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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA BAIXADA FLUMINENSE

CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD: UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO NO 6° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA

DUQUE DE CAXIAS FEVEREIRO, 2009


SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA

CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD: UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO NO ENSINO FUNDAMENTAL

Dissertação

apresentada

como

exigência

parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática à Faculdade de Educação da Baixada

Fluminense,

da

Estado do Rio de Janeiro.

Orientadora: Maria Aparecida Ribeiro da Silva

Duque de Caxias 2009

Universidade

do


AGRADECIMENTOS


RESUMO O objetivo especifico desta monografia é uma pesquisa teórica abrangendo a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud em relação ao campo multiplicativo, estudando suas bases e características através de uma pesquisa empírica em turmas de 6° Ano do Ensino Fundamental, onde o assunto referente a multiplicação e divisão é bastante abordado através da introdução do conceito de conjuntos numéricos e das operações numéricas. Será utilizado um questionário de perguntas envolvendo

assuntos

sobre

proporcionalidade,

combinatória

e

organização

retangular da multiplicação para avaliar o nível dos alunos e para servir de referencial para procedimentos posteriores.


SUMÁRIO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................... 00 1.1 Tema ....................................................................................................... 00 1.2 Justificativas ............................................................................................ 00 1.3 Questões de Pesquisas .......................................................................... 00 1.4 Objetivos ................................................................................................. 00 1.5 Hipótese .................................................................................................. 00 1.6 Quadro Teórico ....................................................................................... 00 1.7 Metodologia ............................................................................................ 00 1.8 Cronograma ............................................................................................ 00 1.9 Bibliografia .............................................................................................. 00


CAPITULO 1: INTRODUÇÃO

1.1

Tema A partir de pesquisa feita no 6° ano do Ensino Fundamental, observa-se a

dificuldade dos alunos na compreensão das resoluções de problemas ligados à Multiplicação e à Divisão. Com base na Teoria dos Campos Conceituais do psicólogo francês Gerard Vergnaud, onde se tem um conjunto de situações cujo domínio progressivo demanda numa variedade de esquemas e também num conjunto de conceitos que contribuem com o domínio dessas situações, será analisado o campo conceitual multiplicativo nestas séries e como seu ensino está sendo segregado dos demais conteúdos da Matemática.

1.2 Justificativas Visto que através da educação tradicional os alunos são estimulados a resolver os problemas através de um cálculo isolado do seu contexto, fazendo com que o aprendizado fique centrado apenas na operação necessária para aquela resolução. Este trabalho propõe uma resolução baseada em justificativas que levem o aluno a compreender e interpretar a situação proposta.

1.3 Objetivos


Visa investigar os meio de ensino e de aprendizagem do campo multiplicativo e propor o desenvolvimento do ensino baseado nas estruturas multiplicativas de modo a fazer com que o aluno compreenda a situação que lhe for proposta.

1.4 Hipóteses Demonstrar que a partir do estudo do campo multiplicativo, o aluno no desenvolvimento de suas competências conseguirá resolver um problema usando os esquemas adquiridos ou modificados, e por meio destes poderá relacionar com outras situações do seu cotidiano.


CAPITULO 2: TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria desenvolvida pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud, discípulo de Piaget e diretor de pesquisa do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS). As bases da Teoria dos Campos Conceituais estão em Piaget, nos conceitos de adaptação, desequilibração, mas principalmente no conceito de esquema, que Vergnaud considera a pedra angular de sua teoria. Para Piaget deve-se falar em interação sujeito-objeto, já para Vergnaud deve-se falar em esquema-situação, pois para Vergnaud os esquemas se referem às situações. Piaget Foi uns dos psicólogos que mais contribuiu para que a Lógica e a Matemática pudessem ser tratadas como formas de organização da atividade intelectual humana. Contudo, apesar da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud possuir sua base em Piaget, ela se ocupa mais com o estudo do desenvolvimento do sujeito em situação do que com concebe o desenvolvimento intelectual em um contínuo processo de construção e reconstrução de esquemas. Vergnaud toma como problema central da cognição a conceitualização, que para ele é o âmago do desenvolvimento cognitivo, e a partir dessa premissa desenvolve uma teoria psicológica onde se postula que o conhecimento encontra-se organizado em campos conceituais, cujo domínio requer o manejo simultâneo de conceitos, procedimentos e representações de natureza distinta. A definição de conceito envolve três conjuntos que podem ser representados por um tripleto de conjunto C = {S; I; R} onde S é o conjunto de situações que lhes dão significado e é o referente do conceito; I é o conjunto de invariantes que podem ser vistos como as propriedades distintivas do conceito e é o


significado de um conceito; e R é o conjunto de símbolos utilizados na representação do conceito, que é o significante de um conceito. O conjunto de situações S corresponde à realidade, os conjuntos de invariantes I e representações R são considerados os aspectos do pensamento de um conceito, o significado e seu significante. Um conceito torna-se significativo através de uma variedade de situações. São as situações que dão sentido ao conceito, não que sejam as situações a causa do sentido, mas são as relações existentes entre o sujeito e as situações fazem com que haja sentido. Vergnaud considera duas idéias principais: a idéia de Variedade, onde existe uma grande variedade de situações em um campo conceitual dado, para as quais as variáveis de situações constituem um meio para gerar de modo sistemático o conjunto de classes de situações. E a idéia de História, onde os conhecimentos dos alunos são elaborados pelas situações que eles enfrentaram e dominaram progressivamente,

sobretudo

pelas

primeiras

situações

em

que

esses

conhecimentos foram constituídos. O desenvolvimento cognitivo ocorre, quando o estudante é submetido a distintas situações e as domina progressivamente. Assim, as situações propostas são fundamentais no processo de aprendizagem. Existem duas classes de situação: aquelas em que o sujeito já dispõe de esquemas necessários para resolvê-las; e aquelas em que o sujeito não dispõe de todos os esquemas necessários para resolvê-las, sendo necessário o teste de vários esquemas até encontrar, ou não, o esquema apropriado para resolver aquela situação. Piaget define esquema como estruturas mentais ou cognitivistas pelas quais os indivíduos intelectualmente se adaptam e organizam o meio, ou seja, a


forma de organização tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades intelectuais. Para Vergnaud esquema é a forma estrutural da atividade, é a organização invariante do sujeito ou do comportamento sobre uma classe de situações dadas. Estas situações contêm conhecimentos em ação ou invariantes operatórios – elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito venha ser operatória - que são implícitos e se designam por teoremas em ação e conceitos em ação. Teoremas em ação e conceitos em ação são, respectivamente, proposições tidas como verdadeiras sobre o real e categorias de pensamentos tidas como pertinentes. Entende-se que conceito em ação não é um verdadeiro conceito científico e nem teorema em ação é um verdadeiro teorema cientifico, mas os dois podem, ainda que de forma progressiva, se tornarem verdadeiros conceitos e teoremas científicos. Talvez a mudança conceitual leve algum tempo, pois entre os invariantes que os sujeitos constroem ao interagir com o meio e os invariantes que constituem o conhecimento cientifico há uma brecha. Podemos entender os invariantes como as propriedades que definem o conceito e as situações como as propriedades que amplificam o conceito. Para entender melhor as definições de conceito, situação e invariante operatório podemos imaginar um exemplo simples mencionado no texto abaixo:

Podemos ter um conceito de estações do ano definido como as variações climáticas típicas de uma região em certas épocas do ano. Esse conceito gera no Sul do Brasil, a divisão do ano em quatro estações: primavera, verão, outono, inverno. No verão faz


calor; no inverno faz frio. Se mudarmos para o Nordeste, não precisamos reformular nossa definição de estações do ano; as estações do ano continuam sendo variações climáticas típicas de certas épocas do ano em certas regiões. No entanto, no Nordeste, no verão faz calor e no inverno também. A variação climática que distingue o verão do inverno é a presença de chuva. Os invariantes de nossa definição de estações do ano permanecem os mesmos; o conceito de inverno muda, porque agora conhecemos novas situações que dão significado à idéia de inverno... Em síntese, embora os invariantes possam ser universais, os conceitos definidos pelos mesmos invariantes não são idênticos, porque as diferenças culturais que operam na criação de situações que dão significado aos conceitos e na eleição de formas de representação resultam em diferentes organizações conceituais. (SCHLIEMANN, Analúcia Dias. Na Vida Dez, Na Escola Zero. 10 ed. São Paulo: Cortez, 1995).

Quando um indivíduo se depara com certa situação ele faz uso dos seus esquemas, e consecutivamente de seus invariantes operatórios. Se o esquema acessado se torna ineficaz diante da situação a experiência o leva mudar de um esquema ineficaz para outro esquema eficaz, ou o leva a modificar o esquema usado. Por isso Vergnaud toma o esquema como pedra fundamental de sua teoria, pois o desenvolvimento cognitivo, do qual a conceitualização é o núcleo, consiste no desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas. Vergnaud também toma como referencia Vygotsky, considerando também o professor como mediador no processo do domínio de um campo conceitual por um aluno. Para Vergnaud o papel do professor é levar o aluno a desenvolver seus esquemas e suas representações, fazendo uso de símbolos para que o processo de


acomodação venha acontecer de melhor maneira, e principalmente prover situações aos alunos para melhor significação de um conceito. Tais situações devem sempre ser selecionadas dentro da zona de desenvolvimento proximal do aluno, considerando também a importância da interação social, da linguagem e da simbolização no progressivo domínio do campo conceitual. O aluno que desenvolve seu repertório de esquemas e representações, automaticamente também consegue enfrentar situações cada vez mais complexas. Sendo assim, para que haja a construção de um conceito, primeiro tem que haver a resolução de problemas, onde se entende que problema é uma situação onde ocorre um desequilíbrio, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas para a qual dispomos de meios intelectuais de resolução. Em resumo tem-se que é através das situações e diante de uma resolução de problema, que o aluno desenvolve os conceitos necessários para alcançar o êxito em mais uma etapa. Vergnaud chama de ―ilusão pedagógica‖ a atitude dos professores que acreditam que o ensino está baseado somente na apresentação organizada da matéria. A escola valoriza o conhecimento explicito e subestima o conhecimento implícito, não levando em conta que a maior parte de nossa atividade mental e física é construída de esquemas, que possuem os invariantes operatórios como componentes essenciais e que são de caráter muitas vezes implícitos. A escola precisa entender que não é porque o aluno é capaz de resolver certa tarefa, que ele também será capaz de explicá-la. Os alunos muitas vezes resolvem problemas usando conhecimentos em ação que até podem conduzi-los a uma boa resposta diante de certa situação, mas que não funcionam para outras situações que venham a ser diferentes daquelas que o aluno resolveu inicialmente. É normal que o aluno continue usando conhecimentos implícitos ao mesmo tempo


em que vai se apropriando dos conhecimentos explícitos. Enquanto o campo conceitual é dominado pelo aluno, o conhecimento implícito vai evoluindo para o explicito, ao invés de ser substituído por ele. Temos então que um campo conceitual é um conjunto de situações que implica no domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de naturezas distintas. Um campo conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamentos, conectados uns aos outros, e provavelmente entrelaçados durante o processo de aquisição.


CAPITULO 3: CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO E O PCN Na Teoria dos Campos Conceituais Vergnaud diferencia campo aditivo de campo multiplicativo. Em resumo temos no campo aditivo, a abordagem da adição e da subtração e no campo multiplicativo, a abordagem da multiplicação e da divisão. A teoria dos campos conceituais se coloca em contraposição ao ensino convencional e esta teoria vem romper com o ensino tradicional. Um dos maiores erros da escola é segregar a adição da subtração e a multiplicação da divisão e também o campo aditivo do campo multiplicativo. O ensino do campo aditivo e do campo multiplicativo pode se dar de forma paralela e não linear e as relações existentes entre adição e multiplicação devem ser explicitadas. Como exemplos têm que a composição e a decomposição de números servem de base para progressão do aluno no campo multiplicativo, como vemos abaixo:

 6 X 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 6 = 12

 6:2=6–2–2–2=6–3X2=3

E também servem de base para a progressão do valor posicional e real dos algarismos, como no exemplo de problema dado por Carvalho abaixo, onde de uma situação inicial se derivam outras três situações possíveis no campo aditivo que apresentam dificuldades diferentes:

1) Eu tinha cinco bolinhas de gude, ganhei quatro. Quantas bolinhas eu tenho agora?


2) Pedro tinha cinco bolinhas de gude, ganhou quatro. Quantas bolinhas têm agora? 3) João ganhou quatro bolinhas de gude, tem agora nove bolinhas. Quantas bolinhas ele tinha antes de jogar? 4) Antônio tinha cinco bolinhas de gude, agora tem nove. Quantas bolinhas Antônio ganhou no jogo?

Da mesma forma se dá no campo multiplicativo, desta vez usando um exemplo tirado da revista Nova Escola:

1) 8 crianças levaram 16 refrigerantes o aniversário de Carolina. Se todas as crianças levaram a mesma quantidade de bebida, quantas garrafas levaram cada uma? 2) Numa festa foram levados 16 refrigerantes pelas crianças e cada uma delas levou 2 garrafas. Quantas crianças havia? 3) 4 crianças levaram 8 refrigerantes à festa. Supondo que todas levaram o mesmo úmero de garrafas, quantos refrigerantes haveria se 8 crianças fossem a festa?

Vergnaud propõe em Matemática, o estudo de dois campos conceituais, os de estrutura aditiva e os de estrutura multiplicativa. Esta pesquisa se atém ao campo conceitual multiplicativo. Tendo em vista que muitas escolas e professores não fazem uso das estruturas multiplicativas, tem se como objetivo destacar os pontos principais desse campo conceitual com o


objetivo de melhorar o ensino de Matemática principalmente no conteúdo do 6º ano do Ensino Fundamental. Na definição do campo conceitual multiplicativo, Vergnaud o define como o campo conceitual das estruturas multiplicativas em que se consistem todas as situações que podem ser analisadas como problemas de proporções simples e múltiplas para os quais geralmente é necessária uma multiplicação, uma divisão ou uma combinação dessas operações. Entre tais conceitos estão o de função linear, função não-linear, espaço vetorial, análise bidimensional, fração, razão, taxa, número racional, multiplicação e divisão. O domínio de um campo conceitual não ocorre em alguns meses e nem mesmo anos, pois novos problemas e novas propriedades surgem no decorrer do tempo e não podem ser contornados, mas sim superados na medida em que são encontrados. Talvez seja pela complexidade do campo conceitual, que é decorrente da

necessidade

de

abarcar

em

uma

única

perspectiva

teórica

todo

o

desenvolvimento de situações progressivamente dominadas, que muitos optam por não usá-lo e outros até o desconhecem ele. Em relação ao uso das estruturas multiplicativas na sala de aula,

percebe-se que muitos professores não

compreendem realmente o que se busca com o uso do campo conceitual multiplicativo. Por causa disso há a segregação da multiplicação e da divisão em muitas escolas e por muitos professores, sendo estes assuntos tratados de formas diferentes, enquanto ambos possuem características comuns. Vergnaud propõe quatro classes que podem ser trabalhadas nas estruturas multiplicativas: a comparação multiplicativa, a proporcionalidade simples, a proporcionalidade simples composta e a proporcionalidade dupla (ou múltipla).


Comparação multiplicativa

Nesta categoria se encontram os problemas que utilizam uma única grandeza. Exemplos:

 João possui 30 bolinhas de gude e Pedro possui o dobro de João. Quantas bolinhas de gude Pedro possui?

 Uma camisa na loja A custa R$ 15,00 e na loja B custa R$ 37,50. Quantas vezes mais a camisa custa na loja B do que na loja A?

Proporcionalidade simples

Nesta categoria encontram-se geralmente problemas que buscam a quarta proporcional. São situações que podem ser representadas por uma tabela numérica e estão associadas a uma função linear que conduz a multiplicação. Exemplo:

 Maria pagou R$ 20,00 por quatro blusas. Quanto custa cada blusa?

 José comprou cinco pipas pagando R$ 0,50 por cada pipa. Quanto José pagou pelas cinco pipas?

Proporcionalidade simples composta


Nesta categoria se definem duas relações de proporcionalidade simples e a situação que leva a compor essas duas relações de proporcionalidade. Exemplo:

 Um carro de fórmula 1 corre em uma pista de 15 Km. A média de velocidade a cada volta é de 300 Km/h. Quantas voltas o piloto terá dado com seu carro depois de 2 horas de corrida?

 Um mercado comprou R$ 864,00 de leite integral saindo a R$ 1,20 cada embalagem de leite. As embalagens vêm em fardos e em cada fardo vêm 12 embalagens de leite. Quantos fardos o mercado receberá?

Proporcionalidade dupla (ou múltipla)

São problemas que intervêm dois domínios de grandeza ou mais, que são independentes tais que uma relação associa um par de medidas para cada grandeza:

 Uma churrascaria oferece três tipos de carne e cinco tipos de bebida. De quantas formas se pode alimentar nesta churrascaria escolhendo um tipo de carne e um tipo de bebida?

 Um tabuleiro de bolo possui 15 cm de largura e 10 cm de comprimento. Qual é a área desse tabuleiro?


Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) também apontam a resolução de problemas como uma forma de ensino-aprendizagem de Matemática. Não para utilizar os problemas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos como muitas escolas e professores o tem usado, mas sim como um conjunto de conceitos inter-relacionados que venha permitir ao aluno resolver um conjunto de problemas.

Este método de ensino-

aprendizagem é bem similar à proposta de ensino-aprendizagem de Vergnaud através dos campos conceituais, que é um conjunto de situações cujo domínio requer o domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de naturezas distintas. Isso fica bem claro nas definições e justificativas dadas pelo próprio PCN:

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática.


A resolução de problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser resumida nos seguintes princípios: 

A situação-problema é o ponto de partida da

atividade Matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos

devem

ser

abordados

mediante

a

exploração de problemas, ou seja, de situações em que os

alunos

precisem

desenvolver algum

tipo

de

estratégia para resolvê-las; 

O problema certamente não é um exercício em que

o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; 

Aproximações sucessivas de um conceito são

construídas para resolver certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática; 

Um conceito matemático se constrói articulado com

outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular;


A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN)

Com isto o PCN tem o propósito de que o aluno elabore procedimentos para que aquele problema seja solucionado e confirme se realmente o procedimento elaborado por ele seja valido para todo tipo de situação proposta por aquele problema. Com este método a importância do método de resolução ocupa o lugar da importância da resposta correta, pois agora o objetivo é que o aluno desenvolva habilidades referentes àquela situação-problema. Para o PCN a aprendizagem matemática está ligada à atribuição e apreensão matemática, o aluno deve ser capaz de estabelecer conexões entre o significado matemático e as demais áreas e temas que a Matemática aborda. O ensino matemático baseado no PCN para o 3º ciclo deve destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas. No 3º ciclo o PCN indica que o ensino de Matemática deve visar o desenvolvimento:  Do pensamento numérico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Ampliar e construir novos significados para os números – naturais, inteiros e racionais - a partir de sua utilização no contexto social e da análise de alguns problemas históricos que motivaram sua construção; o Resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e


construir novos significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação; o Identificar,

interpretar

e

utilizar

diferentes

representações dos números naturais, racionais e inteiros, indicadas por diferentes notações, vinculandoas aos contextos matemáticos e não-matemáticos; o Selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato ou aproximado, mental ou escrito) em função da situação-problema proposta.  Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções; o Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras; o Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas

e

suas

propriedades

para

construir

estratégias de cálculo algébrico. o Do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Resolver

situações-problema

de

localização

e

deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção 65 e sentido, de ângulo, de paralelismo

e

de

perpendicularismo

elementos

fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas cartesianas; o Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representações; o Resolver situações-problema que envolva figuras geométricas decomposição

planas, e

ampliação e redução.

utilizando

procedimentos

composição,

de

transformação,


 Da competência métrica, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no contexto social e da análise de alguns dos problemas históricos que motivaram sua construção; o Resolver

problemas

grandezas,

selecionando

que

envolvam

unidades

de

diferentes medida

e

instrumentos adequados à precisão requerida.  Do raciocínio que envolva a proporcionalidade, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Observar a variação entre grandezas, estabelecendo relação entre elas e construir estratégias de solução para

resolver

situações

que

envolvam

a

proporcionalidade.  Do raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: o Coletar, organizar e analisar informações, construir e interpretar tabelas e gráficos, formular argumentos convincentes, tendo por base a análise de dados organizados em representações matemáticas diversas;

o Resolver situações-problema que envolva o raciocínio combinatório e a determinação da probabilidade de sucesso de um determinado evento por meio de uma razão. (PCN)

Esta pesquisa tem por fim a análise da aplicação do campo multiplicativo no 6º ano do Ensino Fundamental, que faz parte do 3º ciclo. E observando a proposta do PCN para o ensino de Matemática para o 6º ano se percebe que o PCN também indica o uso dos campos conceituais:

Conceitos como os de múltiplo e divisor de um número natural ou o conceito de número primo podem ser abordados neste ciclo como uma ampliação do campo multiplicativo, que já vinha


sendo construído nos ciclos anteriores, e não como assunto novo, desvinculado dos demais. Além disso, é importante que tal trabalho não se resuma à apresentação de diferentes técnicas ou de dispositivos práticos que permitem ao aluno encontrar, mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum sem compreender as situações-problema que esses conceitos permitem resolver. Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. (PCN)

O PCN ainda indica a necessidade de trabalhar paralelamente a multiplicação e a divisão para que se desenvolva uma compreensão mais ampla da multiplicação, envolvendo os significados dessas operações ocorrem em situações que ocorrem em situações dos tipos a seguir:

 Associadas à comparação entre razões e que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade. Exemplo: Se 8 metros de tela custam R$ 5, 80, quanto pagarei por 16 metros de tela? (situação em que o aluno deve perceber que comprará o dobro de tela e que deverá pagar — se não houver desconto — o dobro de R$ 5, 80, não sendo necessário achar o preço de 1 metro para depois calcular o de 16). A partir das situações de proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações repartir (igualmente) e ―determinar quanto cabe‖. Exemplos associados ao primeiro problema: Paguei R$ 11,60 por 4 metros de tela. Quanto custa 0,50 m dessa mesma tela? (Como 0,5 cabe 8 vezes em quatro, a quantia em dinheiro será repartida igualmente em 8 partes e o que se procura é o valor de uma parte, ou calcular quanto custa cada metro e achar a metade). Paguei R$ 11,60 por um rolo de tela cujo metro custa R$ 2,90. Quantos metros de tela há no rolo? (Procura-se verificar


quantas vezes R$ 2,90 cabe em R$ 11,60 identifica-se a quantidade de partes.)  Associadas ao produto de medidas. Exemplos: Qual é a área em centímetros quadrados de um retângulo cujos lados medem 6 cm e 9 cm? Qual é o volume em centímetros cúbicos de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo de 5 cm² de área da base e 8 cm de altura?  Associadas à idéia de combinatória. Exemplo: Lancei dois dados: um vermelho e um azul. Quantos resultados diferentes são possíveis encontrar? A combinatória também está presente em situações relacionadas com a divisão: No decorrer de uma festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todas elas dançaram com todos os rapazes, quantos eram os rapazes? (PCN)

Nota-se a familiaridade das definições do PCN com os conceitos do campo multiplicativo, e com todos esses pontos abordados podemos então melhor definir os conteúdos que devem ser abordados no 6º ano visando o ensino do campo multiplicativo, classificando três conceitos do campo multiplicativo: a proporcionalidade,

a

organização

retangular

(análise

dimensional)

e

a

combinatória.  Proporcionalidade: O objetivo do aprendizado da proporcionalidade é com que o aluno venha a perceber alguma regularidade entre elementos de uma mesma tabela.  Organização retangular (análise dimensional): A partir de áreas e medidas envolvendo situações geométricas o aluno não somente aprende o conceito multiplicativo como também progride em geometria e na percepção do espaço.


 Combinatória: Muitas vezes esse conteúdo é restringido somente ao Ensino Médio, mas seu ensino pode ser iniciado desde o 1º ou 2º ciclo.


Campo Conceitual de Vergnaud