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MATEMÁTICA

NOS DIAS

DE

H

7

JE

MATEMÁTICA na medida certa

Marília CENTURIÓN José JAKUBOVIC

MANUAL DO PROFESSOR


Marília CENTURIÓN

Licenciada e bacharel em Matemática (FFCLM – São Paulo-SP). Professora e assessora de ensino de Matemática em diversas escolas. Autora de várias obras na área de Matemática.

MATEMÁTICA

José JAKUBOVIC

Licenciado em Matemática (FFCLM – São Paulo-SP). Foi professor e assessor de ensino de Matemática em diversas escolas. Autor de várias obras de Matemática direcionadas ao Ensino Fundamental e Médio.

NOS NOS DIAS DIAS

DE

H

7

JE

MATEMÁTICA na medida certa

São Paulo • 1a edição • 2015

MANUAL DO PROFESSOR


Matemática nos dias de hoje – na medida certa – 7o ano © 2015 Leya

Direção editorial Mônica Vendramin Coordenação editorial Viviane Mendes Gonçalves Edição Larissa Calazans Marjorie M. H. Hirata Sorel Hernandes Lopes da Silva (Assessoria Pedagógica) Stella Christina Cajueiro Camargo Assistência editorial Tamires Cristina Mendes da Silva Yuriko Sano Colaboração técnico-pedagógica Antonio Carlos Brolezzi Coordenação de produção Nadiane Oliveira Gerência de revisão Miriam de Carvalho Abões Assistência de coordenação de revisão Vinicius Oliveira de Macedo Revisão de texto Equipe Leya Coordenação de arte e capa Thais Ometto Ilustração/foto de capa: Rafe Swan/ Cultura/ Getty Images Projeto gráfico Débora Barbieri Edição de arte Renné Ramos Editoração eletrônica Estação das Teclas Infográficos Sara Paz Ilustrações Cibele Queiroz Estúdio Mil

Coordenação de iconografia Jaime Yamane Iconografia Paula Dias Produção digital Coordenação: Camila Carletto Edição: Rafael Nobre Impressão e acabamento

Título original da obra: Matemática nos dias de hoje – na medida certa – 7o ano São Paulo * 1a edição * 2015 Todos os direitos reservados: Leya Rua Dr. Olavo Egídio, 266 – Santana CEP 02037-000 – São Paulo – SP – Brasil Fone + 55 11 3129-5448 Fax + 55 11 3129-5448 www.leya.com.br leyaeducacao@leya.com ISBN 978-85-451-0081-2 (aluno) ISBN 978-85-451-0080-5 (professor)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Dados Internacionais de Catalogação Publicação (CIP) Ficha elaborada por: Tereza Cristina Barros –na CRB-8/7410 Ficha elaborada por: Tereza Cristina Barros - CRB-8/7410

Centurión, Marília Matemática nos dias de hoje, 7º ano : na medida certa / Marília Centurión, José Jakubovic. -– 1. ed. -- São Paulo : Leya, 2015. ISBN 978-85- 451-0081-2 (aluno) ISBN 978-85- 451-0080-5 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Jakubovic, José. II. Título.

15.04/2015 CDD-372.7 --------------------------------------------------------Índice para para catálogo catálogo sistemático: sistemático: Índices

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7


Apresentação Você, provavelmente, conhece alguém que joga vôlei ou futebol muito bem ou toca guitarra espetacularmente. Como essas pessoas ficaram tão boas nisso? Em geral, é porque gostam do que fazem e se dedicam a isso. O gosto tem de vir com prazer e alegria, e a dedicação, com exercício e persistência. As duas coisas se completam: o gosto leva à dedicação e a dedicação melhora o gosto. Este livro foi escrito para adoçar o gosto, apresentando desafios, surpresas e curiosidades, e para orientar a dedicação, organizando seu estudo. Com a ajuda de seu professor e um pouco de gosto e dedicação, você vai se dar bem em Matemática. E vai perceber que esse conhecimento pode ser útil a você pela vida toda.

Os autores


CONHEÇA

seu livro Nesta obra, cada capítulo é formado de pequenos tópicos e tem, em geral, a seguinte estrutura:

Abertura de capítulo Motiva o estudo do capítulo relacionando o assunto abordado com suas aplicações ou com sua história. Muitas vezes a abertura remete a temas de interesse para a cidadania, como saúde, conservação do meio ambiente, educação financeira etc.

Ação São sugestões de atividades, jogos, experimentos e trabalhos que solicitam uma participação ativa de todo o grupo. As ações podem ser adaptadas pelos professores ou pelos alunos. Se for um jogo, poderá ter uma regra alterada para torná-lo mais emocionante, mais rápido etc. As ações devem ser preparadas com antecedência, pois algumas solicitam materiais específicos.

Teoria Para ser lida individualmente ou em grupo. Segue uma sequência didática com textos que apresentam definições e conceitos de maneira contextualizada.

Quadros Você sabia que... A seção “Você sabia que...” complementa as informações apresentadas nos textos dos diversos capítulos do livro.

Conexões Apresenta situações em que o conhecimento matemático se relaciona com variadas áreas do saber. É um material rico para contextualizar informações e desenvolver abordagens interdisciplinares.

A matemática tem história Aparece esporadicamente em itens nos quais a abordagem histórica de um conceito ou procedimento ajuda a compreendê-lo e contextualizá-lo.


ES N O C Í INFORMATIVOS

Pense e responda São atividades motivadoras que envolvem muitas situações do dia a dia, sem artificialidade. Solicitam a leitura, interpretação e tomada de decisões.

Calculadora CÁLCULO MENTAL TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Desafios e surpresas São atividades curiosas ou que pedem uma solução mais criativa. Podem apresentar maiores dificuldades, mas elas serão superadas com trocas de ideias. Muitas vezes é preciso mais tempo para resolver essas questões.

Produção escrita Questão argumentativa Atividade oral

Atividade em grupo

Pensando em casa Sem repetir o que foi feito em aula, as atividades da seção “Pensando em casa” solicitam raciocínio e intuição. A critério do professor, algumas dessas atividades podem ser feitas em aula.

Atividade em dupla Atividade em dupla Atividade em grupo

IMAGENS Representação artística: fora de escala e cores-fantasia

Atividade oral

Imagens fora de proporção

Questão argumentativa Recurso digital exclusivo para professor.

1 254 ×

Ampliação ou tamanho dos seres vivos

Revendo conceitos Envolve atividades que abordam temas do capítulo em que se encontra e de outros que o precederam. Assim, revisa e aprofunda conhecimento.

Livros Sugestões de leitura de livros paradidáticos de modo a complementar o estudo do capítulo.

Atividade interdisciplinar

Respostas das atividades Ao final do livro, são apresentadas as respostas de todas as atividades com a função de auxiliar o aluno na conferência dos resultados obtidos nas resoluções. Indica que o livro foi selecionado pelo Programa Nacional Biblioteca da Escola (PNBE).


Sumário 1

Números inteiros, 8

Desafios e surpresas, 63, 66, 86 e 88

#Revendo conceitos, 95

1. Números positivos e números negativos, 10 Ação sobre números positivos e números negativos, 14 2. A representação geométrica, 15 3. Os números também têm sua história, 18

3

Equações, 96

4. Adição de inteiros, 21 5. Subtração de inteiros, 26

1. Primeiras ideias sobre equações, 98

Ação sobre adição e subtração de inteiros, 29

2. Uso das equações, 101

6. Adição e subtração: relações e propriedades, 31

3. Recursos para resolver uma equação, 104

7. Multiplicação de inteiros, 33

4. Uma equação especial, 108

8. Divisão exata de inteiros, 36

5. Eliminação de parênteses, 110

9. Potenciação e raiz quadrada, 38

6. Mais problemas..., 114

10. Propriedades da potenciação, 43

Desafios e surpresas, 107, 110, 113 e 116

Desafios e surpresas, 18, 20, 25, 36, 37, 42 e 46

#Revendo conceitos, 120

#Revendo conceitos, 56

2

Números racionais, 58

4

Razões e proporções, 122

1. Razões, 124 1. Frações: revendo ideias, 60 2. Resolvendo problemas, 64 3. Das frações para os decimais: revendo ideias, 67 4. Números racionais, 69

2. Escalas, 128 3. Proporções, 130 Ação sobre razões e proporções, 134 4. Grandezas direta e inversamente proporcionais,

135

5. Cálculos com números racionais, 75

5. Regra de três simples, 139

Ação sobre expressões numéricas com racionais, 78

6. Regra de três composta, 143

6. Média aritmética, 79 7. Potenciação de racionais, 82 8. Raiz quadrada, 87

Ação sobre regra de três, 148 Ação sobre porcentagens, 155 Desafios e surpresas, 128, 134 e 147

#Revendo conceitos, 155


5

Tópicos de Geometria, 156

1. Revisão: a ideia de ângulo, 158 2. Medida de um ângulo, 161 Ação sobre ângulos, localização e escala, 165 3. Uso dos ângulos, 166

7

Análise, interpretação e construção de gráficos, 210

1. Gráficos de segmentos e gráficos de barras, 212 2. Gráficos de setores, 218 Ação sobre gráficos de setores ou de barras, 220

#Revendo conceitos, 228

4. Localização de pontos no plano, 171 5. Simetria axial, 174 6. Simetria de rotação, 178 7. Construção de polígonos regulares, 181 8. Representação de figuras geométricas espaciais,

184

Desafios e surpresas, 170

#Revendo conceitos, 194

8

Unidades de medida, 230

1. Medidas no dia a dia, 232 2. Unidades de medida de área, 234 3. Unidades de medida de volume, 241 Ação sobre medidas, 246

6

Desafios e surpresas, 240 e 245

Porcentagem, 196

#Revendo conceitos, 252

1. Calculando a parte do total, 198 2. Calculando a porcentagem, 201 3. Situações variadas, 204 Desafios e surpresas, 204 e 206

#Revendo conceitos, 209

Respostas das atividades, 254 Referências bibliográficas, 270


1

Números inteiros

Na cidade de São Joaquim, no inverno de 2015, aconteceu a seguinte variação de temperatura: durante o dia, o termômetro marcou 5 graus Celsius acima de zero; durante a noite, marcou 5 graus Celsius abaixo de zero. Como você sugere que sejam representadas essas duas temperaturas? Observe o mapa do Brasil. Em quais estados brasileiros essa situação de temperaturas acima e abaixo de zero poderiam acontecer?

8


Neste capítulo, você vai: •• Conhecer os números inteiros (que podem ser negativos, positivos ou zero) e para que servem •• Aprender como esses números podem ser comparados e representados

•• Aprender como efetuar as operações com números inteiros

É comum a cidade de São Joaquim (SC) registrar temperaturas 5 graus abaixo de zero.

U/A

GÊN

CIA

RB

S

FÁBIO COLOMBINI

ALVARÉL

OSS IO KUR

Num mesmo dia, é possível observar temperaturas abaixo e acima de zero.

9


1 Números positivos e números negativos Numa região montanhosa, aconteceu a seguinte variação de temperatura: durante o dia, o termômetro marcou 5 graus Celsius acima de zero; durante a noite, marcou 5 graus Celsius abaixo de zero. As duas temperaturas são de 5 graus Celsius, mas elas não são iguais. A temperatura de 5 graus acima de zero é indicada pelo número natural 5, e a temperatura de 5 graus abaixo de zero é indicada pelo número 25 (menos cinco ou cinco negativo). O número 25 não é um número natural. Dizemos que 25 é um número negativo. Quanto ao número natural 5, dizemos que é um número positivo. O número 5 também é indicado por 15. Os números positivos e negativos são muito utilizados em nosso dia a dia. Veja os exemplos:

Temperaturas Em condições normais, a temperatura 0 °C (zero grau Celsius) é aquela em que a água se transforma em gelo. Temperaturas acima de 0 °C são indicadas com números positivos, e abaixo de 0 °C, com números negativos.

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0

ILUSTRAÇÕES: EKLER/ SHUTTERSTOCK

–10

25 °C

5 °C

–10

–20

–20

–30

–30

–40

–40

Altitudes Considera-se que a altitude zero é a do nível do mar. Existem altitudes maiores que zero. Por exemplo, a cidade de São Paulo está localizada a uma altitude de 1800 m. Isso significa que ela está 800 metros acima do nível do mar. Também existem altitudes menores que zero. O Vale da Morte, um lugar desértico dos Estados Unidos, tem altitude 286 m, ou seja, está 86 metros abaixo do nível do mar. 10

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Elevadores

TWOBEE/ SHUTTERSTOCK

É possível também observar números negativos no quadro de botões de um elevador. Nesse caso, ao andar térreo do edifício está associado o número zero. 1 indica um andar acima do térreo 2 indica dois andares acima do térreo 21 indica um andar abaixo do térreo 22 indica dois andares abaixo do térreo Os andares abaixo do térreo costumam ser garagens.

Saldos bancários Muitas pessoas têm cheque especial. Com ele, as pessoas podem retirar do banco mais dinheiro do que elas possuem em suas contas. Por isso, essas contas podem ter saldo positivo (por exemplo, R$ 500,00), negativo (por exemplo, 2R$ 200,00) ou zero. A pessoa fica com saldo negativo quando retira do banco mais dinheiro do que possui. Se tem R$ 300,00 e retira R$ 360,00, ela fica com saldo negativo (2R$ 60,00). A frase tem 300, retira 360, fica com 260 pode ser resumida com o uso de símbolos matemáticos: 300 2 360 5 260

Datas ANDRÉ THÉVET. LES VRAIS POURTRAITS ET VIES DES HOMMES ILLUSTRES (PARIS 1584)/ ARQUIVO DA EDITORA

Em quase todo o mundo, o tempo é contado a partir do ano do nascimento de Jesus Cristo. Esse é o ano 1 da Era Cristã. Acontecimentos ocorridos antes do ano 1 são indicados com a abreviatura a.C., isto é, antes de Cristo. Esses anos também podem ser indicados por números negativos. Por exemplo: o matemático Arquimedes nasceu em 287 a.C. e faleceu em 212 a.C. Essas datas podem ser indicadas por 2287 e 2212.

Retrato de Arquimedes (287 a.C.–212 a.C.).

Veja a representação dos anos de nascimento e morte de Arquimedes na reta numérica: 2300 2287

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2200

2100 1 100

2212 Números inteiros | capítulo 1

11


Outras situações

ESTÚDIO MIL

Uma tabuleta foi mostrada para um piloto de Fórmula 1, numa corrida em que ele estava em 2o lugar. A indicação 110 informa que ele está 10 segundos à frente do 3o colocado; a indicação 212, que ele está 12 segundos atrás do 1o colocado.

O sinal de menos (2) e a palavra negativo O sinal usado nos números negativos é o sinal de menos (2), de subtração. Isso acontece porque os números negativos são resultado de subtrações de números naturais. Por exemplo: 200 2 280 5 280 Quanto à palavra negativo, ela vem de negação. Os números negativos são uma espécie de negação: quem tem saldo de 280 não tem 80; ao contrário, deve 80.

O conjunto dos números inteiros Você já conhece os números naturais. Podemos imaginá-los todos reunidos num conjunto, que é representado pelo símbolo . Temos, então:  = {0, 1, 2, 3, ...}

2015 KING FEATURES SYNDICATE/IPRESS

As reticências indicam que a sequência dos números naturais é infinita.

Para cada número natural diferente de zero, vamos imaginar um número negativo correspondente: 21, 22, 23 etc. Reunindo os números naturais e esses números negativos, temos o conjunto dos números inteiros, indicado pelo símbolo Z, originário da palavra Zahl, que em alemão significa número.  = {..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ...} 12

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 1 a 6 da seção Pensando em casa.

1. Vamos mostrar o esquema do relevo de uma

certa região:

serra

200 m

4. O termômetro marcava 5 graus. A tempera-

planície costeira praia

5. O senhor Dis Traído tinha R$ 350,00 no banco

e deu dois cheques, cada um de R$ 200,00. O senhor Gastão tinha a mesma quantia no banco, e deu dois cheques, cada um de R$ 175,00. O senhor Dis Traído ficou com saldo positivo, negativo ou nulo? E o senhor Gastão? Senhor Dis Traído: saldo negativo Indique esses dois saldos. (2R$ 50,00);

CIBELE QUEIROZ

depressão pantanosa plataforma continental

tura desceu 8 graus e passou a 23 graus. Isso pode ser representado matematicamente assim: 5 2 8 5 23. Utilize esse exemplo para efetuar as seguintes subtrações: a) 7 2 15 28 c) 12 2 20 28 b) 6 2 19 213 d) 16 2 19 23

A diferença de altitude entre duas linhas tracejadas seguidas é de 200 m. A altitude do mar é 0 m. Acima do mar, as altitudes são dadas por números positivos e, abaixo, por números negativos. Diga qual é a altitude aproximada: a) da serra; 1600 m b) da planície costeira; 1200 m c) da depressão pantanosa; 2100 m d) da plataforma continental. 2200 m

2. São Joaquim é uma cidade brasileira com inver-

6. Veja o quadro:

Senhor Gastão: saldo nulo.

Diferenças de horários em relação a Brasília Japão: 112 horas

Taiti: 27 horas

México: 23 horas

Venezuela: 21 hora

Japão: 3 horas (do dia 24) México: 12 horas

Taiti: 8 horas

Venezuela: 14 horas

Se em Brasília os relógios marcam 15 horas do dia 23 de maio, que horas marcam os relógios nos outros locais citados?

7. Em certo jogo, há cartas com bolinhas verdes

e cartas com bolinhas vermelhas. Cada bolinha verde é um ponto positivo; cada bolinha vermelha é um ponto negativo. Um ponto positivo e um ponto negativo se anulam. Veja as cartas dos quatro jogadores:

nos muito frios. Essa cidade ficou um dia inteiro com a temperatura de 2 graus. À noite, a temperatura passou a ser 25 graus. Nessa mudança, a temperatura subiu ou desceu? Quantos graus? Desceu 7 graus.

3. Um termômetro está marcando a temperatura

de 15 graus.

EKLER/ SHUTTERSTOCK

–40 –30 –20 –10

0

10

20

30

40

Diva

50

Diga quanto ele marcará se a temperatura: a) subir 7 graus; 112 graus b) descer 5 graus; 0 grau c) descer 8 graus; 23 graus d) descer 12 graus; 27 graus e) subir 3 graus e depois descer 8 graus; 0 grau f) descer 5 graus e depois ainda descer 7 graus; 27 graus g) descer 9 graus e depois ainda descer 8 graus; 212 graus h) descer 7 graus, subir 2 graus e descer 11 graus. 211 graus

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Cláudia

Carlos

Denílson

Cláudia tem um total de 2 pontos negativos, ou seja, 22 pontos. Determine o total de pontos dos outros jogadores. Diva: 14; Carlos: 26; Denílson: 24

8. No jogo de cartas do exercício anterior, podem-

-se ver o 1o, o 2o, o 3o e o 4o colocados. Calculam-se os pontos de cada jogador: quem tiver mais pontos positivos tem a melhor classificação. Qual foi a classificação de cada um? Diva em 1o, Cláudia em 2o, Denílson em 3o e Carlos em 4o.

Números inteiros | capítulo 1

13


AÇÃO

sobre números positivos e números negativos

Subindo no tobogã Para esta atividade, devem ser formados grupos de três a cinco alunos. Serão necessários dois dados para cada grupo (um branco e um amarelo) e um peãozinho para cada jogador (pode ser um botão). O tabuleiro do jogo deve ser desenhado em uma folha de papel, usando a figura ao lado como modelo. O jogo começa com os peões na faixa zero. O objetivo é chegar ao topo do escorregador, mas, às vezes, as pessoas “pisam no tomate” e... caem fora do jogo. A regra é a seguinte: o dado branco indica quantas faixas o peão vai subir, e o dado amarelo, quantas faixas o peão vai descer. Por exemplo, se o jogador tirar

o peão desce duas faixas, ou seja: • se o peão estiver na faixa 0, vai para 22; • se o peão estiver na faixa 8, vai para 6. Abaixo de 210, o jogador está fora do jogo. Vence quem chegar primeiro ao topo do escorregador.

ESTÚDIO MIL

Observação: se não for possível conseguir dados em duas cores, combine com os alunos que a segunda jogada do dado vai indicar quantas faixas o peão vai descer.

14

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


2 A representação geométrica Comparação de números inteiros Existem termômetros que marcam temperaturas positivas, negativas e nulas. Quanto mais alta é a temperatura, maior é o número que a indica. Por exemplo, 10  graus é uma temperatura mais alta que 8 graus. A isso corresponde a seguinte comparação entre os números inteiros 10 e 8:

7

7

5

5

3

3

6

6

4

4

2

2

5

5

3

3

1

1

4

4

2

2

0

0

3

3

1

1

–1

–1

2

2

0

0

–2

–2

1

1

–1

–1

–3

–3

0

0

–2

–2

–4

–4

–1

–1

–3

–3

–5

–5

Veja outros exemplos:

0<3

23 < 1

–1

–1

–7

–2

–2

–3

–3

–4

0 > 24

–7

–15

–15

–8

–8

–16

–16

–9

–9

–17

–17

–4

–10

–10

–18

–18

–5

–5

–11

–11

–19

–19

–6

–6

–12

–12

–20

–20

–7

–7

–13

–13

–21

–21

–8

–8

–14

–14

–22

–22

–9

–9

–15

–15

–23

–23

Preste atenção na comparação de dois números inteiros negativos:

28 < 25

ILUSTRAÇÕES: EKLER/ SHUTTERSTOCK

10 > 8

211 < 210

219 > 221

Representação geométrica Podemos representar os números inteiros numa reta. Note que a distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma: 26

25

24

23

22

21

0

1

2

3

4

5

6

Para comparar dois números inteiros, podemos olhar a representação deles numa reta: o ponto que estiver mais à direita representa o número maior. Por exemplo: 26

25

24

23

22

21

0

1

2

3

4

5

6

24 < 2 ou 2 > 24 Observe que, na sequência crescente dos números naturais, o menor número é o zero. No entanto, na sequência crescente dos números inteiros, não há um maior número nem um menor. Como você já sabe,  e  são conjuntos infinitos. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

15


Oposto de um número inteiro Dois números inteiros são opostos quando são representados por pontos que estão à mesma distância do zero, mas de lados opostos na reta. 3 e 23 são opostos

distância 3

25

24

23

22

distância 3

0

21

1

2

3

4

5

Quando dois números inteiros são opostos, também dizemos que eles são simétricos. Por exemplo: •• O oposto ou simétrico de 7 é 27. •• O simétrico de 27 é 7.

Módulo de um número inteiro Chamamos de módulo de um número inteiro a distância desse número até o zero na reta dos inteiros. Por exemplo, para encontrarmos o módulo de 24, procuramos na figura a distância de 24 a 0:

distância 4

25

24

23

22

0

21

1

2

3

4

5

Então, o módulo de 24 é igual a 4: |24| 5 4 Veja outros exemplos: •• |13| 5 3 •• |27| 5 7 •• |0| 5 0 O módulo também é chamado de valor absoluto. Por exemplo: •• O valor absoluto de 25 é igual a 5. •• O valor absoluto de 8 é igual a 8.

Você sabia que... ... os números negativos são muito usados em nosso dia a dia? Mas saiba que nem sempre foi assim. Houve um tempo em que não se considerava existir tal tipo de número. 16

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 7 a 14 da seção Pensando em casa.

1. A altitude 150 metros é maior que a 148 me-

4. Vamos representar os números inteiros por pon-

tros. A esse fato corresponde esta comparação de números inteiros:

tos marcados em uma reta. Diga qual é o número inteiro representado pelo ponto que vem imediatamente: 1 000 a) à direita de 999; c) à esquerda de 999; 998 b) à direita de 2999; d) à esquerda de 2999.

150 > 148 50 m

2998

48 m

CIBELE QUEIROZ

Leia a frase abaixo e verifique se ela é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Resposta pessoal.

O valor absoluto do simétrico de um número inteiro é igual ao módulo de seu oposto.

Escreva agora as comparações de números inteiros correspondentes aos seguintes fatos: a) Uma temperatura de 22 graus é mais alta que uma temperatura de 212 graus. 22 > 212 –20

–10

0

10

20

30

40

–20

–10

0

10

20

30

40

6. O sucessor de 25 é 24.

EKLER/ SHUTTERSTOCK

O antecessor de 25 é 26. a) Dê o sucessor de 999, 2999 e 21. 1 000, 2998, 0 b) Dê o antecessor de 999, 2999 e 21. 998, 21 000, 22

7. Apresente os opostos de:

a) 5 25

–10

0

10

20

30

40

b) Uma–20 pessoa que tem no10banco um saldo ne–10 0 20 30 40 gativo de R$ 40,00 deve menos do que uma que tem um saldo negativo de R$ 400,00, pois quem tem 2R$ 40,00 está em melhor situação do que quem tem 2R$ 400,00. 240 > 2400

2. Nestas expressões, utilizamos os sinais > e <.

Quais delas são verdadeiras? a, b, e, g a) 5 < 7 e) 0 > 28 f) 0 < 28 b) 25 < 7 c) 25 < 27 g) 28 < 27 d) 5 < 27 h) 28 > 27

b) 230

30

8. Apresente os módulos de:

a) 8

–20

21 000

5. Verdadeira ou falsa?

b) 223

8

23

9. Veja no gráfico as temperaturas mínimas de

4 cidades em um mês de dezembro. Depois, responda às questões.

Temperaturas mínimas Temperatura (°C) 20 15 10 5

25

B A

D C

Cidade

210

3. Escreva na ordem crescente os números:

215

29, 25, 21, 0, 1, 5, 9

220

9, _9, 5, _5, 1, _1, 0

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

CHUDO-YUDO/ SHUTTERSTOCK

Fonte: Dados fictícios.

a) Qual cidade apresentou menor temperatura? Qual era a temperatura? D; 220 °C b) Duas cidades apresentaram duas temperaturas iguais em módulo, mas seguramente em uma delas estava muito mais frio que em outra. Quais eram essas cidades? Qual a diferença entre as temperaturas? B e C; 30 °C Números inteiros | capítulo 1

17


10. Quais são os números inteiros que têm módulo

menor que 2? 21, 0 e 1

a) A quantos quilômetros da cidade fica o clube? 4

11. Uma estrada de ferro ligava a cidade à mina de

b) Em que quilômetro da estrada fica o clube?

ouro. Depois, essa estrada de ferro foi aumentada, ligando a cidade à fábrica. Para não mudar a quilometragem da estrada velha, no trecho novo foram usados números negativos. Veja:

No quilômetro 24

c) Um trabalhador disse à sua mulher que estaria na estrada a 4 km da cidade. Há dois lugares onde ela deve procurá-lo. Quais são?

Na central telefônica e no clube.

central mina telefônica

d) Qual é a distância do quilômetro 3 ao quilômetro 26? 9 quilômetros

fábrica clube cidade 26 25 24 23 22 21 (Cada divisão indica 1 km.)

0

1

2

3

4

5

6

Agora, responda:

7

Desafios e surpresas Dois números inteiros a e b são assim: o módulo de a é menor que o de b; b é um número negativo. a) Copie a reta abaixo no seu caderno e indique as possíveis localizações do número a.

a está na faixa colorida

b

0

b 0 2b

b) Quem é maior: a ou b? a é maior.

WITR/ ISTOCKPHOTO

3 Os números também têm sua história Você já conhece vários tipos de números: •• naturais: 0, 1, 2, 3, ... •• racionais (que são as frações e os decimais com vírgula); •• inteiros (..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...). Será que você sabe por que esses números foram criados? Os números naturais surgiram da necessidade de contar, ou seja, para responder à pergunta “Quantos?”. Por exemplo: “Quantos alunos tem na classe?” ou “Quantos irmãos você tem?”. Nessas perguntas, a resposta não poderia ser uma fração ou um 1 número misto como 3 . 2 Por outro lado, as frações surgiram da necessidade de medir, ou seja, para responder a perguntas como: “Quanto mede?”, “Quanto pesa?”. Antes mesmo do ano 2000 a.C., o povo egípcio já fazia contagens e medidas, utilizando um sistema de numeração próprio. Foto das pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos, no Egito.

18

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Veja alguns números representados no antigo sistema egípcio:

6

12

36

120

1 4

1 11

ACERVO DO MUSEU NACIONAL DE BELAS ARTES, RIO DE JANEIRO. FONTE: REVISTA DE HISTÓRIA DA BIBLIOTECA NACIONAL, Nº 55, ABRIL 2010.

Observe como eram representadas as unidades, dezenas e centenas. Além dos egípcios, outros povos também criaram sistemas de numeração para representar números naturais e frações. E os negativos? Já haviam surgido? No decorrer da história antiga, os negativos haviam aparecido algumas vezes, um pouco por acaso. Quase sempre estavam relacionados a dívidas e prejuízos. Por exemplo, uma pessoa dispõe de 20 moedas, mas deve 25; se pagar a dívida, ainda ficará devendo 5 e, por isso, pode-se dizer que, na verdade, essa pessoa tem 25 moedas. Sabe-se que, por volta do século III a.C., os chineses já sabiam calcular com números negativos. O matemático grego Diofanto, por volta do século III d.C., também se referiu a esses números. E o matemático indiano Brahmagupta, no século VI d.C., interpretava números positivos como pertences e números negativos como dívidas. Na Europa do século XVI, as pessoas voltaram a se interessar pelos negativos. Essa foi uma época de grandes transformações, entre as quais está a chegada dos europeus à América, incluindo o Brasil. Na representação de números, os europeus começavam a usar o sistema que usamos hoje, com os algarismos inventados na Índia, no século I d.C.

Descobrimento do Brasil (1887), óleo sobre tela de Aurélio de Figueiredo, Museu Nacional de Belas Artes, Rio de Janeiro (RJ).

Embora muitos dissessem que números negativos “nem poderiam existir”, aos poucos percebeu-se que tinham utilidade. Por exemplo, tornaram-se úteis na indicação de temperaturas. Como estabeleceu-se que 0 °C corresponderia à temperatura de congelamento da água, não havia números para indicar temperaturas mais baixas, a não ser que fossem usados números negativos. Por isso, não se consegue determinar o momento em que os negativos foram incluídos entre os números, mas é certo que, após 1700, eles já eram muito usados. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

19


Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 15 a 21 da seção Pensando em casa.

1. Veja abaixo três maneiras diferentes de repre-

sentar o número dezessete:

3. No antigo sistema egípcio, esses sinais repre-

sentavam uma fração.

XVII

sistema egípcio 2000 a.C.

sistema romano 50 d.C.

17

sistema indo-arábico 1500 d.C.

a) Qual é o sistema de numeração que usamos atualmente? Indo-arábico b) Quantos anos decorreram entre a época do sistema egípcio e a adoção do sistema atual? 3 500 anos

2. Veja, na página 19, os números representa-

dos no antigo sistema egípcio e represente na forma que usamos atualmente os números abaixo: 102 a) b)  50

Qual é essa fração?

1 10

4. Se você tivesse que criar números para indicar

dívidas ou prejuízos, como faria?

Resposta pessoal.

5. Há quantos anos, aproximadamente, os núme-

ros negativos vêm sendo muito usados pelos matemáticos? Cerca de 300 anos

6. Ao usar números para indicar posições, o costu-

me é usar o zero como início. Por exemplo, em um prédio, 0 indica o andar térreo e, subindo, têm-se os andares 1, 2, 3 etc. Se o prédio tem três andares de estacionamento abaixo do térreo, com que números se deve indicá-los? 21, 22 e 23

Desafios e surpresas Num campeonato de futebol, a equipe vencedora marcou 37 gols e sofreu 12. Teve um saldo positivo de 25 gols (37 2 12 5 25).

O último colocado teve um saldo de gols negativo de 223 gols e marcou somente 7 gols. a) Quantos gols sofreu o último colocado? 30 gols b) Se seu saldo de gols fosse de 232, quantos gols ele teria sofrido? 39 gols

ROBERT J. BEYERS II/SHUTTERSTOCK

20

capítulo 1 | Números inteiros

Foto de partida de futebol.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


4 Adição de inteiros A adição é uma operação utilizada para juntar ou acrescentar quantidades. Na adição de números inteiros, juntaremos quantidades positivas e negativas. Para facilitar, vamos usar desenhos. Uma bolinha verde (d) será uma unidade positiva e uma bolinha vermelha (d) será uma unidade negativa. Juntas, uma unidade positiva e uma unidade negativa se anulam.

Estou pior que você!

ESTÚDIO MIL

Estou a zero...

Exemplos 1. Vamos somar 23 com 1. Lembre-se de que uma unidade positiva e uma negativa se

anulam.

23 1

ddd d

(23) 1 1

dddd

(23) 1 1 5 22

2. Vamos somar 23 com 22.

23 22

ddd dd

(23) 1 (22)

ddddd

(23) 1 (22) 5 25

3. Vamos somar 23 com 5.

23 5

ddd ddddd

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

(23) 1 5

dddddddd

(23) 1 5 5 2

Números inteiros | capítulo 1

21


Aplicações da adição de inteiros É simples adicionar números inteiros. Mas em que situações essas adições são utilizadas? As adições de inteiros são úteis em várias situações, como no comércio. Isso porque, juntando lucros e prejuízos, estamos somando inteiros positivos e negativos. Exemplo

Vamos examinar a tabela de lucros e prejuízos dos vários setores do Supermercado Custoso S.A., em dois semestres:

Lucro e prejuízo (em mil reais) Setor alimentos

ESTÚDIO MIL

roupas

1o semestre

2o semestre

50

70

30

230

eletrodomésticos

250

80

brinquedos

230

10

utilidades

230

220 Fonte: Dados fictícios.

Vamos verificar se cada setor teve lucro ou prejuízo durante o ano: No setor de alimentos, devemos somar lucros de 50 e 70 (mil reais). Esse cálculo pode ser feito usando somente números naturais: 50 1 70 5 120 No setor de roupas, o lucro e o prejuízo se compensam: 30 1 (230) 5 0 No setor de eletrodomésticos, houve um prejuízo (250 mil reais) e um lucro (80 mil reais). O valor absoluto do lucro é maior. Portanto, no total, houve lucro de 30 mil reais: (250) 1 80 5 30 No setor de brinquedos, o lucro do 2o semestre compensa só uma parte do prejuízo do 1o semestre. No final, houve prejuízo: (230) 1 10 5 220 Finalmente, o setor de utilidades. Juntando os prejuízos do 1o e do 2o semestre, devemos obter um prejuízo maior ainda: (230) 1 (220) 5 250

22

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Para encerrar, vamos somar os lucros e prejuízos desses setores: alimentos

120

roupas

eletrodomésticos

brinquedos

utilidades

1 0 1 30 1 (2 20)

1 (2 50)

5

150 1 (2 20)

1 (2 50)

5

130 1 (2 50)

5

ESTÚDIO MIL

80

Essa soma nos permite ver que, mesmo com certos setores pouco lucrativos, o Supermercado Custoso S.A. vai bem: no ano, teve um lucro de 80 mil reais.

Lucro e prejuízo (em mil reais) 1o semestre

alimentos roupas eletrodomésticos

2o semestre

Ano

50

70

120

30

230

0

250

80

30

brinquedos

230

10

220

utilidades

230

220

250

Total

ESTÚDIO MIL

Setor

80 Fonte: Dados fictícios.

Veja que é possível achar a soma de números inteiros com processos simples. Basta pensar em unidades positivas ou negativas (bolas verdes ou vermelhas) ou em lucros e prejuízos.

Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 22 a 28 da seção Pensando em casa.

1. A bolinha verde (d) representa uma unidade

positiva e a bolinha vermelha (d), uma unidade negativa. Uma bolinha verde e uma vermelha sempre se anulam. Com essas regras, escreva a adição de inteiros (e o seu resultado) que corresponde a: a) juntar d d d com d d d;

cado Custoso S.A. (veja as páginas 22 e 23), que medida tomaria para aumentar seu lucro?

Resposta pessoal. Resposta provável: fechar os setores de utilidades e brinquedos.

3. Quando, em uma adição, a primeira parcela é

(23) 1 3 5 0

b) juntar d d d d com d d d d d d; (24) 1 6 5 2 4 1 (28) 5 24

c) juntar d d d d com d d d d d d d d; d) juntar d d d com d d d d. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2. Se você fosse o dono ou a dona do Supermer-

(23) 1 (24) 5 27

negativa, pode-se escrevê-la com ou sem parênteses. Por exemplo: •• (26) 1 2 5 24 equivale a 26 1 2 5 24 •• (25) 1 (23) 5 28 equivale a 25 1 (23) 5 28 Assim, efetue: a) 22 1 3 1 210 e) 22 1 2 0 i) 27 1 (218) 225 b) 26 1 (24) f) 22 1 (22) 24 j) 231 1 6 225 c) 28 1 5 23 g) 26 1 13 7 3 d) 28 1 11 h) 212 1 (28) 220 Números inteiros | capítulo 1

23


4. Na cidade de Passo Fundo (RS), faz muito frio

b) Uma fábrica pegou fogo. Seus donos tiveram um prejuízo de 70 mil reais. Além de tudo, naquele mês a fábrica ainda teve prejuízo nas vendas: 7 mil reais. Qual foi o prejuízo total do mês? (270 000) 1 (27 000) 5 277 000 WILLIAM ATTARD MCCARTHY/DREAMSTIME.COM

no inverno. Num determinado dia, às 6 horas da manhã, um termômetro marcava a temperatura de 26 °C. Às 10 horas, a temperatura havia subido 7 graus e, dessa hora até as 5 da tarde, baixou 4 graus. Qual era a temperatura às 5 da tarde?

DIOGO ZANATTA/AGÊNCIA RBS

23 °C

Foto da cidade de Passo Fundo (RS).

Foto de incêndio em fábrica.

8. Cada sentença abaixo corresponde a uma adi-

ção de números positivos ou negativos. Escreva essas adições.

5. Se lhe perguntassem: “Quais são dois números

inteiros cuja soma é 3?”, você poderia achar a pergunta simples e responder: “Os números são 2 e 1”. Mas, pensando nos números inteiros, a pergunta tem infinitas respostas. Escreva pelo menos cinco soluções diferentes. Resposta pessoal.

Vale lembrar: receita é um valor que é recebido ou que se arrecada (vamos considerar que se trata de um valor positivo); despesa é um valor gasto (vamos considerar que se trata de um valor negativo). a) Duas receitas, uma de 14 reais e outra de 16 reais, equivalem a uma receita de 30 reais. 114 1 16 5 130 b) Duas despesas, uma de 11 reais e outra de 9 reais, equivalem a uma despesa de 20 reais. 211 2 9 5 220 c) Uma receita de 25 reais seguida de uma despesa de 15 reais equivale a uma receita de 10 reais. 125 2 15 5 110 d) Uma despesa de 26 reais seguida de uma receita de 15 reais equivale a uma despesa de 11 reais. 226 1 15 5 211

Respostas possíveis: 15 2 2; 213 1 16; 21 1 4; 28 1 11; 115 2 12 etc.

6. Agora o desafio é outro: você terá a soma e uma

das parcelas. Encontre a parcela que falta. a) A soma é 7 e uma das parcelas é 5. 2 b) A soma é 7 e uma das parcelas é 10. 23 c) A soma é 7 e uma das parcelas é 25. 12 d) A soma é 27 e uma das parcelas é 5. 212

7. Considerando que lucros são números positivos

e prejuízos são números negativos, resolva cada problema a seguir escrevendo a adição adequada e o seu resultado: a) No sábado, o pipoqueiro teve um prejuízo de 30 reais, mas no domingo teve um lucro de 70. Esse fim de semana deu lucro ou prejuízo? De quanto? Lucro, (230) 1 70 5 140

9. Em cada uma das seguintes adições, encontre,

por tentativas, o valor da parcela desconhecida representada por x. f) 11 1 x 5 22 213 a) 11 1 x 5 0 211 b) 215 1 x 5 0 15 g) x 1 3 5 1 22 h) x 1 5 5 21 26 c) 27 1 x 5 214 27 d) 11 1 x 5 12 1 i) x 1 (23) 5 2 5 e) 11 1 x 5 10 21 j) x 1 (23) 5 25 22

10. Primeiro, calcule o valor da expressão:

40 2 60 2 20 1 50 2 30 1 60

ESTÚDIO MIL

24

capítulo 1 | Números inteiros

Diga em quanto aumentaria ou diminuiria o valor da expressão acima se retirássemos dela o número: Aumentaria 60. a) 260 c) 220 Aumentaria 20. b) 150 d) 140 Diminuiria 40. Diminuiria 50.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Desafios e surpresas CHUDO-YUDO/SHUTTERSTOCK

1. Somando todos os inteiros de 22 até 3, temos a seguinte adição de 6 parcelas:

Descubra o resultado da adição: a) de 200 parcelas de todos os inteiros de 299 até 100; 100 b) de 201 parcelas de todos os inteiros de 2100 até 100; 0 c) de 201 parcelas de todos os inteiros de 298 até 102; 402 d) de 201 parcelas de todos os inteiros de 2103 até 97.

_2 + (_1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3

2603

2. Num quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal é

sempre a mesma:

diagonal

2

25

j

j

21

j

22

3

j

linha

2

25

0

23

21

1

22

3

24

coluna

Descubra essa soma. Depois, complete o quadrado, substituindo o símbolo j pelos números adequados. 23

3. O cálculo mental reserva surpresas bem interessantes. Veja esse exemplo:

Você vai calcular mentalmente a soma de uma adição de 5 parcelas de números com 4 algarismos. Claro que há um pequeno “truque”. Veja como proceder:

Peça a uma pessoa que diga um número natural de 4 algarismos. Suponhamos 4 832. Abaixo, você coloca a segunda parcela: o que falta para 9 999.

pessoa

4 832

você

5 167

Peça à pessoa que dê outro número. Suponhamos 9 853. Você repete o procedimento. Peça à pessoa que complete com a quinta parcela. Suponhamos 8 271. A soma fica assim: pessoa

4 832

você

5 167

pessoa

9 853 1

você

0 146

pessoa

8 271

Agora você escreve a soma bem rapidinho. Sabe como? Acontece que a soma é o último número dado, menos 2, mais 20 000.

No caso, a soma é 28 269 (8 271 2 2 5 8 269; 8 269 1 20 000 5 28 269).

A regra para escrever o último número é sempre a mesma, percebeu por quê?

Discuta com seus colegas sua conclusão e brinquem com outros exemplos para confirmar. Gostaram da brincadeira? Praticar o cálculo mental é sempre bom. A soma das duas primeiras parcelas é 10 000 21. A soma das duas segundas

parcelas é 10 000 2 1. Logo, a soma total será a última parcela 1(10 000 2 1) ∙ 2 ou, ainda, a última parcela 22 1 20 000.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

25


5 Subtração de inteiros Quando queremos tirar uma quantidade de outra, efetuamos uma subtração. Com essa ideia, vamos representar algumas subtrações de inteiros usando desenhos. Continuaremos considerando que uma bolinha verde representa uma unidade positiva; uma bolinha vermelha representa uma unidade negativa; uma unidade positiva e uma negativa se anulam. Exemplos 1. Vamos efetuar 7 2 2.

De 7 bolinhas verdes, vamos tirar 2:

7 2

ddddddd dd

722

ddddddd

72255

2. Vamos efetuar (24) 2 (21).

Nesse caso, de 4 bolinhas vermelhas, tiramos 1: 24 21

dddd d

(24) 2 (21)

dddd

(24) 2 (21) 5 23

Agora, atenção! Nos quadrinhos a seguir, o menino vai efetuar 3 2 (22). Daqui, preciso retirar 2 bolinhas vermelhas. Como?

Tenho 3 bolinhas verdes.

Agora posso retirar as 2 bolinhas vermelhas.

3 2 (22) 5 5!

ESTÚDIO MIL

Juntando 0 com 3, continuo com 3!

Posso pedir 2 verdes e 2 vermelhas para o banqueiro. E o mesmo que pedir zero...

Exemplo

Vamos efetuar 22 2 1. Começamos com 2 bolinhas vermelhas: d d Daí precisamos subtrair 1, quer dizer, tirar 1 bolinha verde. Como? Acrescentando 1 verde e 1 vermelha, que juntas dão zero, continuamos com 2: dddd

Agora tiramos 1: d d d d 22 2 1 5 23 26

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Toda subtração pode ser transformada em adição Nas subtrações que acabamos de efetuar, você notou que: •• subtrair 2 é o mesmo que somar 22: 7 2 2 5 7 1 (22) 5 5 •• subtrair 21 é o mesmo que somar 1: (24) 2 (21) 5 (24) 1 1 5 23 •• subtrair 22 é o mesmo que somar 2: 3 2 (22) 5 3 1 2 5 5 •• subtrair 1 é o mesmo que somar 21: 22 2 1 5 22 1 (21) 5 23

Sendo a e b dois números inteiros quaisquer, efetuar a 2 b é adicionar a com o oposto de b. Exemplo

Sabemos que 5 2 (24) 5 5 1 4. Vamos comparar as duas expressões:

5 2 (24) 5 5 1 4 Vemos, assim, que 2(24) 5 1 4. Da mesma forma, tem-se: 2(23) 5 13; 2(227) 5 127, e assim por diante.

Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 29 a 41 da seção Pensando em casa.

1. a) Um matemático italiano chamado Girolamo

2194 2 (2276) 5 (82 anos)

Retrato de Eratóstenes (276 a.C.-194 a.C.). NÃO ESCREVA NO LIVRO.

2. Vamos representar a subtração 5 2 (21). Ini-

cialmente, desenhamos 5 bolinhas positivas; aí, acrescentamos 1 bolinha positiva e 1 negativa; finalmente, tiramos 1 bolinha negativa: ddddddd

IT/INTERFOTO/LATINSTOCK

Cardano foi um dos primeiros a estudar operações com números negativos. Cardano nasceu em 1501 e morreu em 1576. Quantos anos ele viveu? Indique e efetue a operação que responde a essa pergunta. 1576 2 1501 5 75 (anos) b) Um matemático grego cha­mado Eratóstenes estudou os números primos. Ele viveu muitos anos antes de Cristo: nasceu em 2276 e morreu em 2194. Quantos anos ele viveu? Indique e efetue a operação que responde a essa pergunta.

Então: 5 2 (21) 5 6

Dessa maneira, represente e obtenha os resultados de: a) 5 2 2 5 2 2 5 3

d) (21) 2 (23)

b) 5 2 (22) 5 2 (22) 5 7 e) 0 2 3 c) (21) 2 3

(21) 2 3 5 24

f) 4 2 5

(21) 2 (23) 5 2

0 2 3 5 23 4 2 5 5 21

Números inteiros | capítulo 1

27


3. A conta (15) 2 (27) pode ser escrita de forma

mais simples: 5 1 7.

8. Para encontrar a distância entre dois números

na reta dos inteiros, sempre podemos subtrair o menor do maior. Por exemplo:

Reescreva as próximas contas de forma mais simples, e depois encontre o resultado. a) (13) 2 (28) 3 1 8 5 11 b) (13) 2 (15) 3 2 5 5 22 c) 2 2 (26) 2 1 6 5 8 d) 4 1 (23) 4 2 3 5 1 e) 26 1 (25) 26 2 5 5 211 f) 22 1 (24) 22 2 4 5 26

4. Quando, numa subtração, o minuendo é negati-

vo, pode-se escrevê-lo entre parênteses ou não. Por exemplo:

2 12

15

16

17

18

22

21

0

3 26

25

24

23

(22) 2 (25) 5 3

(21) 2 (26) 5 5 equivale a 21 2 (26) 5 5 Assim, efetue: a) 25 2 7 212 b) 29 2 8 217 c) 210 2 21 231 d) 213 2 8 221 e) 25 2 (24) 21 f) 28 2 (211) 3 g) 211 2 (215) 4 h) 221 2 (28) 213

14

16 2 14 5 2

(26) 2 2 5 28 equivale a 26 2 2 5 28

13

Obtenha a distância entre: a) 370 e 228 142 b) 2450 e 2125 325 c) 278 e 78 156 d) 35 e 212 47

9. Existem edifícios com andares negativos!

5. É verdade que 2 [2 (217)] 5 217?

Assim: o andar 21 é o 1o abaixo do térreo; o 22 é o 2o abaixo do térreo... a) Quantos andares sobe uma pessoa que vai do andar 22 ao andar 12? 14 b) A resposta da pergunta anterior pode ser obtida com uma subtração envolvendo os números dos dois andares. Qual é essa subtração? 12 2 (22)

Sim

KONTUR-VID/ SHUTTERSTOCK

6. Nas expressões numéricas, primeiro efetuamos

os cálculos dentro dos parênteses e, depois, os cálculos dentro dos colchetes. Efetue: a) 7 2 (4 2 8) 11 b) 22 2 (213 1 8) 3 c) 1 2 [1 2 (2 2 2)] 0 d) 1 2 [1 2 (2 2 4)] 22 e) 0 2 [25 2 (27 2 10)] 212 f) 3 2 (7 2 8) 2 (5 2 10) 9

7. O senhor Silva tem cheque especial. Ele pode

retirar da sua conta mais do que possui no banco. Só que, assim, ele fica devendo ao banco. Nos casos a seguir, precisamos encontrar o saldo bancário do senhor Silva. Que operação devemos efetuar? Qual é o seu resultado? a) Ele tinha 7 500 e retirou 8 000.

7 500 2 8 000 5 2500

b) Ele tinha saldo de 22 500 e ainda retirou 2 000. 22 500 2 2 000 5 24 500

saber quanto ela aumentou, efetuamos uma subtração:

6 2 (23) 5 9 ⇒ a temperatura subiu 9 graus.

Indique a subtração (sem efetuar) com que se calcula o aumento da temperatura quando ela:

c) O saldo era nulo e ele retirou 2 000.

a) passa de 3 para 7 graus; 7 2 3

d) O saldo era 21 500 e ele depositou 2 000.

b) passa de 27 para 26 graus. 26 2 (27)

0 2 2 000 5 22 000

21 500 1 2 000 5 500

28

10. A temperatura passou de 23 para 6 graus. Para

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


11. Qual é a diferença de altitude entre o avião e o

12. A temperatura na Lua durante o dia varia entre ALFREDO CERRA/SHUTTERSTOCK

altitude + 1200

1130 graus e 2170 graus.

CIBELE QUEIROZ

submarino? Indique a operação a ser efetuada e, depois, efetue-a. 1 200 2 (2300) 5 1 500 (metros)

Foto da Lua. nível do mar

altitude – 300

A diferença entre essas temperaturas é calculada com uma subtração. Indique a subtração e, depois, efetue. 130 2 (2170) 5 300 (graus)

AÇÃO

sobre adição e subtração de inteiros

O mágico e a ajudante Para iniciar, vamos confeccionar várias notas de 1 000 pilas em papel branco e em papel verde. Cada nota branca vale 1 000 pilas e cada nota verde é uma conta a ser paga no valor de 1 000 pilas.

(24 000) 1 (15 000)!

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

(24 000)!

ILUSTRAÇÕES: ESTÚDIO MIL

Os pedidos ao mágico serão ditados pela classe. Eles serão sempre uma adição ou uma subtração, como: (22 000) 1 3 000, (12 000) 2 (23 000) etc. Adição Vamos supor que o pedido seja (24 000) 1 (15 000). A ajudante pega 4 notas verdes (24 000) e, mostrando-as ao público, entrega-as ao mágico, que as coloca na cartola. Por se tratar de uma adição, a ajudante passará mais 5 notas brancas (15 000) ao mágico.

(15 000)!

Números inteiros | capítulo 1

29


Agora, é o mágico quem vai fazer a conta: pega 4 notas brancas e 4 verdes da cartola e as entrega a qualquer aluno, dizendo: — Tome: zero pila! Depois, mostra o resultado que ficou na cartola: 1 000.

Tome: zero pila!

Vejam: 1 000!

Por favor, me dê 0 pila.

30

Vejam! Agora vou retirar 23 000!

Querem ver o resultado dessa subtração? 5 000!

Aqui estão 3 notas brancas e 3 verdes!

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

ILUSTRAÇÕES: ESTÚDIO MIL

Subtração Vamos supor que o pedido seja a subtração (12 000) 2 (23 000). O mágico recebe da ajudante 2 notas brancas (12 000), que coloca na cartola. Por ser uma subtração, o mágico deve retirar 3 notas verdes (23 000). Como não há notas verdes na cartola, o mágico pede à ajudante: ��� Por favor, me dê zero pila. — Em notas de quê? — pergunta a ajudante. — Três notas brancas e três verdes. O mágico coloca as 6 notas na cartola e diz: — Lembram o que foi pedido? Subtrair menos 3 000... Pois não! Esse pedido é uma ordem!


6 Adição e subtração: relações

e propriedades

Relações entre adição e subtração No conjunto dos números inteiros, a adição e a subtração continuam sendo operações inversas, como eram no conjunto dos números naturais. Por exemplo, somar 2 e subtrair 2 são operações inversas, uma “desfaz” o que a outra “faz”. Veja: 27 1 2 5 25 e, voltando, 25 2 2 5 27, conforme o esquema abaixo. 12

28

27

26

25

24

22

Outra relação entre as duas operações é o fato de que subtrair um número equivale a somar seu oposto. Por exemplo: •• subtrair 3 é o mesmo que somar 23; assim, 2 2 3 equivale a 2 1 (23); •• subtrair 24 é o mesmo que somar 4; assim, 5 2 (24) 5 5 1 4 5 9. Isso nos mostra que toda subtração é apenas um tipo de adição. É como se só tivéssemos adições. Por isso, uma sequência de adições e subtrações é chamada adição algébrica. Uma adição algébrica é uma expressão numérica formada por adições e subtrações.

Efetuando adições algébricas Vamos ver uma maneira prática de efetuar adições algébricas. Exemplos 1. Vamos efetuar 7 1 2 2 8 2 11 1 5 2 3 1 6 2 1.

Podemos efetuar os cálculos na ordem em que aparecem. Mas há uma maneira mais prática.

De início, pensamos em 7 somado com 2 somado com 28 somado com 211 etc. Isto é, só pensamos em adições. Por isso, usando as propriedades da adição, trocamos a ordem das parcelas, agrupando as parcelas positivas e as negativas. Assim: 7 1 2 1 5 1 6 1 28 2 11 2 3 2 1

parcelas positivas parcelas negativas

Depois, somamos separadamente as parcelas positivas e as negativas e terminamos o cálculo: 20 2 23 5 23 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

31


2. Em algumas expressões, podemos simplificar ainda mais o cálculo de uma adição

algébrica.

Havendo números opostos (ou simétricos), eles se anulam. Veja: 9 2 7 1 11 2 13 1 7 1 18 2 11 1 6 2 10

Começamos a adição pelas parcelas que se anulam: 9 2 7 1 11 2 13 1 7 1 18 2 11 1 6 2 10 5 5 9 1 18 1 6 2 13 2 10 5 33 2 23 5 10

Propriedades da adição Apresentamos um método prático para efetuar adições algébricas. Esse método funciona porque a adição tem as seguintes propriedades: •• comutativa: pode-se trocar a ordem das parcelas sem alterar a soma; •• associativa: pode-se associar as parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma; •• do elemento oposto: todo inteiro tem um oposto que somado com ele resulta em zero; •• do elemento neutro: adicionar zero não altera a soma. No primeiro exemplo, não fizemos as adições na ordem em que foram escritas. Usamos a propriedade comutativa (ao trocar a ordem das parcelas) e, depois, a associativa (ao somar as parcelas positivas de um lado e as negativas de outro). No segundo exemplo, usamos, além das anteriores, a propriedade de existência do elemento oposto (quando somamos primeiro as parcelas opostas, obtendo zeros) e do elemento neutro (os zeros foram ignorados).

Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 42 a 46 da seção Pensando em casa.

1. Usando a ideia de operação inversa, determine

o número inteiro que deve ser colocado no lugar de j. a) j 2 15 5 221 c) 236 1 j 5 26 62 26 b) j 1 15 5 221 236 d) 236 1 j 5 226 10

2. As duas adições algébricas a seguir têm o mes-

mo resultado:

No lugar de j, que sinal se deve colocar: 1 ou 2? lugar do primeiro quadradinho, deve-se colocar 2 e, E no lugar de j? No no lugar do segundo quadradinho, deve-se colocar 1.

3. Na passagem indicada com a seta, qual foi a

propriedade utilizada?

Associativa da adição em  .

[2261 1 433] 1 (2233) 5 5 2261 1 [433 1 (2233)] 5 5 2261 1 200 5 261 32

usando um segredo. Veja: T

H E

22 O 24

12 2 33 1 8 2 21 2 13 2 20 e j 33 2 21 2 13 2 20 j 12 1 8

4. Theo colocou os números na pirâmide mágica

capítulo 1 | Números inteiros

21

25

12 23

11 15

26 24

22

a) Qual o segredo na colocação dos números?

A soma de dois números é dada na linha acima.

b) Qual o valor dos números representados pelas letras? T 5 21, H 5 11, E 5 22, O 5 3 5. Efetue as adições algébricas:

a) 2 2 4 2 7 1 8 2 9 2 22 1 16 1 13 23 b) 213 1 5 1 22 2 7 1 15 1 18 2 27 2 10 3 c) 8 2 34 2 27 1 25 2 6 1 27 27 d) 115 2 321 1 73 1 321 2 228 2 116 1 220

64

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


7 Multiplicação de inteiros THE GRANGER COLLECTION, NEW YORK/GLOW IMAGES

Como já mencionamos, foi nos séculos XVI e XVII (1501-1700) que os números negativos foram mais divulgados. Mas, no início, alguns diziam que eram números absurdos. Por exemplo, o italiano Girolamo Cardano, apesar de ter estudado os negativos, dizia que eram “números falsos”. Aos poucos, os números negativos foram sendo aceitos e utilizados. As pessoas passaram a entender a adição e a subtração de números negativos. Por exemplo, se alguém tiver R$ 200,00 no banco e retirar R$ 300,00, logicamente ficará devendo Retrato de Girolamo Cardano (1501-1576). R$ 100,00. Perceba que 200 2 300 resulta em 2100. A multiplicação de negativos, porém, trouxe sérias dificuldades. Durante certo tempo, as pessoas não tinham certeza sobre o resultado de uma operação como (22) ∙ (23). De que maneira essa multiplicação poderia ser entendida?

Descobrindo os resultados na multiplicação Para multiplicar números inteiros, vamos partir dos conhecimentos sobre a multiplicação de números naturais. Sabemos que 3 ∙ 4 5 4 1 4 1 4 5 12. Usando essa ideia com os números negativos, teremos: 3 ∙ (24) 5 (24) 1 (24) 1 (24) 5 212 Assim, já sabemos o resultado dessa multiplicação de inteiros: 3 ∙ (24) 5 212 Sabemos que, em  , a multiplicação é comutativa. Por exemplo: 3 · 4 5 4 · 3. Em  , a multiplicação também é comutativa. Usando essa propriedade com números inteiros, teremos: 3 · (24) 5 (24) · 3. Assim, descobrimos o resultado de outra multiplicação de inteiros: (24) · 3 5 212 Já podemos perceber que o produto de dois números com sinais diferentes (um positivo e outro negativo) é um número negativo. E o produto de dois números negativos? Outra vez, vamos pensar em multiplicações já conhecidas: 4 · (23) 5 212 21 21 21 21

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3 · (23) 5 29 2 · (23) 5 26 1 · (23) 5 23 0 · (23) 5 0

13 13 13 13

Números inteiros | capítulo 1

33


Observe esse quadro: os primeiros fatores decrescem 1 unidade, ao passo que os produtos crescem 3 unidades. Se isso continuar valendo, o quadro prosseguirá assim: 4 · (23) 5 212 3 · (23) 5 29 2 · (23) 5 26 1 · (23) 5 23 diminui 1 unidade

0 · (23) 5 0

aumenta 3 unidades

(21) · (23) 5 3 (22) · (23) 5 6 (23) · (23) 5 9 Esse padrão nos dá a ideia de que a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo. Uma regra prática para efetuar a multiplicação de dois números inteiros quaisquer é esta: •• Multiplicamos os seus módulos. •• O produto será positivo se os dois fatores tiverem sinais iguais e será negativo se os dois fatores tiverem sinais diferentes. Exemplos 1. Vamos efetuar (22) · 5.

Módulo: 2 · 5 5 10

Sinais diferentes: (2) · (1) 5 (2)

(22) · 5 5 210

2. Vamos efetuar (24) · (25) · (26).

Módulo: 4 · 5 · 6 5 120 Sinais: (2) · (2) · (2) 5 (1) · (2) 5 (2)

(24) · (25) · (26) 5 2120

(1)

Observe que, quando dissemos “multiplicamos seus módulos”, poderíamos ter dito também “multiplicamos os números como se fossem positivos”. É o que realmente acontece. Ao terminar, verificamos se o produto será positivo ou negativo.

Propriedades da multiplicação Quando discutimos como multiplicar números inteiros, admitimos que essa operação seria comutativa, porque a multiplicação de números naturais é comutativa. De fato, a multiplicação de inteiros mantém todas as propriedades que a multiplicação de naturais tem. Portanto, além da comutativa, ela tem as propriedades: •• associativa: por exemplo, para efetuar 2 · (23) · 5, você pode começar pelo produto 2 · (23) ou (23) · 5 ou ainda 2 · 5; o resultado é 230 em todos os casos; •• da existência do elemento neutro: que é 1; •• distributiva: em relação à adição; por exemplo, 25 · (27 1 11) resulta em 25 · 4 5 220 ou também em 25 · (27) 1 (25) · 11 5 35 2 55 5 220. 34

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Você sabia que... ... em certas situações, temos sequências de cálculos envolvendo adições, subtrações e multiplicações? Nesse caso, as multiplicações devem ser feitas antes das adições e subtrações, como já acontecia com os números naturais. 27 1 2 · (25) 5 27 1 (210) 5 27 2 10 5 217

Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 47 a 52 da seção Pensando em casa.

1. Escreva as seguintes adições em forma de multi-

a) Qual é o total de pontos das minhas 8 cartas iniciais? 8 b) Qual passará a ser o total, se eu perder as 3 cartas de 5 pontos positivos? 27 c) Se, em vez de perder 3 cartas positivas, eu perdesse 3 cartas negativas, eu passaria a ter mais ou menos pontos do que tinha inicialmente? Mais d) Apresente a expressão numérica com que se calcula o total dos pontos que eu tinha inicialmente. 4 · 5 1 4 · (23) e) Apresente a expressão numérica com que se calcula o total dos pontos que eu passaria a ter se, das cartas iniciais, fossem retiradas 3 cartas de 3 pontos negativos. 4 · 5 1 4 · (23) 2 3 · (23) f) Qual é o valor da expressão numérica do item e? 17

plicação e dê os seus resultados: a) 17 1 17 1 17 3 · 17 5 51 b) 19 1 19 1 19 1 19 4 · 19 5 76 c) (218) 1 (218) 1 (218) 3 · (218) 5 254 d) (216) 1 (216) 1 (216) 1 (216) 1 (216) 5 · (216) 5 280 e) (217) 1 (217) 1 (217) 3 · (217) 5 251 f) (213) 1 (213) 1 (213) 1 (213) 4 · (213) 5 252

2. Observe estas multiplicações: 5 · j = -35 EDITORIA DE ARTE

4 · j = -28 3 · j = -21 2 · j = -14

a) Nelas, o símbolo j indica sempre um mesmo número. Qual? 27 b) Continuando a sequência, quais serão as quatro próximas multiplicações? Quais serão os seus resultados?

5. Se lhe perguntassem: “Quais são dois números

inteiros cuja soma é 3?”, muitas seriam as possibilidades: 27 1 10, 15 2 2, 24 1 7 etc. Mas se eu disser que, além disso, o produto deles é 24, então só há uma resposta. Qual é? 21 e 14

1 · (27) 5 27; 0 · (27) 5 0; (21) · (27) 5 7; (22) · (27) 5 14

3. Efetue:

a) (210) · (210) 100 b) (213) · (221) · 10 2 730 c) (213) · 10 · (210) 1 300 d) 3 · (272) · 0 0

e) (23) · 17 251 f ) 3 · (217) 251 g) (23) · (216) 48 h) 12 · (212) · 12 21 728

6. Uma empresa que dispunha de 500 000 reais de

4. Estou jogando com um baralho diferente. As car-

tas têm quadrados ou bolas. Cada quadrado azul é 1 ponto positivo e cada bola verde é 1 ponto negativo. Uma bola e um quadrado se anulam.

Durante o jogo, 3 dessas cartas serão retiradas pelos outros jogadores. Veja como vou indicar as perdas se forem retiradas 3 cartas de 5 pontos positivos: ESTÚDIO MIL

Estas são as minhas cartas!

(23) ? 5 5 215 Perco 3 cartas.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Cada uma de 15 pontos.

Fico com 15 pontos a menos.

saldo bancário, devido à crise financeira, passou a perder 50 000 reais por mês. Neste mês, a empresa ainda tem reservas de 300 000 reais. Se este é o mês zero, um mês atrás seria o 21, dois meses atrás seria o 22 etc. a) Usando os números 300 000, 24 e 250 000, escreva e calcule a expressão que dá as reservas da empresa no mês 24, isto é, quatro meses atrás. 300 000 1 [(24) · (250 000)] 5 500 000 b) Escreva e calcule uma expressão semelhante à anterior que dê as reservas da empresa no mês 4, isto é, daqui a quatro meses. 300 000 1 [(14) · (250 000)] 5 100 000

7. Existem 12 multiplicações de dois fatores intei-

ros que dão produto 12. Uma delas é 12 · 1. Outra é 1 · 12. Quais são as outras? 2 · 6, (22) · (26), 3 · 4, (23) · (24), 6 · 2, (26) · (22), 4 · 3, (24) · (23), (212) · (21), (21) · (212)

Números inteiros | capítulo 1

35


Desafios e surpresas

Um matemático do final do século XVI escreveu a seguinte história:

“Eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas. Fiquei 12 moedas mais rico”.

Com essa história, o matemático quis explicar que

ESTÚDIO MIL

(23) · (24) 5 112 Na história, o que representam os números 23, 24 e 112? Explique os sinais de cada um desses números.

O número 23 representa as três perdas. Por serem perdas, têm sinal de menos. O número 24 é o valor de cada dívida. Por ser valor de uma dívida, tem sinal de menos também. O produto (23) · (24) representa as três perdas das dívidas, cada uma de 4 moedas. Não pagando essas dívidas, a pessoa ficou com 12 moedas a mais. Daí resulta 112.

8 Divisão exata de inteiros Inicialmente, veja esta divisão de números naturais: 126

7

56

18

0

divisão exata

Essa é uma divisão exata, pois existe um número natural que, multiplicado por 7, dá 126. Esse número é 18. Com essa ideia, efetuamos divisões de números inteiros. Exemplos 1. Vamos efetuar (215) : 5. Procuramos o número inteiro que, multiplicado por 5, dá 215.

Como (23) · 5 5 215, temos:

(215) : 5 5 23 2. Vamos efetuar 24 : (26). Percebendo que (24) · (26) 5 24, concluímos:

24 : (26) 5 24 3. Vamos efetuar (240) : (24). Sabemos que 10 · (24) 5 240. Portanto:

(240) : (24) 5 10

Esses exemplos nos levam à seguinte regra prática para efetuar a divisão exata de dois números inteiros: •• Dividimos seus módulos. •• O quociente será positivo se o dividendo e o divisor tiverem sinais iguais e será negativo se o dividendo e o divisor tiverem sinais diferentes. 36

capítulo 1 | Números inteiros

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Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 53 a 55 da seção Pensando em casa.

1. Uma empresa que dispunha de 500 000 reais de

ID1974/SHUTTERSTOCK

Pense e responda

saldo bancário, devido a fatores climáticos, passou a perder 50 000 reais por mês. Após quantos meses o saldo da empresa ficará reduzido a 2200 000 reais? 14 meses

2. As letras A, B, C e D indicam números inteiros.

Descubra o valor de cada uma.

A 5 251; B 5 27; C 5 215; D 5 24

A : (217) 5 3

(290) : C 5 6

(212) ∙ B 5 84

Foto de região da Sibéria, Rússia.

D ∙ (219) 5 76

3. Qual é o número inteiro que dividido por 212

a) 11 2 100 : (210) 21 b) 213 1 (2800) : 80 223 c) 5 2 (24 2 9) : (213) 4 d) [(7 2 2 ∙ 14) : (221) 2 (5 2 2)] : 2 21 e) [4 2 2 ∙ (3 2 7)] : (22) 2 5 211 f) 1 2 [7 2 (4 2 3 ∙ 2) ∙ (21 2 1)] ∙ 5214

4. Você já deve ter ouvido falar que a Sibéria, na

Rússia, é uma das regiões mais geladas do mundo. Veja a temperatura média, em °C, de uma cidade siberiana na primeira semana de janeiro de 2015: 1

2

Temperatura média (°C)

25

26

3

4

5

6

216 °C

5. Calcule o valor das expressões seguintes:

tem como quociente: 23 36 a) 21 d) 12 e) 27 84 b) 1 212 c) 0 0 f) 15 2180

Dia

Qual foi a temperatura média nessa semana?

6. A divisão x : y é exata, sendo que x e y represen-

tam dois números inteiros. Verifique se o quociente da divisão é positivo, negativo ou nulo quando: a) x > 0 e y > 0 Positivo c) x < 0 e y < 0 Positivo b) x 5 0 e y < 0 Nulo d) x < 0 e y > 0 Negativo

7

212 218 220 224 227

Desafios e surpresas 1. Conheça os quadrados mágicos multiplicativos. Neles, multiplicando-se os três números de qualquer

linha, coluna ou diagonal, o produto é sempre o mesmo. a) No quadrado mágico multiplicativo abaixo, qual é o produto mágico?

b) Preencha o quadrado mágico multiplicativo abaixo.

O produto mágico é 21 000.

220 21 250

212 21

225 210 24

j 29

22 2100 25

j 2

6 j 236

j 18

j 24

23

c) Complete mais este quadrado mágico multiplicativo. O produto mágico é 24 096. 2 j

j

j

256

28

j

j

64

216

4

j

1

128

232

2. Encontre os valores dos números inteiros a, b e c nas sentenças:

a) [(256 : 16) : 2] : a 5 22

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24

b) [(256 : b) : 4] : 2 5 22 216

c) [(256 : 8) : c] : 4 5 22

24

Números inteiros | capítulo 1

37


9 Potenciação e raiz quadrada Potenciação As potências de números inteiros são definidas da mesma maneira que as potências de números naturais. Para quaisquer números inteiros a e n, com n > 1, define-se: an é o produto de n fatores iguais a a. expoente potência

an base

an é a potência; sua base é a e seu expoente é n Exemplos 1. (22)3 5 (22) · (22) · (22)

Logo, (22)3 5 28.

2. (25)4 5 (25) · (25) · (25) · (25)

Logo, (25)4 5 625. ESTÚDIO MIL

Veja agora as potências de expoente 1: Para todo número inteiro a, define-se: a1 5 a Quanto às potências com expoente zero, comecemos com um exemplo: 34 5 81 ;3

33 5 27 O expoente diminui uma unidade...

;3

32 5 9 ;3

... a potência fica dividida por 3.

31 5 3 ;3

30 5 j Esse quadro sugere qual deve ser o resultado de 30. Observe que, de cima para baixo, segundo um padrão, os resultados vão sendo divididos por 3. Continuando assim, teremos 30 5 1. 38

capítulo 1 | Números inteiros

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Esse raciocínio pode ser feito com qualquer outra base da potência, exceto zero. Por exemplo, neste outro quadro a base é 25. Observe o padrão: (25)4 5 625 ;(25)

(25)3 5 2125 ;(25)

O expoente diminui uma unidade...

(25)2 5 25 ;(25)

... a potência fica dividida por 25.

(25)1 5 25 ;(25)

(25)0 5 j Os resultados vão sendo divididos por 25. Continuando assim, teremos (25)0 5 1. Para todo número inteiro a, com a ≠ 0, define-se: a0 5 1

Você sabia que... • ... quando a base de uma potência é um número negativo, o resultado pode ser positivo ou negativo? (22)3 5 28 e (25)4 5 625 • ... se o expoente é 2 (ou seja, a base está elevada ao quadrado), o resultado nunca é negativo? O mesmo ocorre com outros expoentes pares. (23)2 5 (23) ∙ (23) 5 9 (o produto de dois negativos é positivo) • ... quando a base é um número negativo, ele deve vir escrito entre parênteses? Quando não escrevemos os parênteses, o sinal (2) é aplicado ao resultado da potenciação. (26)2 5 (26) ∙ (26) 5 36 262 5 2 (62) 5 236

Raiz quadrada Ao estudarmos os números naturais, vimos que extrair a raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado. Por exemplo: elevando ao quadrado

6 62 5 36 36

extraindo a raiz quadrada

36 = 6

Agora, no conjunto dos números inteiros, acontece um fato novo: existem dois números diferentes que, elevados ao quadrado, dão 36: 62 5 36 e (26)2 5 36 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

39


Uma operação (como a raiz quadrada) ter dois resultados diferentes pode facilmente gerar equívocos; portanto, os matemáticos definiram como raiz quadrada de 36 o número inteiro não negativo que elevado ao quadrado dá 36. 36 = 6 Como − 36 representa o oposto de

36 , temos:

e6 e36 36 =36 6 e= − − 6= − 6 − =36 Exemplos 1.

2. − 25 = − 5

4=2

Com o símbolo ± 36 , indicamos de uma só vez os dois números que, ao quadrado, dão 36: 6 e 26. ± 36 = ± 6 Em  , a raiz quadrada pode não existir. Como exemplo, considere 10 . O número 10 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 32 5 9 e 42 5 16. Como não há número inteiro entre 3 e 4, concluímos que, em  , não é possível obter 10 . Agora, uma pergunta: Em  , existe −4 ? O quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Portanto, os números negativos não podem ser quadrados. Isso significa que os números negativos não têm raiz quadrada em  . Logo, não existe − 4 em  . •• Em  , nem sempre é possível extrair raiz quadrada. •• Em  , não existe raiz quadrada de número negativo.

Expressões numéricas Nas expressões numéricas, as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões, e essas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves. Exemplos 1. − 4 + 3 ⋅ ( − 2) + 5 ⋅ 16 = 3

40

2.

(

)

 −7 + 8 : 15 − 25  : 9 =  

5 24 1 3 · (28) 1 5 · 4 5

5  –7 + 8 : (1 – 5)  : 9 =

5 24 2 24 1 20 5

5  –7 + 8 : ( – 4 )  : 9 =

5 28

5 [ –7 − 2] : 9 =

5 29 : 9 5

5 21

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Conexões Há cerca de 500 anos, a Mata Atlântica cobria aproximadamente 1,3 · 106 quilômetros quadrados de nosso país, acompanhando o litoral brasileiro do Rio Grande do Sul ao Rio Grande do Norte. Hoje, infelizmente, restam apenas 164 069,2 quilômetros quadrados dessa floresta. VITORIANO JUNIOR/SHUTTERSTOCK

Fonte: <http://mapas.sosma.org.br/site_media/download/atlas_2012-2013_relatorio_tecnico_2014.pdf>. Acesso em: 8 dez. 2014.

Foto da vegetação da Mata Atlântica, uma das maiores florestas tropicais da América do Sul.

a) Escreva com algarismos e por extenso o número que dá a área da Mata Atlântica de 500 anos atrás. 1 300 000; um milhão e trezentos mil b) Informe quantos quilômetros quadrados foram desmatados nos últimos 500 anos. Diga se é uma parte grande ou pequena da floresta. 1 135 930,8 km2. É uma parte enorme, quase 90%. c) Temos leis para proteger o que resta da Mata Atlântica. Por que seria ruim se ela desaparecesse? Desapareceriam espécies animais e vegetais. Provavelmente, diversas regiões ficariam mais secas, prejudicando rios e o abastecimento de água.

Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 56 a 64 da seção Pensando em casa. ELENA RAY/SHUTTERSTOCK

1. Veja no esquema quantos bisavós tem uma pes-

soa. (Observação: não são considerados casos incomuns, por exemplo, quando pai e mãe são primos e têm um avô em comum.) pessoa pai avô

mãe avó

avô

avó

pais avós bisavós

São 23 bisavós, certo? Agora, considere os trisavós de uma pessoa. Os trisavós são os pais dos bisavós. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Foto de várias gerações de uma família.

a) Represente com uma potência de base 2 o número de trisavós da pessoa. 24 b) Diga quantos são esses trisavós. 16 Números inteiros | capítulo 1

41


2. A potência 42 deveria ser lida “quatro à segun-

da potência”, ou como “quatro ao quadrado”. O motivo da palavra quadrado é o seguinte: é possível arrumar 42 bolinhas de modo a formar um quadrado.

4. Se existir, escreva o número que é a raiz

quadrada de: a) 16 4 b) 25 5

c) 64 8 d) 1 1

e) 216 Não existe f) 100 10

5. Após calcular 25 e 52, diga se a potenciação tem

a propriedade comutativa e explique sua resposta. 5 2

4 5 16 16 bolinhas formam um quadrado 2

2 5 32 e 5 5 25 Como 25 ≠ 52, não vale a propriedade comutativa da potenciação.

6. Faça uma estimativa e responda: o que você

acha que é maior: 35 ou 53? 35 5 243; 53 5 125; 35 > 53 Com uma calculadora verifique se sua estimativa estava correta.

Isso não acontece com qualquer número, apenas com os quadrados de números naturais. Qual é a potência representada nas figuras abaixo?

a)

b)

7. Substitua o ? 5 por >, < ou 5.

(2 1 5) ? 2 1 5 3

8. Efetue:

3

3

(

(2 1 5)3 5 73 5 343 23 1 53 5 8 1 125 5 133 (2 1 5)3 > 23 1 53

)

a)  −7 + 14 : 5 − 49  : 7 22 b) [213 1 13 · (21 2 3 ∙ 22)] : 14

32 5 9

3. Calcule as potências:

a) 122 144 b) (212)2 144 c) 33 27

d) (23)3 227 e) 25 32 f) (22)5 232

(

213

)

c) −5 − ( −5) − −2 − 9 ⋅ 5  : 10 210 2 d) ( −2) −  −23 − 16 ⋅ ( 23 − 10 )  : 171 2

52 5 25

4

9. Você aprendeu que

−9 não é um número inteiro. Explique por quê. (23)2 5 19 e (13)2 5 19. Não existe

número inteiro que, elevado à segunda potência, resulte em número negativo.

Desafios e surpresas

Veja uma representação de números ímpares com figuras:

1

3

5

7

O interessante é que juntando esses “números figurados”, a partir do primeiro, formamos quadrados.

1

1 1 3

1 1 3 1 5

1131517

Veja que 1 1 3 5 4 5 22 ou ainda que 1 1 3 1 5 5 9 5 32 e assim por diante. a) Qual seria o próximo quadrado nessa sequência? Desenhe no caderno. 52 5 25 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 b) Qual é a soma dos dez primeiros números ímpares? 100 c) Calcule: 1 1 3 1 5 1 ... 1 95 1 97 1 99 (isto é, a soma de todos os números ímpares de 1 a 99). 2 500

42

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


10 Propriedades da potenciação Vamos apresentar características da potenciação que ajudam nos mais diversos cálculos.

Adicionar para multiplicar Considere a multiplicação (25)6 · (25)4. A primeira potência tem seis fatores 25; a segunda tem quatro fatores 25. Multiplicando uma pela outra, obtemos dez fatores 25, não é? Ou seja: (25)6 · (25)4 5 (25)6 1 4 5 (25)10 Agora, já podemos explicar o título: veja que, para multiplicar, adicionamos os expoentes. E poderíamos raciocinar da mesma forma se os números fossem outros, desde que os dois fatores tivessem a mesma base. Portanto, concluímos: Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. Ou seja: am · an 5 am 1 n, mas a não pode ser zero e m e n são dois números naturais. Para terminar o cálculo, poderíamos efetuar (25)10. Entretanto, em Matemática, é muito comum não fazer cálculos enormes. Eles são apenas indicados. Assim, paramos por aqui.

Subtrair para dividir Veja o que acontece quando dividimos (25)6 por (25)4:

( –5 ) 6 ( –5 ) 4

=

( –5 ) ⋅ ( – 5 ) ⋅ ( – 5 ) ⋅ ( – 5 ) ⋅ ( – 5 ) ⋅ ( – 5 ) 2 = ( –5 ) ⋅ ( –5 ) = ( –5 ) = 25 ⋅ – 5 ⋅ – 5 ⋅ – – 5 5 ( ) ( ) ( ) ( )

Fizemos a divisão simplificando a fração. Para isso, cancelamos os fatores iguais. Tínhamos seis fatores no numerador, dos quais quatro foram cancelados com os fatores do denominador. Ficamos com 6 2 4 fatores. É por isso que, na divisão, podemos subtrair expoentes, ou seja, esse cálculo pode ser efetuado de uma segunda maneira: (25)6 : (25)4 5 (25)6 2 4 5 (25)2 5 25 Mostramos duas maneiras de efetuar (25)6 : (25)4. Se tivéssemos outra divisão, com outra base e outros expoentes, poderíamos efetuá-la das mesmas duas maneiras que mostramos. Isso significa que podemos tirar uma conclusão geral para casos como esse: Para dividir potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Ou seja: am : an 5 am 2 n, mas a não pode ser zero e m deve ser maior do que n. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

43


Elevando uma potência a um expoente

( )

3

Você imagina qual o resultado de 74 ? O resultado nem cabe em uma calculadora! Mas é fácil indicar esse resultado. Para elevar 74 ao cubo, devemos ter três fatores 74. Assim:

(7 )

4 3

= 74 ⋅ 74 ⋅ 74 = 74 + 4 + 4 = 73 ? 4 = 712

Note que 74 1 4 1 4 5 73 · 4 A mesma coisa poderia ser feita com outros números. Veja mais um caso: 2

( −3 )4  = ( −3 )4 ⋅ ( −3 )4 = ( −3 )4 + 4 = ( −3 )2 ? 4 = ( −3 )8   Por isso, concluímos: Para elevar uma potência a um expoente, mantemos a base e multiplicamos os expoentes.

Distribuindo o expoente pelos fatores A última propriedade que vamos estudar aparece em cálculos como (5 · 7)3. Podemos efetuar primeiro a multiplicação dentro dos parênteses e elevar ao cubo. Obtém-se 42 875. Mas há outro jeito: (5 · 7)3 5 (5 · 7) · (5 · 7) · (5 · 7) 5 (5 · 5 · 5) · (7 · 7 · 7) 5 53 · 73 Efetuando 53 · 73, obtemos 125 · 343 5 42 875. Nesse cálculo, apareceu a seguinte propriedade: Quando um produto está elevado a um expoente, esse expoente pode ser distribuído pelos fatores. Veja um exemplo de como essa propriedade pode facilitar certos cálculos: 54 · 24 5 (5 · 2)4 5 104 5 10 000

Utilidade As propriedades que apresentamos serão muito úteis daqui para a frente, especialmente no próximo ano escolar, quando você estudar álgebra. Entretanto, vamos mostrar como elas já podem ajudar em certos cálculos. 44

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


Exemplo NASA

Quantas estrelas existem no Universo?

Ainda conhecemos pouco do Universo, por isso é difícil responder à pergunta. Mas podemos fazer uma estimativa, isto é, um raciocínio que nos leve a uma resposta próxima da verdadeira*.

Sabemos que as estrelas se agrupam em gigantescas galáxias. Por exemplo, todas as estrelas visíveis a olho nu estão em nossa galáxia, chamada Via Láctea.

As observações astronômicas indicam a existência de cerca de 2 000 bilhões de galáxias e de cerca de 200 bilhões de estrelas em cada uma.

Com isso, estimamos o número de estrelas. Acompanhe: •• sabemos que 1 bilhão 5 1 000  000  000 5 109 •• os valores dados são 2 000 bilhões 5 2 ∙ 103 ∙ 109 e 200 bilhões 5 2 ∙ 102 ∙ 109 •• o total aproximado de estrelas é o produto dos valores dados:

2 · 103 · 109 · 2 · 102 · 109 5 2 · 2 · 103 · 109 · 102 · 109 5 4 · 103 1 9 1 2 1 9 5 4 · 1023

Isto é, o número de estrelas deve ser maior que um bilhão de bilhões! Seu valor aproximado é dado pelo número 4 seguido de 23 zeros. Para escrevermos números grandes assim, não usamos palavras, apenas escrevemos as potências.

Foto de aglomerado de estrelas na Via Láctea.

* Estimativa baseada em artigo de Renato Las Casas, professor do Departamento de Física da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), publicado no Portal Uai (Disponível em: <www.uai.com.br>. Acesso em: 8 dez. 2014).

Conexões

Disponível em: <http://redeglobo.globo.com/globoecologia>. Acesso em: 8 dez. 2014.

FABIO COLOMBINI

O juçara é um palmito nativo que nasce na floresta da Mata Atlântica. Em um hectare de floresta (ou seja, uma área de 100 m × 100 m) há, em média, 500 palmeiras adultas e cada uma carrega em média três cachos com três mil frutos cada um. Os frutos servem de alimento para diversos animais. Por conta da extração ilegal, em várias áreas da floresta já não se encontram palmeiras-juçara. Está também mais difícil encontrar animais que se alimentam dos frutos dessa palmeira, como o tucano e a jacutinga. Foto de palmito-juçara, nativo da Mata Atlântica.

a) Calcule quantos frutos, em média, produz cada palmeira-juçara. 9 000 b) Faça agora esse mesmo cálculo, só que desta vez represente o número 3 000 e o produto obtido no item anterior usando potências de 10. 3 · 3 · 103 5 9 · 103 c) Segundo o texto, em 1 hectare há aproximadamente 500 palmeiras. Supondo que essas 500 palmeiras deixem de existir, quantos frutos também não existirão? Escreva a resposta usando potência de 10. 45 · 105 d) Em sua opinião, o que é possível fazer para evitar a extração ilegal das palmeiras nativas? Escreva um texto a respeito. Resposta pessoal.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

45


Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 65 a 70 da seção Pensando em casa.

1. Cada expressão dada tem duas ou três potên-

cias, mas pode ser representada como uma só. Faça isso, sem calcular a potência: a) (23)100 · (23)200 (23)300 c) (25)500 : (25)200 (25)300 b) 210 · 220 · 230 260 d) 240 · 250 : 270 220

6. Vamos fazer um quadrado quase mágico, usan-

do potências. Faça um quadrado como este em seu caderno e complete-o, de acordo com as indicações dadas a seguir.

2. Usando as propriedades das potências, dê o re-

sultado das expressões: a) (23)20 : (23)18 9 c) 240 · 210 : 245 32 8 77 b) 7 : 7 d) 320 · 330 : 347 27

3. Cada expressão dada pode ser representada

com uma só potência de base 6. Faça isso, sem calcular a potência.

( ) 6 b) ( 6 ) 6 c) ( 6 )   

?

39

?

?

?

49

?

?

?

59

602

603

604

Multiplicando-se as linhas obtém-se o produto indicado. 32 33 34 42 43 44 52 53 54 Multiplicando-se as colunas obtém-se o produto indicado.

Em cada linha (horizontal) há uma mesma

6

d) (12 : 2)7 67

4

e) 25 · 35 65

base. Em cada coluna (vertical) há um mesmo expoente.

f) 26 · 36 66

7. Examine a estimativa do número de estrelas do

2 2 2

68

••

4. Simplifique a expressão abaixo e escreva o valor

de A usando uma só potência de base 2. (Vale lembrar que o traço de fração equivale a um sinal de divisão.) A=

210 ⋅ 27 25

Universo, que está no texto da página anterior. Se cada estrela tiver 5 planetas girando em torno dela (isto é apenas uma hipótese, sem comprovação), qual será o número de planetas existente?

20 · 1023 ou 2 · 1024

A = 210 1 7 2 5 A = 212

5. Copie as sentenças seguintes, trocando o sím-

bolo j pela palavra adequada: a) Para dividir duas potências de mesma base, podemos conservar as bases e j os expoentes. Subtrair b) Um número inteiro não nulo é elevado a um expoente e, depois, essa potência é elevada a outro expoente. O resultado é igual ao primeiro número elevado ao j dos dois expoentes. Produto

8. Alice disse que as expressões abaixo são equiva-

lentes, ou seja, têm mesmo valor. Você concorda? Faça os cálculos para comprovar.

(25 · 75) : 143 ( 196)2

Sim, as expressões são equivalentes.

Desafios e surpresas

O resultado de 19921 995 é um número enorme. Qual é o último algarismo (o das unidades) desse número? 8

ESTÚDIO MIL

Dica: pense nas terminações de 21, 22, 23 etc.

46

capítulo 1 | Números inteiros

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

EDITORIA DE ARTE

2 2

••

?

LA GORDA/ SHUTTERSTOCK

a) 6

3 2

?


Pensando em casa 5. Em Moscou, uma cidade russa onde faz muito

ANTONSOKOLOV/DREAMSTIME.COM

rest, na Ásia: 8 848 m acima do nível do mar. O lugar mais profundo conhecido é a Fossa das Marianas, no Oceano Pacífico, com cerca de 11 000 m de profundidade.

Foto da cidade de Moscou, na Rússia.

Foto do Monte Everest, Ásia.

a) Represente essas altitudes, usando números positivos ou negativos. 18 848 m e 211 000 m b) Quantos metros o Everest é mais alto que a Fossa das Marianas? 19 848 m 2. Leia abaixo algumas informações: •• O gelo vira água a uma temperatura de ••

••

••

0 grau. A água ferve a uma temperatura de 100 graus acima de zero. O corpo humano mantém uma temperatura de 36 graus acima de zero. Um congelador doméstico (freezer) mantém uma temperatura de 18 graus abaixo de zero.

Indique cada uma dessas temperaturas, usando números positivos, negativos ou nulos.

0, 1100, 136, 218 (graus Celsius)

3. Uma pessoa que tem cheque especial está com

saldo negativo de R$ 150,00 no banco. Qual será seu saldo se ela: a) depositar R$ 100,00? 2R$ 50,00 b) em vez de depositar, retirar R$ 100,00? 2R$ 250,00 c) retirar R$ 125,00 e depois ainda retirar R$ 115,00? 2R$ 390,00

4. Leia a seguinte afirmação:

Todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos concordem com a afirmação.

a) Você concorda ou discorda da afirmação? b) Dê exemplos justificando sua opção. Exemplos: “23 é inteiro, mas não é natural.” etc. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

6. Se tenho R$ 200,00 no banco e retiro R$ 230,00,

fico com um saldo negativo de R$ 30,00. A representação matemática dessa situação é: 200 2 230 5 230 Nas seguintes situações, não daremos o resultado: você é que deve descobri-lo. a) Tenho 1 000 e retiro 700. Qual fica sendo meu saldo? 300 b) Tenho 800 e retiro 1 900. Qual fica sendo meu saldo? 21 100 c) Tenho 900 e retiro 2 300. Qual fica sendo meu saldo? 21 400 d) Tenho 0 e retiro 2 900. Qual fica sendo meu saldo? 22 900 2 A representação geométrica

7. Escreva os números 13, 213, 31 e 231, colocan-

do-os na ordem crescente.

231, 213, 13, 31

8. Representamos os números inteiros A, B, C e

zero na reta dos inteiros: B C

0

A

Cada letra representa um número inteiro.

ESTÚDIO MIL

1. A montanha mais alta da Terra é o Monte Eve-

frio, a temperatura média de janeiro foi 15 graus abaixo de zero. No mês seguinte, essa temperatura média subiu 7 graus. Usando números positivos ou negativos, represente a temperatura média de Moscou em: a) janeiro 215 graus b) fevereiro 28 graus EKATERINA BYKOVA/SHUTTERSTOCK

1 Números positivos e números negativos

a) O número B é maior, menor ou igual a C? Menor b) O número B é maior, menor ou igual a zero? Menor c) O número C é menor que A? Sim d) Quais desses números são positivos? Apenas A Números inteiros | capítulo 1

47


9. O instante de lançamento de um foguete é o

11. O quadro mostra os lucros da rede de pipoquei-

ros Zeca’s, que atua nas portas das escolas: 220 mil

janeiro fevereiro

10 mil

março

20 mil

abril

20 mil

maio

20 mil

junho

30 mil

julho

220 mil

ESTÚDIO MIL

STOCKBYTE/THINKSTOCK

instante 0 (zero). A contagem regressiva começa 60 segundos antes do lançamento, isto é, no instante 260. Indique com um número inteiro estes instantes: 259 a) o do segundo seguinte ao início da contagem; b) o do segundo anterior ao instante do lançamento. 21

Foto de plataforma de lançamento de foguetes.

10. O matemático grego Euclides escreveu um livro

sobre geometria no ano 2290, isto é, no ano 290 antes de Cristo. O matemático grego Eratóstenes estudou os números primos no ano 2240. O livro de Euclides foi escrito antes ou depois dos estudos de Eratóstenes? Quantos anos antes ou depois? 50 anos antes

Observe que, em janeiro, a Zeca’s teve um lucro de 220 mil, isto é, um grande prejuízo.

Mas em fevereiro a situação melhorou. a) Qual foi o lucro da Zeca’s em abril? 20 mil b) De janeiro a julho, em que meses ela teve prejuízo? Janeiro e julho c) Dê uma explicação para os prejuízos da Zeca’s. São os meses de férias escolares.

12. Considere os números inteiros:

2123

231

2312

0

132

a) Escreva-os em ordem crescente. 2312, 2123, 0, 132, 231 b) Escreva seus módulos em ordem crescente. u0u, u2123u, u132u, u231u, u2312u c) Escreva seus opostos em ordem crescente. 2231, 2132, 0, 123, 312

SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

13. Diga quantos são os números inteiros que têm:

Retrato de Euclides (325 a.C.­­-265 a.C.).

48

capítulo 1 | Números inteiros

a) módulo 3; Dois b) módulo menor que 3; Cinco c) módulo 0; Um d) módulo menor que 0; Nenhum e) módulo menor que 10; Dezenove f) módul o menor que 100;Cento e noventa e nove g) módulo maior que 10; Infinitos h) módulo maior que 100. Infinitos

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


14. Vários brinquedos atuais têm um passado muito

GOSPHOTODESIGN/SHUTTERSTOCK

mais distante do que você possa imaginar. Veja alguns:

Pião: Esse brinquedo já era usado por crianças da Babilônia, cerca de 3000 a.C., e era feito de argila.

17. Divida 1 por 20. Se precisar, use calculadora.

1 Você obterá a forma decimal da fração . Qual 20 é essa forma? 0,05 18. No texto da página 19 há um exemplo da utili-

dade dos números negativos para indicar mediSão usados para indicar temdas. Explique do que se trata. peraturas abaixo de zero.

19. Dê um exemplo do uso de números decimais

ANDY PIATT/SHUTTERSTOCK

em nosso dia a dia. Indicam medidas. Exemplo: 1,7 m ou 3,750 kg

20. Números decimais com vírgula, como 0,75 ou Bola de gude: As mais antigas foram achadas no Egito, em 3000 a.C., e eram feitas de pedras semipreciosas.

2,5, apareceram em que época? Por volta do século XVI.

21. Matemáticos do século XVI diziam que era

MILOSLUZ/DREAMSTIME.COM

impossível haver número menor do que zero, isto é, menor do que nada. Quais eram esses “números impossíveis” a que eles se referiam? Eram os números negativos.

Ioiô: Já eram utilizados na China em 1000 a.C., e eram de marfim com cordões de seda.

4 Adição de inteiros

22. Veja na tabela que o hotel Ene Estrelas só dá

lucro nos meses de férias.

Hotel Ene Estrelas (movimento em milhares de reais) janeiro fevereiro março MICHAEL DECHEV/SHUTTERSTOCK

Pipa: Surgiu na mesma época do ioiô, também na China, como dispositivo de sinalização militar.

150

75

2150

abril

maio

junho

275

275

2150

Fonte: Dados fictícios.

a) Em que meses o hotel teve prejuízo de 75 mil reais? Abril e maio Fonte: Veja. Editora Abril. 8 ago. 2001. p. 142.

Suponha que você esteja no ano 2000. Calcule há quantos anos as crianças já brincavam de: a) pião e bola de gude; 5 000 anos b) ioiô e pipa. 3 000 anos

3 Os números também têm sua história

15. Represente no antigo sistema egípcio a fração

1 . 20



16. Em que sistema de numeração estão sendo re-

presentados os números que indicam séculos, como II, III, XVI etc.? No sistema romano. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

b) Em que meses o hotel teve prejuízo de 150 mil reais? Março e junho c) Escreva a adição que indica o lucro ou o prejuízo de todo o semestre. 150 1 75 1 (2150) 1 (275)

1 (275) 1 (2150) 5 2225. Indica um prejuízo, no semestre, de 225 mil reais.

d) Você acha que o dono do hotel deveria fechá-lo? Resposta pessoal. Resposta esperada: sim.

23. Moreira é uma pessoa descuidada com dinheiro.

Ele deve R$ 35,00 para Maria, R$ 63,00 para Zé Carlos e R$ 29,00 para Taís. Disse que vai pagar a todos, porque deve receber R$ 120,00 por um trabalho de digitação de textos. a) Escreva a adição que reúne as dívidas e a receita de Moreira. 235 1 ( 263) 1 ( 229) 1 120 5 27 b) Ele vai conseguir pagar todas as dívidas? 

Não. Ainda ficará devendo R$ 7,00.

Números inteiros | capítulo 1

49


24. (Prova Brasil) A tabela a seguir mostra as tempe-

raturas mínimas registradas durante uma semana do mês de julho, numa cidade do Rio Grande foram acrescentados títulos e fontes na tabela e nos gráficos do Sul. Não para não alterar o texto original. Mínima temperatura

2a feira

2 °C

3 feira

0 °C

4a feira

21 °C

5a feira

3 °C

a

6 feira

2 °C

a

Sábado

0 °C

Qual é o gráfico que representa a variação da temperatura mínima nessa cidade, nessa semana? Alternativa c

a)

Temperatura ( C) o

3 2

1 21 22 23

b)

5a 2

a

3

a

4

6a Sáb. Dom. Dia

a

Temperatura (oC) 3 2 1 21 22 23

c)

Sáb.

5a 2a 3a 4a

6a

Dom. Dia

23

21

3

roupa feminina

24

23

5

roupa infantil

21

0

1

calçados, cintos etc.

22

21

4

Como as pessoas compram muito no Natal, deixam de comprar em janeiro e fevereiro. Mas a loja terá grandes lucros nos outros meses. Sabendo que os números do quadro indicam milhões de reais, responda: a) Quais setores terão lucro no primeiro trimestre? Quais terão prejuízo? Lucro: calçados, cintos etc.; prejuízo: roupa masculina e roupa feminina. b) Considerando todos os setores, a loja terá lucro ou prejuízo no primeiro trimestre? De quanto? Prejuízo de 2 milhões de reais.

26. Efetue as seguintes adições:

a) 150 1 70

220 290

d) 190 1 (260)

4a 2

a

3

5a

a

Dom. 6 Sáb. Dia a

130

g) 280 1 (280) h) 2190 1 190

2240

130

f) 280 1 (2160)

2240

2160 0

i) 260 1 80 1 (2160) 1 190

50

j) 280 1 (2160) 1 (2190) 1 60

teiros. Em cada caso, diga se a soma (x 1 y) é positiva, negativa ou nula. a) x é o oposto de y.

1

Sáb. Dom. 2a 3a 4a 5a

capítulo 1 | Números inteiros

2370

27. Com x e y vamos representar dois números in-

Temperatura (oC) 3 2

50

roupa masculina

e) 260 1 190

1

21 22 23

março

c) 2160 1 (280)

3 2

d)

fevereiro

b) 2160 1 70 Temperatura (oC)

21 22 23

janeiro

22 °C

Domingo

são de lucros para o primeiro trimestre do ano:

ESTÚDIO MIL

Dia

25. A famosa loja de roupas X & Y mostra sua previ-

6a

b) x e y são negativos. Dia

Nula Negativa

c) x é positivo e y é negativo.

Pode ser positiva, nula ou negativa.

d) x é negativo e tem módulo maior que o módulo de y. Negativa

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


28. Resolva os problemas, indicando a adição de in-

30. Entrei no elevador em um certo andar. Depois,

teiros que está envolvida.

levado pelas pessoas que já se encontravam no elevador, subimos 7 andares, descemos 5 e finalmente eu desci no térreo. Em que andar eu entrei no elevador? 22 ou 2o subsolo

a) Meu saldo bancário era 2R$ 487,00. Depositei R$ 700,00. Qual passou a ser meu saldo? 2487 1 700 5 213

b) Meu saldo bancário era 2R$ 754,00. Depositei R$ 350,00. Qual passou a ser meu saldo?

31. Copie e complete as frases no caderno com

2754 1 350 5 2404

Subtração de inteiros

29. Numa pequena cidade, chegaram 20 novos ha-

bitantes. No entanto, 18 dos antigos habitantes se foram. O número de habitantes dessa cidade teve uma variação positiva: 12. Para calcular a variação de uma população, efetuamos:

No de novos habitantes

20

No de habitantes 2 5 12 que se foram 18

20 2 18 5 12

Este quadro refere-se a uma pequena cidade. No final de 2010, ela possuía 9 678 habitantes: Ano

32. Observe a imagem do extrato bancário e res-

ponda: a) O saldo bancário do senhor Silva era de 12 000 reais e passou a ser de 27 000. Ele fez um depósito ou uma retirada? De quanto? Retirada de 19 000 reais. b) Depois, esse saldo de 27 000 passou a ser de 25 500. Dessa vez, houve depósito ou retirada? De quanto? Depósito de 1 500 reais. c) Então, quando o saldo era de 25 500, o senhor Silva depositou 10 000 reais. Qual foi o saldo resultante? 4 500 reais

2011 2012 2013 2014 2015

Novos habitantes

25

23

24

19

22

Habitantes que se foram

37

45

37

45

44

Observação: na linguagem comercial, receita é o que se recebe. a) Duas receitas, uma de 24 reais e outra de 26 reais equivalem a uma j de j reais. receita / 50 b) Duas despesas, uma de 16 reais e outra de 14 reais, equivalem a uma j de j reais. despesa / 30 c) Uma receita de 30 reais seguida de uma despesa de 20 reais equivale a uma j de j reais. receita / 10 d) Uma despesa de 36 reais seguida de uma receita de 15 reais equivale a uma j de j reais. despesa / 21

ESTÚDIO MIL

a) Calcule a variação (positiva, negativa ou nula) da população em cada um dos anos indicados. Variações (de 2011 a 2015): 212, 222, 213, 226, 222 b) Qual era a população da cidade no final de 2015? 9 583 habitantes

EDITORIA DE ARTE

5

as palavras receita ou despesa e com o valor correto.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Números inteiros | capítulo 1

51


33. Faça uma reta como a abaixo e nela represente

a) Calcule a soma de pontos do pai e da irmã.

os números inteiros compreendidos entre 27 e 17. Depois subtraia o número menor do maior, obtendo assim a distância entre eles.

27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7

b) Calcule a soma de pontos dos meninos.

c) Qual foi a diferença entre as pontuações?

1 345

d) Indique a operação que responde à pergunta do item c. 1 235 2 (2110) 37. Diga se as diferenças abaixo são positivas ou

negativas: a) 212 578 2 7 113 Negativa b) 8 515 2 19 728 Negativa c) 24 812 2 (23 975) Negativa d) 6 005 2 (27 102) Positiva

a) 25 e 22 d) 27 e 23 Distância: 4 Distância: 3 b) 15 e 22 e) 22 e 12 Distância: 4 Distância: 7 26 e 16 Distância: 12 c) 21 e 14 f) Distância: 5 34. No lugar de j, coloque 5 ou ≠:

a) 5 1 (7 2 10) j 5 1 7 2 10 5 b) 26 2 (2 2 7) j 26 2 2 1 7 5 c) 27 2 (23 1 5) j 27 1 3 2 5 5 d) 6 1 (28 2 12) j 6 1 8 1 12 Þ

38. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 212 1 18 1 (220) 2 14 228 b) 216 2 12 2 30 2 (214) 244 c) 13 1 (217) 2 (215) 1 (117) 28 d) 213 2 (219) 2 11 1 (217) 222 e) 215 1 11 2 (217) 2 (113) 0 f) 228 1 22 1 (222) 2 (224) 24

35. Qualquer subtração de inteiros pode ser trans-

formada em uma adição de inteiros: a adição do primeiro número com o oposto do segundo. Por exemplo: 5 2 7 5 5 1 (27) 5 22

Transforme cada subtração dada em uma adição de inteiros e, a seguir, calcule seu resultado. a) 12 2 15 12 2 15 5 12 1 (215) 5 23 b) (21) 2 (210) (21) 2 (210) 5 (21) 1 10 5 9 c) 18 2 (24) 18 2 (24) 5 18 1 4 5 22 d) (210) 2 5 (210) 2 5 5 (210) 1 (25) 5 215 e) 15 2 6 15 2 6 5 15 1 (26) 5 9 f) 0 2 (27) 0 2 (27) 5 0 1 7 5 7 g) 0 2 7 0 2 7 5 0 1 (27) 5 27 h) 7 2 7 7 2 7 5 7 1 (27) 5 0 i) 7 2 (27) 7 2 (27) 5 7 1 7 5 14 j) (27) 2 (27) (27) 2 (27) 5 (27) 1 7 5 0 k) (215) 2 (28) (215) 2 (28) 5 (215) 1 8 5 27 l) (23) 2 (28) (23) 2 (28) 5 (23) 1 8 5 5

36. Num jogo de cartas, eu e meu primo formamos

uma dupla e passamos a tarde jogando contra meu pai e minha irmã. No começo, tivemos azar: ficamos devendo pontos. Depois, viramos o jogo, como você pode ver neste quadro:

52

39. Luís e Bia, juntos, têm R$ 125,00. Marcelo e

Teresa estão no negativo. Juntos, os dois têm 2R$ 52,00. a) Quanto Luís e Bia passarão a ter se Luís ganhar R$ 46,00 e Bia gastar R$ 51,00? R$ 120,00 b) Indique a resposta do item a com uma expressão envolvendo os números 125, 46 e 51. 125 1 46 2 51

c) Quanto Marcelo e Teresa passarão a ter se Marcelo gastar R$ 199,00 e Teresa ganhar R$ 185,00? 2R$ 66,00 d) Indique a resposta do item c com uma expressão envolvendo os números 252, 199 e 185. 252 2 199 1 185 40. A seguir, temos algumas sequências de números.

Elas seguem esta regra: para passar de um elemento da sequência para o seguinte, subtraímos sempre o mesmo número inteiro.

Em cada sequência, diga qual é o número subtraído e encontre seu próximo elemento.

Rodada

Nós

Eles

1a

2125

315

a) 31, 27, 23, 19, ...

2a

2150

220

b) 5, 2, 21, 24, ...

4; próximo: 15 3; próximo: 27

3

a

300

2110

c) 20, 26, 32, 38, ...

4

a

420

2260

d) 212, 27, 22, 3, ...

5a

510

2200

e) 5, 26, 217, 228, ...

11; próximo: 239

6a

280

275

f) 227, 218, 29, 0, ...

29; próximo: 9

capítulo 1 | Números inteiros

2110

1 235

26; próximo: 44 25; próximo: 8

NÃO ESCREVA NO LIVRO.


41. Este é um quadrado mágico: a soma dos núme-

ros de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No caso, a soma mágica é 15. 8

1

6

3

5

7

46. Beto saiu com algum dinheiro de casa e voltou

com 2 reais. Veja o percurso que ele fez:

24 211 26

9

2

Padaria Na padaria, Beto gastou 17 reais.

28 23 210

a) A partir desse quadrado, faça um outro em seu caderno, subtraindo 12 de cada número.

Casa de Beto

b) O quadrado que você fez é mágico? Qual é a soma mágica? Sim; 221 6 Adição e subtração: relações e propriedades

42. Efetue as adições algébricas:

a) 27 2 8 1 24 2 11 1 32 2 5 2 39 214 b) 215 1 21 1 25 2 6 2 8 2 12 2 38 233 c) 18 2 43 1 72 2 123 1 18 1 56 1 21 19 d) 1 2 2 1 3 2 4 1 5 2 6 23 43. Que número inteiro deve ser colocado no lugar

de j? a) j 2 11 5 213 22 b) 223 1 j 5 229 26 c) j 1 19 5 17 22 d) j 2 31 5 237 26

44. O cálculo 2 7 2 10 5 217 pode ser interpreta-

do de muitas maneiras. Das interpretações abaixo, qual é a mais adequada? Alternativa d a) Tenho uma dívida de 7 reais e pago 10 reais. Assim, fico devendo 17 reais. b) Tenho 7 reais e gasto 10 reais. Dessa maneira, fico com 17 reais. c) Tirando uma dívida de 7 reais de 10 reais, resulta em 17 reais. d) Juntando uma dívida de 7 reais com outra de 10 reais, resulta numa dívida de 17 reais.

45. Vamos representar um número inteiro por x.

Encontre o valor de x em cada uma das igualdades. a) x 1 35 5 218 253 b) x 2 35 5 218 17 c) 226 1 x 5 52 78 d) x 2 1 735 5 2215 1 520 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Mercado No mercado, Beto gastou 38 reais. ESTÚDIO MIL

4

29 27 25

Papelaria Na papelaria, Beto gastou 13 reais.

Agora, responda: quantos reais Beto levou às compras? Beto levou 70 reais.

7 Multiplicação de inteiros

47. Efetue as multiplicações.

a) 4 · 9 36 b) 4 · (29) 236 c) (24) · 9 236 d) (24) · (29) 36 e) (22) · (22)

4

f) (22) · (22) · (22)

28

g) (22) · (22) · (22) · (22)

16

h) (22) · (22) · (22) · (22) · (22)

232

48. O produto de dois números inteiros é 35. Se um

dos fatores é 25, qual é o outro fator?

27

49. Encontre o valor do número inteiro x nas

sentenças:

a) (212) · x 5 224 2 d) x · (24) 5 12 23 b) (217) · x 5 17 21

e) 8 · x 5 232

c) x · 6 5 18

f) (27) · x 5 21

3

24 23

50. Determine o valor das seguintes expressões nu-

méricas:

a) 2 2 [4 · (7 2 12) 2 5] 27 b) 22 1 [(24) · (27 1 12) 1 5] 217 c) 13 2 [(21) · (4 2 5) 2 2 · (21)] 10 d) 13 1 2 · [27 2 5 · (29 1 4)]

49

e) 220 2 5 · [(22) · (4 2 7) 1 8 2 2 · 5] 240 f) 220 2 6 · [(21) · (10 2 3 · 7) 1 8 2 5 · 4]

214

Números inteiros | capítulo 1

53


51. Efetue os cálculos mentalmente, anotando

55. Veja a seguinte frase:

apenas os resultados. É fácil, basta seguir as sugestões em cada questão.

“Vou pagar uma dívida em 5 parcelas de 730 reais. Qual é o total da dívida?”

a) 13 · (25) · 2 2130 (Associe os fatores de maneira conveniente.)

b) (27) · 4 · 5 2140 (Use a propriedade associativa de novo.)

O raciocínio que leva à resposta da pergunta pode ser indicado assim: 5 ∙ (2730) 5 23 650 O resultado é negativo porque se trata de uma dívida. Agora responda, indicando o raciocínio e o resultado, como no exemplo apresentado.

c) 17 · (213) 1 17 · 13 2 2 · 3 26 (Lembre-se da propriedade da existência do elemento oposto.)

a) Uma empresa deve 2 400 reais. Os três proprietários pagarão a dívida em partes iguais. Quanto cabe a cada um? 2800 reais

d) 115 · (27) 1 115 · (23) 21 150 (Note que o fator 115 foi distribuído entre as parcelas.)

b) Devo 750 reais e vou pagar essa dívida em parcelas de 250 reais. Quantas parcelas serão? 3

52. Complete o quadro de multiplicação em seu

caderno. Alguns números nós já escrevemos. Veja:

Multiplicado por

23

22

21

0

11

12

13

12

26

24

j

j

j

14

j

11

23

22

21

0

11

12

13

22

j

14

j

j

22

j

j

23

j19 j16 j13 j 0 j23 26

16

22

12

0

0

12

24

9 Potenciação e raiz quadrada

56. Observe que 8 cubos

menores iguais formam o cubo grande.

16

26

j29

Por isso, se pode dizer que 8 é um número cúbico. Além disso, a potência de 23, que vale 8, é lida como “dois elevado ao cubo”, embora também seja correto dizer “dois elevado à terceira potência”.

Abaixo temos outro número cúbico. Qual é esse número e a qual potência está associado?

8 Divisão exata de inteiros

53. Diga qual é o quociente da divisão de:

a) um inteiro positivo por si mesmo; 1 b) um inteiro negativo por si mesmo; 1 c) um inteiro negativo pelo seu módulo; 21 d) um inteiro positivo pelo seu oposto; 21 e) um inteiro negativo pelo seu oposto; 21 f) zero por um inteiro negativo. 0 54. Escolha um número inteiro entre 1 e 10. Multipli-

que-o por 3, subtraia 6, divida o resultado por 3, some 7 e subtraia o número escolhido.

O número é 27, associado a 33 (3 ao cubo).

57. Indique e calcule o valor:

a) da potência de base 23 e expoente 2. (23)2 5 19 b) da potência de base 21 e expoente 5. (21)5 5 21 58. Observe a sequência:

ESTÚDIO MIL

a) Quanto dá? 5 b) Escolha agora o número 21 e faça a mesma sequência de operações. Quanto dá? 5 c) Agora faça o mesmo com o número 26. Quanto dá? 5 54

capítulo 1 | Números inteiros

0, 1, 4, 9, 16, 25, ... a) O que essa sequência tem de especial? É formada pelos quadrados dos números naturais: 02, 12, 22, 32, ... b) Quais são os próximos cinco números da sequência? 36, 49, 64, 81, 100

59. Considere as potências:

(22)1, (22)2, (22)3, (22)4, (22)5 e (22)6

Calcule essas potências e escreva-as na ordem crescente de seus valores. (22)5, (22)3, (22)1, (22)2, (22)4, (22)6 NÃO ESCREVA NO LIVRO.


60. Faça uma estimativa e responda: o que você

acha que é maior: 27 ou 72? 27 > 72 Com uma calculadora, obtenha o valor da potência 27 e veja se sua estimativa estava correta.

66. Observe o quadro:

53 5 125 54 5 625 55 5 3 125

61. a) Verifique, fazendo os cálculos, que 33 1 43 1 53 5 63. De fato, 27 1 64 1 125 resulta em 216.

56 5 15 625 57 5 78 125

b) Será que 43 1 53 1 63 5 73?

58 5 390 625

64 1 125 1 216 não resulta em 343.

62. Os números inteiros que têm raiz quadrada em

 são chamados de quadrados perfeitos. Por exemplo, 49 é um quadrado perfeito, porque 49 = 7. a) Quais são os quadrados perfeitos menores que 20? 0, 1, 4 e 16. b) Há dois quadrados perfeitos entre 100 e 150. Quais são? 121 5 112 e 144 5 122 c) Algum quadrado perfeito pode ser número negativo? Não.

67. Represente cada expressão com uma única po-

tência de base 3. a) 3 · 9 · 27 36 b) (9)3 · 35 311 c) 910 : 310 310

63. Efetue:

a) 2 ⋅ 10 − ( 3 − 4 ⋅ 5) − 9  : 18 2 b) 42 ⋅ 4 ⋅ ( 25 − 4 ⋅ 49 ) − 1 : 63 10 2

2 c) −5 − ( −5) − ( −2 − 9 ) ⋅ 5  : 10 210

7 · 106 · 4 m 5 28 000 000 m 5 28 000 km

EDITORIA DE ARTE/FOLHAPRESS

A ida até São Petersburgo é a metade desse valor: 14 000 km aproximadamente.

Fonte: Detran. Folha de S.Paulo, 5 abr. 2011. p. C3. (Adaptado.)

d) (27)3 · 35 314 e) 92 · 272 : 37 33 f) (3 · 9)3 · 35 314

(3 ) .

2

68. A expressão 23 representa 2 2

a) Calcule 23 .

64. Em março de 2011, a cidade de São Paulo supe-

rou a marca de 7 · 106 veículos. (Fonte: Detran SP). Nessa ocasião, um jornal publicou que se os automóveis fossem todos enfileirados, teríamos uma fila de ida e volta entre São Paulo e a longínqua cidade de São Petersburgo na Rússia!! Imagine que cada veículo tenha 4 metros de comprimento e descubra a distância em quilômetros de São Paulo a São Petersburgo.

Agora, utilize-a para obter os resultados das expressões. Mas atenção: não será preciso efetuar as operações indicadas; basta usar o quadro e as propriedades da potenciação. a) 390 625 : 25 15 625 d) 78 125 : 15 625 5 e) (53 )2 : 25 625 b) (625)2 390 625 c) (23 125) : 125 225 f) 3 125 · 125 : 625 625

2

512

3 2

b) Calcule (2 ) . 64 c) Na expressão do item b, os parênteses são necessários? Sim 2 2 3 2 d) Quem é o maior: 23 ou (2 ) ? 23 69. Calcule o valor da expressão:

[( −11)11]11 : ( −11)120 Quer uma ajuda?

Você tem uma potência elevada a um expoente: [(−11)11]11 . Nesse caso, você pode multiplicar os expoentes. Depois disso, ficará com uma divisão de potências de mesma base. Aí, você já sabe o que fazer.

70. Leia este quadrinho:

Acho que (3 1 2)2 5 32 1 22.

211

Essa distribuição está errada!

65. Sendo x um número inteiro não nulo, represente

com uma só potência de base x: 45 35 d) (x 2 ⋅ x 3 )7 x a) x10 · x15 · x20 x 40 2 2 2 b) x20 · x30 : x10 x e)   [(x ) ] x8 3 3 3 27 25 c) (x 4 )10 : x 15 x f )   [(x ) ] x NÃO ESCREVA NO LIVRO.

ESTÚDIO MIL

10 Propriedades da potenciação

Quem está com a razão? Para responder, calO menino à cule: direita está (3 1 2)2 e 32 1 22 e tire sua conclusão. com a razão. Números inteiros | capítulo 1

55


#Revendo

C O N C E I TO S

1. (Saresp) Em um jogo, o valor de cada ponto

d)

perdido é 24, e o valor de cada ponto ganho é 13. Ana perdeu 13 pontos e ganhou 15 pontos. Fazendo os cálculos, pode-se verificar que o total de pontos de Ana é: Alternativa b a) 210 b) 27 c) 3 d) 11

2. (Saresp) Efetuando (24) · (26) : (23) obtemos:

a) 28 b) 26

c) 6

d) 8

Alternativa a

3. (Obmep) Num dado comum, a soma dos

pontos de duas faces opostas é sempre 7. É possível construir um dado comum dobrando e colando uma das peças de papelão a seguir. Qual peça é essa? Alternativa c

e)

a)

4. (CMBH) A primeira edição dos Jogos Olím-

b)

ALVARÉLIO KUROSSU/AGÊNCIA RBS

c)

picos da Era Moderna aconteceu em Atenas, na Grécia, no ano de 1896. O último ocorreu em 2012, em Londres. Houve interrupção dos jogos nos períodos de 1914 a 1918 e de 1939 a 1945, por causa das duas grandes guerras mundiais. Aconteceu, ainda, uma edição comemorativa das Olimpíadas em 1906, na cidade de Atenas. Sabendo-se que os Jogos Olímpicos ocorrem de quatro em quatro anos e levando-se em conta as informações dadas, o número total de Olimpíadas efetivamente realizadas desde 1896 é igual a: Alternativa a a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

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5. (Prova Brasil) Em uma cidade do Alasca, o

fáceis de carregar. Meu filho ganhou um cofre e tem como rotina, uma vez por semana, colocar uma moeda de um real, duas moedas de cinquenta centavos, quatro moedas de vinte e cinco centavos, dez moedas de dez centavos e vinte moedas de cinco centavos. Identifique a alternativa que apresenta o total arrecadado ao final de cinquenta e duas semanas. Alternativa c a) Cinco reais. b) Quinhentos e vinte reais. c) Duzentos e sessenta reais. d) Cento e trinta reais. e) Trezentos e dez reais.

termômetro marcou 215  C pela manhã. Se a temperatura descer mais 13 oC, o termômetro vai marcar: Alternativa a a) 228 °C  b) 22 °C  c) 2 °C  d) 28 °C o

G17_Mat_NovaCol_ano7_cap1_F26: Foto do Alasca para ilustrar atividade.

8. (Prova Brasil) A figura a seguir é uma repre-

6. (OBM) Todo número primo é um número in-

teiro que tem exatamente dois divisores positivos: o número 1 e o próprio número. Por exemplo, 2 e 5 são primos, mas 1 (tem somente o 1 como divisor positivo) e 4 (veja que 1, 2 e 4 são os seus divisores positivos) não são primos. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? Alternativa c a) A soma de quaisquer dois primos é um primo. b) A soma dos quadrados de quaisquer dois números primos é um número primo. c) O produto de dois números naturais consecutivos pode ser um número primo. d) A soma de três primos quaisquer nunca é um número primo. e) O produto de dois primos quaisquer pode ser um número primo.

7. (CM-BH) Antigamente, as “compras e ven-

das” eram feitas à base de troca de mercadorias: sal, boi, marfim etc. Os metais, principalmente o ouro, começaram a ser usados como moeda, por não estragarem e por serem

A B C D E F G H I J K L M

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Com base na figura e mantendo-se a variação de temperatura entre as cidades, o ponto correspondente a 0 °C estará localizado Alternativa c a) sobre o ponto M. b) entre os pontos L e M. c) entre os pontos I e J. d) sobre o ponto J.

Livros

EDITORA ATUAL

FABIO COLOMBINI

sentação da localização das principais cidades ao longo de uma estrada, onde está indicada por letras a posição dessas cidades e por números as temperaturas registradas em °C.

Pra que serve Matemática? – Números negativos. L. M. P. Imenes, J. Jakubovic, M. C. Lellis São Paulo: Atual, 2009.

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Matemática Nos Dias de Hoje – Na Medida Certa 7º ano