎąs ds

1 Îł(s)eÎąs ds â&#x2C6;&#x2019; v(t + h, t) | F0 2

2

= E[eâ&#x2C6;&#x2019;Îąh X | F0 ]2 = eâ&#x2C6;&#x2019;2Îąh E[X 2 | F0 ] = eâ&#x2C6;&#x2019;2Îąh V ar[X | F0 ] (50) R t+h 2 Sabemos que V ar[X] = v(t + h, t) = t Ď&#x192; (s)eâ&#x2C6;&#x2019;2Îą(t+hâ&#x2C6;&#x2019;s) ds. Asumimos que Ď&#x192;(s) es constante, y dado que la informaci´ on est´ a disponible en 0, calculamos lo siguiente,


22

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

V ar[lnFt | F0 ] = σ12 (t + h) = e−2αh v(t, 0) = e−2αh

Z

t

σ 2 e−2α(t−s)ds

0

σ2 [1 − e−2αt ] (51) 2α Al principio de esta secci´ on mencion´ abamos que la f´ ormula de Black (1976) nos iba a permitir valuar un call europeo (en el tiempo 0, que vence en t) sobre el futuro Ft cuya vida va de t a t + h. Debemos recalcar que las opciones sobre futuros de commodities de tipo europeo que regularmente se val´ uan, generalmente vencer´ an en la misma fecha que el futuro subyacente. Por tanto, para aplicar las f´ ormulas descritas arriba a este caso, la fecha de vencimiento de la opci´ on t ser´ıa igual a la fecha de vencimiento del futuro (t + h). En otras palabras, t = t + h y por tanto h = 0. Esto nos lleva a que la expresi´ on (51) se simplificar´ıa para quedar as´ı, = e−2αh

V ar[lnFt | F0 ] = σ12 (t) =

σ2 [1 − e−2αt ] 2α

No olvidemos que la expresi´ on σ12 (t) es el producto de σ12 por t. 4. Conclusiones Como mencion´ abamos al inicio de este art´ıculo, el proceso propuesto para modelar el precio spot del commodity est´ a basado en el modelo propuesto por Jaillet, Ronn y Tompaidis (2004). La diferencia fundamental es que estos autores modelaron su proceso en el MR, asumiendo un valor de regresi´ on a la media de largo plazo constante, y volatilidad constante, y en este art´ıculo desarrollamos nuestro modelo tanto en el MR como en el MNR, y asumiendo volatilidad determinista (dependiente del tiempo). El desarrollo en el MNR es el que nos permitir´ a valuar derivados sobre commodities. En la Tabla 2 podemos observar las principales diferencias entre el modelo de JRT y el modelo utilizado en este art´ıculo. Tabla 2 Cuadro Comparativo de Modelos de 1 Factor Modelo Art´ıculo JRT (2004)

Reversi´ on S´ı S´ı

MR S´ı S´ı

MNR S´ı No

Volat. Determinista Constante

Reversi´ on LP 0 Constante

Las principales contribuciones de este art´ıculo a la literatura financiera radican en que hemos desarrollado f´ ormulas cerradas para el precio spot de cualquier commodity, el precio del futuro, el precio de la opci´ on europea de compra “call” sobre el spot del commodity, as´ı como el precio de la opci´ on europea de compra sobre el futuro del commodity. Hemos podido desarrollar estas expresiones usando un modelo de un factor de riesgo que incorpora reversi´ on a la media y volatilidad determinista.


Modelos Estoc´ asticos para el Precio Spot

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Una debilidad del modelado del precio de los commodities con un factor, σ2 1 e−2αh 2α [1 − e−2αt], es que como podemos deducir de la ecuaci´ on (51), σ12 = t+h 2 la varianza anual de los precios de los futuros, σ1 , tiende a cero conforme el vencimiento de la opci´ on, t, tiende a infinito. La intuici´ on atr´ as de este fen´ omeno es que en el largo plazo, la reversi´ on a la media domina y la varianza de los futuros tiende a la varianza del valor de reversi´ on a la media de largo plazo, que en nuestro modelo de un factor, es cero, como puede observarse en la ecuaci´ on (2). Esta ca´ıda en la varianza σ12 a largo plazo, es una debilidad importante de los modelos de un factor, ya que el modelo ser´ıa inapropiado para valuar opciones sobre futuros de largo plazo. Otra limitaci´ on importante de los modelos de un factor es que implican que los cambios en los precios spot y en los precios de los futuros y forwards para todos los vencimientos, est´ an perfectamente correlacionados. Esto significar´ıa que todos los precios se mueven siempre en la misma direcci´ on, lo cual claramente contradice los datos del mercado. Esta limitaci´ on se puede evitar si permitimos que los cambios en los precios spot dependan de m´ as de un factor. Se ha demostrado que los modelos de dos y tres factores tienen un mejor desempe˜ no que los de un factor cuando se ha modelado el precio de commodities como el cobre y el petr´ oleo. Esto se puede ver en Schwartz (1997).


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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

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