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Cap´ıtulo 1 VECTORES 1.1 Magnitud escalar Magnitud escalar es aquella cuya determinaci´on solo requiere el conocimiento de un n´umero real y de una unidad de medida. El n´umero indica la cantidad de veces que la magnitud medida contiene a la unidad considerada. Ejemplos t´ıpicos de magnitudes escalares son: la longitud, la masa, el tiempo, el trabajo, la energ´ıa, etc.. y cualquier n´umero real.

1.2 Magnitud vectorial Es una magnitud para cuya determinaci´on se requiere adem´as del conocimiento de la magnitud escalar, su direcci´on y su sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son: la velocidad, la aceleraci´on, la fuerza, la cantidad de movimiento..

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado Consideramos el espacio tridimensional euclideo, es decir el espacio en el que acontecen los fenom´enos f´ısicos, y denominamos “E” al conjunto de los puntos de este espacio. Generamos a continuaci´on el conjunto producto cartesiano ExE, el cual estar´a formado por pares de puntos ordenados de este espacio, y constituimos un nuevo conjunto que denominaremos (ExE)*, el cual es igual al conjunto anterior, pero en el que se han suprimido los elementos diagonales, estando por tanto este conjunto formado por pares ordenados de puntos distintos del espacio. Este conjunto podr´a ser expresado como: (ExE)* = {(ExE) − (x, x)}

;

∀x ∈ E

Como podemos observar, cada elemento de este conjunto es un segmento orientado, siendo −→ −→ AB 6= BA ya que en el producto cartesiano el elemento AB es distinto del elemento BA. Definimos los vectores ligados como el conjunto ordenado de los elementos del conjunto 1


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(ExE)*, a˜nadiendo adem´as el vector nulo ~0, es decir: {(ExE)*, ~0 } Las caracter´ısticas que definen a un elemento de este conjunto, es decir a un vector fijo son las siguientes: ~ • Modulo |AB|: Es un real positivo asociado a la recta AB y define la longitud del segmento que une los puntos A y B. • Direcci´on: Es la de la recta sobre la cual se encuentra el segmento AB. • Sentido: Viene dado por la ordenaci´on de puntos A y B. • Localizaci´on o punto de aplicaci´on: Es el primero de los puntos que constituyen el par ordenado.

1.4 Concepto de vector libre Dentro del conjunto de los vectores libres ya definido, introducimos una relaci´on que denominaremos de equipolencia, “L”, a la cual enunciamos as´ı: Dos vectores fijos son equipolentes entre s´ı, cuando ambos tienen igual m´odulo, direcci´on y sentido. Dicha relaci´on es f´acil de comprobar que se trata de una relaci´on de equivalencia, pues cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. As´ı pues, el conjunto de los vectores fijos habr´a quedado dividido o clasificado en unas clases de equivalencia; en cada una de las cuales se encontrar´an todos los vectores equipolentes entre s´ı. El conjunto de estas clases (cada clase puede ser idealizada en un s´olo elemento representante), es el conjunto de los vectores libres. Dicho conjunto podr´a ser expresado as´ı: {(ExE)*/L, ~0 } Un vector libre vendr´a definido por: • M´odulo. • Direcci´on. • Sentido. Un ejemplo de magnitud f´ısica representada por un vector libre es el “par”, el cual puede ser localizado en cualquier punto del espacio.


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1.5 Concepto de vector deslizante Dentro del conjunto de los vectores fijos introducimos una nueva relaci´on que denominaremos ‘D” y que la enunciames como sigue: Dos vectores fijos est´an relacionados si son colineales, tienen igual m´odulo y el mismo sentido. Es f´acil comprobar que esta relaci´on ‘D” es tambi´en de equivalencia. El conjunto de las clases en que se divide el conjunto de los vectores fijos al introducir esta relaci´on, es el conjunto de los vectores deslizantes, el cual podr´a ser expresado as´ı: {(ExE)*/D, ~0 } Un vector deslizante quedar´a definido por: • M´odulo. • Recta de aplicaci´on. • Sentido. Ejemplo de vectores deslizantes son las fuerzas que act´uan sobre s´olidos indeformables

1.6 Producto de un vector por un escalar Es una operaci´on definida tanto para vectores libres, como ligados, como deslizantes. Consiste en asociar a un vector ~a y a un escalar λ, un nuevo vector (del tipo del de ~a, es decir, libre, ligado o deslizante) que representaremos por λ · ~a y que se obtiene de modo que: 1. |λ · ~a| = |λ| · |~a| Donde: |λ|: Valor absoluto de λ |~a|: M´odulo del vector ~a 2. La direcci´on y sentido de λ · ~a es igual a la direcci´on y sentido de ~a en el caso de que λ > 0, y de sentido contrario cuando λ < 0.

1.7 Suma de vectores Es una operaci´on definida para: • Vectores libres • Vectores deslizantes, caso de que sus rectas de acci´on se corten en un punto • Vectores fijos, caso de que sus puntos de aplicaci´on coincidan


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a s b Figura 1.1: Suma geom´etrica de dos vectores

Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores dados asocia un tercer vector, que viene dado por la composicci´on geom´etrica denominada ley del paralelogramo: ~s = ~a + ~b Cuando se trata de la suma de m´as de dos vectores se proceder´a sumando los dos primeros, y a continuaci´on sumando su resultado con el tercero y as´ı sucesivamente, o bien, efectando la composici´on geom´etrica siguiente, denominada pol´ıgono de vectores:

b c

a s Figura 1.2: Suma de m´as de dos vectores

~s = ~a + ~b + ~c Con respecto a esta operaci´on suma el conjunto de los vectores tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo, ya que se cumplen las siguientes propiedades: 1. Es una ley de composici´on interna 2. Conmutativa 3. Asociativa 4. Existencia del elemento neutro, ~0 5. Existencia del elemento sim´etrico


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NOTAS: 1. La eliminaci´on de los elementos diagonales que hemos efectuado en el conjunto ExE para formar (ExE)*, volviendo a reintroducir posteriormente el vector ~0; lo cual a primera vista podr´ıa parecer un contrasentido, tiene por objeto preservar la unicidad del elemento neutro en la operaci´on suma. 2. El elemento sim´etrico del vector ~a , ser´a el a~0 tal que: ~a + a~0 = ~0 Este es un vector que denominaremos opuesto al ~a y que se caracteriza por: • Tener el mismo m´odulo que ~a • Tener la misma direcci´on que ~a • Tener sentido contrario a ~a A este vector lo designamos como −~a

1.8 Diferencia de vectores Definimos la diferencia entre vectore ~a y ~b como la operaci´on que consiste en sumar al vector ~a el vector opuesto al ~b ; es decir el ~b0 = −~b ~a − ~b = ~a + (−~b) Evidentemente, esta operaci´on no cumple la propiedad conmutativa.

1.9 Concepto de espacio vectorial Se dice que un determinado conjunto tiene estructura de espacio vectorial, cuando habi´endose definido en el mismo dos operaciones o leyes de composici´on, una interna: la suma, y otra externa: el producto por los elementos de un cuerpo (K) de escalares, e´ stas cumplen las siguientes propiedades: Primera operaci´on 1. Conmutativa: ~a + ~b = ~b + ~a 2. Asociativa: ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c 3. Existencia del elemento neutro: ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a 4. Existencia del elemento sim´etrico: ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~0

∀~a ∈ V


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Segunda operaci´on 1. Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ + µ) ~a = λ ~a + µ ~a 2. Distributiva respecto a la suma de vectores: λ(~a + ~b) = λ ~a + λ ~b 3. Asociativa respecto al producto de escalares: λ (µ ~a) = λ µ ~a 4. Existencia del elemento neutro: 1 · ~a = ~a El conjunto de los vectores libres por nosotros definido, con las operaciones suma y producto por un escalar, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL. Dentro de los espacios vectoriales, recordemos las siguientes definiciones: Combinaci´on lineal: ~ es combinaci´on lineal de los vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , cuando existen Se dice que un vector V los escalares λ1 , λ2 , . . . , λn , cualesquira tales que: ~ = λ1 a~1 + λ2 a~2 + · · · + λn a~n V Sistema de generadores: Un conjunto de vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , se dice que es un sistema generador de un espacio vectorial, cuando cualquir vector del mismo puede ser formado a partir de ese sistema a~1 , a~2 , . . . , a~n mediante combinaci´on lineal. Independencia lineal: Se dice que los vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , son linealmente independientes, cuando no se pueden encontrar “n” escalares, no todos ellos nulos, tales que: λ1 a~1 + λ2 a~2 + · · · + λn a~n = ~0 Expresado de otra forma: La u´ nica combinaci´on lineal de los vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , que genera el vector nulo ~0 , es aquella en la que todos los escalares λ son nulos. Base de un espacio vectorial: Denominamos base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores que: • Son un sistema generador. • Son linealmente independientes. Componentes de un vector: Componentes de un vector respecto de una base dada son los escalares λ 1 , λ2 , . . . , λn , tales que: ~ = λ1 a~1 + λ2 a~2 + · · · + λn a~n V Donde a~1 , a~2 , . . . , a~n , es una base del espacio vectorial.


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La expresi´on de un vector en una base dada es u´ nica, es decir, un vector en una base s´olo puede tener unas componentes. En efecto, sea a~1 , a~2 , . . . , a~n una base de un cierto espacio ~ del mismo admite dos representaciones distintas vectorial, y supongamos que un vector V en dicha base: V~ = λ1 a~1 + λ2 a~2 + · · · + λn a~n = λ01 a~1 + λ02 a~2 + · · · + λ0na~n Operando, ordenando y teniendo en cuenta la distributividad: (λ1 − λ01 ) a~1 + (λ2 − λ02 ) a~2 + · · · + (λn − λ0n ) a~n = ~0 Dado que a~1 , a~2 , . . . , a~n , es una base, y por tanto los vectores de la misma son linealmente independientes, la unica posibilidad es que los escalares sean nulos: λ1 − λ01 = 0 ⇒ λ1 = λ01 λ2 − λ02 = 0 ⇒ λ2 = λ02 .. .. . . λn − λ0n = 0 ⇒ λn = λ0n Lo cual ratifica que las componentes de un vector en una cierta base son u´ nicas

1.10 Proyecci´on de un vector sobre un eje Una recta es un espacio de una sola dimensi´on, al cual podemos orientar mediante una base constituida por un u´ nico vector, que se toma de referencia, y con lo cual la recta queda convertida en lo que denominamos un eje. Proyecci´on de un vector sobre un eje es una “magnitud escalar” igual a la longitud del segmento que se encuentra entre las proyecciones del origen y del extremo del vector sobre el eje, provista del signo (+) o´ (−) seg´un que el sentido del vector y del eje sean o no coincidentes. B

P

α

ϕ

A

B1

a

α1

Q

F

b

E

P1

p

Figura 1.3: Proyecci´on de vector sobre eje

e

x


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Fx = AB1 = ab = |F~ | · cos α ~ · cos ϕ = |Q| ~ · cos α1 Qx = −P1 E = −pe = −|Q| Podemos redifinir entonces la proyecci´on de un vector sobre un eje, como el producto del m´odulo del vector por el coseno del a´ ngulo formado por el sentido preferente del eje y el vector. P royxF~ = Fx = |F~ | · cos α

1.11 Proyecci´on de un vector sobre un plano La proyecci´on de un vector sobre un plano resulta ser “otro vector”, contenido en el plano, tal que su origen es la proyecci´on del origen, y cuyo extremo es la proyecci´on del extremo. Notamos que a diferencia de la proyecci´on sobre un eje, el resultado es una magnitud vectorial. La proyecci´on puede realizarse seg´un cualquier direcci´on. Si esta direcci´on es ortogonal al plano sobre el que se proyecta, se cumple que: |P royπ~a| = |~a| · cos θ

a

π

θ

Proyπ a Figura 1.4: Proyecci´on de vector sobre plano

1.12 Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores es un “escalar” que se obtiene efectuando el producto de los m´odulos de los vectores por el coseno del a´ ngulo que forman. ~ ·V ~ = |U ~ | · |V ~ | · cos α U


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~ | · cos α = P roy ~ V ~ ; y que |U ~ | · cos α = P roy ~ U ~ ; el producto escalar de dos Dado que |V U V vectores tambi´en puede definirse como: El producto del m´odulo de uno de ellos por la proyecci´on del otro sobre e´ l. ~ · V~ = |U ~ | · P roy ~ V ~ = |V ~ | · P roy ~ U ~ U U V

Proy V U

U

α

V

Proy U V

Figura 1.5: Producto escalar de dos vectores Propiedades del producto escalar: • El producto escalar de dos vectores es conmutativo. ~ ·V ~ =V ~ ·U ~ U En efecto: ~ ·V ~ = |U ~ | · |V ~ | · cos α U ~ ·U ~ = |V ~ | · |U ~ | · cos(2π − α) = |V ~ | · |U ~ | · cos α V ~ ·V ~ =V ~ ·U ~ Por tanto: U

• El producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores. ~ · (V ~ +W ~ )=U ~ · V~ + U ~ ·W ~ U

En efecto: ~ · (V ~ +W ~ ) = |U ~ | · P roy ~ (V ~ +W ~) U U


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Dada la linealidad en la operaci´on de proyecci´on se cumple que: ~ +W ~ ) = P roy ~ V ~ + P roy ~ W ~ P royU~ (V U U Por tanto: ~ · (V ~ +W ~ ) = |U ~ | · P roy ~ (V ~ +W ~ ) = |U ~ | · (P roy ~ V ~ + P roy ~ W ~)= U U U U ~ | · P roy ~ V~ + |U ~ | · P roy ~ W ~ =U ~ ·V ~ +U ~ ·W ~ = |U U U • El producto escalar no cumple la ley asociativa. ~ ·V ~ ) ·W ~ 6= U ~ · (V ~ ·W ~) (U | {z }

|

escalar

{z

escalar

}

~, Simplemente observamos que el primer t´ermino es un vector con la direcci´on de W ~ en tanto que el segundo t´ermino es un vector en la direcci´on de U

• Norma de un vector. ~ , al producto escalar de dicho vector por s´ı misDefinimos como norma de un vector U mo. ~ =U ~ ·U ~ = |U ~ | · |U ~ | · cos 0 = |U ~ |2 nor U ~| = Entonces podemos decir: |U

q

~ |2 = |U

q

~ nor U

El producto escalar de dos vectores podr´a ser expresado ahora como: ~ ·V ~ = U

q

~ · nor U

q

~ · cos α nor V

• El producto escalar de dos vectores ser´a nulo cuando: – Alguno de los vectores es nulo. – Si ambos vectores son ortogonales.

1.13 Producto vectorial de dos vectores El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo m´odulo es igual alproducto de los m´odulos de ambos por el seno del a´ ngulo que forman; cuya direcci´on es ortogonal al plano


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determinado por ambos, y cuyo sentido es tal que el triedro determinado por el primer vector, el segundo vector y el resultado sea directo. Esta determinaci´on del sentido del vector producto coincide con la denominada cl´asicamente como ley del sacacorchos, la cual indica que el sentido del vector resultado coincide con el del avance de un sacacorchos que gira desde el primer vector hacia el segundo por el camino m´as corto. ~ ∧V ~ | = |U ~ | · |V ~ | · sen α |U

U ∧V

V α

U

Figura 1.6: Producto vectorial de dos vectores ~ ∧V ~ coincide con el a´ rea del paralelogramo formado El m´odulo del producto vectorial U ~ y V~ sobre los vectores U ~ ∧ V~ | = |U ~ | · |V ~ | · senα = Area “A” |U |

{z h

}

V h

Area A

α

U

Figura 1.7: Significado geom´etrico del m´odulo del producto vectorial

Propiedades del producto vectorial:

• El producto vectorial no es conmutativo. ~ ∧V ~ 6= V ~ ∧U ~ U


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En efecto; ambos productos dan como resultado vectores de igual m´odulo pero de sentidos opuestos. Propiamente podr´ıamos afirmar que el producto vectorial es anticonmutativo, es decir : ~ ∧V ~ = −V ~ ∧U ~ U • El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: ~ ∧ (V ~ +W ~ )=U ~ ∧V ~ +U ~ ∧W ~ U Esta propiedad la comprobaremos cuando veamos la expresi´on anal´ıtica del producto vectorial. • El producto vectorial no es asociativo. ~ ∧V ~)∧W ~ 6= U ~ ∧ (V ~ ∧W ~) (U ~ ∧V ~ estar´a contenido en el plano deEl primer producto, por ser perpendicular a U ~ y V~ terminado por U ~ ∧W ~ estar´a contenido en el plano El segundo producto, por ser perpendicular a V ~ ~ determinado por V y W ~ y s´olo se dar´ıa cundo U ~ y La coincidencia de ambos planos se materializar´a en V ~ ~ W sean perpendiculares a V La demostraci´on la veremos al tratar el doble producto vectorial • El producto vectorial de un vector por s´ı mismo, siempre d´a el vector nulo ~ ∧U ~ | = |U ~ | · |U ~ | · sen 0 = 0 |U ~ ∧U ~ = ~0 U • El producto vectorial de dos vectores es nulo cuando: – Uno cualquiera de los dos vectores es nulo – Ambos vectores son paralelos • En las operaciones con producto vectorial ( al igual que en las operaciones con producto escalar ) no se admite la simplificaci´on: Si ~a ∧ ~b = ~a ∧ ~c No implica que ~b = ~c


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En efecto: ~a ∧ ~b = ~a ∧ ~c =⇒ ~a ∧ ~b − ~a ∧ ~c = ~0 ; Por la propiedad distributiva: ~a ∧ (~b − ~c) = ~0 ; Pero esto no implica que: ~b − ~c = ~0 ; o sea que ~b = ~c dado que ~a y (~b − ~c) pueden ser vectores paralelos

1.14 Producto mixto ~,V ~ y W ~ y se representa como (U ~ ·V ~ ·W ~) a Se denomina producto mixto de tres vectores U la operaci´on consistente en efectuar en primer lugar el producto vectorial de los dos primeros ( un vector ) y multiplicar escalarmente este resultado por el tercer vector. El resultado final de esta operaci´on ser´a por tanto un escalar. ~ ·V ~ ·W ~ ) = (U ~ ∧V ~)·W ~ (U Este producto mixto es igual al vol´umen del paralelep´ıpedo formado sobre esos tres vectores tomados como aristas contiguas. U ∧V = Q

h

ϕ

W V S

α

U

Figura 1.8: Producto mixto de tres vectores ~ ·V ~ ·W ~ ) = (U ~ ∧V ~)·W ~ =Q ~ ·W ~ = ||U ~ | · |V ~ | · sen α| · |W ~ | · cos ϕ = Vol´umen. (U |

{z S

} |

{z h

}

Propiedades del producto mixto: • El producto mixto lleva un signo dependiendo e´ ste del valor de ϕ , o lo que es igual: ~ est´e en el mismo semiespacio que el vector U ~ ∧V ~ , con ser´a positivo siempre que W


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~ yV ~. respecto al plano que determinan los vectores U ~,V ~ yW ~ se Esto tambi´en podr´ıa expresarse diciendo que si la terna de vectores U orienta a derechas el producto mixto es positivo. Caso contrario, el producto mixto ser´a negativo. • Seg´un la propiedad anterior, el producto mixto es circularmente conmutativo, esto es: ~ ·V ~ ·W ~ ) = (V ~ ·W ~ ·U ~ ) = (W ~ ·U ~ · V~ ) 6= (V ~ ·U ~ ·W ~ ) = (W ~ ·V ~ ·U ~ ) = (U ~ ·W ~ ·V ~) (U • El producto mixto se anula cuando: – Alguno de los vectores es nulo. – Dos de los vectores son colineales. – Tres de los vectores se encuentran sobre un mismo plano.

Todo e´ sto es verificable teniendo en cuenta el car´acter volum´etrico que tiene el producto mixto.

1.15 Doble producto vectorial Esta operaci´on, para la que no se emplea ninguna notaci´on epecial consiste en multiplicar vectorialmente dos vectores, y este resultado multiplicarlo vectorialmente por un tercero, es decir: ~ ∧ V~ ) ∧ W ~ (U La colocaci´on del par´entesis es imprescindible, ya que su situaci´on diferente puede afectar el resultado. El doble producto vectorial d´a como resultado un vector que se encuentra en el plano de los ~ y V~ , es decir de los que se encuentran entre par´entesis. vectores U En efecto: ~ yV ~ , estando el producto vectorial Sea π el plano determinado por los vectores U ~ ∧V ~ situado sobre una recta normal a este plano; el vector W ~ lo decomponeU ~ 1 seg´un su proyecci´on ortogonal sobre el plano mos en otros dos, uno de ellos W ~ π y otro W2 sobre dicha recta normal; entonces el doble producto vectorial de ~,V ~,W ~ , lo podremos expresar: los vectores U ~ ∧V ~)∧W ~ = (U ~ ∧V ~ ) ∧ (W ~1+W ~ 2) (U


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W2

W

U ∧V (U ∧ V ) ∧ W

V U W1

π

Figura 1.9: Doble producto vectorial

Y teniendo en cuenta la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma de vectores: ~ ∧V ~ ) ∧ (W ~1+W ~ 2 ) = (U ~ ∧V ~)∧W ~ 1 + (U ~ ∧V ~)∧W ~ 2. (U ~ ∧ V~ )∧ W ~ 2 es nulo, al ser colineales los vectores (U ~ ∧ V~ ) El segundo sumando (U ~ y W2 ; con lo que nos queda: ~ ∧V ~)∧W ~ = (U ~ ∧V ~)∧W ~1 (U El resultado de esta operaci´on debe ser un vector ortogonal a cada uno de los ~ ∧V ~)yW ~ 1 , por consiguiente estar´a situado vectores que en e´ lla intervienen (U ~ y V~ , por lo que podr´a ser expreen el plano π , es decir, el determinado por U sado como una combinaci´on lineal de dichos vectores. ~ ∧V ~)∧W ~ 1 = λU ~ + µV ~ (U Donde λ y µ son escalares no nulos. Mediante c´alculo que aqu´ı no detallamos determinamos que: ~ ·W ~ λ = −V ~ ·W ~ µ=U

Por tanto el doble producto vectorial quedar´a expresado en la siguiente forma en la que solo intervienen productos escalares: ~ ∧ V~ ) ∧ W ~ = (U ~ ·W ~ )·V ~ − (V ~ ·W ~ )·U ~ (U


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1.16 Producto escalar de dos productos vectoriales (Relaci´on de Lagrange) Sea el producto : (~u ∧ ~v ) · (~r ∧ ~s); queremos transformar esta operaci´on de forma que s´olo aparezcan productos escalares. Dicha transformaci´on es la denominada relaci´on de Lagrange. Primeramente nombramos como w ~ al producto (~r ∧ ~s) y lo sustituimos en la expresi´on planteada: (~u ∧ ~v ) · (~r ∧ ~s) = (~u ∧ ~v ) · w ~ Lo cual es un producto mixto. Teniendo en cuenta la conmutatividad circular del producto mixto : (~u ∧ ~v ) · w ~ = (~u · ~v · w) ~ = (w ~ · ~u · ~v ) Aplicando dicha conmutatividad circular y deshaciendo el cambio nos queda : 



(w ~ · ~u · ~v ) = (w ~ ∧ ~u) · ~v = (~r ∧ ~s) ∧ ~u · ~v Observamos un doble producto vectorial que desarrollamos seg´un lo visto en el apartado anterior: 







(~r ∧ ~s) ∧ ~u · ~v = (~r · ~u) · ~s − (~s · ~u) · ~r · ~v

Como el producto escalar es distributivo con respecto a la suma (o diferencia) de vectores: (~u ∧ ~v ) · (~r ∧ ~s) = (~r · ~u) · (~s · ~v ) − (~s · ~u) · (~r · ~v ) Expresi´on e´ sta que se conoce como relaci´on de Lagrange.

1.17 Norma de un producto vectorial La norma de un producto vectorial ser´a evidentemente el producto escalar del producto vectorial por si mismo, es decir : nor (~u ∧ ~v ) = (~u ∧ ~v ) · (~u ∧ ~v ) Para su determinaci´on batar´a con tomar la relaci´on de Lagrange del apartado anterior y en ella hacer ~r = ~u y ~s = ~v : (~u ∧ ~v ) · (~u ∧ ~v ) = (~u · ~u) · (~v · ~v ) − (~u · ~v ) · (~v · ~u)


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Es decir : nor (~u ∧ ~v ) = nor ~u · nor ~v − (~v · ~u)2 Lo que podemos enunciar de la siguiente forma: La norma de un producto vectorial es igual al producto de las normas de los dos vectores, menos el cuadrado de su producto escalar.

1.18 Base ortonormal De todas las bases que puede tener un espacio vectorial, ( recordemos que una base es un sistema generador compuesto por vectores linealmente independientes ) vamos a considerar la que denominamos ortonormal, lo que es tanto como exigirle estas dos nuevas condiciones: 1. La norma de todos sus elementos debe ser la unidad 2. El producto escalar de dos cualesquiera de sus elementos entre s´ı, debe se nulo Para el espacio euclideo de tres dimensiones en el que tienen su escenario los fen´omenos f´ısicos, esta base ortonormal es la terna de los vectores unitarios o versores ( versor es un vector cuyo m´odulo es la unidad ) dirigidos en las tres direcciones del epacio euclideo, seg´un se indica en la figura y denominados versores fundamentales ~i , ~j y ~k, en la notaci´on de Hamilton. Estos tres vectores son una base ortonormal ya que:

k

j

i

Figura 1.10: Base ortonormal

• Son un sistema generador ( cualquier vector puede ser expresado como combinaci´on lineal de ellos ) • Son linealmente independientes ( Ya que no son coplanarios ) • Son ortonormales, pues:


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nor ~i = nor ~j = nor ~k = |1|2 = 1 ~i · ~j = ~j · ~i = ~i · ~k = ~k · ~i = ~j · ~k = ~k · ~j = 0 ( Ya que los vectores ~i , ~j y ~k son perpendiculares entre s´ı ) Se podr´ıa considerar la existencia de otra base ortonormal, la que denominamos a izquierdas o inversa, cuya disposici´on ser´ıa la indicada en la figura 1.11. De todas formas la base ortoj

i −k

Figura 1.11: Base ortonormal inversa

normal a la que nos referiremos de ahora en adelante ser´a la primera, denominada a derechas o directa. El producto mixto de los tres vectores de la base ortonormal directa d´a la unidad: (~i · ~j · ~k) = 1

1.19 Ternas reciprocas de referencia Dos ternas de vectores {~a, ~b, ~c} y {a~0 , ~b0 , c~0 } , se dice que son rec´ıprocas cuando: • ~a · a~0 = ~b · ~b0 = ~c · ~c0 = 1 • ~a · ~b0 = ~a · c~0 = ~b · a~0 = ~b · c~0 = ~c · b~0 = ~c · a~0 = 0 Dada la terna {~a, ~b, ~c}, para obtener los vectores que componen su terna rec´ıproca, bastar´a aplicar: a~0 =

~b ∧ ~c (~a · ~b · ~c)

;

~b0 =

~c ∧ ~a (~a · ~b · ~c)

;

c~0 =

~a ∧ ~b (~a · ~b · ~c)

En efecto, al efectuar ~a · a~0 , nos queda el cociente de dos productos mixtos id´enticos, lo que d´a la unidad; y al efectuar ~a · b~0 en el numerador nos queda un producto mixto con un vector repetido, lo que d´a como resultado cero. Las dos ternas de vectores rec´ıprocos de referencia, desde el punto de vista geom´etrico est´an constituidas por dos triedros suplementarios, es decir, dos triedros que cada uno de los cuales tiene las aristas perpendiculares a las caras del otro.


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Se pueden aprovechar las propiedades de las ternas rec´ıprocas para operar en forma simplificada: Sean los vectores ~u y ~v expresados cada uno en una base rec´ıproca a la otra: ~u = u1 · ~a + u2 · ~b + u3 · ~c ~v = v1 · a~0 + v2 · ~b0 + v3 · c~0 El producto escalar ~u · ~v ser´a: ~u · ~v = (u1 · ~a + u2 · ~b + u3 · ~c) · (v1 · a~0 + v2 · ~b0 + v3 · c~0 ) ~u · ~v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 ; ya que: ~a · a~0 = ~b · b~0 = ~c · c~0 = 1, y ~a · b~0 = ~a · c~0 = ~b · a~0 = ~b · c~0 = ~c · ~b0 = ~c · a~0 = 0 Importante La dificultad de esta operaci´on estriba en que cada vector debe ser expresado en una base distinta; por esta raz´on el hecho de que la base ortonormal {~i, ~j, ~k} sea rec´ıproca de s´ı misma, la hace especialmente u´ til y en este hecho reside su importancia.

1.20 Expresi´on de un vector en la notaci´on de Hamilton Un vector cualquiera ~v puede ser expresado como combinaci´on lineal de los vectores de una base; si la base elegida es la base ortonormal {~i, ~j, ~k} este vector podr´a ser expresado como: ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k Donde los escalares v1 , v2 y v3 son las componentes del vector ~v en esa base ortonormal. Caracter´ısticas de este vector: • M´odulo |~v | =

q

v12 + v22 + v32

• Cosenos directores del vector ( Determinan la direcci´on de su recta de aplicaci´on ): cos α =

v1 |~v |

;

cos β =

Si el m´odulo del vector es la unidad |~v | = 1

v2 |~v |

;

cos γ =

v3 |~v |


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20

cos α = v1 , cos β = v2 y cos γ = v3 . Y entonces la expresi´on de este vector ser´ıa : ~v = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k Los vectores de m´odulo unidad se denominan vectores unitarios o versores. Esto nos indica que en la base de Hamilton las componentes de un versor son los cosenos directores de la l´ınea sobre la que se sustenta dicho versor.

V3 k

V

γ β

k

V2 j

i

α

j

V1 i

Figura 1.12: Vector en la base de Hamilton

1.21 Expresi´on anal´ıtica en la notaci´on de Hamilton de las operaciones entre vectores Suma de vectores Sea el vector ~u = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k y el vector ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k El vector w ~ suma de ambos, ser´a: w ~ = ~u + ~v = w1 · ~i + w2 · ~j + w3 · ~k = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k + v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k = (u1 + v1 ) · ~i + (u2 + v2 ) · ~j + (u3 + v3 ) · ~k, en donde:   

w1 = u 1 + v 1 w2 = u 2 + v 2   w3 = u 3 + v 3

Las componentes del vector suma son iguales a la suma de las componentes de los vectores sumandos.


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21

Producto de un vector por un escalar Sea el vector ~u = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k y el escalar λ El vector ~v = λ · ~u ser´a: ~v = λ · ~u = v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k = λ · (u1 ·~i + u2 · ~j + u3 · ~k) = λ · u1 ·~i + λ · u2 · ~j + λ · u3 · ~k En donde:   

v1 = λ · u 1 v2 = λ · u 2   v3 = λ · u 3

Las componentes del vector producto de un vector por un escalar son iguales al producto del escalar por las componentes del vector. Producto escalar de vectores Sean los vectores ~u = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k y ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k La expresi´on anal´ıtica de su producto escalar, teniendo en cuenta la distributividad respecto a la suma: ~u · ~v = (u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k) · (v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k) = u1 · v1 · ~i · ~i + u1 · v2 · ~i · ~j + u1 · v3 ·~i · ~k + u2 · v1 ·~j ·~i + u2 · v2 ·~j ·~j + u2 · v3 ·~j · ~k + u3 · v1 · ~k ·~i + u3 · v2 · ~k ·~j + u3 · v3 · ~k · ~k Lo cual puede ser expresado en la siguiente forma matricial: 

~i · ~i  ~ ~ ~u · ~v = (u1 , u2 , u3 )   j·i ~k · ~i

~i · ~j ~j · ~j ~k · ~j

 ~i · ~k  v1    ~j · ~k    v2  ~k · ~k v3

Teniendo en cuenta las caracter´ısticas ortonormales de la base {~i, ~j, ~k} la matriz del centro queda convertida en: 

1 0 0    0 1 0  0 0 1

Con lo que el producto escalar nos queda: 



1 0 0 v1   ~u · ~v = (u1 , u2 , u3 )   0 1 0   v2  = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 0 0 1 v3


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22

Recordemos que esta expresi´on es similar a la obtenida cuando los vectores eran expresados en bases rec´ıprocas, con la ventaja en este caso de que aqu´ı la base es u´ nica para los dos vectores. Producto vectorial Sean los vectores ~u = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k y ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k La expresi´on anal´ıtica del producto vectorial, teniendo en cuenta la propiedad distributiva ser´a: ~u ∧~v = (u1 ·~i+u2 ·~j +u3 ·~k)∧(v1 ·~i+v2 ·~j +v3 ·~k) = u1 ·v1 ·(~i∧~i)+u1 ·v2 ·(~i∧~j)+u1 ·v3 ·(~i∧ ~k)+u2 ·v1 ·(~j ∧~i)+u2 ·v2 ·(~j ∧~j)+u2 ·v3 ·(~j ∧~k)+u3 ·v1 ·(~k∧~i)+u3 ·v2 ·(~k∧~j)+u3 ·v3 ·(~k∧~k) Expresi´on que en forma matricial adopta la forma: 

~i ∧ ~i  ~ ~ ~u ∧ ~v = (u1 , u2 , u3 )   j∧i ~k ∧ ~i

~i ∧ ~j ~j ∧ ~j ~k ∧ ~j

 ~i ∧ ~k  v1    ~j ∧ ~k    v2  ~k ∧ ~k v3

Dadas las propiedades de la base ortonormal, la matriz del centro ser´a: 

~0 ~k −~j    −~ ~i  ~   k 0 ~j −~i ~0

Y el desarrollo del producto vectorial da lugar a la siguiente expresi´on en forma de determinante:

~i ~j ~k

~u ∧ ~v = u1 u2 u3

v1 v2 v3

Habiendo definido el producto vectorial para vectores geom´etricos con la expresi´on obtenida, ahora estamos en condiciones de comprobar la propiedad distributiva del producto vectorial con respecto a la suma de vectores. ~u ∧ (~v + w) ~ = ~u ∧ ~v + ~u ∧ w ~ En efecto:

~k ~i ~j u1 u2 u3 (v1 + w1 ) (v2 + w2 ) (v3 + w3 )

~i ~j ~k

= u1 u2 u3 +

v1 v2 v3

~i ~j ~k

u1 u2 u3

w1 w2 w3

La distributividad queda comprobada por la propiedad de los determinantes que nos dice que para sumar dos determinantes del mismo orden basta sumar dos filas o dos columnas correspondientes.


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Producto Mixto Sean los vectores ~u, ~v y w ~ cuyas expresiones en la base de Hamilton son: ~u = u1 · ~i + u2 · ~j + u3 · ~k ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k w ~ = w1 · ~i + w2 · ~j + w3 · ~k Efectuando la operaci´on (~u · ~v · w) ~ = (~u ∧ ~v ) · w ~ obtendremos un desarrollo de 27 t´erminos, cuyo resultado en forma abreviada resulta ser:

u1 u2 u3

(~u · ~v · w) ~ = v1 v2 v3 · (~i · ~j · ~k)

w1 w2 w3

Teniendo en cuenta que el producto mixto (~i·~j · ~k) de los tres vectores de la base de Hamilton da la unidad, nos queda:

u1 u2 u3

(~u · ~v · w) ~ = v1 v2 v3

w1 w2 w3

Determinante cuyos elementos son todos escalares, y por tanto su valor ser´a un escalar como corresponde a un producto mixto. Esta expresi´on del producto mixto en forma de determinante permitir´a comprobar las propiedades de la conmutatividad circular ya vistas, en base ahora a las propiedades de los determinantes. Proyecci´on de un vector sobre un eje Un eje es una recta orientada, que puede quedar definida mediante un vector unitario ~u que tenga por l´ınea de acci´on la propia recta. Sea este vector unitario el ~u = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k; donde las componentes son los cosenos directores de la recta. Sea el vector ~v a proyectar ~v = v1 · ~i + v2 · ~j + v3 · ~k. Recordemos que: P royu~ ~v = ~v · ~u Ya que: ~v · ~u = |~v | · |~u| · cos α = |~v | · 1 · cos α = |~v | · cos α Por tanto: P royu~ ~v = v1 · cos α + v2 · cos β + v3 · cos γ


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Proyecci´on de un vector sobre un plano Sea el plano π definido por el vector unitario ~u perpendicular a dicho plano. El m´odulo de la proyecci´on de ~a sobre el plano π vale |~a| · sen α , lo cual nos encamina a pensar en el producto vectorial ~u ∧ ~a , ya que |~u ∧ ~a| = 1 · |~a| · sen α, pero ~u ∧ ~a nos aparece desviado como tal vector π/2 respecto a la verdadera proyecci´on. Bastar´a entonces multiplicar ~u ∧ ~a vectorialmente por ~u , para corregir esos π/2 radianes y mantener su car´acter vectorial. En definitiva: P royπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u Y desarrollando la expresi´on del doble producto vectorial: P royπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u = (~u · ~u) · ~a − (~a · ~u) · ~u = ~a − (|~a| cos α ) · ~u

α

u

a

u∧a

(u ∧ a) ∧ u = Pr oyπ a

π

Figura 1.13: Proyecci´on de un vector sobre un plano

1.22 Derivada de un vector respecto a un escalar Sea un vector, o m´as propiamente una funci´on vectorial ~v , la cual depende de un par´ametro escalar u en la forma ~v = ~v (u) Definimos derivada del vector ~v con respecto al escalar u al l´ımite ( si e´ ste existe ) del


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cociente entre ~v (u + 4u) − ~v (u) y 4u cuando 4u tiende a cero. ~v (u + 4u) − ~v (u) d~v = lim du 4u→0 4u

Interpretaci´on geom´etrica Sea ~v1 el valor que adopta el vector ~v (u) para el valor escalar u ~v1 = ~v (u) Por otra parte sea ~v2 el valor que adopta el vector ~v (u) para el escalar u + 4u ~v2 = ~v (u + 4u)

v 1 = v( u )

v 2 − v1

v 2 = v(u + ∆u ) Figura 1.14: Interpretaci´on geom´etrica de la derivada de un vector La derivada d~v ser´a el valor que toma ~v2 − ~v1 en el l´ımite, es decir, ser´a un vector que tiene du 4u la direcci´on de ~v2 − ~v1 Es interesante notar que a´un suponiendo que el m´odulo del vector ~v (u) permanece consd~v siempre que haya un cambio en la direcci´on tante al incrementarse el escalar u , existir´a du de ~v (u) Expresi´on anal´ıtica de la derivada de un vector Sea el vector ~v = x · ~i + y · ~j + z · ~k , el cual si es funci´on de un par´ametro escalar u, lo es porque sus componentes son funciones de dicho par´ametro escalar; en general: x = x (u)

;

y = y (u)

;

z = z (u)

Luego el vector ~v se expresar´a propiamente como: ~v (u) = x (u) · ~i + y (u) · ~j + z (u) · ~k


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La derivada de este vector respecto del escalar u ser´a: ~v (u + 4u) − ~v (u) d~v = lim = du 4u→0 4u x (u + 4u) · ~i + y (u + 4u) · ~j + z (u + 4u) · ~k − [x (u) · ~i + y (u) · ~j + z (u) · ~k] = 4u→0 4u

= lim

= lim

4u→0

"

#

"

#

"

#

x (u + 4u) − x (u) ~ y (u + 4u) − y (u) ~ z (u + 4u) − z (u) ~ ·i+ lim ·j+ lim ·k = 4u→0 4u→0 4u 4u 4u

=

dx ~ dy ~ dz ~ ·i+ ·j+ ·k du du du

Resultado que podriamos enunciar de la siguiente forma: La derivada de un vector respecto a un escalar es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes. Todo ello en el supuesto de que esta operaci´on se realiza en una referencia fija, es decir, que los vectores de la base no sufren ninguna variaci´on al variar el escalar . Consideraciones cinem´aticas en torno al vector velocidad y al vector aceleracio´ n Consideramos los siguientes casos: 1. El vector ~v es constante en m´odulo y direcci´on. v Definimos la aceleraci´on como: ~a = d~ ; El par´ametro escalar es el tiempo. En esdt d~v te caso evidentemente dt = ~0 y la aceleraci´on es por tanto nula. Nos encontramos entonces ante un movimiento rectilineo y uniforme

2. El vector ~v es variable en m´odulo, pero constante en direcci´on. d(v · ~τ ) ~a = d~v = dt dt En donde ~τ es el vector unitario en la direcci´on de la trayectoria, direcci´on que recordamos es ahora constante. d(v · ~τ ) dv d~τ v ~a = d~ dt = dt = dt · ~τ + v · dt d~τ es nula por ser el vector ~τ constante, luego: dt ~a = dv · ~τ = ~aτ dt


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A esta aceleraci´on ~aτ se la denomina tangencial y est´a dirigida en la direcci´on de la trayectoria. Nos encontramos ante un movimiento rectilineo variado , acelerado o decelerado seg´un el signo del escalar dv dt 3. El vector ~v es constante en m´odulo, pero variable en direcci´on. d(v · ~τ ) v dv d~τ ~a = d~ dt = dt = dt · ~τ + v · dt En este caso es el primer sumando nulo, ya que el escalar v no var´ıa. τ ~a = v · d~ dt = ~aη τ Posteriormente veremos en cinem´atica que d~ = vρ · ~η , en donde ρ es el radio de dt curvatura de la trayectoria, y ~η es el vector unitario en la direcci´on normal principal a la trayectoria. Nos queda entonces:

τ = v 2 · ~η ~a = ~aη = v · d~ ρ dt Se trata en este caso de un movimiento curvilineo con aceleracio´ n tangencial nula.

4. El vector ~v es variable en m´odulo y direcci´on. 2 d(v · ~τ ) ~a = d~v = = dv · ~τ + v · d~τ = dv · ~τ + vρ · η~ dt dt dt dt dt

En este caso ninguno de los dos sumandos es nulo, ya que existe tanto variaci´on en el m´odulo como en la direcci´on. Se trata de un movimiento curvilineo con aceleraci o´ n normal y tangencial. 2 ~a = ~aη + ~aτ = vρ · ~η + dv dt · ~τ

1.23 Estudio de los sistemas de vectores deslizantes La importancia del estudio de los sistemas de vectores deslizantes radica en su aplicaci´on a la est´atica de los s´olidos indeformables, en donde las fuerzas tienen el comportamiento de los vectores deslizantes. En efecto, si un s´olido indeformable se encuentra en equilibrio bajo la acci´on de determinadas fuerzas, y si desplazamos e´ stas sobre sus l´ıneas de acci´on, conservando m´odulo y sentido, observamos que el estado de equilibrio no se altera, si bien en alg´un caso puede


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variar de ser estable a ser inestable o indiferente.

1.23.1 Momento central de un vector deslizante Sea el vector ~a que act´ua en la l´ınea de acci´on AA0 aplicado en A . Definimos momento del −→ vector ~a con respecto al punto O , como el producto vectorial OA ∧ ~a → ~O = − M OA ∧ ~a −→ Designando OA como ~r ; vector de posici´on del punto A con origen en O → ~O = − M OA ∧ ~a = ~r ∧ ~a Veamos ahora algunas propiedades del momento central: 1. El valor del momento no depende del punto de aplicaci´on elegido para el vector deslizante, siempre que sea un punto de su l´ınea de acci´on. En efecto, tomemos como punto de aplicaci´on del vector ~a otro punto A 0 dentro de la misma l´ınea de acci´on.

a A´

a A

r´ r

0

Figura 1.15: Momento central de un vector deslizante

Con punto de aplicaci´on en A:

~ O = ~r ∧ ~a M

Con punto de aplicaci´on en A0 : −→ −−→0 ~ 0 O = r~0 ∧ ~a = (~r + − ~O M AA0 ) ∧ ~a = ~r ∧ ~a + AA a} = ~r ∧ ~a = M | {z∧ ~

−−→ El producto AA0 ∧ ~a = ~0 por ser el producto vectorial de dos vectores colineales. ~O = M ~ 0 O queda comprobado lo enunciado Por tanto al ser M


´ CAPITULO 1. VECTORES

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2. Si el momento del vector ~a con respecto al punto O es nulo, es que la l´ınea de acci´on del vector pasa por el punto O. En efecto, si ~r ∧ ~a = ~0 , no siendo nulo el vector ~a, es que o bien ~r = ~0, o bien ~r y ~a son vectores colineales. En ambos casos se verifica lo enunciado. 3. Condici´on para que el vector ~a tenga momentos iguales respecto a dos puntos distintos O y O 0 del espacio. → ~ O = ~r ∧ ~a = − M OA ∧ ~a −→ ~ O0 = r~0 ∧ ~a = − M O 0 A ∧ ~a −−→ −−→ −→ Siendo O 0 A = O 0 O + OA , y sustituyendo en la expresi´on anterior: 0

r

a A

Figura 1.16: Momento respecto a dos puntos del espacio

−→ −→ −−→ −−→ −→ ~ O 0 = (− ~O M O 0 O + OA) ∧ ~a = O 0 O ∧ ~a + OA ∧ ~a = O 0 O ∧ ~a + M Expresi´on que podemos enunciar como: El momento de un vector ~a con respecto a un punto cualquiera del espacio O 0 es igual al momento de dicho vector ~a con respecto a otro punto del espacio O , m´as el momento con respecto a O 0 de un vector equipolente al ~a situado en O −→ ~O = M ~ O0 , lo que tendr´a que ocurrir es que − Si lo que pretendemos es que M O 0 O ∧~a = −→ ~0, es decir que − O 0 O y ~a sean paralelos. La condici´on necesaria y suficiente para que el momento central de un vector ~a respecto de dos puntos O y O 0 distintos sea el mismo, es que dichos puntos determinen una recta paralela a la l´ınea de acci´on de ~a . 4. Expresi´on anal´ıtica del momento central Sea el vector ~a = a1 ~i + a2 ~j + a3 ~k cuyo punto de aplicaci´on es A de coordenadas (x, y, z) .


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El punto O respecto al cual queremos determinar el momento tiene por coordenadas (x0 , y0 , z0 ) ~ O ser´a: El momento M

~k ~i ~j ~ MO = ~r ∧ ~a = x − x0 y − y0 z − z0 a1 a2 a3

= [a3 · (y − y0 ) − a2 · (z − z0 )] · ~i+

[a1 · (z − z0 ) − a3 · (x − x0 )] ·~j + [a2 · (x − x0 ) − a1 · (y − y0 )] · ~k = Mx ~i + My ~j + Mz ~k. ~ 0 en los ejes X, Y y Z Siendo Mx , My y Mz las componentes del vector M

1.23.2 Momento axial Se denomina tambi´en momento de un vector respecto a un eje. Sea una recta M N orientada por medio de un vector unitario ~u , es decir un eje, y sea el vector deslizante ~a , con punto de aplicaci´on en A . Llamamos momento axial del vector ~a respecto al eje orientado por ~u , a la proyecci´on sobre dicho eje del momento central del vector ~a con respecto a un punto O perteneciente al eje. El resultado es evidentemente un escalar.

Mo u

0

N

Mu r

M

A

a

Figura 1.17: Momento axial de un vector

Aplicando la definici´on: ~ O · ~u = (~r ∧ ~a) · ~u = (~r · ~a · ~u) Mu~ = M Es decir, el momento de un vector con respecto a un eje es el producto mixto de los vectores ~r, ~a y ~u Para que la definici´on dada sea coherente, el valor del momento axial obtenido debe ser


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independiente del punto O del eje elegido. En efecto, supongamos que elegimos otro punto O 0 del eje distinto del O , tendremos: −−→ −−→ M 0 ~u = (O 0 A · ~a · ~u) = (O 0 A ∧ ~a) · ~u Teniendo en cuenta la relaci´on: −−→ −−→ −→ O 0 A = O 0 O + OA Y sustituyendo: −−→ −→ −−→ −−→ −→ −→ M 0 ~u = [(O 0 O + OA) ∧ ~a] · ~u = (O 0 O ∧ ~a) · ~u + (OA ∧ ~a) · ~u = (O 0 O · ~a · ~u) + (OA · ~a · ~u) Observamos que el primer sumando es nulo, ya que se trata de un producto mixto en el −−→ que los vectores O 0 O y ~u son colineales. Por tanto: −→ M 0 ~u = (OA ∧ ~a) · ~u = Mu~ Lo que demuestra que la definici´on dada para el momento axial es coherente, y el resultado que se obtiene es independiente del punto del eje elegido. Veamos ahora algunas propiedades del momento axial: 1. Condiciones en las que se anula el momento axial: El momento axial ser´a nulo cuando: (~r · ~a · ~u) = O. Es decir, cuando ~r, ~a y ~u sean coplanarios, lo cual exige que la l´ınea de acci´on de ~a corte al eje de vector unitario ~u, o bien que ~a y ~u sean paralelos. 2. Relaci´on entre los momentos axiales de un mismo vector respecto a dos ejes paralelos. Sean dos ejes paralelos con sus correspondientes vectores unitarios ~u iguales para ambos, as´ı como el vector ~a aplicado en A con sus vectores de posici´on ~r y r~0 con respecto a los puntos O y O 0 situados en cada eje. Los momentos axiales de ~a con respecto a cada eje los designaremos Mu~ y Mu~0 Tendremos que: −→ Mu~ = (OA · ~a · ~u) = (~r · ~a · ~u) −→ −−→ −−→ Siendo ~r = OA = OO 0 + O 0 A Y sustituyendo en la expresi´on anterior, teniendo en cuenta que los productos mixtos encierran en s´ı productos vectoriales, y que el producto vectorial es distributivo


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u 0

u

r

a 0´

A

Figura 1.18: Momento axial de un vector respecto de ejes paralelos

con respecto a la suma de vectores: −−→ −−→ Mu~ = (OO 0 · ~a · ~u) + (O 0 A · ~a · ~u) Con lo que nos queda: −−→ Mu~ = (OO 0 · ~a · ~u) + Mu~0 Expresi´on que nos da la relaci´on entre los momentos axiales de un mismo vector respecto de dos ejes paralelos. Si lo que queremos es que ambos momentos sean iguales, es decir que : M u~ = Mu~0 −−→ entonces deber´a cumplirse que (OO 0 · ~a · ~u) = 0 , lo cual ocurrir´a cuando el vector −−→ ~a sea paralelo al plano definido por OO 0 y ~u , o sea el plano determinado por los dos ejes. 3. Expresi´on anal´ıtica del momento axial Sea un vector ~a de componentes (a1 , a2 , a3 ) aplicado en el punto A (xA , yA , zA ) . Sobre el eje definido por el vector unitario ~u = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k elegimos el punto O (x0 , y0 , z0 ) La expresi´on anal´ıtica del momento axial Mu~ del vector ~a con respecto al eje definido por ~u ser´a tal como corresponde a un producto mixto:

xA − x 0 y A − y 0 z A − z 0 ~ a1 a2 a3 Mu~ = (OA · ~a · ~u) = cos α cos β cos γ


´ CAPITULO 1. VECTORES

33

1.23.3 Reducci´on a un punto de un sistema de vectores deslizantes Sea un conjunto de vectores deslizantes a~1 , a~2 , . . . a~n ; denominamos resultante de este sistema a la suma de todos los vectores que lo componen, considerando que e´ stos fuesen libres. Esta resultante ser´a por tanto un vector libre. ~ = R

i=n X

~ai

i=1

~ no representa por s´ı solo a todo el sistema ( recordemos que la suma Este vector resultante R de vectores solo est´a definida para los vectores libres, los deslizantes con un punto com´un en sus l´ıneas de acci´on y los fijos en un mismo punto de localizaci´on ), sino que constituye solamente una caracter´ıstica del sistema. Para definir por completo el sistema es necesario a˜nadir el momento del sistema respecto a un cierto punto “O”, que denominaremos momento resultante del sistema en dicho punto, el cual no ser´a otra cosa sino la suma de todos los momentos centrales de todos los vectores que componen el sistema con respecto a dicho punto. ~O = M

i=n X

~ri ∧ ~ai

i=1

Se trata de la suma de vectores ligados al punto “O” , y por tanto el resultado ser´a un vector tambi´en ligado a “O”. En resumen: Un sistema de vectores deslizantes a~1 , a~2 , . . . a~n queda reducido en un punto del espacio “O” por dos vectores: ~ que es un vector libre • Una resultante R ~ O que es un vector fijo • Un momento resultante M

1.23.4 Sistema par de vectores Denominamos “Par de vectores” al sistema formado por dos vectores deslizantes cuyas l´ıneas de acci´on son paralelas, cuyos m´odulos son iguales, y que tienen sentidos opuestos. Las caracter´ısticas de este sistema son: ~ = ~a + a~0 = ~a + (−~a) = ~0 R −−→ −−→ −−→ −−→ → −→ −→ −→ −−→ ~O = − M OA∧~a+OA0 ∧a~0 = OA∧~a+OA0 ∧(−~a) = OA∧~a−OA0 ∧~a = (OA−OA0 )∧~a = A0 A∧~a ~ es nula, y cuyo momento resulEl par de vectores resulta ser un sistema cuya resultante R ~ O coincide con el momento de uno de los vectores con tante con respecto a un punto O, M


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A

a A´

a´ = − a

0

Figura 1.19: Par de vectores

respecto a un punto contenido en la l´ınea de aplicaci´on del otro. ~ O es independiente del Es importante observar que en este caso el momento resultante M punto O elegido, y por tanto se trata de un vector libre. Veremos que cuando esta circustancia concurre en un sistema de vectores deslizantes, e´ ste ser´a equivalente a un par.

1.23.5 Momento m´ınimo Hemos visto como todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse en un punto O en ~ que es la suma de todos los vectores del sistema considerados como libres una resultante R ~ O que es la suma de todos los momentos cenaplicada en O y en un momento resultante M trales de todos los vectores que componen el sistema con respecto al punto O. Con anterioridad, concretamente en 1.23.1, hemos visto como se relacionaba el momento de un vector con respecto a un punto O con el momento de ese mismo vector con respecto a otro punto O’ −→ ~O = − ~ O0 M OO 0 ∧ ~a + M Si disponemos de un sistema de vectores deslizantes a~1 , a~2 , . . . a~n , la expresi´on anterior podr´a ser propuesta para todos y cada uno de los vectores que componen ese sistema: −→ ~ O1 = − ~ O0 M OO 0 ∧ ~a1 + M 1 − − → ~ O2 = OO 0 ∧ ~a2 + M ~ O0 M 2 .. .. .. . . . −−→0 ~ ~ MOn = OO ∧ ~an + MOn0 Efectuando la suma de todas estas expresiones nos quedar´a: −→ ~ ~O = − ~ O0 M OO 0 ∧ R +M


´ CAPITULO 1. VECTORES

35

~ O es el momento resultante del sistema en el punto O, M ~ O0 es el momento reEn donde M ~ sultante del sistema en el punto O’, y R es el vector resultante del sistema. ~ esta u´ ltima expresi´on en sus dos t´erminos, y haciendo Multiplicando escalarmente por R uso de la distributividad del producto escalar frente a la suma de vectores: −→ ~ ~ ~O · R ~ = (− ~ O0 · R ~ M OO 0 ∧ R) ·R+M ~ iguales, por tanto este producto mixto Observamos un producto mixto con dos vectores R ser´a nulo, con lo que nos queda: ~O ·R ~ =M ~ O0 · R ~ M ~ no es simplificable. En virtud de la definici´on Recordemos que en este producto escalar R de producto escalar, la ecuaci´on anterior podr´a ser puesta como: ~ · P roy ~ M ~ ~ ~ |R| ~ MO 0 R O = |R| · P royR ~ si se puede simplificar al se una operaci´on entre escalares, y por tanto En la que ahora |R| tendremos: ~ O = P roy ~ M ~ 0 P royR~ M R O De aqu´ı deducimos que la proyecci´on sobre la resultante del momento resultante del sistema en un punto cualquiera del espacio permanece constante e invariante; a este valor lo denominamos “m” y recordemos que es un escalar como toda proyecci´on de un vector sobre un eje. Dibujamos en la siguiente figura las proyecciones de los distintos momentos resultantes en ~ y en ella podemos los puntos O, O 0 y O 00 sobre los ejes que determinan la resultante R observar que aunque varien los momentos para los diferentes puntos, sus proyecciones permanecen constantes. R

R

Mo

M o´

α

m

0

R

α´

M o´´ α´´

0´´

Figura 1.20: Proyecci´on constante del momento sobre la resultante

El valor de esta proyecci´on escalar “m” podr´a ser positivo, negativo o nulo, seg´un que el a´ ngulo α sea menor, mayor o igal a π/2 Definimos momento m´ınimo de un sistema de vectores deslizantes como la descomposici´on


´ CAPITULO 1. VECTORES

36

~ del vector momento en ese punto. Es decir, el momento en la direcci´on de la resultante R m´ınimo es “m” pero con caracter vectorial. ~ ~ min = m · R M ~ |R|

1.23.6 Invariantes de un sistema de vectores deslizantes De lo visto hasta ahora, deducimos que en un sistema de vectores deslizantes son invariantes, es decir, independientes del punto del espacio considerado: ~ • La resultante R. • El producto escalar del momento resultante del sistema por la resultante ~O ·R ~ =M ~ O0 · R ~ M ~ del momento resultante • La proyecci´on sobre la resultante R ~ O = P roy ~ M ~ 0 P royR~ M R O Lo que viene a ser equivalente a decir que el momento m´ınimo es un invariante

1.23.7 Eje central R Mo A

M1

α M2

π

0

Figura 1.21: Localizaci´on de un punto del eje central ~ y el momento resultante del sistema Sea la resultante de un sistema de vectores deslizantes R ~O en el punto O M ~ SituaReducido as´ı el sistema, situamos un plano π que pasa por O y es perpendicular a R. ~ mos as´ı mismo el el punto O el momento resultante MO ; descomponi´endolo en dos vectores, ~ 1 colineal con R, ~ y otro M ~ 2 situado en el plano π y l´ogicamente perpendicular a M ~1 uno M


´ CAPITULO 1. VECTORES

37

Tratamos de encontrar un punto A, situado en el plano π en el cual la resultante y el momento resultante sean vectores colineales. Establecemos la ya conocida expresi´on que relaciona los momentos resultantes en dos puntos: → ~ ~A = − ~O M AO ∧ R +M ~A y R ~ , es decir: M ~A ∧ R ~ = ~0 : Y expresamos la condici´on de colinealidad entre M −→ ~ ~ (AO ∧ R) ∧R

~A ∧ R ~ = M

{z

|

~O ∧ R ~ = ~0 +M

}

Doble producto vectorial

Desarrollando el valor del doble producto vectorial tal y como vimos en el apartado 1.15 : −→ ~ ~ → ~ ~ · R) ~ ·− ~ ~ (AO · R) · R − (R AO + M O ∧R = 0 −→ ~ ~ → ~ ~ ·− ~ ~ (AO · R) · R − nor R AO + M O ∧R = 0 −→ Tanto el punto A como el punto O est´an en el plano π, por lo tanto el vector AO est´a en ~ dicho plano, y es perpendicular a R A∈π O∈π

)

−→ −→ ~ =⇒ AO ∈ π =⇒ AO · R =0

→ → ~ ~ ·− ~ O ∧ R, ~ o bien: nor R ~ ·− ~ O. De lo que se deduce que: nor R AO = M OA = R ∧M Quedando as´ı definido el vector de posici´on del punto A desde el punto O , que tendr´a ~ ∧M ~O la direcci´on y sentido del producto vectorial R ~ ∧M ~O −→ R OA = ~ nor R Vector de posici´on que tendr´a por m´odulo: ~ · |M ~ O | · senα ~ 2| |R| |M −→ |OA| = = (∗) ~ 2 ~ |R| |R| Queda as´ı determinado el punto A del plano π para el cual la resultante y el momento resultante del sistema son vectores colineales. Veamos ahora si fuera del plano π existen otros puntos, por ejemplo el A 0 , en los que se ~ y momento resultancumple tambi´en la misma condici´on de colinealidad entre resultante R ~ te MA0 Expresamos el momento resultante en A0 en funci´on del momento resultante en A : −→ ~ ~ A0 = − ~A M A0 A ∧ R +M


´ CAPITULO 1. VECTORES

38

~ A0 ∧ R ~ = ~0 La condici´on de colinealidad ser´a: M −→ ~ ~ A0 ∧ R ~ = (− ~ +M ~A ∧ R ~ = ~0 M A0 A ∧ R) ∧R ~A ∧ R ~ = ~0 seg´un vimos antes, luego: Recordemos que: M −−→ ~ ~ = ~0 (A0 A ∧ R) ∧R Desarrollando el doble producto vectorial: −−→ ~ ~ −→ ~ · R) ~ ·− (A0 A · R) · R − (R A0 A = ~0 −−→ ~ ~ −→ ~ ·− (A0 A · R) · R − nor R A0 A = ~0 (∗∗) −−→ ~ −−→ El producto A0 A · R 6= 0 , ya que si se anular´ıa eso significar´ıa que los vectores A0 A y −→ ~ son perpendiculares, o lo que es lo mismo, que − R A0 A est´a contenido en el plano π , lo que es contrario a la hip´otesis establecida. −→ ~ es nula, por lo que la expresi´on (∗∗) nos indica que R ~ y− Tampoco nor R A0 A son linealmente dependientes, o lo que es lo mismo, colineales. De lo dicho se deduce que todos los puntos A0 est´an situados en una recta paralela a la ~ o perpendicular al plano π , cuyo punto de corte con dicho plano es el punto A. resultante R, A esa recta, lugar geom´etrico de los puntos en los que resultan ser colineales la resultante y el momento resultante del sistema, se la denomina “Eje Central” del sistema de vectores deslizantes. ~ 1 del momomento M ~ en cualquier Dado que el momento m´ınimo, o bien la componente M ~ 2 es siempre perpendicular a R ~ ya punto del espacio es invariante, y que la componente M −→ OA y es linealmente proporcicional a la distancia OA del punto considerado al eje central, seg´un vemos en la expresi´on (∗), estando contenida en el plano π , podemos decir que el conjunto de los momentos resultantes de un sistema, ofrece una simetr´ıa cil´ındrica, cuyo eje es el eje central del sistema, seg´un se muestra en la figura 1.22 En vista a esta figura podemos deducir: ~ yM ~ crece a medida que nos alejamos del eje central, en tal 1. El a´ ngulo α que forman R ~| forma que tan α es proporcional a la distancia del punto al eje central, creciendo | M proporcionalmente a dicha distancia. ~ equipolentes se encuentran en una recta paralela al eje central, por 2. Los vectores M ~ ~ 00 . ejemplo M001 y M 2 ~ | es el mismo, tienen por lugar geom´etrico un 3. Los puntos respecto a los cuales el |M cilindro cuyo eje es el eje central del sistema, por ejemplo los puntos 0 0 , 001 y 002 en los ~ 00 |, |M ~ 00 | y | M ~ 00 | son iguales. que los m´odulos de sus momentos |M 1 2


´ CAPITULO 1. VECTORES

39

R

M0 M min = M 1

M 0´

M 0´´

M1 M1

M0´1

M1

M 2´ M 1

M2

A

M 2 ´´

0 0´

π

0´1

M1

0´´

M0´´2

0´2

Figura 1.22: Simetr´ıa cil´ındrica de los momentos en torno al eje central

1.23.8 Clasificaci´on de los sistemas de vectores deslizantes ~ y “m”, pudi´endose Para esta clasificaci´on nos atendremos a la nulidad o no nulidad de R presentar los siguientes casos: ~ 6= ~0 y m 6= 0. 1. R Este es el caso general. El sistema que presenta estas caracter´ısticas puede reducirse ~ y a un momento resultante M ~ no perpenen un punto del espacio a una resultante R diculares entre s´ı. Dentro de este caso, si el punto considerado se encuentra en el eje ~ yM ~ son colineales, siendo M ~ =M ~ min central, R ~ = 2. R 6 ~0 y m = 0. ~ yM ~ son perpendiculares. Al ser el En este caso, en todos los puntos del espacio R ~ ~ invariante R · M = cte, y en este caso cte = 0; el sistema de vectores deslizantes ~ estar´a representado en los puntos del eje central u´ nicamente por la resultante R ~ = ~0 y m 6= 0. 3. R ~ = ~0, podemos decir que el eje central est´a situado en el infinito, o bien Dado que R que no existe. El momento tiene el mismo valor en todos los puntos del espacio. El sistema es equivalente a un par de vectores. ~ = ~0 y m = 0. 4. R Este sistema es el sistema nulo. Es equivalente a no aplicar nada a un sistema material.


´ CAPITULO 1. VECTORES

40

1.23.9 Sistemas de vectores coplanarios, concurrentes y paralelos Sistema de vectores coplanarios Sea el sistema de vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , contenidos todos ellos en el plano π ~ = Su resultante ser´a: R

i=n X

~ ∈ π. a~i , Estando as´ı mismo R

i=1

El momento resultante del sistema con respecto a un punto O del plano π ser´a: ~O = M

i=n X

−−→ (OAi ∧ a~i )

i=1

~ por ser todos los vectores del sumatorio perpendiculares a π, ya Que ser´a perpendicular a R −−→ que OAi y a~i est´an contenidos en π ~ ·M ~ O = 0 y tambi´en m = 0 En consecuencia: R ~ 6= ~0 nos encontramos en el 2o caso de la clasificaci´on de los sistema de vectores Si R deslizantes. Entonces un sistema de vectores coplanarios se puede reducir a un u´ nico vector ~ situado sobre el eje central del sistema que se encontrar´a igualmente en el plano π, siendo R el momento resultante en todos los puntos de dicho eje central nulo. Sistema de vectores concurrentes Sea el sistema de vectores a~1 , a~2 , . . . , a~n , en general no coplanarios, y cuyas l´ıneas de acci´on pasan todas por el punto A. ~ del sistema pasar´a por A. La resultante R El momento de cada vector respecto de A es nulo, luego el momento resultante del sistema respecto de dicho punto A ser´a tambi´en nulo y por lo tanto el eje central del sistema pasar´a por A , al ser e´ ste un punto en el que el momento es m´ınimo. Nos encontramos tambi´en en el 2o caso de la clasificaci´on de sistemas de vectores desli~ situado en el eje central. zantes, y el sistema ser´a equivalente a un vector u´ nico R Sistema de vectores paralelos Esta clase de sistemas se puede considerar como un caso particular de los sistemas de vectores concurrentes en los que ahora el punto de concurrencia es un punto impropio del infinito que viene definido por la direcci´on com´un a todos los vectores, dada por el vector unitario: ~u = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k Cada vector del sistema podr´a ser expresado como: ~ai = ai ~u , siendo ai un n´umero real.


´ CAPITULO 1. VECTORES

41

La resultante del sistema ser´a: ~ = R

i=n X

~ai =

i=1

i=n X

(ai ~u) = (

i=1

i=n X

ai ) ~u

i=1

El momento resultante respecto a un punto O ser´a: ~O = M

i=n X

~ri ∧ ~ai =

i=1

i=n X

~ri ∧ ai ~u =

i=1

i=n X

ai ~ri ∧ ~u = (

i=1

i=n X

ai ~ri ) ∧ ~u

i=1

~O ·R ~: Y el producto escalar M h i=n X

~O ·R ~ = ( M

i

ai ~ri ) ∧ ~u · (

i=1

i=n X i=1

h i=n X

ai ) ~u = (

ai ~ri ) · ~u · (

i=1

i=n X i=1

i

ai ) ~u = 0

Ya que se trata de un producto mixto en el que aparecen dos vectores colineales Por lo tanto: ~O ·R ~ = 0 =⇒ M

m=0

Luego una vez m´as nos encontramos en el 2o caso de la clasificaci´on de los sistemas de vectores deslizantes.

1.23.10 Teorema de Varignon

Eje Central

R

M0

0 A

MA =0

Figura 1.23: Teorema de Varignon El teorema de Varignon solo es aplicable a los sistemas de vectores deslizantes que han sido clasificados en el 2o caso, es decir, los que son concurrentes, o coplanarios o paralelos. Dicho teorema se enuncia de la siguiente manera:


´ CAPITULO 1. VECTORES

42

En los sistemas de vectores deslizantes concurrentes, coplanarios o paralelos el momento ~ con resresultante del sistema en un punto O coincide con el momento de la resultante R pecto a dicho punto, considerando a esta resultante como un vector deslizante cuya l´ınea de acci´on es el eje central del sistema. ~ En efecto, consideremos un punto A del eje central, en e´ l estar´a definida la resultante R ~ A . En un punto cualquiera del espacio O el momento resultante y el momento resultante M ~ ~ A mediannte la conocida relaci´on: ser´a MO , el cual podr´a ser expresado en funci´on de M → ~ ~O = − ~A M OA ∧ R +M ~A = M ~ min = ~0, por tratarse de un sistema clasificado Pero al ser A un punto del eje central, M o en el 2 caso, con lo que: → ~ ~ −→ ~ ~O = − M OA ∧ R + 0 = OA ∧ R Con lo que queda demostrado el enunciado propuesto.

1.23.11 Eje central en los sistemas de vectores deslizantes paralelos Sea el sistema de vectores paralelos a~1 , a~2 , . . . , a~i , . . . , a~n cuya direcci´on com´un est´a definida por el vector unitario ~u = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k

u

ai

a2

a1

0 (x

r2 r1 π

y z)

ri Pi ( xi yi zi )

Figura 1.24: Determinaci´on del eje central en un sistema de vectores paralelos Considero un punto del espacio O y sean r~1 , r~2 , . . . , r~i , . . . , r~n los vectores de posici´on que tienen como origen O y como extremo las trazas de las l´ıneas de acci´on de cada vector sobre un plano π que contiene a O y es perpendicular a ~u. Denominamos (x i , yi , zi ) a las coordenadas del punto Pi que es la traza de la l´ınea de acci´on del vector a~i en el plano π, y (x, y, z) a las coordenadas del punto O que supongo que pertenece al eje central cuya ecuaci´on queremos determinar. Cada vector de posici´on ~ri podr´a ser expresado como: ~ri = (xi − x) ~i + (yi − y) ~j + (zi − z) ~k


´ CAPITULO 1. VECTORES

43

La ecuaci´on del eje central la obtendremos expresando que el momento resultante del sistema en cualquier punto del mismo O es nulo, ya que al tratarse de un sistema de vectores paralelos est´a clasificado en el 2o caso, y utilizando la expresi´on del momento con respecto a un punto de un sistema de vectores paralelos ya vista, tendremos: M~O = (

i=n X

ai ~ri ) ∧ ~u = ~0

i=1

Ecuaci´on que desarrollada con la expresi´on anal´ıtica del producto vectorial:

~i

i=n

X

ai (xi − x)

i=1

cos α  i=n X     ai     i=1    i=n X

=⇒ 

i=n X

ai (yi − y)

i=1

i=n X

ai (zi − z) = ~0 =⇒

i=1

cos β

i=n X

(yi − y) · cos γ −

(xi − x) · cos β −

i=1

cos γ

ai (zi − z) · cos β = 0

i=1 i=n X

ai (zi − z) · cos α −

  i=1   i=n  X    ai  

~k

~j

ai (xi − x) · cos γ = 0

i=1 i=n X

ai (yi − y) · cos α = 0

i=1

Dividiendo en estas expresiones respectivamente por (cos γ · cos β), (cos α · cos γ) y (cos β · cos α) resulta: i=n X

ai (zi − z)

=

i=n X

ai (xi − x)

=

i=n X

ai (yi − y)

=

i=n X

ai (yi − y)

i=1

cos β

i=n X

ai (zi − z)

i=n X

ai (xi − x)

i=1

cos γ

i=1

cos α

i=1

cos γ

i=1

cos α

i=1

cos β

De donde podremos expresar: i=n X

ai (xi − x)

i=1

cos α

=

i=n X

ai (yi − y)

i=1

cos β

=

i=n X

ai (zi − z)

i=1

cos γ


´ CAPITULO 1. VECTORES

i=n X

a i xi − x

i=1

44

i=n X

ai

i=1

cos α

=

i=n X

i=n X

ai yi − y

i=1

ai

i=1

cos β

= 

Y dividiendo en la doble igualdad los numeradores por: −

x−

i=n X

a i xi

i=1 i=n X

y− ai

i=1

i=n X

ai

cos γ 

ai :

i=n X

a i zi

i=1 i=n X

ai

i=1

=

cos β

i=n X i=1

i=1

z− ai

a i zi − z

i=1

ai yi

i=1 i=n X i=1

=

cos α

i=n X

i=n X

cos γ

Ecuaci´on que nos expresa el eje central de este sistema de vectores deslizantes paralelos. Observamos que este eje tiene la direcci´on de ~u, com´un a todos los vectores y por tanto tambi´en la de la resultante. Adem´as este eje pasa por el punto de coordenadas: 

i=n X

 ai   i=1  i=n  X 

xi

ai

i=1

,

i=n X

ai yi

i=1 i=n X i=1

, ai

i=n X

a i zi  

i=1 i=n X i=1

ai

   

Cuyos valores son totalmente independientes de la direcci´on com´un de los vectores ~u.

1.23.12 Composici´on de sistemas de vectores deslizantes Sean dos sistemas de vectores deslizantes, uno de ellos que denominaremos S 1 definido me~ 1, M ~ 1 (0) } y otro sistema S2 diante su resultante y su momento resultante en el punto O, {R ~ 2, M ~ 2 (0) } que vendr´a definido tambi´en por su resultante y momento resultante en O, { R La composici´on de estos dos sistemas, que ser´a el resultado de aplicar conjuntamente los ~ y momento resultante en O, M ~ (0) tales que: mismos, ser´a un sistema S con resultante R ~ =R ~1 + R ~2 • R ~ (0) = M ~ 1 (0) + M ~ 2 (0) • M ~1 y R ~ 2 fuesen vectores colineales. Tampoco podr´a Sin embargo, m1 + m2 6= m, salvo que R enuciarse en general la composici´on del momento m´ınimo del sistema conjunto como la suma de los momentos m´ınimos de los sistemas S1 y S2 .

...vectores....  

.................