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FUNCIONES ¿Qué es una función? Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio promedio

Elementos de una función

Gráficas de funciones

Transformaciones de funciones


¿Qué es una función?

Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B.

Como reemplazar

se debe reemplazar el numero en la variable independiente (x), para hallar Y.

• El símbolo f(x) se llama el valor de f en x. • El conjunto A se llama dominio de la función. • El rango de f es el conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). • La variable independiente (x) es la que no varia dependiendo de la otra. • La variable dependiente (y) es la que varia dependiendo del desplazamiento de x.

Dominio

Es el conjunto de elementos que tienen imagen.

Representación de una función

1. 2. 3. 4.

Verbal Algebraica Visual Numérica


Elementos de una funci贸n

Conjunto de salida

rango

Conjunto de llegada

Funci贸n Sobreyectiva dominio Funci贸n Inyectiva

Funci贸n Biyectiva


Gráficas de funciones

Graficación

Graficación de funciones definidas por partes

f(x)= mx + b (se llama función lineal) f(x)= b (se llama función constante)

Ecuaciones de funciones

Funciones lineales f(x) = mx + b Se define mediante formulas distintas en su dominio, depende de la variable independiente x.

Funciones exponenciales f(x) = x^n Funciones de raiz f(x) = x Funciones recíprocas f(x) = 1/x^n Función valor absoluto f(x) = IxI


Funciones crecientes y decrecientes, tasa de promedio Funciones crecientes

Se dice que es creciente cuando la grafica sube, asciende desde (00, 00) en Y.

Funciones decrecientes

Se dice que es decreciente Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00) Es decir con respecto a Y.

Tasa de cambio promedio

Es la pendiente de la recta secante entre x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)).

Tasa de cambio promedio = cambio en y / cambio en x


Transformaciones de funciones Desplazamiento vertical

Sumar una constante a la funci贸n vertical: se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa.

Desplazamiento horizontal

y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha. y= f (x - c)

Desplazamiento(acort ar, alargar) vertical

Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor que 1. Para acortar la grafica se multiplica por un numero a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0.

Desplazamiento( al argar o acortar) horizontal

Para alargar una grafica se divide por un numero 1/a, a es mayor que 1. Para acortar la grafica se divide por un numero 1/a, cuando a es menor 1, pero positivo.


Conjunto de salida

l conjunto de nĂşmeros que son llamados conjunto A y son las imĂĄgenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con un mento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.


Conjunto de llegada Es el conjunto de nĂşmeros del conjunto B, llamados imĂĄgenes, y estĂĄn relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.


rango Es el conjunto de imĂĄgenes, el conjunto de nĂşmeros que se relacionan una ves con los elementos del conjunto A.


dominio Es el conjunto de pre imĂĄgenes, el conjunto de nĂşmeros que del conjunto A estĂĄn relacionados una ves con un solo elemento del conjunto B. Generalmente reales.


Funci贸n inyectiva

si todos los elementos del dominio est谩n relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los n煤meros reales es una funci贸n Inyectiva

A B C D

1 2 3 4 5


Funci贸n sobreyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango.

F(x)=B

Ejemplo: la funci贸n f(x) = 6x del conjunto de los n煤meros naturales al de los n煤meros pares es Sobreyectiva. 1 2 3 4 5

D F G H i


Funci贸n biyectiva

1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la ves.

Ejemplo: La funci贸n f(x) = 3x del conjunto de n煤meros reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.


Funciones Polinómicas Lineal

Constante

Otras

Grado par

Grado impar

Cuadrática Afín

Lineal

Identidad

Lineal

Cúbica

Valor absoluto Logarítmica Racional A trozos Exponencial Trigonométrica


Polin贸micas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que est谩n definidos.

Dominio= Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada= IR

donde es un polinomio en , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales. ,


Ejemplo:


Funciones de grado par Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de la función, de sus máximos y mínimos.) Por lo general es la función cuadrática.

Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación:

Punto de corte con y= igualando x a 0 Puntos de corte con x= igualando y a 0 Vértice= +-b/2a Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= máximos y mínimos. F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos


Funciones de grado impar Función cúbica Punto de corte con y= igualando x a 0 Punto de corte con x= igualando y a 0 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= IR F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos

Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR en la función constante el rango es la variable f(x)=a Se divide en función cúbica y lineal.


Lineal Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma: F(x)= mx + b donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente •m es denominada la pendiente de la recta. •b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).


Ejemplo: Y = 5x

Pendiente:


Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en . La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: •Si M>0 la función es creciente. •Si M=0 la función es decreciente. •Si M<0 la función es constante (recta horizontal). La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e y respectivamente.


Ejemplo: Y=4x+2


Identidad Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. f(x)=x / f(x)=y La función identidad puede describirse de la forma siguiente:


Ejemplo: F(x)=x

x

1

2

3

4

y

1

2

3

4


Constante Se llama funci贸n Polin贸micas de grado cero o funci贸n matem谩tica constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma: F(x)= a donde a es la constante.


Ejemplo:

Y= 5


Función cuadrática Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR= dominio Conjunto de llegada= IR Rango= (máximos y mínimos de la función) Punto de corte con y= c Pun to de corte con x=

Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a


Funci贸n:


Función cúbica Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3. Se da por la siguiente ecuación: Conjunto de salida= IR=dominio Conjunto de llegada= IR= rango Punto de corte con y= d Punto de corte con x= factorizacion( teorema del factor)


Funci贸n=


Referencias de consulta • http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_gra do • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática • http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funcio nes.htm • http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural /libro/estructural/node29.html


Presentacion funcions(1)[1][1]  

MATEMATICAS

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