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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE BACALAR

ASIGNATURA ECUACIONES DIFERENCIALES

CARRERA

INGENIERIA EN SOFTWARE

P R A C T I C A E X P E R I M E N TA L

LEY ENFRIAMIENTO DE NEWTON

PROFESOR

Ing. Leovigildo Casti llo Rodríguez

INTRODUCCION


El nombre de Isacc Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observo que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo

del fuego, el boque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de Ley enfriamiento y calentamiento de Newton. Esta Ley se interpreta matemáticamente como:

dT =k (T −T a) dt

Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo

dT dt

representa la

rapidez del enfriamiento o calentamiento,

T

es la temperatura instantánea del

cuerpo,

k

una constante que define el

ritmo de enfriamiento y

Ta

es la

temperatura ambiente o del aire que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo. Nuestra tarea en esta práctica es estudiar si la mencionada Ley se ajusta a la observación en el caso de un proceso de enfriamiento o calentamiento.


OBJETIVO Corroborar la Ley enfriamiento o calentamiento de Newton utilizando café caliente y refresco frio.

D I S E Ñ O E X P E R I M E N TA L

Materiales     

Vaso desechable (plástico delgado, no unicel) Termómetro infrarrojo Café caliente (aproximadamente 80 °C) Cronometro Bitácora

Procedimiento Proceso de enfriamiento

1. Primero calentamos agua a ± 66.3 °C (

T 0 =66.3 ° C ).

2. Después realizamos la medición de la temperatura ambiente (

T a=31.5 ° C ).

3. Posteriormente agregamos café al vaso y el agua caliente. 4. Con ayuda de un cronometro comenzamos entonces a registrar las temperaturas obtenidas en diferentes lapsos de tiempo (Tabla-1).


5. Todos estos datos se registran en la bitรกcora.


A N A L I S I S D E R E S U LTA D O S RecolecciĂłn de datos

Tiempo (Minutos ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Temperatura (°C) 66.3 61.3 56.7 53.4 50.7 48.1 46.0 44.0 42.4 41.1 39.7 38.7 37.7

Tabla-1 Datos obtenidos


Análisis matemático

Datos:

Condiciones de frontera: T 0 =66.3 ° C T 5 =61.3 ° C Temperatura ambiente: T a=31.5 ° C

Solución:

dT =k (T −T a) dt


dT

∫ T −T

a

=k ∫ dt+ c

ln (T −T a )=kt +c

T =T a+ c e kt

Aplicando la primera condición de frontera:

66.3=31.5+ c e k (0 )

c=66.3−31.5=34.8

Por la segunda condición:

61.3=31.5+ 34.8 e5 k

ln ( k=

61.3−31.5 ) 34.8 =−0.031 5


k =−0,031

Solución para la ecuación:

T =31.5+34.8 e−0.031t

Practico Teórico Tiempo Temperatura Temperatura (Minutos) (°C) (°C) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

66.3 61.3 56.7 53.4 50.7 48.1 46.0 44.0 42.4 41.1 39.7 38.7 37.7

66.3 61.3 57.0 53.4 50.2 47.5 45.2 43.3 41.6 40.1 38.9 37.8 36.9

Error Porcentual ( practico−teorico) %E= x 100 teorico 0 0 0.53 0 0.99 1.3 1.8 1.6 1.9 2.5 2.1 2.4 2.2


Modelo matemático del enfriamiento de una taza de café

Grafico de T(t) 70 60 50 40

T

30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Conclusión:

A través de la gráfica, nos pudimos dar cuenta al contrastar el modelo matemático y los valores experimentales, que todas y cada una de las otras cifras significativas se asemejan formando un buen modelo para describir,


en este caso, como es que paulatinamente disminuye la temperatura de una taza de café. Por poner un ejemplo a los 25 minutos registramos una temperatura de 48.1 °C y el modelo nos arroja un valor aproximado a este de 47.5 °C. También cabe señalar, que al aplicar el cálculo del error porcentual nos arroja un valor un poco elevado. Por ejemplo, a los 25 minutos registramos una temperatura de 48.1 °C y el modelo nos arroja una cifra aproximada de 47.5 °C. También cabe señalar que al aplicar el cálculo del error porcentual nos arroja un porcentaje bajo de error tan solo del 1.3%. Esto nos sugiere dos cosas: primero que el experimento fue llevado en perfecto orden y se establecieron correctamente los parámetros para realizarlo; segundo que el modelo matemático es el adecuado y en términos matemáticos “corresponde a la solución” del problema. Entendimos que el modelo que postulo en su momento Sir. Isaac Newton, describe perfectamente el comportamiento térmico de los diferentes materiales al enfriarse. Y bueno ya que la práctica tiene como objetivo el verificar en que momento es apropiado tomarse una buena taza de café, hemos llegado a la conclusión de que todo depende de quien lo deguste y que tan habituado a los cambios de temperatura sea tal persona. Hay quien le gusta muy caliente o templado. Lo cierto es que debemos tener cuidado al ingerir cualquier sustancia que pueda producir un choque térmico.



Practica 1 ley enfriamiento de newton